吉林省2025-2026学年九年级下学期数学复习题（华东师大版）

**基本信息** 这份九年级数学月考卷以原创情境与分层设计为特色，“水门礼”抛物线问题（21题）融合函数建模与实际应用，中位线探究题（22题）实现从性质到动态范围的思维进阶，全面覆盖二次函数、圆、相似等核心知识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|二次根式意义、抛物线平移、平行线分线段成比例等|基础概念辨析，如第3题结合图形考查平行线分线段成比例| |填空题|6/18|三角函数计算、位似面积比、《九章算术》井深问题等|文化传承与知识应用，第12题古算题转化为相似三角形求解| |解答题|10/78|概率树状图、增长率方程、圆的切线判定、二次函数综合等|原创情境与分层探究，21题“水门礼”抛物线分析最值，22题中位线从性质到动态范围拓展|

2025—2026学年度下学期九年级阶段性大练习 数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．若二次根式有意义，则实数的取值范围是 A.≤． B.． C.． D.≥． 2．把抛物线向上平移3个单位，得到的抛物线是 A.． B.． C.． D.． 3.如图，AD∥BE∥CF，直线a、b与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F.若AB=4，BC=6，DE=3，则EF的长为 A.4.5 B. 4 C. 5 D. 6 （第5题） A B C D O . （第3题） （第6题） 4．用配方法解一元二次方程，变形正确的是 A.． B.． C.． D.． 5．如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB⊥CD.若∠CDB=68°，则∠ACD的大小为 A.26°. B.22°. C.36°. D.64°. 6.学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳 AB到地面，如图所示，已知彩旗绳与地面形成25°角（即∠BAC25°），彩旗固定在地面的位置与图书馆相距32米（即AC32米），则彩旗绳AB的长度为 A．32 sin25°米 B．32 cos25°米 C．米 D．米 7.，在△ABC中，点D在边AB 上，且，过点D作DE∥BC交AC于点E，连结BE．若△ADE和△BCE的面积分别为和，则的值为 A.． B.． C.． D.． 8．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为(0，3)、(4，3)，点C是线段AB的中点，将线段AC绕点C顺时针旋转90°得到CD，过A、B、D三点作抛物线．当x≤1时，抛物线上最高点的纵坐标是 A.5． B.． C.4． D.． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9.计算：cos30°+tan60°= ． 10. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是________． 11．如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：A A′= 1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为 ． （第11题） （第12题） （第13题） （第14题） 12．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有井径五尺，不知其深，立三尺木于井上，从木末望水岸，入径五寸．问井深几何？”意思是：如图，井径AB=5尺，立木高BD=3尺，BE=5寸=0.5尺，则井深AC为________尺． 13．如图，在平面直角坐标系中，若直线y＝m x＋n与抛物线y＝a x2＋bx＋c分别交于A(1，p)、B(2，q)， 则关于x的不等式m x＋nax2＋bx＋c的解集是 ． 14如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝50°，则∠BEC＝100°；③若点G为BC的中点，则∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正确的是__________. 三、解答题（本大题共10 小题，共78分） 15．（6分）计算：． 16．（6分）在课堂上，老师将除颜色外其余均相同的1个黑球和2个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让全班同学参与摸球试验，小明从口袋中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，再随机摸出一个小球．请用画树状图（或列表）的方法，求小明两次摸出的小球颜色不同的概率． 17.（6分）某市从2023年开始大力发展旅游产业．据统计，该市2023年旅游收入约为2亿元，预计2025年旅游收入达到2.88亿元．求该市这2023年到2025年旅游收入的平均年增长率. 18．（7分）如图，A、B两地之间有一座山，以前从A地到B地需要经过C地，现在政府出资在A、B之间打通了一条山岭隧道，使从A地到B地可沿直线AB直接到达．已知BC=8 千米，∠A=45°，∠B=55°．求现在从A地到B地需要走的路程AB．（结果精确到0.1千米） 【参考数据：，，】 19.(7分)图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点， 的顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹. (1)在图①中,在边AB 上画出点D,连结CD,使 的面积是 的面积的 (2)在图②中,在边 AC 上画出点E,连结 BE,使 的面积是 的面积的 (3)在图③中,在 内部画出一个点 F，连结 BF，CF，使 的面积是△ABC 的面积的 图① 图② 图③ 20. （7分）如图，在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，延长CA到O，使AO=AC，以O 为圆心，OA长为半径作⊙O交BA延长线于点D，连结OD、CD． （1）判断CD所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由. （2）若AB=4，则CD的长为_________. （原创）21．（8分） “水门礼”寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车在飞机两侧面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇（此时两条水柱在同一抛物线上），若相遇点H距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米．建立如图所示的平面直角坐标系。 （1）求两条水柱所在的抛物线的表达式。 （2）“水门礼”要求飞机翅膀外端最高处与水柱竖直高度至少有0.5米的距离，一架飞机宽50米，翅膀最外端最高处离地面13米，这架飞机是否适合此次“水门礼”预演？ （3）若两辆防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A′、B′到地面的距离均保持不变，如图③。此时两条水柱相遇点H' 距地面多少米？ 图① x y o y x O 图② 图③ （原创）22.（9分）三角形的中位线是非常重要的数学概念，其性质及应用蕴含着丰富的数学思想方法，可以解决诸多数学问题。 （1）如图①，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，连接DE，则线段DE与BC的位置关系和数量关系为______________,_______________. （2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=6，E、F分别是对角线AC、BD的中点，求EF的长。 （3）如图③，在△ABC中，∠ACB=90 º,AC=8，BC=6，点D是平面内的一个动点，AD=4，M为BD中点，则线段CM的长的取值范围是________________. A B C D M 图① 图② 图③ 23、如图, 在中，，∠B=45º，点 P 为边 AC 上一点, 且点 P 不与点 A 重合, 过点 P 作 于点Q，以PQ为边向右侧作正方形PQMN. （1）AB=__________ （2）当点N落在BC上时，求线段 AP 的长. （3）连接AN，则tan∠NAB=________。连结 BN,求线段 BN 的最小值. （4）连结 PM、QC, 设线段PM 与线段QC 交点为O, 当O把线段QC分成1:3两部分时, 直接写出此时的线段 AP 的长. 24.(12分)抛物线 经过点A(3,0)，对称轴为直线x=1, P、Q是抛物线上的两个动点，其横坐标分别是m和m+2。 （1）求抛物线的解析式； （2）当抛物线上P、Q两点之间(包括P、Q两点)的图象最低点的纵坐标为-4时，求m的取值范围； （3）以点P为对称中心，作正方形CDMN,使 轴，且点C的横坐标为 。 ①当P在抛物线对称轴右侧，正方形CDMN的边落在x轴上时，求m的值。 ②当抛物线在正方形CDMN内部的部分(不包括边界)对应的函数值y随x的增大而减小或y随x 的增大而增大时，直接写出m 的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 一、选择 1.D 2.C 3.A 4.D 5.B 6.D 7.C 8.B 二、填空 9. 10. m≤4 11. 1:9 12. 27 13. -1﹤x﹤2 14①③④ 三、解答 15．原式= （4分） =． （6分） 16． 黑 白 白 黑 （黑，黑） （白，黑） （白，黑） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 白 白 黑 第一次 第二次 黑 白 白 黑 白 白 黑 白 白 或 （4分） ∴ P（小明两次摸出的小球颜色不同）=. （6分） 17. 设该市这两年旅游收入的平均年增长率为x． 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）. 答：该市这两年旅游收入的平均年增长率为20%． 18．过点C作CH⊥AB于点H． （1分） 在Rt△BHC中，∠BHC=90°， ， ∴． （3分） ∴． （5分） 在Rt△AHC中，∠AHC=90°，∠A=45°， ∴∠ACH=∠A=45°． ∴AH=CH=6.56． （6分） ∴千米． （7分） 答：现在从A地到B地需要走的路程AB约为11.1千米． 19. 20（1）CD所在直线与⊙O相切． （1分） 理由：∵△OAD是等边三角形， ∴ AO=AD，∠ODA=60°． ∵AO=AC， ∴ AC=AD． ∴∠ACD=∠ADC=． ∴∠ODC=∠ODA+∠ADC=60°+30°=90°． ∵OD为⊙O的半径， ∴CD所在直线与⊙O相切． （5分） （2） （2分） 21.（1） （3分） （3）当x=25时，y=13.75 ∵ 13+0.5=13.5＜13.75 ∴ 这架飞机适合此次“水门礼” （5分） （3） （8分） 22.（1）DE//BC,DE=BC （2） （2）2 （过程略） （7） （3）3≤CM≤7 （9分） 23.（1）7 （2）（过程略） （3）tan∠NAB= 如图4，∵∠NAB为定值 ∴点N在线段AE上， 当 时，线段BN取得最小值， 即线段BN的最小值为 （4）设正方形PQMN的边长为3x,即PQ=QM=3x，则AQ=4x，AP=5x 当 时, 如图5, O 即 ∴ ∴4x+12x=7 x= ∴AP=5x= 当 时, 如图6, 即 ∴ 4x+=7 综上，线段AP的长为 或 24.（1） ∴顶点坐标为 对称轴为直线 ∵当图象G的最低点的纵坐标为- 时， (3) ①， ②m＜，＜m≤，m≥ 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度等级 出题意图 易错点 1 选择题 3 二次根式有意义的条件（被开方数≥0） ★ 极易 基础考查二次根式概念，确定自变量取值范围 准确率高，极少出错 2 选择题 3 二次函数图象平移规律（上加下减） ★ 极易 考查抛物线平移规则，巩固函数图象变换 准确率高，极少出错 3 选择题 3 平行线分线段成比例定理 ★ 基础 考查平行线分线段成比例，比例式列写与计算 比例式列反，对应线段找错 4 选择题 3 配方法解一元二次方程 ★ 基础 掌握配方步骤，理解配方本质是完全平方变形 常数项移项漏变号、配方时两边未同加一次项系数一半的平方 5 选择题 3 圆周角定理、垂径定理综合（弦垂直、圆周角互余） ★ 基础 考查同弧所对圆周角相等、直角互余关系 角的对应关系混淆、圆周角定理应用错误 6 选择题 3 解直角三角形（余弦定义、邻边 / 斜边） ★ 基础 考查直角三角形边角关系，三角函数实际应用 正弦、余弦混淆，斜边、邻边判断错误 7 选择题 3 相似三角形判定与性质（面积比 = 相似比平方） ★★ 中档 平行线判定相似、面积比与相似比关系，综合应用 相似比算错、面积比忘平方、线段比例对应错 8 选择题 3 二次函数图象与几何变换、顶点坐标、区间最值 ★★★ 较难 结合旋转求点坐标、求抛物线解析式、区间最高点判断 旋转坐标算错、抛物线解析式求错、区间最值判断遗漏端点 9 填空题 3 特殊角三角函数值（cos30°、tan60°） ★ 基础 熟记特殊角三角函数值，基础运算 三角函数值记错、通分计算错误 10 填空题 3 一元二次方程根的判别式（有实数根） ★★ 中档 利用判别式 Δ≥0 求参数范围，分类讨论二次项系数 忽略二次项系数为 0 的情况、判别式符号判断错误 11 填空题 3 位似图形性质（面积比 = 位似比平方） ★★ 中档 理解位似中心、位似比，掌握面积比与位似比关系 位似比求反、面积比忘平方、线段比例理解错 12 填空题 3 相似三角形实际应用（井深问题、《九章算术》背景） ★★ 中档 建模相似三角形，列比例式求解实际长度 单位换算错误、相似三角形对应边找错、比例式列错 13 填空题 3 二次函数与一次函数图象交点、不等式解集 ★★ 中档 结合图象判断函数值大小，确定不等式解集 解集端点遗漏、不等号方向写反、图象位置判断错 14 填空题 3 三角形内心、外接圆性质、角度计算、等腰三角形判定 ★★★ 较难 综合内心定义、圆周角、中点性质、等弧对等弦，多结论判断 漏选结论、内心性质理解不透、角度推导错误、忽略等腰条件 15 解答题 6 二次根式、零指数、负指数、绝对值混合运算 ★ 基础 夯实实数混合运算，规范运算顺序与符号 负指数、零指数意义混淆、绝对值化简错误、运算顺序混乱 16 解答题 6 概率（放回摸球、树状图 / 列表法） ★ 基础 考查古典概型，会画树状图 / 列表、计算概率 树状图画错、基本事件数算错、符合条件事件数漏算 17 解答题 6 一元二次方程增长率问题（平均年增长率） ★★ 中档 建立增长率模型，列一元二次方程求解 增长率公式记错、单位不一致、方程列错、解未检验 18 解答题 7 解直角三角形（两角、一边，正弦定理 / 高分割） ★★ 中档 非直角三角形解算，作高转化为直角三角形、近似计算 辅助线未作、三角函数选择错误、近似值精度控制不当 19 解答题 7 网格作图（无刻度直尺、面积比例） ★★ 中档 利用格点面积、平行线、中点等分面积，考查几何直观 面积比例转化错误、无刻度直尺作图逻辑不清、找点偏差 20 解答题 7 切线判定、圆性质、直角三角形边角关系 ★★ 中档 证明切线（连半径证垂直）、求线段长，综合圆与三角形 切线判定方法混淆、角度推导错误、边长计算失误 21 解答题 8 二次函数实际应用（抛物线建模、顶点式、区间最值） ★★ 中档 建立坐标系、求抛物线解析式、实际高度判断、平移后顶点高度 顶点式参数代入错误、坐标系理解偏差、平移后解析式求错 22 解答题 9 三角形中位线、四边形中点连线、动点最值（中位线 + 圆） ★★ 中档 中位线性质应用、中点连线转化、轨迹圆求线段范围 中位线性质理解不透、动点轨迹判断错误、最值边界漏写 23 解答题 10 解直角三角形、正方形动点、三角函数、线段最值、比例分点 ★★★ 较难 综合三角函数、正方形性质、动点位置、最值、比例交点，多问递进 三角函数值算错、正方形边长关系混乱、动点位置讨论不全、比例分点漏情况 24 解答题 12 二次函数解析式、对称轴、区间最值、正方形与抛物线综合 ★★★★ 难题 二次函数基础 + 区间最值 + 几何正方形综合，压轴拔高 解析式求错、区间分类讨论不全、正方形坐标转化错误、边界条件遗漏 题型分布及分值：选择题 8 道，共 24 分；填空题 6 道共 18 分；解答题 10 道共 78 分；全卷总分 120. 全卷难度梯度：选择 1-4、填空 9、解答 15、16 基础易题，夯实课内核心； 选择 5-7、填空 10-13、解答 17-21 中档高频考点； 选择 8、填空 14、解答 22、23 重难点综合，区分中等学生； 解答 24 压轴函数 + 几何大题，拔高区分高分段学生。 $