精品解析：辽宁沈阳市东北育才学校2025-2026学年高三下学期第六次模拟考数学试卷

2025—2026学年度下学期东北育才学校 高三年级数学科目假期质量测试暨第六次模拟考试试题 考试时长：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分．每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的． 1. 下列求导运算正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知命题：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 离散型随机变量的取值为．若数列为等差数列，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义在上的单调递增函数，且为奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在是单调递减，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（　　） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左右焦点分别为，，是椭圆上一点，且，，成等差数列，则椭圆离心率的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分．每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分． 9. 下列说法中正确的是（    ） A. 从装有个红球，个白球的袋中任意摸出个球，事件“至少有个红球”，事件“都是白球”，则事件与事件是对立事件 B. 若随机变量，且，则 C. 若，则 D. 若随机变量X满足，则 10. 是正方体中线段上的动点(点异于点)，下列说法正确的是（ ） A. B. 异面直线与所成的角是 C. 的大小与点位置有关 D. 二面角的大小为 11. 已知 为正实数， ，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 -1 C. 的最小值为 12 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 已知向量，，且，则______. 13. 已知，则_______． 14. 已知等差数列的前n项和为，且满足，，则数列的通项公式为__________． 四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求. （2）若点D在边AC上，且，求. 16. 如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，， （1）求证：平面DEF⊥平面DCE； （2）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°. 17. 设是函数的一个极值点. （1）求与的关系（用表示），并判断的单调性； （2）设，，若存在[0，4]，使得成立，求的取值范围. 18. 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓后要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得150分，出现两次音乐获得100分，出现一次音乐获得50分，没有出现音乐则获得-300分.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立. （1）若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为，求的最大值点； （2）以（1）中确定的作为的值，玩3盘游戏，出现音乐的盘数为随机变量，求每盘游戏出现音乐的概率，及随机变量的期望； （3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 19. 我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左､右顶点. （1）求双曲线的方程； （2）设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为. （i）试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由； （ii）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期东北育才学校 高三年级数学科目假期质量测试暨第六次模拟考试试题 考试时长：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分．每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的． 1. 下列求导运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C错误； 对于D，因为，故D正确. 2. 已知命题：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称命题的否定可得出结论. 【详解】命题为全称命题，则命题的否定为，， 故选：A． 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数模的运算性质计算出，然后利用共轭复数的性质求解即可. 【详解】，． . 故选：A. 4. 离散型随机变量的取值为．若数列为等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用离散型随机变量分布列的性质，结合等差数列的求和公式和性质，直接求出. 【详解】由离散型随机变量分布列的性质，， 由等差数列性质及前项和公式， 所以，解得， 故选：B. 5. 已知定义在上的单调递增函数，且为奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到，把不等式转化为，结合是上的单调递增函数，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数为奇函数，可得， 即，所以， 又由不等式，可得， 因为函数是上的单调递增函数， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 6. 若函数在是单调递减，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式，将化成，根据余弦函数的单调性可得. 【详解】， . 又， 因为余弦函数在上单调递减，所以，解得. 所以的最大值为. 故选：B. 7. 已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一：由互斥事件和事件概率公式、条件概率计算公式即可求解；法二：确定事件与事件相互独立，得到即可求解. 【详解】法1：因为，所以， 所以， 所以． 法2：因为，所以， 所以， 所以，所以事件与事件相互独立， 所以事件与事件独立，所以. 故选：C 8. 已知椭圆的左右焦点分别为，，是椭圆上一点，且，，成等差数列，则椭圆离心率的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列性质、椭圆定义、基本不等式与离心率定义计算即可得. 【详解】由，，成等差数列，则， 由椭圆定义可得，又， 则，即， 又，即，则， 当且仅当时，等号成立， 故椭圆离心率的最大值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分．每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分． 9. 下列说法中正确的是（    ） A. 从装有个红球，个白球的袋中任意摸出个球，事件“至少有个红球”，事件“都是白球”，则事件与事件是对立事件 B. 若随机变量，且，则 C. 若，则 D. 若随机变量X满足，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据对立事件的定义可判断；根据二项分布的期望和方差公式可判断；可判断；根据超几何分布的期望公式可判断. 【详解】对于：从装有个红球，个白球的袋中任意摸出个球， 可能的情况有3红，3白，1红2白，2红1白， 所以事件与事件不是对立事件，故错误； 对于：因为，所以， 则，所以， 所以，故正确； 对于：根据全概率公式， 故，故正确； 对于：由题意知，服从，，的超几何分布， 所以，故正确. 故选：BCD. 10. 是正方体中线段上的动点(点异于点)，下列说法正确的是（ ） A. B. 异面直线与所成的角是 C. 的大小与点位置有关 D. 二面角的大小为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平面即可判断A正确；求出异面直线与所成的角即可知B正确；根据等积法可知的大小与点位置无关，C错误；根据二面角的定义可知D正确. 【详解】对A,因为,所以平面,而平面,所以,正确; 对B, 异面直线与所成的角即为异面直线与所成的角,因为,所以即为异面直线与所成的角,而为等边三角形,所以,正确； 对C,因为四边形为矩形,所以为定值,而平面,点到平面的距离为定值，故为定值，错误； 对D，二面角的平面角即为二面角的平面角，由二面角的定义可知，为二面角的平面角，易知,正确. 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求法,二面角的求法,等积法的应用,线面垂直的判定等,属于中档题.二面角的常用求法有:定义法,垂面法,三垂线法,向量法,坐标法,面积射影法等. 11. 已知 为正实数， ，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 -1 C. 的最小值为 12 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，令，得到，结合函数单调性，可判定A正确；由，得到，结合二次函数的性质，可得判定B正确；化简，利用基本不等式，可得判定C不正确；由，得到，可判定D正确. 【详解】由，可得， 对于A中，令，则且， 可得，则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 可得，所以，所以A正确； 对于B中，由，可得， 则， 当且仅当时，取得最小值，所以B正确； 对于C中，由， 当且仅当时，即时，即时，等号成立，所以C不正确； 对于D中，由， 可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 已知向量，，且，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标公式列方程求参数，然后根据模的公式求解即可 【详解】因为向量，，且， 所以，解得， 故， 故 故答案为： 13. 已知，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式计算可得； 【详解】解：因为，所以； 故答案为： 14. 已知等差数列的前n项和为，且满足，，则数列的通项公式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设出公差，根据，求出，得到公差，利用通项公式求出答案. 【详解】设的公差为， 因为， 所以， 又，故，解得，所以， 又，所以． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求. （2）若点D在边AC上，且，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行角换边得，结合余弦定理即可求出的值； （2）利用转化法得，两边同平方得，结合（1）中整理的式子即可解出的值. 【小问1详解】 据已知条件及正弦定理得 整理得， 又据余弦定理，则有，因为 则； 【小问2详解】 因为， 所以， 故, 即 所以, 整理得 故, 化解得，因为， 故， 则. 16. 如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，， （1）求证：平面DEF⊥平面DCE； （2）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据面面垂直证明出面，从而利用与垂直，即可证明. （2）首先建立空间坐标系，再分别求出平面的法向量以及面的法向量，最后利用向量公式即可表示出二面角，从而求出的值. 【小问1详解】 因为，所以，因为矩形和平面垂直，所以.矩形和平面交于，所以面，又因为 面，所以.因为面，所以面，又因为面，所以平面DEF⊥平面DCE. 【小问2详解】 因为，所以，由上面可知，面，则以为原点，分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.如下图. 过点作于点，在中，，，则.因为，所以，. 设，则、、，， ，，，设平面的法向量为，则，得，令，则， 因为面，所以，若二面角的大小为，则 ，解得，所以当时，二面角A-EF-C的大小为60°. 17. 设是函数的一个极值点. （1）求与的关系（用表示），并判断的单调性； （2）设，，若存在[0，4]，使得成立，求的取值范围. 【答案】（1），单调性见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由=0可得之间的关系；由之间的关系可得，分、，即可确定函数的单调区间； （2）由题意可得，分别求出两函数的值域，可得，求解即可. 【小问1详解】 ， 由=0，得 故. 因为， 由=0得：， 由于是的极值点， 故，即 当时，， 故在上为减函数，在[3，-a-1]上为增函数，在上为减函数； 当时，， 故在上为减函数，在上为增函数，上为减函数； 【小问2详解】 由题意，存在[0，4]，使得成立， 即不等式在[0，4]上有解. 于是问题转化为， 由于两个不同自变量取值的任意性，因此首先要求出和在[0，4]上值域. 因为，则， 由（1）知：在[0，3]递增；在[3，4]递减. 故在[0，4]上的值域为， 而在[0，4]上显然为增函数，其值域. 因为=≥0， 故， ， 从而， 解. 故的取值范围为 18. 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓后要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得150分，出现两次音乐获得100分，出现一次音乐获得50分，没有出现音乐则获得-300分.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立. （1）若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为，求的最大值点； （2）以（1）中确定的作为的值，玩3盘游戏，出现音乐的盘数为随机变量，求每盘游戏出现音乐的概率，及随机变量的期望； （3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 【答案】（1）； （2），； （3）由题可设每盘游戏的得分为随机变量，则的可能值为-300，50，100，150， ∴，， ，， ∴ ， 令，则， 所以在单调递增， ∴，即有， 这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少. 【解析】 【分析】（1）根据独立重复试验中概率计算，可得仅出现一次音乐的概率.然后求得导函数，并令求得极值点.再根据的单调情况，求得的最大值. （2）由（1）可知，.先求得不出现音乐的概率， 由对立事件概率性质即可求得出现音乐的概率.结合二项分布的期望求法，即可得随机变量的期望； （3）求得每个得分的概率，根据公式即可求得得分的数学期望.构造函数，利用导函数即可证明数学期望为负数，即可说明分数变少. 【详解】（1）由题可知，一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为： ， ， 由得或（舍）， 当时，； 当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，有最大值，即的最大值点； （2）由（1）可知，， 则每盘游戏出现音乐的概率为， 由题可知 ∴； （3）略 【点睛】本题考查了独立重复试验概率的求法，利用导数求得函数的最值，数学期望的求法，综合性较强，计算量较大，属于难题. 19. 我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左､右顶点. （1）求双曲线的方程； （2）设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为. （i）试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由； （ii）求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）为定值，（ii） 【解析】 【分析】（1）设出双曲线方程，根据离心率的乘积得到方程，求出，得到答案； （2）（i）设，直线的方程为，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，得到； （ii）方法一：设直线，代入双曲线方程，由两根之积得到，结合点A在双曲线的右支上，得到，同理得到，结合确定，由和函数单调性得到答案； 方法二：求出双曲线的渐近线方程，由于点A在双曲线的右支上，与渐近线的斜率比较得到，同理可得，结合求出，由和函数单调性得到答案. 【小问1详解】 由题意可设双曲线，则，解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 （i）设，直线的方程为， 由，消元得. 则，且， ， 或由韦达定理可得，即, ， 即与的比值为定值. （ii）方法一：设直线， 代入双曲线方程并整理得， 由于点为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为，. 由韦达定理得：，解得. 因为点A在双曲线的右支上，所以，解得， 即，同理可得， 由（i）中结论可知， 得，所以， 故， 设，其图象对称轴为， 则在上单调递减，故， 故的取值范围为； 方法二：由于双曲线的渐近线方程为， 如图，过点作两渐近线的平行线，由于点A在双曲线的右支上， 所以直线介于直线之间（含轴，不含直线）， 所以. 同理，过点作两渐近线的平行线， 由于点在双曲线的右支上， 所以直线介于直线之间（不含轴，不含直线）， 所以. 由（i）中结论可知， 得，所以, 故. 【点睛】方法点睛：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $