专题03 平面直角坐标系（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材人教版

专题03 平面直角坐标系（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 平面直角坐标系 题型02 用坐标描述简单几何图形 题型03 用坐标表述地理位置 题型04 用坐标表示平移 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平面直角坐标系 理解坐标系概念，会写点坐标，掌握各象限及坐标轴符号规律； 必考象限符号、坐标轴上点特征，常结合简单坐标判断考查。 用坐标描述简单几何图形 会根据坐标描点画图，能由图形顶点坐标判断形状； 常考多边形顶点坐标书写，判断平行、垂直、对称关系。 用坐标表示地理位置 建立合适坐标系，用坐标准确表示地点相对位置； 以某点为原点建系，常结合方向、距离综合出题。 用坐标表示平移 掌握点平移坐标变化规律，会用坐标表示图形平移； 平移规律必考，左右变横、上下变纵，多结合图形考查。 知识点01 平面直角坐标系 1.平面直角坐标系的概念 如图，在平面内，两条互相垂直且有公共原点的两条数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴称为x轴或横轴；竖直的数轴称为y轴或纵轴；两坐标轴的交点O为平面直角坐标系的原点 2.各象限内及坐标轴上点的坐标特征 第一象限内的点，横坐标>0，纵坐标>0，即 (+,+)； 第二象限内的点，横坐标<0，纵坐标>0，即 (-,+)； 第三象限内的点，横坐标<0，纵坐标<0，即 (-,-)； 第四象限内的点，横坐标>0，纵坐标<0，即 (+,-)。 x轴上的点，其纵坐标为0，即 (x,0)； y轴上的点，其横坐标为0，即 (0,y)； 原点的坐标是 (0,0) . 知识点02 用坐标描述简单几何图形 1. 描述坐标轴所在的直线 x轴上的点的纵坐标为0，所以x轴记为直线y=0. y轴上的点的横坐标为0，所以y轴记为直线x=0. 2.描述与坐标轴垂直（平行）的直线 与x轴平行直线（横平线）上的点，纵坐标都相等；反之纵坐标相等点的连线一定平行于x轴； 与y轴平行直线（竖直线）上的点，横坐标都相等；反之横坐标相等点的连线一定平行于y轴； 3.描述象限的平分线 一三象限平分线上的点，横纵坐标相等（y=x）; 二四象限平分线上的点，横纵坐标相反（y=-x）; 4.描述点到坐标轴的距离 点P（x，y）到x轴的距离为|y|; 点P（x，y）到y轴的距离为|x|; 5.描述直角三角形、正方形等简单的几何图形 （1）归纳：用坐标表达的简单的几何图形分两类 ①用坐标表达与坐标轴平行、垂直、重合的直线； ②主要线段与坐标轴平行、垂直或重合的几何图形.它们的面积也要用与坐标轴垂直或平行的线段的乘积来表示. （2）简单的几何图形上的点的坐标特征见下表 象限点 轴上点 点P到x轴的距离：PE=|y|；点P到y轴的距离：PF=|x|； 轴上点不属于任何象限； x轴上的点的纵坐标都是0； y轴上的点的横坐标都是0； 横平线上的点 竖直线上的点 横平线上的点纵坐标相等； 如图所示，该直线记作y=b; 竖直线上的点横坐标相等； 如图所示，该直线记作x=a; 一三象限角平分线上的点 二四象限角平分线上的点 横坐标、纵坐标相等 如图所示，该直线记作y=x; 横坐标、纵坐标相反 如图所示，该直线记作y=-x; 知识点03 用坐标表示地理位置 1. 找准合适位置为坐标原点，分别以正东、正北方向分别为x轴y轴的正方向； 2. 以合适的距离为单位长度建立直角坐标系； 3. 用坐标表述各物体的位置. 知识点04 用坐标表示平移 1. 点的平移与坐标变化规律 一般地，如果点 M(x,y) 沿着与x轴或y轴平行的方向平移 m(m>0) 个单位长度，那么 向右平移所对应的点的坐标为 (x+m，y); 向左平移所对应的点的坐标为 (x-m，y); 向上平移所对应的点的坐标为 (x，y+m); 向下平移所对应的点的坐标为 (x，y-m). 2. 图形的平移 （1） 图形平移的性质 如果把一个图形向右（或向左）平移 m（m>0） 个单位长度，那么这个图形各点的横坐标都加（或减）m； 如果把一个图形向上（或向下）平移 m（m>0）个单位长度，那么这个图形各点的纵坐标都加（或减）m. （2） 图形平移画图 一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形和原来的图形形状、大小完全相同. 题型一 平面直角坐标系 解｜题｜技｜巧 先定象限再定坐标，横坐标看左右，纵坐标看上下； 易｜错｜点｜拨 易混淆横纵坐标顺序，注意原点不属于任何象限。 【典例1】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）写出图中点 ，，，，，的坐标． 【变式1】（24-25七年级下·吉林白山·期末）已知在平面直角坐标系中，点P的坐标是，则点P在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（24-25七年级下·广西河池·期末）已知点到轴的距离为3，则的值是（   ） A．4或0 B．或0 C．4或2 D．或 【变式3】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在y轴上，求的值； (2)若点在第四象限且到两坐标轴的距离之和为4，求的值． 题型二 用坐标描述简单几何图形 答｜题｜模｜板 先描关键点再连线，对称点坐标按规律直接写； 易｜错｜点｜拨 容易漏看坐标符号，导致图形位置画反。 【典例1】（24-25七年级下·山东滨州·期末）如图，在四边形中，轴，下列说法正确的是（   ） A．与的横坐标相同 B．与的横坐标相同 C．与的纵坐标相同 D．与的纵坐标相同 【变式1】（24-25七年级下·广西河池·期末）在平面直角坐标系中，点，，过点A作直线轴，点C是直线l上的一个动点，当线段长度最小时，点C的坐标为______． 【变式2】（24-25七年级下·陕西延安·期末）已知点，解答下列各题： (1)若点Q的坐标为，且直线轴，求出点P的坐标； (2)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求出点P的坐标． 【变式3】（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，且a，b满足． (1)填空： ， ； (2)若在第四象限内有一点，用含m的式子表示三角形的面积； (3)在（2）的条件下，线段与y轴相交于点，当时，P是y轴上一动点，当满足，试求点P的坐标． 题型三 用坐标表示地理位置 答｜题｜模｜板 先确定原点和正方向，再按比例尺标坐标写位置； 易｜错｜点｜拨 易搞反东西南北与坐标正负，比例尺换算易出错。 【典例1】（24-25七年级下·北京丰台·期末）五子棋的比赛规则：率先在棋盘上形成横、纵或斜线的连续五颗同色棋子为获胜方．在如图所示的一盘棋中，若①的位置是，②的位置是，现轮到黑棋走，小明认为黑棋放在位置胜利；小亮认为黑棋放在位置胜利．下列说法正确的是（   ） A．小明、小亮均正确 B．小明、小亮均错误 C．小明正确，小亮错误 D．小明错误，小亮正确 【变式1】（24-25七年级下·福建南平·期中）如图所示，海岛相对于船只的位置，下列描述正确的是（   ） A．南偏西， B．南偏东， C．北偏东， D．北偏西， 【变式2】（24-25七年级下·山东临沂·期末）为进一步体会宋代的历史文化，某班利用五一假期去河南开封市清明上河园分组开展研学活动，其中A组在文房博物馆体验“大宋科举”，B组在九龙桥观看“东京保卫战”，约定时间到大宋校场集合观看经典节目“岳飞枪挑小梁王”．为描述集合地点，同学们想出不同的方法． (1)小文同学想到用平面直角坐标系，如图1，网格中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若文房博物馆的坐标为，九龙桥的坐标为．请在图1中画出平面直角坐标系，并写出大宋校场的坐标______； (2)小化同学想到用方位角和距离，如图2，以文房博物馆为基准点，九龙桥在文房博物馆的南偏东，距离处，记为（南偏东），进一步使用工具测量，可将大宋校场的位置记为____． 题型四 用坐标表示平移 答｜题｜模｜板 右加左减横坐标，上加下减纵坐标，整体平移同加减； 易｜错｜点｜拨 平移方向与坐标加减易记反，图形平移易漏点。 【典例1】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）在平面直角坐标系中，点先向下平移4个单位得到点Q，再将点Q向右平移3个单位得到点R．若点R的坐标为，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·新疆·期末）在平面直角坐标系中，将点先向左平移5个单位，再向上平移7个单位，则平移后的点在第___________象限． 【变式2】（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，已知点，满足，将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接． (1)请直接写出点A、B、C和D的坐标； (2)点M从点O出发，以每秒2个单位的速度沿y轴正方向平移运动，设运动时间为t秒，问当t值是多少时，的面积是12平方单位？ 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．已知点在第四象限，且到轴，轴的距离分别为2，6．则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．如图，将一片枫叶固定在正方形网格中，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．若点在平面直角坐标系的x轴上，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．已知点，，若直线轴，则的值为______． 6．在平面直角坐标系中，点在第二象限，则a的取值范围是________． 7．若点在第二象限内，且，，则点的坐标是______． 8．在平面直角坐标系中，把点向下平移5个单位得到点，则代数式的值为_____． 三、解答题 9．已知点，请分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点在轴上． (2)点的纵坐标比横坐标大3． (3)点在过点且与轴平行的直线上． 10．如图，在直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点的坐标分别为，将等腰直角三角形沿轴向左平移个单位，使点平移到点． (1)在图中画出平移后得到的； (2)写出的顶点坐标． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．若a为任意实数，在平面直角坐标系中，点不可能在（      ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．下列结论正确的是（   ） A．点在第四象限 B．点在第二象限，它到轴，轴的距离分别为4，3，则点的坐标为 C．平面直角坐标系中，点位于坐标轴上，那么 D．已知点，，则直线轴 3．如图，在某学校的部分建筑物的平面示意图上，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，如果表示教学楼的坐标为，体育馆的坐标为，那么这时表示实验楼的坐标为（    ）． A． B． C． D． 4．如图，平面直角坐标系中，向上运动个单位至处，然后向左运动个单位到处，再向下运动个单位到处，再向右运动个单位至处，再向上运动个单位至处，，如此继续运动下去，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，已知点，点，连接，将线段平移至线段，点A的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为__________． 6．如图，某小区有3处健身休闲广场，为加强对健身休闲广场的管理，小区物业将其中的2处位置用坐标表示为，则第3处健身休闲广场的位置用坐标表示为___________． 7．已知点的坐标为，轴且，则点的坐标为______． 8．如图，爱好编程的小明编了一个“步步高升”程序，已知点A在平面直角坐标系中按规律跳到．已知，，，，，，…以此类推，则的坐标为______． 三、解答题 9．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)画出三角形，并求它的面积； (2)将这个三角形平移到三角形，其中点，，的对应点分别是，，，已知点的坐标是． ①的坐标是 ，的坐标是 ； ②写出一种将三角形平移到三角形的方法 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，； (1)直接写出坐标：点C（ ），点D（ ）． (2)分别是线段，上的动点，点从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)点P是直线上一个动点，连接，当点P在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，点，点在线段上（不包括端点），轴，点，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．2或4 2．如图，在平面直角坐标系中，点是被枫叶盖住的一点，则m的值可能为（   ） A． B．4 C．0 D． 3．在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，则下列说法中正确的有（    ）个 ①一只风筝飞到距点A处20米处，该条件不能确定位置 ②若，则点A一定在第一、三象限的角平分线上 ③若点A在第一象限，则点一定在第二象限 ④若点A在第四象限，那么点A到x轴的距离是 A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 4．在平面直角坐标系中，已知，平移线段至（A与C对应），使得C，D两点都在坐标轴上，此时，C点坐标为______． 5．如图，点的坐标分别为，．将线段平移后得到线段，点在轴上，连接，若的面积为6，则点的坐标为______． 6．一艘船在处遇险后向相距位于处的救生船报警．用方向和距离描述救生船相对于遇险船的位置为（北偏东，），救生船接到报警后准备前往救援，请用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置_______． 三、解答题 7．在平面直角坐标系中，点，点，且，．将线段平移得到线段，点A，B的对应点分别为点C，D． (1)当，且点C正好落在原点O时，判断线段平移的方向和距离； (2)已知点，，连接，． ①点P在直线上，连接，，请用代数式表示三角形的面积； ②以B，C为顶点向下画一个正方形．已知点，，且线段上的所有点（含端点）都在正方形的边上或内部．当x取什么值时m最大，并求出m的最大值（用含代数式表示）． 8．如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1) ________， ________，点B的坐标为__________； (2)当点P移动时，请指出点P的位置，并求出点P的坐标； (3)在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． (4)在移动过程中，当三角形的面积等于6时，求点P移动的时间． 9．综合与探究： 如图，已知点满足．将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接 (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ； (2)点从点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于9？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，直接写出的值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平面直角坐标系（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 平面直角坐标系 题型02 用坐标描述简单几何图形 题型03 用坐标表述地理位置 题型04 用坐标表示平移 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平面直角坐标系 理解坐标系概念，会写点坐标，掌握各象限及坐标轴符号规律； 必考象限符号、坐标轴上点特征，常结合简单坐标判断考查。 用坐标描述简单几何图形 会根据坐标描点画图，能由图形顶点坐标判断形状； 常考多边形顶点坐标书写，判断平行、垂直、对称关系。 用坐标表示地理位置 建立合适坐标系，用坐标准确表示地点相对位置； 以某点为原点建系，常结合方向、距离综合出题。 用坐标表示平移 掌握点平移坐标变化规律，会用坐标表示图形平移； 平移规律必考，左右变横、上下变纵，多结合图形考查。 知识点01 平面直角坐标系 1.平面直角坐标系的概念 如图，在平面内，两条互相垂直且有公共原点的两条数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴称为x轴或横轴；竖直的数轴称为y轴或纵轴；两坐标轴的交点O为平面直角坐标系的原点 2.各象限内及坐标轴上点的坐标特征 第一象限内的点，横坐标>0，纵坐标>0，即 (+,+)； 第二象限内的点，横坐标<0，纵坐标>0，即 (-,+)； 第三象限内的点，横坐标<0，纵坐标<0，即 (-,-)； 第四象限内的点，横坐标>0，纵坐标<0，即 (+,-)。 x轴上的点，其纵坐标为0，即 (x,0)； y轴上的点，其横坐标为0，即 (0,y)； 原点的坐标是 (0,0) . 知识点02 用坐标描述简单几何图形 1. 描述坐标轴所在的直线 x轴上的点的纵坐标为0，所以x轴记为直线y=0. y轴上的点的横坐标为0，所以y轴记为直线x=0. 2.描述与坐标轴垂直（平行）的直线 与x轴平行直线（横平线）上的点，纵坐标都相等；反之纵坐标相等点的连线一定平行于x轴； 与y轴平行直线（竖直线）上的点，横坐标都相等；反之横坐标相等点的连线一定平行于y轴； 3.描述象限的平分线 一三象限平分线上的点，横纵坐标相等（y=x）; 二四象限平分线上的点，横纵坐标相反（y=-x）; 4.描述点到坐标轴的距离 点P（x，y）到x轴的距离为|y|; 点P（x，y）到y轴的距离为|x|; 5.描述直角三角形、正方形等简单的几何图形 （1）归纳：用坐标表达的简单的几何图形分两类 ①用坐标表达与坐标轴平行、垂直、重合的直线； ②主要线段与坐标轴平行、垂直或重合的几何图形.它们的面积也要用与坐标轴垂直或平行的线段的乘积来表示. （2）简单的几何图形上的点的坐标特征见下表 象限点 轴上点 点P到x轴的距离：PE=|y|；点P到y轴的距离：PF=|x|； 轴上点不属于任何象限； x轴上的点的纵坐标都是0； y轴上的点的横坐标都是0； 横平线上的点 竖直线上的点 横平线上的点纵坐标相等； 如图所示，该直线记作y=b; 竖直线上的点横坐标相等； 如图所示，该直线记作x=a; 一三象限角平分线上的点 二四象限角平分线上的点 横坐标、纵坐标相等 如图所示，该直线记作y=x; 横坐标、纵坐标相反 如图所示，该直线记作y=-x; 知识点03 用坐标表示地理位置 1. 找准合适位置为坐标原点，分别以正东、正北方向分别为x轴y轴的正方向； 2. 以合适的距离为单位长度建立直角坐标系； 3. 用坐标表述各物体的位置. 知识点04 用坐标表示平移 1. 点的平移与坐标变化规律 一般地，如果点 M(x,y) 沿着与x轴或y轴平行的方向平移 m(m>0) 个单位长度，那么 向右平移所对应的点的坐标为 (x+m，y); 向左平移所对应的点的坐标为 (x-m，y); 向上平移所对应的点的坐标为 (x，y+m); 向下平移所对应的点的坐标为 (x，y-m). 2. 图形的平移 （1） 图形平移的性质 如果把一个图形向右（或向左）平移 m（m>0） 个单位长度，那么这个图形各个点的横坐标都加（或减）m； 如果把一个图形向上（或向下）平移 m（m>0）个单位长度，那么这个图形各个点的纵坐标都加（或减）m. （2） 图形平移画图 一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形和原来的图形形状、大小完全相同. 题型一 平面直角坐标系 解｜题｜技｜巧 先定象限再定坐标，横坐标看左右，纵坐标看上下； 易｜错｜点｜拨 易混淆横纵坐标顺序，注意原点不属于任何象限。 【典例1】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）写出图中点 ，，，，，的坐标． 【答案】，，，，，． 【分析】本题主要考查了写出直角坐标系中点的坐标，根据直角坐标系分别写出各点的坐标即可． 【详解】解：根据直角坐标系可知：，，，，，． 【变式1】（24-25七年级下·吉林白山·期末）已知在平面直角坐标系中，点P的坐标是，则点P在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，坐标系中每个象限内点的符号特点如下：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，据此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ 点在第三象限， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·广西河池·期末）已知点到轴的距离为3，则的值是（   ） A．4或0 B．或0 C．4或2 D．或 【答案】B 【分析】本题考查点坐标的几何意义，涉及绝对值方程，理解点坐标的几何意义列出方程求解是解决问题的关键．由点到轴的距离为3，结合点坐标的几何意义列出方程求解即可得到答案． 【详解】解：点到轴的距离为3， ， 则或， 解得或， 故选：B． 【变式3】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在y轴上，求的值； (2)若点在第四象限且到两坐标轴的距离之和为4，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平面直角坐标系，点到坐标轴的距离： （1）y轴上的点的横坐标为0，由此列方程，即可求解； （2）根据点在第四象限，可得，，根据点到两坐标轴的距离之和为4，可得，去绝对值后解方程即可． 【详解】（1）解：点在y轴上， ， 解得； （2）解：点在第四象限， ，， 点到两坐标轴的距离之和为4， ， ， 解得． 题型二 用坐标描述简单几何图形 答｜题｜模｜板 先描关键点再连线，对称点坐标按规律直接写； 易｜错｜点｜拨 容易漏看坐标符号，导致图形位置画反。 【典例1】（24-25七年级下·山东滨州·期末）如图，在四边形中，轴，下列说法正确的是（   ） A．与的横坐标相同 B．与的横坐标相同 C．与的纵坐标相同 D．与的纵坐标相同 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与平面，熟练掌握平行于轴的直线上点的纵坐标相同是解题的关键． 根据平行于轴的直线上点的纵坐标相同得到的纵坐标相同，点的纵坐标相同，据此即可求解． 【详解】解：∵轴， 【变式1】（24-25七年级下·广西河池·期末）在平面直角坐标系中，点，，过点A作直线轴，点C是直线l上的一个动点，当线段长度最小时，点C的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，能根据题意画出示意图及熟知垂线段最短是解题的关键．根据题意画出示意图，结合所画图形即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 过点B作直线l的垂线，垂足为M， 根据垂线段最短可知， 当点C在点M处时，线段长度最小， 此时点C的坐标为． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·陕西延安·期末）已知点，解答下列各题： (1)若点Q的坐标为，且直线轴，求出点P的坐标； (2)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解题的关键． （1）根据平行于轴的直线的纵坐标相等，可得关于的方程，解得的值，再求得其纵坐标即可得出答案． （2）根据第二象限的点的横纵坐标的符号特点及它到轴、轴的距离相等，可得关于的方程，解得的值，再代入要求的式子计算即可． 【详解】（1）解：点的坐标为，直线轴， ， ， ， ∴点的坐标为； （2）解：∵点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， ， ， ， 则点的坐标为． 【变式3】（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，且a，b满足． (1)填空： ， ； (2)若在第四象限内有一点，用含m的式子表示三角形的面积； (3)在（2）的条件下，线段与y轴相交于点，当时，P是y轴上一动点，当满足，试求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了非负数的性质、平面直角坐标系中三角形面积的计算，解题的关键是利用非负数性质求出a、b的值，再结合坐标与图形性质计算三角形面积． （1）根据非负数的性质，两个非负数的和为0，则这两个非负数分别为0，求出a、b的值； （2）先求出的长度，再根据点的坐标确定三角形的高，最后利用三角形面积公式计算； （3）设出点坐标，求出，由（2）知，再结合已知面积关系求出，利用三角形面积公式列方程求解． 【详解】（1）解：由题意可得： 解，得， 解，得， 故答案为：； （2）解：∵点在第四象限， ， ∵点A，B的坐标分别为 ； （3）解：设点的坐标为， 点， ∵ ∴ 由（2）知， ， ， ， ， ， 解得：或，故点的坐标为或． 则点的坐标为． 题型三 用坐标表示地理位置 答｜题｜模｜板 先确定原点和正方向，再按比例尺标坐标写位置； 易｜错｜点｜拨 易搞反东西南北与坐标正负，比例尺换算易出错。 【典例1】（24-25七年级下·北京丰台·期末）五子棋的比赛规则：率先在棋盘上形成横、纵或斜线的连续五颗同色棋子为获胜方．在如图所示的一盘棋中，若①的位置是，②的位置是，现轮到黑棋走，小明认为黑棋放在位置胜利；小亮认为黑棋放在位置胜利．下列说法正确的是（   ） A．小明、小亮均正确 B．小明、小亮均错误 C．小明正确，小亮错误 D．小明错误，小亮正确 【答案】A 【分析】本题主要考查了用坐标系确定位置，根据题意建立适当平面直角坐标系进行求解是解决本题的关键．根据题意白棋①的位置是，黑棋②建立坐标系可确定原点的位置，依据题目所给规则进行判定即可得出答案． 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系，由图可知，黑棋放在或位置就胜利了． ∴小明、小亮均正确， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·福建南平·期中）如图所示，海岛相对于船只的位置，下列描述正确的是（   ） A．南偏西， B．南偏东， C．北偏东， D．北偏西， 【答案】C 【分析】本题主要考查了方向角，掌握方向角的描述方法成为解答本题的关键．根据以正北、正南方向和船只为基准，然后来描述海岛相对于船只的位置即可． 【详解】解：海岛在船只的北偏东方向，距离的位置． 故选C． 【变式2】（24-25七年级下·山东临沂·期末）为进一步体会宋代的历史文化，某班利用五一假期去河南开封市清明上河园分组开展研学活动，其中A组在文房博物馆体验“大宋科举”，B组在九龙桥观看“东京保卫战”，约定时间到大宋校场集合观看经典节目“岳飞枪挑小梁王”．为描述集合地点，同学们想出不同的方法． (1)小文同学想到用平面直角坐标系，如图1，网格中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若文房博物馆的坐标为，九龙桥的坐标为．请在图1中画出平面直角坐标系，并写出大宋校场的坐标______； (2)小化同学想到用方位角和距离，如图2，以文房博物馆为基准点，九龙桥在文房博物馆的南偏东，距离处，记为（南偏东），进一步使用工具测量，可将大宋校场的位置记为____． 【答案】(1)见解析，大宋校场的坐标为 (2)（北偏东） 【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标的确定以及用方位角和距离描述位置的方法，解题的关键是理解平面直角坐标系的基本概念和方位角、距离的测量与表示方法． （1）利用已知两点坐标确定坐标系原点，结合网格确定大宋校场坐标为； （2）以文房博物馆为基准，经确定大宋校场方位角为北偏东 ，距离为． 【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系，大宋校场的坐标为． （2）∵以文房博物馆为基准点，九龙桥在文房博物馆的南偏东，距离处，且文房博物馆与九龙桥、大宋校场均处于矩形方格的对角顶点处，但矩形方向正好垂直， ∴以文房博物馆为基准点，大宋校场的位置记为（北偏东）． 题型四 用坐标表示平移 答｜题｜模｜板 右加左减横坐标，上加下减纵坐标，整体平移同加减； 易｜错｜点｜拨 平移方向与坐标加减易记反，图形平移易漏点。 【典例1】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）在平面直角坐标系中，点先向下平移4个单位得到点Q，再将点Q向右平移3个单位得到点R．若点R的坐标为，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查已知平移后的坐标求原坐标． 根据点平移的规律，用，表示点的坐标，可得关于，的方程，从而可得，的值，即可得点的坐标． 【详解】解：由平移过程可得， ∵点R的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为． 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·新疆·期末）在平面直角坐标系中，将点先向左平移5个单位，再向上平移7个单位，则平移后的点在第___________象限． 【答案】二 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，据此即可求解． 【详解】解：将点先向左平移5个单位，再向上平移7个单位，则平移后的点的坐标为， 所以平移后的点在第二象限． 故答案为：二 【变式2】（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，已知点，满足，将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接． (1)请直接写出点A、B、C和D的坐标； (2)点M从点O出发，以每秒2个单位的速度沿y轴正方向平移运动，设运动时间为t秒，问当t值是多少时，的面积是12平方单位？ 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，一元一次方程的应用，点的坐标，平移的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据，得出，故，，再结合线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，则，，即可作答． （2）先表达，再结合，，得出轴，即，根据的面积是12平方单位，列式，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴，， ∵线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段， ∴，， （2）即：，； 解：由题意得：，， 由（1）得，， ∴轴， 即， 则三角形的面积， ∵的面积是12平方单位， ∴， 解得， 即当秒时，的面积是12平方单位 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．已知点在第四象限，且到轴，轴的距离分别为2，6．则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，第四象限内点的坐标特征． 根据第四象限内点的坐标特征，结合点到坐标轴的距离与坐标的关系求解即可． 【详解】解：∵点P在第四象限， ∴点P的横坐标大于0，纵坐标小于0， ∵点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为6， ∴点P的横坐标为6，纵坐标为， ∴点P的坐标为． 故选：A． 2．点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 根据非负数的性质判断出点P的纵坐标是负数，再根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴点所在的象限是第三象限． 故选：C． 3．如图，将一片枫叶固定在正方形网格中，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标确定位置．根据点的坐标为，点的坐标为确定坐标原点，建立平面直角坐标系，由坐标系可以直接得到答案． 【详解】解：如图， 点的坐标为． 故选：D． 4．若点在平面直角坐标系的x轴上，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点在x轴上的特点，根据x轴上点的纵坐标为0，求出m的值，再代入横坐标表达式即可． 【详解】解：∵点P在x轴上， ∴纵坐标， 解得， ∴横坐标， ∴点P的坐标为， 故选C． 二、填空题 5．已知点，，若直线轴，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，熟记“平行于轴的直线上的点的纵坐标相等”是解题的关键．由于直线轴，因此点和点的纵坐标相等，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：直线轴， ， 解得：． 故答案为：． 6．在平面直角坐标系中，点在第二象限，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标问题，解题的关键是明确第二象限的符号，根据点在第二象限内，那么横坐标小于0，纵坐标大于0求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 故答案为：． 7．若点在第二象限内，且，，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了第二象限内点的坐标特征． 根据第二象限的点的坐标特征，x为负，y为正，结合绝对值和平方运算求解． 【详解】解：由，得或； 由，得或； 点在第二象限， 因此，， 所以，． 故点P的坐标为． 故答案为：． 8．在平面直角坐标系中，把点向下平移5个单位得到点，则代数式的值为_____． 【答案】11 【分析】本题考查坐标与图形变换-平移、代数式求值，根据点的坐标平移规则“左减右加，上加下减”得到，然后代值求解即可． 【详解】解：∵点向下平移5个单位得到点， ∴，则， ∴， 故答案为：11． 三、解答题 9．已知点，请分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点在轴上． (2)点的纵坐标比横坐标大3． (3)点在过点且与轴平行的直线上． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标轴上或与坐标轴平行的点的坐标特征； （1）根据点在x轴上，纵坐标为0即可求解； （2）根据题意列出关于m的方程即可求解； （3）与轴平行的直线上的点横坐标相同，由此得，解出m即可求解． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得， ，， 所以，点的坐标为； （2）解：点的纵坐标比横坐标大3， ， 解得， ，， 点的坐标为； （3）解：点在过点且与轴平行的直线上， ， 解得， ， 点的坐标为． 10．如图，在直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点的坐标分别为，将等腰直角三角形沿轴向左平移个单位，使点平移到点． (1)在图中画出平移后得到的； (2)写出的顶点坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2)，， 【分析】（）根据平移的性质画图即可； （）根据所画的图形写出各点坐标即可； 本题考查了平移作图，坐标与图形，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：将等腰沿x轴向左平移3个单位得到，如图所示，即为所求； （2）解：由图可得，，，． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．若a为任意实数，在平面直角坐标系中，点不可能在（      ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考直角坐标系中点的特征，熟练掌握直角坐标系中点的特征是解题的关键，由于a为任意实数，故将a分情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求得的取值范围，再将根据直角坐标系中点的特征判断即可得到答案． 【详解】解：∵为平面直角坐标系中的点， ∴当时，故，则点在第一象限， 当时，，，则点在第二象限， 当时，，，则点在第三象限， ∴点不可能在第四象限， 故选：D． 2．下列结论正确的是（   ） A．点在第四象限 B．点在第二象限，它到轴，轴的距离分别为4，3，则点的坐标为 C．平面直角坐标系中，点位于坐标轴上，那么 D．已知点，，则直线轴 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，熟知平面直角坐标系中点的坐标代表的意义是解题的关键．根据平面直角坐标系中点的坐标特征分别判断即可． 【详解】解：A、点在第二象限，故此选项错误，不符合题意； B、点在第二象限，它到轴，轴的距离分别为4，3， 则点的坐标为，故此选项错误，不符合题意； C、平面直角坐标系中，点位于坐标轴上，那么，故此选项正确，符合题意； D、已知点，，则直线轴，故此选项错误，不符合题意； 故选：C． 3．如图，在某学校的部分建筑物的平面示意图上，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，如果表示教学楼的坐标为，体育馆的坐标为，那么这时表示实验楼的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了写出平面直角坐标系中的坐标，正确建立直角坐标系成为解题的关键． 根据表示教学楼的坐标为，体育馆的坐标为建立平面直角坐标系，结合平面直角坐标系即可解答． 【详解】解：∵表示教学楼的坐标为，体育馆的坐标为， ∴建立平面直角坐标系如图所示： ， 那么这时表示实验楼的坐标为． 故选：D． 4．如图，平面直角坐标系中，向上运动个单位至处，然后向左运动个单位到处，再向下运动个单位到处，再向右运动个单位至处，再向上运动个单位至处，，如此继续运动下去，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据第一象限中点的特征，探究规律，利用规律解决问题． 本题考查坐标与图形变化平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 【详解】解： ∵，则在第四象限， 由题意，第四象限的点为，，， ∴． 故选：A． 二、填空题 5．如图，已知点，点，连接，将线段平移至线段，点A的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了点平移的坐标变化规律，掌握点的坐标变化规律“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”成为解题的关键． 先根据点A的对应点的坐标为确定平移方式，然后再确定点的对应点的坐标即可． 【详解】解：∵点的对应点的坐标为， ∴将线段向左平移4个单位，向下平移1个单位得到线段， ∴点的对应点的坐标为，即． 故答案为：． 6．如图，某小区有3处健身休闲广场，为加强对健身休闲广场的管理，小区物业将其中的2处位置用坐标表示为，则第3处健身休闲广场的位置用坐标表示为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了用坐标表示位置，正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 根据已知点的坐标建立直角坐标系，即可得出结果． 【详解】解：如图，由已知点的坐标建立直角坐标系， 根据图示． 故答案为：． 7．已知点的坐标为，轴且，则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于y轴的直线上的点的横坐标相等的性质，难点在于要分情况讨论．根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相等求出点的横坐标，再分点在点的下边与上边两种情况求出点的纵坐标，即可得解． 【详解】解：∵轴，点的坐标为，， ∴点在点的下边时，纵坐标为， 点在点的上边时，纵坐标为， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 8．如图，爱好编程的小明编了一个“步步高升”程序，已知点A在平面直角坐标系中按规律跳到．已知，，，，，，…以此类推，则的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标系中点的坐标规律，解题的关键是找到点的坐标变化规律， 根据已知点的坐标规律分别表示出偶数点和奇数点的坐标的规律，然后求得点的坐标即可． 【详解】解：观察偶数项的坐标规律，，可得，奇数项的横坐标为n，纵坐标为前一个偶数的纵坐标加2， 为偶数， 的坐标为， 故答案为：． 三、解答题 9．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)画出三角形，并求它的面积； (2)将这个三角形平移到三角形，其中点，，的对应点分别是，，，已知点的坐标是． ①的坐标是 ，的坐标是 ； ②写出一种将三角形平移到三角形的方法 ． 【答案】(1)作图见解析， (2)①，；②将三角形先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到三角形（答案不唯一） 【分析】本题考查坐标与图形，坐标与平移．解题的关键是熟练掌握平移规律． （1）根据点、、的坐标进行描点，然后连线即可得出三角形，利用割补法求出三角形的面积即可； （2）①根据点的坐标和平移后点的坐标是得出平移方式，然后求出点和点的坐标即可； ②根据点平移得出点，得出将三角形平移到三角形的方法即可． 【详解】（1）解：如图，三角形为所求作的三角形． ． （2）①∵点平移后点的坐标是， ∴点向右平移5个单位，向上平移3个单位到． ∴点、分别向右平移5个单位，向上平移3个单位到、． ∴点的坐标是，点的坐标是． ②∵点向右平移5个单位，向上平移3个单位到， ∴将三角形先向右平移5个单位，再向上平移3个单位到三角形． 10．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，； (1)直接写出坐标：点C（ ），点D（ ）． (2)分别是线段，上的动点，点从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)点P是直线上一个动点，连接，当点P在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 【答案】(1)； (2)秒 (3)当点在线段上时，； 当点在的延长线上时，； 当点在的延长线上时， 【分析】（1）根据点的平移规律求解即可． （2）根据轴得出、两点纵坐标相等这一关系，再结合两点的运动速度和初始坐标列出方程求解． （3）需要分三种情况讨论点在直线上的位置，然后根据三角形外角的性质得出与、的数量关系． 【详解】（1）解：已知点向下平移个单位长度， 再向左平移个单位长度得到点， 则点的横坐标为，纵坐标为，即， 点向下平移个单位长度， 再向左平移个单位长度得到点， 则点的横坐标为，纵坐标为，即． 故答案为：． （2）解：设运动时间为秒，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度， 因为是向下运动，所以点的纵坐标为， 点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度， 因为是向上运动， 所以点的纵坐标为， 当轴时，、两点纵坐标相等，即， 移项可得，合并同类项得，两边同时除以， 解得． （3）解：当点在线段上时，过点作，如图， 因为， 所以，可得，， 所以． 当点在的延长线上时，过点作， 因为， 所以， 可得，， 此时． 当点在的延长线上时，过点作， 因为， 所以， 可得，， 此时． 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，点，点在线段上（不包括端点），轴，点，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．2或4 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形． 对点A和点B的位置进行分类讨论，再结合得出关于m的方程，据此进行计算即可． 【详解】解：由题意可知， 当，即时，点A在点B的左侧， 则． 又因为轴，且，， 所以， 解得或3． 当时，点C与点A重合，故舍去； 当，即时，点A在点B的右侧， 此时点C不在线段上， 故此情况不存在， 综上所述，m的值为3． 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，点是被枫叶盖住的一点，则m的值可能为（   ） A． B．4 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标，解题关键是熟练掌握平面直角坐标系中各个象限点的坐标特征．观察平面直角坐标系，根据点P的位置确定m的取值范围，然后对各个选项进行判断即可． 【详解】解：观察平面直角坐标系可知：点P在第三象限， ， ， ，C，D选项不符合题意，B选项符合题意， 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，则下列说法中正确的有（    ）个 ①一只风筝飞到距点A处20米处，该条件不能确定位置 ②若，则点A一定在第一、三象限的角平分线上 ③若点A在第一象限，则点一定在第二象限 ④若点A在第四象限，那么点A到x轴的距离是 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，涉及点的位置确定、象限角平分线条件、象限判断及点到坐标轴的距离等概念，需逐一分析各说法的正确性． 【详解】解：① 距点A处20米的所有点构成一个以A为圆心，20米为半径的圆，仅距离不能确定具体位置，故 ①正确； ② 若，则，点A的坐标为，满足，在第二、四象限角平分线上，不一定在第一、三象限角平分线上，故②错误； ③ 点A在第一象限，则且，即且，点中，，所以点B在第二象限，故③正确； ④ 点A在第四象限，则且，点A到x轴的距离为，而，但与不一定相等，故④错误． 综上，正确说法有①和③，一共2个． 故选：C． 二、填空题 4．在平面直角坐标系中，已知，平移线段至（A与C对应），使得C，D两点都在坐标轴上，此时，C点坐标为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的平移，熟练掌握平移性质（对应点坐标变化量相等） 与坐标轴上点的坐标特征是解题关键，分两种情形：在轴且在轴，或在轴且在轴 ．利用平移性质（对应点坐标变化量相同），结合坐标轴上点的坐标特征（轴上点纵坐标为，轴上点横坐标为 ）列方程求解． 【详解】解： 情形一：在轴，在轴 设， ∵ ，，平移时横、纵坐标变化量相同 ∴ 横坐标变化：；纵坐标变化： 解得，，即 情形二：在轴，在轴 设， ∵ ，，平移时横、纵坐标变化量相同 ∴ 横坐标变化：；纵坐标变化： 解得，，即 故答案为：或 ． 5．如图，点的坐标分别为，．将线段平移后得到线段，点在轴上，连接，若的面积为6，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了图形与坐标的变化-平移． 先根据，的面积为6，求出的长，再根据平移规律即可求出点C的坐标． 【详解】解：∵点A的坐标为，的面积为6， ∴， ∴， ∵线段平移后得到线段，， ∴点C的坐标为． 故答案为：． 6．一艘船在处遇险后向相距位于处的救生船报警．用方向和距离描述救生船相对于遇险船的位置为（北偏东，），救生船接到报警后准备前往救援，请用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置_______． 【答案】南偏西， 【分析】本题考查了方向角，根据方向角的定义即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，遇险船相对于救生船的位置为南偏西，， 故答案为：南偏西，． 三、解答题 7．在平面直角坐标系中，点，点，且，．将线段平移得到线段，点A，B的对应点分别为点C，D． (1)当，且点C正好落在原点O时，判断线段平移的方向和距离； (2)已知点，，连接，． ①点P在直线上，连接，，请用代数式表示三角形的面积； ②以B，C为顶点向下画一个正方形．已知点，，且线段上的所有点（含端点）都在正方形的边上或内部．当x取什么值时m最大，并求出m的最大值（用含代数式表示）． 【答案】(1)线段向右平移2个单位长度 (2)①；②当时m最大，m的最大值为 【分析】本题考查直角坐标系中点的平移； （1）根据题意可得平移后对应点为，即可得到线段平移的方向和距离； （2）①根据平移可得平移到与平移到的左右距离和上下距离相等，据此列方程，即可解得，得到，，，，则轴，轴，，，根据平行线间距离相等可得，代入计算即可； ②由向右平移2个单位长度，再向上平移两个单位长度得到，结合图形可得当在上时m最大，得到，再根据求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵将线段平移得到线段，点A，B的对应点分别为点C，D，且点C正好落在原点O，即平移后对应点为， ∴线段向右平移2个单位长度； （2）解：①∵将线段平移得到线段，点，点的对应点分别为点，， ∴平移到与平移到的左右距离和上下距离相等； ∴， 解得， ∴，，，， ∴轴，轴，，， ∵，， ∴各点位置，大致如图： ∴， ∴； ②∵，， ∴向右平移2个单位长度，再向上平移两个单位长度得到， ∵线段上的所有点（含端点）都在正方形的边上或内部． ∴， 由图可以发现，当在上时m最大（纵坐标大）， ∴， 解得， ∴当时，最大，m的最大值为． 8．如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1) ________， ________，点B的坐标为__________； (2)当点P移动时，请指出点P的位置，并求出点P的坐标； (3)在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． (4)在移动过程中，当三角形的面积等于6时，求点P移动的时间． 【答案】(1)，点B的坐标为 (2) (3)点P移动的时间为或 (4)点P移动的时间为或 【分析】（1）先利用算术平方根的非负性与绝对值的非负性求出，再得到，即可求解． （2）求出点P移动的路程，再除以时间即可求解． （3）确定出当点P到x轴的距离为5个单位长度时的坐标，再利用路程除以速度即可求解． （4）求出边上的高为2时即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∴点B的坐标为； （2）点P移动时，运动路程为个单位， ∵，， ∴点P在上，距离点C两个单位长度，且； （3）在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，则或， 当运动到时，时间为， 当运动到时，时间为， ∴点P移动的时间为或； （4）∵点B的坐标为， ∴， ∴当三角形的面积等于6时，边上的高为2， ∴或， ∴当时，P点运动路程为8，则点P移动的时间为， 当时，P点运动路程为18，则点P移动的时间为， ∴点P移动的时间为或． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系内的动点问题，涉及到了算术平方根和绝对值的非负性、点到坐标轴的距离、三角形的面积公式和行程问题中的数量关系，解题关键是利用数形结合，正确得到动点运动的路程或位置并求解． 9．综合与探究： 如图，已知点满足．将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接 (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ； (2)点从点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于9？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)存在，3 (3)3 【分析】（1）利用绝对值与平方的非负性求出a，b的值，即可求解； （2）由平移的性质可得点，点，，由面积关系可求解； （3）分点N在线段上，点N在的延长线上两种情况讨论，由面积和差关系可求解． 【详解】（1）解：∵，， ，解得， ∴点A和点的坐标分别为；， 故答案为：；； （2）解：存在． 过D作的延长线，垂足为H，如图所示： ∵点A和点的坐标分别为；， ∴， ∵将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段， ∴点C和点D的坐标分别为和， ∴， 设M点坐标为，连接， ∴， ∵， ∴，即，解得， ∴存在这样的，使得四边形的面积等于9； （3）解：不变． 理由如下： 当点N在线段上时，如图所示，设运动时间为秒，， 过D作的延长线，垂足为H ，连接， ∵， ， ∴ = = ， 当点N运动到线段的延长线上时，如图所示，设运动时间为秒，，连接， ， 综上可知，的值为． 【点睛】本题是考查了平移的性质，非负数性质，解二元一次方程组，坐标与图形的性质，三角形的面积公式等知识，利用分类讨论思想解决是本题的关键． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $