13.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球 课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

该高中数学课件聚焦圆柱、圆锥、圆台、球的定义、结构特征及关系，课堂导入从矩形、直角三角形等平面图形旋转入手，建立平面到立体的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于通过表格对比、自主诊断及题型分析，结合数学眼光观察旋转体形成，数学思维推理截面计算（如圆台轴截面面积），数学语言描述组合体（如陀螺结构）。学生提升空间观念，教师可利用系统题型高效教学。

第13章　立体几何初步 13.1.2　圆柱、圆锥、圆台和球 苏教版 必修第二册 【课标要求】 1.理解圆柱、圆锥、圆台、球的定义,知道这四种几何体的结构特征,能够识别和区分这些几何体. 2.理解柱体、锥体、台体之间的关系. 3.理解简单组合体的概念和基本形式. 4.会用柱、锥、台、球的结构特征描述简单组合体的结构特征. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　圆柱、圆锥、圆台 旋转体 圆柱 圆锥 圆台 定义 将矩形绕着相应图形的一边所在的直线旋转一周,形成的空间图形叫作圆柱 将直角三角形绕着相应图形的一直角边所在的直线旋转一周,形成的空间图形叫作圆锥 将直角梯形绕着相应图形的垂直于底边的腰所在的直线旋转一周,形成的空间图形叫作圆台 相关概念 这条直线叫作轴,把在轴上的边的长度称为高.垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作底面.不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面,无论旋转到什么位置,这条边都叫作母线.其中,圆锥的母线的交点叫作圆锥的顶点 旋转体 圆柱 圆锥 圆台 图形及表示 记作:圆柱OO' 记作:圆锥SO 记作:圆台OO' 旋转体 圆柱 圆锥 圆台 结构特征 (1)圆柱有两个大小相同的底面,这两个面互相平行,且底面是圆面而不是圆; (2)有无数条母线,长度相等,且母线与圆柱的轴平行,任意两条母线互相平行; (3)侧面是曲面,其展开图是矩形 (1)底面是圆面; (2)有无数条母线,长度相等且交于顶点; (3)侧面是曲面,其展开图是扇形 (1)圆台上、下底面互相平行且两个底面圆的半径不相等; (2)有无数条母线,长度相等且延长线交于一点; (3)侧面是曲面,其展开图是扇环 知识点二　球 1.定义:半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫作球面,球面围成的空间图形叫作球体,简称球. 2.相关概念 3.表示法:球常用表示球心的字母表示,图中的球表示为球O. 知识点三　旋转体 一般地,一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面,封闭的旋转面围成的空间图形称为旋转体.圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体. 知识点四　圆柱、圆锥、圆台的关系 如图所示. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥.(　　) (2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱.(　　) (3)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.(　　) × × × 题型分析·能力素养提升 【题型一】旋转体的结构特征 例 1 (多选题)下列说法错误的有(　　) ①圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线; ②一直角梯形绕下底面所在直线旋转一周,所形成的曲面围成的几何体是圆台; ③圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形; ④到定点的距离等于定长的点的集合是球. A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③ B 解析 由圆柱母线的定义知,圆柱的母线应平行于轴,①错误. 直角梯形绕下底面所在直线旋转一周所形成的曲面围成的几何体可能是一个由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体,如图所示,②错误. 由题意知③正确.④应为球面,④错误.故选B. 规律方法　判断简单旋转体结构特征的方法 (1)明确是由哪个平面图形旋转而成; (2)明确旋转轴是哪条直线. 跟踪训练1 在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,以AD所在的直线为轴,其余三边旋转半周形成一个空间图形,则该空间图形为(　　) A.圆柱 B.圆锥 C.圆台 D.球 B 解析 由题意知,△ABC为等腰三角形.因为AB=AC,D为BC的中点,所以AD⊥BC,故满足以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,则以AD所在的直线为轴,其余三边旋转半周形成的空间图形为圆锥.故选B. 【题型二】组合体的结构特征 例 2 [链接教材例2] 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,且AD<BC,当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时,其他各边旋转围成了一个空间图形,试描述该空间图形的结构特征. 解 如图,旋转所得的空间图形是一个圆柱挖去两个圆锥后得到的组合体. 题后反思　不规则平面图形旋转形成几何体的结构特征的分析策略 (1)分割:对原平面图形适当分割,一般分割成矩形、梯形、三角形或圆(半圆或四分之一圆)等基本图形. (2)定形:结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析. 跟踪训练2 如图是我们常见的一种陀螺,请仔细观察,此空间图形由 　 构成.  一个圆柱,两个圆台,一个圆锥 【题型三】旋转体中的有关计算 角度1圆锥、圆台中的截面问题 例3 从一个底面半径和高均为R的圆柱中,挖去一个以圆柱上底面为底,下底面中心为顶点的圆锥,得到一个下图所示的几何体.如果用一个与圆柱下底面平行且距离为d的平面去截这个几何体,求截面的面积. 解 如图,作出轴截面, 圆柱被平行于下底面的平面所截得的截面圆的半径为O1C=R, 设圆锥的截面圆的半径O1D为x, ∵OA=AB=R, ∴△OAB是等腰直角三角形. 又CD∥OA,∴CD=BC,故x=d, ∴截面的面积S=πR2-πd2=π(R2-d2). 题后反思　求解有关用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体的问题时,注意抓住截面的性质(与底面全等或相似),同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质,利用相似三角形中的相似比,列出相关几何变量的方程(组)进行求解. 跟踪训练3 已知圆台一个底面周长是另一个底面周长的3倍,圆台的高为2 cm,母线与轴的夹角为30°,则这个圆台的轴截面的面积为　 cm2.  8 解析 设圆台的下底面半径为R,上底面半径为r, 由2πR=3·2πr,得R=3r, 由圆台的高为h=2 cm, 母线与轴的夹角为30°,如图所示: 则=tan 30°,即, 解得r=1 cm, 所以R=3r=3 cm, 所以圆台的轴截面的面积为 S轴截面=(2+6)×2=8(cm2).故答案为8 角度2球中的截面问题 例 4 若一个正方体的顶点都在球面上,且它的棱长为4,则球的半径为　　　　.  2 解析 过球心作出球的一个截面,正方体所截图形的顶点都在该截面圆上,如图所示,圆的直径就是正方体的体对角线, ∵正方体的棱长为4,∴正方体的体对角线长为4, ∴2R=4,∴球的半径是2 题后反思　球的截面性质 用一个平面去截球,截面是圆面,而且球心和截面圆心的连线垂直于截面,球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r=,如图所示. 跟踪训练4 某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm,如图所示,则该地球仪的半径是　　　　cm.  4 解析 如图所示,由题意知,北纬30°所在小圆的周长为12π cm,则该小圆的半径r=6 cm,其中∠ABO=30°,所以该地球仪的半径R==4(cm).故答案为4 $