专题7.7 相交线与平行线（十九大高频易错题题型训练）-2025-2026学年人教版数学七年级下册同步培优讲义

专题7.7 相交线与平行线（高频易错题题型训练） 【原卷版】 题型一 对顶角相等 1 题型二 找邻补角 2 题型三 利用邻补角互补求角度 3 题型四 垂线段最短 4 题型五 点到直线的距离 5 题型六 同位角、内错角、同旁内角 6 题型七 平行公理的应用 6 题型八 平行公理推论的应用 7 题型九 同位角相等两直线平行 8 题型十 内错角相等两直线平行 8 题型十一 同旁内角互补两直线平行 10 题型十二 在同一平面内，找垂直于同一直线的两直线平行 11 题型十三 根据平行线的性质探究角的关系 11 题型十四 根据平行线的性质求角的度数 12 题型十五 平行线的性质在生活中的应用 14 题型十六 根据平行线判定与性质求角度 14 题型十七 根据平行线判定与性质证明 16 题型十八 利用平移的性质求解 17 题型十九 利用平移解决实际问题 18 题型一 对顶角相等 1．如图，直线，相交于点，平分． (1)的补角是_________； (2)若，求的度数． 2．如图，直线、相交于点，平分，于，且，求的度数． 题型二 找邻补角 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线与交于点O，是内的射线，且平分，过点O作． (1)的对顶角是　　　　，的邻补角是　　　　． (2)若，求的度数 4．（23-24七年级下·湖北鄂州·期中）如图，直线，相交于点O，把分成两部分． (1)直接写出图中的对顶角为______，的邻补角为______； (2)若，且，求的度数． 题型三 利用邻补角互补求角度 5．（21-22七年级上·广西河池·期末）如图，直线、相交于点，，是的平分线，是的反向延长线． (1)求、的度数； (2)说明平分． 6．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”．如图，点O在直线上，、在直线的上方，且，钝角的“割补线”记为． (1)若，则的度数是______； (2)若恰好平分，求的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，判断与的数量关系，并说明理由． 题型四 垂线段最短 7．（24-25七年级下·山西运城·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点、点、点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下述要求画图． (1)画直线； (2)画线段； (3)过点画直线的垂线，垂足为； (4)在线段中，最短的线段为___________，依据为___________． 8．（24-25七年级下·广东佛山·期中）利用网格画图： (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)线段的长度是点到直线____的距离； (4)连接、，在线段、、中，线段______最短，理由：______． 题型五 点到直线的距离 9．（2024七年级下·河南郑州·竞赛）下列语句中：①有公共顶点且相等的角是对顶角；②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；③两点之间直线最短；④经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）一辆汽车在路段上由点A向点B行驶，M，N分别是位于公路两侧的两所学校（如下图）． (1)汽车在该路段上行驶时，噪声会对两所学校教学都造成影响．当汽车行驶到何处时，分别对两所学校的影响最大？在图上标出； (2)当汽车由点A向点B行驶时，在哪一段上噪声对两所学校的影响逐渐增大？在哪一段上噪声对两所学校的影响逐渐减小？在哪一段上噪声对学校M的影响逐渐减小而对学校N的影响逐渐增大（用文字表述，不需说明理由）？ 题型六 同位角、内错角、同旁内角 11．（23-24七年级下·北京·期中）如图，按要求画图并回答问题： (1)过点A画点A到直线的垂线段，垂足为D； (2)过点D画直线，交的延长线于点E； (3)的内错角是　　　； (4)在线段中，最短的是　　　，理由为　　　． 12．（24-25八年级下·重庆渝北·期末）如图，，第1次，作相交、，则产生了4对同位角，第2次，作相交、、，则又产生了12组同位角，第3次，作相交、、、，则又产生了24组同位角，推测第6次又产生了（   ）对同位角． A．60 B．84 C．112 D．144 题型七 平行公理的应用 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知三角形，点P在边上． (1)过点P画的平行线交于点T； (2)过点C画； (3)直线_______（填位置关系）． 14．（22-23七年级上·河南南阳·期末）【操作】在如图的方格纸中（网格线的交点叫格点），按要求画图、填空． （1）过点A作的垂线，垂足为点D，该垂线经过的一个格点记为点E． （2）过点E作的平行线，该平行线经过的一个格点记为F；过点B作的平行线，该平行线经过的一个格点记为G． 【发现】与的位置关系为______． 【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：______． 题型八 平行公理推论的应用 15．（23-24七年级下·湖北省直辖县级单位·月考）如图，在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，此图．是书写的字母“”． (1)请从正面，上面，右面三个不同方向上各找出一组平行线段，并用字母表示出来； (2)与有何位置关系？与有何位置关系？为什么？ (3)图中所在的直线与所在的直线有公共点吗？若没有公共点，能否说明这两条直线平行？你还能找出一组具有类似位置关系的直线吗？由此可知在叙述平行线的概念时，应注意什么？ 16．（21-22七年级下·湖北孝感·期中）在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），B（2，－1），C（－1，1）． (1)求A，B两点之间的距离； (2)若，且CD＝2，求点D的坐标． 题型九 同位角相等两直线平行 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知AC平分，BD平分，，，试说明：，． 18．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，下列条件：①；②；③；④；⑤．其中能判定直线的有（   ） A．③④ B．①③⑤ C．②④⑤ D．②④ 题型十 内错角相等两直线平行 19．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）如图，已知，，求证：． 20．（24-25七年级下·山东济南·期中）【知识回顾】 如图1，直线与直线被直线l所截，交点为点E和点F．在“相交线与平行线”一章中，我们学习了“利用内错角与的数量关系可以判定两条直线的位置关系”．现将具有和这样位置关系的角称作一组“内外错角”． 【探究发现】 当“内外错角”满足一定的数量关系时，也能判定两条直线的位置关系． （1）当和满足何种数量关系时能使得？请说明理由． 【深入探究】 如图2，在直线l上取一点P，使点P位于直线的上方，和是一组“内外错角”， 和的角平分线所在的直线，相交于点O，设，． （2）请用含，的代数式表示的大小； （3）如图3，若与交于点Q，请直接写出当，满足何种数量关系时，是直角三角形． 题型十一 同旁内角互补两直线平行 21．（22-23七年级下·陕西安康·期末）如图，在下列给出的条件中：①；②；③；④，可以判定的有 ．（填序号） 22．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）在学习了平行线后，小明和小芳分别给出了过直线外一点P画这条直线的平行线的方法． 小明的画法：如图a， ①过点P画一条直线与直线相交于点Q； ②测得； ③以P为顶点，射线为一边，画（点C在直线的右侧）． 直线即为所求． 小芳的画法：如图b， ①过点P画直线，垂足为Q； ②过点P画直线，垂足为P（点C，D分别在直线的两侧，且点C在直线的左侧）． 直线即为所求． 完成下面问题： (1)在小明的画法中，判定的依据是____； (2)用三角尺或量角器，依画法补全图b； (3)完成小芳的证明． 证明：∵， ∴______°（______）． ∵， ∴． ∴． ∴（________）． 题型十二 在同一平面内，找垂直于同一直线的两直线平行 23．（23-24七年级上·福建三明·期中）下面的说法：①过一点有且只有一条直线与这条直线平行；②两条相交直线组成的四个角中，若有一个直角，则四个角都相等；③方程的解是；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行，其中正确的个数有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．一副直角三角板叠放如图①，现将含角的三角板固定不动，把含角的三角板绕顶点A顺时针旋转角（且），使两块三角板至少有一组对应边（所在的直线）垂直． (1)如图②，______时，； (2)请你在下列备用图中各画一种符合要求的图形，计算出旋转角，并用符号表示出垂直的边． 题型十三 根据平行线的性质探究角的关系 25．如图所示，，分别探究下面图形中，，的关系，请你从四个图形中任选一个，说明你所探究的结论的正确性． (1)结论： ； ； ； ． (2)选择结论　　　　（写序号即可）说明理由． 26．（23-24七年级下·广西河池·期末）已知直线，直线 分别与 ， 交于 ， 两点，点 是直线 上的一个动点，试探究与 之间的数量关系． (1)如图①，当点在线段上运动（点不与 重合）时，若 ，则_____；猜想：此时数量关系是：_____，请说明理由； (2)如图②，当点在点的上方运动（三点不在同一直线上）时，猜想：此时与 之间数量关系是：_____，请说明理由； (3)如图③，当点在点 的下方运动（三点不在同一直线上）时，猜想：此时与 之间数量关系是：_____． 题型十四 根据平行线的性质求角的度数 27．（23-24七年级下·云南楚雄·期中）已知， P为平面内一点（不在、上）， 探索，，之间的数量关系． (1)请补全以下证明过程中括号里的推理依据： 证明：如图1，过点P作， ∴（                             ） ∵， ∴（                              ） ∴ ∴ ∴． (2)如图2，若，，则的度数为 ． (3)如图3，求，，之间的数量关系． 28．（24-25七年级下·全国·周测）在一次数学活动课上，老师让同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且，直角三角尺ABC中，，． 【操作发现】（1）如图①，当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则____________． 【探索证明】（2）如图②，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出与的数量关系，并说明理由． 题型十五 平行线的性质在生活中的应用 29．（2025·山东青岛·模拟预测）2023年5月底，由中国商飞公司制造的圆满完成商业首飞，对中国涉足国际航空领域大国政治具有象征意义．如图是机翼设计图，已知，，与水平线的夹角为，则等于 ． 30．（24-25八年级上·山东青岛·期末）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点，从点射出一束光线（入射光线），经平面镜点处反射光线刚好与平行，则的度数为 ． 题型十六 根据平行线判定与性质求角度 31．（21-22七年级下·云南曲靖·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点，且满足． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若x轴上有一点M，使得三角形的面积是三角形面积的2倍，求点M的坐标； (3) 如图2，射线经过点A，点D是x轴负半轴上一动点，过点D在x轴上方作射线，点H在y轴上且在点A上方，与的角平分线相交于点G，的度数是否为定值？若是，求出的度数，若不是，请说明理由． 32．（24-25七年级下·广东·期末）综合探究 (1)【课题学习】平行线的“等角转化”功能． 如图①，已知点A是外一点，连接．求的度数． 解：过点A作，则______，， 又∵．∴ ； (2)【方法运用】如图②所示，已知，交于点E，，求的度数． (3)【拓展探究】如图③所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，求的度数． 题型十七 根据平行线判定与性质证明 33．（23-24七年级下·河北沧州·期中）如图，在中，点E在上，点F在上，点D、G在上，，且． (1)猜想与的位置关系并证明； (2)若，平分，求的度数． 34．（22-23七年级下·重庆永川·期末）如图，平分，平分，，点在射线上，直线，垂足为点．设． (1)请用含x的式子表示的大小； (2)求证； (3)设直线与射线交于点，若，求的度数． 题型十八 利用平移的性质求解 35．（22-23七年级下·安徽亳州·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点都在网格顶点处．现将平移得到，使点的对应点为点，点的对应点为点． (1)请画出平移后的； (2)若连接，，则这两条线段之间的位置关系是_______，数量关系是_______． 36．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，网格图中小方格都是边长为1个单位长度的小正方形． (1)请画出将三角形向右平移5个单位长度后的图形．连接各对对应点，并指出相等的线段． (2)请指出图中（包括新画出的）所有互相平行的线段． (3)请指出三角形和其平移后的图形中相等的角． 题型十九 利用平移解决实际问题 37．（24-25七年级下·浙江温州·月考）如图，在方格纸中，的三个顶点和点M都在小方格的顶点上．按要求作图： (1)过点M作直线的平行线； (2)将平移至，使点M落在平移后的三角形内部（不含边界）． (3)请描述（2）中，到的平移过程． 38．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）（1）如图1，在的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段向右平移，得到线段，连接．线段平移的距离是______； （2）动手操作：如图2，三角形的三个顶点都在正方形网格的格点上（网格中每个小正方形的边长都为1个单位长度），将三角形平移，使点A平移到图中的位置，点的对应点是，点的对应点是．①画出平移后的三角形； ②线段在平移的过程中扫过的面积是______． （3）拓展延伸：如图3，在一块长为米，宽为米的长方形草坪上，修建一条宽为米的小路（小路宽度处处相同），直接写出剩下的草坪面积是______平方米． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.7 相交线与平行线（高频易错题题型训练） 【解析版】 题型一 对顶角相等 1 题型二 找邻补角 3 题型三 利用邻补角互补求角度 5 题型四 垂线段最短 8 题型五 点到直线的距离 11 题型六 同位角、内错角、同旁内角 12 题型七 平行公理的应用 14 题型八 平行公理推论的应用 16 题型九 同位角相等两直线平行 18 题型十 内错角相等两直线平行 20 题型十一 同旁内角互补两直线平行 22 题型十二 在同一平面内，找垂直于同一直线的两直线平行 24 题型十三 根据平行线的性质探究角的关系 27 题型十四 根据平行线的性质求角的度数 31 题型十五 平行线的性质在生活中的应用 34 题型十六 根据平行线判定与性质求角度 36 题型十七 根据平行线判定与性质证明 40 题型十八 利用平移的性质求解 43 题型十九 利用平移解决实际问题 45 题型一 对顶角相等 1．如图，直线，相交于点，平分． (1)的补角是_________； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，， (2) 【思路引导】本题考查了平角、对顶角、补角、角平分线的定义． （1）根据角平分线、补角、平角的定义，结合图形即可得出答案； （2）根据，可设，，结合角平分线和平角的定义列方程求解的值，可得的值，进而根据对顶角相等求得的度数． 【规范解答】（1）解：平分， ， ， ， 是的补角， ，， 、是的补角， 的补角有，，， 故答案为：，，． （2）解：， 设，， ，， ，解得， ， ． 2．如图，直线、相交于点，平分，于，且，求的度数． 【答案】 【思路引导】本题考查与角平分线有关的计算，对顶角，根据，得到，角平分线得到，平角的定义，求出的度数，进而得到的度数，对顶角相等，即可得出结果． 【规范解答】解：由，得． 由平分，得． ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 由对顶角相等，得． 题型二 找邻补角 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线与交于点O，是内的射线，且平分，过点O作． (1)的对顶角是　　　　，的邻补角是　　　　． (2)若，求的度数 【答案】(1)， (2) 【思路引导】（1）根据对顶角的定义（有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角）和邻补角的定义（两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角）即可得； （2）先根据邻补角的定义可得，再根据角平分线的定义可得，再根据平角的定义可得． 【规范解答】（1）解：的对顶角是，的邻补角是． 故答案为：， （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点再现】本题考查了对顶角和邻补角的定义、与角平分线、垂直有关的计算，熟练掌握各定义和运算法则是解题关键． 4．（23-24七年级下·湖北鄂州·期中）如图，直线，相交于点O，把分成两部分． (1)直接写出图中的对顶角为______，的邻补角为______； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题主要考查了对顶角、邻补角的定义等知识点，掌握对顶角相等的性质和互为邻补角的两个角的和等于求解即可． （1）直接利用对顶角、邻补角的定义解答即可； （2）根据对顶角相等求出的度数，再根据可求得,然后根据角的和差即可解答． 【规范解答】（1）解：的对顶角为，的邻补角为； 故答案为：，． （2）解：∵， ∴, ∵， ∴, ∴． 题型三 利用邻补角互补求角度 5．（21-22七年级上·广西河池·期末）如图，直线、相交于点，，是的平分线，是的反向延长线． (1)求、的度数； (2)说明平分． 【答案】(1)， (2)见解析 【思路引导】本题考查了角平分线的定义、平角的定义和对顶角相等的性质． （1）根据邻补角的定义，即可求得的度数，根据角平分线的定义和平角的定义即可求得的度数； （2）根据平分的两部分角的度数即可说明． 【规范解答】（1）解：如图， 因为，， 所以． 又因为是的角平分线，所以， 而， 所以， 即，； （2）解：因为， 所以 ． 所以， 所以平分． 6．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”．如图，点O在直线上，、在直线的上方，且，钝角的“割补线”记为． (1)若，则的度数是______； (2)若恰好平分，求的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)或，理由见详解 【思路引导】本题考查了角平分线，余角与补角，掌握角平分线的定义，余角与补角定义，理解“割补线”的定义是解题的关键，注意分类讨论思想的运用． （1）画出相应的图形，由角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行解答即可； （2）根据平角的定义以及角平分线的定义进行计算即可； （3）分（1）中的两种情况进行解答，分别用表示，，进而答案即可． 【规范解答】（1）解：①如图，当在内部时， ∵射线是的“割补线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，当在外部时， ∵射线是的“割补线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． （2）解：∵恰好平分， ∴， ∴． （3）解：或， 理由：①如图，当时， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴； ②如图，当时， ∵， ∴， ∴， （即与重合）， ∴， 综上所述，与的数量关系为或． 题型四 垂线段最短 7．（24-25七年级下·山西运城·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点、点、点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下述要求画图． (1)画直线； (2)画线段； (3)过点画直线的垂线，垂足为； (4)在线段中，最短的线段为___________，依据为___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)，点到直线的距离垂线段最短 【思路引导】本题考查了作图知识及把几何语言转化为几何图形的能力，熟练掌握直线、射线、线段和垂直的定义是解答本题的关键． （1）根据直线的特征画图即可； （2）根据线段的特征画图即可； （3）结合网格，过点作垂线画图即可． （4）根据垂线段最短，并结合题干信息即可求解 【规范解答】（1）解：连接点、点并延长，如图： （2）解：连接点、点和点、点，且不要延长出点，如图： （3）解：过点画直线的垂线，垂足为，如图： （4）解：∵垂线段最短， ∴最短的线段为， 故答案为：，垂线段最短 8．（24-25七年级下·广东佛山·期中）利用网格画图： (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)线段的长度是点到直线____的距离； (4)连接、，在线段、、中，线段______最短，理由：______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)；垂线段最短 【思路引导】本题考查了网格作图和据垂线段最短，解题的关键是熟练掌握网格的特点． （1）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与平行的格点作出即可； （2）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与垂直的格点； （3）根据点到直线的距离概念回答； （4）根据垂线段最短直接回答即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求作的平行线； （2）解：如图，即为所求作的垂线； （3）解：线段的长度是点到直线的距离； 故答案为：； （4）解：连接、，在线段、、中，线段最短，理由：垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 题型五 点到直线的距离 9．（2024七年级下·河南郑州·竞赛）下列语句中：①有公共顶点且相等的角是对顶角；②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；③两点之间直线最短；④经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路引导】本题考查了对顶角，点到直线的距离，两点之间线段最短及垂线的定义，平行公理，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 根据对顶角、点到直线的距离、线段性质、垂线性质及平行公理逐一判断． 【规范解答】①错误：对顶角需满足有公共顶点且两边互为反向延长线，仅公共顶点且相等不成立，如两个直角共顶点但非对顶角． ②错误：点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线段本身，描述缺少“长度”这一关键条件． ③错误：两点之间最短的是线段，而非直线，直线无限延伸，无法比较长度． ④错误：垂线性质需明确“同一平面内”，题干未限定平面，故描述不严谨． ⑤正确：平行公理指出，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，符合题意． 综上，仅⑤正确，正确个数为1个． 故选：A． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）一辆汽车在路段上由点A向点B行驶，M，N分别是位于公路两侧的两所学校（如下图）． (1)汽车在该路段上行驶时，噪声会对两所学校教学都造成影响．当汽车行驶到何处时，分别对两所学校的影响最大？在图上标出； (2)当汽车由点A向点B行驶时，在哪一段上噪声对两所学校的影响逐渐增大？在哪一段上噪声对两所学校的影响逐渐减小？在哪一段上噪声对学校M的影响逐渐减小而对学校N的影响逐渐增大（用文字表述，不需说明理由）？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了垂线段最短、点到直线的距离，熟练掌握垂线段最短是解题关键． （1）汽车离学校越近，其对学校的影响越大，根据垂线段最短即可得； （2）根据汽车离两所学校的远近、垂线段最短进行分析即可得． 【规范解答】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点． 因为汽车离学校越近，其对学校的影响越大， 所以由垂线段最短可知，当汽车行驶到点处时，对学校的影响最大；当汽车行驶到点处时，对学校的影响最大． （2）解：如图，因为当汽车由点向点行驶时，汽车离两所学校都越来越近；当汽车由点向点行驶时，汽车离两所学校都越来越远；当汽车由点向点行驶时，汽车离学校越来越远，而离学校越来越近， 所以当汽车由点向点行驶时，对两所学校的影响逐渐增大；当汽车由点向点行驶时，对两所学校的影响逐渐减小；当汽车由点向点行驶时，对学校的影响逐渐减小而对学校的影响逐渐增大． 题型六 同位角、内错角、同旁内角 11．（23-24七年级下·北京·期中）如图，按要求画图并回答问题： (1)过点A画点A到直线的垂线段，垂足为D； (2)过点D画直线，交的延长线于点E； (3)的内错角是　　　； (4)在线段中，最短的是　　　，理由为　　　． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)，垂线段最短 【思路引导】本题考查了画垂线，画平行线，内错角的定义，点到直线的距离，垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意画垂线段即可； （2）根据题意画平行线即可； （3）根据内错角的定义求解； （4）根据垂线段最短即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求；    （3）解：的内错角是， 故答案为：； （4）解：在线段中，最短的是，理由为垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 12．（24-25八年级下·重庆渝北·期末）如图，，第1次，作相交、，则产生了4对同位角，第2次，作相交、、，则又产生了12组同位角，第3次，作相交、、、，则又产生了24组同位角，推测第6次又产生了（   ）对同位角． A．60 B．84 C．112 D．144 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了同位角的概念和规律题，可先通过分析前几次作直线后产生同位角的数量，找出其规律，再根据规律计算第6次产生同位角的数量，即可求解． 【规范解答】解： 设作第n次直线后产生的同位角对数为， 第1次，作​​相交​​，此时有2条被截直线 ，1条截线​​，产生了对同位角； 第2次，作​​相交​​，此时有3条被截直线​​，1条截线​​，产生了对同位角； 第3次，作​​相交，此时有4条被截直线，1条截线​​，产生了对同位角； 以此类推，可得到规律：作第n次直线后，有条被截直线，1条截线，产生的同位角对数； 当时，代入上述规律公式可得：（对） 故选项为：B． 题型七 平行公理的应用 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知三角形，点P在边上． (1)过点P画的平行线交于点T； (2)过点C画； (3)直线_______（填位置关系）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题主要是考查的尺规作图及平行公理的运用，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）按照作平行线的方法画图即可； （2）按照作平行线的方法画图即可； （3）根据平行于同一条直线的两直线平行，即可解题． 【规范解答】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，直线即为所求． （3）解： ，， ， 故答案为：． 14．（22-23七年级上·河南南阳·期末）【操作】在如图的方格纸中（网格线的交点叫格点），按要求画图、填空． （1）过点A作的垂线，垂足为点D，该垂线经过的一个格点记为点E． （2）过点E作的平行线，该平行线经过的一个格点记为F；过点B作的平行线，该平行线经过的一个格点记为G． 【发现】与的位置关系为______． 【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：______． 【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；发现：平行；概括：平行于同一条直线的两条直线平行． 【思路引导】（1）根据网格结构作出的垂线即可； （2）根据网格结构的特征构造相等的同位角再画图，然后标注即可．再根据平行线的判定可得与的位置关系以及结论． 【规范解答】解：（1）如图，，D为垂足； （2）如图，，， 与的位置关系为平行； 结论：平行于同一条直线的两条直线平行． 【考点再现】本题考查了这题-应用与设计作图，利用网格结构作垂线，作平行线，熟练掌握网格结构的特征，准确找出对应点的位置是解题的关键． 题型八 平行公理推论的应用 15．（23-24七年级下·湖北省直辖县级单位·月考）如图，在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，此图．是书写的字母“”． (1)请从正面，上面，右面三个不同方向上各找出一组平行线段，并用字母表示出来； (2)与有何位置关系？与有何位置关系？为什么？ (3)图中所在的直线与所在的直线有公共点吗？若没有公共点，能否说明这两条直线平行？你还能找出一组具有类似位置关系的直线吗？由此可知在叙述平行线的概念时，应注意什么？ 【答案】(1)正面（答案不唯一） 上面（答案不唯一） 右面（答案不唯一） (2)    ，理由见解析； (3)见解析． 【思路引导】本题主要考查同一平面内两直线平行．能从复杂的图形中找出同向线段，就要求同学们练就一双慧眼，这与平时的努力是密不可分的，熟练掌握平行线的定义是解题的关键． （）正面、、、是平行的，、平行，、平行；上面相互平行，平行；右侧平行，平行；据此分别找出一组平行线即可； （）与都与平行，所以平行；′与′平行，′与垂直，因为它们不在同一平面内，所以是异面垂直． （）根据平行线的定义作答即可． 【规范解答】（1）解：正面、、、是平行的，、平行； ∴正面：（答案不唯一）， 上面：上面相互平行，平行； ∴； 右侧：平行，平行 ∴； 故答案为：正面：；上面：；右侧：；（答案不唯一） （2）解：∵，，，， ∴，（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； （3）解：图中所在的直线与所在的直线没有公共点，不能说明这两条直线平行，比如直线与直线也具有类似位置关系，这样的两条直线不在同一个平面内，由此可知在叙述平行线的概念时，应注意叙述平行线的概念时应注意“在同一平面内”这一限制条件，即在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线． 16．（21-22七年级下·湖北孝感·期中）在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），B（2，－1），C（－1，1）． (1)求A，B两点之间的距离； (2)若，且CD＝2，求点D的坐标． 【答案】(1)4 (2)（－1，3）或（－1，－1） 【思路引导】（1）根据坐标系中点的特征即可求得求A，B两点之间的距离； （2）根据平行线的传递性可得轴，从而由点C（－1，1），且CD＝2可求得点D的坐标． 【规范解答】（1）解：∵A（2，3），B（2，－1） ∴轴， ∴AB＝｜3－（－1）｜＝4 （2）解：∵轴，， ∴轴． ∵C（－1，1）， ∴设D的坐标为（－1，y） ∵CD＝2， ∴｜y－1｜＝2 ∴y－1＝±2， ∴y＝3或－1 ∴点D的坐标为（－1，3）或（－1，－1） 【考点再现】本题主要考查了平面直角坐标系内点的特征以及平行线的传递性，熟练掌握平面直角坐标系内点的特征是解题的关键． 题型九 同位角相等两直线平行 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知AC平分，BD平分，，，试说明：，． 【答案】见解析 【思路引导】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 由，根据同位角相等，两直线平行可得到；由平分，平分，得到，根据同位角相等，两直线平行可得到，由此可得解． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴，． 又∵， ∴， ∴． 18．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，下列条件：①；②；③；④；⑤．其中能判定直线的有（   ） A．③④ B．①③⑤ C．②④⑤ D．②④ 【答案】C 【思路引导】根据平行线的判定方法逐一进行判断即可． 【规范解答】解：①：既不是同位角，也不是内错角，不能判断，故①错误； ②：同位角相等，两直线平行，能判定直线线，故②正确； ③：邻补角互补，不能判定直线线，故③错误； ④：内错角相等，两直线平行，能判定直线线，故④正确； ⑤：同旁内角互补，两直线平行，能判定直线线，故⑤正确． 综上，②④⑤正确． 故选：C． 【考点再现】本题考查了平行线的判定，解题关键是熟练掌握平行线的判定定理． 题型十 内错角相等两直线平行 19．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）如图，已知，，求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查平行线的判定和平行公理．根据，，可得，，根据平行于同一条直线的两直线平行得到结论即可． 【规范解答】证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 20．（24-25七年级下·山东济南·期中）【知识回顾】 如图1，直线与直线被直线l所截，交点为点E和点F．在“相交线与平行线”一章中，我们学习了“利用内错角与的数量关系可以判定两条直线的位置关系”．现将具有和这样位置关系的角称作一组“内外错角”． 【探究发现】 当“内外错角”满足一定的数量关系时，也能判定两条直线的位置关系． （1）当和满足何种数量关系时能使得？请说明理由． 【深入探究】 如图2，在直线l上取一点P，使点P位于直线的上方，和是一组“内外错角”， 和的角平分线所在的直线，相交于点O，设，． （2）请用含，的代数式表示的大小； （3）如图3，若与交于点Q，请直接写出当，满足何种数量关系时，是直角三角形． 【答案】（1），理由见详解（2）（3） 【思路引导】本题考查了平行线的判定，角平分线的有关计算及角关系探究等；掌握平行线的判定，能熟练利用角平分线的定义进行求解是解题的关键． （1）由补角的性质得，由平行线的判定方法，即可求解； （2）由角平分线的定义得，，由，即可求解； （3）当时，即可求解． 【规范解答】解：（1）； 理由如下：， ， ； （2）平分， 平分， ， ， ， ； （3）当时，为直角三角形， ； ， ， 为直角三角形． 题型十一 同旁内角互补两直线平行 21．（22-23七年级下·陕西安康·期末）如图，在下列给出的条件中：①；②；③；④，可以判定的有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【思路引导】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理对条件进行逐一判断即可． 【规范解答】解：①∵，∴，符合题意； ②∵，∴，符合题意； ③∵，∴，不能判定，不符合题意； ④∵，∴，符合题意； 所以，可以判定的有①②④， 故答案为：①②④． 22．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）在学习了平行线后，小明和小芳分别给出了过直线外一点P画这条直线的平行线的方法． 小明的画法：如图a， ①过点P画一条直线与直线相交于点Q； ②测得； ③以P为顶点，射线为一边，画（点C在直线的右侧）． 直线即为所求． 小芳的画法：如图b， ①过点P画直线，垂足为Q； ②过点P画直线，垂足为P（点C，D分别在直线的两侧，且点C在直线的左侧）． 直线即为所求． 完成下面问题： (1)在小明的画法中，判定的依据是____； (2)用三角尺或量角器，依画法补全图b； (3)完成小芳的证明． 证明：∵， ∴______°（______）． ∵， ∴． ∴． ∴（________）． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行 (2)见解析 (3)90；垂直的定义；同旁内角互补，两直线平行 【思路引导】本题考查作垂线，过直线外一点作直线的平行线，平行线的判定和性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据同位角相等，两直线平行解决问题； （2）过点作即可； （3）利用同旁内角互补，两直线平行证明即可． 【规范解答】（1）解：在小明的画法中，判定的依据是同位角相等，两直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行； （2）解：图形如图所示： （3）证明：， （垂直的定义）． ， ． ． （同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：90，垂直的定义，同旁内角互补，两直线平行． 题型十二 在同一平面内，找垂直于同一直线的两直线平行 23．（23-24七年级上·福建三明·期中）下面的说法：①过一点有且只有一条直线与这条直线平行；②两条相交直线组成的四个角中，若有一个直角，则四个角都相等；③方程的解是；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行，其中正确的个数有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质，一元一次方程的解，平行公理及推论，根据平行线的判定与性质，一元一次方程的解，平行公理及推论，即可解答． 【规范解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故①错误； ②两条相交直线组成的四个角中，若有一个直角，则四角都相等，都是直角，故②正确； ③方程当时的解是，故③错误； ④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行故④错误． ∴正确的是②有1个， 故选：A． 24．一副直角三角板叠放如图①，现将含角的三角板固定不动，把含角的三角板绕顶点A顺时针旋转角（且），使两块三角板至少有一组对应边（所在的直线）垂直． (1)如图②，______时，； (2)请你在下列备用图中各画一种符合要求的图形，计算出旋转角，并用符号表示出垂直的边． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了垂线的定义，平行线的判定，三角板中角度的计算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）可证明此时，则A、C、E三点共线，再由角的和差关系求解即可； （2）分，，，，和这六种情况，画出对应的示意图，讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴A、C、E三点共线， ∵， ∴， ∴时，； （2）解：如图所示，当时， ∵， ∴， ∴三点共线， ∴； 如图所示，当时，， ∴； 如图所示，当时，； 如图所示，当时，则， ∴， ∴； 如图所示，当时，则， ∴； 如图所示，当时， ∵，， ∴， ∴A、C、D三点共线， ∴． 题型十三 根据平行线的性质探究角的关系 25．如图所示，，分别探究下面图形中，，的关系，请你从四个图形中任选一个，说明你所探究的结论的正确性． (1)结论： ； ； ； ． (2)选择结论　　　　（写序号即可）说明理由． 【答案】(1)；；； (2)任选一个序号，理由见解析 【思路引导】本题主要考查平行线的性质，熟练运用平行线的性质进行推理是解题的关键． 过P作的平行线，再根据平行线的性质、角的和差关系即可得出结论． 【规范解答】（1）解：如图，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； 如图，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； 如图，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； 如图，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； （2）解：选择（1）中任意一个结论，证明同上． 26．（23-24七年级下·广西河池·期末）已知直线，直线 分别与 ， 交于 ， 两点，点 是直线 上的一个动点，试探究与 之间的数量关系． (1)如图①，当点在线段上运动（点不与 重合）时，若 ，则_____；猜想：此时数量关系是：_____，请说明理由； (2)如图②，当点在点的上方运动（三点不在同一直线上）时，猜想：此时与 之间数量关系是：_____，请说明理由； (3)如图③，当点在点 的下方运动（三点不在同一直线上）时，猜想：此时与 之间数量关系是：_____． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【思路引导】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，添加平行线是解答的关键． （1）过作，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （2）过作，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （3）过作，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可． 【规范解答】（1）解：，此时数量关系是：， 理由：如图，过作， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：，． （2）解：此时数量关系是：， 理由：如图，过作， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． （3）解：此时数量关系是：， 理由：如图，过作， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 题型十四 根据平行线的性质求角的度数 27．（23-24七年级下·云南楚雄·期中）已知， P为平面内一点（不在、上）， 探索，，之间的数量关系． (1)请补全以下证明过程中括号里的推理依据： 证明：如图1，过点P作， ∴（                             ） ∵， ∴（                              ） ∴ ∴ ∴． (2)如图2，若，，则的度数为 ． (3)如图3，求，，之间的数量关系． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行； (2) (3) 【思路引导】此题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质求解即可； （2）过点P作，首先求出，得到，然后证明出，进而根据平行线的性质求解即可； （3）如图，过点P作，证明出，然后得到，即可得出． 【规范解答】（1）证明：如图1，过点P作， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴， ∴， ∴． 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行； （2）解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：如图，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴． 28．（24-25七年级下·全国·周测）在一次数学活动课上，老师让同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且，直角三角尺ABC中，，． 【操作发现】（1）如图①，当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则____________． 【探索证明】（2）如图②，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）（2）．理由见解析 【思路引导】（1）过点作，先证，从而得，，则，再根据，，可求出的度数； （2）由（1）可知，再由平角的定义得，据此可得与间的数量关系． 【规范解答】解：（1）如图，过点作． ，， ， ，， ． ， ． ， ． 故答案为：． （2）．理由如下： 如图． 由（1）可知． ∵，， ∴， ∴． 【考点再现】本题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 题型十五 平行线的性质在生活中的应用 29．（2025·山东青岛·模拟预测）2023年5月底，由中国商飞公司制造的圆满完成商业首飞，对中国涉足国际航空领域大国政治具有象征意义．如图是机翼设计图，已知，，与水平线的夹角为，则等于 ． 【答案】 【思路引导】本题考查平行线的判定与性质的实际应用，作，，则，根据平行线得到，，最后根据代入计算即可． 【规范解答】解：如图，作，，点在点右边，点在点右边， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵与水平线的夹角为， ∴， ∴， 故答案为：． 30．（24-25八年级上·山东青岛·期末）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点，从点射出一束光线（入射光线），经平面镜点处反射光线刚好与平行，则的度数为 ． 【答案】/72度 【思路引导】本题考查平行线性质的应用，由，可得，，由反射的性质可得，由此可解． 【规范解答】解： ， ， 由题意知，， ， ， ， ， 故答案为：． 题型十六 根据平行线判定与性质求角度 31．（21-22七年级下·云南曲靖·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点，且满足． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若x轴上有一点M，使得三角形的面积是三角形面积的2倍，求点M的坐标； (3)如图2，射线经过点A，点D是x轴负半轴上一动点，过点D在x轴上方作射线，点H在y轴上且在点A上方，与的角平分线相交于点G，的度数是否为定值？若是，求出的度数，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)是定值， 【思路引导】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，平行线的判定与性质，一元一次方程的几何应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性进行列式计算，即可求A、B、C三点的坐标； （2）先设，再结合三角形的面积是三角形面积的2倍，进行列式计算，即可作答． （3）过点O作，得，根据，得，整理得，又因为平分，平分，得，即，过点G作，同理可得，再根据平行线的性质进行分析列式化简，即可作答． 【规范解答】（1）解：∵，且 ∴ ∴ ∴ 解得 ∴； （2）解：∵x轴上有一点M， ∴设， ∵三角形的面积是三角形面积的2倍， ∴， ∴或， ∴或； （3）解：是定值，．理由如下： 过点O作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 即， 过点G作， 同理可得， ∴，， ∴， ∴是定值，． 32．（24-25七年级下·广东·期末）综合探究 (1)【课题学习】平行线的“等角转化”功能． 如图①，已知点A是外一点，连接．求的度数． 解：过点A作，则______，， 又∵．∴ ； (2)【方法运用】如图②所示，已知，交于点E，，求的度数． (3)【拓展探究】如图③所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，求的度数． 【答案】(1)， (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定和性质，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，利用转化思想解答是解题的关键． （1）过点A作，如图①，根据平行线的性质得到，，然后利用平角的定义得到； （2）过点E作，如图②，利用平行线的性质得到，则，，然后把两式相加可得； （3）过E点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，设，，结合平行线的性质得到，利用代入求解即可． 【规范解答】（1）解：过点A作， ∴，， 又∵， ∴； 故答案为：，； （2）解：过点E作，如图，    ∵， ∴， ∴，， ∴ ∴. （3）解：过E点作，如图，    ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 设，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵ ． 题型十七 根据平行线判定与性质证明 33．（23-24七年级下·河北沧州·期中）如图，在中，点E在上，点F在上，点D、G在上，，且． (1)猜想与的位置关系并证明； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键． （1）根据，得到，进而得到，即可证明； （2）利用平行线性质得到，利用角平分线性质得到，再利用平行线性质得到，即可解题． 【规范解答】（1）解：，证明如下： ， ， ， ， ； （2）解： ，， ， ， 平分， ， ， ． 34．（22-23七年级下·重庆永川·期末）如图，平分，平分，，点在射线上，直线，垂足为点．设． (1)请用含x的式子表示的大小； (2)求证； (3)设直线与射线交于点，若，求的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质、垂线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质、角平分线的性质、垂线的定义，是解题的关键． （1）由角平分线的性质可得，由代入进行计算即可得到答案； （2）由角平分线的性质可得，，从而得到，由可得，由（1）可得，从而得到，最后由，即可得证； （3）由平行线的性质及角平分线的性质，进行计算即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵，垂足为点， ∴， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（1）知， ∵， ∴， ∴ ∴； （3）解：由（2）知， ∴， ∵， ∴，                    ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十八 利用平移的性质求解 35．（22-23七年级下·安徽亳州·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点都在网格顶点处．现将平移得到，使点的对应点为点，点的对应点为点． (1)请画出平移后的； (2)若连接，，则这两条线段之间的位置关系是_______，数量关系是_______． 【答案】(1)见解析 (2)平行；相等 【思路引导】本题考查了平移作图和平移的性质，掌握相关知识点是解题的关键． （1）首先根据点和点的位置，得出点到移动的方向和距离，然后点和点作相应的移动得到点与点，顺次连接就可得到； （2）根据平移的性质对应点的连线平行且相等，直接得出，且． 【规范解答】（1）解：由点的对应点为点可知：将点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点；根据点的平移方向和距离，同样平移点和点，得出点与点，顺次连接、、，就可得到． 如图所示： （2）解：根据平移性质可知：，且， 故答案为：平行；相等． 36．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，网格图中小方格都是边长为1个单位长度的小正方形． (1)请画出将三角形向右平移5个单位长度后的图形．连接各对对应点，并指出相等的线段． (2)请指出图中（包括新画出的）所有互相平行的线段． (3)请指出三角形和其平移后的图形中相等的角． 【答案】(1)画图见解析，和，和，和，、和 (2)和，和，和，、和 (3)和，和，和 【思路引导】本题考查了平移作图，平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，解题的关键是： （1）先找出A、B、C向右平移5个单位长度后的对应点D、E、F，如何顺次连接即可，再根据平移的性质求解即可； （2）根据平移的性质求解即可； （3）根据平移的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求， 相等的线段有：和，和，和，、和； （2）解：互相平行的线段：和，和，和，、和； （3）解：三角形和其平移后的图形中相等的角有：和，和，和． 题型十九 利用平移解决实际问题 37．（24-25七年级下·浙江温州·月考）如图，在方格纸中，的三个顶点和点M都在小方格的顶点上．按要求作图： (1)过点M作直线的平行线； (2)将平移至，使点M落在平移后的三角形内部（不含边界）． (3)请描述（2）中，到的平移过程． 【答案】(1) (2) (3)先向右平移5个单位，再向下平移1个单位 【思路引导】本题考查了平行线的作图、图形的平移作图及平移过程的描述，涉及网格中几何图形的操作．解题的关键是利用网格特点确定直线方向和平移距离，结合图形位置关系完成作图和描述． （1）根据网格中直线的倾斜趋势，过点 M 作与 方向一致的直线即为平行线； （2）通过网格确定平移方向和距离，使平移后的包含点M在内部； （3）根据原三角形与平移后三角形的位置变化，描述平移的方向和格数． 【规范解答】（1）解：所作平行线l如图所示． （2）解：平移得到的如图所示． （3）解： 先向右平移 5 个单位,再向下平移一个单位，得到． 38．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）（1）如图1，在的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段向右平移，得到线段，连接．线段平移的距离是______； （2）动手操作：如图2，三角形的三个顶点都在正方形网格的格点上（网格中每个小正方形的边长都为1个单位长度），将三角形平移，使点A平移到图中的位置，点的对应点是，点的对应点是．①画出平移后的三角形； ②线段在平移的过程中扫过的面积是______． （3）拓展延伸：如图3，在一块长为米，宽为米的长方形草坪上，修建一条宽为米的小路（小路宽度处处相同），直接写出剩下的草坪面积是______平方米． 【答案】（1）3；（2）①见详解；②9；（3） 【思路引导】本题考查平移性质的应用、列代数式，熟知网格特点，掌握平移性质是解答的关键． （1）根据平移性质和网格特点求解即可； （2）①根据平移性质和网格特点可画出图形； ②根据网格特点，三角形的面积公式和长方形的面积公式求解即可； （3）根据平移性质，可将小路两边的草坪平移，拼凑成一个长米，宽为米的长方形，再利用长方形的面积公式求解即可． 【规范解答】解：（1）根据平移性质，线段平移的距离是； 故答案为：3 ； （2）①如图所示，即为所求作； ②线段在平移过程中扫过的面积． 故答案为：9； （3）解：由题意得，将小径右侧平移与左侧拼接成一个长方形， 长方形的长米，宽为米， 则剩下的草坪面积是：， 故答案为：平方米． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $