专题06菱形 专项训练（9大核心题型精讲+分层训练突破）-2025-2026学年人教版数学八年级下学期.

**基本信息** 以菱形性质与判定为核心，通过10类题型系统覆盖角度、线段、面积计算及证明，形成从基础到综合的完整训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|题型1-4（各3题）|求角度、线段长、面积及性质证明|基于菱形边、角、对角线性质，结合等腰三角形、勾股定理等推导| |判定应用|题型5-6（各3题）|补充判定条件及证明四边形为菱形|从平行四边形出发，通过边相等或对角线垂直构建判定逻辑| |性质与判定综合|题型7-9（各3题）|综合运用性质与判定解决角度、线段、面积问题|性质与判定融合，体现几何直观与推理意识的结合| |分层精练|9题（选择/填空/解答）|覆盖基础到拔高，含折叠、动态问题|从单一知识点到综合应用，符合知识生成与拓展规律|

专题06菱形 专项训练 题型梳理归纳 题型1.利用菱形的性质求角度 题型2.利用菱形的性质求线段长 题型3.利用菱形的性质求面积 题型4.利用菱形的性质证明 题型5.添一条件使四边形是菱形 题型6证明四边形是菱形 题型7.利用菱形的性质与判定求角度 题型8.利用菱形的性质与判定求线段长 题型9.利用菱形的性质与判定求面积 题型10.分层练习9题 核心题型精讲 题型1.利用菱形的性质求角度 1．如图，在菱形中，点E是对角线上一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，菱形的对角线，交于点，若，则的度数为________． 3．如图，点是菱形的边上一点，且，求的度数． 题型2.利用菱形的性质求线段长 1．菱形的两条对角线长分别为和，则该菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 2．图，在菱形中，已知，交于点E，且，则线段的长为___________． 3．如图，在中，，为的中点，过点作于点，点在的延长线上，且，在的延长线上截取，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的周长． 题型3.利用菱形的性质求面积 1．如图，某地面砖图案是一个菱形，已知两条对角线长分别为2和，则该菱形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知菱形的对角线与相交于点O，的长为，与长度的比为，则菱形的面积是______． 3．如图，在菱形中，，垂足为点，点、分别为边、的中点，连接，若，，求菱形的面积． 题型4.利用菱形的性质证明 1．下列性质中菱形具有而矩形不具有的是（   ） A．对角线互相平分B．对角线相等 C．四条边都相等 D．对边平行 2．如图，在菱形中，，E为上的动点，，且，若的最小值为，则菱形的边长是______． 3．如图，在菱形中，点，分别在边，上，且，连接，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 题型5.添一条件使四边形是菱形 1．如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（    ） A．B． C． D． 2．如图，四边形的对角线，相交于点，，且，若______，四边形是菱形，从①，②平分，③．这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立． 3．已知：如图，四边形为平行四边形，为的一条对角线． (1)（多选题）若添加一个条件，使得为菱形，这个条件可以是（   ） A．        B． C．为的角平分线    D． (2)用尺规作图，作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接、，求证：四边形为菱形． 题型6证明四边形是菱形 1．检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，可用的方法是（    ） A．测量两条对角线是否相等 B．测量门框的一组邻边是否相等 C．测量两条对角线是否互相平分 D．用曲尺测量两条对角线是否互相垂直 2．如图，在中，对角线，相交于点O，已知，，当____ 时，四边形是菱形． 3．如图，在中，为的中点，为线段的中点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)若，求证：四边形是矩形； (2)要使四边形为菱形，需要_________°． 题型7.利用菱形的性质与判定求角度 1．小馨同学按如下步骤作四边形；（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；（3）分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的角平分线，交于，交于．且交于，则_____度． 3．如图，已知：在中，是对角线，，是上一点，连接． (1)将图补充完整（不写作法，不需保留作图痕迹）； (2)当时，求与的面积比． 题型8.利用菱形的性质与判定求线段长 1．如图，平行四边形的对角线交于点平分交于点，点E是上一点，且，连接，下列结论：；；；，成立的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在中，点D是边上一点，过点D分别作交于点E，交于点F，与相交于点O，若平分，，，则的长为_____． 3．在矩形纸片中，． (1)如图1，将矩形纸片折叠，使点与点重合，求出的长． (2)如图2，将矩形纸片折叠，使点与点的中点重合，求出的长． 题型9.利用菱形的性质与判定求面积 1．如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，则四边形的面积为（    ）    A．2 B．12 C．5 D．6 2．今年3月，为庆祝建校80周年，传承我校红色基因，学生会用一段矩形绸缎设计制作了一条红丝带，承载着师生对母校的美好祝福和深厚情谊，如图所示，矩形的宽为，中间重叠的部分（四边形）绘制校徽，若，则重叠部分图形的面积是______． 3．已知点是内一点，连接，． (1)当点在对角线上． ①如图1，若的面积为，的面积为，求的面积； ②如图2，若，，，求平行四边形的周长； (2)如图3，对角线与相交于点，点不在对角线上，连接，，与交于点，与交于点．求证：． 分层精练 一、单选题 1．四边形是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是菱形的是（   ） A． B． C． D． 2．菱形的两条对角线长分别为10和14，则该菱形的边长为（    ） A．70 B．71 C． D． 3．如图，菱形的对角线、相交于点，点、分别为、的中点，连接、、、，若四边形的周长为，，则菱形的边长为（    ） A． B． C．4 D． 二、填空题 4．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，为垂足，连接，则等于___________． 5．中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．小美家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形中国结装饰的面积是____． 6．如图，在菱形纸片中，点E在边上，将菱形沿折叠，点A、B分别落在，处，，垂足为F．若，，则________，______． 三、解答题 7．如图，在矩形中，点，分别在边、上，是四边形对角线的交点，且，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 8．我们知道：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．如图1，在中，点D，E分别是的中点，求证：，且． (1)下面是小高给出的一种证明思路：如图2，过点C作的平行线交的延长线于点F……请根据小高的思路证明上述命题； (2)如图3，在四边形中，点E，F分别是的中点，点G，H分别是的中点，连接，，，，则的度数为______． 9．在中，，为的中点，过点作．为上的一点，且，连接，． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06菱形 专项训练 题型梳理归纳 题型1.利用菱形的性质求角度 题型2.利用菱形的性质求线段长 题型3.利用菱形的性质求面积 题型4.利用菱形的性质证明 题型5.添一条件使四边形是菱形 题型6证明四边形是菱形 题型7.利用菱形的性质与判定求角度 题型8.利用菱形的性质与判定求线段长 题型9.利用菱形的性质与判定求面积 题型10.分层练习9题 核心题型精讲 题型1.利用菱形的性质求角度 1．如图，在菱形中，点E是对角线上一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质得到，，，，由，得到，从而根据“等边对等角”得到，根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 2．如图，菱形的对角线，交于点，若，则的度数为________． 【答案】/20度 【分析】根据菱形对边平行得到，根据，得到． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ， ， ， ． 3．如图，点是菱形的边上一点，且，求的度数． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可得，，结合已知得出，则，进而得出，根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型2.利用菱形的性质求线段长 1．菱形的两条对角线长分别为和，则该菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理即可计算出边长． 【详解】解：菱形的两条对角线长分别为和， 菱形对角线互相垂直平分，可得两条对角线一半的长度分别为和， 边长为直角三角形的斜边，由勾股定理得边长为． 2．图，在菱形中，已知，交于点E，且，则线段的长为___________． 【答案】1 【分析】由菱形的性质得到，由，，利用勾股定理可求出，进而可得． 【详解】解：在菱形中，， ， 由，， ， ． 3．如图，在中，，为的中点，过点作于点，点在的延长线上，且，在的延长线上截取，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先利用“一组对边平行且相等”证明四边形是平行四边形，再通过“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”分别证明和都等于的一半，从而得到，最后根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”完成证明即可； （2）先在中利用勾股定理求出斜边的长度，再根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”求出菱形的边长，最后利用“菱形周长边长”即可计算出四边形的周长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴，即， 在中，，是中点， ∴， 在中，是中点， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：在中，，， ∴， ∵是中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形的周长． 题型3.利用菱形的性质求面积 1．如图，某地面砖图案是一个菱形，已知两条对角线长分别为2和，则该菱形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的面积等于两条对角线长之积的一半，即可求解． 【详解】解：∵两条对角线长分别为2和， ∴该菱形的面积为． 2．如图，已知菱形的对角线与相交于点O，的长为，与长度的比为，则菱形的面积是______． 【答案】/24平方厘米 【分析】先根据菱形的性质求出，再根据与长度的比为求出，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【详解】解：∵菱形，的长为， ∴， ∵与长度的比为， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 3．如图，在菱形中，，垂足为点，点、分别为边、的中点，连接，若，，求菱形的面积． 【答案】120 【分析】连接，交于点，易得是的中位线，则，，由斜边的中线为得到，在中利用勾股定理求出，则，由此可求得菱形的面积为120． 【详解】解：连接，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点、分别为边、的中点， ∴是的中位线， ∴，则， ∵，点为边的中点， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴菱形的面积为． 题型4.利用菱形的性质证明 1．下列性质中菱形具有而矩形不具有的是（   ） A．对角线互相平分B．对角线相等 C．四条边都相等 D．对边平行 【答案】C 【分析】本题考查矩形与菱形的性质，根据两种图形的基本性质逐一判断选项即可求解. 【详解】解：∵矩形和菱形都是特殊的平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，对边平行， ∴选项A、D是矩形和菱形都具有的性质， ∵对角线相等是矩形具有而菱形不具有的性质，不符合题目要求，排除B， ∵菱形的四条边都相等，矩形仅对边相等，邻边不一定相等， ∴四条边都相等是菱形具有而矩形不具有的性质，C符合题意． 2．如图，在菱形中，，E为上的动点，，且，若的最小值为，则菱形的边长是______． 【答案】 【分析】过点作，作点关于的对称点，连接交于点，延长交于点，设交点为点，证明四边形是矩形，四边形是平行四边形，四边形是矩形，设，则，由对称的性质得，，求出，，当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即，利用勾股定理求出的值，即可求解． 【详解】解：过点作，作点关于的对称点，连接交于点，延长交于点，设交点为点， 在菱形中，，即， ∵， ∴，即， 由对称的性质得，即， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，，即， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 由对称的性质得，， ∴， ∴，， 当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴，即菱形的边长是． 3．如图，在菱形中，点，分别在边，上，且，连接，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由菱形的性质得，根据可证明； （2）由全等三角形的性质得，由菱形的性质得，再根据三角形外角的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， 又， ∴； （2）解：∵， ∴， 又四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型5.添一条件使四边形是菱形 1．如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定方法，有一个角为直角的平行四边形为矩形，对角线相等的平行四边形为矩形，进行逐项分析即可判断． 【详解】解：A、根据一个角为直角的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； B、根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； C、在中，可以得到，根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； D、根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，可以得到为菱形，不能判定为矩形，符合题意． 2．如图，四边形的对角线，相交于点，，且，若______，四边形是菱形，从①，②平分，③．这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立． 【答案】② 【分析】由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形，， 选②， 平分， ， ， ， 四边形是菱形． 3．已知：如图，四边形为平行四边形，为的一条对角线． (1)（多选题）若添加一个条件，使得为菱形，这个条件可以是（   ） A．        B． C．为的角平分线    D． (2)用尺规作图，作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接、，求证：四边形为菱形． 【答案】(1)ACD (2)见解析 【分析】（1）根据菱形的判定定理分析即可； （2）根据题意即可作图，由线段的垂直平分线的性质得到，然后证明，则，即可通过四边相等的四边形是菱形证明． 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形， 当时，是菱形，故A符合题意； 当时，四边形是矩形，故B不符合题意； 当为的角平分线时， 则， 因为中，， 所以， 所以， 所以， 所以是菱形，故C符合题意； 当时，是菱形，故D符合题意． （2）解：如图即为所求， 证明：∵垂直平分， ∴，， ∵平行四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 题型6证明四边形是菱形 1．检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，可用的方法是（    ） A．测量两条对角线是否相等 B．测量门框的一组邻边是否相等 C．测量两条对角线是否互相平分 D．用曲尺测量两条对角线是否互相垂直 【答案】A 【分析】已知门框四边形两组对边分别相等，可先判定该四边形是平行四边形，再结合平行四边形判定矩形的判定定理判断各选项即可． 【详解】解：∵四边形两组对边分别相等， ∴该四边形是平行四边形． 对各选项逐一判断 A、根据矩形判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意； C、平行四边形的对角线本来就互相平分，不符合题意； D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不符合题意． 2．如图，在中，对角线，相交于点O，已知，，当____ 时，四边形是菱形． 【答案】5 【分析】菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形． 【详解】解：当时，四边形是菱形，理由如下： 四边形是平行四边形，，， ， ， 又， ， 是直角三角形，且． ， 平行四边形是菱形． 3．如图，在中，为的中点，为线段的中点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)若，求证：四边形是矩形； (2)要使四边形为菱形，需要_________°． 【答案】(1)见解析 (2)90 【分析】（1）证明，得出，证明四边形为平行四边形，再根据等腰三角形的性质得出，即可证明四边形为矩形； （2）先证明四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，得出，根据平行线的性质得出，从而证明，即可得出四边形为菱形． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； （2）解：当时，四边形为菱形； 连接，交于点O，如图所示： ∵， ∴，， ∵为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 题型7.利用菱形的性质与判定求角度 1．小馨同学按如下步骤作四边形；（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；（3）分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：作图可得， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，是的角平分线，交于，交于．且交于，则_____度． 【答案】 【分析】先根据平行四边形的判定定理得出四边形为平行四边形，再根据平行线的性质及角平分线的性质得出，故可得出为菱形，根据菱形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图：   ，， 四边形为平行四边形， ，， 是的角平分线， ， ， 为菱形． ，即． 3．如图，已知：在中，是对角线，，是上一点，连接． (1)将图补充完整（不写作法，不需保留作图痕迹）； (2)当时，求与的面积比． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作线段的垂直平分线及性质，菱形的证明与性质，直角三角形的性质． （1）作线段的垂直平分线交于点，连接即可； （2）证明是菱形，，得到，进而得到，由，结合菱形的性质推出，利用直角三角形的性质得到，进而得到，由，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）解：如图，连接，设的垂直平分线交于点， ∵中，， ∴是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与的面积比为． 题型8.利用菱形的性质与判定求线段长 1．如图，平行四边形的对角线交于点平分交于点，点E是上一点，且，连接，下列结论：；；；，成立的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先证明，得到四边形是菱形，利用菱形的性质，三角形中位线求解即可； 【详解】解：平行四边形的对角线交于点 ， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 四边形是菱形， ，， 故， 故正确； ； 故错误； ， 故正确； ， ， 故正确； 2．如图，在中，点D是边上一点，过点D分别作交于点E，交于点F，与相交于点O，若平分，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】先证四边形是平行四边形，再通过等角对等边证，再证明平行四边形是菱形；进一步根据等边三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴． 3．在矩形纸片中，． (1)如图1，将矩形纸片折叠，使点与点重合，求出的长． (2)如图2，将矩形纸片折叠，使点与点的中点重合，求出的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，，证明四边形为菱形，设，在中，利用勾股定理进行求解即可； （2）连接，根据折叠的性质，得到，设，则，在和中，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，， ∵折叠， ∴垂直平分，， ∴ ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形为菱形， 设，则， 在中，， ∴； 故； （2）解：连接， ∵折叠， ∴垂直平分， ∴， ∵矩形， ∴， 设，则， ∵为的中点， ∴， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ∵， ∴，解得， ∴． 题型9.利用菱形的性质与判定求面积 1．如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，则四边形的面积为（    ）    A．2 B．12 C．5 D．6 【答案】B 【分析】此题考查了矩形的折叠、菱形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．先证四边形为菱形，由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到答案． 【详解】解：由折叠知，，且与互相平分， 四边形为菱形， ， 四边形的面积为， 故选B． 2．今年3月，为庆祝建校80周年，传承我校红色基因，学生会用一段矩形绸缎设计制作了一条红丝带，承载着师生对母校的美好祝福和深厚情谊，如图所示，矩形的宽为，中间重叠的部分（四边形）绘制校徽，若，则重叠部分图形的面积是______． 【答案】 【分析】过点B作于点E，过点D作于点F，依题意得，则四边形是平行四边形，得，再根据勾股定理，进而得平行四边形是菱形，然后根据菱形的面积公式即可得出重叠部分图形的面积． 【详解】解：过点B作于点E，过点D作于点F，如图所示： 依题意得：， 四边形是平行四边形， 红丝带宽为， ， ， 和都是等腰直角三角形， ，， 在中，由勾股定理得：， 同理：， ， 平行四边形是菱形， 重叠部分图形的面积是：． 3．已知点是内一点，连接，． (1)当点在对角线上． ①如图1，若的面积为，的面积为，求的面积； ②如图2，若，，，求平行四边形的周长； (2)如图3，对角线与相交于点，点不在对角线上，连接，，与交于点，与交于点．求证：． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】（1）①如图1，过点作于点，过点作于点，证明，得出，进而得出，根据，即可求解； ②如图2，连接交于点．证明是菱形．设，则．由勾股定理，得，得出，再根据菱形的性质，即可求解； （2）如图3，连接．根据等底同高，得，，得出，进而得出结论． 【详解】（1）解：①如图1，过点作于点，过点作于点． ∴． ∵四边形是平行四边形，，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵，，， ∴． ∵，∴， ∴． ②如图2，连接交于点． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即． ∴是菱形． ∴，， ∴． 设，则． 由勾股定理，得， ∴，解得， ∴． ∴菱形的周长． （2）证明：如图3，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴，， 根据等底同高，得，， ∴， ∴， ∴． 分层精练 一、单选题 1．四边形是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据平行四边形的性质，结合菱形、矩形的判定定理，对各个选项逐一判断即可得到答案. 【详解】∵四边形是平行四边形. 对于选项A. ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，不能判定为菱形，A不符合题意. 对于选项B. 无法推出平行四边形满足菱形的判定条件，不能判定为菱形，B不符合题意. 对于选项C. ∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是菱形，C符合题意. 对于选项D. ∵对角线相等的平行四边形是矩形，四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是矩形，不能判定为菱形，D不符合题意. 综上，答案选C. 2．菱形的两条对角线长分别为10和14，则该菱形的边长为（    ） A．70 B．71 C． D． 【答案】C 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理即可计算出菱形的边长． 【详解】解：∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴两条对角线的一半长分别为 5，7， 菱形的边长为以这两段为直角边的直角三角形的斜边， 根据勾股定理，可得边长为． 3．如图，菱形的对角线、相交于点，点、分别为、的中点，连接、、、，若四边形的周长为，，则菱形的边长为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】先证明四边形是菱形得到，再用勾股定理求出，从而求得，再用勾股定理求即可． 【详解】∵菱形的对角线、相交于点， ∴， 又∵点、分别为、的中点， ∴， 又∵即， ∴四边形是菱形， 又∵四边形的周长为，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即菱形的边长为． 二、填空题 4．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，为垂足，连接，则等于___________． 【答案】 【分析】先连接，再根据菱形的性质和线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，得出，最后根据全等三角形的判定和性质，得出，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形，， ，． 垂直平分， ， ， ． ，，， ， ， ． 5．中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．小美家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形中国结装饰的面积是____． 【答案】96 【分析】根据菱形的性质得出直角三角形以及对角线的数量关系，利用勾股定理求出对角线长度，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， 由勾股定理得， ∴， ∴该菱形的面积是． 6．如图，在菱形纸片中，点E在边上，将菱形沿折叠，点A、B分别落在，处，，垂足为F．若，，则________，______． 【答案】 /30度 【分析】根据菱形的性质得到，结合折叠得到，，，根据三角函数得到，，结合角度关系得到，进而可求出的度数，证明．在中，求出，得出，在中，求出，进而得出即可求解． 【详解】解：如图，∵四边形是菱形，，， ∴，， ， ∵菱形沿折叠，点A、B分别落在、处， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴． 在中，， ∴， ∴， 在中，， ， ∴， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查菱形性质，折叠的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 三、解答题 7．如图，在矩形中，点，分别在边、上，是四边形对角线的交点，且，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用矩形的性质可得，，，进而可证明，则，，结合，命题得证； （2）设，则，在中，利用勾股定理构造方程，求出的值后，计算面积即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：设，则， ∵四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 8．我们知道：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．如图1，在中，点D，E分别是的中点，求证：，且． (1)下面是小高给出的一种证明思路：如图2，过点C作的平行线交的延长线于点F……请根据小高的思路证明上述命题； (2)如图3，在四边形中，点E，F分别是的中点，点G，H分别是的中点，连接，，，，则的度数为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点C作的平行线交的延长线于点F，先证明，然后证明四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）根据三角形中位线定理和平行线的性质证明四边形是菱形，根据角之间的关系即可得到答案． 【详解】（1）证明：过点C作的平行线交的延长线于点F，即， ∴， ∵E是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，； （2）解：∴ ∴， ∵点E，F分别是的中点，点G，H分别是的中点， ∴， ∴，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴ 9．在中，，为的中点，过点作．为上的一点，且，连接，． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，为的中点，得到，结合，得到，证明四边形是平行四边形即可； （2）先证明四边形是菱形．根据勾股定理，结合菱形的面积是：，解答即可． 本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． ∴ ∵，， ∴， ∴菱形的面积是：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $