培优04 一次函数综合提升4大题型（大单元专项训练）数学新教材人教版八年级下册

**基本信息** 聚焦一次函数图像变换、规律探究、最值求解及新定义应用，以题型为载体构建“概念-变换-应用-创新”的知识逻辑链，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |对称问题|19题|一次函数图像的x轴、y轴及直线轴对称变换|以坐标变换为基础，延伸图像性质应用| |规律问题|16题|点坐标或图形变化的归纳推理|结合数形结合，渗透从特殊到一般的思维| |最值问题|17题|利用轴对称解决最短路径及周长/距离最值|迁移“将军饮马”模型，强化转化思想| |新定义问题|10题|“对偶值”“k倍伴随线”等创新概念应用|整合一次函数与几何知识，培养模型意识|

专题04 一次函数综合提升 目录 A题型建模・专项突破 题型一、 对称问题 1 题型二、 规律问题 17 题型三、 最值问题 36 题型四、 新定义问题 60 B综合攻坚・能力跃升 题型一、对称问题 1．在平面直角坐标系中，直线（、为常数，且）与直线关于轴对称，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用关于轴对称的点的坐标特征，先求出已知直线与坐标轴的交点，再得到对应对称点坐标，代入求出的值，即可计算出的结果. 【详解】解： 对于直线， 令得，得交点； 令得，得交点， ，关于轴对称的点分别为，， 直线经过上述两个对称点， ∴将代入得， 将和代入得： ，解得， . 2．在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据关于x轴对称的性质求出k和b的值，再判断函数图象不经过的象限即可． 【详解】解：∵直线与直线关于轴对称， 根据轴对称性质，点关于轴对称的点为，因此将替换为即可得到原直线关于x轴对称的直线方程， ∴关于轴对称的直线为，整理得， 该直线与是同一直线，对应系数相等， ∴， 解得，， ∴所求一次函数为， ∵，， ∴该函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 3．若函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称点P（或点Q）的纵坐标为函数，与的“对偶值”．那么函数与的“对偶值”为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】设，，根据题意，得， 求解即可． 【详解】解：函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，且，， 设，， 根据题意，得， ， 解得， ． 4．关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．关于直线对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象的对称性，关于轴对称的图象对应函数值互为相反数． 由得到，即可判断一次函数和的图象关于轴对称． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次函数和的图象关于轴对称， 故选：B． 5．将函数的图象沿轴对折，对折后的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，轴对称的性质．函数图象沿x轴对折即关于x轴对称，纵坐标变为相反数． 【详解】解：∵原函数为，对折后点变为， ∴， 即 故选：D 6．若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则： ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查新定义展开，围绕“对偶关系”和“对偶值”的定义逐一求解即可；根据关于轴对称，称函数和具有“对偶关系”，则横坐标是相反数关系，纵坐标相等，逐一分析即可. 【详解】解：①设函数上点坐标为 ， ∵关于轴对称 ∴点坐标为 点在函数的图象上， ∴，解得：， 则存在这样的点，使得他们关于轴对称， ∴函数与函数具有“对偶关系” 所以①错误；故不符合题意； ②当时，则，解得； ，解得；横坐标是相反数，所以②正确，故符合题意； ③对偶值为，则点Q在上，纵坐标为， ∴，点， 点P与Q关于y轴对称， ∴点在上， ∴ ，解得， 所以③正确，故符合题意； ④设点P在上，坐标为，其中， ∵点Q与P关于y轴对称， ∴，在上， ∴，即， ∵， ∴，而不是，所以④错误，故不符合题意； 综上，正确结论为②③，共2个， 故选：B. 7．在同一平面直角坐标系中，对于函数：①，②，③，④的图象，下列说法正确的是（   ） A．通过点的是①和③ B．交点在轴上的是②和④ C．①和③都与函数的图象平行 D．关于轴对称的是②和③ 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，利用一次函数与坐标轴的交点，两个一次函数的交点，一次函数平行条件k相同，一次函数关于坐标轴对称逐项判断解答即可． 【详解】A、点代入①，通过；②，通过；③，不通过；④，通过，通过的是①②④，该选项错误； B、交点在y轴上需时y值相等，时，①，②，③，④，②和④y值不相等，该选项错误； C、函数的，①，③，均与平行，该选项正确； D、②与③，关于x轴对称需x取相同值时，y值互为相反数，但时均为，不相反，该选项错误； 故选：C． 8．在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，根据轴对称的性质得出k，b的值，然后进行解答即可． 【详解】解：∵直线与直线关于轴对称， ∴ ∴一次函数即，的图象不经过第二象限， 故选：B． 9．一次函数的图象关于轴对称的直线的表达式是_____________． 【答案】 【分析】先在原一次函数图象上选取两个点，利用关于轴对称的点的坐标规律得到对称点的坐标，再利用待定系数法求出对称后直线的函数表达式． 【详解】解：在一次函数的图象上取两点： 当时，，可得点 当时，，可得点 关于轴对称的点的坐标规律为：横坐标互为相反数，纵坐标不变，因此上述两点关于轴对称的点分别为， 设所求直线的表达式为， 将，代入表达式得 把代入，得 解得 因此所求直线的表达式为 10．已知直线． （1）该直线关于y轴对称的直线的函数解析式为______； （2）该直线关于x轴对称的直线的函数解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的对称变换，熟悉一次函数关于轴和轴的对称变换规律，是解题的关键．利用点关于坐标轴对称的性质求解对称直线表达式即可． 【详解】解：（1）关于轴对称时，点的对称点为， 代入原方程得，即． （2）直线关于轴对称时，其上任意一点的对称点为， 代入原方程得，即， 11．若一次函数与一次函数的图象关于轴对称，则_____ 【答案】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点坐标，轴对称性质，待定系数法求函数解析式；由直线，知与x轴交于，与y轴交于，根据轴对称性质，直线经过点，，待定系数法求的值，即可求解． 【详解】解：直线，时，；时，； ∴直线与x轴交于，与y轴交于． ∴直线经过点，． ∴，解得， ∴． 故答案为：． 12．若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则称点（或点）的纵坐标为函数与的“对偶值”．那么函数与的“对偶值”为______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，一次函数的性质． 根据“对偶值”的定义，点在函数上，点在函数上，且与关于轴对称，因此它们的纵坐标相等，横坐标互为相反数．设点的坐标为， 则点的坐标为，代入求出，再求的值即可． 【详解】解：设点的坐标为， 由于点与点关于轴对称，则点的坐标为， 又∵点在函数上， ∴， 即， 解得， 则对偶值为． 故答案为：． 13．若一次函数与的图像关于y轴对称，则______ ，______． 【答案】 3 【分析】此题考查了一次函数的图象与几何变换，关键是能准确理解题意，运用对称性求得m、n的值是解题的关键． 根据函数图像关于y轴对称的性质，对应点坐标满足横坐标互为相反数、纵坐标相等，直线关于y轴对称的直线为，然后通过系数比较即可求解． 【详解】解：直线关于y轴对称的直线为， ∵一次函数与的图像关于y轴对称， ∴， 故答案为：，3． 14．在平面直角坐标系中，若直线（，是常数，）与直线关于轴对称，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查一次函数解析式、关于轴对称点的坐标特征，熟练掌握利用待定系数法求解析式和关于轴对称点的坐标特征是解题的关键．根据直线求得其关于y轴的对称点，然后利用待定系数法求出k和b的值，再计算的值． 【详解】解：∵直线 令得，解得， 令得，， 则直线与x轴的交点为，与y轴的交点为， 点关于y轴的对称点为， ∵直线（，是常数，）与直线关于轴对称， 将点和代入，得方程组： ， 解得， 则， 故答案为：． 15．在平面直角坐标系中，若直线（，是常数，）与直线关于轴对称，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数解析式、关于轴对称点的坐标特征，熟练掌握利用待定系数法求解析式和关于轴对称点的坐标特征是解题的关键． 根据直线求得其关于y轴的对称点，然后利用待定系数法求出k和b的值，再计算的值． 【详解】解：∵直线 令得，解得， 令得，， 则直线与x轴的交点为，与y轴的交点为， 点关于y轴的对称点为， ∵直线（，是常数，）与直线关于轴对称， 将点和代入，得方程组： ， 解得， 则， 故答案为：． 16．将一次函数的图象以y轴为对称轴翻折，翻折后的图象函数表达式是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，坐标与图形变化—轴对称，设点为翻折后的函数图象上一点，则点是一次函数的图象上一点，再把代入中求出n关于m的函数关系式即可得到答案． 【详解】解：设点为翻折后的函数图象上一点，则点是一次函数的图象上一点， ∴， ∴翻折后的图象函数表达式是， 故答案为：． 17．点关于对称点的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质、一次函数与坐标轴的交点问题、等腰三角形的性质、坐标与图形，熟练掌握轴对称性质是解答的关键． 设直线与x、y轴交点分别为E、F，过A作轴交直线于P，设点A关于直线对称点为点B，连接，先求得直线与坐标轴的交点坐标得到，进而可得，由平行线的性质和对称性质得到，，进而可求解． 【详解】解：如图，设直线与x、y轴交点分别为E、F，过A作轴交直线于P，设点A关于直线对称点为点B，连接， 对于， 当时，， 当时，， 当时，， ∴，，， ∴ ∴，又， ∴， ∵轴， ∴， ∴由对称性质得，， ∴， ∴即轴， ∴点B的坐标为， 故答案为：． 18．综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B，一次函数经过点B． (1)求线段的长； (2)如图2，把直线沿y轴向上平移5个单位，与直线相交于点M，连接，求的面积； (3)在直线上是否存在一点Q，使得的周长最小，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）先利用求出A，B两点的坐标，然后根据点B的坐标求出的函数解析式，最后求出点C的坐标即可求解； （2）先利用函数图象平移的规律，求出平移后直线的解析式以及点M的坐标，根据求解即可； （3）由于是定值，只要满足最小即可．先作点A关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为点Q，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得，所以点B的坐标为． 把代入，得，所以点A的坐标为． 把代入，得，即． 把代入，得，所以点C的坐标为． 所以线段； （2）解： 设平移后的直线与y轴交于点D，则由题意可知 直线的解析式为． 把，联立，得    解得 所以点M的坐标为． 如图1，连接，过点M作，垂足为H，则 ； （3）解：存在，，理由： 如图2，作点A关于直线的对称点，连接，与直线交于点Q， 由对称性知，周长，即此时周长最小． 故点Q满足使周长最小． 由题意可知点的坐标为． 设直线的解析式为， 把点，代入，得   解得 所以直线的解析式为． 把代入，得 ． 所以点Q的坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质、用待定系数法求函数的解析式、平移、轴对称等．熟练掌握在坐标系中如何求线段的长度以及图形的面积的方法；熟悉常见的最值模型是解决问题的关键． 19．如图，在平面直角坐标系中，的正方形网格的每个小正方形的边长为1个单位． (1)画出直线． (2)将直线向下平移4个单位得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． (3)若直线与直线关于轴成轴对称，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． (4)若直线与轴的交点为，则点的坐标为___________，将直线绕点逆时针旋转得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析， (3)作图见解析， (4)，作图见解析， 【分析】（1）利用描点法作图即可； （2）根据一次函数的平移即可解答； （3）先求得直线与轴，轴的交点，利用轴对称的性质，求得直线的对应点，利用待定系数法即可解答； （4）先利用旋转的性质，求得直线的对应点，利用待定系数法即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，可得， 解得， ∴直线经过，， 作图如下： ； （2）解：将直线向下平移4个单位得到直线，作图如下： 可得直线所对应的函数表达式为； （3）解：当时，可得， 解得， 当时，， 是直线上的点， 直线与直线关于轴成轴对称， 是直线上的点， 设直线的表达式为， 把代入可得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 作图如下： ； （4）解：根据（3）中可得，且直线经过点， 将直线绕点逆时针旋转得到直线， 点绕点逆时针旋转的对应点为点 直线经过，， 设直线的表达式为， 把，代入可得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 作图如下： . 20．如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集， (3)若直线与直线关于直线对称，求直线的表达式． 【答案】(1)． (2)． (3)． 【分析】本题主要考查了一次函数的表达式求解、不等式的解集与函数图象的关系、点关于直线的对称以及直线表达式的求解，熟练掌握一次函数的性质、对称点的求法以及利用待定系数法求函数表达式是解题的关键． （1）先将点代入求出的值，再将点和点代入，解方程组求出、，从而得到一次函数表达式． （2）根据函数图象，不等式的解集是直线在直线上方（含交点）时对应的的取值范围． （3）先求出点的坐标，再利用几何性质求出点关于直线（即）的对称点，最后利用点和求出直线的表达式． 【详解】（1）解：∵点在上， ∴， ∴． ∵过和， ∴，解得， ∴一次函数表达式为． （2）解：函数的图象与一次函数的图象交于点， 由图象可知，当时，直线在直线上方（含交点）， ∴不等式的解集为． （3）解：设点关于直线的对称点为点，直线交轴于点， ∵与轴交于， ∴． 当时，，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点关于直线的对称点为点， ∴，， ∴， ∵，，两点在轴上，且， ∴点关于直线的对称点满足：， ∴． ∵直线过和， 设直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为． 题型二、规律问题 21．观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和二次函数与垂直于x轴直线交点坐标问题，以及由特殊到一般的归纳总结方法．由可得：，，则可得，则可得 ，再利用 ，进行计算即可． 【详解】解：∵过点的垂线，交的图象于点，交直线于点； ∴令，可得：纵坐标为， 纵坐标为， ，， ． ， ． 故选：D． 22．如图，过点作x轴的垂线，交直线于点；点与点O关于直线对称；过点作x轴的垂线，交直线于点；点与点O关于直线对称；过点作x轴的垂线，交直线于点；…，按此规律作下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数、坐标的规律变换，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 根据点由轴对称可得点，再逐次由轴对称得，，……，由此即可归纳类推出一般规律，由此即可得，代入，即可求得点的纵坐标． 【详解】解：∵点，轴，轴，轴，轴，……，轴，轴， 点与点O关于直线对称；∴点，即； 点与点O关于直线对称；∴点，即； 点与点O关于直线对称；∴点，即； ……， ∴， 当时，， 代入， 得， ∴． 故选：B． 23．观察下列等式：，，，…，运用你发现的规律解决以下问题：如图，分别过点作x轴的垂线，交抛物线的图象于点，交直线于点，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数表达式求点的坐标、一次函数表达式求点的坐标、平行于y轴的直线上的两点间的距离、数字规律等知识点，观察规律、理解规律是解题的关键． 先求出的坐标，然后求出的长．运用观察到的规律求出的值即可． 【详解】解：∵，， ∴，； ，； ，； ，， ∴ ． 故选D． 24．如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，按此规律进行下去，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标变化规律及正比例函数的性质，能通过计算得出是解题的关键．根据题意，依次求出，，，…，发现规律即可解决问题． 【详解】解：∵点，且轴， ∴点的横坐标为2， 将代入得，， ∴点的坐标为， 则， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 将分别代入和得，，， ∴， 依次类推，，，…， ∴． 当时，． 故选：B． 25．在平面直角坐标系中，将点沿箭头方向按如图所示规律移动，当点首次位于轴上时，停止移动．甲、乙、丙三位同学的结论如下， 甲：点的坐标为； 乙：若在直线两侧的点（点，，，）的个数相等，则的取值范围为； 丙：直线与折线相交于点，从到的运动中的值先减小后增大． 则下列判断正确的是（   ） A．甲、乙正确 B．甲、丙正确 C．乙、丙正确 D．甲、乙、丙都正确 【答案】A 【分析】根据题意可推出（k为正整数），，据此求出点的坐标为，则可判断甲；求出点的坐标为，则一共有10个点；再分别求出直线经过时k的值，则可判断乙；当点P在上时，逐渐变小，不变，则k逐渐变小，当点P在上时，逐渐变大，不变，则k逐渐变小，据此可判断丙． 【详解】解：由题意得，当n为奇数时，第n次移动为向下移动1个单位长度，当n为偶数时，第n次移动为向右移动一个单位长度， ∵， ∴，即（k为正整数）， ∴， ∵，， ∴点的坐标为，故甲说法正确； ∴点的坐标为， ∴一共有10个点； 同理可得， 当直线经过时，，解得 当直线经过时，，解得， ∴当时，在直线两侧的点（点，，，）的个数相等，故乙说法正确； ∵， ∴， 当点P在上时，逐渐变小，不变，则k逐渐变小， 当点P在上时，逐渐变大，不变，则k逐渐变小， 综上所述，从到的运动中的值逐渐变小，故丙说法错误． 26．如图，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于A，B两点，过原点O作垂直于直线交于点，过点作垂直于x轴交x轴于点，过点作垂直于直线交于点，过点作垂直于x轴交x轴于点，依此规律作下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过分别作垂足分别为，根据正方形的判定和性质，坐标的规律，解答即可． 本题考查了正方形的判定和性质，一次函数的性质，坐标的规律，准确发现坐标规律是解题的关键． 【详解】解：过分别作垂足分别为， 一次函数的图象分别与轴、轴交于， ， ， ， 可得四边形是正方形， 同理可得四边形，四边形也是正方形， 点，可求， 点，同理，即， …… ，即， 故选：B． 27．如图，在平面直角坐标系中，点在过原点的直线上，以点O为圆心，长为半径画弧交直线于点，过点作轴交于点；以点O为圆心，长为半径画弧交直线于点，过点作轴交于点；…按此规律，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标、正比例函数的图象与性质、勾股定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用正比例函数的性质是关键．依据题意，由，则，，结合在直线上，设，可得，则，同理可得，，，，，，最后即可判断得解． 【详解】解：由题意，∵， ∴， 设直线的解析式为，代入，得， ∴， ∵在直线上， ∴可设， ∵， ∴， ∴（负值舍）， ∴， 又∵轴， ∴纵坐标为1， ∴代入，得， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， 同理可得，，，，． ∴当时，． 故选：C． 28．如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及规律探究与指数运算．根据直线的表达式为可得，直线平分第一象限，即直线与轴正半轴的夹角为，由点的坐标为，可得，由作图过程可知，是等腰直角三角形，，同理可得，，， ， (为正整数)，将代入即可解答． 【详解】解：直线的表达式为， 直线平分第一象限，即直线与轴正半轴的夹角为， 点的坐标为， ， 由作图过程可知，， 又， 是等腰直角三角形， ， 同理可得，，，， 所以 (为正整数)， 当时，， 点的横坐标为， 故选：． 29．如图，直线与轴负半轴交于点，以为边构造等边三角形；过作交直线于点，以为边构造等边三角形，…按此规律进行下去，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线可知，点，可得，由于是等边三角形，可得点，把代入直线解析式即可求得的横坐标，可得，由于是等边三角形，可得点；同理，，，，结论可得． 【详解】解：∵直线与轴负半轴交于点， ∴， ∴， 是等边三角形， 过作轴，如图所示： 垂直平分，即， ，进而由勾股定理可得， ∴， 当时，，解得， ∴， 在等边中，同理可得； 当时，，解得， ∴， 在等边中，同理可得； 按照以上求解过程，可得，，， ∴的横坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标的特征，等边三角形的性质，含的直角三角形性质，勾股定理，特殊图形点的坐标的规律，本题是规律探索型，准确找到坐标的变化规律是解题的关键． 30．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点O重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形，……按照这样的规律进行下去，那么的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的解析式以及等腰直角三角形的性质即可得出，，，根据坐标的变化即可找出变化规律，．即可得出点的坐标．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及规律型中点的坐标，解题的关键是找出坐标的变化规律，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，结合一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质找出线段的变化规律是关键． 【详解】解：依题意 结合等腰三角形的性质，结合图象得出点、、、、在轴上，且，，， ， 把代入 得出 ∴ 直线， 当时，则 ， ∵， ∴， 把，则 即， ∵ ∴把，则 即， ， ，． ∴的坐标为 故选：D 31．如图，，，，…，都是面积为的等边三角形，边在轴上，点，，，…，，都在直线上，点，，，…，都在直线的上方，观察图形的构成规律，用你发现的规律直接写出点的坐标为______．    【答案】 【分析】过作轴，垂足为，由条件可求得，利用直角三角形的性质和四边形的面积可求得，，可求得的坐标，同理可求得、的坐标，则可得出规律，可求得的坐标． 【详解】解：如图，，，，都是等边三角形， ， ， 在轴上， 轴，轴， 过作轴，垂足为， 点在直线上， 设， ， ，， 是面积为的等边三角形， 且， 则， 即， 解得：， 都是边长为的等边三角形， ，， 的坐标为，， 同理，、，， 的坐标为， 的坐标为， 故答案为：．    【点睛】本题考查了点的坐标规律，等边三角形的性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，一次函数图象上的点，作辅助线． 32．如图，，，，…，都是面积为的等边三角形，边AO在y轴上，点，，，…，，都在直线上，点，，，…，都在直线的上方，观察图形的构成规律，用你发现的规律直接写出点的坐标为______． 【答案】（，） 【分析】过B1作B1C⊥x轴，垂足为C，由条件可求得∠B1OC=30°，利用直角三角形的性质可求得B1C=，OC=，可求得A1的坐标，同理可求得A2、A3的坐标，则可得出规律，可求得A2022的坐标． 【详解】解：如图，∵△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是等边三角形， ∴∠AOB1=∠A1B1B2=∠A2B2B3=…=60°， ∴AO∥A1B1∥A2B2∥…， ∵AO在y轴上， ∴A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，… 过B1作B1C⊥x轴，垂足为C， ∵点B1在直线y=x上， 设B1（x，x）， ∴∠B1OC=30°， ∵△OAB1是面积为的等边三角形， ∴△OAB1的边长为， ∴△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为的等边三角形， ∴B1C=，OC=， ∴A1的坐标为（，）， 同理A2（3，2）、A3（，），… ∴An（，）， ∴A2022的坐标为（3033，1012）， 故答案为：（3033，1012）． 【点睛】本题为规律型题目，利用等边三角形和直角三角形的性质求得A1的坐标，从而总结出点的坐标的规律是解题的关键． 33．如图， 正方形 的顶点，延长交x轴于点，作正方形 ，延长交x轴于点，作正方形…按照这样的规律， 则点的坐标为_________________ 【答案】/ 【分析】连接，，，，根据已知可得，即可得，然后根据正方形的性质可得，，从而求出点的坐标，同理可求得点，，的纵坐标，通过数字规律得到的纵坐标，结合直线的解析式求解． 【详解】解：连接，，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴点D的坐标为， ∵， ∴， 同理可得：， ∴点、、、的纵坐标分别是：、、、， 以此类推， ∴点的纵坐标为， 又，，则直线的解析式为， 当时，即，解得， 故点的坐标为． 34．如图，平面直角坐标系中，网格边长为单位1，在一次函数与之间，存在若干横纵坐标均为整数的点，坐标为，根据这个规律，的坐标是__________． 【答案】 【分析】找到a的下标与层数n的变化规律即可． 【详解】解：设为第1层，为第2层，为第3层，……， 由图知，每一层末尾的点都在直线或直线上， 则第1层：的坐标为，， 第2层：的坐标为，， 第3层：的坐标为，， 第4层：的坐标为，， 第5层：的坐标为，， ……， 第n层：n为奇数时，的坐标为，n为偶数时，的坐标为， ∴即的坐标为，即， ∵， ∴由点的分布规律可知，和都在直线上， ∴的坐标为． 35．如图，在平面直角坐标系中，，，，，都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，依据图形所反映的规律，______． 【答案】 【分析】利用等腰直角三角形的性质得到线段长度，再结合点在直线上的坐标关系，归纳出等腰直角三角形的面积规律，进而求出面积． 【详解】解：如图，分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为点，，， ∵且是等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∴， 将的坐标代入得：， 解得：， ∴，， 同理可得：，， ∴，，， ， ∴． 36．阅读与思考在一次数学探究活动中，某学习小组成员通过测量计算等方式，在平面直角坐标系中标记出了一些特殊的点，、，，，，…这些点总是满足某种数学规律． 【规律探究】（1）若平面直角坐标系中的点满足上述规律，请直接写出x与y之间的关系：______． 【感知定义】（2）该小组成员将满足上述关系的点称为“邂逅点”．请判断，，中，点______是“邂逅点”（填“A”或“B”或“C”）； 【综合应用】（3）运用“邂逅点”的定义，解决下列的问题： ①若点是反比例函数图象上的“邂逅点”，求k的值； ②已知的图象上有两个“邂逅点”，求证：这两个“邂逅点”的横坐标互为相反数． 【答案】（1）；（2）A；（3）①；②见解析 【分析】本题考查一次函数与二次函数的综合应用，解题关键是先确定“邂逅点”满足的这一关系，再结合函数性质与方程根与系数关系求解． （1）观察已知点坐标，计算的值，发现均为，直接得与关系：． （2）根据“邂逅点”满足，分别代入、、三点坐标验证，即可解答． （3）综合应用①由“邂逅点”定义，满足，解得，即．将代入反比例函数，得，解得答案．②联立“邂逅点”直线与抛物线，消去得．设方程两根（即“邂逅点”横坐标）为、，根据韦达定理，，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵点，，，， 分别验证：， ， ， ， ∵与的关系为． 故答案为：； （2）根据“邂逅点”满足： 对于：，满足，是“邂逅点”． 对于：，不满足，不是“邂逅点”． 对于：，不满足，不是“邂逅点”． 故点A是“邂逅点”． 故答案为：A； （3）①∵P是“邂逅点”， ∴， ∴， 将代入中，得 ， 即k的值为． ②证明：由题意知，“邂逅点”所在直线为， 设两个“邂逅点”的横坐标分别为，， 联立，得 ， 则， ∴两个“邂逅点”的横坐标互为相反数． 题型三、最值问题 37．如图，直线y＝x＋8分别与x轴、y轴交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PC＋PD值最小时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由轴对称性质可知：作D点关于x轴的对称点，连接，交x轴于P，此时值最小，再求出直线的解析式，即可求得P点坐标． 【详解】解：如图所示：作D点关于x轴的对称点，连接，交x轴于P，此时值最小，且最小值为， ∵直线y＝x＋8分别与x轴、y轴交于点A和点B， ∴令x=0，则y=8，则 ， 令y=0，则x=-8，则 ， ∵点C，D分别为线段AB，OB的中点， ， ， D点关于x轴的对称点为， ， 设直线 解析式为 ， 将，代入得： ， 解得： ， ∴直线 解析式为 ， ∵P为直线与x轴交点， ∴令y=0，则x=-2， ． 故选C． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点，中点坐标，轴对称中的最短路径问题，熟练掌握轴对称中的最短路径问题和求一次函数解析式是解题的关键． 38．在平面直角坐标系中，有两点，现另取一点，满足：的值最小．则a的值为（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】此题主要考查了轴对称－最短路线问题和一次函数的知识，根据已知作出点A关于直线的对称点是解题的关键． 先作出点A关于直线的对称点，再连接，求出直线的函数解析式，再把代入即可得到答案． 【详解】解：作点A关于的对称点，连接交直线于C，则,此时的值最小． 设直线的解析式为，把代入得到， 则， 解得：， 故直线的函数解析式为：， 把C的坐标代入解析式可得，． 解得． 故选：B． 39．如图，在平面直角坐标系中，，，点P在x轴上．要使的值最小，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，利用对称性求解等知识，找关于x轴对称点，连接，交轴于点P，即点A，B，P三点共线时，的值最小，此时，设直线的解析式为：，利用待定系数法求出一次函数解析式，即可求出点P的坐标． 【详解】解：找关于x轴对称点，连接，交轴于点P， 即点A，B，P三点共线时，的值最小， 此时， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 则设直线的解析式为：， 令，则， ∴， 故选C． 40．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，若点使得的值最大，点使得的值最小，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，待定系数法求解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握轴对称的性质，找出P、Q点是解题的关键． 过点作x轴的垂线l，则直线l交直线于点，此时，的值最大，作点关于直线的对称点为,连接交直线于点，则此时的值最小，求出点P和点Q的坐标即可得出答案． 【详解】解：过点作x轴的垂线l，则直线l交直线于点，此时，的值最大，作点关于直线的对称点为,连接交直线于点，则此时的值最小， ∴直线AB的解析式为， 令，则， ∴的坐标为， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线的解析式为， 当时，， 当时，，解得， ∴， ∴， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴的坐标为． ∴， ∴． 故选：B． 41．如图，四边形AOBC四个顶点的坐标分别是，，，，在该平面内找一点P，使它到四个顶点的距离之和最小，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，两点之间线段最短，设为平面一点，连接，，，，连接，，相交于点，则，，所以，当与和交点重合时，最小，求出解析式为，解析式为，联立，解得，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设为平面一点，连接，，，，连接，，相交于点，如图， ∴，， ∴， 当与和交点重合时，最小， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 联立，解得：， ∴， 故选：． 42．如图，将直线沿轴向下平移后的直线恰好经过点，且与轴交于点，在轴上存在一点，使得的值最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的平移，轴对称的性质，作点关于轴对称的点，连接，交轴于，则点即为所求，根据题意得出直线的解析式为，令，即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于轴对称的点，连接，交轴于，则点即为所求， 设直线沿轴向下平移后的直线解析式为， 把代入可得，， 平移后的直线为， 令，则，即 ， 设直线的解析式为， 把，代入可得，， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 故选：C． 43．若点P在y轴上一点，且点P到点，的距离之和最小，则点 P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，待定系数法求一次函数解析式，熟知两点之间，线段最短是解答此题的关键． 先求出点关于轴的对称点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，求出直线与轴的交点即可． 【详解】解：， 点关于轴的对称点的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 当时，， ． 故选：B． 44．如图，点的坐标为，点的坐标为，点是轴上一点，则的值最小为（    ）    A．4 B．2 C．8 D．10 【答案】D 【分析】作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的值最小，利用两点之间的距离公式计算即可． 【详解】解：如图，点就是所要求作的点．   点与点关于轴对称， 点的坐标为． 设直线的表达式为， 将点的坐标代入，得， 解得：， 直线的解析式为， 令，解得 所以，点的坐标为． ，关于轴对称， ， ， ，， 的最小值， 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，一次函数的应用，两点间距离公式等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题． 45．某函数的图象如图所示，当时，在该函数图象上可找到个不同的点，，…，，使得，则的最大取值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】设，判断出点在正比例函数上，根据图象即可判断出正比例函数的图象与某函数的图象最多有 5 个交点． 【详解】解：设， 则， 即点在正比例函数上， 如图，正比例函数的图象与某函数的图象最多有5个交点． 46．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点B，点是直线上一点．直线与x轴交于点E，当点B到直线的距离最大时，点E的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，涉及勾股定理以及逆定理，垂线段最短等知识点． 先确定直线经过定点，记为点，过点作，垂足为点，由垂线段最短可得当点重合时，点B到直线的距离最大，可得此时，然后求出直线的函数表达式，即可求解点的坐标． 【详解】解：对于直线，当，， ∴， ， 当时，， ∴直线经过定点，记为点， 过点作，垂足为点， ∵， ∴当点重合时，点B到直线的距离最大，如图： 记直线与轴交点，连接， 对于直线，当，， 解得， ∴， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵ ∴， ∴设直线为， 代入，则， 解得， ∴直线， 当时，则， 解得， ∴此时， 故选：A． 47．如图，直线经过点，与轴交于点，点是轴上一动点，与互为相反数，当的值最大时，点的坐标为______． 【答案】 【分析】首先得到直线，将代入求出直线，，求出，作点A关于x轴的对称点，连接，当点P，，B三点共线时，的值最大，即的长度，求出所在直线的表达式为，进而求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ ∴直线 ∵直线经过点， ∴ 解得 ∴直线， 当时， ∴ 如图，作点A关于x轴的对称点，连接 ∴ ∴当点P，，B三点共线时，的值最大，即的长度， 设所在直线的表达式为 将，代入得， 解得 ∴所在直线的表达式为 当时， 解得 ∴点的坐标为． 48．如图，在平面直角坐标系中，点，，是轴上任意一点． （1）当，时，点的坐标是___________． （2）当的值最大时，点的坐标是____________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，全等三角形的性质与判定． （1）过点作轴于点，证明得出，即可求解； （2）根据题意得出在的延长线上时，的值最大，待定系数法求得直线的解析式，令，得出的坐标，即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点作轴于点， ∵点，， ∴ ∵ ∴，， 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：． （2）如图，连接并延长交轴于点， 根据两点之间线段最短可得：， ∴当在的延长线上时，的值最大 设直线的解析式为，代入，， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 当时， ∴当的值最大时，点的坐标是 故答案为：． 49．已知，，在轴上求一点，使最小，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】此题主要考查轴对称——最短路线问题，综合运用了一次函数的知识．先作出点关于轴的对称点，再连接，求出直线的函数解析式，再把代入即可得． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于， 的坐标是， 直线的函数解析式为， 把点的坐标代入解析式可得． 点的坐标是． 故答案为：． 50．在平面直角坐标系中，记一个点的纵坐标与横坐标的比值为该点的“特征值”．如图所示，正六边形位于第一象限，其上下两边与轴平行，则该正六边形六个顶点中“特征值”最小的是点______． 【答案】B 【分析】本题考查的是正比例函数的性质，根据“特征值”的定义可知，由正比例函数可得，即“特征值”为，各个顶点分别与原点连接，越靠近轴越小，据此判断即可． 【详解】解：各个顶点分别与原点连接， 由正比例函数可得， ∴“特征值”为， ∵当时，， ∴越靠近轴越小， ∴由函数图象可得直线的最小，即“特征值”最小， 故答案为：B． 51．如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，点D为线段上的一点且其纵坐标为2，P为y轴上的一个动点，点，连接、，当的周长最小时，这个最小周长为_____． 【答案】/ 【分析】作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则，进而根据对称性求得当点与重合时，的周长最小，再根据直线的表达式及点D为线段上的一点且其纵坐标为2，求出对应线段的长度，运用勾股定理求出的长，最后，求得的最小周长即可． 【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则，连接，过点作轴于点． 当点与重合时，的周长最小，的周长， ∵点，是定点， ∴的长不变． ∵，点D为线段上的一点且其纵坐标为2， ∴，解得， ∴． ∴，． ∵点，点是关于轴对称的点， ∴， ∴点与点重合， ∴， ∴，， ∴的最小周长为． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质求最值，一次函数的应用、勾股定理，掌握根据轴对称的性质求线段和的最值是解题的关键． 52．唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小． 解决方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则点P即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 问题1．如图2，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． 问题2．如图3，在平面直角坐标系中，点，点． （1）请在x轴上确定一点P，使的值最小，求出点P的坐标； （2）请直接写出的最小值． 【模型迁移】 问题3．如图4，在菱形中，对角线相交于点O，，．点P和点E分别为上的动点，求的最小值． 【答案】问题1：；问题2：（1）；（2）的最小值；问题3：． 【分析】问题1：连接，则，，即的最小值是长度，再根据勾股定理求出答案即可． 问题2：（1）由待定系数法可求的解析式，即可求解； （2）由，则当点A，点P，点三点共线时，的最小值为的长，由勾股定理可求解； 问题3：由菱形的性质可得，，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，即可求解． 【详解】问题1：连接， ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值是BE长度， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 故答案为：； 问题2：（1）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求．此时，的值最小， ∵点． ∴， 设直线的解析式为， ∵点，点． ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点P的坐标； （2）的最小值； 问题3：如图5，过A作，交于P，连接， 此时线段最小，且， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 即： ∴的最小值是． 【点睛】本题考查了轴对称最短问题，正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 53．如图，在平面直角坐标系中，点，，是线段的中点． (1)求直线的函数表达式； (2)若点是轴上一点，且使周长最小，求最小周长； (3)在（2）的条件下，若点在直线上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，此时，可得到最小值，再利用勾股定理运算求解即可 （3）在轴正半轴上取一点，使，连接，过作于，过作轴，过作于，过作于，延长交轴于，证出，设，利用全等三角形的性质求出坐标，求出直线的解析式得到的坐标，利用坐标的对称性得到的坐标，求出直线的解析式和直线的解析式，联立起来即可得到的坐标，根据，得出当点N在点处时，，联立，解方程，求出结果即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为：，把，分别代入可得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：； （2）∵周长， ∴当最小时，的周长最小， 作点关于轴对称的点，连接交轴于点，过点作于点，如图所示： 此时，可得到最小值， ∵，与关于轴对称， ∴， ∵为中点，，， ∴，即， ∴， ∴，，， ∴在中，， 在中，， ∴周长； （3）解：在轴正半轴上取一点，使，连接，过作于，过作轴，过作于，过作于，延长交轴于，如图： ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴，， 设， ∴， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为：，把，分别代入可得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入，可得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴点与点关于轴对称， ∴， 设直线的解析式为：，把，分别代入可得： ， 解得：， 设直线的解析式为：， 设直线的解析式为：，把，分别代入可得： ， ， ∴直线的解析式为：， ∴联立直线与直线可得： ， 解得：， 把代入可得：， ∴； ∵， ∴当点N在点处时，，符合题意， ∵此时直线的解析式为，直线的解析式为：， ∴联立， 解得：， ∴点的坐标为； 综上分析可知：点N的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的图像性质，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，合理做出辅助线是解题的关键． 题型四、新定义问题 54．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为．由定义可知，一次函数的“亮点”为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是两条直线的交点问题，根据定义，“亮点”是一次函数与的交点，联立和解方程组即可． 【详解】解：∵亮点是和的交点， ∴联立方程：， 解得： ∴交点为，即“亮点”为， 故选：B． 55．定义：平面内任意两点，，则称为这两点之间的曼哈顿距离，“曼哈顿距离”是十九世纪数学家赫曼·闵可夫斯基所创立的词汇．在此定义下，下列选项错误的是（    ） A．若，，则 B．若，Q在直线上，则最小值是3 C．若，满足的所有点M组成的图形面积是2 D．若，，且，则点M横坐标是1 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质等知识，直接根据“曼哈顿距离”的定义判断选项A；设，根据“曼哈顿距离”定义求出，然后分，，三种情况讨论即可判断选项B；设，根据“曼哈顿距离”定义求出，然后分，；，；，；，；；讨论，判断出符合题意的点M围成的图形，即可判断选项C；设，根据“曼哈顿距离”定义求出，然后分；；三种情况讨论，即可判断选项D． 【详解】解：∵，， ∴， 故选项A正确，但不符合题意； ∵Q在直线上， ∴设， ∵， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，， ∴最小值是3， 故选项B正确，但不符合题意； 设， ∵，， ∴， 当，时，， ∴； 当，时，， ∴； 当，时，， ∴； 当，时，， ∴； 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴所有符合题意的点M组成的图形如图， ∴所有点M组成的图形的面积为， 故选项C正确，但不符合题意； 设， ∵，，且， ∴， ∴， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，解得； 当时，，恒成立， 综上，当时，， 故选项D，符合题意； 故选：D． 56．定义新运算：．按此规定可得函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据新定义，得，根据函数图象的画法，确定解答即可． 本题考查了新定义问题，根据新定义确定函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据新定义，得， 画图如下： ， 故选：C． 57．新定义题  规定：是一次函数（，为实数，）的“特征数”．若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标特征，先根据“特征数”确定一次函数表达式，利用正比例函数定义求出的值，再计算点的坐标然后即可得出所在象限. 【详解】解：根据题意可得为正比例函数； 解得 可化为，它在第一象限， 故选：A. 58．定义：点为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点叫做“平衡点”．例如：都是“平衡点”．当时，直线上有“平衡点”，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意得出关于的不等式是解答此题的关键． 根据可得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：， ，即， ， ， ， 故选：B． 59．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．若一次函数的图象上存在“近轴点”，则m的值可以为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了新定义—“近轴点”，正确理解新定义，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特点，是解决问题的关键． 的图象恒过点，当直线过时，；得到；当直线过时，，得到． 【详解】解：中，当时，， ∴图象恒过点， 当直线过时，， ， ， 当直线过时，， ， ， ∴的取值范围为或． 故m的值可以为， 故选：B． 60．定义：函数图象上到两坐标轴的距离之和等于n的点叫做这个函数图象的“n阶和点”．例如：为一次函数的“3阶和点”．若直线上存在“2阶和点”，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数，点到坐标轴的距离和关于“n阶和点”新定义的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据“2阶和点”的定义，直线上存在点满足，将直线方程代入该条件，分和两种情况讨论，结合绝对值方程，然后即可求解； 【详解】解：直线上的点满足， 将代入，得方程， 分情况讨论： 当时，，方程为， 若，则， 方程化简为， 解得， 需满足且， 解得：， 若，则， 方程化简为， 解得， 需满足且，解得（但此解与合并后仍为）， 当时，，方程为， 若，则， 方程化简为， 解得， 需满足且， 解得， 若，则， 方程化简为， 解得， 需满足且， 解得（与合并后仍为）， 综上所述：当或时，方程有解，故的取值范围为或， 故选：D； 61．定义新运算：，则下列关于函数的说法错误的是(   ) A．图象位于第一、三、四象限 B．图象经过点 C．y随x的增大而减小 D．当时，函数值满足 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义运算，一次函数的性质；先根据定义计算出的值，从而得到，再根据一次函数图像的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴图象位于第一、三、四象限，故A正确，不符合题意， 当时，，图象过点，故B正确，不符合题意， ∵， ∴y随x的增大而增大，故C错误，符合题意， 当时，，当时，， ∴当时，函数值满足，故D正确，不符合题意， 故选：C． 62．新定义：是一次函数（，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”是的一次函数是正比例函数，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数，判断点所在的象限以及新定义；根据“关联数”是的一次函数是正比例函数，得出，得出，再代入，分别计算，即可作答． 【详解】解：∵“关联数”是的一次函数是正比例函数， ∴ ∴ 则 ∴在第二象限 故选：B 63．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为．由定义可知，一次函数的“亮点”为___________． 【答案】 【分析】本题考查了两直线交点问题．理解题意，熟练掌握两直线交点是解题的关键． 联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可． 【详解】解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 即， 解得，， ∴一次函数的“亮点”为． 故答案为：． 64．新定义：我们知道，一次函数的图象是直线．观察坐标系中多条直线，从正上方（y轴正方向）看下去，它们的轮廓会形成一条由“最上方”的部分连接成的折线．基于此，我们定义：对于两个一次函数，，称“顶函数”为这两个函数在每一个x处的最大值，即． （1）当时，________； （2）若直线与函数的图象有2个交点，则k的取值范围是________． 【答案】 3 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，两直线的交点问题等知识， 分情况讨论是解题的关键． （1）将代入两个一次函数求出函数值，取最大值即可； （2）先联立两一次函数求出交点，确定“顶函数”的分段图象，再分析直线过定点的特性，通过讨论直线与顶函数两段图象的交点所在区间，解不等式确定k的取值范围． 【详解】（1）解：当时，，，因为，所以， （2）解：联立，解得， 即两直线交点为． 当 时，，故； 当时，，故； 当时，； 直线整理为，可知其过定点． ① 联立，得， 当时，，要求， 解不等式， 解得或． ② 联立，得， 当时，， 要求，解不等式，通分变形得， 解得． 要使直线与顶函数图象有2个交点，需直线与两段图象各有一个交点且不重合（时直线过交点，仅1个交点），取两个解集公共部分得． 即k的取值范围是． 65．定义：平面内任意两点，，则称为这两点之间的曼哈顿距离，“曼哈顿距离”是十九世纪数学家赫曼．闵可夫斯基所创立的词汇．在此定义下，若，点在直线上，则的最小值是________． 【答案】3 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，绝对值的意义，设点，根据新定义，得到，根据绝对值的意义，得到可以看作是数轴上表示数的点到表示数的点距离和，进而得到当时，最小为到2的距离，进行求解即可． 【详解】解：∵点在直线上， ∴设， ∵， ∴， ∴可以看作是数轴上表示数的点到表示数的点距离和， ∴当，最小，为：； 故答案为：3． 66．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”：联立方程，解得，则的“不动点”为， （1）由定义可知，一次函数的“不动点”为____________； （2）若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“不动点”，若点为轴上一个动点，使得，求满足条件的P 点坐标__________ 【答案】 或 【分析】本题是一次函数的综合题，理解定义，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键． （1）根据题意，联立，即可求解； （2）由题意可知直线与直线平行，则有，在求出，，设，由，可得，即可点坐标． 【详解】解：（1）联立， 解得， 一次函数的“不动点”为， 故答案为：； （2）直线上没有“不动点”， 直线与直线平行， ， ， ，， 设， ， ， ， ， ， 或， 或． 故答案为：或 67．定义为一次函数的特征数，若特征数是的一次函数为正比例函数，则的值是_____． 【答案】 【分析】根据题意，得出为正比例函数，即可求出的值． 【详解】解：若特征数是的一次函数为正比例函数， 即为正比例函数， 故， 得． 68．定义：对于函数（），将的值叫做该函数的特征值．若函数的特征值为，则______． 【答案】 【分析】根据题目给出的函数特征值的定义，列出关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：对于函数，可得， ∵其特征值为， ∴由题意得，，解得． 69．定义：在平面直角坐标系中，我们称直线，为常数）是点的关联直线，点是直线的关联点；特别地，当时，直线的关联点为． 如图，直线与轴交于点，与轴交于点． 【定义辨析】 （1）直线的关联点的坐标是（   ） A．    B．    C．    D． 【定义延伸】 （2）点的关联直线与直线交于点，求点的坐标；； 【定义应用】 （3）点的关联直线与轴交于点，，求的值． 【答案】（1）D；（2）C的坐标为；（3）的值为或． 【分析】（1）根据题中所给新定义可直接进行求解； （2）求出点的坐标为，根据题中所给新定义可得点的关联直线为，联立直线即可求解； （3）根据题中所给新定义可得点的关联直线为，则点，分两种情况：①当点在直线左侧时，②当点在直线右侧时，分别求解即可． 【详解】解：（1）直线，为常数），点是直线的关联点， 直线的关联点的坐标是， 故答案为：D； （2）直线，当时，，解得， 点的坐标为， 直线，为常数）是点的关联直线， 点的关联直线为， 联立得，解得， 的坐标为； （3）点的关联直线为， 当时，， 点的坐标为， 当时，， 点的坐标为， ①如图1，当点在直线左侧时，过点作，交直线于点，过点作垂直轴于点． ， ， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， 的坐标为， 把点代入得，； ②如图2，当点在直线右侧时， 同理可证， ，， 点的坐标为 把点代入得，， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，也是有关关联点和关联直线的新定义问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、理解新定义、利用待定系数法求一次函数的解析式，本题中理解关联点和关联直线的定义，正确进行分类讨论是解题的关键． 70．在平面几何中，我们学过两条直线垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们垂直的定义：设一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线，若，我们就称直线与直线互相垂直，如直线与直线，因为，所以相互垂直．根据以上定义内容，解答下面的问题： (1)求过点且与已知直线垂直的直线的函数表达式，并在如图所示的坐标系中画出直线的图象； (2)求（）问中的两条直线与轴所围的三角形的面积． 【答案】(1)，画图见解析 (2) 【分析】（）根据垂直的定义设直线的解析式为，利用待定系数法即可求出的解析式，再求出直线与轴的交点坐标，即可画出直线的图象； （）求出直线与轴和轴的交点坐标，画出直线的图象，再求出两条直线的交点坐标，最后结合图形，即可求出与轴所围的三角形的面积． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， ∴直线过点， 画图如下： ； （2）解：由得，当时，；当时，； ∴直线过点和，如图， 由得，， ∴两条直线的交点坐标为， ∴两条直线与y轴所围的三角形的面积为． 71．阅读与思考：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象，给出它们互相垂直的定义．设一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线，若，我们就称直线与直线互相垂直．例如，直线与直线，因为，所以这两条直线互相垂直． 根据以上定义内容，解答下面的问题： (1)已知直线与直线互相垂直，则的值为_____________； (2)若直线经过点，且与直线垂直，直接写出直线的表达式． 【答案】(1) (2)直线的表达式为 【分析】（1）利用，建立方程求解； （2）设直线的表达式，根据垂直关系求出，再代入求． 【详解】（1）解：直线与直线互相垂直， ， 解得：； （2）解：直线与直线垂直， 设直线的表达式：， ， 解得：， ， 直线经过点， ， 解得：， 直线的表达式为． 72．定义：在平面直角坐标系中，将直线的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“k倍伴随线”． 【定义辨析】 （1）若点在上，则下列四个点①、②、③、 ④，在的 “k 倍伴随线”上的点有______（填序号）； （2）下列函数图像是直线的“2倍伴随线”的是（    ）； A． B． C． D． 【定义延伸】 （3）若直线的“k倍伴随线”记为．现给出两个关系式：①；②．其中正确是是______（填序号）； 【定义应用】 （4）如图，已知直线与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点C，能使为等腰直角三角形，求k的值． 【答案】（1）②④；（2）B；（3）②；（4）或3． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据“k倍伴随线”求解即可； （2）依据“k倍伴随线”求解即可； （3）先求出直线与坐标轴的交点坐标，再将横、纵坐标都乘以，得，再将代入可得结果； （4）先求出，，再求出直线的“k倍伴随线”为，再分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）∵将横、纵坐标都乘以2，得到， 将横、纵坐标都乘以3，得到， ∴在的“k 倍伴随线”上的点有②、 ④， 故答案为：②④； （2）直线经过，将这两点横、纵坐标都乘以2，得， 设直线的“2倍伴随线”关系式为， 将代入得： ，解得：， ∴直线的“2倍伴随线”关系式为， 故选：B； （3）直线中，令，得，令，得， ∴经过，将这两点横、纵坐标都乘以，得， ∵直线的“k倍伴随线”记为． ∴将代入得：， 故答案为：②； （4）直线中，令，得，令，得， ∴，， 设直线的“k倍伴随线”为， 将横、纵坐标都乘以，得到，， ∴， ∴直线的“k倍伴随线”为， 为等腰直角三角形，如图，分三种情况讨论： 当且时，得， ∴， ∴， 当且时，得， ∴， ∴， 当且时，得， ∴， ∴， 综上所述，或3 73．定义：在平面直角坐标系中，将直线..的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“k倍伴随线”． 【定义辨析】 （1）若点在上，则下列四个点① 、②、③、④，在的 “k 倍伴随线”上的点有 （填序号）； （2）下列函数图像是直线的“2倍伴随线”的是（ ）； A．   B．   C．   D． 【定义延伸】 （3）若直线的“k倍伴随线”记为．现给出两个关系式：①；②．其中正确的是 （填序号）； 【定义应用】 （4）如图，已知直线与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点C，能使△ABC为等腰直角三角形，求k的值． 【答案】1．（1）②④；（2）B；（3）②；（4）或3． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据“k倍伴随线”求解即可； （2）依据“k倍伴随线”求解即可； （3）先求出直线与坐标轴的交点坐标，再将横、纵坐标都乘以，得，再将代入可得结果； （4）先求出，，再求出直线的“k倍伴随线”为，再分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）∵将横、纵坐标都乘以2，得到， 将横、纵坐标都乘以3，得到， ∴在的“k 倍伴随线”上的点有②、 ④， 故答案为：②④； （2）直线经过，将这两点横、纵坐标都乘以2，得， 设直线的“2倍伴随线”关系式为， 将代入得： ，解得：， ∴直线的“2倍伴随线”关系式为， 故选：B； （3）直线中，令，得，令，得， ∴经过，将这两点横、纵坐标都乘以，得， ∵直线的“k倍伴随线”记为． ∴将代入得：， 故答案为：②； （4）直线中，令，得，令，得， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的“k倍伴随线”为， 将，，横、纵坐标都乘以，得到，， ∴， ∴直线的“k倍伴随线”为， ∵为等腰直角三角形，如图，分三种情况讨论： 当且时， ， ∴， ∴， ∴， 当且时， ， ∴， ∴， ∴， 当且时， 得， ∴， ∴， 综上所述，或3 1．新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴不平行，点为直线外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即． 定义理解 (1)如图2，若直线的表达式为，与轴和轴分别交于，两点，求．（点为坐标原点） (2)定义运用，如图3，将直线l：向左平移个单位长度后得到直线m：，与轴和轴分别交于，两点，当时（点O为坐标原点），求平移距离的值； (3)定义拓展，在（2）的条件下，轴上是否存在点，使得△QAB为等腰三角形，且点关于直线的“L路径”与直线有交点．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握求一次函数与坐标轴交点的方法以及讨论等腰三角形的存在性． （1）求出点A和点B的坐标，即可解答； （2）求出点C和点D的坐标，根据，列出方程，即可解答； （3）根据等腰三角形的性质，进行分类讨论：当点Q在y轴上时，分3种情况进行讨论，结合“L路径”的定义，即可解答． 【详解】（1）把代入得：， 把代入得：，解得， 、， ，， ； （2）把代入得：， 把代入得：，解得， 、， ，， ， ， 解得：； （3）， 、， 根据勾股定理可得：， 点Q在y轴上，共分为三种情况： 第一种情况，当时， 或， 点关于直线l的“L路径”与直线m没有交点，故不符合题意， 即只有符合题意； 第二种情况，当时， ， ， ； 第三种情况，当时， 设， ， 根据勾股定理可得：， 则， 解得：， ； 综上所述，存在，点的坐标为或或． 2．请你认真阅读思考下面的材料，完成相关问题． 【数学模型】 如图①，A，B是直线l同旁的两个定点，在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则点P即为所求．此时，的值最小，且 【模型应用】 (1)如图②，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为米，米，且米．在l上确定一点P，则的最短路径长为______米； (2)如图③，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上一个动点，求的最小值； (3)如图④，在平面直角坐标系中，点，．请在x轴上确定一点P，使的值最小，并求出的最小值． 【答案】(1)1500 (2) (3)P点坐标为；的最小值为 【分析】本题考查了轴对称-最短问题，垂线段最短，等腰三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，要灵活运用对称性解决此类问题．找出P点位置是解题的关键． （1）作点A关于直线l的对称点，连接，过点作并交线于点M，根据对称的性质得出米，米，米，再由勾股定理求解即可； （2）连接，设与交于点P，根据正方形的性质及轴对称得出P在与的交点上时，最小，为的长度，利用勾股定理求解即可； （3）作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，P点即为所求，利用轴对称的性质得出，则，的值最小，然后确定一次函数解析式即可得出结果，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：作点A关于直线l的对称点，连接，过点作并交线于点M， ∴米， 在中，米，米， （米）， ∴“将军饮马”问题中的最短路径长为1500米， 故答案为：1500； （2）如图，连接， 设与交于点P， ∵四边形是正方形， ∴点B与D关于对称， ∴， ∴最小． 即P在与的交点上时，最小，为的长度． ∵直角中，， ∴． ∴的最小值为． （3）如图，作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，P点即为所求： 利用对称的性质得到，则，的值最小； A点关于x轴对称的点的坐标为， 设直线的解析式为， 把代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴P点坐标为； 的最小值为：． 3．情景探究 【问题情景】学习了“最短路径问题”后，李老师结合坐标系的知识，设计了下面的问题：如图1，在平面直角坐标系中，已知点为轴上的一个动点，点在什么位置时，的值最小？最小值为多少？ 【方法探究】“顶尖”小组先在图1中画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小；然后展示了两种求解方案： 方案一：连接，利用列方程求出点的坐标． 方案二：求出直线对应的函数表达式，利用一次函数的图象与性质求出点的坐标． （1）点的坐标为_____，的最小值为_____． （2）选择一种你喜欢的方案求出点的坐标． 【推广应用】 （3）小强受到启发，设计了如下问题：如图2，在平面直角坐标系中，已知点，，直线经过点，且与轴平行，分别在轴和直线m上找点，使得轴，且的值最小，求出点的坐标． 【答案】（1），；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为，点的坐标为 【分析】本题考查坐标与轴对称，一次函数与几何的综合应用： （1）根据对称性求出点坐标，勾股定理求出的长即可； （2）方案一，根据等积法求出点坐标即可；方案二：求出的解析式，进而求出直线与轴的交点即为点； （3）设，连接，证明，得到，进而得到，三点共线时，的值最小；连接，与直线的交点即为点，进而求出点，的坐标即可． 【详解】解：（1）∵，点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∴当点在上时，的最小值为的长， ∵， ∴； 即：的最小值为； （2）方案一：连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，即， ∴， ∴； 方案二：∵， ∴设直线的解析式为直线，把代入，得：，解得：， ∴， 当时，，， ∴； （3）由题意设，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小； ∵， ∴设直线的解析式为：，则：， ∴， ∴， 当时，，即， ∴． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一次函数综合提升 目录 A题型建模・专项突破 题型一、 对称问题 1 题型二、 规律问题 4 题型三、 最值问题 10 题型四、 新定义问题 15 B综合攻坚・能力跃升 题型一、对称问题 1．在平面直角坐标系中，直线（、为常数，且）与直线关于轴对称，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称点P（或点Q）的纵坐标为函数，与的“对偶值”．那么函数与的“对偶值”为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 4．关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．关于直线对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 5．将函数的图象沿轴对折，对折后的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 6．若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则： ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．在同一平面直角坐标系中，对于函数：①，②，③，④的图象，下列说法正确的是（   ） A．通过点的是①和③ B．交点在轴上的是②和④ C．①和③都与函数的图象平行 D．关于轴对称的是②和③ 8．在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．一次函数的图象关于轴对称的直线的表达式是_____________． 10．已知直线． （1）该直线关于y轴对称的直线的函数解析式为______； （2）该直线关于x轴对称的直线的函数解析式为______． 11．若一次函数与一次函数的图象关于轴对称，则_____ 12．若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则称点（或点）的纵坐标为函数与的“对偶值”．那么函数与的“对偶值”为______． 13．若一次函数与的图像关于y轴对称，则______ ，______． 14．在平面直角坐标系中，若直线（，是常数，）与直线关于轴对称，则的值为_____． 15．在平面直角坐标系中，若直线（，是常数，）与直线关于轴对称，则的值为______． 16．将一次函数的图象以y轴为对称轴翻折，翻折后的图象函数表达式是_______． 17．点关于对称点的坐标是_____． 18．综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B，一次函数经过点B． (1)求线段的长； (2)如图2，把直线沿y轴向上平移5个单位，与直线相交于点M，连接，求的面积； (3)在直线上是否存在一点Q，使得的周长最小，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 19．如图，在平面直角坐标系中，的正方形网格的每个小正方形的边长为1个单位． (1)画出直线． (2)将直线向下平移4个单位得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． (3)若直线与直线关于轴成轴对称，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． (4)若直线与轴的交点为，则点的坐标为___________，将直线绕点逆时针旋转得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． 20．如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集， (3)若直线与直线关于直线对称，求直线的表达式． 题型二、规律问题 21．观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（    ） A． B． C． D． 22．如图，过点作x轴的垂线，交直线于点；点与点O关于直线对称；过点作x轴的垂线，交直线于点；点与点O关于直线对称；过点作x轴的垂线，交直线于点；…，按此规律作下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 23．观察下列等式：，，，…，运用你发现的规律解决以下问题：如图，分别过点作x轴的垂线，交抛物线的图象于点，交直线于点，则的值为（    ）． A． B． C． D． 24．如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，按此规律进行下去，则的长为（    ） A． B． C． D． 25．在平面直角坐标系中，将点沿箭头方向按如图所示规律移动，当点首次位于轴上时，停止移动．甲、乙、丙三位同学的结论如下， 甲：点的坐标为； 乙：若在直线两侧的点（点，，，）的个数相等，则的取值范围为； 丙：直线与折线相交于点，从到的运动中的值先减小后增大． 则下列判断正确的是（   ） A．甲、乙正确 B．甲、丙正确 C．乙、丙正确 D．甲、乙、丙都正确 26．如图，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于A，B两点，过原点O作垂直于直线交于点，过点作垂直于x轴交x轴于点，过点作垂直于直线交于点，过点作垂直于x轴交x轴于点，依此规律作下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 27．如图，在平面直角坐标系中，点在过原点的直线上，以点O为圆心，长为半径画弧交直线于点，过点作轴交于点；以点O为圆心，长为半径画弧交直线于点，过点作轴交于点；…按此规律，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 28．如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 29．如图，直线与轴负半轴交于点，以为边构造等边三角形；过作交直线于点，以为边构造等边三角形，…按此规律进行下去，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 30．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点O重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形，……按照这样的规律进行下去，那么的坐标为（    ） A． B． C． D． 31．如图，，，，…，都是面积为的等边三角形，边在轴上，点，，，…，，都在直线上，点，，，…，都在直线的上方，观察图形的构成规律，用你发现的规律直接写出点的坐标为______．    32．如图，，，，…，都是面积为的等边三角形，边AO在y轴上，点，，，…，，都在直线上，点，，，…，都在直线的上方，观察图形的构成规律，用你发现的规律直接写出点的坐标为______． 33．如图， 正方形 的顶点，延长交x轴于点，作正方形 ，延长交x轴于点，作正方形…按照这样的规律， 则点的坐标为_________________ 34．如图，平面直角坐标系中，网格边长为单位1，在一次函数与之间，存在若干横纵坐标均为整数的点，坐标为，根据这个规律，的坐标是__________． 35．如图，在平面直角坐标系中，，，，，都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，依据图形所反映的规律，______． 36．阅读与思考在一次数学探究活动中，某学习小组成员通过测量计算等方式，在平面直角坐标系中标记出了一些特殊的点，、，，，，…这些点总是满足某种数学规律． 【规律探究】（1）若平面直角坐标系中的点满足上述规律，请直接写出x与y之间的关系：______． 【感知定义】（2）该小组成员将满足上述关系的点称为“邂逅点”．请判断，，中，点______是“邂逅点”（填“A”或“B”或“C”）； 【综合应用】（3）运用“邂逅点”的定义，解决下列的问题： ①若点是反比例函数图象上的“邂逅点”，求k的值； ②已知的图象上有两个“邂逅点”，求证：这两个“邂逅点”的横坐标互为相反数． 题型三、最值问题 37．如图，直线y＝x＋8分别与x轴、y轴交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PC＋PD值最小时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 38．在平面直角坐标系中，有两点，现另取一点，满足：的值最小．则a的值为（    ） A．1 B．2 C． D．3 39．如图，在平面直角坐标系中，，，点P在x轴上．要使的值最小，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 40．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，若点使得的值最大，点使得的值最小，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 41．如图，四边形AOBC四个顶点的坐标分别是，，，，在该平面内找一点P，使它到四个顶点的距离之和最小，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 42．如图，将直线沿轴向下平移后的直线恰好经过点，且与轴交于点，在轴上存在一点，使得的值最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 43．若点P在y轴上一点，且点P到点，的距离之和最小，则点 P的坐标为（    ） A． B． C． D． 44．如图，点的坐标为，点的坐标为，点是轴上一点，则的值最小为（    ）    A．4 B．2 C．8 D．10 45．某函数的图象如图所示，当时，在该函数图象上可找到个不同的点，，…，，使得，则的最大取值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 46．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点B，点是直线上一点．直线与x轴交于点E，当点B到直线的距离最大时，点E的坐标为（   ） A． B． C． D． 47．如图，直线经过点，与轴交于点，点是轴上一动点，与互为相反数，当的值最大时，点的坐标为______． 48．如图，在平面直角坐标系中，点，，是轴上任意一点． （1）当，时，点的坐标是___________． （2）当的值最大时，点的坐标是____________． 49．已知，，在轴上求一点，使最小，则点的坐标是______． 50．在平面直角坐标系中，记一个点的纵坐标与横坐标的比值为该点的“特征值”．如图所示，正六边形位于第一象限，其上下两边与轴平行，则该正六边形六个顶点中“特征值”最小的是点______． 51．如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，点D为线段上的一点且其纵坐标为2，P为y轴上的一个动点，点，连接、，当的周长最小时，这个最小周长为_____． 52．唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小． 解决方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则点P即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 问题1．如图2，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． 问题2．如图3，在平面直角坐标系中，点，点． （1）请在x轴上确定一点P，使的值最小，求出点P的坐标； （2）请直接写出的最小值． 【模型迁移】 问题3．如图4，在菱形中，对角线相交于点O，，．点P和点E分别为上的动点，求的最小值． 53．如图，在平面直角坐标系中，点，，是线段的中点． (1)求直线的函数表达式； (2)若点是轴上一点，且使周长最小，求最小周长； (3)在（2）的条件下，若点在直线上，且，求点的坐标． 题型四、新定义问题 【定义延伸】 （2）点的关联直线与直线交于点，求点的坐标；； 【定义应用】 （3）点的关联直线与轴交于点，，求的值． 70．在平面几何中，我们学过两条直线垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们垂直的定义：设一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线，若，我们就称直线与直线互相垂直，如直线与直线，因为，所以相互垂直．根据以上定义内容，解答下面的问题： (1)求过点且与已知直线垂直的直线的函数表达式，并在如图所示的坐标系中画出直线的图象； (2)求（）问中的两条直线与轴所围的三角形的面积． 71．阅读与思考：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象，给出它们互相垂直的定义．设一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线，若，我们就称直线与直线互相垂直．例如，直线与直线，因为，所以这两条直线互相垂直． 根据以上定义内容，解答下面的问题： (1)已知直线与直线互相垂直，则的值为_____________； (2)若直线经过点，且与直线垂直，直接写出直线的表达式． 72．定义：在平面直角坐标系中，将直线的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“k倍伴随线”． 【定义辨析】 （1）若点在上，则下列四个点①、②、③、 ④，在的 “k 倍伴随线”上的点有______（填序号）； （2）下列函数图像是直线的“2倍伴随线”的是（    ）； A． B． C． D． 【定义延伸】 （3）若直线的“k倍伴随线”记为．现给出两个关系式：①；②．其中正确是是______（填序号）； 【定义应用】 （4）如图，已知直线与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点C，能使为等腰直角三角形，求k的值． 73．定义：在平面直角坐标系中，将直线..的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“k倍伴随线”． 【定义辨析】 （1）若点在上，则下列四个点① 、②、③、④，在的 “k 倍伴随线”上的点有 （填序号）； （2）下列函数图像是直线的“2倍伴随线”的是（ ）； A．   B．   C．   D． 【定义延伸】 （3）若直线的“k倍伴随线”记为．现给出两个关系式：①；②．其中正确的是 （填序号）； 【定义应用】 （4）如图，已知直线与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点C，能使△ABC为等腰直角三角形，求k的值． 1．新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴不平行，点为直线外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即． 定义理解 (1)如图2，若直线的表达式为，与轴和轴分别交于，两点，求．（点为坐标原点） (2)定义运用，如图3，将直线l：向左平移个单位长度后得到直线m：，与轴和轴分别交于，两点，当时（点O为坐标原点），求平移距离的值； (3)定义拓展，在（2）的条件下，轴上是否存在点，使得△QAB为等腰三角形，且点关于直线的“L路径”与直线有交点．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．请你认真阅读思考下面的材料，完成相关问题． 【数学模型】 如图①，A，B是直线l同旁的两个定点，在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则点P即为所求．此时，的值最小，且 【模型应用】 (1)如图②，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为米，米，且米．在l上确定一点P，则的最短路径长为______米； (2)如图③，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上一个动点，求的最小值； (3)如图④，在平面直角坐标系中，点，．请在x轴上确定一点P，使的值最小，并求出的最小值． 3．情景探究 【问题情景】学习了“最短路径问题”后，李老师结合坐标系的知识，设计了下面的问题：如图1，在平面直角坐标系中，已知点为轴上的一个动点，点在什么位置时，的值最小？最小值为多少？ 【方法探究】“顶尖”小组先在图1中画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小；然后展示了两种求解方案： 方案一：连接，利用列方程求出点的坐标． 方案二：求出直线对应的函数表达式，利用一次函数的图象与性质求出点的坐标． （1）点的坐标为_____，的最小值为_____． （2）选择一种你喜欢的方案求出点的坐标． 【推广应用】 （3）小强受到启发，设计了如下问题：如图2，在平面直角坐标系中，已知点，，直线经过点，且与轴平行，分别在轴和直线m上找点，使得轴，且的值最小，求出点的坐标． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $