专题04 二元一次方程组（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材人教版

专题04 二元一次方程组（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 二元一次方程组及其解法 题型02 三元一次方程组及其解法 题型03 一次方程组解法中的数学思想方法 题型04 一次方程组的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 二元一次方程组概念 理解掌握定义及解的概念，能准确辨析； 多以选择填空考查概念、解的判断与含参计算。 二元一次方程组解法 熟练运用代入、加减消元法灵活解题； 必考解答题，侧重基础计算与含参问题。 三元一次方程组解法 会消元转化为二元一次方程组再求解； 基础解答题，考查转化与消元能力。 一次方程组解法中的数学思想方法 理解消元、转化、整体代入等数学思想； 渗透各类题型，常结合含参、巧算考查 整体代入简化。 一次方程组的应用 会列方程组解行程、工程、利润等应用题； 必考解答大题，分值高。 知识点01 二元一次方程组 1. 二元一次方程的概念 像“x+y=35、2x+4y=94”含有两个未知数，含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作二元一次方程． 2. 二元一次方程组的概念 由几个方程组成的一组方程叫作方程组.如果方程组中含有两个未知数，含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共含有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组. 3. 二元一次方程组的解 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解； 一般地，二元一次方程组两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解. 4.二元一次方程组解法 消元法 在解二元一次方程组的过程中，用适当的方法消去一个未知数，将二元 一次方程组转化为一元一次方程，这种方法叫作消元法. （1）代入消元法 将二元一次方程组中的一个方程进行适当变形，把一个未知数用另一个未知数表示，就可以用“代入”的方法实现消元，进而求得这个 二元一次方程组的解. （2）加减消元法 将二元一次方程组中的方程进行适当变形，使两个方程中 有一个未知数的系数相等或互为相反数，就可以用“加减”的方法实现消元， 进而求得这个二元一次方程组的解. 知识点02 三元一次方程组 1. 如果方程组中含有三个未知数，且含未知数的项都是一次项，这样的方程组就叫作三元一次方程组. 例如： 2. 解三元一次方程组的基本方法是： 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 知识点03 一次方程组解法中的思想方法 （1）整体代入法在一次方程组中的应用 （2）整体加减法在一次方程组中的应用 （3）整体换元法在一次方程组中的应用 知识点04 一次方程组的应用 （1） 和差、倍分、分配等基础问题； 解答此类应用题的关键是要从“和、差、倍、共、总数”等关键词中找出两个等量关系； （2） 数量关系较为隐蔽的复杂问题； 如行程问题、工程问题、利润问题等等，此类题缺少“和、差、倍、共、总数”等关键词，不能直接地发现等量关系，需要通过通过画图、列表来分析隐蔽的等量关系. （3） 图表信息、分段计费、销售问题 生活中的水费、电费、出租车费、商品打折等问题都可以转化为数学问题，都可以用方程组解决。此类题型信息多、来源广解题的关键点是要学会提取信息、处理复杂情境，体会方程组在生活实际中的应用价值。 题型一 二元一次方程组概念 解｜题｜技｜巧 紧扣“二元、一次、整式”三条件，解需满足两方程； 易｜错｜点｜拨 混淆方程/组解；忽略分母含未知数非整式。 【典例1】（24-25七年级下·广西南宁·期末）下列等式中，是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·云南德宏·期末）关于x，y的方程是二元一次方程，则a的值是 （   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在方程组，，，，中．是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．1个 D．5个 题型二 二元一次方程组的解法 答｜题｜模｜板 系数为±1用代入；系数同/反用加减 消元漏乘、移项不变号； 易｜错｜点｜拨 未化最简即计算 。 【典例1】（24-25七年级下·云南昆明·期末）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（   ） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 【变式1】（24-25七年级下·黑龙江双鸭山·期末）解方程组： (1)． (2)． 【变式2】（24-25七年级下·山东淄博·期末）若关于x，y的方程组． (1)求方程组的解（用含m的代数式表示）； (2)若方程组的解满足，，求m的整数解． 题型三 三元一次方程组解法 答｜题｜模｜板 先消同一元化二元，再按二元法求解； 易｜错｜点｜拨 消元混乱；漏求第三个未知数；未检验 。 【典例1】（24-25七年级下·广东东莞·期末）解方程组． 【变式1】（24-25七年级下·安徽淮南·期末）已知，则的值为________． 【变式2】（24-25七年级下·湖北孝感·期末）解下列方程组． (1) (2) 题型四 一次方程组解法中的思想方法 答｜题｜模｜板 消元降次化未知为已知 不会整体换元； 易｜错｜点｜拨 转化思路不清致步骤错。 【典例1】解方程组 解：由①得：5y=21-3x ③ 把③代入②，得：4x+3(21-3x)=53 解之，得：x=2 把x=-2,代入③式，得y=3 所以，方程组的解为 【点睛】这里把3y看成一个整体，实施整体代入消元，避免了含有分数的计算，过程简洁，清晰明了。 【典例2】阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组： 解：，得，即．③ ，得．④ ，得，解得．把代入③，解得， ∴原方程组的解是 (1)请你仿照上面的解法，解方程组： (2)解关于x，y的二元一次方程组：（）． 【分析】本题考查二元一次方程组的解，能够仿照例题方法，结合加减消元法、代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）由得到③，由得到的值，再把的值代入③求出的值即可； （2）仿照（1）的解法，用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： ，得．③ ，得， 解得． 把代入③，得，解得， ∴原方程组的解是 （2）解： ，得． ∵，∴．③ ，得，解得． 把代入③，得，解得， ∴原方程组的解是 【点睛】因为未知数的系数较大，如果直接找两个未知数系数的最小公倍数，计算量较大。本题运用整体加减消元，计算简洁明了。 【典例3】解方程组 【分析】这题可以先把方程组化简后，组成新的方程组，再用适当的方法进行求解。这是学生通常用的方法。 如果把 (x+y) 换成 m， (x-y) 换成 n，重新组成新的方程组来求解的方法就是换元法，换元法的实质就是整体代换。 解：设x+y=m，x-y=n 原方程组可华为 解之，得：，即 解之，得： 【变式1】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则k的值为（   ） A．3 B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·期末）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组： 解：，得，即．③ ，得．④ ，得，解得．把代入③，解得， ∴原方程组的解是 (1)请你仿照上面的解法，解方程组： (2)解关于x，y的二元一次方程组：（）． 【变式3】（24-25七年级下·吉林·期末）若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 题型五 一次方程组的应用 答｜题｜模｜板 找准两个等量关系，合理设元，规范作答 等量找错； 易｜错｜点｜拨 设元不当；解未检验舍负值。 【典例1】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）一次社会实践小组活动中，男生戴白色帽子，女生戴红色帽子，每个人可以看到除自己以外的每位同学的帽子．每位男生看到的白色帽子比红色帽子多1顶，每位女生看到的红色帽子数量的2倍比白色帽子多3顶，则这个活动小组一共有（    ） A．17人 B．16人 C．15人 D．14人 【典例2】甲、乙两车分别从相距400km的A、B两地出发，匀速相向而行.如果甲、乙两车同时出发，那么行驶4h后两车相遇；如果甲车比乙车先出发5h,那么在乙车出发2h后两车相遇.求甲、乙两车的速度. 【典例3】为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息如下：（水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 每户每月用水量 每吨自来水销售价格/元 每吨污水处理价格/元 及以下 a 0.80 超过不超过的部分 b 0.80 超过的部分 6.0 0.80 已知小王家2024年4月份用水，交水费83元；5月份用水，交水费108元． (1)求的值； (2)6月份小王家用水，应交水费多少元？ 【变式1】（24-25七年级下·陕西安康·期末）“女娲故里”是平利最核心、最具影响力的文化名片，女娲文化影响着平利的艺术创作，如绘画和剪纸，某校七年级（5）班学生去平利体验女娲文化，其中第一组有3人选择体验“绘画”活动，2人选择体验“剪纸”活动，共花费120元；第二组有2人选择体验“绘画”活动，4人选择体验“剪纸”活动，共花费160元．则每人每次体验“绘画”和“剪纸”活动的票价各为多少元？ 【变式2】（24-25七年级下·湖南张家界·期末）小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路．假设他始终保持上坡路每分钟走，平路每分钟走，下坡路每分钟走，则他从家里到学校需，从学校到家里需．试问：小华家离学校多远？ 【变式3】（24-25七年级下·吉林·期末）综合与实践 【背景】家住吉林省蛟河市的小颖想给亲朋好友寄送蛟河特产． 【素材】 素材1：她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如表1； 计费单位 收费标准 吉林省内 江浙沪地区 首重 a 续重 b （表1） 素材2：她查看到该快递公司寄出的2份电子存单如表2； 电子存单1 电子存单2 托寄物：蛟河特产 目的地：长春 计量重量：2千克 件数：1 总费用：12元 托寄物：蛟河特产 目的地：上海 计量重量：5千克 件数：1 总费用：36元 （表2） 素材3：收费说明 ①每件快递按送达地分别计算运费； ②运费计算方式：首重价格＋续重×续重运费．首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以1千克为计重单位（不足1千克按1千克计算）． 【问题解决】 (1)求a，b的值； (2)小颖给珲春（吉林省内）的朋友寄出了3.6千克的蛟河特产，她需要支付多少元快递费？ (3)小颖给杭州（江浙沪地区）的外婆寄特产花了72元快递费，求这份特产重量的取值范围． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·江苏南通·期末）已知满足方程组，则之间的关系式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，则的值是（   ） A．1 B． C． D．2 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知关于，的二元一次方程，不论取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·广东深圳·期末）已知康乃馨每枝6元，百合每枝5元．小明购买这两种花18枝恰好用去100元，设他购买x枝康乃馨，y枝百合，可列出方程组为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）《张邱建算经》中有这样一个问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”其大意为：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？设甲原来有钱币枚，乙原来有钱币枚，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知是二元一次方程组的解，则______． 7．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）若是二元一次方程的一个解，则m的值为______． 8．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知，则_____． 9．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，表1，表2分别列举了关于的方程和方程的部分解： x ．．． 1 2 3 4 ．．． y ．．． 0 1 2 3 ．．． 表1 x ．．． 0 1 2 3 ．．． y ．．． 3 2 1 0 ．．． 表2 则关于的方程组的解为_________． 三、解答题 10．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）解二元一次方程方程组：． 11．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）解方程组：； 12．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）对每个人来说，膳食结构至关重要，它直接影响人们的身体健康．今年夏天苏超联赛火热进行，运动员需要科学搭配饮食以确保最佳竞技状态．一名中场球员每日训练和比赛需要确保充足的能量（热量）和蛋白质摄入，以维持高强度运动并促进肌肉恢复．现计划主要使用鸡胸肉、全麦面包和牛奶三种食物来满足核心需求．营养成分数据如表： 食物 每份热量（千卡） 每份蛋白质（克） 每份钙（毫克） 鸡胸肉 320 32 30 全麦面包 280 7 80 牛奶 50 3.4 150 说明：鸡胸肉、全麦面包、牛奶按100克/份计算． (1)若某运动员今日所食用的鸡胸肉和全麦面包的总热量为4400千卡，总蛋白质230克，则该运动员食用鸡胸肉和全麦面包各多少份？ (2)在满足基础热量和蛋白质需求（即问题（1）的膳食方案）后，营养师需进一步优化饮食结构，使运动员每日钙摄入量不低于1200毫克．为简化调整过程，要求如下：总食物份数与鸡胸肉份数保持不变，仅通过减少全麦面包份数、等量替换为牛奶的方式进行优化．请基于上述条件，设计合理的饮食调整方案． 一、单选题 1．（24-25七年级下·江苏南通·期末）若是方程的一组解，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 2．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需270元；购买甲1件、乙2件、丙3件，共需242元，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（　　） A．128元 B．130元 C．150元 D．160元 3．（24-25七年级下·江苏南通·期末）已知关于x，y的二元一次方程，其部分值如表所示，则p的值是（   ） x m y n t 8 p A．13 B．15 C．16 D．18 4．（24-25七年级下·山西长治·期末）解关于的方程时，不论为何值，的解都相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25七年级下·全国·期末）已知方程组的解是，则________，____________ 6．（16-17七年级下·重庆江津·期中）已知方程组的解满足，则k的值为___________． 三、解答题 7．（24-25七年级下·全国·期末）解方程（组）： (1)解方程：； (2)解方程组：． 8．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）解方程或方程组： ． 9．（24-25七年级下·吉林·期末）新定义：形如关于x，y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中． (1)请写出方程的共轭二元一次方程； (2)若方程中x，y的值满足下面的表格，求这个方程的共轭二元一次方程． x 2 y 2 1 10．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）已知关于、的方程组． (1)请写出方程的一组正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)不管取任何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个解． 11．（24-25七年级下·广东汕头·期末）在解关于x，y的方程组时，可以用①②消去未知数x，也可以用①②消去未知数 (1)求m和n的值． (2)在（1）的条件下，解方程组 12．（24-25七年级下·广东珠海·期末）近期热播的电视剧《长安的荔枝》，讲述的是转运使李善德为将岭南新鲜荔枝运往长安，荔枝的物性是“一日而色变，两日香变，三日味变”，保质期极短．因此李善德面临荔枝保鲜和最优运输线路等难题．这些难题背后藏着不少数学问题，需要你的智慧来解决！若转运荔枝有水路和陆路两种路线可选择．走水路时，每筐会产生3%的损耗；走陆路时，每筐损耗为5%．现要用5艘船和10辆马车运输200筐荔枝，中途不改变运输方式，最终损耗恰好为8筐． (1)问每艘大船可以运多少筐荔枝，每辆马车可以运多少筐荔枝？ (2)水路运输每艘大船的费用是1200文，陆路运输每辆马车的费用是800文．为了控制成本，总运输费用不能超过14000文，且大船的数量不超过7艘．恰好运完200筐荔枝运输及不考虑损耗的情况下，该如何安排大船和马车的数量，才能让运输费用达到最低？最低费用是多少？ 期末综合拓展练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·广东广州·期末）下列各组解中哪个是二元一次方程组的解（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·期末）若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2021 3．（24-25七年级下·广东广州·期末）《孙子算经》是中国南北朝数学著作，是《算经十书》之一，书中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．”意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．如果设绳子长x尺，木头长y尺，那么所列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是________． ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则 5．（24-25七年级下·福建厦门·期末）在数学游艺会上，小海准备了五张完全相同的卡片，从的自然数中随机选择一个数字可以重复，写到每张卡片正面，将它们正面向下放在桌上如图，这五张卡片分别记为A，B，C，D，然后依次将相邻两张卡片上的数字相加，把结果记录到表． 卡片组合 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 6 5 10 12 7 （1）正面数字最大的卡片记号为______； （2）将其中两张卡片上的数字进行更改，使得任意两张卡片上数字相加的和都是5，6，7，8中的一个，则被更改后五张卡片上的数字从小到大依次是______写出所有可能的情况 6．（24-25七年级下·天津河西·期末）幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，其规则是将数字填在正方形格子中，使每一行、每一列和两条对角线上的3个数字的和都相等．例如图①就是一个幻方． （I）图②是一个未完成的幻方，则的结果为_____；（II）图③中的为_____（用含的式子表示） 三、解答题 7．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，求的值． 8．（24-25七年级下·四川资阳·期末）已知关于x，y的方程组，甲由于看错了方程（1）中的a，得到方程组的解为，乙由于看错了方程（2）中的b，得到方程组的解为． 试求出方程组的正确解． 9．（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，平面直角坐标系中，且、满足，且． (1)求点A、B坐标； (2)有一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AB匀速运动，运动时间为秒，设的面积为，请用含的式子表示； (3)在（2）的条件下，过点作轴的垂线交直线于点，当与的面积比为时，请直接写出值和点的坐标． 10．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）我们规定：在平面直角坐标系中，点，点，当时，我们称点与点互为“等和点”． 例如：点与点互为“等和点”． (1)已知点，下列各点，，，其中与点互为“等和点”的是______． (2)点与点互为“等和点”，连接，直线交轴于点． 若，求点的坐标； 判断点与点是否互为“等和点”，并说明理由． (3)在（2）的条件下，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向下运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向左运动，连接，，直线，相交于点若三角形的面积为，直接写出点的坐标． 11．（24-25七年级下·四川泸州·期末）某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元．商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售． (1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场计划购进甲、乙两种商品共60件，购进乙种的件数不低于46件，且不超过甲种件数的4倍．购进这两种商品的优惠条件是：一次性购进乙种商品超过40件时，则乙种商品超过的部分按进价打8折．请设计能让这次购进的甲、乙两种商品全部售出后获利最大的方案，并求出最大利润． 12．（24-25七年级下·山西大同·期末）综合与实践 青少年正处于生长发育的黄金阶段．某校食堂为保证学生科学饮食，计划结合青少年每日摄入营养比例设计一个健康饮食餐盒． 材料搜集：材料1，青少年每餐摄入食物比例整理如下表． 食物 主食 肉蛋类 蔬菜 水果 占比 材料2，学生每餐最少摄入3种颜色的非淀粉类蔬菜． 方案设计：综合与实践小组设计了如图所示的长方形餐盒，其中主食格、菜格、水果格、肉蛋格参考材料1中数据设计，另外增加了汤格和餐具格，其中，菜格平均分为三块区域．已知，，．设，． 问题解决：请根据题意完成下列解答， (1)填空：_________，_________． (2)列方程就是“拉出一个量，将之算两次”，即对一个“量”讲“两个故事”，并把两个“故事”用“”号连接起来．请将下列各“量”分别用“两个故事”表示（用含，的式子表示）． “量” 第一个“故事” 第二个“故事” 用“”连接 ________ ______ 的面积 （   ） _____ ．．．．．． (3)请求出，的值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二元一次方程组（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 二元一次方程组及其解法 题型02 三元一次方程组及其解法 题型03 一次方程组解法中的数学思想方法 题型04 一次方程组的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 二元一次方程组概念 理解掌握定义及解的概念，能准确辨析； 多以选择填空考查概念、解的判断与含参计算。 二元一次方程组解法 熟练运用代入、加减消元法灵活解题； 必考解答题，侧重基础计算与含参问题。 三元一次方程组解法 会消元转化为二元一次方程组再求解； 基础解答题，考查转化与消元能力。 一次方程组解法中的数学思想方法 理解消元、转化、整体代入等数学思想； 渗透各类题型，常结合含参、巧算考查 整体代入简化。 一次方程组的应用 会列方程组解行程、工程、利润等应用题； 必考解答大题，分值高。 知识点01 二元一次方程组 1. 二元一次方程的概念 像“x+y=35、2x+4y=94”含有两个未知数，含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作二元一次方程． 2. 二元一次方程组的概念 由几个方程组成的一组方程叫作方程组.如果方程组中含有两个未知数，含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共含有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组. 3. 二元一次方程组的解 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解； 一般地，二元一次方程组两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解. 4.二元一次方程组解法 消元法 在解二元一次方程组的过程中，用适当的方法消去一个未知数，将二元 一次方程组转化为一元一次方程，这种方法叫作消元法. （1）代入消元法 将二元一次方程组中的一个方程进行适当变形，把一个未知数用另一个未知数表示，就可以用“代入”的方法实现消元，进而求得这个 二元一次方程组的解. （2）加减消元法 将二元一次方程组中的方程进行适当变形，使两个方程中 有一个未知数的系数相等或互为相反数，就可以用“加减”的方法实现消元， 进而求得这个二元一次方程组的解. 知识点02 三元一次方程组 1. 如果方程组中含有三个未知数，且含未知数的项都是一次项，这样的方程组就叫作三元一次方程组. 例如： 2. 解三元一次方程组的基本方法是： 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 知识点03 一次方程组解法中的思想方法 （1）整体代入法在一次方程组中的应用 （2）整体加减法在一次方程组中的应用 （3）整体换元法在一次方程组中的应用 知识点04 一次方程组的应用 （1） 和差、倍分、分配等基础问题； 解答此类应用题的关键是要从“和、差、倍、共、总数”等关键词中找出两个等量关系； （2） 数量关系较为隐蔽的复杂问题； 如行程问题、工程问题、利润问题等等，此类题缺少“和、差、倍、共、总数”等关键词，不能直接地发现等量关系，需要通过通过画图、列表来分析隐蔽的等量关系. （3） 图表信息、分段计费、销售问题 生活中的水费、电费、出租车费、商品打折等问题都可以转化为数学问题，都可以用方程组解决。此类题型信息多、来源广解题的关键点是要学会提取信息、处理复杂情境，体会方程组在生活实际中的应用价值。 题型一 二元一次方程组概念 解｜题｜技｜巧 紧扣“二元、一次、整式”三条件，解需满足两方程； 易｜错｜点｜拨 混淆方程/组解；忽略分母含未知数非整式。 【典例1】（24-25七年级下·广西南宁·期末）下列等式中，是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二元一次方程的定义判断即可． 本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数的项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程． 【详解】解：A、是二元一次方程，故此选项符合题意； B、含未知数的项的次数是2，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； C、含有一个未知数，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； D、含有一个未知数，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·云南德宏·期末）关于x，y的方程是二元一次方程，则a的值是 （   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中含有且只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为1；（3）方程是整式方程．利用二元一次方程的定义即可求解． 【详解】解：∵关于x，y的方程是二元一次方程， ∴， 解得：， 故选C． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在方程组，，，，中．是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．1个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义，需满足：①含有两个未知数；②每个方程均为一次方程；③方程组由两个方程组成． 【详解】解：，是二元一次方程组， 方程含分式，未知数出现在分母中，次数为，不是一次方程， 中，方程含第三个未知数，导致方程组含三个未知数，不符合条件， ，方程中，项次数为2，不是一次方程， 符合条件的有第一个和第三个方程组，共2个， 故选：A． 题型二 二元一次方程组的解法 答｜题｜模｜板 系数为±1用代入；系数同/反用加减 消元漏乘、移项不变号； 易｜错｜点｜拨 未化最简即计算 。 【典例1】（24-25七年级下·云南昆明·期末）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（   ） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 【答案】A 【分析】利用加减消元法解方程组即可． 本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， 要消去x，可以将或，故选项A正确，选项B错误； 要消去y，可以将，故选项C，D错误． 故选：A 【变式1】（24-25七年级下·黑龙江双鸭山·期末）解方程组： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：，                                               ∴原方程组的解为； （2）解：， 整理得， ，得， ，得， ，得， 解得：， 把代入，得， 解得：， ∴原方程组的解为． 【变式2】（24-25七年级下·山东淄博·期末）若关于x，y的方程组． (1)求方程组的解（用含m的代数式表示）； (2)若方程组的解满足，，求m的整数解． 【答案】(1) (2)2， 【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，一元一次不等式的整数解，解决本题的关键是求出方程组的解集． （1）利用加减法解方程组即可； （2）根据方程组的解满足，得到不等式组，解不等式组就可以得出m的范围，进而求得m的整数解． 【详解】（1）， ②-①得： 解得：， 把代入①得：， 解方程组为； （2），， ， 解得：， 的整数解是：2， 题型三 三元一次方程组解法 答｜题｜模｜板 先消同一元化二元，再按二元法求解； 易｜错｜点｜拨 消元混乱；漏求第三个未知数；未检验 。 【典例1】（24-25七年级下·广东东莞·期末）解方程组． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，解题的关键是利用代入消元法将三元一次方程组转化为二元一次方程组进行求解． 通过观察方程组中方程的特点，利用代入消元法，逐步消去未知数，先求出一个未知数的值，再依次求出其他未知数的值． 【详解】解： 把代入中，得， ， 把代入中，得， ， 把代入中，得， ， ∴方程组的解为． 【变式1】（24-25七年级下·安徽淮南·期末）已知，则的值为________． 【答案】1 【分析】本题考查了解三元一次方程组，将三个方程相加，即可求解． 【详解】解： 得 ∴ 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·湖北孝感·期末）解下列方程组． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解三元一次方程组． （1）用加减消元法求解即可； （2）消去y，与②组成关于x，z的二元一次方程组求解x，z的值，再求出y的值即可． 【详解】（1） ，得 ∴ 把代入①，得 ∴ ∴ （2） ，得 联立②和④，得 ， 解得 把代入①，得 ∴ 题型四 一次方程组解法中的思想方法 答｜题｜模｜板 消元降次化未知为已知 不会整体换元； 易｜错｜点｜拨 转化思路不清致步骤错。 【典例1】解方程组 解：由①得：5y=21-3x ③ 把③代入②，得：4x+3(21-3x)=53 解之，得：x=2 把x=-2,代入③式，得y=3 所以，方程组的解为 【点睛】这里把3y看成一个整体，实施整体代入消元，避免了含有分数的计算，过程简洁，清晰明了。 【典例2】阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组： 解：，得，即．③ ，得．④ ，得，解得．把代入③，解得， ∴原方程组的解是 (1)请你仿照上面的解法，解方程组： (2)解关于x，y的二元一次方程组：（）． 【分析】本题考查二元一次方程组的解，能够仿照例题方法，结合加减消元法、代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）由得到③，由得到的值，再把的值代入③求出的值即可； （2）仿照（1）的解法，用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： ，得．③ ，得， 解得． 把代入③，得，解得， ∴原方程组的解是 （2）解： ，得． ∵，∴．③ ，得，解得． 把代入③，得，解得， ∴原方程组的解是 【点睛】因为未知数的系数较大，如果直接找两个未知数系数的最小公倍数，计算量较大。本题运用整体加减消元，计算简洁明了。 【典例3】解方程组 【分析】这题可以先把方程组化简后，组成新的方程组，再用适当的方法进行求解。这是学生通常用的方法。 如果把 (x+y) 换成 m， (x-y) 换成 n，重新组成新的方程组来求解的方法就是换元法，换元法的实质就是整体代换。 解：设x+y=m，x-y=n 原方程组可华为 解之，得：，即 解之，得： 【变式1】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则k的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】将两式整体相加，再代入方程，即可计算得到k的值. 【详解】解： ∵ ①+②得2x-y=9k， 即 ， 解得 . 【变式2】（24-25七年级下·全国·期末）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组： 解：，得，即．③ ，得．④ ，得，解得．把代入③，解得， ∴原方程组的解是 (1)请你仿照上面的解法，解方程组： (2)解关于x，y的二元一次方程组：（）． 【分析】本题考查二元一次方程组的解，能够仿照例题方法，结合加减消元法、代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）由得到③，由得到的值，再把的值代入③求出的值即可； （2）仿照（1）的解法，用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： ，得．③ ，得， 解得． 把代入③，得，解得， ∴原方程组的解是 （2）解： ，得． ∵，∴．③ ，得，解得． 把代入③，得，解得， ∴原方程组的解是 【点睛】因为未知数的系数较大，如果直接找两个未知数系数的最小公倍数，计算量较大。本题运用整体加减消元，计算简洁明了。 【变式3】（24-25七年级下·吉林·期末）若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查换元法求方程组的解，把和作为一个整体，进而得到方程组的解为，再进行求解即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴方程组的解为， 解得； 故选D． 题型五 一次方程组的应用 答｜题｜模｜板 找准两个等量关系，合理设元，规范作答 等量找错； 易｜错｜点｜拨 设元不当；解未检验舍负值。 【典例1】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）一次社会实践小组活动中，男生戴白色帽子，女生戴红色帽子，每个人可以看到除自己以外的每位同学的帽子．每位男生看到的白色帽子比红色帽子多1顶，每位女生看到的红色帽子数量的2倍比白色帽子多3顶，则这个活动小组一共有（    ） A．17人 B．16人 C．15人 D．14人 【答案】B 【分析】设这个活动小组男生有人，女生有人，由题意：每位男生看到的白色帽子比红色帽子多1顶，每位女生看到的红色帽子数量的2倍比白色帽子多3顶，列出二元一次方程组，解方程组即可．此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设这个活动小组男生有人，女生有人， 由题意得：， 解得：， ， 即这个活动小组一共有16人， 故选：B． 【典例2】甲、乙两车分别从相距400km的A、B两地出发，匀速相向而行.如果甲、乙两车同时出发，那么行驶4h后两车相遇；如果甲车比乙车先出发5h,那么在乙车出发2h后两车相遇.求甲、乙两车的速度. 【分析】可以设甲车的速度为xkm/h,乙车的速度为ykm/h.根据题意， 画出示意图: 根据线段示意图，我们可以找到两个等量关系式： 甲车4h的路程+乙车4h的路程=400km， 甲车5h的路程+（甲车2h的路程+乙车2h的路程）=400km， 【详解】解： 设甲车的速度为xkm/h,乙车的速度为ykm/h.根据题意，可得方程组 由①,得y=100-x ③ 把③代入②,得7x+2(100-x)=400. 解得x=40. 把x=40代入③,解得y=60. 所以，这个方程组的解是 答：甲车的速度为40km/h,乙车的速度为60km/h. 【点睛】此类题缺少“和、差、倍、共、总数”等关键词，不能直接地发现等量关系，需要通过通过画图、列表来分析隐蔽的等量关系. 【典例3】为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息如下：（水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 每户每月用水量 每吨自来水销售价格/元 每吨污水处理价格/元 及以下 a 0.80 超过不超过的部分 b 0.80 超过的部分 6.0 0.80 已知小王家2024年4月份用水，交水费83元；5月份用水，交水费108元． (1)求的值； (2)6月份小王家用水，应交水费多少元？ 【答案】(1)a值为值为4.2 (2)146.6元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组． （1）根据题意和表格可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出a、b的值； （2）根据题意可以列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ， 解得，， 即a值为值为4.2； （2）根据题意知，吨的水费为：， 答：6月份小王家用水，应交水费元． 【点睛】生活中的水费、电费、出租车费、商品打折等问题都可以转化为数学问题，都可以用方程组解决。此类题型信息多、来源广解题的关键点是要学会提取信息、处理复杂情境，体会方程组在生活实际中的应用价值。 【变式1】（24-25七年级下·陕西安康·期末）“女娲故里”是平利最核心、最具影响力的文化名片，女娲文化影响着平利的艺术创作，如绘画和剪纸，某校七年级（5）班学生去平利体验女娲文化，其中第一组有3人选择体验“绘画”活动，2人选择体验“剪纸”活动，共花费120元；第二组有2人选择体验“绘画”活动，4人选择体验“剪纸”活动，共花费160元．则每人每次体验“绘画”和“剪纸”活动的票价各为多少元？ 【答案】每人每次体验“绘画”活动的票价为20元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为30元． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设每人每次体验“绘画”活动的票价为元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为元，根据3人选择体验“绘画”活动，2人选择体验“剪纸”活动，共花费120元，2人选择体验“绘画”活动，4人选择体验“剪纸”活动，共花费160元，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设每人每次体验“绘画”活动的票价为元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为元， 由题意得： 解得： 答：每人每次体验“绘画”活动的票价为20元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为30元． 【变式2】（24-25七年级下·湖南张家界·期末）小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路．假设他始终保持上坡路每分钟走，平路每分钟走，下坡路每分钟走，则他从家里到学校需，从学校到家里需．试问：小华家离学校多远？ 【答案】小华家离学校 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小华家到学校的上坡路长，平路长，根据时间路程速度结合小华从家里到学校需，从学校到家里需，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设小华家到学校的上坡路长，平路长， 根据等量关系，得：， 解得， 于是，上坡路与平路的长度之和为， 答：小华家离学校． 【变式3】（24-25七年级下·吉林·期末）综合与实践 【背景】家住吉林省蛟河市的小颖想给亲朋好友寄送蛟河特产． 【素材】 素材1：她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如表1； 计费单位 收费标准 吉林省内 江浙沪地区 首重 a 续重 b （表1） 素材2：她查看到该快递公司寄出的2份电子存单如表2； 电子存单1 电子存单2 托寄物：蛟河特产 目的地：长春 计量重量：2千克 件数：1 总费用：12元 托寄物：蛟河特产 目的地：上海 计量重量：5千克 件数：1 总费用：36元 （表2） 素材3：收费说明 ①每件快递按送达地分别计算运费； ②运费计算方式：首重价格＋续重×续重运费．首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以1千克为计重单位（不足1千克按1千克计算）． 【问题解决】 (1)求a，b的值； (2)小颖给珲春（吉林省内）的朋友寄出了3.6千克的蛟河特产，她需要支付多少元快递费？ (3)小颖给杭州（江浙沪地区）的外婆寄特产花了72元快递费，求这份特产重量的取值范围． 【答案】(1) (2)16元 (3)大于10千克且小于等于11千克 【分析】本题主要考查了二元一次方程组以及一元一次方程的应用． （1）根据题意列出关于a，b的二元一次方程组，进行求解即可． （2）根据吉林省内收费标准计算即可． （3）设这份特产按千克计费，根据江浙沪地区收费标准列出关于x的一元一次方程，解方程，再结合不足1千克按1千克计算即可得出这份特产重量的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可知： 解得． （2）∵不足1千克按1千克计算，故千克按4千克计算， 即（元）． 故她需要支付快递费16元． （3）解：设这份特产按千克计费， 则 解得． 所以这份特产的重量大于10千克，小于等于11千克． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·江苏南通·期末）已知满足方程组，则之间的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了加减消元法． 利用加减消元法消去m即可． 【详解】解：， 得：， 故选：A 2．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，则的值是（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 直接将方程的解代入原方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】将代入方程，得： 解得： 故选：D． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知关于，的二元一次方程，不论取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解，根据无论取何值，方程总成立的条件是方程中不含的部分和含的部分同时为零．因此，需解联立方程组：，即可求解． 【详解】解：依题意，， 解得：， 故选：B． 4．（23-24八年级上·广东深圳·期末）已知康乃馨每枝6元，百合每枝5元．小明购买这两种花18枝恰好用去100元，设他购买x枝康乃馨，y枝百合，可列出方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用：购买x枝康乃馨，y枝百合，根据“康乃馨每枝6元，百合每枝5元，两种花18枝恰好用去100元”，即可作答． 【详解】解：依题意，得， 故选：A． 5．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）《张邱建算经》中有这样一个问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”其大意为：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？设甲原来有钱币枚，乙原来有钱币枚，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列二元一次方程组，需根据题意正确理解“多出5倍”的含义，并找到等量关系．设甲原有枚，乙原有枚，由题意可知，第一个条件中，乙给甲10枚后，甲的钱数是乙剩余钱数的6倍；第二个条件中，甲给乙10枚后两人钱数相等，据此列二元一次方程组即可． 【详解】解：设甲原有枚，乙原有枚， 则， 故选：D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知是二元一次方程组的解，则______． 【答案】0 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．将两个方程相加，可得，即可得出答案． 【详解】解：， 由①＋②得，， ， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）若是二元一次方程的一个解，则m的值为______． 【答案】3 【分析】本题考查二元一次方程的解，把代入方程进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：； 故答案为：3． 8．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知，则_____． 【答案】3 【分析】本题考查解三元一次方程组，代数式的值，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．将两个方程相加可得，再将第一个方程变形得，从而求得的值，然后代入原式计算即可． 【详解】解：， 得：， 则， 由得：， 则， 原式， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，表1，表2分别列举了关于的方程和方程的部分解： x ．．． 1 2 3 4 ．．． y ．．． 0 1 2 3 ．．． 表1 x ．．． 0 1 2 3 ．．． y ．．． 3 2 1 0 ．．． 表2 则关于的方程组的解为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先根据两个表格中的数据得出，，将方程组变为，然后用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：把时，，时，，分别代入得： ， 解得：， ∴可以变为，即， 把时，，时，，分别代入得： ， 解得：， ∴可以变为，即， 解方程组得：． 故答案为：． 三、解答题 10．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）解二元一次方程方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键； 原方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】解：，得， 解得：， 把代入②，得， 解得， ∴原方程组的解是． 11．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）解方程组：； 【答案】； 【分析】本题考查了消元法解方程组，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解： 得，， 整理得：， 得，， 得，， 得，， ∴原方程组的解为； 12．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）对每个人来说，膳食结构至关重要，它直接影响人们的身体健康．今年夏天苏超联赛火热进行，运动员需要科学搭配饮食以确保最佳竞技状态．一名中场球员每日训练和比赛需要确保充足的能量（热量）和蛋白质摄入，以维持高强度运动并促进肌肉恢复．现计划主要使用鸡胸肉、全麦面包和牛奶三种食物来满足核心需求．营养成分数据如表： 食物 每份热量（千卡） 每份蛋白质（克） 每份钙（毫克） 鸡胸肉 320 32 30 全麦面包 280 7 80 牛奶 50 3.4 150 说明：鸡胸肉、全麦面包、牛奶按100克/份计算． (1)若某运动员今日所食用的鸡胸肉和全麦面包的总热量为4400千卡，总蛋白质230克，则该运动员食用鸡胸肉和全麦面包各多少份？ (2)在满足基础热量和蛋白质需求（即问题（1）的膳食方案）后，营养师需进一步优化饮食结构，使运动员每日钙摄入量不低于1200毫克．为简化调整过程，要求如下：总食物份数与鸡胸肉份数保持不变，仅通过减少全麦面包份数、等量替换为牛奶的方式进行优化．请基于上述条件，设计合理的饮食调整方案． 【答案】(1)该运动员食用鸡胸肉5份，全麦面包10份； (2)替换4份全麦面包为牛奶，即全麦面包6份，牛奶4份，此时钙总量为：毫克．（此题饮食方案不唯一，回答合理即可） 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用以及不等式的优化设计，掌握二元一次方程组的应用是解本题的关键，结合实际问题中的营养搭配进行建模即可． （1）通过设定变量，根据热量和蛋白质的总量建立方程组，利用消元法或代入法求解． （2）在保持总份数和鸡胸肉份数不变的前提下，通过调整全麦面包和牛奶的份数，建立不等式约束钙摄入量，求出满足条件的最小替换份数． 【详解】（1）解：设该运动员食用鸡胸肉份，全麦面包份， 由题可知 解之得， 答：该运动员食用鸡胸肉5份，全麦面包10份． （2）解：设替换后全麦面包份，牛奶份， 由题可知， 解得，取最大整数为6， 所以全麦面包最多6份，牛奶最少4份． 调整方案：替换4份全麦面包为牛奶，即全麦面包6份，牛奶4份， 此时钙总量为：毫克． （此题饮食方案不唯一，回答合理即可） 一、单选题 1．（24-25七年级下·江苏南通·期末）若是方程的一组解，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】将解代入原方程，解关于m的一元一次方程即可．本题考查了二元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：代入方程，得： 整理，得 解得： 故选：D． 2．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需270元；购买甲1件、乙2件、丙3件，共需242元，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（　　） A．128元 B．130元 C．150元 D．160元 【答案】A 【分析】本题考查三元一次方程的应用．设甲、乙、丙三种商品的单价分别为元、元、元，根据题意列出方程组，通过相加方程消去变量，直接求出的值． 【详解】解：设甲、乙、丙三种商品的单价分别为元、元、元．根据题意，可列方程组： 将方程①和②相加，得到： ， 化简得： ， 两边同时除以4，得： ， 因此，购买甲、乙、丙三种商品各一件共需128元． 故选：A． 3．（24-25七年级下·江苏南通·期末）已知关于x，y的二元一次方程，其部分值如表所示，则p的值是（   ） x m y n t 8 p A．13 B．15 C．16 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据表格中数据可得：，整理②，得，把①代入即可得出答案． 【详解】解：由题意，得， 整理②，得， 把①代入得， ∴． 故选：A． 4．（24-25七年级下·山西长治·期末）解关于的方程时，不论为何值，的解都相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将关于的方程整理可得，根据与无关求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵不论为何值，的解都相同， ∴， ∴，． 二、填空题 5．（24-25七年级下·全国·期末）已知方程组的解是，则________，____________ 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握以上知识是解题的关键． 将代入中，进而利用加减消元法求解即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴， 得，， 解得：， 将代入，可得， 解得：， 故答案为：；． 6．（16-17七年级下·重庆江津·期中）已知方程组的解满足，则k的值为___________． 【答案】4 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键．先将方程组中的两个方程相减可得，则可得方程组，解方程组可得的值，再代入方程计算即可得． 【详解】解：， 由①②得：， 联立， 由③④得：， 将代入④得：， 将，代入②得：， 故答案为：4． 三、解答题 7．（24-25七年级下·全国·期末）解方程（组）： (1)解方程：； (2)解方程组：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程（二）——去分母，三元一次方程组的定义及解法等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，求解即可； （2）用加减消元法，先求得，代入其中两个方程中，再用加减消元法继续求解即可． 【详解】（1）解：原式去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 所以； （2）解：， ，得， 所以， 把代入①，得， 把代入，得， 所以， ，得， 所以， 把代入，得， 所以， 所以方程组的解为． 8．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）解方程或方程组： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的方法． 解：整理，得：， ，得， ，得，解得：， 把代入，得，解得：． 方程组的解为． 9．（24-25七年级下·吉林·期末）新定义：形如关于x，y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中． (1)请写出方程的共轭二元一次方程； (2)若方程中x，y的值满足下面的表格，求这个方程的共轭二元一次方程． x 2 y 2 1 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，新定义方程及方程组，正确进行计算是解题关键． （1）根据共轭二元一次方程的定义解答； （2）将与的对应值代入中求出原方程，即可得到此方程的共轭二元一次方程。 【详解】（1）（1）由共轭二元一次方程的定义可得，方程的共轭二元一次方程是， 故答案为：； （2）（2）在方程中，当时，； 当时，， 所以，解得 所以方程为， 它的共轭二元一次方程为． 10．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）已知关于、的方程组． (1)请写出方程的一组正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)不管取任何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组求参数，解题的关键在于先用参数分别表示出解，再利用代数式求参数． （1）令取一正整数，代入求出即可； （2）先通过方程组解出、的值，再将、代入代数式求出即可； （3）将原式进行变换后即可求出这个固定解． 【详解】（1）解：把，代入得， ， 解得， 方程的一组正整数解是； （2）解：由和得， 解得，代入得， ， 解得； （3）解：整理得， ， 根据题意得， 解得， 所以，这个固定不变的解为． 11．（24-25七年级下·广东汕头·期末）在解关于x，y的方程组时，可以用①②消去未知数x，也可以用①②消去未知数 (1)求m和n的值． (2)在（1）的条件下，解方程组 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出关于m，n的方程组，解方程组求出m，n即可； （2）把（1）中所求m，n代入方程组，解方程组求出x，y即可． 本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤． 【详解】（1）解：， ①得：， ②得：， ①②消去未知数x， ， ①得：， ②得：， 用①②消去未知数y， ， ， 整理得：， 解得：； （2）解：由（1）可知： 方程组为 ①得：③， ②得：④， ③+④得：, 即， 把代入①得： 即， 方程组的解为： 12．（24-25七年级下·广东珠海·期末）近期热播的电视剧《长安的荔枝》，讲述的是转运使李善德为将岭南新鲜荔枝运往长安，荔枝的物性是“一日而色变，两日香变，三日味变”，保质期极短．因此李善德面临荔枝保鲜和最优运输线路等难题．这些难题背后藏着不少数学问题，需要你的智慧来解决！若转运荔枝有水路和陆路两种路线可选择．走水路时，每筐会产生3%的损耗；走陆路时，每筐损耗为5%．现要用5艘船和10辆马车运输200筐荔枝，中途不改变运输方式，最终损耗恰好为8筐． (1)问每艘大船可以运多少筐荔枝，每辆马车可以运多少筐荔枝？ (2)水路运输每艘大船的费用是1200文，陆路运输每辆马车的费用是800文．为了控制成本，总运输费用不能超过14000文，且大船的数量不超过7艘．恰好运完200筐荔枝运输及不考虑损耗的情况下，该如何安排大船和马车的数量，才能让运输费用达到最低？最低费用是多少？ 【答案】(1)每艘大船可以运20筐荔枝，每辆马车可以运10筐荔枝 (2)安排大船7艘、马车6辆才能让运输费用达到最低，最低费用是13200文 【分析】（1）分别设每艘大船和每辆马车可以运荔枝的筐数为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）设安排大船x艘，将安排马车的辆数用含x的代数式表示出来，根据题意列一元一次不等式组并求其解集，求出符合条件的x的值，分别计算对应的运输费用并比较大小即可． 本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组和一元一次不等式组的解法是解题的关键． 【详解】（1）设每艘大船可以运a筐荔枝，每辆马车可以运b筐荔枝． 根据题意，得根据题意得：， 解得：． 答：每艘大船可以运20筐荔枝，每辆马车可以运10筐荔枝． （2）解：设安排大船x艘，则安排马车辆． 设运输费用为W文，则， 根据题意，得， 解得， ∵x为非负整数， ∴或6或7， 当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴安排大船7艘、马车6辆才能让运输费用达到最低，最低费用是13200文． 期末综合拓展练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·广东广州·期末）下列各组解中哪个是二元一次方程组的解（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法成为解题的关键． 直接求出二元一次方程组的解，然后再判断即可． 【详解】解： ①+②得：，即，解得：； 将代入①得：，解得． 所以方程组的解为． 故选C． 2．（24-25七年级下·全国·期末）若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2021 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题． 利用不含参的两个方程联立方程组求解，再代入含参方程列二元一次方程组后两式相加即可． 【详解】解：由题可列方程组， 解得， 把代入得， ①+②得， ， ． 故选：B． 3．（24-25七年级下·广东广州·期末）《孙子算经》是中国南北朝数学著作，是《算经十书》之一，书中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．”意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．如果设绳子长x尺，木头长y尺，那么所列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，弄清题中的等量关系是解题的关键． 根据题意，设绳子长尺，木头长尺．第一个条件“余绳4．5尺”表示绳子比木头长4．5尺，即；第二个条件“对折后量木头，木头剩余1尺”说明木头比对折后的绳子长1尺，即，据此即可解答． 【详解】解：设绳子长为尺，木头长为尺． 由题意可得． 故选D． 二、填空题 4．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是________． ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则 【答案】①③④ 【分析】本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程的解，解答本题的关键是明确题意，可以判断题目中的各个结论是否成立．根据题目中的条件代入原来的方程组中，即可判断结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解： 当这个方程组的解，的值互为相反数时， 即， 两方程相加，得， ， 解得；故正确； 当时，原方程组可化简为 解得 方程， 左边可化为：， 右边可化为：， 所以左边右边， 故错误； 可得：， 即， 所以无论取什么实数，的值始终为，故正确； 由知， ，故正确； 故答案为． 5．（24-25七年级下·福建厦门·期末）在数学游艺会上，小海准备了五张完全相同的卡片，从的自然数中随机选择一个数字可以重复，写到每张卡片正面，将它们正面向下放在桌上如图，这五张卡片分别记为A，B，C，D，然后依次将相邻两张卡片上的数字相加，把结果记录到表． 卡片组合 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 6 5 10 12 7 （1）正面数字最大的卡片记号为______； （2）将其中两张卡片上的数字进行更改，使得任意两张卡片上数字相加的和都是5，6，7，8中的一个，则被更改后五张卡片上的数字从小到大依次是______写出所有可能的情况 【答案】 D 、、、、或、、、、或、、、、 【分析】本题结合抽卡片，考查一元一次方程和推理能力． （1）通过设未知数，根据相邻卡片数字和列出方程组，求解出各个卡片上的数字，从而找出数字最大的卡片； （2）在（1）的基础上，根据新的和的条件，对卡片数字进行更改和讨论． 【详解】解：（1）求正面数字最大的卡片，设A卡片上的数字为x，B卡片上的数字为y，C卡片上的数字为z，D卡片上的数字为w，E卡片上的数字为根据表格中相邻两张卡片数字和可得方程组： ， 解得， 比较2、3、3、4、8大小，可得8最大，所以正面数字最大的卡片记号为． 故答案为：D； （2）求更改后五张卡片上的数字原来的数字为3、3、2、8、， 因为任意两张卡片上数字相加的和都是5，6，7，8中的一个， 所以原来的数字必须要更换，剩下的3、3、2、中更换一张； 设更换后的数字为a，，不妨设， 当更换数字时，则5张卡片分别为3、2、、a、，，，，则剩下数字必定有，则或，此时被更改后五张卡片上的数字从小到大依次是、、、、或、、、、； 当更换数字时，则5张卡片分别为3、3、、a、，，，则剩下数字必定有，，即，此时被更改后五张卡片上的数字从小到大依次是、、、、； 当更换数字时，则5张卡片分别为3、3、、a、，，，则剩下数字必定有或，即或，此时被更改后五张卡片上的数字从小到大依次是、、、、或、、、、； 综上所述，被更改后五张卡片上的数字从小到大依次是、、、、或、、、、或、、、、． 故答案为：、、、、或、、、、或、、、、． 6．（24-25七年级下·天津河西·期末）幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，其规则是将数字填在正方形格子中，使每一行、每一列和两条对角线上的3个数字的和都相等．例如图①就是一个幻方． （I）图②是一个未完成的幻方，则的结果为_____；（II）图③中的为_____（用含的式子表示） 【答案】 12 【分析】本题考查了整式加减的应用，二元一次方程组应用． 根据每一行、每一列和两条对角线上的3个数字的和都相等．可知有公共单元格的横竖斜行的其他两个数和相等，据此求出未知第三格的数值（或用代数式表示），最后列出方程（组）求解即可． 【详解】解：∵每一横行，每一坚列以及两条对角线上的3个数之和都相等． 由图②中，， ∴， ∴ 解得： ∴， 由图③中，设每一横行，每一坚列以及两条对角线上的3个数之和都相等． ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， 又∵，∴， ， ∴ 故答案为：12；． 三、解答题 7．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，求的值． 【答案】6 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，将两个方程组重新组合是解题的关键． 首先根据两个方程组的解相同，先联立不含参数的方程求出方程组的解，再将解代入含参数的方程中，进而求出a，b的值，最后计算的值即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组和的解相同， ∴可得方程组：，解得：， ∴可得方程组：，解得：， ∴． 8．（24-25七年级下·四川资阳·期末）已知关于x，y的方程组，甲由于看错了方程（1）中的a，得到方程组的解为，乙由于看错了方程（2）中的b，得到方程组的解为． 试求出方程组的正确解． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的错解复原问题；甲看错了方程（1）中的 ，但其解满足方程（2）；乙看错了方程（2）中的 ，但其解满足方程（1）．分别代入对应方程求出 和 ，再解原方程组． 【详解】解：甲的解为 ，代入方程（2）得 解得： 乙的解为 ，代入方程（1）得 解得： 原方程组为 由 得 ， 代入另一方程得 解得： 代入 得 所以方程组的解为 9．（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，平面直角坐标系中，且、满足，且． (1)求点A、B坐标； (2)有一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AB匀速运动，运动时间为秒，设的面积为，请用含的式子表示； (3)在（2）的条件下，过点作轴的垂线交直线于点，当与的面积比为时，请直接写出值和点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)； 【分析】本题考查了二元一次方程组、三角形面积转化，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据绝对值和算术平方根的非负性得到二元一次方程组并计算； （2）根据即可求解； （3）证明，可求出的面积，进而求解． 【详解】（1）解：∵， ，， ∴，， ∴，， 即， ，得：， ， 解得：， 代入①得：， ∴，； （2）解：如图： 由题意知，，，，， ∴，∴， ∴， 又∵， 化简得：， 即； （3）解：如图：连接， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， 解得：； ∵， ∴， ， 解得：， ∴； 综上所述，，． 10．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）我们规定：在平面直角坐标系中，点，点，当时，我们称点与点互为“等和点”． 例如：点与点互为“等和点”． (1)已知点，下列各点，，，其中与点互为“等和点”的是______． (2)点与点互为“等和点”，连接，直线交轴于点． 若，求点的坐标； 判断点与点是否互为“等和点”，并说明理由． (3)在（2）的条件下，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向下运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向左运动，连接，，直线，相交于点若三角形的面积为，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点 点与点互为“等和点”，理由见解析 (3)点或点 【分析】（1）分别计算出各个点的横纵坐标的和，即可得到与点互为“等和点”的点； （2）根据“等和点”的定义可得，与所给的联立求解，即可得到点的坐标；根据题意可得点在第二象限．连接，作轴，轴，根据的面积的不同表示方法可得的值，即可求得点的坐标，那么可得点与点是否互为“等和点”； （3）根据题意得到点在第一象限或第三象限，点的横、纵坐标相等，画出相应的图形，作轴于点，轴于点，设点的坐标为，根据的面积为可得的值，即可求得点的坐标，进而根据点和点关于点对称，可得点的坐标． 【详解】（1）解：，，，， 与点互为“等和点”的是， 故答案为：； （2）解：点与点互为“等和点”， ， ， ，解得：， 点； 点与点互为“等和点”． ， ． ， ． 在第二象限． 连接，作轴，轴， 则，， ， ． 三角形的面积三角形的面积三角形的面积， ． ， ． ． ， 点与点互为“等和点”； （3）解：如图，和的面积为，作轴于点，轴于点， 由题意得：点的坐标为， ， ， 解得：， 点的坐标为， ，， 的中点坐标为：， 由题意得：点和点关于点对称， 点的横坐标为：， 点的纵坐标为：， 综上：点或点。 【点睛】本题综合考查新定义的应用．理解并应用“等和点”的定义是解决本题的关键；难点是根据三角形的面积和面积的不同表示方法解决相关问题． 11．（24-25七年级下·四川泸州·期末）某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元．商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售． (1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场计划购进甲、乙两种商品共60件，购进乙种的件数不低于46件，且不超过甲种件数的4倍．购进这两种商品的优惠条件是：一次性购进乙种商品超过40件时，则乙种商品超过的部分按进价打8折．请设计能让这次购进的甲、乙两种商品全部售出后获利最大的方案，并求出最大利润． 【答案】(1)甲商品每件的进价为元，乙商品每件的进价为元 (2)购进甲种商品件，乙种商品件时，最大利润为元 【分析】本题考查二元一次方程组以及一元一次不等式组的应用； （1）设甲种商品每件的进价为元，乙种商品每件的进价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设购进甲种商品件，则乙种商品为件，根据题意列出不等式组，得出为整数，即可取、、；进而分别求得甲乙的利润，将的值代入，比较大小即可求解． 【详解】（1）解：设甲种商品每件的进价为元，乙种商品每件的进价为元，根据题意得， ，得， 答：甲商品每件的进价为元，乙商品每件的进价为元 （2）解：设购进甲种商品件，则乙种商品为件，根据题意得， 解得： 且为整数，即可取、、； 设， 根据题意当购买件，其中前件进价元，后件进价元，因此： 乙的利润为： 甲的利润为 总利润 当时，总利润 元 当时，总利润 元 当时，总利润 元 当时，总利润为元，为最大值．最优方案为购进甲种商品件，乙种商品件，最大利润为元． 12．（24-25七年级下·山西大同·期末）综合与实践 青少年正处于生长发育的黄金阶段．某校食堂为保证学生科学饮食，计划结合青少年每日摄入营养比例设计一个健康饮食餐盒． 材料搜集：材料1，青少年每餐摄入食物比例整理如下表． 食物 主食 肉蛋类 蔬菜 水果 占比 材料2，学生每餐最少摄入3种颜色的非淀粉类蔬菜． 方案设计：综合与实践小组设计了如图所示的长方形餐盒，其中主食格、菜格、水果格、肉蛋格参考材料1中数据设计，另外增加了汤格和餐具格，其中，菜格平均分为三块区域．已知，，．设，． 问题解决：请根据题意完成下列解答， (1)填空：_________，_________． (2)列方程就是“拉出一个量，将之算两次”，即对一个“量”讲“两个故事”，并把两个“故事”用“”号连接起来．请将下列各“量”分别用“两个故事”表示（用含，的式子表示）． “量” 第一个“故事” 第二个“故事” 用“”连接 ________ ______ 的面积 （   ） _____ ．．．．．． (3)请求出，的值． 【答案】(1)10， (2)见解析 (3)15，6.25． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，正确的列出二元一次方程组是解题的关键： （1）根据表格中的比例关系，得到长方形中线段的比例关系进行求解即可； （2）根据线段的和差关系和图形的面积的计算方法，列出代数式即可； （3）列出方程组，进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可表格可知，，， ∴， 故答案为：10，； （2）由（1）知：， ∴， 由表格可知：的面积（长方形的面积餐具格的面积汤格的面积） ； 填表如下： “量” 第一个“故事” 第二个“故事” 用“”连接 的面积 ．．．．．． （3）列方程组 解得 答：，的值分别为15，6.25． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $