专题06 第8章 平面向量（9考点清单，知识导图+10个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020必修第二册）

清单06 第8章 平面向量 （9个考点梳理+10题型解读+提升训练） 清单01 平面向量基本概念 （1）向量 在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量. （2）向量的表示 ①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. ②字母表示:向量可以用字母,,,…表示 （3）两种特殊的向量 零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作. 单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量 (4)平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量与平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有. (5)相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 清单02 平面向量线性运算 知识点01：向量的加法法则 （1）向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连） 已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. （2）向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线） 已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 知识点02：向量的减法法则 已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示 如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. 清单03 平面向量共线定理 知识点01：向量共线定理 （1）内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. （2）向量共线定理的注意问题： ①定理的运用过程中要特别注意． 特别地，若，实数仍存在，但不唯一． 知识点02：三点共线等价形式： （，为实数），若，，三点共线 清单04 平面向量平行垂直的坐标表示 已知非零向量， （1）． （2） 清单05平面向量数量积 平面向量数量积的概念 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积). 记作：，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0 （2）平面向量数量积的坐标表示 在平面直角坐标系中，设，分别是轴，轴上的单位向量．向量分别等价于，，根据向量数量积的运算，有：由于，为正交单位向量，故，，，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 清单06 极化恒等式法求数量积最值（范围） 知识点01：极化恒等式 恒等式右边有很直观的几何意义: 向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系 如图在平行四边形 中, 则 在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说: 清单07 向量的模 向量模的坐标表示 若向量，由于，所以． 清单08 向量的夹角 已知非零向量，是与的夹角，则． 清单09向量投影 如图,设,是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量. 特别提醒: ①为向量在上的投影的数量； ②为向量在上的投影的数量； ③投影的数量（）是一个值，不是向量. 【考点题型一】平面向量基本概念（） 【例1】（24-25高一下·上海青浦·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 【变式1-1】.（24-25高一上·上海·单元测试）在四边形中，若，且，则四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【变式1-2】.（23-24高一下·上海·期中）已知、均为非零向量，有下列三个命题： ①若m为任意实数，则是的充分非必要条件； ②已知、为两个不平行向量，则是的必要非充分条件； ③“”是“”的既非充分也非必要条件. 其中命题正确的个数（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-3】.（23-24高一下·上海黄浦·阶段练习）以下命题中正确的命题的为（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若单位向量，共线，则 D．若，则 【变式1-4】（24-25高三上·上海松江·期中）已知点，，则向量的单位向量为 . 【考点题型二】平面向量线性运算（） 【例2】（24-25高一下·上海·期中）在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点， ，则 . 【变式2-1】.（24-25高一上·上海·开学考试）如图，点是的重心，过点且平行于，点、分别在、上，设，，那么 ．（用、表示）    【变式2-2】.（23-24高一·上海·课堂例题）已知平行四边形ABCD，设向量，．试用、表示下列向量： (1)； (2)． 【变式2-3】.（24-25高一下·上海·期中）在中，，点满足：． (1)若，求与的值； (2)若，求角的值． 【考点题型三】平面向量共线定理（） 【例3】（24-25高一下·上海宝山·期中）设 是平面上两个不共线的向量， ，若 三点共线，则 的值为 【变式3-1】.（23-24高二下·上海浦东新·期中）若三点、、共线，则的值为 ． 【变式3-2】.（24-25高一上·上海·课前预习）设、是两个不平行的向量，则向量（）与向量平行的充要条件是 ． 【变式3-3】.（24-25高二·上海·课堂例题）设、是平面内不共线的向量，已知，，，若A、B、D三点共线，则实数 ． 【变式3-4】.（23-24高一·上海·课堂例题）已知平面上、、三点的坐标分别为、、，求、、的坐标，并证明、、三点共线． 【考点题型四】平面向量平行，垂直的坐标表示（） 【例4】（24-25高一下·上海普陀·期中）已知向量，. (1)若，求实数的值； (2)若，求向量与的夹角. 【变式4-1】.（24-25高一下·上海·期中）已知，．若，则的值是 ． 【变式4-2】.（24-25高一下·上海宝山·期中）平面内给定三个向量 ， (1)求向量在上的投影向量的坐标 (2)若，求实数. 【变式4-3】.（24-25高一下·上海·期中）已知 ， (1)求 和 ； (2)已知 ，且 ，求实数的值. 【变式4-4】.（24-25高一下·上海普陀·期中）已知向量，满足，，． (1)求； (2)设，若，求的值． 【考点题型五】平面向量数量积（含最值，范围）（） 【例5】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知是边长为6的等边三角形，M是的内切圆上一动点，则的最小值为 ． 【变式5-1】.（23-24高一下·上海·期末）如图，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形的边长为1，则（  ）. A．0 B． C． D． 【变式5-2】.（24-25高三上·上海·期中）在中，是边的中点.若，，，则 . 【变式5-3】.（23-24高三下·上海杨浦·阶段练习）已知定点，圆，M，N为上的动点，满足，则的取值范围为 . 【变式5-4】.（24-25高一上·上海·课堂例题）在矩形中，，．边上的动点P（包含点D、C）与延长线上的动点Q（包含点B）满足，求的最小值． 【考点题型六】向量的模（含最值，范围）（） 【例6】（23-24高一·上海·课堂例题）已知平面上三点A、B、C的坐标分别是、、，P为直线AC上的一动点，问：P在什么位置时，取到最小值？ 【变式6-1】.（24-25高一下·上海·期中）若非零向量满足，，则 ． 【变式6-2】.（24-25高一下·上海青浦·期中）已知平面向量满足.，且，则 . 【变式6-3】.（24-25高一下·上海普陀·期中）已知平面向量，，满足，且，则的最大值为 ． 【考点题型七】向量的夹角（） 【例7】（24-25高二上·上海·期中）已知单位向量与的夹角为，向量与的夹角为，则 . 【变式7-1】.（24-25高二上·上海·期中）已知向量满足，且，则与的夹角为 . 【变式7-2】.（24-25高三上·上海·开学考试）已知向量、满足，且在上的数量投影为，则 【变式7-3】.（24-25高二上·上海·开学考试）已知向量，满足，则，的夹角为 ． 【变式7-4】.（24-25高一下·上海·期中）已知两个不共线的平面向量，记. (1)若，求的值. (2)若时，，求的夹角. 【考点题型八】根据两个向量成锐角或钝角，求参数（） 【例8】（24-25高一下·上海·阶段练习）已知向量与的夹角为，，． (1)求； (2)若向量与夹角为锐角，求实数的取值范围． 【变式8-1】.（山东省泰安市2024-2025学年高三下学期二轮检测数学试题）已知平面向量，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】.（23-24高二上·上海黄浦）已知，如果与的夹角为钝角，则的取值范围是 . 【变式8-3】.（24-25高一下·湖北·期中）已知，，且． (1)求与的夹角． (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【考点题型九】投影向量（） 【例9】（24-25高一下·上海·期中）已知，，则在方向上的投影向量为 ．（用坐标表示） 【变式9-1】.（24-25高一下·上海·期中）已知，若，则在方向上的数量投影为 . 【变式9-2】.（24-25高三上·上海·阶段练习）已知平面向量，，则在方向上的投影坐标为 . 【变式9-3】.（24-25高三上·上海金山·阶段练习）已知两个非零向量，满足，则向量在向量方向上的投影向量为 . 【变式9-4】（24-25高三上·上海·期中）已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为 ． 【考点题型十】新定义题（） 【例10】（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）两个向量的运算“”:，其中是的夹角.若，则 . 【变式10-1】.（23-24高二上·上海·课后作业）如果向量与的夹角为.定义：“”表示一个向量，它的大小是.若，，，则 . 【变式10-2】.（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）如图，在平面斜坐标系中，，平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若（其中分别是轴，轴正方向的单位向量），则点的斜坐标为，且向量的斜坐标为.给出以下结论，其中所有正确的结论的序号是 ①若，，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则 提升训练 一、填空题 1．（24-25高一下·上海·期中）已知向量 在向量 方向上的投影向量为 ，且 ，则 (结果用数值表示) 2．（24-25高一下·上海·期中）已知，则向量在向量的方向上的投影向量为 3．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知向量，，若，则 . 4．（24-25高一下·上海·期中）若，，是非零向量，则下列命题中真命题是 ．（填写序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则． 5．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知，若与夹角为锐角，则的取值范围为 . 6．（24-25高一下·上海·期中）设 、 为夹角为 的单位向量，求 . 7．（24-25高一下·上海·期中）如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点若，则= 8．（24-25高一下·上海·期中）题目“已知圆上有两点，且 ，求的值．”的横线处缺少条件．下列说法正确的是 ．（填写序号） ①在横线处补上条件“”后，题目可以求解； ②在横线处补上条件“”后，题目可以求解； ③在横线处补上条件“”后，题目可以求解． 9．（24-25高一下·上海宝山·期中）“向量” 一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.已知平面向量 为单位向量， .若平面向量 满足 ，则 的最大值是 . 10．（24-25高三下·上海浦东新·阶段练习）已知与为单位向量，且满足，则与的夹角 . 二、单选题 11．（24-25高一下·上海·期中）已知，，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·上海杨浦·二模）已知、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为（    ）. A． B． C． D． 13．（24-25高一下·上海·期中）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则以下命题正确的个数是（   ） ①与能构成一组基底；②； ③在向量上的投影向量为 ④若P在线段BC（包括端点）上，且，则取值范围 A．1 B．2 C．3 D．4 14．（23-24高一下·上海·期末）已知向量，满足，，，则下列四个命题中，正确命题的个数是（    ）． ①若，则的最小值为； ②若，则存在唯一的y，使得； ③若，则的最小值为； ④若，则的最小值为． A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题 15．（24-25高一下·上海青浦·期中）已知. (1)求在方向上的投影向量； (2)若，求实数的值； 16．（24-25高二上·上海·阶段练习）十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔・德・费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小．在费马提出的这个问题中所求的点被称为费马点，其答案如下：当三角形的三个角均小于时，费马点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，费马点为三角形最大内角的顶点． 已知中，，，分别是角，，所对的边，且，． (1)求角的大小； (2)若点为的费马点，求的值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单06 第8章 平面向量 （9个考点梳理+10题型解读+提升训练） 清单01 平面向量基本概念 （1）向量 在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量. （2）向量的表示 ①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. ②字母表示:向量可以用字母,,,…表示 （3）两种特殊的向量 零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作. 单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量 (4)平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量与平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有. (5)相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 清单02 平面向量线性运算 知识点01：向量的加法法则 （1）向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连） 已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. （2）向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线） 已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 知识点02：向量的减法法则 已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示 如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. 清单03 平面向量共线定理 知识点01：向量共线定理 （1）内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. （2）向量共线定理的注意问题： ①定理的运用过程中要特别注意． 特别地，若，实数仍存在，但不唯一． 知识点02：三点共线等价形式： （，为实数），若，，三点共线 清单04 平面向量平行垂直的坐标表示 已知非零向量， （1）． （2） 清单05平面向量数量积 平面向量数量积的概念 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积). 记作：，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0 （2）平面向量数量积的坐标表示 在平面直角坐标系中，设，分别是轴，轴上的单位向量．向量分别等价于，，根据向量数量积的运算，有：由于，为正交单位向量，故，，，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 清单06 极化恒等式法求数量积最值（范围） 知识点01：极化恒等式 恒等式右边有很直观的几何意义: 向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系 如图在平行四边形 中, 则 在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说: 清单07 向量的模 向量模的坐标表示 若向量，由于，所以． 清单08 向量的夹角 已知非零向量，是与的夹角，则． 清单09向量投影 如图,设,是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量. 特别提醒: ①为向量在上的投影的数量； ②为向量在上的投影的数量； ③投影的数量（）是一个值，不是向量. 【考点题型一】平面向量基本概念（） 【例1】（24-25高一下·上海青浦·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】平行向量（共线向量）、数量积的运算律、相等向量 【详解】向量为矢量，既有大小又有方向，不等比较大小，故A错误； 对于B，向量的数量积运算不满足结合律， 例如.，则， ，所以.B错误； 当时，向量不一定共线，故C错误. 相等向量的方向与大小都相同，所以也共线，也具有传递性，故D正确； 故选：D. 【变式1-1】.（24-25高一上·上海·单元测试）在四边形中，若，且，则四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】C 【知识点】相等向量、向量在几何中的其他应用、垂直关系的向量表示 【分析】根据向量相等得到四边形为平行四边形，再由得到，即可得解. 【详解】四边形中，所以且，所以四边形为平行四边形， 又，所以，即，所以平行四边形为矩形. 故选：C 【变式1-2】.（23-24高一下·上海·期中）已知、均为非零向量，有下列三个命题： ①若m为任意实数，则是的充分非必要条件； ②已知、为两个不平行向量，则是的必要非充分条件； ③“”是“”的既非充分也非必要条件. 其中命题正确的个数（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】平行向量（共线向量）、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据题意，由共线向量与相等向量的定义，结合充分性以及必要性的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于①，若，则，故充分性满足，若，则， 即或，故必要性不满足，即是的充分非必要条件，故①正确； 对于②，若、为两个不平行向量，则由可得，故充分性满足， 若，则成立，故必要性满足， 所以是的充要条件，故②错误； 对于③，若，则同向或反向，所以不一定成立，故充分性不满足， 若可得同向，即，故必要性满足， 所以“”是“”的必要不充分条件，故③错误； 故选：B 【变式1-3】.（23-24高一下·上海黄浦·阶段练习）以下命题中正确的命题的为（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若单位向量，共线，则 D．若，则 【答案】A 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析、平行向量（共线向量）、相等向量、零向量与单位向量 【分析】根据相等向量的定义即可判断A；根据共线向量的定义即可判断B；根据相等向量的定义及共线向量的定义即可判断C；根据数量积的定义即可判断D. 【详解】对于A，若，， 则的方向相同模相等，的方向相同模相等， 所以的方向相同模相等，所以，故A正确； 对于B，当时，则的方向不能确定， 所以不能确定的方向，所以不能判断是否平行，故B错误； 对于C，若单位向量，共线， 则的方向相同或相反，所以为相等向量或相反向量，故C错误； 对于D，当时，， 此时无法判断是否相等，故D错误. 故选：A. 【变式1-4】（24-25高三上·上海松江·期中）已知点，，则向量的单位向量为 . 【答案】 【知识点】零向量与单位向量、坐标计算向量的模 【分析】首先求出，，即可求出向量的单位向量. 【详解】因为，， 所以，所以， 所以向量的单位向量为. 故答案为： 【考点题型二】平面向量线性运算（） 【例2】（24-25高一下·上海·期中）在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点， ，则 . 【答案】 【知识点】用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数、向量加法的法则 【分析】根据平面向量共线定理及加法的三角形法则得到向量的表达式，再由平面向量基本定理得到的值，即可求出的值. 【详解】 如图，在平行四边形中， 因为为边上靠近点的三等分点， 所以， 所以， 所以，即. 故答案为： 【变式2-1】.（24-25高一上·上海·开学考试）如图，点是的重心，过点且平行于，点、分别在、上，设，，那么 ．（用、表示）    【答案】 【知识点】向量数乘的有关计算、用基底表示向量 【分析】先根据三角形重心的性质（重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1），求得与的数量关系，然后根据，可得与、的数量关系． 【详解】解，连接，并延长交于点，    ∵，∴， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】.（23-24高一·上海·课堂例题）已知平行四边形ABCD，设向量，．试用、表示下列向量： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】用基底表示向量、向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】（1）（2）利用平行四边形法则与三角形法则用表达，，逆向求解即得； 【详解】（1） 如图，， ， 联立，解得. （2）由（1）可得. 【变式2-3】.（24-25高一下·上海·期中）在中，，点满足：． (1)若，求与的值； (2)若，求角的值． 【答案】(1)，； (2)． 【知识点】用基底表示向量、用定义求向量的数量积、向量的线性运算的几何应用、数量积的运算律 【分析】（１）需要根据已知条件将和用与表示出来，然后通过向量相等求出与的值；（２）在第一问的基础上，利用向量数量积公式进行化简，进而求出角的值． 【详解】（1）由可得，那么． 因为，且，所以． 又因为． 则． 已知，根据向量相等的定义，可得，． （2）由（1）可知，． 因为，所以． 展开左边可得： - 则． - 移项可得，两边同时乘以得． - 设，因为，所以． - 根据向量数量积公式，将，代入可得： ，即，化简得． - 因为，两边同时除以得，解得． - 又因为，所以． 【考点题型三】平面向量共线定理（） 【例3】（24-25高一下·上海宝山·期中）设 是平面上两个不共线的向量， ，若 三点共线，则 的值为 【答案】/ 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【分析】利用平面向量共线定理，结合向量的线性运算即可求解. 【详解】由三点共线，可得， 即， 则代入已知条件得： 整理得：， 因为 是平面上两个不共线的向量， 根据平面向量基本定理可得：， 解得，， 故答案为：. 【变式3-1】.（23-24高二下·上海浦东新·期中）若三点、、共线，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】由已知结合三点共线与向量共线转化关系及向量共线定理即可求解． 【详解】因为三点、、共线， 又，， 所以， 所以， 所以． 故答案为： 【变式3-2】.（24-25高一上·上海·课前预习）设、是两个不平行的向量，则向量（）与向量平行的充要条件是 ． 【答案】 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、平行向量（共线向量）、平面向量的混合运算 【分析】运用向量平行的结论可解. 【详解】设、是两个不平行的向量，则向量（）与向量平行， 则，即，即，解得. 故答案为：. 【变式3-3】.（24-25高二·上海·课堂例题）设、是平面内不共线的向量，已知，，，若A、B、D三点共线，则实数 ． 【答案】 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】利用空间向量平行的坐标结论可解. 【详解】,,则， 若A、B、D三点共线，则存在唯一，使得. 即，即，解得. 故答案为：. 【变式3-4】.（23-24高一·上海·课堂例题）已知平面上、、三点的坐标分别为、、，求、、的坐标，并证明、、三点共线． 【答案】，、，证明见解析 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、用坐标表示平面向量 【分析】根据平面向量的坐标表示表示出、、，再由，即可证明三点共线. 【详解】因为、、， 所以，，， 因为，所以，又直线与直线有公共点， 所以、、三点共线. 【考点题型四】平面向量平行，垂直的坐标表示（） 【例4】（24-25高一下·上海普陀·期中）已知向量，. (1)若，求实数的值； (2)若，求向量与的夹角. 【答案】(1) (2)向量与的夹角为 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算、平面向量线性运算的坐标表示、向量垂直的坐标表示 【分析】（1）根据向量坐标运算公式求，结合向量平行的坐标表示列方程求. （2）根据坐标运算公式求，再根据向量垂直的坐标表示列方程求，利用向量夹角公式求向量与的夹角余弦，由此可得结论. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为， 所以， 所以， （2）因为，， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以， 设向量与的夹角为， 则， 又， 所以. 所以向量与的夹角为. 【变式4-1】.（24-25高一下·上海·期中）已知，．若，则的值是 ． 【答案】6 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量共线得到方程，解出即可. 【详解】因为，则，解得. 故答案为：6. 【变式4-2】.（24-25高一下·上海宝山·期中）平面内给定三个向量 ， (1)求向量在上的投影向量的坐标 (2)若，求实数. 【答案】(1) (2) 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、求投影向量 【分析】（1）根据投影向量的运算公式结合向量的坐标运算求解即可； （2）根据向量坐标的线性运算与平行向量的坐标关系列方程求解即可得实数的值. 【详解】（1）因为 所以向量在 上的投影向量为； （2）因为，， 又，所以，解得. 【变式4-3】.（24-25高一下·上海·期中）已知 ， (1)求 和 ； (2)已知 ，且 ，求实数的值. 【答案】(1)； (2) 【知识点】向量夹角的计算、垂直关系的向量表示、已知数量积求模 【分析】（1）向量的模，可根据向量模的计算公式求解；向量的夹角可通过向量的数量积公式计算； （2）向量垂直则根据向量垂直的性质来确定实数的值. 【详解】（1）根据向量模的计算公式，. 已知，，所以. 再根据向量模的计算公式求出. 然后根据向量的夹角公式可得. 因为两向量夹角的范围是，所以. （2）已知，，，则. 因为，根据向量垂直的性质，所以. 即，解得. 【变式4-4】.（24-25高一下·上海普陀·期中）已知向量，满足，，． (1)求； (2)设，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、用定义求向量的数量积、垂直关系的向量表示 【分析】（1）利用数量积的定义求出，再利用数量积的运算律求解. （2）利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律列式计算. 【详解】（1）由，，，得， 所以. （2）由，得， 则，即，所以. 【考点题型五】平面向量数量积（含最值，范围）（） 【例5】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知是边长为6的等边三角形，M是的内切圆上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】辅助角公式、数量积的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，设的坐标，由平面向量数量积的坐标和三角函数的有界性计算即可求得． 【详解】以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的中垂线所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 因为等边的边长为6， 所以的内切圆圆心在上，半径， 则，，，，， 所以，， 所以， 所以当时，取得最小值． 故答案为：． 【变式5-1】.（23-24高一下·上海·期末）如图，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形的边长为1，则（  ）. A．0 B． C． D． 【答案】D 【知识点】数量积的运算律、用基底表示向量、用定义求向量的数量积、向量的线性运算的几何应用 【分析】通过作辅助线，将相关向量线性表示出来，再利用数量积定义式和运算律计算即得. 【详解】 如图，连接，延长交于点，延长交于点. 则由题意和图形的对称性，可知， 且，， 由题意可知， . 故选：D. 【变式5-2】.（24-25高三上·上海·期中）在中，是边的中点.若，，，则 . 【答案】 【知识点】用基底表示向量、用定义求向量的数量积、余弦定理解三角形 【分析】先由余弦定理计算出的余弦值，从而得到，的数量积，再根据平面向量基本定理将分解为，代入结合平面向量的计算即可求得答案. 【详解】如图所示， 由题意得，因为，，， 所以由余弦定理，线段AB与AC的夹角余弦值为：， 所以， 又D是BC中点，所以， 所以. 故答案为：. 【变式5-3】.（23-24高三下·上海杨浦·阶段练习）已知定点，圆，M，N为上的动点，满足，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】根据垂径定理，可知弦MN的中点P满足，从而利用圆的定义求得点P的轨迹方程，再利用数量积的运算律得，从而利用点圆圆的位置关系求得，即可得解. 【详解】   设MN的中点为P，则，所以， 由圆的定义知，点P的轨迹为以O为圆心，1为半径的圆，其方程为， 所以， 又，点P在圆上运动，所以，所以. 故答案为： 【变式5-4】.（24-25高一上·上海·课堂例题）在矩形中，，．边上的动点P（包含点D、C）与延长线上的动点Q（包含点B）满足，求的最小值． 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、向量在几何中的其他应用 【分析】以A为坐标原点，分别以、所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设，，则由题意可得，表示出化简后利用二次函数的性质可求得结果. 【详解】以A为坐标原点，分别以、所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则， 设，，由题意知，，． 因为，所以，所以． 因为，， 所以 ， 所以当时，取得最小值为． 【考点题型六】向量的模（含最值，范围）（） 【例6】（23-24高一·上海·课堂例题）已知平面上三点A、B、C的坐标分别是、、，P为直线AC上的一动点，问：P在什么位置时，取到最小值？ 【答案】当时，取到最小值，且 【知识点】利用向量垂直求参数、由向量共线（平行）求参数 【分析】当时，取到最小值，设，利用、求出可得答案. 【详解】当时，取到最小值， 设，则，， 则，① 又因为，所以，② 由①②解得， 所以，解得， 所以当时，取到最小值， 此时. 【变式6-1】.（24-25高一下·上海·期中）若非零向量满足，，则 ． 【答案】 【知识点】数量积的运算律、已知模求参数 【分析】首先可得，再将两边平方计算可得. 【详解】因为，所以， 又，所以， 即，即，解得（负值舍去）； 故答案为： 【变式6-2】.（24-25高一下·上海青浦·期中）已知平面向量满足.，且，则 . 【答案】2 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】由得，根据即可求解. 【详解】因为，所以，即. 因为.所以. 又. 所以. 故答案为：2. 【变式6-3】.（24-25高一下·上海普陀·期中）已知平面向量，，满足，且，则的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】记，分，，三种情况计算可求最大值. 【详解】因为，所以，记， 当，则， 此时，，当且仅当共线同向时取等号； 当，则， 此时，，当且仅当共线同向时取等号； 当，则， 此时，，当且仅当共线同向时取等号； 所以的最大值为. 故答案为：. 【考点题型七】向量的夹角（） 【例7】（24-25高二上·上海·期中）已知单位向量与的夹角为，向量与的夹角为，则 . 【答案】 【知识点】向量夹角的计算 【分析】由向量夹角公式代入即可求解. 【详解】因为向量与的夹角为，所以， 所以 所以 故答案为： 【变式7-1】.（24-25高二上·上海·期中）已知向量满足，且，则与的夹角为 . 【答案】 【知识点】垂直关系的向量表示、数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】根据向量模长以及数量积的运算律计算可得与的夹角为. 【详解】由向量满足，且， 设与的夹角为，， 可得， 求得，因此 故答案为：. 【变式7-2】.（24-25高三上·上海·开学考试）已知向量、满足，且在上的数量投影为，则 【答案】 【知识点】向量夹角的计算、数量积的运算律 【分析】根据投影数量可得，结合向量夹角公式运算求解. 【详解】因为在上的数量投影为， 则，解得， 可得， 且，所以. 故答案为：. 【变式7-3】.（24-25高二上·上海·开学考试）已知向量，满足，则，的夹角为 ． 【答案】 【知识点】向量夹角的计算、数量积的运算律 【分析】利用平面向量数量积公式及其运算律计算即可. 【详解】由题意可知：， ∴， . 故答案为： 【变式7-4】.（24-25高一下·上海·期中）已知两个不共线的平面向量，记. (1)若，求的值. (2)若时，，求的夹角. 【答案】(1) (2) 【知识点】向量夹角的计算、数量积的运算律、已知向量共线（平行）求参数 【分析】（1）由题意意可得，利用向量相等可求； （2）由，可求得，利用向量的夹角公式可求的夹角. 【详解】（1）因为，不共线，所以为非零向量，所以由可得存在，使得， 即， 所以，解得； （2）当时，，又， 所以， 又，所以，解得， 所以，又，所以， 所以的夹角为. 【考点题型八】根据两个向量成锐角或钝角，求参数（） 【例8】（24-25高一下·上海·阶段练习）已知向量与的夹角为，，． (1)求； (2)若向量与夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【知识点】已知数量积求模、向量夹角的计算 【分析】（1）通过求平方即可求解； （2）根据与的夹角为锐角，由且与的夹角不为求解； 【详解】（1）， 所以 （2）因为与的夹角为锐角， 所以且与的夹角不为． 首先， 因为， 所以，解得； 其次当时，由（1）得与的夹角为，所以， 所以的取值范围为． 【变式8-1】.（山东省泰安市2024-2025学年高三下学期二轮检测数学试题）已知平面向量，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示 【分析】根据向量夹角为钝角可得向量数量积为负数且不共线得解. 【详解】因为与的夹角为钝角， 所以，且， 解得且， 故选：D 【变式8-2】.（23-24高二上·上海黄浦）已知，如果与的夹角为钝角，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示 【分析】利用向量夹角为钝角可得其数量积小于零，且不共线，解不等式即可. 【详解】向量与的夹角为钝角，则， 解得或； 又向量与不共线，所以，解得且； 故所求的取值范围是. 故答案为： 【变式8-3】.（24-25高一下·湖北·期中）已知，，且． (1)求与的夹角． (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】（1）根据数量积的运算律展开已知化简得出.进而根据数量积的定义求解得出，结合夹角的范围即可得出答案； （2）由已知可得，且与的夹角不为，结合向量数量积的运算律以及向量共线的充要条件，即可得出答案. 【详解】（1）由已知展开可得， ， 化简可得，. 则由可得，. 又，所以. （2）. 则由可得，，解得. 若与共线，则，使得. 因为的任意性，所以有，解得. 时，与的夹角为， 所以，若与的夹角为钝角，则且， 所以，实数的取值范围为. 【考点题型九】投影向量（） 【例9】（24-25高一下·上海·期中）已知，，则在方向上的投影向量为 ．（用坐标表示） 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、求投影向量 【分析】首先求出，，再由在方向上的投影向量为计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以在方向上的投影向量为. 故答案为： 【变式9-1】.（24-25高一下·上海·期中）已知，若，则在方向上的数量投影为 . 【答案】 【知识点】求投影向量 【分析】由数量投影定义计算即可. 【详解】已知，， 则， 则在方向上的数量投影为. 故答案为：. 【变式9-2】.（24-25高三上·上海·阶段练习）已知平面向量，，则在方向上的投影坐标为 . 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、求投影向量 【分析】首先求出、，再根据在方向上的投影坐标为计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以在方向上的投影坐标为. 故答案为： 【变式9-3】.（24-25高三上·上海金山·阶段练习）已知两个非零向量，满足，则向量在向量方向上的投影向量为 . 【答案】 【知识点】向量的模、求投影向量 【分析】利用投影向量公式和数量积的运算即可求出结果. 【详解】因为两个非零向量，满足， 所以，即， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 故答案为：. 【变式9-4】（24-25高三上·上海·期中）已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为 ． 【答案】 【知识点】求投影向量 【分析】根据向量坐标求，利用投影向量公式求解即可. 【详解】∵, ∴, ∴， . 所以向量在向量上的投影向量为：. 故答案为：. 【考点题型十】新定义题（） 【例10】（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）两个向量的运算“”:，其中是的夹角.若，则 . 【答案】8 【知识点】向量夹角的计算、向量新定义、用定义求向量的数量积 【分析】利用向量数量积公式求出夹角的余弦值，再根据向量夹角的范围求出向量夹角的正弦值，最后利用定义计算即可. 【详解】设， 因为，， 所以， 所以， 又， 所以， 所以， 故答案为：8. 【变式10-1】.（23-24高二上·上海·课后作业）如果向量与的夹角为.定义：“”表示一个向量，它的大小是.若，，，则 . 【答案】 【知识点】向量新定义、用定义求向量的数量积 【分析】先由新的定义和求出向量与的夹角为，从而可求出. 【详解】解：因为， 所以， 因为，，所以 ，即， 因为，所以， 所以， 故答案为： 【点睛】此题考查对新定义的理解和运用，考查平面向量的数量积运算，考查运算能力，属于基础题. 【变式10-2】.（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）如图，在平面斜坐标系中，，平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若（其中分别是轴，轴正方向的单位向量），则点的斜坐标为，且向量的斜坐标为.给出以下结论，其中所有正确的结论的序号是 ①若，，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则 【答案】①②③ 【知识点】数量积的运算律、向量新定义、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据所给定义及平面向量线性运算法则判断②③，根据数量积的运算律判断①④. 【详解】对于①：∵，，即， ∴ ，故①正确； 对于②：∵，，即，， ∴， ∴，故②正确； 对于③：∵，，， ∴， ∴，故③正确； 对于④： ，故④错误. 故答案为：①②③ 提升训练 一、填空题 1．（24-25高一下·上海·期中）已知向量 在向量 方向上的投影向量为 ，且 ，则 (结果用数值表示) 【答案】 【知识点】数量积的运算律、求投影向量 【分析】根据投影向量的概念结合已知条件，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，向量 在向量 方向上的投影向量为， 所以有. 故答案为：. 2．（24-25高一下·上海·期中）已知，则向量在向量的方向上的投影向量为 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、向量模的坐标表示、求投影向量 【分析】根据已知条件，结合数量积和模的坐标运算，根据投影向量的公式求解即可. 【详解】由向量， 则向量在向量的方向上的投影向量为. 故答案为： 3．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知向量，，若，则 . 【答案】 【知识点】利用向量垂直求参数 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求. 【详解】因为，，， 所以， 所以， 故答案为：. 4．（24-25高一下·上海·期中）若，，是非零向量，则下列命题中真命题是 ．（填写序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则． 【答案】③ 【知识点】平行向量（共线向量）、用定义求向量的数量积、向量夹角的计算 【分析】举反例可以否定①②，利用向量数量积的定义可以证明③成立. 【详解】对于①：如，，，满足，显然，故①错误； 对于②：当时，恒成立，不能得出，故②错误； 对于③：若，即， 即， 又，，是非零向量，所以，即， 所以或，所以，故③正确； 故答案为：③ 5．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知，若与夹角为锐角，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】向量夹角的计算、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据夹角为锐角得到且不同向共线，从而得到不等式，求出答案. 【详解】与夹角为锐角，故且不同向共线， 即且， 解得且， 所以的取值范围是 故答案为： 6．（24-25高一下·上海·期中）设 、 为夹角为 的单位向量，求 . 【答案】 【知识点】已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】根据，结合数量积的运算求解，即得答案. 【详解】由于 、 为夹角为 的单位向量， 故， 故答案为： 7．（24-25高一下·上海·期中）如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点若，则= 【答案】 【知识点】向量加法的法则、利用平面向量基本定理求参数 【分析】结合图形，由向量的加法和减法法则以及基本定理计算即可. 【详解】因为为的中点，所以， 所以． 又因为， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 8．（24-25高一下·上海·期中）题目“已知圆上有两点，且 ，求的值．”的横线处缺少条件．下列说法正确的是 ．（填写序号） ①在横线处补上条件“”后，题目可以求解； ②在横线处补上条件“”后，题目可以求解； ③在横线处补上条件“”后，题目可以求解． 【答案】 ② 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】利用数量积的运算律及数量积的定义求出的表达式，再分析给定各个条件判断即得. 【详解】依题意，， 因此要求得的值，必须由给定条件求出圆半径及圆心角， 对于③，由不能确定圆的半径，也无法确定，不可解，③错误； 对于①，由，得是正三角形，， 而给定，两者矛盾，不可解，①错误； 对于②，由，得，可解，②正确. 故答案为：；② 9．（24-25高一下·上海宝山·期中）“向量” 一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.已知平面向量 为单位向量， .若平面向量 满足 ，则 的最大值是 . 【答案】/ 【知识点】向量夹角的计算、数量积的运算律、用定义求向量的数量积、辅助角公式 【分析】根据数量积坐标公式计算结合辅助角公式计算求解. 【详解】平面向量 为单位向量，设平面向量 的夹角为， 则 ，由得， 又 ，设，其中， 则， 当时， 故① 而 ②， 其中为锐角且，故， 当时，此时，而，故， 故①②等号可同时取得； 当时，此时，而，故， 故①②等号可同时取得； 故此时， 当时， 故③ 而 ④， 当时，此时，而，故， 故③④等号可同时取得； 当时，此时，而，故， 故③④等号可同时取得； 故此时， 综上， 故答案为：. 10．（24-25高三下·上海浦东新·阶段练习）已知与为单位向量，且满足，则与的夹角 . 【答案】/ 【知识点】向量夹角的计算 【分析】根据向量垂直，即可得，即可求解. 【详解】因为与为单位向量，则，， 又， ， ，则， 又，所以与的夹角为. 故答案为：. 二、单选题 11．（24-25高一下·上海·期中）已知，，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】设点，由得即可求解. 【详解】设点，由得， 所以. 故选：D. 12．（2025·上海杨浦·二模）已知、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、数量积的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，根据数量积的运算律得到，设，， ，再由数量积的坐标表示及两角差的正弦公式计算可得. 【详解】因为、、是单位圆上的三个点，如图建立平面直角坐标系， 因为，即，所以， 所以，即， 不妨设，，设，所以，， 所以， 所以当，即时取得最大值，且. 故选：D    13．（24-25高一下·上海·期中）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则以下命题正确的个数是（   ） ①与能构成一组基底；②； ③在向量上的投影向量为 ④若P在线段BC（包括端点）上，且，则取值范围 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用、数量积的坐标表示、求投影向量 【分析】可根据图形得出，建立平面直角坐标系，然后求出图形上各点的坐标，判断与是否共线；可求出向量的坐标，根据坐标即可判断②；根据投影向量的计算公式即可判断③；根据点在线段（包括端点）上，设，然后表示出，即可求出取值范围判断④． 【详解】连接，因为，所以，因为， 所以， 所以， 以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 所以， ， 所以，所以， 即与共线，故①错误； 因为， 所以，故②正确， 因为， 在向量上的投影向量为，故③正确； 若点在线段上，设, 所以，由于， 由得， 所以，故④正确. 故选：C. 14．（23-24高一下·上海·期末）已知向量，满足，，，则下列四个命题中，正确命题的个数是（    ）． ①若，则的最小值为； ②若，则存在唯一的y，使得； ③若，则的最小值为； ④若，则的最小值为． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】基本不等式求和的最小值、已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】对于①，对两边平方转化为求的最值可判断①；对两边同乘以可判断②；对两边平方然后利用基本不等式可判断③；由③知可判断④. 【详解】，， 对于①，若，则 ，当且仅当时，取得等号， 的最小值为的最小值为①正确； 对于②，若，由得， 存在唯一的，使得，②正确； 对于③，若，则 ， 当且仅当时取得等号， 又，当且仅当，时取得等号，③正确； 对于④，若，则， 由③知，④正确. 故答案为：D. 三、解答题 15．（24-25高一下·上海青浦·期中）已知. (1)求在方向上的投影向量； (2)若，求实数的值； 【答案】(1) (2). 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、求投影向量 【分析】（1）由投影向量的计算公式即可求解； （2）根据坐标的线性运算即可求解. 【详解】（1），则， 则. 所以投影向量为 （2）因为， 由得， 解得. 16．（24-25高二上·上海·阶段练习）十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔・德・费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小．在费马提出的这个问题中所求的点被称为费马点，其答案如下：当三角形的三个角均小于时，费马点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，费马点为三角形最大内角的顶点． 已知中，，，分别是角，，所对的边，且，． (1)求角的大小； (2)若点为的费马点，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积 【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，结合题设易知点P一定在的内部，再利用余弦定理、向量的数量积求出结果． 【详解】（1）由，及正弦定理得， 因为，所以，消去得． 因为，故或， 而根据题意，故不成立， 所以，又因为，代入得，所以． （2）由（1）可知，，结合三角形内角和性质可知，的三个内角均小于， 结合题设易知点P一定在的内部． 由余弦定理可得， 解得 ， 所以， 所以 ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$