培优03 一次函数与几何综合4大题型（大单元专项训练）数学新教材人教版八年级下册

**基本信息** 以“问题情境—模型构建—综合应用”为主线，系统整合一次函数与线段、角度、面积及特殊三角形的几何综合问题，突出数形结合思想与动态探究能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数与线段问题|16题|旋转转化法、交点坐标分析法、整点问题分类讨论|以线段最值与存在性为核心，构建“函数表达式—坐标关系—几何变换”推理链条| |一次函数与角度问题|26题|对称性质应用、角度平分线性质、旋转角度计算|通过角的度量与转化，建立“斜率—倾斜角—三角形内角”关联模型| |一次函数与面积问题|18题|面积割补法、动点面积函数建模、图形对称性质|围绕面积计算与平分，形成“坐标参数化—面积表达式—最值分析”解题路径| |一次函数与特殊三角形|30题|等腰/直角三角形判定、分类讨论思想、几何存在性论证|以特殊三角形性质为切入点，实现“函数图像—几何图形—代数方程”的转化应用|

专题03 一次函数与几何综合 目录 A题型建模・专项突破 题型一、 一次函数与线段问题 1 题型二、 一次函数与角度问题 5 题型三、 一次函数与面积问题 13 题型四、 一次函数与特殊三角形 18 B综合攻坚・能力跃升 题型一、一次函数与线段问题 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，于点是线段上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 2．在平面直角坐标系中，线段的端点坐标为，，直线与线段有交点，则下列数值中k不能取的是（   ） A． B． C．2 D．5 3．如图，已知点，，点在直线上运动，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫作整点，直线与坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）恰有三个整点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知一次函数与相交于点C，现有一次函数，若，，不能围成三角形，则k的值不可能为（    ） A．1 B． C．2 D． 6．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，边长为2，若直线与正方形有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图，平面直角坐标系中，线段的两端点坐标为，，某同学设计了一个动画：在函数中，分别输入m和n的值，便得到射线，其中；当时，会从C处弹出一个光点P，并沿飞行；当有光点P弹出，并击中线段上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段就会发光，则此时整数m的个数为（    ）个 A．5 B．6 C．8 D．9 8．在平面直角坐标系中，线段的端点，直线与线段有交点，则k的值不可能是（   ） A．4 B． C．3 D． 9．新定义：对于线段，将线段绕点顺时针旋转，得到线段；将线段绕点逆时针旋转，得到线段，旋转后的线段和所在的直线交于点，我们称点为线段的“冯桥点”如图，已知直线与轴和轴分别相交于点，点，那么线段在第一象限的“冯桥点”的坐标为_____________． 10．阅读理解：对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，且，则称点是线段的“完美等距点”．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点．当，是否存在这样的点，使点是线段的“等距点”，也是线段的“完美等距点”，则符合的点的坐标为______． 11．在平面直角坐标系中，，下面有四种说法： ①当时，一次函数的图象与线段有公共点； ②一次函数的图象与线段有公共点； ③当时，一次函数的图象与线段有公共点； ④当时，一次函数的图象与线段有公共点． 上述说法中正确的是___________（填序号）． 12．已知直线与直线相交于点，点在直线上，点是平面直角坐标系内一动点，将线段绕着点顺时针旋转到线段，当线段与直线相交时，的取值范围是______． 13．在平面直角坐标系中，，，下面有四种说法： ①当时，一次函数的图象与线段有公共点； ②x轴上存在一点C使得； ③当时，一次函数的图象与线段有公共点； ④当，时，一次函数的图象与线段有公共点． 上述说法中正确的是______（填序号）． 14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，且轴，直线与线段交于点，当线段上有3个整点（包含线段端点）时，的取值范围为___________． 15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，且轴，直线与线段交于点，当线段上有3个整点（包含线段端点）时，的取值范围为___________． 16．在平面直角坐标系中，对于线段与直线，给出如下定义：若线段关于直线的对称线段为（，分别为点A，B的对应点），则称线段为线段的“关联线段”已知点，． (1)线段为线段的“关联线段”，点的坐标为________，的坐标为________； (2)线段为线段的“关联线段”，点的坐标为，则的长为________，b的值为________； (3)线段为线段的“关联线段”，直线经过点，若点，都在直线上，连接，求线段的长度； (4)点，，线段为线段的“关联线段”，且当b取某个值时，一定存在k使得线在线段上，直接写出b的取值范围． 题型二、一次函数与角度问题 17．在平面直角坐标系中，当时，四个函数的图象与轴正半轴的夹角分别为，则在这四个角中，最小的角是（    ） A． B． C． D． 18．如图，已知、，一次函数的图像为直线，点关于直线的对称点恰好落在的平分线上，则的值为（    ）. A． B． C． D． 19．如图，点C的坐标是，A为坐标原点，轴于B，轴于D，点E是线段的中点，过点A的直线交线段于点F，连接EF，若平分，则k的值为（    ） A．1 B．3或2 C．1或3 D．1或 20．如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，则将直线绕着点B逆时针旋转后与x轴交点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交、轴于点、，直线与轴正半轴交于点，若，则直线的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 22．如图，将含角的直角三角尺放置在平面直角坐标系中，点与坐标原点重合，已知点的坐标为，则直线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 23．对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．函数值随自变量的增大而减小 B．函数图象与轴的交点坐标是 C．函数图象与轴的正方向成角 D．函数图象不经过第四象限 24．如图，点在轴负半轴上，直线与轴、轴分别交于点，，且，点在直线上，且点位于第一象限，连接，若时，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 25．正比例函数与轴正半轴所夹的角为______°． 26．点在一次函数的图象上，一次函数与轴相交于点，、两点关于轴对称．将沿轴左右平移到，在平移过程中，将该角绕点旋转，使它的一边始终经过点，另一边与直线交于点．若为等腰直角三角形，且，则点的坐标为________． 27．如图，正方形的边长为2，为坐标原点，和分别在轴、轴的正半轴上，点是边的中点，过点的直线交线段于点，连接，若平分．则的值为_____． 28．如图，直线与轴、轴分别交于点、，点在第一象限内且，，，则线段长度为 ________________ ． 29．一次函数的图象与轴的交点为，将该函数图象绕点逆时针旋转，得到一个新的函数图象，新的函数图象的函数表达式为________． 30．已知正比例函数的图象与x轴所成的锐角为，则k的值为________． 31．如图，直线 与轴，轴分别交于，两点，点是第二象限内一点，连接，若，则直线的解析式为___． ∵， ， 在中，根据三角形内角和为180°， 可 得， ∴， ∴. 又∵，， ∴，且， ∴， ∴，， ∵， ∴点横坐标为，点纵坐标为，所以， 设直线的解析式为：，把，代入， 则， 解得， 则直线的解析式为：， 故答案为： 32．一次函数与轴交于点，将一次函数绕点顺时针旋转得到新的一次函数关系式为___________． 33．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点P是直线上一点，且，则点P的坐标为____． 34．直线与轴，轴分别交于点，，直线经过点，与轴交于点，且，则直线的函数表达式为______． 35．如图，直线与轴、轴分别交于点，点在第一象限内且，，，则线段长度为___________． 36．如图，在平面直角坐标系中，，，点C在上，点D在上，，分别连接交于F点．若，则F的坐标为______． 37．如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，直线与轴、轴分别交于点，且．点是的中点，为直线上的一个动点，连接．若，则点的坐标是__________． 38．如图，一次函数的图象经过点，且与轴、轴分别交于，两点． （1）____________． （2）将该直线绕点顺时针旋转得直线，过点作交直线于点，则直线的函数解析式为__________________． 39．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，另一条经过B点的直线交x轴于点C且与直线构成的夹角，则直线的解析式为______． 40．如图，直线分别交x轴、y轴于点B、A，点M在x轴，将绕点A按逆时针旋转得到，连接，则的最小值为_____． 41．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与直线相交于点，与轴交于点，与轴交于点，且，满足． (1)求一次函数的解析式； (2)若点为直线上一点，且，求点的坐标； (3)如图2，点在第一象限，连接，，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，，求的长． 42．如图，已知直线：与x轴，y轴分别交于A，B两点，过点A的直线与y轴负半轴交于点C，且． (1)求直线的函数表达式； (2)若将沿线段方向平移得到点O的对应点为点D，点B的对应点为点，连接，过点D的直线，恰好将四边形的面积分成相等的两部分，求直线的表达式； (3)若直线：与y轴正半轴交于点M，与直线交于点N，若，求k的值． 43．如图1，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，O为坐标原点，现将正方形绕点O顺时针方向旋转，旋转角为θ，对角线分别与x轴、直线交于点D、E， (1)当时，如图2，试求证； (2)当时，如图3，边与直线交于点M，边与x轴交于N，则周长为 ； (3)当正方形旋转到图3位置时，若，则 ； (4)当时，直线有一动点P，当点P的坐标为 时，有最小值为 ． 44．如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交轴，轴于点，，点为线段的中点，且点． (1)求直线的表达式； (2)如图2，点为直线上一点且在点的上方，点，分别是轴与直线上的动点，当的面积为9时，求的最小值； (3)如图3，直线经过点且与轴所成的锐角为，点为直线上一动点，连接，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 45．如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】： （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点． ①求点A和点B的坐标，并计算的长度． ②是正比例函数图象上的两个动点，连接，若，，求的最小值． 【模型拓展】： （2）如图2，一次函数的图象与轴，轴分别交于两点．将直线绕点逆时针旋转，得到直线，求直线对应的函数表达式． 题型三、一次函数与面积问题 46．如图，直线轴于点，直线轴于点，直线轴于点，…直线轴于点．函数的图象与直线，，…分别交于点，，，…；函数的图象与直线，，…分别交于点，，…，如果的面积记作，四边形的面积记作，四边形的面积记作…四边形的面积记作，那么的值为（   ） A．4050 B．4051 C．4052 D．4053 47．如图，函数（是常数，且）的图像分别交轴，轴于点，，线段上两点，（点在点的右侧），作轴，轴，且垂足分别为，，若，则的面积与的面积的大小关系是（    ）    A． B． C． D．无法确定 48．如图，一个菱形的一组相邻顶点分别在轴和轴上，它的两条对角线分别与轴和轴平行．一条直线经过这个菱形的对角线交点，这条直线对应的函数关系式为．涂有“”部分的面积记为，涂有“”部分的面积记为，当时，所有可能的值有（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 49．如图，直线的解析式为，与x轴交于点B，直线经过点，与直线交于点，且与x轴交于点A，在上存在一点P，使的面积是面积的，则P点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 50．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象交于点．若动点在射线上运动，当的面积是面积的时，点的坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 51．如图，在平面直角坐标系中，的面积是（   ） A．2 B．5 C．10 D．8 52．如图，，，，四边形是矩形．直线经过点A，D，直线，直线将矩形分成面积相等的两部分，则b的值为（   ） A． B． C． D．2 53．一次函数的图象如图，下列说法正确的是（   ） A．点B的坐标是 B．的面积是8 C．y随x的增大而增大 D．点在函数图象上 54．一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形面积是（   ） A． B． C．2 D．4 55．如图，点在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（   ） A． B． C．3 D．6 56．如图，在平面直角坐标系中，的边落在轴的正半轴上，点，，直线每秒向下平移3个单位，该直线将的面积平分时，移动了（   ） A． B． C． D． 57．如图，在中，，，点，，分别在边，边和边上，且．设，记与的面积差为，则关于的函数图象为（    ） A． B． C． D． 58．已知直线（k、b为常数，且）经过点和，将直线向左平移3个单位长度后得到的直线与x轴、y轴围成的三角形的面积是（   ） A．3 B． C．2 D．1 59．如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）的面积是________； （2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为________． 60．如图，直线和轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，，如果在直角坐标平面内有一点，且的面积与的面积相等，则的值为________． 61．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是直线上方第一象限内的动点． （1）点是直线：上一动点，当的面积与的面积相等时，点的坐标为___________； （2）当是以为直角边的等腰直角三角形时，点的坐标为___________． 62．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．若图中阴影部分的三角形都是等腰直角三角形，则从左往右数第5个阴影三角形的面积是___________，第2025个阴影三角形的面积是___________． 63．实践探究：三角形的面积平分直线探究 三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分．已知直线与轴、轴分别交于、两点，为坐标原点，我们来开展以下探究活动． (1)求出、两点的坐标，并计算的面积； (2)请你画出，并尝试画出一条能将分成面积相等两部分的直线，写出这条直线的函数表达式，并说明你这样画的理由； (3)除了（2）中你画出的直线外，是否还存在其他过顶点且能平分其面积的直线？如果存在，请找出所有符合条件的直线并写出它们的函数表达式：如果不存在，请说明理由； (4)结合上述探究，你能总结出“过三角形一个顶点且平分三角形面积的直线”的一般规律吗？请用文字描述出来． 64．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴负半轴交于点B，与y轴正半轴交于点A，A点坐标，三角形的面积是4． (1)求点B的坐标； (2)点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标，连接，点E是x轴正半轴上一点，且，连接． ①如图2，若三角形的面积是8，求m的值； ②如图3，点F是线段上一点（点F与点B，点O不重合），连接，，当四边形的面积与三角形的面积相等时，用只含有m的代数式表示三角形的面积，并说明理由． 题型四、一次函数与特殊三角形 65．如图，等腰直角三角形与等腰直角三角形均位于第一象限内，它们的直角边平行于x轴或y轴，其中点A、在直线上，点C、在直线上，O为坐标原点，已知点A的坐标为，，若，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 66．如图，点，，，…，在直线上，过点，，，…，分别作轴的垂线，垂足分别为，，，…，．若，，，…，均为等腰直角三角形，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 67．如图．在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上，，，，…都是等腰直角三角形，如果点，那么点的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 68．如图，是等腰直角三角形，，顶点与原点重合，点的坐标为，点为的中点，将绕点顺时针旋转，当点的对应点落在直线上时，点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 69．如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，是的中点，点的坐标分别是和是线段上一个动点，则点从点向点的运动过程中，依次出现的特殊三角形为（    ） A．直角三角形等腰三角形等边三角形直角三角形 B．直角三角形等边三角形等腰三角形直角三角形 C．等腰三角形一直角三角形一等边三角形一等腰三角形 D．等腰三角形一直角三角形一等边三角形一直角三角形 70．直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C在x轴上，若为等腰三角形，则满足条件的点C共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 71．在平面直角坐标系中，点，动点在轴上，若以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 72．已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A点、B点，点M在x轴上，并且使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形，则这样的点M有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．7个 73．如图，已知函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点是轴上一点，若为等腰三角形，则点的坐标不可能是（　　）    A． B． C． D． 74．如图，平面直角坐标系中，在函数和的图象之间由小到大依次画出若干个直角三角形（图中所示的阴影部分），其短直角边与x轴垂直，长直角边与x轴平行，斜边在函数的图象上，已知点A的坐标是，则第100个直角三角形的面积是（  ） A． B． C． D． 75．如图，直角三角形的两直角边、分别与x轴、y轴平行，且，顶点A的坐标为，若某正比例函数的图象经过点B，则此正比例函数的表达式为（     ） A． B． C． D． 76．第24届国际数学家大会会标图案是由四个全等的直角三角形围成的一个正方形，中间的阴影部分是一个小正方形的＂赵爽弦图＂，如图，如果这四个全等的直角三角形有一个角为，顶点 、…和、… 分别在直线 和 x 轴上，图中阴影部分正方形的面积从左到右依次记为、…、，则 的值为_______． 77．如图，有一种动画程序，在平面直角坐标系屏幕上，直角三角形是黑色区域（含直角三角形边界），其中，，，用信号枪沿直线发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的b的取值范围是____________________．    78．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，且与直线：交于点，若点是轴上的一个动点，当是以为直角边的直角三角形时，点的坐标为：___________． 79．如图，直线交轴于点，交轴于点，，点是坐标轴上一点，且是直角三角形，满足这样条件的点有___________个． 80．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，A，C两点分别在x轴、y轴上， ，B点的坐标为．将沿翻折，B点落在D点位置，交y轴于点 E，则点 D的坐标为________ 81．如图，是直角三角形，，，其中，，则直线的函数表达式为_____． 82．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，点在一次函数的图象上．当为直角三角形时，点的坐标是______． 83．蜿蜒如虹，飘逸秀美．2023年11月4日上午9时30分，历时近两年建设的上虞曹娥江城市人行桥正式开通启用（如图），市民争相打卡体验，成为上虞新晋“网红打卡点”．桥身之美中不乏具有“对称美”，桥中间成半球形的景观中出现了很多的“等腰三角形”，现把这样的一个等腰三角形放置到平面直角坐标系中，使其关于y轴对称，且有一腰与x轴相交于点，已知该等腰三角形其中一腰所在的直线为，则b的值为________．    84．直线与平面直角坐标系的x轴、y轴分别交于A，B两点，直线经过B点，且与x轴交于点C，当时是等腰三角形时（举例：直线的解析式为时，就是等腰三角形，此时，请写出符合条件的直线的解析式_________．（直线除外） 85．等腰三角形腰长为，底边为，其周长为10，则与的函数关系式为__________（并注明自变量的取值范围） 86．已知点为轴上一点，且为等腰三角形，直线的表达式为，则的值为___________． 87．如图，直线与轴、轴分别交于点，，在轴上作一点，使得是以为腰的等腰三角形，则点的坐标为____________． 88．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，且点从点出发，向右运动，当为等腰三角形时，的长为_______． 89．如图，在平面直角坐标系中，点为直线上位于第二象限内的一点，过点作该直线的垂线交轴于点，点为点关于轴的对称点，连接，当为等腰三角形时，的长度为______． 90．如图直线与轴、轴分别交于点，，与直线交于点．如果在轴上存在一点，使为以为腰的等腰三角形，则点的坐标是_________． 91．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，P是直线上的一个动点，以下结论正确的是：__________． ①B点的坐标为；②； ③为等腰三角形；④的最小值为3． 92．如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点M在y轴上（M不与原点重合），并且使以点A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形，则M的坐标为_____． 93．在直角坐标系中，点，点是直线在第一象限的一点． (1)设的面积为S，用含的解析式表示S，写出自变量取值范围； (2)在直线求一点，使是以为底的等腰三角形； (3)若第（2）问变为使是等腰三角形，这样的点有几个？ 94．如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点． (1)若点在轴上，且为等腰三角形，则点坐标为____________； (2)如图，直线交轴负半轴于点，且，为射线上一点，以点为旋转中心将点旋转度得到点，当点落在直线上时，写出点的坐标为________； (3)在（2）的条件下，为延长线上一点，且，在直线上确定点，使是以为底边的等腰三角形，则点的坐标为___________． (4)过点作直线垂直于轴，点在直线上，若的面积等于的面积，则点的坐标为______． 95．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点P在x轴上运动，连接PB，将沿直线BP折叠，点O的对应点记为． (1)若点恰好落在直线AB上，求OP的长； (2)若Q是直线AB上的一个动点，当的面积为10时，求Q的坐标； (3)在x轴上是否存在点C，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点C的坐标，若不存在，说明理由； (4)若C是上的动点，当是以BC为底的等腰三角形，求出点C的坐标． 96．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴交于点，直线与轴交于点B，与直线交于点．             (1)求的值和点B的坐标； (2)求的面积； (3)点是轴上一点，且是以为底的等腰三角形，求点的坐标． 97．如图，一次函数与x轴、y轴分别相交于点A和点B． (1)求的面积． (2)点C在y轴上，若的面积为6，求点C的坐标； (3)点P在x轴上，若是等腰三角形，求点P的坐标； 1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴负半轴交于点B． (1)如图，若点，点B关于y轴的对称点为点，求直线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，点C是线段上不与点B、重合的一个动点．点D是线段上的一点，且满足．当为等腰三角形时，求点C的坐标； (3)如图2， 若， 动点C在线段上， 将线段绕点A顺时针旋转， 得到线段，连接、，请直接写出线段长度的最小值． 2．解决以下问题： (1)借助网格，用无刻度直尺作； (2)如图，直线与x轴、y轴分别交于点C和点B，点A在x轴负半轴，且． ①P为线段上一个动点，若，求此时点P的坐标； ②在①的条件下，Q为直线上的一个动点，连接，若，求Q点的坐标． 3．【模型建立】如图1，在中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E．求证：； 【初步应用】如图2，已知直线：分别交轴于点，将直线绕点A逆时针旋转至直线，求直线的函数表达式； 【迁移拓展】如图3，直线分别交轴于两点，直线分别交轴于点交直线于点E．若，请直接写出点C的坐标． 4．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【模型学习】如图1，已知在中，，直线EF经过点A，于点E，于点F．易证：． （1）如图2，平面直角坐标系中，点B的坐标为，求直线的函数关系式； 【类比探究】 （2）如图3，一次函数的图象分别交x轴和y轴于M、N两点，点D坐标为． ①连接，则_____； ②点P在直线上，连接，当与直线的夹角为时，求出点P的坐标； 【拓展探究】 （3）在（2）的条件下，若一次函数的图象与直线相交所夹锐角大于，请直接写出k的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一次函数与几何综合 目录 A题型建模・专项突破 题型一、 一次函数与线段问题 1 题型二、 一次函数与角度问题 21 题型三、 一次函数与面积问题 69 题型四、 一次函数与特殊三角形 93 B综合攻坚・能力跃升 题型一、一次函数与线段问题 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，于点是线段上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由点M的运动确定的运动轨迹，继而确定当时，取得最小值，即可解答． 【详解】解：将绕点B顺时针旋转到，如图 有，， 当时，， ∴点， 当时，， ∴点， ∴，即， ∴为等腰直角三角形，， ∴点E在上， ∵， ∴，， ∴，， 当点M在点上运动时，点在上运动， ∴当时，取得最小值． ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴，， 即， 解得：（负数已舍去）． 故选：D． 【点睛】本题考查平面直角坐标系动点问题，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 2．在平面直角坐标系中，线段的端点坐标为，，直线与线段有交点，则下列数值中k不能取的是（   ） A． B． C．2 D．5 【答案】B 【分析】求出直线恰好经过点或点时的值，进行判断即可. 【详解】解：∵，，直线， ∴当直线经过点时，，解得； 当直线经过点时，，解得； ∵直线与线段有交点， ∴或； 故k不能取. 3．如图，已知点，，点在直线上运动，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形三边数量关系，两点之间距离的计算，掌握轴对称的性质，两点之间距离的计算是关键，根据题意，作点关于直线的对称点，在轴正方向上，由三角形两边之差小于第三边，结合两点之间距离的计算即可求解． 【详解】解：直线在第一象限的图形与横轴正方向的夹角为，与纵轴正方向的夹角为， ∴点关于直线的对称点，在轴正方向上，如图所示， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为， 故选：C ． 4．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫作整点，直线与坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）恰有三个整点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象与系数之间的关系，直线，与坐标轴围成的三角形内部(不包含边界)有且只有三个整点，则这三个点是(1,-1)，(1,-2)，(2,-1)，因此此时的的取值范围应介于两直线的两个值之间． 【详解】解：如图：直线，当时，，则一定过点， 把代入得，； 把代入得， ， 直线，与坐标轴围成的三角形内部(不包含边界)有且只有三个整点，则的取值范围为， 故选：A． 5．如图，已知一次函数与相交于点C，现有一次函数，若，，不能围成三角形，则k的值不可能为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的综合运用，先求出点C的坐标，再分三种情况讨论：①当经过点C时，②当时，③当时，分别求k的值即可求解． 【详解】解：联立方程组， 解得，， ∴点的坐标为； ①当经过点时，， 解得， ②当时， ③当时， 所以，，，不能围成三角形，则k的值不可能为， 故选：B 6．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，边长为2，若直线与正方形有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，关键是掌握待定系数法正确求出函数的解析式．当直线过或时，求得，即可得到结论． 【详解】解：正方形的顶点的坐标为，边长为2， ， 当直线经过点时，，此时． 当直线经过点时，，此时． 所以，直线与正方形有交点，则的取值范围是． 故选：D． 7．如图，平面直角坐标系中，线段的两端点坐标为，，某同学设计了一个动画：在函数中，分别输入m和n的值，便得到射线，其中；当时，会从C处弹出一个光点P，并沿飞行；当有光点P弹出，并击中线段上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段就会发光，则此时整数m的个数为（    ）个 A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查待定系数法，一次函数图象上点的坐标特征，数的整除性．先求出所在直线的解析式，设线段上的整数点为，用t的代数式表示m，利用t，m是整数，利用数的整除性即可求出答案． 【详解】解：设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为； 由题意直线经过点， ； 由题意，可设线段上的整数点为，则， ， ， ， ∵t为整数，m也是整数， 或或或，即或0或3或或4或或7或， ， ∴或0或3或或或， ∴，；，；，；，；，；，； 综上所述，m的值为5或或2或或或． 故选：B． 8．在平面直角坐标系中，线段的端点，直线与线段有交点，则k的值不可能是（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质：当时，图象必过第一、三象限，越大直线越靠近轴；当时，图象必过第二、四象限，越小直线越靠近轴．当直线与线段的交点为点时，把代入，求出，根据一次函数的有关性质得到当时直线与线段有交点；当直线与线段的交点为点时，把代入，求出，根据一次函数的有关性质得到，当时，直线与线段有交点，从而能得到正确选项． 【详解】解：把代入，得， 解得． 当直线与线段有交点，且过第二、四象限时，满足的条件为； 把代入，得， 解得． 当直线与线段有交点，且过第一、三象限时，满足的条件为． 当或时，直线与线段有交点， 的值不可能是． 故选：D． 9．新定义：对于线段，将线段绕点顺时针旋转，得到线段；将线段绕点逆时针旋转，得到线段，旋转后的线段和所在的直线交于点，我们称点为线段的“冯桥点”如图，已知直线与轴和轴分别相交于点，点，那么线段在第一象限的“冯桥点”的坐标为_____________． 【答案】 【分析】先根据“冯桥点”的定义得出，再构造出正方形，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：∵， 过点分别作轴和轴的垂线，垂足为和，如图： 将代入， 得， 即， 将代入， 得， 即， ∴，即 ∴， 又∵， ∴点和点都在的垂直平分线上， ∴垂直平分线段， ∴， ∴四边形是正方形， 令， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化——旋转，正方形的判定和性质，所对的直角边为斜边的一半，勾股定理，构造出正方形并巧妙利用勾股定理是解题的关键． 10．阅读理解：对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，且，则称点是线段的“完美等距点”．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点．当，是否存在这样的点，使点是线段的“等距点”，也是线段的“完美等距点”，则符合的点的坐标为______． 【答案】 【分析】设点的坐标为，根据得到，表示出，然后证明出是等腰直角三角形，得到，代入求出，进而求解即可． 【详解】解：如图所示， 点是线段的“等距点”，点的坐标为， ，故点横坐标为， 设点的坐标为， ∵点是直线上一动点 ∴， ，， 点是线段的“完美等距点”， ， ∴， 解得， 点是线段的“完美等距点”， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 解得（舍去）或， 当时，， 点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像和性质，一次函数和几何综合，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． 11．在平面直角坐标系中，，下面有四种说法： ①当时，一次函数的图象与线段有公共点； ②一次函数的图象与线段有公共点； ③当时，一次函数的图象与线段有公共点； ④当时，一次函数的图象与线段有公共点． 上述说法中正确的是___________（填序号）． 【答案】①③ 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质即可判断． 【详解】解：①当代入，得到， 一次函数的图象交轴于点， ， 当时，，代入，得到，那么此时一次函数的图象与线段有公共点，其交点为； 当时，，代入，得到，那么此时一次函数的图象与线段有公共点，其交点为； 那么当时，一次函数的图象与线段有公共点，其交点在线段上（不含，）， 如图所示： 故①说法正确； ②当代入，得到，当代入，得到，如图所示： 所以一次函数的图象与线段没有公共点，故②错误； ③当时，一次函数 当时，；当时，； 那么一次函数一定过，， ， 那么当时，，当代入，得到，此时交线段于点， 当时，，代入，得到，此时交线段于点， 画出图象，如下图所示： 可知当时，一次函数的图象与线段有公共点； 故③正确； ④当时， 不妨设，那么一次函数． 当时，； 当时，，如图所示： 那么一次函数的图象与线段没有公共点． 故④错误； 故答案为：①③； 12．已知直线与直线相交于点，点在直线上，点是平面直角坐标系内一动点，将线段绕着点顺时针旋转到线段，当线段与直线相交时，的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数交点问题、旋转的性质以及一元一次不等式，先求坐标，再根据旋转，利用坐标变换得点和点的坐标，最后代入直线方程求临界值确定的取值范围即可． 【详解】解：直线与直线相交于点， ， 解得：， 将代入中， 得， 即， 点在直线上， ， 即， 绕点顺时针旋转到， 点旋转后对应的横坐标为，对应的纵坐标为， 则， 点旋转后对应的横坐标为，对应的纵坐标为， 则， 当点在直线上， 即 解得， 当点在直线上， 即 解得， 线段与直线相交， 的取值范围为． 13．在平面直角坐标系中，，，下面有四种说法： ①当时，一次函数的图象与线段有公共点； ②x轴上存在一点C使得； ③当时，一次函数的图象与线段有公共点； ④当，时，一次函数的图象与线段有公共点． 上述说法中正确的是______（填序号）． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质．根据一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质即可判断． 【详解】解：①当代入，得到， 一次函数的图象交轴于点， ， 当时，，代入，得到，那么此时一次函数的图象与线段有公共点，其交点为； 当时，，代入，得到，那么此时一次函数的图象与线段有公共点，其交点为； 那么当时，一次函数的图象与线段有公共点，其交点在线段上（不含，）， 如图所示： 故①说法正确； ②设点在轴上，即， ∵水平，长度， 点到直线（）的距离为， ∴， ∴面积恒为，不可能为，故②错误； ③当时，一次函数 当时，；当时，； 那么一次函数一定过，， ， 那么当时，，当代入，得到，此时交线段于点， 当时，，代入，得到，此时交线段于点， 画出图象，如下图所示： 可知当时，一次函数的图象与线段有公共点；故③正确； ④当时， 不妨设，那么一次函数． 当时，； 当时，，如图所示： 那么一次函数的图象与线段没有公共点．故④错误； 故答案为：①③ 14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，且轴，直线与线段交于点，当线段上有3个整点（包含线段端点）时，的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，一次函数与直线交点的计算．根据题意得到点到点之间的整点有3，4，5，6，7，8，9，结合题意得到点的横坐标的范围为，分别代入计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，顶点，，且轴， ∴，， ∴点到点之间的整点有3，4，5，6，7，8，9， ∵线段上有3个整点（包含线段端点）时，即点的横坐标的范围为， 当，即点在直线上时，， 解得，， 当点，即点在直线上时，， 解得，， ∴的取值范围为， 故答案为： ． 15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，且轴，直线与线段交于点，当线段上有3个整点（包含线段端点）时，的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，一次函数与直线交点的计算，掌握交点的计算是关键． 根据题意得到点到点之间的整点有，结合题意得到点的横坐标的范围为，分别代入计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，顶点，且轴， ∴， ∴点到点之间的整点有， ∵线段上有3个整点（包含线段端点）时，即点的横坐标的范围为， 当，即点在直线上时，， 解得，， 当点，即点在直线上时，， 解得，， ∴的取值范围为， 故答案为： ． 16．在平面直角坐标系中，对于线段与直线，给出如下定义：若线段关于直线的对称线段为（，分别为点A，B的对应点），则称线段为线段的“关联线段”已知点，． (1)线段为线段的“关联线段”，点的坐标为________，的坐标为________； (2)线段为线段的“关联线段”，点的坐标为，则的长为________，b的值为________； (3)线段为线段的“关联线段”，直线经过点，若点，都在直线上，连接，求线段的长度； (4)点，，线段为线段的“关联线段”，且当b取某个值时，一定存在k使得线在线段上，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)， (2)， (3) (4)或 【分析】本题考查轴对称的性质，一次函数的图像与性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据定义可得直线为，根据轴对称的性质结合中点坐标公式，即可求解； （2）由、关于直线对称，得到，由题意得，把的中点代入，求出即可； （3）作关于直线的对称点，连接，，．设交轴于点，由题意直线的解析式为，，根据坐标系得出点的横坐标为，，根据勾股定理求得的纵坐标为，进而可得； （4）设直线与轴交于点，连接，，求出当时，与只有一个交点时，当时，经过点时，两种特殊情形的值，即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：∵线段为线段的“关联线段”， ∴直线为， ∵点，， ∴轴，，如图， ∴点的坐标为， 故答案为：，． （2）解：，， ， 、关于直线对称， ， 由题意得：， ， 、关于直线对称， 直线经过的中点， ，， 的中点为，即， 把代入， 得：， 解得：， 故答案为：，； （3）如图，作关于直线的对称点，连接，，．设交轴于点， 由题意直线的解析式为，， 关于直线的对称线段在直线上， 又直线经过点， 点在直线上， ，， 点的横坐标为， 的纵坐标为 ∴ （4）设直线与轴交于点，连接，． ， 当时，与只有一个交点时，， ，， ， ， 解得：（负值已舍去）； 当时，经过点时，， ，，， ，， ， 解得：， 线段与线段有公共点， 或． 题型二、一次函数与角度问题 17．在平面直角坐标系中，当时，四个函数的图象与轴正半轴的夹角分别为，则在这四个角中，最小的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的图象，画出正比例函数图象即可判断求解，正确画出正比例函数图象是解题的关键． 【详解】解：画函数图象如下： 由函数的图象可知，直线与轴正半轴的夹角最小，即最小， 故选：． 18．如图，已知、，一次函数的图像为直线，点关于直线的对称点恰好落在的平分线上，则的值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图像与性质、点关于直线的对称点的性质、角平分线的性质、勾股定理等知识点．熟悉一次函数的图像与性质，点关于直线的对称点求解：利用“中点在对称轴上”和“连线与对称轴垂直”两个核心性质推导对称点坐标，角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，根据三角形面积和求边长，是解题的关键． 过点作于，设一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，连接和，首先证明，继而根据三角形面积相等得到，根据点关于直线的对称点为，得到，，再次根据三角形面积相等得到，继而得到的值． 【详解】解：过点作于，设一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，连接和，如图， ∵点在的角平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵一次函数， ∴，， ∵点关于直线的对称点为， ∴，，，， ∴，， 即，， ∴在中，， ∴， ∴， 故选：． 19．如图，点C的坐标是，A为坐标原点，轴于B，轴于D，点E是线段的中点，过点A的直线交线段于点F，连接EF，若平分，则k的值为（    ） A．1 B．3或2 C．1或3 D．1或 【答案】C 【分析】本题综合考查了正方形的判定与性质、一次函数的解析式求解、全等三角形的综合问题、勾股定理等知识点，根据题意可得四边形是正方形．分类讨论当点与点重合和当点不与点重合的情况即可． 【详解】解：由题意得：，， ∴四边形是正方形， ∴， 如图所示：作， 则， ∵， ∴， ∴，， ∵点E是线段的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 将代入得：， ∴； 当点与点重合时，满足平分， 此时， 将代入得：， ∴； 故选：C． 20．如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，则将直线绕着点B逆时针旋转后与x轴交点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线绕着点B逆时针旋转后与x轴交于点C，过点C作于点D，则，，可得，再可得，，证明，可得，设，则，，在中，可得，可得，可得，的长，可求得，即可得点的坐标． 【详解】解：如图，设直线绕着点B逆时针旋转后与x轴交于点C，过点C作于点D，则，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B， 当时，；当时，，则， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，即点的横坐标是． 21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交、轴于点、，直线与轴正半轴交于点，若，则直线的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 根据已知条件得到，，求得，，过点作交于，过作轴于，得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，设直线的函数表达式为，解方程组即可得到结论． 【详解】解：对于一次函数，令，得，令，则， ∴，． ∴，． 如图，过点作交于，过作轴于，则， ， 是等腰直角三角形． ． ， ， ∵， ． ，． ∴． 设直线的函数表达式为， 将，代入，得 ，解得， ∴直线的函数表达式为． 故选：B． 22．如图，将含角的直角三角尺放置在平面直角坐标系中，点与坐标原点重合，已知点的坐标为，则直线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过作辅助线构造全等三角形，求出点坐标，再用待定系数法求直线函数表达式．本题主要考查全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握全等三角形判定找相等线段求点坐标，及待定系数法求函数式是解题关键． 【详解】解：过作轴于，过作轴于． 是含角的直角三角尺，，， ，， 又， ． 在和中， ，， ， ，， ，， ∴． 设直线的解析式为，把，代入得： 两式相减得：，， 把代入得：，， 直线的解析式为， 故选C ． 23．对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．函数值随自变量的增大而减小 B．函数图象与轴的交点坐标是 C．函数图象与轴的正方向成角 D．函数图象不经过第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数性质逐项判断即可，解题的关键是掌握一次函数的图象与轴、轴的交点及函数的增减性． 【详解】解：、由一次函数， ∴函数值随自变量的增大而减小，原选项正确，符合题意； 、由一次函数， 当时，， ∴函数图象与轴的交点坐标是，原选项错误，不符合题意； 、如图， 当时，，当时，， ∴，， ∴，， ∴不一定等于， ∴不一定等于， ∴函数图象与轴的正方向夹角不一定等于，原选项错误，不符合题意； 、由一次函数， ∴， ∴函数图象经过第一、二、四象限， ∴函数图象不经过第三象限，原选项错误，不符合题意； 故选：． 24．如图，点在轴负半轴上，直线与轴、轴分别交于点，，且，点在直线上，且点位于第一象限，连接，若时，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．先求出点和点的坐标，再求出的长，进而得到的长，则可求出点的坐标，最后利用待定系数法求得的解析式，过点B作交直线于，过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为点E和点F，然后利用一线三垂直模型构成全等三角形，证明，设，进而求得点的坐标，代入直线的解析式，求得的值，即可求解． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 设直线的表达式为， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； 如图所示，过点B作交直线于，过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为点E和点F， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 设， ∴， ∴ ，即， ∵点D在直线上， ∴， 解得； ∴ 故选：B． 25．正比例函数与轴正半轴所夹的角为______°． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，含度角的直角三角形，取正比例函数上位于第四象限内一个点，过点作轴的垂线，交轴于点，即为正比例函数与轴正半轴所夹的角，根据，，可得，即可求得答案． 【详解】如图所示．    取正比例函数上位于第四象限内的一个点，过点作轴的垂线，交轴于点，即为正比例函数与轴正半轴所夹的角． ． 所以，． 可得 所以，． 故答案为： 26．点在一次函数的图象上，一次函数与轴相交于点，、两点关于轴对称．将沿轴左右平移到，在平移过程中，将该角绕点旋转，使它的一边始终经过点，另一边与直线交于点．若为等腰直角三角形，且，则点的坐标为________． 【答案】或 【分析】分别过A、B和C作y轴、x轴的垂线并相交于M、N点，则由题意可得△B'MA≌△ANC'，再由全等的性质和已知条件可以得到B'坐标． 【详解】解：由题意可得：AB'=AC'，∠B'AC'= 90°， Ⅰ．当'在下方时，， 将代入 Ⅱ．当在上方时， 此时，与关于点对称， ∴B''为[-2×2-(-8)，6×2-（-12）]即（4，24）， 故答案为：或 ． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象与性质、直角三角形全等的判定是解题关键． 27．如图，正方形的边长为2，为坐标原点，和分别在轴、轴的正半轴上，点是边的中点，过点的直线交线段于点，连接，若平分．则的值为_____． 【答案】1或3 【分析】根据正方形的性质得到，，，分类讨论当点与点重合和当点不与点重合的情况即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， 如图所示：作， 则， ∵， ∴， ∴，， ∵点E是线段的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 将代入得：， ∴； 当点与点重合时，满足平分， 此时， 将代入得：， ∴． 综上所述，的值为1或3． 28．如图，直线与轴、轴分别交于点、，点在第一象限内且，，，则线段长度为 ________________ ． 【答案】 【分析】以为边向下作等腰直角三角形，由直线解析式易求得点、的坐标，得到，进而证明，然后在中，利用勾股定理得出结论． 【详解】解：如图，以为边向下作等腰直角三角形， 则，，， ， 直线与轴、轴分别交于点、， 令，则， 令，则， ，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， 在中，， ，即， （负值已舍去）． 29．一次函数的图象与轴的交点为，将该函数图象绕点逆时针旋转，得到一个新的函数图象，新的函数图象的函数表达式为________． 【答案】 【分析】先确定点A和点B的坐标，设一次函数图象绕点逆时针旋转后的直线为，过点作，垂足为点，过点作轴，轴，根据旋转可得，则，证明，则，即可得出，求出，再根据待定系数法求出新的函数图象的函数表达式． 【详解】解：对于函数，令，得，所以． 令，得，所以． 设一次函数图象绕点逆时针旋转后的直线为，过点作，垂足为点，过点作轴，轴， 根据旋转可得， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， 设新的函数图象的函数表达式为，代入，， 则， 解得：， ∴新的函数图象的函数表达式为． 故答案为：． 【点睛】该题考查了一次函数的解析式求解，一次函数与坐标轴交点，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确做出辅助线． 30．已知正比例函数的图象与x轴所成的锐角为，则k的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象和性质．设正比例函数的图象的异于原点的一点的坐标为，然后分两种情况：当时，当时，即可求解． 【详解】解：设正比例函数的图象的异于原点的一点的坐标为， 当时， ∵正比例函数的图象与x轴所成的锐角为， ∴正比例函数的图象是第一，三象限的角平分线， ∴， ∴； 当时， ∵正比例函数的图象与x轴所成的锐角为， ∴正比例函数的图象是第二，四象限的角平分线， ∴， ∴； 综上所述，k的值为． 故答案为： 31．如图，直线 与轴，轴分别交于，两点，点是第二象限内一点，连接，若，则直线的解析式为___． 【答案】 【分析】先分别令和确定和的坐标，过点作，交于点，过作 轴于点，根据证明，得，，可得，把点及点代入直线的解析式为：，即可解答． 【详解】解：当时，，当时，， ∴，， ∴，， 过点作，交于点，过作 轴于点， ∵， ， 在中，根据三角形内角和为180°， 可 得， ∴， ∴. 又∵，， ∴，且， ∴， ∴，， ∵， ∴点横坐标为，点纵坐标为，所以， 设直线的解析式为：，把，代入， 则， 解得， 则直线的解析式为：， 故答案为： 【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，构造全等三角形，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 32．一次函数与轴交于点，将一次函数绕点顺时针旋转得到新的一次函数关系式为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性以及待定系数法求解析式，解题的关键是由旋转得到相应的几何关系，并求得点的坐标．设一次函数与轴交于点，设旋转后的直线为，过点作交于点，作轴于点，证明，得出，进而待定系数法求解析式，即可求解． 【详解】解：设一次函数与轴交于点，设旋转后的直线为，过点作交于点，作轴于点， 当时，，当时，，则， ∴， ，则为等腰直角三角形，则，， ，， ， ，， ， 在，，则点， 设直线AM的表达式为， ∴ 解得： ∴旋转后的一次函数为： 故答案为：． 33．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点P是直线上一点，且，则点P的坐标为____． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上的点的特征，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题． 将线段绕点逆时针旋转得到线段，则，连接，与交于中点，直线与直线的交点即为点．求出直线的解析式，利用方程组确定交点坐标即可． 【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作轴的平行线，过点作于点，过点作于点， 由旋转可得，， ， ， ， ， ， ， 点，点， ， ， 连接，与交于点， ，， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入可得 ， 解得， 直线的解析式为， 由， 解得， 点坐标为， 故答案为：． 34．直线与轴，轴分别交于点，，直线经过点，与轴交于点，且，则直线的函数表达式为______． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，求一次函数解析式，分如图，当与轴交点在负半轴时，过作交于点，过作轴交轴于点，如图，当与轴交点在正半轴时，过作交于点，过作轴交轴于点两种情况，然后通过等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，当与轴交点在负半轴时，过作交于点，过作轴交轴于点， 则， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 由直线得，当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， ∴，解得：， ∴直线的函数表达式为； 如图，当与轴交点在正半轴时，过作交于点，过作轴交轴于点，则， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 由直线得，当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， ∴，解得：， ∴直线的函数表达式为； 综上，直线的函数表达式为或； 故答案为：或． 35．如图，直线与轴、轴分别交于点，点在第一象限内且，，，则线段长度为___________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理．以为边作等腰直角三角形，证明，得到，证明为直角三角形，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，以为边作等腰直角三角形， 则，，，， ∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B， 令，则，令，则， 即，，即， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：． 36．如图，在平面直角坐标系中，，，点C在上，点D在上，，分别连接交于F点．若，则F的坐标为______． 【答案】 【分析】在x轴负半轴上取点G，令，构造，推出，进而证明，，推出，再证，根据对应边相等求出点K的坐标， 将直线与的解析式联立，即可得出交点F的坐标． 【详解】解：，， ， 如图，在x轴负半轴上取点G，令，作交的延长线于点K，作轴于点H， ，， ； ，， ， ， ， ， ， 又， ， 是等腰直角三角形， ， 又，， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立， 解得， 直线与直线的交点坐标为， 即F的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，求一次函数解析式，两条直线的交点问题，平行线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等，合理做出辅助线是解题的关键． 37．如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，直线与轴、轴分别交于点，且．点是的中点，为直线上的一个动点，连接．若，则点的坐标是__________． 【答案】或 【分析】求出点B和点C的坐标，进而可求出点A的坐标，则可求出直线的解析式，再分两种情况：点在点下方和点在点上方，过点作交直线于，可证明是等腰直角三角形，通过一线三垂直模型构造全等三角形讨论求解即可． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴，， ， ， ． ∵点A在x轴的负半轴上， ． 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为； 如图，当点N在点B的下方时，过点M作交直线于点H，过点M作于点D，过点N作于点F，过点H作交直线于点E， 则， ， ． ， 是等腰直角三角形， ， ， ． ∵点M是的中点，，， ． 设，则， ， ， 解得， ∴点N的坐标为； 当点N在点B的上方时，过点M作交直线于点H，过点M作于点D，过点N作交直线于点F，过点H作于点E， 同理可证明， ， ∵点M是的中点，，， ． 设． ， ， ， ， ∴点坐标为； 综上所述，点N的坐标为或． 38．如图，一次函数的图象经过点，且与轴、轴分别交于，两点． （1）____________． （2）将该直线绕点顺时针旋转得直线，过点作交直线于点，则直线的函数解析式为__________________． 【答案】 1 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过证得三角形全等求得点的坐标． （1）根据待定系数法即可求得； （2）过点作轴于点，通过证得，即可求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式． 【详解】解：（1）一次函数的图象经过点， ， 解得． 故答案为：1． （2）一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点， 令，则；令，即，则， ，， ，． 如图，过点作轴于点． ，， ， ． ， ． 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为． 设直线的解析式为． 将，代入， 得， 解得， 直线的函数解析式为． 故答案为：． 39．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，另一条经过B点的直线交x轴于点C且与直线构成的夹角，则直线的解析式为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，等角对等边． 依据题意，由直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，可得，从而，然后分两种情形分析即可计算得解． 【详解】解：由题意，∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴， ∴． 分两种情形， ①当C在x轴负半轴上，如图1，过A作交于D，再过D作轴于E， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴()． ∴． ∴． ∴． 又∵， 设直线解析式为， 则， 解得：， ∴此时直线解析式为； ②当C在x轴正半轴上，如图2，过A作交于D，再过D作轴于E， 同理可得． 又∵， 设直线解析式为， 则， 解得：， ∴此时直线BC为． 综上，直线为或． 故答案为：或． 40．如图，直线分别交x轴、y轴于点B、A，点M在x轴，将绕点A按逆时针旋转得到，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】先求出点A，点B的坐标，得到，将线段绕点A逆时针旋转到，易得为等边三角形，推出的坐标，当时，有最小值，连接，易证，得，此时，，得到，进而推出，由，则，利用勾股定理即可求出． 【详解】解：直线分别交轴、轴于点、， 时，，时，， ， ， ， 将线段绕点A逆时针旋转到， ， ， 为等边三角形， ， 当时，有最小值， 此时，连接， 是绕点按逆时针旋转得到， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 此时，， ， ， ， 在中，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，点到直线垂线段最短求最短距离，勾股定理，正确作出辅助线，构造三角形全等是解题的关键． 41．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与直线相交于点，与轴交于点，与轴交于点，且，满足． (1)求一次函数的解析式； (2)若点为直线上一点，且，求点的坐标； (3)如图2，点在第一象限，连接，，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，，求的长． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3) 【分析】（1）由非负数性质解出，，代入已知点坐标求出及一次函数解析式； （2）先求，再利用，求得，再用面积割补法建立方程； （3）利用和旋转，构建等边三角形，证得，根据选择求得，在中，，求得，在用勾股定理求得. 【详解】（1）解：， ，， ，， ，， ， 解得， （2）如图，过点作轴，交直线于点， 直线的解析式为，且与直线相交于点， ， 解得， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，则， ， 直线的解析式为， 设，则， ， ， 即 解得：或， 点的坐标为或 （3）在上截取线段，使得， ∴， ∵ ∴为等边三角形 ∴ ∴ 即 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵在中，，， ∴ ∴ ∴ ∵在中， ∴ 【点睛】本题考查了一次函数解析式求解、三角形面积计算、旋转性质与全等三角形的判定与运用；解题的关键在于利用非负数和性质确定函数参数，通过面积关系构造方程求点坐标，借助旋转构造等边三角形实现线段转化；易错点是计算三角形面积时对“同底等高”的准确运用，以及旋转后对应点位置的准确判断． 42．如图，已知直线：与x轴，y轴分别交于A，B两点，过点A的直线与y轴负半轴交于点C，且． (1)求直线的函数表达式； (2)若将沿线段方向平移得到点O的对应点为点D，点B的对应点为点，连接，过点D的直线，恰好将四边形的面积分成相等的两部分，求直线的表达式； (3)若直线：与y轴正半轴交于点M，与直线交于点N，若，求k的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】求出，，由得，可得，故，再用待定系数法可得直线的函数表达式为； 设BC的中点为F，由将沿线段方向平移得到，知四边形是平行四边形，故直线经过点的中点F，求出，，再用待定系数法可得直线的表达式为； 设直线：交x轴于点T，过点T作直线交于点H，过点T作轴，交过点N和x轴的平行线于点G，交过点H和x轴的平行线于点K，设点、点，可得直线：过定点，证明≌，有且，故且，即可解得点，代入可得 【详解】（1）解：在中，令得，令得， ，， ， ，即， 解得， ， ， 设直线的函数表达式为，把，代入得： ， 解得， 直线的函数表达式为； （2）解：设的中点为F，如图： 将沿线段方向平移得到， ，， 四边形是平行四边形， 直线恰好将四边形的面积分成相等的两部分， 直线经过平行四边形的对称中心，即直线经过点的中点F， ，， ， ，， 根据平移性质可得， 设直线的表达式为，把，代入得： ， 解得， 直线的表达式为； （3）解：设直线：交x轴于点T，过点T作直线交于点H，过点T作轴，交过点N和x轴的平行线于点G，交过点H和x轴的平行线于点K，如图： 设点、点， 在中，令得， 直线：过定点， ，直线， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ≌， 且， 且， 解得：，， 点， 将点N的坐标代入得：， 解得：， 的值为 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及全等三角形判定与性质，三角形面积，待定系数法等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 43．如图1，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，O为坐标原点，现将正方形绕点O顺时针方向旋转，旋转角为θ，对角线分别与x轴、直线交于点D、E， (1)当时，如图2，试求证； (2)当时，如图3，边与直线交于点M，边与x轴交于N，则周长为 ； (3)当正方形旋转到图3位置时，若，则 ； (4)当时，直线有一动点P，当点P的坐标为 时，有最小值为 ． 【答案】(1)见解析 (2)8 (3) (4)， 【分析】（1）如图2中，将绕点O顺时针旋转，得到，连接．根据正方形的性质得到，得到，然后利用勾股定理解决问题即可． （2）在图3中，将绕点O顺时针旋转，得到．得到，根据全等三角形的性质解答即可． （3）利用（2）中结论，在中，利用勾股定理解答即可． （4）如图4中，将绕点O逆时针旋转，得到，连接交于J．可知K，R，P，C共线时，的值最小，此时，解直角三角形解决问题即可． 【详解】（1）证明：如图2中，将绕点O顺时针旋转，得到，连接． 则，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵直线交于E， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：在图3中，将绕点O顺时针旋转，得到． 由旋转，可知：，，，． ∵直线的解析式为， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∴的周长． 故答案为：8． （3）解：由（2）可知，， 设，则，， ∵， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （4）解：如图4中，将绕点O逆时针旋转，得到，连接交于J． 则，是等边三角形， ∴， ∴， ∴K，R，P，C共线时，的值最小，此时， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵，即， ∴， 同理， ∴， ∴，最小值． 【点睛】本题考查坐标与图形，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 44．如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交轴，轴于点，，点为线段的中点，且点． (1)求直线的表达式； (2)如图2，点为直线上一点且在点的上方，点，分别是轴与直线上的动点，当的面积为9时，求的最小值； (3)如图3，直线经过点且与轴所成的锐角为，点为直线上一动点，连接，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1)直线的表达式 (2) (3)或或 【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合问题，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形的面积公式等； （1）分别求得的坐标，进而根据中点坐标公式求得的坐标，再根据待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据，结合已知可得为的中点，进而根据轴对称的性质以及垂线段最短，根据等面积法，即可求解； （3）根据构造等腰直角三角形，进而根据全等三角形的性质求得点的坐标，待定系数法求得的解析式，联立的解析式，其他情形同理求得即可． 【详解】（1）解：∵直线：分别交轴，轴于点，， 当时，；当时， ∴， ∵点为线段的中点， ∴ 设直线的表达式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的表达式 （2）∵，，， ∴， ∴， ∵的面积为9， ∴点在上，且为的中点， ∵，， ∴， 作关于轴的对称点，则，则 如图，连接，过点作交于点，则的最小值为 ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为； （3）解：如图，过点作于点，过点作轴的平行线，过点分别作轴的平行线，交于点； ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴， 设，则，，， ∴即， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴的解析式为， ∵直线经过点且与轴所成的锐角为， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， 当在的下方时，如图，作等腰直角三角形， 同理可得， 直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， 当直线与轴正半轴的夹角为时，此时的解析式为 联立， 解得：， ∴， 综上所述，或或． 45．如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】： （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点． ①求点A和点B的坐标，并计算的长度． ②是正比例函数图象上的两个动点，连接，若，，求的最小值． 【模型拓展】： （2）如图2，一次函数的图象与轴，轴分别交于两点．将直线绕点逆时针旋转，得到直线，求直线对应的函数表达式． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①一次函数，令求得点B的坐标；令求得点A的坐标，再根据两点之间的距离公式计算即可． ②点到直线的距离最短为垂线，根据垂直求得，结合证得，得到，利用勾股定理即可求得的长； （2）在图2中，过B作交直线l于C，过C作轴于D，证明是等腰直角三角形，则，证明得到，，进而求得，然后利用待定系数法求解即可； 【详解】解：（1）①对于， 当时，， 令时，，则， 即，， ∴； ②因为A是定点，当时，有最小值，如图所示， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴的最小值为． （2）过B作交直线l于C，过C作轴于D， 则， ∴， ∴， ∵直线绕点A逆时针旋转得到直线l， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， ∴， ∴，， 当时，，当时，由得， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 设直线l对应的函数表达式为， 将、代入，得，解得， ∴直线l对应的函数表达式为； 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、垂线段最短、勾股定理和旋转的性质，了解一次函数的性质和旋转性质是解题的关键． 题型三、一次函数与面积问题 46．如图，直线轴于点，直线轴于点，直线轴于点，…直线轴于点．函数的图象与直线，，…分别交于点，，，…；函数的图象与直线，，…分别交于点，，…，如果的面积记作，四边形的面积记作，四边形的面积记作…四边形的面积记作，那么的值为（   ） A．4050 B．4051 C．4052 D．4053 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的综合，读懂题意，根据直线解析式求出，的值是解题的关键，同时也要注意下标对应的关系． 根据直线解析式求出，的值，再根据直线与直线互相平行并判断出四边形是梯形，然后根据梯形的面积公式求出的表达式，然后把代入表达式进行计算即可得出解． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， ， ∵直线轴于点，直线轴于点， ∴，且与间的距离为1， ∴四边形是梯形， ， 当时，． 故选：B． 47．如图，函数（是常数，且）的图像分别交轴，轴于点，，线段上两点，（点在点的右侧），作轴，轴，且垂足分别为，，若，则的面积与的面积的大小关系是（    ）    A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数和整式的乘法的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题需要先设，，然后得到， 再根据一次函数和整式乘法的知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：由题可得，， ∵点，在函数的图像上， ∴设，，， ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 48．如图，一个菱形的一组相邻顶点分别在轴和轴上，它的两条对角线分别与轴和轴平行．一条直线经过这个菱形的对角线交点，这条直线对应的函数关系式为．涂有“”部分的面积记为，涂有“”部分的面积记为，当时，所有可能的值有（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 【答案】A 【分析】此题考查了菱形的性质、一次函数的图象和性质、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键．如图，证明，则，得到，设的面积为，的面积为，的面积为，则四边形的面积为，作于，交于，直线交轴于点，得到定值，结合图象进一步分析即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，， 又∵对角线分别与轴和轴平行, ∴四边形是矩形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设的面积为，的面积为，的面积为， 则四边形的面积为， 作于，交于，直线交轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴定值， 结合图象可知，点在的上方，才能满足条件， ∵点与的重合时，，不满足条件， 点在的下方时，，不满足条件， ∵直线绕着点顺时针旋转过程中，是增大的，是减小的， 又∵是定值， ∴直线只存在一个位置，满足是定值， ∴所有可能的值只有1个， 故选：A． 49．如图，直线的解析式为，与x轴交于点B，直线经过点，与直线交于点，且与x轴交于点A，在上存在一点P，使的面积是面积的，则P点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式．将代入得到，即可求出的值，得到，利用待定系数法求得直线的解析式；再求出点的坐标，求得；由题意得出或，分别代入中进行计算即可． 【详解】解：在中，当时，， ， 设直线的解析式为：， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为； 在中，当时，， 解得：， ， 在中，当时，， 解得：， ， ， ； 的面积是面积的， ， ， ， 或， 当时，，解得：，即， 当时，，解得：，即， 综上所述，在上存在一点，使的面积是面积的，或． 故选：C． 50．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象交于点．若动点在射线上运动，当的面积是面积的时，点的坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先求出点A的坐标，再求出直线的解析式，再求出点B的坐标，得到，设点，由，解得或，即可求得点M的坐标． 【详解】解：∵函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴， ∵函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式是， 当时，， ∴，， 当的面积是面积的时， 即， ∵点M在射线上运动， ∴可设点， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点M的坐标是或， 故选：C 【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式、直线与坐标轴围成的三角形的面积等知识，熟练掌握直线与坐标轴围成的三角形的面积是是解题的关键． 51．如图，在平面直角坐标系中，的面积是（   ） A．2 B．5 C．10 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了求直线与坐标轴围成的三角形面积，熟练掌握该知识点是关键． 由图像可知：，，然后根据三角形面积公式求出三角形的面积即可． 【详解】解：由图形可知：，， 所以的面积为：. 故选：B. 52．如图，，，，四边形是矩形．直线经过点A，D，直线，直线将矩形分成面积相等的两部分，则b的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用待定系数法求出直线的解析式为，则可得到，根据矩形的性质可得直线经过矩形的中心，即经过的中点，根据中点坐标公式得到的中点的坐标为，据此利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入解析式得： ， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线， ∴； ∵直线将矩形分成面积相等的两部分， ∴直线经过矩形的中心，即经过的中点， ∵，， ∴的中点的坐标为， ∴， ∴． 53．一次函数的图象如图，下列说法正确的是（   ） A．点B的坐标是 B．的面积是8 C．y随x的增大而增大 D．点在函数图象上 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的性质，直线与坐标轴围成的三角形面积等知识点．令，则，即可判断A，求出点A的坐标，再计算的面积即可判断B，根据一次函数的性质即可判断C，把代入一次函数求出对应的y值即可判断D． 【详解】解：令，则， ∴点B坐标为，故A错误； 令，则， 解得， ∴点A坐标为， ∴，， ∴，故B错误； ∵一次函数中，， ∴y随x的增大而增大，故C正确； 当时，， ∴点不在函数图象上，故D错误． 故选：C． 54．一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形面积是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．结合一次函数的图象可以求出图象与轴的交点以及轴的交点，可求得图象与坐标轴所围成的三角形面积． 【详解】解：∵在中，令，则， 解得：， 令，则， ∴一次函数的图象与轴的交点，与轴的交点为， ， 故选：B． 55．如图，点在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及函数图象，根据一次函数上点的坐标特征，得出三个三角形均是底为，高为的直角三角形是解题的关键． 轴于点，轴于点，轴于点，交轴于点，并求得各点坐标，计算出长度，利用三角形面积公式即可计算出答案． 【详解】解：如图，轴于点，轴于点，轴于点，交轴于点， 可知，点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为， 故，， 因此阴影部分的面积和为． 故选：C． 56．如图，在平面直角坐标系中，的边落在轴的正半轴上，点，，直线每秒向下平移3个单位，该直线将的面积平分时，移动了（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质与平移规律，掌握过平行四边形中心的直线能平分其面积是解题的关键． 利用平行四边形的中心对称性，先求出其中心坐标，再计算直线平移后经过该中心所需的时间． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴且 ∵点平移到点是向右平移个单位 ∴点是点向左平移4个单位得到 ∴点的坐标为 ∵平行四边形的对角线互相平分 ∴取对角线的中点作为中心 ∵ ∴中心坐标为 ∵直线以每秒个单位向下平移 ∴设移动时间为秒，则解析式为 ∵当直线平分面积时，必经过中心点 ∴将代入解析式 ∴ ∴ ∴ ∴ 所以，直线移动了秒． 故选：B． 57．如图，在中，，，点，，分别在边，边和边上，且．设，记与的面积差为，则关于的函数图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点A作于点P，根据等腰三角形的性质以及勾股定理可得的长，可得，，，，可求出与的面积差，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点P， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴与的面积差， 即， 当时，， 当时，， ∴符合题意的函数图象为 ． 58．已知直线（k、b为常数，且）经过点和，将直线向左平移3个单位长度后得到的直线与x轴、y轴围成的三角形的面积是（   ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查求一次函数的解析式，一次函数图象的平移，一次函数图象与坐标轴的交点问题，先根据两点求直线方程，再向左平移得到新直线，求新直线与坐标轴的交点，计算直角三角形面积． 【详解】解：把和代入，得： ，解得， ∴， 将向左平移3个单位长度，得到， ∴当时，；当时，， ∴直线与坐标轴的交点为和， ∴； 故选B． 59．如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）的面积是________； （2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为________． 【答案】 10 1或 【分析】本题考查一次函数解析式，三角形的面积，正确理解题意是解题的关键： （1）联立，求出，再求出，进而可求出面积； （2）求出，再得出的面积是，设，得出，即，求出或，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：联立， 解得：， 所以， 令，则0， 解得， 所以， 所以的面积是； （2）因为点在直线上， 所以， 所以， 因为的面积是面积的， 所以的面积是， 设， 因为， 所以 ． 因为，即， 则或， 当时，解得，所以； 当时，解得，所以． 当时， 得出， 解得； 当时， 得出， 解得； 所以的值为1或， 故答案为：10；1或． 60．如图，直线和轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，，如果在直角坐标平面内有一点，且的面积与的面积相等，则的值为________． 【答案】 或6 【分析】由已知求出、的坐标，根据三角形全等的判定与性质求出点的坐标，由的面积与的面积相等，得点在过点且平行于直线的直线上；作点关于直线的对称点，点在过点且平行于直线的直线上；求出直线、的解析式，即可求出的值． 【详解】解：在直线中， 令，则， ∴； 令，则， ∴． ∴，． 如图，过点作轴于点， ∵，， ，， ． 又∵，， ． ，． ． ∵的面积与的面积相等， ∴点在过点且平行于直线的直线上． 设直线的解析式为， 将点代入得，，解得， ∴直线的解析式为． 将点代入得，，解得． 作点关于直线的对称点，则， 则的面积与的面积相等， ∴点在过点且平行于直线的直线上． 设直线的解析式为， 将点代入得，，解得， ∴直线的解析式为． 将点代入得，，解得． 综上所述，的值为或6． 61．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是直线上方第一象限内的动点． （1）点是直线：上一动点，当的面积与的面积相等时，点的坐标为___________； （2）当是以为直角边的等腰直角三角形时，点的坐标为___________． 【答案】 或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数与坐标轴的交点问题、全等三角形的判定与性质． (1)利用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式求出点的坐标，设，根据三角形的面积公式可得，解方程求出的值，即可得到点的坐标； (2)当是以为直角边的等腰直角三角形时，分和两种情况求点的坐标． 【详解】(1)解：直线交轴于点， ， ， ， 又令，则， ， ， ， 点是直线上一动点，点在上， 令，则， ， 设， ， 的面积与的面积相等， ， 或（不合题意，舍去） ； 故答案为：； (2)解：如下图所示，当，时，过点作轴， 是以为直角边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ，， ，， ， 点的坐标是； 如下图所示，当，时，过点作轴， 同理可证：， ，， ，， ， 点的坐标是． 综上所述，点的坐标为或． 62．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．若图中阴影部分的三角形都是等腰直角三角形，则从左往右数第5个阴影三角形的面积是___________，第2025个阴影三角形的面积是___________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的几何综合，等腰直角三角形的性质，由等腰直角三角形的性质并结合一次函数的性质得出，从而可得第个阴影三角形面积，再由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：观察题中一次函数图象，得当时，， 所以； 当时，， 所以； 当时，， 所以； 当时，， 所以， …， 依次类推，， 所以第个阴影三角形面积， 所以当时，；当时，， 故答案为：，． 63．实践探究：三角形的面积平分直线探究 三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分．已知直线与轴、轴分别交于、两点，为坐标原点，我们来开展以下探究活动． (1)求出、两点的坐标，并计算的面积； (2)请你画出，并尝试画出一条能将分成面积相等两部分的直线，写出这条直线的函数表达式，并说明你这样画的理由； (3)除了（2）中你画出的直线外，是否还存在其他过顶点且能平分其面积的直线？如果存在，请找出所有符合条件的直线并写出它们的函数表达式：如果不存在，请说明理由； (4)结合上述探究，你能总结出“过三角形一个顶点且平分三角形面积的直线”的一般规律吗？请用文字描述出来． 【答案】(1) ，， (2) ，理由见解析. (3) 存在，符合条件的直线为和 (4) 过三角形一个顶点且平分三角形面积的直线一定经过该顶点对边的中点，该直线是三角形过此顶点的中线 【分析】（1）根据一次函数的解析式求出点、的坐标，根据坐标可得和的长度，利用三角形的面积公式求出结果； （2）根据点、的坐标，求出线段的中点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，直线即为所求； （3）根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，的另外两条中线所在的直线也过顶点且能平分其面积，利用待定系数法求出另外两条中线所在直线的解析式即可； （4）过三角形一个顶点且平分三角形面积的直线一定经过该三角形的顶点和顶点对边的中点，该直线是三角形过此顶点的中线． 【详解】（1）解：当时， 可得：， 解得：， 点的坐标为， ， 当时， 可得：， 点的坐标是， ， ； （2）解：如下图所示，过原点和边的中点作直线， 把分成和， ， ， 点的坐标是，点的坐标是， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 可得：， 解得：， 直线的解析式是； （3）解：如下图所示，过点和边的中点作直线， 把分成和， ， ， 点的坐标是，点的坐标是， 点的坐标是， 设直线的解析式为， 把点和代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为； 如下图所示，过点和的中点作直线， 把分成和， ， ， 点的坐标是，点的坐标是， 点的坐标是， 设直线的解析式为， 把点和代入， 可得：， 解得： 直线的解析式为； 综上所述，直线和过顶点且能平分其面积； （4）解：过三角形一个顶点且平分三角形面积的直线一定经过该三角形的顶点和顶点对边的中点，该直线是三角形过此顶点的中线． 64．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴负半轴交于点B，与y轴正半轴交于点A，A点坐标，三角形的面积是4． (1)求点B的坐标； (2)点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标，连接，点E是x轴正半轴上一点，且，连接． ①如图2，若三角形的面积是8，求m的值； ②如图3，点F是线段上一点（点F与点B，点O不重合），连接，，当四边形的面积与三角形的面积相等时，用只含有m的代数式表示三角形的面积，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）首先得到，然后根据三角形的面积是4得到，即可求解； （2）①首先得到，然后表示出，然后根据三角形的面积是8得到，即可求解； ②设，则，，然后根据题意得到，代入得到，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵A点坐标， ∴ ∵三角形的面积是4． ∴ ∴ ∴； （2）解：①∵点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵三角形的面积是8 ∴，即 ∴； ②∵点F是线段上一点（点F与点B，点O不重合）， ∴设 ∴， ∵四边形的面积与三角形的面积相等 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了一次函数和几何综合，三角形面积，解题的关键是掌握以上知识点． 题型四、一次函数与特殊三角形 65．如图，等腰直角三角形与等腰直角三角形均位于第一象限内，它们的直角边平行于x轴或y轴，其中点A、在直线上，点C、在直线上，O为坐标原点，已知点A的坐标为，，若，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，等腰三角形的性质及坐标与图形，理解题意，结合图形求解是解题关键． 根据已知条件可求得点B和点C的坐标，分别确定直线的表达式为，直线的表达式为，设，则，代入解析式求解即可． 【详解】解：∵等腰直角三角形，，A的坐标为，轴，轴， ∴， 设直线的表达式为，则，解得：， ∴直线的表达式为， 设直线的表达式为，则，解得：， ∴直线的表达式为， ∵，轴，轴，， ∴设，则， 点分别在直线和上， ∴，， 解得：， ∴点的坐标为， 故选：B． 66．如图，点，，，…，在直线上，过点，，，…，分别作轴的垂线，垂足分别为，，，…，．若，，，…，均为等腰直角三角形，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的性质与等腰直角三角形的性质，熟练掌握通过分析前几个点的坐标总结规律，进而计算图形面积的方法是解题的关键．通过分析等腰直角三角形的性质与直线方程的关系，依次求出前几个点的坐标，总结出和的规律，进而计算的面积． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，轴， ∴， 设，代入，得， 解得， ∴，． ∵是等腰直角三角形，轴， ∴， 设，代入， 得， 解得， ∴，，． ∵是等腰直角三角形，轴， ∴， 设，代入，得，解得， ∴，，． 观察可得：， ， ， ……， 故； ， ， ， ……， 故． ∴，． ∴． 故选：B． 67．如图．在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上，，，，…都是等腰直角三角形，如果点，那么点的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，通过运算发现纵坐标的规律是解题的关键．设点，，，…，坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题即可． 【详解】解：过作轴于，过作轴于，过作轴于，…， 如图， ∵在直线上， ∴， ∴； 设，，，，…， ， 则有， ，，…， 又∵，，，…，都是等腰直角三角形，轴，轴，轴，…， ∴，，，…， ∴，，…， ， 将点的坐标依次代入直线解析式得到： ， ， ， …，， 又∵ ， ∴， ， ，…，； 故选：A． 68．如图，是等腰直角三角形，，顶点与原点重合，点的坐标为，点为的中点，将绕点顺时针旋转，当点的对应点落在直线上时，点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点B坐标求得，利用等腰直角三角形的性质求得和，结合旋转设点，进一步求得点，根据一次函数求得点，，即可设点，可得点与点E重合，结合中点即可． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵将绕点顺时针旋转，当点的对应点落在直线上， ∴设点， ∴，解得， 则点， 当时，，当时，则， 则点， ∴， ∵, ∴, ∵, ∴, ∴点A同样在直线上， 设点，则，解得， 则点与点E重合， ∵点为的中点， ∴对应的为的中点， 则， 故选：D． 【点睛】本题主要考查两点之间的距离、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、一次函数与坐标轴的交点和中点坐标公式，解题的关键是熟悉旋转的性质和一次函数的性质． 69．如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，是的中点，点的坐标分别是和是线段上一个动点，则点从点向点的运动过程中，依次出现的特殊三角形为（    ） A．直角三角形等腰三角形等边三角形直角三角形 B．直角三角形等边三角形等腰三角形直角三角形 C．等腰三角形一直角三角形一等边三角形一等腰三角形 D．等腰三角形一直角三角形一等边三角形一直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的几何应用，等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质等，先利用一次函数的解析式可得，，即得，得到，进而得到是等边三角形，即可得，再根据等腰三角形的定义和性质、等边三角形的性质进行判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：对于一次函数，当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵点的坐标分别是和， ∴，， ∴， ∴点从点向点的运动过程中， 当点与点重合时，，此时是等腰三角形； 当点运动到的中点位置时，，此时是直角三角形； 当点与点重合时，，此时是等边三角形； 当点与点重合时，，由三角形外角性质可得，即得，此时是直角三角形； 综上，依次出现的特殊三角形为等腰三角形一直角三角形一等边三角形一直角三角形， 故选：． 70．直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C在x轴上，若为等腰三角形，则满足条件的点C共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的三边关系，分三种情况讨论点C的位置，注意排除重合的点． 【详解】解：∵ 直线与x轴交于A，与y轴交于B， 令，解得， ∴； 令，解得， ∴； 由勾股定理得； 设，分三种情况讨论： 当时， ，解得或， 即，，共2个点； 当时， ，即，解得或， ∵时，C与A重合，无法构成三角形，舍去， ∴，共1个点； 当时， ，两边平方得， 展开得，解得， ∴，共1个点； 综上，满足条件的点C共有个． 【点睛】重点掌握等腰三角形的判定与一次函数的综合应用． 71．在平面直角坐标系中，点，动点在轴上，若以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质和应用，一次函数，勾股定理，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．首先根据线段的中垂线上的点到线段两端点的距离相等，求出的中垂线与轴的交点，即可求出点的坐标；然后再求出的长，以点为圆心，以的长为半径画弧，与轴的交点为点、；最后判断出以点为圆心，以的长为半径画弧，与轴没有交点，据此判断出点的个数为多少即可． 【详解】设所在直线为，将，，，代入，得 ，解得， 所在的直线是， 设的中垂线所在的直线是， 点，， 的中点坐标是， 把，代入， 解得， 的中垂线所在的直线是， ∴ 以点为圆心，以的长为半径画弧，与轴的交点为点、； ， ， 以点为圆心，以的长为半径画弧，与轴没有交点． 综上，可得若以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点的个数为3． 故选：B． 72．已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A点、B点，点M在x轴上，并且使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形，则这样的点M有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．7个 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上的点的坐标，等腰三角形的判定，作出图形利用数形结合求解更形象直观． 分别以点、为圆心，以的长为半径画圆，与轴的交点即为所求的点，线段的垂直平分线与坐标轴的交点也满足使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形． 【详解】解：如图，轴上使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形的点如图所示，共有4个． 故选：B． 73．如图，已知函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点是轴上一点，若为等腰三角形，则点的坐标不可能是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、一次函数的图形的性质等知识点，解体的关键是根据等腰三角形的概念作图分别讨论点的位置及坐标． 可先求得、两点的坐标，利用勾股定理可求得的长，再分别根据等腰三角形的性质对四个选项分别判断即可． 【详解】解：如下图所示：   函数的图象与轴交于点，与轴交于点， 在中，令可得，令可得， ，， ， （1）当时，点与重合，如图，则； （2）当时，点与重合，如图所示： 过的中点作轴的垂线，垂足为， 由题意知：， 点的坐标为，设点的坐标为， ， 解得：， 即点的坐标为； （3）当时，点与重合，如图所示：则点或； 综上所述：若为等腰三角形，则点的坐标可能是、、、， 故选：D． 74．如图，平面直角坐标系中，在函数和的图象之间由小到大依次画出若干个直角三角形（图中所示的阴影部分），其短直角边与x轴垂直，长直角边与x轴平行，斜边在函数的图象上，已知点A的坐标是，则第100个直角三角形的面积是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数，求直角三角形面积，掌握一次函数的性质是解本题的关键． 本题先根据点A的坐标以及函数和的表达式求出第一个直角三角形的直角边长度，进而得到其面积，再通过同样的方法求出后续几个直角三角形的面积，找出面积变化规律，最后根据规律求出第100个直角三角形的面积． 【详解】解：如图： 点A的坐标是， ， 当时，， ， 当时，， ， ， 第1个直角三角形的面积为， 同理可得， 第2个直角三角形的面积为， 第3个直角三角形的面积为， 第4个直角三角形的面积为， ， 依此规律，第100个直角三角形的面积为， 故选：A． 75．如图，直角三角形的两直角边、分别与x轴、y轴平行，且，顶点A的坐标为，若某正比例函数的图象经过点B，则此正比例函数的表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求正比例函数的解析式，正确求出点的坐标是解题关键．先求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边与轴平行，且，顶点的坐标为， ∴， 又∵直角三角形的两直角边与轴平行，且， ∴， 设这个正比例函数的表达式为， 将点代入得：， 解得， 则这个正比例函数的表达式为， 故选：A． 76．第24届国际数学家大会会标图案是由四个全等的直角三角形围成的一个正方形，中间的阴影部分是一个小正方形的＂赵爽弦图＂，如图，如果这四个全等的直角三角形有一个角为，顶点 、…和、… 分别在直线 和 x 轴上，图中阴影部分正方形的面积从左到右依次记为、…、，则 的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数中的规律探究，含30度的直角三角形，勾股定理，设正方形的边长为，根据含30度角的直角三角形的性质，得到直角三角形的边长为，进而得到阴影部分正方形的边长为，得到阴影部分正方形的面积为，分别求出的坐标得到的值，推出规律，进行求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为，即四个全等的直角三角形的斜边长为， ∵这四个全等的直角三角形有一个角为， ∴直角三角形的两条直角边的长分别为， ∴阴影部分正方形的边长为， ∴阴影部分正方形的面积为， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴第一个正方形的边长， ∴； 当时，， ∴第二个正方形的边长为， ∴， 同理： ， ∴； 故答案为：． 77．如图，有一种动画程序，在平面直角坐标系屏幕上，直角三角形是黑色区域（含直角三角形边界），其中，，，用信号枪沿直线发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的b的取值范围是____________________．    【答案】 【分析】根据直线的解析式可知此直线必然经过一三象限，当经过点B时b的值最小，当经过点C时b的值最大，由此可得出结论． 【详解】解：∵直线中，， ∴此直线必然经过一三象限． ∵，，， ∴当经过点B时，，解得； 当经过点C时，，解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查是一次函数的图象和性质，解答此类题目时一定要注意数形结合的运用． 78．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，且与直线：交于点，若点是轴上的一个动点，当是以为直角边的直角三角形时，点的坐标为：___________． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，先求出，，设，则，，，再结合勾股定理分两种情况：当时，；当时，；分别计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，，则， ∵直线与直线交于点， ∴联立， 解得， ∴， ∵点是轴上的一个动点， ∴设， ∴，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴当时，， 解得：， 此时； 当时，， 解得：， 此时； 综上所述，点的坐标为：或， 故答案为：或． 79．如图，直线交轴于点，交轴于点，，点是坐标轴上一点，且是直角三角形，满足这样条件的点有___________个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一次函数与动点问题，准确分析求解是解题的关键． 根据已知条件求出一次函数解析式，当点在轴上，设，则根据和两种情况讨论，当点在轴上，设，当时求解即可． 【详解】，点在轴的负半轴， ， 直线过点， ， ， ， ， 当点在轴上， 当，点与原点重合，； 当，设， ，，， ，，， ， 解得：， ； 当点在轴上， 当，设， ，，， ，，， ， ， ； 符合条件的点的坐标是或或，有个； 故答案是：． 80．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，A，C两点分别在x轴、y轴上， ，B点的坐标为．将沿翻折，B点落在D点位置，交y轴于点 E，则点 D的坐标为________ 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与几何的综合应用、勾股定理、翻折的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握翻折的性质和三角形全等的判定定理与性质是解题关键．过点D作轴于点N，证明，可得，设，则，在中，利用勾股定理求出x的值，进而得到点坐标，等积法求出的长，求出直线的解析式，进而求出点坐标即可． 【详解】解：如图，过点D作轴于点N， ∵、两点分别在轴、轴上，轴，，点的坐标为， ∴， ∴， 由翻折的性质得：， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴点E的坐标为，， ∴，即：， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴， 当时，， ∴； 故答案为：． 81．如图，是直角三角形，，，其中，，则直线的函数表达式为_____． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，求出C点坐标是解题的关键．先确定出，，再证明，得出、，求出C点坐标，然后利用待定系数法求出直线的函数表达式． 【详解】解：如图，∵，， ∴，， 过点C作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为． 故答案为：． 82．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，点在一次函数的图象上．当为直角三角形时，点的坐标是______． 【答案】或或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，作出图形，分别以、、为直角顶点三种情况讨论，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：一次函数的图象分别与轴、轴交于点， 令，则，令，则， ∴，， ∵点在一次函数 的图象上， ∴设点的坐标为， ， ， ， ①当时， 根据勾股定理得：，即， 解得： ∴点的坐标为； ②当时， 根据勾股定理得：，即， 解得： ∴点的坐标为； ③当时，此时点与点重合， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 故答案为：或或． 83．蜿蜒如虹，飘逸秀美．2023年11月4日上午9时30分，历时近两年建设的上虞曹娥江城市人行桥正式开通启用（如图），市民争相打卡体验，成为上虞新晋“网红打卡点”．桥身之美中不乏具有“对称美”，桥中间成半球形的景观中出现了很多的“等腰三角形”，现把这样的一个等腰三角形放置到平面直角坐标系中，使其关于y轴对称，且有一腰与x轴相交于点，已知该等腰三角形其中一腰所在的直线为，则b的值为________．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据图形的对称关系求出经过的点为或，然后代入计算即可；熟知关于y轴对称的点的坐标关系是关键． 【详解】解：如图，点关于y轴对称的点的坐标为；    当经过时，，即； 当经过时，，即； 故b的值为． 故答案为：． 84．直线与平面直角坐标系的x轴、y轴分别交于A，B两点，直线经过B点，且与x轴交于点C，当时是等腰三角形时（举例：直线的解析式为时，就是等腰三角形，此时，请写出符合条件的直线的解析式_________．（直线除外） 【答案】或或 【分析】根据题意，分别求得的坐标，继而求得的长，根据等腰三角形的性质求得点的坐标，进而求得直线的解析式． 【详解】解：∵直线与平面直角坐标系的x轴、y轴分别交于A，B两点， 令，解得 令，解得 , ①当时，则 设过点的解析式为 解得 ②当时，或 或 设过点的解析式为 解得 设过点的解析式为 解得 ③当时，设 解得 设过点的解析式为 解得 综上所述，或或 故答案为：或或 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，求一次函数解析式，勾股定理求两点距离，分类讨论是解题的关键． 85．等腰三角形腰长为，底边为，其周长为10，则与的函数关系式为__________（并注明自变量的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系，求函数解析式．根据已知列方程，再根据三角形三边的关系确定自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵即， ∵三角形两边之和大于第三边， ∴，即， ∴， 综上可得． 故答案为：． 86．已知点为轴上一点，且为等腰三角形，直线的表达式为，则的值为___________． 【答案】或2或或 【分析】本题主要考查等腰三角形的分类讨论、一次函数的斜率，根据等腰三角形的边长进行分类讨论是解题的关键． 首先设，根据，，三种情况进行讨论求解点C的坐标，即可求出直线的表达式的斜率． 【详解】解：由题意得：，设， ∵为等腰三角形， ①当时，，解得：（与点B重合，舍去）或， ∴， ∵， ∴将，，代入中，得，解得：， ∴； ②当时，，解得：或， 当时，∴将，，代入中，得，解得：， ， 当时，∴将，，代入中，得，解得：， ∴； ③当时，，解得 ∴，∴将，，代入中，得，解得：， ； 故答案为：或或2或． 87．如图，直线与轴、轴分别交于点，，在轴上作一点，使得是以为腰的等腰三角形，则点的坐标为____________． 【答案】或或 【分析】根据一次函数表达式，解得点、的坐标，得出的长度，假设点的坐标为，对、进行分类讨论，解得的值，即可得出结果． 【详解】解：对于直线， 当时，， 即点， 当时，得， 即点， 故，， 由勾股定理得， 令点的坐标为， 故当时， 即， 解得（舍去）或， 即， 当时， 故， ∴， 得或，即或， 综上，点的坐标为或或． 88．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，且点从点出发，向右运动，当为等腰三角形时，的长为_______． 【答案】或或 【分析】确定，，得，，然后分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， 当时，；当时，， ∴，， ∴，， 当为等腰三角形时，分三种情况： ①当时，如图， ∴， 在中，， ∴， ∴； ②当时，如图， 在中，，， ∴， ∴； ③当时，如图， ∵轴与轴互相垂直，即， ∴， ∴， 综上所述，的长为或或． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 89．如图，在平面直角坐标系中，点为直线上位于第二象限内的一点，过点作该直线的垂线交轴于点，点为点关于轴的对称点，连接，当为等腰三角形时，的长度为______． 【答案】4或2 【分析】先令，令，求出，根据题意可知，设，则，分三种情况，当时，当时，当时，分别画图求解即可． 【详解】解：令，则， 令，则，解得：， ∴， 根据题意可知， 设，则， 如图，当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点， ∴， 解得：， 即； 如图，当时，， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即； 如图，当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即点A和点C重合， ∵点为直线上位于第二象限内的一点， 故该情况不符合题意，舍去； 综上，的值为4或2； 故答案为：4或2． 【点睛】该题考查了勾股定理，三角形面积求解，全等三角形的性质和判定，一次函数与坐标轴交点，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是分类讨论． 90．如图直线与轴、轴分别交于点，，与直线交于点．如果在轴上存在一点，使为以为腰的等腰三角形，则点的坐标是_________． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，两点距离计算公式，求两直线的交点坐标，先联立两直线解析式求出点A坐标，进而求出的长，再分和两种情况，讨论求解即可． 【详解】解：联立，解得， ∴， ∴， 设， 当时，则，解得， ∴点P的坐标为或； 当时，则， 解得或（舍去）， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 91．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，P是直线上的一个动点，以下结论正确的是：__________． ①B点的坐标为；②； ③为等腰三角形；④的最小值为3． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，垂线段最短，勾股定理；能熟练利用勾股定理求解，并能由垂线段最短找出取得最小值的条件是解题的关键． ①把代入，求出点B的坐标即可； ②先求出点A的坐标，然后根据两点间距离公式，求出的长度即可； ③先分别求出、的长，即可得出，说明为等腰三角形； ④根据，即可求解． 【详解】解：①把代入得， ∴点B的坐标为，故①正确； ②把代入得：， 解得：， ∴， ∵， ∴，故②错误； ③∵，， ∴， ∴为等腰三角形，故③正确； ④∵垂线段最短， ∴当时，最小， ， 又∵， ，即的最小值为3，故④正确； 综上分析可知：正确的有①③④． 故答案为：①③④． 92．如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点M在y轴上（M不与原点重合），并且使以点A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形，则M的坐标为_____． 【答案】、或 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意，可以求得点A和点的坐标，再根据勾股定理，可以得到的长，然后利用分类讨论的方法可以求得点的坐标． 【详解】解：一次函数， 当时，，当时，， 点A的坐标为，点的坐标为， ，， ， 当点在点上方时，此时， 点的坐标为； 当点在点的下方时，此时， 点的坐标为； 当时，点在轴的负半轴上时，此时点的坐标为； 由上可得，点的坐标为、或， 故答案为：、或． 93．在直角坐标系中，点，点是直线在第一象限的一点． (1)设的面积为S，用含的解析式表示S，写出自变量取值范围； (2)在直线求一点，使是以为底的等腰三角形； (3)若第（2）问变为使是等腰三角形，这样的点有几个？ 【答案】(1) (2) (3)这样的点有5个 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，等腰三角形的定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握一次函数的性质． （1）根据三角形面积公式求出S与x的函数解析式即可； （2）根据是以为底的等腰三角形时，点Q在垂直平分线上，得出点Q的横坐标为2，求出结果即可； （3）通过画图得出这样点的个数即可． 【详解】（1）解：如图： 把代入得：， 解得：， ∴直线与x轴的交点坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：作的垂直平分线，交直线于点Q，连接、，如图所示： 根据垂直平分线的性质可知，， ∴是以为底的等腰三角形， 此时点Q的横坐标为：， 把代入得：， ∴点Q的坐标为． （3）解：分别以点A，O为圆心，为半径画圆，作出的垂直平分线，如图所示： 根据图可知，两个圆分别与直线有2个交点，的垂直平分线与直线有1个交点， ∴这样的点一共有5个． 94．如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点． (1)若点在轴上，且为等腰三角形，则点坐标为____________； (2)如图，直线交轴负半轴于点，且，为射线上一点，以点为旋转中心将点旋转度得到点，当点落在直线上时，写出点的坐标为________； (3)在（2）的条件下，为延长线上一点，且，在直线上确定点，使是以为底边的等腰三角形，则点的坐标为___________． (4)过点作直线垂直于轴，点在直线上，若的面积等于的面积，则点的坐标为______． 【答案】(1)，，， (2) (3) (4) 【分析】（1）利用两点间距离公式分当时，当时，当时，三种情况求解即可得解； （2）分点绕点逆时针旋转和点绕点顺时针旋转两种情况，利用直线和二元一次方程的关系讨论求解即可； （3）过点作轴于点，过点作轴于点，连接，如图，则，利用待定系数法求得直线为，设，证，得，，，利用勾股定理得，解得或（不符合题意，舍去），，由（）得直线∶，设，由，构造方程得，求解即可得； （4）如图，在轴上取，过点作轴交于点，过点作交直线于点，过点作于点，过点作于点，连接，，则，证明，得，又证明，得，即和同底等高，和的面积相等，进而利用一次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：把点代入直线得， ∴， ∴， 设， 当时，则， 解得（舍去）或， ， 当时，则， 解得或， ∴或， 当时，则， 解得， ∴， 综上或或或， 故答案为：，，，； （2）解：在中，，， ∴，， ∴， ∴， 如图，当点绕点逆时针旋转时， ∵点绕点逆时针旋转得点，绕点逆时针旋转得点， ∴当点在射线上时，点在射线上， 由图可知射线与直线不相交， ∴点绕点逆时针旋转时，不符合题意，应舍去， 当点绕点顺时针旋转时， 由点绕点顺时针旋转得点，绕点逆时针旋转得点，如图， ∵直线：中，， ∴直线∶， 设直线：， 把，代入得 ， 解得，， ∴直线：， 联立和得 ， 解得：， ∴， 故答案为：； （3）解：过点作轴于点，过点作轴于点，连接，如图，则， 设直线为， 把，代入得 ， 解得，， ∴直线为 ∴设， ∵， ∴， ∵为射线上一点，以点为旋转中心将点旋转度得到点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， 由（）得直线∶， 设， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴ 解得， ∴， 故答案为：； （4）解：如图，在轴上取，过点作轴交于点，过点作交直线于点，过点作于点，过点作于点，连接，，则， ∵，， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即和同底等高， ∴和的面积相等， 由直线∶，设直线为， 把代入得， 解得， ∴直线为， 当时，， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，求一次函数解析式，一次函数的图像及性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，熟练掌握一次函数的图像及性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 95．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点P在x轴上运动，连接PB，将沿直线BP折叠，点O的对应点记为． (1)若点恰好落在直线AB上，求OP的长； (2)若Q是直线AB上的一个动点，当的面积为10时，求Q的坐标； (3)在x轴上是否存在点C，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点C的坐标，若不存在，说明理由； (4)若C是上的动点，当是以BC为底的等腰三角形，求出点C的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，的坐标为，，， (4) 【分析】（1）先根据直线解析式求得，，勾股定理求得，根据折叠的性质，等面积法即可求解； （2）根据：Q是直线AB：上的一个动点，设，根据三角形面积公式进行计算即可求解； （3）根据，，三种情况，分类讨论即可求解； （4）设，根据是以BC为底的等腰三角形，可得，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B， 令，得，令，得， ∴，， ，， 中， ∵将沿直线BP折叠，点O的对应点记为，点恰好落在直线AB上， ， 设OP，则， ， 解得， 即． （2）解：Q是直线AB：上的一个动点，设， 的面积为10， ， 即， 解得或， 当时，， 当时，， 点的坐标为或． （3）存在，如图， 当时，， ， ， 当时，，， ，， 当时， 设， 则， 即， 解得， 即， 综上所述，的坐标为，，，． （4）根据题意，C是上的动点，当是以BC为底的等腰三角形，则, 设， ， ， 即， 整理得， 即， 解得或（舍去）， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数与几何图形，一次函数与坐标轴的交点问题，轴对称的性质，勾股定理，因式分解的应用，综合运用以上知识是解题的关键． 96．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴交于点，直线与轴交于点B，与直线交于点．             (1)求的值和点B的坐标； (2)求的面积； (3)点是轴上一点，且是以为底的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)14； (3)或． 【分析】（1）将点代入直线，可求出的值；再把点C的坐标代入，求出b的值，进而求出B的坐标； （2）先求出直线与轴交点的坐标，计算出线段的长度，再以为底，点的纵坐标的绝对值为高，利用三角形面积公式计算面积； （3）设点的坐标为，先根据两点间距离公式计算的长度，由以为底的等腰三角形可知，据此列出关于的绝对值方程，求解得到的值，进而得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵过点． ∴，解得：， ∴， ∵直线经过点， ∴代入得，解得， ∴， 令，则，解得：, ∴； （2）解：∵函数的图象与轴交于点，令，则，解得， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为， ∴， ∵点的纵坐标为，即中边上的高为， ∴； （3）解：设点的坐标为， ∵点，， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， 即或， 解得或， ∴点的坐标为或． 97．如图，一次函数与x轴、y轴分别相交于点A和点B． (1)求的面积． (2)点C在y轴上，若的面积为6，求点C的坐标； (3)点P在x轴上，若是等腰三角形，求点P的坐标； 【答案】(1)4 (2)或 (3)或或或． 【分析】本题考查一次函数的综合应用．正确地求出直线与坐标轴的交点坐标，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． （1）令，求出x的值，得到点A的坐标，令，求出y的值，得到点B的坐标,得到，，即可解答； （2）分点在点上方和点在点下方两种情况讨论． （3）若是等腰三角形，且点P在x轴上，分，，三种情况，由等腰三角形的性质，结合勾股定理分别求解即可． 【详解】（1）解：在一次函数中， 当时，， ，即， 当时，，， ，即， ∴． （2）∵点在轴上，的面积为6， ， ， ， 当点在点上方时，； 当点在点下方时，． （3）∵，， ∴，， ∴， 当时， 则点P的坐标为或； 当时，根据等腰三角形的三线合一性质得， ∴点P的坐标为； 当时，设点P的坐标为， 根据题意，得， 解得：， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴负半轴交于点B． (1)如图，若点，点B关于y轴的对称点为点，求直线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，点C是线段上不与点B、重合的一个动点．点D是线段上的一点，且满足．当为等腰三角形时，求点C的坐标； (3)如图2， 若， 动点C在线段上， 将线段绕点A顺时针旋转， 得到线段，连接、，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】（1）将点代入，求出直线的函数表达式，进而得到点的坐标，根据轴对称的性质，得到点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据坐标可得，再结合等边对等角，推出，根据坐标可得，再结合等边对等角，推出，若为等腰三角形，分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时，分别求解即可； （3）取的中点，连接，根据30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，由旋转的性质可知，，，证明，得到，当轴时，的长度最小，此时的长度最小，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得 ，解得：， ， 令，则， ， 点B关于y轴的对称点为点， ， 设直线的函数表达式为， 则，解得：， 直线的函数表达式为； （2）解：，，， ，，， ， ， ， 若为等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时，， ， ， 在中，， ， 解得：， 点C的坐标为； ②当时，， ，，， ， ， ， 点C的坐标为 ③当时，， ，即点与点重合， ， ，此时点C与点B或重合，不符合题意； 综上可知，点C的坐标为或； （3）解：如图，取的中点，连接， ，， ， ， 由旋转的性质可知，，， ， ，即， ， ， 当轴时，的长度最小，此时的长度最小， 在中，， ， 线段长度的最小值为． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，坐标与图形，轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，旋转的性质等，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 2．解决以下问题： (1)借助网格，用无刻度直尺作； (2)如图，直线与x轴、y轴分别交于点C和点B，点A在x轴负半轴，且． ①P为线段上一个动点，若，求此时点P的坐标； ②在①的条件下，Q为直线上的一个动点，连接，若，求Q点的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)①；②或． 【分析】（1）以为直角顶点，构造等腰直角三角形即可； （2）①根据，得到，进而求出点坐标即可； ②以为直角顶点，构造等腰直角三角形，进而求出的坐标，进而求出直线的解析式，联立直线和直线的解析式，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 由图易得， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入，得， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴； ②以为直角顶点，在直线的下方构造等腰直角三角形，如图，过点作轴，作于点，作于点，则，， ∴，， ∴点在射线上，， ∴， 由①知：， ∴， ∴，即， 同①法可得：直线的解析式为， 联立，解得， ∴； 以为直角顶点，在直线的上方构造等腰直角三角形，如图，作轴，轴， 同法可得，直线的解析式为， 联立，解得， ∴； 综上：或． 3．【模型建立】如图1，在中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E．求证：； 【初步应用】如图2，已知直线：分别交轴于点，将直线绕点A逆时针旋转至直线，求直线的函数表达式； 【迁移拓展】如图3，直线分别交轴于两点，直线分别交轴于点交直线于点E．若，请直接写出点C的坐标． 【答案】【模型建立】见详解；【初步应用】；【迁移拓展】 【分析】（1）利用角角边来证明两个三角形全等； （2）根据，求得，最后用待定系数法求直线的函数表达式； （3）利用构造等腰直角三角形，然后利用（1）中的结论求出关键点的坐标，最后利用待定系数来求函数的表达式． 【详解】解：【模型建立】证明∶ ， ， ， 在和中， ； 【初步应用】直线：分别交轴于点， ， ， 过点B作交于点C，过点C作轴，如图： ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设的表达式为：， 将点，代入可得： ， 解得：， 的表达式为：； 【迁移拓展】过点作直线交于点，作轴，过点作直线交于点，作，过点作于点，如图： ， ， 故为等腰直角三角形， ∴． 由点、的坐标知：， ． 又， ， ， 点的坐标为． 由点、的坐标得，直线的函数表达式为， ， ， 直线表达式为：， 令可得：， 解得：， 的坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形全等的判定与性质，一次函数图象上点坐标的特征，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是利用条件作辅助线构造全等三角形． 4．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【模型学习】如图1，已知在中，，直线EF经过点A，于点E，于点F．易证：． （1）如图2，平面直角坐标系中，点B的坐标为，求直线的函数关系式； 【类比探究】 （2）如图3，一次函数的图象分别交x轴和y轴于M、N两点，点D坐标为． ①连接，则_____； ②点P在直线上，连接，当与直线的夹角为时，求出点P的坐标； 【拓展探究】 （3）在（2）的条件下，若一次函数的图象与直线相交所夹锐角大于，请直接写出k的取值范围． 【答案】（1）；（2）①90，②或；（3）且 【分析】本题考查一次函数与几何的综合，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． (1)过点A作轴于D，过点B作轴于E，推导出，得到，求出，设直线的函数关系式为，求出直线的函数关系式为，即可解答； (2)①推导出，，在x轴上取点过点F作轴，交于E，求出，得到，继而证明，得到推导出，则即可解答； ②先证明，连接，推导出是等腰直角三角形，得到，则点P与点E重合时，与直线的夹角为，得到；当点P在x轴下方时，过点P作轴于G，推导出是等腰直角三角形，得到进而证明，得到，则得到，即可解答； (3)先求出直线的函数关系式为，直线的函数关系式为，推导出直线必定经过点，过点Q分别作和的平行线，交y轴于，求出或，由一次函数的图象与直线相交所夹锐角大于，得到，求出直线的解析式为，得到，则且，，即可解答． 【详解】解：(1)过点A作轴于D，过点B作轴于E，如图， 则， ， ， ， ， ， ， 点B的坐标为， ， ， ， 设直线的函数关系式为，则 解得： 直线的函数关系式为； (2)①当时， ， 解得：， ， 当时， ， ， ∴在x轴上取点过点F作轴，交于E，如图， 则， 当时， ， ∴， ∴， ∵D坐标为， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴，即 故答案为：90； ②由①知， ∴， 连接，如图， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点P与点E重合时，与直线的夹角为，则； 当点P在x轴下方时，过点P作轴于G， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴ ∴，且点P在直线上； 综上所述，点P的坐标为或； (3)由(2)知， 同理可得，直线的函数关系式为，直线的函数关系式为， ∵，且 ∴当时， ， ∴直线必定经过点，如图， 过点Q分别作和的平行线，交y轴于， ∴或， ∵一次函数的图象与直线相交所夹锐角大于， ∴． 设直线的解析式为， 将分别代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，一次函数的图象与直线平行，此时一次函数的图象与直线垂直，不符合题意， ∴， 综上所述，且，． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $