专题04 复数11题型2易错（期末复习知识清单）高一数学下学期沪教版

专题04 复数 复数系与相关概念 （1）虚数单位，满足. （2）复数的代数形式：. （3）复数的相等：的充要条件是a、b同时为；复数的充要条件是且. （4）复数的实部与虚部：复数的实部是，虚部是；虚部为的复数是实数，虚部不为的复数称为虚数，实部为的虚数称为纯虚数. （5）复数的模：复数的模是. （6）复数的共轭：复数的共轭复数是. 复数的四则运算 （1）两个复数进行相加、相减或相乘时，仿照两个二项式进行相加、相减或相乘的规则计算，并用条件及合并同类项以化简结果. （2）两个复数进行除法（除数不为）运算时，将分子和分母同时乘分母的共轭复数，然后分子和分母分别做复数的乘法而得到运算结果. （3）复数模对乘、除的分配性：复数积（商）的模等于模的积（商）. 复数的坐标表示 （1）复平面：表示复数的直角坐标平面叫做复平面，其中轴叫做实轴，轴叫做虚轴. （2）复数的坐标表示与向量表示：复数可用复平面上坐标为的点来表示，也可以用从坐标原点出发的向量来表示. （3）复数模的几何意义：复数的模|z|等于点与原点的距离，也等于向量的模. （4）两个复数的和在复平面上所对应的向量就是两个复数对应的向量按平行四边形法则所得到的和向量. （5）两复数差的模的几何意义：两复数差的模是这两个复数在复平面上对应点之间的距离. 实系数一元二次方程 给定方程，并令为其判别式，则 （1）当时，方程有两个不相等的实根； （2）当时，方程有两个相等的实根（二重根）； （3）当时，方程有一对共轭虚根. 题型一、复数代数形式的乘法运算 【例1】（23-24高一下·上海·期末）若复数满足（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，进而根据复数的除法运算即可求解. 【详解】因为，故即， 所以. 故选：B. 【变式1】（24-25高一下·上海·期末）已知、都是实数，是关于的方程的一个根，________． 【答案】17 【分析】由方程在复数域中根的问题，再利用韦达定理可解. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以也是关于的方程的一个根， 则，解得， . 故答案为：17. 【变式2】（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知关于的实系数一元二次方程. (1)若一根为，求，的值； (2)设，是虚数根，记，，在复平面上对应点分别为，，，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由实系数一元二次方程的一个虚数根即可得到另一虚数根，明确两根后，根据韦达定理求出，的值； （2）解出方程的根，分别代入，，，利用复数在复平面上对应的点得到，，，再将三点坐标代入所求向量式即可. 【详解】（1）依题意可知，实系数一元二次方程的两根为，， 根据韦达定理，，解得，. （2）若，则方程的根为，， 若，则，，则，，， 所以； 若，则，，则，，， 所以； 故. 【变式3】（24-25高一下·湖南·期中）已知z是复数，若是实数，是纯虚数，其中i为虚数单位． (1)求复数； (2)设复数z，在复平面内所对应的向量分别是，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)且. 【分析】（1）由是实数，是纯虚数，列出等式求解即可； （2）由，且与不共线，列出不等式求解即可. 【详解】（1）设复数， 由是实数知，即， 所以． 又因为是纯虚数，则为纯虚数， 即且， 所以， 所以． （2）由（1）知， 则， 所以，， 因为向量与的夹角为钝角， 所以，且与不共线， 即，且 解得且. 题型二、复数的乘方 【例2】（22-23高一下·上海静安·期末）设，表示满足的最小正整数，则的值（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据的定义，利用复数的乘法运算求解. 【详解】解：因为， 所以， 又因为， 所以1， 所以， 所以， 故选：B 【变式1】（24-25高一下·上海·期末）______． 【答案】i 【分析】利用复数单位的整数次幂运算法则计算得解. 【详解】. 故答案为： 【变式2】（24-25高一下·上海·期末）已知为虚数单位，则________． 【答案】 【分析】根据虚数的性质，准确计算，即可求解. 【详解】由虚数的性质，可得， 可得. 故答案为： 【变式3】（24-25高一下·上海浦东新·期末）计算______． 【答案】 【分析】利用复数的除法运算及乘法运算求解. 【详解】依题意，， 所以. 故选：. 题型三、复数范围内分解因式 【例3】（24-25高一下·上海浦东新·期末）在复数范围内分解因式______． 【答案】 【分析】利用平方差公式以及复数运算来求得正确答案. 【详解】 . 故答案为： 【变式1】在复数范围内分解因式=_______________. 【答案】 【分析】先求得的根，然后进行因式分解. 【详解】由得， 解得， 所以. 故答案为： 【变式2】设方程的两个根为，且，则实数m的值是________. 【答案】0或2 【分析】当为实数根时，利用根与系数关系即可求出结果； 当为虚数根时，原方程的根是，利用复数模的定义即可求出结果. 【详解】当为实数根时， 方程的两个根为， ， ， ， ； 当为虚数根时，原方程的根是， ， ， 或， 故答案为：0或2. 【变式3】在复数范围内分解因式：______． 【答案】 【分析】将原式配成完全平方式，再根据，即可得解； 【详解】解： 故答案为： 题型四、复数范围内方程的根 【例4】（24-25高一下·福建福州·期中）若是关于的方程的一个根，则_______． 【答案】 【分析】先由方程复数根互为共轭复数可得为另外一个根，再用韦达定理求解即可. 【详解】根据方程复数根互为共轭复数，可得为另外一个根. 利用韦达定理结合复数的加法和乘法运算可知 ， 故答案为：. 【变式1】（24-25高一下·上海·期末）设，已知、是关于的方程的两个虚根． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，，求和的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由韦达定理可求； （2）根据题意可得，然后根据虚数根，利用判别式即可求解； （3）设设，则，根据题意可求，再利用韦达定理求即可. 【详解】（1），方程为， 所以. （2），、是关于的方程的两个虚根 所以，解得， 所以的取值范围为. （3）设，则， ， ， 由韦达定理， ， 所以. 【变式2】（24-25高一下·上海·期末）设，是实系数一元二次方程的两个虚根，且，满足：，求实数，的值． 【答案】 【分析】设，，代入，根据复数相等计算得，再利用韦达定理计算即可. 【详解】因为，是实系数一元二次方程的两个虚根， 故设，， 因为，满足：， 所以， 化简得， 所以 所以，， 所以，. 【变式3】（24-25高一下·上海浦东新·期末）（1）是虚数单位，为何值时，复数为纯虚数？ （2）已知关于的实系数一元二次方程的一个根为，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由纯虚数的概念即可列式求解； （2）由韦达定理即可求解. 【详解】（1）若复数为纯虚数， 则，解得； （2）关于的实系数一元二次方程的一个根为， 则另一个根为， 所以由韦达定理得，解得. 题型五、复数的除法运算 【例5】（24-25高一下·上海·期末）已知，若，其中为虚数单位，则__________. 【答案】 【分析】根据复数的运算法则即可求解. 【详解】. 故答案为：. 【变式1】（24-25高一下·上海·期末）若复数满足，则_____ 【答案】 【分析】由条件可得，结合复数运算可求结论. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为：. 【变式2】（24-25高一下·上海·期末）已知a是实数，并且是实数，则______． 【答案】 【分析】利用复数除法计算，再利用复数类型列式求解. 【详解】依题意，， 由是实数，得，所以. 故答案为： 【变式3】（24-25高一下·上海·期末）已知实数、使得，则_______． 【答案】4 【分析】根据复数的运算公式，即可化简求值. 【详解】， 则，得. 故答案为：4 题型六、求复数的实部与虚部 【例6】（24-25高一下·上海·期末）已知为虚数单位，复数的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数的乘法运算及复数的概念可得. 【详解】，所以的虚部为1. 故选：A. 【变式1】（24-25高一下·上海松江·期末）复数（其中为虚数单位）的虚部是______． 【答案】-1 【分析】根据复数的概念可知. 【详解】由题可知：的虚部是-1. 故答案为：-1 【变式2】（24-25高一下·上海·期末）若复数满足，为虚数单位，则的实部为________． 【答案】 【分析】利用复数的除法化简复数，结合复数的概念可得出复数的实部. 【详解】因为，则，故复数的实部为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一下·上海浦东新·期末）复数（其中是虚数单位）的实部是___________. 【答案】/ 【分析】先化简复数，再确定复数的实部. 【详解】由题得， 所以复数的实部为. 故答案为：. 题型七、共轭复数的概念及计算 【例7】（24-25高一下·上海·期末）复数（为虚数单位）的共轭复数________． 【答案】 【分析】根据共轭复数定义求解即可. 【详解】复数（为虚数单位）的共轭复数． 故答案为：. 【变式1】（24-25高一下·上海浦东新·期末）若，则_________． 【答案】 【分析】利用共轭复数的定义与复数的乘法法则即可求解. 【详解】由，可得，所以. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一下·上海浦东新·期末）设，则______． 【答案】 【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 【变式3】（24-25高一下·上海·期末）若复数（i为虚数单位），则______. 【答案】 【分析】本题可先对复数进行化简，再根据共轭复数的定义求出. 【详解】∵， ∴. 故答案为：. 题型八、复数的相等 【例8】（24-25高一下·上海·期末）已知复数，以下关于复数运算性质的表述，正确的是（    ）． A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】B 【分析】根据特例及复数的相关性质即可求解. 【详解】对于AD，若， 此时，则，，故AD错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为得， 题目未限定，使用无法推出，故C错误. 故选：B. 【变式1】（24-25高一下·上海·期末）已知复数，若，则实数的取值范围为___________． 【答案】； 【分析】利用复数相等的概念结合二次函数和三角函数的有界性求解即可. 【详解】因为 所以 所以 所以 又因为 所以 即 令 则 由二次函数的性质知： 该函数对称轴为： 所以当时，该函数取最大值为6， 当时，该函数取最小值 故答案为：. 【变式2】（24-25高一下·上海·期末）已知复数是关于的方程的一个根，则_______． 【答案】 【分析】将复数代入到方程中，得到复数等式，结合复数的模求解即可. 【详解】将复数代入到方程中,所以 化简整理得： 所以 解得： 所以 故答案为：. 【变式3】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，其中、，则_________． 【答案】 【分析】根据复数相等可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得解. 【详解】因为，其中、， 由复数相等可得，解得，因此，. 故答案为：. 题型九、复数的坐标表示 【例9】（24-25高一下·上海·期末）设复数和在复平面上所对应的点分别为和，其中为虚数单位，则向量所对应的复数在复平面上所对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【分析】由复数的几何意义及平面向量的坐标运算求解． 【详解】依题意得，， 则， 得向量所对应的复数在复平面上所对应的点为：， 则点位于第一象限， 故选：A 【变式1】（22-23高一下·上海闵行·期末）在复平面上，设点、对应的复数分别为、，当由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出取临界值时点的坐标、，即可得到图象，向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和，即向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积，从而求得向量所扫过的图形区域的面积. 【详解】由题意可得，点在单位圆上，点的坐标为， 如图：当时，点的坐标为，当时，点的坐标为， 向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和. 由于，关于实轴对称，所以的面积等于的面积(因为这两个三角形同底且等高)， 故向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积， 因为，所以扇形的面积为等于. 故选：B.    【变式2】（24-25高一下·上海浦东新·期末）设复数和复数在复平面上分别对应的向量分别是和，则______． 【答案】 【分析】根据题意，得到和的坐标，求得，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】由复数和复数在复平面上分别对应的向量分别是和， 可得，，所以， 所以. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一下·上海·期末）在复平面上，复数，对应的点分别为A、B，O为坐标原点，则_________. 【答案】1 【分析】由复数几何意义即可得A、B两点坐标，再由向量坐标形式的数量积公式即可求解. 【详解】由题得， 所以. 故答案为：1. 题型十、判断复数对应的点所在的象限 【例10】（23-24高一下·上海·期末）设是虚数单位，若复数为纯虚数，则复数在复平面上所对应的点在（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】设，，根据复数的乘方运算以及复数的几何意义即可判断. 【详解】设，，则，因为， 则其在复平面上所对应的点在第二象限， 故选：B. 【变式1】（22-23高一下·上海长宁·期末）已知复数，，且复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据复数的除法运算先求出，再根据共轭复数的关系求出复数，根据复数的几何意义，即可求出结果. 【详解】因为复数，， 所以， 所以复数，所以在复平面内对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 【变式2】（23-24高一下·上海·期末）已知为虚数单位，若复数满足：，则复数在复平面内所对应的点在第_____象限． 【答案】二 【分析】先根据复数的乘方及除法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得解. 【详解】由，得， 所以复数在复平面内所对应的点为，在第二象限. 故答案为：二. 【变式3】（23-24高一下·浙江·期中）已知复数，，则在复平面内对应的点位于第________象限． 【答案】二 【分析】利用复数的减法化简复数，利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】根据题意，， 所以在复平面内对应的点为，在第二象限． 故答案为：二 题型十一、求复数的模 【例11】（24-25高一下·上海·期末）若复数在复平面上所对应的向量分别是、，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判定 【答案】C 【分析】由题可得， ，然后由基本不等式结合题意可判断选项正误. 【详解】， 则 ， 则. 由基本不等式，. 当，且时，等号成立，则. 故选：C 【变式1】（24-25高一下·上海金山·期末）若复数满足，其中为虚数单位，则___________. 【答案】 【分析】根据复数的除法和模的公式即可求解. 【详解】由，得，故. 故答案为： 【变式2】（24-25高一下·上海·期末）若复数满足，则的最小值是_____ 【答案】5 【分析】设，，由条件可得，设复数在复平面上的对应点为，则点在直线上，结合条件可得等于到点和点的距离和，结合结论两点之间线段最短可求结论. 【详解】设，， 则，， 因为，所以， 所以，故， 设复数在复平面上的对应点为，则点在直线上， 又， 所以， 所以等于到点和点的距离和， 因为，当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 由已知线段的方程为，， 联立，可得， 所以当的坐标为，取最小值，最小值为， 所以当时，取最小值，最小值为， 故答案为：. 【变式3】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】据复数模的几何意义，即可求得的取值范围. 【详解】表示在复平面上对应的点是单位圆上的点， 的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离， 因为， 所以的最小距离为，最大距离为， 所以的取值范围为. 故答案为：. 题型一、由复数模求参数 【例1】（24-25高一下·上海·期末）若复数满足，则_____． 【答案】或 【分析】首先设复数，再代入复数模的运算公式，即可求解. 【详解】设，，则，， 即，则，得， 即，解得：或， 所以或. 故答案为：0或 【变式1】（24-25高一下·上海·期末）已知关于的方程有两个复数根． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)或4 【分析】（1）已知方程，结合讨论判别式的情况，得出关于的不等式组求解. （2）分和两种情况讨论，当，通过韦达定理得到，，结合得到关于的方程求解；当时，两虚数根与是共轭虚数，根据求解. 【详解】（1）已知，则. 若，根为实数，虚部为0，不满足. 若，根为虚数，由求根公式得：. 由可知，，. 所以 （2）i）当，即时，由韦达定理知：，. 若，两根异号，. 由或（，故舍去）. 若，两根同号为负，， 由，矛盾，舍去. ii）当，即时，与是共轭虚数，则，结合，得， 综上，或4. 【变式2】（24-25高一下·上海黄浦·期末）已知关于x的方程． (1)若（为虚数单位）是该方程的一个根，求b与c的值； (2)已知是该方程的两个复数根，且，若，求b的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据一元二次方程的复数根互为共轭复数，再结合韦达定理即可得解； （2）讨论两根是实数、虚数两种情况，当两根为虚数时，设，则，再根据韦达定理结合复数的模的计算公式求解即可. 【详解】（1）因为是方程的一个根， 所以也是方程的一个根， 则，解得； （2）当都是实数时，则， 故， 又因为， 所以，解得或， 经检验，当时，不符题意，所以； 当都是虚数时，设，则， 则， 所以，所以， 又，则，解得， 经检验，不符合题意，所以. 综上所述，或. 【变式3】（24-25高一下·上海宝山·期末）已知关于的实系数一元二次方程. (1)若（是虚数单位）是此方程的一个根.求、的值； (2)若是此方程的两个虚根，且满足，，求、的值. 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）利用方程根的定义列式，再利用复数为0求得答案. （2）求出方程的两个高根，再利用复数模的意义求解. 【详解】（1）由是的一个根，得， 整理得，而，则， 所以. （2）依题意，设， 由，得，即， 又，所以，则， 代入，得， 根据韦达定理，， 当时，；当时，，都满足， 所以. 题型二、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【例2】（24-25高一下·上海宝山·期末）复数、分别对应复平面内的点、，若，则（其中为坐标原点），是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个锐角为的直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查复数运算与复平面几何意义，通过对等式变形分析复数关系，判断三角形形状. 【详解】依题意，，若，则（反之亦成立）， 则与原点重合，与已知能组成三角形矛盾，所以. 由，两边除以（），设，则方程变为： ，解得 由，得. 所以， ，故. 在中： ，，即（等腰）. 由勾股定理：， 而，故（直角）. 综上，是等腰直角三角形. 故选：C 【变式1】（24-25高一下·上海·期末）若，且，则的最小值是__________. 【答案】/ 【分析】根据复数模的几何意义，数形结合，可求解. 【详解】因为，所以复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆. 表示点到点的距离. 如图：    可知当共线，且在之间时，取得最小值，为. 故答案为： 【变式2】（24-25高一下·上海杨浦·期末）已知是虚数单位，若，且，则的取值范围为_________． 【答案】 【分析】设，由已知得在复平面的轨迹是以为圆心，为半径的圆，利用圆心到原点的距离加减半径可得答案. 【详解】设，由得， 可得在复平面的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以，即. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一下·上海浦东新·期末）如果复数满足，那么的最大值是___________. 【答案】 【分析】首先将看作是点到两点距离之和为3，然后判断点的轨迹，然后将看作是点到点的距离，最后根据图象即可计算的最大值. 【详解】复数满足， 将其可以看作是点到两点距离之和为3. 因为，所以点的轨迹为线段. 而表示的是点到点的距离， 要求其距离的最大值，则根据图象可知点到点的距离最大， 即. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 复数 复数系与相关概念 （1）虚数单位，满足. （2）复数的代数形式：. （3）复数的相等：的充要条件是a、b同时为；复数的充要条件是且. （4）复数的实部与虚部：复数的实部是，虚部是；虚部为的复数是实数，虚部不为的复数称为虚数，实部为的虚数称为纯虚数. （5）复数的模：复数的模是. （6）复数的共轭：复数的共轭复数是. 复数的四则运算 （1）两个复数进行相加、相减或相乘时，仿照两个二项式进行相加、相减或相乘的规则计算，并用条件及合并同类项以化简结果. （2）两个复数进行除法（除数不为）运算时，将分子和分母同时乘分母的共轭复数，然后分子和分母分别做复数的乘法而得到运算结果. （3）复数模对乘、除的分配性：复数积（商）的模等于模的积（商）. 复数的坐标表示 （1）复平面：表示复数的直角坐标平面叫做复平面，其中轴叫做实轴，轴叫做虚轴. （2）复数的坐标表示与向量表示：复数可用复平面上坐标为的点来表示，也可以用从坐标原点出发的向量来表示. （3）复数模的几何意义：复数的模|z|等于点与原点的距离，也等于向量的模. （4）两个复数的和在复平面上所对应的向量就是两个复数对应的向量按平行四边形法则所得到的和向量. （5）两复数差的模的几何意义：两复数差的模是这两个复数在复平面上对应点之间的距离. 实系数一元二次方程 给定方程，并令为其判别式，则 （1）当时，方程有两个不相等的实根； （2）当时，方程有两个相等的实根（二重根）； （3）当时，方程有一对共轭虚根. 题型一、复数代数形式的乘法运算 【例1】（23-24高一下·上海·期末）若复数满足（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一下·上海·期末）已知、都是实数，是关于的方程的一个根，________． 【变式2】（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知关于的实系数一元二次方程. (1)若一根为，求，的值； (2)设，是虚数根，记，，在复平面上对应点分别为，，，求的值. 【变式3】（24-25高一下·湖南·期中）已知z是复数，若是实数，是纯虚数，其中i为虚数单位． (1)求复数； (2)设复数z，在复平面内所对应的向量分别是，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 题型二、复数的乘方 【例2】（22-23高一下·上海静安·期末）设，表示满足的最小正整数，则的值（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1】（24-25高一下·上海·期末）______． 【变式2】（24-25高一下·上海·期末）已知为虚数单位，则________． 【变式3】（24-25高一下·上海浦东新·期末）计算______． 题型三、复数范围内分解因式 【例3】（24-25高一下·上海浦东新·期末）在复数范围内分解因式______． 【变式1】在复数范围内分解因式=_______________. 【变式2】设方程的两个根为，且，则实数m的值是________. 【变式3】在复数范围内分解因式：______． 题型四、复数范围内方程的根 【例4】（24-25高一下·福建福州·期中）若是关于的方程的一个根，则_______． 【变式1】（24-25高一下·上海·期末）设，已知、是关于的方程的两个虚根． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，，求和的值． 【变式2】（24-25高一下·上海·期末）设，是实系数一元二次方程的两个虚根，且，满足：，求实数，的值． 【变式3】（24-25高一下·上海浦东新·期末）（1）是虚数单位，为何值时，复数为纯虚数？ （2）已知关于的实系数一元二次方程的一个根为，求的值. 题型五、复数的除法运算 【例5】（24-25高一下·上海·期末）已知，若，其中为虚数单位，则__________. 【变式1】（24-25高一下·上海·期末）若复数满足，则_____ 【变式2】（24-25高一下·上海·期末）已知a是实数，并且是实数，则______． 【变式3】（24-25高一下·上海·期末）已知实数、使得，则_______． 题型六、求复数的实部与虚部 【例6】（24-25高一下·上海·期末）已知为虚数单位，复数的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【变式1】（24-25高一下·上海松江·期末）复数（其中为虚数单位）的虚部是______． 【变式2】（24-25高一下·上海·期末）若复数满足，为虚数单位，则的实部为________． 【变式3】（24-25高一下·上海浦东新·期末）复数（其中是虚数单位）的实部是___________. 题型七、共轭复数的概念及计算 【例7】（24-25高一下·上海·期末）复数（为虚数单位）的共轭复数________． 【变式1】（24-25高一下·上海浦东新·期末）若，则_________． 【变式2】（24-25高一下·上海浦东新·期末）设，则______． 【变式3】（24-25高一下·上海·期末）若复数（i为虚数单位），则______. 题型八、复数的相等 【例8】（24-25高一下·上海·期末）已知复数，以下关于复数运算性质的表述，正确的是（    ）． A．若，则 B． C．若，则 D． 【变式1】（24-25高一下·上海·期末）已知复数，若，则实数的取值范围为___________． 【变式2】（24-25高一下·上海·期末）已知复数是关于的方程的一个根，则_______． 【变式3】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，其中、，则_________． 题型九、复数的坐标表示 【例9】（24-25高一下·上海·期末）设复数和在复平面上所对应的点分别为和，其中为虚数单位，则向量所对应的复数在复平面上所对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【变式1】（22-23高一下·上海闵行·期末）在复平面上，设点、对应的复数分别为、，当由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一下·上海浦东新·期末）设复数和复数在复平面上分别对应的向量分别是和，则______． 【变式3】（23-24高一下·上海·期末）在复平面上，复数，对应的点分别为A、B，O为坐标原点，则_________. 题型十、判断复数对应的点所在的象限 【例10】（23-24高一下·上海·期末）设是虚数单位，若复数为纯虚数，则复数在复平面上所对应的点在（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（22-23高一下·上海长宁·期末）已知复数，，且复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（23-24高一下·上海·期末）已知为虚数单位，若复数满足：，则复数在复平面内所对应的点在第_____象限． 【变式3】（23-24高一下·浙江·期中）已知复数，，则在复平面内对应的点位于第________象限． 题型十一、求复数的模 【例11】（24-25高一下·上海·期末）若复数在复平面上所对应的向量分别是、，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判定 【变式1】（24-25高一下·上海金山·期末）若复数满足，其中为虚数单位，则___________. 【变式2】（24-25高一下·上海·期末）若复数满足，则的最小值是_____ 【变式3】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，则的取值范围是_________． 题型一、由复数模求参数 【例1】（24-25高一下·上海·期末）若复数满足，则_____． 【变式1】（24-25高一下·上海·期末）已知关于的方程有两个复数根． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的值． 【变式2】（24-25高一下·上海黄浦·期末）已知关于x的方程． (1)若（为虚数单位）是该方程的一个根，求b与c的值； (2)已知是该方程的两个复数根，且，若，求b的值． 【变式3】（24-25高一下·上海宝山·期末）已知关于的实系数一元二次方程. (1)若（是虚数单位）是此方程的一个根.求、的值； (2)若是此方程的两个虚根，且满足，，求、的值. 题型二、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【例2】（24-25高一下·上海宝山·期末）复数、分别对应复平面内的点、，若，则（其中为坐标原点），是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个锐角为的直角三角形 【变式1】（24-25高一下·上海·期末）若，且，则的最小值是__________. 【变式2】（24-25高一下·上海杨浦·期末）已知是虚数单位，若，且，则的取值范围为_________． 【变式3】（24-25高一下·上海浦东新·期末）如果复数满足，那么的最大值是___________. 试卷第1页，共3页 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $