专题01 相交线平行线（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材人教版

专题01 相交线与平行线（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 两直线相交 题型02 两直线垂直 题型03 三线八角 题型04 两直线平行 题型05 定义、命题、定理 题型06 平移 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 两直线相交 理解对顶角、邻补角的定义性质 基础必考点，常出现在角度计算和数量关系推理过程中。 两直线垂直 理解垂直的定义、性质，会过一点画已知直线的垂线；理解垂线段最短的性质 基础必考点，高频易错点，侧重作图与辨析。 三线八角 能准确识别同位角、内错角、同旁内角 基础识图、大题中常作为隐含条件。 两直线平行线 理解平行线的概念、性质、判定 高频考点，重点考查平行线的性质与判定。 定义、命题、定理 理解定义、命题、定理的概念；理解命题的题设、结论的结构，能判断命题的真假；能运用定理进行简单的推理证明. 区分概念、掌握几何语言表述，学好几何的基础，常考辨析与改错。 平移 理解平移的基本性质，能利用平移的性质作图、解决实际问题。 基础必考点，常考操作、画图，结合图案设计考查综合能力。 知识点01 两直线相交 1.定义：如果两条直线有且只有1个公共点，那么这两条直线叫做相交线。 2.邻补角 (1)邻补角的定义 观察图形中∠1 和∠2：它们有一条公共边，且另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做互为邻补角。 图中∠1的邻补角是∠2和∠4,∠2是∠1和∠3的邻补角. （2）邻补角的性质 提问：互为邻补角的两个角有何数量关系？ 答:和是180. （3）几何语言： ∵∠1和∠2是邻补角 ∴∠1+∠2=180o ( 邻补角定义 ) 3.对顶角 （1）对顶角的定义 观察图形中∠1 和∠3：它们有一个公共顶点，且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角. （2）对顶角的性质 对顶角性质： 对顶角相等 几何语言： ∵∠1和∠3是对顶角 ∴∠1=∠3（ 对顶角相等 ） 知识点02 两直线垂直 1.垂直的定义 （1）定义：如图，当两条直线相交，夹角为90o时，这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线. 举例：线AB与直线CD互相垂直，垂足为，则记作:AB⊥CD，垂足为， （2）几何语言： ∵CD⊥AB ∴∠COB=90o 或者：∵∠COB=90o ∴CD⊥AB 2.垂线的性质 （1）垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线性质指明垂线的存在性和唯一性，是垂线作图的保证. （2）垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。 （3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 如图：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长。 注意：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。 知识点03 三线八角 1.两条直线被第三条直线所截 直线AB、CD都和直线EF相交叫作直线 AB、CD 被直线 EF 所截，在两个交点处形成八个角叫作“三线八角” 2.同位角、内错角、同旁内角 两条直线被第三条直线所截，在两个交点处共有8个角，我们来研究那些没有公共顶点的两个角的关系。 （1）∠1与∠6 在两条被截直线的同侧（上方），第三条截线的同旁，具有这种位置关系的两个角叫做同位角。 (2) ∠4与∠5 在两条被截直线之间，第三条截线的两侧具有这种位置关系的两个角叫做内错角. （3）∠1与∠5 在两条被截直线之间，第三条截线的同旁，具有这种位置关系的两个角叫做同旁内角. 知识点04 两直线平行 1. 定义：在同一平面内不相交的两条直线叫作平行线； （1） 基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. （2）传递性：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行. 几何语言 若c//a，b//a, 则 b//c 2. 平行线的判定 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单地说，同位角相等，两直线平行。 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单地说，内错角相等，两直线平行。 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单地说，同旁内角互补，两直线平行。 举例：如图所示，已知 b⏊a，c⏊a，那么直线b、c是什么位置关系？ 答：平行关系， ∵ b⏊a，c⏊a ∴∠1=∠2=90，∴ b//c（同位角相等，两直线平行） 总结：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。 3. 平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单地说，两直线平行，同位角相等。 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单地说，两直线平行，内错角相等。 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单地说，两直线平行，同旁内角互补。 知识点05 定义、命题、定理 1. 定义与命题 （1）定义：我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述，这样的描述称为数学对象的定义(definition). （2）命题：可以判断正确与错误的陈述语句叫作命题.正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题. 例：对顶角相等；两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；如果a²=b²,那么a=b.以上这些表示判断的陈述句都是命题。 易错点：假命题也是命题。 例：“如果a²=b²,那么a=b”虽然错误，但它仍是命题. （3）题设和结论 数学命题通常由条件、结论两部分组成.命题常可以写成“如果……,那么……”的形式.其中，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论. 易错点: 有一些命题是简缩句，省略掉的词句要先补充完整再作条件和结论的分析. 例：“对顶角相等”完整的表达是“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”， 所以题设是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等. 2.定理与证明 （1）定理：有一些命题，如“对顶角相等”“内错角相等，两直线平行”，它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理（theorem）.定理也可以作为继续推理的依据 （2）证明：一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.证明是在“已知”和“求证”之间建立逻辑联系的完整推理过程. 知识点06 平移 1. 定义：一个图形沿某方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离 这样的图形运动叫作图形的平移； 2. 平移的性质： 平移不改变图形的形状和大小； 一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上），且相等。 题型一 两直线相交 解｜题｜技｜巧 1. 利用对顶角相等、邻补角和为180°列等式求角度。 2. 已知一个角，快速求其余三个角。 易｜错｜点｜拨 1. 别把“对顶角”和“邻补角”概念弄混。 2. 角度的计算结果容易漏写单位“°”或度。 【典例1】（24-25七年级下·江苏常州·期末）如图， 直线与相交于点， 若． 则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·海南海口·期末）如图，直线、相交于点，平分，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型二 两直线垂直 答｜题｜模｜板 1. 看到垂直直接写夹角等于90°； 2. 判定两条直线垂直通常就要证明它们的夹角等于90°. 易｜错｜点｜拨 在计算和推理时判定两条直线是否垂直不能凭“目测”——看起来像垂直，必须要有依据。 【典例1】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）如图，直线相交于点，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25七年级下·全国·期中）如图，要在河岸l上建一个水泵房引水到A处．可过点A作于点B，则将水泵房建在B处最节省水管长度，其数学道理是（   ） A．两点之间线段最短 B．点到直线之间的距离垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂直距离最短 【变式1】（24-25七年级下·湖北恩施·期末）如图，A、O、B三点在同一直线上，且平分，平分，下列结论：①与互余；②与互补；③④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（24-25七年级下·湖南株洲·期末）如图，在中，，的面积为24，为边上的动点，连接，以为边向左侧作正方形，则正方形面积的最小值为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 题型三 三线八角 答｜题｜模｜板 1. 先找准截线，再识别同位角、内错角、同旁内角。 2. 求角时先判断角的位置关系，再套性质。 易｜错｜点｜拨 没平行时，不能直接用同位角相等、内错角相等平行线的性质。 【典例1】（24-25七年级下·河南洛阳·期末）下列图形中，与不属于同位角的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·重庆黔江·期末）如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 【变式2】（24-25七年级下·陕西西安·期末）图中与构成同旁内角的角有___________ 个． 题型四 两直线平行 答｜题｜模｜板 1. 由角的关系推平行（判定），由平行推角的关系（性质）。 2. 多线平行时，用平行传递性：a∥b，b∥c ⇒ a∥c。 易｜错｜点｜拨 1. 判定和性质互逆，经常用反。 2. 只有两直线平行，同旁内角才互补，不平行不能用。 【典例1】（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）下列说法错误的是（    ） A．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．如果，，那么 【典例2】（24-25七年级下·广东深圳·期末）下列各图形中，，能确定的是（　　） A．B．C． D． 【变式1】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）将一把三角尺和一把无刻度的直尺按如图所示的方式放置，使三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则与的关系为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·河北·期末）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·河北保定·期末）已知直线，为平面内一点，点，分别在直线，上，连接，． (1)如图，若点在直线，之间，求证：． (2)如图，若点在直线，之间，平分，平分，当时．求的度数． (3)如图，若点在直线的上方，平分，平分， 的反向延长线交于点，当时，求的度数． 题型五 定义、命题、定理 答｜题｜模｜板 1. 命题先拆成**“如果……那么……”**，分清题设和结论。 2. 判断真假：真要说理，假举反例即可。 易｜错｜点｜拨 改写命题时，容易漏写主语、条件写反。 【典例1】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）下列语句不是命题的是（    ）． A．同位角相等，两直线平行 B．作的角平分线 C．若，则 D．同角的余角相等 【典例2】（24-25七年级下·云南丽江·期末）下列命题中，是真命题的是（   ） A．相等的两个角是对顶角 B．同旁内角互补 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【变式1】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：_____________，它是____命题． 【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知：如图，直线被直线所截，①，②，③；请从①②③中选两个作为条件，一个作为结论，使其构成一个真命题，并写出证明过程． (1)条件： ，结论： ；（填序号） (2)证明： 题型六 平移 答｜题｜模｜板 1. 平移只改位置，形状、大小、方向都不变。 2. 对应线段平行且相等，对应点连线也平行且相等。 易｜错｜点｜拨 误以为平移会改变角度、长度或图形形状 【典例1】（24-25七年级下·广东广州·月考）如图所示的车标中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25七年级下·山西长治·期末）如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，正确的有（   ） ①或与在同一条直线上 ②或与在同一条直线上 ③ ④ A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，沿着由点到点的方向平移得到，已知，，那么平移的距离是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式2】（24-25七年级下·云南昆明·期末）如图，在一块长为21米，宽为10米的长方形草地上，有两条宽都为1米的横、纵相交的小路，则这块草地青草覆盖的面积为________ 平方米． 期末基础通关练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．如图，点A在点B的北偏西方向上，点B在点C的北偏东方向上，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．下列说法中，正确的有（　　）个． ①两直线相交，对顶角相等； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； ④如果，那么点M是的中点． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．如图．将上、下边缘平行的一张纸条折叠．则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，，，，则为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，O为直线上一点，，则_______°．（要求单位是“度”） 6．如图，将向右平移得到，且点B，E，C，F在同一条直线上，若，，则的长为___ ． 7．如图， ，，，为垂足，则图中与互余的角有________个． 8．若，的两边分别与的两边平行，则的度数为 _____________ ． 9．如图，已知、分别平分、，若要使，则与应满足的关系是___________． 三、解答题 10．正方形网格中的每个小正方形的边长均为个单位长度，各顶点的位置如图所示．将平移，使点移到点，点分别是的对应点． (1)画出平移后的； (2)在整个平移的过程中，扫过的面积是______． 11．已知：如图，直线被直线所截，①，②，③；请从①②③中选两个作为条件，一个作为结论，使其构成一个真命题，并写出证明过程． (1)条件： ，结论： ；（填序号） (2)证明： 12．如图，于点于点． (1)求证； (2)判断与的位置关系并且证明； (3)若，求的度数． 13．如图，直线、相交于点，平分，于． (1)的余角是______．（写出图中所有符合要求的角） (2)若，求的度数． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足为点B，，则下列正确的语句是（　　） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．线段的长是点C到直线的距离 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 2．如图，将沿直线平移，得到，若，，则的长为（   ） A．9 B．7 C．6 D．3 3．如图，已知，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C．若还知道，则能得到 D．若连接，则一定平行于 4．如图，直线，直线l与、分别交于点E、F，的角平分线交于点G，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．把命题“同位角相等”改写成“如果…，那么…”的形式：____________________． 6．如图，直线、交于点O，，，平分，则的补角是_________． 7．如图，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角等于反射角，法线垂直于镜面，这就是光的反射定律．若入射角i的度数为，反射光线与镜面平行，则两镜面的夹角的度数为_______ °． 8．为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则______． 9．如图，，将一副直角三角板按如图的方式摆放，其中．下列结论：①；②，③；④．其中正确的是_____________．（填序号） 三、解答题 10．如图，已知是正方形网格纸上的四个格点，根据要求在网格中画图并标注相关字母． (1)画线段； (2)画直线； (3)过点画的垂线，垂足为； (4)在直线上找一点，使得最小． 11．如图，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 12．完成下面的证明并填上推理的根据： 如图，已知，，垂足分别为H，F，．求证：． 证明：，（________）， ，（________）， 即（________）， ， ． ， （________）， ， （________）． 13．以直线上一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即，直角三角板可绕顶点O转动． (1)如图1，若直角三角板的一边在射线上，求的度数； (2)将直角三角板绕点转动后，使其一边在的内部，如图2所示，若恰好平分，求此时的度数． 14．在学完《相交线和平行线》后，为继续深入探索平行线中的一些角度关系，七年级数学兴趣小组的同学通过图形开展探究，具体步骤如下： 【探究一】如图①，已知，测得，求的度数； 【探究二】保持，改变其他线段的位置，得到图②的形状，猜想之间具有什么数量关系？探究并说明理由； 【探究三】在图②的基础上，分别作、的角平分线并相交于点，从而得到图③的形状．若，求的度数． 期末综合拓展练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．如图，经过平移后得到，下列说法：①；②；③；④和的面积相等；⑤四边形和四边形的面积相等．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图，直线AB与CD相交于点O，，，OE平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，直角边与相交于点G，当时，的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知，、的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为；……；第次操作，分别作和的平分线，交点为．若度，那么等于（    ）度． A． B． C． D． 二、填空题 5．将命题“同角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是：如果________，那么________． 6．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，．则图中阴影部分的面积为______． 7．如图，平行光线和经过凹面镜反射后汇聚于点E，若，，则的度数是 ________ 8．如图，下列说法正确的序号是______． ①若，则；②若，则； ③若，则； ④若，则. 三、解答题 9．如图，与相交于点E，，，，求证：． 10．（1）【感知】将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，，且，则的大小为___________度； （2）【探究】如图2，将图1中的三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，，试说明； （3）【拓展】现将图1中的三角板按图3方式摆放（其中），使顶点C在直线上，直角顶点A在直线上．若，请写出与之间的关系式，并说明理由． 11．数学实验：玩转三角板 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中，，． (1)填空：与的数量关系是_________，理由是_________； (2)如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合．探究一下问题： ①当时，画出图形，并求出的度数； ②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？若存在，请画出图形直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 12．学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组在练习中看到这样一道题“如图1，平分，平分，．判断，是否平行，并说明理由”，试着“玩”起数学来： 【基础巩固】 (1)条件和结论互换，改成了：“如图1，平分，平分，，则．”小明认为这个结论正确，你认同他的想法吗？请说明理由． 【尝试探究】 (2)小明发现：若将其中一条角平分线改成的垂线，则“”这个结论不成立．请帮小明完成探究： 如图2，，平分，，是与的夹角，是与的夹角，若，求的度数． 【拓展提高】 (3)如图3，若，，平分，试说明． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相交线与平行线（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 两直线相交 题型02 两直线垂直 题型03 三线八角 题型04 两直线平行 题型05 定义、命题、定理 题型06 平移 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 两直线相交 理解对顶角、邻补角的定义性质 基础必考点，常出现在角度计算和数量关系推理过程中。 两直线垂直 理解垂直的定义、性质，会过一点画已知直线的垂线；理解垂线段最短的性质 基础必考点，高频易错点，侧重作图与辨析。 三线八角 能准确识别同位角、内错角、同旁内角 基础识图、大题中常作为隐含条件。 两直线平行线 理解平行线的概念、性质、判定 高频考点，重点考查平行线的性质与判定。 定义、命题、定理 理解定义、命题、定理的概念；理解命题的题设、结论的结构，能判断命题的真假；能运用定理进行简单的推理证明. 区分概念、掌握几何语言表述，学好几何的基础，常考辨析与改错。 平移 理解平移的基本性质，能利用平移的性质作图、解决实际问题。 基础必考点，常考操作、画图，结合图案设计考查综合能力。 知识点01 两直线相交 1.定义：如果两条直线有且只有1个公共点，那么这两条直线叫做相交线。 2.邻补角 (1)邻补角的定义 观察图形中∠1 和∠2：它们有一条公共边，且另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做互为邻补角。 图中∠1的邻补角是∠2和∠4,∠2是∠1和∠3的邻补角. （2）邻补角的性质 提问：互为邻补角的两个角有何数量关系？ 答:和是180. （3）几何语言： ∵∠1和∠2是邻补角 ∴∠1+∠2=180o ( 邻补角定义 ) 3.对顶角 （1）对顶角的定义 观察图形中∠1 和∠3：它们有一个公共顶点，且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角. （2）对顶角的性质 对顶角性质： 对顶角相等 几何语言： ∵∠1和∠3是对顶角 ∴∠1=∠3（ 对顶角相等 ） 知识点02 两直线垂直 1.垂直的定义 （1）定义：如图，当两条直线相交，夹角为90o时，这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线. 举例：线AB与直线CD互相垂直，垂足为，则记作:AB⊥CD，垂足为， （2）几何语言： ∵CD⊥AB ∴∠COB=90o 或者：∵∠COB=90o ∴CD⊥AB 2.垂线的性质 （1）垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线性质指明垂线的存在性和唯一性，是垂线作图的保证. （2）垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。 （3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 如图：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长。 注意：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。 知识点03 三线八角 1.两条直线被第三条直线所截 直线AB、CD都和直线EF相交叫作直线 AB、CD 被直线 EF 所截，在两个交点处形成八个角叫作“三线八角” 2.同位角、内错角、同旁内角 两条直线被第三条直线所截，在两个交点处共有8个角，我们来研究那些没有公共顶点的两个角的关系。 （1）∠1与∠6 在两条被截直线的同侧（上方），第三条截线的同旁，具有这种位置关系的两个角叫做同位角。 (2) ∠4与∠5 在两条被截直线之间，第三条截线的两侧具有这种位置关系的两个角叫做内错角. （3）∠1与∠5 在两条被截直线之间，第三条截线的同旁，具有这种位置关系的两个角叫做同旁内角. 知识点04 两直线平行 1. 定义：在同一平面内不相交的两条直线叫作平行线； （1） 基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. （2）传递性：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行. 几何语言 若c//a，b//a, 则 b//c 2. 平行线的判定 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单地说，同位角相等，两直线平行。 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单地说，内错角相等，两直线平行。 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单地说，同旁内角互补，两直线平行。 举例：如图所示，已知 b⏊a，c⏊a，那么直线b、c是什么位置关系？ 答：平行关系， ∵ b⏊a，c⏊a ∴∠1=∠2=90，∴ b//c（同位角相等，两直线平行） 总结：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。 3. 平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单地说，两直线平行，同位角相等。 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单地说，两直线平行，内错角相等。 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单地说，两直线平行，同旁内角互补。 知识点05 定义、命题、定理 1. 定义与命题 （1）定义：我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述，这样的描述称为数学对象的定义(definition). （2）命题：可以判断正确与错误的陈述语句叫作命题.正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题. 例：对顶角相等；两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；如果a²=b²,那么a=b.以上这些表示判断的陈述句都是命题。 易错点：假命题也是命题。 例：“如果a²=b²,那么a=b”虽然错误，但它仍是命题. （3）题设和结论 数学命题通常由条件、结论两部分组成.命题常可以写成“如果……,那么……”的形式.其中，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论. 易错点: 有一些命题是简缩句，省略掉的词句要先补充完整再作条件和结论的分析. 例：“对顶角相等”完整的表达是“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”， 所以题设是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等. 2.定理与证明 （1）定理：有一些命题，如“对顶角相等”“内错角相等，两直线平行”，它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理（theorem）.定理也可以作为继续推理的依据 （2）证明：一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.证明是在“已知”和“求证”之间建立逻辑联系的完整推理过程. 知识点06 平移 1. 定义：一个图形沿某方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离 这样的图形运动叫作图形的平移； 2. 平移的性质： 平移不改变图形的形状和大小； 一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上），且相等。 题型一 两直线相交 解｜题｜技｜巧 1. 利用对顶角相等、邻补角和为180°列等式求角度。 2. 已知一个角，快速求其余三个角。 易｜错｜点｜拨 1. 别把“对顶角”和“邻补角”概念弄混。 2. 角度的计算结果容易漏写单位“°”或度。 【典例1】（24-25七年级下·江苏常州·期末）如图， 直线与相交于点， 若． 则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等代入计算即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵和是对顶角， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式1】（24-25七年级下·海南海口·期末）如图，直线、相交于点，平分，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线，邻补角．根据角平分线的定义求出，再由与互补即可解答． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了邻补角的性质，角平分线的定义，角的和差. 由题意可得，即得，得到，再根据角平分线的定义求出即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：A． 题型二 两直线垂直 答｜题｜模｜板 1. 看到垂直直接写夹角等于90°； 2. 判定两条直线垂直通常就要证明它们的夹角等于90°. 易｜错｜点｜拨 在计算和推理时判定两条直线是否垂直不能凭“目测”——看起来像垂直，必须要有依据。 【典例1】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）如图，直线相交于点，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂直的定义，对顶角的性质，由垂直得，由对顶角的性质得，即得，进而得到，即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是对顶角， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【典例2】（24-25七年级下·全国·期中）如图，要在河岸l上建一个水泵房引水到A处．可过点A作于点B，则将水泵房建在B处最节省水管长度，其数学道理是（   ） A．两点之间线段最短 B．点到直线之间的距离垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂直距离最短 解：过点A作于点B，将水泵房建在了B处．这样做最节省水管长度，其数学道理是：垂线段最短． 故选B． 【变式1】（24-25七年级下·湖北恩施·期末）如图，A、O、B三点在同一直线上，且平分，平分，下列结论：①与互余；②与互补；③④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线的定义及邻补角，熟练掌握角平分线的定义及邻补角是解题的关键；由题意易得，，然后根据角的和差关系及邻补角可进行求解． 【详解】解：∵， ∴，③正确； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴与互余，①正确； ∵， ∴， ∴与互补，②正确； ∵， ∴；④正确； 综上所述：正确的有①②③④，共4个； 故选D． 【变式2】（24-25七年级下·湖南株洲·期末）如图，在中，，的面积为24，为边上的动点，连接，以为边向左侧作正方形，则正方形面积的最小值为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段最短，理解垂线段最短是解题的关键，根据面积公式求得的长，利用垂线段最短得最小值为的长，从而即可得解． 【详解】解：过点C作于点，    ∵，， ∴，即， ∴， ∵D为边上一动点，， ∴的最小值为的长4， ∴正方形的面积的最小值为 故选：． 题型三 三线八角 答｜题｜模｜板 1. 先找准截线，再识别同位角、内错角、同旁内角。 2. 求角时先判断角的位置关系，再套性质。 易｜错｜点｜拨 没平行时，不能直接用同位角相等、内错角相等平行线的性质。 【典例1】（24-25七年级下·河南洛阳·期末）下列图形中，与不属于同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同位角的识别，关键是掌握同位角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，位于截线的同旁，且在两条被截直线的同一侧的角称为同位角，需逐一判断每个选项中和的位置是否符合该定义． 【详解】解：选项A：与在截线的同旁，且在两条被截直线的同侧，符合同位角的定义； 选项B：与在截线的同旁，且在两条被截直线的同侧，符合同位角的定义； 选项C：与不在截线的同旁，不满足同位角“同旁同侧”的位置特征，不属于同位角； 选项D：与在截线的同旁，且在两条被截直线的同侧，符合同位角的定义； 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·重庆黔江·期末）如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 【答案】A 【分析】本题考查了内错角，同位角，同旁内角的定义，以及对顶角的定义，解决本题的关键是熟练掌握以上相关角的定义． 根据内错角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线两侧，且夹在两条被截直线之间，这样的一对角即为内错角；同位角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，又在被截两直线的同一侧，这样的一对角即为同位角；同旁内角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，并且都在被截两直线之间，这样的一对角即为同旁内角；对顶角，即一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，这样的一对角即为对顶角；由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，和是内错角，故正确； B选项，和是对顶角，和是对顶角，故错误； C选项，和是同位角，和是同位角，故错误； D选项，和是同旁内角，故错误 ． 故选：A ． 【变式2】（24-25七年级下·陕西西安·期末）图中与构成同旁内角的角有___________ 个． 【答案】3 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同旁内角的定义是解题的关键．根据同旁内角的定义解答即可． 【详解】解：与构成同旁内角的角有，，，共3个， 故答案为：3． 题型四 两直线平行 答｜题｜模｜板 1. 由角的关系推平行（判定），由平行推角的关系（性质）。 2. 多线平行时，用平行传递性：a∥b，b∥c ⇒ a∥c。 易｜错｜点｜拨 1. 判定和性质互逆，经常用反。 2. 只有两直线平行，同旁内角才互补，不平行不能用。 【典例1】（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）下列说法错误的是（    ） A．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．如果，，那么 【答案】A 【详解】解：A、平行公理的内容是：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若该点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，原说法错误，故选项符合题意； B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂线的性质，原说法正确，故选项不符合题意； C、两点之间的所有连线中，线段最短，是线段的基本性质，原说法正确，故选项不符合题意； D、平行于同一条直线的两条直线互相平行，因此若，，那么，原说法正确，故选项不符合题意； 【典例2】（24-25七年级下·广东深圳·期末）下列各图形中，，能确定的是（　　） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定，由平行线的判定方法，即可判断，关键是掌握平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 【详解】解：A、由能判定，不能判定，故A不符合题意； B、由，结合内错角相等，两直线平行判定，故B符合题意； C、由，不能判定，故C不符合题意； D、由不能判定，故D不符合题意； 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）将一把三角尺和一把无刻度的直尺按如图所示的方式放置，使三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则与的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质．由平行线的性质得出，由平角定义得到，即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵直尺的对边平行， ∴， ∵， ∴； 故选：B ． 【变式2】（24-25七年级下·河北·期末）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行线的性质与判定．作，得到，再结合，得到，求出，最后根据代入计算即可． 【详解】解：如图：作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【变式3】（24-25七年级下·河北保定·期末）已知直线，为平面内一点，点，分别在直线，上，连接，． (1)如图，若点在直线，之间，求证：． (2)如图，若点在直线，之间，平分，平分，当时．求的度数． (3)如图，若点在直线的上方，平分，平分， 的反向延长线交于点，当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点作，可得，通过平行线的性质结合即可证明； （2）利用（1）的结论有，再由角平分线的性质得，，求得；过点作，可得，通过平行线的性质结合即可求解； （3）过点作，可得，通过平行线的性质结合等量代换可得；过点作，可得，由平行线的性质结合角平分线的性质可得，等量代换即可得解． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ， ， ，； ， ； （2）解：由（1）知：，， ， 平分，平分， ，， ； 如图，过点作， ， ， ，， ； （3）解：如图，过点作， ， ， ，， ； 过点作， ， ， ，， ； 平分，平分， ， ； ． 题型五 定义、命题、定理 答｜题｜模｜板 1. 命题先拆成**“如果……那么……”**，分清题设和结论。 2. 判断真假：真要说理，假举反例即可。 易｜错｜点｜拨 改写命题时，容易漏写主语、条件写反。 【典例1】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）下列语句不是命题的是（    ）． A．同位角相等，两直线平行 B．作的角平分线 C．若，则 D．同角的余角相等 【答案】B 【分析】本题考查命题的概念，熟练掌握相关知识是关键． 判断一件事情的语句叫做命题，命题需是可判断真假的陈述句，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解： A、是可判断真假的陈述句，属于命题； B、是作图操作指令，不是判断事情的语句，无法判断真假，不属于命题； C、是可判断真假的陈述句，属于命题； D、是可判断真假的陈述句，属于命题． 故选：B． 【典例2】（24-25七年级下·云南丽江·期末）下列命题中，是真命题的是（   ） A．相等的两个角是对顶角 B．同旁内角互补 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】C 【分析】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据同旁内角的概念、对顶角相等、平行公理、垂线段最短判断即可． 【详解】解：A．相等的两个角不一定是对顶角，选项是假命题，不符合题意； B．两直线平行，同旁内角互补，选项是假命题，不符合题意； C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，选项是真命题，不符合题意； D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，选项是真命题，符合题意； 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：_____________，它是____命题． 【答案】 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 真 【分析】本题考查了命题的改写，判断真假命题． 将命题改写成“如果……那么……”的形式，需明确条件和结论，并基于对顶角性质判断命题真假． 【详解】解：命题“对顶角相等”的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”， 因此改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”； 对顶角相等，故该命题是真命题； 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；真． 【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知：如图，直线被直线所截，①，②，③；请从①②③中选两个作为条件，一个作为结论，使其构成一个真命题，并写出证明过程． (1)条件： ，结论： ；（填序号） (2)证明： 【答案】(1)①②，③；或①③，②；或②③，① (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）根据平行线的判定与性质定理写出是真命题的条件和结论即可； （2）利用了平行线的判定与性质定理证明即可． 【详解】（1）解：条件：①②，结论：③；（或条件：②③，结论：①；或条件：①③，结论：②） （2）证明：选条件：①②，结论：③ ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）． 选条件：①③，结论：② ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 选条件：②③，结论：① ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 题型六 平移 答｜题｜模｜板 1. 平移只改位置，形状、大小、方向都不变。 2. 对应线段平行且相等，对应点连线也平行且相等。 易｜错｜点｜拨 误以为平移会改变角度、长度或图形形状 【典例1】（24-25七年级下·广东广州·月考）如图所示的车标中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的定义进行判断． 【详解】解：A、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意； B、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意； C、观察图形可知，该图形能看作由“基本图案”经过平移得到，故符合题意； D、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意． 【典例2】（24-25七年级下·山西长治·期末）如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，正确的有（   ） ①或与在同一条直线上 ②或与在同一条直线上 ③ ④ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】平移不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等，据此逐一判断即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可得或与在同一条直线上，或与在同一条直线上，，故①②③正确， 根据现有条件无法证明，故④错误． 【变式1】（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，沿着由点到点的方向平移得到，已知，，那么平移的距离是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了平移，熟练掌握平移的性质是解题关键．先根据平移的性质可得平移的距离为的长，再根据即可得． 【详解】解：， ， 即平移的距离为2， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·云南昆明·期末）如图，在一块长为21米，宽为10米的长方形草地上，有两条宽都为1米的横、纵相交的小路，则这块草地青草覆盖的面积为________ 平方米． 【答案】180 【分析】本题考查了生活中的平移现象，先由平移得出路的宽度，再求出绿地的面积．利用平移道路的方法得出草地的绿地面积，进而得出答案． 【详解】解：由图象可得，这块草地的绿地面积为：（平方米）． 故答案为：180． 期末基础通关练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．如图，点A在点B的北偏西方向上，点B在点C的北偏东方向上，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方向角，平角的概念，理解方向角、平角的定义是正确解答的关键．根据方向角的定义，平角的定义进行计算即可． 【详解】解：如图，由题意得，， ， ∴， ∴， 故选：C ． 2．下列说法中，正确的有（　　）个． ①两直线相交，对顶角相等； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； ④如果，那么点M是的中点． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查对顶角性质、平行公理、垂线段最短性质和中点定义，根据以上知识点逐项判断正误即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①两直线相交，对顶角相等，原说法正确； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； ③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，原说法正确； ④当点在线段上时，才表示M是的中点，否则不一定，故原说法错误； 综上所述，正确的有2个， 故选：C． 3．如图．将上、下边缘平行的一张纸条折叠．则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，∵， ∴，，， ∴选项一定成立， 由折叠可得，，由条件无法判断和相等，故无法确定， ∴不一定成立， 故选：． 4．如图，，，，则为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点作，得，同理，再求出比值即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题 5．如图，O为直线上一点，，则_______°．（要求单位是“度”） 【答案】 【分析】本题主要考查余角和补角，解题关键是熟练掌握邻补角互补的定义． 根据和互补，得到，再计算转化为角度即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 6．如图，将向右平移得到，且点B，E，C，F在同一条直线上，若，，则的长为___ ． 【答案】3 【分析】本题考查了平移的性质．根据平移的性质可得，，根据题意求出，即可求出． 【详解】解：∵向右平移得到， ∴点A、B、C的对应点分别为D、E、F， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：3 7．如图， ，，，为垂足，则图中与互余的角有________个． 【答案】3 【分析】本题考查的是平行线的性质，余角的概念，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等． 先根据，可得出，，再由平行线的性质可知，故，由此可得出结论． 【详解】解：，， ，． ， ， ． 即与互余的角有，共3个， 故答案为：3． 8．若，的两边分别与的两边平行，则的度数为 _____________ ． 【答案】或 【分析】本题考查的是平行线的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．根据当两角的两边分别平行时，两角的关系可能相等也可能互补，即可得出答案． 【详解】解：当的两边与的两边如图所示时，； 当的两边与的两边如图所示时， ； 故答案为：或． 9．如图，已知、分别平分、，若要使，则与应满足的关系是___________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补可得，再根据角平分线的定义求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 10．正方形网格中的每个小正方形的边长均为个单位长度，各顶点的位置如图所示．将平移，使点移到点，点分别是的对应点． (1)画出平移后的； (2)在整个平移的过程中，扫过的面积是______． 【答案】(1)画图见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了平移作图，掌握平移的性质是解题的关键． （）根据点和点的位置判断出平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，据此确定的位置，然后顺次连接即可； （）利用长方形面积减去四个直角三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，点和点的位置判断出平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，据此确定的位置，然后顺次连接； ∴即为所求； （2）解：如图，连接， 扫过的面积是 ， 故答案为：． 11．已知：如图，直线被直线所截，①，②，③；请从①②③中选两个作为条件，一个作为结论，使其构成一个真命题，并写出证明过程． (1)条件： ，结论： ；（填序号） (2)证明： 【答案】(1)①②，③；或①③，②；或②③，① (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）根据平行线的判定与性质定理写出是真命题的条件和结论即可； （2）利用了平行线的判定与性质定理证明即可． 【详解】（1）解：条件：①②，结论：③；（或条件：②③，结论：①；或条件：①③，结论：②） （2）证明：选条件：①②，结论：③ ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）． 选条件：①③，结论：② ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 选条件：②③，结论：① ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 12．如图，于点于点． (1)求证； (2)判断与的位置关系并且证明； (3)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意可得，进而可判定； （2）由，得到，继而得到，再由内错角相等，两直线平行即可判定； （3）由，可得，则，再由直接计算即可． 【详解】（1）证明：， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．如图，直线、相交于点，平分，于． (1)的余角是______．（写出图中所有符合要求的角） (2)若，求的度数． 【答案】(1)、、 (2) 【分析】本题考查余角的定义与性质，角平分线的定义，对顶角的性质，掌握角的和差计算是解题关键． （1）先由垂直关系找到的一个余角，再利用角平分线和对顶角相等的性质，推导出另外两个余角； （2）先通过角的和差求出的度数，再根据（1）的结论，直接得到的度数． 【详解】（1）解：， ， ， ， 平分， ， ， 故的余角是、、． 答：、、． （2）解：，， ， 根据（1）可知，， ． 答：． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足为点B，，则下列正确的语句是（　　） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．线段的长是点C到直线的距离 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【答案】B 【分析】此题主要考查了点到直线的距离，掌握知识点是解题的关键． 根据 “从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答． 【详解】解：A、线段的长是点C到直线的距离，故此选项不符合题意； B、线段的长是点C到直线的距离，故此选项符合题意； C、线段的长是点A到直线的距离，故此选项不符合题意； D、线段的长是点C到直线的距离，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．如图，将沿直线平移，得到，若，，则的长为（   ） A．9 B．7 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质．根据平移的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵将沿直线平移，得到， ∴， ∵，， ∴ 故选：C． 3．如图，已知，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C．若还知道，则能得到 D．若连接，则一定平行于 【答案】D 【分析】根据垂线的定义可得，则可证明得到，据此可判断A、B；若，则可推出，得到，根据现有条件无法得到平行于，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故A说法正确，不符合题意； ∴，故B说法正确，不符合题意； 若，则， ∴， ∴，故C说法正确，不符合题意； 根据现有条件无法得到平行于，故D说法错误，符合题意． 4．如图，直线，直线l与、分别交于点E、F，的角平分线交于点G，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两直线平行同旁内角互补和角平分线的定义，先求得，再根据两直线平行内错角相等，可知，进而求得答案． 【详解】解： ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 二、填空题 5．把命题“同位角相等”改写成“如果…，那么…”的形式：____________________． 【答案】如果两个角是同位角，那么这两个角相等 【详解】解：把命题“同位角相等”改写成“如果…，那么…”的形式：如果两个角是同位角，那么这两个角相等． 6．如图，直线、交于点O，，，平分，则的补角是_________． 【答案】，， 【分析】本题考查了角平分线的定义，补角的定义，掌握角平分线的定义和补角的定义是解题关键． 根据角平分线的定义找到相等角，再通过等量代换和角的和差计算，找到与之和为的角即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴，图中等于的角即为的补角， 由图可知，； ； ， 故答案为：，， ． 7．如图，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角等于反射角，法线垂直于镜面，这就是光的反射定律．若入射角i的度数为，反射光线与镜面平行，则两镜面的夹角的度数为_______ °． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂直的定义、平行线的性质，根据入射角等于反射角可知，根据垂直的定义可知，即可求出，根据平行线的性质可知． 【详解】解：如下图所示， ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 8．为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则______． 【答案】/45度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是关键．过点E作，根据平行线的性质，求得，再根据平行线的传递性，证明，可求得，即可进一步求得答案． 【详解】解：过点E作， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 9．如图，，将一副直角三角板按如图的方式摆放，其中．下列结论：①；②，③；④．其中正确的是_____________．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查平行线的判定和性质，补角的性质，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，平行公理，补角的性质，三角板的性质，进行解答，即可． 【详解】解：①由题意，， ，故①正确； ②， ，故②正确； ③如图，过点作， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ， ，故③不正确； ④， ， ， ， ， ，故④正确． 故答案为：①②④． 三、解答题 10．如图，已知是正方形网格纸上的四个格点，根据要求在网格中画图并标注相关字母． (1)画线段； (2)画直线； (3)过点画的垂线，垂足为； (4)在直线上找一点，使得最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了直线、线段、射线，利用直线、线段、垂线的定义是解题关键． （1）如图，用直尺连接点，点即为线段； （2）如图，连接并向两端延长即为要求作的直线； （3）根据垂线的定义，可得答案， （4）根据线段的性质，连接与交于点，即可得到答案． 【详解】（1）解：画线段，如图： （2）解：画直线，如图： （3）解：过点画的垂线，垂足为，如图： （4）解：在直线上找一点，使得最小，如图： 11．如图，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的判定与性质进行证明即可； （2）根据平行线的性质进行计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 12．完成下面的证明并填上推理的根据： 如图，已知，，垂足分别为H，F，．求证：． 证明：，（________）， ，（________）， 即（________）， ， ． ， （________）， ， （________）． 【答案】见解析 【详解】证明：∵，（已知） ∴，（垂直的定义） 即（等量代换）， ， ． ， （同角的补角相等） （两直线平行，同位角相等）． 13．以直线上一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即，直角三角板可绕顶点O转动． (1)如图1，若直角三角板的一边在射线上，求的度数； (2)将直角三角板绕点转动后，使其一边在的内部，如图2所示，若恰好平分，求此时的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据邻补角与角的和差计算即可； （2）根据平角定义先求出，根据角平分线的定义得，进而求出即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， 恰好平分， ， ． 14．在学完《相交线和平行线》后，为继续深入探索平行线中的一些角度关系，七年级数学兴趣小组的同学通过图形开展探究，具体步骤如下： 【探究一】如图①，已知，测得，求的度数； 【探究二】保持，改变其他线段的位置，得到图②的形状，猜想之间具有什么数量关系？探究并说明理由； 【探究三】在图②的基础上，分别作、的角平分线并相交于点，从而得到图③的形状．若，求的度数． 【答案】【探究一】，，；【探究二】，理由见解析；【探究三】． 【分析】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；正确作出辅助线是解题关键． 【探究一】根据平行线的性质即可得答案； 【探究二】过点作，过点作，根据平行线的性质得出，利用对顶角相等即可得答案； （3）过点作，交于，，根据平行线点性质得出，，，，利用（2）中所得结论即可得答案． 【详解】解：[探究一]∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． [探究二]如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∴，即， ∴ [探究三]如图，过点作，交于，， ∴，，，， ∵、的角平分线并相交于点， ∴，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴． 期末综合拓展练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．如图，经过平移后得到，下列说法：①；②；③；④和的面积相等；⑤四边形和四边形的面积相等．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查的是图形的平移，根据平移的性质逐一判断即可． 【详解】解：经过平移后得到， ∴，故①正确； ，故②不正确； ，故③正确； 和的面积相等，故④正确； 四边形和四边形都是平行四边形，且，即两个平行四边形的底相等，但高不一定相等， ∴四边形和四边形的面积不一定相等，故⑤不正确； 综上：正确的有3个 故选：B． 2．如图，直线AB与CD相交于点O，，，OE平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是对顶角、邻补角、角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和是是解题的关键． 设，根据邻补角的概念用表示出，根据角平分线的定义求出，根据题意列式求出，根据对顶角相等解答即可． 【详解】解：设，则， ∴， ． 平分， ． ， ，即， 解得，则， ． 3．将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，直角边与相交于点G，当时，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，其中正确作出辅助线是解本题的关键．过点G作，则有，，又因为和都是特殊直角三角形，得，，进而可求解的度数，再根据平角的定义即可得出答案． 【详解】解：过点G作， ∵， ∴， ∴，， 在和中， ，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4．如图，已知，、的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为；……；第次操作，分别作和的平分线，交点为．若度，那么等于（    ）度． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过作，利用两直线平行内错角相等，可推出，同理，然后利用角平分线的定义可推出，同理可求得，，……，进而得到，即可求得答案． 【详解】解：如图，过作， ， ， ，， ， ； 同理， 和的平分线，交点为， ，， ， 同理， ， …… ， 度， 度． 故选：A． 二、填空题 5．将命题“同角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是：如果________，那么________． 【答案】 两个角是同一个角的余角 这两个角相等 【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面接题设，“那么”后面接结论，由此即可得解． 【详解】解：将命题“同角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 6．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，．则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】根据题意，分别得出、、的长度，根据等量代换得出，求解即可得出结果． 【详解】解：∵直角三角形沿方向平移得到直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵直角三角形与直角三角形面积相同， 即， ∴， 故图中阴影部分的面积为． 7．如图，平行光线和经过凹面镜反射后汇聚于点E，若，，则的度数是 ________ 【答案】 【分析】过点作，根据平行线的性质得出，再证明，得出，根据角的和即可得出答案． 【详解】解：过点作，如图： ，， ， ∵， ∴， ， ∴， ． 8．如图，下列说法正确的序号是______． ①若，则；②若，则； ③若，则； ④若，则. 【答案】①③④ 【分析】根据平行线的判定与性质逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故①符合题意； ∵， ∴， 而题中没有说明与相等， ∴不一定等于，故②不符合题意； ∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④符合题意， ∴符合题意的有①③④． 三、解答题 9．如图，与相交于点E，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据可得，再根据平行线的性质得，等量代换得，即． 【详解】证明：∵， ∴，即， ， ， 又∵， ， ． 10．（1）【感知】将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，，且，则的大小为___________度； （2）【探究】如图2，将图1中的三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，，试说明； （3）【拓展】现将图1中的三角板按图3方式摆放（其中），使顶点C在直线上，直角顶点A在直线上．若，请写出与之间的关系式，并说明理由． 【答案】（1）75；（2），理由见解析；（3）．理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，所以可得，进一步可求得答案； （2）由已知可求得，，即可根据“同旁内角互补，两直线平行”得出结论； （3）根据平行线的性质可得，进一步可得，再根据，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：75； （2），理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）．理由如下： ∵， ∴； ∵； ∴； ∴； ∵； ∴； ∴． 11．数学实验：玩转三角板 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中，，． (1)填空：与的数量关系是_________，理由是_________； (2)如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合．探究一下问题： ①当时，画出图形，并求出的度数； ②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？若存在，请画出图形直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，同角的余角相等 (2)①图见解析，；②存在，或或或或． 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，几何图形中的角度计算，余角的性质．数形结合并分类讨论是解题的关键． （1）由题意知，，则，然后作答即可； （2）①当时，作，则，根据，求解作答即可； ②由题意知，分四种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ， 故答案为：，同角的余角相等； （2）解：①如图3，当时，作， ，， ， ，， ， ； ②存在，如图3，当时，； 如图4， 当时，， ； 如图5， 当时，； 如图6， 当时，， ； 如图7， 当时，， ． 综上，这两块三角尺存在一组边互相平行，此时的值为或或或或． 12．学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组在练习中看到这样一道题“如图1，平分，平分，．判断，是否平行，并说明理由”，试着“玩”起数学来： 【基础巩固】 (1)条件和结论互换，改成了：“如图1，平分，平分，，则．”小明认为这个结论正确，你认同他的想法吗？请说明理由． 【尝试探究】 (2)小明发现：若将其中一条角平分线改成的垂线，则“”这个结论不成立．请帮小明完成探究： 如图2，，平分，，是与的夹角，是与的夹角，若，求的度数． 【拓展提高】 (3)如图3，若，，平分，试说明． 【答案】(1)认同，理由见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补可得，结合根据角平分线的定义得到的，，即可证明； （2）先求出，再由两直线平行，同旁内角互补，求出，再根据角平分线的定义求出的度数即可； （3）先证明，，再结合，即可证明． 【详解】（1）解：认同，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （3）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $