广东省肇庆市第一中学2025-2026学年 九年级上学期期中考试数学试卷

**基本信息** 本试卷以九年级上册核心知识为载体，通过文化情境（如“三月三”酒碗抛物线）与实践问题（如生物园地设计），分层考察数学抽象、几何直观及模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|中心对称图形、一元二次方程、二次函数性质|结合旋转三角板（第5题）考察空间观念| |填空题|5/15|原点对称、方程根、抛物线平移|以二次函数与一次函数交点（第14题）强化数形结合| |解答题（一）|3/21|解方程、图形旋转、抛物线应用|抛物线大门问题（第18题）培养模型意识| |解答题（二）|3/27|旋转证明、矩形面积最值、黄金分割|黄金分割实践（第21题）渗透文化传承与创新思维| |解答题（三）|2/27|矩形旋转综合、抛物线倾斜问题|酒碗倾斜倒酒（第23题）融合几何与函数，考察推理能力|

2025-2026学年广东省肇庆市第一中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（3分）下列图案中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x2＝x+1 B．y2+x＝1 C．2x+1＝0 D． 3．（3分）一元二次方程x2+5x﹣6＝0根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能判定 4．（3分）关于二次函数y＝2（x+2）2+5，下列说法正确的是（　　） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是（﹣2，5） C．该函数的最大值是5 D．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小 5．（3分）如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠C＝90°，则∠BAC′为（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 6．（3分）已知二次函数y＝3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1 7．（3分）某市组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），共比赛了21场，则下列方程符合题意的是（　　） A．x（x﹣1）＝21 B．x（x+1）＝21 C．x（x﹣1）＝21 D．x（x+1）＝21 8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论不正确的是（　　） A．abc＜0 B．2a+b＝0 C．3a+c＜0 D．ax2+bx+c﹣3＜0 9．（3分）在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E，连接AE，得到FE，连接CF并延长与AB的延长线交于点G．则（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是 　 　 ． 12．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个根为x＝1，则m的值为 　 　 ． 13．（3分）若将抛物线y＝﹣x2+1先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得抛物线的函数解析式为　 　 ． 14．（3分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2（a≠0）的图象分别交于点A（﹣2，2），B（4，8）．不等式ax2＞kx+b成立时，x的取值范围是　 　 ． 15．（3分）点P（a，b）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+mx+7的图象上，则4a﹣b的最大值等于 　 　 ． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。 16．（7分）解一元二次方程：x2﹣8x﹣10＝0． 17．（7分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）． （1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的△A1B1C1； （2）画出△ABC关于原点O的对称图形△A2B2C2． 18．（7分）如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB＝18米，在离门脚B点1米远的D处，垂直地面立起一根1.7米长的木杆，并求出则该大门的高h多少米． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。 19．（9分）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转到△ABF的位置 （1）求证：△AEF是等腰直角三角形； （2）若四边形AECF的面积为25，DE＝2，求AE的长． 20．（9分）某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示 请根据上面的信息，解决问题： （1）设AB＝x米（x＞0），试用含x的代数式表示BC的长； （2）请你判断谁的说法正确，为什么？ 21．（9分）实践主题：黄金分割数． （1）材料探索：如图1，点P是线段AB上的一点，将线段分割成AP（AP＞BP），且满足BP：AP＝AP：AB，这种分割叫做黄金分割．其中线段AP与AB的比值或线段BP与AP的比值叫做黄金分割数．若设线段AB＝1，则BP可表示为1﹣x，因为BP：AP＝AP：AB（1﹣x）：x＝x：1，据此计算出黄金分割数（结果保留根号）． （2）顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，黄金三角形的底与腰的比为上题中的黄金分割数（含根号）．如图2，△BDC，△DEC都是黄金三角形，求DE的长． （3）如图3，正五边形ABCDE的对角线恰围成“正五角星”（即阴影部分），其中△AFG是黄金三角形．若△AFG的面积为1　 　 ． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分。 22．（13分）如图①，矩形ABCD中，AB＝3，将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转，得到矩形EBGF． （1）当点E落在BD上时，线段DE的长度等于　 　 ； （2）如图②，当点E落在AC上时，求△BCE的面积； （3）如图③，连接AE，CE，CG，判断线段AE与CG的位置关系并说明理由； （4）在旋转过程中，请直接写出S△BCE+S△ABG的最大值． 23．（14分）2024年“广西三月三•八桂嘉年华”盛大开幕，远在北京的小明慕名而来．热情好客的广西人给他敬了一碗糯米酒．爱思考的他发现：酒碗的截面图如图1所示，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗底高EF＝1cm，碗口宽DC与碗底宽AB平行．当碗中装满酒时，此时酒的最大深度EG＝6cm．以F为原点，水平线AB为x轴，建立平面直角坐标系如图2所示．请你结合初中所学，解决小明提出的问题： （1）求出图2中抛物线的解析式； （2）喝掉部分酒后，其酒面下降了1cm至线段MN处，试求此时酒面MN的宽度； （3）将酒碗绕点B缓缓倾斜倒出部分酒，如图3，当∠ABK＝30°时停止 2025-2026学年广东省肇庆市第一中学九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（3分）下列图案中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的定义解答即可． 【解答】解：A、选项图形是中心对称图形； B、选项图形不是中心对称图形， C、选项图形不是中心对称图形； D、选项图形不是中心对称图形． 故选：A． 2．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x2＝x+1 B．y2+x＝1 C．2x+1＝0 D． 【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【解答】解：A、是一元二次方程； B、是二元二次方程； C、是一元一次方程； D、是分式方程； 故选：A． 3．（3分）一元二次方程x2+5x﹣6＝0根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能判定 【分析】直接根据一元二次方程根的判别式解答即可． 【解答】解：一元二次方程x2+5x﹣2＝0中，a＝1，c＝﹣6， ∴Δ＝25﹣4×1×（﹣2）＝25+24＝49＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 4．（3分）关于二次函数y＝2（x+2）2+5，下列说法正确的是（　　） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是（﹣2，5） C．该函数的最大值是5 D．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小 【分析】根据二次函数的图象和性质逐项判断即可求解． 【解答】解：A、a＝2＞0，该选项说法错误； B、y＝6（x+2）2+4，函数图象的顶点坐标是（﹣2，该选项说法正确； C、∵顶点坐标是（﹣2， ∴该函数的最小值是2，该选项说法错误； D、∵函数图象的对称轴为直线x＝﹣2， ∴当x＞﹣2时，y随x的增大而增大； 故选：B． 5．（3分）如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠C＝90°，则∠BAC′为（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 【分析】利用旋转不变性，三角形内角和定理和平角的定义解答即可． 【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝90°， ∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°， ∵将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′， ∴∠C′AB′＝∠CAB＝60°． ∵点B′恰好落在CA的延长线上， ∴∠BAC′＝180°﹣∠CAB﹣∠C′AB′＝60°． 故选：B． 6．（3分）已知二次函数y＝3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1 【分析】对二次函数y＝3（x﹣1）2+k，对称轴为直线x＝1，则A、B、C的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断y1、y2、y3的大小． 【解答】解：在二次函数y＝3（x﹣1）6+k，对称轴为直线x＝1， 在图象上的三点A（1，y8），B（2，y2），C（﹣6，y3）， |1﹣4|＜|2﹣1|＜|﹣2﹣1|， 则y1、y4、y3的大小关系为y3＞y5＞y1． 故选：D． 7．（3分）某市组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），共比赛了21场，则下列方程符合题意的是（　　） A．x（x﹣1）＝21 B．x（x+1）＝21 C．x（x﹣1）＝21 D．x（x+1）＝21 【分析】设有x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x﹣1）场球，第二个球队和其他球队打（x﹣2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x﹣1）场球，然后根据计划安排21场比赛即可列出方程求解． 【解答】解：设有x个球队参加比赛， 依题意得1+2+6+…+x﹣1＝21， 即x（x﹣1）＝21． 故选：C． 8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论不正确的是（　　） A．abc＜0 B．2a+b＝0 C．3a+c＜0 D．ax2+bx+c﹣3＜0 【分析】结合二次函数的开口方向，对称轴，与y轴的交点位置，判断A、B选项，再把b＝﹣2a代入y＝a﹣b+c＜0，进行化简，即可判断C选项，再根据二次函数图象的开口向下，且顶点的坐标为（1，3），即可判断D选项，进行作答． 【解答】解：根据二次函数图象与系数的关系逐项分析判断如下： 观察函数图象a＜0， 观察函数图象，二次函数的对称轴在y轴的右侧， ∴结合“左同右异”可得：b＞0， 观察函数图象，二次函数图象与y轴交于y轴的正半轴可得：c＞8， ∴abc＜0，故A选项不符合题意的； ∵对称轴为直线x＝1， ∴， ∴b＝﹣2a，b+5a＝0； （3）当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜3， ∵b＝﹣2a ∴y＝a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜0，故C选项不符合题意的； 由图可知顶点的坐标为（1，2）， 即二次函数y＝ax2+bx+c最大值为3 ∴ax4+bx+c≤3， ∴ax2+bx+c﹣2≤0，故D选项符合题意的； 故选：D． 9．（3分）在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题可由一次函数y＝ax﹣a的图象经过点（1，0）进行判断． 【解答】解：由一次函数y＝ax﹣a＝a（x﹣1）可知，直线经过点（1，故A可能是正确的， 故选：A． 10．（3分）如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E，连接AE，得到FE，连接CF并延长与AB的延长线交于点G．则（　　） A． B． C． D． 【分析】过点F作FH⊥DC交DC延长线于点H，证明△ADE和△EHF全等，得到∠FCH＝45°，再根据等腰直角三角形三边关系，求出比值． 【解答】解：过点F作FH⊥DC交DC延长线于点H， ∴∠H＝90° ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D＝90°，AD＝DC， ∵AE绕点E逆时针旋转90°，得到FE， ∴AE＝FE，∠AEF＝90°， ∵∠DAE+∠AED＝90°，∠HEF+∠AED＝90°， ∴∠DAE＝∠HEF， 在△ADE和△EHF中， ， ∴△ADE≌△EHF（AAS）， ∴AD＝EH，DE＝HF， ∴EH＝DC， ∴DE＝CH＝HF， ∴∠HCF＝45°， ∴∠G＝45°， 设CH＝HF＝DE＝x，正方形边长为y， 则CE＝y﹣x，CF＝， ∴FG＝CG﹣CF＝， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是 　（2，﹣3）　 ． 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【解答】解：点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标为（2． 故答案为：（2，﹣3）． 12．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个根为x＝1，则m的值为 　1　 ． 【分析】一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把x＝1代入原方程求出m的值即可． 【解答】解：由条件可知12﹣7×1+m＝0， ∴m＝5， 故答案为：1． 13．（3分）若将抛物线y＝﹣x2+1先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+3　 ． 【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减得出答案． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+1向右平移2个单位长度， ∴平移后解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+7， ∴再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣1）4+3． 故答案为：y＝﹣（x﹣1）5+3． 14．（3分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2（a≠0）的图象分别交于点A（﹣2，2），B（4，8）．不等式ax2＞kx+b成立时，x的取值范围是x＜﹣2或x＞4　 ． 【分析】直接根据一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2（a≠0）的图象即可得出结论． 【解答】解：由题意可得：不等式ax2＞kx+b成立时，二次函数图象在一次函数上方的部分的x的取值即为不等式的解， ∴x的取值范围是x＜﹣2或x＞7， 故答案为：x＜﹣2或x＞4． 15．（3分）点P（a，b）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+mx+7的图象上，则4a﹣b的最大值等于 　﹣3　 ． 【分析】根据二次函数以y轴为对称轴可得y＝x2+7，把点P（a，b）代入，b＝a2+7，所以4a﹣b＝﹣a2+4a﹣7，最后求关于a的二次函数的最值即可． 【解答】解：∵P（a，b）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+mx+7的图象上， ∴m＝6，b＝a2+7， ∴5a﹣b＝﹣a2+4a﹣6＝﹣（a﹣2）2﹣6， ∴当a＝2时，4a﹣b取得最大值为﹣7， 故4a﹣b的最大值等于﹣3， 故答案为：﹣5． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。 16．（7分）解一元二次方程：x2﹣8x﹣10＝0． 【分析】把﹣10移到右边，再利用配方法解答即可求解． 【解答】解：x2﹣8x﹣10＝2， x2﹣8x＝10， ∴x7﹣8x+16＝26， ∴（x﹣4）6＝26， ∴， ∴x﹣4＝﹣或x﹣5＝， ∴，． 17．（7分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）． （1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的△A1B1C1； （2）画出△ABC关于原点O的对称图形△A2B2C2． 【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C2即为所求； （2）如图，△A2B2C6即为所求． 18．（7分）如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB＝18米，在离门脚B点1米远的D处，垂直地面立起一根1.7米长的木杆，并求出则该大门的高h多少米． 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系：根据题意可得：B（18，0），C（17.1.7），然后利用待定系数法求二次函数的解析式，进行计算即可解答． 【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意得：B（18，0）， 设抛物线的表达式为y＝ax2+bx， 把B（18，6）2+bx中得：， 解得：， ∴y＝﹣8.1x2+8.8x， ∴当x＝﹣＝9时2+3.8×9＝5.1， ∴该大门的高h为8.7米． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。 19．（9分）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转到△ABF的位置 （1）求证：△AEF是等腰直角三角形； （2）若四边形AECF的面积为25，DE＝2，求AE的长． 【分析】（1）由旋转的性质可得△ABF≌△ADE，得出AF＝AE，∠FAB＝∠DAE，则∠FAE＝∠DAB＝90°． （2）由勾股定理求出AE的长． 【解答】（1）证明：∵把△ADE顺时针旋转到△ABF的位置， ∴△ABF≌△ADE， ∴AF＝AE，∠FAB＝∠DAE， ∴∠FAE＝∠DAB＝90°． ∴△AEF是等腰直角三角形． （2）解：∵四边形AECF的面积＝正方形ABCD的面积， ∴正方形ABCD的面积为25， ∴AD＝BC＝CD＝AB＝5， 在Rt△ADE中，AD＝5， ∴AE＝AF＝＝＝， 20．（9分）某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示 请根据上面的信息，解决问题： （1）设AB＝x米（x＞0），试用含x的代数式表示BC的长； （2）请你判断谁的说法正确，为什么？ 【分析】（1）设AB＝x米，根据等式x+x+BC＝69+3，可以求出BC的表达式； （2）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题； 【解答】解：（1）设AB＝x米，可得BC＝69+3﹣2x＝72﹣8x； （2）小英说法正确； 理由：矩形面积S＝x（72﹣2x）＝﹣2（x﹣18）5+648， ∵72﹣2x＞3， ∴x＜34.3， ∴0＜x＜34.5， ∴当x＝18时，S取最大值， 此时x≠72﹣4x， ∴面积最大的不是正方形． 故小英说法正确． 21．（9分）实践主题：黄金分割数． （1）材料探索：如图1，点P是线段AB上的一点，将线段分割成AP（AP＞BP），且满足BP：AP＝AP：AB，这种分割叫做黄金分割．其中线段AP与AB的比值或线段BP与AP的比值叫做黄金分割数．若设线段AB＝1，则BP可表示为1﹣x，因为BP：AP＝AP：AB（1﹣x）：x＝x：1，据此计算出黄金分割数（结果保留根号）． （2）顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，黄金三角形的底与腰的比为上题中的黄金分割数（含根号）．如图2，△BDC，△DEC都是黄金三角形，求DE的长． （3）如图3，正五边形ABCDE的对角线恰围成“正五角星”（即阴影部分），其中△AFG是黄金三角形．若△AFG的面积为1　5+　 ． 【分析】（1）根据所给比例式进行计算即可； （2）根据黄金三角形的定义进行计算，即可解答； （3）根据正五边形的对称性得出AF＝BF＝BH，FG＝FH，S△AFG＝S△GHM＝1，再根据△AFG是黄金三角形，得到，进而求出S△FGH＝，由S阴影部分＝6S△AFG+2S△FGH进行计算即可． 【解答】解：（1）由（1﹣x）：x＝x：1得，x4＝1﹣x， 则x2+x﹣7＝0， 解得x＝（舍负）， 所以黄金分割数为． （2）∵△ABC是黄金三角形，∴＝， ∵AB＝4， ∴BC＝4﹣2， ∵△BDC是黄金三角形， ∴＝， ∴DC＝2﹣2， ∵△DEC是黄金三角形， ∴DE＝DC＝7﹣2； （3）如图，连接GH， 由对称性可知，AF＝BF＝BH，S△AFG＝S△GHM＝2， ∵△AFG是黄金三角形，即， ∴， ∵S△AFG＝1， ∴， ∴S阴影部分＝6S△AFG+3S△FGH＝＝． 故答案为：． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分。 22．（13分）如图①，矩形ABCD中，AB＝3，将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转，得到矩形EBGF． （1）当点E落在BD上时，线段DE的长度等于　2　 ； （2）如图②，当点E落在AC上时，求△BCE的面积； （3）如图③，连接AE，CE，CG，判断线段AE与CG的位置关系并说明理由； （4）在旋转过程中，请直接写出S△BCE+S△ABG的最大值． 【分析】（1）利用勾股定理求出BD，即可得出结论； （2）先利用三角形的面积求出BM，再根据勾股定理求出AM，进而得出AE，最后用三角形的面积之差即可得出结论； （3）先利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理判断出∠BAE＝∠BCG，进而判断出∠CQP＝∠ABC＝90°，即可得出结论； （4）先构造出，△BCE≌△BGE'，得出S△BCE＝S△BGE'，进而得出S△BCE+S△ABG＝3GH，即可得出结论． 【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝4，∠A＝90°， 在Rt△BAD中，根据勾股定理得， 由旋转知，BE＝AB＝3， ∴DE＝BD﹣BE＝2， 故答案为：2； （2）如图6，在Rt△ABC中，AC＝5， 由旋转得，BE＝AB，过点B作BM⊥AC于M， ∴AE＝2AM， ∵S△ABC＝AB•BC＝， ∴BM＝＝，在Rt△ABM中，AM＝＝， ∴AE＝， ∴S△BCE＝S△ABC﹣S△ABE＝AB•BC﹣×3×4﹣××＝； （3）结论：AE⊥CG． 理由：如图3，AE与BC的交点记作点P，AE与CG的交点记作Q， 由旋转知，∠ABE＝∠CBG，AB＝BE， ∴∠BAE＝（180°﹣∠ABE）＝， 由旋转知，BC＝BG， ∴∠BCG＝（180°﹣∠CBG）， ∴∠BAE＝∠BCG， ∵∠APB＝∠CPE， ∴∠CQP＝∠ABC＝90°， ∴AE⊥CG； （4）如图4，延长AB至E'，使BE'＝BE，过点G作GH⊥AB于H， ∴AE'＝AB+BE'＝4， ∵∠EBG＝∠CBE'＝90°， ∴∠CBE＝∠GBE'， 由旋转知，BC＝BG， ∴△BCE≌△BGE'（SAS）， ∴S△BCE＝S△BGE'， ∴S△BCE+S△ABG＝S△BGE'+S△ABG＝S△AE'G＝AE'•GH＝8GH， 要使S△BCE+S△ABG的最大，则GH最大， 即S△BCE+S△ABG的最大为12． 23．（14分）2024年“广西三月三•八桂嘉年华”盛大开幕，远在北京的小明慕名而来．热情好客的广西人给他敬了一碗糯米酒．爱思考的他发现：酒碗的截面图如图1所示，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗底高EF＝1cm，碗口宽DC与碗底宽AB平行．当碗中装满酒时，此时酒的最大深度EG＝6cm．以F为原点，水平线AB为x轴，建立平面直角坐标系如图2所示．请你结合初中所学，解决小明提出的问题： （1）求出图2中抛物线的解析式； （2）喝掉部分酒后，其酒面下降了1cm至线段MN处，试求此时酒面MN的宽度； （3）将酒碗绕点B缓缓倾斜倒出部分酒，如图3，当∠ABK＝30°时停止 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）液面下降了1cm，即y＝6，即可求解； （3）以F为原点，直线AB为x轴，直线EF为y轴，建立平面直角坐标系，求出点G（0，3），得到直线CH的解析式为：y＝x+3，进而求解． 【解答】解：（1）由题意知：F（0，0），5），7），7）， ∵抛物线的顶点为E（0，5）， ∴可设抛物线的解析式为：y＝ax2+1， 把点C（7，7）代入， 得4＝a（4）2+1， 解得：a＝， ∴抛物线的解析式为y＝x4+1； （2）∵液面下降了1cm， ∴此时液面距碗底距离为7﹣1＝6（cm），即y＝7， 当y＝6时，x2+1＝3， 解得x1＝﹣2＜7（舍去），x2＝2， ∴液面MN的宽度为7cm； （3）以F为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系，如图： 将瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤， 当∠ABK＝30°时停止，所以旋转前CH与水平方向的夹角为30°， 设直线CH的解析式为y＝kx+b，与y轴交于点G 由题意知：点C（4，6）， ∵∠DCH＝30°，CK＝4， ∴KG＝8tan30°＝4， 即点G（4，3）， 由点C、G的坐标得x+3， 联立上式和抛物线的表达式得：x2+1＝x+3， 解得：x＝﹣或﹣8， 则点H（﹣，）， 则CH＝＝． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/22 14:56:58；用户：聂伟；邮箱：15284038568；学号：44743775 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $