第十章 二元一次方程组【期末复习讲义】（培优版）-2025-2026学年人教版数学七年级下册

2025-2026学年人教版新教材数学七年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第十章 二元一次方程组【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+24个题型讲练+真题实战练 共58题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 已知二元一次方程组的解求参数 题型二 代入消元法 题型三 加减消元法 题型四 二元一次方程组的特殊解法 题型五 二元一次方程组的错解复原问题 题型六 构造二元一次方程组求解 题型七 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型八 方程组相同解问题 题型九 根据实际问题列二元—次方程组 题型十 根据几何图形列二元一次方程组 题型十一 方案问题（二元一次方程组的应用） 题型十二 行程问题（二元一次方程组的应用） 题型十三 工程问题（二元一次方程组的应用） 题型十四 数字问题（二元一次方程组的应用） 题型十五 年龄问题（二元一次方程组的应用） 题型十六 分配问题（二元一次方程组的应用） 题型十七 销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 题型十八 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 题型十九 几何问题（二元一次方程组的应用） 题型二十 图表信息题（二元一次方程组的应用） 题型二十一 古代问题（二元一次方程组的应用） 题型二十二 其他问题（二元一次方程组的应用） 题型二十三 三元一次方程组的定义及解 题型二十四 三元一次方程组的应用 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 二元一次方程的概念 概念：方程中含有两个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【易错点剖析】 （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 知识点二 二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【易错点剖析】 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 知识点三 二元一次方程组的概念 概念：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数. 【易错点剖析】 （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 知识点四 二元一次方程组的解 概念：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错点剖析】 （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况 知识点五 三元一次方程组的概念与解 定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 知识点六 解二元（三元）一次方程组 1.用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 2.用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 3.解三元一次方程组的一般过程： ①利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； ②解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； ③将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； ④解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； ⑤将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 已知二元一次方程组的解求参数 【例1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若是关于的二元一次方程的解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【思路引导】本题考查了根据二元一次方程的解求参数，将代入中计算求解，即可解题． 【规范解答】解：若是关于的二元一次方程的解， ， 解得， 故选：C． 【变式】若关于的方程组的解是，则关于的方程组的解是___________． 【答案】 【思路引导】将待求方程组变形，换元后可得到与已知方程组结构相同的同解方程组，结合已知方程组的解即可求出目标方程组的解． 【规范解答】解：将两边同时除以2， 变形可得， 令， 则方程组可化为， 该方程组与原方程组系数完全相同，为结构相同，故其解的形式也相同， 已知原方程组的解为， 因此可得， 即，解得． 题型讲练二 代入消元法 【例2】解方程组：． 【答案】 【思路引导】利用代入消元法求解． 【规范解答】解： 由得，， 将代入得，， 解得， 将代入，得， 因此该方程组的解为． 【变式】如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，a，b满足，过B作轴于点C，连结交x轴于点D． (1)写出点A、B、C的坐标分别为A______、B______、C______； (2)如图2，若过C作交x轴于E，作、的角平分线，求的度数； (3)在x轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，找到所有满足条件的点P，并写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，， 【思路引导】（1）先根据非负数的性质求解，，从而可得答案； （2）过点F作，如图3，可得，，，，证明，，，从而可得答案； （3）如图5，过点C作于点E，过点作于点F，过点B作轴于点E．再利用平行线的性质分两种情况讨论即可． 【规范解答】（1）解： ，，，理由如下： ∵， ∴，， ∴，， ∵轴于点C， ∴，，； 故答案为：； （2）过点F作，如图3， ∵交x轴于E， ∴，， ∴，， ∵轴于点C， ∴， ∴， ∵BF、CF分别是，的角平分线， ∴，， ∴； （3）如图4，过点C作交x轴于点， 在x轴上取点，使得． 存在，，使得． 理由如下： 如图5，过点C作于点E，过点作于点F，过点B作轴于点E． ∵由（1）得：、、， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵轴于点C，AB交x轴于点D，交x轴于点， ∴、都是等腰直角三角形， ∴，，，，， ∴，． ∵交x轴于点，于点E，于点F， ∴，（平行线之间的距离相等）， ∵，，，， ，， ∴，， ∴， ∴存在，，使得． 【考点剖析】本题考查的是平行线的性质，坐标与图形面积，算术平方根的非负性的应用，二元一次方程组的解法，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 题型讲练三 加减消元法 【例3】（25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·期中）解下列方程或方程组 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【规范解答】（1）解： 解得； （2）解： 解得，； （3）解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：； （4）解： 整理得， 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：． 【变式】（25-26七年级上·福建莆田·期末）定义：关于的二元一次方程（其中互不相等）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)方程的“变更方程”为_____； (2)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为_____； (3)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于、的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“变更方程”的定义可得方程即可； （2）联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【规范解答】（1）解：方程的“变更方程”为， 故答案为：； （2）解：， ①②得：， 解得， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 方程与它的“变更方程”组成的方程组为， 解得， ∴把代入可得， 即， ∴ ． 题型讲练四 二元一次方程组的特殊解法 【例4】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）方程组知识运用 (1)关于，的二元一次方程组中，与方程组的解中的或相等，则的值为 ； (2)试说明在关于的方程组中，不论取什么实数，的值始终不变； (3)请直接写出第（）题中的方程组的正整数解为： ． 【答案】(1)或； (2)见解析； (3)和． 【思路引导】（）先将看作常数，解二元一次方程组得到的表达式，再根据与或相等，分两种情况计算的值，用到分类讨论思想和二元一次方程组消元法； （）通过消去参数，整理得到为固定常数，即可证明结论； （）根据的结论，结合正整数的要求，列举得到所有正整数解． 【规范解答】（1）解：， 得， 解得， 将代入得， 根据题意分两种情况计算：当时，得， 当时，得，解得， 因此的值为或， 故答案为：或； （2）解： 得， 得， 等式两边同时除以得， ∴不论取什么实数，的值始终为，即始终不变； （3）解：由（）得，为正整数，即 ∴当时，；当时，， ∴方程组的正整数解为和， 验证：把代入原方程组得，解得：，符合题意； 把代入原方程组得，解得：，符合题意． 【变式】（25-26七年级下·重庆·期中）下列说法正确的有（   ） ①若与的和为，且，则； ②若是整数，关于、的二元一次方程组的解是整数，则满足条件的所有的值的和为； ③若方程组的解为，则方程组的解为； ④已知关于，的方程组无论取何值，和的值都不可能互为相反数． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【思路引导】本题考查立方根的性质，二元一次方程组的解，参数求解与换元法解方程组，逐一判断每个说法即可得到结果. 【规范解答】解：逐一判断各说法： ① ∴， 整理得， 联立， 解得，即. 故①错误； ② 解方程组， 两式相加得， ∴， 代入得：， ∵是整数，均为整数， ∴是和的公约数，即， 解得， 所有满足条件的的值的和为， 故②正确； ③ 令， 由已知原方程组的解为， 可得， 解得，与题目给出的解不符， 故③错误； ④ 解方程组， 解得， 若互为相反数，则，即，等式不成立. 故无论取何值，和都不可能互为相反数， 故④正确； 综上，正确的说法有个， 故选：B. 题型讲练五 二元一次方程组的错解复原问题 【例5】（25-26七年级下·湖南长沙·期中）小红和小虎两人共同解方程组，小虎看错了方程①中的，解得，小红看错了方程②中的，解得，求，的值． 【答案】， 【思路引导】分别将结果代入方程组中没有看错的方程中，得出关于的方程，求解即可． 【规范解答】解：∵小虎看错了方程①中的， ∴满足方程②， ， 解得，   ∵小红看错了方程②中的， 满足方程①， ， 解得， 综上所述，，． 【变式】（24-25七年级下·四川资阳·期末）已知关于x，y的方程组，甲由于看错了方程（1）中的a，得到方程组的解为，乙由于看错了方程（2）中的b，得到方程组的解为． 试求出方程组的正确解． 【答案】 【思路引导】本题主要考查二元一次方程组的错解复原问题；甲看错了方程（1）中的 ，但其解满足方程（2）；乙看错了方程（2）中的 ，但其解满足方程（1）．分别代入对应方程求出 和 ，再解原方程组． 【规范解答】解：甲的解为 ，代入方程（2）得 解得： 乙的解为 ，代入方程（1）得 解得： 原方程组为 由 得 ， 代入另一方程得 解得： 代入 得 所以方程组的解为 题型讲练六 构造二元一次方程组求解 【例6】（24-25七年级下·山西临汾·期末）阅读与思考 新定义：规定用一组有序数对表示一个点，通常用括号和逗号将两个数隔开来表示，第一个数叫做点的横坐标，第二个数叫做点的纵坐标．如点． ①已知点，且、为有理数． 当、满足时，就称点为“理想点”． 例如：点，令，得 不是“理想点”； 点，令，得 是“理想点”． ②已知点，且为有理数．当满足时，就称点为“开心点”．反之，当点为“开心点”时，则． 认真阅读上面材料，完成下面问题： (1)请仿照上述材料中①的方法判断点是否为“理想点”． (2)已知是二元一次方程组的解，若点是“开心点”，求的值． 【答案】(1)点不是“理想点” (2) 【思路引导】本题考查新定义，以及二元一次方程组的解法；解题关键是理解新定义以及样例的解法，解二元一次方程组时，先观察再选择合适方法求解． （1）仿照材料中①的方法，列出方程即可判断； （2）先解出二元一次方程组的解，再根据定义，列出求解． 【规范解答】（1）解：令得， ∵， ∴点不是“理想点”． （2）由①+②，得， 解得， 将代入②，得， ∴， ∵点是“开心点”， ∴， ∴， 解得． 答：的值为． 【变式】（25-26七年级下·福建厦门·月考）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一个探照灯（探照灯的光束可近似看成一条射线），便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射出的射线自顺时针旋转至便立即回转，灯B射出的射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒，且a、b满足．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且． (1)______，______； (2)若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若A射出的光束与B射出的光束交于点C，过C作交于点D，则在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围． 【答案】(1)3，1 (2)当A灯射线转动10秒或85秒时，两灯的光束互相平行； (3)不变， 【思路引导】（1）根据非负数的性质求解a、b值即可； （2）设灯A射线转动t秒，两灯的光束互相平行，画图分情况讨论求解即可； （3）设灯A射线转动t秒，则，，，根据平行线的性质和三角形的内角和定理推导出，进而可得到． 【规范解答】（1）解：∵，且，， ∴，解得， 故答案为：3，1； （2）解：设灯A射线转动t秒，两灯的光束互相平行，根据题意，分以下情况： ①当灯A射线转到之前，，如图， 则， 由题意，，，， ∵， ∴， ∴， 则，解得； ②当灯A射线转到之后且返回之前，，如图， 则， 由题意，，，， ∵， ∴， ∴， 则，解得； ③当灯A射线转到之后第二次转向之前，，如图， 则， 由题意，，，， ∵， ∴， ∴， 则，解得，不合题意，舍去； 综上，当A灯射线转动10秒或85秒时，两灯的光束互相平行； （3）解：在转动过程中，与的数量关系不发生变化． 设灯A射线转动t秒，则，， ∴，又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型讲练七 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【例7】（25-26七年级下·山东青岛·期中）已知关于，的方程组，下列四个结论中正确的是（  ） ①当时，该方程组的解也是方程的解； ②存在有理数，使得； ③当时，； ④不论取什么数，的值始终不变． A．①② B．②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【思路引导】通过对原方程组进行整体加减运算，可将结论中的表达式用含 的代数式表示，进而判断结论的正误． 【规范解答】解：原方程组为 判断①：当时，方程组变为 解得 将解代入得 故①错误； 判断②：对原方程组，由得 若，则，解得，是有理数， 故②正确； 判断③：对原方程组，由得， 若，则，解得， 故③错误； 判断④：对原方程组，由得 得，即无论取何值，的值恒为， 故④正确； 因此正确结论为②④． 【变式】（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中），若将其y的系数b与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“船山方程”，例如方程的“船山方程”为． (1)写出的“船山方程”______，以及它们组成的方程组的解为______； (2)若关于x，y的二元一次方程与其“船山方程”组成的方程组的解为，求； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“船山方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【思路引导】（1）根据“船山方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （2）根据“船山方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【规范解答】（1）解：根据定义可得：的“船山方程”． 则； 由得： 则：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：由题意可知，的“船山方程”为：， 联立方程组得， 得：，即， ∵， ∴， ∵方程组的解为， ∴， 把，代入①得：， 解得：， ∴． （3）解：∵， ， ∵与其“船山方程”所组成的方程组为， 解得：， 将代入方程中，得， 即，， ∴ ． 题型讲练八 方程组相同解问题 【例8】（25-26七年级下·浙江温州·期中）若关于的方程组的解为，则方程组的解是__________． 【答案】 【思路引导】利用整体换元思想，对比两个方程组的结构，将新方程组中的和看作原方程组对应的未知数，结合原方程组的解构造关于，的方程，求解即可得到结果． 【规范解答】解：设，则方程组可化为， ∵原方程组的解为， ∴方程组的解为， 即， 解得． 【变式】规定：对于平面直角坐标系中任意一点，若，即此点的纵坐标是横坐标的两倍，此时我们称点为“雅赞点”．例如：对于点，它的纵坐标2是横坐标1的2倍，所以点是“雅赞点”． (1)以下各点：①②③中“雅赞点”是________（填序号即可）； (2)若点是“雅赞点”，且A点向右平移3个单位后得到B点，B点到坐标轴的距离相等，求此时“雅赞点”A点的坐标； (3)已知“雅赞点”，，关于x，y的方程组与有相同的解． ①用含的式子表示和； ②若对于任意k，等式恒成立，求此时的值． 【答案】(1)①③ (2) (3)①；② 【思路引导】（1）根据定义进行判断即可求解； （2）根据题意得出，平移后的坐标为，根据B点到坐标轴的距离相等，列出方程，解方程即可求解； （3）①根据同解方程组得出，根据新定义得出，代入方程组，解方程组即可求解； ②根据等式恒成立，得出，得出，与代入代数式，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴①②③中“雅赞点”是①③， 故答案为：①③． （2）点是“雅赞点” 向右平移个单位后得到 ； （3）①由题意得与有相同的解 ； “雅赞点” ， ， ，           ②， ， ， 对于任意恒成立， ， ， 又， ， 【考点剖析】本题考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，解二元一次方程组，代数式求值，整式加减中无关类型，理解新定义熟练掌握是解题的关键． 题型讲练九 根据实际问题列二元—次方程组 【例9】我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步. 问人与车各几何?” 其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行，问人与车各多少? 设有人，辆车，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据“每辆车乘坐3人，空余两辆车”，实际坐人的车辆数等于总人数除以每车人数，也等于总车辆数减去空车数量得出方程；再根据“每辆车乘坐2人，有9人步行”，总车辆数等于乘车人数除以每车人数，乘车人数为总人数减去步行人数得出方程，即可列出正确的方程组． 【规范解答】解：设有人，辆车，根据题意，得 ． 【变式】为了防治“新型冠状病毒”，我市某小区准备用5400元购买医用口罩和洗手液发放给本小区住户，若医用口罩买800个，洗手液买120瓶，则钱还缺200元；若医用口罩买1200个，洗手液买80瓶，则钱恰好用完． (1)求医用口罩和洗手液的单价； (2)由于实际需要，除购买医用口罩和洗手液外，还需购买单价为6元的N95口罩m个．若需购买医用口罩和N95口罩共1200个，且100＜m＜200，剩余的钱全部用来购买洗手液，恰好用完5400元，求m的值． 【答案】(1)医用口罩的单价为2.5 元/个，洗手液的单价为30元/瓶； (2)120或者180． 【思路引导】（1）设医用口罩的单价为x元/个，洗手液的单价为y元/瓶，根据题意得出方程组，解方程组即可； （2）设增加购买N95口罩m个，洗手液b瓶，则医用口罩（1200−m）个，根据题意得6m＋2.5（1200−m）＋30b＝5400，解得b＝80−，可得m为60的倍数，且100＜m＜200，进而得出结论． 【规范解答】（1）设医用口罩的单价为x元/个，洗手液的单价为y元/瓶， 根据题意得：， 解得：， 答：医用口罩的单价为2.5元/个，洗手液的单价为30元/瓶； （2）设增加购买N95口罩m个，洗手液b瓶，则医用口罩（1200−m）个， 根据题意得：6m＋2.5（1200−m）＋30b＝5400， 化简，得：7m＋60b＝4800， ∴b＝80−， ∵m，b都为正整数， ∴m为60的倍数，100＜m＜200， ∴ ， ， ∴m的值为120或者180． 【考点剖析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，由题意找出相等关系列方程是解题的关键． 题型讲练十 根据几何图形列二元一次方程组 【例10】（24-25六年级下·上海金山·期末）如图是由块颜色不同的正方形卡片无重叠无缝隙地拼成的长方形，中间最小的正方形边长为．若设标有序号的两个正方形边长分别为，，则根据题意可得到的二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形列出方程组即可，解题关键是观察图形中正方形边长的拼接关系，找出等量关系列出方程组． 【规范解答】解：水平方向，观察图形可知，存在由两个边长为的部分组成的水平线段，其长度等于边长为的正方形边长加最小正方形边长，即 ； 垂直方向，从垂直边的拼接关系看，边长为的正方形边长加，等于边长为的正方形边长减，即； 综上，符合条件的二元一次方程组为， 故选：． 【变式】（24-25七年级上·湖北武汉·月考）如图，在数轴上，点O表示原点，点A、B表示的数分别为a、b，满足，是一条定长的线段（点N在点M的左侧），它在数轴上从右向左匀速运动，在运动过程中，线段完全经过点B（即点B在线段上的这段过程）所需的时间为秒，线段完全经过线段（即线段与线段有公共点的这段过程）所需的时间为秒． (1)线段______，的长为______，运动的速度为______个长度单位/秒； (2)当点M与点B重合时开始计时，设运动时间为t秒，点C是的中点，点D是的中点，同时点E从点A处出发以1个长度单位/秒速度向右运动，当时，求t的值． 【答案】(1)20，1，2 (2)或 【思路引导】本题主要考查了非负数的性质、二元一次方程组的定义、动点问题、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）先根据非负数的性质确定点A、B表示的数分别为，即可确定的长；设的长为l，运动的速度为d个长度单位/秒，根据过桥问题列二元一次方程组求解即可； （2）开始时点M表示的数为18，点N表示的数为，点E表示的数为，进而得到当运动时间t秒时，则点M表示的数为，点N表示的数为，点表示的数为；再根据中点的定义得到点C表示的数为，点D表示的数为；然后可得，再分点E在点D的左侧和右侧两种情况，分别表示出，并根据列绝对值方程求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴点A、B表示的数分别为， ∴， 设的长为l，运动的速度为d个长度单位/秒， 由题意可得：，解得：， ∴的长为，运动的速度为2个长度单位/秒． 故答案为：20，，2． （2）解：∵点M与点B重合时开始计时，点E从点A处出发以1个长度单位/秒速度向右运动， ∴开始时点M表示的数为18，点N表示的数为，点E表示的数为， 当运动时间t秒时，则点M表示的数为，点N表示的数为，点表示的数为， ∵点C是的中点，点D是的中点， ∴点C表示的数为，点D表示的数为， ∴， 如图：当点E在点D的左侧时，则，即时， ， ∵， ∴，解得：，符合题意； 当点E在点D的右侧时，则，即时，则， ∵， ∴， 当，即时，有，该方程无解； 当，即时，有，解得：； 综上，当或时，． 题型讲练十一 方案问题（二元一次方程组的应用） 【例11】（25-26七年级下·浙江·期中）【背景素材】 七年级某班为校运动会采购饮品，计划在超市购买甲、乙两种品牌的运动饮料．若购买10瓶甲品牌饮料、15瓶乙品牌饮料，共需花费180元；若购买15瓶甲品牌饮料、10瓶乙品牌饮料，共需花费170元． 【问题解决】为合理制定采购方案，分步探究如下： (1)求甲、乙两种品牌运动饮料的销售单价各是多少元？ (2)班级采购预算为120元，需同时购买甲、乙两种品牌的饮料，且预算恰好全部用完，请问共有哪几种符合条件的购买方案． 【答案】(1)甲品牌饮料每瓶6元，乙品牌饮料每瓶8元 (2)共四种方案，方案一：购买甲品牌的饮料16瓶，乙品牌的饮料3瓶；方案二：购买甲品牌的饮料12瓶，乙品牌的饮料6瓶；方案三：购买甲品牌的饮料8瓶，乙品牌的饮料9瓶；方案四：购买甲品牌的饮料4瓶，乙品牌的饮料12瓶 【思路引导】（1）设甲品牌饮料每瓶元，乙品牌饮料每瓶元，根据单价数量总价，甲的价格乙的价格花费的价格，列出方程组求解即可； （2）设购买甲品牌的饮料瓶，乙品牌的饮料瓶，列出方程后分类讨论解的情况即可． 【规范解答】（1）解：设甲品牌饮料每瓶元，乙品牌饮料每瓶元， 则由题意可得， 解得， 答：甲品牌饮料每瓶6元，乙品牌饮料每瓶8元． （2）解：设购买甲品牌的饮料瓶，乙品牌的饮料瓶 则由题意可得， 变形得， ∵为正整数， ∴是3的倍数， 或或或， 答：共四种方案： 方案一：购买甲品牌的饮料16瓶，乙品牌的饮料3瓶； 方案二：购买甲品牌的饮料12瓶，乙品牌的饮料6瓶； 方案三：购买甲品牌的饮料8瓶，乙品牌的饮料9瓶； 方案四：购买甲品牌的饮料4瓶，乙品牌的饮料12瓶． 【变式】（25-26七年级下·福建福州·期中）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作竖式叠盖和横式叠盖纸盒，如图3是竖式叠盖和横式叠盖纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有张标准卡纸通过剪裁一共得到张小长方形和张小正方形，做成个竖式叠盖纸盒和个横式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． (1)【任务1】若，求，，的值； (2)【任务2】求的最大值． 【答案】(1)，，的值分别为、、 (2) 【思路引导】（1）张标准卡纸通过剪裁得到张小长方形，而一张可以剪裁个小长方形，先算出总的小长方形，减去，即为剩余的小长方形，一个小长方形可剪裁两个小正方形，再乘以即可求解，根据个竖式叠盖纸盒需要个小长方形和个正方形，个横式叠盖纸盒个小长方形和个小正方形，即可建立二元一次方程组求解； （2）由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要个小长方形，则，求其整数解，判断其最大值即可． 【规范解答】（1）解：由题意得， 则， 解得， ∴，，的值分别为、、． （2）解：由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形， 即， 其整数解为、、、， ∴的最大值为． 题型讲练十二 行程问题（二元一次方程组的应用） 【例12】（24-25七年级下·吉林长春·月考）一列火车正在匀速行驶，它先用26秒的时间通过了长256米的隧道甲（即从火车头进入入口到车尾离开出口），又用16秒的时间通过了长96米的隧道乙．则下列结论：①这列火车长160米；②这列火车的行驶速度为每秒16米；③若保持原速度不变，则这列火车通过长160米的隧道丙需用时10秒；④若速度变为原速度的两倍，则这列火车通过隧道甲的时间将变为原来的一半．其中正确的结论是______．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，理解火车通过隧道的路程是隧道长与火车长的和是解题的关键．设火车长x米，行驶的速度为每秒y米，根据火车通过隧道的路程是隧道长与火车长的和列出方程组求解，可求得①和②的结果，再根据时间与路程的关系，可求得③和④结果，即可判断答案． 【规范解答】解：设火车长x米，行驶的速度为每秒y米， 根据题意，得， 解得， 火车长160米，行驶的速度为每秒16米， 故①②正确； 若保持原速度不变，则这列火车通过长160米的隧道丙需用时秒, 故③错误； 若速度变为原速度的两倍，则这列火车通过隧道甲的时间为秒，是原来的一半, 故④正确； 故答案为：①②④． 【变式】已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地，两车均先以每小时a千米的速度行驶，再以每小时b千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等． (1)若，且甲车行驶的总时间为小时，求a和b的值； (2)若，且乙车行驶的总时间为小时，求两车相遇时，离A地多少千米？ 【答案】(1)a和b的值分别为60，40； (2) 【思路引导】（1）由甲车以两种速度行驶的路程相等且时间为小时及建立方程组求出其解即可； （2）由乙车行驶的时间相等就可以得出两次的时间分别为小时，由两段路程之和等于120及建立方程组求出其解即可求出a、b的值，从而得到甲车前一半的时间为，从而得出相遇时甲车还没行驶到60km，则离A地的路程为相遇时间乘甲车开始的速度即可． 【规范解答】（1）解：∵甲车以两种速度行驶的路程相等， ∴甲车以两种速度行驶的路程均为60 km． ∴由题意得：， 解得：； 即a和b的值分别为60，40； （2）∵乙车以两种速度行驶的时间相等， ∴乙车以两种速度行驶的时间均为小时 ∴由题意得： 解得：； ∴甲车前一半的时间为：， 由于，则乙h时行的路程为：， ∵， ∴甲车行驶到一半路程时，甲乙两车的路程和超过120km， ∴相遇时甲车还没行驶到60km， ∴相遇时间为：， 则离A地的路程为：． 即：两车相遇时，离A地． 【考点剖析】本题考查了行程问题的数量关系的运用，列二元一次方程解实际问题的运用，解答时分别运用路程相等和时间相等建立方程组是解答本题的关键． 题型讲练十三 工程问题（二元一次方程组的应用） 【例13】（24-25七年级下·全国·课后作业）草场收割队向某大型机械租赁公司租用甲，乙两种型号的割草机来进行割草作业（两种都要租）．已知该公司3台甲型割草机与1台乙型割草机同时工作共割草104亩，2台甲型割草机和3台乙型割草机同时工作共割草108亩． (1)每台甲型割草机与每台乙型割草机每小时分别割草多少亩？ (2)若该收割队每小时恰好割草54亩，该收割队的租用方案可以是怎样的？ 【答案】(1)每台甲型割草机每小时割草6亩，每台乙型割草机每小时割草8亩 (2)可以租用5台甲型割草机，3台乙型割草机或租用1台甲型割草机，6台乙型割草机 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是∶(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每台甲型收割机每小时割草x亩，每台乙型收割机每小时割草y亩，根据“已知3台甲型割草机与1台乙型割草机同时工作共割草104亩，2台甲型割草机和3台乙型割草机同时工作共割草108亩”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用m台甲型收割机，台乙型收割机，根据每小时需要割草54亩，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各租用方案． 【规范解答】（1）解∶设每台甲型收割机每小时割草x亩，每台乙型收割机每小时割草y亩， 依题意得， 解得∶， 答∶每台甲型收割机每小时割草6亩，每台乙型收割机每小时割草8亩； （2）解∶ 设租用m台甲型收割机，n台乙型收割机， 依题意得∶， ， 又均为正整数， 或， 该收割队共有2种租用方案， 方案1∶租用5台甲型收割机，3台乙型收割机； 方案2∶租用1台甲型收割机，6台乙型收割机． 【变式】核酸检测点进行检测时，有名市民排队等候，检测开始后，仍有市民陆续前来，设市民按固定的速度增加，核酸检测的速度也是固定的，若开放一个检测口，则需要30分钟才可以将排队的市民全部检测完毕，若开放两个检测口，则需要10分钟便可将排队的市民全部检测完毕，如果要在5分钟内将排队的市民全部检测完毕，使后来的市民能随到随检，至少要同时开放（   ）个检测口 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【思路引导】本题考查了不定方程和一元一次不等式，解题的关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系和不等关系式 设检测开始后，每分钟新增加市民人，检测的速度为每个检测口每分钟检测人，5分钟内将排队等候检测的市民全部检测完毕需要同时开放个检测口；根据开放的检测口与通过时间等列方程和不等式解答． 【规范解答】解：设检测开始后每分钟新增加市民人，检测的速度为每个检测口每分钟检人，5分钟内将排队等候检测的市民全部检测完毕需要同时开放个检测口， 由题意得：， 由①②得：， ， ，即， ∵， ∴， 又∵为整数， ∴取，即至少要同时开放4个检测口． 故选：B ． 题型讲练十四 数字问题（二元一次方程组的应用） 【例14】（2025·安徽芜湖·二模）算盘起源于中国，以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠分为上，下两部分，上半部分每算珠代表5，下半部分每算珠代表1．任意选定某档为个位，从该档开始从右至左依次代表十进位的个，十，百，千，万，……，不拨出算珠的空档表示0．某同学在百位拨了一颗上珠和三颗下珠，在构成的三位数中，百位数字等于十位数字与个位数字的和的2倍，十位数字减2等于个位数字，请求出这个三位数． 【答案】 【思路引导】题考查二元一次方程组的实际应用，根据题意得出百位数，设个位数字为，十位数字为，由题意列出方程组，解方程组，即可求解． 【规范解答】解：依题意，百位数为，设个位数字为，十位数字为，由题意，得： ， 解得：， ∴这个三位数为． 【变式】（25-26七年级上·湖南株洲·期中）一个四位正整数满足千位上的数字与个位上的数字之和为9，百位上的数字与十位上的数字之和为9，则称为“九九数”．例如：四位正整数2457，是“九九数”．若“九九数”能被11整除，那么满足条件的的最大值与最小值之差为___________． 【答案】 【思路引导】此题考查了数字类规律，二元一次方程的解． 设“九九数”M千位上数字为a，则个位上的数字为，百位上的数字为b，则十位上的数字为，，则，若“九九数”M能被11整除，则能别11整除，再进行分析即可得到答案． 【规范解答】解：设“九九数”M千位上数字为a， 则个位上的数字为，百位上的数字为b，则十位上的数字为，， 则 若“九九数”M能被11整除，则能别11整除， 则设， ∵， ∴， ∴，则且为整数， 当时，M取得最小值，此时，M取得最小值为， 当时，M取得最大值，此时，M取得最大值为， ∴M的最大值与最小值之差为． 故答案为：． 题型讲练十五 年龄问题（二元一次方程组的应用） 【例15】小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是____________岁． 【答案】27 【思路引导】本题考查二元一次方程组的实际应用．设数学老师今年岁，小强今年岁，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【规范解答】解：设数学老师今年岁，小强今年岁，由题意，得： ，解得：， ∴数学老师今年岁； 故答案为：27． 【变式】（23-24七年级下·全国·假期作业）小明问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这样大时你才出生，你到我这么大时我已经39岁了．”老师年龄为__________岁，小明年龄为__________岁． 【答案】 26 13 题型讲练十六 分配问题（二元一次方程组的应用） 【例16】（24-25七年级下·福建漳州·期中）在书架上按图示方式摆放数学书和语文书，书架宽，已知每本数学书厚，每本语文书厚． (1)数学书和语文书共60本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各有多少本； (2)如果书架上已摆放9本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 【答案】(1)书架上数学书有30本，语文书有30本 (2)数学书最多还可以摆58本 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程及不等式的应用，解题的关键是正确理解题意、找出题目中的数量关系、设出未知数、列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设书架上数学书有本，语文书有本，根据题意列出方程求解即可； （2）设数学书还可以摆m本，根据题意列出不等式求解即可． 【规范解答】（1）解：设书架上数学书有本，语文书有本， 根据题意得：，解得：． 答：书架上数学书有30本，语文书有30本． （2）解：设数学书还可以摆本， 由题意得：，解得：， 的最大值为58． 答：数学书最多还可以摆58本． 【变式】某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．    (1)若学校现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子． ①请完成下列表格： x只竖式箱子 y只横式箱子 A型板材张数(张) x 　   　 B型板材张数(张) 　   　 3y ②恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只． (2)若学校新购得n张规格为3×3m的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，余下板材分成两部分，一部分全部切割成A型板材，另一部分全部切割成B型板材(不计损耗)，用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，则n的最小值是 　 　，此时能制作横式箱子 　 　只． 【答案】(1)①4x，2y；②制作出竖式和横式的箱子各20只和10只 (2)35，5 【思路引导】(1)根据竖式箱子和横式箱子的组成，即可求得； (2) 设C型板有x张全部切成A板，则有(n-x-1)张全部切成B板，根据一张3×3m的C型板可以切成3×3=9张A型板或3张B型板，得(3+9x)张A板，[2+3(n-x-1)]=(3n-3x-1)张B板，得 ，可得，联立成方程组，再对x，n进行讨论，即可求得． 【规范解答】（1）解：①由图可知：做一个竖式箱子，需1张A板，4张B板，做一个横式箱子，需2张A板，3张B板， 故答案为：4x，2y； ②根据题意，得 ， 解得， 答：制作出竖式和横式的箱子各20只和10只； （2）解：设C型板有x张全部切成A板，则有(n-x-1)张全部切成B板， 且一张3×3m的C型板可以切成3×3=9张A型板或3张B型板， 得(3+9x)张A板，[2+3(n-x-1)]=(3n-3x-1)张B板， 因为竖式箱子制作20只用掉20张A板，80张B板， 则剩余A板(9x-17)张，B板(3n-3x-81)张， 根据题意，得， 整理，得， ∵9x-17≥0， ∴， ∵3n-3x-81≥0， ∴n≥x+27， ， 解得， ∵，且x为整数， ∴x取最小值为2时，(不符合题意，舍去)， 当x=3时，n=35， ∴x取最小值为3时，n=35最小． 此时，剩余A板10张，可以做5只横式板． ∴n的最小值是35，此时能制作横式箱子5只． 故答案为：35，5． 【考点剖析】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键． 题型讲练十七 销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 【例17】（25-26七年级下·湖南长沙·期中）湖南省足球联赛（简称“湘超”）点燃了球迷的热情，联赛吉祥物“湘湘”和“超超”也深受人们的喜爱．某商店第一次用3600元从批发市场购进“湘湘”挂件和“超超”摆件共100件进行销售．“湘湘”挂件和“超超”摆件的进价和售价如下表所示． 价格 “湘湘”挂件 “超超”摆件 进价/（元/件） 30 40 售价/（元/件） 35 50 (1)该商店第一次购进的“湘湘”挂件、“超超”摆件的数量分别是多少件? (2)该商店第二次以第一次的进价又购进“湘湘”挂件、“超超”摆件两种商品，其中“湘湘”挂件的数量不变，“超超”摆件的数量是第一次购进数量的2倍，“湘湘”挂件按原价销售，“超超”摆件打折销售，第二次两种商品销售完后获得的总利润为800元，求第二次销售时“超超”摆件是按原价打几折销售? 【答案】(1)该商店第一次购进“湘湘”挂件40件，“超超”摆件60件 (2)9折 【思路引导】（1）设该商店第一次购进“湘湘”挂件件，“超超”摆件件．根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． （2）设第二次销售时“超超”摆件是按原价打折销售的，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：设该商店第一次购进“湘湘”挂件件，“超超”摆件件． 依题意得， 解得 答：该商店第一次购进“湘湘”挂件40件，“超超”摆件60件． （2）解：设第二次销售时“超超”摆件是按原价打折销售的，则 ， 解得， 答：第二次销售时“超超”摆件是按原价打9折销售的． 【变式】（2025七年级上·全国·专题练习）某校七（1）班为表彰先进，让班长小文带上一定数量的班费去文具店购买奖品．经与店家沟通，小文获知了如下表的信息： 购买方案 笔/支 大本子/本 小本子/本 剩余钱数/元 方案一 36 0 0 2 方案二 38 0 0 方案三 0 12 8 0 方案四 0 10 10 10 (1)小文所带班费为________元． (2)求大、小本子每本的售价． (3)小文原计划购买6支笔，大、小本子各6本，但店家对小文说：“如果购买的每种本子的数量达到10本，该种本子可以打九折．”小文思考并计算了一下，决定购买4支笔，大、小本子各10本．付钱时，店家说：“我现在的利润只比刚才的利润多10元．”根据以上信息求出小文实际购买文具的成本（已知1支笔的成本为4元）． 【答案】(1) (2)大、小本子每本的售价分别为元、元． (3)小文实际购买文具的成本为元． 【思路引导】（1），根据方案一和方案二的笔的购买数量与剩余钱数的关系求出笔的单价，进而求班费； （2）设大、小本子单价，根据方案三、四列方程组求解； （3）设大、小本子成本，结合利润关系列方程求解． 【规范解答】（1）解：设每支笔的售价为元 根据方案一：为班费； 方案二：为班费 所以 移项可得： 即： 解得： 则班费为（元） （2）解：设大、小本子每本的售价分别为元、元． 根据方案三： 根据方案四： 列方程组 解得 答：大、小本子每本的售价分别为元、元 （3）解：设大、小本子每本的成本分别为元、元 由（1），得1支笔的售价为（元） 由题意，得 整理，得， ∵小文实际购买文具的成本为：，， ∴实际成本为（元）， 答：小文实际购买文具的成本为元． 【考点剖析】本题考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，掌握根据表格中的购买方案，找出等量关系，列出方程（组）求解是解题的关键． 题型讲练十八 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 【例18】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）新疆是我国面积最大的省，是我国领土不可分割的一部分．“新疆棉”尤其出名，“新疆棉”产量大，品质好，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式．某采棉大户计划用两种车型运输新收割的棉花，运送过程中均满载．已知用1辆A型车和1辆B型车可运载6吨棉花；用2辆A型车和1辆B型车可运载8吨棉花．租用1辆A型车和1辆B型车，运送成本分别为200元和300元． (1)1辆型车和1辆型车可分别运多少吨棉花？ (2)若种棉大户计划共租用型车和型车10辆，且总费用不超过2800元，求至少要租用型车多少辆？ (3)若种棉大户计划同时租用和型车，且恰好将新收割的14吨棉花运完，请写出所有的租车方案，并确定哪种租车方案最省钱． 【答案】(1)1辆A型车可运2吨棉花，1辆B型车可运4吨棉花 (2)至少要租用型车2辆 (3)共有3种租车方案：①租用A型车1辆，B型车3辆；②租用A型车3辆，B型车2辆；③租用A型车5辆，B型车1辆．方案①最省钱 【思路引导】本题考查二元一次方程组解决实际问题，一元一次不等式解决实际问题，根据数量关系列出方程或不等式是解题的关键． （1）设1辆A型车可运x吨棉花，1辆B型车可运y吨棉花．根据“用1辆A型车和1辆B型车可运载6吨棉花；用2辆A型车和1辆B型车可运载8吨棉花”即可列出方程组，求解即可； （2）设租用A型车a辆，根据“总费用不超过2800元”列出不等式，求解即可； （3）设租用A型车m辆，B型车n辆．根据“恰好将新收割的14吨棉花运完”列出二元一次方程，求出整数解即可得到租车方案，再求出各种方案的费用，比较即可解答． 【规范解答】（1）解：设1辆A型车可运x吨棉花，1辆B型车可运y吨棉花．根据题意，得 ，解得， 答：1辆A型车可运2吨棉花，1辆B型车可运4吨棉花． （2）解：设租用A型车a辆，根据题意，得 ， 解得， 答：至少要租用型车2辆． （3）解：设租用A型车m辆，B型车n辆．根据题意，得 ， ∵m，n为正整数， ∴或或， ∴共有3种租车方案： ①租用A型车1辆，B型车3辆， ②租用A型车3辆，B型车2辆， ③租用A型车5辆，B型车1辆． 它们的费用分别为： ①（元）， ②（元）， ③（元）． ∵， ∴方案①租用A型车1辆，B型车3辆最省钱． 【变式】（2025八年级上·全国·专题练习）某校第二课堂开展后受到了学生的追捧，学期结束后对部分学生做了一次“我最喜爱的第二课堂”问卷调查（每名学生都填了调查表，且只选了一个项目）．据统计，主要有趣味数学、演讲与口才、信息技术、手工制作四个项目．其中选信息技术的人数比选手工制作的少8；选趣味数学的人不仅比选手工制作的人多，且为整数倍；选趣味数学与选手工制作的人数之和是选演讲与口才与选信息技术的人数之和的5倍；选趣味数学与选演讲与口才的人数之和比选信息技术与选手工制作的人数之和多24．参加调查问卷的学生有多少名？ 【答案】参加调查问卷的学生有48名 【思路引导】通过设未知数，根据数量关系列出方程组，求解出各项目的人数，进而得出参加调查问卷的学生总数． 【规范解答】解：设选信息技术的有人，选演讲与口才的有人，则选手工制作的有人，选趣味数学的有人． 根据题意，得 整理①，得．③ 整理②，得．④ ③④，得， 整理，得． ③④，得，即． ∵都是正整数， ∴或或或或或当或或或或时，都不是整数，不符合题意； 当时，． ∴选信息技术的有人，选演讲与口才的有人，选手工制作的有人，选趣味数学的有人．由于每名学生都填了调查表，且只选了一个项目，则（人）． 故答案为：参加调查问卷的学生有名． 【考点剖析】本题考查通过设定未知数建立方程组，解题关键是根据题目中的数量关系准确设出未知数，列出方程组，再结合正整数的条件进行求解． 题型讲练十九 几何问题（二元一次方程组的应用） 【例19】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）用图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成图②中的竖式和横式两种无盖纸盒．现有张正方形纸板和张长方形纸板，若做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则的值可能是（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】A 【思路引导】设可以做个竖式纸盒，个横式纸盒，根据有张正方形纸板和张长方形纸板，列出方程组进行求解即可． 【规范解答】解：设可以做个竖式纸盒，个横式纸盒，由题意，得 ， ，得， ∴的值是5的倍数， 故的值可能是2020． 【变式】（25-26七年级下·吉林长春·月考）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） (1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要______张长方形铁片，______张正方形铁片． (2)现有长方形铁片100张，正方形铁片50张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒，现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成______个铁盒． 【答案】(1)7，3 (2)加工的竖式铁容器有10个，横式铁容器有20个 (3)最多可加工铁盒19个 【思路引导】（1）由图可知加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1 张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2 张，即可求解． （2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器有y个，根据题意列出方程组求解即可． （3）设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，根据题意列出方程组求解即可． 【规范解答】（1）解：由图可知，加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1 张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2 张． 故如果加工竖式铁容器与横式铁容器各 1 个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3 张． （2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器有y个，由题意得 解得 答：加工的竖式铁容器有10个，横式铁容器有20个． （3）解：设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，由题意得 解得 ∴在这35张铁板中，25张做长方形铁片可做（片），9张做正方形铁片可做（片），剩1张可裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片 共可做长方形铁片（片），正方形铁片（片） ∴可做铁盒（个） 答：最多可加工铁盒19个． 题型讲练二十 图表信息题（二元一次方程组的应用） 【例20】[阅读] 将九个数分别填在（3行3列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于m，则将这样的图称为“和m幻方”也称幻方，m为幻方值下面的图1是满足条件的“和15幻方”    [探究] (1)若图2为“和m幻方”，则． (2)小明发现了幻方中的其它等量关系，例如图1中有：；；；……你能运用这个规律解决以下问题吗？ 问题解决：图3为幻方，，且，求出图3的幻方值． 【答案】(1)8，0 (2)39 【思路引导】（1）根据幻方的特点即可求出和的值； （2）由幻方的特点得出和，再结合条件建立方程组求出，，，的值，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：， ， ， 解得：， 故答案为：8，0； （2）由幻方的特征得，， ， ， ，， 由幻方的特征得，， ， ， ， ，， 图3的幻方值为． 【考点剖析】此题主要考查了幻方的特征，解二元一次方程组，掌握幻方的特点建立方程和方程组是解本题的关键． 【变式】郴州市某景区的门票其票价如下： 购票人数 1~49人 50~100人 100人以上 每人门票价 130元 110元 90元 今有甲乙两个旅游团均超过40人，且甲团人数少于乙团人数，两个团合在一起购票，总计支付门票费10080元． (1)这两个旅游团共有多少人？ (2)若两旅游团分别购票，总计应付门票费13140元，请问甲，乙两个旅游团各有多少人？ 【答案】(1)这两个旅游团共有112人 (2)甲旅游团有41人，乙旅游团有71人 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程和方程组，注意分情况讨论． （1）设这两个旅游团共有m人，分和两种情况，列出关于m的一元一次方程，解之取其正整数即可得出结论； （2）设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人，分和两种情况，列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设这两个旅游团共有m人， 当时，有， 解得：（不为整数，舍去）； 当时，有， 解得：， 答：这两个旅游团共有112人； （2）解：设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人， 当时，有， 方程组无解； 当时，有， 解得：． 答：甲旅游团有41人，乙旅游团有71人． 题型讲练二十一 古代问题（二元一次方程组的应用） 【例21】（25-26七年级下·北京·期中）我国清代数学家梅瑴成在《增删算法统宗》中记载了这样一个问题：八百八十八文钱，甜果苦果买八百．苦果四个三文钱．甜果六个九文钱．试问甜苦果各几个？其大意是：用八百八十八文钱共买了八百个苦果和甜果．已知三文钱可以买四个苦果，九文钱可以买六个甜果．那么苦果、甜果各买了多少个？设苦果有个，甜果有个，则根据题意可列出的方程组为（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【思路引导】先根据甜果和苦果的总个数得到第一个方程，再分别计算两种果实的单价，根据总花费得到第二个方程即可 【规范解答】解：由题意得 【变式】（25-26八年级上·广东梅州·期末）问题的解决策略：逐步确定 【问题】中秋佳节灯笼俏，灯笼齐挂亮堂堂，三三数时能数尽，五五数时剩两盏，七七数时刚刚好．求最少有多少盏灯笼？ 【理解问题】灯笼的数量为正整数且需要符合以下3个条件： ①三三数时能数尽，则所求灯笼的数量能被3整除； ②五五数时剩两盏，则所求灯笼的数量除以______，余数是______； ③七七数时刚刚好，则所求灯笼的数量能被7整除． 【拟定计划】设灯笼的数量为x（x为正整数），需满足的3个条件可表述为： ①（k为正整数）； ②（m为非负整数）； ③______（用含n的代数式表示，n为正整数）． 由①和③可得x能被21整除，即（p为正整数）．根据以上分析，得到，因此，且m为非负整数，所以“”一定能被5整除． 【实施计划】（1）补全以上三个空格，并求最少有多少盏灯笼？ （2）学校举办“班级文化展示周”，八（1）班计划用彩色小旗装饰教室外墙．小旗有两种悬挂方式： ①若按“7面红旗、5面黄旗”为一个循环组依次悬挂，最后剩余2面红旗和部分黄旗； ②若按“1面红旗、6面黄旗”为一个循环组依次悬挂，最后剩余部分红旗和0面黄旗． 已知红旗和黄旗总数为100面．请问八（1）班至少准备了多少面红旗？ 【答案】（1）5，2，；42；（2） 【思路引导】本题主要考查了用代数式表示，求代数式的值． （1）根据题意填写各空，再根据一定能被5整除，可得的个位数是2和7，然后讨论得出答案； （2）设存在非负整数，根据悬挂方式①，可得红旗有面，黄旗数量大于面；根据悬挂方式②，可得黄旗有面，红旗数量大于面；则，再对从小到大讨论分析即可． 【规范解答】解：（1）五五数时剩下两盏，则所求的灯笼的数量除以5，余数是2； 设灯笼的数量为x，（x为正整数），需要满足的3个条件可表述为： ①（k为正整数）；②（m为非负整数）；③（n为正整数）， 由①和③可得x能被21整除，即（p为正整数），可得（m为非负整数）， ∴一定能被5整除， ∴的个位数是2和7， 当时，不符合题意； 当时，能被5整除，此时， 则最少有42盏灯笼； 故答案为：5，2，；42； （2）设存在非负整数，根据悬挂方式①，可得红旗有面，黄旗数量大于面； 根据悬挂方式②，可得黄旗有面，红旗数量大于面； ，即， ， 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，且， ，符合题意； 故八（1）班至少准备了面红旗． 题型讲练二十二 其他问题（二元一次方程组的应用） 【例22】十一黄金周期间，几个同学随家长一同到某景区游玩，售票处张贴的票价公示栏如下表． ××景区票价公示栏 门票类型 收费标准 备注 成人票 50元/张 - 学生票 按成人票价5折优惠 - 团体票 按成人票价6折优惠 购买15张及以上门票可享受团体票价 小聪同学说：“我们一共12个人，购买成人票和学生票共需500元．” 小明同学说：“等一下，我们购买团体票应该更便宜．” 根据相关信息，解答下列问题： (1)他们一共去了几个家长，几个学生？（要求用二元一次方程组解决问题） (2)购买团体票能优惠多少元？ 【答案】(1)8个家长，4个学生 (2)优惠50元 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的应用，有理数四则混合运算的实际应用，正确理解题意建立方程组求出家长和学生人数是解题的关键． （1）设他们一共去了个家长，个学生，根据一共有12人，购买成人票和学生票共需500元建立方程组求解即可； （2）用500减去购买15张团体票的费用即可得到答案． 【规范解答】（1）解：设他们一共去了个家长，个学生， 根据题意，得； 解得． 答：他们一共去了8个家长，4个学生． （2）解：（元）， 答：购买团体票能优惠50元． 【变式】（23-24七年级下·吉林长春·期中）用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要型长方形纸板 张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果制作横式纸盒和竖式纸盒均为个，若可用于剪裁的大纸板不超过18张，求的最大值． (4)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出若干张型长方形纸板和型正方形纸板．若要用20张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒 个． 【答案】(1)3，4 (2)制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个 (3)12 (4)27 【思路引导】本题考查二元一次方程和不等式的应用，找准数量关系，列等式或不等式解题即可； （1）根据无盖纸盒的图示可以得到结果； （2）设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据所需纸板的数量列方程组解题即可； （3）根据题意得到所需纸板的数量，然后根据大纸板的数量不超过18张列不等式计算最大整数接即可； （4）设可以制作横式纸盒个，根据横式纸盒所需的型长方形和型正方形纸板的数量计算出所需大纸板的数量，根据题意列不等式，求最大值即可． 【规范解答】（1）由题意可得， 1个横式无盖长方体纸盒需要3张型和2张型，1个竖式无盖长方体纸盒需要4张型和1张型， 故答案为：3，4； （2）设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据题意得， ，解得， 答：制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个； （3）解：根据题意，得． 解得． 为非负整数， 的最大值为12； （4）设可以制作横式纸盒个． 个横式无盖长方体纸盒需要3张型和2张型， 需要张型和张型， ，解得， 在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒27个． 故答案为：27． 题型讲练二十三 三元一次方程组的定义及解 【例23】25-26七年级上·全国·课后作业）解下列三元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）通过①+②得到与的关系式，再与③联立求解； （2）通过②-①，③-②，得到与二元一次方程组达到消元的目的即可求解． 【规范解答】（1）解：由①+②，得．④ 由④-③，得，解得． 把代入③，解得． 把代入①，解得． 故原方程组的解为 （2）解：由②-①，得．④ 由③-②，得．⑤ 由⑤-④，得，解得． 将代入④，得，解得． 将代入①，得，解得， 所以原方程组的解为 【考点剖析】本题考查了三元一次方程组的解法，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键． 【变式】（24-25七年级下·北京·期末）小明为了方便探究关于的二元一次方程解的规律，把和的部分值分别填入表格（的值从左到右依次增大）． (1)的值为_________． (2)下列方程中，与组成方程组，在范围内有解的是________（填正确的序号）． ①  ②  ③ (3)已知关于的二元一次方程的部分解如表所示： 则方程组的解为___________． 【答案】(1) (2)① (3) 【思路引导】本题考查二元一次方程的解和解二元一次方程组、三元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法和代入消元法． （1）将代入方程即可求得答案； （2）依次将三个选项与原方程组成方程组，求出方程组的解进行判断即可； （3）根据表格的数据，建立关于c、d、的三元一次方程组，解方程组得到c、d的值，即可得到原方程组，再解方程组即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵， 当时，， 故， 故答案为：． （2）解：①与组成方程组， 方程组为：， 解方程组得：， ∵在范围内， 故①符合题意； ②与组成方程组 ， 解方程组得：， ∵不在范围内， 故②不符合题意； ③与组成方程组 解方程组得：， ∵在范围内， 故①符合题意； 故答案为：①； （3）解：依题意， 解方程组得， 则方程为，即， ∴方程组为：， 解方程组得， 故答案为：． 题型讲练二十四 三元一次方程组的应用 【例24】元旦将至，初中各年级准备给同学们购买新年礼物，准备购买笔记本、尺规作图工具、钢笔三种礼物，笔记本、尺规作图工具、钢笔的单价分别为5元、15元、25元，初二购买的笔记本数量是初一的10倍，尺规作图工具数量是初一的6倍，钢笔数量是初一的8倍，初三购买的笔记本数量是初一的3倍，尺规作图工具数量是初一的7倍，钢笔数量和初一相同，三个年级共花费金额2510元，初三比初一多用420元，则三个年级购买尺规作图工具共花费___________元． 【答案】 【思路引导】本题考查了三元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键． 根据三个年级共花费金额2510元和初三比初一多用420元，列方程后再根据验证法求解即可． 【规范解答】解：设初一年级购买笔记本本、尺规作图工具个、钢笔个，则：初二年级购买笔记本本，尺规作图工具个，钢笔个，初三年级购买笔记本本，尺规作图工具个，钢笔个， 由题意可得：， 解得：， ∵，，都是整数， ∴， ∴（元）， 故答案为：． 【变式】清明假期小刚与好友一同前往上海迪士尼乐园游玩，他们一早到达乐园入口等待8：30开园，已知入口处有若干条安检通道让游客通过安检入园（每天开放的安检通道数量当天不会改变），游客每分钟按相同的人数源源不断到达这里等待入园，8：42小刚通过安检进入乐园．回家后小刚通过新闻了解到，平均一个人通过安检通道入园耗时15秒，当天直到9：45安检处才没有排队人群，游客可以随到随检 (1)根据小刚当天的排队记录，他8：30到达入口处时排在第1200位，则当天开放的安检通道有多少条？ (2)根据以往数据分析，若开园时等待在入口处的游客人数与清明假期假时一致，但安检通道增加至清明假期时的1.2倍且每分钟到达入口处的游客人数与清明假期时一致时，从9：20开始游客可以随到随检．当每分钟到达入口处的游客人数增加10人时，若不增加安检通道数量，游客何时才能随到随检？ (3)迪士尼乐园管理方估计五一假期开园时等待在入口处的游客人数与清明假期假时一致时，但每分钟到达入口处的游客人数将增加50%，若希望最晚10：00开始游客可以随到随检，那至少需要增加多少条安检通道？ 【答案】(1)当天开放的安检通道有25条． (2)游客10：10才能随到随检． (3)至少需要增加6条安检通道． 【思路引导】（1）设当天开放的安检通道有条，再建立方程，解方程即可； （2）设8：30开园时，排队的人数为人，每分钟到达的人数为人，游客的随检时间为时，再根据提示的三个时间段分别建立方程，可得方程组，从而可得答案； （3）设至少需要增加条安检通道，再根据检测人数不小于原来人数加上增加的人数列不等式即可． 【规范解答】（1）解：∵（分钟），1分钟通过的人数为（人）， 设当天开放的安检通道有条， ∴， 解得：， 答：当天开放的安检通道有25条． （2）设8：30开园时，排队的人数为人，每分钟到达的人数为人，游客的随检时间为时，则 ， 解得：， ∴当每分钟到达入口处的游客人数增加10人时，若不增加安检通道数量，游客10：10才能随到随检． （3）设至少需要增加条安检通道，则， ，而， 解得：， ∴m的最小整数值为6． ∴至少需要增加6条安检通道． 【考点剖析】本题考查的是一元一次方程的应用，三元一次方程组的应用，不等式的应用，熟练的设未知数，确定相等或不等关系是解本题的关键． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26七年级下·四川眉山·期中）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】设桌子高度和木块长宽为未知数，根据两种放置方式列二元一次方程组，将两方程相加消去长宽差，直接算出桌子高度为． 【规范解答】解：设桌子高度为，长方体木块的长为，宽为， 根据两个放置方式可列方程：， 将两个方程相加，得：， 解得， 即桌子高度为． 2．（2026·广东东莞·模拟预测）我国古代数学著作《孙子算经》中有著名的“百马问题”，叙述如下：“今有百马驮百瓦，大马一驮三，中马一驮二，小马三驮一．问大、中、小马各几何？”意思是：大马每匹驮3块瓦，中马每匹驮2块瓦，小马每3匹驮1块瓦．要用一百匹马驮一百块瓦，问大马、中马、小马各多少匹？若现已知中马有27匹，设大马有x匹，小马有y匹．则可列方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【规范解答】解：根据题意，得大马和小马的总匹数为（匹），大马和小马一共驮的瓦片数为（块）， 则． 3．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）若多项式能被整除，则可设，其中M为关于x的多项式，可以发现当时，，从而求出；若多项式除以时，余数为6，则可设，其中N为关于x的多项式，当时，，从而求出．利用以上方法解决问题：若多项式除以，余数为3；若多项式除以时，余数为，则a，b的值分别为（   ） A．1，2 B．2，1 C．， D．1，1 【答案】D 【思路引导】本题利用题干给出的余数性质，若多项式除以余数为，则时多项式的值等于，据此列出二元一次方程组求解即可． 【规范解答】解：根据题干给出的解题方法： ∵多项式除以余数为， ∴ 当时，， 代入得：， 整理得 ； ∵多项式除以余数为， ∴当时，， 代入得：， 整理得， 化简得， 联立①②，将得， 解得， 把代入①得， 解得， 因此． 4．（25-26七年级下·北京房山·期中）已知关于，的方程组的解是，则的值为________． 【答案】 【思路引导】由题意得，解得，代入求解即可． 【规范解答】解：∵关于的方程组的解是， ∴， 解得：， ∴． 5．（25-26七年级下·浙江·期中）（1）已知关于，的二元一次方程组，则的值为________； （2）若关于，的二元一次方程组的解为，那么方程组的解为________． 【答案】 【思路引导】（1）把方程组的两个方程相加得到，进而即可求得； （2）将方程组变形为，则，解方程组即可求解． 【规范解答】解：（1）， ①+②得：， ． （2）将方程组变形为， ∵将方程组与方程组系数相同， 利用整体换元思想可得，解得． 6．（25-26七年级上·山东青岛·开学考试）如果，长方形中有个形状、大小相同的小长方形，且，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【思路引导】令小长方形的长、宽分别为，，根据题意，得出，，得方程组，解出，即可根据得出阴影部分的面积． 【规范解答】解：令小长方形的长、宽分别为，， 根据题意，，， 可得，，， 故可得方程组， 解得， ∴，， 故阴影部分面积为． 7．（25-26七年级下·广东广州·期中）现有角、角、元硬币各枚，从中取出枚，共元．角、角、元硬币的取法共有______种． 【答案】 【思路引导】本题考查三元一次方程组的实际应用，设角、角、元硬币分别取枚、枚、枚，根据总枚数和总金额列出方程组，结合为不超过10的非负整数，即可求出取法的数量． 【规范解答】解：设角、角、元硬币分别取枚、枚、枚，将单位统一为角，元角， 由题意得 由①得：，代入②得： 整理得： ∵均为不超过的非负整数，所以为非负整数， 因此是的倍数， 当时，，，不符合题意， 当时，，，满足，，，符合题意， 当时，，为负数，不符合题意， 综上，符合条件的取法只有种． 8．（25-26七年级下·四川内江·月考）解下列方程（组） (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程； （2）利用加减消元法消去一个未知数，求出一个未知数的值后，代入原方程求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解． （3）先整理方程组，再利用加减消元法消去一个未知数，求出一个未知数的值后，代入原方程求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解： ， ，得：， 解得：， 把代入，得：， 解得：， ∴方程组的解为； （3）解：， 原方程组整理得： ， ，得：， 解得：， 把代入，得：， 解得：， ∴方程组的解为． 9．（25-26七年级下·山东青岛·期中）推进科技文化进社区活动，提升社区居民对科技文化的体验感，某社区计划打造科技文化角，准备购买甲、乙两种具有科技文化展示功能的智能收纳桶．已知甲种智能收纳桶专注于科普知识展示，乙种智能收纳桶侧重文化历史呈现，且购买甲种智能收纳桶的单价比购买乙种智能收纳桶的单价少50元．购买4个甲种智能收纳桶和6个乙种智能收纳桶所需费用为2300元． (1)求甲、乙两种智能收纳桶的单价； (2)该社区拟计划订购这两种智能收纳桶共30个，用于丰富科技文化角的展示内容，且总费用为7000元，则社区购买了多少个乙种智能收纳桶？ 【答案】(1)甲种智能收纳桶的单价为元，乙种智能收纳桶的单价为元 (2)社区购买了20个乙种智能收纳桶 【思路引导】（1）设甲种智能收纳桶的单价为元，乙种智能收纳桶的单价为元，根据购买甲种智能收纳桶的单价比购买乙种智能收纳桶的单价少50元，购买4个甲种智能收纳桶和6个乙种智能收纳桶所需费用为2300元，列出方程组进行求解即可． （2）设购买甲种智能收纳桶个，则购买乙种智能收纳桶个，根据订购这两种智能收纳桶共30个，总费用为7000元，列出方程组进行求解即可. 【规范解答】（1）解：设甲种智能收纳桶的单价为元，乙种智能收纳桶的单价为元， 由题意得，      解得，     答：甲种智能收纳桶的单价为元，乙种智能收纳桶的单价为元；   （2）解：设购买甲种智能收纳桶个，则购买乙种智能收纳桶个， 由题意得，     解得， 答：社区购买了20个乙种智能收纳桶． 10．（25-26七年级下·浙江·期中）根据以下索材，探索完成任务．随着AI技术的发展，越来越多的行业引人机器人来高效、精准地完成工作．某物流公司先引人了A，B两款传统分拣机器人，后又引入了C款升级版机器人． 素材1：三款机器人的分拣效率与耗电量如下表： 素材2：已知1台A型机器人工作3小时和1台B型机器人工作2小时，共可分拣2300件货物；1台A型机器人工作2小时和1台B型机器人工作5小时，共可分拣3000件货物； 素材3：物流公司需在1小时内完成4000件货物的分拣任务． 型号 工作效率/[件/（小时·台）] 耗电量/[千瓦时/（小时·台）] 2 1.5 600 1.8 (1)【任务1】求和的值． (2)【任务2】若只用A，B两种型号机器人恰好按时完成本次任务（两种型号都要使用），求总耗电量为多少千瓦时． (3)【任务3】该公司引进型机器人后，若采用A，B，C三种机器人同时分拣（每种型号至少投人1台），且C型机器人台数是型机器人台数的，刚好30分钟完成该任务． ①求出所有可行的机器人安排方案； ②直接写出最省电方案的耗电量为________千瓦时． 【答案】(1) (2)千瓦时． (3)①见解析，②14.6 【思路引导】（1）根据题意列出方程组并解方程组即可； （2）设型机器人用了台，型机器人用了台．列出方程并求出正整数解即可得到答案； （3）①设安排型机器人台，型机器人台，则型机器人台．根据题意列出二元一次方程，并求出正整数解即可；②根据各方案的耗电量进行解答即可． 【规范解答】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：设型机器人用了台，型机器人用了台． 由题意，得， 整理，得． 因为，都是正整数，所以是4的倍数， 所以，， 所以总耗电量为（千瓦时）． （3）①设安排型机器人台，型机器人台，则型机器人台． 由题意，得， 整理，得． 由题意得，是2的倍数，故所有可行方案列表如下： 方案 型/台 型/台 型/台 总耗电量/千瓦时 一 2 16 1 14.9 二 4 12 2 14.8 三 6 8 3 14.7 四 8 4 4 14.6 ②方案四：有A型号的机器人台，有B型号的机器人台，有C型号的机器人台；最省电，其耗电量为14.6千瓦时 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版新教材数学七年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第十章 二元一次方程组【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+24个题型讲练+真题实战练 共58题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 已知二元一次方程组的解求参数 题型二 代入消元法 题型三 加减消元法 题型四 二元一次方程组的特殊解法 题型五 二元一次方程组的错解复原问题 题型六 构造二元一次方程组求解 题型七 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型八 方程组相同解问题 题型九 根据实际问题列二元—次方程组 题型十 根据几何图形列二元一次方程组 题型十一 方案问题（二元一次方程组的应用） 题型十二 行程问题（二元一次方程组的应用） 题型十三 工程问题（二元一次方程组的应用） 题型十四 数字问题（二元一次方程组的应用） 题型十五 年龄问题（二元一次方程组的应用） 题型十六 分配问题（二元一次方程组的应用） 题型十七 销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 题型十八 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 题型十九 几何问题（二元一次方程组的应用） 题型二十 图表信息题（二元一次方程组的应用） 题型二十一 古代问题（二元一次方程组的应用） 题型二十二 其他问题（二元一次方程组的应用） 题型二十三 三元一次方程组的定义及解 题型二十四 三元一次方程组的应用 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 二元一次方程的概念 概念：方程中含有两个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【易错点剖析】 （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 知识点二 二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【易错点剖析】 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 知识点三 二元一次方程组的概念 概念：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数. 【易错点剖析】 （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 知识点四 二元一次方程组的解 概念：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错点剖析】 （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况 知识点五 三元一次方程组的概念与解 定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 知识点六 解二元（三元）一次方程组 1.用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 2.用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 3.解三元一次方程组的一般过程： ①利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； ②解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； ③将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； ④解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； ⑤将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 已知二元一次方程组的解求参数 【例1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若是关于的二元一次方程的解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【变式】若关于的方程组的解是，则关于的方程组的解是___________． 题型讲练二 代入消元法 【例2】解方程组：． 【变式】如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，a，b满足，过B作轴于点C，连结交x轴于点D． (1)写出点A、B、C的坐标分别为A______、B______、C______； (2)如图2，若过C作交x轴于E，作、的角平分线，求的度数； (3)在x轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，找到所有满足条件的点P，并写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型讲练三 加减消元法 【例3】（25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·期中）解下列方程或方程组 (1) (2) (2) (4) 【变式】（25-26七年级上·福建莆田·期末）定义：关于的二元一次方程（其中互不相等）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)方程的“变更方程”为_____； (2)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为_____； (3)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于、的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 题型讲练四 二元一次方程组的特殊解法 【例4】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）方程组知识运用 (1)关于，的二元一次方程组中，与方程组的解中的或相等，则的值为 ； (2)试说明在关于的方程组中，不论取什么实数，的值始终不变； (3)请直接写出第（）题中的方程组的正整数解为： ． 【变式】（25-26七年级下·重庆·期中）下列说法正确的有（   ） ①若与的和为，且，则； ②若是整数，关于、的二元一次方程组的解是整数，则满足条件的所有的值的和为； ③若方程组的解为，则方程组的解为； ④已知关于，的方程组无论取何值，和的值都不可能互为相反数． A．个 B．个 C．个 D．个 题型讲练五 二元一次方程组的错解复原问题 【例5】（25-26七年级下·湖南长沙·期中）小红和小虎两人共同解方程组，小虎看错了方程①中的，解得，小红看错了方程②中的，解得，求，的值． 【变式】（24-25七年级下·四川资阳·期末）已知关于x，y的方程组，甲由于看错了方程（1）中的a，得到方程组的解为，乙由于看错了方程（2）中的b，得到方程组的解为． 试求出方程组的正确解． 题型讲练六 构造二元一次方程组求解 【例6】（24-25七年级下·山西临汾·期末）阅读与思考 新定义：规定用一组有序数对表示一个点，通常用括号和逗号将两个数隔开来表示，第一个数叫做点的横坐标，第二个数叫做点的纵坐标．如点． ①已知点，且、为有理数． 当、满足时，就称点为“理想点”． 例如：点，令，得 不是“理想点”； 点，令，得 是“理想点”． ②已知点，且为有理数．当满足时，就称点为“开心点”．反之，当点为“开心点”时，则． 认真阅读上面材料，完成下面问题： (1)请仿照上述材料中①的方法判断点是否为“理想点”． (2)已知是二元一次方程组的解，若点是“开心点”，求的值． 【变式】（25-26七年级下·福建厦门·月考）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一个探照灯（探照灯的光束可近似看成一条射线），便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射出的射线自顺时针旋转至便立即回转，灯B射出的射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒，且a、b满足．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且． (1)______，______； (2)若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若A射出的光束与B射出的光束交于点C，过C作交于点D，则在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围． 题型讲练七 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【例7】（25-26七年级下·山东青岛·期中）已知关于，的方程组，下列四个结论中正确的是（  ） ①当时，该方程组的解也是方程的解； ②存在有理数，使得； ③当时，； ④不论取什么数，的值始终不变． A．①② B．②④ C．②③④ D．①②③④ 【变式】（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中），若将其y的系数b与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“船山方程”，例如方程的“船山方程”为． (1)写出的“船山方程”______，以及它们组成的方程组的解为______； (2)若关于x，y的二元一次方程与其“船山方程”组成的方程组的解为，求； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“船山方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值． 题型讲练八 方程组相同解问题 【例8】（25-26七年级下·浙江温州·期中）若关于的方程组的解为，则方程组的解是__________． 【变式】规定：对于平面直角坐标系中任意一点，若，即此点的纵坐标是横坐标的两倍，此时我们称点为“雅赞点”．例如：对于点，它的纵坐标2是横坐标1的2倍，所以点是“雅赞点”． (1)以下各点：①②③中“雅赞点”是________（填序号即可）； (2)若点是“雅赞点”，且A点向右平移3个单位后得到B点，B点到坐标轴的距离相等，求此时“雅赞点”A点的坐标； (3)已知“雅赞点”，，关于x，y的方程组与有相同的解． ①用含的式子表示和； ②若对于任意k，等式恒成立，求此时的值． 题型讲练九 根据实际问题列二元—次方程组 【例9】我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步. 问人与车各几何?” 其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行，问人与车各多少? 设有人，辆车，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式】为了防治“新型冠状病毒”，我市某小区准备用5400元购买医用口罩和洗手液发放给本小区住户，若医用口罩买800个，洗手液买120瓶，则钱还缺200元；若医用口罩买1200个，洗手液买80瓶，则钱恰好用完． (1)求医用口罩和洗手液的单价； (2)由于实际需要，除购买医用口罩和洗手液外，还需购买单价为6元的N95口罩m个．若需购买医用口罩和N95口罩共1200个，且100＜m＜200，剩余的钱全部用来购买洗手液，恰好用完5400元，求m的值． 题型讲练十 根据几何图形列二元一次方程组 【例10】（24-25六年级下·上海金山·期末）如图是由块颜色不同的正方形卡片无重叠无缝隙地拼成的长方形，中间最小的正方形边长为．若设标有序号的两个正方形边长分别为，，则根据题意可得到的二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式】（24-25七年级上·湖北武汉·月考）如图，在数轴上，点O表示原点，点A、B表示的数分别为a、b，满足，是一条定长的线段（点N在点M的左侧），它在数轴上从右向左匀速运动，在运动过程中，线段完全经过点B（即点B在线段上的这段过程）所需的时间为秒，线段完全经过线段（即线段与线段有公共点的这段过程）所需的时间为秒． (1)线段______，的长为______，运动的速度为______个长度单位/秒； (2)当点M与点B重合时开始计时，设运动时间为t秒，点C是的中点，点D是的中点，同时点E从点A处出发以1个长度单位/秒速度向右运动，当时，求t的值． 题型讲练十一 方案问题（二元一次方程组的应用） 【例11】（25-26七年级下·浙江·期中）【背景素材】 七年级某班为校运动会采购饮品，计划在超市购买甲、乙两种品牌的运动饮料．若购买10瓶甲品牌饮料、15瓶乙品牌饮料，共需花费180元；若购买15瓶甲品牌饮料、10瓶乙品牌饮料，共需花费170元． 【问题解决】为合理制定采购方案，分步探究如下： (1)求甲、乙两种品牌运动饮料的销售单价各是多少元？ (2)班级采购预算为120元，需同时购买甲、乙两种品牌的饮料，且预算恰好全部用完，请问共有哪几种符合条件的购买方案． 【变式】（25-26七年级下·福建福州·期中）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作竖式叠盖和横式叠盖纸盒，如图3是竖式叠盖和横式叠盖纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有张标准卡纸通过剪裁一共得到张小长方形和张小正方形，做成个竖式叠盖纸盒和个横式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． (1)【任务1】若，求，，的值； (2)【任务2】求的最大值． 题型讲练十二 行程问题（二元一次方程组的应用） 【例12】（24-25七年级下·吉林长春·月考）一列火车正在匀速行驶，它先用26秒的时间通过了长256米的隧道甲（即从火车头进入入口到车尾离开出口），又用16秒的时间通过了长96米的隧道乙．则下列结论：①这列火车长160米；②这列火车的行驶速度为每秒16米；③若保持原速度不变，则这列火车通过长160米的隧道丙需用时10秒；④若速度变为原速度的两倍，则这列火车通过隧道甲的时间将变为原来的一半．其中正确的结论是______．（填写所有正确结论的序号） 【变式】已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地，两车均先以每小时a千米的速度行驶，再以每小时b千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等． (1)若，且甲车行驶的总时间为小时，求a和b的值； (2)若，且乙车行驶的总时间为小时，求两车相遇时，离A地多少千米？ 题型讲练十三 工程问题（二元一次方程组的应用） 【例13】（24-25七年级下·全国·课后作业）草场收割队向某大型机械租赁公司租用甲，乙两种型号的割草机来进行割草作业（两种都要租）．已知该公司3台甲型割草机与1台乙型割草机同时工作共割草104亩，2台甲型割草机和3台乙型割草机同时工作共割草108亩． (1)每台甲型割草机与每台乙型割草机每小时分别割草多少亩？ (2)若该收割队每小时恰好割草54亩，该收割队的租用方案可以是怎样的？ 【变式】核酸检测点进行检测时，有名市民排队等候，检测开始后，仍有市民陆续前来，设市民按固定的速度增加，核酸检测的速度也是固定的，若开放一个检测口，则需要30分钟才可以将排队的市民全部检测完毕，若开放两个检测口，则需要10分钟便可将排队的市民全部检测完毕，如果要在5分钟内将排队的市民全部检测完毕，使后来的市民能随到随检，至少要同时开放（   ）个检测口 A．3 B．4 C．5 D．6 题型讲练十四 数字问题（二元一次方程组的应用） 【例14】（2025·安徽芜湖·二模）算盘起源于中国，以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠分为上，下两部分，上半部分每算珠代表5，下半部分每算珠代表1．任意选定某档为个位，从该档开始从右至左依次代表十进位的个，十，百，千，万，……，不拨出算珠的空档表示0．某同学在百位拨了一颗上珠和三颗下珠，在构成的三位数中，百位数字等于十位数字与个位数字的和的2倍，十位数字减2等于个位数字，请求出这个三位数． 【变式】（25-26七年级上·湖南株洲·期中）一个四位正整数满足千位上的数字与个位上的数字之和为9，百位上的数字与十位上的数字之和为9，则称为“九九数”．例如：四位正整数2457，是“九九数”．若“九九数”能被11整除，那么满足条件的的最大值与最小值之差为___________． 题型讲练十五 年龄问题（二元一次方程组的应用） 【例15】小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是____________岁． 【变式】（23-24七年级下·全国·假期作业）小明问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这样大时你才出生，你到我这么大时我已经39岁了．”老师年龄为__________岁，小明年龄为__________岁． 题型讲练十六 分配问题（二元一次方程组的应用） 【例16】（24-25七年级下·福建漳州·期中）在书架上按图示方式摆放数学书和语文书，书架宽，已知每本数学书厚，每本语文书厚． (1)数学书和语文书共60本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各有多少本； (2)如果书架上已摆放9本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 【变式】某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．    (1)若学校现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子． ①请完成下列表格： x只竖式箱子 y只横式箱子 A型板材张数(张) x 　   　 B型板材张数(张) 　   　 3y ②恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只． (2)若学校新购得n张规格为3×3m的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，余下板材分成两部分，一部分全部切割成A型板材，另一部分全部切割成B型板材(不计损耗)，用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，则n的最小值是 　 　，此时能制作横式箱子 　 　只． 题型讲练十七 销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 【例17】（25-26七年级下·湖南长沙·期中）湖南省足球联赛（简称“湘超”）点燃了球迷的热情，联赛吉祥物“湘湘”和“超超”也深受人们的喜爱．某商店第一次用3600元从批发市场购进“湘湘”挂件和“超超”摆件共100件进行销售．“湘湘”挂件和“超超”摆件的进价和售价如下表所示． 价格 “湘湘”挂件 “超超”摆件 进价/（元/件） 30 40 售价/（元/件） 35 50 (1)该商店第一次购进的“湘湘”挂件、“超超”摆件的数量分别是多少件? (2)该商店第二次以第一次的进价又购进“湘湘”挂件、“超超”摆件两种商品，其中“湘湘”挂件的数量不变，“超超”摆件的数量是第一次购进数量的2倍，“湘湘”挂件按原价销售，“超超”摆件打折销售，第二次两种商品销售完后获得的总利润为800元，求第二次销售时“超超”摆件是按原价打几折销售? 【变式】（2025七年级上·全国·专题练习）某校七（1）班为表彰先进，让班长小文带上一定数量的班费去文具店购买奖品．经与店家沟通，小文获知了如下表的信息： 购买方案 笔/支 大本子/本 小本子/本 剩余钱数/元 方案一 36 0 0 2 方案二 38 0 0 方案三 0 12 8 0 方案四 0 10 10 10 (1)小文所带班费为________元． (2)求大、小本子每本的售价． (3)小文原计划购买6支笔，大、小本子各6本，但店家对小文说：“如果购买的每种本子的数量达到10本，该种本子可以打九折．”小文思考并计算了一下，决定购买4支笔，大、小本子各10本．付钱时，店家说：“我现在的利润只比刚才的利润多10元．”根据以上信息求出小文实际购买文具的成本（已知1支笔的成本为4元）． 题型讲练十八 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 【例18】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）新疆是我国面积最大的省，是我国领土不可分割的一部分．“新疆棉”尤其出名，“新疆棉”产量大，品质好，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式．某采棉大户计划用两种车型运输新收割的棉花，运送过程中均满载．已知用1辆A型车和1辆B型车可运载6吨棉花；用2辆A型车和1辆B型车可运载8吨棉花．租用1辆A型车和1辆B型车，运送成本分别为200元和300元． (1)1辆型车和1辆型车可分别运多少吨棉花？ (2)若种棉大户计划共租用型车和型车10辆，且总费用不超过2800元，求至少要租用型车多少辆？ (3)若种棉大户计划同时租用和型车，且恰好将新收割的14吨棉花运完，请写出所有的租车方案，并确定哪种租车方案最省钱． 【变式】（2025八年级上·全国·专题练习）某校第二课堂开展后受到了学生的追捧，学期结束后对部分学生做了一次“我最喜爱的第二课堂”问卷调查（每名学生都填了调查表，且只选了一个项目）．据统计，主要有趣味数学、演讲与口才、信息技术、手工制作四个项目．其中选信息技术的人数比选手工制作的少8；选趣味数学的人不仅比选手工制作的人多，且为整数倍；选趣味数学与选手工制作的人数之和是选演讲与口才与选信息技术的人数之和的5倍；选趣味数学与选演讲与口才的人数之和比选信息技术与选手工制作的人数之和多24．参加调查问卷的学生有多少名？ 题型讲练十九 几何问题（二元一次方程组的应用） 【例19】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）用图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成图②中的竖式和横式两种无盖纸盒．现有张正方形纸板和张长方形纸板，若做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则的值可能是（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【变式】（25-26七年级下·吉林长春·月考）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） (1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要______张长方形铁片，______张正方形铁片． (2)现有长方形铁片100张，正方形铁片50张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒，现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成______个铁盒． 题型讲练二十 图表信息题（二元一次方程组的应用） 【例20】[阅读] 将九个数分别填在（3行3列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于m，则将这样的图称为“和m幻方”也称幻方，m为幻方值下面的图1是满足条件的“和15幻方”    [探究] (1)若图2为“和m幻方”，则． (2)小明发现了幻方中的其它等量关系，例如图1中有：；；；……你能运用这个规律解决以下问题吗？ 问题解决：图3为幻方，，且，求出图3的幻方值． 【变式】郴州市某景区的门票其票价如下： 购票人数 1~49人 50~100人 100人以上 每人门票价 130元 110元 90元 今有甲乙两个旅游团均超过40人，且甲团人数少于乙团人数，两个团合在一起购票，总计支付门票费10080元． (1)这两个旅游团共有多少人？ (2)若两旅游团分别购票，总计应付门票费13140元，请问甲，乙两个旅游团各有多少人？ 题型讲练二十一 古代问题（二元一次方程组的应用） 【例21】（25-26七年级下·北京·期中）我国清代数学家梅瑴成在《增删算法统宗》中记载了这样一个问题：八百八十八文钱，甜果苦果买八百．苦果四个三文钱．甜果六个九文钱．试问甜苦果各几个？其大意是：用八百八十八文钱共买了八百个苦果和甜果．已知三文钱可以买四个苦果，九文钱可以买六个甜果．那么苦果、甜果各买了多少个？设苦果有个，甜果有个，则根据题意可列出的方程组为（   ） A．B． C． D． 【变式】（25-26八年级上·广东梅州·期末）问题的解决策略：逐步确定 【问题】中秋佳节灯笼俏，灯笼齐挂亮堂堂，三三数时能数尽，五五数时剩两盏，七七数时刚刚好．求最少有多少盏灯笼？ 【理解问题】灯笼的数量为正整数且需要符合以下3个条件： ①三三数时能数尽，则所求灯笼的数量能被3整除； ②五五数时剩两盏，则所求灯笼的数量除以______，余数是______； ③七七数时刚刚好，则所求灯笼的数量能被7整除． 【拟定计划】设灯笼的数量为x（x为正整数），需满足的3个条件可表述为： ①（k为正整数）； ②（m为非负整数）； ③______（用含n的代数式表示，n为正整数）． 由①和③可得x能被21整除，即（p为正整数）．根据以上分析，得到，因此，且m为非负整数，所以“”一定能被5整除． 【实施计划】（1）补全以上三个空格，并求最少有多少盏灯笼？ （2）学校举办“班级文化展示周”，八（1）班计划用彩色小旗装饰教室外墙．小旗有两种悬挂方式： ①若按“7面红旗、5面黄旗”为一个循环组依次悬挂，最后剩余2面红旗和部分黄旗； ②若按“1面红旗、6面黄旗”为一个循环组依次悬挂，最后剩余部分红旗和0面黄旗． 已知红旗和黄旗总数为100面．请问八（1）班至少准备了多少面红旗？ 题型讲练二十二 其他问题（二元一次方程组的应用） 【例22】十一黄金周期间，几个同学随家长一同到某景区游玩，售票处张贴的票价公示栏如下表． ××景区票价公示栏 门票类型 收费标准 备注 成人票 50元/张 - 学生票 按成人票价5折优惠 - 团体票 按成人票价6折优惠 购买15张及以上门票可享受团体票价 小聪同学说：“我们一共12个人，购买成人票和学生票共需500元．” 小明同学说：“等一下，我们购买团体票应该更便宜．” 根据相关信息，解答下列问题： (1)他们一共去了几个家长，几个学生？（要求用二元一次方程组解决问题） (2)购买团体票能优惠多少元？ 【变式】（23-24七年级下·吉林长春·期中）用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要型长方形纸板 张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果制作横式纸盒和竖式纸盒均为个，若可用于剪裁的大纸板不超过18张，求的最大值． (4)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出若干张型长方形纸板和型正方形纸板．若要用20张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒 个． 题型讲练二十三 三元一次方程组的定义及解 【例23】25-26七年级上·全国·课后作业）解下列三元一次方程组： (1) (2) 【变式】（24-25七年级下·北京·期末）小明为了方便探究关于的二元一次方程解的规律，把和的部分值分别填入表格（的值从左到右依次增大）． (1)的值为_________． (2)下列方程中，与组成方程组，在范围内有解的是________（填正确的序号）． ①  ②  ③ (3)已知关于的二元一次方程的部分解如表所示： 则方程组的解为___________． 题型讲练二十四 三元一次方程组的应用 【例24】元旦将至，初中各年级准备给同学们购买新年礼物，准备购买笔记本、尺规作图工具、钢笔三种礼物，笔记本、尺规作图工具、钢笔的单价分别为5元、15元、25元，初二购买的笔记本数量是初一的10倍，尺规作图工具数量是初一的6倍，钢笔数量是初一的8倍，初三购买的笔记本数量是初一的3倍，尺规作图工具数量是初一的7倍，钢笔数量和初一相同，三个年级共花费金额2510元，初三比初一多用420元，则三个年级购买尺规作图工具共花费___________元． 【变式】清明假期小刚与好友一同前往上海迪士尼乐园游玩，他们一早到达乐园入口等待8：30开园，已知入口处有若干条安检通道让游客通过安检入园（每天开放的安检通道数量当天不会改变），游客每分钟按相同的人数源源不断到达这里等待入园，8：42小刚通过安检进入乐园．回家后小刚通过新闻了解到，平均一个人通过安检通道入园耗时15秒，当天直到9：45安检处才没有排队人群，游客可以随到随检 (1)根据小刚当天的排队记录，他8：30到达入口处时排在第1200位，则当天开放的安检通道有多少条？ (2)根据以往数据分析，若开园时等待在入口处的游客人数与清明假期假时一致，但安检通道增加至清明假期时的1.2倍且每分钟到达入口处的游客人数与清明假期时一致时，从9：20开始游客可以随到随检．当每分钟到达入口处的游客人数增加10人时，若不增加安检通道数量，游客何时才能随到随检？ (3)迪士尼乐园管理方估计五一假期开园时等待在入口处的游客人数与清明假期假时一致时，但每分钟到达入口处的游客人数将增加50%，若希望最晚10：00开始游客可以随到随检，那至少需要增加多少条安检通道？ 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26七年级下·四川眉山·期中）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东东莞·模拟预测）我国古代数学著作《孙子算经》中有著名的“百马问题”，叙述如下：“今有百马驮百瓦，大马一驮三，中马一驮二，小马三驮一．问大、中、小马各几何？”意思是：大马每匹驮3块瓦，中马每匹驮2块瓦，小马每3匹驮1块瓦．要用一百匹马驮一百块瓦，问大马、中马、小马各多少匹？若现已知中马有27匹，设大马有x匹，小马有y匹．则可列方程组是（   ） A．B． C． D． 3．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）若多项式能被整除，则可设，其中M为关于x的多项式，可以发现当时，，从而求出；若多项式除以时，余数为6，则可设，其中N为关于x的多项式，当时，，从而求出．利用以上方法解决问题：若多项式除以，余数为3；若多项式除以时，余数为，则a，b的值分别为（   ） A．1，2 B．2，1 C．， D．1，1 4．（25-26七年级下·北京房山·期中）已知关于，的方程组的解是，则的值为________． 5．（25-26七年级下·浙江·期中）（1）已知关于，的二元一次方程组，则的值为________； （2）若关于，的二元一次方程组的解为，那么方程组的解为________． 6．（25-26七年级上·山东青岛·开学考试）如果，长方形中有个形状、大小相同的小长方形，且，，则图中阴影部分的面积为________． 7． （25-26七年级下·广东广州·期中）现有角、角、元硬币各枚，从中取出枚，共元．角、角、元硬币的取法共有______种． 8．（25-26七年级下·四川内江·月考）解下列方程（组） (1) (2) (3) 9．（25-26七年级下·山东青岛·期中）推进科技文化进社区活动，提升社区居民对科技文化的体验感，某社区计划打造科技文化角，准备购买甲、乙两种具有科技文化展示功能的智能收纳桶．已知甲种智能收纳桶专注于科普知识展示，乙种智能收纳桶侧重文化历史呈现，且购买甲种智能收纳桶的单价比购买乙种智能收纳桶的单价少50元．购买4个甲种智能收纳桶和6个乙种智能收纳桶所需费用为2300元． (1)求甲、乙两种智能收纳桶的单价； (2)该社区拟计划订购这两种智能收纳桶共30个，用于丰富科技文化角的展示内容，且总费用为7000元，则社区购买了多少个乙种智能收纳桶？ 10．（25-26七年级下·浙江·期中）根据以下索材，探索完成任务．随着AI技术的发展，越来越多的行业引人机器人来高效、精准地完成工作．某物流公司先引人了A，B两款传统分拣机器人，后又引入了C款升级版机器人． 素材1：三款机器人的分拣效率与耗电量如下表： 素材2：已知1台A型机器人工作3小时和1台B型机器人工作2小时，共可分拣2300件货物；1台A型机器人工作2小时和1台B型机器人工作5小时，共可分拣3000件货物； 素材3：物流公司需在1小时内完成4000件货物的分拣任务． 型号 工作效率/[件/（小时·台）] 耗电量/[千瓦时/（小时·台）] 2 1.5 600 1.8 (1)【任务1】求和的值． (2)【任务2】若只用A，B两种型号机器人恰好按时完成本次任务（两种型号都要使用），求总耗电量为多少千瓦时． (3)【任务3】该公司引进型机器人后，若采用A，B，C三种机器人同时分拣（每种型号至少投人1台），且C型机器人台数是型机器人台数的，刚好30分钟完成该任务． ①求出所有可行的机器人安排方案； ②直接写出最省电方案的耗电量为________千瓦时． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $