精品解析：2026年辽宁本溪市初中学业水平考试第二次模拟考试 数学试卷

本溪市2026年初中学业水平考试第二次模拟考试 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下图是在长方体中挖出一个圆柱体得到的几何体，这个几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键．根据从正面看可得主视图，看不见的用虚线表示解答即可； 【详解】解：从正面看是个长方形，看不到里面的圆柱，故是虚线． 故选A． 2. 截至年月日，根据教育部发布的数据显示，年高考报名人数是人，比年增加了人，连续第年增长，创历史新高．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：数据用科学记数法表示为． 3. 下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对选项逐个判断即可，一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：A、图形为轴对称图形也是中心对称图形，符合题意； B、图形为轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、图形为中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、图形为轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同类项概念、单项式乘法法则、积的乘方法则以及平方差公式，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、根据平方差公式可得，计算正确，符合题意． 5. 下列调查中最适合采用全面调查的是（ ） A. 某批次汽车的抗撞击能力 B. 某鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数 C. 某班名同学的身高情况 D. 全国中学生视力和用眼卫生情况 【答案】C 【解析】 【分析】根据调查的破坏性，调查范围大小判断合适的调查方式，对象数量少，无破坏性的调查适合采用全面调查． 【详解】解：A、调查某批次汽车的抗撞击能力，调查具有破坏性，不适合全面调查； B、调查鞋底能承受的弯折次数，调查具有破坏性，不适合全面调查； C、调查某班名同学的身高情况，调查对象数量少，范围小，适合全面调查； D、调查全国中学生视力和用眼卫生情况，调查范围大，对象数量多，不适合全面调查． 6. 点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：在平面直角坐标系中，关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，故点关于轴的对称点的坐标是． 7. 南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为平方步，它的宽比长少步，问宽和长各多少步？设这块田地的宽为步，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据宽与长的关系表示出长，再利用矩形面积公式列出方程． 【详解】解：∵设这块田地的宽为步，宽比长少步， ∴长为步， ∵矩形面积等于长乘宽，该矩形面积为平方步， ∴可列方程为． 8. 如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，另一个顶点恰好落在直线上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由平行线的判定与性质得到，，再由得出计算即可． 【详解】解：过点作，如图所示： ， ， ，， ， ，则． 9. 如图，在正方形中，点，分别是边，的中点，点在边上，连接交于点，将沿折叠得到，点落在上的处，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是能够熟练掌握相关性质，理清楚线段之间的关系，正确求出的面积． 在正方形中，，，，由折叠的性质可得，，，根据平行线分线段成比例的性质可得，即，根据特殊角的三角函数值可得，并求得，求得的面积，即可求解． 【详解】解：在正方形中，，，，， 由折叠的性质可得，，，， ∵点，分别是边，的中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，解得， ∴， ，C选项符合题意． 10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点，在函数的图象上，点坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．直线沿轴方向平移，当四边形与直线有交点时，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据点坐标求出和值，进一步发现当四边形与直线有交点，通过两个极端值为即可求出的取值范围． 【详解】点在反比例函数上，， ，， ， ， ， 当四边形与直线有交点时，两个极端值为， 把点，点代入得， ， ， ， ， 则的取值范围是． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机抽出一个球．记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球______个． 【答案】16 【解析】 【详解】解：设红球有x个，根据题意得， x=4÷0.2-4=16 解得x=16， 故答案为：16． 13. 如图，，与相交于点，连接，若，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，由得到，再由平行线分线段成比例得到，得到即可确定答案． 【详解】解：过点作，如图所示： ， ，则， ， ， 由平行线分线段成比例可知， ， ． 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，与轴交于点，若点在第二象限的抛物线上，则的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，对称轴为直线，从而可得点和点关于对称轴对称，轴，求出，即可得出，最后由三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：在中，当时，，即， ∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， ∵点在第二象限的抛物线上，， ∴点和点关于对称轴对称，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 15. 如图，在中，点在边上，连接，．点在边上，若平分，，，则边与之间的距离为_____ 【答案】 【解析】 【分析】先由角平分线定义、平行四边形性质证得，过点作，在等腰中，由三线合一性质及勾股定理求出，过点作，由等面积法得到，代入边长计算即可． 【详解】解：平分， ， 在中，，则， ， ， 又，， ∴ 过点作，如图所示： 在等腰中，，，则是边上的中线， ， 在中，，则由勾股定理可得， 过点作，如图所示： 由得，解得． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算、解不等式组 （1）计算：； （2）解不等式组． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分别计算零指数幂、立方根、特殊角的三角函数值、去绝对值，再由二次根式乘法及加减运算计算即可； （2）先分别解不等式组中的各个不等式，再由大小小大取中间即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得； 解不等式②得， 将不等式①②的解集在数轴上表示如下： ∴原不等式组的解集为． 17. 某中学在组织开展校园文化节活动时，准备购买、两种款式的纪念品．已知花费元购买款纪念品与花费元购买款纪念品的数量相同，且每件款纪念品比每件款纪念品少元． （1）款纪念品和款纪念品的销售单价各是多少元？ （2）若该学校正好用元购买、两种款式纪念品，且两种纪念品都要购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 【答案】（1）款纪念品每件元，款纪念品每件元 （2）共有种购买方案 【解析】 【分析】（1）设款纪念品每件元，则款纪念品每件元，根据题意，列分式方程求解即可； （2）设购买种纪念品件，购买种纪念品件，根据题意，列二元一次方程讨论求解即可． 【小问1详解】 解：设款纪念品每件元，则款纪念品每件元， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：款纪念品每件元，款纪念品每件元； 【小问2详解】 解：设购买种纪念品件，购买种纪念品件， ， ， ，是正整数， 或或， 答：共有种购买方案． 18. 如图，中，，，，将线段边绕点逆时针旋转得到线段，求的面积．（参考数据：，，≈） 【答案】的面积约为 【解析】 【分析】过点作于点，在中，由正弦函数定义求出，再由旋转性质得到相关角度与边长，在中，由正弦函数定义求出，最后由三角形面积公式代入边长计算即可． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 在中，，，则， ， 线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ，， ， 在中，，，则， ， ， ， 答：的面积约为． 19. 项目式学习 【项目背景】 某市图书馆准备在、、、四个区域内放置一些桌椅供市民阅读使用，但各个区域内桌椅的使用效率有差别．在学习完“统计与概率”知识后，小明和同学们准备运用所学知识来解决相关问题．小明和同学们对图书馆各区域内的桌椅使用情况以及人流量进行调查，并根据调查收集的数据，绘制成如下图表： 【数据收集】 在某个时间段内个区域内人流量以及桌椅使用的情况统计表： 表1：人流量以及桌椅使用情况的抽样调查数据 区域 A B C D 区域内的人数 使用桌椅的人数 在某个时间段内个区域内人流量扇形统计图： 在一天内个区域内平均人流量的情况统计表： 表3：一天内四个区域内的平均人流量 区域 A B C D 人流量（单位：人） 【问题解决】 （1）求调查的某个时间段内四个区域的总人数； （2）求C区域内桌椅的使用的频率； （3）为积极响应全民阅读倡议，大力营造书香城市氛围，该图书馆准备在四个区域内新添置套桌椅供读书爱好者使用，请设计一个合理的放置方案，应对市民读书爱好者使用桌椅的需求． 【答案】（1）调查的某个时间段内四个区域的总人数为人 （2）区域内桌椅的使用的频率为 （3）最佳放置方案是：区套，区套，区套，区套 【解析】 【分析】（1）由统计表及扇形统计图中区域数据情况求解即可； （2）先求出区域内人流量，结合区域内使用桌椅的人数即可得到C区域内桌椅的使用的频率； （3）根据某个时间段内个区域内人流量以及桌椅使用的情况得出在一天内个区域内使用桌椅的人数，按照比例分配增加的套桌椅即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 答：调查的某个时间段内四个区域的总人数为人； 【小问2详解】 解：， ， 答：区域内桌椅的使用的频率为； 【小问3详解】 解：个区域内一天使用桌椅的人数分别约为： 区：，区：，区：，区：； 使用桌椅的总人数约为， 增加套桌椅在个区域内的人数分配约为： 区： ，区：，区： ，区： ， 答：最佳放置方案是：区套，区套，区套，区套． 20. 【概念呈现】 在平面直角坐标系中，点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“虹桥值”，函数图象上所有点的“虹桥值”中的最大值称为函数的“最优虹桥值”． 【概念理解】 求函数的“最优虹桥值”； 解：设函数的“虹桥值”为， ， 随的增大而增大 时， 当，最大 函数的“最优虹桥值”为． 【拓展应用】 （1）求函数的“最优虹桥值”； （2）若二次函数的“最优虹桥值”为，求的值． 【答案】（1）函数（）的“最优虹桥值”为 （2） 【解析】 【分析】（1）设函数的“虹桥值”为，求出，再结合反比例函数的性质计算即可得出结果； （2）设二次函数的“虹桥值”为，求出，再结合二次函数的性质即可得出结果． 【小问1详解】 解：设函数的“虹桥值”为， ∴． ， ∴当时，随的增大而减小． ， 当，最大， 函数的“最优虹桥值”为． 【小问2详解】 解：设二次函数的“虹桥值”为， ∴ ， ， 开口向下， 当时，随的增大而减小， ， 当时，最大， ． 21. 如图，中，，以为直径的与，分别交于点和点，过点作，垂足为，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用等腰三角形的性质，证明即可解答； （2）连接，利用等腰三角形的性质，得到，，利用圆内接四边形的性质，得到，证明，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ． ， ． ， ， ， ， ， ． 是的半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：如图，连接， 是的直径， ， ． ， ，． 四边形是的内接四边形 ， ， ． ， ， ， ， ， 半径为． 22. 如图，在中，，点在边上移动，过点作交于点，过点作交延长线于点． （1）如图，求证：； （2）已知平分，． ①如图，若，求的长； ②如图，过点作于点，连接．若，求的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）①，② 【解析】 【分析】（1）先由同角的余角相等得到，再由等腰三角形得到，等量代换即可得证； （2）①过点作于点，过点作于点，先证得，由全等性质得到相关边与角度的相等关系，在中，解直角三角形得出相关边的关系，进而由平行线的性质得出，设，表示出相应线段长度，由列方程求出即可得到答案； ②先证得，再由平行线分线段成比例得到，从而得到相关线段关系及，设，，表示出相关线段，即可得到，在中，由勾股定理列方程求出即可得到答案． 【小问1详解】 证明：，， ， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：①过点作于点，过点作于点，如图所示： 平分， ， ，且由（1）知， ， ，，， 在中，，，则， ，则由勾股定理可得， ， ， ， 设，则， ， ， ， ，， ， ； ②如图所示： ，， ， 由（1）知，由①知， ， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， 设，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，则由勾股定理可得， ，则，即， ， ， 的面积是． 23. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线上，点在上，且，设经过，两点的直线解析式为，求的取值范围； （3）若点在直线下方的抛物线上运动，设点的横坐标为．过点作轴的平行线，与直线相交于点，过点作轴的平行线，与抛物线交于点，以，为邻边构造矩形． ①设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ②在①的条件下，点，点，若线段与函数的图象有且只有两个交点时，直接写出的值或取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①，②或 【解析】 【分析】（1）先求出点、的坐标，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）先求出点，．再将点、的坐标代入，计算得出，最后再由计算即可得出结果； （3）①由题意可得、两点关于直线对称，，点坐标为．再分两种情况：当点在点左侧时，，；当点在点右侧时，，，分别结合矩形的周长公式计算即可得出结果；②由①可得关于的分段函数表达式，由题意得轴，即线段为直线，其范围包含函数的自变量范围；再画出分段函数的图像，以两个分段函数的下端点值、左侧顶点最大值、右侧端点值、右侧顶点最大值为分界点，分情况讨论直线与函数图像的交点个数，即可得出的取值范围． 【小问1详解】 解：直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，，即， 当时，，解得，即， 将，代入解析式可得， ， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：点在抛物线上， ． 点在直线上， ， 点，． 经过，两点的直线解析式为， ， ， ， ， ． ， ， ； 【小问3详解】 解：①抛物线开口向上，对称轴是直线． ∵轴， ∴、两点关于直线对称． ∵， ∴点坐标为． 如图，当点在点左侧时，，， 如图，当点在点右侧时，，， ∵点在点的上方，， ∴． 当时，； 当时，． 综上，； ②由①可得：， 画出函数图象如图所示： 对于二次函数，，开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值，最大值为， ∵当时，；当时，， 又∵， ∴当时，的取值范围是； 对于二次函数，，开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值，最大值为， ∵当时，；当时，， 又∵， ∴当时，的取值范围是； ∵点，点， ∴线段是平行于轴的直线，且的范围到包含了函数的自变量范围， ∴线段与函数图象的交点个数，就是直线与函数在范围内的交点个数， 当时，直线在两个二次函数的最大值上方，与两个图象都没有交点，不符合题意； 当时，直线与的图象相切于顶点，只有个交点，不符合题意； 当时，直线与的图象有个不同交点，与的图象无交点，共个交点，符合题意； 当时，直线与的交点在和处，不在范围内，只有个交点，不符合题意； 当时，直线与的图象有个交点，与的图象无交点，共个交点，不符合题意； 当时，直线与的图象相交于顶点，与交于点，共有2个交点，符合题意； 当时，直线与的图象有个不同的交点，与的图象有个交点，共个交点，不符合题意； 当时，直线在两个函数图象下方，与两个图象都没有交点，不符合题意； 综上，的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 本溪市2026年初中学业水平考试第二次模拟考试 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下图是在长方体中挖出一个圆柱体得到的几何体，这个几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 2. 截至年月日，根据教育部发布的数据显示，年高考报名人数是人，比年增加了人，连续第年增长，创历史新高．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列调查中最适合采用全面调查的是（ ） A. 某批次汽车的抗撞击能力 B. 某鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数 C. 某班名同学的身高情况 D. 全国中学生视力和用眼卫生情况 6. 点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为平方步，它的宽比长少步，问宽和长各多少步？设这块田地的宽为步，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，另一个顶点恰好落在直线上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点，分别是边，的中点，点在边上，连接交于点，将沿折叠得到，点落在上的处，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点，在函数的图象上，点坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．直线沿轴方向平移，当四边形与直线有交点时，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_______． 12. 在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机抽出一个球．记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球______个． 13. 如图，，与相交于点，连接，若，，则的长为_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，与轴交于点，若点在第二象限的抛物线上，则的面积为_____． 15. 如图，在中，点在边上，连接，．点在边上，若平分，，，则边与之间的距离为_____ 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算、解不等式组 （1）计算：； （2）解不等式组． 17. 某中学在组织开展校园文化节活动时，准备购买、两种款式的纪念品．已知花费元购买款纪念品与花费元购买款纪念品的数量相同，且每件款纪念品比每件款纪念品少元． （1）款纪念品和款纪念品的销售单价各是多少元？ （2）若该学校正好用元购买、两种款式纪念品，且两种纪念品都要购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 18. 如图，中，，，，将线段边绕点逆时针旋转得到线段，求的面积．（参考数据：，，≈） 19. 项目式学习 【项目背景】 某市图书馆准备在、、、四个区域内放置一些桌椅供市民阅读使用，但各个区域内桌椅的使用效率有差别．在学习完“统计与概率”知识后，小明和同学们准备运用所学知识来解决相关问题．小明和同学们对图书馆各区域内的桌椅使用情况以及人流量进行调查，并根据调查收集的数据，绘制成如下图表： 【数据收集】 在某个时间段内个区域内人流量以及桌椅使用的情况统计表： 表1：人流量以及桌椅使用情况的抽样调查数据 区域 A B C D 区域内的人数 使用桌椅的人数 在某个时间段内个区域内人流量扇形统计图： 在一天内个区域内平均人流量的情况统计表： 表3：一天内四个区域内的平均人流量 区域 A B C D 人流量（单位：人） 【问题解决】 （1）求调查的某个时间段内四个区域的总人数； （2）求C区域内桌椅的使用的频率； （3）为积极响应全民阅读倡议，大力营造书香城市氛围，该图书馆准备在四个区域内新添置套桌椅供读书爱好者使用，请设计一个合理的放置方案，应对市民读书爱好者使用桌椅的需求． 20. 【概念呈现】 在平面直角坐标系中，点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“虹桥值”，函数图象上所有点的“虹桥值”中的最大值称为函数的“最优虹桥值”． 【概念理解】 求函数的“最优虹桥值”； 解：设函数的“虹桥值”为， ， 随的增大而增大 时， 当，最大 函数的“最优虹桥值”为． 【拓展应用】 （1）求函数的“最优虹桥值”； （2）若二次函数的“最优虹桥值”为，求的值． 21. 如图，中，，以为直径的与，分别交于点和点，过点作，垂足为，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求半径． 22. 如图，在中，，点在边上移动，过点作交于点，过点作交延长线于点． （1）如图，求证：； （2）已知平分，． ①如图，若，求的长； ②如图，过点作于点，连接．若，求的面积． 23. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线上，点在上，且，设经过，两点的直线解析式为，求的取值范围； （3）若点在直线下方的抛物线上运动，设点的横坐标为．过点作轴的平行线，与直线相交于点，过点作轴的平行线，与抛物线交于点，以，为邻边构造矩形． ①设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ②在①的条件下，点，点，若线段与函数的图象有且只有两个交点时，直接写出的值或取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $