吉林长春市榆树市部分学校2025-2026学年度第二学期5月学情自测九年级数学试题

**基本信息** 聚焦数学眼光、思维与语言的培养，通过生活情境与分层问题设计，适配初中月考对抽象能力、运算推理及模型意识的综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|4题36分|函数应用、几何证明、数据分析|以社区垃圾分类数据为背景设计统计题，考查数据意识；结合折叠问题的几何综合题，体现推理能力与空间观念|

,如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则 从开始到注清容器的过程中，容器内水面升高的速度 2025-2026学年度第二学期5月份月考 A越来越慢B越来越快 C.保持不变D.快慢交替变化 九年级数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1.计算一2+3的结果是 A.5 B.-5 C.1 D.-1 (第8题) (第6超 2。下列运算正确的是 的分罪得量为名表） 7.如图，在R△ABC中，∠C=90,∠B=40,以点A为圆心，适当 A.2+3=5麻酒册育月B2×店二酒为一家1 长为半径画弧，交AB于点E,交AC于点F:再分别以点E,F为圆 光于使维置 C.2÷2=1 D./-5)=-5 心，大于，EF的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在∠BAC 3.为倡导绿色出行，我市在地铁口设置了共享单车服务.图①是某款共享 的内部相交于点P,射线AP,与BC相交于点D,则∠ADC的大 () 单车的实物图，图②是其结构示意图。支架AB和CD与地面平行， 小为 A.60 B.65 C.70 D.75 ∠BCD=70',∠BAC=50.当AM平行于支撑杆BE时，∠MAC的 ( 度数为 8.如图，点A,C在反比例函数y-的图象上，点B,D在反比例函数 A.15 B.60 C70 D.115 y=的图象上，AB/CD/小箱，若AB=3,CD=2,AB与CD的距 离为5，则。-b的值为 A一2B1 C.5 D.6 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分】 ，.写出一个使分式二号的值大于1的x值。 4。下列不等式中，与一工>1组成的不等式组无解的是 10。在中国古代文化中，玉壁窝意字宙的广阔与秩序，也经常 A.x>2 B.x<0 Cx<一2D.x>3 勾股定理是人类数学文化的一颗瑰明珠，是用代数思想解决儿何问题 被视为君子修身齐家的象征，如图是某玉壁的平面示意 《第10题) 5. 最重要的工具，也是数形结合的组带之一、如图，当秋千静止时，路板 图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的 B处离地的垂直高度BE一0,8m,将它往前推3m至C处时（即水平距 半径是2，则图中阴影部分的面积是， 离CD=3m),结板离地的垂直高度CF-2,6m,它的绳索始终拉直， 1L,在日常生活中，我们通常采用如图的方法（斜钉上一块木 条)来修理一张摇晃的椅子，请用数学知识说明这样做的 则绳索AC的长是 C.3.6m D.3.8m B3.4m 依据是。 (第11题 A.3.2m 数学（十大）第1项（共8页） 数学（十大）第2页（共8页） 12.醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四 17.(6分)某文物考古研究院用1：1复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验. 种化合物的分子结构模型图，其中●代表碳原子，®代表氧原子，⊙代 用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（出 表氢原子，第1种（如图①）有4个氢原子，第2种（如图②）有6个氢原 子，第3种（如图③）有8个氢原子，第4种（如图④）有10个氢原子， 出酒量 酒率 稻醅量 ×100%)如表： …按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是 类别 原材料 出酒率 粮食酒粮食槽酷（含大米，糯米、谷壳、大曲和蒸馏水） 30% ●原子 芋头酒 芋头槽倍（含芋头，小曲和蒸馏水） 20% 。氧原子 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16kg:第二次实验分别 0氢原子 图④ 蒸馏出粮食酒和芋头酒共36kg,且所用的粮食槽醅量是第一次的2倍， (第12题) 芋头槽醅量是第一次的3倍， 13.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO平移，得到△EPG,点E,F在坐 (1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅： 标轴上.若∠A=901nB=2,A(-4,3),则点G坐标为 (2)受限于当时的生产条件，古代青铜蒸馏器的出酒量约为现代复原品 的80%，若食食情酯中大米占比约为请问，在古代要想蒸馏出 这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少千克大米？ (第13题) (第14题) 世度如 14.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO∥BC,连接CO并延长交⊙0于 点D,分别以点A,C为圆心：以大于豆AC的长为半径作弧，并使两 弧交于圆外一点M.直线OM交BC于点E,连接AE,有下列结论： ①AB=AD:②AB=OE:③∠AOD=∠BAC:④四边形AOCE为菱 18.(7分)图①，图②，图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点 形.其中一定正确的结论是 (填序号) 共置大本围换期，三 称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②，图③给定的网格中 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 按要求画图，（要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法） 15.（6分先化简，再求值：5aG6-a6)-(aa,北中a=多6号 (1)在图①中，画出一条格点线段MN,使MN∥AB: (2)在图②中，画出格点线段GH,使GH LAB且GH=AB: (3)在图③中，作出线段AB的三等分点. 16.(6分)中国古代的“四书”是指《论语《孟子《大学》《中庸》，它是儒家思 想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分.若从这四部著作中 随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），用画 树状图的方法求抽取的两本恰好是（论语》和（大学）的概率， 直华别他 (第18题 数学（十六）第3项（共8页） 数学（十六）第4页（共8页） 19:(7分)6月6日是“全国爱眼日”：小明在报纸上看到某市疾控中心发布 21.(8分)新一轮科技革命和产业变苹深入发展，科技创新是建成科技强国 的中学生近视情况统计数据，如图①所示。面m1山拿 ~的重要保障，学校兴趣小组成员收集了我国2018一2024年发明专利申 某市2024年中学生近视率折线统计图影响视力的主要因素条形统计留 请授权数，整理数据如下表。（单位：万个，精确到0.1） 近视韦 人数 100% = （万个 100 B 80% 60 60% 40 40% 395 68902加222应立4年 20% 向 x(年份)2018201920202021202220232024 七 八九高一高二高三年级 B DE法 y/万个 43.245.353.069.679.892.1104.5 图① 图② (1)图①中的数据是从全市30所中学随机抽取的部分学生视力筛查的 )计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率：（精确 结果 ①疾控中心收集数据，采用的调查方式是：（填“普查”或 (2)小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点 (如图)，从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们 测“抽样调查”) 选择了两个点A(2019,45,3、B(2024,104.5)作一条直线来近似 ”②根据统计图，请你分析近视率随年级升高的变化趋势， 表示y的值随年份x不断增长的变化趋势.设直线AB上点的坐标 (2)小明想了解“影响视力的主要因素”，对全校近视的985名学生进行 满足函数表达式y=k江十b,试求出k的值，并写出k的实际意义， 问卷调查.问卷中设置了五个主要因素：A.不认真做眼保健操： 再预测我国2025年发明专利申请授权数。 B.长时间连续用眼：C,课同只在教室休息；D.饮食不均衡；E 睡眠时间不足。他绘制了如图②所示的条形统计图. ①从图②中可知，影响视力的最主要因素是 :(填选项代 号) 22.(9分)1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不 ②结合上述统计数据，请你谈一谈如何预防近视。围 在同一条直线上的三个点A,B,C,求平面上到这三个点的距离之和 x式器《 最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证 明，该点被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡 20.(7分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,BC=2AD,点E是BC 营”问题。 的中点，且AC平分∠DAE, (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程.（其 (1)求证：四边形ADCE是菱形， 中I处从“直角”和“等边中选择填空，Ⅱ处从“两点之间线段最短” (2)已知AB=3,AE=2,则线段AC的长为 日，和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，Ⅲ处填写角度数，W 收处填写该三角形的某个顶点)里蜜世量 ,建当△ABC的三个内角均小于120时，如图①，将△APC绕点C顺 时针旋转60得到△AP'C,连接PP,由PC=P'C,∠PCP'= 60,可知△PCP'为Ia三角形，故PP'=PC,又P'A'= (第20题) PA,故PA+PB+PC=P'A'+PB+PP≥A'B; 由1可知，当B,P,P,A'在同一条直线上时，PA PB十PC取最小值，如图②，最小值为AB,此时的P点为该三 角形的“费马点”，且有∠APC=∠BPC=∠APB=Ⅲ： 数学（十六）第5页（共8页） 数学（十六）第6页（共8页） 当△ABC有一个内角大于或等于120时，“费马点”为该三角形的 于直线AB对称，连接HB,是否存在某一时刻t,使PO∥BH? 某个顶点，如图③，若∠B4C≥120°，则该三角形的“费马点”为 若存在，求出：的值：若不存在，请说明理由， W点. (2)如图④，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3,BC=4, ∠ACB=30,已知点P为△ABC的“费马点”，求PA十PB+PC 的值。 (3)如图⑤，设村庄A,B,C的连线构成一个三角形，且已知AC 图2 4km,BC=2,3km,∠ACB=60°.现欲建一中转站P沿直线向 (第23题 A,B,C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A,B,C 的铺设成本分别为a元/km,a元/km,√2a元/km,选取合适的 P的位置，可以使总的铺设成本最低为 元，（结果用含a 的式子表示) 24.(12分)我们约定：当x1,y1,x,y2满足(x,+y)+(x2十y1)?= 0,且1十y1≠0时，称点(x1,y1)与点(x·y)为一对“对偶点”.若 某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”.请 你根据该约定，解答下列问题. 图@ (1)判断下列说法是否正确。（在题后相应的括号中，正确的打“√”， 错误的打“×”)口 ①函数)传是非零常数)的图象上存在无数对对偶点，（ ②函数y=一2x十1一定不是“对偶函数“： ③函数y=x2+x一1的图象上至少存在两对“对偶点”，() (第22题) (2)若关于x的一次函数y=k1x十b1与y=k:x+b,(b1,b2都是常数， 且b:·b,<0)均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标 轴围成的平面图形的面积之和。 23.(I0分)如图①，在R△ABC中，∠ACB=90,AC=8cm,BC=6cm, (3)若关于x的二次函数y=2x2-1是“对偶函数”，写出一个符合条 件的a值。 R△EDF中，∠EDF=90,DE=DF=6m,边BC与FD重合，且顶 点E与AC边上的定点N重合，如图②，△EDF从图①所示位置出发， 沿射线NC方向匀速运动，速度为1cm/s:同时，动点O从点A出发， 沿AB方向匀速运动，速度为2cms.EF与BC交于点P,连接OP, 0B.设运动时间为o,0号 (1)当：为何值时，点A在线段OE的垂直平分线上？ (2)设四边形PCE0的面积为S,求S与1的函数关系式. (3)如图③，过点O作DQLAB,交AC于点Q,△AOH与△AOQ关 数学（十六）第7页（共8页） 数学（十六）第8页（共8页） 数学 参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1.C2.B3.B4.A5.B6.B7.B8.D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9.4(答案不唯一)10.4x11.三角形具有稳定性 12.20 13.(10,-3)14.①②④ 三、解答题（本大题共10小题，共78分】 15.原式=15a2b-5ab2-ab2-3a2b =12a2b-6ab2 (3分) 1 当a=26=时， 原式=12××一-6x×-1号号3 (6分) ②根据统计图可以看到，从七年级到高二年级，近视率随年级升高呈整体上升 趋势，高二年级到高三年级有所下降。 (3分) 16. 记《论语《孟子《大学（中庸）分别为A,B,C,D,画树状图如下： (2)①B A年(5分) 开始 ②观察条形统计图可以看到，影响视力的主要因素有：不认真做眼保健操，长 时间连续用眼，课间只在教室休息，饮食不均衡，睡眠时间不足，所以预防 近视应从以下方面入手：认真做眼保健操，避免长时间连续用眼，用眼一段 (4分) 时间后要适当休息，课间到室外活动或者作适当远跳，保持饮食均衡，保证 一共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《论语》（即A)和《大学）（即C) 充足的睡眠时间， 人(7分) 的可能结果有2种可能， 20.(1):AD∥BC,点E是BC的中点， 六P(抽取的两本恰好是（论语）和（大学的可能结果）=名 1261 开(6分》 六AD/CE,∠DAC=∠ECA,CE=BE-2BC,a4aS 17.()设第一次实验用了xkg粮食槽酪，ykg芋头槽醅， .BC=2AD 根据题意，得30%+20%y=16, 130%×2x+20%×3y=36, 解得下=40， AD=7BC. 中用hA y=20 ■答：第一次实验用了40kg粮食槽酪，20kg芋头槽酯。 (4分) .AD=CE, (2)设需要准备mkg大米， ,.四边形ADCE是平行四边形， :AC平分∠DAE, 根据题意，得(m÷)×30%×80%-(40+40×2)X30%。 .∠DAC=∠EAC, 解得m=37.5. ∠EAC=∠ECA, 答：需要准备37.5kg大米 (6分) ∴，AE=CE 18.(1D .四边形ADCE是菱形 (5分) (2)7 (7分) 21.(1)(69.6-53)÷53X100%≈31%， 即2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率约为31%： (2分) (2分) 2题意，得2019士=5,3：解得使84， 图① MN即为所求（答案不唯一）： 2024k+b=104.5, b=-23859.66. (2) y=11,84zx-23859.66: (6分) 女十)净数牵清 其中k的实际意义为2018~2024年我国发明专利申请授权数年均增长约 保右，年特，裤州生导大含归科每 11.84万个 当x=2025时，y=11.84×2025-23859.66=116.34=116.3, GH即为所求（答案不唯一）： (4分) “预测我国2025年发明专利申请授权数116.3万个. (8分) 22.(1)等边两点之间线段最短120°4 (3) PC=P'C,∠PCP'=60,.△PCP'为等边三角形， 行等营小性能时销，三 ,PP'=PC,∠P'PC=∠PPC=60°， 又，PA'=PA, ∴PA+PB+PC=P'A'+PB+PP≥A'B, 点K,T即为所求 (7分) 根据两点之间线段最短可知，当B,P,P',A'在同一条直线上时， 19,(1)D抽样调查 (1分) PA十PB十PC取最小值，最小值为A'B, 此时的点P为该三角形的“费马点”， 即PA十PB+,2PC取最小值为A'B, ∠BPC+∠P'PC=18o'.∠A'P'C+∠PP'C=180, 中 过点A'作A'H⊥BC于H, .∠BPC=120,∠A'P'C=120°， ,一不 :∠ACB=60,∠ACA'=90, :将△APC绕点C顺时针旋转60得到△AP'C, ∠A'CH=30°， △APC≌△A'P'C, ∴∠APC=∠A'P'C=120, ∴AH-A'C=2km. ∴∠APB=360-120°-120°-120， ∴HC=√ACAH=√一2=23(km),hLN ·∠APC=∠BPC=∠APB=120 ∴.BH=BC+CH-2V3+23=4,3(km), 若∠BAC>120',则BC>AC,BC>AB, ∴A'B-√AH+BH=√(43)+2=2√13(km), :.BC+AB>AC+AB,BC+AC>AB+AC, 三个顶点中顶点A到另外两个顶点的距离和最小， 即PA+PB+√2PC的最小值为2√13(km), 总馏设成本最低为a(PA+PB+√2PC)=2VI3a(元) (9分) 又已知当△ABC有一个内角大于或等于120时，“费马点”为该三角形的某 个顶点， 23.)当点A在线段OE的垂直平分线上时，有AE=AO. “该三角形的“费马点”为点A (4分) 根据题意可得AN=AC-DE=2cm,EN=tcm,AO=21cm, (2)如图，将△APC绕点C顺时针旋转60得到△A ∴.AE=AN+EN-(2+)cm, A P'C,连接PP', “点A在线段OE的垂直平分线上， 由(1)可知当B,P,P',A'在同一条直线上时。 ∴AE=A0,即2+t=2, PA+PB+PC取最小值，最小值为A'B, 解得=<长符合题意。 :∠ACP=∠A'CP', ,当t为2s时，点A在线段OE的垂直平分线上， (3分) ∴∠ACP+∠BCP=∠A'CP'+∠BCP= (2)如图，过点O作OG⊥AC于点G,OH⊥BC于点H, ∠ACB=30, 又∠PCP=60, 食连接CO,则∠OGA=∠BH0=90, 在Rt△ABC中，∠ACB=90, ∠BCA'=90', 根据旋转的性质可知AC=A'C=3, 根据勾股定理得AB=√AC+BC=l0cm, ∴∠OGA=∠BHO=∠ACB=90', ∴A'B=√+3=5， 即PA十PB十PC的最小值为5 (7分) OB=(10-2)cm, :OG//BC.OH//AC. 3)213a :总铺设成本=PA×a+PBXa+PCX2a=a(PA+PB+V2PC), OGAO OH OB 瓷品肥09-器10。” 10 ∴当PA十PB十√2PC最小时，总铺设成本最低， 如图，将△APC绕点C顺时针旋转90得到△AP'C,连接PP',A'B, 解得0G-g,0H=40。 5 由旋转性质可知P'C=PC,∠PCP' 由平可鬼PcD,且DE=DF,器品CP-cCE=6- ZACA'=90',P'A'=PA.A'C=AC-4km .PP=PC. S-Sam+SPC:OHCEG-CP(OH+G) PA+PB+PC=P'A'+PB+PP', -76-v98+号)-9+24 (6分) 当点B,P,P,A'在同一条直线上时， (3)如图，过点P作PM⊥OB于点M,∠BMP=∠ACB=90, PA'+PB+PP取最小值， :∠MBP=∠ABC, ∴.△BMPO△BCA, 胱光器w-。 六其面积之和5=之+ 个业年我E (10分) 0g-0455 6810' 1(答案不唯，满是a>即可)）1-112分) BM=号，PM=3 3 0M=AB-BM-A0=10-号-24=10-是. :OQLAB,△AOH与△AOQ关于直线AB对称， tan∠OAQ= 0H=0Q-. 某湖常到红每真”拼知于喻内一开加△差时5男 tan∠MOP PM OM 0<08-8 OB 10-2t 出的和口过 :PO//BH. 大达模册光前准得得5数特3A△#到世 91超里09 m来一有边年，时)由 .∠MOP=∠OBH,. 10-0- 用组量速开十 邻得一碧号政符合思意 当：为得时，P0/BH。 后(10分) 24.(1)①J②/③× (6分) (2)由题意可得x:=一y1,y=-x1,则点(x,y1)与点（一，-x,)在x1手 y1时是一对“对偶点”，：3y=1工十b是“对偶函数”， 区衣面4中时年对 两式相减可得 六其图象上必存在一对”对偶点”、有仁二十两 k,=1, 同理可得k,=1, 两个一次函数为y=x十b,·y=x十： b1,b:都是常数，且b:·b:<0, ,两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分 别位于第二、四象限的两个等腰直角三角形，如图 y=1+0 /y=+