专题08 实数相关的突破重难题型（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材人教版

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08与实数相关的重难突破题型（期末复习讲义） 内容导航 明。期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记。必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破。重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01平方根定义的理解 题型02算术平方根的非负性 题型03实数的规律探究 题型04实数的大小比较 题型05实数的新定义题型 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 破·重难题型 它题型一 平方根定义的理解 解|题|技|巧 分清平方与开平方互逆运算，正数平方根有两个、互为相反数。 易错|点拨 审题混淆平方根与算术平方根，解题漏写负根。 【典例1】(24-25七年级下·天津河东期末)(24-25七年级下·天津河东，期末)如果α，b是2025的两个平 方根，那么a-ab+b= 【变式1】(24-25七年级下河北邢台期末)己知a是25的算术平方根，b的相反数是 64 3<c<√21且c为整数， (1)分别求出a,b,c的值. (2)求2a-4b+c的平方根. 【变式2】(24-25七年级下山西运城期末)己知正实数x的平方根分别为a和a+b 1/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)若a=-2,则a+b的值为 ,x的值为 (2)当b=6时，求a: (3)若a2x+(a+b)2x=8,求x的值. 它题型二 算术平方根的非负性 解|题技巧 利用V≥0非负性质，结合几个非负数和为0则各自为0解题。 易|错点|拨 忽略被开方数必须非负，随意取值导致式子无意义。 【典例1】(24-25七年级下·云南丽江期末)若a,b满足(a-1)2+√b+2=0,则a-b的值是() A.-1 B.1 C.3 D.-3 【变式1】(24-25八年级上贵州毕节期中)如图，点A表示的实数为-√2，点A沿数轴向右移动了2个 单位长度到达点B,设点B表示的实数为m: A1 B -2-1012 (1)实数m的值为 (2)求m+2+m-2的值； (3)若数轴上的C,D两点分别表示实数c和d,且2c+d|与√d2-144互为相反数，求3c+d的平方根。 【变式2】(24-25七年级下广西梧州期末)综合实践 今年1月16日，距离地球最近的外行星火星冲日，冲日是说火星、地球和太阳排成近似一条直线（如图所 示)·冲日期间，火星距离地球最近、最亮和整夜可见.请根据下表相关的数据信息解答下列各题： 行星 质量m 绕太阳公转的轨道半径R 绕太阳的公转周期T 地球 m1=6.0×1024kg R=1.5×10km T=1年 火星 m2=6.4×1023kg R2=2.25×108km 年 2/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 火星 地球 太阳 4计算的值： 2)计算火星绕太阳的公转周期7，；（公式： 之，结果保留一位小数，参考数据：V3,375 (3)估算相邻两次火星冲日的时间间隔t. 111 (公式：T,t 巴题型三 实数的规律探究题 解|题|技|巧 :有序列举、分组观察序号与数字变化，总结循环或递推规律。 易|错|点|拨 找规律不完整，只看局部，忽略符号、周期变化。 【典例1】（24-25七年级下.湖南娄底期末)请认真观察下列等式： 11 1++2-1=1-2 2++1{ ，,1,1 11 11 34 4+52-1= -;利用上述等式的规律，计算 45 11 11,1,1 1 ++2++2+++3++++ ,1+ + -2024= 2024220252 【变式1】(24-25七年级下·安徽合肥期中)如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把√2表示在数 轴上点A处，记A右侧最近的整数点为B,以点B为圆心，AB为半径画半圆，交数轴于点A,记A右侧 最近的整数点为B,以点B为圆心，A,B2为半径画半圆，交数轴于点A,如此继续，则A2sB2的长为() 1 A1 B1 A2 B2 A3 A.√2-1 B.2 C.V2+1 D.2-√2 【变式2】(24-25七年级下.重庆渝北期末)求59319的立方根，解答如下： 3/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①：1000=10,1000000=100，又：1000<59319<1000000,10<59319<100，.能确定59319的立 方根是个两位数， ②59319的个位数是9，又93=729，∴能确定59319的立方根的个位数是9. ③划去59319后面的三位319得到数59，而27<59<64，则3<59<4，可得30<59319<40，由 此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39.根据以上步骤求出314432的立方根 是 巴题型四实数的大小比较 解|题|技|巧 利用平方法、作差法、估值法、数轴法，灵活转化后再比较。 易错点拨 负数比较大小出错，估算无理数范围时范围判断不准。 【典例1】（24-25七年级下·吉林.期末)阅读下面的材料，并完成相应的任务， 【概念理解】“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法， [a-b>0,则a>b 即： a-b=0,则a=b a-b<0,则a<b 例如：比较√19-2与2的大小 :9-2-2=9-4又：√6<9<√25则4<√9<5 .V19-2-2=V19-4>0,.V19-2>2. 【完成任务】请根据上述方法解答以下问题： (1)√23的整数部分是一，6-√23的小数部分是 (2)比较大小：2-√23 -3 【迁移应用】(3)制作某产品有两种用料方案.方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板；方案二：用3 块A型钢板，9块B型钢板.A型钢板的面积比B型钢板大，从省料的角度考虑，应该选哪种方案？ 【变式1】(24-25七年级下·云南普洱期末)【问题提出】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或两个代数式的大小.解决此类问题时一般要进行转 4/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 化，其中“作差法”就是常用的方法之一，其依据是不等式（或等式）的性质；若a-b>0,则a>b;若 a-b=0,则a=b;若a-b<0,则a<b. 例：已知a=m2+mn,b=mn-m2,其中m≠0.求证：a>b. 证明：a-b=m2+mn-mn-m2）=m2+mn-mn+m2=2m2. .m≠0，..2m2>0,.a>b. 【尝试应用】 (1)两个长方形的长和宽如图所示，请比较图中两个长方形周长的大小. A a+b D a+V3 H b 【拓展提升】 (2)己知x,y,z满足x+2y-5z=-4,x-y+z=2,试比较代数式3y与6x的大小. 【变式2】(24-25七年级下甘肃定西期末)如图，这是一个长方形信封，其长、宽之比为5：3，面积为 150cm2.现有一张面积为81cm的正方形贺卡，能将这张贺卡不折叠地放入此信封吗？请通过计算说明你 的判断。 它题型五 实数的新定义题型 解|题|技|巧 :严格照搬题目定义规则，分步代入计算，不套用旧公式。 易|错|点|拨 看不懂新运算规则，凭经验做题，忽略限定条件。 【典例1】(24-25七年级下广东中山期末)中山市是孙中山先生的出生地，为了纪念孙中山先生，我们定 义：如果实数m,n满足8m-6n=5,那么就称点P(1+n,1-2m)为“中山点”. 判撕点43，-是否为中山点，并说明理山， 5/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若点B(k,3)是“中山点”，求k的值； y+9=0 (3)已知p,9为有理数，且关于x,y的方程组 的解为坐标的点C(x,y)是“中山点”，求p, x-2y=3p+2q q的值。 【变式1】（24-25七年级下·安徽淮北·期末)在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组{x,y,z中， x,,?为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”. 例如，数组{2,8,18，计算可得√2x8=4,√2x18=6,√8×18=12，所以它是“和谐数组” (1)判断：{4,9,36“和谐数组"”，{2,4,8“和谐数组”（填“是”或“不是”）； (2)若{3,12，m为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值. 【变式2】(24-25七年级下河北张家口期末)在平面直角坐标系中，对于点A(x,y),若点B的坐标为 +8,0+小，测称点B是点4的绿米密点，例知：点-261的级米密点为8-2+6宁-2引+6 ,即点B的坐标为1,5) (1)已知点C(-1,5)的3级亲密点是点D,求点D的坐标； (2)已知点M(m,2m)的-3级亲密点M位于第三象限，且到x轴的距离为2，求点M,的坐标； (3)若点E在x轴正半轴上，点E的a级亲密点为点F,且EF的长度为OE长度的√3倍，求a的值. 期末重难突破练（测试时间：45分钟） 1.(24-25七年级下…云南曲靖期末)已知0.1234≈0.4979,12.34≈2.311，则2340的值约是() A.4.979 B.23.11 C.49.79 D.231.1 2.·（24-25七年级下·内蒙古赤峰期末)如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 6/10 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 第1行 15 第2行 52√5 √6 第3行 √i √83√10 √12 第4行 √13 √14√154√17 √18V19 √20 0 …4 根据数阵的规律，第10行倒数第二个数是 3.(24-25七年级下.湖南娄底期末)请认真观察下列等式： 1+ 1 1 11 32 -1= 11 34V+4+5 -1 11 ；…利用上述等式的规律，计算 45 ,,11 ，,11 ,1,1 1 V++2京+1+2+京+y++++V+2024+2025-2024= 4.(24-25七年级下.青海玉树·期末)己知a是2二的平方根，b是(-13)2的平方根，c的立方根是-3，d的 算术平方根为√5 ①②③④ (1)求a、b、c的值； (2)的另外一个平方根落在图中的（填“段①”、“段②”、“段③”或“段④”) 5.(24-25七年级下.福建福州·期末)小明同学探索√⑧5的近似值的过程如下： :面积为85的正方形边长为√⑧5，且9<√⑧5<10， .可设√85=9+x,其中0<x<1, 画出示意图，如图所示 9 9 92 9x 9x x 可得图中正方形的面积为92+2×9x+x2=85 :x2<1,可忽略x2,于是得81+18x≈85，解得x≈022， 7/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .√85≈9.22. 结合小明同学的探索过程，完成下列问题： (1)√150的整数部分为 ； (2)求√150的近似值.（画出示意图，标注数据，写出求解过程） 6.(24-25七年级下.湖北黄石·期中)已知3a+3的平方根为3，a+2b的算术平方根为4. (1)求a,b的值： (2)求b-3a的平方根. 7.(24-25七年级下.内蒙古乌兰察布期末)已知一个正数的平方根是2a-4与-3-a, (1)求a的值和这个正数 (2)求3a+4的平方根 8.(24-25七年级下江西宜春期末)己知√a-17+√17-a=b+8. (1)求a的值： (2)求a-b的平方根. 9.（24-25七年级下.黑龙江齐齐哈尔期末)观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算√5x9+4=-:√16×20+4=- (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律：- (3)计算：Vx5+4-√2×6+4+√3×7+4-√4×8+4+…+√2021×2025+4. 10.(24-25七年级下广东惠州期末)阅读材料：大家知道√2是无理数，而无理数是无限不循环小数， 因此√2的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于1<√2<2，所以√2的整数部分为1，将√2减去 其整数部分1，差就是小数部分为(V2-1.解答下列问题： (1)√13的整数部分是-，小数部分是-： (2)设√6的小数部分为a,√41的整数部分为b,求a+b-√6的值： (3)已知m是正整数，√m是一个无理数，且√m-5表示√m的小数部分 ①m的取值范围是- ②当m是6的倍数时，且m+n-21=√，求出m的值. 8/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 11.（24-25七年级下.甘肃陇南期末)我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为 零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零.由此可得：如果mx+n=0,其中m,n为 有理数，x为无理数，那么m=0且n=0. (1)如果(a-3)√2+b+4=0,其中a,b为有理数，那么a=,b=; (2)如果(2+√2)a-31-bW2)=9,其中a,b为有理数，求a+2b的值. 12. (24-25七年级下广西南宁.期末)(1)填表： m 0 0.000001 0.0001 0.01 1 100 10000 … √m 0 0.001 0.1 100 (2)规律归纳： ①若正数m的小数点向左（或右）移动位，则√m的小数点就相应地 移动■ 位； ②当m>1时，若正数m越大，则√m也越大 (3)尝试运用：已知169=13，√m=1300,求m的值； (4)灵活应用：当m≥0时，比较√m和m的大小 13.(24-25八年级上湖南衡阳·期末)先观察等式，再解答问题： 1L=1；②S,=+ 11+12 .11 ,11 ，1 -=1 33+112 (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想，1+ 11 (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含的式子表示的等式：一（n为正整数)； (3)应用上述结论，请计算S,+S2+S,+S4+…+So的值， 14.（24-25七年级下广西北海期末)【课本再现】 小明用一些小正方形纸片做拼、剪构造大正方形游戏： 他把两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形，按如图1拼在一起，就得到了 一个边长为√2的大正方形A,B,C,D· 【深度思考】 于是，他发现若把5个边长为1的正方形如图2摆放，再将这个图形按图3的方式剪裁，拼成图4，得到一 9/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 个大正方形AB,C,D2· 2 图1 图2 图3 图4 (1)求拼成的正方形A,B,C,D2的面积和边长. (2)若要把n个小正方形按上述方法拼成边长为√10的大正方形，则”=_ 10/10 专题08 与实数相关的重难突破题型（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01平方根定义的理解 题型02 算术平方根的非负性 题型03 实数的规律探究 题型04 实数的大小比较 题型05 实数的新定义题型 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 题型一 平方根定义的理解 解｜题｜技｜巧 分清平方与开平方互逆运算，正数平方根有两个、互为相反数。 易｜错｜点｜拨 审题混淆平方根与算术平方根，解题漏写负根。 【典例1】（24-25七年级下·天津河东·期末）（24-25七年级下·天津河东·期末）如果是2025的两个平方根，那么________． 【答案】2025 【分析】本题考查平方根的性质，熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．根据一个正数的两个平方根互为相反数，得到，，整体代入法进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：2025． 【变式1】（24-25七年级下·河北邢台·期末）已知是25的算术平方根，的相反数是，且为整数． (1)分别求出，，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了算术平方根、平方根和立方根的定义，无理数的估算； （1）根据算术平方根和立方根的定义可得，的值，然后估算出和的取值范围，结合题意可得的值； （2）先求出的值，再根据平方根的概念得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∵，， ∴，， 又∵且为整数， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴的平方根为． 【变式2】（24-25七年级下·山西运城·期末）已知正实数x的平方根分别为a和 (1)若，则的值为_________，x的值为__________； (2)当时，求a； (3)若，求x的值． 【答案】(1)2，4 (2) (3) 【分析】（1）首先根据平方根的性质得到，然后结合求出b的值，进而可求出的值和x的值； （2）首先根据平方根的性质得到，然后结合求出a的值； （3）首先根据平方根的概念得到，，进而得到，然后化简，代入求解即可． 【详解】（1）∵正实数x的平方根分别为a和， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2，4． （2）∵正实数x的平方根分别为a和， ∴， ∵ ∴； （3）∵正实数x的平方根分别为a和， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴解得． 【点睛】此题考查了平方根和算术平方根的综合应用，解题的关键是熟练掌握平方根和算术平方根的定义 及其应用． 题型二 算术平方根的非负性 解｜题｜技｜巧 利用非负性质，结合几个非负数和为 0 则各自为 0 解题。 易｜错｜点｜拨 忽略被开方数必须非负，随意取值导致式子无意义。 【典例1】（24-25七年级下·云南丽江·期末）若a，b满足，则的值是（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，非负数的应用，算术平方根，根据偶次幂，算术平方根均为非负数，它们的和为0时，由此解出a和b的值，再代入计算，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·贵州毕节·期中）如图，点A表示的实数为，点A沿数轴向右移动了2个单位长度到达点B，设点B表示的实数为m． (1)实数m的值为_________； (2)求的值； (3)若数轴上的C，D两点分别表示实数c和d，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案； （2）由（1）可知，则可得出，，再利用绝对值的性质化简绝对值号，继而求得答案； （3）根据非负数的性质求出，，或，．的值，再代入，进而求其平方根． 【详解】（1）解： （2）解：因为，则，， 所以 （3）解：因为与互为相反数， 所以， 所以，， 解得，，或，． ①当，时，， 所以无平方根． ③当，时，， 所以的平方根为． 综上，的平方根为． 【点睛】本题考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平方根等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·广西梧州·期末）综合实践 今年1月16日，距离地球最近的外行星火星冲日，冲日是说火星、地球和太阳排成近似一条直线（如图所示）．冲日期间，火星距离地球最近、最亮和整夜可见．请根据下表相关的数据信息解答下列各题： 行星 质量m 绕太阳公转的轨道半径 绕太阳的公转周期T 地球 年 火星 年 (1)计算的值； (2)计算火星绕太阳的公转周期；（公式：，结果保留一位小数．参考数据：） (3)估算相邻两次火星冲日的时间间隔t．（公式：） 【答案】(1) (2)约年 (3)年 【分析】（1）根据有理数的除法计算即可； （2）根据公式，变形后，代入估算即可； （3）根据公式，变形后，代入估算即可； 本题考查了有理数的除法，立方的计算，算术平方根的计算，公式的变形计算，熟练掌握运算法则，正确进行公式变形是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得 （2）解：由公式：， 得， 又，，年， 故， 又， 故（年）． （3）解：由， 得（年）． 题型三 实数的规律探究题 解｜题｜技｜巧 有序列举、分组观察序号与数字变化，总结循环或递推规律。 易｜错｜点｜拨 找规律不完整，只看局部，忽略符号、周期变化。 【典例1】（24-25七年级下·湖南娄底·期末）请认真观察下列等式：；；；；……利用上述等式的规律，计算______． 【答案】 【分析】本题考查了实数的计算的规律探究，，熟练掌握规律探索是解题的关键．根据已知等式的规律，将目标式子化为，即可求解． 【详解】解：原式 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的运算的规律，数轴，通过计算出，，找到规律，即可解答，熟练运用实数的运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则表示的数为， ∵， ∴， 表示的数为， ，则表示的数为， ∵， ∴， 同理可得， ……， 以此类推，可知， ∴， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·重庆渝北·期末）求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是__________． 【答案】68 【分析】本题考查立方根，根据题意所给方法确定314432的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，即可解答． 【详解】解：， 又， ， ∴能确定314432的立方根是个两位数． 314432的个位数是2， 又， ∴能确定314432的立方根的个位数是8． 划去314432后面的三位432得到数314，而，则， 可得，由此能确定314432的立方根的十位数是6， 因此314432的立方根是68， 故答案为68． 题型四 实数的大小比较 解｜题｜技｜巧 利用平方法、作差法、估值法、数轴法，灵活转化后再比较。 易｜错｜点｜拨 负数比较大小出错，估算无理数范围时范围判断不准。 【典例1】（24-25七年级下·吉林·期末）阅读下面的材料，并完成相应的任务． 【概念理解】“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法， 即： 例如：比较与2的大小． 又则 ，． 【完成任务】请根据上述方法解答以下问题： （1）的整数部分是________，的小数部分是________． （2）比较大小：________； 【迁移应用】（3）制作某产品有两种用料方案．方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板大，从省料的角度考虑，应该选哪种方案？ 【答案】（1）；；（2）；（3）方案二 【分析】本题考查了无理数的整数部分、小数部分求解以及作差法比较大小的应用，解题的关键是熟练运用作差法和无理数的估算方法． （1）先通过无理数的范围确定的整数部分，再根据整数部分求的小数部分； （2）用作差法比较与的大小，计算差值并判断正负； （3）设1块型钢板的面积为，1块型钢板的面积为，其中， 分别表示出两种方案的用料面积，再用作差法比较大小，判断哪种方案省料． 【详解】（1）∵， ， ， 那么的整数部分是，的小数部分是， 故答案为：；； （2）， ， ， ， 故答案为：； （3）设1块型钢板的面积为，1块型钢板的面积为， 其中， 则方案一中钢板的总面积为，方案二中钢板的总面积为， 那么， 则从省料的角度考虑，应该选方案二． 【变式1】（24-25七年级下·云南普洱·期末）【问题提出】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或两个代数式的大小．解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，其依据是不等式（或等式）的性质；若，则；若，则；若，则． 例：已知，其中．求证：． 证明：． ，，． 【尝试应用】 （1）两个长方形的长和宽如图所示，请比较图中两个长方形周长的大小． 【拓展提升】 （2）已知满足，试比较代数式与的大小． 【答案】（1）长方形的周长大于长方形的周长；（2） 【分析】本题考查了实数的大小比较，二元一次方程组． （1）设长方形的周长为，长方形的周长为，计算，进而根据，即可求解； （2）根据已知得出，再计算，即可求解． 【详解】解：（1）设长方形的周长为，长方形的周长为， ∴，， ∵， ∵，， ∴，则， ∴，即长方形的周长大于长方形的周长； （2）∵， ∴得，解得， ∴， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·甘肃定西·期末）如图，这是一个长方形信封，其长、宽之比为，面积为．现有一张面积为的正方形贺卡，能将这张贺卡不折叠地放入此信封吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】能将这张贺卡不折叠地放入此信封，理由见解析 【分析】本题考查开平方运算、比较无理数大小等知识．根据题意，得到正方形贺卡的边长为，长方形信封长为，宽为，比较即可得到答案． 【详解】解：能将这张贺卡不折叠的放入此信封． 说明如下： 正方形贺卡的面积为， 正方形贺卡的边长为， 长方形信封，长宽之比为，面积为， 设长方形信封长为，则宽为，则，解得，即长方形信封长为，宽为， ， 能将这张贺卡不折叠的放入此信封． 题型五 实数的新定义题型 解｜题｜技｜巧 严格照搬题目定义规则，分步代入计算，不套用旧公式。 易｜错｜点｜拨 看不懂新运算规则，凭经验做题，忽略限定条件。 【典例1】（24-25七年级下·广东中山·期末）中山市是孙中山先生的出生地，为了纪念孙中山先生，我们定义：如果实数m，n满足，那么就称点为“中山点”． (1)判断点是否为“中山点”，并说明理由； (2)若点是“中山点”，求k的值； (3)已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组的解为坐标的点是“中山点”，求p，q的值． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)； (3)，． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法、点的坐标及二次根式的运算，解题的关键是理解题意； （1）根据题意得到，，求出，，然后代入求解判断即可； （2）根据“中山点”的定义得到，，表示出，，然后根据列方程求解即可； （3）首先解方程组得到，然后根据题意得到，，表示出，，根据得到，然后根据p，q为有理数求解即可． 【详解】（1）解：∵点 ∴， ∴， ∴ ∴点是“中山点”； （2）解：若点是“中山点”， ∴， ∴， ∵ ∴ 解得； （3）解： 得，， 解得， 将代入②得，， ∴方程组的解为， ∵关于x，y的方程组的解为坐标的点是“中山点”， ∴，， ∴，， ∴， 整理得，， ∵p，q为有理数， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·安徽淮北·期末）在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“和谐数组”． (1)判断：_________“和谐数组”，__________“和谐数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值． 【答案】(1)是，不是； (2) 【分析】本题主要考查算术平方根，理解“和谐数组”的定义是解题的关键： （1）根据“和谐数组”的定义进行判断即可解答； （2）分和两种情况，分别根据算术平方根的定义并运用“和谐数组”的定义验证即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴是“和谐数组”； ∵，不是整数， ∴不是“和谐数组”． （2）解：若，则，解得：； 当时，，均为整数，且3，12，48互不相等，符合条件； 若，得，与12重复，舍去． 综上可知． 【变式2】（24-25七年级下·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的级亲密点．例如：点的级亲密点为，即点的坐标为． (1)已知点的3级亲密点是点，求点的坐标； (2)已知点的级亲密点位于第三象限，且到轴的距离为2，求点的坐标； (3)若点在轴正半轴上，点的级亲密点为点，且的长度为长度的倍，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，新定义，熟练掌握点的坐标的特征进行求解是解决本题的关键． （1）根据题意，应用新定义进行计算即可得出答案； （2）根据新定义进行计算可得点的级亲密点是点，根据第三象限内的点纵坐标为负，结合点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值求解即可； （3）设，则点的级亲密点为点，根据平面直角坐标系中距离的计算方法可得，，，则，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点的3级亲密点是点， ∴点D的横坐标为，点D的纵坐标为， ∴点D的坐标为； （2）解；∵点的级亲密点为点， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵点位于第三象限，且到轴的距离为2， ∴， ∴， ∴, ∴点的坐标为； （3）解：设，则点的级亲密点为点， ∴，， ∵的长度为长度的倍， ∴， ∴， 解得：． 期末重难突破练（测试时间：45分钟） 1.（24-25七年级下·云南曲靖·期末）已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查立方根的规律探索，利用三次根号的运算性质，将被开方数分解为已知值的倍数与10的幂次相乘，从而简化计算 【详解】解：∵，而， ∴== 因此，的值约为， 故选B 2．．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第10行倒数第二个数是_______； 【答案】 【分析】本题考查数字规律型，根据数阵中数字的特点总结规律求解即可． 【详解】解：由数阵可得，整个数阵从每一行左起第一个数开始，从左到右，从上到下，是连续的正整数的算术平方根，且每一行的个数分别为2、4、6、8⋯， ∴前10行的总个数为， 即第10行最后一个数是， ∴第10行倒数第二个数是， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）请认真观察下列等式：；；；；……利用上述等式的规律，计算______． 【答案】 【分析】本题考查了实数的计算的规律探究，，熟练掌握规律探索是解题的关键．根据已知等式的规律，将目标式子化为，即可求解． 【详解】解：原式 故答案为：． 4．（24-25七年级下·青海玉树·期末）已知a是的平方根，b是的平方根，c的立方根是，d的算术平方根为 (1)求a、b、c的值； (2)d的另外一个平方根落在图中的______（填“段①”、“段②”、“段③”或“段④”） 【答案】(1)，， (2)段① 【分析】本题考查了立方根，平方根，算术平方根，熟练掌握这几个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义求出a的值，根据平方根的定义求出b的值，根据立方根的定义求出c的值即可； （2）先求出d的另一个平方根，再利用夹逼法判断的取值范围即可作出判断． 【详解】（1）解：是的平方根， ， 是的平方根， ， 的立方根是， ； （2）解：的算术平方根为， ， 的另一个平方根是， ， ， ， 落在图中的段①， 故答案为：段①． 5．（24-25七年级下·福建福州·期末）小明同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为85的正方形边长为，且， ∴可设，其中， 画出示意图，如图所示 可得图中正方形的面积为 ∵，可忽略，于是得，解得， ∴． 结合小明同学的探索过程，完成下列问题： (1)的整数部分为_________________； (2)求的近似值．（画出示意图，标注数据，写出求解过程） 【答案】(1)12 (2)，图见解析 【分析】本题考查了估计无理数的大小，理解示例并合理解答是解题关键． （1）利用算术平方根估计的大小，即可得到的整数部分； （2）类比于题干的求解过程，画出图形求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 的整数部分为12； 故答案为：12； （2）解：∵面积为150的正方形边长为，且， ∴可设，其中， 所画示意图如下： 如图，可得图中正方形的面积为：， ∵，可忽略， 于是得， 解得， ∴． 6．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）已知的平方根为，的算术平方根为． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，根据题意正确列式是解题的关键． （1）由题得，求出，继而得到，求出； （2）由得到，再根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：的平方根为， ， ； 的算术平方根为， ， ； （2）解：， ， 的平方根为 7．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）已知一个正数的平方根是与， (1)求a的值和这个正数 (2)求的平方根 【答案】(1) ，这个正数是100 (2) 【分析】本题考查了平方根的性质，解题的关键是利用正数的两个平方根互为相反数的性质列方程求解． （1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求的值；再将代入平方根表达式，平方后得到这个正数； （2）先计算的值，再求其平方根． 【详解】（1）解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴， 解得． 则这个正数的平方根为与， ∴这个正数为． 答：的值为，这个正数为． （2）解：当时，， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 答：的平方根为． 8．（24-25七年级下·江西宜春·期末）已知． (1)求a的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是算术平方根的非负性、平方根的概念，掌握被开方数是非负数是解题的关键． （1）根据算术平方根的非负性列出不等式，解不等式求出a， （2）求出b，根据平方根的概念计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 解得： ，， . （2）解：∵， ∴， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 9．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算＝ ；＝ ． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律： ． (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，数字的变化规律探究，从数字找规律是解题的关键． （1）根据算术平方根进行计算即可求解； （2）从数字找规律，即可解答； （3）从数字找规律，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律：； 故答案为：； （3）解： ． 10．（24-25七年级下·广东惠州·期末）阅读材料：大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于 所以 的整数部分为1，将 减去其整数部分1，差就是小数部分为 ．解答下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)设的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知m是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分． ①m的取值范围是 ． ② 当m是6的倍数时，且 ，求出的值． 【答案】(1)3， (2)4 (3)①② 【分析】本题考查估算无理数的大小，绝对值，代数式求值，理解实数的性质，掌握估算无理数大小的方法是正确解答的前提． （1）估算无理数的大小，即可解答． （2）估算无理数，的大小，继而求出a，b的值，代入，即可解答． （3）①由题意，估计无理数的大小，即可解答； ②由，m是6的倍数，求出，代入，得到，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴的整数部分是3，小数部分是． 故答案为：3，． （2）∵，， ∴的小数部分为，的整数部分为6， 即 ∴． （3）①∵m是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分， ∴的整数部分为5，小数部分为， ∴． ∴ 即答案为：． ② ∵，m是6的倍数， ∴， 由 ，得 ， 解得， ∴． 11．（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中，为有理数，为无理数，那么且． (1)如果，其中，为有理数，那么______，_______； (2)如果，其中，为有理数，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据，得到解答即可． （2）根据，变形得，根据所给定的性质，得到，解答即可． 本题考查了无理数，有理数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴． 解得， 故答案为：，． （2）解：， 变形得， ，， ，， ． 12．（24-25七年级下·广西南宁·期末）（1）填表： 0 1 100 10000 0 ______ 1 ______ 100 （2）规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动______位，则的小数点就相应地______移动______位； ②当时，若正数越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，，求的值； （4）灵活应用：当时，比较和的大小． 【答案】（1），；（2）两，向左（或右），一；（3）；（4）①时：；②或时：；③时： 【分析】本题考查了算术平方根的应用． （1）根据算术平方根计算即可； （2）根据表格作答即可； （3）根据（2）的规律作答即可； （4）分或三种情况作答即可． 【详解】解：（1），； 故答案为：，； （2）由表格可知，若正数的小数点向左（或右）移动两位，则的小数点就相应地向左（或右）移动一位； 故答案为：两，向左（或右），一； （3）， ， ． （4）由表格可知，①时：，则； ②或时：； ③时：，则． 13.（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想______； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含的式子表示的等式：____（为正整数）； (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数运算相关的规律的探究． （1）利用题中等式的计算规律得到的结果为； （2）第n个等式的左边为，等式右边为1与的和； （3）根据规律得到，，，，，相加即可求解． 【详解】（1）解：的结果为； 故答案为：； （2）解：∵①； ②； ③， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ， ， ， ， ∴ ． 14．（24-25七年级下·广西北海·期末）【课本再现】 小明用一些小正方形纸片做拼、剪构造大正方形游戏： 他把两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形，按如图1拼在一起，就得到了一个边长为的大正方形． 【深度思考】 于是，他发现若把5个边长为1的正方形如图2摆放，再将这个图形按图3的方式剪裁，拼成图4，得到一个大正方形． (1)求拼成的正方形的面积和边长． (2)若要把个小正方形按上述方法拼成边长为的大正方形，则______________． 【答案】(1)正方形的面积为5，边长为 (2)10 【分析】本题主要考查求一个数的算出平方根以及图形拼接中面积守恒的规律，解题的关键在于理解图形拼接前后总面积不变； （1）通过已知小正方形的数量计算总面积，再根据面积公式求边长； （2）需要根据第一问的规律推导出值即可； 【详解】（1）解：由题和图可知∶一个小正方形的面积是1，所以5个小正方形的面积和为5， 即大正方的面积为5， ∵边长边长面积， ∴边长， 故拼成的正方形的面积为5和边长为； （2）解：根据大正方形的面积为，每个小正方形的面积为1， ∴共需要10个小正方形； 故答案：10． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $