专题04 全等三角形热考几何模型（期末复习讲义，知识必备+5大重难题型+过关验收）七年级数学下学期新教材人教版五四制

专题04 全等三角形热考几何模型（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 手拉手模型 能识别手拉手模型的结构，能运用该模型证明三角形全等，推导线段和角的关系，解决相关几何问题。 高频考点，多以选择题、填空题的压轴题或解答题的中档题形式出现。通常以等腰三角形为背景，通过两个等腰三角形的公共顶点旋转，形成“手拉手”全等结构，考查线段相等、角相等、线段垂直等结论。 倍长中线模型 能利用该模型构造全等三角形，解决线段和角的等量关系、线段的位置关系等问题。 高频考点，常出现在解答题的几何证明或计算中。题目特征多为“已知三角形中线”，需通过倍长中线构造全等三角形，实现线段的平移和转化，进而解决线段相等、线段和差最值等问题。 截长补短模型 熟练运用截长补短的策略,构造全等三角形,证明线段的和、差、倍、分关系。 难点，主要考查于解答题的几何证明题，核心是解决“线段和差”问题。通过“截长”或“补短”的方式构造全等三角形，该模型常与角平分线、等腰三角形等知识点结合考查。 一线三等角模型 能识别一线三等角模型结构，并利用该模型证明三角形全等,进而求解线段长度角度大小等。 中频考点，多以选择题、填空题或解答题中档题形式出现。常见背景为直角三角形、等腰三角形或平面直角坐标系，通过“一条直线上三个相等的角”构造全等三角形，考查线段相等、角相等及坐标计算等问题。 半角模型 能识别半角模型的结构，能借助该模型构造全等三角形，处理含有半角的线段和角的关系问题。 难点，多出现在压轴题中。通常以正方形、等腰直角三角形为背景，存在“一个角是另一个角的一半”的条件，通过旋转构造全等三角形，证明线段和差关系。 知识点01 手拉手模型 模型归纳 知识点02 倍长中线模型 方法知指导： 条件：如图，为的中线 关键词：中线、中点 策略：延长中线至 ，使得，连接 结论： 知识点03 截长补短模型 方法指导 适用范围：证明线段的和差关系，如></m> 策略:①截长：在长边上截取一边等于一短边，证剩下的短边等于另一短边 ②补短：延长其中一短边使延长线等于另一短边，证延长之后的边等于长边 知识点04 一线三等角模型 模型归纳：条件：已知，，三点共线，，且 图示：同侧型 图示：异侧型 结论： 知识点05 半角模型 模型归纳： 正方形含半角 等腰直角三角形含半角 等边三角形含半角(∠BDC=120°) 等边三角形含半角(∠ACB=60°) 题型一 手拉手模型 【典例1】（23-24八年级上·湖北随州·期末）央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． (1)【模型探究】如图1，和中，，，且连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证：． (2)【模型指引】如图2，中，，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求：的度数． 小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点E，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． (3)【拓展延伸】如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点B向右下方延伸．仍在射线上取点D，使，试判断与有何数量关系？并证明． 【变式1-1】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． (1)【模型探究】如图1，和中，，，且，连接，．这一图形称为“手拉手模型”． 求证：，请你完善下列过程． 证明：∵， ∴即 在和中， ∴（    ）③ (2)【模型应用】如图2，中，，，以为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求：的度数．小颖同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点E，使，最后使问题得到了解决．请你帮她写出解答过程． (3)【拓展延伸】如图，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点向右下方延伸．仍在射线上取点，使，请直接写出与的数量关系． 【变式1-2】（23-24八年级上·吉林·期末）【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图①，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图②，与都是等腰三角形，，且，则有______________________； 【深入研究】如图③，已知，以为边分别向外作等边和等边，并连接，求证：； 【拓展延伸】如图④，在两个等腰直角和中，，连接，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 【变式1-3】（23-24八年级上·湖北恩施·期末）探究等边三角形“手拉手”问题：所谓手拉手模型是指有公共顶点且顶角相等的两个等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形等，因为顶点相连的有四条边，形象地可以看作两双手，所以通常称为手拉手模型． (1)如图1，已知，均为等边三角形，点D在线段上，且不与点B、点C重合，连接，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，已知、均为等边三角形，连接，若，试说明点B，点D，点E在同一直线上； (3)如图3，已知点E在等边外，并且与点B位于线段的异侧，连接．若，猜测线段三者之间的数量关系，并说明理由． 题型二 倍长中线模型 【典例2-1】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）已知均为等边三角形． （1）如图1，点在线段上，分别连接．求证：． （2）【知识理解】 在通过构造全等三角形解决问题中，有一种方法叫“倍长中线法”．如图2，是的中线，延长到点，使得，连接，则根据“”可判定． 【知识应用】请应用以上方法解决问题： 如图3，点在内，是的中点，连接．若，且． ①求证：； ②判断线段与的数量关系并证明． 【典例2-2】（24-25八年级上·江西赣州·期末）学习全等三角形知识后，我们知道，当有中线时，通常会倍长中线构造“8”字型全等的方法来解决问题，如图1，已知中，点E为中点，连结并延长到点D，使，连接则有“8”字全等型．利用这种方法解下列问题． 【课例回顾】（1）如图2，为测量河对岸点A到点B的距离，借鉴上述方法，过点B画直线l，并在直线l上依次取点C和点D，使得，，请利用上述方法补全图形，指出测量哪条线段就可知道的长； 【猜想探究】（2）如图3，在中，D是的中点，，，，猜想线段与有什么数量关系？并证明； 【拓展提升】（3）如图4，在中，，，为中线，且，过点D作交于点E．请求线段的长．（用含d的式子表示） 【典例2-3】（24-25八年级上·吉林长春·期末）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，在中，，，求边上的中线的取值范围． （1）经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法，如图②：①延长到E使得；②再连结，把、、集中在中；③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是 ． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （2）利用小明的作图方法，结合图②，写出与的位置关系并证明． 应用： （3）如图③在四边形中，，点E是的中点．若是的平分线，则线段、和之间的等量关系为 ． 【变式2-1】（23-24八年级上·辽宁大连·期末）【问题初探】 在数学活动课上，张老师给出下面问题：如图，在中，，，点D在边上． （1）当时，过点C作，垂足为E，点F为的中点，连接． ①请找出图中与相等的角并直接写出结论______ ； ②求证：平分． 上面问题②小智同学从结论出发给出如下解题思路：若平分，则，可以通过合理添加辅助线，借助“构全等”来解决问题； 小琪同学从条件入手给出另一种解题思路：可以根据点F为的中点，通过“倍长中线”构全等来解决问题． 请你选择一名同学的解题思路来解决问题，并说明理由． 【学以致用】 （2）如图2，当时，，连接，且平分，过点D作于点F，若，求的值．    【变式2-2】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_____； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：： （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．求的面积． 【变式2-3】（22-23八年级上·浙江湖州·期末）【问题情境】在数学课上，老师出示了这样一个问题：已知，如图1，中，若，，点D为边中点，求边上的中线的取值范围． 经过小组合作交流，找到了解决方法：“倍长中线法”． (1)请按照上面的思维框图，完成证明． 【探究应用】 (2)已知：如图2，中，是边上的中线，E在边上，连接交于F，且．求证：； 【拓展延伸】 (3)如图3，若，，，是边上的中线，E是上一点，连接交于点F，且，求的长． 题型三 截长补短模型 【典例3-1】（24-25八年级上·山西阳泉·期末）综合与实践 【方法学习】“截长补短法”是初中数学几何题中常用的辅助线添加方法，也是将复杂几何题化难为易的一种解题思路．“截长补短法”主要通过截取长线段的一部分或延长短线段，以构造出有助于解题的全等三角形或其他几何图形．具体来说，截长是指在一条较长的线段上截取一段，使其长度等于某一条较短的线段；补短则是将一条较短的线段延长，使其长度等于某一条较长的线段，从而解决问题． 【解决问题】 如图①，在中，平分，交于点，且．求证：． 【方法应用】 (1)为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整． 平分， ， 在和中， ， （ ① ）， ，． ， ． 是的一个外角， ， ， ② ，（ ③ ） ， ． (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，．求的长． 【典例3-2】（25-26八年级上·全国·期末） “截长补短法”证明线段的和差问题： 先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究． 背景材料： （1）如图1：在四边形中，，，，E，F分别是上的点，且．探究图中线段之间的数量关系．探究的方法是，延长到点G．使，连接，先证明，再证明，可得出的结论是 ． 探索问题： （2）如图2，若四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程． 【变式3-1】（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）【问题初探】    在解决“如图1，在中，于D，若，求证：”时，有两名同学给出了不同的解答思路： ①如图2，小芳从条件入手，采用“截长补短”法，在上截取，连接，从而解决问题． ②如图3，小亮从结论出发，作的垂直平分线交于点E，连接，从而解决问题． （1）请选择一名同学的解答思路，写出解答过程． 【迁移应用】 （2）如图，线段于E，点F，G分别为上两点，且，．求证：． 【变式3-2】（23-24八年级上·辽宁大连·期末）【问题情境】 在数学活动课上，李老师给出如下的问题： 如图1，已知，，过点B作射线l，点E在的内部，点A和点E关于l对称，交l于点D，连接．证明：． 【探究合作】 同学们根据问题进行小组合作，下面是第一小组的同学分享的解题过程： 小红：除已知所给相等的边和角之外，我们小组还推理得到； 小鹏：从结论出发可以“截”较长的线段，本题转化为证明两条线段相等的问题．如图2，在上截取，再证明； 小亮：要证明，观察图形选取“证明这两条线段所在的三角形全等”的方法，如图3，连接，以为目标构造与之全等的三角形； 小明：与小鹏的想法类似，但采用将结论中任一较短的线段“补”的方法．如图4，延长到点G，使，连接，再确定一个三角形作为目标构造与之全等的三角形证明． 【推理证明】 （1）请你推理出小红的结论； （2）根据第一小组同学们的解题思路，任选一种方法证明． 【反思提升】 李老师：小鹏和小明利用“截长补短”的方法，将“求证一条线段等于两条线段和的问题”转化为“求两条线段相等的问题”，这就将新问题转化为我们熟悉的问题去解决，转化思想在数学学习中无处不在． 请同学们反思后解决下面的问题： （3）如图，， ，点D是的角平分线上一动点，的垂直平分线交射线于E，求的最小值． 【变式3-3】（22-23八年级上·辽宁葫芦岛·期末）截长补短法在初中数学中有着重要的作用，它主要是用来证线段的和差问题．截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段．证剩下的那一段等于另外一段较短的线段．已知点O是线段垂直平分线l上的一个动点，以为边作等边，点C在直线的上方且在直线l的右侧，连接交直线l于点D，连接． (1)如图1，点O在线段上，请直接用等式表示线段，，之间的数量关系：______； (2)若点O在线段的上方，连接，且满足．如图2，当时，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 题型四 一线三等角模型 【典例4-1】（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形． 根据对材料的理解解决以下问题∶ (1)如图1，，．猜想，，之间的关系：__________ (2)如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长． 【典例4-2】（23-24八年级上·江西吉安·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：． 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2），即“一线三等角”模型和“K字”模型． （1）请在上图2中选择其中一个模型进行证明． 【模型应用】 （2）如图3，正方形中，，，求的面积． （3）如图4，四边形中，，，，，，求的面积．    【典例4-3】（24-25八年级上·湖南永州·期末）“一线三等角”，是我们学习三角形知识经常用到的经典模型． (1)如图1，为等腰直角三角形，，，D、A、E三点都在直线l上，且，若，则 ． (2)如图2，，，，连接，且于点G，与直线交于点，求证：点是的中点． (3)如图3，过的边向外作正方形、正方形，是边上的高，延长交于点I，，求的面积． 【典例4-4】（23-24八年级上·广东湛江·期末）[理解探究] “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形，    (1)[问题解决] 如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证∶ (2)[问题探究] 如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长 (3)[拓展延伸] 如图3，在等腰直角中，，，且在平面直角坐标系中，点C在y轴正半轴上，点A坐标为，点B是第一、第三象限的角平分线上的一个点，求点C的坐标 【变式4-1】（23-24八年级上·安徽合肥·期末）数学模型学习与应用： 学习：如图1，，，于点C，于点E．由，得；又，可以通过推理得到，进而得到，．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型． (1)应用：如图2，在中，，点D，A，E都在直线l上，并且．若，，求的长度（用含a，b的代数式表示）； (2)拓展：如图3，在（2）的条件下，若，且是等边三角形，试判断的形状，并说明理由． 【变式4-2】（24-25八年级上·陕西延安·期末）模型呈现 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图①，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图②、图③），即“一线三等角”模型． 问题发现 （1）如图②，中，，，直线过点，过点，分别作于点，于点，求证：； （2）如图③，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出线段之间的数量关系，无需证明； 问题提出 （3）如图④，四边形中，的面积为12且的长为6，求的面积． 【变式4-3】（24-25八年级上·江西宜春·期末）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：    【模型呈现】 （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：，． 【模型应用】 （2）如图2，，，，于点于点H，于点P，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． 【深入探究】 （3）如图3，，，，连接，且于点与直线交于点G． ①求证：； ②若，，则的面积为________． 【变式4-4】（24-25八年级上·广东湛江·期末）通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，．过点B作于点C．过点D作于点E．求证：，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 请运用图1的模型解决下列问题： 【模型应用】（2）如图2，且．且．请按图中所标注的数据（于点P，于点G，与点H．，，）．计算图中实线所围成的图形的面积为______． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点． 【拓展延伸】（4）如图4，在平面直角坐标系中．点A的坐标为．点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形?如果存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型五 半角模型 【典例5-1】（22-23八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【典例5-2】（23-24八年级下·山西朔州·期中）阅读与思考 下面是莉莉同学的数学学习笔记的部分内容．请仔细阅读，并完成相应的任务． 神奇的“半角模型” 初中数学中存在一些常见的模型，“半角模型”就是其中之一，“截长补短”法是解决这类问题的一种常用方法． 例题：如图，在正方形中，点E，F分别在边上，且． 求证：． 证明：如图，延长至点G，使得． 四边形是正方形， （依据1），． ， ， ， （依据2），． ，， ， ，即， ． ，，， ． 拓展：如图，在四边形中，，， ，E，F分别是边上的点，且，． 求五边形的周长． 任务： (1)材料中的依据1是指________________，依据2是指________________． (2)根据例题中的方法，补全材料“拓展”中的辅助线． (3)在材料“拓展”中，五边形的周长为________． 【变式5-1】（25-26八年级上·山东临沂·期中）【问题背景】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问题． 如图1，在四边形中，，点，分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小雨同学的方法是延长到点．使，连接，先证明，再证明，从而得出结论：_____； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 【变式5-2】（24-25八年级上·全国·期中）【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为）中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得，进而证出度数，最后证明，即可得出结论．请补充辅助线的作法，并写出完整证明过程． （1）延长到点G，使 ，连接． （2）求证：． 【问题应用】如图2，在四边形中，，以A为顶点的分别交于E、F，且，求五边形的周长 【变式5-3】（23-24八年级下·河南南阳·期末）【问题背景】 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与两对边的交点，构成的基本平面几何模型称为半角模型． 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，以A为顶点的，与边分别交于E，F两点．则之间的数量关系为_________． 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，，，以A为顶点的，与边分别交于E，F两点，且，求五边形的周长． 【问题拓展】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点E，F分别在射线上，且．当，，时，请直接写出的周长．    期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，，能保证成立条件有（   ） ； ； ； A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形中，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．7 C．12 D．20 3．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，已知：，，现有下列结论：①；②；③;④．其中不正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（24-25八年级上·云南大理·期末）如图，，是的中点，平分，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ． 6．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，，，，且点B、D、E在同一条直线上．给出下面四个结论； ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 7．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在四边形中，对角线，交于点O，，E是上一点，且，．求证：． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，已知和都是等腰直角三角形，，． (1)如图①所示，延长交于点F，求的度数； (2)将绕点A旋转如图②所示位置摆放，连接，，且与交于点F，请判断与之间位置与数量关系，并说明理由． 2．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，，点E是的中点．平分． (1)求证：是的平分线； (2)已知，求四边形的面积． 3．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，求的取值范围．我们可以延长到点E．使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：___________； (2)如图2，．点D为的中点，连接．求证：． 4．（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图①，已知，，是过点A的一条直线，且点B，C在的两侧，，垂足为点D，，垂足为点E． (1)求证：； (2)若将图①直线绕点A旋转到如图②所示的位置（），其余条件不变，则、、三者的数量关系如何？（直接写出结论） (3)若将图①直线绕点A旋转到如图③所示的位置（），其余条件不变，则、、三者的数量关系如何？（直接写出结论） 5．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点A为上一点，过点A作 垂足为C，延长交于点B， 可根据 证明，则， (即点C为的中点)． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于E，若，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3） 如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（22-23八年级上·云南昆明·期末）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： ［模型呈现] （1）如图1．，， 过点B作于点C．过点D作于点E． 由．得． 又．可以推理得到． 进而得到___，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； ［模型应用] （2）如图2．且，且． 按照图中所标注的数据．图中实线所围成的图形的面积为（    ） A．50    B．54    C．66    D．68 ［深入研究] （3）如图3．，，．连楼，．于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点．      2．（23-24八年级上·江西赣州·期末）学习全等三角形知识后，我们知道，当有中线时，通常会倍长中线构造“8”字型全等的方法来解决问题，如图1，已知中，点为中点，连结并延长到点，使，连接，则有“8”字全等型．利用这种方法解下列问题． 【课例回顾】 （1）如图2，为测量河对岸点到点的距离，借鉴上述方法，过点画直线，并在直线上依次取点和点，使得，请利用上述方法补全图形，指出测量哪条线段就可知道的长，并说明理由； 【猜想探究】 （2）如图3，在中，是的中点，，猜想线段与有什么数量关系？并证明； 【拓展提升】 （3）如图4，在中，为中线，且，过点作交于点．请求线段的长．（用含的式子表示） 3．（22-23八年级上·甘肃庆阳·期末）小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现老师教过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到点E，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决请回答： (1)小明证明用到的判定定理是：________；（用字母表示） (2)请你帮助小明完成取值范围的计算；小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题； (3)如图3，在中，为边上的中线，且平分，求证：． 4．（24-25八年级上·重庆綦江·期末）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____，_____，_____．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图2，，，，连接，，的面积为，的面积为，，求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题04全等三角形热考几何模型（期末复习讲义） 明·期末考情 核心考点 复习目标 考情规律 手拉手模型 能识别手拉手模型的结构，能 高频考点，多以选择题、填空题的压轴题或解答题的中档 运用该模型证明三角形全等， 题形式出现。通常以等腰三角形为背景，通过两个等腰三 推导线段和角的关系，解决相 角形的公共顶点旋转，形成“手拉手”全等结构，考查线 关几何问题。 段相等、角相等、线段垂直等结论。 倍长中线模型 能利用该模型构造全等三角 高频考点，常出现在解答题的几何证明或计算中。题目特 形，解决线段和角的等量关系、 征多为“已知三角形中线”，需通过倍长中线构造全等三 线段的位置关系等问题。 角形，实现线段的平移和转化，进而解决线段相等、线段 和差最值等问题。 截长补短模型 熟练运用截长补短的策略，构 难点，主要考查于解答题的几何证明题，核心是解决“线 造全等三角形，证明线段的和、 段和差”问题。通过“截长”或“补短”的方式构造全等 差、倍、分关系。 三角形，该模型常与角平分线、等腰三角形等知识点结合 考查。 一线三等角模 能识别一线三等角模型结构， 中频考点，多以选择题、填空题或解答题中档题形式出现。 型 并利用该模型证明三角形全 常见背景为直角三角形、等腰三角形或平面直角坐标系， 等，进而求解线段长度角度大 通过“一条直线上三个相等的角”构造全等三角形，考查 小等。 线段相等、角相等及坐标计算等问题。 半角模型 能识别半角模型的结构，能借 难点，多出现在压轴题中。通常以正方形、等腰直角三角 助该模型构造全等三角形，处 形为背景，存在“一个角是另一个角的一半”的条件，通 理含有半角的线段和角的关 过旋转构造全等三角形，证明线段和差关系。 系问题。 记·必备知识 知识点01手拉手模型 !模型归纳 1/91 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 分别连接 D底角的顶点 A 顶角相等且顶点重合 的两个等腰三角形 △OAC≌△OBD 同知识点02倍长中线模型 方法知指导： 条件：如图，AO为△ABC的中线 关键词：中线、中点 策略：延长中线AO至D,使得D0=AO,连接BD 结论： △AOC≌△DOB L 局知识点03截长补短模型 方法指导 适用范围：证明线段的和差关系，如Q=b+c 策略：①截长：在长边上截取一边等于一短边，证剩下的短边等于另一短边 ②补短：延长其中一短边使延长线等于另一短边，证延长之后的边等于长边 同知识点04一线三等角模型 模型归纳：条件：已知A,P,B三点共线，PC=PD,且∠1=∠2=∠3 2/91 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图示：同侧型 图示：异侧型 D A2 结论：△APC≌△BDP L- 知识点05半角模型 模型归纳： B 45 45 E G DE B D 正方形含半角 等腰直角三角形含半角 309 30° E B A E B 等边三角形含半角（∠BDC=120°） 等边三角形含半角（∠ACB=60°） 3/91 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 破·重难题型 题型一 手拉手模型 【典例1】(23-24八年级上·湖北随州，期末)央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学 区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”.几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些 基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题. 图1 图2 图3 (1)【模型探究】如图1，△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE连接BE,CD,这 一图形称“手拉手模型”，求证：△ABE≌△ACD, (2)【模型指引】如图2，△ABC中，AB=AC,∠BAC=40°，以B为端点引一条与腰AC相交的射线，在射 线上取点D,使∠ADB=∠ACB,求：∠BDC的度数 小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在BD上找一点E,使AE=AD,最后使问题得到解决，请你帮他 写出解答过程。 (3)【拓展延伸】如图3，△ABC中，AB=AC,∠BAC为任意角度，若射线BD不与腰AC相交，而是从端 点B向右下方延伸，仍在射线上取点D,使∠ADB=∠ACB,试判断∠BAC与∠BDC有何数量关系？并证 明. 【详解】(1)证明：∠BAC=∠DAE, .∠BAC-∠I=∠DAE-∠I(等量代换) 即∠2=∠3， (AB=AC 在△ABE和△ACD中 ∠2=∠3 AE=AD ·△ABE≌△ACD(SAS). (2)解：△ABC中，AB=AC,∠BAC=40°， .∠ABC=∠ACB=180°-40 =70°， 2 4/91 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ..∠ADB=∠ACB=70°， .AE=AD, ∴.∠AED=∠ADB=70°， ·.∠EAD=180°-∠AED-∠ADB=40°， ∴.∠EAD=∠BAC, ∴.∠EAD-∠EAC=∠BAC-∠EAC, ∴.∠BAE=∠CAD, AB=AC 在△BAE和△CAD中 ∠BAE=∠CAD, AE=AD ∴.△BAE≌△CAD, ∴.∠ADC=∠AEB, .∠ADB+∠BDC=∠ADB+∠EAD, .∠BDC=∠EAD=40°. (3)解：∠BDC+∠BAC=180°；理由如下： 如图，在DB的延长线上找一点E,使AE=AD, D 设∠BAC=, .AB=AC, 1=∠2=180-a-=90-0 ∠3=∠1=90°- 2’ AE=AD, ∠4=∠3=90°-0 ∴.∠EAD=180°-∠3-∠4=a, ∴.∠EAD=∠BAC, 5/91 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·∠EAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD, ∴.∠BAE=∠CAD, 「AB=AC 在△BAE和△CAD中 ∠BAE=∠CAD, AE=AD .'.△BAE2△CAD, ∴∠ADC=∠4=90°- 2 ∠BDC=3+Dc-20- =180°-a, .∠BDC+∠BAC=180°. 【变式1-1】(24-25八年级上·内蒙古通辽期末)数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理.几何学 习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理， 以解决新的问题。 D 图1 图2 图3 (1)【模型探究】如图1，△ABC和△ADE中，AB=AC,AE=AD,且∠BAC=∠DAE,连接BE,CD.这 图形称为“手拉手模型” 求证：△ABE≌△ACD,请你完善下列过程 证明：∠BAC=∠DAE, ·∠BAC-∠I=∠DAE-∠I即∠2=∠3 AB=AC 在△ABE和△ACD中 ①， ② ·△ABE≌△ACD()③ (2)【模型应用】如图2，△ABC中，AB=AC,∠BAC=42°，以B为端点引一条与腰AC相交的射线，在 射线上取点D,使∠ADB=∠ACB，,求：∠BDC的度数，小颖同学通过观察，联想到手拉手模型，在BD上 找一点E,使AE=AD,最后使问题得到了解决，请你帮她写出解答过程， 6/91 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)【拓展延伸】如图3，△ABC中，AB=AC,∠BAC为任意角度，若射线BD不与腰AC相交，而是从端 点B向右下方延伸.仍在射线上取点D,使∠ADB=∠ACB,请直接写出∠BAC与∠BDC的数量关系， 【详解】(1)证明：：∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAC-∠1=∠DAE-∠1，即∠2=∠3， 在△ABE和△ACD中， (AB=AC ∠2=∠3， AD=AE .△ABE≌△ACD(SAS), 故答案为：∠2=∠3，AD=AE;SAS (2)解：如图2，在BD上取一点E,使AE=AD, D.AE=AD,AB=AC, 图2 ∴.ADE=∠AED,∠ABC=∠ACB, .∠ADB=∠ACB, .∠BAC=∠DAE=42°， ∴.∠BAC-∠EAC=∠DAE-∠EAC, ∴.∠BAE=∠CAD, 又AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD, .∴△ABE≌△ACD(SAS), .∠ABE=∠ACD, 设AC和BD交于点O, .∠AOB=∠COD, .∠BDC=∠BAC=42°； (3)解：∠BAC+∠BDC=180°， 理由：如图3，在DB延长线上取一点E,使得AE=AD, 7/91 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 设∠BAC=x, AB=AC, ∠1=∠2-1809-0=90°- 2 2 ∠3=1=90°- 2’ AE AD, ∴∠4=∠3=90°-0 .∠EAD=180°-∠3-∠4=， ·∠EAD=∠BAC, ∠EAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD, .∠BAE=∠CAD, 在△BAE和△CAD中， AB=AC ∠BAE=∠CAD, AE=AD △ABE≌△ACD(SAS), ∠ADC=∠4=90°-0 ∠BDC=∠3+∠ADC=290°- 2 =180°-0 ∴.∠BAC+∠BDC=180°； 【变式1-2】(23-24八年级上·吉林期末)【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互 相重合，则称此图形为”手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为 “手拉手模型”，如图①，△ABC与△ADE都是等腰三角形，其中∠BAC=∠DAE,则 △ABD≌△ACE(SAS) 8/91 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图① 图② 图③ 图④ 【初步把握】如图②，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE,则有 ≌ 【深入研究】如图③，已知△ABC,以AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE,并连接 BE、CD,求证：BE=CD; 【拓展延伸】如图④，在两个等腰直角△ABC和△ADE中，AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠DAE=90°，连接 BD、CE,交于点P,请判断BD和CE的关系，并说明理由， 【详解】[初步把握] 解：：∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC, 即∠BAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE ∴.△ABD≌△ACE(SAS), 故答案为：△ABD,△ACE; [深入研究] 证明：△ABD和△ACE都是等边三角形， .AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠CAE=6O°，∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, 即∠DAC=∠BAE, 在△ABE和△ADC中， AB=AD. ∠BAE=∠DAC,. AE=AC, 9/91 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.△ABE≌△ADC(SAS) .BE=CD [拓展延伸] 解：BD=CE,BD⊥CE, 理由如下： ∠BAC=∠DAE=90°， ∴.∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE, 即∠CAE=∠BAD, 在△ABD和△ACE中， AB=AC, :{∠BAD=∠CAE, AD=AE, ∴.△ABD≌△ACE(SAS). ∴.BD=CE,∠ABD=∠ACE, :∠BPC+∠ABD=∠BAC+∠ACE, ∴.∠BPC=∠BAC=90°， ∴.BD⊥CE 【变式1-3】(23-24八年级上·湖北恩施期末)探究等边三角形“手拉手”问题：所谓手拉手模型是指有公共 顶点且顶角相等的两个等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形等，因为顶点相连的有四条边，形象地 可以看作两双手，所以通常称为手拉手模型 图1 图2 图3 (1)如图1，已知△ABC,△ADE均为等边三角形，点D在线段BC上，且不与点B、点C重合，连接CE, 试判断CE与BA的位置关系，并说明理由； (2)如图2，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD,若∠DEC=60°，试说明点B,点D,点E 在同一直线上： (3)如图3，己知点E在等边△ABC外，并且与点B位于线段AC的异侧，连接BE、CE,若∠BEC=60°，猜 10/91 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 测线段BE、AE、CE三者之间的数量关系，并说明理由， 【详解】(1)解：CE∥AB,理由如下： :△ABC、△ADE都是等边三角形， AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=∠B=60°， ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, ∠BAD=∠CAE, 在△BAD和△CAE中， (AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE △BAD≌△CAE(SAS), ∠B=∠ACE=60°， .∠BAC=∠ACE=60°， CE∥AB; (2)证明：△ABC、△ADE都是等边三角形， AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=∠ADE=60°， ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, ∴.∠BAD=∠CAE, :∠AED=60°，∠DEC=60°， ∴.∠AEC=120°， 在△BAD和△CAE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE ·△BAD≌△CAE(SAS), .∠ADB=∠AEC=120°， ∴.∠ADB+∠ADE=180°， “点B,点D,点E在同一直线上； (3)解：结论：BE=AE+EC,理由如下， 11/91 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如图3，在线段BE上取一点H,使得BH=CE,设AC交BE于点O, E 图3 :△ABC是等边三角形， AB=BC,∠BAC=60°， :∠BEC=60°， .∠BAO=∠OEC=60°， ∠ABH=180°-∠BAO-∠AOB,∠ACE=180°-∠OEC-∠EOC,∠AOB=∠EOC, .∠ABH=∠ACE, 在△ABH和△ACE中， AB=AC ∠ABH=∠ACE, BH=CE △ABH≌△ACE(SAS), ∠BAH=∠CAE,AH=AE, ∠HAE=∠BAC=60°， :△AEH是等边三角形， ..AE =EH, ..BE=BH+EH=EC+AE, .BE AE+EC. 它题型二 倍长中线模型 【典例2-1】(24-25八年级上，贵州遵义·期末)已知△ABC,△CDE均为等边三角形. (1)如图1，点C在线段AE上，分别连接AD,BE.求证：AD=BE. (2)【知识理解】 在通过构造全等三角形解决问题中，有一种方法叫“倍长中线法”.如图2，AD是△ABC的中线，延长AD 到点E,使得DE=AD,连接CE,则根据“SAS"可判定△ABD≌△CED. 12/91 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【知识应用】请应用以上方法解决问题： 如图3，点D在△ABC内，P是BC的中点，连接DP,DA,DB.若DB⊥DP,且AD=2PD, ①求证：AD⊥AE; ②判断线段CD与BD的数量关系并证明. B A D E E 图1 图2 图3 【详解】(1)证明：：△ABC,△CDE均为等边三角形 ∴AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠DCE, ∴.∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD 即：∠ACD=∠BCE ∴.△ACD≌△BCE(SAS). ..AD=BE (2)【知识应用】①证明：如图3，延长DP到点F,使PF=DP,连接CF, B .∠BPD=∠CPF E 图3 :P是BC的中点 ..BP=CP ∴△BPD≌△CPF(SAS). ∴.∠F=∠BDP,BD=CF 又DB⊥DP 13/91 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.∠BDP=909 .·.∠F=∠BDP=90 又：AD=2PD .AD=DF 由(1)同理可证：△ACE≌△BCD .AE=BD ·AE=CF 又：DE=CD ∴.△ADE≌△CDF(SSS) ∴.∠DAE=∠F=90° .AD⊥AE. ②CD=2BD, 由①可知：△ADE≌△CDF ∴.∠ADE=LCDF 设∠ADE=∠CDF=a,则∠AED=90°- .∴∠AEC=90°-+60°=150°-，∠BDC=90°+x 又：△ACE≌ABCD ∴.∠AEC=∠BDC 即：150°-x=90°+x解得：x=30° ∴.在Rt△CDF中，∠CDF=30° .CFCD 而CF=BD ..BD=-CD 【典例2-2】(24-25八年级上江西赣州期末)学习全等三角形知识后，我们知道，当有中线时，通常会倍 长中线构造“8”字型全等的方法来解决问题，如图1，已知△ABC中，点E为BC中点，连结AE并延长到点 D,使ED=EA,连接CD则有"8"字全等型△ABC≌△DEC,利用这种方法解下列问题. 14/91 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 图1 图2 图3 图4 【课例回顾】(1)如图2，为测量河对岸点A到点B的距离，借鉴上述方法，过点B画直线1，并在直线1 上依次取点C和点D,使得AC⊥1，BC=BD,请利用上述方法补全图形，指出测量哪条线段就可知道AB 的长； 【猜想探究】(2)如图3，在△ABC中，D是AC的中点，BA=BE,BC=BF,∠ABE=∠CBF=90°， 猜想线段BD与EF有什么数量关系？并证明； 【拓展提升】(3)如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=d,CD为中线，且∠ACD=15°，过点D作 ED⊥CD交AC于点E,请求线段CE的长.（用含d的式子表示） 【详解】解(1)①补充如图，作DM⊥1交1于点D,延长AB交DM于点M,则AB=BM,即知道BM 就可知道AB的长； 图2 证明：AC⊥CD,DM⊥CD, .∠ACB=∠MDB, 又~CB=BD, ∠ABC=∠MBD, .△ABC≌△MBD(ASA), ..AB=BM; （2)BD=EF,理由如下： 2 15/91 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G D E BA 延长BD到G,使得DG=BD,则BD=BG, 由(1)知，△BDA≌△CDG, .CG=AB,∠BAC=∠DCG, AB∥CG, ∴.∠ABC+∠BCG=180°， '∠ABE=∠FBC=90°， .∠ABC+∠EBF=180°， ∠BCG=∠EBF, BF=BC 在AGBC和△EBF中， ∠BCG=∠EBF, BE=CG ·.△GBC≌△EBF(SAS), .BG=EF, .BD=LEF: 2 (3)如图4，延长CD到F使DF=CD, D为AB中点， .BD=AD, E D 图4 ∠ADF=∠BDC, .△ADF≌△BDC(SAS), 16/91 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .AF=BC=d,∠FAD=∠B, ∠ACB=90°， ∠CAB+∠B=∠CAB+∠BAF=90°， .∠CAF=90°， ED⊥CD, ..EF=CE, ∴.∠ECF=∠EFC=15°， .∠AEF=30°， ∴CE=EF=2AF=2d. 【典例2-3】(24-25八年级上·吉林长春·期末)阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如 图①，在△ABC中，AC=7,AB=3,求BC边上的中线AD的取值范围. 图① 图② 图③ (1)经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法，如图②：①延长AD到E使得DE=AD;②再连 结CE,把AB、AC、2AD集中在△ACE中；③利用三角形的三边关系可得4<AE<10,则AD的取值范 围是 感悟：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知 条件和所求证的结论集中到同一个三角形中 (2)利用小明的作图方法，结合图②，写出AB与CE的位置关系并证明. 应用： (3)如图③在四边形ABCD中，AB∥CD,点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，则线段AB、 AD和DC之间的等量关系为 , 【详解】解：(1)4<AE<10,AD=DE= 2<AD<5; 故答案为：2<AD<5; (2)AB∥CE, 17/91 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 理由如下：由题可知AD=DE, BD=CD,∠ADB=∠EDC, △ABD≌△ECD(SAS), ∠B=∠DCE, AB∥CE; (3)AD=AB+DC. 理由：如图，延长AE,DC交于点F, B E 图③ AB∥CD, ∠BAF=F, 在△ABE和△FCE中， 「∠AEB=∠FEC ∠BAF=∠F, BE=CE ∴△ABE≌△FEC(AAS), ..CF=AB, AE是∠BAD的平分线， ∴∠BAF=∠FAD, ∴∠FAD=∠F, :.AD=DF, DC+CF=DF, ..AD=AB+DC, 故答案为：AD=AB+DC. 【变式2-1】(23-24八年级上辽宁大连期末)【问题初探】 在数学活动课上，张老师给出下面问题：如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=,点D在BC边上， 18/91 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)当=90°时，过点C作CE⊥AD,垂足为E,点F为BC的中点，连接EF, ①请找出图中与∠BAD相等的角并直接写出结论 ②求证：EF平分∠DEC. 上面问题②小智同学从结论出发给出如下解题思路：若EF平分∠DEC,则∠CEF=45°，可以通过合理添 加辅助线，借助“构全等”来解决问题； 小琪同学从条件入手给出另一种解题思路：可以根据点F为C的中点，通过“倍长中线”构全等来解决问 题. 请你选择一名同学的解题思路来解决问题，并说明理由. 【学以致用】 (2)如图2，当a=60°时，AC=AE,连接CE,且AD平分∠BAE,过点D作DF⊥AE于点F,若 CD=Br,求 B的值. B B 图1 图2 【详解】(1)解：①：∠BAC=90°， .∴.∠BAD+∠DAC=90°， :CE⊥AD, ∴∠AEC=90°， .·.∠ACE+∠ADC=90°， .∠BAD=∠ACE, 故答案为：∠ACE, ②证明：如图1， 19/91 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 H B D 图1 连接AF,作FG⊥CE于G,作FH⊥AD于H,设AF交CE于O, .∠AHF=∠CGF=90°， :∠BAC=90°，F是BC的中点，AB=AC, :.AF=CF=-BC,AFIBC, 2 .∠AFC=90°， .'∠AOE=∠COF, :.∠FAH=∠FCG, .∴△AFH2△CFG(AAS), ∴.FH=FG, .EF平分∠CED. (2)解：如图2， A X B D E 图2 作DX⊥AB于X,连接DE, .∠BAC=60°，AB=AC, ∴.△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°，AB=AC=BC=AE, :DF⊥AE,AD平分∠BAE, 20/91 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴DX=DF,∠ADX=∠ADF, ..AX=AF, ∴.AB-AX=AE-AF, ..BX =EF, .Rt△BDX≌Rt△BDF(HL), ..BX=EF, .'∠B①=90°，∠B=60°， .∠BDX=30°， E球即 设EF=a,则BD=2a, .·CD=kEF, .'.CD=ka, ...AB=BC=BD+CD=(k+2a, EF 1 AB k+2 【变式2-2】(24-25八年级上·湖北襄阳期末)【发现问题】 B D E B 图1 图2 图3 (1)数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，AB=6,AC=4,中线AD的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长AD到E,使得DE=AD; ②连接BE,通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB-BE<AE<AB+BE,从而得到AD的取值范围是； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 21/91 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图2，OA=OB,OC=OD,∠AOC与∠BOD互补，连接AC、BD,E是AC的中点，求证： OFD (3)如图3，在(2)的条件下，若∠AOB=90°，延长EO交BD于点F,OF=3,OE=6,求△AOC的 面积. 【详解】解： (1)AD是△ABC的中线. .BD=CD, DE=AD,∠ADC=∠EDB, .△ADC≌△EDB, ..BE=AC=4, 可得AB-BE<AE<AB+BE, 即：2<2AD<10, ∴.1<AD<5, 故答案为：1<AD<5; (2)延长OE至点H,使得HE=OE,连接CH,如图2： 图2 由题意得：CE=AE, :HE=OE,∠AEO=∠CEH, ∴.△AEO≌△CEH(SAS), ∴.CH=AO=BO,∠HCE=∠OAE, ∴AO∥CH, ∴.∠HC0+∠AOC=180°， .·∠BOD+∠AOC=180°， .∴.∠HCO=∠BOD, 在△HCO和△BOD中， 22/91 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 HC=BO ∠HCO=∠BOD, CO=OD .△HCO≌△BOD(SAS), ∴.OH=BD, OE-IBD: 2 (3)如图3， 由(2)可得：BD=HO=2OE=12，S△Bop=S△Hco,SHcB=SAOg, S.HC+S.C8O=S40+S.CBo. SHco=SAoc=S,BoD· H.3 图3 .·∠AOB=90°，∠AOB+∠COD=180°， ∴.∠COD=∠COE+∠DOF=90° ·.'△HCO≌△BOD ∴.∠D=∠COE, ∴.∠D+∠DOF=90°， ∴.OF⊥BD, ∴.S40c=S80D= 12✉3=18 【变式2-3】(22-23八年级上·浙江湖州期末)【问题情境】在数学课上，老师出示了这样一个问题已知， 如图1，△ABC中，若AC=5,BC=3,点D为AB边中点，求AB边上的中线CD的取值范围. 经过小组合作交流，找到了解决方法：“倍长中线法”. 23/91 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 图3 延长CD至点E、 AC已知 使DE=CD CE范围 BC=AE △ADE≌△BDC D是AB中点 CD范围 LCDB=∠ADE CE=2CD CD=DE (1)请按照上面的思维框图，完成证明. 【探究应用】 (2)已知：如图2，△ABC(CA≠CB)中，CD是AB边上的中线，E在BC边上，连接AE交CD于F,且 AF=BC,求证：∠AFD=∠BCD; 【拓展延伸】 (3)如图3，若∠ABC=90°，AB=3,BC=4,AD是BC边上的中线，E是AB上一点，连接CE交AD于点 F,且CF=AB=3,求AE的长 【详解】(1)解：如图1，延长CD至点E,使DE=CD,连接AE, :点D为AB边中点， .'AD=DB, 在△ADE和△BDC中， AD=DB ∠CDB=∠ADE, DE=CD .·△ADE≌△BDC(SAS), ∴.CD=DE,BC=AE=3, CD-iCE. 在△ACE中，AC-AE<CE<AC+AE, ∴.5-3<CE<5+3, .2<CE<8, 24/91 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .1<CD<4; C B E 图1 (2)解：如图2，延长CD到点M,使得DM=CD,连接AM, :D是AB的中点， ∴.AD=DB, 在△ADM和△BDC中， AD-BD ∠CDB=∠ADM, DM=CD .·△ADM≌△BDC(SAS), ∴.BC=AM,∠M=∠BCD, .AF=BC, ∴.AM=AF, ∴∠M=∠AFD, ∴.∠AFD=∠BCD; C D 图2 (3)解：如图3，延长AD至N,使DN=AD,连接CN, 由(1)同理得，△ABD≌△NCD(SAS), ∴.∠N=∠BAD,CN=AB=3, CF=AB=3, 25/91 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.CF=CN=3, ∴.∠CFN=∠N, .∠BAD=∠CFN, :∠EFA=∠CFN, .∴.∠BAD=∠EFA, ∴.AE=EF, 设AE=EF=x,则BE=3-x,CE=CF+EF=x+3, 在Rt△BCE中，由勾股定理得，BE?+BC2=CE, (3-x)+42=(x+3)°， 即4 解得r=4 3 D 图3 ☑题型三 截长补短模型 【典例3-1】(24-25八年级上山西阳泉期末)综合与实践 【方法学习】“截长补短法”是初中数学几何题中常用的辅助线添加方法，也是将复杂几何题化难为易的一种 解题思路.“截长补短法”主要通过截取长线段的一部分或延长短线段，以构造出有助于解题的全等三角形或 其他几何图形，具体来说，截长是指在一条较长的线段上截取一段，使其长度等于某一条较短的线段；补 短则是将一条较短的线段延长，使其长度等于某一条较长的线段，从而解决问题， 【解决问题】 如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC,交BC于点D,且∠B=2∠C,求证：AB+BD=AC. D B D B B D 图① 图② 图③ 26/91 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【方法应用】 (1)为了证明结论“AB+BD=AC”,小亮采用了“截长”的方法，如图②，在AC上截取AE,使得AE=AB, 连接DE,解答了这个问题.请按照小亮的思路将证明过程补充完整. :AD平分∠BAC, .∴.∠BAD=∠DAC, 在△ABD和△AED中， AB=AE,∠BAD=∠DAC,AD=AD, △ABD≌△AED(_①_)， ∴∠B=∠AED,BD=DE .∠B=2∠C, ∴.∠AED=2∠C. :∠AED是△DEC的一个外角， ∴∠AED=∠C+∠EDC, ..∠EDC=∠C, ∴._②，(_③_) .BD=CE, ..AB+BD=AE+EC=AC. (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形ABCD中，已知∠BAD=60°， ∠D=110°，∠ACD=40°，∠ACB=80°，CE是△ABC的高，AD=8,EB=2.求AB的长. 【详解】(1)为了证明结论“AB+BD=AC”,小亮采用了“截长"的方法，如图②，在AC上截取AE,使 得AE=AB,连接DE,解答了这个问题.请按照小亮的思路将证明过程补充完整. :AD平分∠BAC, ..∠BAD=∠DAC, 在△ABD和△AED中， AB=AE,∠BAD=∠DAC,AD=AD, ∴.△ABD≌△AED(SAS), .∠B=∠AED,BD=DE, ∠B=2∠C, ∴.∠AED=2∠C, 27/91 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠AED是△DEC的一个外角， ∴.∠AED=∠C+∠EDC, ∴.∠EDC=∠C, ∴.DE=CE(等角对等边)， ∴.BD=CE, ∴.AB+BD=AE+EC=AC. 故答案为：SAS;DE=CE;等角对等边； (2)在AE上截取AF=AD,连接CF, D B F E 由题意可得∠DAC=180°-∠D-∠ACD=180°-110°-40°=30°，∴.∠FAC=∠BAD-∠DAC=60°-30°=30°， ∴.∠DAC=∠FAC=30°， 在△DAC和△FAC中， 「AD=AF ∠DAC=∠FAC, AC=AC ∴.△DAC≌△FAC(SAS), ∴.∠AFC=∠D=110°， .∠CFE=180°-∠AFC=70°，：∠B=180°-∠ACB-∠FAC=180°-80°-30°=70°， ∴.∠B=∠CFE, CE⊥AB, .∠CEF=∠CEB=90°， 在△CEF和△CEB中， ∠CFE=∠B ∠CEF=∠CEB CE=CE ∴.△CEF≌△CEB(AAS), ∴.EF=BE, 28/91 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.BF=2BE, :AD=8,EB=2, ∴.AF=AD=8,BF=4, ∴.AB=AF+BF=12. 【典例3-2】(25-26八年级上全国·期末)“截长补短法”证明线段的和差问题： 先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究， 背景材料： (1)如图1：在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E,F分别是BC,CD上的 点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.探究的方法是，延长FD到点G,使 DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG，,再证明△AEF≌△AGF,可得出的结论是_· 探索问题： (2)如图2，若四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是BC,CD上的点，且 ∠E4P=∠BAD,上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程。 2 G D B E 图1 图2 【详解】解：(1)EF=BE+DF, 理由：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, ∠B=∠ADC=90°，∠ADC+∠ADG=180°， .∠B=∠ADG, 在△ABE和△ADG中， BE=DG ∠B=∠ADG, AB=AD ·△ABE≌△ADG(SAS), .AE=AG,∠BAE=∠DAG, :∠EAF=60°，∠BAD=120°， 29/91 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 六∠EAF=∠BAD, 2 ·∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF, 在△AEF和△AGF中， AE=AG ∠EAF=∠GAF, AF=AF △AEF≌△AGF(SAS), .EF=FG FG=DG+DF=BE +DF, ..EF=BE+DF 故答案为：EF=BE+DF; (2)解：结论EF=BE+DF仍然成立； 理由：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, G B E 图2 :∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°， ∴.∠B=∠ADG, 在△ABE和△ADG中， BE=DG ∠B=∠ADG, AB=AD ·△ABE≌△ADG(SAS), .AE=AG,∠BAE=∠DAG, ∠EAP=∠BAD, 2 ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF, .∠EAF=∠GAF, 30/91 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在△AEF和△AGF中， AE=AG ∠EAF=∠GAF, AF=AF △AEF≌△AGF(SAS), ..EF =FG, .FG=DG+DF=BE+DF, ∴EF=BE+DF, 【变式3-1】(23-24八年级上·辽宁盘锦·期末)【问题初探】 D B D E B DE 图1 图2 图3 图4 在解决“如图1，在△ABC中，AD⊥BC于D,若CD=DB+AB,求证：∠B=2∠C"时，有两名同学给出了 不同的解答思路： ①如图2，小芳从条件入手，采用“截长补短”法，在DC上截取DE=BD,连接AE,从而解决问题， ②如图3，小亮从结论出发，作AC的垂直平分线交DC于点E,连接AE,从而解决问题， (1)请选择一名同学的解答思路，写出解答过程. 【迁移应用】 (2)如图，线段AB⊥CD于E,点F,G分别为AB上两点，且EF=EG,∠FCD=2∠CDG,求证： DE CF+CE. 【详解】证明：(1)在DC上截取ED=BD,连接AE, ~BD=DE,AD⊥BE, AD是BE的垂直平分线， ..AB=AE, ∴.∠ABE=∠AEB, BD=DB+AB, 31/91 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ..AB=EC, ..EC=AE, ∠EAC=∠C, .∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C, .∠B=2∠C, (2)在线段ED上截取EP=CE,连接GP, A G B AB⊥CD, .∠CEF=∠GEP=90°， EF=EG,CE=EP, .△CEF≌△PEG, ∴CF=GP,∠C=∠PG, ∠FCD=2∠CDG, .∠EPG=2∠CDG, ∠EPG=∠GPD+∠D, ∠GPD=∠D, ∴GP=PD, ..PD=CF, ∴DE=CF+CE. 【变式3-2】(23-24八年级上辽宁大连期末)【问题情境】 在数学活动课上，李老师给出如下的问题： 如图1，已知∠ABC=60°，BA=BC,过点B作射线1，点E在∠ABC的内部，点A和点E关于1对称，CE 交I于点D,连接AD,证明：DA+DC=DB, 【探究合作】 32/91 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 同学们根据问题进行小组合作，下面是第一小组的同学分享的解题过程： 小红：除已知所给相等的边和角之外，我们小组还推理得到∠ADB=∠EDB=60°； 小鹏：从结论出发可以“截”较长的线段，本题转化为证明两条线段相等的问题.如图2，在DB上截取 DF=DA,再证明BF=CD; 小亮要证明BF=CD,观察图形选取证明这两条线段所在的三角形全等”的方法，如图3，连接AF,以△ABF 为目标构造与之全等的三角形； 小明：与小鹏的想法类似，但采用将结论中任一较短的线段“补”的方法.如图4，延长AD到点G,使 DG=DC，连接CG,再确定一个三角形作为目标构造与之全等的三角形证明. A D D D G 图1 B B B 图2 图3 图4 【推理证明】 (1)请你推理出小红的结论： (2)根据第一小组同学们的解题思路，任选一种方法证明DA+DC=DB 【反思提升】 李老师：小鹏和小明利用“截长补短”的方法，将“求证一条线段等于两条线段和的问题”转化为“求两条线段 相等的问题”，这就将新问题转化为我们熟悉的问题去解决，转化思想在数学学习中无处不在， 请同学们反思后解决下面的问题： (3)如图，∠ABC=30°，BC=6,点D是∠ABC的角平分线上一动点，BD的垂直平分线交射线BA于 E,求CD+BE的最小值. E B 【详解】(1)A、E两点关于1对称 33/91 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A D ∴DA=DE,BA=BE,∠A=∠DEB,∠ADB=∠EDB,∠EBD=∠ABD, BA=BC, ..BE=BC, 设∠ABD=,则∠EBD=∠ABD= .∠EBC=60°-2 ∠EBC+∠C+∠BEC=180°， .∠BEC=∠C=60°+x Y∠BEC=∠EDB+∠EBD .∠EDB=∠BEC-∠EBD=60°+a-a=60° ∴.∠ADB=∠EDB=60° (2)连接AC. A D G BA=BC,∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， .BC=AC,∠ACB=60°， 又：DC=DG,∠CDG=60°， :△CDG是等边三角形， .∠DCG=60°， .∠ACB=∠DCG, ∠ACG=∠BCD, 在△BCD和△ACG中， 34/91 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BC=AC ∠BCD=∠ACG, CD=CG ·△BCG≌△ACG(SAS), ..BD=AG=AD+DG=DA+DC; (3)过点C作CH LBA交BM于点，交∠ABC的平分线于点D,此时CD+BE取得最小值： A E D ~点E在BD的垂直平分线上 ..EB=ED. ∠EDB=∠EBD BD平分∠ABC ·∠EBD=∠CBD ·∠EDB=∠CBD DE∥BC ∴∠HED-∠ABC=30° 在Rt△DEH中，∠HED=30° .DH= :.CD+1BE=CD+DH 当C、D、H三点共线时cD+号8E最短，此时cD+E=CH=BC 在Rt△BCH中，∠HBC=30° :.CH=1BC=1x6=3 2 2 CD+BE的最小值是3. 【变式33】(22-23八年级上·辽宁葫芦岛·期末)截长补短法在初中数学中有着重要的作用，它主要是用来 证线段的和差问题.截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段.证剩下的那 35/91 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 一段等于另外一段较短的线段.己知点O是线段AB垂直平分线1上的一个动点，以BO为边作等边BOC, 点C在直线AB的上方且在直线1的右侧，连接AC交直线1于点D,连接BD. 图1 图2 (1)如图1，点O在线段AB上，请直接用等式表示线段OD,BD,CD之间的数量关系： (2)若点O在线段AB的上方，连接AO,且满足∠ABO≠30°.如图2，当∠ABO<30°时，请探究线段OD, BD,CD之间的数量关系，并说明理由. 【详解】(1)~点O是线段AB垂直平分线1上的一个动点， ∴.OA=OB, ~以BO为边作等边△BOC, ∴.∠OBC=∠OCB=∠BOC=60°，OB=OC=BC, ..0A=OB=OC, ∠OAC=∠OCA, 当点O在AB上时，∠ACB= ∠A+∠ABC+∠4CB)=90 .∠A=30°， DA=DB, ∴.∠DBA=∠A=30°， ∴.OD=二BD,∠CBD=∠OBC-∠DBA=30°， ∴∠CBD=∠OBD, ∴.BD垂直平分OC, ∴OD=CD, ..BD=OD+CD; 故答案为：BD=OD+CD (2)BD=OD+CD,理由如下： 如图，在AD上截取AH=CD,连接OH, 36/91 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B ~点O是线段AB垂直平分线1上的一个动点， ∴.AO=BO,AD=BD, 又~OD=OD, .△AOD≌△BOD(SSS), ∴.∠AOD=∠BOD, ~△OBC是等边三角形， ∴B0=C0,∠COB=60°， ..A0=BO=CO, ∴.∠OAC=∠OCA, 又HA=CD, .△AOH≌△COD(SAS), ∴.OH=OD,∠AOH=∠COD, ∴∠DOH=∠BOC=60°， “△DOH是等边三角形， :.DO=DH=OH, ∴BD=AD=AH+DH=CD+OD, ☑题型四一线三等角模型 【典例41】(23-24八年级上湖南岳阳·期末)“一线三等角"模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一 线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型 的出现，还经常会伴随着出现全等三角形， 根据对材料的理解解决以下问题： 37/91 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M D D 图1 图2 图3 (1)如图1，∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，AC=BC.猜想DE,AD,BE之间的关系： (2)如图2，将(1)中条件改为∠ADC=∠CEB=∠ACB=x(90°<x<180),AC=BC,请问(1)中的结 论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，在△ABC中，点D为AB上一点，DE=DF,∠A=∠EDF=∠B,AE=2,BF=5,请直接写 出AB的长 【详解】(1)解：∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°， ∴.∠ACD+∠CAD=∠ACD+∠BCE=90°， ∠CAD=∠BCE, 又AC=BC, .△ADC2△CEB(AAS), ..CE=AD,CD=BE, ..DE=CD+CE=AD+BE; 故答案为：DE=AD+BE; (2)解：（1)中结论仍然成立，理由如下： :∠ADC=∠CEB=∠ACB,∠BCE+∠ACD=180°-∠ACB, ∠ACD+∠CAD=180°-∠ADC, ·∠CAD=∠BCE. 在△ADC和△CEB中， ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE, AC=CB .△ADC≌△CEB(AAS). ..AD=CE,DC=BE. ..DE=AD+BE, ·.(1)中结论仍然成立； 38/91 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)解：~∠A=∠EDF=∠B,∠EDB=∠A+∠AED=∠EDF+∠FDB, ∴，∠AED=∠FDB, DE=DF, △AED≌△BDF(AAS), .AE =BD,AD=BF, .AB=AD+BD=AE+BF=2+5=7. 【典例4-2】(23-24八年级上江西吉安·期末)通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图 (如图2)，即“一线三等角“模型和“"K字”模型. c b a 朱实 黄实 A 赵爽 弦图 图1 图2 (1)请在上图2中选择其中一个模型进行证明△ABC≌△CDE, 【模型应用】 (2)如图3，正方形ABCD中，AE⊥DE,DE=4,求△CDE的面积. (3)如图4，四边形ABCD中，AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=3,DE⊥DC,DE=DC,求△ADE 的面积. E D B B 图3 图4 【详解】证：(1)例如选第一个图形可证（同理可证第二个） 39/91 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E 3 4+∠2=90°，∠2+∠3=90° 1=∠3 又~∠B=∠D=90°，AC=CE, .△ABC≌△CDE(AAS) (2)过C作DE延长线的垂线CF,垂足为F, D B 则由(1)易得 △AED≌△DFC, ..CF=DE=4, 即△CDE边DE上的高为4， 1 ∴ScDg=×DExCF=5×4×4=8. (3)分别过C和E作AD延长线的垂线CG、FH,垂足分别为为G、H, E G B 则由(1)易得△EDH≌aDCG, 又~四边形ABCG是矩形， ..AG=BC=3, .DG=AG-AD=3-2=1, 40/91 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :EH=DG=1,即△ADE边AD上的高为1， .S.ADE= ×4D×E过=5×2×1=1 【典例4-3】(24-25八年级上湖南永州期末)“一线三等角”，是我们学习三角形知识经常用到的经典模 型. G D H 图1 图2 图3 (1)如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC,D、A、E三点都在直线1上，且 ∠BDA=∠AEC=90°，若BD=4,CE=6,则DE=-· (2)如图2，∠ACE=∠BCD=90°，AC=CE,BC=CD,连接AB、DE,且DE⊥CG于点G,AB与直线 CG交于点F,求证：点F是AB的中点. (3)如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE、正方形ACFG,AH是BC边上的高，延长HA交EG 于点1，BC=10,AH=4,求△AEG的面积. 【详解】(1)解：：∠BAC=90°，∠BDA=∠AEC=90°， ∴.∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠DBA=90°，∠CAE+∠ACE=90°， ∴∠ABD=∠CAE,∠BAD=∠ACE, .AB=AC, .∴△ABD≌△CAE(ASA), ∴.AD=CE,AE=DB, .DE=DA+AE=CE+BD=4+6=10, 故答案为：10； (2)证明：如图2，过点A作AM⊥FG交FG于点M,过点B作BN⊥FG交FG于点N, 41/91 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E G MF花 B 图2 :ED⊥CG,∠ACE=90°， ∴.∠ACF+∠ECG=∠ECG+∠E=90°， ∠ACF=∠E, 在△ACM和△CEG中， ∠ACM=∠E ∠AMC=∠CGE, AC=CE ∴.△ACM≌aCEG(AAS), ∴.AM=CG, 同理可得：△BCN≌aCDG, ∴.BN=CG, .AM=BN 在△AMF和△BNF中， ∠AFM=∠BFN ∠AMF=∠BNF, AM=BN ∴.△AMF≌△BNF(AAS), ∴.AF=BF, 点F是AB的中点； (3)解：如图3，过E作EN⊥HI于N,过G作GM⊥HI的延长线于点M, 42/91 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G F A B H C 图3 由题意可知，∠BAE=∠CAG=90°，AB=AE,AG=AC, :AH⊥BC,EN⊥HI, .∠ENA=∠AHB=90°， .∠HAB+∠HBA=90°， :∠BAE=90°， .∠NAE+∠HAB=90°， ∴.∠NAE=∠HBA, 又：AB=AE, ∴.△ABH2△EAN(AAS), ..AH EN,S.AB=S.RAN 同理可证：△AHC≌△GMA(AAS), ..GM=AH NE,S.AHC =S.GMa, ∴.∠ENI=∠GMI=90°，∠EIN=∠GM,GM=NE, ∴.△ENI≌△GMI(AAS), .S.ENI =S.OMI' S.ARG =S.ENA+S.ENI+S.AIG=S.ENA+S.GMI +S.AG, ∴.SABG=SABH+S。AiC= 号Bc-4H-20, 【典例4-4】(23-24八年级上广东湛江期末)[理解探究] ”一线三垂直”模型是”一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直，所以 称为”一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形， 43/91 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 VA B 图1 图2 图3 备用图 (1[问题解决] 如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥DE于D,BE L DE于 E,求证：△ADC≌△CEB (2[问题探究] 如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥DE于D,BE L DE于 E,AD=8cm,BE=3cm,求DE的长 (3[拓展延伸] 如图3，在等腰直角△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC,且在平面直角坐标系中，点C在y轴正半轴上， 点A坐标为(7,3)，点B是第一、第三象限的角平分线1上的一个点，求点C的坐标 【详解】(1)：AD⊥DE,BE L DE, ∴.∠D=∠E=90°=∠ACB, .∠ACD+∠BCE=90°=∠ACD+∠CAD, ∴.∠BCE=∠CAD, 在△ACD和△CBE中 ∠CAD=∠BCE ∠D=∠E AC=BC ∴.△ACD≌△CBE (2):AD⊥DE,BE L DE, ∴.∠ADC+∠BEC=90°=∠ACB, ∴.∠ACD+∠BCE=90°=∠ACD+∠CAD, ∴.∠BCE=∠CAD, 在△ACD和△CBE中 44/91 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠CAD=∠BCE ∠ADC=∠BEC AC=BC .△ACD≌△CBE, .'AD=CE =8cm, BE CD=3cm ∴.DE=CE-CD=5cm (3)如图，当点B在第一象限角平分线上时过点A作AD⊥直线CO于D,过点B作BE⊥直线AD于E, B ·.∠ADC=∠BEA=90°=∠CAB, D A ∴.∠CAD+∠BAE=90°=∠CAD+∠ACD, .∠ACD=∠BAE, AB=AC ∴.ACD≌∠BAE(AAS), .AD=BE,CD=AE ∴.点A坐标为(7,3)， .AD=7,DO=3, ∴.BE=AD=7, DE=7+3=10=DA+AE ∴.AE=3=CD .C0=6, ∴点C(0,6): 如图，当点B在第三象限角平分线上时，过点A作AD⊥直线CO于D,过点B作BE⊥直线AD于E, 45/91 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 同理可求：ACD≌∠BAE(AAS), .AD=BE,CD=AE ∴点A坐标为(7,3)， .AD=7,DO=3, .BE=AD=7, ..DE=4, .AE =11=CD ∴.C0=14, 点C(0,14) 综上所述：点C(0,14)或C(0,6). 【变式4-1】(23-24八年级上·安微合肥期末)数学模型学习与应用： 学习：如图1，∠BAD=90°，AB=AD,BC⊥AC于点C,DE⊥AC于点E.由 ∠I+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=D;又∠ACB=∠AED=90°，可以通过推理得到△ABC≌△DAE,进而 得到AC=DE,BC=AE.我们把这个数学模型称为“一线三等角"模型， B D 2 图1 图2 图3 (1)应用如图2，在△ABC中，AB=AC,点D,A,E都在直线1上，并且∠BDA=∠AEC=∠BAC=,若 DE=a,BD=b,求CE的长度（用含a,b的代数式表示）； (2)拓展：如图3，在(2)的条件下，若=120°，且△ACF是等边三角形，试判断△DEF的形状，并说明 理由 46/91 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)解：∠BDA=∠BAC=x, ∴.∠DBA+∠BAD=180°-O=∠BAD+∠CAE, ∴.∠CAE=∠ABD, 在△ABD和ACAE中， [∠1=∠D ∠ACB=∠AED=90°， AB-AD .∴△ABD≌△CAE(AAS), ∴，AD=CE,BD=AE, .DE=AD+AE=BD+CE, .DE=a,BD=b, ∴.CE=DE-BD=a-b; .CE的长度为a-b; (2)解：△DEF是等边三角形， 理由如下：由(1)知：△ABD≌△CAE, ∴BD=AE,∠ABD=∠CAE, ~△ACF是等边三角形， ∴.∠CAF=60°，AB=AF, ∴△ABF是等边三角形， .·∠ABD+∠ABF=∠CAE+∠CAF, 即∠DBF=∠FAE, 在△BDF和△AEF中， (FB=FA ∠FBD=∠FAE, BD=AE .△BDF≌△AEF(SAS), ∴.DF=EF,∠BFD=∠AFE, .∠DFE=∠AFD+∠AFE=∠AFD+∠BFD=60°， △DEF是等边三角形. 47/91 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式4-2】(24-25八年级上·陕西延安期末)模型呈现 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图①，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型 图（如图②、图③），即“一线三等角”模型， 问题发现 (1)如图②，△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°，直线I过点C,过点A,B分别作AE⊥1于点E,BF⊥1 于点F,求证：EF=AE+BF; (2)如图③，若改变直线1的位置，其余条件与(1)相同，请直接写出线段EF,AE,BF之间的数量关系， 无需证明； 问题提出 (3)如图④，四边形ABCD中，∠ABC=∠CAB=∠ADC=45°，△ACD的面积为12且CD的长为6，求△BCD 的面积. 赵爽 弦图 图① 图② 图③ 图④ 【详解】(1)证明：由题意可得AE⊥EF,BF⊥EF, ∴.∠AEF=∠BFE=90°，∠EAC+∠ECA=90°， :∠ACB=90°， ∠ECA+∠BCF=90°， ∠BCF=∠EAC, 在△AEC和△CFB中， [∠AEC=∠BFC=90° ∠EAC=∠BCF AC=BC .△AEC≌aCFB(AAS), ..AE=CF,CE=BF, ..EF=CE+CF=AE+BF; (2 EF=BF-AE, 证明：由题意可得AE⊥EF,BF⊥EF, 48/91 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠AEF=∠BFE=90°，∠EAC+∠ECA=90°， ∠ACB=90°， .∠ECA+∠BCF=90°， .∠BCF=∠EAC, 在△AEC和△CFB中， ∠AEC=∠BFC=90° ∠EAC=∠BCF AC=BC .△AEC≌△CFB(AAS), ..AE=CF,CE =BF, ..EF CE-CF BF-AE (3)如图，过点B作BE⊥CD交DC的延长线于点E,过点F作AF⊥CD于点F, 由(1)可得△BEC≌△CFA(AAS), ..BE=CF,CE=AF, .∠ADC=45°，AF⊥CD, “△AFD是等腰直角三角形， ..AF DF, △ACD面积为12， cD4-12. AF=4, CD的长为6， ..BE=CF=6-DF=6-AF=2, 1 SCD=CD·BE=6. 【变式4-3】(24-25八年级上江西宜春·期末)通过对数学模型“K字”模型或”一线三等角"模型的研究学习， 解决下列问题： 49/91 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B G D D 6 2 E A G 图1 图2 图3 【模型呈现】 (1)如图1，∠BAD=90°，AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE L AC于点E.求证： AC=DE,BC=AE. 【模型应用】 (2)如图2，∠BAE=∠BCD=90°，AE=AB,BC=CD,BG⊥AC于点G,DH⊥AC于点H,EP⊥AC 于点P,请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形ABCDE的面积为 【深入探究】 (3)如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC、DE,且BC⊥AF于点F,DE与直 线AF交于点G. ①求证：DG=EG; ②若BC=16,AF=10,则△ADG的面积为 【详解】解：(1)证明：：∠BAD=90°， ∴.∠BAC+∠DAE=90°， BC⊥CA,DE⊥AE, .∠ACB=DEA=90°， .∴.∠BAC+∠ABC=90°， ∴.∠ABC=∠DAE, 在△ABC和△DAE中， ∠ACB=∠DEA ∠ABC=∠DAE BA=AD .∴△ABC≌△DAE(AAS), .AC=DE,BC=AE. (2)由模型呈现可知，△AEP2△BAG,△CBG≌△DCH, 50/91 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .AP=BG=3,AG=EP=6,CG=DH=4,CH=BG=3, 则S实线围成的图形一 46(6+6433x636号3x434 =50 (3)( ①过点D作DP⊥AG于P,过点E作EQ⊥AG交AG的延长线于Q. D B F E 图3 由【模型呈现】可知，△AFB≌△DPA,△AFC≌△EOA, ..DP=AF =10,EO=AF=10, ..DP=EO, :DP⊥AG,EQ⊥AG ∴.∠DPG=∠EQG=90°， 在△DPG和△EQG中， ∠DPG=∠EQG ∠DGP=∠EGQ DP=EO .∴aDPG2△EQG(AAS), ∴.DG=GE. ②由①可知，BF=AP,FC=AQ, ∴.BC=BF+FC=AP+AQ, :BC=16, ∴.AP+AQ=16, ∴.AP+AP+PG+GQ=16, 由①△DPG≌△EQG得 ..PG=GO, ∴.AP+AP+PG+PG=16, 51/91 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.AP+PG=8, ..AG=8, 1 ∴.S△ADg=5×8×10=40 【变式4-4】（24-25八年级上广东湛江·期末)通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题： 图1 图2 图3 图4 【模型呈现】(1)如图1，∠BAD=90°，AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C.过点D作DE L AC于 点E.求证：AC=DE,BC=AE 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角"模型； 请运用图1的模型解决下列问题： 【模型应用】(2)如图2，AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,请按图中所标注的数据(EP⊥AC 于点P,BG⊥AC于点G,DH⊥AC与点H.EP=6,BG=3,DH=4),计算图中实线所围成的图形 的面积为 【深入探究】(3)如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC、DE,且BC⊥AF于点 F,DE与直线AF交于点G.求证：点G是DE的中点. 【拓展延伸】（4)如图4，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-2,6)，点B的坐标为(6,2)，第一象限 内是否存在一点P,使△ABP为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理 由. 【详解】解：(1)证明：BC⊥AC,DE⊥AC .∠BCA=∠DEA=90°， ∠ABC+∠BAC=90°， ∠BAD=90°， .∠BAC+∠DAE=90°， ∠ABC=∠DAE, 在△ABC和△DAE中， 52/91 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠BCA=∠DEA=90° AB=AD ∠ABC=∠DAE, △ABC≌△DAE(AAS); ..AC=DE BC=AE. (2)AE=AB,∠EAB=90°，BC=CD,∠BCD=90°， 由(1)得：△EPA≌△AGB,△BGC≌ACHD, ..AG=EP=6,AP=BG=3,CG=DH=4,CH=BG=3, ∴.S=S梯形8PD-2SABP-2ScHD 46jx16-2x63-2分43 21 =80-18-12 =50, 故答案为：50； (3)证明：根据题意知，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,且BC⊥AF于点F,DE与直线AF 交于点G,如图，作DM⊥AF于M,EN⊥AF于N, :BC⊥AF, .∠BFA=∠AMD=90°， '∠BAD=90°， ∠DAM+∠BAF=∠BAF+∠ABF=90°， ∠ABF=∠DAM, 在△ABF与△DAM中， '∠BFA=∠AMD ∠ABE=∠DAM, AB=DA 53/91 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △ABF≌△DAM(AAS), ..AF DM, BC⊥AF, .∠CFA=∠ANE=90°， ∠CAE=90°， :∠CAF+∠EAN=∠CAF+∠ACF=90°， ∴.∠EAN=∠ACF, 在△ACF与△EAN中， '∠CFA=∠ANE ∠ACE=∠EAN, AC=EA .△ACF≌△EAN(AAS), ..AF EN, 又~AF=DM, ..EN=DM, DM⊥AF,EN⊥AF, .∠GMD=∠GNE=90°， 在△DMG与△ENG中， ∠DMG=∠ENG ∠MGD=∠NGE, DM=EN △DMG≌△ENG(AAS), ∴.DG=EG, 点G是DE的中点. (4)第一象限内存在一点P,使△ABP为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况： ①当∠PAB=90°时，AP=AB, 如图，分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F, 54/91 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 同(1)得：△ABE≌△PAF(AAS), .BE=AF,AE=PF A(-2,6),B(6,2), BE=2+6=8,AE=6-2=4, ∴点P的横坐标为：4-2=2，纵坐标为：8+6=14， .P(2,14); ②当∠PBA=90°时，AB=BP, 如图，分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F, D 同(1)得：△ABE≌△BPF(AAS), ∴.BE=PF,AE=BF, A(-2,6、B(6,2), .BE=2+6=8,AE=6-2=4, ∴点P的横坐标为：8-2+4=10，纵坐标为：8+2=10， .P10,10); ③当∠APB=90°时，AP=BP, 如图⑤，分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F, 55/91 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 图⑤ 同(1)得：△APE≌aPBF(AAS), ..PE=BF,AE =PF, 设P(x,y), A(-2,6)、B(6,2), ..x+2=PE,y-2=BF,y-6=AE,6-x=PF, x+2=y-2 y-6=6-x x=4 解得： y=8' P(4,8), 综上所述，第一象限内存在一点P,使△ABP为等腰直角三角形，点P的坐标为(2,14)或(10,10)或(4,8). 题型五半角模型 【典例5-1】(22-23八年级上江西宜春，期中)问题背景：“半角模型”问题.如图1，在四边形ABCD中， AB=AD,∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，点E,F分别是BC,CD上的点，且∠EAF=60°，连接EF, 探究线段BE,EF,DF之间的数量关系. G 图1 图2 图3 (1)探究发现：小明同学的方法是延长FD到点G,使DG=BE,连结AG,先证明△ABE≌△ADG,再证 明△AEF2△AGF,，从而得出结论： 56/91 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)拓展延伸：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC,CD上的点， 且∠F=}®4D,请问(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理 由 (3)尝试应用：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC,CD延长线上 的点，且∠BAP-4D,诗探究线段E,R,DF具有怎样的数量关系，并证明. 【详解】(1)解：EF=BE+FD. 延长FD到点G.使DG=BE,连接AG, G :∠ABE=∠ADG=∠ADC=90°，AB=AD, .△ABE≌△ADG(SAS). AE=AG,∠BAE=∠DAG. ∴.∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=∠EAF=60°. ∴.∠GAF=∠EAF=60°. 又AF=AF, △AGF≌△AEF(SAS). ..FG=EF. .FG=DF+DG. ..EF =BE+FD. 故答案为：EF=BE+FD; (2)解：(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立 证明：如图②中，延长CB至M,使BM=DF,连接AM, 57/91 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3 M B E 图② ∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°， ∠1=∠D, 在△ABM与△ADF中， AB=AD ∠1=∠D, BM=DE △ABM≌AADF(SAS). AF=AM,∠2=∠3， ∠EAF=∠BMD, ∠2+∠4=1∠BAD=∠EAF. ∠3+∠4=∠EAF,即MAE=∠EAF. 在△AME与△AFE中， AM=AF ∠MAE=∠EAF, AE=AE ∴△AME≌△AFE(SAS) ∴EF=ME,即EF=BE+BM, ∴EF=BE+DF; (3)解：结论：EF=BE-FD. 证明：如图③中，在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG, 58/91 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 图③ E ~∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°， ∠B=∠ADF. 在△ABG与△ADF中， AB=AD ∠ABG=∠ADF, BG=DF ·△ABG≌△ADF(SAS). ∠BAG=∠DAF,AG=AF. ∠BAG+∠EAD=DAF+∠BAD=∠EAF= ∠BAD .∠GAE=∠EAF, .AE=AE, ∴.△AEG≌△AEF(SAS), ..EG=EF, EG=BE-BG, ∴EF=BE-FD. 【典例5-2】(23-24八年级下山西朔州期中)阅读与思考 下面是莉莉同学的数学学习笔记的部分内容，请仔细阅读，并完成相应的任务， 神奇的“半角模型” 初中数学中存在一些常见的模型，“半角模型”就是其中之一，“截长补短”法是解决这类问 题的一种常用方法， 例题：如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，且∠EAF=45°. 59/91 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 求证：EF=BE+DF. B C 图1 证明：如图，延长EB至点G,使得BG=DF, D F '四边形ABCD是正方形， G B E 图2 .AD=AB(依据1)，∠ABC=∠D=∠DAB=90°. :∠ABG+∠ABC=180°， :.∠ABG=∠D=90°， ∴.△ABG≌△ADF(SAS), ∴.AG=AF（依据2)，∠BAG=∠DAF. :∠DAB=90°，∠EAF=45°， ∴.∠BAE+∠DAF=45°， .∠BAG+∠BAE=45°，即∠EAG=45°， ∴.∠EAG=∠EAF=45°. AE=AE,AG=AF,∴.△GAE2△FAE(SAS), .EF=GE=BG+BE=BE+DF. 拓展：如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4cm,∠B=∠D=90°， D ∠BAD=120°，E,F分别是边BC,CD上的点，且∠EAF=60°， E 60/91 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 EF =5cm 求五边形ABEFD的周长， 任务： (1)材料中的依据1是指 依据2是指 (2)根据例题中的方法，补全材料“拓展”中的辅助线. (3)在材料“拓展”中，五边形ABEFD的周长为 cm」 【详解】(1)材料中的依据1是指正方形的四条边相等（或正方形的性质）；依据2是指全等三角形的对 应边相等（或全等三角形的性质） 故答案为：正方形的四条边相等（或正方形的性质）；全等三角形的对应边相等（或全等三角形的性质）； (2)补全辅助线如图所示：将△ADF绕点A顺时针旋转120°得到△ABG, ◇ (3),将△ADF绕点A顺时针旋转120°得到△ABG, ∴.△ABG≌△ADF,∠ABG=∠D=90°，∠GAB=∠FAD,AG=AF,GB=DF, ∴.∠GBE=∠ABG+∠ABE=180°， ∴.G、B、E三点共线， ∠EAF=60°， ,∠GAE=∠GAB+∠BAE=∠FAD+∠BAE=∠BAD-∠EAF=60°， .∠GAE=∠FAE, .AE=AE,AG=AF, .△GAE≌△FAE(SAS), ..GE =EF, .EF=GE =GB+BE DF +BE, ,'.五边形ABEFD的周长=AB+BE+EF+DF+AD=AB+EF+EF+AD=4+5+5+4=18(cm), 故答案为：18， 【变式5-1】(25-26八年级上山东临沂期中)【问题背景】 61/91 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折、旋转或截 长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问 题 如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，点E,F分别是BC,CD上的点， 且∠EAF=60°，连接EF,探究线段BE,EF,DF之间的数量关系. G B E 图1 图2 (1)探究发现：小雨同学的方法是延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证 明△AEF≌△4GF,从而得出结论： (2)拓展延伸：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD上的点，且 ∠E4P=A4D,请问(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由. 【答案】(1)EF=BE+DF (2)(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键 (1)先证明△ABE2△ADG得到∠DAG=∠BAE,AG=AE,再证明△AEF≌△AGF,得到EF=GF,再由线 段的和差关系可得结论； (2)延长FD到G,使DG=BE,连接AG,先导角证明∠ABE=∠ADG,再证明△ABE≌△ADG得到 ∠DAG=∠BAE,AG=AE,再接着证明△AEF≌△AGF,得到EF=GF,再由线段的和差关系可得结论， 【详解】(1)解：∠B=∠ADC=90°， .∠ADG=180°-∠ADC=90°=∠B, 又AB=AD,DG=BE, △ABE≌△ADG(SAS), .∠DAG=∠BAE,AG=AE: ∠BAD=120°，∠EAF=60°， ∴.∠BAE+∠DAF=120°-60°=60°， ∴.∠GAF=∠DAF+∠DAG=∠DAF+∠BAE=60°， 62/91 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠GAF=∠EAF, 又~AF=AF, △AEF≌△AGF(SAS), ..EF=GF=DG+DF BE +DF (2)解：(1)中的结论仍然成立，证明如下： 如图，延长FD到G,使DG=BE,连接AG, G D ,'∠ABE+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°， B ∴.∠ABE=∠ADG, 在△ABE与△ADG中， AB=AD ∠ABE=∠ADG, BE=DG .∴△ABE2△ADG(SAS), ∴.AE=AG,∠BAE=∠DAG, ·.∠BAE+∠DAF=∠GAD+∠DAF=∠BAD-∠EAF=1∠BAD, ∴.∠GAF=∠EAF 在△AGE和△AEF中 AG=AE ∠GAE=∠EAF AE=AE △AGF≌△AEF(SAS), ∴.GF=EF. .·FG=DF+DG=BE+DF ∴.EF=BE+DF, 【变式5-2】(24-25八年级上，全国期中)【问题发现】如图1，正方形ABCD(四边相等，四个内角均为 63/91 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 90°)中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，连接EF,这种模型属于"半角模型”中的一类，在 解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路.大致思路：巧妙地通过辅助线在AB边向外构造 △AGB,使得△AGB≌AFD,进而证出∠GAE度数，最后证明△AGE≌△AFE,即可得出结论.请补充辅助线 的作法，并写出完整证明过程。 B 图1 图2 (1)延长CB到点G,使BG= ，连接AG. (2)求证：EF=BE+DF. 【问题应用】如图2，在四边形ABCD中，AB=AD=4cm,∠B=∠D=90,∠BAD=120°，以A为顶点的 ∠EAF=6O,AE、AF分别交BC、CD于E、F,且EF=5cm,求五边形ABEFD的周长 【详解】解：[问题发现](1)依题意，延长CB到点G,使BG=DF,连接AG, 故答案为：DF; (2)证明：由(1)得BG=DF, :四边形ABCD是正方形， .AD=AB,∠BAD=∠ABE=∠ADF=90°， ∴.∠ABG=90°， 在△ADF和△ABG中， AD=AB ∠ADF=∠ABG, DF=BG ∴△ADF≌△ABG(SAS), ∴.AF=AG,∠DAF=∠BAG, :∠EAF=45°， .∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴.∠GAE=∠BAG+∠BAE=45°=∠EAF, 在△AGE和△AFE中， 64/91 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AG=AF ∠GAE=∠EAF, AE=AE .AAGE≌△AFE(SAS), ..GE =EF, ·GE=GB+BE=BE+DF, .EF=BE+DF. [问题应用]依题意，将△ADF绕点A顺时针旋转120°得到△ABM, D .△ABM≌△ADF,∠ABM=∠D=90°，MAB=∠FAD,AM=AF,MB=DF, M ∴.∠MBE=∠ABM+∠ABE=180°， M、B、E三点共线， :∠EAF=60°， ∴.∠MAE=∠MAB+∠BAE=∠FAD+∠BAE=∠BAD-∠EAF=60°， ∴.∠MAE=∠FAE, AE=AE,AM=AF, .AMAE≌△FAE(SAS), .ME EF, .EF =ME MB+BE DF +BE, ..AB+BE+EF+DF+AD=AB+EF +EF+AD=4+5+5+4=18(cm), ∴.五边形ABEFD的周长为l8cm 故答案为：18cm, 【变式5-3】(23-24八年级下河南南阳·期末)【问题背景】 从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连接它们与两对边的交点，构成的基本平面几何模型称 为半角模型 【问题发现】 (1)如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的∠EAF=45°，AE,AF与边BC,CD分别交于E,F两点.则 65/91 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 EF,BE,FD之间的数量关系为 【问题探究】 (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD=5,∠B=∠D=90°，∠BAD=120°，以A为顶点的∠EAF=60°， AE,AF与边BC,CD分别交于E,F两点，且EF=6,求五边形ABEFD的周长. 【问题拓展】 (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠ABC与∠ADC互补，点E,F分别在射线CB,DC上，且 ∠B1F-号A4D.当BC=6,DC=8,CF=2时，请直接写出△CEF的周长. D E B B 图1 图2 图3 【详解】解：(1)EF=BE+DF, 理由：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG, D .∴.GB=DF,AF=AG,∠BAG=∠DAF,∠ABG=∠D=90°， B E ..∠ABG+∠ABC=180°， 点G,B,E在一条直线上， ~四边形ABCD为正方形， ∴.∠BAD=90°， :∠EAF=45°， ∴.∠BAE+∠DAF=45°， ∴.∠BAG+∠BAE=45°=∠EAF, 在△AGE和△AFE中 66/91 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AG=AF ∠GAE=∠EAF, AE=AE ∴.△AGF2△AFE(SAS), ..GE =EF, .GE =GB+BE=BE +DF, ∴.EF=BE+DF, 故答案为：EF=BE+DF; (2)解：将△ADF绕点A顺时针旋转120°得到△ABM, 609 ∴.△ABM2△ADF,∠ABM=∠D=90°，∠MAB=∠FAD,AM=AF,MB=DF, M B ∴∠MBE=∠ABM+∠ABE=180°， ∴.M、B、E三点共线， :∠EAF=60°， ∴∠MAE=∠MAB+∠BAE=∠FAD+∠BAE=∠BAD-∠EAF=60°， .∠MAE=∠FAE, .AE=AE,AM=AF, .AMAE≌△FAE(SAS), .ME EF, .EF=ME=MB+BE=DF+BE, ∴.五边形ABEFD的周长=AB+BE+EF+DF+AD=AB+EF+EF+AD=6+5+5+6=22; (3)解：在DF上截取DM=BE, 67/91 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D M ,∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180°， .∠D=∠ABE, 在△ADM和△ABE中 DM=BE ∠D=∠ABE, AD=AB △ADM2△ABE(SAS), ∴.AM=AE,∠DAM=∠BAE, '∠EAF=∠BAE+∠BAF=1 1 六∠MM=22BAD, ∴.∠EAF=∠MAF, 在△EAF和△MAF中 AE=AM ∠EAF=∠MAF, AF=AF ∴.△EAF≌aMAF(SAS), .EF =MF, .MF=DF-DM =DF-BE, ∴.EF=DF-BE, ..C.cgp=CE+EF+FC=BC+BE+DC+CF-BE+CF=BC+CD+2CF=18. 过·分层验收 68/91 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 期末基础通关练（测试时间：10分钟) 1.(24-25八年级上·云南昭通期末)如图，∠D=∠E=∠ACB=90°，能保证Rt△ADC≌Rt△CEB成立条件 有() B C E ①∠ABC=45°；②AD=CE;③AC=24AD; ④CD=BE A,1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【详解】解：根据直角三角形全等的判定条件“HL”,即斜边和一条直角边对应相等， .②AD=CE和④CD=BE满足定理“HL", ①满足AAS定理可证明Rt△ADC≌Rt△CEB 故选：C 2.(25-26八年级上·安微合肥期末)如图，四边形ABCD中， AB∥CD,AB=4,CD=10,AD=AE,BF=BC,∠DAE=∠CBF=90°，则四边形AFBE的面积为（) D B E A.6 B.7 C.12 D.20 【答案】C 【详解】解：过点D,F,C,E分别作DM⊥AB,FH⊥AB,CI⊥AB,EG⊥AB,交直线AB于点M,H,I,G, 69/91 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M 2 Gh B E 46 -0H ∠M=∠AGE=∠FHB=∠I=90°， ∠DAE=∠CBF=90°， ∠1=∠2=90°-∠3，∠4=∠5=90°-∠6， AD=AE,BF=BC, △AGE≌△DMA(AAS),aFHB≌△BIC(AAS), ..AM=EG,FH=BI 设AM=EG=,FH=BI=y, ..MI=AM+AB+BI=x+4+y, AB∥CD,DM⊥AB,CI⊥AB, .CD=MM=4+x+y=10, .x+y=6, ~四边形AFBE的面积=S△ABF+S△ABE, 四边形APBE的面积Bx所+AB×EG AB(FH +EG) 2×4x(+) x4x6 21 =12, 故选：C. 3.(23-24八年级上山东临沂·期末)如图，已知：AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠ECD=90°， 70/91 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠EBD=38°，现有下列结论：①△BDC≌△AEC;②∠AEB=128°；③BD=AE;④AE⊥BD,其中不 正确的有() E A A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】A 【详解】解：：∠ACB=∠ECD=90°， ∴∠BCD=∠ACE, 在△BDC和△AEC中， AC=BC ∠BCD=∠ACE DC=EC ,aBDC≌△EC(SAS),故①正确； ∴.∠DBC=∠EAC,BD=AE,故③正确； .∠EBD=∠DBC+∠EBC=38°， ∴.∠EAC+∠EBC=38°， ∠ABE+∠EAB=90°-38°=52°， .∠AEB=180°-（∠ABE+∠EAB)=180°-52°=128°，故②正确： ∠3=∠4， ∴.∠BFE=∠ACB=90°， ∴AE⊥BD,故④正确； 故选：A. B E D 71/91 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(24-25八年级上云南大理期末)如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC,若 ∠ADC=100°，则∠MAB=() 0 A.50 B.40° C.100° D.80 【答案】B 【详解】解：如图，作MN L AD于N, D M CB ∠C=90°，DM平分∠ADC,MN⊥AD, ∴.CM=MN, M是BC的中点， ..BM=CM, ∴MN=BM, :∠B=90°，N⊥AD, AM平分∠DAB, ∠B=∠C=90°， .AB∥CD, .∠DAB=180°-∠ADC=80°， ·☑MAB= ∠DAB=40°， 故选：B. 5.(24-25八年级上山东聊城期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点C的坐标为(-1,0)， 点B的坐标为(2,5)，则A点的坐标是 72/91 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 【答案】（-6,3) 【详解】解：过点A作AD⊥x轴于点D,过点B作BE⊥x轴于点E, 点C的坐标为(-1,0)，点B的坐标为(2,5)， co E ∴.CE=2-（-1)=3,BE=5, :∠ACB=90°， .∠ACD+∠BCE=90°， :AD⊥x轴，BE⊥x轴， ∴.∠ADC=90°，∠CEB=90°， .'∠CAD+∠ACD=90°， ∴.∠CAD=∠BCE, 在△ACD和ACBE中， 「∠ADC=∠CEB=90° .·{∠CAD=∠BCE AC=BC ∴.△ACD≌ACBE(AAS), ∴.AD=CE=3,CD=BE=5, ∴.OD=CD+0C=5+1=6, .D的坐标为(-6,0)， :AD=3,AD⊥x轴， A(-6,3). 73/91 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 故答案为(-6,3). 6.(24-25八年级上·吉林长春·期中)如图，AB=AC,AD=AE,BD=CE,且点B、D、E在同一条直 线上.给出下面四个结论： ①△ABD≌△ACE; ②∠ADE=∠CAE+∠ACE; ③AD∥CE; ④∠BEC=∠DAE. 上述结论中，正确结论的序号有 D B 【答案】①②④ 【详解】解：~AB=AC,AD=AE,BD=CE, ∴在△ABD和△ACE中， (AB=AC AD=AE, BD=CE ·△ABD≌△ACE(SSS), 故①正确： :△ABD≌△ACE, ∠DAB=∠EAC,∠DBA=∠ECA, ,'∠ADE=∠DAB+∠DBA, ∠ADE=∠CAE+∠ACE, 故②正确： 根据已知条件不能证明AD∥CE, 故③不符合题意； △ABD≌△ACE, 74/91 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠BDA=∠CEA, ∠BDA=∠DAE+∠AED,∠CEA=∠BEC+∠AED, ∴∠BEC=∠DAE, 故④正确： 综上，正确的有①②④， 故答案为：①②④ 7.(24-25八年级上新疆乌鲁木齐·期末)如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O, AB=AC,E是BD上一点，且∠ABD=∠ACD,∠EAD=∠BAC.求证：AE=AD. D B 【详解】证明：~∠BAC=∠EAD, ∠BAC-∠EAC=∠EAD-∠EAC,即∠BAE=∠CAD, 在△ABE和△ACD中， I∠ABE=∠ACD AB=AC ∠BAE=∠CAD ∴△ABE≌△ACD(ASA), ∴.AE=AD 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1,(23-24八年级上山东泰安，期末)如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∠CAB=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE, 75/91 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图① 图② (1)如图①所示，延长BD交CE于点F,求∠BFC的度数； (2)将△ADE绕点A旋转a(0°<a<90)如图②所示位置摆放，连接BD,CE,且BD与CE交于点F,请判 断BD与CE之间位置与数量关系，并说明理由， 【详解】(1)解：在△DAB和△EAC中， AD=AE ∠DAB=∠EAC, AB=AC :.△DAB≌△EAC(SA, .∠ECA=∠DBA, .'∠FDC=∠ADB, ∴.∠CFD=∠DAB=90°， ∴.∠BFC=90°： (2)解：BD与CE相互垂直，BD=CE. 理由如下：：∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD, 即∠BAD=∠CAE, 在△DAB和△EAC中， AD=AE ∠DAB=∠EAC, AB=AC ∴.△DAB≌△EAC(SAS, ∴.∠ABD=∠ACE,BD=CE, ·.·∠BAC=90°， ..∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB=90°， 76/91 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.∠BFC=90°， ∴.BD⊥CE 2.(22-23八年级上·湖北武汉期末)如图，∠B=∠C=90°，点E是BC的中点，DE平分∠ADC. (1)求证：AE是∠DAB的平分线； (2)已知AE=4,DE=3,求四边形ABCD的面积， 【详解】(1)证明：如图，过点E作EF⊥DA于点F, B ∠C=90°，DE平分∠ADC, ∴.CE=EF, E是BC的中点， .BE =CE, .EF=EB, :∠B=90°，EF⊥DA, AE是∠DAB的平分线； (2)解：EF⊥DA,∠C=90°， ∴△EFD,△ECD均是直角三角形， 又DE平分∠ADC, .EC=EF, 「ED=ED 在Rt△EFD和Rt△ECD中， EC=EF' ∴.Rt△EFD≌Rt△ECD(HL), ∴.SBRD=SacD,∠CED=∠FED, 77/91 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 同理∠AEF=∠AEB,SABR=SABR, ∴∠DEA=∠DEF+∠AEF= 2 ∠CEF+∠BEF) 2×180°=90°， .AE=4,DE=3, 1 8画E:DE2X4x3=6 ∴.S四边形ABcD=SaD+SacD+SA+Sa4=2(SgD+SRA)=2S△ABD=12, ∴四边形ABCD的面积为12. 3.(24-25八年级上·辽宁铁岭期末)在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法， E 4 D B D 图1) 图(2) (1)如图1，AD是△ABC的中线，AB=8,AC=5,求AD的取值范围.我们可以延长AD到点E.使 DE=AD,连接BE,根据SAS可证△ADC≌△EDB,所以BE=AC,接下来，在△ABE中利用三角形的三 边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线AD的取值范围是： (2)如图2，AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠CAF=90°.点D为BC的中点，连接AD,求证：EF=2AD. 【详解】(1)解：如图：延长AD到点E.使DE=AD,连接BE, ~AD是的中线，△ABC .CD=BD, 又~∠ADC=∠EDB, ∴.△ADC≌△EDB(SAS), ..BE=AC=5, 在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE, 3<AE<13, DE=AD, ∴.AE=2AD, ∴3<2AD<13,解得1.5<AD<6.5. 故答案为：1.5<AD<6.5; 78/91 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)证明：如图：延长AD至G,使DG=AD,连接BG,则AG=2AD, G 点D为BC的中点， ..CD=BD, 在△ADC和△GDB中 AD=DG ∠ADC=∠GDB, CD-BD .△ADC2AGDB(SAS), AC=BG,∠C=∠CD, AC=AF, ∴.BG=AF, ∠BAE=∠CAF=90°， .∠EAF+∠BAC=180°， .∠ABG=∠ABC+∠C=180°-∠BAC=∠EAF, 在△EAF和△ABG中 AE=AB ∠EAF=∠ABG, AF=BG △ABG≌△EAF(SAS), ∴.EF=AG=2AD. 4,（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·期末)如图①，已知AB=AC,∠BAC=90°，AE是过点A的一条直 线，且点B,C在AE的两侧，BD⊥AE,垂足为点D,CE⊥AE,垂足为点E. 79/91 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 EP 图① 图② 图③ (1)求证：BD=DE+CE; (2)若将图①直线AE绕点A旋转到如图②所示的位置(BD<CE),其余条件不变，则BD、DE、CE三 者的数量关系如何？（直接写出结论） (3)若将图①直线AE绕点A旋转到如图③所示的位置(BD>CE),其余条件不变，则BD、DE、CE三 者的数量关系如何？（直接写出结论） 【详解】(1)证明：：∠BAC=90°，BD⊥AE,CE⊥AE, ∴.∠BDA=∠AEC=90°， :∠ABD+∠BAE=90°，∠CAE+∠BAE=90°， ∴.∠ABD=∠CAE, 在△ABD和ACAE中， ∠BDA=∠AEC ∠ABD=∠CAE, AB=AC ∴.△ABD≌△CAE(AAS), .BD=AE,AD=CE, ..AE AD+DE, .BD=DE+CE; (2)解：BD=DE-CE,理由如下： :∠BAC=90°，BD⊥AE,CE⊥AE, ∴.∠BDA=∠AEC=90°， ∴.∠ABD+∠DAB=∠DEB+∠CAE, ∴.∠ABD=∠CAE. 在△ABD和△CAE中， ∠BDA=∠AEC ∠ABD=∠CAE, AB=AC 80/91 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .△ABD≌△CAE(AAS), .BD=AE,AD=CE, ..AD+AE=BD+CE, .BD=DE-CE. (3)解：BD=DE-CE.理由如下： ∠BAC=90°，BD⊥AE,CE⊥AE, ∴.∠BDA=∠AEC=90°， .∠ABD+∠DAB=∠DEB+∠CAE, ∴.∠ABD=∠CAE. 在△ABD和△CAE中， [∠BDA=∠AEC ∠ABD=∠CAE, AB=AC .∴△ABD≌△CAE(AAS), .BD=AE,AD=CE, ∴.AD+AE=BD+CE,即BD=DE-CE, 5. (24-25八年级上·甘肃武威期末)【问题情境】 (1)利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分MON,点A为OM上一点，过点A 作AC⊥OP,垂足为C,延长AC交ON于点B,可根据_证明△AOC≌△BOC,则AO=BO,AC=BC(即 点C为AB的中点). N B M 图1 图2 图3 【类比解答】 (2)如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB,AE⊥CD于E,若∠EAC=65°，∠B=35°，若通过上述构造全 等的方法，求∠DAE的度数. 【拓展延伸】 (3)如图3，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足E在CD的延长线上， 试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论， 81/91 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：(1)OP平分MON, ∠AOC=∠BOC, AC⊥OP, .∠ACO=∠BCO=90°， 又OC=OC, △AOC≌△BOC(ASA), ..AO=BO,AC=BC, 故答案为：ASA; (2)延长AE交BC于点F,如图 D B 同理可证明△AEC2△FEC, ∠EFC=∠EAC=65°， :∠EFC=∠B+∠DAE, ,∠DAE=∠EFC-∠B=65°-35°=30°； (3)BE= 。CD,证明如下： 延长BE、CA交于点G,如图， G B 则∠BAG=180°-∠BAC=90°， BE⊥CD, .∠BED=90°=∠BAC, :∠BDC=∠ABG+∠BED=∠ACD+∠BAC, ∴.∠ABG=∠ACD, 又~AB=AC, △ABG≌△ACD(ASA), 82/91 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ..BG=CD, 同理可证明△CBE≌△CGE, .BE=EG=1BG, .BE=LCD. 2 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.(22-23八年级上·云南昆明·期末)通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现] (1)如图1.∠BAD=90°，AB=AD, 过点B作BC⊥AC于点C.过点D作DE L AC于点E. 由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D. 又∠ACB=∠AED=90°.可以推理得到△ABC≌△DAE. 进而得到AC=,BC=AE, 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角"模型； [模型应用] (2)如图2.AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD. 按照图中所标注的数据.图中实线所围成的图形的面积为() A.50B.54C.66D.68 [深入研究] (3)如图3.∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE.连楼BC,DE,BC⊥AF于点F,DE与直线 AF交于点G.求证：点G是DE的中点， B B 6 2 A E P 图1 图2 图3 【详解】解：[模型呈现]△ABC≌△DAE, 83/91 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ..AC=DE [模型应用] 由"K字"模型可知，△EPA≌△AGB,△BGC≌△CHD, ..EP=AG=6,PA=BG=3,BG=CH=3,GC=DH=4, ∴.PH=PA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16, ∴图中实践所围成的图形的面积=SPD-S。PA-S。ABG-S。CG-ScD Lx(6+4)x16-2x×3x6-2x1x3x4 21 2 =50 故选：A. [深入研究] 证明：如图，过D作DM⊥AF于M,过E作EN⊥AF于N, B 由“K字"模型可知，△ABF≌△DAM(AAS), ..AF DM, 同理AF=EN, ..EN DM, .DM⊥AF,EN⊥AF, ∠GMD=∠GNE=90°， 在△DMG与△ENG中， 「∠DGM=∠EGN ∠DMG=∠ENG DM=EN ∴.△DMG≌△ENG(AAS), ..DG=EG, 84/91 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 即点G是DE的中点. 2.(23-24八年级上·江西赣州期末)学习全等三角形知识后，我们知道，当有中线时，通常会倍长中线构 造8"字型全等的方法来解决问题，如图1，已知△ABC中，点E为BC中点，连结AE并延长到点D,使ED=EA, 连接CD,则有“8"字全等型△ABE≌△DCE,利用这种方法解下列问题. B人 E D 图1 图2 图3 图4 【课例回顾】 (1)如图2，为测量河对岸点A到点B的距离，借鉴上述方法，过点B画直线1，并在直线1上依次取点C 和点D,使得AC⊥I,BC=BD,请利用上述方法补全图形，指出测量哪条线段就可知道AB的长，并说明 理由； 【猜想探究】 (2)如图3，在△ABC中，D是AC的中点，BA=BE,BC=BF,∠ABE=∠CBF=90°，猜想线段BD与EF 有什么数量关系？并证明； 【拓展提升】 (3)如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=d,CD为中线，且∠ACD=15°，过点D作ED⊥CD交AC于 点E,请求线段CE的长.（用含d的式子表示） 【详解】解：(1)①如下图补充： B 图2 AB=BM: 证明：过点D作DM⊥CD交AB延长线于M, ·AC⊥CD,DM⊥CD, 85/91 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .AC∥DM, ..∠A=M, 又：CB=BD,∠ABC=∠MBD, .△ABC≌△MBD(AAS), .AB=BM; (2)BD=EF,理由如下： 2 A D G 延长BD到G,使得DG=BD, 由(1)知，△BDA≌△CDG, .CG=AB,∠BAC=∠DCG, AB∥CG, .∠ABC+∠BCG=180°， ∠ABE=∠FBC=90°， ∴.∠ABC+∠EBF=180°， .∠BCG=∠EBF, 在AGBC和△EBF中， BF=BC ∠BCG=∠EBF, BE=CG ∴.AGBC≌AEBF(SAS), ..BG=EF, 0-n, (3)如图4，延长CD到F使DF=CD, D为AB中点， .BD=AD, 86/91 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E 图4 .∠ADF=∠BDC, .AADF≌△BDC(SAS), ∴AF=BC=d,∠FAD=∠B, :∠ACB=90°， ∴.∠CAB+∠B=∠CAB+∠BAF=90°， ∴.∠CAF=90°， ED⊥CD, .EF=CE, .∠ECF=∠EFC=15°， ∴.∠AEF=30°， .'CE EF=2AF. 3,(22-23八年级上甘肃庆阳，期末)小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB=7,AC=5,点D 为BC的中点，求AD的取值范围，小明发现老师教过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法 就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方 法，他的做法是：如图2，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,构造△BED≌△CAD,经过推理和计 算使问题得到解决请回答： B E 图1 图2 图3 (1)小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是： ；(用字母表示) (2)请你帮助小明完成AD取值范围的计算；小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成 全等三角形模型的构造，参考小明思考问题的方法，解决问题； (3)如图3，在△ABC中，AD为BC边上的中线，且AD平分∠BAC,求证：AB=AC, 【详解】(1)解：~BD=DC,∠BDE=∠CDA,DE=AD, 87/91 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △BED≌△CAD(SAS), ∴小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是SAS; (2)解：△BED≌△CAD, ..BE=AC, 在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE, ...AB-AC<2AD<AB+AC, 1<AD<6; (3)证明：如图，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE, B E 在△BED和△CAD中， AD=DE ∠ADC=∠EDB, DC=DB △BED≌△CAD(SAS), .∠DAC=∠DEB,AC=BE, AD平分∠BAC, ∠DAC=∠DAB, .∠DEB=∠DAB, :.AB=BE, :.AB=AC. 4,(24-25八年级上·重庆綦江·期末)通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： 88/91 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 B 图1 图2 图3 (1)如图1，∠BAD=90°，AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE L AC于点E,由 ∠I+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D,又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE,进而得到 AC=一，BC=一，BC+DE=一·我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于点F,DE与直线 AF交于点G,求证：点G是DE的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型 (3)如图2，∠ADC=∠EDF=90°，AD=DC,DE=DF,连接AC,EF,△AFD的面积为S,,△DCE的 面积为S2,S,+S=2024,求S,的值、 【详解】(1)解：：BC⊥AC,DE LAC, .∠ACB=∠DEA=90°=∠BAD, A+∠2=∠2+∠D=90°， ∴.∠1=D, 在△ABC和△DAE中， '∠ACB=∠DEA=90° ∠1=∠D AB=DA ∴.△ABC≌△DAE(AAS) ∴.AC=DE,BC=AE, .BC+DE=AE+AC=CE, 故答案为：DE,AE,CE; (2)证明：如图2，过D作DM⊥AF于M,过E作EN⊥AF于N, 89/91 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图2 由“K字"模型得：△ABF≌△DAM(AAS), ∴.AF=DM, 同理：AF=EN, ∴.EN=DM, :DM⊥AF,EN⊥AF, .∠GMD=∠GNE=90°， 在△DMG与△ENG中， ∠DMG=∠ENG=909 ∠DGM=∠EGN, DM=EN .∴aDMG≌AENG(AAS), ..DG=EG, ∴.点G是DE的中点； (3)解：如图3，过D作PQ⊥CE于P,交AF于Q,过A作AM⊥PQ于M,过F作FN⊥PQ于N, M E :∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD,DE=DF, C 图3 由“K字"模型得：△ADM≌aDCP(AAS),△DFN≌aEDP(AAS), .S.ADM =S.DCP,S.DEN =S.EDP, 由(2)知：点Q是AF的中点， 得△AMQ≌△FNQ(AAS), 90/91 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .SAMe=SNe, ∴SADe+S.me+SaDN =S.AD+S.AMe+S.DEN =S.ADM+S.DEN =S.DCP+S.BDP, 即S=S, S,+S2=2024, .S的值为1012. 91/91