辽宁沈阳市东北育才学校2025-2026学年高三下学期第六次模拟考数学试卷

参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．下列求导运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．已知命题，，则为（　　） A．， B．， C．， D．， 3．已知，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：，，．．故选：． 4．离散型随机变量的取值为1，2，3，，9，，2，3，，．若数列为等差数列，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，离散型随机变量的取值为1，2，3，，9，，2，3，，． 则，又由数列为等差数列，则，则有．故选：． 5．已知定义在，上的单调递增函数，且为奇函数，则不等式的解集为（　　）A． B． C． D． 【解答】解：由函数为奇函数，可得， 即，所以， 又由不等式，可得， 因为函数是，上的单调递增函数， 所以，解得，所以不等式的解集为．故选：． 6．若函数在，是单调递减，则的最大值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意，可得，因为，可得， 又因为，，可得，由于余弦函数在，上单调递减，可得， 解得，所以的最大值为．故选：． 7．已知，为样本空间中的两个随机事件，其中，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，（B），则（B）， 又由，则，而（A），则（A）， 而（B），则（B），故．故选：． 8．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且成等差数列，则椭圆离心率的最大值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为成等差数列， 所以+＝，因为|PF1|+|PF2|＝2a， 所以＝+＝（+）（|PF1|+|PF2|）＝（2+）≥（2+2）＝，即e≤，当且仅当|PF1|＝|PF2|时等号成立，所以椭圆离心率的最大值为． 故选：D． 二．多选题（共3小题） （多选）9．下列说法中正确的是　　 A．从装有3个红球，4个白球的袋中任意摸出3个球，事件 “至少有2个红球”，事件 “都是白球”，则事件与事件是对立事件 B．若随机变量，且，则 C．若，则 D．若随机变量满足，则 【解答】解：对于，从装有3个红球，4个白球的袋中任意摸出3个球，可能的情况有3红，3白，1红2白，2红1白，所以事件与事件不是对立事件，故错误； 对于，因为，所以，则， 解得，所以，所以， 所以，故正确； 对于，根据全概率公式， 故，故正确； 对于，由题意知，服从，，的超几何分布， 所以，故正确．故选：． （多选）10．是正方体中线段上的动点（点异于点，下列说法正确的是　　 A． B．异面直线与所成的角是 C．的大小与点位置有关 D．二面角的大小为 【解答】解：对于，因为，， ，、平面，所以平面， 又因为平面，所以，所以对； 对于，因为，为正三角形，所以， 所以异面直线与所成的角是，所以对； 对于，因为，平面，平面，所以平面， 的底面积不变，高不变，所以的大小与点位置无关，所以错， 对于，因为平面，所以，， 所以为二面角的平面角，其大小为，所以对． 故选：． （多选）11．已知，为正实数，，则下列说法正确的是　　 A． B．的最小值为 C．的最小值为12 D．的最小值为 【解答】解：由，可得， 对于中，令，，则，且， 可得．则，因为函数在，上单调递减，在，上单调递增，可得，所以，所以正确； 对于中，由，可得， 则，当且仅当时，取得最小值，所以正确；对于中，由， 当且仅当时，即，时，即，时，等号成立，所以不正确； 对于中，由，可得， 当且仅当时，即，时，等号成立， 所以的最小值为，所以正确．故选：． 三．填空题（共3小题） 12．已知向量，，且，则 　5　 ． 【解答】解：因为向量，，且， 所以，解得，故 ，，，， 故．故答案为：5． 13．已知，则 ． 【解答】解：因为，所以． 故答案为：． 14．已知等差数列的前项和为，且满足，，则数列的通项公式为 　　． 【解答】解：设等差数列的公差为，因为， 所以，所以，因为，所以， 所以．故答案为：． 号：472815．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求. (2)若点D在边AC上，且，求. 【解答】（1）据已知条件及正弦定理得 整理得， 又据余弦定理，则有，因为 则；.................................................................5分 （2）因为， 所以， 故, 即 所以, 整理得 故, 化解得，因为， 故， 则............................................................................10分 16．如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，， (1)求证：平面DEF⊥平面DCE； (2)当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°. 【解答】（1）因为，所以，因为矩形和平面垂直，所以.矩形和平面交于，所以面，又因为 面，所以.因为面，所以面，又因为面，所以平面DEF⊥平面DCE......................................................................7分 （2）因为，所以，由上面可知，面，则以为原点，分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.如下图. 过点作于点，在中，，，则.因为，所以，. 设，则、、，， ，，，设平面的法向量为，则，得，令，则， 因为面，所以，若二面角的大小为，则 ，解得，所以当时，二面角A-EF-C的大小为60°..........................................................................15分 17．设是函数的一个极值点. （1）求与的关系（用表示），并判断f(x)的的单调性； （2）设，若存在[0，4]，使得成立，求的取值范围. 【解答】（1），由=0得 故. 因为 由=0得：由于是的极值点，故，即 当时，，故在上为减函数，在[3，-a-1]上为增函数，在上为减函数.当时，，故在上为减函数，在[-a-1，3]上为增函数，上为减函数...........................................................................................................................................................7分 (2)由题意，存在[0，4]，使得成立，即不等式在[0，4]上有解. 于是问题转化为，由于两个不同自变量取值的任意性，因此首先要求出和在[0，4]上值域. 因为，则，由（1）知：在[0，3]递增；在[3，4]递减. 故在[0，4]上的值域为，而在[0，4]上显然为增函数，其值域. 因为=≥0,故. 从而解. 故的取值范围为..........................................15分 18.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓后要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得150分，出现两次音乐获得100分，出现一次音乐获得50分，没有出现音乐则获得-300分.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立. （1）若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为，求的最大值点； （2）以（1）中确定的作为的值，玩3盘游戏，出现音乐的盘数为随机变量，求每盘游戏出现音乐的概率，及随机变量的期望； （3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 【解答】：（1）由题可知,一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为： , 由得或（舍） 当时,；当时,, ∴在上单调递增,在上单调递减, ∴当时,有最大值,即的最大值点；..................................................................5分 （2）由（1）可知, 则每盘游戏出现音乐的概率为由题可知 ∴； ................................................10分 （3）由题可设每盘游戏的得分为随机变量,则的可能值为-300,50,100,150； ∴；； ；； ∴ ； 令,则； 所以在单调递增；∴；..................15分 即有；这说明每盘游戏平均得分是负分,由概率统计的相关知识可知：经过若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而会减少.....................................................17分 19．(17分）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左､右顶点. (1)求双曲线的方程； (2)设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为. （i）试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由； （ii）求的取值范围. 【解答】（1）由题意可设双曲线，则，解得， 所以双曲线的方程为...............................................................5分 （2）（i）设，直线的方程为， 由，消元得. 则，且， ，    或由韦达定理可得，即, ， 即与的比值为定值........................................................................11分 （ii）方法一：设直线， 代入双曲线方程并整理得， 由于点为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为，. 由韦达定理得：，解得. 因为点A在双曲线的右支上，所以，解得， 即，同理可得， 由（i）中结论可知， 得，所以， 故， 设，其图象对称轴为， 则在上单调递减，故， 故的取值范围为；.....................................................17分 方法二：由于双曲线的渐近线方程为， 如图，过点作两渐近线的平行线，由于点A在双曲线的右支上， 所以直线介于直线之间（含轴，不含直线），    所以. 同理，过点作两渐近线的平行线， 由于点在双曲线的右支上， 所以直线介于直线之间（不含轴，不含直线），    所以. 由（i）中结论可知， 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期东北育才学校 高三年级数学科目假期质量测试暨第六次模拟考试试题 考试时长：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分．每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的． 1．下列求导运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．已知命题，，则为（　　） A．， B．， C．， D．， 3．已知，则（　　） A． B． C． D． 4．离散型随机变量的取值为1，2，3，，9，，2，3，，．若数列为等差数列，则（　　）A． B． C． D． 5．已知定义在，上的单调递增函数，且为奇函数，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 6．若函数在，是单调递减，则的最大值是（　　） A． B． C． D． 7．已知，为样本空间中的两个随机事件，其中，则（　　）A． B． C． D． 8．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且成等差数列，则椭圆离心率的最大值为（　　） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分．每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分． 9．下列说法中正确的是　　A．从装有3个红球，4个白球的袋中任意摸出3个球，事件 “至少有2个红球”，事件 “都是白球”，则事件与事件是对立事件 B．若随机变量，且，则 C．若，则 D．若随机变量满足，则 10．是正方体中线段上的动点（点异于点，下列说法正确的是　 A． B．异面直线与所成的角是 C．的大小与点位置有关 D．二面角的大小为 11．已知，为正实数，，则下列说法正确的是　　 A． B．的最小值为 C．的最小值为12 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分． 12．已知向量，，且，则 　　 ． 13．已知，则　　 ． 14．已知等差数列的前项和为，且满足，，则数列的通项公式为 　　． 四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求. (2)若点D在边AC上，且，求. 16．（本小题满分15分）如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，， (1)求证：平面DEF⊥平面DCE； (2)当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°. 17．（本小题满分15分）设是函数的一个极值点. （1）求与的关系（用表示），并判断f(x)的的单调性； （2）设，若存在[0，4]，使得成立，求的取值范围. 18.（本小题满分17分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓后要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得150分，出现两次音乐获得100分，出现一次音乐获得50分，没有出现音乐则获得-300分.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立. （1）若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为，求的最大值点； （2）以（1）中确定的作为的值，玩3盘游戏，出现音乐的盘数为随机变量，求每盘游戏出现音乐的概率，及随机变量的期望； （3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 19．（本小题满分17分）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左､右顶点. (1)求双曲线的方程； (2)设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为. （i）试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由； （ii）求的取值范围. 数学科试卷第10页共20页 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 2025一2026高三年级数学第六次模拟 考场/座位号： 姓名： 班级： 贴条形码区 ▣▣ (正面上，切勿贴出虚线方框 可 正确填涂 ■ 缺考标记 客观题(18为单选题911为多选题) 1[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 10[A][B][C][D 填空题 12. 13. 14. 解答题 15. 囚囚■ 解答题 16. 0 B E ㄖ囚■ ■ 17. ■ ■ 解答题 18 1 囚■囚 囚■囚 6I 请勿在此区域作答或 者做任何标记2025一2026学年度下学期东北育才学校 高三年级数学科目假期质量测试暨第六次模拟考试试题 考试时长：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分。每小题给出的备选答案中，只有一个是 符合题意的 1.下列求导运算正确的是() B.(x)'=x'lnx C.(e')'=xe D.(cosx)'=-sinx 2.己知命题p:x>1,x2+2x-3>0,则p为() A.3x>1,x2+2x-3≤0 B.3≤1，x2+2x-3≤0 C.∀x>1,x2+2x-3<0 D.x>1,x2+2x-3>0 3.己知1-i=2+i,则：=() A. B.1 C.1 D.0 5 5 25 5 4.离散型随机变量5的取值为1,2,3，…，9，P(5=k)=4(k=1,2,3,…,9).若数列{4} 为等差激列，则a=《)A专8.日c.。0.日 5.己知定义在[-1,1]上的单调递增函数f(x),且y=f(x)-3为奇函数，则不等式 f(3-2x2)+f(3x-4)<6的解集为() A.(←w,1U[N2,+w)B.L,V2)C.(-o,1UW2,+o)D.4,V2] 6.若函数f(x)=cosx-√3sinx在[-a,可是单调递减，则a的最大值是() A. B. D. 2π 6 3 3 数学科试卷第1页共4页 元已知4，B为样本空间肿的两个随机事件，其中P④-)P)-子P可)-号则P8到团)- 3 B.I 1 1 C. 4 02 8.己知椭圆x 21(a>b>0)的左右焦点分别为R,8,P是椭圆上一点，且 2 2 a PF1T'1P2'PP2成等差数列，则椭园离心率的最大值为() 1 1 A.V3-1 B.V2-1 c.1 吉 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分。每小题给出的备选答案中，有多个选项 是符合题意的。全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分， 9.下列说法中正确的是()A.从装有3个红球，4个白球的袋中任意摸出3个球，事件A= “至少有2个红球”，事件B=“都是白球”，则事件A与事件B是对立事件 B.若随机变量X~B0,),且D3X+2)=12,则E3X+2)=8 C.若P(M0=0.64,P(W)=0.32,则P(MN0=0.32 若随机变量X满足P=)=一化=0,1,2)，则E(X)二 1O.P是正方体ABCD-ABC,D中线段BC,上的动点（点P异于点B),下列说法正确的是(） A.AP⊥BC B.异面直线BP与AC所成的角是60 C.V,-4De的大小与P点位置有关 D.二面角P-AB-C的大小为45° 11.已知a,b为正实数，ab+a+2b=14,则下列说法正确的是() A.a+b<21 B. a-6的最小值为-1 b+1 C.a+4b的最小值为12 D.1+,1的最小值为} a+2b+1 数学科试卷第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分。 12.己知向量a=4,-2),万=(2，m,且a1b,则|a-2b=一 13. 已知ma子则sm2a+受一 14.己知等差数列{a}的前n项和为S。,且满足S2-1=4n2-2a.-1,a=1,则数列{a,}的通 项公式为一 四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 3(sin B-sin A)3c-2a 15.(本小题满分13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 sin C bta (1)求c0sB. ②)若点D在边AC上，且AD=2DC,BD=b,求 16.(本小题满分15分)如图所示，矩形ABCD和梯形BEPC所在平面互相垂直， B服1CR,∠BCT=∠CEF-号AD=万，r=5 (1)求证：平面DF⊥平面DCE: (2)当AB的长为何值时，二面角A4-FC的大小为60°. B 17.（本小题满分15分)设x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e3,x∈R的一个极值点。 (1)求a与b的关系（用a表示b),并判断x)的的单调性： (2)设a>0,g(9=(G+25)e,若存在5，∈0,41，使得fG,-g6,1成立，求a的 取值范围。 数学科试卷第3页共4页 18.(本小题满分17分)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓后要么 出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得150分，出现两次音 乐获得100分，出现一次音乐获得50分，没有出现音乐则获得-300分.设每次击鼓出现音乐的 概率为p 0<p 且各次击鼓出现音乐相互独立. (1)若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为f(p),求f(P)的最大值点P: (2)以(1)中确定的P,作为P的值，玩3盘游戏，出现音乐的盘数为随机变量X,求每盘游 戏出现音乐的概率乃，及随机变量X的期望EX: (3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减 少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 19.(本小题满分17分)我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚 抽则怒它们亚为“姊妹”圆能由线已知辅圆C+茶-10<b<》,双曲线C,是诗圆C的 “姊妹”圆锥曲线：，：分别为C,C的离心率，且eR,=正，点M,N分别为椭圆C的左，右 4 顶点。 (1)求双曲线C,的方程： (2)设过点G(4,0)的动直线1交双曲线C2右支于A,B两点，若直线AM,BN的斜率分别为 kan ksw. 《日试深究无侧与之，的比微老是否为定值若是定板，求出这个定伯：若不是定值。市说明 理由； (ii)求p=+ kw的取值范围. 3 数学科试卷第4页共4页参考答案与试题解析 一。选择题（共8小题） 1.下列求导运算正确的是(D) A阿方 B.(x3)'=xl C.(e")=xe*1 D.(cosx)'=-sinx 2.已知命题p:x>1,x2+2x-3>0,则p为(A) A.x>1,x2+2x-3≤0 B.≤，x2+2x-3≤0 C.x>1,x2+2x-3<0 D.3x>1,x2+2x-3>0 3.已知1-1=2+i,则：三=() z A B. D.v10 【】01以2￥-得 2+i z=名故选：A, 4.离散型随机变量5的取值为1,2,3，…，9，P(5=)=4,(k=1,2,3,…,9).若数列{a}为等差 数列，则a=() B. 9 c.1 10 D. 19 【解答】解：根据题意，离散型随机变量5的取值为1,2,3，.，9，P(5=k)=4(k=1,2,3,…,9). 则4+a4,+4+..+a4+4=1,又由数列{4}为等差数列，则4+42+4+.+4+4=9a=1,则有 马。故选：B了 5.已知定义在[-1，]上的单调递增函数f(x),且y=f(x)-3为奇函数，则不等式f(3-2x2)+f(3.x-4)<6 的解集为()A.(-m,1U[V2,+m)B.[,V2)C.(←m,1U2,+m)D.4,V2] 【解答】解：由函数g(x)=f(x)-3为奇函数，可得g(x)=-g(x), 即f(-x)-3=[f(x)-3],所以f(-x)=6-f(x), 又由不等式f(3-2x2)+f(3x-4)<6,可得f(3x-4)<6-f(3-2x2)=f(2x2-3), 因为函数f(x)是[-1,1]上的单调递增函数， 第1页（共12页） [-1≤3x-4≤1 所以-1≤2x2-3≤1，解得1<x≤√2，所以不等式的解集为1，√2].故选：D. 3x-4<2x2-3 6.若函数f(x)=cosx-V3sinx在[-a,a是单调递减，则a的最大值是() A.交 6 B.号 C.π 2 D.2x 3 【解答】解：由题意，可得fw)=cosx-√3sinx=2cos(x+),因为-a≤x<a,可得-a+T≤x+T≤a+ 3 3 3 -a+ 20 又因为0e[-a:小，可得等[-a+写a+孕，由于余弦函数在0，习上单调遂减，可得 3 π a+ ≤π (3 解得a≤胥，所以a的最大值为写故选：B. ,.已知4，B为样本空间中的两个随机事作，共中心0-®)号4=方则PR8团=（) 2 A.I 6 B c. 【群答】解，根器骂意户(B)分则P回=1-P(B〉号 又直R到-台别Pu画-KRa到-号面P-吉则u-PWu-片吉 2 而PB》-则=PB》-=写名名改PB刀=到三-}微适：C PM1-13 2 8,已知随圆专a>b>0)的有焦点分别为A,,P足稀因上一点：且 a 1 1 1 IPF1'F F2'PF2 成等差数列，则椭圆离心率的最大值为() A.W3-1 B.√2-1 c. 3 D.2 1 1 1 【解答】解：因为PF'F72,PF2T成等差数列， 商以阳方是因%所阴a IPF2 IPF1 以p,Ta安时7'7p方)m)=名， 第2页（共12页) 气22)=2，即≤专当且仅当=P2时等号成立，所以椭圆离心率的最大值为 a 故选：D. 二.多选题（共3小题） (多选)9.下列说法中正确的是() A.从装有3个红球，4个白球的袋中任意摸出3个球，事件A=“至少有2个红球”，事件B=“都是 白球”，则事件A与事件B是对立事件 B.若随机变量X~B,且D(3X+2)=12,则B3x+2)=8 C.若P(M0=0.64,P(MW)=0.32,则P(M)=0.32 D.若随机变：x满足Px=-CC兰k=01),则50)-号 【解答】解：对于A,从装有3个红球，4个白球的袋中任意摸出3个球，可能的情况有3红，3白，1 红2白，2红1白，所以事件A与事件B不是对立事件，故A错误： 对于B,因为X~B,), 所以DX0=nx×2-2n,则DBx+2)=9D0=2n=12, 339 解得n=6,所以X~B(63,所以E(x)=6×}2, 3 所以E(3X+2)=3E()+2=3×2+2=8,故B正确： 对于C,根据全概率公式PM)=P(NW)P(MN)+P(MPM=P(MW)+P(MW), 故P(MW)=P(M0-P(W=0.64-0.32=0.32,故C正确： 对于D,由题意知，X服从N=15,M=2,n=3的超几何分布， 所以gX)=M-故D正确，故选：BCD. (多选)10.P是正方体ABCD-AB,C,D中线段BC1上的动点（点P异于点B),下列说法正确的是(） A.AP⊥BCB.异面直线BP与AC所成的角是60 C.V-4c的大小与P点位置有关D.二面角P-AB-C的大小为45° 【解答】解：对于A,因为B,C⊥BC,B,C⊥AB, BC∩AB=B,BC1、ABC平面ABC,D,所以B,C⊥平面ABCD, 又因为APC平面ABCD,所以B,C⊥AP,所以A对； 第3页（共12页） 对于B,因为BCI1AD,△ACD为正三角形，所以∠CAD=60°， 所以异面直线BP与AC所成的角是60°，所以B对： 对于C,因为BCI/AD,ADC平面ACD,B,Cg平面ACD,所以B,C平面ACD, V,e的底面积不变，高不变，所以，-4的大小与P点位置无关，所以C错， 对于D,因为AB⊥平面BB,CC,所以PB⊥AB,BC⊥AB, 所以∠PBC为二面角P-AB-C的平面角，其大小为45°，所以D对. 故选：ABD (多选)11.已知a,b为正实数，ab+a+2b=14,则下列说法正确的是() A.a+b<21 B.a-6的最小值为-1 b+1 C.a+4b的最小值为12 D.1+1的最小值为} a+2b+1 【解答】解：由ab+a+2b=14,可得(a+2)(b+1)=16, 对于A中，令x=a+2,y=b+1,则a=x-2,b=y-1且xy=16, 可得2<x<16.则a+b=x+y-3=x+16-3,因为函数f=x+16在2,4上单调递减，在4,1可上 单调递增，可得f(x)<f16=17,所以a+b=x+y-3<14,所以A正确： 对于B中，由(a+2)b+1)=16,可得b+1=16, a+21 则-6=a-0×a+2_4-4a-12_a-2-16,当且仅当a=2时，4-6取得最小值-1，所以B正 b+1 16 16 16 b+1 确；对于C中，由a+4b=(x-2)+4y-1)=x+4y-6≥2x.4y-6=10 当且仅当x=4y时，即x=8,y=2时，即a=6,b=1时，等号成立，所以C不正确： 对T0t:向a-00-16,可得2>36品-3侣 当且仅当1，=，1时，即a=2,b=3时，等号成立， a+2b+1 所以上，十上的最小值为}，所以D正确.故选：ABD. a+2'b+1 三。填空题（共3小题） 12.已知向量a=1,-2),b=(2,m,且a1万，则1a-2b=5 【解答】解：因为向量a=4,-2),b=(2,),且a1b, 第4页（共12页） 所以2-2m=0,解得=1，故a-2b=1,-2)-2(2,1)=(-3,-4), 故ā-2b=√(-3)2+(-4)2=5.故答案为：5. 13.已知sma-子则sm(2a+学3 7 【解答】解：因为sina= 号所以m2a+孕=o2a=1-2sna=1-2xr=3 25 7 故答案为： 25 14.已知等差数列{a,}的前n项和为Sn，且满足S2m-1=4m-2a-1,a=1，,则数列{a,}的通项公式为 an=2n-1- 【解答】解：设等差数列{a,}的公差为d,因为S2m1=4n2-2a.-1, 所以S,=4×22-2a2-1=3a,所以42=3，因为a4=1,所以d=4-4=2, 所以a,=1+2(n-1)=2n-1.故答案为：4=21-1. 15.记△A8c的内角4.8C的对边分别为a,b,C,已知3smB-sim4_3c-2a sinC b+a (1)求c0sB ②若点D在边C上，且A0-20,8D-0,求月 3 【解答】(1)据已知条件及正弦定理得36-四-3c-2a bta 整理得b2=ad2+c2-2a -C, 3 又据余弦定理=d心+c:-2acco9B,则有-2c=-2ac0sB,因为ac>0 则c0sB= 1 …….5分 (2)因为AD=2DC, 所以D-+D-A+号4C-丽+(C--厨+BC, *-号a-c 即Bd-极厨+号cos8+号Bc 第5页（共12页） ca+a 故ad2+c2 化解得3c2-4ac=0,因为c>0, 故3c-4a=0, 则3 ..10分 16,如图所示，矩形A8C0和梯形aRC所在平面互相垂直，BB1CR,∠BCT=∠CBF-子AD=反，F=乃 E (1)求证：平面DEF⊥平面DCE (2)当AB的长为何值时，二面角AEF-C的大小为60°· 【解答】(I)因为∠C-子所以EF1Cg,因为矩形ABCD和平面BBC垂直，所以DC1BC.矩形 ABCD和平面BEFC交于BC,所以DC⊥面BCEF,又因为 EFC面BCEF,所以EF⊥DC.因为DCC面DCE,所以EFI面DCE,又因为EFC面DEF,所以平 面DEF⊥平面DCE.... ….7分 (2)因为∠BCF=亚， 所以BCLCF,由上面可知，DC⊥面BCBF,则以C为原点，分别以CR、CR、CD 为x轴、y轴、=轴建立空间直角坐标系.如下图. D F 第6页（共12页） 过点E作EG⊥CF于点G,在RT△EFG中，EG=AD=√2，F=√3，则FG=1.因为CE⊥EF,所以 CG=2,CF=3. 设AB=a,则C(0,0,0)、AN2,0,a、E(V2,2,0),F(0,3,0) AE=0 A正=(0,2-d,丽=(-V21,0）,C厘=(V2,2,0),设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),则 nEF=0 a,0令=2.则n=(后a2 2y-m=0 得 因为CD⊥面EFC,所以CD=(0,0,a),若二面角A-EF-C的大小为60°，则 2a cos(nCD)=- 1 d+a2+4 2,解得a=2√2，所以当AB=2√2时，二面角4F-C的大小为 60° ..15分 17.设x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e3x,x∈R的一个极值点. (1)求a与b的关系（用a表示b),并判断x)的的单调性： (2)设a>0,g)=(a+2匀e,若存在5，∈0,4，使得fc)-g,K1成立，求a的取值范围 【解答】(1)f'(x)=-[x2+(a-2)x+b-a]e3x,由f'(3)=0得b=-2a-3 故f(x)=(x2+ax-2a-3)e3-x. 因为f'(x)=[x2+(a-2)x-3a-3]=(x-3)(x+a+1)e3-x 由f'(x)=0得：x=3,x2=-1-1由于x=3是f(x)的极值点，故x≠x2,即a≠4 当a<4时，x<x2,故f(x)在(-∞，3]上为减函数，在3，-l]上为增函数，在[-a-1,+o)）上为减函 数.当a>4时，>x2,故f(w在(-0，-a-1]上为减函数，在[-a-l,3]上为增函数，[3，+0)上为减函 数 .7分 (2)由题意，存在s,s,∈[0,4，使得f(s)-g(s2)K1成立，即不等式f(s)-g(2)K1在s,s2∈[0,4 上有解. 于是问题转化为f(s)-g(s2)儿m<1,由于两个不同自变量取值的任意性，因此首先要求出f(s)和g(s2) 在[0,4上值域 因为a>0,则-a-1<0,由(1)知：f(x)在[0,3]递增；在[3,4]递减.故f(x)在[0,4]上的值域为 tmn/0./4./Cw3-ea间，面g6o-(d+ e在[o,4]上显然为增函数，其值域 第7页（共12页） +女+ 因为+25-a-6=a 1) ≥0枚r+2之a+6.s)g6,儿。=a+2 -a-6从而解 4 4 d+5-a+6<1,0<a< 3 4 故a的取值范围为0， 2 15分 a>0 18.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓后要么出现一次音乐，要么不出现音 乐；每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得150分，出现两次音乐获得100分，出现一次音乐获得50 分，没有出现音乐则获得-300分.设每次击鼓出现音乐的概率为P0<卫< 2 且各次击鼓出现音乐相互 独立 (1)若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为f(p),求∫(P)的最大值点P。; (2)以(1)中确定的P。作为P的值，玩3盘游戏，出现音乐的盘数为随机变量X,求每盘游戏出现音 乐的概率P,及随机变量X的期望EX; (3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运 用概率统计的相关知识分析分数减少的原因 【解答】：（1)由题可知，一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为： f(p)=Cp(1-p=3p-6p2+3p, f(p)=33p-1(p-)由f(p)=0得p=3或p=1c舍) 当p0写时，f(p>0:当pG)时fp)<0, “p)在0)上单，在号 上单调递减， 当刀写时.(p)有最大位，即p)的录大信点 第8页（共12页） P=3 ..5分 (2)由(1)可知，P=P,=3 ∴.EX=3 1919 27=9 ....10分 (3)由题可设每盘游戏的得分为随机变量5，则5的可能值为-300,50,100,150： P(5=-300)=(1-p3;P(5=50)=CP(1-p)2; P(5=100)=Cp(1-p);P(5=150)=p: ∴E=-300(1-p)'+50Cp(1-p)2+100Cp2(1-p)+150p =om73p+3-月 令8(p)=p-p+3p-1则g(p)=3p-p+名3p-+分0： 所以g(p)在0)单调适猫：8(p)<g) 230 ....15分 即有EX<0:这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：经过若干盘游戏后，与最初 的分数相比，分数没有增加反而会减少...... 。。。。。。。。 。。。。。。。。。 ......17分 19.(17分)我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊 妹顶维由线已知情圆C+芳-10<b<),双角线C足桥题C的饰练顶能售线，2分别为CC 的离心率，且e,e,= ,点M,N分别为椭圆C的左，右顶点 4 (1)求双曲线C2的方程： (②)设过点G(4,O)的动直线1交双曲线C2右支于A,B两点，若直线AM,BN的斜率分别为k4w,kw （()试探究k与的比值兰是否为定值若是定值，求出这个定值：若不是定值，请说明理由， (1i)求w=k+ kw的取值范围. 【解省10由避您设双肩线C号若1，则A=左，： 2 ,解得62=1， 2 4 第9页（共12页） 所以双曲线C,的方程为 x2 -y=1………………5分 (2)(1)设A(,),B(x2,y2),直线AB的方程为x=y+4, [x=y+4 里=1’消元得(-4y+8y+12=0, 8t y1+y2=- 则t≠±2，△=16t2+192>0,且 t2-4 12 y%=P-4 y 型=当+2-当(3-2）4，+2）y,+2y1-4+2的+52y kwy2y2(x1+2)y2y1+6)yy2+v2 tvV,+6v, 2-2 12t16t 4t 242-4-2y27 t2-4 -2y2 1 12t 12t 3 +6y2 t2-4 t2-4 +6y2 G M-0 B 或由韦达定理可得+业=-21 3,即=3y+以)为 2 :k=+2y×52-2,+2)g出+2y )3 +2y+6）w+,g+y片 x2-2 =片=3y=-1 -3y+9y23 即kaM与kw的比值为定值 2 …………11分 (11)方法一：设直线AM:y=k(x+2), 代入双曲线方程并整理得(1-4k2)x2-16k2x-16k2-4=01-4≠0)， 由于点M为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为-2，· 第10页（共12页）