专题03 第6章 解三角形（3考点清单，知识导图+8个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020必修第二册）

清单03 第6章 解三角形 （3个考点梳理+8题型解读+提升训练） 清单01 正弦定理 （1）正弦定理的描述 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 （2）正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤ ④，，（可实现边到角的转化） ⑥ ⑤，，（可实现角到边的转化） 清单02 三角形面积公式 ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 清单03 余弦定理 （1）余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ； （2）余弦定理的推论 ； ； 【考点题型一】解三角形（） 【例1】（24-25高一下·上海宝山·期中）已知 中，三边分别为 ，所对角为 、 、 ，若 ， 则 【变式1-1】.（24-25高一下·上海·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.则角 . 【变式1-2】.（24-25高二下·上海·阶段练习）在中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若，则 . 【变式1-3】.（2025·上海青浦·模拟预测）已知的角对应边长分别为，则 . 【变式1-4】.（2025·上海·模拟预测）在中，若，，，则的长为 . 【考点题型二】判断三角形的形状（） 【例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）在中，，且．试判断的形状． 【变式2-1】.（24-25高一下·上海浦东新·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【变式2-2】.（24-25高一下·上海青浦·阶段练习）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．无法判断 【变式2-3】.（23-24高二上·上海松江·阶段练习）在中，角所对的边分别为，若，则为（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【变式2-4】.（24-25高一上·上海·课后作业）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，. (1)求角B的大小； (2)若，判断三角形的形状. 【考点题型三】边角互化的应用（） 【例3】（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，，则 ． 【变式3-1】.（24-25高一下·上海·期中）已知 的内角 的对边分别为 ，且满足 的三角形有两个，则 的取值范围为 . 【变式3-2】.（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）在中，已知角所对的边分别为，若，则 . 【变式3-3】.（24-25高三上·上海·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，满足则角 . 【变式3-4】.（24-25高一下·上海·阶段练习）已知在中，三个内角所对的边分别为． (1)当时，求（用反余弦表示）． (2)当，时，的面积为，求的值． 【考点题型四】三角形周长（定值）（） 【例4】（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知在中，分别为内角所对的边，且满足，． (1)若，求的面积； (2)若，求的周长． 【变式4-1】.（23-24高一下·上海普陀）在中，角A、B、C的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积，求的周长. 【变式4-2】.（2024·上海黄浦·二模）在中，． (1)求的值； (2)若，求的周长和面积． 【变式4-3】.（23-24高一下·上海金山·阶段练习）在中，A、B、C三个内角所对的边依次为a、b、c，且． (1)求角A的大小； (2)若，的面积为，求的周长 【考点题型五】三角形面积（定值）（） 【例5】（24-25高一下·上海·期中）在中，角所对的边分别为，已知，. (1)求的值； (2)求的面积. 【变式5-1】.（24-25高三上·上海·期中）已知函数，其中. (1)求函数的最小正周期及函数在区间上的最大值； (2)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且，，，求面积的大小. 【变式5-2】.（24-25高二上·上海·期中）已知函数，． (1)求函数的单调递减区间； (2)设为锐角三角形，角A所对边，角所对边，若，求的面积． 【变式5-3】.（2024·上海青浦·二模）对于函数，其中，． (1)求函数的单调增区间； (2)在锐角三角形中，若，，求的面积． 【变式5-4】.（23-24高一下·上海·阶段练习）设分别是的三个内角所对的边，且， (1)求； (2)时，求的面积． 【考点题型六】三角形周长(边长）（最值+范围）问题（） 【例6】（23-24高一下·上海黄浦）已知在中，、、分别为角、、所对的边，且. (1)求角的大小； (2)若的外接圆半径为，求的周长的取值范围. 【变式6-1】.（2024·上海徐汇·三模）如图，中，角、、的对边分别为、、.    (1)若，求角的大小； (2)已知、，若为外接圆劣弧上一点，求周长的最大值. 【变式6-2】.（23-24高一下·上海闵行）在中，角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； 【变式6-3】.（23-24高一下·上海浦东新·阶段练习）在中，三个内角A､B､C所对的边依次为a､b､c，且. （1）求的值； （2）设，求的取值范围. 【考点题型七】三角形面积（最值+范围）（） 【例7】（2025·上海闵行·二模）已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点．    (1)求函数的解析式； (2)若的内角所对的边分别为，若，，求面积的取值范围． 【变式7-1】.（24-25高三上·上海松江·阶段练习）已知，，函数． (1)当时，求的值域； (2)已知的内角的对边分别为，，，若，求的面积的最大值． 【变式7-2】.（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，在平面四边形中，，，. (1)求； (2)求四边形面积的最大值. 【变式7-3】.（23-24高一下·上海·期中）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等.某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且. (1)当米时，求的长； (2)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大.设，求面积的最大值. 【考点题型八】正余弦定理的实际应用（） 【例8】（24-25高一下·上海杨浦·期中）上海市工程建设规范《口袋公园设计标准》自2025年5月1日起实施. 杨浦区拟在一圆心角为直角的扇形厂区旧址边新建一座口袋公园. 如图，矩形地块中，，.折线是人行道路，规划道路一侧为旧厂区改造的购物中心，另一侧四边形地块为具有游憩功能的口袋公园.的两端分别在边上，施工要求道路(不考虑路宽)与圆弧相切，记切点为，记为(计算长度精确到)    (1)若，求的长； (2)记，求人行道路长度的最小值. 【变式8-1】.（23-24高一下·上海·阶段练习）假期间，小致同学临时起意想去电影院看电影，他想选择一个视角最好的座位．由于电影的观众比较多，当他打开订票软件时，只剩下第1至15排最边上的15个座位． (1)电影院的剖面图如上左图所示（单位：米），观众坐第一排时，眼睛离地高度为1.20米，影院前后两排座位高度差为0.50米，如果小致想要得到更好的直方向视角（即眼睛与屏幕中点的连线尽可能保持水平，不考虑水平方向视角），你建议他选择哪一排的座位?请通过计算说明理由． (2)电影院的俯视图如上右图所示（单位：米），观众坐第一排时，眼睛与屏幕墙面的垂直距离为3.00米，影院前后两排观众间距1.00米，如果小致想得到最好的水平方向视角（即眼睛看屏幕两侧的视线夹角最大，不考虑前后排高度差与竖直方向视角），你建议他选择哪一排的座位？请通过计算说明理由． 【变式8-2】.（2024高一下·上海·专题练习）某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究． (1)小王获得了以下信息： ．教学楼和体育馆之间有一条笔直的步道； ．在步道上有一点，测得到教学楼顶的仰角是，到体育馆楼顶的仰角是； ．从体育馆楼顶测教学楼顶的仰角是； ．教学楼的高度是20米． 请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度． (2)小李获得了以下信息： ．体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是4米； ．大屏幕的高度是2米； ．当观众所站的位置到屏幕上下两端，所张的角最大时，观看屏幕的效果最佳． 请帮助小李完成任务二：求步道上观看屏幕效果最佳地点的位置． 【变式8-3】.（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）如图，A、C两岛相距海里，上午9点整有一客轮在位于C岛的北偏西40°且距C岛10海里的D处，沿直线方向匀速开往A岛，在A岛停留10分钟后前往B市，上午9：30测得客轮位于C岛的北偏西70°且距C岛海里的E处，此时小张从C岛乘坐速度为v海里/小时的小艇沿直线方向前往A岛换乘客轮去B市. (1)求客轮的速度； (2)若小张能乘上这班客轮，问小艇的速度至少为多少海里/小时？（由小艇换乘客轮的时间忽略不计） (3)现测得，，已知速度为海里/时的小艇每小时的总费用为元，若小张由岛C直接乘小艇去B市，则至少需要多少费用？ 【变式8-4】.（23-24高三上·上海杨浦·阶段练习）如图所示，，两处各有一个垃圾中转站，在的正东方向18km处，的南面为居民生活区.为了妥善处理生活垃圾，政府决定在的北面处建一个发电厂，利用垃圾发电.要求发电厂到两个垃圾中转站的距离（单位：km）与它们每天集中的生活垃圾量（单位：吨）成反比，现估测得，两处中转站每天集中的生活垃圾量分别约为40吨和50吨.    (1)当时，求的值； (2)发电厂尽量远离居民区，也即要求的面积最大，问此时发电厂与垃圾中转站的距离为多少? 提升训练 一、填空题 1．（24-25高一下·上海·期中） 中，若 ，则该三角形的最大角为 2．（24-25高三下·上海虹口·期中）若的三条边的长分别为、、，则的外接圆面积为 .（结果保留） 3．（24-25高一下·上海青浦·阶段练习）在△ABC中，若，，，则 .（用角度表示，精确到小数点后1位） 4．（24-25高三上·北京海淀·期末）已知为等腰三角形，且，则 . 5．（24-25高一·上海·随堂练习）在中，，，，则 ． 6．（24-25高一·上海·随堂练习）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，其中，那么一定是 三角形． 7．（24-25高一下·吉林延边·阶段练习）如图，在海面上有两个观测点B，D，点B在D的正北方向，距离为2km，在某天10:00观察到某航船在C处，此时测得，5分钟后该船行驶至A处，此时测得，，，，则该船行驶的距离为 km 8．（24-25高一下·上海宝山·期中）在锐角 中，若 ，则 等于 . 9．（24-25高三下·上海静安·期中）在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，若沿线段DE折叠该三角形时，顶点A恰好落在边BC上．则线段AD的长度的最小值为 ． 10．（24-25高三下·上海·阶段练习）在中，在边上（与不重合），延长到，使得，若（为常数），则的长度是 ． 二、单选题 11．（24-25高一下·上海·期中）在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·上海·单元测试）在△ABC中，现有以下两个命题：①；②；则判断正确的是（    ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对 13．（24-25高一下·上海·期中）在中，，记的面积为，若，判断 的形状为（     ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 14．（23-24高一下·上海·期中）张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，，，分别是角，，的对边，已知，，求边，显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得只有一解，的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 15．（24-25高三下·上海·阶段练习）在中，分别是角的对边. 若. (1)求的值； (2)求边长的值. 16．（24-25高一上·上海·随堂练习）在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且，． (1)若的面积为，求a、b的值； (2)若，求的面积． 17．（24-25高一下·上海浦东新·期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边. (1)若，求：A的大小； (2)若BC边上的高等于，且，求：的取值范围； 18．（23-24高一下·上海·期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C，. (1)若，求的外接圆的半径； (2)若，且，求; (3)若，求的周长. 19．（24-25高一下·上海·阶段练习）某校学生在学农期间参观了某农村的蔬菜园地，已知该农村中某块蔬菜园地的形状为如图所示的四边形，经测量，边界m，，． (1)若的长为8m，求的长； (2)现需要沿该园地的边界修建篱笆（不计宽度）以提醒同学们不要随意进入该园地，问所需要的篱笆的最大长度为多少米？（提示：设） 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 第6章 解三角形 （3个考点梳理+8题型解读+提升训练） 清单01 正弦定理 （1）正弦定理的描述 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 （2）正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤ ④，，（可实现边到角的转化） ⑥ ⑤，，（可实现角到边的转化） 清单02 三角形面积公式 ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 清单03 余弦定理 （1）余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ； （2）余弦定理的推论 ； ； 【考点题型一】解三角形（） 【例1】（24-25高一下·上海宝山·期中）已知 中，三边分别为 ，所对角为 、 、 ，若 ， 则 【答案】/ 【知识点】正弦定理边角互化的应用 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由可得， 故, 由于，故， 故答案为： 【变式1-1】.（24-25高一下·上海·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.则角 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用 【分析】由已知及余弦边角关系得，再应用余弦定理求角的大小. 【详解】由题设，，则， 所以，，则. 故答案为： 【变式1-2】.（24-25高二下·上海·阶段练习）在中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若，则 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理计算可得. 【详解】令，，， 由余弦定理可得. 故答案为： 【变式1-3】.（2025·上海青浦·模拟预测）已知的角对应边长分别为，则 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理求解，再由反三角函数求得角. 【详解】根据余弦定理得， 把代入可得， 因为，所以. 故答案为：. 【变式1-4】.（2025·上海·模拟预测）在中，若，，，则的长为 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理即可求解； 【详解】， 所以, 故答案为： 【考点题型二】判断三角形的形状（） 【例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）在中，，且．试判断的形状． 【答案】等腰直角三角形 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据题意利用正弦定理可得，可知，进而可得，即可得结果. 【详解】由正弦定理可得，，． 因为，则，即， 可知，则，可得， 又因为，则， 且，则，可得， 所以是等腰直角三角形． 【变式2-1】.（24-25高一下·上海浦东新·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、二倍角的余弦公式、正弦定理边角互化的应用 【分析】利用二倍角余弦公式和正弦边角互化，结合三角形内角性质可得，即可判断形状. 【详解】由，可得，， 所以， ，故， 因为，所以，， 即是直角三角形. 故选：B. 【变式2-2】.（24-25高一下·上海青浦·阶段练习）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．无法判断 【答案】A 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用 【分析】应用正弦边角关系及差角正弦公式可得，即可得. 【详解】由题设及正弦边角关系有，即， 由，故，即三角形为等腰三角形. 故选：A 【变式2-3】.（23-24高二上·上海松江·阶段练习）在中，角所对的边分别为，若，则为（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用余弦定理化角为边即可得解. 【详解】因为， 由余弦定理可得， 所以， 即，所以， 所以为等腰三角形. 故选：C. 【变式2-4】.（24-25高一上·上海·课后作业）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，. (1)求角B的大小； (2)若，判断三角形的形状. 【答案】(1) (2)直角三角形 【知识点】正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化可得，即可得到结果； （2）根据题，由正弦定理的边角互化可得，从而可得，即可得到结果. 【详解】（1）由正弦定理得，因为，则， 所以，所以，所以， 因为，所以，解得. （2）根据题意，由正弦定理得， ∴.∵，， 所以，则为直角三角形. 【考点题型三】边角互化的应用（） 【例3】（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，，则 ． 【答案】 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】先根据正弦定理得到三边的关系，再由余弦定理求出角，再利用分式的性质求解即可. 【详解】因为， 由正弦定理， 可得，设， 由余弦定理可得， 因为，所以， 由，可得， 因为 ， 所以， 故答案为：. 【变式3-1】.（24-25高一下·上海·期中）已知 的内角 的对边分别为 ，且满足 的三角形有两个，则 的取值范围为 . 【答案】 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解. 【详解】在中，由及正弦定理可得：. ∵有两解，，即. 故答案为：. 【变式3-2】.（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）在中，已知角所对的边分别为，若，则 . 【答案】 【知识点】余弦定理边角互化的应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据正余弦定理边角互化即可求解. 【详解】由可得， 进而可得， 所以， 由于，故， 故答案为： 【变式3-3】.（24-25高三上·上海·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，满足则角 . 【答案】/ 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】由正弦定理可得，再由余弦定理可得，即可求角. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 整理得， 由余弦定理可得， 因为， 所以. 故答案为： 【变式3-4】.（24-25高一下·上海·阶段练习）已知在中，三个内角所对的边分别为． (1)当时，求（用反余弦表示）． (2)当，时，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】三角形面积公式及其应用、反三角函数、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）先由正弦定理化角为边，利用余弦定理求出的值，判断角的范围即可求得； （2）由三角形面积公式求得或，再分情况利用余弦定理即可求得的值. 【详解】（1）由正弦定理和，可得，不妨设，则， 由余弦定理，， 故，则. （2）因，，且的面积为， 由，可得， 因，故或. 当时，由余弦定理，； 当时，由余弦定理，. 故的值为或. 【考点题型四】三角形周长（定值）（） 【例4】（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知在中，分别为内角所对的边，且满足，． (1)若，求的面积； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2)或 【知识点】三角形面积公式及其应用、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）余弦定理结合已知可解得b，c，然后由面积公式可得； （2）根据已经边化角，然后求出，然后可得，结合正弦定理可得周长. 【详解】（1）由余弦定理得，即， 又，所以，解得，， 所以. （2）因为，所以， 又，所以，， 因为，所以，所以， 若B为锐角，则， 所以， 所以三角形周长为； 若B为钝角，则，， 所以三角形周长为. 综上，当B为锐角时，周长为； 当B为钝角时，周长为. 【变式4-1】.（23-24高一下·上海普陀）在中，角A、B、C的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积，求的周长. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理：边转角，得到，进而可求出结果； （2）根据条件求出，再利用余弦定理求出，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得到， 又因为，所以， 故，得到，又因为，所以. （2）因为，的面积， 所以，得到， 在中，由余弦定理得， 所以，故的周长为. 【变式4-2】.（2024·上海黄浦·二模）在中，． (1)求的值； (2)若，求的周长和面积． 【答案】(1)； (2)周长32，面积24. 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用两角和的正弦公式即可求得的值； （2）先利用正弦定理求得的的长，进而求得的周长和面积． 【详解】（1）在中，，又， 则， 则. （2），又，， 则由正弦定理得， 则的周长为 的面积为． 【变式4-3】.（23-24高一下·上海金山·阶段练习）在中，A、B、C三个内角所对的边依次为a、b、c，且． (1)求角A的大小； (2)若，的面积为，求的周长 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）根据题意，由正弦定理结合二倍角公式化简，即可得到结果； （2）由三角形的面积公式可得，再由余弦定理可得，然后再由完全平方公式变形即可得到结果. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 且，，则，即， 且，所以. （2）因为，则可得， 在中，由余弦定理可得， 代入可得，即， 且， 所以. 则的周长为. 【考点题型五】三角形面积（定值）（） 【例5】（24-25高一下·上海·期中）在中，角所对的边分别为，已知，. (1)求的值； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）根据题意，由正弦定理，得到，即可求解； （2）由（1）知，得到，求得，利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：在中，因为，且， 由正弦定理得，所以. （2）解：由，可得，所以，且， 又由（1）知，所以， 因为，则， 所以的面积为. 【变式5-1】.（24-25高三上·上海·期中）已知函数，其中. (1)求函数的最小正周期及函数在区间上的最大值； (2)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且，，，求面积的大小. 【答案】(1)最小正周期为，最大值为2； (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角形面积公式及其应用、求正弦（型）函数的最小正周期、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，利用求出最小正周期，整体法得到，从而得到时，取得最大值2； （2）在（1）基础上，由求出，由余弦定理得到，由三角形面积公式求出答案. 【详解】（1） ， 故的最小正周期为， 时，，故当，即时， 取的最大值，最大值为2； （2），故， 因为，所以，故，解得， 又，， 由余弦定理得，即，解得，负值舍去， 故. 【变式5-2】.（24-25高二上·上海·期中）已知函数，． (1)求函数的单调递减区间； (2)设为锐角三角形，角A所对边，角所对边，若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、余弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）整理可得，结合余弦函数单调性分析求解； （2）根据可得，利用余弦定理结合锐角三角形可得，即可得面积. 【详解】（1）因为， 又因为，则， 且在内的单调递减区间为， 则，解得， 所以函数的单调递减区间. （2）因为，即， 且，则，可得，即， 由余弦定理可得，即， 整理可得，解得或， 显然边为最大边，则，解得， 可得，所以的面积. 【变式5-3】.（2024·上海青浦·二模）对于函数，其中，． (1)求函数的单调增区间； (2)在锐角三角形中，若，，求的面积． 【答案】(1) (2)． 【知识点】三角形面积公式及其应用、求sinx型三角函数的单调性、三角恒等变换的化简问题、平面向量数量积的定义及辨析 【分析】（1）由二倍角正弦、余弦公式及辅助角公式化简，根据复合函数的单调性求出结果； （2）由（1）及条件求出角A，根据数量积的定义及三角形面积公式可得结果. 【详解】（1） 令，则，函数为增函数， 当时函数为增函数， 即，得， 所以函数的单调增区间是． （2）（2）由已知，所以， 因为，所以，即，所以， 又，所以， 所以的面积． 【变式5-4】.（23-24高一下·上海·阶段练习）设分别是的三个内角所对的边，且， (1)求； (2)时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式求解； （2）由正弦定理及三角形面积公式求解. 【详解】（1）在中，，故， 因为，所以由正弦定理可知， 由大边对大角可得，故， 所以. （2）时，由正弦定理可得，， 所以. 【考点题型六】三角形周长(边长）（最值+范围）问题（） 【例6】（23-24高一下·上海黄浦）已知在中，、、分别为角、、所对的边，且. (1)求角的大小； (2)若的外接圆半径为，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）由正弦定理结合三角恒等变换可得出关于角的三角函数关系式，求出角的取值范围，结合正弦型函数的基本性质求出的取值范围. 【详解】（1）解：因为，由正弦定理可得， 即， 因为、，则，，所以，. （2）解：因为的外接圆半径为，由正弦定理可得， 所以，，，， 所以，的周长为 ， 因为，则，所以，，则， 所以，. 【变式6-1】.（2024·上海徐汇·三模）如图，中，角、、的对边分别为、、.    (1)若，求角的大小； (2)已知、，若为外接圆劣弧上一点，求周长的最大值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再结合和角的正弦求解作答. （2）由（1）及给定条件，求出，再利用余弦定理结合均值不等式求解作答. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 即，则， 整理得，而，即，又因为， 所以. （2）在中，， 由余弦定理得， 于是，解得， 当且仅当时取等号， 所以当时，周长取得最大值. 【变式6-2】.（23-24高一下·上海闵行）在中，角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、三角恒等变换的化简问题、余弦定理边角互化的应用 【分析】（1）直接利用正余弦定理即可求解； （2）利用正弦定理将周长转化为关于角的三角函数，利用三角函数的值域即可求解； 【详解】（1）由正弦定理，， 由 可得， 由余弦定理， 则，则， 因为，所以； （2）由为锐角三角形，，可得， 由正弦定理，则， 则， 则的周长为， 由，则，因为，整理得： ，解得或（舍去）， 所以，则周长范围是. 【变式6-3】.（23-24高一下·上海浦东新·阶段练习）在中，三个内角A､B､C所对的边依次为a､b､c，且. （1）求的值； （2）设，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】⑴ 利用同角三角函数基本关系式可求，利用三角函数恒等变换的应用即可计算得解． ⑵ 由余弦定理，基本不等式可求的最大值，利用三角形两边之和大于第三边可求，即可得解的取值范围． 【详解】，又为三角形内角， ， ，， 由余弦定理可得：， ，可得：，当且仅当时等号成立， 可得：，可得：，当且仅当时等号成立， ， 的取值范围为： 【考点题型七】三角形面积（最值+范围）（） 【例7】（2025·上海闵行·二模）已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点．    (1)求函数的解析式； (2)若的内角所对的边分别为，若，，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由点确定周期，可得，再由即可求解的值，从而得函数解析式； （2）由确定，得到，再结合正弦定理、三角恒等变换、正弦型函数的性质即可得的取值范围，由三角形面积公式得面积的取值范围． 【详解】（1）因为图像经过，， 所以得周期，由得，. 又得，， 又因为， 所以，所以． （2）因为，又， 结合图像对称性可知：，则， 又，由正弦定理得：， 则， 所以 ， 由，，可得， 所以，则， 故， 于是可得的面积为， 故面积的取值范围为. 【变式7-1】.（24-25高三上·上海松江·阶段练习）已知，，函数． (1)当时，求的值域； (2)已知的内角的对边分别为，，，若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）根据题中条件，结合数量积的坐标运算，以及三角恒等变换对应的公式，将整理成正弦型函数的形式，再由正弦函数的性质，即可求出值域； (2)由（1）中函数解析式，结合，求出A，再由余弦定理结合基本不等式求出的最大值，进而可求出三角形面积的最大值. 【详解】（1） ，，． ， ，，， 可得：． （2），可得：， ，，可得：，解得：． ， 由余弦定理， 可得： 当且仅当时取到等号， ． 【变式7-2】.（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，在平面四边形中，，，. (1)求； (2)求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）根据同角三角函数式可求得，结合正弦和角公式求得，即可求得，进而由三角函数可得； （2）设，，根据余弦定理及基本不等式，可求得的最大值，结合三角形面积公式可求得的最大值，即可求得四边形面积的最大值. 【详解】（1）， 由同角三角函数关系式可得， 则， 所以， 所以. （2）设，，，, 在中，由余弦定理可得， 代入可得. 由基本不等式可知，即， 当且仅当时取等号，由三角形面积公式可得. 在中，由勾股定理可得， 所以， 所以四边形面积的最大值为. 【变式7-3】.（23-24高一下·上海·期中）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等.某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且. (1)当米时，求的长； (2)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大.设，求面积的最大值. 【答案】(1)80m (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）结合平行线的性质与余弦定理计算即可得； （2）结合题意，利用正弦定理与面积公式表示出面积后，借助三角恒等变换将其变形为正弦型函数，结合正弦函数的性质计算即可得. 【详解】（1）由，故， 由余弦定理可得， 即，即有， 即，故（舍去）或， 即； （2）由，故，，又， 由正弦定理可得，即， 则， 令，， 则 ， 有最大值，此时，即时取得， 此时平方米. 【考点题型八】正余弦定理的实际应用（） 【例8】（24-25高一下·上海杨浦·期中）上海市工程建设规范《口袋公园设计标准》自2025年5月1日起实施. 杨浦区拟在一圆心角为直角的扇形厂区旧址边新建一座口袋公园. 如图，矩形地块中，，.折线是人行道路，规划道路一侧为旧厂区改造的购物中心，另一侧四边形地块为具有游憩功能的口袋公园.的两端分别在边上，施工要求道路(不考虑路宽)与圆弧相切，记切点为，记为(计算长度精确到)    (1)若，求的长； (2)记，求人行道路长度的最小值. 【答案】(1)米； (2)米. 【知识点】二倍角的正切公式、基本（均值）不等式的应用、距离测量问题 【分析】（1）根据题意，结合已知求其长度即可； （2）由题意可得，应用二倍角正切公式、基本不等式求最小值，注意及取值条件，即可得. 【详解】（1）由，又， 且，，则， 所以米； （2）由题设，知 ， 由在的中点到之间运动（含端点），故， 而，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为米. 【变式8-1】.（23-24高一下·上海·阶段练习）假期间，小致同学临时起意想去电影院看电影，他想选择一个视角最好的座位．由于电影的观众比较多，当他打开订票软件时，只剩下第1至15排最边上的15个座位． (1)电影院的剖面图如上左图所示（单位：米），观众坐第一排时，眼睛离地高度为1.20米，影院前后两排座位高度差为0.50米，如果小致想要得到更好的直方向视角（即眼睛与屏幕中点的连线尽可能保持水平，不考虑水平方向视角），你建议他选择哪一排的座位?请通过计算说明理由． (2)电影院的俯视图如上右图所示（单位：米），观众坐第一排时，眼睛与屏幕墙面的垂直距离为3.00米，影院前后两排观众间距1.00米，如果小致想得到最好的水平方向视角（即眼睛看屏幕两侧的视线夹角最大，不考虑前后排高度差与竖直方向视角），你建议他选择哪一排的座位？请通过计算说明理由． 【答案】(1)第10排；理由见解析 (2)第4排，理由见解析 【知识点】正、余弦定理的其他应用、角度测量问题、高度测量问题、余弦定理解三角形 【分析】（1）设表示第排座位眼睛离地高度，求出眼睛离地高度接近的值即可. （2）先由题设表示第n排座位的位置、表示第n排座位的水平方向视角，则在中利用勾股定理求出即可利用余弦定理去研究水平视角与n的关系，进而得到最好的水平视角. 【详解】（1）设表示第排座位眼睛离地高度， 则由题意，接下来的每一排座位与前一排作为高度均相差 ， 所以， 令即，， 所以小致想要得到更好的直方向视角建议小致坐第10排的座位. （2）如图，表示屏幕长，C、D分别表示第1排和第15排座位位置， 设表示第n排座位的位置， 则由题可设表示第n排座位的水平方向视角， 则， 故 所以 ， 令，且， 则 ， 令，任取， 则， 因为，故， 所以，即， 所以在上单调递减，同理可得在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，当时，，此时； 时，，此时， 所以当时，最小，因为， 所以此时最大，即此时是最好的水平方向视角， 故建议他选择第4排的座位能得到最好的水平方向视角. 【点睛】思路点睛：解决本题的思路是依据三角模型图，将第n排座位T的水平方向视角设为，接着利用勾股定理将用n表示起来，再在中利用余弦定理即可去研究水平视角与n的关系，进而得到最好的水平视角对应的n值. 【变式8-2】.（2024高一下·上海·专题练习）某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究． (1)小王获得了以下信息： ．教学楼和体育馆之间有一条笔直的步道； ．在步道上有一点，测得到教学楼顶的仰角是，到体育馆楼顶的仰角是； ．从体育馆楼顶测教学楼顶的仰角是； ．教学楼的高度是20米． 请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度． (2)小李获得了以下信息： ．体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是4米； ．大屏幕的高度是2米； ．当观众所站的位置到屏幕上下两端，所张的角最大时，观看屏幕的效果最佳． 请帮助小李完成任务二：求步道上观看屏幕效果最佳地点的位置． 【答案】(1)10米 (2)ND为米 【知识点】高度测量问题、角度测量问题、正弦定理解三角形、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）先得到，，由正弦定理求出，求出； （2）设，则，，利用正切差角公式表达出，由基本不等式求出最值，得到答案. 【详解】（1）由题意知，⊥，由勾股定理得， 且可知， ， 由正弦定理可得， 则体育馆的高度为10米. （2）设，则，， ， 当且仅当时，取到最大值，即米时，观看效果最佳． 【变式8-3】.（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）如图，A、C两岛相距海里，上午9点整有一客轮在位于C岛的北偏西40°且距C岛10海里的D处，沿直线方向匀速开往A岛，在A岛停留10分钟后前往B市，上午9：30测得客轮位于C岛的北偏西70°且距C岛海里的E处，此时小张从C岛乘坐速度为v海里/小时的小艇沿直线方向前往A岛换乘客轮去B市. (1)求客轮的速度； (2)若小张能乘上这班客轮，问小艇的速度至少为多少海里/小时？（由小艇换乘客轮的时间忽略不计） (3)现测得，，已知速度为海里/时的小艇每小时的总费用为元，若小张由岛C直接乘小艇去B市，则至少需要多少费用？ 【答案】(1)20海里/小时 (2)海里/小时 (3)至少需385元 【知识点】基本不等式求和的最小值、正弦定理解三角形、距离测量问题、余弦定理解三角形 【分析】（1）由题意可得，，，，由余弦定理可求得，进而可求客轮的航行速度； （2）由余弦定理可得，可求得，利用，可求小艇的速度的最小值； （3）由已知可得，进而可求得，利用正弦定理可得，小张由岛C直接乘小艇去城市B的总费用为，可求费用的最小值. 【详解】（1）根据题意得：，，，. 在中，由余弦定理得， 所以客轮的航行速度（海里/小时） （2）因为，所以， 所以. 在中，由余弦定理得，， 整理得：，解得或（舍去）. 所以客轮从E处到岛A所用的时间小时， 小张若能赶上这班客轮，则满足，解得. 所以，小艇的速度至少为海里/小时. （3）在中，，， 所以. 由正弦定理，解得， 所以小张由岛C直接乘小艇去城市B的总费用为 ， 当且仅当，即时，（元） 所以若小张由岛直接乘小艇去市，其费用至少需385元. 【变式8-4】.（23-24高三上·上海杨浦·阶段练习）如图所示，，两处各有一个垃圾中转站，在的正东方向18km处，的南面为居民生活区.为了妥善处理生活垃圾，政府决定在的北面处建一个发电厂，利用垃圾发电.要求发电厂到两个垃圾中转站的距离（单位：km）与它们每天集中的生活垃圾量（单位：吨）成反比，现估测得，两处中转站每天集中的生活垃圾量分别约为40吨和50吨.    (1)当时，求的值； (2)发电厂尽量远离居民区，也即要求的面积最大，问此时发电厂与垃圾中转站的距离为多少? 【答案】(1) (2)选址方案满足，． 【知识点】正、余弦定理的其他应用 【分析】（1）由题意可求得，利用余弦定理可求的值，进而可求的值； （2）设，则，利用余弦定理可求，利用同角三角函数基本关系式可得，进而可求到距离，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）由题意，， 可得， 可得， 所以． （2），设，则， 可得，可得， 到距离， 当，即，取得最大值为， 因此选址方案满足，． 提升训练 一、填空题 1．（24-25高一下·上海·期中） 中，若 ，则该三角形的最大角为 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】由题意可得，可得最大，利用余弦定理可求最大角. 【详解】在中，由正弦定理可得， 设，所以在中，最大， 由余弦定理可得， 所以. 故答案为：. 2．（24-25高三下·上海虹口·期中）若的三条边的长分别为、、，则的外接圆面积为 .（结果保留） 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、余弦定理解三角形、正弦定理求外接圆半径 【分析】设，，，利用余弦定理可求得的值，进而可求得的值，利用正弦定理结合圆的面积公式可求得外接圆面积. 【详解】不妨设，，，由余弦定理可得， 所以，角为锐角，故， 设的外接圆半径为，则，所以，， 因此，的外接圆的面积为. 故答案为：. 3．（24-25高一下·上海青浦·阶段练习）在△ABC中，若，，，则 .（用角度表示，精确到小数点后1位） 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】应用正弦定理解三角形即可得. 【详解】由正弦定理有，则. 故答案为： 4．（24-25高三上·北京海淀·期末）已知为等腰三角形，且，则 . 【答案】/0.875 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求出. 【详解】在中，令内角所对边分别为， 由及正弦定理，得，显然为底边，否则不能构成三角形， 由余弦定理得. 故答案为： 5．（24-25高一·上海·随堂练习）在中，，，，则 ． 【答案】1 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据题意利用余弦定理运算求解即可. 【详解】根据余弦定理得， 即， 整理可得，解得或（舍去）． 故答案为：1． 6．（24-25高一·上海·随堂练习）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，其中，那么一定是 三角形． 【答案】等腰 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用 【分析】利用正弦定理整理可得，进而可得，即可得结果. 【详解】因为，由正弦定理可得： 整理得：， 且，则， 可得，即， 所以为等腰三角形． 故答案为：等腰. 7．（24-25高一下·吉林延边·阶段练习）如图，在海面上有两个观测点B，D，点B在D的正北方向，距离为2km，在某天10:00观察到某航船在C处，此时测得，5分钟后该船行驶至A处，此时测得，，，，则该船行驶的距离为 km 【答案】 【知识点】距离测量问题、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】在中得，在中由正弦定理得，在中，由余弦定理得. 【详解】依题意，, ， 在中，，，则，又，则km， 在中，，，则， 由正弦定理，得AB=km， 在中，，由余弦定理得 ， 所以该船行驶的距离km. 故答案为： 8．（24-25高一下·上海宝山·期中）在锐角 中，若 ，则 等于 . 【答案】/ 【知识点】正弦定理边角互化的应用 【分析】利用正弦定理将已知等式中的边化为角，然后求解角的值. 【详解】已知，由正弦定理可得到，即 可得.因为是三角形内角，且为锐角,则 . 故答案为：. 9．（24-25高三下·上海静安·期中）在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，若沿线段DE折叠该三角形时，顶点A恰好落在边BC上．则线段AD的长度的最小值为 ． 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦定理解三角形 【分析】设，求出、、关于所设参数的表达式，在中应用正弦定理求，再根据的取值范围求最值． 【详解】由题意可得两点关于折线对称，连结， 设， 则，，． 在中，． 在中，， 由正弦定理知：，即， 所以． 因为，即， 当，即时，， 此时取得最小值，且． 所以的最小值为． 故答案为：. 10．（24-25高三下·上海·阶段练习）在中，在边上（与不重合），延长到，使得，若（为常数），则的长度是 ． 【答案】1或3； 【知识点】余弦定理解三角形、平面向量共线定理的推论 【分析】设，结合和共线定理的推论求出参数即可求出的长度，再由结合余弦定理即可求解. 【详解】设，则由题， 因为三点共线，所以， 所以，则由得， 因为，所以， 设，则，    因为，所以， 所以，所以， 化简得或，即或3. 故答案为：1或3. 二、单选题 11．（24-25高一下·上海·期中）在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、余弦定理解三角形 【分析】根据正余弦定理，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A:，进而可根据正弦定理求解，故此时三角形有唯一解； 对于B:,，进而根据余弦定理求解的值，此时三角形有唯一解； 对于C:，根据正弦定理可求解唯一，进而可知三角形唯一解； 对于D:，由正弦定理，且，故此时满足条件的有两解. 故选：D. 12．（24-25高一下·上海·单元测试）在△ABC中，现有以下两个命题：①；②；则判断正确的是（    ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对 【答案】A 【知识点】正弦定理边角互化的应用 【分析】由大边对大角判断①，由正弦定理判断②． 【详解】当时，由大边对大角，得， 当时，由大角对大边，得，所以①正确； 由正弦定理得，所以②正确， 故选：A. 13．（24-25高一下·上海·期中）在中，，记的面积为，若，判断 的形状为（     ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积 【分析】由，利用向量的数量积和三角形的面积公式，得到，求得，再由余弦定理，结合，列出方程求得，得到，即可得到答案. 【详解】由，可得， 即，可得， 因为，可得， 又由余弦定理，可得， 因为，可得，所以， 整理得，即，所以，所以， 所以为等边三角形. 故选：B. 14．（23-24高一下·上海·期中）张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，，，分别是角，，的对边，已知，，求边，显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得只有一解，的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据三角形解的个数结合已知条件确定的取值范围，逐个选项判断即可. 【详解】由题意可知三角形只有一个解， 由上图可知： 若只有一解，可知以为圆心，为半径的圆弧与有一个交点， 则或，即或， 所以的取值不可能为， 故选：B 三、解答题 15．（24-25高三下·上海·阶段练习）在中，分别是角的对边. 若. (1)求的值； (2)求边长的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】二倍角的正弦公式、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理及二倍角公式计算可得； （2）利用余弦定理计算可得. 【详解】（1）在中，由正弦定理，，，可得， 因为，所以，即， 显然，解得． （2）在中，由余弦定理， 得，解得或, 当时，又，所以，又，， 所以，则，与矛盾，所以舍去； 所以． 16．（24-25高一上·上海·随堂练习）在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且，． (1)若的面积为，求a、b的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由余弦定理得出关于的方程，利用的面积求得，联立成方程组，计算即得； （2）由题设和正弦定理得出，与联立解得，即可求得. 【详解】（1）由余弦定理得，即． 又，所以． 由解得 （2）由和正弦定理，所以． 由（1）得． 由解得 所以． 17．（24-25高一下·上海浦东新·期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边. (1)若，求：A的大小； (2)若BC边上的高等于，且，求：的取值范围； 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理边化角可得，可求. （2）由三角形面积公式和余弦定理可得，进而可得，利用辅助角公式可求最大值. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 整理得，即， 而，，则，又， 所以. （2）由边上的高等于，得，即， 由余弦定理得，于是， 则，， 由，得，因此，， 所以的取值范围为. 18．（23-24高一下·上海·期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C，. (1)若，求的外接圆的半径； (2)若，且，求; (3)若，求的周长. 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正弦定理求外接圆半径、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【分析】（1）由正弦定理求解即可； （2）由求出，然后由向量的数量积求解即可； （3）由求出，，分类讨论求出，然后由正弦定理求出各边长求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得：， 所以，故的外接圆的半径为. （2）因为， 所以由正弦定理得， 即， 所以，由于， 所以，即，所以，. （3）因为，所以， 又，所以， 即，， 所以，所以， 若为钝角，则，， 所以， 由正弦定理得， 所以，， 故的周长为； 若为锐角，则，， 所以， 由正弦定理得， 所以，， 故的周长为； 故的周长为或. 19．（24-25高一下·上海·阶段练习）某校学生在学农期间参观了某农村的蔬菜园地，已知该农村中某块蔬菜园地的形状为如图所示的四边形，经测量，边界m，，． (1)若的长为8m，求的长； (2)现需要沿该园地的边界修建篱笆（不计宽度）以提醒同学们不要随意进入该园地，问所需要的篱笆的最大长度为多少米？（提示：设） 【答案】(1)m (2)m 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形 【分析】（1）在中利用余弦定理即可； （2）设，在中利用正弦定理得出，再利用两角和差的正弦公式和辅助角公式化简，求三角函数的最值即可. 【详解】（1）由题意可知为等边三角形，即， 在中利用余弦定理得， 即，解得 m； （2）设，且， 则在中利用正弦定理得， 即， 则 ， 因，则，结合正弦函数图象可知，， 则，故， 则所需要的篱笆的最大长度为m. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$