专题07 第9章 复数（6考点清单，知识导图+7个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020必修第二册）

清单07 第9章 复数 （6个考点梳理+7题型解读+提升训练） 清单01 复数的有关概念 知识点01：复数相等 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. 清单02 复数的分类 知识点01：复数的分类 对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下: 清单03 复数的几何意义 （1）复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 （2）复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 清单04 复数的模 知识点01：复数的模 （1）向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). （2）()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 清单05 复数的四则运算 知识点01：复数代数形式的乘，除法运算 （1）复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 （2）复数的除法法则 （） 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数. 清单06 共轭复数 知识点01：共轭复数 （1）定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. （2）表示方法 表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则. 知识点02：共轭复数的性质 设，（） ①；②为实数；③且为纯虚数 ④；⑤，， 【考点题型一】复数的有关概念（） 【例1】（24-25高二下·上海·期中）已知i是虚数单位，则复数的虚部为 . 【答案】1 【知识点】求复数的实部与虚部、求复数的模、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数的模，共轭复数，复数虚部的概念求解. 【详解】由，所以该复数的虚部为1. 故答案为：1. 【变式1-1】.（2024·上海普陀·模拟预测）对于复数（i是虚数单位），则 . 【答案】 【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算 【分析】先进行复数乘法运算，再根据共轭复数和虚部概念求解即可. 【详解】由题意，所以，则. 故答案为：. 【变式1-2】.（24-25高三上·上海·期中）已知复数（为虚数单位），则的虚部为 . 【答案】 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【分析】根据除法运算可得，进而可得虚部. 【详解】因为复数，所以的虚部为. 故答案为：. 【变式1-3】.（24-25高三上·上海·阶段练习）复数（是虚数单位）的实部是 【答案】1 【知识点】复数的除法运算、求复数的实部与虚部 【分析】由复数除法运算化简复数为代数形式，再根据定义可得． 【详解】，实部为1， 故答案为：1. 【变式1-4】.（24-25高一·上海·随堂练习）设复数，其中i为虚数单位，则Imz＝ ． 【答案】 【知识点】复数的除法运算、求复数的实部与虚部 【分析】运用复数除法规则，先化简，再根据虚部定义得解. 【详解】，． 故答案为：. 【考点题型二】复数的分类（） 【例2】（23-24高一·上海·课堂例题）下列关于复数z和的命题是真命题还是假命题？请给出结论并说明理由． (1)一定是实数； (2)一定是纯虚数； (3)若，则是实数； (4)若，则是纯虚数． 【答案】(1)真命题，理由见解析 (2)假命题，理由见解析 (3)真命题，理由见解析 (4)假命题，理由见解析 【知识点】判断命题的真假、复数的分类及辨析、共轭复数的概念及计算 【分析】（1）（2）（3）（4）设复数，并求出，结合各项给定条件判断真假. 【详解】（1）设复数，则，，一定是实数，真命题； （2）由，而当时，不是纯虚数，假命题； （3）若，则，则z是实数，真命题； （4）若，则，而当时，z不是纯虚数，假命题． 【变式2-1】.（24-25高一下·上海·期中）已知为虚数单位，设，若为纯虚数，则的值为 . 【答案】3 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】由纯虚数的定义计算可得. 【详解】由题意可得，解得所以. 故答案为：3. 【变式2-2】.（24-25高三上·上海·阶段练习）设.若为纯虚数(i为虚数单位)，则a= . 【答案】-2 【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算 【分析】先将展开化简，然后根据纯虚数的概念来求解的值. 【详解】展开, 因为，所以原式可化为. 因为为纯虚数，所以实部，解得. 此时虚部，符合纯虚数的定义. 故答案为：-2 【变式2-3】.（24-25高三下·上海·阶段练习）已知复数z的虚部为1，且为实数，则 ． 【答案】 【知识点】已知复数的类型求参数、复数的除法运算 【分析】令，由复数的四则运算即可求解； 【详解】令，则 因为为实数， 所以，解得：， ， 当时，， 当时，， 所以 故答案为： 【变式2-4】.（24-25高一下·上海宝山·期中）已知复数是纯虚数，则复数的虚部为 【答案】10 【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算、已知复数的类型求参数 【分析】利用复数的乘法运算，结合纯虚数的定义求解. 【详解】依题意，，由是纯虚数，得， 解得，因此， 所以复数的虚部为10. 故答案为：10 【考点题型三】复数的几何意义（） 【例3】（24-25高一下·上海·期中）复数，在复平面上对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数的乘法运算先求复数，由复数的几何意义即可求解. 【详解】由，所以复数在复平面对应的点，所以点在第三象限， 故选：C. 【变式3-1】.（24-25高三下·上海静安·期中）若复数（a、，是虚数单位）在复平面上对应的点位于第二象限，则（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数、复数的除法运算 【分析】先根据复数的除法化简，再根据复数的几何意义即可得解. 【详解】， 因为复数（a、，是虚数单位）在复平面上对应的点位于第二象限， 所以，解得. 故选：D. 【变式3-2】.（24-25高二上·上海·阶段练习）在复平面内，向量、分别对应复数、，则对应的复数为 【答案】 【知识点】复数加减法的代数运算、复数的向量表示 【分析】根据复数与向量的对应关系，即可求解. 【详解】，所以向量对应的复数为. 故答案为： 【变式3-3】.（23-24高一下·上海·阶段练习）已知为虚数单位，复数满足．则取最大值时，在复平面上以对应的点，为顶点的三角形的形状是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【知识点】求复数的模、共轭复数的概念及计算、复数的坐标表示 【分析】假设，根据模长公式构造关于的函数，从而可确定当取最大值时，的取值，从而求得；利用两点间距离公式表示出所构成三角形的三边长，从而可确定三角形形状. 【详解】因为 ，所以可设， 所以， 所以， 当时，取最大值， 即当，即时，取最大值， 此时， 所以对应的点， 所以，， ， 所以，根据各边关系易知各边对应角为锐角， 所以该图形为等腰三角形. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键在于能够根据的模长将为，从而可利用三角函数的知识确定的最大值，根据复数几何意义可确定对应的点的坐标，进而可求得三角形的各个边长. 【变式3-4】.（23-24高一下·上海·期中）设复数满足，则当取最大值时，对应的复平面上点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】复数的坐标表示、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据复数模的几何意义，可得的轨迹为以为圆心，半径长为1的圆，结合圆上的点到定点的距离最值及三角函数计算即可得. 【详解】复数对应的点到对应点的距离是1， 所以对应的点在以为圆心､半径长为1的圆上， 当直线经过原点时，到的距离最大，即取最大值， 此时， 又,故， 则，， 故的坐标是． 故答案为：. 【考点题型四】复数的模（） 【例4】（2025·上海嘉定·二模）已知复数满足，则的值为 ． 【答案】 【知识点】复数的向量表示、与复数模相关的轨迹（图形）问题、求复数的模 【分析】利用复数的几何意义，把复数和平面向量建立一一对应关系，再利用向量的加减运算及平行四边形的性质即可. 【详解】设对应的复数为，对应的复数为， 则对应的复数为，对应的复数为， 因为， 由平行四边形的性质可得： 所以 故答案为： 【变式4-1】.（24-25高一下·上海宝山·期中）已知复数 满足 ，则 . 【答案】 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】利用复数的模的性质求解 【详解】， 故答案为： 【变式4-2】.（2025·上海奉贤·二模）已知为虚数单位，复数满足，则= ． 【答案】 【知识点】复数的相等、求复数的模 【分析】根据相等复数，结合模长公式，可得答案. 【详解】设，由， 则，即，所以. 故答案为：. 【变式4-3】.（2025·上海闵行·二模）已知i是虚数单位，则 ． 【答案】 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】由复数的除法运算结合模长计算即可. 【详解】. 故答案为：. 【变式4-4】.（2024·上海普陀·一模）设为虚数单位，若复数满足，则 . 【答案】2 【知识点】求复数的模、复数的相等、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】设复数，，计算出，利用复数相等求出，即得. 【详解】设复数，，则， 所以， 因为， 所以， 则，所以. 故答案为：. 【考点题型五】复数的四则运算（） 【例5】（24-25高一上·上海·单元测试）若复数，则 . 【答案】 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】运用复数的乘方，除法，乘法法则结合模长性质计算即可. 【详解】模长的性质：. . 故答案为：. 【变式5-1】.（2025·上海普陀·二模）已知复数，其中i为虚数单位，则 . 【答案】 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】根据复数的运算求出，再根据共轭复数的概念求解即可. 【详解】因为， . 故答案为： 【变式5-2】.（2025·上海·模拟预测）为虚数单位，若复数满足，则 . 【答案】 【知识点】求复数的模、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】由，即可求模长. 【详解】由题设. 故答案为： 【变式5-3】.（24-25高三上·上海·阶段练习）已知复数 (i为虚数单位)，则 ． 【答案】/ 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】由负数的运算化简，再由复数的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 【变式5-4】.（2025·上海长宁·二模）复数，，则 ． 【答案】/ 【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】由已知可得，根据复数的乘法运算即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 【考点题型六】共轭复数（） 【例6】（2025·上海黄浦·二模）为虚数单位，若复数满足且，则 ． 【答案】 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的相等、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】设出复数的代数形式，由给定条件列式，结合复数乘法及复数相等求解. 【详解】设，则，由，得，解得， 即，由，得，所以. 故答案为： 【变式6-1】.（23-24高一下·上海·阶段练习）已知复数的共轭复数为，则下列命题错误的是（    ） A． B．为纯虚数 C． D． 【答案】B 【知识点】求复数的模、共轭复数的概念及计算、复数的分类及辨析、复数的乘方 【分析】设，则，根据复数的加减法运算、几何意义、乘方运算与共轭复数的概念，结合选项依次判断即可. 【详解】由题意知，设，则. A：，故A正确； B：，当时，为纯虚数，故B错误； C：，，所以，故C正确； D：，， 所以，则，故D正确. 故选：B 【变式6-2】.（24-25高三上·上海·期中）已知，则 . 【答案】5 【知识点】求复数的模、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】先求得，进而结合共轭复数的定义得到，再求共轭复数的模长即可. 【详解】因为，所以， 则，即. 故答案为：5. 【变式6-3】.（23-24高三上·上海青浦·开学考试）已知复数z满足，则复数z为 . 【答案】 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】运用复数除法化简，再结合共轭复数概念得解. 【详解】,则，则. 故答案为：． 【变式6-4】.（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数，求的值． 【答案】 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】由题意，利用共轭复数的概念求出，再利用两个复数代数形式的乘除法，计算求得结果． 【详解】解：复数，，， ． 【考点题型七】新定义题（） 【例7】（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离．设复数，且，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义，结合圆的性质求解. 【详解】为， 表示复平面内复数z对应的点与点的距离为， 因此点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，表示点与点的距离， 而，则， 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式7-1】.（23-24高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】D 【知识点】求复数的实部与虚部、求复数的模、判断复数对应的点所在的象限、复数的三角表示 【分析】代入即可判断A；代入即可判断B；对等式右边进行代换化解即可判断C；代入，再计算相应相应的模，再利用三角形面积公式即可判断D. 【详解】对于A，，其虚部为1，A错误； 对于B， ，复数在复平面内对应的点位于第一象限，B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，，， ，， 因此的面积为：，面积的最大值为，D正确. 故选：D 【变式7-2】.（24-25高二上·上海·阶段练习）在个数字的全排列中，若一个较大的数字排在一个较小的数字的前面，则称它们构成逆序，这个排列的逆序的个数，称为这个排列的逆序数，记为.例如：，，.若为奇数，则该排列称为奇排列，若为偶数，则该排列称为偶排列.请计算： .（其中，其中为虚数单位） 【答案】 【知识点】数与式中的归纳推理、虚数单位i及其性质、比较对数式的大小 【分析】借助对数函数图象的规律，先比较，，的大小，再写出逆序数，最后利用复数的运算即可求解. 【详解】 如图，借助对数函数的图象，可知， 由逆序数的定义可得，， 所以. 故答案为：. 【变式7-3】.（24-25高一下·上海·期中）已知，为虚数单位．定义，． (1)计算，； (2)求集合在复平面上对应的区域的面积； (3)若，求的最大值，并求当取得最大值时的值． 【答案】(1)， (2) (3)，此时 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数综合 【分析】（1）根据所给定义计算可得； （2）设，即可得到，从而确定集合在复平面上对应的区域，即可求出相应的面积； （3）设，即可得到，确定在复平面的轨迹，即可求出的最大值以及此时的. 【详解】（1）因为，， 所以，； （2）设，则， 所以，， 由且，即，即， 所以集合在复平面上对应的区域如下图阴影部分所示（不包含、轴部分）， 所以集合在复平面上对应的区域的面积. （3）设，则， 又，即， 所以当时，当时，当时， 当时， 所以复数在复平面内所对应的轨迹如下所示： 其中，，，， 所以当时取得最大值，且，此时 提升训练 一、填空题 1．（2025·上海浦东新·二模）若关于的方程的一个虚根的模为，则实数的值为 ． 【答案】4 【知识点】由复数模求参数、复数范围内方程的根 【分析】设关于的方程的两根虚根为，则且，即可求出的值，再代入检验. 【详解】设关于的方程的两根虚根为，则且， 所以，又，所以， 当时，，所以关于的方程有两个不相等实数根，不符合题意； 当时，，所以关于的方程有两个虚根，符合题意； 所以. 故答案为： 2．（24-25高一下·上海·期中）若都是实数，关于的方程有一个根，则 . 【答案】7 【知识点】复数的相等、复数范围内方程的根 【分析】根据题意，将代入方程，然后由复数相等列出方程，即可得到结果. 【详解】将代入方程可得， 化简可得， 即， 则，解得. 故答案为： 3．（2025·上海徐汇·二模）复数（其中为虚数单位）的虚部是 ． 【答案】/0.5 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【分析】根据复数除法，化简，进而直接写出虚部即可. 【详解】，故其虚部为. 故答案为：. 4．（24-25高三下·上海·阶段练习）设复数满足（为虚数单位），则的模为 ． 【答案】 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】由已知根据复数的除法运算可得，再根据复数的模的运算求解即可. 【详解】由已知可得， 所以， 所以的模为. 故答案为：. 5．（24-25高三下·上海·阶段练习）设i是虚数单位，则 ． 【答案】 【知识点】求复数的模、复数的乘方 【分析】根据虚数的性质即可求得代数式的值. 【详解】. 故答案为：. 6．（24-25高二下·上海·开学考试）已知是关于的方程的一个根，则 ． 【答案】 【知识点】复数的相等、复数范围内方程的根 【分析】将代入方程，化简后利用实部与虚部等于零，列方程组求解即可. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以，整理得， 所以，解得，故， 故答案为：． 7．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知复数满足，则的最大值为 【答案】7 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据复数运算的几何意义，把问题转化为点到圆上的点的距离的取值范围求解. 【详解】如图： 因为复数满足，所以复数对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上. 又表示点到点的距离. 结合图形可知，当，，三点共线，且，在点两侧时，最大， 此时. 所以. 故答案为：7 8．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知为复数，满足，则的值是 【答案】 【知识点】求复数的实部与虚部、由复数模求参数 【分析】根据题意分析可得为纯虚数，且虚部小于0，设，代入方程可得，解得y 即可得到答案. 【详解】由已知得，且，故为纯虚数，且虚部小于0， 设，代入方程可得， 解得或 （正根舍去）， 故，. 故答案为：. 9．（23-24高一下·上海静安·期末）若复数满足（为虚数单位），则 ． 【答案】 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】利用复数的除法可求，求出后可求. 【详解】，故，故， 故答案为：. 10．（23-24高一下·上海闵行·期末）若复数，满足．且（i为虚数单位），则 ． 【答案】 【知识点】复数的相等、求复数的模 【分析】令，，根据复数的相等可求得，代入复数模长的公式中即可得到结果. 【详解】设，， ， ，又，所以，， ， ， . 故答案为：. 二、单选题 11．（24-25高一下·上海·期中）设、，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、复数的相等、求复数的模 【分析】根据复数相等的定义以及充分必要条件的定义判断即可 【详解】若，则，故充分性成立； 设1，，符合，但不成立，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 12．（23-24高一·上海·课堂例题）设复数，则是纯虚数的充要条件是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【知识点】已知复数的类型求参数、复数的乘方 【分析】根据复数的乘方运算化简复数，再由纯虚数的定义即可求解. 【详解】因为， 所以， 因为为纯虚数， 所以且， 所以为纯虚数的充要条件为. 故选：C. 13．（23-24高一下·上海·期末）已知，则下列命题中正确的个数为（    ） ①若，则 ②若为虚数，则中至少有一个为虚数． ③在复平面上所对应的点一定在虚轴上． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】特例验证①③的真假，用复数减法运算判断②的真假. 【详解】对①：因为，但，所以①错误； 对②：根据虚数减法的运算法则，可知②是正确的； 对③：若，则，所对应的点不在虚轴上，故③错误. 故选：B 14．（23-24高一下·上海·期末）已知为复数，则下列命题不正确的个数是（    ）． （1）若，则为实数；（2）若，则为纯虚数；（3）若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】复数的乘方、共轭复数的概念及计算 【分析】设复数，利用复数的基本运算，以及复数方程的运算，即可判定每个命题，得到答案. 【详解】由题意，设复数， 对于（1）中，由，即，解得，所以复数为实数，所以（1）正确； 对于（2）中，若，可得，所以且， 所以，所以为纯虚数，所以（2）是正确的； 对于（3）中，若，可得，所以或， 解得或或，故（3）错误. 故选：B. 三、解答题 15．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知为复数，和均为实数，其中是虚数单位. (1)求复数； (2)若复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、根据复数对应坐标的特点求参数、共轭复数的概念及计算 【分析】（1）设出复数，化简和，利用实数，虚部为0，即可求出复数； （2）化简复数，利用复数的几何意义转化为不等式组求解即可． 【详解】（1）为复数，和均为实数， 可设：，， ， 为实数，可得，解得， 复数，； （2）复数， 其复平面上对应的点在第四象限， 可得：，解得或． 16．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知关于 的方程 (1)若上述方程有虚数根，求实数 的取值范围 (2)若上述方程的两根为 ，且 ，求实数 的值 【答案】(1) (2)或 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】（1）依题意可知即可； （2）分两种情况讨论： 以及，利用韦达定理求解即可. 【详解】（1）方程有虚数根， 解得 （2）① 时，; ② 时，8; 综上， 的值为 或 17．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列复数是否是用三角形式来表示的？为什么？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． (6)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 (5)答案见解析 (6)答案见解析 【知识点】复数的三角表示 【分析】利用复数的三角形式判断即可． 【详解】（1）解：，，，满足复数三角形式，所以正确； （2）解：，不满足复数的三角形式，所以不正确； （3）解：，，满足复数的三角形式，所以正确； （4）解：，，，满足复数的三角形式，正确； （5）解：，不满足复数的三角形式，不是复数的模，所以不正确； （6）解：不满足复数的三角形式，的前面是，不是，所以不正确． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单07 第9章 复数 （6个考点梳理+7题型解读+提升训练） 清单01 复数的有关概念 知识点01：复数相等 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. 清单02 复数的分类 知识点01：复数的分类 对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下: 清单03 复数的几何意义 （1）复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 （2）复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 清单04 复数的模 知识点01：复数的模 （1）向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). （2）()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 清单05 复数的四则运算 知识点01：复数代数形式的乘，除法运算 （1）复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 （2）复数的除法法则 （） 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数. 清单06 共轭复数 知识点01：共轭复数 （1）定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. （2）表示方法 表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则. 知识点02：共轭复数的性质 设，（） ①；②为实数；③且为纯虚数 ④；⑤，， 【考点题型一】复数的有关概念（） 【例1】（24-25高二下·上海·期中）已知i是虚数单位，则复数的虚部为 . 【变式1-1】.（2024·上海普陀·模拟预测）对于复数（i是虚数单位），则 . 【变式1-2】.（24-25高三上·上海·期中）已知复数（为虚数单位），则的虚部为 . 【变式1-3】.（24-25高三上·上海·阶段练习）复数（是虚数单位）的实部是 【变式1-4】.（24-25高一·上海·随堂练习）设复数，其中i为虚数单位，则Imz＝ ． 【考点题型二】复数的分类（） 【例2】（23-24高一·上海·课堂例题）下列关于复数z和的命题是真命题还是假命题？请给出结论并说明理由． (1)一定是实数； (2)一定是纯虚数； (3)若，则是实数； (4)若，则是纯虚数． 【变式2-1】.（24-25高一下·上海·期中）已知为虚数单位，设，若为纯虚数，则的值为 . 【变式2-2】.（24-25高三上·上海·阶段练习）设.若为纯虚数(i为虚数单位)，则a= . 【变式2-3】.（24-25高三下·上海·阶段练习）已知复数z的虚部为1，且为实数，则 ． 【变式2-4】.（24-25高一下·上海宝山·期中）已知复数是纯虚数，则复数的虚部为 【考点题型三】复数的几何意义（） 【例3】（24-25高一下·上海·期中）复数，在复平面上对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-1】.（24-25高三下·上海静安·期中）若复数（a、，是虚数单位）在复平面上对应的点位于第二象限，则（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式3-2】.（24-25高二上·上海·阶段练习）在复平面内，向量、分别对应复数、，则对应的复数为 【变式3-3】.（23-24高一下·上海·阶段练习）已知为虚数单位，复数满足．则取最大值时，在复平面上以对应的点，为顶点的三角形的形状是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式3-4】.（23-24高一下·上海·期中）设复数满足，则当取最大值时，对应的复平面上点的坐标是 ． 【考点题型四】复数的模（） 【例4】（2025·上海嘉定·二模）已知复数满足，则的值为 ． 【变式4-1】.（24-25高一下·上海宝山·期中）已知复数 满足 ，则 . 【变式4-2】.（2025·上海奉贤·二模）已知为虚数单位，复数满足，则= ． 【变式4-3】.（2025·上海闵行·二模）已知i是虚数单位，则 ． 【变式4-4】.（2024·上海普陀·一模）设为虚数单位，若复数满足，则 . 【考点题型五】复数的四则运算（） 【例5】（24-25高一上·上海·单元测试）若复数，则 . 【变式5-1】.（2025·上海普陀·二模）已知复数，其中i为虚数单位，则 . 【变式5-2】.（2025·上海·模拟预测）为虚数单位，若复数满足，则 . 【变式5-3】.（24-25高三上·上海·阶段练习）已知复数 (i为虚数单位)，则 ． 【变式5-4】.（2025·上海长宁·二模）复数，，则 ． 【考点题型六】共轭复数（） 【例6】（2025·上海黄浦·二模）为虚数单位，若复数满足且，则 ． 【变式6-1】.（23-24高一下·上海·阶段练习）已知复数的共轭复数为，则下列命题错误的是（    ） A． B．为纯虚数 C． D． 【变式6-2】.（24-25高三上·上海·期中）已知，则 . 【变式6-3】.（23-24高三上·上海青浦·开学考试）已知复数z满足，则复数z为 . 【变式6-4】.（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数，求的值． 【考点题型七】新定义题（） 【例7】（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离．设复数，且，则的取值范围是 . 【变式7-1】.（23-24高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【变式7-2】.（24-25高二上·上海·阶段练习）在个数字的全排列中，若一个较大的数字排在一个较小的数字的前面，则称它们构成逆序，这个排列的逆序的个数，称为这个排列的逆序数，记为.例如：，，.若为奇数，则该排列称为奇排列，若为偶数，则该排列称为偶排列.请计算： .（其中，其中为虚数单位） 【变式7-3】.（24-25高一下·上海·期中）已知，为虚数单位．定义，． (1)计算，； (2)求集合在复平面上对应的区域的面积； (3)若，求的最大值，并求当取得最大值时的值． 提升训练 一、填空题 1．（2025·上海浦东新·二模）若关于的方程的一个虚根的模为，则实数的值为 ． 2．（24-25高一下·上海·期中）若都是实数，关于的方程有一个根，则 . 3．（2025·上海徐汇·二模）复数（其中为虚数单位）的虚部是 ． 4．（24-25高三下·上海·阶段练习）设复数满足（为虚数单位），则的模为 ． 5．（24-25高三下·上海·阶段练习）设i是虚数单位，则 ． 6．（24-25高二下·上海·开学考试）已知是关于的方程的一个根，则 ． 7．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知复数满足，则的最大值为 8．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知为复数，满足，则的值是 9．（23-24高一下·上海静安·期末）若复数满足（为虚数单位），则 ． 10．（23-24高一下·上海闵行·期末）若复数，满足．且（i为虚数单位），则 ． 二、单选题 11．（24-25高一下·上海·期中）设、，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 12．（23-24高一·上海·课堂例题）设复数，则是纯虚数的充要条件是（    ） A．； B．； C．； D．． 13．（23-24高一下·上海·期末）已知，则下列命题中正确的个数为（    ） ①若，则 ②若为虚数，则中至少有一个为虚数． ③在复平面上所对应的点一定在虚轴上． A．0 B．1 C．2 D．3 14．（23-24高一下·上海·期末）已知为复数，则下列命题不正确的个数是（    ）． （1）若，则为实数；（2）若，则为纯虚数；（3）若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 三、解答题 15．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知为复数，和均为实数，其中是虚数单位. (1)求复数； (2)若复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 16．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知关于 的方程 (1)若上述方程有虚数根，求实数 的取值范围 (2)若上述方程的两根为 ，且 ，求实数 的值 17．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列复数是否是用三角形式来表示的？为什么？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． (6)． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$