专题09 平面直角坐标系重难突破题型（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材人教版

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题09平面直角坐标系（期末复习讲义） 内容导航 明。期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记。必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破。重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01理解点的坐标 题型02关于点的坐标的新定义题型 题型03求图形的面积 题型04坐标系中的动点问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 破·重难题型 它题型 理解点的坐标 解|题|技|巧 结合象限符号规律、坐标轴特征，快速判断横纵坐标正负 易|错|点|拨 混淆距离与坐标的概念，忽略坐标轴上点的特征。 【典例1】(24-25七年级下陕西西安期末)在平面直角坐标系中，已知点P(a+3,1-2a (1)当点P在y轴上时，求点P的坐标； (2)若点P在第四象限，且点P到x轴的距离为3，求点P的坐标. 【变式1】(24-25七年级下河南商丘·期末)己知点A的坐标为2x+1,-x+5). (1)若点A在x轴上，求点A的坐标. (2)若点A在过点B(-3,1且与y轴平行的直线上，求点A的坐标. 3)若将点A沿与y轴平行的直线平移2个单位长度后，点A恰好落在x轴上，求x的值. 【变式2】(24-25七年级下.安徽阜阳·期末)在平面直角坐标系中，己知点P的坐标为-3a-4,2+a). (1)若点Q的坐标为5,8)，且PQ∥y轴，则点P的坐标为； 1/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，则a225+2025的值为 巴题型二 新定义题型 解|题|技|巧 紧扣题目全新规则，逐一代入运算，不套用固有经验。 易错|点|拨 审题不仔细，误解新定义，遗漏题目限制条件。 【典例1】(24-25七年级下河南商丘期末)我们规定：在平面直角坐标系x0y中，任意不重合的两点 M(x,N(x'y)之间的折线距离为d(M,N)=x-x+y,-y,例如：点M(-2,3)与点N(1,-1之间 的折线距离为d(M,N)=-2-1+3-(-1=3+4=7.己知点P(3,-4),若点0的坐标为t,2),且 d(P,Q)=10,则t的值为() A.-1 B.7 C.7或-13 D.-1或7 【变式1】(24-25七年级下广东广州期末)在平面直角坐标系x0y中，对于点P(x,y),若点Q的坐标为 (ax+y,x+ay),其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”.如：点P(2,1的“3级关联点” 0(3×2+1,2+3×1,即0(7,5. (1)点A3,4)的“2级关联点”的坐标是 (2)已知点B(2b-1,b+2)的“-2级关联点”C到x轴、y轴的距离相等，则点C的坐标是 【变式2】(24-25七年级下·全国期末)在平面直角坐标系中，若点P到两坐标轴的距离之差的绝对值等于 点？到两坐标轴距离之差的绝对值，则称P,Q两点互为“等差点”，例如P(一2,5)和Q(1,4)到两坐标轴距 离之差的绝对值都等于3，它们互为“"等差点”.若点M(-1,3)和点N(2,2-a)互为“等差点”，则a的值为( ) A.-2或6 B.±2 C.6或2 D.±2或6 题型三 求图形的面积 解|题|技|巧 2/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 多用割补法、矩形框定法，结合坐标求边长再计算。 易|错|点|拨 :边长看错正负、漏算或重复计算分割部分，图形分割不合理。 【典例1】（24-25七年级下.广东广州·期中)如图，在平面直角坐标系中，Aa,-1、B(1,b),其中a,b满 足√a-5+b+3=0. 图1 图2 (1)求、B的点坐标： (2)如图1，点E(1,21+2)为第二象限内一点，若△ABE的面积为9，求t的值； (3)如图2，过点A,B分别向x轴作垂线，垂足分别为D、C,在坐标平面内是否存在点P(m,n),使得 △PAD与△PBC的面积相等，且△PCD与△PAB的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明 理由 【变式1】(24-25七年级下江苏南通·期末)在平面直角坐标系x0y中，A0,2,B(1,0,C(5,4). 6 5 3 A 6-5-4-3-2-10 B2 ---6 (1)求ABC的面积； 3/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)已知P为x轴上一点，若S△ABP=S△4BC,求点P的坐标. 【变式2】(24-25七年级下湖北武汉·期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(a,2),B(0,b),且 √a+5+|b-4=0. B D (1)求点A、B的坐标： 2如图，Cm,0)是x轴正半轴上一点，AC与y轴交于点D,当D-时，求ABC的面积： CD 2 (3)在(2)的条件下，P为y轴上一动点，设P的纵坐标为t,当t取何范围时，S△4Cp≤2S△ABc· 它题型四 坐标系中的动点问题 解引题|技|巧 严格照搬题目定义规则，分步代入计算，不套用旧公式。 易错|点拨 看不懂新运算规则，凭经验做题，忽略限定条件。 【典例1】(24-25七年级下湖北宜昌·期末)如图1，在平面直角坐标系中，已知A8,4),C(α，0)，过点 A作AB⊥x轴，垂足为点B,点B,C分别在原点两侧，且B,C两点间的距离等于10个单位长度 B (图1) (备用图) (备用图) (1)填空：a=_一，点B的坐标为一 2在x轴上是否存在一点M,使三角形40M的面积是三角形A8C的面积的号，若存在，求出符合条件的 点M的坐标；若不存在，请说明理由. (3过点A作AD⊥y轴，垂足为点D,P,Q为两动点，其中点P从A点出发以每秒3个单位长度的速度沿 AB→B0运动，到达0O点停止运动；同时点Q从B点出发以每秒1个单位长度的速度沿着BO向O点运动， 4/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 到达O点停止运动.设运动时间为t,当P点在BO（含B,O两个端点)上时，若存在t值，使A,P,Q 三点构成的三角形面积为3，请直接写出所有符合条件的t值， 【变式1】(24-25七年级下·吉林四平.期末)如图，A,B,C三点的坐标分别为A-4,0),B(2,0), C0,6). yA C(0,6)M A/ B (-4,0)0(2,0)衣 (1)求三角形ABC的面积S.4Bc; (2)过点C作直线1平行于x轴，点M为直线I上任意一点，试猜想三角形CAB的面积S△C4B与三角形MAB的 面积Ss的关系，并证明你的猜想； B)试在坐标轴上找一点P,使S△c=2S S△BC,请直接写出满足条件的点P的坐标. 【变式2】(24-25七年级下湖北成宁期中)在平面直角坐标系中A(-a,b)、B(a,a),a、b满足 V2a-4)+|3a+b-12=0. A· A D B B 图1 图2 图3 (1)如图1，求点A、B的坐标： (2)如图2，y轴上有一点E,△ABE的面积是6，求点E的坐标； (3)如图3，将线段AB沿x轴的正方向平移4个单位长度，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、 C,在坐标平面内是否存在点P(x,y(0<x<6),使得△PAD与△PBC的面积相等，且△PCD与aPAB的面 积相等？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由. 5/8 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 期末重难突破练（测试时间：45分钟） 1.(24-25七年级下.四川广元期末)若a为任意实数，在平面直角坐标系中，点P(a,a+3)不可能在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.(24-25七年级下河南商丘期末)已知点A(-3,2m-4)在x轴上，点B(n+5,4)在y轴上，则点C(n,m 位于第 象限， 3.(24-25七年级下江西赣州期末)在平面直角坐标系中，点M(2,1,点N(0,2),若在坐标轴上有一点 P(不与点N重合)，使三角形OPM和三角形OMN面积相等，则点P的坐标为 y个 4 1 M -4-3-2-101234 -2 -3H 4.(24-25七年级下.湖北武汉期末)如图，在平面直角坐标系中，点B(0,-1,C(4,-4),E(0,4), BC=5,点A在x轴正半轴上，线段AB与线段CE交于点D.若△EBD与△ACD面积相等，则A到直线BC 的距离是 D 5.(24-25七年级下陕西榆林期末)已知点P(2m+4,m-1),分别根据下列条件求出点P的坐标. (1)点P的纵坐标为-2； (2)点P的纵坐标比横坐标大3. 6.(24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔期末)如图，在平面直角坐标系中，点Aa,0)、B(0,b)、C(-2,0), 6/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 满足Va-2b+b+3=0. C B (1)求A、B的坐标 (2)在x轴上是否存在点M(不与C点重合)，使S△MaB=S△4Bc,若存在，求出点M的坐标.若不存在，说 明理由. 7.(24-25七年级下江西赣州期末)在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴的距离的较大 值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”. (1)点A-3,5)的“长距”为一 (2)若点B(4-2a,-2是"完美点”，求a的值； (3)若点C(-2,3b-2)的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为9-2b,-5),试说明：点D是“完美点”. 8.(24-25七年级下江西赣州期末)在平面直角坐标系中，对于点Ax,y),若点B的坐标为 (mx+y,x+my),其中m为常数，则称点B是点A的“m级关联点”.例如，点A(-1,3的“4级关联点”点B的 坐标为-1×4+3，-1+4×3)，即B-1,11. (1)点P1,2)的“3级关联点”是： (2)若点C2,a的“2级关联点”点D在x轴上，求点D的坐标： (3)在(2)的条件下，若存在点E,使得EC∥y轴，且EC=5,求点E的坐标.（提示：先由(2）求出点 C的坐标) 9.(24-25七年级下·天津河西·期末)如图，在平面直角坐标系中，原点为0，长方形ABCD,点A(0,3), B(2,3),C(2,-3),D(0,-3).线段BC交x轴于点M,点P,Q是长方形ABCD边上的两个动点.点P从点O 出发以每秒1个单位长度沿0→A→B→M的路线做匀速运动，同时点Q也从点0出发以每秒2个单位长 度沿0→D→C→M的路线做匀速运动.当点Q运动到点M时，两动点均停止运动.设运动的时间为t秒， 三角形OPM的面积记为S,,三角形0QM的面积记为S2,四边形0PMQ的面积记为S. 7/8 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M D C (1)当t=2时，求S的值； (2)当t为何值时，S,=S,? (3)若S<5,求t的取值范围.（直接写出答案即可） 10.(24-25七年级下辽宁盘锦期末)如图所示，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为 A(a,0),B(b,0),且a,b满足√a+3+(b-1)=0. (1)填空：a=-,b=- (2)若在第四象限内有一点M(2,m),用含m的式子表示三角形ABM的面积； 监(2)的条件下，线段4w与y相交T点c0-引当m马时，P是箱上一动点，当满元 S.pwS.w,试求点P的坐标. _3 8/8 专题09 平面直角坐标系（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 理解点的坐标 题型02 关于点的坐标的新定义题型 题型03 求图形的面积 题型04 坐标系中的动点问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 题型一 理解点的坐标 解｜题｜技｜巧 结合象限符号规律、坐标轴特征，快速判断横纵坐标正负 易｜错｜点｜拨 混淆距离与坐标的概念，忽略坐标轴上点的特征。 【典例1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)当点P在y轴上时，求点P的坐标； (2)若点P在第四象限，且点P到x轴的距离为3，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了点的坐标以及点到坐标轴的距离． （1）点P在y轴上，则点P的横坐标为0，由此可求得a的值，进而得点P的坐标； （2）根据题意得到关于a的方程，求解a即可． 【详解】（1）解：由点在y轴上，可知， 解得：， ∴， ∴点P的坐标为； （2）∵点P在第四象限，且点P到x轴的距离为3， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为． 【变式1】（24-25七年级下·河南商丘·期末）已知点A的坐标为． (1)若点A在x轴上，求点A的坐标． (2)若点A在过点且与y轴平行的直线上，求点A的坐标． (3)若将点A沿与y轴平行的直线平移2个单位长度后，点A恰好落在x轴上，求x的值． 【答案】(1)点A的坐标为 (2)点A的坐标为 (3)或 【分析】本题考查了平移的性质，平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握平面内点的坐标特征，平移的性质是解题的关键． （1）根据x轴上点的特征进行解答，即可得出答案； （2）根据点A在过点且与y轴平行的直线上，得到A，B两点的横坐标相同，求出x的值，则可得出答案； （3）由题意得出，解方程可得出答案． 【详解】（1）∵点A在x轴上， ∴ ∴， ∴， ∴点A的坐标为． （2）∵点A在过点且与y轴平行的直线上， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标为 （3）∵将点A沿与y轴平行的直线平移2个单位长度后，点A恰好落在x轴上， ∴， ∴或． 【变式2】（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为． （1）若点Q的坐标为，且轴，则点P的坐标为______； （2）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，则的值为______． 【答案】 2024 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知平行于y轴的直线上及到坐标轴距离相等的点的坐标特征是解题的关键． （1）根据平行于y轴的直线上点的坐标特征进行计算即可． （2）根据到坐标轴距离相等的点的坐标特征求出a的值，再进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知， 因为点P的坐标为，点Q的坐标为，且轴， 所以， 解得， 则， 所以点P的坐标为 故答案为： （2）因为点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等， 所以， 解得， 所以 故答案为： 题型二 新定义题型 解｜题｜技｜巧 紧扣题目全新规则，逐一代入运算，不套用固有经验。 易｜错｜点｜拨 审题不仔细，误解新定义，遗漏题目限制条件。 【典例1】（24-25七年级下·河南商丘·期末）我们规定：在平面直角坐标系中，任意不重合的两点之间的折线距离为，例如：点与点之间的折线距离为．已知点，若点的坐标为，且，则的值为（    ） A． B．7 C．7或 D．或7 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形、绝对值方程等知识点，正确理解折线距离以及绝对值方程的解法是解题的关键．根据折线距离的定义可得关于t的绝对值方程，解方程即可解答． 【详解】由题意，点与点的折线距离为： ， 根据条件，得方程： ， 移项化简得： ， 解得： 或， 即或． 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，对于点若点Q的坐标为其中a为常数,则称点Q是点P的“a级关联点”．如：点的“3级关联点”即 （1）点的“2级关联点”的坐标是___________； （2）已知点的“级关联点”C到x轴、y轴的距离相等，则点C的坐标是___________． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了点的坐标，解题关键是熟练掌握点到坐标轴的距离与坐标的关系，正确理解已知条件中的新定义的含义． （1）根据已知条件中的新定义求出答案即可； （2）先根据已知条件中的新定义求出点的“级关联点”C的坐标，再根据点C到x轴、y轴的距离相等，列出关于b的方程，解方程求出b，从而求出点C的坐标即可． 【详解】解：点， 点的“2级关联点”的坐标是，即点的“2级关联点”的坐标是， 故答案为：； 点的“级关联点”C的坐标为，即， 点的“级关联点”C到x轴、y轴的距离相等， ， ， 解得：或， 当时， ， 当时， 点C坐标为或． 故答案为：或． 【变式2】（24-25七年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，若点到两坐标轴的距离之差的绝对值等于点到两坐标轴距离之差的绝对值，则称，两点互为“等差点”，例如和到两坐标轴距离之差的绝对值都等于，它们互为“等差点”．若点和点互为“等差点”，则的值为（　　） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先算出点到两坐标轴距离之差的绝对值，再根据“等差点”定义得出点到两坐标轴距离之差的绝对值表达式，通过绝对值方程求解的值．本题主要考查了平面直角坐标系中点到坐标轴距离及绝对值方程的求解，熟练掌握点到坐标轴距离的计算方法和绝对值方程的解法是解题的关键． 【详解】解：点到两坐标轴的距离之差的绝对值为，点到两坐标轴的距离之差的绝对值为， ∴， ， ∴或， 解得或 故选： 题型三 求图形的面积 解｜题｜技｜巧 多用割补法、矩形框定法，结合坐标求边长再计算。 易｜错｜点｜拨 边长看错正负、漏算或重复计算分割部分，图形分割不合理。 【典例1】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，、，其中满足． (1)求的点坐标； (2)如图，点为第二象限内一点，若的面积为，求的值； (3)如图，过点分别向轴作垂线，垂足分别为，在坐标平面内是否存在点，使得与的面积相等，且与的面积相等？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点坐标为或 【分析】（）根据非负数的性质解答即可； （）如图，过作轴的平行线，过作轴的平行线，过作x轴和轴的平行线和，可得四边形是矩形，进而根据的面积矩形的面积的面积的面积的面积列出方程解答即可求解； （）由，得，，，进而根据与的面积相等，可得，即得或，再分情况解答即可； 本题考查了非负数的性质，坐标图图形，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：如图，过作轴的平行线，过作轴的平行线，过作x轴和轴的平行线和， 则四边形是矩形， ∵，，， ∴的面积矩形的面积的面积的面积的面积 ， 解得； （3）解：存在，理由如下： 如图， ∵，， ∴，，， ∵与的面积相等， ∴， ∴或， 当时，， ∵，与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， 则， ∵，与的面积相等， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，． (1)求的面积； (2)已知为轴上一点，若，求点的坐标． 【答案】(1)6 (2)或 【分析】（1）利用分割法计算即可． （2）设，则，根据面积相等，建立方程求解即可． 本题考查了坐标系中的作图，分割法求面积，解绝对值方程，数轴上两点间距离计算，熟练掌握分割法是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，，得的面积为：． （2）解：设，则， 又， 根据题意，得， 解得或， 故点或． 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，且． (1)求点A、B的坐标； (2)如图，是x轴正半轴上一点，与y轴交于点D，当时，求的面积； (3)在（2）的条件下，P为y轴上一动点，设P的纵坐标为t，当t取何范围时，． 【答案】(1)， (2)； (3) 【分析】本题主要考查非负数的性质、平面直角坐标系中三角形面积计算（坐标公式、割补法 ）．熟练掌握非负数性质及面积公式是解题关键． （1）利用非负数的性质，算术平方根和绝对值均为非负数，若和为则各自为，列方程求、． （2）通过，结合点坐标，利用比值求点坐标，再用坐标法或割补法算面积． （3）设，用割补法（，以为底，、横坐标绝对值为高 ）表，结合列不等式求解． 【详解】（1）解：，且， ， ， 解得， ， （2）解：过作轴于， ，点A的横坐标为,点C在x轴上， ∴点C的横坐标为， ∵ ∴ ； （3）解：设， ，又，且， ∴ 由， 解得， ∴ ，， ， 解得 题型四 坐标系中的动点问题 解｜题｜技｜巧 严格照搬题目定义规则，分步代入计算，不套用旧公式。 易｜错｜点｜拨 看不懂新运算规则，凭经验做题，忽略限定条件。 【典例1】（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴，垂足为点．点B，C分别在原点两侧，且B，C两点间的距离等于10个单位长度． (1)填空：_____，点的坐标为_____； (2)在轴上是否存在一点，使三角形的面积是三角形的面积的，若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)过点作轴，垂足为点，P，Q为两动点，其中点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿运动，到达点停止运动；同时点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿着向点运动，到达点停止运动．设运动时间为，当点在（含B，O两个端点）上时，若存在值，使A，P，Q三点构成的三角形面积为3，请直接写出所有符合条件的值． 【答案】(1)， (2)存在，或 (3)或 【分析】本题考查了平面直角坐标系、三角形的面积公式、一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）根据三角形的面积公式即可求解； （3）分2种情况讨论：①当时；②当时，分别表示出的长，再利用三角形面积公式列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴综上所述，，点的坐标为； 故答案为：，； （2）解：存在， 由题意得：， ∴， 解得， ∴或； （3）解：轴，， 由题意得：，， 则点运动的时间为秒，点运动到点的时间为秒，点运动的时间为8秒， ①当时，此时点在线段上，未到达点， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ， 解得：（不合题意，舍去）或， ； ②当时，此时点已到达点， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ， 解得：； 综上，当在上时，取或时，三角形的面积为3． 【变式1】（24-25七年级下·吉林四平·期末）如图，，，三点的坐标分别为，，． (1)求三角形的面积； (2)过点作直线平行于轴，点为直线上任意一点，试猜想三角形的面积与三角形的面积的关系，并证明你的猜想； (3)试在坐标轴上找一点，使，请直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)18 (2)，证明见解析 (3)点P的坐标为或或或． 【分析】本题考查了点的坐标和三角形的面积，分类讨论是解决本题的关键思想． （1）由A、B、C三点的坐标求出线段和线段的长度，然后求的面积； （2）设点，然后求的面积，即可得到结论； （3）分情况讨论，点P在x轴上；点P在y轴上，设点P的坐标，然后求出对应的底和高列出与面积有关的方程求点P． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）解：猜想：．证明如下： ∵过点作直线平行于轴，点为直线上任意一点， ∴设点， ∴， ∴； （3）解：如图1，当点P在x轴上时，设，则， ∴， ∵，， ∴， 解得：或， ∴点坐标为或； 如图2，当点P在y轴上时，设， 则， ∴， ∵，， ∴， 解得：或， ∴点坐标为或； 综上所述，使得的点P的坐标为或或或． 【变式2】（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）在平面直角坐标系中、，a、b满足． (1)如图1，求点A、B的坐标； (2)如图2，y轴上有一点E，的面积是6，求点E的坐标； (3)如图3，将线段沿x轴的正方向平移4个单位长度，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、C，在坐标平面内是否存在点，使得与的面积相等，且与的面积相等？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题是三角形综合题，考查了非负性，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）利用非负性可求a、b的值，即可求解； （2）分两种情况讨论：①当E在直线上方时；②当E在直线下方时；分别根据的面积是6，列方程求解； （3）由与的面积相等，列出方程可求m的值，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， 又∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：设E为， 分以下两种情况讨论： ①如图，当E在直线上方时，作轴，作连接， 则 ， ∴，， ②当E在直线下方时，同样可得， ∴，， ∴点E的坐标为或； （3）解：存在，设点P的坐标为，由平移得、，则、， 依题意知点P不可能在梯形的上方或线段的右上方或线段左方，故分以下两种情形： ①如图，当点P在梯形的内部时， ∵， ∴， ∴，， ∵， ， ∴， 解得， ∴； ②如图，当点P在梯形的下方时， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点在x轴上， 如图，作轴于G，连接， ， ， ∴， 解得， ∴， 综上所述，P点的坐标为或． 期末重难突破练（测试时间：45分钟） 1．（24-25七年级下·四川广元·期末）若a为任意实数，在平面直角坐标系中，点不可能在（      ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考直角坐标系中点的特征，熟练掌握直角坐标系中点的特征是解题的关键，由于a为任意实数，故将a分情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求得的取值范围，再将根据直角坐标系中点的特征判断即可得到答案． 【详解】解：∵为平面直角坐标系中的点， ∴当时，故，则点在第一象限， 当时，，，则点在第二象限， 当时，，，则点在第三象限， ∴点不可能在第四象限， 故选：D． 2．（24-25七年级下·河南商丘·期末）已知点在轴上，点在轴上，则点位于第___________象限． 【答案】二 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，熟知坐标轴上及象限内的点的坐标特征是解答的关键．根据坐标轴上点的坐标特征求得m、n值，再根据各个象限中点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵点在轴上，点在轴上， ∴，， 解得，， ∴点在第二象限， 故答案为：二． 3．（24-25七年级下·江西赣州·期末）在平面直角坐标系中，点，点，若在坐标轴上有一点（不与点重合），使三角形和三角形面积相等，则点的坐标为___________． 【答案】、或 【分析】先根据三角形的面积公式求出，再分当点P在x轴上时，当点P在y轴上时，分别进行计算即可得到答案． 本题主要考查了坐标与图形，三角形面积的计算，解题的关键是采用分类讨论的思想解决问题． 【详解】解：根据题意得， 当点P在x轴上时，， ， 解得， ∴，或； 当点P在y轴上时，， ， 解得， ∴（舍去），或． 综上，点的坐标为或或， 故答案为：、或． 4．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，点在轴正半轴上，线段与线段交于点．若与面积相等，则到直线的距离是________． 【答案】4 【分析】本题考查平面直角坐标系中三角形面积的计算．画出相关图形，根据与面积相等，可得．进而可得点A到的距离． 【详解】解：作于点M． ∵，， ∴， ∴， ∵与面积相等， ∴． 即． 又 ∴， 即：． 解得：． 故答案为：4 5．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）已知点，分别根据下列条件求出点的坐标． (1)点的纵坐标为； (2)点的纵坐标比横坐标大3． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求点的坐标，根据条件列出方程是解题的关键： （1）根据题意，得到，进行求解即可； （2）根据题意，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， 解得：； ∴， ∴； （2）由题意，得：，解得：， ∴， ∴． 6．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、、，满足． (1)求、的坐标 (2)在轴上是否存在点（不与点重合），使，若存在，求出点的坐标．若不存在，说明理由． 【答案】(1)、； (2)存在，． 【分析】本题考查了直角坐标系中点的特征，三角形的面积公式，非负数的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质求得的值即可； （2）设点，则，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∴点、； （2）解：存在，理由如下： 如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点，则， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴． 7.（24-25七年级下·江西赣州·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为______； (2)若点是“完美点”，求a的值； (3)若点的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 【答案】(1)5 (2)或 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系，点到坐标轴的距离，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”． （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“完美点”的定义解答即可； （3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得点到x轴的距离为5，到y轴的距离为3， ∴点A的“长距”为5． 故答案为：5． （2）解：点是“完美点”， ， 或， 解得：或； （3）解：点的长距为4，且点在第二象限内， ， 解得， ， 点的坐标为， 点到x轴、y轴的距离都是5， 是“完美点”． 8．（24-25七年级下·江西赣州·期末）在平面直角坐标系中，对于点A，若点B的坐标为，其中m为常数，则称点B是点A的“m级关联点”．例如，点A的“4级关联点”点B的坐标为，即B． (1)点P的“3级关联点”是_________； (2)若点C的“2级关联点”点D在x轴上，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，若存在点，使得轴，且，求点的坐标．（提示：先由（2）求出点的坐标） 【答案】(1)； (2)； (3)点的坐标为或． 【分析】本题考查了新定义，平面直角坐标系中点的坐标特征，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新定义即可求解； （2）由题意可得点C的“2级关联点”点D的坐标为，再根据点D在x轴上，得到，求解即可得出答案； （3）由轴，得到点的横坐标为，设点的纵坐标为，根据，得到，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 点P的“3级关联点”是，即， 故答案为：； （2）解：由题意可得： 点C的“2级关联点”点D的坐标为：， ∵点D在x轴上， ∴， ∴， ∴，点； （3）解：由（2）可知，点， ∵轴， ∴点的横坐标为， 设点的纵坐标为， ∵， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或． 9．（24-25七年级下·天津河西·期末）如图，在平面直角坐标系中，原点为，长方形，点，，．线段交轴于点，点是长方形边上的两个动点．点从点出发以每秒1个单位长度沿的路线做匀速运动，同时点也从点出发以每秒2个单位长度沿的路线做匀速运动．当点运动到点时，两动点均停止运动．设运动的时间为秒，三角形的面积记为，三角形的面积记为，四边形的面积记为．    (1)当时，求的值； (2)当为何值时，? (3)若，求的取值范围．（直接写出答案即可） 【答案】(1)5 (2) (3)或 【分析】本题考查了坐标与图形，三角形、不规则四边形的面积，确定点，的位置是解决第问的关键；正确进行分类，考虑到所有可能的情况是解决第问的关键． （1）当时，可得点，，过点作轴于点根据三角形的面积公式分别求出，，进而得出的值； （2）根据点、运动过程中，三角形不同的形状计算面积列出方程即可解答； （3）设点运动的路程为，则点运动的路程为分五种情况进行讨论：；；；；针对每一种情况，首先确定出对应范围内点，的位置，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：当时，点，， 如图：过点作轴于点．   ，， ； （2）当 时，点在线段上，点在线段上， ，， 此时， ∴， 当 时，点在线段上，点在线段上， ，， 此时， ∴， 当 时，点在线段上，点在线段上， 此时， ∴，即，解得， 时，点在线段上，点在线段上，此时. 综上所述：当时，。 （3）解：设点运动的路程为，则点运动的路程为． 当 时，点在线段上，点在线段上， 此时四边形不存在，不合题意，舍去． 当时，点在线段上，点在线段上． ， ， ，解得． 此时； 当时，点在线段上，点在线段上． ， ， ，解得，不符合题意． 当时，点在线段上，点在线段上． ， ， ，解得． 此时． 当时，点是线段的中点，点与重合，两动点均停止运动． 此时四边形不存在，不合题意，舍去． 综上所述，当时，或． 10．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，且a，b满足． (1)填空： ， ； (2)若在第四象限内有一点，用含m的式子表示三角形的面积； (3)在（2）的条件下，线段与y轴相交于点，当时，P是y轴上一动点，当满足，试求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了非负数的性质、平面直角坐标系中三角形面积的计算，解题的关键是利用非负数性质求出a、b的值，再结合坐标与图形性质计算三角形面积． （1）根据非负数的性质，两个非负数的和为0，则这两个非负数分别为0，求出a、b的值； （2）先求出的长度，再根据点的坐标确定三角形的高，最后利用三角形面积公式计算； （3）设出点坐标，求出，由（2）知，再结合已知面积关系求出，利用三角形面积公式列方程求解． 【详解】（1）解：由题意可得： 解，得， 解，得， 故答案为：； （2）解：∵点在第四象限， ， ∵点A，B的坐标分别为 ； （3）解：设点的坐标为， 点， ∵ ∴ 由（2）知， ， ， ， ， ， 解得：或，故点的坐标为或． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $