专题05 不等式与不等式组（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材人教版

专题05 不等式与不等式组（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01不等式的基本性质 题型02一元一次不等式及其解法 题型03一元一次不等式组及其解法 题型04一元一次不等式的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 不等式的基本性质 掌握不等式的三条基本性质及对称性、传递性。 选择/填空考查，侧重性质3的符号变化应用。 一元一次不等式 熟练掌握“去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1”的解一元一次不等式 多题型考查，重点考勤解题步骤规范性。 一元一次不等式组 掌握解集的四种情况及“同大取大、同小取小”等口诀，会用数轴确定解集。 解答题为主，结合数轴考解集判断。 一元一次不等式的应用 能准确捕捉实际问题中的不等关系，结合实际背景检验解集合理性，解决简单实际问题。 压轴解答题，结合实际场景考不等关系。 知识点01 不等式的基本性质 1. 两个基本事实 (1)不等式的性质的交换性 交换不等式的两边，不等号的方向改变. 如果a>b，那么b<a； (2)不等式的性质的传递性 如果a>b,b>c,那么a>c. 拓展：如果c<b，b<a,那么c<a；如果c≤b,b≤a,那么c≤a；如果c=b,b=a,那么c=a; 2. 不等式的基本性质 (1)不等式性质1 不等式的两边同加(或减)同一个数（或式子），不等号的方向不变. 如果a>b，那么a+m>b+m，a-m>b-m. 不等式性质1是解不等式时移项法则的理论依据。 (2)不等式性质2 不等式的两边同乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变. 如果a>b，m>0，那么am>bm， (3)不等式性质3 不等式的两边同乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变. 如果a>b，m<0，那么am<bm， 不等式性质②、③是解不等式时化系数为1和去分母法则的理论依据。 知识点02 一元一次不等式及其解法 1.不等式的解 能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解； 2.不等式的解集 一个不等式的所有的解，组成这个不等式的解集； 3. 解一元一次不等式的核心步骤： 1 去分母；②去括号； ③移项；④合并同类项；⑤系数化为1； 2.三大易错点： 1 去分母不能漏掉没有分母的项； 2 移项要注意变号； 3 系数化为1要注意同乘除一个负数时不等号要变号； 知识点03 一元一次不等式组及其解法 1. 不等式组的解集 不等式组中所有不等式解集的公共部分叫作不等式组的解集. 2. 不等式组解集的四种情形 不等式组 图例 解集 归纳 x>8 同大取大 X<-3 同小取小 -3<x<4.5 大于小的 小于大的 无解 大于大的 小于小的 3. 解一元一次不等式组的一般步骤： (1)求出不等式组中各个不等式的解集，并分别在数轴上表示出来； (2)确定各个不等式的解集的公共部分，得到不等式组的解集. 4. 不等式组的整数解 在不等式组解集范围内的整数叫作不等式组的整数解. 知识点04 一元一次不等式的应用 应用一元一次不等式（组）解决问题的步骤： ①分析题意，寻找表示（不等）数量关系； ②思考探索，列出一元一次不等式（组）； ③求出解集，解不等式组； ④确定答案，根据具体要求确定答案，从而解决实际问题. 题型一 不等式的基本性质 解｜题｜技｜巧 牢记性质，变形时紧盯不等号方向。 易｜错｜点｜拨 乘除负数时，易忘记改变不等号方向。 【典例1】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）若，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：若，两边同时减去得，则A成立，不符合题意， 由得，则B成立，不符合题意， 若，两边同时乘以得，则C成立，不符合题意， 若，当时，，则D不一定成立，符合题意． 【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）若，则下列式子中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴不等式两边同时减2，不等号方向不变，可得，故A正确． B、∵， ∴不等式两边同时加2，不等号方向不变，可得，故B正确． C、∵， ∴不等式两边同时乘，不等号方向改变，可得，故C正确． D、∵， ∴不等式两边同时除以，是正数，不等号方向不变，可得，与选项式子不符，故D错误． 【变式2】（24-25七年级下·全国·期末）已知，且c为有理数，则下列关系一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式性质，根据不等式的性质，逐一进行判断即可．熟练掌握不等式的性质，是解题的关键． 【详解】解：A、，当时，，故原不等式不一定成立，不符合题意； B、，则，故，故原不等式不成立，不符合题意； C、，当时，则，故原不等式不一定成立，不符合题意； D、，则，故原不等式成立，符合题意． 故选：D． 题型二 一元一次不等式及其解法 答｜题｜模｜板 按“去分母到化系数为1”逐步规范求解。 易｜错｜点｜拨 去分母漏乘、移项不变号是常见错误。 【典例1】（24-25七年级下·山西阳泉·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解：移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：，数轴表示如下所示：． 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，画数轴见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 将解集表示在数轴上如下： 【变式2】（24-25七年级下·贵州黔西南·期末）已知关于，的方程组（是常数）， (1)若此方程组的解也是方程的解，求常数的值； (2)若，满足，试化简：． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了同解方程组，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，化简绝对值，掌握解二元一次方程组与不等式组是解题的关键． （1）联立得出，代入原方程组的第二个方程，得到关于的一元一次方程，即可求解； （2）根据加减消元法求得，根据题意列出不等式，得到，进而化简绝对值，即可求解． 【详解】（1）解：联立， 解得：， 代入得， ， 解得：； （2）解：， 得，， 解得：， 将代入①得， 解得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴ ． 题型三 一元一次不等式组及其解法 答｜题｜模｜板 先解每个不等式，再用数轴找公共部分。 易｜错｜点｜拨 混淆实心/空心圆点，误判无解情况。 【典例1】（24-25七年级下·新疆阿克苏·期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：不等式组的解集在数轴上表示为： ． 【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】求出两个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 将不等式解集表示在数轴上如图： 不等式组的解集为：． 【变式2】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）（1）已知关于x，y的方程组，若的值为非负数，的值为正数，求的取值范围． （2）已知，，且，求的取值范围． 【答案】（1），（2） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，能根据题意求出方程组的解、准确求解不等式组的解集是解题的关键． （1）先求出方程组的解，根据x的值为非负数和y的值为正数得出，求出m的范围即可； （2）根据，可得，可求，即可求解． 【详解】解：（1）解方程组得：， 的值为非负数，的值为正数， ， 解得：； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型四 一元一次不等式的应用 答｜题｜模｜板 抓关键词，规范完成“设元到作答”流程。 易｜错｜点｜拨 忽略实际意义，未检验解集合理性。 【典例1】24-25七年级下·全国·期末）某种商品的进价为元，出售时标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打（      ） A．六折 B．七折 C．八折 D．九折 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 利润率不低于，即利润要大于或等于元，设打折，则售价是元．根据利润率不低于就可以列出不等式，求出的范围，即可得解． 【详解】解：设打折， 则， 解得， 因为要求折扣力度最大， 所以售价应最低，应取最小值，故至多可打七折， 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期末）3月12日是我国的植树节，某校学生会组织七年级和八年级共65名同学参加植树活动，七年级学生平均每人植2棵树，八年级学生平均每人植4棵树，为了保证植树总数不少于220棵，则八年级学生参加活动的人数至少需（ ） A．50名 B．45名 C．40名 D．35名 【答案】B 【分析】本题考查用一元一次不等式解决实际问题，解题关键是根据题意列出不等式．设需要x名八年级学生参加活动，则参加活动的七年级学生为名，由“保证植树总数不少于220棵”列出不等式求解即可． 【详解】解：设需要x名八年级学生参加活动，则参加活动的七年级学生为名， 由题意得， ， 解得，， ∴八年级学生参加活动的人数至少需45名． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）新疆是我国面积最大的省，是我国领土不可分割的一部分．“新疆棉”尤其出名，“新疆棉”产量大，品质好，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式．某采棉大户计划用两种车型运输新收割的棉花，运送过程中均满载．已知用1辆A型车和1辆B型车可运载6吨棉花；用2辆A型车和1辆B型车可运载8吨棉花．租用1辆A型车和1辆B型车，运送成本分别为200元和300元． (1)1辆型车和1辆型车可分别运多少吨棉花？ (2)若种棉大户计划共租用型车和型车10辆，且总费用不超过2800元，求至少要租用型车多少辆？ (3)若种棉大户计划同时租用和型车，且恰好将新收割的14吨棉花运完，请写出所有的租车方案，并确定哪种租车方案最省钱． 【答案】(1)1辆A型车可运2吨棉花，1辆B型车可运4吨棉花 (2)至少要租用型车2辆 (3)共有3种租车方案：①租用A型车1辆，B型车3辆；②租用A型车3辆，B型车2辆；③租用A型车5辆，B型车1辆．方案①最省钱 【分析】本题考查二元一次方程组解决实际问题，一元一次不等式解决实际问题，根据数量关系列出方程或不等式是解题的关键． （1）设1辆A型车可运x吨棉花，1辆B型车可运y吨棉花．根据“用1辆A型车和1辆B型车可运载6吨棉花；用2辆A型车和1辆B型车可运载8吨棉花”即可列出方程组，求解即可； （2）设租用A型车a辆，根据“总费用不超过2800元”列出不等式，求解即可； （3）设租用A型车m辆，B型车n辆．根据“恰好将新收割的14吨棉花运完”列出二元一次方程，求出整数解即可得到租车方案，再求出各种方案的费用，比较即可解答． 【详解】（1）解：设1辆A型车可运x吨棉花，1辆B型车可运y吨棉花．根据题意，得 ，解得， 答：1辆A型车可运2吨棉花，1辆B型车可运4吨棉花． （2）解：设租用A型车a辆，根据题意，得 ， 解得， 答：至少要租用型车2辆． （3）解：设租用A型车m辆，B型车n辆．根据题意，得 ， ∵m，n为正整数， ∴或或， ∴共有3种租车方案： ①租用A型车1辆，B型车3辆， ②租用A型车3辆，B型车2辆， ③租用A型车5辆，B型车1辆． 它们的费用分别为： ①（元）， ②（元）， ③（元）． ∵， ∴方案①租用A型车1辆，B型车3辆最省钱． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）若，则下列各式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟记不等式的基本性质是解决问题的关键．根据不等式的基本性质：加减性质：不等式两边加（或减）同一个数，不等号方向不变；乘除正数：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；乘除负数：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变；逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A．若，则，故选项A成立，符合题意； B．若，则，故选项B不成立，不符合题意； C．若，则，故选项C不成立，不符合题意； D．若，则，故选项D不成立，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，数轴上的点与点所表示的数分别为，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．由数轴可得，利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可得， 两边同时加上得，则A不符合题意， 两边同时减去得，则B符合题意， 两边同时乘以得，则C不符合题意， 当时，，则D不符合题意， 故选：B． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，用不等式表示数轴上所示的解集，正确的是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，根据不等式的解集在数轴上的表示方法进行判断即可． 【详解】解：由数轴可得，， 故选：B． 4．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）某校七年级406名师生外出春游，租用44座和40座的两种客车．如果44座的客车租用了3辆，那么40座的客车至少需租用（   ） A．5辆 B．6辆 C．7辆 D．8辆 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系，列出不等式．设需租用40座的客车辆，根据总人数需求建立不等式，解出的最小整数值即可． 【详解】解：设需租用40座的客车x辆，由题意得： 　， 解得：． ∵x为整数， ∴x最小为7． 故选C． 二、填空题 5．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）不等式的正整数解是______． 【答案】1，2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤； 先按照解一元一次不等式的一般步骤，求出x的取值范围，从而求出它的正整数解即可． 【详解】解：解不等式得 ， 不等式的正整数解是：1，2， 故答案为：1，． 6．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）若关于的方程的解不大于，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤和不等式的基本性质．解方程得，根据解不大于列出关于的不等式，解之即可． 【详解】解：解方程得， 由题意知：， 解得：， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）若不等式组的解集是，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 根据口诀：同大取大，且结合不等式组的解集，得出，再解得，可得答案． 【详解】解：不等式组的解集为：， ， 解这个不等式得， 故答案为： 三、解答题 8．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】，图见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式组，掌握不等式的基本性质是解题的关键． 先求出两个不等式的解集，再求其公共解． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 把解集在数轴上表示为： 9．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）下面是小年同学解不等式的过程，请认真阅读并帮助小年完成相应任务． 解不等式． 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 第五步 任务一： 以上解题过程中，第一步是依据______进行变形的； 该题第______步出现错误，错误的原因是______； 任务二：请你根据平时的学习经验，就解不等式给其他同学提一条建议． 【答案】任务一：①不等式的基本性质；② 五 ，不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没改变；任务二：不等式两边同时除以一个负数，不等号要变号（答案不唯一） 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 任务一：根据不等式的基本性质求解即可； 任务二：答案不唯一，合理即可． 【详解】解：任务一：以上解题过程中，第一步是依据不等式的基本性质进行变形的； 该题第五步出现错误，错误的原因是不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没改变， 故答案为：不等式的基本性质；五，不等式两边同时除以一个负数，不等号没变号； 任务二：解一元一次不等式时严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 10．（24-25七年级下·江苏南京·期末）某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下： 阶梯 户月用水量（） 收费标准（元/） 第一阶梯 不超过 3 第二阶梯 超过，但不超过 4 第三阶梯 超过的部分 7 (1)小明家2月份用水量为，应缴纳水费______元； (2)为节约用水，小明家计划3月份的水费不超过92元，3月份最多能用多少水？ (3)已知小红家2月份和3月份共缴纳水费176元，这两个月的用水量一共是，且2月份用水量少于3月份．求小红家2月份、3月份用水量分别是多少？ 【答案】(1)65 (2)小明家3月份最多能用水 (3)小红家2月份的用水量是，3月份用水量是 【点睛】本题考查一元一次方程、一元一次不等式的应用；能够理解题意，根据不同的取值范围列出相应的方程、代数式或不等式是解题的关键． （1）根据用水量，代入不同的单价，计算出应缴纳的水费； （2）根据应缴纳的水费范围列出不等式，求解用水量的范围，即可找出用水量的最大值； （3）分类进行讨论计算． 【详解】（1）解：根据题意得：（元）， 应缴纳水费65元． 故答案为：65． （2）设小明家3月份能用水， （元），， ． 根据题意得：， 解得：， 的最大值为． 答：小明家3月份最多能用水; （3）设小红家2月份的用水量为，则小红家3月份的用水量为， 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得：， （）． 答：小红家2月份的用水量是，3月份用水量是． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·江苏南通·期末）若，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：A. 不等式两边同时加3，不等号方向不变，故选项A正确，符合题意； B. 不等式两边同时减去3，不等号方向不变，得，故选项B错误，不符合题意； C. 不等式两边同除以正数3，不等号方向不变，得，故选项C错误，不符合题意； D. 不等式两边同乘以，不等号方向改变，得，再两边同加1得，故选项D错误，不符合题意． 故选：A． 2．（24-25七年级下·江苏常州·期末）若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，列出关于m的不等式组，再借助数轴做出正确的取舍，首先确定不等式组的解集，再根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m的不等式，从而求出m的范围． 【详解】解：由，得， ， 原不等式的解集为， 不等式组的整数解共有4个， 其整数解应为：1、2、3、4， m的取值范围是， 故选：D． 3．（24-25七年级下·江苏常州·期末）已知实数满足，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质和解一元一次不等式组，根据已知条件，通过代入消元法求出a和b的范围，再代入各选项的表达式，结合不等式性质确定正确选项． 【详解】解：由，得， 代入，得， ， 因此选项B错误； 由和， 得： ，选项A错误； ， 由得：， ， 即，选项C正确； ， 由得：， 即，选项D错误， 故选：C． 4．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为（　　） A．5 B．8 C．9 D．15 【答案】D 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组的解集求参数范围，解一元一次方程． 首先解不等式组，确定k的范围；再解方程，根据正整数解的条件筛选k的值，最后求和即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∵关于的一元一次不等式组的解集是， ∴． 由可知， ∵关于的方程有正整数解， ∴为正整数且为2的倍数， ∴，1，3，5，7， ∴所有整数的和为， 故选：D． 二、填空题 5．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知，当满足______时，． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式． 根据题意得到关于的不等式，解不等式即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）若不等式的解集为，则不等式的解集为____． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 由不等式的解集为，知，根据得，解之即可． 【详解】解：不等式的解集为， ， ， ， 则， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知不等式组只有两个整数解，求的取值范围_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出两个不等式的解集，再根据不等式组只有两个整数解进行求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组只有两个整数解， ∴不等式组的解为，其两个整数解为：和， ∴， 故答案为：． 三、解答题 8．（24-25七年级下·江苏南通·期末）解下列一元一次不等式（组）： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式、解一元一次不等式组等知识点，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． （1）根据去括号、移项、合并同类项、不等式的性质求解即可； （2）先分别求得各不等式的解集，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， 解不等式①可得：； 解不等式②可得：； 所以该不等式组的解集为：． 9．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）“阅美宿迁，点亮成长”青少年读书行动启动后，某学校积极响应，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元． (1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ (2)若该学校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，学校有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每个甲种书柜的价格是180元，每个乙种书柜的价格是240元； (2)学校共有3种购买方案，方案1：购进8个甲种书柜，12个乙种书柜；方案2：购进9个甲种书柜，11个乙种书柜；方案3：购进10个甲种书柜，10个乙种书柜． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每个甲种书柜的价格是元，每个乙种书柜的价格是元，根据“购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进个甲种书柜，则购进个乙种书柜，根据“购进乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设每个甲种书柜的价格是元，每个乙种书柜的价格是元， 根据题意得， 解得， 答：每个甲种书柜的价格是180元，每个乙种书柜的价格是240元； （2）解：设购进个甲种书柜，则购进个乙种书柜， 根据题意得， 解得， 又，均为正整数， 可以为8，9，10， 学校共有3种购买方案， 方案1：购进8个甲种书柜，12个乙种书柜； 方案2：购进9个甲种书柜，11个乙种书柜； 方案3：购进10个甲种书柜，10个乙种书柜． 10．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“亲密方程”，例如：的“亲密方程”为． (1)方程的“亲密方程”为___________； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“亲密方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数，，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“亲密方程”，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，解一元一次不等式组，正确理解新定义是解题的关键． （1）由亲密方程的定义即可求解； （2）先求出与它的“亲密方程”组成的方程组的解，代入，得到的关系，再变形代入求值即可； （3）由 “亲密方程”得到，解得，继而得到不等式组，再求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，方程的“亲密方程”为， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得：， ∵， ∴ ∴方程组的解为， ∵方程组的解是方程的一个解， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：∵是关于，的二元一次方程的“亲密方程”， ∴， 解得：， ∵整数，，，满足条件， ∴， ∴， ∴； 期末综合拓展练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）从下列不等式中选择一个与组成不等式组，若要使该不等式组的解集为，则可以选择的不等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了不等式的解集，关键是正确理解不等式组解集的确定方法：大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无处找． 首先解已知不等式，得到．再根据不等式的解集确定方法；大大取大可确定另一个不等式的解集，进而选出答案． 【详解】解：∴， ， ∴ 由于组成的不等式组的解集为． A、与的解集为，不符合要求，故此选项不符合题意． B、与的解集为无解，不符合要求，故此选项不符合题意． C、与的解集为，不符合要求，故此选项不符合题意． D、与的解集为，符合要求，故此选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）下列不等式变形不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质，利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、若，两边同时加上c得，则A不符合题意； B、若，两边同时乘以得，则B不符合题意； C、若，两边同时乘以3得，则C不符合题意； D、若，当时，，则D符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）关于的不等式组的解集为，则，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查不等式组和二元一次方程组的解法，解题关键在于要灵活运用运算法则． 首先分别解两个不等式，得到关于a和b的方程，再联立求解方程组，最后验证解是否符合条件． 【详解】解：解不等式组：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 由题意，解集为， 因此：， 第一个方程整理得：（方程1） 第二个方程整理得：（方程2） 联立方程1和方程2： 解得：，， 故选：C． 二、填空题 4．（24-25七年级下·江苏南通·期末）已知关于的多项式，当时，该多项式有2个整数值，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，理解题意并得到关于的一次函数是解题的关键． 令，根据求得的取值范围，然后根据题意列得关于的不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：令，则随着的增大而增大， 当时，， 当时，， 时， ， 多项式有个整数值， 有个整数值，即，， 则， 解得：， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）定义：关于的二元一次方程（其中是常数）叫做方程的“移变方程”．例如：的“移变方程”为．已知常数满足条件，并且是关于的二元一次方程的“移变方程”，则的取值范围为_________． 【答案】且 【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，解题关键是理解新定义，并正确求解含参方程． 根据新定义，仿照示例，得到二元一次方程与“移变方程”系数之间的关系，列出不等式组，求出的范围，并注意二元一次方程的系数不为0，即可求解． 【详解】解：根据“移变方程”的定义，知的移变方程为： ， 又也是的移变方程， ∴， 由②得，， 代入①，得， ∵， ∴， 解得， 又是二元一次方程，则： 且， ∴ 解得且， 又， ∴的取值范围为且． 故答案为：且． 6．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）下列说法：①如果直线，直线和直线满足，，则；②若，且，则；③若关于的不等式组所有的整数解的和为，则的取值范围是或；④若关于的不等式组有解且每个解都不在的范围内，则．其中正确说法是______．（填正确结论的序号） 【答案】②④ 【分析】本题考查算术平方根、解一元一次不等式组及平行线的判定与性质，掌握算术平方根的意义、一元一次不等式组的解法和平行线的判定与性质是解题的关键． ①根据“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”判断即可；②根据“算术平方根的平方等于被开方数”计算即可；③先解不等式组得，再根据整数解中有无正数，分情况讨论即可；④根据题意，得或，求它们的解集即可． 【详解】解：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行， ∴①不正确，不符合题意； ，，， ∴， ∴， ∴②正确，符合题意； 解得：， 所有的整数解的和为， ∴当x的整数解无正数时，整数解为， ，解得， 当x的整数解有正数时，整数解为， ，解得， ∴的取值范围是或， ∴③错误，不符合题意； ④不等式组的解集为： ∵原不等式组有解，且每个解都不在的范围内， ∴或， 解第一个不等式组得，第二个不等式组无解， ∴当时，原不等式组有解且每个解都不在的范围内， ∴④正确，符合题意． 综上，②④正确． 故答案为：②④． 三、解答题 7．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“学梅方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“学梅方程”．反之，若一元一次方程的解不在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“思梅方程”． (1)在下列方程①；②；③中，不等式组的“学梅方程”是________；（填序号） (2)若关于x的方程是的“思梅方程”，求a的取值范围． (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“学梅方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】本题可主要考查解一元一次方程和一元一次不等式（组），再根据“学梅方程”和“思梅方程”的定义来求解； （1）先分别把三个方程解出来，再把不等式组求出解集，通过比较即可得到答案； （2）先把看作常数，分别解一元一次方程和一元一次不等式，根据思梅方程的定义，列出关于的不等式，求出解集即可； （3）先把看作常数，分别解一元一次方程和一元一次不等式组，根据不等式组恰好有3个整数解和学梅方程的定义，列出关于的不等式，求出解集即可； 【详解】（1）解：解不等式，移项可得，即； 解不等式，去括号得，移项合并同类项得，即，两边同时除以2得． 所以不等式组的解集为． 解方程①，得． 解方程②，得． 解方程③，得． 根据“学梅方程”的定义判断 ，因为，5和6不在范围内， 故答案是②． （2）解：解方程，去括号得，移项合并同类项得，即，两边同时除以−3得． 解不等式的解集 移项可得，即，系数化为1​​得​​． 据“思梅方程”的定义，所以2a<​ ​​，解得． 综上，的取值范围是． （3）解：解方程​，得． 解不等式，得． 解不等式，得． 所以不等式组的解集为． 根据“学梅方程”的定义和整数解的个数，所以，解不等式得；解不等式得，所以． 因为不等式组恰好有3个整数解，即1，2，3，所以，解不等式得；解不等式得，结合​，可得． 综上，的取值范围是． 8．（24-25七年级下·广东广州·期末）本学期，教科书在七年级下册第十一章《二元一次方程组》的“阅读与思考”栏目中，介绍了《中国古代著名的一次不定方程组问题》，其中有《张丘建算经》记载的“百鸡问题”，意思是：如果一只公鸡值5个钱，一只母鸡值3个钱，3只小鸡值1个钱，现用100个钱，买了100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？ 小天和小河对此很感兴趣，一起展开了研究，提出以下两个问题． (1)小天提出的问题是：若公鸡买了8只，则母鸡、小鸡各买了多少只？ (2)小河解答了小天的问题后，找到了一个求解“百鸡问题”的方法：设公鸡、母鸡、小鸡各买了x只，y只，z只，依题意得到方程组，把②①，消去z，得到一个二元一次方程．小河说：“由于是这个二元一次方程的一组解，因此该方程的解可以含字母t的式子表示，即为（t为整数），根据题意，由x，y的取值范围可以求出t的值，由此可求出满足条件的公鸡、母鸡、小鸡的数量情况． 现在，请你先解答小天的问题，然后把小河求解“百鸡问题”的过程补充完整． 【答案】(1)母鸡买了11只，小鸡买了81只 (2)见解析 【分析】本题考查方程组的应用和不等式组的解集； （1）设母鸡买了m只，小鸡买了n只，根据题意列方程组，解方程组即可解答； （2）设公鸡、母鸡、小鸡各买了x只，y只，z只，根据题意得到，利用t为正整数得到购买方案即可解答． 【详解】（1）解：设母鸡买了m只，小鸡买了n只， 根据题意得：， 解得：． 答：母鸡买了11只，小鸡买了81只； （2）解：设公鸡、母鸡、小鸡各买了x只，y只，z只， 根据题意得：， 得：， ∵是这个二元一次方程的一组解， ∴该方程的解可以含字母t的式子表示，即为（t为整数）， 则， ∵x，y，z非负整数， ∴， 解得：， 又∵t为正整数， ∴t可以为25，26，27，28， 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，． 答：公鸡、母鸡、小鸡各买了0只，25只，75只或4只，18只，78只或8只，11只，81只或12只，4只，84只． 9．（24-25七年级下·江苏南通·期末）综合与实践：在学习了“不等式的性质”后，某数学兴趣组以“四个正数，其中，”为条件进行了延伸探究． 【结论初探】 （1）小明发现，并给出了如下说理过程． ， 请判断与的大小关系，并参照小明给出的过程说明理由； 【作图再探】 （2）小丽通过作出的图形来说明小明发现的结论： ①如图1，在射线上截取，因为，则点落在线段上； ②分别在的延长线、的延长线上截取，则，则点落在线段上； ③由图1可知，，点在线段上，所以，，即． 小强也仿照小丽的思路尝试利用图形面积的大小关系来说明与的大小关系：如图2，按照小丽探究的①，作出点；作射线，……．请顺着小强的作法继续补全图形，并通过图形说明与的大小关系； 【拓展延伸】 （3）请进一步探究：若为的高，与之间具有怎样的大小关系； 【结论应用】 （4）如图3，四边形中，，垂足为，判断与的大小关系并说明理由． 【答案】（1），见解析（2）见解析（3）（4） 【分析】（1）仿照解法，变形计算解答即可． （2）仿照解法，变形计算解答即可． （3）过点B作于点E，得，故，利用不等式的性质，三角形的面积解答即可． （4）根据（3）的结论，解答即可． 【详解】（1）解：，四个正数， ， ． （2）解：①如图，作出点；作射线，在射线上截取，因为，则点落在线段上； ②作出点；在射线截取，，则点落在线段上； ③过点A作，过点C作，二线交于点E,同理作出交点F， ④根据作图，得到四边形都是矩形，且；； ⑤根据矩形在矩形内部，根据整体大于部分的原理，得到， ⑥故． （3）解：．理由如下： 过点B作于点E， 得，故 而为的高， 故， 故， 故． （4）解：．理由如下： 如图，四边形中，，垂足为， 根据（3）中的结论，得， 故， 故， 故． 10．（22-23七年级下·福建福州·期末）阅读理解： 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： (1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”__________（直接填写序号） ① ② ③ (2)若是方程组与不等式的“理想解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解都是此方程与不等式的“理想解”．若且满足条件的整数有且只有一个，求的取值范围． 【答案】(1)②③ (2)； (3)． 【分析】（1）根据“理想解”的定义进行求解即可； （2）把代入相应的方程组和不等式，从而求得q的取值范围； （3）根据当时，方程的解都是此方程与不等式的“理想解”，可求得，，从而得到，结合且满足条件的整数n有且只有一个，此时n恰好有一个整数解，从而可求m的范围． 【详解】（1）解：， 解得：， ①， 解得：，故①不符合题意； ②， 解得：，故②符合题意； ③， 解得， 故不等式组的解集是：，故③符合题意； 故答案为：②③； （2）解：∵是方程组与不等式的“理想解” ∴， 解得， ∴， 解得； （3）解：∵当时，方程的解都是此方程与不等式的“理想解”， 解，得， 由，解得． 当时， ∴，即. ∵方程的解都是此方程与不等式的“理想解”， ∴， ∴． ∵满足条件的整数n有且只有一个， ∴ ∴ 解得 ∴， ， ∴此时n恰好有一个整数解， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次方程的解，解二元一次方程组，解答的关键是对相应的知识的掌握与灵活运用 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 不等式与不等式组（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01不等式的基本性质 题型02一元一次不等式及其解法 题型03一元一次不等式组及其解法 题型04一元一次不等式的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 不等式的基本性质 掌握不等式的三条基本性质及对称性、传递性。 选择/填空考查，侧重性质3的符号变化应用。 一元一次不等式 熟练掌握“去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1”的解一元一次不等式 多题型考查，重点考勤解题步骤规范性。 一元一次不等式组 掌握解集的四种情况及“同大取大、同小取小”等口诀，会用数轴确定解集。 解答题为主，结合数轴考解集判断。 一元一次不等式的应用 能准确捕捉实际问题中的不等关系，结合实际背景检验解集合理性，解决简单实际问题。 压轴解答题，结合实际场景考不等关系。 知识点01 不等式的基本性质 1. 两个基本事实 (1)不等式的性质的交换性 交换不等式的两边，不等号的方向改变. 如果a>b，那么b<a； (2)不等式的性质的传递性 如果a>b,b>c,那么a>c. 拓展：如果c<b，b<a,那么c<a；如果c≤b,b≤a,那么c≤a；如果c=b,b=a,那么c=a; 2. 不等式的基本性质 (1)不等式性质1 不等式的两边同加(或减)同一个数（或式子），不等号的方向不变. 不等式性质1是解不等式时移项法则的理论依据。 (2)不等式性质2 不等式的两边同乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变. (3)不等式性质3 不等式的两边同乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变. 不等式性质②、③是解不等式时化系数为1和去分母法则的理论依据。 知识点02 一元一次不等式及其解法 1.不等式的解 能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解； 2.不等式的解集 一个不等式的所有的解，组成这个不等式的解集； 3. 解一元一次不等式的核心步骤： 1 去分母；②去括号； ③移项；④合并同类项；⑤系数化为1； 2.三大易错点： 1 去分母不能漏掉没有分母的项； 2 移项要注意变号； 3 系数化为1要注意同乘除一个负数时不等号要变号； 知识点03 一元一次不等式组及其解法 1. 不等式组的解集 不等式组中所有不等式解集的公共部分叫作不等式组的解集. 2. 不等式组解集的四种情形 不等式组 图例 解集 归纳 x>8 同大取大 X<-3 同小取小 -3<x<4.5 大于小的 小于大的 无解 大于大的 小于小的 3. 解一元一次不等式组的一般步骤： (1)求出不等式组中各个不等式的解集，并分别在数轴上表示出来； (2)确定各个不等式的解集的公共部分，得到不等式组的解集. 4. 不等式组的整数解 在不等式组解集范围内的整数叫作不等式组的整数解. 知识点04 一元一次不等式的应用 应用一元一次不等式（组）解决问题的步骤： ①分析题意，寻找表示（不等）数量关系； ②思考探索，列出一元一次不等式（组）； ③求出解集，解不等式组； ④确定答案，根据具体要求确定答案，从而解决实际问题. 题型一 不等式的基本性质 解｜题｜技｜巧 牢记性质，变形时紧盯不等号方向。 易｜错｜点｜拨 乘除负数时，易忘记改变不等号方向。 【典例1】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）若，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）若，则下列式子中错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·期末）已知，且c为有理数，则下列关系一定成立的是（   ） A． B． C． D． 题型二 一元一次不等式及其解法 答｜题｜模｜板 按“去分母到化系数为1”逐步规范求解。 易｜错｜点｜拨 去分母漏乘、移项不变号是常见错误。 【典例1】（24-25七年级下·山西阳泉·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【变式2】（24-25七年级下·贵州黔西南·期末）已知关于，的方程组（是常数）， (1)若此方程组的解也是方程的解，求常数的值； (2)若，满足，试化简：． 题型三 一元一次不等式组及其解法 答｜题｜模｜板 先解每个不等式，再用数轴找公共部分。 易｜错｜点｜拨 混淆实心/空心圆点，误判无解情况。 【典例1】（24-25七年级下·新疆阿克苏·期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来． 【变式2】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）（1）已知关于x，y的方程组，若的值为非负数，的值为正数，求的取值范围． （2）已知，，且，求的取值范围． 题型四 一元一次不等式的应用 答｜题｜模｜板 抓关键词，规范完成“设元到作答”流程。 易｜错｜点｜拨 忽略实际意义，未检验解集合理性。 【典例1】24-25七年级下·全国·期末）某种商品的进价为元，出售时标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打（      ） A．六折 B．七折 C．八折 D．九折 【变式1】（24-25七年级下·上海·期末）3月12日是我国的植树节，某校学生会组织七年级和八年级共65名同学参加植树活动，七年级学生平均每人植2棵树，八年级学生平均每人植4棵树，为了保证植树总数不少于220棵，则八年级学生参加活动的人数至少需（ ） A．50名 B．45名 C．40名 D．35名 【变式2】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）新疆是我国面积最大的省，是我国领土不可分割的一部分．“新疆棉”尤其出名，“新疆棉”产量大，品质好，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式．某采棉大户计划用两种车型运输新收割的棉花，运送过程中均满载．已知用1辆A型车和1辆B型车可运载6吨棉花；用2辆A型车和1辆B型车可运载8吨棉花．租用1辆A型车和1辆B型车，运送成本分别为200元和300元． (1)1辆型车和1辆型车可分别运多少吨棉花？ (2)若种棉大户计划共租用型车和型车10辆，且总费用不超过2800元，求至少要租用型车多少辆？ (3)若种棉大户计划同时租用和型车，且恰好将新收割的14吨棉花运完，请写出所有的租车方案，并确定哪种租车方案最省钱． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）若，则下列各式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，数轴上的点与点所表示的数分别为，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，用不等式表示数轴上所示的解集，正确的是（    ） A．或 B． C．或 D． 4．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）某校七年级406名师生外出春游，租用44座和40座的两种客车．如果44座的客车租用了3辆，那么40座的客车至少需租用（   ） A．5辆 B．6辆 C．7辆 D．8辆 二、填空题 5．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）不等式的正整数解是______． 6．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）若关于的方程的解不大于，则的取值范围是_____． 7．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）若不等式组的解集是，则a的取值范围是______． 三、解答题 8．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 9．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）下面是小年同学解不等式的过程，请认真阅读并帮助小年完成相应任务． 解不等式． 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 第五步 任务一： 以上解题过程中，第一步是依据______进行变形的； 该题第______步出现错误，错误的原因是______； 任务二：请你根据平时的学习经验，就解不等式给其他同学提一条建议． 10．（24-25七年级下·江苏南京·期末）某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下： 阶梯 户月用水量（） 收费标准（元/） 第一阶梯 不超过 3 第二阶梯 超过，但不超过 4 第三阶梯 超过的部分 7 (1)小明家2月份用水量为，应缴纳水费______元； (2)为节约用水，小明家计划3月份的水费不超过92元，3月份最多能用多少水？ (3)已知小红家2月份和3月份共缴纳水费176元，这两个月的用水量一共是，且2月份用水量少于3月份．求小红家2月份、3月份用水量分别是多少？ 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·江苏南通·期末）若，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏常州·期末）若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏常州·期末）已知实数满足，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为（　　） A．5 B．8 C．9 D．15 二、填空题 5．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知，当满足______时，． 6．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）若不等式的解集为，则不等式的解集为____． 7．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知不等式组只有两个整数解，求的取值范围_______． 三、解答题 8．（24-25七年级下·江苏南通·期末）解下列一元一次不等式（组）： (1)； (2) 9．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）“阅美宿迁，点亮成长”青少年读书行动启动后，某学校积极响应，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元． (1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ (2)若该学校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，学校有哪几种购买方案？ 10．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“亲密方程”，例如：的“亲密方程”为． (1)方程的“亲密方程”为___________； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“亲密方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数，，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“亲密方程”，求的值． 期末综合拓展练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）从下列不等式中选择一个与组成不等式组，若要使该不等式组的解集为，则可以选择的不等式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）下列不等式变形不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）关于的不等式组的解集为，则，的值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25七年级下·江苏南通·期末）已知关于的多项式，当时，该多项式有2个整数值，则的取值范围是______． 5．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）定义：关于的二元一次方程（其中是常数）叫做方程的“移变方程”．例如：的“移变方程”为．已知常数满足条件，并且是关于的二元一次方程的“移变方程”，则的取值范围为_________． 6．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）下列说法：①如果直线，直线和直线满足，，则；②若，且，则；③若关于的不等式组所有的整数解的和为，则的取值范围是或；④若关于的不等式组有解且每个解都不在的范围内，则．其中正确说法是______．（填正确结论的序号） 三、解答题 7．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“学梅方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“学梅方程”．反之，若一元一次方程的解不在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“思梅方程”． (1)在下列方程①；②；③中，不等式组的“学梅方程”是________；（填序号） (2)若关于x的方程是的“思梅方程”，求a的取值范围． (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“学梅方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求m的取值范围． 8．（24-25七年级下·广东广州·期末）本学期，教科书在七年级下册第十一章《二元一次方程组》的“阅读与思考”栏目中，介绍了《中国古代著名的一次不定方程组问题》，其中有《张丘建算经》记载的“百鸡问题”，意思是：如果一只公鸡值5个钱，一只母鸡值3个钱，3只小鸡值1个钱，现用100个钱，买了100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？ 小天和小河对此很感兴趣，一起展开了研究，提出以下两个问题． (1)小天提出的问题是：若公鸡买了8只，则母鸡、小鸡各买了多少只？ (2)小河解答了小天的问题后，找到了一个求解“百鸡问题”的方法：设公鸡、母鸡、小鸡各买了x只，y只，z只，依题意得到方程组，把②①，消去z，得到一个二元一次方程．小河说：“由于是这个二元一次方程的一组解，因此该方程的解可以含字母t的式子表示，即为（t为整数），根据题意，由x，y的取值范围可以求出t的值，由此可求出满足条件的公鸡、母鸡、小鸡的数量情况． 现在，请你先解答小天的问题，然后把小河求解“百鸡问题”的过程补充完整． 9．（24-25七年级下·江苏南通·期末）综合与实践：在学习了“不等式的性质”后，某数学兴趣组以“四个正数，其中，”为条件进行了延伸探究． 【结论初探】 （1）小明发现，并给出了如下说理过程． ， 请判断与的大小关系，并参照小明给出的过程说明理由； 【作图再探】 （2）小丽通过作出的图形来说明小明发现的结论： ①如图1，在射线上截取，因为，则点落在线段上； ②分别在的延长线、的延长线上截取，则，则点落在线段上； ③由图1可知，，点在线段上，所以，，即． 小强也仿照小丽的思路尝试利用图形面积的大小关系来说明与的大小关系：如图2，按照小丽探究的①，作出点；作射线，……．请顺着小强的作法继续补全图形，并通过图形说明与的大小关系； 【拓展延伸】 （3）请进一步探究：若为的高，与之间具有怎样的大小关系； 【结论应用】 （4）如图3，四边形中，，垂足为，判断与的大小关系并说明理由． 10．（22-23七年级下·福建福州·期末）阅读理解： 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： (1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”__________（直接填写序号） ① ② ③ (2)若是方程组与不等式的“理想解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解都是此方程与不等式的“理想解”．若且满足条件的整数有且只有一个，求的取值范围． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $