13.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（苏教版）

该高中数学课件聚焦圆柱、圆锥、圆台、球的概念、结构特征及相关计算，通过知识辨析问题导入，连接平面图形与空间旋转体知识，以具体几何体定义到旋转体一般概念为支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于结合知识辨析、多情境典例及表面展开转化，培养数学眼光（空间观念）、数学思维（逻辑推理）和数学语言（符号表达）。例如分析直角梯形绕不同轴旋转形成的几何体，引导学生观察空间形式，球的截面计算用方程思想表达数量关系。学生能提升空间想象与推理能力，教师可依托资料开展探究式教学，提高课堂效率。

圆柱、圆锥、圆台的相关概念 必备知识 清单破 知识点 1 13.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球 名称 圆柱 圆锥 圆台 定义 将矩形绕着它的一边 所在直线旋转一周形 成的空间图形 将直角三角形绕着它 的一条直角边所在直 线旋转一周形成的空 间图形 将直角梯形绕着垂直 于底边的腰所在直线 旋转一周形成的空间 图形 相关 概念 绕着旋转的这条直线叫作轴.垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作底 面.不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面,无论旋转到什么位置, 这条边都叫作母线 第13章　立体几何初步 高中同步 图形       表示 方法 用上、下底面圆心的 字母表示,可记作圆 柱OO' 用顶点与底面圆心的 字母表示,可记作圆 锥SO 用上、下底面圆心的 字母表示,可记作圆 台OO' 第13章　立体几何初步 高中同步 球的相关概念 知识点 2 定义 半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫作球面,球面围成的空间图形叫作球体,简称球 图形   表示 图中的球记作球O 相关概念 球心:半圆的圆心; 半径:连接球心和球面上任意一点的线段; 直径:连接球面上两点并经过球心的线段 第13章　立体几何初步 高中同步 　　一般地,一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面,封 闭的旋转面围成的空间图形称为旋转体.圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体. 旋转面和旋转体 知识点 3 第13章　立体几何初步 高中同步 知识辨析 1.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体一定是圆锥吗? 2.以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体一定是圆台吗? 3.夹在圆柱的两个截面间的几何体一定是一个旋转体吗? 4.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆吗? 5.半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周一定形成球吗? 6.经过圆柱任意两条母线的截面一定是一个矩形面吗? 7.圆台上底面圆周上任意一点与下底面圆周上任意一点的连线都是圆台的母线吗? 第13章　立体几何初步 高中同步 一语破的 1.不一定.以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥. 2.不一定.以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台. 3.不一定.夹在圆柱两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体. 4.不是.圆柱、圆锥、圆台的底面均为圆面. 5.不对.形成球面. 6.一定是. 7.不都是.经过圆台的轴的平面截圆台得到的等腰梯形的腰才是圆台的母线.如图,PP1是母线, 而PB不是母线. 第13章　立体几何初步 高中同步 关键能力 定点破 定点 1 旋转体的结构特征 1.准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的形成过程及其结构特征是解决旋转体相关概念问题的 关键.解题时要明确两点:①明确几何体由哪个平面图形旋转而成;②明确旋转轴是哪条直线. 2.对不规则平面图形旋转形成的几何体的结构特征进行分析时,要对原平面图形适当分割,一 般分割成矩形、梯形、三角形或圆(半圆或四分之一圆)等图形,再结合圆柱、圆台、圆锥或 球的形成过程进行分析. 第13章　立体几何初步 高中同步 典例 一直角梯形ABCD如图所示,分别画出以AB,BC,CD,DA所在直线为轴旋转一周所得几何 体的大致形状,试说明所得几何体的特征.   第13章　立体几何初步 高中同步 解析    以AB所在直线为轴旋转一周,得到的几何体是一个圆台,如图.   以BC所在直线为轴旋转一周,得到的几何体是一个圆柱和一个圆锥的组合体,如图.   以CD所在直线为轴旋转一周,得到的几何体是圆台挖去一个以其上底面为底面的小圆锥,增 第13章　立体几何初步 高中同步 加一个以其下底面为底面的大圆锥构成的几何体,如图.   以DA所在直线为轴旋转一周,得到的几何体是圆柱挖去一个以其底面为底面的圆锥构成的 几何体,如图.   第13章　立体几何初步 高中同步 定点 2 旋转体基本量的计算 1.解决圆柱基本量的计算问题时,要抓住其底面圆半径、高(或母线长)与圆柱轴截面矩形之 间的关系. 2.解决圆锥基本量的计算问题时,要从圆锥的轴截面入手,利用截面中的直角三角形建立底面 半径r、高h、母线长l三者之间的关系:l2=h2+r2. 3.解决圆台基本量的计算问题时,一般从圆台的轴截面(等腰梯形)入手,利用轴截面可以分割 为两个全等的直角三角形和一个矩形的特点,结合题目条件求解.另外,也可以将其两腰延长 转化到等腰三角形中,从而可以利用平行线分线段成比例、三角形相似等知识来解决. 4.与球有关的基本量计算问题应着眼于一个重要的直角三角形,如图所示,设球的半径为R,截 面圆的半径为r,球心到截面的距离为d,则R2=d2+r2. 第13章　立体几何初步 高中同步 典例1 已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同侧,且彼此间的距离等 于1,则这个球的半径为　　    . 3 解析    如图,设这两个截面圆的半径分别为r1,r2(r1<r2),球心到两截面圆的距离分别为d1,d2(d1> d2),球的半径为R,   则π =5π,π =8π,∴ =5, =8, 又∵R2= + = + ,∴ - =8-5=3,即(d1-d2)(d1+d2)=3, 又d1-d2=1,∴ 解得  ∴R= = =3,即球的半径为3. 第13章　立体几何初步 高中同步 典例2 如图所示,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得的圆台的上、下底面的 面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3 cm,求圆台O'O的母线长.   思路点拨    求圆台的母线长,需要建立圆台的母线长和上、下底面半径的数量关系,而截去 的圆锥的母线长和圆台的母线长之和为原来圆锥的母线长,因此需要将空间图形中的计算问 题转化到平面图形中,通过轴截面进行求解. 第13章　立体几何初步 高中同步 解析    设圆台的母线长为l cm,由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16,可设截得的圆台 的上、下底面的半径分别为r cm,4r cm.过轴SO作截面,如图所示,   易得△SO'A'∽△SOA,所以 = , 因为SA'=3 cm,O'A'=r cm,OA=4r cm,SA=(3+l)cm, 所以 = = ,解得l=9,即圆台的母线长为9 cm. 第13章　立体几何初步 高中同步 　　将空间图形转化为平面图形,是解决立体几何问题最基本、最常用的方法.立体图形表 面上两点之间的最短路程问题常通过把立体图形转化为平面图形,运用“两点之间线段最 短”来解决.化“曲”为“直”的一般步骤: (1)将几何体沿着某些棱或母线剪开后展开,画出其侧面的展开图; (2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题; (3)结合已知条件求得结果. 定点 3 与空间几何体表面展开图有关的问题 第13章　立体几何初步 高中同步 典例 一个圆柱形开口容器(下底面密封)如图所示,其轴截面ABCD是边长为2的正方形.现有 一只蚂蚁从外壁A处出发,沿外壁先爬到上口边,再沿内壁爬到BC中点P处,则它所需经过的最 短路程为　　　    .   第13章　立体几何初步 高中同步 解析    把圆柱的侧面沿AD和BC剪开,展开其半个侧面得矩形A'B'C'D',因为轴截面ABCD是边 长为2的正方形,所以A'B'=π,A'D'=2, 问题转化为在C'D'上找一点Q,使A'Q+PQ的长度最短,如图,   延长B'C'至点E,使C'P=C'E,连接A'E, 则A'E与C'D'的交点即为所要找的点Q,则A'Q+PQ长度的最小值就是A'E的长度,为 . 第13章　立体几何初步 高中同步 $