辽宁沈阳市东北育才学校2025-2026学年高三下学期考前模拟数学试卷

2025—2026学年度下学期东北育才学校 高三年级数学科目第九次模拟考试试题 答题时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．设是平面内的一个基底，下列不可以作为平面内基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．已知双曲线焦距为，顶点到渐近线的距离为，则离心率为（ ） A． B． C． D．2 4．已知数列是等差数列，且，，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．5 5．已知直线与，则“”是“”的（ ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6．已知，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．除以5所得的余数是1 D． 7．中，，，的对边分别为，，，若且，则的形状是（ ） A．顶角为的等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．顶角为的等腰三角形 8．在一次数学考试中，有一道满分为15分的立体几何题．某学习小组6名同学这题的得分为，且有，已知这6名同学的80%分位数和平均分都是12分，则该6名同学答题得分的极差为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数的实部为，则下列说法正确的是（ ） A．复数的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第三象限 C． D．复数的共轭复数 10．已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．是函数定义域内的极小值点． B．的单调减区间是． C．在定义域内无最小值，无最大值． D．． 11．在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（ ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为 C．直线与直线为异面直线 D．三棱锥的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若定义在上的奇函数满足时，，则__________． 13．已知抛物线的焦点为，点在上．若，则到轴的距离为__________． 14．已知数列满足，，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设向量，，函数． （1）求的单调减区间； （2）在中，若角满足，且边，求周长的取值范围． 16．2026年是农历马年，在春晚舞台上，宇树机器人的精彩表演赢得了全国观众的喝彩．某企业为宇树机器人生产一种关键部件，此企业生产的部件质量按等级划分为六个层级，分别对应如下六组质量指标值：，，，，，．根据大量检测结果，得到部件的质量指 标值服从正态分布，并把质量指标值不小于8的产品称为等品，其它产品称为等品．现从该部件的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图． （1）根据大量检测结果，该部件质量指标值的标准差的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值．若从生产线中任取一个部件，试从质量指标值服从正态分布的角度估计该部件为等品的概率（保留小数点后面两位有效数字）； ①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．） （2）（i）从样本的质量指标值在和的部件中随机抽取3件，记其中质量指标值在的部件件数为，求的分布列和数学期望； （ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的部件按100件一箱包装．已知一件等品部件的利润是元，一件等品部件的利润是元，根据（1）的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大． 17．如图，在中，，，是的中点，是上的点，．将沿折起，使点至点处，且二面角的大小为，设是上靠近的三等分点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值． 18．已知椭圆的离心率为，椭圆的左、右顶点分别为，．过点的直线与椭圆的交点分别为，，当直线垂直于轴时，． （1）求椭圆的方程； （2）直线的斜率与直线的斜率的乘积是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由； （3）直线与直线的交点为，过坐标原点作平行于直线的直线与直线相交于点，求的值． 19．已知函数． （1）若，求的取值范围； （2）当时， （i）若，求证：； （ii）记，，求证：． 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $数学科目第九次模拟考试参考答案 题号 2 4 6 8 9 10 答案 B A D C C ABC ACD 题号 11 答案 ACD 12.-1 13.1 14.3×21-n-3 15.(1)cossincosin 3 sin2x+1+cos2x=sin2x+ (3分) 2 2 6'2 由C+2k红≤2x+ +≤3江+2k,太∈Z,解得+a≤x≤2+ka,keZ.所以f到的单调减区间为 62 6 3 :(6分) π 因为0<A<元，所以A+5=)，即A=3 (8分) b=e=a=25 =4 已知BC=a=23,由正弦定理sinB sinc sinA√3 2 所以b=4sinB,c=4sinC.又C=元-A-B=27-B,0<B<2 3 3 则周长L=a+b+c=2V3+4sinB+4sin2T-B 3 =2W3+4sinB+4xV cosB+4×-sinB 2 =25+6sin8+25cocB=25+4W5sin8+8 (12分) 由管<8+m+}1,所以45<≤65 即△ABC周长的取值范围是4V5,6V5, (13分) 16.(1)根据直方图可得，x=4×0.05+5×0.1+6×0.25+7×0.35+8×0.15+9×0.1=6.75,(2分) 由题知u=x=6.75,0=5=1.25,则X~N(6.75,1.252),A等品的质量指标值不小于8， 即PX≥8刻=P(X≥u+a=-Pu-a<X<u+a川-0.6327)0.164分) (2)(i)指标值在3.5,4.5)和8.5,9.5的总件数为100×0.05+0.1=15， 指标值在[8.5,9.5的件数是100×0.1=10，由题知，1可能的取值是0,1,2,3(5分) 是后n==空黑9 Cs45591 Pn=2-cS-25.Pn=3=S-120-4 C,45591’ C45591 (9分) 分布列为： 0 2 3 2 20 45 24 91 91 91 91 En=0x2+1x20 91 2 +3x24 2 (11分) “91 9 91 (ⅱ)设每箱产品的利润为Z,其中有Y件A等品，由题知， Z=Yx+(100-Y)ln(50-x)=(x-ln(50-x)Y+1001n(50-x,由(1)知，A等品的概率为0.16， 则Y~B(100,0.16),于是E(Y)=16, E(Z)=Ex-ln(50-x)Y+100In(50-x)=16x+84In(50-x), 179 记fx=16x+84n50-,则f八=16-502=50-(20<x<49),则20<r< 4 f(x>0,f(x)递 塔，179<x<49,川x<0,川递减，故当x=172时利洞最大（15) 4 4 17.(1)在△ABC中，取AB中点F,连接CF,MF,因为AB=4√3，所以BF=AF=2√3， 又AE=√3，所以E是AF的中点，因为D是AC的中点，所以DE∥CF, 且BF=2EF,因为M是PB上靠近P的三等分点，所以BM=2PM,所以MF∥PE, 由DE∥CF,DEc平面PDE,CF丈平面PDE知CF∥平面PDE, 由MF∥PE,PEc平面PDE,MF丈平面PDE知MF∥平面PDE, 因为MFOCF=F,MF,CFc平面MCF,所以平面MCF∥平面PDE,因为CMc平面MCF, 所以CM∥平面PDE;(5分) (2) B 在△PBE中，作PO⊥BE,垂足为O, 在△ABC中，由AB=4V3,AC=BC=4,D是AC中点，AE=V3, 可得DE⊥AB,DE=1, 将△MDE沿DF折起，使点A全点p处，目面角P-DE-C的大小为， 则DE⊥PE,DE⊥BE,BE=3PE=3V3, 所以LPEB是二面角P-DE-C的平面角，∠PEB= 3,所以PO=3 因为PEOBE=E,PE,BEC平面PBE,所以DE⊥平面PBE,又DEC平面BCDE, 所以平面PBE⊥平面BCDE,所以PO⊥平面BCDE,(7分) 如图，以O为原点，过O平行于DE的直线为x轴，OB,OP分别为y轴和z轴， 建立空间直角坐标系O-yz, w090l-9o小c29o oo,引w cw-25小所-09-引历-250.正4- 设Y面PDE的法向量为i=(a6,c小，因为万，PE=0,元-DE-0,所以-56-3c b- 2 。c=0,-a=0, 取b=-5得i=(0,-5,. (10分) 同样可求得平面CEM的一个法向量m=(3,-2V3,8, (12分) 设平面PDE与平面CEM所成二面角为O, m.n 则|cosa= m⑧5 (14分) 故sina=V-cosa=N85 (15分) 85 )因为椭圆C的离心率为°，可得实9 b2 1- 3 a= 3 因为过点(1,0)的直线1垂直于x轴时截得弦长|MN=2V5,所以椭圆C经过点(1，V⑤， 所以1+5-1，②由02解得a=16,62=16。 所以椭圆C的方程为上+3 -=1;(4分) 3 1616 x=y+1 (2)由(1)可知A-4,0),A24,0),设直线1的方程为x=y+1,联立 3y2-1 ,可得 1616 2t y+y2=- (2+3y2+2y-15=0,可得 2+3 15 (6分) y2= t2+3 直线AM,AN的斜率分别为k4W,飞N,kM=上 书+4，所以 k4wkw=占，X乃 当y2 x+4x2+4(x+4)(x2+4)' 因为M(x,),N(x2,y2)在直线1：x=少+1上，所 x1=y,+1 (5=的+1'所以 (x+4)(x2+4)=(9,+5)(2+5)=tyy2+5(y+y2)+25 (10分) M -2t +y2= (3)由(2)知 +3,月 -15 可得+业一2：，所以5=，直线4M的方程为 yv2=2+3 2 y=”x+4),直线4N的方程为y=卢(x-4),两条直线联立可得 x1+4 x2-4 15 +4-+4-+5到-=0+5则+42+为+59-15y+252-5 x-4y(x2-4)y(少2-3)y2-3yx-41 24+h)-3y 9y+15y23 解得x=16,(14分) 所以设点P的生标为16则，因为过照点半行于4N的言线斜率为产4且点P6侧)在4N上， 则m=少16-4)→少，=%， x2-4 X,二42，故该直线O0的方程为y=),一 点P(16,m)在4M上，则m=片16+4)→片，=m x+4 x1+420 故直线4M的方程为y=m（x+4). 20 y= x=6 12 联立 (m≠0)，解得 m,所以点Q的坐标为 20r+4 y= 6 m y 2 所u00.0-624.0=24 (17分) 19.D已知xe(0,,f(x)sin2x,即asinx-xs) sin2x, 1 1 sin2x+x 因为xe(0,),simx>0,所以asinx-x in2x+,即a≤ 2 2sin2x台as sinx sinx /min x∈(0，π)， ()=2sin2x+ 令 ,x∈(0，π’ sinx sin2x+x cosx 则 cos2x+1)sinx- 2cos2xsinx-(sinxcosx+x)cosx 'x)= 2 sin2x sin2x 2cos2xsinx-sinxcos2x-xcosx cos2xsinx-xcosx cosx(cosxsinx-x) sin2x sin'x sin2x 令h(x=cosxsinx-x,x∈0，π)，则h'x=cos2x-sin2x-1=cos2x-1≤0， 所以h(x)在(0，π上单调递减，h(x≤h(0)=0,即cosxsinx-x<0, 所以，当x∈0》时.cosx>0.sinx>0:g<0,g单调港减： 当xe爱时.c0sr<0,sinx>0:8>0,8到单谓谴指： -sinπ+ 所以，当x=时，g(x取得最小值g 元 2- 2 sin 2 2 -sin2x+x 所以a≤ 即a的取值范围为 -00 (5分) sinx 2 min (2)(i)当a=l时，fx)=sinx-x, 证明：当x>0,f>-专，即sr-+若>0：x>0,令川=sr-x+ ，x>0, 6 6 6 x2 "(x)=cosx-1+ 2, 令m到=小=cor-1+号，x>0,所以网1到=-m+,x0 令sx=m'(x=-sinr+x,x>0,则s'(x=-cosx+1≥0恒成立，所以sx)=m'(x)在(0，+oo)上 单调递增， 所以sx>s0)=0,即m'x)>0在(0，+oo)上恒成立，即x>six在(0，+oo）上恒成立， 所以m(y=r川x)=cosr-1+在(0，+w)上单调递增， 2 所以m(x)>m(0)=0,即t'(x>0在(0，+oo)上恒成立， 即cosr>1-×在(0，+o)上恒成立， 所以4川=sir-+x>0右0o上单两道路， 6 x 所以tx)>t(O=0,即sinx-x+ ->0,x>0, 所以x>0,f(> ,证毕.(10分) 6 2 所以6.=fa小-fa.l_f0)-f29)-(sin9-0)-(sin20-28j an+l -an 0-20 -0 _(sin8-sin20)+0_(sin6-2sin8cos9)+0_sin9(2cos0-1-1,(12分) -0 -0 下面先证明∑b<0, i=l 由)知x>sinr在(0，+o)上恒成立，即snx<1在(0，+o)上恒成立， 所以，当0∈0，)时，0<sin9<1, 1 ’2 0 1 又因为2石， 。1 2 6 2 0<V5-1<2cos0-1<1, 所g12a9-小1.pg212m0-小-1<0 0 所6g212am0-10. 所以∑6<0，证毕： (14分) 再证明：了<，由D知sir-+父>0和cosr>1-号在(0，+w上恒成立， 18台 6 2 所以.当00，时，sm0-0 >0,即sin8>1- >0 6 0 6 南g42ao0->1-g）-=1-29+e m以a=924a0-小-1名0+2020=名{-名 gg2” =及*得g综8立6<07分y