精品解析：辽宁大连文谷高级中学2025-2026学年高一下学期期中测试数学试卷

2025-2026学年度下学期高一期中测试 数学试卷 试卷总分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】由题意得：，所以. 2. 已知，，若，则（ ） A. -2 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由可知 ，解得. 3. 下列函数为奇函数，且在上是严格增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的奇偶性和单调性依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，因为定义域为，其在上是严格减函数，A错误； 对于B，定义域为，，为偶函数；B错误； 对于C，定义域为，， 为奇函数，由正切函数性质知在上是严格增函数，C正确； 对于D，定义域为，，为偶函数；D错误. 故选：C. 4. 已知，为第二象限角，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因，为第二象限角，则， 于是. 5. 正方形的边长是2，点在边上，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，选择正方形相邻的两边作为基底，利用数量积运算计算即可． 【详解】因为为边长为2的正方形，故，且； 故以为一组基底，点在边上，且， 故，； 故． 6. 若函数在上是增函数，则m的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简得，由，得，结合三角函数的性质求解即可. 【详解】因为， 当时，， 又因为函数在上是增函数，且函数在单调递增， 所以，解得， 所以m的最大值是. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意知，， 所以， 所以. 8. 已知函数的零点分别为，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由可得或，结合基本不等式及正弦型函数的值域可求后者的零点，从而可求诸零点的平方和. 【详解】令，则， 故或， 若，则， 而由双勾函数的性质可得的值域为， 又的值域为， 故成立当且仅当或， 故， 故的解为， 故的零点为，它们的平方和为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，部分选对得部分分，选错不得分. 9. 下列各式中，化简结果为1的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】因为 ，所以A正确； 因为 ，所以B正确； 因为 ，所以C错误； 因为 ，所以D正确. 10. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 是的图象的一个对称中心 B. 是的图象的一条对称轴 C. 的周期也是的周期 D. 的图象可以由的图象向右平移个单位得到 【答案】AC 【解析】 【分析】用整体代入法判断A，B；求出两函数的周期判断C；求出将的图象向右平移个单位后的解析式判断D. 【详解】对于A，因为， 所以是的图象的一个对称中心，故A正确； 对于B，因为， 所以不是的图象的一条对称轴，故B错误； 对于C，因为的周期，的周期， 由此可得两函数的周期相同， 所以的周期也是的周期，故C正确； 对于D，将的图象向右平移个单位，得，故D错误. 11. 已知平面向量，，，，且，已知向量与所成的角为，对任意实数恒有，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 若，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】基于推导出，选项A：代入数量积的基本定义公式，结合已知夹角反推向量的模；选项B：计算目标向量的数量积，通过结果是否为零来验证它们是否垂直；选项C：将代数式赋予几何意义，利用“两点之间线段最短”原理求两段距离之和的最小值；选项D：将角度恒定条件转化为动点在定圆上的轨迹（圆周角定理），利用等边三角形外接圆的直径求最大模即可. 【详解】由题意得，不妨设， 原不等式表示当时取最小值， 对于A，设， 为开口向上的二次函数，当时，取最小值，即取最小值， 即，进而，解得，故A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C，， 不妨用点代表向量，点代表向量，点代表向量， 由几何意义可将原式转化为动点到定点的距离之和， 由两点间线段最短，当且仅当点位于线段上时，距离之和取最小值， 即， ，故C正确； 对于D，设坐标原点为，点分别代表向量， 由上知 ，所以为边长为1的等边三角形，其中为定点， 因为，则有，且的三个内角均为且内接于某圆， 所以点所在的轨迹为与相对的劣弧， 边长为1的等边三角形外接圆半径， 表示点到原点的距离，因为原点恰好也在此圆上， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，共15分，每空5分. 12. 函数的最小正周期是______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正切型函数的最小正周期公式求结论. 【详解】函数的最小正周期， 故答案为：. 13. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则x的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由，且与不共线,即可求解. 【详解】由题意有，又与不共线，所以， 所以， 故答案为：. 14. 在中，，则的最大值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算法则，两角和的正弦公式，以及正弦定理和三角形的内角和，化简得到，进而得到，再由两角差的正切，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得， 所以，可得， 由正弦定理得， 又因为， 所以， 所以，则， 因为为三角形的内角，所以， 由， 又因为， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，且与的夹角为120°. （1）求的值； （2）求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用数量积定义求得，然后利用数量积的运算律求解即可； （2）结合数量积的运算律，利用向量模的运算法则求解即可. 【小问1详解】 因向量与的夹角为120°，且， 则， 所以. 【小问2详解】 . 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调增区间： （2）求函数在区间上的值域. 【答案】（1），， （2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角变换公式化简，再根据周期公式可求周期，再结合整体法可求函数的单调增区间. （2）利用整体法可求函数的值域. 【小问1详解】 . 所以. 令，，得，， 单调增区间为，, 【小问2详解】 ，则，， ，所以的值域为. 17. 已知函数. （1）化简； （2）若，求的值； （3）若，，且，均为锐角，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ，即， . 【小问3详解】 因为，均为锐角，所以， 因为，， 所以，解得. 18. 若函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象. ①当时，的最大值为，求的值； ②已知的三个顶点均在函数的图象上，且，，，点在线段上运动，求的取值范围. 【答案】（1） （2）①，；②. 【解析】 【分析】（1）通过对函数的部分图象的分析，可知，，可得，再由计算出，从而得到函数的解析式； （2）函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到; ①由时，的最大值为可知， 的最大值等于区间内的最大值减最小值为，从而得到，或，，从而解出的值； ②设，通过坐标运算把转化为关于的函数，最后由计算出的取值范围. 【小问1详解】 由图可知， ，可得，则 由，则，，得，， 又，则，故； 【小问2详解】 ①图象上所有的点向右平移个单位长度，得到， 将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到，周期为， 当，令，则，区间长度为. 的最大值等于区间内的最大值减最小值， 由题该值为，仅当最大值为、最小值为时满足. 因此，或， 解得，或， 综上所述， ②设， 因为，，， 所以，， ， 因为，所以，于是有， 所以， 所以的取值范围是. 19. 平面向量与轴非负半轴所成角为，，定义“变换”：将绕起点逆时针旋转角，得到新向量. （1）求证：，并已知，将经过变换得到，求点的坐标. （2）设非零向量，对连续作次变换依次得到.若，求与的关系，并求时的值. （3）已知，，，取（2）中时求得的，将经过变换得，经过变换得，若，在上有且仅有两个不同的根，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析， （2），，. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用三角函数得两角和公式证明向量旋转后的坐标公式，再根据该公式求出点的坐标. （2）根据向量旋转的坐标公式，找出与的关系，进而得到与的关系，再代入求出的值. （3）先根据（2）中求出的值，得到和的坐标，再根据向量数量积公式列出方程，结合三角函数的性质求解的取值范围. 【小问1详解】 由题意可知， 逆时针旋转角后得， ， ， 故. 由变换可知 ， ， 所以点的坐标为. 【小问2详解】 连续对作次变换，等价于将向量逆时针旋转角. 由，得，， 即，， 当时，， 因为，所以时. 【小问3详解】 由可知， ， 所以 ， 得. 由，得， 因为在上有且仅有两个不同的根， 所以，解得， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期高一期中测试 数学试卷 试卷总分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，若，则（ ） A. -2 B. 2 C. D. 3. 下列函数为奇函数，且在上是严格增函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，为第二象限角，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 正方形的边长是2，点在边上，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 若函数在上是增函数，则m的最大值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的零点分别为，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，部分选对得部分分，选错不得分. 9. 下列各式中，化简结果为1的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 是的图象的一个对称中心 B. 是的图象的一条对称轴 C. 的周期也是的周期 D. 的图象可以由的图象向右平移个单位得到 11. 已知平面向量，，，，且，已知向量与所成的角为，对任意实数恒有，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 若，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，共15分，每空5分. 12. 函数的最小正周期是______. 13. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则x的取值范围为________． 14. 在中，，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，且与的夹角为120°. （1）求的值； （2）求的值； 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调增区间： （2）求函数在区间上的值域. 17. 已知函数. （1）化简； （2）若，求的值； （3）若，，且，均为锐角，求的值. 18. 若函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象. ①当时，的最大值为，求的值； ②已知的三个顶点均在函数的图象上，且，，，点在线段上运动，求的取值范围. 19. 平面向量与轴非负半轴所成角为，，定义“变换”：将绕起点逆时针旋转角，得到新向量. （1）求证：，并已知，将经过变换得到，求点的坐标. （2）设非零向量，对连续作次变换依次得到.若，求与的关系，并求时的值. （3）已知，，，取（2）中时求得的，将经过变换得，经过变换得，若，在上有且仅有两个不同的根，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $