第十一章 不等式与不等式组【期末复习讲义】（培优版）-2025-2026学年人教版数学七年级下册

2025-2026学年人教版新教材数学七年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第十一章 不等式与不等式组【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+21个题型讲练+真题实战练 共52题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 不等式的解集 题型二 不等式的性质 题型三 求一元一次不等式的解集 题型四 求一元—次不等式的整数解 题型五 在数轴上表示不等式的解集 题型六 求一元一次不等式解的最值 题型七 列一元一次不等式 题型八 用一元一次不等式解决实际问题 题型九 用一元一次不等式解决几何问题 题型十 求不等式组的解集 题型十一 求一元一次不等式组的整数解 题型十二 由一元一次不等式组的解集求参数 题型十三 由不等式组解集的情况求参数 题型十四 不等式组和方程组结合的问题 题型十五 列一元一次不等式组 题型十六 不等式组的行程问题 题型十七 不等式组的经济问题 题型十八 不等式组的分配问题 题型十九 不等式组的方案选择问题 题型二十 不等式组的阶梯收费问题 题型二十一 —元一次不等式组的其他应用 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 一元一次不等式组 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 特征：①不等式组中的所有不等式都是一元一次不等式； ②不等式组中的所有一元一次不等式都含有同一个未知数； ③不等式组中的一元一次不等式的个数为两个或两个以上. 知识点二 一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 【补充】 1）如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解. 2）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.确定方法如下表所示： 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 无解 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 知识点三 解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 【易错点拨】 1）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分. 2）当不等式组中含有“≥”或“≤”时，边界点处要用实心圆点，解集的取法不变. 3）关于x的不等式组的解集为x=a，关于x的不等式组无解. 知识点四 一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 知识点五 一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 不等式的解集 【例1】（2024七年级·全国·竞赛）下表所示为三种食品原料的维生素含量（单位/千克）及成本（元/千克）： 维生素的含量 维生素的含量 成本 6 5 4 现在要将三种食物混合成千克的混合物，要求混合物至少需含单位的维生素和单位的维生素．如果所用的食物中的质量分别为千克，千克，千克，当分别取何值时，成本最低？ 【变式】（23-24七年级上·河北邯郸·期末）如图，嘉淇设计了一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒． (1)的长为 个单位长度，x的值为 ； (2)当时，求点M表示的数； (3)当机器人M，N之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人M变成彩色，求机器人M变成彩色的总时长； (4)当机器人M，N和点C中有一个点到其他两点的距离相等时，直接写出t的值． 题型讲练二 不等式的性质 【例2】（25-26七年级下·北京海淀·期中）如图1，光的反射定律内容如下：①反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；②反射光线和入射光线分别位于法线两侧；③反射角等于入射角． 如图2，甲同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线的夹角，则下列度数中，反射光束与天花板所形成的角可能取到的度数为_____（填序号）． ①；②；③；④ 【变式】（25-26七年级上·四川绵阳·月考）我们知道表示a与b的差的绝对值，也可以理解为数轴上数a，b对应的两个点之间的距离．比如表示数5与8对应点之间的距离为3．结合以上知识，以下说法正确的是（　　） ①当时，；②若，则或；③若，则；④若，则；⑤若关于x的不等式恒成立，则m的取值范围为． A． B． C． D． 题型讲练三 求一元一次不等式的解集 【例3】（25-26七年级下·四川绵阳·月考）已知关于x的方程． (1)若，求代数式的值． (2)已知关于x的方程的解不大于方程的解，试求a的范围． 【变式】．（25-26八年级上·四川成都·月考）已知关于x的方程的解适合不等式，则a的取值范围为____________． 题型讲练四 求一元—次不等式的整数解 【例4】（24-25七年级下·江苏淮安·月考）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“和谐不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“和谐不等式”． (1)下列不等式与互为“和谐不等式”是_______（只填序号）： ①②③ (2)若关于x的不等式是的“和谐不等式”，求m的取值范围； (3)若，关于x的不等式与不等式互为“和谐不等式”，求n的取值范围． 【变式】阅读材料： 已知关于x，y的二元一次方程有一组整数解，则方程的全部整数解可表示为（t为整数）．问题：求方程的所有正整数解． 小明参考阅读材料，解决该问题如下： 解：该方程一组整数解为，则全部整数解可表示为（t为整数）． 因为，解得 因为t为整数，所以t=0或-1． 所以该方程的正整数解为和． 通过你所知晓的知识，请解决以下问题： (1)方程3x-5y=11的全部整数解表示为：（t为整数），则 ______； (2)请你参考小明的解题方法，求方程2x+3y=24的全部正整数解； (3)若a，b均为正整数，试判断二元一次方程组有几组正整数解？并写出其解． 题型讲练五 在数轴上表示不等式的解集 【例5】（23-24七年级下·山西吕梁·期末）（1）解方程组 （2）解不等式：，并把解集表示在数轴上． 【变式】（23-24七年级上·江苏南京·期中）在数轴上，点M和N分别表示数m，n，可以用绝对值表示点M，N两点间距离d，即． (1)在数轴上，点A，B，C，D分别表示数，7，x，y，解决以下问题： ①_____； ②若，则_____； ③若，求y的值． (2)在数轴上，点A，B分别表示数a，b，点E是数轴上一点，满足，请在数轴上表示出所有符合条件的点E．（在数轴上把选定区域用铅笔加粗，并标注必要的数据，用含a，b的代数式表示） 题型讲练六 求一元一次不等式解的最值 【例6】（24-25七年级下·安徽淮北·月考）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：，如． (1)若，求的值； (2)求不等式的最大整数解． 【变式】（23-24七年级上·四川宜宾·期末）规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最大整数值． 题型讲练七 列一元一次不等式 【例7】（24-25七年级下·全国·单元测试）求当x取何值时，代数式的值： (1)大于； (2)不大于． 【变式】（24-25七年级下·湖南株洲·期末）某校组织开展国家安全知识竞赛活动，共25道题，选对一题得4分，不选或选错扣2分，如果得分不低于60分即可获奖，那么要获奖至少应选对多少道题？设要获奖应选对道题，根据题意，可列不等式为_________． 题型讲练八 用一元一次不等式解决实际问题 【例8】（2025·山西忻州·三模）维生素是人体所必需的有机化合物，它们不仅是常见的膳食纤维，还被广泛应用于药物治疗和预防．苦瓜和菠菜是生活中常见的蔬菜，每100克苦瓜中维生素C的含量比每100克菠菜中维生素C的含量多24克，1600克苦瓜中维生素C的含量与2800克菠菜中维生素C的含量相等． (1)求每100克苦瓜中维生素C的含量和每100克菠菜中维生素C的含量各是多少克； (2)某校食堂为保证师生维生素的摄入，每天会采购不同种类的蔬菜．某天食堂计划购进苦瓜和菠菜共20千克，已知该地春季每千克苦瓜的价格为6元，每千克菠菜的价格为4元，若购买这两种蔬菜的费用不超过108元，则该食堂最多购买苦瓜多少千克． 【变式】（24-25七年级下·福建泉州·期末）综合与实践：阅读下列材料，回答问题． 某校大礼堂要需要制作10个矩形铝合金窗框，每个窗框由3根长管（长度米/根）和4根短管（长度米/根）组成，这些铝合金管用长度足够的铝合金型材作为原材料进行切割获得，切割后剩余的原材料（长度小于米）称为废料．已知有A型材（长度为米/根）、B型材（长度为米/根）两种铝合金型材可供选择，它们的价格均为30元/米，且只能整根购买．数学综合实践小组对如何节约原材料的购买成本展开讨论，各自发表了意见： 小聪：需要使用的铝合金管的总长度是确定的，而原材料购买成本只与购买的总长度有关，因此废料最少时原材料的购买成本最低； 小颖：若全部采用B型材比全部采用A型材的购买成本更高； 小亮：除了选择原材料，还要制定合理的切割方法，才能使得购买原材料的成本最低． (1)请写出一根A型材所有符合要求的切割方法及对应的废料长度； (2)如果只使用B型材制作1个铝合金窗框，则至少需要多少根B型材？请写出切割方法； (3)请设计一种方案使得这10个矩形铝合金窗框所需原材料的购买成本最低，并求出最低成本．（方案应说明A，B两种型材的购买数量及对应切割方法，但不必说明理由） 题型讲练九 用一元一次不等式解决几何问题 【例9】（23-24七年级下·山东德州·月考）如图，数轴上点为原点，点A、B、C表示的数分别是． (1) ．（用含m的代数式表示） (2)当时，求m的最小值． 【变式】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·月考）对于平面直角坐标系中的任意两点P，Q，若点P到两个坐标轴距离之差的绝对值等于点Q到两个坐标轴距离之差的绝对值，则称P，Q两点为“等间距点”，其中点到两个坐标轴距离之差的绝对值叫作该点的“点轴距”，例如：和是等间距点，点P的点轴距是．若平面直角坐标系中有和两个点． (1)点A的点轴距是________； (2)如图，过点B作直线轴，点G是直线l上的一点． ①若点G位于第一象限，且点A，G是“等间距点”，求点G的坐标； ②点M的坐标是，，将点M向上平移得到点N，且点M，A是等间距点，当时，求点G的点轴距的最大值．（说明：三角形记作，的面积记作） 题型讲练十 求不等式组的解集 【例10】（25-26七年级下·上海虹口·期中）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“和谐不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“和谐不等式”． (1)不等式______的“和谐不等式”（填“是”或“不是”）． (2)如果关于x的不等式不是的“和谐不等式”，求m的取值范围． (3)当时，关于x的不等式与不等式互为“和谐不等式”，求n的取值范围． 【变式】（25-26七年级下·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，对于点，，称点为点P关于点M的变换点． (1)点Q为点关于点的变换点，点Q的坐标为_____； (2)如图，正方形四个顶点的坐标分别是，，，．已知点，点为点关于点M的变换点． ①若点在正方形的边上，则a的值为_____； ②点，分别为点，关于点M的变换点，若三角形与正方形有公共点，则a的最大值为___，a的最小值为____． 题型讲练十一 求一元一次不等式组的整数解 【例11】（25-26七年级下·全国·期末）（1）解方程组： （2）求解不等式组的正整数解． 【变式】（24-25七年级下·山东日照·期末）如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立；方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． (1)方程是下列不等式（组）中______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； (2)已知关于方程组是不等式的“偏解方程组”，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组有解，且关于的方程是它的“偏解方程”，则不等式组至少有几个整数解？并求出此时的整数解． 题型讲练十二 由一元一次不等式组的解集求参数 【例12】（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知关于的不等式组的解集是，则关于的不等式组的解集是___________． 【变式】（24-25七年级下·江苏淮安·月考）我们规定：不等式组，，，的“长度”均为（），不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该规定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”_____ ；“整点”为 _________ ； (2)若关于的不等式组的“长度”，求的值； (3)若关于的不等式组恰有3个“整点”，求的取值范围． 题型讲练十三 由不等式组解集的情况求参数 【例13】（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【变式】（24-25七年级下·湖南常德·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①；②中，不等式组的“相依方程”是________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“相依方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有个整数解，试求的取值范围． 题型讲练十四 不等式组和方程组结合的问题 【例14】（24-25七年级下·江苏·期末）【阅读材料】： 解答＂已知，且，试确定的取值范围＂有如下解法： 解：解题思想一：＂消元＂ ∵（①（用含y的代数式表示）， ∴． ∵，即②． 又∵． 解题思想二：＂配凑＂ 上式三边先同时乘2，得③， 再同时加1，得， ∴的取值范围是． 【完善材料】材料中①为，②为，③为； 【方法应用】若，且，试确定的取值范围； 【拓展提升】若（是大于3的整数），且，当的取值范围内恰有个整数时，则的值为． 【变式】（24-25七年级下·江苏扬州·月考）使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“调和解”． 例：已知方程与不等式＞0，当时，，＞0同时成立，则称“”是方程与不等式＞0的“调和解”． (1)已知有三个不等式：①＞，②2（x+3）＜4，③＜3，判断方程的解是不等式 的“调和解”（填不等式前的序号）； (2)若是方程与不等式组的“调和解”，求的取值范围； (3)若关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数．求的取值范围． 题型讲练十五 列一元一次不等式组 【例15】阅读下面材料，完成任务． 我们知道二元一次方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解． 例：由得（为正整数），   ∴    则有   又为正整数， ∴为正整数． 由2与3互质可知，为3的倍数，从而， ∴， ∴的正整数解为 任务： (1)请你写出方程的正整数解____________； (2)若为自然数，则满足条件的有______ 个； (3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为每本3元的笔记本与单价为每支5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？ 【变式】如图1，在四边形中，//，//，点在边上，平分． (1)如图1，分别延长、交于点，分别作与的平分线、交于点，请根据题意补全图形． ①若的度数为56°，求的度数； ②试探究和的数量关系，并直接写出结论； (2)如图2，已知交边于点，交边的延长线于点，且平分，若，试比较与的大小，并说明理由． 题型讲练十六 不等式组的行程问题 【例16】（25-26八年级上·重庆·期末）为梦想续航，向美好奔赴．1月12日下午，南开中学一年一度的迎新年环校跑火热开跑．3000余名南开学子奔跑在美丽的校园里，他们无惧考验，用脚步丈量青春．为了在比赛中取得好名次，甲、乙、丙3人于1月10日、11日两天去操场练习，已知甲、乙、丙的速度均为整数，不低于，不高于，乙速度是甲速度的两倍，且均各自保持不变．10日甲乙练习时间之比为，丙练习时间比甲少，10日他们一共跑了．11日他们练习时间增加，甲增加的时间占乙、丙增加时间之和的，乙增加的时间是丙增加时间的2倍，且甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，11日他们一共跑了，则甲的速度为______，11日三人练习时间之和为_______． 【变式】（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 题型讲练十七 不等式组的经济问题 【例17】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）一家广告公司为某学校制作文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中宣传册的数量是展板数量的m倍（m为大于1的整数），制作三种产品共计需要25小时．广告公司制作每件产品所需时间和所获利润如下表所示．（展板、宣传册和横幅的数量均为正整数） 产品 展板 宣传册 横幅 制作一件产品所需时间（小时） 1 0.2 0.5 制作一件产品所获利润（元） 60 3 20 (1)当时，设展板的数量为x个，横幅的数量为y个． ①请直接写出y与x的关系式___________；（用含x的式子表示） ②若三种产品的数量总数不低于66个，且三种产品全部售完所获利润不低于945元，求一共有几种制作方案． (2)若制作三种产品所获利润为950元，请直接写出m的值． 【变式】（25-26八年级上·浙江温州·月考）某厨具店购进一批电饭煲和电压力锅两种电器，其进价与售价如表： 进价（元/台） 售价（元/台） 电饭煲 电压力锅 (1)一季度，厨具店购进这两种电器共台，用去了元，并且全部售完，问厨具店在该买卖中盈利多少元？ (2)为了满足市场需求，二季度厨具店决定用不超过元的资金采购电饭煲和电压力锅共台，且电饭煲的数量不少于电压力锅的，问厨具店有哪几种进货方案？ 题型讲练十八 不等式组的分配问题 【例19】（24-25七年级下·湖南永州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》上映15天总票房突破91亿，成为中国影史首部票房破90亿元电影，档期结束后热度依然不减．某商家抓住商机购进A、B两种类型的哪吒纪念娃娃进行销售，已知购进4个A种娃娃和购进5个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元． (1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ (2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1704元的资金购进A、B两种娃娃共200个，其中种娃娃的数量不超过种娃娃数量的3倍，商家有哪几种进货方案？ 【变式】我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表： 一汽 二汽 A型每辆费用（元） B型每辆费用（元） (1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值； (2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由． 题型讲练十九 不等式组的方案选择问题 【例19】（24-25七年级下·吉林·期末）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和已知新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元；新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于个，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 【变式】（24-25七年级下·广东广州·期末）本学期，教科书在七年级下册第十一章《二元一次方程组》的“阅读与思考”栏目中，介绍了《中国古代著名的一次不定方程组问题》，其中有《张丘建算经》记载的“百鸡问题”，意思是：如果一只公鸡值5个钱，一只母鸡值3个钱，3只小鸡值1个钱，现用100个钱，买了100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？ 小天和小河对此很感兴趣，一起展开了研究，提出以下两个问题． (1)小天提出的问题是：若公鸡买了8只，则母鸡、小鸡各买了多少只？ (2)小河解答了小天的问题后，找到了一个求解“百鸡问题”的方法：设公鸡、母鸡、小鸡各买了x只，y只，z只，依题意得到方程组，把②①，消去z，得到一个二元一次方程．小河说：“由于是这个二元一次方程的一组解，因此该方程的解可以含字母t的式子表示，即为（t为整数），根据题意，由x，y的取值范围可以求出t的值，由此可求出满足条件的公鸡、母鸡、小鸡的数量情况． 现在，请你先解答小天的问题，然后把小河求解“百鸡问题”的过程补充完整． 题型讲练二十 不等式组的阶梯收费问题 【例20】（24-25七年级下·湖南长沙·月考）为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 【变式】（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 题型讲练二十一 —元一次不等式组的其他应用 【例21】（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）某商场准备购进、两种类型的便携式风扇到嘉家超市出售．已知台型风扇和台型风扇进价共元，台型风扇和台型风扇进价共元． (1)求型风扇、型风扇进货的单价各是多少元？ (2)商场准备购进这两种风扇共台，根据市场调查发现，型风扇销售情况比型风扇好，商场准备多购进型风扇，但数量不超过型风扇数量的倍，购进、两种风扇的总金额不超过元．根据以上信息，商场共有几种进货方案？哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？ 【变式】根据国家医保局数据显示，近年来医保药品目录累计新增了种药品，涵盖多数医疗领域，使患者用较低的价格用上疗效更好的药品．某药企在年研发一款特效新药，未纳入医保前，该种药物利润为元/盒，售价是其成本的倍．年经过医保局谈判，将该种药纳入医保，制药成本不变，但价格大幅度下调，该药企为了解该药品价格与销售量的关系，在甲乙两家药店进行调研，结果如下： ①第一个月，甲乙两家药店均按纳入医保后的价格出售，当月共售出盒； ②第二个月，甲药店按纳入医保后的价格出售盒，乙药店按纳入医保后的价格打九折出售，该月两家药店销售该款药品的总收入为元，且两家药店销售该款药品的总销量比第一个月增加； ③第三个月，甲药店按纳入医保后的价格打八五折出售，乙药店按纳入医保后的价格出售，该月两家药店销售该款药品总销量比第一个月增加； ④第四个月，两家药店均按纳入医保后的价格打八五折出售，该月两家药店销售该款药品的总销量比第一个月增加； ⑤若该药品的价格不变，则销量基本保持稳定． (1)求该药品在未纳入医保前的售价与成本； (2)①求该药品纳入医保后的售价； ②该药企在年的销量为万盒．为惠及更多患者并有足够的利润用于新药研发，该药企计划在年继续下调该药品的价格，希望年的年销量超过万盒，且盈利不低于．根据以上调研结果，请你为该药企设定该药品价格的范围，并说明理由． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于”为一次运算．运算进行了次才停止，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·重庆·月考）下列变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26七年级下·四川宜宾·期中）定义一种新运算， ①若，则或； ②若，则； ③若，则的最小值为14； 以上说法正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（25-26七年级下·上海崇明·期中）对、定义一种新运算，规定（其中，、均为非零常数）． 例如：． 现已知，，． 在此条件下，若关于的不等式组恰好有2025个整数解，求实数的取值范围____________． 5．（25-26七年级下·北京房山·期中）定义一种新运算“★”．规定．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是________． 6．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，对任意一点，点的值的定义如下：；比如点，，点，．如图，正方形，，，点C、D在y轴右侧，点为正方形边上的点，现有一个实数a，，当时，这样的点有______个． 7．（25-26七年级下·湖南娄底·期中）解不等式（组）： (1)； (2)． 8．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）市场畅销的某品牌电风扇有两个型号，其中A型号的进价为140元，售价为180元，B型号的进价为120元，售价为150元．某电器商城准备用不超过6630元的金额采购这两种型号的电风扇共50台． (1)求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ (2)该电器商城销售完这50台电风扇能否实现利润超过1780元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 9．（25-26七年级下·北京·期中）对实数x，y，我们定义一种新运算：（其中a，b常数）．已知，，请解决以下问题． (1)________，________； (2)若关于x，y的方程组的解满足，且m为正整数，求m的值； (3)若关于x的不等式恰好有3个正整数解，请直接写出n的取值范围． 10．（25-26七年级下·北京·期中）给出如下定义：数轴上点对应的实数为，点对应的实数为，如果，将线段记作：如果，将线段记作．若点A对应的实数为，点B对应的实数为（，则称线段为线段的“平移线段”．若线段与线段有公共点（含端点），则称线段为线段的“相关平移线段” (1)写出以下线段的“平移线段”，并判断是否为线段的“相关平移线段”． ①数轴上点对应的实数为1，点对应的实数为2，； 线段的“平移线段”是（_____），_____（填“是”或“不是”）线段的“相关平移线段”； ②数轴上点对应的实数为，点对应的实数为0，； 线段的“平移线段”是（_____），_____（填“是”或“不是”）线段的“相关平移线段”： (2)数轴上点对应的实数为，点对应的实数为，如果“平移线段”是线段的“相关平移线段”，请写出的取值范围_____． (3)线段是，无论取何值，线段的“平移线段”都是线段的“相关平移线段”，则满足的条件是_____． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版新教材数学七年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第十一章 不等式与不等式组【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+21个题型讲练+真题实战练 共52题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 不等式的解集 题型二 不等式的性质 题型三 求一元一次不等式的解集 题型四 求一元—次不等式的整数解 题型五 在数轴上表示不等式的解集 题型六 求一元一次不等式解的最值 题型七 列一元一次不等式 题型八 用一元一次不等式解决实际问题 题型九 用一元一次不等式解决几何问题 题型十 求不等式组的解集 题型十一 求一元一次不等式组的整数解 题型十二 由一元一次不等式组的解集求参数 题型十三 由不等式组解集的情况求参数 题型十四 不等式组和方程组结合的问题 题型十五 列一元一次不等式组 题型十六 不等式组的行程问题 题型十七 不等式组的经济问题 题型十八 不等式组的分配问题 题型十九 不等式组的方案选择问题 题型二十 不等式组的阶梯收费问题 题型二十一 —元一次不等式组的其他应用 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 一元一次不等式组 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 特征：①不等式组中的所有不等式都是一元一次不等式； ②不等式组中的所有一元一次不等式都含有同一个未知数； ③不等式组中的一元一次不等式的个数为两个或两个以上. 知识点二 一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 【补充】 1）如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解. 2）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.确定方法如下表所示： 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 无解 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 知识点三 解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 【易错点拨】 1）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分. 2）当不等式组中含有“≥”或“≤”时，边界点处要用实心圆点，解集的取法不变. 3）关于x的不等式组的解集为x=a，关于x的不等式组无解. 知识点四 一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 知识点五 一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 不等式的解集 【例1】（2024七年级·全国·竞赛）下表所示为三种食品原料的维生素含量（单位/千克）及成本（元/千克）： 维生素的含量 维生素的含量 成本 6 5 4 现在要将三种食物混合成千克的混合物，要求混合物至少需含单位的维生素和单位的维生素．如果所用的食物中的质量分别为千克，千克，千克，当分别取何值时，成本最低？ 【答案】时，成本最小为元 【思路引导】本题考查了不等式组的应用，由题意得，成本为，通过消元法得出的取值范围是解题关键． 【规范解答】解：依题意有， 即 得：， 得：，解得：， 成本为：， 当时，成本最小为元． 【变式】（23-24七年级上·河北邯郸·期末）如图，嘉淇设计了一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒． (1)的长为 个单位长度，x的值为 ； (2)当时，求点M表示的数； (3)当机器人M，N之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人M变成彩色，求机器人M变成彩色的总时长； (4)当机器人M，N和点C中有一个点到其他两点的距离相等时，直接写出t的值． 【答案】(1)8，6 (2)点M表示的数是 (3)机器人M变成彩色的总时长为8秒 (4)t的值为4或10.4或8或20或 【思路引导】此题考查了数轴的动点问题和一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意和分类讨论． （1）本问考查数轴上两点之间的距离，根据点，表示的数，即可算出的长，再利用是的中点，得到，即可解得的值． （2）本问根据线段的和差，得到点只能在点的右边，推出的长，即可解题； （3）分情况讨论，然后综合各种情况得到机器人变成彩色的总时长； （4）分情况进行讨论，然后综合各种情况得到的值； 【规范解答】（1）解：∵数轴上点A，B表示的数分别为，， ∴， ∵ 是的中点， ∴， ∴表示的数分别为，即的值为， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴点只能在点的右边，位置如图所示： ∴，即，整理得，解得， ∴点表示的数为； （3）解：由（）可知，从运动到需秒， ∴，， ∴， 当追上时， ， 解得， 当追上之前， ∵， ∴ 解得， ∴， 当追上之后， ， ∵， ∴ 解得， ∴， 综上可知，， （秒） ∴机器人变成彩色的总时长为秒； （4）解：当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，设机器人的运动时间为秒，则机器人的运动时间为秒， 当时，即点到点和点到点距离相等时， 当机器人到达点，此时点与点重合，即， 当机器人过点时，即， 解得或， 当时，即点到点和点到点距离相等时， 当机器人到达点时，即， 当机器人超过机器人时，， 解得或（舍去）， 当时，即点到点和点到点距离相等时， 当机器人未到达点时，即， 当机器人与机器人相遇时，即， 解得或， 综上可知，的值为或或或或． 题型讲练二 不等式的性质 【例2】（25-26七年级下·北京海淀·期中）如图1，光的反射定律内容如下：①反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；②反射光线和入射光线分别位于法线两侧；③反射角等于入射角． 如图2，甲同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线的夹角，则下列度数中，反射光束与天花板所形成的角可能取到的度数为_____（填序号）． ①；②；③；④ 【答案】④ 【思路引导】过点G作，，则，由平行线的性质得到，，求出 ，则可得到，进而可得，据此可得答案． 【规范解答】解：如图所示，过点G作，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由光的反射定律可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴可能取到的度数为． 【变式】（25-26七年级上·四川绵阳·月考）我们知道表示a与b的差的绝对值，也可以理解为数轴上数a，b对应的两个点之间的距离．比如表示数5与8对应点之间的距离为3．结合以上知识，以下说法正确的是（　　） ①当时，；②若，则或；③若，则；④若，则；⑤若关于x的不等式恒成立，则m的取值范围为． A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查绝对值性质及数轴上两点距离,正确理解绝对值的几何性质是解题的关键．①根据绝对值的性质，直接求解即可；②由题意可得方程或, 求解方程即可；③根据不等式的基本性质可得, 分两种情况讨论：当时，; 当时，，④分两种情况讨论：当时，, 则; 当时，,, 又由 ，可得， ⑤根据绝对值的意义可得, 再由恒成立，可得． 【规范解答】解：①当时，， ， 故①符合题意； ②， 或， 解得或， 故②符合题意； ③， ， 当时，， 当时，， 故③不符合题意； ④， 当时，， ， 当时，， ， ， ， ， 故④符合题意； ⑤表示数轴上表示的点到表示1的点的距离、表示的点的距离、表示的点的距离和， ， 恒成立，即恒成立， ， 故⑤符合题意； 故选：. 题型讲练三 求一元一次不等式的解集 【例3】（25-26七年级下·四川绵阳·月考）已知关于x的方程． (1)若，求代数式的值． (2)已知关于x的方程的解不大于方程的解，试求a的范围． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】（1）把代入方程，求出的值，再代入代数式计算； （2）分别解两个方程，用含的式子表示解，根据“解的大小关系”列等式，求出的取值范围． 【规范解答】（1）解：将代入得，， 解得，； ； （2）解：解方程得， 解方程得， 由题意得，， 解得． 【变式】．（25-26八年级上·四川成都·月考）已知关于x的方程的解适合不等式，则a的取值范围为____________． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式的解，解题的关键是先求解关于的方程． 先求出方程的解，代入不等式求解即可． 【规范解答】解：∵， 解得：， ∵方程的解适合不等式， ∴将 代入不等式， 得 ， 解得 ， 故答案为：． 题型讲练四 求一元—次不等式的整数解 【例4】（24-25七年级下·江苏淮安·月考）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“和谐不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“和谐不等式”． (1)下列不等式与互为“和谐不等式”是_______（只填序号）： ①②③ (2)若关于x的不等式是的“和谐不等式”，求m的取值范围； (3)若，关于x的不等式与不等式互为“和谐不等式”，求n的取值范围． 【答案】(1)①； (2)； (3)的取值范围为或． 【思路引导】（1）根据“和谐不等式”的定义即可判断； （2）解不等式可得，解不等式得，再根据“和谐不等式”的定义可得； （3）分两种情况讨论根据“和谐不等式”的定义得到含的不等式，解得即可． 本题主要考查解一元一次不等式的整数解和不等式的性质，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【规范解答】（1）解：①不等式与有公共整数解， ②不等式与没有公共整数解， ③与没有公共整数解， 与互为“和谐不等式”是①， 故答案为：①； （2）解：不等式， 解得， 不等式， 解得． 关于的不等式是的“和谐不等式”， ， ； （3）解：不等式， 解得， 不等式， 整理得， ①当，即时，， 关于的不等式与不等式互为“和谐不等式”， ， ； ②当，即时，， ， 两个一元一次不等式有公共整数解， 此时关于的不等式与不等式互为“和谐不等式”， 综上所述，的取值范围为或． 【变式】阅读材料： 已知关于x，y的二元一次方程有一组整数解，则方程的全部整数解可表示为（t为整数）．问题：求方程的所有正整数解． 小明参考阅读材料，解决该问题如下： 解：该方程一组整数解为，则全部整数解可表示为（t为整数）． 因为，解得 因为t为整数，所以t=0或-1． 所以该方程的正整数解为和． 通过你所知晓的知识，请解决以下问题： (1)方程3x-5y=11的全部整数解表示为：（t为整数），则 ______； (2)请你参考小明的解题方法，求方程2x+3y=24的全部正整数解； (3)若a，b均为正整数，试判断二元一次方程组有几组正整数解？并写出其解． 【答案】(1)-1 (2)，，． (3)该方程组有3组正整数解，分别为：，，． 【思路引导】（1）把x=2代入方程3x-5y=11得，求得y的值，即可求得θ的值； （2）参考小明的解题方法求解即可； （3）先根据（2）得到关于a、b的二元一次方程，再结合a、b均为正整数确定a、b的值，进而得到方程组的所有解． 【规范解答】（1）解：把x=2代入方程3x-5y=11得，6-5y=11， 解得y=-1， ∵方程3x-5y=11的全部整数解表示为：（t为整数），则θ=-1， 故答案为-1； （2）解：方程2x+3y=24一组整数解为，则全部整数解可表示为（t为整数）． 因为，解得-1＜t＜3． 因为t为整数， 所以t=0，1，2． 所以方程2x+3y=24的全部正整数解为：，，． （3）解：由（2）得：9a+2b=24或6a+4b=24或3a+6b=24 ∵a、b均为正整数 ∴ ∴该方程组有3组正整数解，分别为：，，． 【考点剖析】本题考查了二元一次方程的解、一元一次不等式的整数解等知识点，理解题意、正常列出方程组和不等式是解答本题的关键． 题型讲练五 在数轴上表示不等式的解集 【例5】（23-24七年级下·山西吕梁·期末）（1）解方程组 （2）解不等式：，并把解集表示在数轴上． 【答案】 （1）； （2），见解析． 【思路引导】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式，用数轴表示不等式的解集． （1）去分母，去括号，用加减消元法解方程组即可； （2）根据不等式的性质，按照解一元一次不等式的步骤，解不等式，在数轴上表示解集即可． 【规范解答】（1）解：原方程组可化为． 由，得， 解得， 把代入，得 解得， ∴这个方程组的解是． （2）解：去分母，得 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 把的系数化为，得， ∴不等式的解集为， 不等式解集在数轴上表示为： 【变式】（23-24七年级上·江苏南京·期中）在数轴上，点M和N分别表示数m，n，可以用绝对值表示点M，N两点间距离d，即． (1)在数轴上，点A，B，C，D分别表示数，7，x，y，解决以下问题： ①_____； ②若，则_____； ③若，求y的值． (2)在数轴上，点A，B分别表示数a，b，点E是数轴上一点，满足，请在数轴上表示出所有符合条件的点E．（在数轴上把选定区域用铅笔加粗，并标注必要的数据，用含a，b的代数式表示） 【答案】(1)①，②，③或者 (2)数轴见详解． 【思路引导】（1）①根据定义计算即可；②结合定义，根据列出关于x的方程，解方程即可求解；③同理列出关于y的方程，解方程即可求解； （2）设点E表示的数为e，根据数轴可知：，根据，可得，根据解绝对值方程的方法作答即可，最后再在数轴上表示出解集，其中，，而，据此画出数轴即可作答 【规范解答】（1）①∵点A，B，C，D分别表示数，7，x，y， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴，即， 当时，解得：， 当时，方程无解， ∴， ③∵， ∴，即， 当时，， 解得：，与条件不符舍去； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述：y的值为或者； （2）设点E表示的数为e， 根据数轴可知：， ∵， ∴， 当时，， 解得：； ∵， ∴， ∴， ∴与相矛盾，故舍去； 当时，， 解得：； ∴； 当时，， 解得：； ∴； 综上所述：， 数轴，如图： ． 【考点剖析】本题考查了数轴上两点之间的距离，解绝对值方程，解不等式组以及数轴等知识，注重分类讨论的思想，是解答本题的关键． 题型讲练六 求一元一次不等式解的最值 【例6】（24-25七年级下·安徽淮北·月考）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：，如． (1)若，求的值； (2)求不等式的最大整数解． 【答案】(1) (2)0 【思路引导】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，理解新运算的定义是解题关键． （1）根据新运算的定义建立方程，解一元一次方程即可得； （2）根据新运算的定义建立一元一次不等式，解不等式即可得． 【规范解答】（1）解：由题意得：， ∵， ∴， 解得． （2）解：由题意得：， ， ∵， ∴， 解得， 所以不等式的最大整数解为． 【变式】（23-24七年级上·四川宜宾·期末）规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最大整数值． 【答案】(1)，； (2)， (3)1 【思路引导】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解等知识点，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入①求出即可； （2）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入②求出即可； （3）根据新运算得出方程组，再①②得出，根据求出的范围，再求出最大整数解即可． 【规范解答】（1）解：∵，，， ， ①②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：； （2）解：由（1），， ∴， ， ， ①②，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：； （3）解：，，， ， ①②，得，即， ， ， ， 的最大整数值是1． 题型讲练七 列一元一次不等式 【例7】（24-25七年级下·全国·单元测试）求当x取何值时，代数式的值： (1)大于； (2)不大于． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查解一元一次不等式，正确列出不等式是解答的关键． （1）先列不等式，然后根据一元一次不等式的求解步骤解不等式即可； （2）先列不等式，然后根据一元一次不等式的求解步骤解不等式即可 【规范解答】（1）解：根据题意，得 去分母，得 移项、合并同类项，得 解得． （2）解：根据题意，得 去分母，得 移项、合并同类项，得 解得． 【变式】（24-25七年级下·湖南株洲·期末）某校组织开展国家安全知识竞赛活动，共25道题，选对一题得4分，不选或选错扣2分，如果得分不低于60分即可获奖，那么要获奖至少应选对多少道题？设要获奖应选对道题，根据题意，可列不等式为_________． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的不等量关系．设要获奖应选对道题，则不选或错选的有道，根据题意列不等式求解即可． 【规范解答】解：设要获奖应选对道题，则不选或错选的有道， 根据题意得，， 故答案为：． 题型讲练八 用一元一次不等式解决实际问题 【例8】（2025·山西忻州·三模）维生素是人体所必需的有机化合物，它们不仅是常见的膳食纤维，还被广泛应用于药物治疗和预防．苦瓜和菠菜是生活中常见的蔬菜，每100克苦瓜中维生素C的含量比每100克菠菜中维生素C的含量多24克，1600克苦瓜中维生素C的含量与2800克菠菜中维生素C的含量相等． (1)求每100克苦瓜中维生素C的含量和每100克菠菜中维生素C的含量各是多少克； (2)某校食堂为保证师生维生素的摄入，每天会采购不同种类的蔬菜．某天食堂计划购进苦瓜和菠菜共20千克，已知该地春季每千克苦瓜的价格为6元，每千克菠菜的价格为4元，若购买这两种蔬菜的费用不超过108元，则该食堂最多购买苦瓜多少千克． 【答案】(1)每100克苦瓜中维生素C的含量为56克，每100克菠菜中维生素C的含量为32克； (2)该食堂最多购买苦瓜14千克． 【思路引导】（1）设每100克菠菜中维生素C的含量为x克，每100克苦瓜中维生素C的含量为y克，根据每100克苦瓜中维生素C的含量比每100克菠菜中维生素C的含量多24克，1600克苦瓜中维生素C的含量与2800克菠菜中维生素C的含量相等，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该食堂购买苦瓜m千克，则购买菠菜千克，根据总费用不超过108元，结合单价列出一元一次不等式，求解得到m的最大值，即最多可购买的苦瓜重量． 【规范解答】（1）解：设每100克菠菜中维生素C的含量为x克，每100克苦瓜中维生素C的含量为y克，根据题意，得 解，得 答：每100克苦瓜中维生素C的含量为56克，每100克菠菜中维生素C的含量为32克； （2）解：设该食堂购买苦瓜m千克，则购买菠菜千克． 根据题意，得． 解，得． 答：该食堂最多购买苦瓜14千克． 【变式】（24-25七年级下·福建泉州·期末）综合与实践：阅读下列材料，回答问题． 某校大礼堂要需要制作10个矩形铝合金窗框，每个窗框由3根长管（长度米/根）和4根短管（长度米/根）组成，这些铝合金管用长度足够的铝合金型材作为原材料进行切割获得，切割后剩余的原材料（长度小于米）称为废料．已知有A型材（长度为米/根）、B型材（长度为米/根）两种铝合金型材可供选择，它们的价格均为30元/米，且只能整根购买．数学综合实践小组对如何节约原材料的购买成本展开讨论，各自发表了意见： 小聪：需要使用的铝合金管的总长度是确定的，而原材料购买成本只与购买的总长度有关，因此废料最少时原材料的购买成本最低； 小颖：若全部采用B型材比全部采用A型材的购买成本更高； 小亮：除了选择原材料，还要制定合理的切割方法，才能使得购买原材料的成本最低． (1)请写出一根A型材所有符合要求的切割方法及对应的废料长度； (2)如果只使用B型材制作1个铝合金窗框，则至少需要多少根B型材？请写出切割方法； (3)请设计一种方案使得这10个矩形铝合金窗框所需原材料的购买成本最低，并求出最低成本．（方案应说明A，B两种型材的购买数量及对应切割方法，但不必说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）根据一根A型材的长度，结合每根长管的长度米/根和每根短管的长度米/根，进行分类讨论即可； （2）先一根B型材所有符合要求的切割方法及对应的废料长度，再根据切割方法进行确定方案，即可求解； （3）根据每种切割方法的废料对边可得可切割的方案组合有：①②，①⑥，②⑥，①②⑥，分别进行求解即可． 【规范解答】（1）解：一根A型材所有符合要求的切割方法及对应的废料长度如下： 方法①：每根A型材切割出长管2根、短管0根，废料长度为每根米； 方法②：每根A型材切割出长管1根、短管1根，废料长度为每根米； 方法③：每根A型材切割出长管0根、短管2根，废料长度为每根米； （2）解：一根B型材所有符合要求的切割方法及对应的废料长度如下∶ 方法④：每根B型材切割出长管2根、短管0根，废料长度为每根米 方法⑤：每根B型材切割出长管1根、短管1根，废料长度为每根米 方法⑥：每根B型材切割出长管0根、短管3根，废料长度为每根0米 制作一个铝合金窗框可能的方案有∶ 方案：1根B型材按方法④切割出长管2根、短管0根，废料长度米， 1根B型材按方法⑤切割出长管1根、短管1根，废料长度米， 1根B型材按方法⑥切割出长管0根、短管3根，废料长度0米， 答：至少需要3根B型材，按方案切割． （3）解：依题意，共需切割出长管根、短管根， 比较方法①与方法④， ， 方法①比方法④的废料更少， 选择方法①； 同理比较方法②与方法⑤，选择方法②； 比较方法③与方法⑥，选择方法⑥； 故可切割的方案组合有：①②，①⑥，②⑥，①②⑥， 方案一：①②， 设用于方法①切割的A型材为根，则用于方法②切割的A型材为（）根， ， 解得：，不符合题意， 故此方案舍去； 方案二：①⑥， 设用于方法①切割的A型材为根， ， 解得：， 废料为：（米）， 用于方法⑥切割的B型材为根，废料为：（米）， 总废料为：（米）； 总费用为：（元）； 方案三：②⑥， 用于方法②切割的A型材需要根，废料为：（米）， 则用于方法⑥切割的B型材为根，（米）， 总废料为：（米）； 总费用为：（元）； 方案四：①②⑥， 设用于方法①切割的A型材为根（），废料为：米， 则用于方法②切割的A型材为（）根，废料为：（米）， 方法①②的总废料为：米， 用于方法⑥切割的B型材为根， 当为整数时没有废料， ， 当，时， 当使方法①②⑥的总废料最小为米； 故用于方法①切割的A型材为根， 用于方法②切割的A型材为根， 用于方法⑥切割的B型材为根， 总费用为：（元）； 故选方案四； 故切割方法为： 12根B型材按方法⑥切割，得到36根短管； 13根A型材按方法①切割，得到26根长管； 4根A型材按方法②切割，得到4根长管和4根短管． 最低成本为：元． 【考点剖析】本题考查了方案设计，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，能用一元一次方程及一元一次不等式进行求解是解题的关键． 题型讲练九 用一元一次不等式解决几何问题 【例9】（23-24七年级下·山东德州·月考）如图，数轴上点为原点，点A、B、C表示的数分别是． (1) ．（用含m的代数式表示） (2)当时，求m的最小值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查数轴上两点间的距离，解一元一次不等式等知识，准确计算是解决问题的关键． （1）用右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数即可求解． （2）利用，建立方程求得，求解即可． 【规范解答】（1）解：； （2）解：∵， ∵，， ∴， ∴， m最小取． 【变式】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·月考）对于平面直角坐标系中的任意两点P，Q，若点P到两个坐标轴距离之差的绝对值等于点Q到两个坐标轴距离之差的绝对值，则称P，Q两点为“等间距点”，其中点到两个坐标轴距离之差的绝对值叫作该点的“点轴距”，例如：和是等间距点，点P的点轴距是．若平面直角坐标系中有和两个点． (1)点A的点轴距是________； (2)如图，过点B作直线轴，点G是直线l上的一点． ①若点G位于第一象限，且点A，G是“等间距点”，求点G的坐标； ②点M的坐标是，，将点M向上平移得到点N，且点M，A是等间距点，当时，求点G的点轴距的最大值．（说明：三角形记作，的面积记作） 【答案】(1)2； (2)①或；②． 【思路引导】本题主要考查了绝对值的意义、解绝对值方程、点到坐标轴的距离、不等式的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接根据“点轴距”的定义求解即可； （2）①G在直线l上，，，则设点，根据“点轴距”的定义可得，然后解绝对值方程并根据点G的位置即可解答；②根据“点轴距”的定义可得，设，则，如图：过点N作，然后根据三角形的面积列不等式求解并取最大值即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴点A的点轴距是． 故答案为：2． （2）解：①G在直线l上，，，则设点， ∵点A、G是“等间距点”， ∴|，解得：或， ∵点G位于第一象限， ∴或； ②∵点M、A是“等间距点”， ∴，且，解得：； ∴； 设，则， 如图：过点N作， ∵且， ∴，解得：， ∴点G的点轴距是，当|n|取最小值时，点G的点轴距有最大值 ∴最大值是． 题型讲练十 求不等式组的解集 【例10】（25-26七年级下·上海虹口·期中）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“和谐不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“和谐不等式”． (1)不等式______的“和谐不等式”（填“是”或“不是”）． (2)如果关于x的不等式不是的“和谐不等式”，求m的取值范围． (3)当时，关于x的不等式与不等式互为“和谐不等式”，求n的取值范围． 【答案】(1)不是 (2) (3)或 【思路引导】（1）根据“和谐不等式”的定义即可得解； （2）解不等式可得，解不等式得，再根据“和谐不等式”的定义可得； （3）分和两种情况讨论，根据“和谐不等式”的定义得到含n的不等式求解即可． 【规范解答】（1）解：根据“和谐不等式”的定义可知：不等式与没有公共整数解， ∴不等式不是的“和谐不等式”， （2）解：解不等式可得， 解不等式得， ∵关于x的不等式不是的“和谐不等式”， 即两个不等式的公共解集中没有整数； 因为小于3的最大整数是2，所以要使公共解集中没有整数， ∴； （3）解：解不等式得， 解不等式得， ①当，即时，则， 此时不等式与不等式总有公共整数解， ∴时，不等式与不等式总是互为“和谐不等式” ②当，即时，， ∵不等式与不等式互为“和谐不等式”， ∴， 解得， ∴， 综上，n的取值范围为：或． 【变式】（25-26七年级下·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，对于点，，称点为点P关于点M的变换点． (1)点Q为点关于点的变换点，点Q的坐标为_____； (2)如图，正方形四个顶点的坐标分别是，，，．已知点，点为点关于点M的变换点． ①若点在正方形的边上，则a的值为_____； ②点，分别为点，关于点M的变换点，若三角形与正方形有公共点，则a的最大值为___，a的最小值为____． 【答案】(1) (2)①6或10；②10；2 【思路引导】（1）根据“变换点”的定义解答即可； （2）①根据题意先求出，结合正方形四点的坐标可得若点在正方形的边上，则或，解答即可； ②先求出坐标，根据题意得出，解答即可； 【规范解答】（1）解：∵点Q为点关于点的变换点， ∴，即； （2）解：①∵，，点为点关于点M的变换点， ∴， 根据题意可得正方形的范围：，， ∴在正方形y范围内，因此在正方形边上时，横坐标只能是正方形左右边的或， ∴，即， 或，即， 因此或10； ② ∵点，分别为点，关于点的变换点， ∴，， 三个点的纵坐标都在正方形y范围：内， 若三角形与正方形有公共点， 则三角形的x范围与正方形的x范围有交集， 即， 解得：， 因此的最大值为，最小值为． 题型讲练十一 求一元一次不等式组的整数解 【例11】（25-26七年级下·全国·期末）（1）解方程组： （2）求解不等式组的正整数解． 【答案】（1）（2）正整数解为1，2，3 【思路引导】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键． （1）利用加减法求解；先由消去未知数，求出，再求出即可； （2）分别求出两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分，即可写出所有正整数解． 【规范解答】解：（1） 由，得， 解得． 把代入①，得， 解得． 故方程组的解为 （2） 解不等式①，得． 解不等式②，得， 不等式组的解集为， 正整数解为． 【变式】（24-25七年级下·山东日照·期末）如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立；方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． (1)方程是下列不等式（组）中______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； (2)已知关于方程组是不等式的“偏解方程组”，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组有解，且关于的方程是它的“偏解方程”，则不等式组至少有几个整数解？并求出此时的整数解． 【答案】(1)②③ (2) (3)整数解一共有6个，分别是 【思路引导】本题考查了新定义，解一元一次方程，一元一次不等式的解，解一元一次不等式组，解二元一次方程组等知识点，难度较大，解题的关键在于分类讨论． （1）先解一元一次方程，再根据“偏解方程”的定义判断即可； （2）先求出二元一次方程组的解，再将解代入得到关于a的一元一次不等式，再求解即可； （3）先求出不等式组的解集为，再结合“偏解方程”的定义，可得b得取值范围为，从而得到当b取得最大值1时，的值最大，的值最小，即可求解． 【规范解答】（1）解：，解得：， ①当时，，则不能使成立， ∴方程不是不等式的“偏解方程”； ②当时，，则能使成立， ∴方程是不等式的“偏解方程”； ③当时，，则能使成立， ∴方程是不等式组的“偏解方程”； 故答案为：②③ （2）解： 由得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∵方程组是不等式的“偏解方程组”， ∴， 解得：； （3）解：解方程得：， ∵不等式组有解， ∴，且， ∴， ∵关于的方程是不等式组的“偏解方程”， ∴， 解得：， 综上，b得取值范围为， ∵不等式组的解集为， 当时，， ∴当b取得最大值1时，的值最大，的值最小， 此时不等式组的解集为，含有最少整数解． 此时整数解一共有6个，分别是． 题型讲练十二 由一元一次不等式组的解集求参数 【例12】（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知关于的不等式组的解集是，则关于的不等式组的解集是___________． 【答案】 【思路引导】该题考查了不等式组的解集，由已知不等式组的解集为，可确定参数，再代入第二个不等式组求解解集． 【规范解答】解：∵不等式组，解集为． ∴，且（即)， 设不等式①的解为，不等式②的解为， 解集为， 因此，解得． 将代入第二个不等式组， 得， 解得：． 故答案为：． 【变式】（24-25七年级下·江苏淮安·月考）我们规定：不等式组，，，的“长度”均为（），不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该规定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”_____ ；“整点”为 _________ ； (2)若关于的不等式组的“长度”，求的值； (3)若关于的不等式组恰有3个“整点”，求的取值范围． 【答案】(1)3；，0，1 (2) (3) 【思路引导】本题考查解一元一次不等式组及求不等式组的整数解，正确理解“长度”与“整点”的定义，并分类讨论是解题关键． （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）由不等式，得，分和两种情况，求出解集，结合进行判断即可； （3）用a表示不等式组的解集，根据恰有3个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【规范解答】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为：，0，1； 故答案为：3；，0，1． （2）解： 由不等式，得， 当即时，， 结合得解集为：4和中的较小值， “长度”， ， 解得，满足，符合题意； 当即时，， 结合得解集为：，无法满足“长度”，不合题意； 综上可知，a的值为； （3）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 该不等式组有3个“整点”， ∴，其中， 设3个整数解为k，，， 则， 变形得， ， ，， 根据有3个“整点”，可得整数解可能为，，0，或，0，1，或0，1，2， 其中，当整数解为，，0，即时， 可得 解得a的取值范围为，符合题意； 当整数解为，0，1，即时， 可得， 该不等式组无解，不合题意； 当整数解为0，1，2，即时， 可得， 该不等式组无解，不合题意； 综上可知，a的取值范围为． 题型讲练十三 由不等式组解集的情况求参数 【例13】（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【思路引导】本题考查一元一次不等式组的整数解问题，关键是先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围．首先分别解两个不等式得到不等式组的解集为，再结合“有且只有三个整数解”的条件确定的取值范围，进而求出的最大值． 【规范解答】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得； 不等式组的解集为． 不等式组有且只有三个整数解， 这三个整数解为2、3、4， 的取值范围是， 的最大值是5． 故选：D． 【变式】（24-25七年级下·湖南常德·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①；②中，不等式组的“相依方程”是________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“相依方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有个整数解，试求的取值范围． 【答案】(1)① (2) (3) 【思路引导】（1）求出不等式组的解集，以及各方程的解，判断即可； （2）求出已知不等式组的解集，根据方程为不等式组的“相依方程”，确定出的范围即可； （3）先分别求解方程和不等式组，根据不等式组整数解个数确定其解集范围，再结合“相依方程”定义确定的取值范围． 【规范解答】（1）解：方程①， 解得：， ②， 解得：， 不等式组， 解得：， ∵在范围内，不在范围内， ∴方程①是不等式组的“相依方程”， 故答案为：①； （2）不等式组， 解得：， 解关于的方程， 解得：， ∵关于的方程是不等式组的“相依方程”， ∴， 解得：； （3）解关于的方程， 解得：， 解关于的不等式组， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有个整数解， ∴ 解得： ∵关于的方程是关于的不等式组的“相依方程”， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 【考点剖析】本题考查解一元一次不等式组，解一元一次方程，不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的关键． 题型讲练十四 不等式组和方程组结合的问题 【例14】（24-25七年级下·江苏·期末）【阅读材料】： 解答＂已知，且，试确定的取值范围＂有如下解法： 解：解题思想一：＂消元＂ ∵（①（用含y的代数式表示）， ∴． ∵，即②． 又∵． 解题思想二：＂配凑＂ 上式三边先同时乘2，得③， 再同时加1，得， ∴的取值范围是． 【完善材料】材料中①为，②为，③为； 【方法应用】若，且，试确定的取值范围； 【拓展提升】若（是大于3的整数），且，当的取值范围内恰有个整数时，则的值为． 【答案】[完善材料]①，②，③；[方法应用]；[拓展提升]8 【思路引导】本题考查了不等式的性质以及解不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的性质进行求解． （1）根据材料中的解题思路和不等式的性质来确定①、②、③的值； （2）根据材料中的解题思想，通过消元法、配凑法确定的取值范围； （3）根据已知条件，通过消元表示出，再根据的取值范围内恰有个整数来确定n的值． 【规范解答】解题思想一：“消元” ，（用含y的代数式表示）， ，即， 又∵， 解题思想二：：“配凑”上式三边先同时乘2，得③， 再同时加1，得， ∴的取值范围是． 故答案为：①； ；③； [方法应用] ∵， ， ， ， 即， 又∵， ， ， ，即， ∴的取值范围是； [拓展提升] ∵， ， ， ， ， 又∵， ， ， ， ∴的取值范围是， ∵的取值范围内恰有个整数，且是大于3的整数， 故答案为：8． 【变式】（24-25七年级下·江苏扬州·月考）使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“调和解”． 例：已知方程与不等式＞0，当时，，＞0同时成立，则称“”是方程与不等式＞0的“调和解”． (1)已知有三个不等式：①＞，②2（x+3）＜4，③＜3，判断方程的解是不等式 的“调和解”（填不等式前的序号）； (2)若是方程与不等式组的“调和解”，求的取值范围； (3)若关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数．求的取值范围． 【答案】(1)③ (2) (3) 【思路引导】（1）先求出方程的解，分别代入三个不等式验证是否满足不等式，再作出判断； （2）先根据“调和解”的意义得出，，再求出，代入不等式组中求得，再将代入后，求出其范围即可； （3）先求出不等式组解，再求出方程的解，然后将代入，求得，再根据关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数，可得，解得：，然后得出． 【规范解答】（1）解：，解得：， ，故①不成立； ，故②不成立； ，故③成立， 故答案为：③； （2）∵是方程与不等式组的“调和解”， ∴，， 解得：， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴； （3）不等式组，解得：， 将代入，得，解得：， ∵关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数， ∴这7个整数为7，6，5，4，3，2，1， ∴，解得：， ∴． 【考点剖析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，已知方程组的解求参数的范围等知识点，解题关键是正确求解方程组与不等式组． 题型讲练十五 列一元一次不等式组 【例15】阅读下面材料，完成任务． 我们知道二元一次方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解． 例：由得（为正整数），   ∴    则有   又为正整数， ∴为正整数． 由2与3互质可知，为3的倍数，从而， ∴， ∴的正整数解为 任务： (1)请你写出方程的正整数解____________； (2)若为自然数，则满足条件的有______ 个； (3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为每本3元的笔记本与单价为每支5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？ 【答案】(1) (2)4 (3)有两种方案：①买10本笔记本，1支钢笔，②买5本笔记本，4支钢笔 【思路引导】（1）根据题意可知，求方程的正整数解，先把方程做适当的变形，再列举正整数代入求解． （2）参照例题的解题思路进行解答； （3）设单价为每本3元的笔记本买了本，单价为每支5元的钢笔买了支，根据题意得，其中x、y均为自然数．参照例题的解题思路解该二元一次方程即可． 【规范解答】（1）解：由，得（x、y为正整数）． 所以，即， ∴当时，， 即方程的正整数解是； 故答案为：； （2）解：若为自然数， 则有：，即． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 即满足条件x的值有4个， 故答案为：4； （3）设单价为每本3元的笔记本买了本，单价为每支5元的钢笔买了支， 根据题意得， 解得，（为正整数）， ∴，解得， 又∵是3的倍数， ∴的取值为1或4． ∴的正整数解为或者， 即有两种方案：①买10本笔记本，1支钢笔，②买5本笔记本，4支钢笔． 【考点剖析】本题考查二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题关键是要读懂题目给出的已知条件，根据条件求解．注意笔记本和钢笔是整体，所有解均不可能出现小数和负数，这也就说要求的是正整数． 【变式】如图1，在四边形中，//，//，点在边上，平分． (1)如图1，分别延长、交于点，分别作与的平分线、交于点，请根据题意补全图形． ①若的度数为56°，求的度数； ②试探究和的数量关系，并直接写出结论； (2)如图2，已知交边于点，交边的延长线于点，且平分，若，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)作图见解析；①；② (2)，理由见解析 【思路引导】（1）依据题意补全图形；①过点N作NF//AD，根据平行线的性质及角平分线的计算、各角之间的关系得出∠ANF=∠DAN=34°，∠MNF=∠CMN=28°，求解即可； ②方法同①类似，过点N作NF//AD，利用平行线的性质及角平分线的计算、各角之间的关系得出∠ANF=∠DAN=，∠MNF=∠CMN，结合图形求解即可； （2）根据垂直及平行线的性质得出∠CDF=∠F，设∠EDB=∠BDF=x，∠CDF=∠F=y，利用各角之间的关系得出x>15°，代入不等式∠F-∠EDF=90°-6x<0，即可证明． 【规范解答】（1）解：补全图形如图所示， ①过点N作NF//AD， ∴AD//BC//NF， ∵∠ADE=56°，DE平分∠ADC，AD//BC， ∴∠ADC=112°，∠DMB=∠ADE=56°， ∵AB//DC， ∴∠DAB=180°-∠ADC=68°， ∵AN平分∠DAB，MN平分∠CMD， ∴∠DAN=∠NAE=34°，∠DMN=∠CMN=28°， ∵AD//BC//NF， ∴∠ANF=∠DAN=34°，∠MNF=∠CMN=28°， ∴∠ANM=∠ANF+∠MNF=62°； ②同①方法类似， 过点N作NF//AD， ∴AD//BC//NF， ∵DE平分∠ADC，AD//BC， ∴∠ADC=2∠ADE，∠DMB=∠ADE， ∵AB//DC， ∴∠DAB=180°-∠ADC=180°-2∠ADE， ∵AN平分∠DAB，MN平分∠CMD， ∴∠DAN=∠NAE=，∠DMN=∠CMN=， ∵AD//BC//NF， ∴∠ANF=∠DAN=，∠MNF=∠CMN， ∴∠ANM=∠ANF+∠MNF=， 即∠ANM； （2）∵DF⊥BC， ∴∠BGF=90°， ∵AD∥BC， ∴∠ADF=∠BGF=90°， ∵CD∥AB， ∴∠CDF=∠F， 设∠EDB=∠BDF=x，∠CDF=∠F=y， ∴∠EDF=2x， ∴∠ADE=∠EDC=2x+y， ∵∠ADF=∠ADE+∠EDF， ∴2x+y+2x=90°， ∴y=90°-4x， ∴∠F-∠EDF=y-2x=90°-4x-2x， ∵∠BDC<45°， ∴x+y<45°， ∴x+90°-4x<45°， 解得：x>15°， ∴6x>90°， ∴∠F-∠EDF=90°-6x<0， ∴∠F<∠EDF． 【考点剖析】题目主要考查平行线的性质，角平分线的计算，不等式的应用等，理解题意，作出相应辅助线，找准各角之间的数量关系是解题关键． 题型讲练十六 不等式组的行程问题 【例16】（25-26八年级上·重庆·期末）为梦想续航，向美好奔赴．1月12日下午，南开中学一年一度的迎新年环校跑火热开跑．3000余名南开学子奔跑在美丽的校园里，他们无惧考验，用脚步丈量青春．为了在比赛中取得好名次，甲、乙、丙3人于1月10日、11日两天去操场练习，已知甲、乙、丙的速度均为整数，不低于，不高于，乙速度是甲速度的两倍，且均各自保持不变．10日甲乙练习时间之比为，丙练习时间比甲少，10日他们一共跑了．11日他们练习时间增加，甲增加的时间占乙、丙增加时间之和的，乙增加的时间是丙增加时间的2倍，且甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，11日他们一共跑了，则甲的速度为______，11日三人练习时间之和为_______． 【答案】 5 288 【思路引导】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，设甲的速度为，丙的速度为，则乙的速度为，根据三人的速度不低于，不高于列出不等式组可求出，则甲的速度为，则乙的速度为；设1月10日甲练习的时间为，则乙练习的时间为，丙练习的时间为，根据路程等于速度乘以时间可得；设1月11日丙增加的时间为，则乙增加的时间为，则甲增加的时间为，根据甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，推出；根据路程等于速度乘以时间可得，联立①②，解方程组即可得到答案． 【规范解答】解：设甲的速度为，丙的速度为，则乙的速度为， 由题意得，， ∴， ∴， ∴甲的速度为，则乙的速度为； 设1月10日甲练习的时间为，则乙练习的时间为，丙练习的时间为， ∵10日他们一共跑了， ∴， ∴ 设1月11日丙增加的时间为，则乙增加的时间为， ∴甲增加的时间为， ∵甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍， ∴， ∴； ∵11日他们一共跑了， ∴， ∴， ∴， 联立①②，解得， ∴， ∴11日三人练习时间之和为； 故答案为：5；288． 【变式】（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【答案】(1) (2) (3)7 【思路引导】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键． （1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于； （2）利用不等式的基本性质求解即可； （3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可． 【规范解答】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴ 又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点， ， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴，即此时小明总共跑的圈数为7． 题型讲练十七 不等式组的经济问题 【例17】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）一家广告公司为某学校制作文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中宣传册的数量是展板数量的m倍（m为大于1的整数），制作三种产品共计需要25小时．广告公司制作每件产品所需时间和所获利润如下表所示．（展板、宣传册和横幅的数量均为正整数） 产品 展板 宣传册 横幅 制作一件产品所需时间（小时） 1 0.2 0.5 制作一件产品所获利润（元） 60 3 20 (1)当时，设展板的数量为x个，横幅的数量为y个． ①请直接写出y与x的关系式___________；（用含x的式子表示） ②若三种产品的数量总数不低于66个，且三种产品全部售完所获利润不低于945元，求一共有几种制作方案． (2)若制作三种产品所获利润为950元，请直接写出m的值． 【答案】(1)①，②4种 (2)或6 【思路引导】本题主要考查二元一次方程以及一元一次不等式的实际应用，根据数量关系，列出方程以及不等式组是解题的关键． （1）①由宣传册的数量是展板数量的m倍，可得宣传册的数量是，根据制作三种产品共计需要25小时，即可得出关系式；②结合①中结论，根据三种产品的数量总数不低于66个，且三种产品全部售完所获利润不低于945元，建立一元一次不等式组求解即可； （2）设展板数量为a，横幅数量为b，则宣传册数量为，同理（1）得：，根据制作三种产品所获利润为950元，建立关于二元一次方程，结合a，m取正整数，即可解答． 【规范解答】（1）解：①设展板的数量为x个，横幅的数量为y个，则宣传册的数量是， 根据题意得：， 则； ②由①知， 根据题意得：， 解得：， ∵是正整数， ∴的值为， 则一共有种制作方案； （2）解：设展板数量为a，横幅数量为b，则宣传册数量为， 同理（1）得：； 根据题意：，即， ∴， ∵是正整数，且， ∴或， ∴m的值为或． 【变式】（25-26八年级上·浙江温州·月考）某厨具店购进一批电饭煲和电压力锅两种电器，其进价与售价如表： 进价（元/台） 售价（元/台） 电饭煲 电压力锅 (1)一季度，厨具店购进这两种电器共台，用去了元，并且全部售完，问厨具店在该买卖中盈利多少元？ (2)为了满足市场需求，二季度厨具店决定用不超过元的资金采购电饭煲和电压力锅共台，且电饭煲的数量不少于电压力锅的，问厨具店有哪几种进货方案？ 【答案】(1)元 (2)方案一：购买电饭煲台，电压力锅台；方案二：购买电饭煲台，电压力锅台；方案三：购买电饭煲台，电压力锅台 【思路引导】（）设购买电饭煲台，购买电压力锅台，根据题意列方程组求出的值，再列式求出利润即可； （）设购买电饭煲台，则购买电压力锅台，列出不等式组求出的取值范围，进而即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，一元一次不等式组的应用，理解题意是解题的关键． 【规范解答】（1）解：设购买电饭煲台，购买电压力锅台， 由题意得，， 解得， ∴购买电饭煲台，电压力锅台， ∴厨具店在该买卖中盈利为元； （2）解：设购买电饭煲台，则购买电压力锅台， 由题意得，， 解得， ∵是整数， ∴或或， ∴有以下三种进货方案： 方案一：购买电饭煲台，电压力锅台； 方案二：购买电饭煲台，电压力锅台； 方案三：购买电饭煲台，电压力锅台． 题型讲练十八 不等式组的分配问题 【例19】（24-25七年级下·湖南永州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》上映15天总票房突破91亿，成为中国影史首部票房破90亿元电影，档期结束后热度依然不减．某商家抓住商机购进A、B两种类型的哪吒纪念娃娃进行销售，已知购进4个A种娃娃和购进5个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元． (1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ (2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1704元的资金购进A、B两种娃娃共200个，其中种娃娃的数量不超过种娃娃数量的3倍，商家有哪几种进货方案？ 【答案】(1)每个种娃娃的进价为10元，每个种娃娃的进价为8元 (2)该商家有3种进货方案，方案一：购进A种娃娃50个，B种娃娃150个；方案二：购进A种娃娃51个，B种娃娃149个；方案三：购进A种娃娃：2个，B种娃娃148个 【思路引导】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组，是解题的关键： （1）设每个种娃娃的进价为元，每个种娃娃的进价为元，根据购进4个A种娃娃和购进5个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，列出方程组进行求解即可； （2）设购进a个种娃娃，则购进个种娃娃，根据该商家计划用不超过1704元的资金购进A、B两种娃娃共200个，其中种娃娃的数量不超过种娃娃数量的3倍，列出不等式组，求出整数解即可． 【规范解答】（1）解：设每个种娃娃的进价为元，每个种娃娃的进价为元， 依题意，得：， 解得：； 答：每个种娃娃的进价为10元，每个种娃娃的进价为8元． （2）设购进a个种娃娃，则购进个种娃娃， 依题意，得：解得： 是整数， ， 当时，； 当时，； 当时，； 答：该商家有3种进货方案， 方案一：购进A种娃娃50个，B种娃娃150个； 方案二：购进A种娃娃51个，B种娃娃149个； 方案三：购进A种娃娃：2个，B种娃娃148个． 【变式】我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表： 一汽 二汽 A型每辆费用（元） B型每辆费用（元） (1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值； (2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由． 【答案】(1)表格中的值为，的值为 (2)共有3种租车方案，选择二汽公司来运输这批货物，总费用最少，见解析 【思路引导】本题考查了一元一次不等式组和二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题关键. （1）依题意得：，即可求解； （2）设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车，依题意得：，即可求解 【规范解答】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：表格中的值为，的值为． （2）解：设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车， 依题意得：， 解得：， 取整数， ． 共有3种租车方案． 每辆A型汽车的费用小于每辆B型汽车的费用， 租用30辆A型汽车，10辆B型汽车更省钱． 选择一汽公司所需总费用为：（元）； 选择二汽公司所需总费用为：（元）． ， 选择二汽公司来运输这批货物，安排辆A型汽车，辆B型汽车时，总费用最少． 题型讲练十九 不等式组的方案选择问题 【例19】（24-25七年级下·吉林·期末）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和已知新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元；新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于个，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 【答案】(1)该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元 (2)共有种建造方案：新建个地上充电桩，个地下充电桩；新建个地上充电桩，个地下充电桩；新建个地上充电桩，个地下充电桩 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设该小区新建个地上充电桩需要万元，个地下充电桩需要万元，根据新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元；新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设新建地下充电桩个，则新建地上充电桩个，根据该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于个，列出一元一次不等式组，解之取正整数解，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元， 根据题意得：， 解得：， 答：该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元； （2）设新建地下充电桩个，则新建地上充电桩个， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为，，， 共有种建造方案： 新建个地上充电桩，个地下充电桩； 新建个地上充电桩，个地下充电桩； 新建个地上充电桩，个地下充电桩． 【变式】（24-25七年级下·广东广州·期末）本学期，教科书在七年级下册第十一章《二元一次方程组》的“阅读与思考”栏目中，介绍了《中国古代著名的一次不定方程组问题》，其中有《张丘建算经》记载的“百鸡问题”，意思是：如果一只公鸡值5个钱，一只母鸡值3个钱，3只小鸡值1个钱，现用100个钱，买了100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？ 小天和小河对此很感兴趣，一起展开了研究，提出以下两个问题． (1)小天提出的问题是：若公鸡买了8只，则母鸡、小鸡各买了多少只？ (2)小河解答了小天的问题后，找到了一个求解“百鸡问题”的方法：设公鸡、母鸡、小鸡各买了x只，y只，z只，依题意得到方程组，把②①，消去z，得到一个二元一次方程．小河说：“由于是这个二元一次方程的一组解，因此该方程的解可以含字母t的式子表示，即为（t为整数），根据题意，由x，y的取值范围可以求出t的值，由此可求出满足条件的公鸡、母鸡、小鸡的数量情况． 现在，请你先解答小天的问题，然后把小河求解“百鸡问题”的过程补充完整． 【答案】(1)母鸡买了11只，小鸡买了81只 (2)见解析 【思路引导】本题考查方程组的应用和不等式组的解集； （1）设母鸡买了m只，小鸡买了n只，根据题意列方程组，解方程组即可解答； （2）设公鸡、母鸡、小鸡各买了x只，y只，z只，根据题意得到，利用t为正整数得到购买方案即可解答． 【规范解答】（1）解：设母鸡买了m只，小鸡买了n只， 根据题意得：， 解得：． 答：母鸡买了11只，小鸡买了81只； （2）解：设公鸡、母鸡、小鸡各买了x只，y只，z只， 根据题意得：， 得：， ∵是这个二元一次方程的一组解， ∴该方程的解可以含字母t的式子表示，即为（t为整数）， 则， ∵x，y，z非负整数， ∴， 解得：， 又∵t为正整数， ∴t可以为25，26，27，28， 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，． 答：公鸡、母鸡、小鸡各买了0只，25只，75只或4只，18只，78只或8只，11只，81只或12只，4只，84只． 题型讲练二十 不等式组的阶梯收费问题 【例20】（24-25七年级下·湖南长沙·月考）为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 【答案】(1)每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； (2)一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 【思路引导】题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用； （1）设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人，根据辆型车和辆型车坐满后共载客人，辆型车和辆型车坐满后共载客人”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型车，则租用辆型车，根据租用的两种客车的共载客量不少于人且租用型车数量不超过型车数量的倍，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合，均为不小于的正整数，可得出，进而可得出共有种租车方案，由即型车每辆租金小于型车每辆租金，可得出当租用型车越多时，总租金越小，结合的取值范围，即可找出租金最少的租车方案，再求出此时的总租金即可． 【规范解答】（1）解：设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； （2）设租用辆型车，则租用辆型车， 根据题意得：， 解得：， 又，均为不小于的正整数， ， 种， 一共有种租车方案． ， 即型车每辆租金小于型车每辆租金， 当租用型车越多时，总租金越小， 当时，辆，总租金为元． 答：一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 【变式】（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【思路引导】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【规范解答】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 题型讲练二十一 —元一次不等式组的其他应用 【例21】（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）某商场准备购进、两种类型的便携式风扇到嘉家超市出售．已知台型风扇和台型风扇进价共元，台型风扇和台型风扇进价共元． (1)求型风扇、型风扇进货的单价各是多少元？ (2)商场准备购进这两种风扇共台，根据市场调查发现，型风扇销售情况比型风扇好，商场准备多购进型风扇，但数量不超过型风扇数量的倍，购进、两种风扇的总金额不超过元．根据以上信息，商场共有几种进货方案？哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？ 【答案】(1)型风扇进货的单价是元，型风扇进货的单价是元 (2)共有种进货方案，方案：购进型风扇台，型风扇台的费用最低，最低费用为元 【思路引导】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用． （1）设型风扇进货的单价是元，型风扇进货的单价是元，根据题意列出二元一次方程组求解风扇单价； （2）设购进型风扇台，则购进型风扇台，根据题意列出不等式组确定进货方案，并根据单价判断最低费用方案． 【规范解答】（1）解：设型风扇进货的单价是元，型风扇进货的单价是元， 依题意，得：， 解得：． 答：型风扇进货的单价是元，型风扇进货的单价是元． （2）解：设购进型风扇台，则购进型风扇台，依题意， 得， 解得：， 又为正整数， 可以取、、、， 共有种进货方案， 方案：购进型风扇台，型风扇台； 方案：购进型风扇台，型风扇台； 方案：购进型风扇台，型风扇台； 方案：购进型风扇台，型风扇台． 型风扇进货的单价大于型风扇进货的单价， 方案：购进型风扇台，型风扇台的费用最低，最低费用为元． 答：共有种进货方案，方案：购进型风扇台，型风扇台的费用最低，最低费用为元． 【变式】根据国家医保局数据显示，近年来医保药品目录累计新增了种药品，涵盖多数医疗领域，使患者用较低的价格用上疗效更好的药品．某药企在年研发一款特效新药，未纳入医保前，该种药物利润为元/盒，售价是其成本的倍．年经过医保局谈判，将该种药纳入医保，制药成本不变，但价格大幅度下调，该药企为了解该药品价格与销售量的关系，在甲乙两家药店进行调研，结果如下： ①第一个月，甲乙两家药店均按纳入医保后的价格出售，当月共售出盒； ②第二个月，甲药店按纳入医保后的价格出售盒，乙药店按纳入医保后的价格打九折出售，该月两家药店销售该款药品的总收入为元，且两家药店销售该款药品的总销量比第一个月增加； ③第三个月，甲药店按纳入医保后的价格打八五折出售，乙药店按纳入医保后的价格出售，该月两家药店销售该款药品总销量比第一个月增加； ④第四个月，两家药店均按纳入医保后的价格打八五折出售，该月两家药店销售该款药品的总销量比第一个月增加； ⑤若该药品的价格不变，则销量基本保持稳定． (1)求该药品在未纳入医保前的售价与成本； (2)①求该药品纳入医保后的售价； ②该药企在年的销量为万盒．为惠及更多患者并有足够的利润用于新药研发，该药企计划在年继续下调该药品的价格，希望年的年销量超过万盒，且盈利不低于．根据以上调研结果，请你为该药企设定该药品价格的范围，并说明理由． 【答案】(1)该药品在未纳入医保前的售价为330元，成本为55元 (2)①该药店纳入医保后的售价为元/盒；②该药企的制定该药品价格范围为，理由见解析 【思路引导】（1）设该药品在未纳入医保前的售价为元，成本为元,根据利润为元/盒，售价是其成本的倍列二元一次方程组求解即可得解； （2）①设该药品纳入医保后的售价为元/盒,根据两家药店销售该款药品的总收入为元列方程求解即可；②先根据材料总结药品价格与销量之间的规律：该药品价格每降低，销售量增长率为，设该药品价格定为元，则下降率为，销售增长率为 ，列不等式组求解即可。 【规范解答】（1）解：设该药品在未纳入医保前的售价为元，成本为元 根据题意，列出方程组： ， 解得：， 答：该药品在未纳入医保前的售价为元，成本为元； （2）解：①设该药品纳入医保后的售价为元/盒 因为第二个月的总销量比第一个月增加， 所以第二个月的总销量为（）盒 因为第二个月甲药店出售盒，所以乙药店出售盒, 根据题意可列方程： 解得： 所以该药店纳入医保后的售价为元/盒, ②因为该药品的价格不变，则销量基本保持稳定，根据题意可得四个月的销售情况如下： 第一个月，甲药店的销售量为盒，乙药店销售盒，共售出盒 第二个月，甲药店的销售量为盒，乙药店销售盒，共售出盒 第三个月，甲药店的销售量为盒，乙药店销售盒，共售出盒 第四个月，甲药店的销售量为盒，乙药店销售盒，甲乙两家药店共售出盒 由第二个月可发现：乙药店价格下降，乙药店销售量增长率为，即价格每降低，销售量增长率为； 由第三个月可发现：甲药店价格下降，甲药店销售量增长率为，即价格每降低，销售量增长率为； 由第四个月可发现：甲乙两家药店价格下降，甲乙药店总销售量增长率为，即价格每降低，销售量增长率为； 总结规律：该药品价格每降低，销售量增长率为， 设该药品价格定为元，则下降率为，销售增长率为 ， 依题意得：， 解得, 因为盈利不低于，则≥， 解得≥ 所以 因此该药企的制定该药品价格范围为 【考点剖析】本题主要考查了不等式组的应用，数字规律，一元一次方程的应用以及二院一次方程的应用，明确题意，正确找出相等关系及不等关系是解题的关键。 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于”为一次运算．运算进行了次才停止，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】由运算程序可得，第次运算结果为，第次运算结果为，再根据题意列出一元一次不等式组解答即可求解． 【规范解答】解：由运算程序可得，第次运算结果为，第次运算结果为， ∵运算进行了次才停止， ∴第次运算结果不大于，且第次运算结果大于， ， 解得 ， ∴的取值范围是． 2．（25-26七年级下·重庆·月考）下列变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【思路引导】根据等式的基本性质与不等式的基本性质对每个选项的变形逐一判断即可． 【规范解答】解：A、，根据等式性质，两边同时加3，可得，变形正确； B、，根据等式性质，两边同时乘3，可得，变形正确； C、，不等式两边同时除以时，若，不等号方向要改变，得到，题目未说明的符号，无法直接推出，故变形不正确； D、由得，根据不等式性质，两边同时除以正数，不等号方向不变，可得，变形正确； 3．（25-26七年级下·四川宜宾·期中）定义一种新运算， ①若，则或； ②若，则； ③若，则的最小值为14； 以上说法正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【思路引导】根据新运算中乘积的正负选择对应规则，分情况讨论逐一验证三个结论，结合不等式和绝对值性质计算． 【规范解答】解：① ，分情况讨论： 当，即时，得，解得，符合条件； 当，即时，得，解得，不符合，舍去； 仅，结论①错误； ②， ，符合， 得，即， 解得或，结论②漏解，错误； ③由，得与异号，且， ∴， 解得， 时，，， ，符合， ， 原式为， ， ，即， 分情况化简： 当时，，原式； 当时，，原式； 原式最小值为，结论③正确； 综上，仅1个结论正确． 4．（25-26七年级下·上海崇明·期中）对、定义一种新运算，规定（其中，、均为非零常数）． 例如：． 现已知，，． 在此条件下，若关于的不等式组恰好有2025个整数解，求实数的取值范围____________． 【答案】 【思路引导】根据，，得到关于a，b的方程组，再求出a，b的值可得，把不等式组变形为，可得到，即可求解． 【规范解答】解：∵，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵不等式组恰好有2025个整数解， ∴， 解得：． 5．（25-26七年级下·北京房山·期中）定义一种新运算“★”．规定．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是________． 【答案】 【思路引导】先根据定义的新运算法则化简不等式组，再分别解两个一元一次不等式，最后根据已知解集，结合一元一次不等式组解集的确定方法确定a的取值范围． 【规范解答】解：根据新定义，关于x的不等式组可化为： ， 解不等式①可得：， 解不等式②移项可得：， 因为该不等式组的解集为， 根据同大取大的解集确定法则，可得， 解得：． 6．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，对任意一点，点的值的定义如下：；比如点，，点，．如图，正方形，，，点C、D在y轴右侧，点为正方形边上的点，现有一个实数a，，当时，这样的点有______个． 【答案】6 【思路引导】根据正方形的性质得出，，结合定义分情况讨论点的个数即可． 【规范解答】解：在正方形中，，，则，， 即，， 当点在上，， 当，即，，不符合题意； 当，即，，由于，当时满足条件，故存在1个点符合题意； 当点在上，， 当，即，，由于，当时满足条件，故存在2个点符合题意； 当，即或，，故不符合题意； 当点在上，， 当，即，，故不符合题意； 当，即，，由于，当时满足条件，故存在1个点符合题意； 当点在上，， 则，，由于，当时满足条件，故存在2个点符合题意； 综上所述，共有6个． 【考点剖析】本题考查了平面直角坐标系与几何综合，不等式的性质，能够结合不同参数的取值范围进行讨论是解题的关键． 7．（25-26七年级下·湖南娄底·期中）解不等式（组）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解：， 不等式去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得 系数化为1，得； （2）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为． 8．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）市场畅销的某品牌电风扇有两个型号，其中A型号的进价为140元，售价为180元，B型号的进价为120元，售价为150元．某电器商城准备用不超过6630元的金额采购这两种型号的电风扇共50台． (1)求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ (2)该电器商城销售完这50台电风扇能否实现利润超过1780元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)31台 (2)采购方案有三种： 方案一：采购A型号电风扇29台，B型号电风扇21台； 方案二：采购A型号电风扇30台，B型号电风扇20台； 方案三：采购A型号电风扇31台，B型号电风扇19台 【思路引导】（1）设A型号的电风扇采购m台，则B型号的电风扇采购(50−m)台，根据采购金额列不等式求解即可； （2）用m表示总利润，根据超过1780元的要求列不等式求出m的求值范围，列出可能方案即可． 【规范解答】（1）解：设A型号的电风扇采购m台，则B型号的电风扇采购台， 由题意得：， 解得， 因为m为非负整数，所以m的最大值为31， 答：A型号的电风扇最多能采购31台； （2）解：总利润为 ， 要使利润超过1780元，则，得， 由（1）可知，且m为正整数，所以m可以取29，30，31， 当时，； 当时，； 当时，； 该电器商城销售完这50台电风扇能实现利润超过1780元的目标，采购方案有三种： 方案一：采购A型号电风扇29台，B型号电风扇21台； 方案二：采购A型号电风扇30台，B型号电风扇20台； 方案三：采购A型号电风扇31台，B型号电风扇19台． 9．（25-26七年级下·北京·期中）对实数x，y，我们定义一种新运算：（其中a，b常数）．已知，，请解决以下问题． (1)________，________； (2)若关于x，y的方程组的解满足，且m为正整数，求m的值； (3)若关于x的不等式恰好有3个正整数解，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1)2，1 (2)1，2 (3) 【思路引导】（1）根据题目定义的新运算，结合，即可得出答案； （2）根据得出，将其两式相加，结合即可得到m的取值范围，再结合m为正整数即可求解； （3）根据求解得到x的取值范围，再根据恰好有3个正整数解即可得到n的范围． 【规范解答】（1）解：，， 解得：， 故答案为：2，1； （2）解：依题意， ①＋②化简得． ∵， 即 解得． 又∵m为正整数， ∴m的值为1或2． （3）解：依题意得， 解得． ∵此不等式有3个正整数解， ∴， 解得． 10．（25-26七年级下·北京·期中）给出如下定义：数轴上点对应的实数为，点对应的实数为，如果，将线段记作：如果，将线段记作．若点A对应的实数为，点B对应的实数为（，则称线段为线段的“平移线段”．若线段与线段有公共点（含端点），则称线段为线段的“相关平移线段” (1)写出以下线段的“平移线段”，并判断是否为线段的“相关平移线段”． ①数轴上点对应的实数为1，点对应的实数为2，； 线段的“平移线段”是（_____），_____（填“是”或“不是”）线段的“相关平移线段”； ②数轴上点对应的实数为，点对应的实数为0，； 线段的“平移线段”是（_____），_____（填“是”或“不是”）线段的“相关平移线段”： (2)数轴上点对应的实数为，点对应的实数为，如果“平移线段”是线段的“相关平移线段”，请写出的取值范围_____． (3)线段是，无论取何值，线段的“平移线段”都是线段的“相关平移线段”，则满足的条件是_____． 【答案】(1)①；是；②；是 (2) (3) 【思路引导】（1）根据“平移线段”及“相关平移线段”的定义判断即可； （2）分、两种情况，结合线段与线段有公共点，列不等式组求解即可； （3）分、、三种情况，结合定义判断即可． 【规范解答】（1）解：①根据题意，对应的实数为，对应的实数为， 是； 线段与线段有公共点， 是线段的“相关平移线段”； ②对应的实数为，对应的实数为， 是； 线段与线段有公共点， 是线段的“相关平移线段”； （2）解：对应的实数为，对应的实数为， ①当时，，， 此时线段与线段无公共点，不符合题意； ②时，是，是， 线段与线段要有公共点， ，解得； （3）解：①当时，是，是， 当时，线段与线段无公共点，不符合题意； ②时，线段是，线段是， 当时，线段与线段无公共点，不符合题意； ③当时，线段是，， 线段过点， 当，线段是，， 线段过点， 即此时线段与线段有公共点，符合题意； 当时，线段是，， 线段过点， 即此时线段与线段有公共点，符合题意； 综上，满足的条件是． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $