专题07 相交线平行线中的压轴拓展题型（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材人教版

专题07 相交线与平行线中的压轴拓展题（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01多角平分线模型 题型02 平行线+拐角模型 题型03 平移模型 题型04 旋转模型 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 题型一 多角平分线模型 解｜题｜技｜巧 利用角平分线等分角度，结合对顶角、邻补角列式，整体代换求角度。 易｜错｜点｜拨 忽略角度和、差关系的两面性，注意分类讨论。 【典例1】（24-25七年级下·安徽·期末）直线、相交于点，在的内部． (1)如图①，当时，求与的度数和； (2)在（1）的条件下，请直接写出图中与互补的角； (3)如图②，若射线平分（在内部），且满足，请判断与的大小关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】此题考查的是角的和差倍分的综合题，熟悉掌握角平分线、补角的性质是解题的关键． （1）根据补角的定义以及角的和差关系计算即可； （2）根据补角的定义解答即可； （3）根据角平分线的定义以及角的和差关系解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴与互补的角有； （3）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∴ ， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，，M是平面内一点，连接MB，MC，的平分线与的平分线交于点N．若，则的度数为（   ） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，解题的关键是过拐点作平行线转化角的关系． 过点作，过点作，证明，，再根据角平分线得出从而得出答案． 【详解】解：解：如图，过点作，过点作， ∵； ∴， ∴，， ∴， 同理可得：， ∵， ∴ ∵的平分线与的平分线交于点N． ，， ∴ ∴， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·山西运城·期末）如图，，．，的平分线交于点P，则的度数为__________． 【答案】 【分析】作，，则， 设，根据平行线的性质可得,,．根据角平分线的定义可得,,,根据即可得出的度数． 本题考查了平行线的性质,角平分线的定义以及角的和差求角度．熟练掌握相关知识,利用数形结合求角度是解题的关键． 【详解】解：如图，作，，则， 设，则， ∴． ∵， ∴， ∵，的平分线交于点P， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 题型二 平行线+拐角模型 解｜题｜技｜巧 拐点处作平行线，拆分大角为内错角 / 同旁内角，转化加减计算。 易｜错｜点｜拨 忘记作辅助线、混淆同旁内角互补与内错角相等，方向搞反。 【典例1】（24-25七年级下·河北沧州·期末）如图1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． (1)若，则的度数为 ； (2)探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，点M，N分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分． ①如图2，若点均在直线和之间，平分，且，求的度数； ②如图3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分．设，且，请直接写出的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的有关计算，掌握知识点是解题的关键． （1）过点P作，则，可知，即可求出的度数； （2）过点P作，则，可知，进而可知与之间的数量关系； （3）①由（2）得，由角平分线可知，，同（2）可得，计算即可； ②如图，过点P作，则有，由角平分线可知，，同（2）可得，根据平行线的判定和性质得到，进而计算即可． 【详解】（1）解：如图1，过点P作， 故答案为：； （2）解：；理由如下： 如图1，过点P作， ， ； （3）解：①由（2）得． 平分平分 ． 同（2）可得 ； ②．理由如下： 如图，过点P作，则有． 平分 ． 平分 ． 同（2）可得， ， ． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）数学活动课上，李老师给出如下问题让学生探究如图，，点，分别在，上，点在，之间连接，，． (1)求的度数； (2)小红在李老师所给问题的基础上，提出如下问题：如图，作的平分线和的平分线，与的反向延长线相交于点，求的度数； (3)小张在李老师所给问题的基础上，提出如下问题：如图，在线段上取点，在射线上取点，连接，作和的平分线相交于点，判断和的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）作，证明，可得，故从而可得； （2）作，证明，设，则可得设故，又，即得，知； （3）作，，设设，，有，而，得，即可得． 本题考查平行线的判定与性质，解题的根据是作出辅助线，构造平行解决问题 【详解】（1）解：作，如图： ， ， ， ， ， ， ． ， ； （2）解：作，如图： ， ． ， ． ． ． ． 由平分，设，则． ． 由平分，设． ， 由（1）可知， ， ； （3）解：，理由如下： 作，，如图： 设，， 平分， ， 由（1）可知，． ， ， ． ． ． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，点、点同时出发，点从点出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动． (1)和位置关系是_______； (2)如图（1）当、分别在线段，上时，连接，，设此时点、点的运动时间为． ①请分别用含t的式子表示和的面积； ②若，求出点P的坐标； (3)在、的运动过程中，当时，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1)平行； (2)①；②； (3)或 【分析】本题考查的是三角形综合题，涉及到坐标与图形性质、平行线的性质、三角形内角和定理，掌握非负数的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键； （1）根据非负数的性质分别求出、，得到点、、的坐标，根据坐标与图形性质判断和位置关系； （2）①过点作于，设时间经过秒，，则，，，，，根据，，代入即可求解；②根据，由①得，求解得，即可求得、值，从而得出点坐标； （3）分点在点的上方、点在点的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，，， ． 故答案为：； （2）解：①过点作于， 设时间经过秒，，则，，，，， ，， ②， 解得，， ， ， 点的坐标为； （3）解：或． 理由如下： ①当点在点的上方时，过点作，如图2所示， ， ，， ， ， ，即； ②当点在点的下方时；过点作如图3所示， ， ，， ， ， ， ， 即， 综上所述，或． 题型三 平移模型 解｜题｜技｜巧 平移前后对应线段平行相等、对应角相等。 易｜错｜点｜拨 误以为平移改变角度大小，计算周长时多算或漏算重叠边。 【典例1】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的值为________ 【答案】或或 【分析】根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点C作， 由平移得到， ， ， ， ①当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴， ②当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴， 第二种情况：当点在外时，过点C作， 由平移得到， ， ， ， ①当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴， ②当时，由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，的值为或或． 【变式1】（24-25七年级下·河北·期末）如图，将三角形沿射线方向平移到三角形的位置，连接． (1)与的位置关系为 ． (2)试探索：和之间的数量关系，并说明理由． (3)设，，试探索与x，y之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查的是平移变换，熟知图形平移不变的性质是解答此题的关键． （1）根据平移的性质和平行线的性质解答即可； （2）根据平行线的性质和平移的性质解答即可． （3）根据平行线的性质和平移的性质解答即可． 【详解】（1）解:由平移的性质可得， 故答案为； （2），理由如下： 根据平移的性质可知，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下： 如图，过点A作，交于点D， 根据平移性质可知， ∴， ∴，， ∴ 即． 【变式2】（24-25七年级下·江苏连云港·期末）如图，已知线段，点是线段外一点，连接，，将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，． (1)依题意在图中补全图形，并证明：； (2)过点作直线，在直线上取点，使．当时，在备用图中画出图形，并求出与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，或 【分析】作，根据平移的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，，求得； 分两种情况：点在直线的上方时，如图所示：当点在直线的下方时，如图，根据平移的性质和平行线的性质即可得到结论． 本题考查了作图平移变换，平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：补全图形如图所示， 证明：作， 将线段沿平移得到线段， ， ， ，, ， 即； （2）解：点在直线的上方时，如图所示： 由平移的性质得：，， ， ， ， ， 整理，得； 当点在直线的下方时，如图， ， ， 整理，得； 综上所述，与之间的数量关系为或． 题型四 旋转型 解｜题｜技｜巧 抓住旋转角不变、直角不变、平行线关系不变，设未知数表示动态角。 易｜错｜点｜拨 动态旋转不会分类讨论，漏掉夹角多种情况，忽略垂直特殊位置。 【典例1】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）数学实验：玩转三角板 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中，，． (1)填空：与的数量关系是_________，理由是_________； (2)如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合．探究一下问题： ①当时，画出图形，并求出的度数； ②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？若存在，请画出图形直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，同角的余角相等 (2)①图见解析，；②存在，或或或或． 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，几何图形中的角度计算，余角的性质．数形结合并分类讨论是解题的关键． （1）由题意知，，则，然后作答即可； （2）①当时，作，则，根据，求解作答即可； ②由题意知，分四种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ， 故答案为：，同角的余角相等； （2）解：①如图3，当时，作， ，， ， ，， ， ； ②存在，如图3，当时，； 如图4， 当时，， ； 如图5， 当时，； 如图6， 当时，， ； 如图7， 当时，， ． 综上，这两块三角尺存在一组边互相平行，此时的值为或或或或． 【变式1】（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图（）把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上，斜边与交于点． (1)如图（），________ (2)如图（），现把三角板绕点逆时针旋转，当，且点恰好落在边上时， 请直接写出________（结果用含的代数式表示）； 若比的一半多，求的值． (3)如图（），现将射线绕点以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线、均停止转动，设旋转时间为．当时，求出此时的值． 【答案】(1)； (2)；； (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，平行线的性质以及含角的直角三角形的角度计算以及平角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （）利用平行线的性质，含角的直角三角形的角度进行计算即可； （）利用平行线的性质，含的直角三角形的角度计算进行计算即可； （）根据等量关系列方程计算即可． 【详解】（1）解：∵是含的直角三角板，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ∵比的一半多， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∵当射线旋转至与重合时，则射线，均停止转动， ∴， 解得, ∵， ∴符合题意， 故此时的值为． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，在笔直且平行的长江两岸河堤，上安装了两盏激光探照灯如图所示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转． (1)若两灯同时旋转，灯发出的光线顺时针旋转到，然后回转到时，两灯同时停止旋转． ① 当两灯旋转秒时，判断光线所在直线与光线所在直线的位置关系，并说明理由； ② 除①中情况之外，两灯发出光线所在直线还能否形成与①相同的位置关系？若能，请求出此时灯的旋转时间；若不能，请说明理由． (2)如果灯先旋转秒，灯才开始旋转．在灯发出的光束第一次到达之前，请直接写出灯旋转多少秒时，光线所在直线与光线所在直线平行． 【答案】(1)①，理由见解析；②能，秒或秒 (2)秒或秒或秒或秒 【分析】（）①设与相交于点，过点作，可得，利用平行线的性质可得，即可求解；②设灯的旋转时间为秒，分回转时和回到时两种情况解答即可求解； （）设灯旋转秒，光线所在直线与光线所在直线平行，分四种情况，利用平行线的性质列出方程解答即可； 本题考查了平行线的判定和性质，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①，理由如下： 如图，设与相交于点，过点作， ∵， ∴， 两灯旋转秒时，，， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②能．设灯的旋转时间为秒， 如图，当回转时，，设与相交于点，过点作， ∵， ∴， 由题意可得，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得； 当回到时，如图， ， ∴，此时； 综上，除①中情况之外，当灯的旋转秒或秒时，两灯发出光线所在直线还能垂直； （2）解：设灯旋转秒，光线所在直线与光线所在直线平行， 如图，当到达前与平行，设与相交于点， 由题意得，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得； 如图，当到达后回转时与平行，设与相交于点， 则，， 同理上可得，， 即， 解得； 如图，当回转到后再次往旋转与平行，设与相交于点， 则，， 同理可得，， 即， 解得； 如图，当再次到达后回转与平行，设与相交于点， 则，， 同理可得，， 即， 解得； 综上，灯旋转秒或秒或秒或秒时，光线所在直线与光线所在直线平行． 期末重难突破练（测试时间：45分钟） 1．（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图1，，射线在平面内． (1)如图，垂直，平分，则的度数为______； (2)若与互补，求的大小； (3)若射线绕点O从射线的反向延长线的位置出发，以每秒的速度顺时针旋转；同时射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转，各自旋转后停止转动，请直接写出使得射线，，中某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线的时间______． 【答案】(1) (2)或 (3)秒或秒或 秒或秒 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，垂线的定义，一元一次方程的应用． （1）根据垂直的定义和角平分线的定义可得出结论； （2）根据题意需要分两种情况：①当在的左侧时；②当在的下方时，分别画出图形求解即可得出结论； （3）根据题意需要分三种情况：当为的角平分线时（分停止前和停止后）；当为的角平分线时；当为的角平分线时分别求解即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1 ∵垂直， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：． （2）解：如图2-1当在的左侧时，设，则， 由题意可知，， 解得； 如图2-2，当在的右侧时，设，则， 由题意可知，， 解得； 综上，符合题意的的度数为或； （3）解：如图， 为的平分线时， 由题意可知， 解得， 如图（已停止），为的平分线时， 由题意可知， 解得； 如图，为的平分线时，则， 解得； 如图，为的平分线时，则， 解得； 综上，射线，，中某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线的时间为秒或秒或 秒或秒． 故答案为：秒或秒或 秒或秒． 2．（24-25七年级下·广东·期末）如图，直线、CD相交于点，且 (1)求的度数； (2)若平分，则是的角平分线吗？试说明理由． 【答案】(1) (2)是的角平分线，理由见解析． 【分析】本题考查的是一元一次方程的几何应用，对顶角、邻补角的概念和性质、角平分线的定义，几何图形的角度运算，掌握对顶角相等、邻补角之和等于是解题的关键． （1）根据对顶角相等求出的度数，设，根据题意列出方程，解方程即可； （2）根据角平分线的定义求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设，， ， ， 解得， ； （2）解：是的角平分线，理由如下： 由（1）得． ， 又平分， ， 又， ， 是的角平分线． 3．（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，已知，F，E分别为，上的点，的角平分线交于点G，，垂足为H，的角平分线交于点P． (1)求证：； (2)设，求的度数， 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质． （1）运用平行线性质，角平分线定义即可证得结论； （2）根据角平分线定义得，由（1）得，则，由得，根据角平分线的定义以及角的和差即可证得结论． 【详解】（1）证明：， ， 的角平分线交于点， ， ； （2）解：的角平分线交于点，， ， 由（1）得， ， ， ， ， 平分， ， ． 4．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，已知线段，点C是线段外一点，连接，（）．将线段沿平移得到线段．点P是线段上一动点，连接，． (1)依题意在图1中补全图形，并证明：； (2)过点C作直线．在直线l上取点M，使．当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了平行线的性质、平移的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据题意补全图形即可，根据平移的性质可知，，过点作，则，由平行线的性质可得，，由此即可得证； （2）分两种情况：当在的外部时；当在的内部时；分别求解即可． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： 证明：根据平移的性质可知，，             如图，过点作， 则， ，， ， ； （2）解：如图，当在的外部时， ∵，， ∴， 根据平移的性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当在的内部时， ∵，， ∴， 根据平移的性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，与之间的数量关系为或． 5．（24-25七年级下·广东潮州·期末）已知直线． (1)在图1中，点E在直线上，点F在直线上，点G在直线，之间，若，，则_____； (2)如图2，若点H是与的角平分线的交点，求出的值； (3)如图3，作，与的平分线交于点M，若的余角等于的补角，求的度数． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线，余角和补角等知识，解题的关键是充分利用平行线的性质进行求解； （1）过点作，利用平行线的性质求解即可； （2）过点G作，利用平行线的传递性，则，再利用平行线的性质，得到，结合角平分线的定义，得到，即可得到之间的关系，即可求解； （3）由（1）得再根据平分，，再根据条件，分别用表示出根据补角得出两者之间的等量关系，建立等式求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如答案图，过点G作，则． ∴ ∴． 同理可得． ∵平分，平分 ． （3）解：由（1）得 平分， ， 又， ， 的余角等于的补角， ， 即， ， ， ． 6．（24-25七年级下·吉林·期末）综合与实践：如图，，点为平面内任意一点，连接，某数学兴趣小组对，，之间的数量关系进行了探究学习． 【探究一】当点在如图1所示位置时，通过测量，得到猜想结果：． 证明：过点作， ． ，， ， ． ． ． 【探究二】当点在如图2所示位置时，猜想，，之间的数量关系，并给出证明． 【探究三】当点在如图3所示位置时，请直接写出，，之间的数量关系，不要求给出证明． 【探究四】若，请在图4中找到一个符合条件的点，并补全图形，不要求给出证明． 【思维拓展】当点在如图5所示位置时，请直接写出，，，之间的数量关系，不要求给出证明． 【答案】探究二：，见解析；探究三：；探究四：图形见解析；思维拓展： 【分析】本题考查平行线的判定与性质； 探究二：过点作，参考探究一的过程求解即可； 探究三：过点作，参考探究一的过程求解即可； 探究四：根据探究三的结果反方向画图即可； 探究三：过点、分别作作的平行线，根据探究的结果求解即可． 【详解】解：探究二：，证明如下： 过点作， ． ，， ， ． ． 探究三: ，证明如下： 过点作， ． ，， ， ． ． 探究四: 若，如图点符合条件， 思维拓展: ，证明如下： 过点作，点作，如图， ．， ∵， ， ． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 7．（24-25七年级下·浙江丽水·期末）如图，将两个直角三角尺作如下摆放，，直线过点，在直线上，平分． (1)求的度数． (2)试判断与的位置关系，并说明理由． (3)将绕点逆时针旋转，速度为每秒，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，记旋转时间为，当旋转一周时，整个运动停止．当与的任意一边平行时，求出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)的值为10或20或25 【分析】题目主要考查平行线的判定和性质，角平分线的计算，理解题意，作出辅助线，结合图形求解是解题关键． （1）根据角平分线及邻补角计算即可； （2）过点G作，根据平行线的判定和性质即可得出结果； （3）根据题意，分三种情况分析：当时，当时，当时，然后作出辅助线，利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵平分， ∴， ∴； （2）过点G作，如图所示： 根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图所示，当时，延长交于点H，延长交于点O，交于点G， ∵， ∴， 由（1）得，； ∵将绕点逆时针旋转，速度为每秒，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，记旋转时间为， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， 解得：； 如图所示，当时，延长交于点G， ∵将绕点逆时针旋转，速度为每秒，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，记旋转时间为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； 如图所示，当时，延长交于点G， ∵将绕点逆时针旋转，速度为每秒，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，记旋转时间为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； 综上可得：的值为10或20或25． 8．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，将三角板与三角板摆放在一起；其中，，．固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角． (1)在旋转过程中，若，则当时，为_______度时（请直接写出值的）： (2)在旋转过程中，若，试探究与之间的数量关系； (3)在旋转过程中，若，当的一边与的一边平行（不共线）时，为_______度（请直接写出的值）． 【答案】(1) (2)当时，，当时，，当时，° (3)，， 【分析】本题考查了旋转的性质，三角尺中角度的计算，平行线的性质，解答此题的关键是通过画图，确定旋转后△ADE的位置，还注意分类求解，避免遗漏． （1）根据题意得出，然后根据平行线的性质可得，根据即可求解； （2）设∠，，在旋转过程中，分当＜时，当＜时，当时，三种情况根据平行线的性质即可求解； （3）根据题意，分①当时，②当时，③当时，分别作出图形，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． （2）设：，， ①如图，当时， ，， 故； 即° ②当时，如图 ，即 ③当，如图 ∴ ∴即° ④当时，如图 ∴ ∴即° 综上所述，当时，，当时，，当时， （3）①如图 当时，， ②当时，， ③当时，， 综上所述，或或 故答案为：，，． 9．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）已知和相交于点． (1)如图（1），试说明的理由； (2)如图（2），点P是线段上一点，连结．试说明式子成立的理由； (3)如图（3）若点M是射线上一点，作直线于点与的平分线相交于点N，求． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余以及三角形的外角性质，熟记上述的性质是解题的关键． （1）根据对顶角相等以及题目给出的条件可得，再根据平行线的判定方法可得； （2）过点P 作，可知，再根据两直线平行，内错角相等证明即可； （3）分类讨论:①当点在点、之间时②当点在点、之外时,过点 N 作，则,再根据平行的性质以及角平分线的性质等解答即可． 【详解】（1）（1）证明：∵，，， ， ； （2）过点P 作， , 则, , ; （3）解：①当点在点、之间时， 如图 所示，过点 N 作， ， 则， ， 又直线 且、分别是与的平分线， ， ; ②当点在点、之外时，如图所示， 同理可求得。 综上所述，为或． 10．（24-25七年级下·北京海淀·期末）如图，和过点的直线满足是线段上的动点，过点作直线与平行． (1)如果，那么___________； (2)设的角平分线是射线，的角平分线是射线． ①如果射线交于点，求； ②如果射线有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)85 (2)①；② 【分析】（1）首先求出，得到，然后根据平行线的性质求解即可； （2）①如图所示，过点B作，过点Q作，根据平行线的性质和角平分线的定义求解即可； ②根据题意分两种情况讨论：当点A和点Q重合时，当点P和点Q重合时，然后根据平行线的性质和角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴； （2）①如图所示，过点B作，过点Q作 ∵ ∴ ∵的角平分线是射线 ∴ ∵， ∴ ∴； ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵的角平分线是射线 ∴ ∵ ∴ ∴； ②如图所示，当点A和点Q重合时， 由①可得， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴； 如图所示，当点P和点Q重合时， ∵，的角平分线是射线 ∴ ∴综上所述，如果射线有公共点，的取值范围为． 【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07相交线与平行线中的压轴拓展题（期末复习讲义) 内容导航 明期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破•重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01多角平分线模型 题型02平行线+拐角模型 题型03平移模型 题型04旋转模型 过分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 破·重难题型 腿型一 多角平分线模型 解引题|技|巧 利用角平分线等分角度，结合对顶角、邻补角列式，整体代换求角度。 易错点|拨 忽略角度和、差关系的两面性，注意分类讨论。 【典例1】(24-25七年级下安徽期末)直线AB、CD相交于点O,∠EOF在∠A0D的内部. 1/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C 图① 图② (1)如图①，当∠AOD=120°，∠E0F=60°时，求∠A0F与LE0D的度数和： (2)在(1)的条件下，请直接写出图中与∠BOC互补的角： (3)如图②，若射线OM平分∠AOD(OM在∠EOD内部)，且满足∠EOD=2LFOM,请判断LAOF与 ∠EOF的大小关系并说明理由， 【变式1】(24-25七年级下陕西西安期末)如图，AB∥CD,M是平面内一点，连接MB,MC,∠MCD 的平分线与∠ABM的平分线交于点N.若∠CNB=120°，则∠M的度数为() M D A.30° B.40° C.50° D.60° 【变式2】(24-25七年级下山西运城期末)如图，∠ACB=90°，MA‖BN.∠MAC,∠CBN的平分线 交于点P,则∠APB的度数为 M P B N 2/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 巴腿型二 平行线+拐角模型 解引题|技|巧 拐点处作平行线，拆分大角为内错角/同旁内角，转化加减计算。 易|错点|拨 忘记作辅助线、混淆同旁内角互补与内错角相等，方向搞反。 【典例1】(24-25七年级下河北沧州期末)如图1，已知AB∥CD,直线AB与CD之间有一点P(点P 在直线AC的右侧)，连接AP,CP -B 图1 图2 图3 (1)若∠A=40,∠C=29°，则∠APC的度数为_； (2)探究∠A,∠APC与∠C之间的数量关系，并说明理由； P,P B)已知4B/CD,点M,N分别在直线AB,CD上，点P,P均在直线MW P,NP,MP,NP 的右侧，连接 MP 且 平分<BMP ①如图2，若点P,均在直线4B和CD之间，平分∠DP,且∠Pv=100, P,P ∠MPN 求 的度数： P ②如图3，若点在直线MB和CD之间，点P在直线CD的下方，D平分 ∠PNP ∠BMR=a,且 0°<u<90° ∠MRN+∠MPN 请直接写出 的度数（用含a的代数式表示）. 【变式1】(24-25七年级下·辽宁大连期末)数学活动课上，李老师给出如下问题让学生探究·如图1， 3/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ABI∥CD P O AB CD .E AB CD ,PEQE∠PEQ=60° ,点，分别在，上，点在 ，之间连接， 1 -H -D 图1 图2 图3 (1)求∠BPE+∠DOE的度数： (2小红在李老师所给问题的基础上，提出如下问题：如图2，作∠APE的平分线PF和∠CQE的平分线QG QG与PF的反向延长线相交于点G,求∠G的度数： 3)小张在李老师所给问题的基础上，提出如下问题：如图3，在线段E0上取点M,在射线QD上取点N, 连接MN，,作∠BPE和∠NME的平分线相交于点H,判断∠H和∠MND的数量关系并说明理由， 【变式2】(24-25七年级下·黑龙江哈尔滨期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(a,0),B(c,c), C0,c),且满足 (a+8)2+Vc+4= 0点P、点同时出发，P点从A点出发沿产轴正方向以每秒2个单位 长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动. B B C B C 图(1) 备用图 备用图 (1)AO和BC位置关系是 (2)如图(1)当P、D分别在线段AO,OC上时，连接PB,QB,设此时点P、点的运动时间为t. ①请分别用含t的式子表示△PAB和△QBC的面积： 4/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ② SPB=4Sa0c,求出点P的坐标： (3)在P、Q的运动过程中，当∠CB0=30°时，请直接写出∠OP№和∠PQB的数量关系. 巴型三 平移模型 解|题|技巧 平移前后对应线段平行相等、对应角相等。 易错|点|拨 误以为平移改变角度大小，计算周长时多算或漏算重叠边。 【典例1】(24-25七年级下江苏扬州期末)如图，锐角三角形ABC中，∠BAC=45°，将三角形ABC沿 着射线BC方向平移得到三角形AB'C'(平移后点A,B,C的对应点分别是点A,B',C'),连接CA, 若在整个平移过程中，∠ACA和∠CAB'的度数之间存在2倍关系，则∠ACA的值为 【变式1】(24-25七年级下河北期末)如图，将三角形ABC沿射线BA方向平移到三角形AB'C'的位置， 连接AC. B C B (1)AA与CC的位置关系为_ (2)试探索：∠A'+∠CAC'和∠ACC之间的数量关系，并说明理由. 5/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)设∠AC'B=x,∠ACB=y,试探索∠CAC'与x,y之间的数量关系，并说明理由. 【变式2】(24-25七年级下江苏连云港·期末)如图，已知线段AB=5,点C是线段AB外一点，连接AC, ∠CAB=a(90°<a<180 ,将线段1C沿1B平移得到线段BD.点M是线段1B上一动点，连接MC, AC MC MD」 C B 6 B 备用图1 备用图2 (1)依题意在图中补全图形，并证明：∠CMD=∠MCA+∠MDB: 2过点C作直线/MD,在直线上取点N,使∠NDC=∠CDM.当a=140时，在备用图中画出图形， 并求出∠BDN与∠BDM之间的数量关系. 题型四 旋转型 解引题|技|巧 抓住旋转角不变、直角不变、平行线关系不变， 设未知数表示动态角。 !易|错|点拨 动态旋转不会分类讨论，漏掉夹角多种情况，忽略垂直特殊位置。 【典例1】(25-26七年级上江苏扬州期末)数学实验：玩转三角板 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中∠A=60°，∠D=30°， ∠E=∠B=45°」 6/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23 图1 图2 (1)填空：∠1与∠3的数量关系是 理由是 (2)如图2，当点E在直线AC的上方时，将三角尺ACD固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两 个三角尺的顶点C重合.探究一下问题： ①当BE∥AD时，画出图形，并求出∠ACE的度数： ②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？若存在，请画出图形直接写出此时∠ACE的值；若不存在， 请说明理由. 【变式1】(24-25七年级下·河北邯郸期末)如图(1)把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长 方形直尺DEFG的EF边上，斜边AB与DG交于点Q. 30 309 G n 图1 图2 备用图 (1)如图(1)，∠1= (2)如图(2)，现把三角板绕B点逆时针旋转n°，当0<n<90,且点C恰好落在DG边上时， ∠1= 请直接写出 一（结果用含”的代数式表示）： ②若P比的一半多90，求”的值. 90° (3)如图(2)，现将射线BC绕点B以每秒5°的转速逆时针旋转得到射线BC,同时射线QA绕点Q以每秒 7/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OA OA OB BC QA 的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线、均停止转动，设旋 转时间为S.当1∥BC时，求出此时'的值。 【变式2】(24-25七年级下辽宁盘锦·期末)长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情 况，在笔直且平行的长江两岸河堤MW,P 上安装了4B AM, 两盏激光探照灯如图所示.光线按顺时针 方向以每秒4°的速度从1M旋转至1N便立即回转；光线B识按顺时针方向以每秒°的速度从8P旋转至 BP BQ便立即回转. N M M P M P B 备用图 (1)若两灯同时旋转，A灯发出的光线 AM 顺时针旋转到 AN 然后回转到1M时，两灯同时停止旋转。 ①当两灯旋转30秒时，判断光线1M AM BP 所在直线与光线所在直线的位置关系，并说明理由： ②除①中情况之外，两灯发出光线所在直线还能否形成与①相同的位置关系？若能，请求出此时A灯的 旋转时间；若不能，请说明理由， (2)如果B灯先旋转20秒，A灯才开始旋转.在B灯发出的光束第一次到达BQ之前，请直接写出A灯旋转 AM BP 多少秒时，光线所在直线与光线所在直线平行. 期末重难突破练（测试时间：45分钟） 1.(24-25七年级下·江苏南通期末)如图1，∠AOB=140°，射线0C在平面内. 8/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B M A 图1 (1)如图，OC垂直OB,OM平分∠COA,则∠MOB的度数为_一： (2)若∠AOC与∠BOC互补，求∠BOC的大小： (3)若射线OC绕点O从射线OA的反向延长线的位置出发，以每秒1°的速度顺时针旋转；同时射线OA以每 秒5°的速度绕点O逆时针旋转，各自旋转180°后停止转动，请直接写出使得射线OA,OB,OC中某一条 射线是另两条射线所夹角的角平分线的时间_ 2.(24-25七年级下广东期末)如图，直线AB、CD相交于点O,∠AOC=75°，且∠B0E:∠EOD=2:3 B (1)求LEOB的度数： (2)若OF平分∠AOE,则OA是∠COF的角平分线吗？试说明理由. 3.(24-25七年级下·广东广州期末)如图，己知AB∥CD,F,E分别为AB,CD上的点，∠CEF的角 平分线交AB于点G,GH⊥EF,垂足为H,∠AGH的角平分线交CD于点P FB E D (1)求证：∠FGE=∠FEG: (2)设∠CEG=a,求∠PGE的度数， 4.(24-25七年级下·湖北荆州期末)如图，己知线段AB,点C是线段AB外一点，连接AC,∠CAB=a (90°<a<I80°)，将线段AC沿AB平移得到线段BD,点P是线段AB上一动点，连接PC,PD, 9/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P B 图1 备用图 (1)依题意在图1中补全图形，并证明：∠CPD=∠PCA+∠PDB: 2过点C作直线，/pD在直线上取点M使∠MDC-∠CDP.当，=12时，面出图形。并直接用等 2 式表示∠BDM与∠BDP之间的数量关系. 5.(24-25七年级下广东潮州期末)已知直线AB∥CD A A E B A B M G F D 图1 图2 图3 (1)在图1中，点E在直线AB上，点F在直线CD上，点G在直线AB,CD之间，若∠1=28°，∠3=73°， 则∠2=一： (2)如图2，若点H是∠CFG与∠AEG的角平分线的交点，求出∠EGF:∠EHF的值： (3)如图3，作∠GFM=∠GFC,FM与∠AEG的平分线交于点M,若∠G的余角等于2∠M的补角，求 ∠CFG的度数. 6.(2425七年级下吉林：期末)综合与实践：如图，AB/CD,点P为平面内任意一点，连接4P,CP, 某数学兴趣小组对∠APC,∠A,∠C之间的数量关系进行了探究学习. 【探究一】当点P在如图1所示位置时，通过测量，得到猜想结果：∠AP℃+∠A+∠C=360°. D B E D 图1 证明：过点P作PE∥AB, .∠APE+∠A=180°. :PE∥AB,AB∥CD, 10/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .PE∥CD, ∴.∠CPE+∠C=180° :.∠APE+∠A+∠CPE+∠C=180°+180° ∴.∠APC+∠A+∠C=360° 【探究二】当点P在如图2所示位置时，猜想∠APC,∠A,∠C之间的数量关系，并给出证明. 图2 【探究三】当点P在如图3所示位置时，请直接写出∠APC,∠A,∠C之间的数量关系，不要求给出证 明 图3 【探究四】若∠APC=∠A-∠C,请在图4中找到一个符合条件的点P,并补全图形，不要求给出证明. B D 图4 【思维拓展】当点M,N在如图5所示位置时，请直接写出I,∠2，∠3，∠4之间的数量关系，不要求 给出证明， 3 M D 图5 7.(24-25七年级下浙江丽水期末)如图，将两个直角三角尺作如下摆放， ∠EGF=∠MPN=90°，∠GFE=∠PNM=30° AB E MN ,直线过点， 在直线CD上，B 平分<AE尔 11/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求∠BEF的度数. (2)试判断AB与CD的位置关系，并说明理由. (3)将△EGF绕点E逆时针旋转，速度为每秒4°，同时△MPN绕点N逆时针旋转，速度为每秒1O°，记旋转 时间为t,当△PMN旋转一周时，整个运动停止.当EF与△MPV的任意一边平行时，求出所有满足条件 的t的值. 8.(24-25七年级下·河南郑州期末)如图，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起：其中∠ACB=30° ∠DAE=45°，∠BAC=∠D=90°.固定三角板ABC,将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角 ∠CAE=a D E (1)在旋转过程中，若0°<a<90°，则当BC⊥DE时，a为一度时（请直接写出a值的）： (2)在旋转过程中，若0°<a<180°，试探究∠CAD与∠BAE之间的数量关系； (3)在旋转过程中，若90°<Q<180°，当△ADE的一边与△ABC的一边平行（不共线）时，a为一 度 (请直接写出a的值). 9.(24-25七年级下湖南株洲期末)已知AD和BE相交于点C,∠BAC=∠ACB,∠EDC=∠DCE」 D D 图(1) 图(2) 图(3) (1)如图(1)，试说明AB∥DE的理由： 12/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图(2)，点P是线段BC上一点，连结AP.试说明式子∠APE=∠BAP+∠CED成立的理由： (3)如图(3)若点M是射线BA上一点，作MH⊥直线AD于点H,∠ADE与∠AMH的平分线相交于点N, 求∠DWM 10.(24-25七年级下·北京海淀·期末)如图，△ABC和过点A的直线AD满足 ∠BAC=90°，∠B=∠CAD=60°，P是线段BC上的动点，过点P作直线PE与AD平行. M B A D (1)如果∠BAP=55°，那么∠APE= (2)设∠BAD的角平分线是射线AM,∠BPE的角平分线是射线PN. ①如果射线AM,PN交于点Q,求∠POA; ②如果射线AM,PN有公共点，直接写出∠BAP的取值范围. 13/13