专题01 整式的乘法（期末复习讲义，知识必备+9大重难题型+过关验收）七年级数学下学期新教材人教版五四制

专题01 整式的乘法（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 幂的运算 熟练识记并理解整式乘法的基础法则，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，明确各法则的适用条件与限制范围，能准确区分易混淆公式。 高频考点：重点考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的公式辨析与计算，常以选择题、填空题形式出现。 整式的乘法法则应用 全面掌握整式乘法的运算类型，涵盖单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘，能规范完成每一步运算，精准处理符号问题与漏乘问题。 高频易错点：多项式与多项式相乘的漏乘问题，常以直接计算题、运算正误判断题形式考查，侧重检验运算的规范性与准确性。 乘法公式的灵活运用 深度理解并熟记乘法公式，包括平方差公式、完全平方公式，知晓公式的几何背景，并能掌握公式的基本变形。能运用整体代入、换元、配方等方法解决整式乘法相关的化简求值问题；能将实际问题转化为整式乘法模型，实现代数运算与实际应用的衔接。能参与公式的推导过程，通过特例猜想、验证归纳规律，应对与杨辉三角相关的规律探索题，提升逻辑推理素养。 核心考点：平方差公式、完全平方公式的直接应用、变形应用是考查核心，既出现在选择题、填空题的化简求值中，也常作为解答题的核心步骤，部分地区会结合几何图形考查公式的几何意义，体现数形结合导向。 知识点01 幂的运算 1.同底数幂的乘法 推导过程 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， 2.幂的乘方 （1）幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘. （2）幂的乘方的性质 推导过程 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， 符号表示 (m，n都是正整数) （3）同底数幂的乘法与幂的乘方的比较 运算种类 公式 运算性质中的运算 计算结果 底数 指数 同底数幂的乘法 (m，n都是正整数) 乘法 不变 相加 幂的乘方 乘方 不变 相乘 3.积的乘方 （1）积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方. 如，等. （2）积的乘方的性质 推导过程 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， 知识点02 整式的乘法 1.单项式与单项式相乘 单项式乘单项式法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式. 对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积； (2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加； (3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数写在积里. 2.单项式与多项式相乘 （1）单项式乘多项式法则 文字语言 符号表示 一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 ＝pa＋pb＋pc (p，a，b，c都是单项式） （2）单项式与多项式相乘的几何解释：如图，大长方形的面积可以表示为p(a＋b＋c)，也可以视为三个小长方形的面积之和，表示为pa＋pb＋pc. 所以p(a＋b＋c)＝pa＋pb＋pc. 3.多项式与多项式相乘 （1）多项式乘法法则 文字语言 符号表示 一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 ＝ap＋aq＋bp＋bq(a，b，p，q都是单项式) （2）多项式与多项式相乘的几何解释：如图，大长方形的面积可以表示为(a＋b)(p＋q)，也可以将大长方形的面积视为四个小长方形的面积之和，即ap＋aq＋bp＋bq. 所以(a＋b)(p＋q)＝ap＋aq＋bp＋bq. 4.同底数幂的除法 同底数幂的除法的性质 文字叙述 同底数幂相除，底数不变，指数相减 式子表示 (a ≠ 0，，都是正整数，>) 5.零指数幂 零指 数幂 规定 ＝1(a ≠ 0) a可以是不为零的单项式或多项式 文字叙述 任何不等于0的数的0次幂都等于1 6.单项式除以单项式 运算法则 一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 一般步骤 (1)把系数相除，所得的结果作为商的系数； (2)把同底数幂分别相除，所得的结果作为商的因式； (3)把只在被除式里出现的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式 7.多项式除以单项式 运算法则 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加 式子表示 多项式(被除式)除以单项式是单项式乘多项式(商)的逆运算，因此多项式(被除式)除以单项式的结果可以用单项式乘多项式(商)进行检验. 知识点03 平方差公式 1. 平方差公式的推导 (1)代数运算证明法：(a＋b)(a－b)＝－ab＋ab－＝ － . (2)几何图形证明法：图①中阴影部分的面积为a2－b2，把它分割并拼接成图② 中的长方形，长为(a＋b)，宽为(a－b)，故阴影部分的面积为(a＋b)(a－b). 故(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 2.平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 3.平方差公式的几种常见变化及应用 变化形式 应用举例 位置变化 (b＋a)(－b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝a2－b2 符号变化 (－a－b)(a－b)＝(－b－a)(－b＋a)＝(－b)²－  a2＝b2－a2 系数变化 (3a＋2b)(3a－2b) ＝(3a)²－(2b)²＝9a2－4b2 指数变化 (a³＋b2)(a³－b2)＝(a³)²－(b2)²＝－ 增项变化 (a－b＋c)(a－b－c)＝(a－b)²－c² 连用公式 (a＋b)(a－b)(a2＋b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)＝－ 知识点04 完全平方公式 1. 完全平方公式的推导： (1)代数运算证明法 (a＋b)²＝(a＋b)(a＋b)＝a²＋ab＋ab＋b²＝a²＋2ab＋b²； (a－b)²＝(a－b)(a－b)＝a²－ab－ab＋b²＝a²－2ab＋b² . (2)几何图形证明法(数形结合思想) ①：大正方形的面积为(a＋b)²＝a²＋b²＋2ab； ②：左下角正方形的面积为(a－b)²＝a²－2ab＋b². 2. 完全平方公式：(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²，(a－b)²＝a²－2ab＋b². 语言叙述：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2 倍. 3. 完全平方公式的几种常见变形 (1)a²＋b²＝(a＋b)²－2ab＝(a－b)²＋2ab； (2)(a＋b)²＝(a－b)²＋4ab； (3)(a－b)²＝(a＋b)²－4ab； (4)(a＋b)²＋(a－b)²＝2(a²＋b²)； (5)(a＋b)²－(a－b)²＝4ab； (6)ab＝[(a＋b)2－(a2＋b2)]＝[(a＋b)2－(a－b)2]； (7)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc； (8)a2＋b2＋c2＋ab＋ac＋bc＝[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(a＋c)2]. 题型一 幂的运算 【典例1-1】（24-25八年级上·四川乐山·期末）计算（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（24-25八年级上·河南南阳·期末）已知，则的值是（   ） A．8 B．24 C．40 D．48 【典例1-3】（24-25八年级上·河南周口·期末）比较，，的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例1-4】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【典例1-5】（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·期末）计算： ． 【变式1-1】（25-26八年级上·广东广州·期末）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·湖南·期末）已知，，，，则a、b、c、d的大小关系() A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25八年级上·四川泸州·期末）已知，，则 ． 【变式1-4】（23-24八年级上·福建福州·期末）若，则的值为 ． 【变式1-5】（24-25八年级上·吉林白城·期末）计算： ． 题型二 整式乘法 【典例2-1】（25-26八年级上·全国·期末）计算： ． 【典例2-2】（25-26八年级上·甘肃·期末）一个长方形的长和宽分别是（其中），则这个长方形的面积是 ． 【典例2-3】（24-25八年级上·福建福州·期末）化简： 【典例2-4】（24-25八年级上·青海西宁·期末）计算的结果是 ． 【典例2-5】（23-24八年级上·河北邯郸·期末）计算： ． 【典例2-6】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）若，则a＝ ． 【典例2-7】（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【变式2-1】（24-25八年级上·贵州黔东南·期末） ． 【变式2-2】（25-26八年级上·全国·期末）计算： 【变式2-3】（24-25八年级上·浙江台州·期末）化简： (1)； (2)． 【变式2-4】（24-25八年级上·宁夏固原·期末）计算： (1)； (2)． 【变式2-5】（24-25八年级上·贵州·期末）计算： (1)； (2)． (3)． 【变式2-6】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图是在一片长方形空地上设计一个长方形花圃的设计方案，已知空地的长比宽的2倍少1米，周边的道路是等宽的． (1)设空地的宽是米，周边道路的宽度是米，请表示出花圃的面积； (2)在（1）的条件下，若要求花圃的宽是米，请用表示出花圃的面积． 题型三 平方差公式 【典例3-1】（25-26八年级上·甘肃天水·期末）下列各式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（25-26八年级上·江西·期末）计算： ． 【典例3-3】（24-25八年级上·广东东莞·期末）计算：． 【变式3-1】（24-25八年级上·江西南昌·期末）计算： ． 【变式3-2】（24-25八年级上·甘肃酒泉·期末）计算： 【变式3-3】（24-25八年级上·甘肃武威·期末）综合探究：小明遇到下面一个问题： 计算．． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请根据小明解决问题的方法，试着解决下面问题：计算： (1) (2) 题型四 完全平方公式 【典例4-1】（25-26八年级上·甘肃·期末）已知，则a的值为（    ） A．4 B．±4 C．2 D．12 【典例4-2】（24-25八年级上·全国·期末）若是完全平方式，则的值为（   ） A． B． C． D．4 【典例4-3】（24-25八年级上·甘肃武威·期末）已知，则的值是 ． 【变式4-1】（24-25八年级上·广东肇庆·期末）已知多项式恰好是一个完全平方式，则 ． 【变式4-2】（25-26八年级上·全国·期末）已知，求的值． 题型五 含乘方公式的混合运算 【典例5-1】（24-25八年级上·山西大同·期末）计算的结果是 ． 【典例5-2】（25-26八年级上·广东惠州·期末）计算： 【典例5-3】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）化简： 【变式5-1】（24-25八年级上·河北邯郸·期末）小江将展开后得到，小华将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为 ． 【变式5-2】（24-25八年级上·吉林白城·期末）计算：． 【变式5-3】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，这是一道例题的部分解答过程，其中，是两个关于，的二项式．请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题： (1)多项式为 ，多项式为__________，例题的计算结果为__________； (2)计算：． 题型六 化简求值问题 【典例6-1】（25-26八年级上·全国·期末）先化简，再求值：，其中． 【典例6-2】（24-25八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中． 【典例6-3】（24-25八年级上·青海西宁·期末）先化简再求值，已知．求的值． 【变式6-1】（24-25八年级上·四川乐山·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式6-2】（24-25八年级上·四川眉山·期末）先化简，再求值，已知，求代数式的值． 【变式6-3】（24-25八年级上·甘肃武威·期末）先化简，再求值：，其中，． 【变式6-4】（25-26八年级上·全国·期末）先化简，然后从，1，3三个数中，任选一个合适的数作为x的值代入求值． 题型七 规律探究问题 【典例7】（24-25八年级上·云南红河·期末）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．如图2，某同学发现杨辉三角给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数，恰好对应着展开式中各项的系数等等． 则展开式中的第三项是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25八年级上·河南新乡·期末）观察下列等式，并回答问题 ， ， ， ， …… (1)将2028写成两整数平方差的形式： ________________ (2)用含有字母（的整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律． 【变式7-2】（24-25八年级上·四川泸州·期末）观察下列各式的计算结果与相乘的两个多项式之间的关系： ，， ， （1）你发现的规律是： ，并写出推理过程；类似地，你还可以得到如下规律： ； （2）用你发现的规律填空： ； ； ； ； （3）我们知道，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，请你尝试将下列多项式分解因式： ① ； ； ②拓展思考：把多项式分解因式． 题型八 与几何图形有关问题 【典例8-1】（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图①，在边长为的大正方形纸片中，剪掉边长的小正方形，得到图②，把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片． (1)用a，b的式子表示拼成的图③这个长方形纸片的长和宽； (2)把图③这个长方形纸片的面积加上后，就和另一个新的长方形面积相等．已知这个新长方形的长为，求这一新长方形的宽． 【典例8-2】（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）如图，现有一块长为米、宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间预留边长为米的正方形修建一座雕像． (1)求绿化的面积（用含的代数式表示，并化简）； (2)若，，绿化成本是200元/平方米，则完成绿化共需要多少元． 【典例8-3】（24-25八年级上·河南周口·期末）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ，， ， ． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： (1)如图，C是线段上的一点，分别以、为边向两侧作正方形，设，两正方形的面积和为20，求的面积； (2)若，求的值． 【典例8-4】（24-25八年级上·北京·期末）在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则． (1)观察图①的面积关系，写出一个数学公式_____； (2)请写出图②中的几何图形所表示的代数恒等式_____； (3)画出一个几何图形，使它的面积表示，其中． 【变式8-1】（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）有A，B两个正方形，现将A的一边与B的一边重叠，（l，m过正方形A所在边的直线），又将正方形A，B的一边如图2所示部分重叠重新放置在大正方形中，若图1和图2中阴影部分面积分别为5和38．则正方形A，B的面积之和为（   ） A．43 B．33 C．38 D．48 【变式8-2】（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、； (2)若，，求的值； (3)当时，求出图3中阴影部分的面积． 【变式8-3】（24-25八年级上·广东湛江·期末）综合与实践． 图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)观察图2，阴影部分的正方形的面积可以用不同方法来表示，由此请你写出下列三个代数式，之间的等量关系为 ； (2)运用得到的公式，计算：若m、n为实数，且，求的值； (3)如图3所示，两正方形和正方形边长分别为a、b，且 ，求图中阴影部分的面积． 题型九 新定义问题 【典例9-1】（24-25八年级上·浙江台州·期末）一个四位自然数，满足，，则称这个四位数为“幸运数”例如：对于，∵，，∴是“幸运数”；对于，∵，，∴不是“幸运数”．若存在幸运数，使得，则满足条件的“幸运数”有（    ）个． A． B． C． D． 【典例9-2】（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）现规定一种新的运算，，其中，为实数，那么等于 ． 【变式9-1】（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”，例如（，，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（   ） A．255048 B．257024 C．257048 D．255024 【变式9-2】（24-25八年级上·福建泉州·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如：，，，因此，，都是“登高数”． (1)特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由． (2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南信阳·期末）若是一个完全平方式，则m的值（ ） A．10 B． C．20 D． 4．（24-25八年级上·福建厦门·期末）已知，则的值为 ． 5．（24-25八年级上·山东临沂·期末） ． 6．（24-25八年级上·山西晋城·期末）计算的结果是 ． 7．（24-25八年级上·河北保定·期末）计算： ． 8．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）已知，则的值为 ． 9．（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 10．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）先化简，再求值： 其中 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南商丘·期末）下列各式中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·期末）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·四川乐山·期末）已知，，，则的值是（   ） A．212 B．54 C．31 D．27 5．（25-26八年级上·全国·期末）已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，则a的值为（    ） A．0 B． C． D．3 6．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为，则另一边长是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·四川乐山·期末）若则 ． 8．（24-25八年级上·江西赣州·期末）已知：实数m，n满足：，．则的值等于 ． 9．（25-26八年级上·全国·期末）先化简，再求值：，已知满足． 10．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）若，，求： (1)， (2)． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（23-24八年级上·四川眉山·期末）若，则的值是（    ） A． B．7 C． D．5 2．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）有个依次排列的整式：第一项是；第二项是；用第二项减去第一项，所得之差记为，将加记为；将第二项与相加作为第三项；将加记为，将第三项与相加作为第四项，以此类推，则和第项的结果分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25八年级上·云南红河·期末）有一张边长为的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形的边长增加，木工师傅设计了如图所示的三种方案： 小明发现这三种方案都能验证同一个公式，这个公式是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·内蒙古·期末）若是一个完全平方式，则实数的值为 5．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，两个正方形放置于长方形内（正方形的两边在长方形的边上），长方形是两正方形的重叠部分，已知阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n，则 （用含m、n的代数式表示）． 6．（25-26八年级上·河南新乡·期末）【发现】两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和． 【验证】如，10为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和：_________________； 【探究】设【发现】中的两个已知正整数为，请证明【发现】中的结论； 【拓展】已知，求的值． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 整式的乘法（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 幂的运算 熟练识记并理解整式乘法的基础法则，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，明确各法则的适用条件与限制范围，能准确区分易混淆公式。 高频考点：重点考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的公式辨析与计算，常以选择题、填空题形式出现。 整式的乘法法则应用 全面掌握整式乘法的运算类型，涵盖单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘，能规范完成每一步运算，精准处理符号问题与漏乘问题。 高频易错点：多项式与多项式相乘的漏乘问题，常以直接计算题、运算正误判断题形式考查，侧重检验运算的规范性与准确性。 乘法公式的灵活运用 深度理解并熟记乘法公式，包括平方差公式、完全平方公式，知晓公式的几何背景，并能掌握公式的基本变形。能运用整体代入、换元、配方等方法解决整式乘法相关的化简求值问题；能将实际问题转化为整式乘法模型，实现代数运算与实际应用的衔接。能参与公式的推导过程，通过特例猜想、验证归纳规律，应对与杨辉三角相关的规律探索题，提升逻辑推理素养。 核心考点：平方差公式、完全平方公式的直接应用、变形应用是考查核心，既出现在选择题、填空题的化简求值中，也常作为解答题的核心步骤，部分地区会结合几何图形考查公式的几何意义，体现数形结合导向。 知识点01 幂的运算 1.同底数幂的乘法 推导过程 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， 2.幂的乘方 （1）幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘. （2）幂的乘方的性质 推导过程 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， 符号表示 (m，n都是正整数) （3）同底数幂的乘法与幂的乘方的比较 运算种类 公式 运算性质中的运算 计算结果 底数 指数 同底数幂的乘法 (m，n都是正整数) 乘法 不变 相加 幂的乘方 乘方 不变 相乘 3.积的乘方 （1）积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方. 如，等. （2）积的乘方的性质 推导过程 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， 知识点02 整式的乘法 1.单项式与单项式相乘 单项式乘单项式法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式. 对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积； (2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加； (3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数写在积里. 2.单项式与多项式相乘 （1）单项式乘多项式法则 文字语言 符号表示 一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 ＝pa＋pb＋pc (p，a，b，c都是单项式） （2）单项式与多项式相乘的几何解释：如图，大长方形的面积可以表示为p(a＋b＋c)，也可以视为三个小长方形的面积之和，表示为pa＋pb＋pc. 所以p(a＋b＋c)＝pa＋pb＋pc. 3.多项式与多项式相乘 （1）多项式乘法法则 文字语言 符号表示 一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 ＝ap＋aq＋bp＋bq(a，b，p，q都是单项式) （2）多项式与多项式相乘的几何解释：如图，大长方形的面积可以表示为(a＋b)(p＋q)，也可以将大长方形的面积视为四个小长方形的面积之和，即ap＋aq＋bp＋bq. 所以(a＋b)(p＋q)＝ap＋aq＋bp＋bq. 4.同底数幂的除法 同底数幂的除法的性质 文字叙述 同底数幂相除，底数不变，指数相减 式子表示 (a ≠ 0，，都是正整数，>) 5.零指数幂 零指 数幂 规定 ＝1(a ≠ 0) a可以是不为零的单项式或多项式 文字叙述 任何不等于0的数的0次幂都等于1 6.单项式除以单项式 运算法则 一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 一般步骤 (1)把系数相除，所得的结果作为商的系数； (2)把同底数幂分别相除，所得的结果作为商的因式； (3)把只在被除式里出现的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式 7.多项式除以单项式 运算法则 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加 式子表示 多项式(被除式)除以单项式是单项式乘多项式(商)的逆运算，因此多项式(被除式)除以单项式的结果可以用单项式乘多项式(商)进行检验. 知识点03 平方差公式 1. 平方差公式的推导 (1)代数运算证明法：(a＋b)(a－b)＝－ab＋ab－＝ － . (2)几何图形证明法：图①中阴影部分的面积为a2－b2，把它分割并拼接成图② 中的长方形，长为(a＋b)，宽为(a－b)，故阴影部分的面积为(a＋b)(a－b). 故(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 2.平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 3.平方差公式的几种常见变化及应用 变化形式 应用举例 位置变化 (b＋a)(－b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝a2－b2 符号变化 (－a－b)(a－b)＝(－b－a)(－b＋a)＝(－b)²－  a2＝b2－a2 系数变化 (3a＋2b)(3a－2b) ＝(3a)²－(2b)²＝9a2－4b2 指数变化 (a³＋b2)(a³－b2)＝(a³)²－(b2)²＝－ 增项变化 (a－b＋c)(a－b－c)＝(a－b)²－c² 连用公式 (a＋b)(a－b)(a2＋b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)＝－ 知识点04 完全平方公式 1. 完全平方公式的推导： (1)代数运算证明法 (a＋b)²＝(a＋b)(a＋b)＝a²＋ab＋ab＋b²＝a²＋2ab＋b²； (a－b)²＝(a－b)(a－b)＝a²－ab－ab＋b²＝a²－2ab＋b² . (2)几何图形证明法(数形结合思想) ①：大正方形的面积为(a＋b)²＝a²＋b²＋2ab； ②：左下角正方形的面积为(a－b)²＝a²－2ab＋b². 2. 完全平方公式：(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²，(a－b)²＝a²－2ab＋b². 语言叙述：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2 倍. 3. 完全平方公式的几种常见变形 (1)a²＋b²＝(a＋b)²－2ab＝(a－b)²＋2ab； (2)(a＋b)²＝(a－b)²＋4ab； (3)(a－b)²＝(a＋b)²－4ab； (4)(a＋b)²＋(a－b)²＝2(a²＋b²)； (5)(a＋b)²－(a－b)²＝4ab； (6)ab＝[(a＋b)2－(a2＋b2)]＝[(a＋b)2－(a－b)2]； (7)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc； (8)a2＋b2＋c2＋ab＋ac＋bc＝[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(a＋c)2]. 题型一 幂的运算 【典例1-1】（24-25八年级上·四川乐山·期末）计算（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 故选：C． 【典例1-2】（24-25八年级上·河南南阳·期末）已知，则的值是（   ） A．8 B．24 C．40 D．48 【答案】D 【详解】解：， 把代入得 ． 故选：D． 【典例1-3】（24-25八年级上·河南周口·期末）比较，，的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ ，，， 又∵， ∴， 即； 故选C． 【典例1-4】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对于选项A：根据幂的乘方法则，， ，正确，符合题意； 对于选项B：，错误，不符合题意； 对于选项C：根据同底数幂相乘法则，， ，错误，不符合题意； 对于选项D：根据积的乘方法则，， ，错误，不符合题意． 故选：A． 【典例1-5】（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·期末）计算： ． 【答案】1 【详解】解：， 故答案为：1 【变式1-1】（25-26八年级上·广东广州·期末）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、与不是同类项，不能合并，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 故选：B． 【变式1-2】（25-26八年级上·湖南·期末）已知，，，，则a、b、c、d的大小关系() A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，，，， 且指数均为， 比较底数：， 故． 故选：D． 【变式1-3】（24-25八年级上·四川泸州·期末）已知，，则 ． 【答案】3 【详解】解：，， ，， ，， ， ， ， 故答案为：3． 【变式1-4】（23-24八年级上·福建福州·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式1-5】（24-25八年级上·吉林白城·期末）计算： ． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 题型二 整式乘法 【典例2-1】（25-26八年级上·全国·期末）计算： ． 【答案】 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【典例2-2】（25-26八年级上·甘肃·期末）一个长方形的长和宽分别是（其中），则这个长方形的面积是 ． 【答案】 【详解】解：∵长方形面积长宽 ， ∴这个长方形的面积是． 故答案为：． 【典例2-3】（24-25八年级上·福建福州·期末）化简： 【答案】 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查多项式的乘法，根据多项式乘以多项式的运算法则解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【典例2-4】（24-25八年级上·青海西宁·期末）计算的结果是 ． 【答案】 【知识点】积的乘方运算、计算单项式除以单项式 【分析】本题考查了积的乘方运算，单项式除以单项式，先进行积的乘方运算，再根据单项式除以单项式的运算法则计算即可，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【典例2-5】（23-24八年级上·河北邯郸·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】多项式除以单项式 【分析】此题考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【典例2-6】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）若，则a＝ ． 【答案】或2或0 【详解】解：由题意可得或，解得或； 当时，． 综上，a可取值或2或0． 故答案为：或2或0． 【典例2-7】（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式2-1】（24-25八年级上·贵州黔东南·期末） ． 【答案】 【知识点】积的乘方的逆用、零指数幂 【分析】本题考查了零指数幂和逆用积的乘方幂，根据零指数幂和积的乘方计算，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【变式2-2】（25-26八年级上·全国·期末）计算： 【答案】 【详解】解： 【变式2-3】（24-25八年级上·浙江台州·期末）化简： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-4】（24-25八年级上·宁夏固原·期末）计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-5】（24-25八年级上·贵州·期末）计算： (1)； (2)． (3)． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解：． 【变式2-6】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图是在一片长方形空地上设计一个长方形花圃的设计方案，已知空地的长比宽的2倍少1米，周边的道路是等宽的． (1)设空地的宽是米，周边道路的宽度是米，请表示出花圃的面积； (2)在（1）的条件下，若要求花圃的宽是米，请用表示出花圃的面积． 【详解】（1）解：依题意，空地的长为米， ∵周边道路的宽度是米， ∴花圃的宽是米，花圃的长是米， ∴花圃的面积为平方米； （2）解：∵花圃的宽是米，且要求花圃的宽是米， ∴， 则， ∴花圃的面积为平方米． 题型三 平方差公式 【典例3-1】（25-26八年级上·甘肃天水·期末）下列各式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、， 不符合平方差公式； B、， 不符合平方差公式； C、，∵相同项为，相反项为和， ∴原式， 符合平方差公式； D、， 不符合平方差公式． 故选：C． 【典例3-2】（25-26八年级上·江西·期末）计算： ． 【答案】 【详解】原式 ． 故答案为：． 【典例3-3】（24-25八年级上·广东东莞·期末）计算：． 【答案】 【详解】解：． 【变式3-1】（24-25八年级上·江西南昌·期末）计算： ． 【答案】 【详解】解： 故填： 【变式3-2】（24-25八年级上·甘肃酒泉·期末）计算： 【答案】． 【详解】解： ． 【变式3-3】（24-25八年级上·甘肃武威·期末）综合探究：小明遇到下面一个问题： 计算．． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请根据小明解决问题的方法，试着解决下面问题：计算： (1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： … ． 题型四 完全平方公式 【典例4-1】（25-26八年级上·甘肃·期末）已知，则a的值为（    ） A．4 B．±4 C．2 D．12 【答案】C 【详解】∵， 且给定， ∴． 比较x项系数：， ∴； 验证常数项：，符合． ∴a的值为2． 故选C． 【典例4-2】（24-25八年级上·全国·期末）若是完全平方式，则的值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】解：， ∴， ∴， 故选B 【典例4-3】（24-25八年级上·甘肃武威·期末）已知，则的值是 ． 【答案】98 【详解】解：， ∴， ， ． 故答案为：98． 【变式4-1】（24-25八年级上·广东肇庆·期末）已知多项式恰好是一个完全平方式，则 ． 【答案】 【详解】解：∵多项式恰好是一个完全平方式， ∴， ∴． 故答案为： 【变式4-2】（25-26八年级上·全国·期末）已知，求的值． 【答案】 【详解】解：，， ， ∴原式． 题型五 含乘方公式的混合运算 【典例5-1】（24-25八年级上·山西大同·期末）计算的结果是 ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 【典例5-2】（25-26八年级上·广东惠州·期末）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 【典例5-3】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）化简： 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式5-1】（24-25八年级上·河北邯郸·期末）小江将展开后得到，小华将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为 ． 【答案】4043 【详解】解：∵展开后得到， ∴； ∵展开后得到， ∴， ∴ ． 故答案为：4043． 【变式5-2】（24-25八年级上·吉林白城·期末）计算：． 【答案】 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题主要考查的知识点是完全平方公式与平方差公式，熟练掌握完全平方公式与平方差公式是解本题的关键．但是展开后的式子一定要合并同类项．第一项与第二项用平方差公式和完全平方公式展开，最后再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 【变式5-3】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，这是一道例题的部分解答过程，其中，是两个关于，的二项式．请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题： (1)多项式为 ，多项式为__________，例题的计算结果为__________； (2)计算：． 【详解】（1）解：由题意得：， 两边同除以y得：， 同理，得：， 两边同除以得：， 例题的化简结果为：， 故答案为：，，； （2）解： ． 题型六 化简求值问题 【典例6-1】（25-26八年级上·全国·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 【典例6-2】（24-25八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】；1 【详解】解： ， 当时，原式． 【典例6-3】（24-25八年级上·青海西宁·期末）先化简再求值，已知．求的值． 【答案】， 【详解】解： ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴原式． 【变式6-1】（24-25八年级上·四川乐山·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【详解】解： 当，时， 原式． 【变式6-2】（24-25八年级上·四川眉山·期末）先化简，再求值，已知，求代数式的值． 【答案】， 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式 ． 【变式6-3】（24-25八年级上·甘肃武威·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】；4 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式6-4】（25-26八年级上·全国·期末）先化简，然后从，1，3三个数中，任选一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】，时，；时，；时， 【详解】解： ， 当时，原式 ． 题型七 规律探究问题 【典例7】（24-25八年级上·云南红河·期末）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．如图2，某同学发现杨辉三角给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数，恰好对应着展开式中各项的系数等等． 则展开式中的第三项是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题知， 展开式中各项的系数依次为1，7，21，35，35，21，7，1， 所以展开式中的第三项是． 故选：． 【变式7-1】（24-25八年级上·河南新乡·期末）观察下列等式，并回答问题 ， ， ， ， …… (1)将2028写成两整数平方差的形式： ________________ (2)用含有字母（的整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律． 【详解】（1）解：由题中等式可知，（为正整数）， ， ． （2）解：由题中等式可知，这一规律为：， 右边 ． 即左边右边， 这一规律成立． 【变式7-2】（24-25八年级上·四川泸州·期末）观察下列各式的计算结果与相乘的两个多项式之间的关系： ，， ， （1）你发现的规律是： ，并写出推理过程；类似地，你还可以得到如下规律： ； （2）用你发现的规律填空： ； ； ； ； （3）我们知道，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，请你尝试将下列多项式分解因式： ① ； ； ②拓展思考：把多项式分解因式． 【详解】解：（1）， ， ， ， ∴， 类似地，， 故答案为：，； （2）， ， ， ， 故答案为：；；；； （3）①； ； 故答案为：；； ② ． 题型八 与几何图形有关问题 【典例8-1】（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图①，在边长为的大正方形纸片中，剪掉边长的小正方形，得到图②，把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片． (1)用a，b的式子表示拼成的图③这个长方形纸片的长和宽； (2)把图③这个长方形纸片的面积加上后，就和另一个新的长方形面积相等．已知这个新长方形的长为，求这一新长方形的宽． 【详解】（1）解：长方形的长为：， 长方形的宽为：； （2）解：另一个长方形的宽： ． 【典例8-2】（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）如图，现有一块长为米、宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间预留边长为米的正方形修建一座雕像． (1)求绿化的面积（用含的代数式表示，并化简）； (2)若，，绿化成本是200元/平方米，则完成绿化共需要多少元． 【详解】（1）解：阴影部分的面积为： ∴长方形孔部分的面积为 （2）当，时，原式 即完成绿化共需要（元) 【典例8-3】（24-25八年级上·河南周口·期末）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ，， ， ． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： (1)如图，C是线段上的一点，分别以、为边向两侧作正方形，设，两正方形的面积和为20，求的面积； (2)若，求的值． 【详解】（1）解：设，， ∴，． ∴， ∴． ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴，， ∴． 【典例8-4】（24-25八年级上·北京·期末）在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则． (1)观察图①的面积关系，写出一个数学公式_____； (2)请写出图②中的几何图形所表示的代数恒等式_____； (3)画出一个几何图形，使它的面积表示，其中． 【详解】（1）解：根据图1可得， 故答案为：． （2）解：根据图形可得， 故答案为：． （3）解：如图所示， 【变式8-1】（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）有A，B两个正方形，现将A的一边与B的一边重叠，（l，m过正方形A所在边的直线），又将正方形A，B的一边如图2所示部分重叠重新放置在大正方形中，若图1和图2中阴影部分面积分别为5和38．则正方形A，B的面积之和为（   ） A．43 B．33 C．38 D．48 【答案】A 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， ∴正方形A，B的面积之和为， 如图所示： 在正方形中，， ∴，， ∴图1中阴影部分的面积为：， ∵图1中阴影部分的面积为：5， ∴，即， 在正方形中，， ∴图2中阴影部分的面积为：， 又∵图2中阴影部分的面积为：38， ∴， ∴， ∴， ∴正方形A，B的面积之和为43． 故选：A． 【变式8-2】（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、； (2)若，，求的值； (3)当时，求出图3中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由图可得，， ； （2）解：， ∵，， ∴； （3）解：由图可得，， ∵， ∴． 【变式8-3】（24-25八年级上·广东湛江·期末）综合与实践． 图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)观察图2，阴影部分的正方形的面积可以用不同方法来表示，由此请你写出下列三个代数式，之间的等量关系为 ； (2)运用得到的公式，计算：若m、n为实数，且，求的值； (3)如图3所示，两正方形和正方形边长分别为a、b，且 ，求图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：图2中，整体是边长为的正方形,面积为，阴影部分的正方形的边长为，因此面积为，四个长为a，宽为b的长方形的面积为， 因此有． 故答案为：． （2）解：∵，， ∴； （3）解：阴影部分的面积为： ∵， ∴ ． ∴阴影部分的面积为10． 题型九 新定义问题 【典例9-1】（24-25八年级上·浙江台州·期末）一个四位自然数，满足，，则称这个四位数为“幸运数”例如：对于，∵，，∴是“幸运数”；对于，∵，，∴不是“幸运数”．若存在幸运数，使得，则满足条件的“幸运数”有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵均为整数，且，，，， ∴或 或 ， 当 时，，，此时幸运数为， 当时，，，此时幸运数为， 当 时，，，此时幸运数为， 则满足条件的“幸运数”有个， 故选：． 【典例9-2】（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）现规定一种新的运算，，其中，为实数，那么等于 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得： ， 故答案为： 【变式9-1】（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”，例如（，，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（   ） A．255048 B．257024 C．257048 D．255024 【答案】D 【详解】解：设两个连续奇数分别为和（为正整数） “和谐数” “和谐数”不超过 为正整数 的最大值为 所有“和谐数”之和为 故选：D． 【变式9-2】（24-25八年级上·福建泉州·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如：，，，因此，，都是“登高数”． (1)特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由． (2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和． 【详解】（1）解：（1）是“登高数”， 理由：设， 解得：， ， 是 “登高数”； （2）解：“登高数”能被整除， 理由：， ， ， 是正整数， 能被整除， 能被整除， “登高数”都能被整除； （3）解：由（2），可知“登高数”能被整除， ， 不超过的所有“登高数”有，，，，，， ， ， ， ， ． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D 2．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，故选项错误，不符合题意；     B、，故选项正确，符合题意； C、，故选项错误，不符合题意； D、 ，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 3．（24-25八年级上·河南信阳·期末）若是一个完全平方式，则m的值（ ） A．10 B． C．20 D． 【答案】D 【详解】解：是完全平方式， ， 解得． 故选． 4．（24-25八年级上·福建厦门·期末）已知，则的值为 ． 【答案】4 【详解】解：． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·山东临沂·期末） ． 【答案】 【详解】解： ． 6．（24-25八年级上·山西晋城·期末）计算的结果是 ． 【答案】 【详解】 故答案为：． 7．（24-25八年级上·河北保定·期末）计算： ． 【答案】1 【详解】解： ． 故答案为：1． 8．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）已知，则的值为 ． 【答案】12 【详解】解：∵． ∴， ∴． 故答案为：12． 9．（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 10．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）先化简，再求值： 其中 【答案】， 0 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：，错误； 选项B：，错误； 选项C：，正确； 选项D：，错误； 故选：C． 2．（24-25八年级上·河南商丘·期末）下列各式中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C．，故该选项不正确，不符合题意； D．，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·期末）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，故A选项不符合题意； B、，故B选项不符合题意； C、，故C选项符合题意； D、，故D选项不符合题意； 故选：C． 4．（24-25八年级上·四川乐山·期末）已知，，，则的值是（   ） A．212 B．54 C．31 D．27 【答案】B 【详解】解：， ，，， ， 故答案为：B． 5．（25-26八年级上·全国·期末）已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，则a的值为（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】C 【详解】解：， ∵多项式与的乘积展开式中不含x的一次项， ∴， 解得：， 故选：C． 6．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为，则另一边长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ， ∴另一边长是， 故选：． 7．（24-25八年级上·四川乐山·期末）若则 ． 【答案】12 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：12． 8．（24-25八年级上·江西赣州·期末）已知：实数m，n满足：，．则的值等于 ． 【答案】2 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·全国·期末）先化简，再求值：，已知满足． 【答案】，2 【详解】解：原式 ． ， ， ，即， 故原式． 10．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）若，，求： (1)， (2)． 【答案】(1)37 (2) 【知识点】求一个数的平方根、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）根据代入求值即可； （2）先根据求出，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（23-24八年级上·四川眉山·期末）若，则的值是（    ） A． B．7 C． D．5 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）有个依次排列的整式：第一项是；第二项是；用第二项减去第一项，所得之差记为，将加记为；将第二项与相加作为第三项；将加记为，将第三项与相加作为第四项，以此类推，则和第项的结果分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】第一项：，第二项：， 第二项减去第一项得：， 得：， 第三项是第二项与相加：， 得：， 第四项是第三项与相加：， 得：， 第五项是第四项与相加：， 得：， 通过观察，可以发现： ，，，， 第项的形式为，即， 对于，计算得到； 故选． 3．（24-25八年级上·云南红河·期末）有一张边长为的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形的边长增加，木工师傅设计了如图所示的三种方案： 小明发现这三种方案都能验证同一个公式，这个公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：方案一，边长为的正方形的面积为，等于边长为的正方形的面积+两个长方形的面积+边长为b的正方形的面积 即； 方案二，边长为的正方形的面积为，等于边长为的正方形的面积+两个梯形的面积 即； 方案三，边长为的正方形的面积为，等于边长为的正方形的面积+两个长方形的面积+边长为b的正方形的面积 即； 综上：小明发现这三种方案都能验证同一个公式，这个公式是 故选：C． 4．（25-26八年级上·内蒙古·期末）若是一个完全平方式，则实数的值为 【答案】 【详解】解：因为 是一个完全平方式， 所以可以变形为 所以． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，两个正方形放置于长方形内（正方形的两边在长方形的边上），长方形是两正方形的重叠部分，已知阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n，则 （用含m、n的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∵阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n， ∴，， 即，， ∴ 故答案为∶ 6．（25-26八年级上·河南新乡·期末）【发现】两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和． 【验证】如，10为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和：_________________； 【探究】设【发现】中的两个已知正整数为，请证明【发现】中的结论； 【拓展】已知，求的值． 【详解】【验证】； 【探究】证明：∵， ∴两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半是两个正整数的平方和； 【拓展】解： ∵ 由【探究】可知： ∴ ． 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $