精品解析： 吉林省长春市博硕学校2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年吉林省长春市博硕学校九年级（下） 第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正负数的大小比较，熟练掌握正负数大小比较的方法解题的关键． 由五日气温为得到，，，则气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降． 【详解】解：由五日气温为得到，， ∴气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降． 故选：A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解答的关键．利用合并同类项法则、幂的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则、积的乘方运算法则进行运算，并逐项判断即可． 【详解】解：A、，选项计算错误，不符合题意； B、，选项计算错误，不符合题意； C、，选项计算错误，不符合题意； D、，选项计算正确，符合题意； 故选：D． 3. 已知，互为相反数，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，互为相反数，，可得，，，再利用有理数的乘法法则和减法法则逐项判断即可． 【详解】解：，互为相反数， ， ， ，，， 故A选项错误； ，， ， 故B选项错误； ， 故C选项正确； ，， ， 故D选项错误． 4. 如图，是的直径，弦交于点，连接，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角等于90度，同弧所对的圆周角相等等知识，由直径所对的圆周角等于90度得出，由直角三角形两锐角互余可得出，由同弧所对的圆周角相等可得出． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B 5. 根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（ ） … 0 1 2 … … 0 * * 无意义 * … A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件及分式的值为的条件解答即可，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 【详解】解：由表格可知，当时分式无意义， ∴不合题意； ∵当时，分式的值为， ∴不符合题意，符合题意， 故选：． 6. 如图，在正方形网格中，的位置如图，其中点A、B、C分别在格点上，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、求角的正切值，取格点，连接，设每个小正方形的边长为1，由勾股定理结合勾股定理逆定理可得为直角三角形，且，再由正切的定义计算即可得解． 【详解】解：如图：取格点，连接， ， 设每个小正方形的边长为1，由勾股定理可得：，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， 故选：B． 7. 如图，是等边三角形，分别以和点为圆心，一定的长度为半径画弧，两弧交于两点，连接，交于点，又以为圆心，以的长度为半径画弧交的延长线于点，连接并延长交于点，经过此操作后，下列结论错误的是（ ） A. 平分 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图，等边三角形的性质可判定A选项；根据三角形外角的定义和性质可判定B选项；根据直角三角形三边大小关系，等量代换可判定C选项；根据含30度角的直角三角形的性质可判定D选项，由此即可求解． 【详解】解：根据作图可得，垂直平分线段， ∵是等边三角形， ∴，平分，点是中点， ∴是线段的垂直平分线， ∴与重复， ∴平分，故A选项正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴，即，故B选项正确，不符合题意； ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，是斜边，是直角边， ∴， ∴，故C选项错误，符合题意； ∵， ∴，且， ∴在中，，故D选项正确，不符合题意； 故选：C ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，尺规作线段垂直平分线，三角形外角的定义和性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 8. 二次函数y＝ax2＋bx＋c图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示： x … －1 0 1 3 … y … 1 3 4 3 … 下列关于该二次函数的说法，错误的是( ) A. 当x＝4时，y＝1 B. 当x＜1时，y随x的增大而增大 C. 当x＝1时，y有最大值4 D. 当0＜x＜3时，y＞3 【答案】C 【解析】 【分析】由表格图可知，拋物线的对称轴为直线x=，可判断A、C选项，由表格图特点可判断选项B、D． 【详解】解：A、由表格图可知，拋物线的对称轴为直线x==，所以当x＝4时，y＝1，故此选项正确，不符合题意； B、由表格图可知，当x＜1时，y随x的增大而增大，故此选项正确，不符合题意； C、因为拋物线的对称轴为直线x=，所以当x＝1时，y不是最大值，故此选项错误，符合题意； D、由表格图可知，当0＜x＜3时，y＞3，故此选项正确，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是仔细观察表格数据确定出对称轴． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 请写出的一个同类项：_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是同类项的含义，根据同类项的定义直接可得答案． 【详解】解：的一个同类项为， 故答案为： 10. 分式与的最简公分母是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，可知分式与的最简公分母为． 【详解】解：， 分式与的最简公分母是． 11. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点和点B，则点B的坐标为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，根据双曲线的中心对称性即可求得点B的坐标． 【详解】解：∵直线与双曲线交于点和点B， ∵点A、B关于原点对称， ∴， 故答案为：． 12. 如图，摆放着正六边形和正三角形，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．接并延长，交于点，交于点，利用六边形是正六边形，得出，，是正六边形的对称轴，再得出，，结合平行可得，结合三角形是正三角形，求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点，交于点， ∵六边形是正六边形， ∴，，是正六边形的对称轴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵三角形是正三角形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，正方形的边长为，以边为底向外作等腰，点是对角线上的一个动点，连接，，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点，连接，由轴对称的性质得，判断出当P与重合时，的值最小，最小值为的长．然后求出，，，，得到，然后利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：连接交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴点B与点D关于直线对称， ∴， ∴， ∴当P与重合时，的值最小，最小值为的长． ∵正方形的边长为4， ∴，． ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形，正方形，解题的关键是掌握轴对称-最短路线问题，利用轴对称-最短路线问题． 14. 如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有______．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由，可得，故①符合题意；如图，连接，，，与的交点为，利用的几何意义可得的面积等于四边形的面积；故②符合题意；如图，连接，证明四边形为矩形，可得当最小，则最小，设，可得的最小值为，故③不符合题意；如图，设平移距离为，可得，证明，可得，再进一步可得答案． 【详解】解：∵，，四边形是矩形； ∴， ∴，故①符合题意； 如图，连接，，，与的交点为， ∵， ∴， ∴， ∴的面积等于四边形的面积；故②符合题意； 如图，连接， ∵轴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当最小，则最小， 设， ∴， ∴， ∴的最小值为，故③不符合题意； 如图，设平移距离为， ∴， ∵反比例函数为，四边形为矩形， ∴，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④符合题意； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题：本题共10小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】先解不等式组中的每个不等式，然后取其解集的公共部分即可求出不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 该不等式组的解集是． 16. 如图，有四张正面标有数字，背面颜色一样的卡片，正面朝下放在桌面上． （1）随机抽取一张，抽取的卡片上是的概率为 ； （2）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片记下数字，再从余下的三张卡片中随机抽取一张卡片记下数字．请用画树状图或列表的方法求小明两次抽取的卡片上数字之积为正数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽取的卡片上是的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能结果数以及小明两次抽取的卡片上数字之积为正数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽取的卡片上是的结果有1种， ∴随机抽取一张，抽取的卡片上是的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下： 1 2 1 2 共有12种等可能结果，其中小明两次抽取的卡片上数字之积为正数的结果有：，共4种， ∴小明两次抽取的卡片上数字之积为正数的概率为． 17. 为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求类物质排放量不超过，，两类物质排放量之和不超过.已知该型号某汽车的，两类物质排放量之和原为.经过一次技术改进，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了，，两类物质排放量之和为，判断这次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由. 【答案】符合，理由见详解 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设技术改进后该汽车的A类物质排放量为，则B类物质排放量为，根据汽车的，两类物质排放量之和原为建立方程求解即可． 【详解】解：设技术改进后该汽车的A类物质排放量为，则B类物质排放量为， 由题意得：， 解得：， ∵， ∴这次技术改进后该汽车的类物质排放量符合“标准”． 18. 如图，在中，延长至点D，使，过点D作，且，连接交于点F，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理、三角形全等的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键． （1）先证出，再根据平行线的性质可得，，从而可得，然后根据定理即可得证； （2）取的中点，连接，先根据三角形的中位线定理可得，再证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，从而可得，然后设，则，最后根据全等三角形的性质可得，由此建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：如图，取的中点，连接， ∵，即点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 由（1）已证：， ∴，即， 解得， ∴的长为2． 19. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下． 技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． （1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分． （2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好． （3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 【答案】（1）甲 29 （2）甲 （3）乙队员表现更好 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，统计表，中位数，加权平均数等知识，解题的关键是∶ （1）根据折线统计图的波动判断得分更稳定的球员，根据中位数的定义求解即可； （2）根据平均每场得分以及得分的稳定性求解即可； （3）分别求出甲、乙的综合得分，然后判断即可． 【小问1详解】 解∶从比赛得分统计图可得，甲的得分上下波动幅度小于乙的得分上下波动幅度， ∴得分更稳定的队员是甲， 乙的得分按照从小到大排序为14，20，28，30，32，32，最中间两个数为28，30， ∴中位数为， 故答案为∶乙，29； 【小问2详解】 解∶ 因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定， 所以甲队员表现更好； 【小问3详解】 解∶甲的综合得分为， 乙的综合得分为， ∵， ∴乙队员表现更好． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中画，使与面积相等，且点D为格点（不与点A重合）． （2）在图②中画（非矩形），使得的面积与的面积相等． （3）在图③中画（非矩形），使得的面积与的面积比为3：2． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、平行四边形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用网格的特点画出为底，高为2的即可； （2）利用网格的特点画出为底，高为1的即可； （3）利用网格的特点画出为底，高为的即可． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 解：如图所示， 【小问3详解】 解：如图所示， 21. 小明开车去某地旅游，汽车出发前油箱有油，行驶若干小时后，在加油站加油若干升．图像表示的是从出发后，油箱中剩余油量（L）与行驶时间（h）之间的关系． （1）汽车行驶h后加油，中途加油L； （2）求加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式； （3）已知加油前、后汽车都以匀速行驶，如果加油站距目的地，那么要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由． 【答案】（1）2，40 （2） （3）够用，见解析 【解析】 【分析】本题考查一次函数应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式及速度，路程和时间的关系是解题的关键． （1）根据图象作答即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）根据时间＝路程速度求出汽车从加油站到目的地需用的时间，再计算出汽车每小时的油耗，从而求出到达目的地需要的油量并与从加完油后出发时油箱中的油量比较大小即可得出结论． 【小问1详解】 由图象可知，汽车行驶2h后加油，中途加油． 故答案为：2，40； 【小问2详解】 设加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式为为常数，且． 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式为： ； 【小问3详解】 油箱中的油够用．理由如下： 汽车从加油站到目的地需用的时间为， 汽车每小时的油耗为， 到达目的地需要的油量为， ， ∴油箱中的油够用． 22. 【问题原型】如图①，在中，，，．点分别是边上的动点，连接，且，求的最小值． 【问题解决】求两条线段和的最小值问题，可以通过全等变换，将两条线段进行拼接，进而求出两条线段和的最小值．如图②，将图①中的线段绕点逆时针旋转至点，使得． （1）求证：； （2）若求的最小值，即求的最小值．由于点是边上的一个动点，连接，则线段的长度即为的最小值，这个最小值为______，这样做依据的是______（填基本事实）； 【类比应用】 （3）如图③，已知线段，点在线段上，且．以点为顶点作等边三角形，连接．当取得最小值时，的最小值为______． 【答案】（1）见解析 （2）；两点之间，线段最短 （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得出，再根据判定三角形全等，利用其性质即可证明； （2）根据内错角相等，两直线平行得出，确定，再由勾股定理得出，结合图形即可求解； （3）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，，则为等边三角形．根据全等三角形的判定和性质得出．．过点作，过点作，、分别为垂足，得出当取得最小值时，即取得最小值，故当点与点重合时，取得最小值，结合解三角形求解即可 【小问1详解】 证明：∵旋转， ∴． 在和中， ， ≌． ． 【小问2详解】 解：， ∴， ， ， ． 在中，． ， 是的最小值． 故答案为：；两点之间，线段最短． 【小问3详解】 解：将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，，则为等边三角形． 由于， 在和中， ， ． ． 由于，则在上时，取得最小值． 过点作，过点作，、分别为垂足． 当取得最小值时，即取得最小值，故当点与点重合时，取得最小值． ，． ． ， ． 故答案为：． 23. 如图，在中，，，．点P从点B出发，沿方向向终点C运动．过点P作交折线于点D（点D不与点A重合），将分成两部分，将所得的三角形部分沿翻折，得到．设与重叠部分图形的面积为S． （1）的值为________． （2）当点E与点C重合时，求的长． （3）点D在边上，当是直角三角形时，求S的值． （4）点E关于直线的对称点为点F，当点F到直线的距离为2时，直接写出线段的长． 【答案】（1） （2）3 （3）或； （4）的长为7或5或1 【解析】 【分析】（1）过点A作于点M，由面积可求得，由得，从而求得，在中，由正切函数的定义即可求解； （2）由折叠知，则得，利用正切函数即可求解； （3）分两种情况：及，利用相似三角形的判定与性质即可求解； （4） 点D在 上：当点E在线段上、点E在线段的延长线上；点D在线段上时，利用对称性及折叠性质即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点A作于点M， ∵， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，； 【小问2详解】 解：当点C与点E重合时， 由折叠知，， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当时，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，，， 设，则， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴； 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∴； 综上，S的值为或； 【小问4详解】 解：①点D在上： 当点E在线段上时，如图， 由对称知，， 则， ∴， ∴； 当点E在线段的延长线上时，如图， 由对称知，， 则， ∴， ∴； ②当点D在线段上时，如图， 由对称知，， ∴； 综上，的长为7或5或1． 【点睛】本题考查了折叠的性质，对称的性质，三角形相似，等腰三角形的判定，正切函数等知识，涉及分类讨论思想的应用；掌握这些知识是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点、在抛物线上，点为该抛物线的顶点．点为该抛物线上一点，其横坐标为．点关于点的对称点，以为对角线构造矩形，该矩形的边均与坐标轴垂直． （1）求该抛物线对应的函数关系式． （2）当，且轴时，作，求的面积． （3）当该抛物线在矩形内的图象对应的函数值随增大而增大时，求的取值范围． （4）设抛物线在该矩形内部及边界的图象记为，当图象与矩形的边有两个交点，且这两个交点到轴的距离和为7时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）1 （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，抛物线对称轴为直线，再推出点A和点P关于抛物线对称轴对称，则，进而得到，则轴，即可推出； （3）分如图3-1所示，当点Q恰好在抛物线上时，由，得到，则，解得（正值舍去）；如图3-2所示，设抛物线与x轴坐标轴交于K，求出，由函数图象可知，当点P在B、K之间时都满足该抛物线在矩形内的图象对应的函数值随增大而增大；如图3-3所示，当点P运动到点K下方时，由函数图象可知此时不满足该抛物线在矩形内的图象对应的函数值随增大而增大； （4）分图4-1，图4-2，图4-3，图4-4四种情况，根据图象与矩形的边有两个交点，且这两个交点到轴的距离和为7建立对应的方程求解即可． 【小问1详解】 解：把、代入抛物线解析式中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线解析式， ∴，抛物线对称轴为直线， ∵轴，即轴，点P在抛物线上， ∴点A和点P关于抛物线对称轴对称， ∴， ∵点P与点Q关于原点对称， ∴， ∴轴， ∴； 【小问3详解】 解：如图3-1所示，当点Q恰好在抛物线上时， ∵， ∴， ∴， 解得（正值舍去）， ∴当时，该抛物线在矩形内的图象对应的函数值随增大而增大； 如图3-2所示，设抛物线与x轴坐标轴交于K， 令，则， 解得负值舍去， ∴， 由函数图象可知，当点P在B、K之间时都满足该抛物线在矩形内的图象对应的函数值随增大而增大， ∴当时，该抛物线在矩形内的图象对应的函数值随增大而增大； 如图3-3所示，当点P运动到点K下方时，由函数图象可知此时不满足该抛物线在矩形内的图象对应的函数值随增大而增大； 综上所述，当或，该抛物线在矩形内的图象对应的函数值随增大而增大； 【小问4详解】 解：如图4-1所示，当点Q在抛物线下方时， ∵关于原点对称， ∴， ∵图象与矩形的边有两个交点，且这两个交点到轴的距离和为7，轴， ∴， ∵点Q在抛物线下方， ∴， ∴， ∴此时不可能存在； 如图4-2所示，当点Q在抛物线上方时，设与抛物线交于W， ∵， ∴， ∴， ∵图象与矩形边有两个交点，且这两个交点到轴的距离和为7，轴， ∴， ∴， 解得； 如图4-3所示，当点P在第一象限时，由于， ∴不可能存在图象与矩形的边有两个交点，且这两个交点到轴的距离和为7； 如图4-4所示，当点P在第四象限时， ∵图象与矩形的边有两个交点，且这两个交点到轴的距离和为7，轴， ∴， ∴， ∴， 解得（负值舍去）； 综上所述，m的值为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合题，用待定系数法求函数解析式，二次函数图像上点的坐标特征，关于原点对称的点的坐标特点，运用了方程和分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年吉林省长春市博硕学校九年级（下） 第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，互为相反数，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径，弦交于点，连接，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（ ） … 0 1 2 … … 0 * * 无意义 * … A. B. C. D. 6. 如图，在正方形网格中，的位置如图，其中点A、B、C分别在格点上，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是等边三角形，分别以和点为圆心，一定的长度为半径画弧，两弧交于两点，连接，交于点，又以为圆心，以的长度为半径画弧交的延长线于点，连接并延长交于点，经过此操作后，下列结论错误的是（ ） A. 平分 B. C. D. 8. 二次函数y＝ax2＋bx＋c图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示： x … －1 0 1 3 … y … 1 3 4 3 … 下列关于该二次函数的说法，错误的是( ) A. 当x＝4时，y＝1 B. 当x＜1时，y随x的增大而增大 C. 当x＝1时，y有最大值4 D. 当0＜x＜3时，y＞3 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 请写出的一个同类项：_______． 10. 分式与的最简公分母是______． 11. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点和点B，则点B的坐标为 _____． 12. 如图，摆放着正六边形和正三角形，，则____________． 13. 如图，正方形边长为，以边为底向外作等腰，点是对角线上的一个动点，连接，，则的最小值是______． 14. 如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有______．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题：本题共10小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解不等式组：． 16. 如图，有四张正面标有数字，背面颜色一样的卡片，正面朝下放在桌面上． （1）随机抽取一张，抽取卡片上是的概率为 ； （2）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片记下数字，再从余下的三张卡片中随机抽取一张卡片记下数字．请用画树状图或列表的方法求小明两次抽取的卡片上数字之积为正数的概率． 17. 为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求类物质排放量不超过，，两类物质排放量之和不超过.已知该型号某汽车的，两类物质排放量之和原为.经过一次技术改进，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了，，两类物质排放量之和为，判断这次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由. 18. 如图，在中，延长至点D，使，过点D作，且，连接交于点F，． （1）求证：； （2）若，求的长． 19. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下． 技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． （1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分． （2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好． （3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 20. 图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中画，使与面积相等，且点D为格点（不与点A重合）． （2）在图②中画（非矩形），使得的面积与的面积相等． （3）在图③中画（非矩形），使得的面积与的面积比为3：2． 21. 小明开车去某地旅游，汽车出发前油箱有油，行驶若干小时后，在加油站加油若干升．图像表示的是从出发后，油箱中剩余油量（L）与行驶时间（h）之间的关系． （1）汽车行驶h后加油，中途加油L； （2）求加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式； （3）已知加油前、后汽车都以匀速行驶，如果加油站距目的地，那么要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由． 22. 【问题原型】如图①，在中，，，．点分别是边上动点，连接，且，求的最小值． 【问题解决】求两条线段和的最小值问题，可以通过全等变换，将两条线段进行拼接，进而求出两条线段和的最小值．如图②，将图①中的线段绕点逆时针旋转至点，使得． （1）求证：； （2）若求的最小值，即求的最小值．由于点是边上的一个动点，连接，则线段的长度即为的最小值，这个最小值为______，这样做依据的是______（填基本事实）； 【类比应用】 （3）如图③，已知线段，点在线段上，且．以点为顶点作等边三角形，连接．当取得最小值时，的最小值为______． 23. 如图，在中，，，．点P从点B出发，沿方向向终点C运动．过点P作交折线于点D（点D不与点A重合），将分成两部分，将所得的三角形部分沿翻折，得到．设与重叠部分图形的面积为S． （1）的值为________． （2）当点E与点C重合时，求的长． （3）点D在边上，当是直角三角形时，求S的值． （4）点E关于直线的对称点为点F，当点F到直线的距离为2时，直接写出线段的长． 24. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点、在抛物线上，点为该抛物线的顶点．点为该抛物线上一点，其横坐标为．点关于点的对称点，以为对角线构造矩形，该矩形的边均与坐标轴垂直． （1）求该抛物线对应的函数关系式． （2）当，且轴时，作，求的面积． （3）当该抛物线在矩形内的图象对应的函数值随增大而增大时，求的取值范围． （4）设抛物线在该矩形内部及边界图象记为，当图象与矩形的边有两个交点，且这两个交点到轴的距离和为7时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $