第二十六章 一次函数与（特殊）平行四边形综合（单元复习+4大动点+4大函数几何综合）（专项训练）数学人教版五四制八年级下册

**基本信息** 聚焦一次函数与特殊平行四边形综合，以“易错+压轴”双模块、“一般到特殊”四边形分类构建训练体系，强化几何直观与函数推理的融合应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |易错题型（动点与函数图象）|4子题型（各1例题+3-7巩固题）|动点路径引发几何量变化，结合函数图象分析临界点|从平行四边形到正方形，逐步深化特殊四边形性质与函数图象的关联，培养空间观念| |压轴题型（一次函数与四边形综合）|4子题型（各1例题+3-6巩固题）|坐标系中特殊四边形存在性、面积计算及动态问题|以一次函数为工具，整合图形性质与代数运算，发展抽象能力与推理意识|

第二十六章 一次函数与（特殊）平行四边形综合 01 思维导图 目录 【易错题型】 1 动点题型一　平行四边形中动点与函数图象问题 1 动点题型二　矩形中动点与函数图象问题 10 动点题型三　菱形中动点与函数图象问题 15 动点题型四　正方形中动点与函数图象问题 21 【压轴题型】 27 压轴题型一　一次函数与平行四边形综合问题 27 压轴题型二　一次函数与矩形综合问题 45 压轴题型三　一次函数与菱形综合问题 57 压轴题型四　一次函数与正方形形综合问题 66 【易错题型】02 动点题型 动点题型一　平行四边形中动点与函数图象问题 例题：（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图①，在平行四边形中，，连接，，与相交于点，点从点出发，沿以的速度匀速运动到点，图②是点运动时，线段的长随时间变化的函数关系图象，其中，分别是两段曲线的最低点，则的长为（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．（22-23八年级下·四川达州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，将放置在第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2，那么的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·河南周口·三模）如图1，平行四边形中，，，点P从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，的周长y随时间变化的关系图象，则平行四边形的面积为（    ） A．8 B． C． D．4 3．（24-25九年级上·安徽安庆·开学考试）如图1，在平行四边形中，，动点P从A点出发，以的速度沿着的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知的面积y（单位：）与点P移动的时间x（单位：）之间的函数关系如图2所示，则图2中b的值为（    ） A．34 B．35 C．36 D．37 4．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图（1），点是平行四边形边上一动点，沿的路径移动，设点经过的路径长为，的面积是，图（）是点运动时随变化的关系图象，则与间的距离是（ ） A．5 B．4 C．3 D．6 5．（24-25九年级上·四川泸州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点，，直线以每秒1个单位长度的速度向右平移，经过 秒该直线可将平行四边形的面积平分． 6．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）如图，四边形是平行四边形，，，，若直线平分四边形的面积，则 ． 7．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，顶点，顶点，点在线段上，若直线经过点，且将平行四边形分割成面积相等的两部分，则直线的函数解析式是 ． 动点题型二　矩形中动点与函数图象问题 例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图1所示，点为矩形边的中点，在矩形的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员从点出发，沿着的路线匀速行进，到达点．设运动员的运动时间为，到监测点的距离为．现有与的函数关系的图象大致如图2所示，则这一信息的来源监测点为 ． 巩固训练 1．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图2所示，则当点为中点时，的长为 ． 2．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图1，在矩形中，动点P从点B出发，沿运动至点A停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形的周长是 ． 3．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）如图，矩形的顶点坐标为，直线分别交轴、轴于、点，若线段上有一点，直线上有一点，是以为斜边的等腰直角三角形，则点P坐标为 ．   4．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴正半轴上，点在点的左侧，直线经过点和点，且，将直线沿轴向下平移得到，若点落在矩形的内部（不含边界），则的取值范围是 ． 动点题型三　菱形中动点与函数图象问题 例题：（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点均在轴上，点在轴上，点在第一象限，已知直线的函数解析式为：，点是直线上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图1，将菱形置于平面直角坐标系中，边在轴上，点坐标为，与垂直的直线沿着轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设在平移过程中，直线被菱形截得的线段长为，平移时间为秒，与的函数图象如图2所示，则的值为（    ） A．8 B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图①，在菱形中，垂直于的直线（直线与菱形的两边分别交于E、F两点，且点在点的上方）沿方向从点出发到点停止运动，设直线平移距离为，的面积为，若与之间的函数图象如图②所示，则的值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 3．（23-24八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的四个顶点都在坐标轴上，其中，，对角线相交于原点，若一次函数的图象将菱形分成面积之比为的两个平行四边形，则直线的解析式为 ． 动点题型四　正方形中动点与函数图象问题 例题：（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，正方形的边长为4，动点P从点B出发沿折线做匀速运动，设点P运动的路程为x，的面积为y，下列图象能表示y与x之间函数关系的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则k的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴上，点在轴上，以为边作正方形，点的坐标在一次函数上，一次函数与轴交于点，与轴交于点，将正方形沿轴向右平移个单位长度后，点刚好落在直线上，则a的值为（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴、轴上，四边形是边长为4的正方形，点为的中点，点为上的一个动点，连接，，当点满足的值最小时，直线的解析式为 ． 4．（2024·山东临沂·一模）在平面直角坐标系中，记直线为，点是直线与y轴的交点，以为边作正方形，使点落在x轴正半轴上，作射线交直线于点，以为边作正方形，使点落在轴正半轴上，依次作下去；得到如图所示的图形，则点的坐标是 ．    【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　一次函数与平行四边形综合问题 例题：（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个平行四边形，其中点在轴上，点在轴上，点在第一象限．已知，，， (1)求各点的坐标． (2)若在直线上有一点，且点在的角平分线上，求点的坐标． 巩固训练 1．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．直线与轴交于点，与轴交于点，四边形是平行四边形． (1)求、两点的坐标； (2)求直线所对应的函数表达式． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图1，在平行四边形中，，过点作于点．点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止．设点的运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质：_____ (3)若直线与该函数图象恰有一个交点，则常数的取值范围是_____． 3．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）动点P在平行四边形边上沿着的方向匀速移动，到达点D时停止移动．已知P的速度为1个单位长度，其所在位置用点P表示，P到对角线的距离（即垂线段 的长）为d个单位长度，其中d与t的函数图象如图②所示．    (1) ， ， ． (2)若，求出时d与t的函数关系式，并求当时的面积． (3)如图②，点M，N分别在函数第一段和第三段图象上，线段平行于横轴，M、N的横坐标分别为、．设、时点P走过的路程分别为、，若，求、的值． 4．（23-24八年级下·重庆·期中）如图，在平行四边形中，，点从出发，沿射线方向运动，过点作交折线于点，当点与点重合时，点停止运动．运动过程中，设，．    (1)请直接写出与的函数表达式以及对应的的取值范围； (2)在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)已知函数的图象如图所示，当时，请直接写出自变量的取值范围； 5．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图1，在平行四边形中，为钝角，，分别为边，上的高，交边，于点，，连结，． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，以点为原点建立平面直角坐标系，点坐标为，点为直线上一动点，当时，求出此时点的坐标． 6．（22-23八年级下·河北沧州·期末）如图，已知平行四边形，轴，，点A的坐标为，点D的坐标为，点B在第四象限，点P是平行四边形边上的一个动点．    (1)点B的坐标为_________；点C的坐标为________； (2)点G是与y轴的交点，求点G的坐标； (3)若点P在上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线上，求点P的坐标； (4)若点在折线上，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，它们交于点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在坐标轴上，直接写出此时点的坐标． 压轴题型二　一次函数与矩形综合问题 例题：（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，正比例函数的图象交于点，过点作的垂线交于点，且满足． (1)求点的坐标； (2)点在线段上，横坐标为，设的面积为，请用含的式子表示． 巩固训练 1．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，直线（k为常数且）分别与x轴、y轴相交于A，B两点，O为坐标原点，点A的坐标为，过线段上一点P（不与端点重合）作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M，N． (1)求k的值； (2)当矩形的周长是12时，求点P的坐标． 2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，线段的长分别是m，n且满足，点D是线段上一点，将沿直线翻折，点O落在矩形对角线上的点E处 (1)求线段的长； (2)求点E的坐标； (3)所在直线与相交于点M，点N在x轴的正半轴上，以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形时，求N点坐标． 3．（23-24八年级下·上海·单元测试）如图，在矩形中，为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点在边上，点的坐标为，，点是射线上一个动点，连接，． (1)求点的坐标； (2)如果点，之间的距离为，的面积为，求与之间的函数关系式，并写出函数定义域； (3)在点运动过程中，是否有可能为等腰三角形？若有可能，求出点的坐标；若不可能，请说明理由． 4．（23-24八年级下·广东佛山·期末）已知，如图，平面直角坐标系内的矩形，点在轴上，点在轴上，点坐标为，为边上一点，将沿直线折叠，得到，点的对应点落在线段上． (1)求的长； (2)点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动，设运动时间为，的面积为，求关于的关系式； (3)在（2）的条件下，点为直线上一点，是否存在，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出的值，并直接写出点、点的坐标；若不存在，请说明理由． 压轴题型三　一次函数与菱形综合问题 例题：（23-24八年级下·重庆开州·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，顶点D的坐标为，． (1)求点C的坐标； (2)在y轴上找一点P，使得的值最小，请求出的最小值及点P的坐标； (3)点Q在x轴上，直接写出以点B、D、Q为等腰三角形时的点Q的坐标． 巩固训练 1．（23-24九年级下·重庆开州·期中）如图，是边长为的菱形，且．动点，分别以每秒个单位长度的速度同时从点出发，点沿折线方向运动，点沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为秒，点，的距离为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出点，相距个单位长度时的值． 2．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形ABCD按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中点D在x轴的负半轴上，直线经过点C，交x轴于点E． (1)求点A、B的坐标； (2)求点D的坐标及m的值； (3)点是线段上的一个动点（不与点O、B重合），经过点P且平行于轴的直线交AB于点M，交CE于点N，当四边形是平行四边形时，求点P的坐标； (4)点是y轴正半轴上的一个动点，Q是平面内任意一点，直接写出：为何值时，以点为顶点的四边形是菱形？ 3．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）已知菱形的边长为10，，以点B为坐标原点，以为x轴正方向建立直角坐标系，如图所示． (1)求点A的坐标； (2)求菱形的对角线的解析式； (3)若点Q是上一定点，且，点P从点A出发，以每秒2个单位长度向终点C运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，最小？ 压轴题型四　一次函数与正方形形综合问题 例题：（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，，点E在边上，点N的坐标为，过点N且平行于y轴的直线与交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在上，并与上的点G重合，折痕为． (1)求点G的坐标，并求直线的解析式； (2)若直线l：平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出n的取值范围； (3)设点P为x轴上的点，是否存在这样的点P，使得以P，O，G为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 巩固训练 1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A、C分别在x轴、y轴上，且点C的坐标为． (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图2，边上有一动点D，连接，点F在线段上，使得，点G在的延长线上，点E在线段上，连接，满足，若D点的纵坐标为t，的长为d，求d与t的关系式； (3)如图3，在（2）问的条件下，E在线段上，连接，若，当时，求t值，并直接写出G点的坐标． 2．（23-24八年级下·天津河东·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形．顶点，点和分别在正方形边，上，且，直线与直线交于点；平行于轴的直线，从轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向移动，与线段重合时停止，设运动时间为秒，平移过程中，直线与直线交于点、与直线交于点． (1)求直线的解析式和点的坐标． (2)当点M在点N上方时，记线段的长度为； ①如图1，求与的函数关系式，并写出此时的取值范围； ②如图2，以为直角边向右作等腰直角，当点恰好落在正方形的边上时，求值?直接写出在什么范围变化时，等腰直角与重叠部分为矩形? (3)如图3，当M在点N下方时，以为边向右作等边，等边与重叠部分的面积记为．填空：当、恰好是、中点时，的值______． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 一次函数与（特殊）平行四边形综合 01 思维导图 目录 【易错题型】 1 动点题型一　平行四边形中动点与函数图象问题 1 动点题型二　矩形中动点与函数图象问题 10 动点题型三　菱形中动点与函数图象问题 15 动点题型四　正方形中动点与函数图象问题 21 【压轴题型】 27 压轴题型一　一次函数与平行四边形综合问题 27 压轴题型二　一次函数与矩形综合问题 45 压轴题型三　一次函数与菱形综合问题 57 压轴题型四　一次函数与正方形形综合问题 66 【易错题型】02 动点题型 动点题型一　平行四边形中动点与函数图象问题 例题：（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图①，在平行四边形中，，连接，，与相交于点，点从点出发，沿以的速度匀速运动到点，图②是点运动时，线段的长随时间变化的函数关系图象，其中，分别是两段曲线的最低点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象、利用平行四边形的性质求解、与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查动点问题的函数图象．根据图②中点的纵坐标为，可得此时时的值为；根据点的纵坐标为可得时的值为，由平行线的性质知，由此可得的长，即为的长．结合图象得到动点在相应位置时的长度是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，分别是两段曲线的最低点，点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴中边上的高为，中边上的高为， ∵， ∴， 解得：， ∴， 即的长为． 故选：D． 巩固训练 1．（22-23八年级下·四川达州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，将放置在第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2，那么的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】此题考查了一次函数的应用，勾股定理，根据图象求出，利用勾股定理求出，即可求出的面积，正确理解函数图象与图形的关系是解题的关键． 【详解】解：根据图象可以得到，当移动的距离是4时，直线经过点A，当移动距离是7时，直线经过点D，当移动距离是8时，直线经过点B，则， 当直线经过点D时，设直线交于点N，则，如图， 过点D作于点M， ∵直线与x轴形成的锐角是，且轴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理，可得， ∴的面积是， 故选D 2．（2024·河南周口·三模）如图1，平行四边形中，，，点P从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，的周长y随时间变化的关系图象，则平行四边形的面积为（    ） A．8 B． C． D．4 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，先根据图2得出，，根据直角三角形的性质得出，根据平行四边形的性质得出，即，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：由运动规律及题图2可知：，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 即， 解得：， 即， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积为． 故选：B． 3．（24-25九年级上·安徽安庆·开学考试）如图1，在平行四边形中，，动点P从A点出发，以的速度沿着的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知的面积y（单位：）与点P移动的时间x（单位：）之间的函数关系如图2所示，则图2中b的值为（    ） A．34 B．35 C．36 D．37 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解、动点问题的函数图象 【分析】首先由图②可得点P从点A运动到点B所用的时间为，再根据平行四边形的性质得，则点P从点B运动到点C所用的时间为，然后分别过点B，C作的垂线于E，交的延长与F，先求出，，然后证和全等得，据此可求出，于是可求出点P从点C运动到点A所用的时间为，进而可求解． 【详解】解：由图②可知点P从点A运动到点B所用的时间为， ∵点P运动的速度为， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ， ， ∴点P从点B运动到点C所用的时间为：， ∴点P从点A运动到点C所用的时间为：， ∴； 分别过点B，C作的垂线于E，交的延长线于F，则，如图： 由图②可知：， ∴， 即：， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ， 由勾股定理的：， ∴点P从点C运动到点A所用的时间为：， ∴， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，理解题意，读懂函数的图象，从函数图象中提取解决问题的信息，正确的作出辅助线构造全等三角形和直角三角形，灵活运用勾股定理进行计算是解答此题的关键． 4．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图（1），点是平行四边形边上一动点，沿的路径移动，设点经过的路径长为，的面积是，图（）是点运动时随变化的关系图象，则与间的距离是（ ） A．5 B．4 C．3 D．6 【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，根据点运动和三角形的面积变化得出线段长度是解题关键．根据点运动，可得，再根据三角形的面积公式可得出结论． 【详解】解：根据点运动，可得， 设与间的距离是， 当点在上时，， 解得， 故选：A． 5．（24-25九年级上·四川泸州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点，，直线以每秒1个单位长度的速度向右平移，经过 秒该直线可将平行四边形的面积平分． 【答案】3 【知识点】一次函数图象平移问题、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一次函数的图象与几何变换，依据题意，首先连接、，交于点，当经过点时，该直线可将的面积平分，然后计算出过且平行直线的直线解析式，进而可以判断得解． 【详解】解：连接、，交于点，当经过点时，该直线可将的面积平分． 四边形是平行四边形， ，即点为中点， ，， ， 设的解析式为， 平行于， ， 过， 的解析式为， 结合“左加右减，上加下减”的平移规律， 满足． 直线可以由直线要向右平移3个单位． 经过3秒该直线可将平行四边形的面积平分． 故答案为：3． 6．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）如图，四边形是平行四边形，，，，若直线平分四边形的面积，则 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查一次函数的性质，平行四边形的性质．理解该直线必过点G是解题的关键． 连接和，交于点G．利用中点坐标公式求出G的坐标，根据平行四边形的性质结合题意得到必过G点，代入G点坐标运算求解即可． 【详解】解：如图，连接和，交于点G． ∵四边形是平行四边形， ∴G为中点， ∵，， ∴，即． ∵平分平行四边形的面积， ∴必过G点， ∴， 解得：． 故答案为：． 7．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，顶点，顶点，点在线段上，若直线经过点，且将平行四边形分割成面积相等的两部分，则直线的函数解析式是 ． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解、坐标与图形、求一次函数解析式 【分析】此题考查了平行四边形的性质、求一次函数解析式、平移的性质等知识，先求出点，点A向上平移4个单位，向右平移2个单位得到点B，则点向上平移4个单位，向右平移2个单位得到点，连接、，相交于点M，由中点坐标公式求出点M的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】解：∵在直角坐标系中，平行四边形的边在轴上， ∴， ∵顶点，顶点，点在线段上， ∴点，点A向上平移4个单位，向右平移2个单位得到点B， ∴点向上平移4个单位，向右平移2个单位得到点， 连接、，相交于点M，如图， 则， 则点M的坐标为， ∵直线经过点，且将平行四边形分割成面积相等的两部分， ∴图象过点M和点P， 设直线即直线l的函数解析式是, ∴， 解得：， ∴直线l的函数解析式是． 故答案为：． 动点题型二　矩形中动点与函数图象问题 例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图1所示，点为矩形边的中点，在矩形的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员从点出发，沿着的路线匀速行进，到达点．设运动员的运动时间为，到监测点的距离为．现有与的函数关系的图象大致如图2所示，则这一信息的来源监测点为 ． 【答案】点 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据题意，可以得到各个监测点监测时，随的变化而如何变化，从而可以根据函数图象得解．解题的关键是明确各个监测点监测点时，是如何变化的． 【详解】解：由题意和图象，可得 由监测点监测时，函数值随的增大先减小再增大，然后再减小； 故答案为：点 巩固训练 1．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图2所示，则当点为中点时，的长为 ． 【答案】 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了动点问题的函数图象、勾股定理，从函数图象中获取信息是解题的关键．通过观察图2可以得出，，，由勾股定理可以求出a的值，当P为的中点时，由股定理求出长度． 【详解】解：因为P点是从A点出发的，A为初始点，观察图象时，则， P从A向B移动的过程中，是不断增加的，而P从B向D移动的过程中，是不断减少的， 因此转折点为B点，P运动到B点时，即时，，此时， 即，，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， ， 当P为的中点时， ， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图1，在矩形中，动点P从点B出发，沿运动至点A停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形的周长是 ． 【答案】18 【知识点】动点问题的函数图象、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出的长度是解决问题的关键，根据函数的图象、结合图形求出的值，即可得出矩形的周长． 【详解】解：动点从点出发，沿运动至点停止，而当点运动到点之间时，的面积不变，函数图象上横轴表示点运动的路程，时，开始不变，说明时，接着变化，说明， 矩形的周长． 故答案为：18． 3．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）如图，矩形的顶点坐标为，直线分别交轴、轴于、点，若线段上有一点，直线上有一点，是以为斜边的等腰直角三角形，则点P坐标为 ．   【答案】或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质求线段长、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质．分点、在两侧和点、在同侧两种情况考虑，画出图形，通过构造“一线三垂直”全等模型求解即可． 【详解】当点、在两侧时，过点作于，作于，如图1所示． ， ， ． 是以为斜边的等腰直角三角形， ． 在和中，， ， ，． 设点，则，，， ， 解得：， ，， 点； 当点、在同侧时，过点作于，作于，如图2所示． ， ． ，， ． 是以为斜边的等腰直角三角形， ． 在和中，， ， ，． 设点，则，，， ，解得：， ，， 点． 综上所述：点坐标为或． 4．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴正半轴上，点在点的左侧，直线经过点和点，且，将直线沿轴向下平移得到，若点落在矩形的内部（不含边界），则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，一次函数的几何应用，作于交于，把代入可得直线，设点坐标为，由可得，即得点坐标为，进而得点，点，分别把的坐标代入，求出的值即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，作于交于， ∵直线经过点， ∴， ∴直线， 设点坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点坐标为， ∴点，点， 把点代入得，， 解得； 把点代入得，， 解得； ∵点落在矩形的内部（不含边界）， ∴， 故答案为：． 动点题型三　菱形中动点与函数图象问题 例题：（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点均在轴上，点在轴上，点在第一象限，已知直线的函数解析式为：，点是直线上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】由求出，，然后通过勾股定理求得，连接，交于点，连接交于点，连接，过作轴于点，当点与重合，即三点共线时由最小值，最后由勾股定理即可求解． 【详解】解：由， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴，， ∴， 连接，交于点，连接交于点，连接，过作轴于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，垂直平分， ∴， ∴当点与重合，即三点共线时由最小值， 在中，， ∴的最小值为， 故选：． 【点睛】本题考查了一次函数求点的坐标和性质，轴对称——最短路径问题，勾股定理，菱形的性质，矩形的判定与性质，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． 巩固训练 1．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图1，将菱形置于平面直角坐标系中，边在轴上，点坐标为，与垂直的直线沿着轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设在平移过程中，直线被菱形截得的线段长为，平移时间为秒，与的函数图象如图2所示，则的值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了动点问题的函数图象．求出点坐标，再求出平移后的与轴的交点，计算出平移距离即可． 【详解】解：， ， 当平移到经过点时，平移时间为， 点坐标为， 此时函数关系式为：， 此时与轴交于点， 平移距离为，即， 故选：B． 2．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图①，在菱形中，垂直于的直线（直线与菱形的两边分别交于E、F两点，且点在点的上方）沿方向从点出发到点停止运动，设直线平移距离为，的面积为，若与之间的函数图象如图②所示，则的值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象、求一次函数解析式、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题主要考查对动点问题的函数图象，三角形的面积，一次函数的图象，菱形的性质等知识点的理解和掌握．作，，由图②知，利用三角形面积公式求得，即，再利用待定系数法求得图②中线段的解析式，据此求解即可． 【详解】解：作，，垂足分别为，， 由图②知，当F点与重合时，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 当F点与重合时，， ∴， ∴，即， 设图②中线段的解析式为， ∴， 解得， ∴图②中线段的解析式为， 当时，， ∴． 故选：A． 3．（23-24八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的四个顶点都在坐标轴上，其中，，对角线相交于原点，若一次函数的图象将菱形分成面积之比为的两个平行四边形，则直线的解析式为 ． 【答案】或或或 【知识点】求一次函数解析式、利用平行四边形的性质求解、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，一次函数的性质，解题关键是掌握菱形的性质及分类讨论．根据菱形的特征求出四个顶点坐标，及对角线长度，然后分别求出直线、直线的解析式，根据菱形分成面积之比为的两个平行四边形，得一次函数分别平行于或，然后分类讨论分别求出一次函数k，b，即可得出函数解析式 【详解】解：菱形的四个顶点都在坐标轴上，， ∴，， ，，， 设直线的解析式为，将，代入得 解得：， 设直线的解析式； 设直线的解析式为，将，代入得 解得：， 设直线的解析式； ∵一次比例函数的图象将菱形分成两个平行四边形， ∴一次函数的图象平行于或， 当一次函数图象平行于时，交、于点M，N交y轴于点Q， ， 菱形分成两个平行四边形， ，， ， ∴； 或， ， ， ， ∴； 当一次函数图象平行于时， 同理可知：或， 或， 综上所述一次函数解析式为、、或． 动点题型四　正方形中动点与函数图象问题 例题：（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，正方形的边长为4，动点P从点B出发沿折线做匀速运动，设点P运动的路程为x，的面积为y，下列图象能表示y与x之间函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象、画一次函数图象、求一次函数解析式 【分析】本题考查动点问题的函数图象，分段求出函数关系式，再观察图象可得答案． 【详解】解：当P在上，即时，，当时，； 当P在上，即时，； 当P在上，即时，； 观察4个选项，符合题意的为D． 故选：D． 巩固训练 1．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一次函数解析式、坐标与图形、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，求一次函数解析，解题的关键是作出放心上，设直线l和八个正方形最上面交点为A，过A作于点B，先根据图形得出，根据三角形面积公式得出，求出，得出，把代入，求出k的值即可． 【详解】解：设直线l和八个正方形最上面交点为A，过A作于点B，如图所示： ∵正方形的边长为1， ∴， ∵经过原点的直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分， ∴两边的面积都是4， ∴， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， 故选：A． 2．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴上，点在轴上，以为边作正方形，点的坐标在一次函数上，一次函数与轴交于点，与轴交于点，将正方形沿轴向右平移个单位长度后，点刚好落在直线上，则a的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一次函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，利用全等三角形的性质，求出点D的坐标是解题的关键． 由点C的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出k值，进而可得出直线的函数解析式，过作轴于，过作轴于，则及，利用全等三角形的性质，可求出点D的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点D平移后的横坐标，结合平移前点D的横坐标，即可求出结论． 【详解】将代入中 直线得函数解析式为 过作轴于，过作轴于    如图所示：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 点A的坐标为，点B的坐标为， 同理可证 ，， ， 平移后 将代入中 故选：D 3．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴、轴上，四边形是边长为4的正方形，点为的中点，点为上的一个动点，连接，，当点满足的值最小时，直线的解析式为 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、根据正方形的性质求线段长、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查了根据轴对称的性质确定最短路径，正方形的性质，用待定系数法求函数解析式，解题的关键是熟练掌握相关性质，确定取最小值时点P的位置，以及用待定系数法求函数解析式的方法和步骤． 易得，，先求出的函数解析式为，连接交于点P，此时点满足的值最小，用待定系数法求出的函数解析式为，进而得出，再用待定系数法，即可得出直线的解析式． 【详解】解：∵四边形是边长为4的正方形， ∴， 设的函数解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴的函数解析式为， ∵点为的中点， ∴， 连接交于点P，此时点满足的值最小， 设的函数解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴的函数解析式为， 联立得：， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为． 故答案为：． 4．（2024·山东临沂·一模）在平面直角坐标系中，记直线为，点是直线与y轴的交点，以为边作正方形，使点落在x轴正半轴上，作射线交直线于点，以为边作正方形，使点落在轴正半轴上，依次作下去；得到如图所示的图形，则点的坐标是 ．    【答案】 【知识点】一次函数的规律探究问题、坐标与图形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，解此题的关键是根据一次函数的点的坐标计算的结果得出规律．根据一次函数，得出等点的坐标，继而得知等点的坐标，从中找出规律，进而可求出点的坐标． 【详解】解：把代入直线，得：， 所以点的坐标是， 把代入直线，得：， 所以点的坐标是， 同理点的坐标是；点的坐标是； …… 由以上得出规律是的坐标为． 所以点的坐标是， 故答案为：． 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　一次函数与平行四边形综合问题 例题：（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个平行四边形，其中点在轴上，点在轴上，点在第一象限．已知，，， (1)求各点的坐标． (2)若在直线上有一点，且点在的角平分线上，求点的坐标． 【答案】(1)，，， (2) 【知识点】坐标与图形、两直线的交点与二元一次方程组的解、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】（）由直角三角形的性质可得，，由勾股定理得到，即可得到的坐标，再利用直角三角形的性质得到，可得，即可得到点的坐标，最后根据平行四边形的性质可得点的坐标； （）由角平分线和平行四边形的性质可得，，即得，得到，进而得，利用待定系数法求出直线和直线的函数解析式，联立方程组即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴； （2）解：如图，为的角平分线，则， ∵四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 由，解得， ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边，待定系数法求一次函数，一次函数的交点问题，利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键． 巩固训练 1．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．直线与轴交于点，与轴交于点，四边形是平行四边形． (1)求、两点的坐标； (2)求直线所对应的函数表达式． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2) 【知识点】求一次函数解析式、利用平行四边形的性质求解、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数的性质以及平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据一次函数与坐标轴的交点性质分别求出、两点的坐标 （2）先根据四边形是平行四边形，得出，，即，再运运用待定系数法求一次函数的解析式，即可作答． 【详解】（1）解：直线， 当时，，， 点的坐标为． 当时，， 点的坐标为． （2）四边形是平行四边形， ，， ． 设直线所对应的函数表达式为． 将，代入上式， 得 ． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图1，在平行四边形中，，过点作于点．点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止．设点的运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质：_____ (3)若直线与该函数图象恰有一个交点，则常数的取值范围是_____． 【答案】(1) (2)图象见解析，性质：当时，函数有最大值（答案不唯一，合理即可） (3)或 【知识点】动点问题的函数图象、求一次函数解析式、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了动点的函数，包括求函数的解析式，画函数图象，根据图象写函数的性质，比较函数值的大小，还考查了平行四边形的性质，勾股定理； （1）直接确定三角形的底和高求解即可，注意分类讨论； （2）先确定，，然后连接即可画出图象，再观察函数图象，可以从最值写出函数的一条性质； （3）通过平移直线，与相交，找到只有一个交点时的临界点，根据函数图象求解即可． 【详解】（1）解：∵在平行四边形中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止， ∴当点到达点时秒，当点到达点时秒， ∴当时，点在线段上，此时，； 当时，点在线段上， 此时，； ∴； （2）解：函数图象如图： 由函数图象可得，当时，函数有最大值（答案不唯一，合理即可）； （3）解：平移直线，与相交，函数图象如图： 把代入可得； 把代入可得，解得； 把代入可得，解得； 由函数图象可得，直线与该函数图象恰有一个交点，则常数的取值范围是或． 3．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）动点P在平行四边形边上沿着的方向匀速移动，到达点D时停止移动．已知P的速度为1个单位长度，其所在位置用点P表示，P到对角线的距离（即垂线段 的长）为d个单位长度，其中d与t的函数图象如图②所示．    (1) ， ， ． (2)若，求出时d与t的函数关系式，并求当时的面积． (3)如图②，点M，N分别在函数第一段和第三段图象上，线段平行于横轴，M、N的横坐标分别为、．设、时点P走过的路程分别为、，若，求、的值． 【答案】(1)，，； (2)， (3)，． 【知识点】动点问题的函数图象、利用平行四边形的性质求解、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，动点问题的函数图象，一次函数与几何综合： （）当点运动到点时，，结合图，可知的值；当点运动到点时，得值最长，根据图可知，，根据图可知； （）结合（）当时，点在边上，即，则时对应的点在和之间的函数图象上，用待定系数法求得此段函数解析式，代入点可得，在中，由勾股定理求出，最后利用三角形的面积公式计算即可； （）由题意可得，，根据线段平行于横轴，可得出即，从而可得方程组， 解方程组即可． 【详解】（1）如图，    由题意知：当时，点与点重合时，此时最长为， 即， 当点运动到点时，， ∴， 当点运动到点时，得值最长，根据图可知，， ∵四边形是平行四边形， ∴， 根据图可知， 故答案为：，，； （2）结合（）当时，点在边上，即， ∴ ，则时对应的点在和之间的函数图象上， 设此时函数为， 把，分别代入得： ，解得：， ∴此时函数为， 当时，， 在中，由勾股定理得， ∴， （3）如图，    由题意可得，，，， ∵线段平行于横轴， ∴，即此时的值相同， ∴， 即 ， 联立得：， 解得：， ∴，． 4．（23-24八年级下·重庆·期中）如图，在平行四边形中，，点从出发，沿射线方向运动，过点作交折线于点，当点与点重合时，点停止运动．运动过程中，设，．    (1)请直接写出与的函数表达式以及对应的的取值范围； (2)在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)已知函数的图象如图所示，当时，请直接写出自变量的取值范围； 【答案】(1) (2)作图见详解 (3)自变量的取值范围为： 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，作图的方法，根据一次函数图象求不等式解集，掌握以上方法是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质，含角的直角三角形的性质即可求解； （2）运用描点，连线的方法即可求解； （3）根据图示即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴是直角三角形，且， 设，， ①当点在线段上时，即， ∵， ∴， ∴； ②当点与点重合时，即，如图所示，    ∴，即； ③当点在线段上时，即，如图所示， ∵，， ∴，且， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 综上所述，与的函数表达式以及对应的的取值范围为：； （2）解：根据（1）的函数关系式描点如下， 0 1 2 3 4 5 …… 4 2 0 - - - - - 0 1 2 3 作图如下，    （3）解：如图所示，    根据图示，交点坐标为，， ∴当时，， ∴自变量的取值范围为：． 5．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图1，在平行四边形中，为钝角，，分别为边，上的高，交边，于点，，连结，． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，以点为原点建立平面直角坐标系，点坐标为，点为直线上一动点，当时，求出此时点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，或， 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、一次函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）由，根据同角的余角相等可求解； （2）由“”可证，可得结论； （3）分两种情况：在轴的上方和下方，先计算的面积，根据时，可得的面积，如图3，过点作轴于，从而得的长，利用待定系数法可得的解析式，则可求得点的坐标． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，分别为边，上的高， ，， ， ， ， ； （2）证明：如图，延长，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：分两种情况： ①如图，点在轴的上方，过点作轴于， 点坐标为， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，，， 设直线的解析式为：， ， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， ， 点的坐标为，； 如图，在轴的下方，过点作轴于， 由①可知：，直线的解析式为：， 当时，， ， 点的坐标为，； 综上，点的坐标为，或，． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的判定和性质，坐标与图形的性质，一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 6．（22-23八年级下·河北沧州·期末）如图，已知平行四边形，轴，，点A的坐标为，点D的坐标为，点B在第四象限，点P是平行四边形边上的一个动点．    (1)点B的坐标为_________；点C的坐标为________； (2)点G是与y轴的交点，求点G的坐标； (3)若点P在上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线上，求点P的坐标； (4)若点在折线上，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，它们交于点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在坐标轴上，直接写出此时点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4)或 【知识点】一次函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离、利用平行四边形的性质求解、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质，正方形的性质与判定，折叠的性质，等腰直角三角形的性质与判定，坐标与图形变化—轴对称等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质对边平行且相等进行求解即可； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点D的坐标即可； （3）设出点P的坐标，然后分P、Q关于x轴对称和关于y轴对称两种情况，分别求出点Q的坐标，再根据点Q在直线进行求解即可； （4）分两种情况讨论：当点P在上时，由折叠的性质可得，，证明是等腰直角三角形，进而证明四边形是正方形，从而得到三点共线，则，即可求出．当点P在上时，证明，再利用两点距离公式求出点M坐标即可解题． 【详解】（1）解：∵轴，，点A的坐标为， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴轴， ∵D的坐标为， ∴， 故答案为：，； （2）解：设直线的解析式为， 把，带入中得， 解得， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点G的坐标为； （3）解：设，且， 若点P关于x轴的对称点在直线上， ∴， 解得， 此时． 若点P关于y轴的对称点在直线上时， ∴，解得， 此时 综上所述，点P的坐标为或． （4）解：当点P在AB上时，如解图1 由折叠的性质可得，， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，即轴， ∴三点共线， ∴， ∴． 当点在上时，设直线的解析式为与x轴交点为，则， 如解图2，点落在轴上， 由折叠的性质可得，， ∵轴， ∴ ∴， ∴， 设点且，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴点 综上所述：点的坐标或 压轴题型二　一次函数与矩形综合问题 例题：（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，正比例函数的图象交于点，过点作的垂线交于点，且满足． (1)求点的坐标； (2)点在线段上，横坐标为，设的面积为，请用含的式子表示． 【答案】(1) (2) 【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查一次函数图像上点的坐标特征，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）设点的坐标为，证明，得到，，即可求出答案； （2）求出直线的解析式，表示出点的坐标，然后利用三角形面积公式即可求出答案． 【详解】（1）解：点在正比例函数上， 设点的坐标为． ，． ， ， ． 四边形为矩形， ，． ． ． ， ． ，． 点的坐标为， ． 即． ． ∴ ∴ 点的坐标为； （2）解：设所在直线的解析式为，由（1）得，， ， 直线的解析式为 点在线段上， 点的坐标为． ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，直线（k为常数且）分别与x轴、y轴相交于A，B两点，O为坐标原点，点A的坐标为，过线段上一点P（不与端点重合）作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M，N． (1)求k的值； (2)当矩形的周长是12时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查待定系数法求一次函数参数、一次函数图象上点的特征、长方形的周长公式等知识，掌握相关知识是解题关键． （1）直接利用待定系数法求解，即可解题； （2）设，根据“矩形的周长是12”建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：直线经过， ， ． （2）解：点P在直线上，设， ，， 矩形的周长是12， ， 解得， 点P的坐标为． 2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，线段的长分别是m，n且满足，点D是线段上一点，将沿直线翻折，点O落在矩形对角线上的点E处 (1)求线段的长； (2)求点E的坐标； (3)所在直线与相交于点M，点N在x轴的正半轴上，以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形时，求N点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或． 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、求一次函数解析式、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）根据非负性即可求出；根据勾股定理得出长； （2）由三角形面积求法可得，进而求出和，即可解答； （3）由待定系数法求出的解析式，进而求出M点坐标，再利用平行四边形的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴， 解得， ∵线段的长分别是m，n且满足， ∴； 设，由翻折的性质可得：， ， 可得：， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得： ， 可得：； （2）过E作于点G， 在中， ， 即 解得：， 在中，， ∴， 所以点E的坐标为； （3）设直线的解析式为：，把，E代入解析式可得： ， 解得：， 所以的解析式为：， 把代入的解析式，可得：， 即， 当以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形时， ， 所以， ， 即存在点N，且点N的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了算术平方根的非负性、用待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理、平行四边形的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过求一次函数的解析式和平行四边形的性质才能得出结果． 3．（23-24八年级下·上海·单元测试）如图，在矩形中，为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点在边上，点的坐标为，，点是射线上一个动点，连接，． (1)求点的坐标； (2)如果点，之间的距离为，的面积为，求与之间的函数关系式，并写出函数定义域； (3)在点运动过程中，是否有可能为等腰三角形？若有可能，求出点的坐标；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)有可能为等腰三角形，点的坐标为或或或． 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、求一次函数解析式、等腰三角形的定义 【分析】（）过点作于，利用勾股定理求出即可求解； （）分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，利用割补法解答即可求解； （）分点为顶点、点为顶点、点为顶点，分别画出图形，利用勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：过点作于，则， ∵的坐标为，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：∵，， ∴，， 当点在线段上时， ； 当点在线段的延长线上时，如图，过点作轴于，则四边形是矩形，，， ； 综上，； （3）解：有可能为等腰三角形． ∵，，， ∴， 当点为顶点时，如图，， ∴， ∴或； 当点为顶点时，如图，， ∴    ， ∴， ∴； 当点为顶点时，如图，， 设，则， ∵， ∴， 即， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，勾股定理，求一次函数，等腰三角形的定义，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 4．（23-24八年级下·广东佛山·期末）已知，如图，平面直角坐标系内的矩形，点在轴上，点在轴上，点坐标为，为边上一点，将沿直线折叠，得到，点的对应点落在线段上． (1)求的长； (2)点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动，设运动时间为，的面积为，求关于的关系式； (3)在（2）的条件下，点为直线上一点，是否存在，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出的值，并直接写出点、点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，，或，，或，，时，以点、、、为顶点的四边形为平行四边形 【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、矩形与折叠问题 【分析】（1）先求出，由折叠的性质可知，再利用勾股定理求解即可． （2）过作交直线于，分在线段上和在的延长线上两种情况讨论求解即可． （3）分当以点、、、为顶点的平行四边形的对角线时，当四边形是平行四边形的边时，当四边形是平行四边形的边时三种情况利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形，点坐标为， ，， 由折叠的性质得：， ． （2）过作交直线于，则， 由题意得：， ，， ，， 四边形是矩形， ，， ， 由折叠的性质得：，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ． ①当点在线段上时，如图所示： 的面积的面积的面积； ②当点在线段的延长线上时，如图所示： 的面积的面积的面积； 综上所述，． （3）存在，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，理由如下： 由（1）（2）得：，，，，， ， ∴，，， 设直线的解析式为， 由题意得：， 解得：， 直线的解析式为， 设， ①当是以点、、、为顶点的平行四边形的对角线时，连接， 则对角线与互相平分，如图所示： 平行四边形的两条对角线的中点坐标相同， ， 解得：， ∴，； ②当为平行四边形的边时，如图所示： 则，， ， 解得：， ∴，； ③当为平行四边形的边时，如图所示： 则，， ， 解得：， ，； 综上所述，存在，，，或，，或，，时，以点、、、为顶点的四边形为平行四边形． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，坐标与图形，矩形的性质，平行四边形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 压轴题型三　一次函数与菱形综合问题 例题：（23-24八年级下·重庆开州·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，顶点D的坐标为，． (1)求点C的坐标； (2)在y轴上找一点P，使得的值最小，请求出的最小值及点P的坐标； (3)点Q在x轴上，直接写出以点B、D、Q为等腰三角形时的点Q的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【知识点】利用菱形的性质求线段长、求一次函数解析式、含30度角的直角三角形、等腰三角形的定义 【分析】（1）利用含30度角的直角三角形的性质、勾股定理解求出菱形的边长，即可得出答案； （2）y轴垂直平分线段，可得，当A，P，C共线时等号成立，作轴于点H，利用含30度角的直角三角形的性质可得，再求出直线的解析式，可得点P的坐标； （3）分、两种情况，画出图形，分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ， 设菱形的边长为a， 即， ， ， 顶点D的坐标为， ， ， ， ，顶点A在x轴上， 点C的坐标为； （2）解：由（1）知， y轴垂直平分线段， ， ，当A，P，C共线时等号成立，如图，作轴于点H， ，， ， 的最小值为4； 设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 点P的坐标为； （3）解：以点B、D、Q为等腰三角形时,有两种情况： 当时，如图： 此时点Q与点A重合，坐标为； 当时，如图： ，， ， 点Q的坐标为， 综上可知，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查菱形的性质，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的定义，求一次函数的解析式等，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 巩固训练 1．（23-24九年级下·重庆开州·期中）如图，是边长为的菱形，且．动点，分别以每秒个单位长度的速度同时从点出发，点沿折线方向运动，点沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为秒，点，的距离为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出点，相距个单位长度时的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【知识点】画一次函数图象、利用菱形的性质求线段长、动点问题的函数图象、求一次函数解析式 【分析】此题考查了动点问题函数图象，画一次函数图象，等边三角形的性质，菱形的性质； （1）分两种情况：当时，根据等边三角形的性质解答；当时，利用即可； （2）在直角坐标系中描点连线即可； （3）利用分别求解即可． 【详解】（1）解：当时，点分别在上运动，连接 ∵动点，分别以每秒个单位长度的速度同时从点出发， ∴ 又∵ ∴等边三角形， ∴ 当时，点分别在上运动， ∵四边形是菱形，是边长为的菱形， ∴， ∵动点，分别以每秒个单位长度的速度同时从点出发， ∴ ∴ ∴等边三角形， ∴ ∴ （2）如图所示， 该函数是轴对称图形，对称轴是直线； 该函数在自变量范围内有最值，当或时，函数有最小值；当时，函数有最大值； 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． （选择其中之一即可） （3）解：当时，     当时，， 当时，，解得： ∴或 2．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形ABCD按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中点D在x轴的负半轴上，直线经过点C，交x轴于点E． (1)求点A、B的坐标； (2)求点D的坐标及m的值； (3)点是线段上的一个动点（不与点O、B重合），经过点P且平行于轴的直线交AB于点M，交CE于点N，当四边形是平行四边形时，求点P的坐标； (4)点是y轴正半轴上的一个动点，Q是平面内任意一点，直接写出：为何值时，以点为顶点的四边形是菱形？ 【答案】(1)、 (2)， (3) (4)或4或 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、根据菱形的性质与判定求线段长、一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知两点坐标求两点距离 【分析】（1）首先求出点、的坐标， （2）再利用勾股定理求出的长，再根据菱形的性质可求点、的坐标，把点的坐标代入直线解析式求出的值即可； （3）表示出设，，得，根据，可得答案； （4）若点、、、为顶点的四边形是菱形，则是等腰三角形，分或或三种情形，分别求出的值． 【详解】（1）解：在中，令，得； ∴． 令，得， ∴． （2）解：由（1） 得，， 由勾股定理得，， 四边形是菱形， ， ， ，， 将代入得，， ； （3）解：， ， ， 点， 设，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得， ； （4）解：点、、、为顶点的四边形是菱形， 是等腰三角形， 当时，， ， （负值舍去）， 当时，则点与重合， ； 当时，则， 解得， 综上：或4或时，以点、、、为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了直线上点的坐标的特征，平行四边形的性质，菱形的性质，等腰三角形的性质等知识，将菱形的存在性问题转化为等腰三角形的存在性问题是解题的关键． 3．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）已知菱形的边长为10，，以点B为坐标原点，以为x轴正方向建立直角坐标系，如图所示． (1)求点A的坐标； (2)求菱形的对角线的解析式； (3)若点Q是上一定点，且，点P从点A出发，以每秒2个单位长度向终点C运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，最小？ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质，一次函数，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）过A作轴于E，利用含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，即可求解； （2）利用待定系数法求解即可； （3）连接，交于，利用菱形的轴对称性可得，当D、P、Q三点共线，即P于重合时，最小，利用待定系数法求出解析式，然后与的解析式联立方程组求出的坐标，最后利用两点间距离公式求解即可． 【详解】（1）解：过A作轴于E， ∵菱形的边长为10，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴A的坐标为； （2）解：由（1）知， 设对角线的解析式， 则， 解得， ∴； （3）解：连接，交于， ∵菱形， ∴B、D关于对称， ∴， ∴， 当D、P、Q三点共线，即P于重合时，最小， ∵，，，A的坐标为， ∴， ∵， ∴， 设解析式为， ∴， 解得， ∴， 联立方程组， 解得， ∴， ∴， ∴运动时间为秒． 压轴题型四　一次函数与正方形形综合问题 例题：（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，，点E在边上，点N的坐标为，过点N且平行于y轴的直线与交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在上，并与上的点G重合，折痕为． (1)求点G的坐标，并求直线的解析式； (2)若直线l：平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出n的取值范围； (3)设点P为x轴上的点，是否存在这样的点P，使得以P，O，G为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，点P的坐标为或或或． 【知识点】一次函数图象平移问题、等腰三角形的性质和判定、求一次函数解析式、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由图形折叠的性质可得的长度，从而可求的长度，可得G的坐标；利用待定系数法代入点G的坐标，可得直线解析式； （2）根据一次函数的性质，可得直线l的解析式为，结合图形，分别求出直线过点M、A时n的值，可得n的取值范围； （3）依据等腰三角形的性质，将两腰相等的情况分为三类，分别求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质可知，， 由勾股定理得， ∴点G的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入，得， ∴直线的解析式为． （2）解：∵直线l：平行于直线， ∴，即直线l的解析式为， 当直线l经过点时， 解得，， 当直线l经过点时， 解得，， ∴直线l与长方形有公共点时． （3）解：存在，点P的坐标为或或或，理由如下： ①当时， 若点P在原点左侧，点P的坐标为， 若点P在原点右侧，点P的坐标为； ②当时， ， ， 点P的坐标为； ③当时， 可得， 在中，，即， 解得，，点P的坐标为， 综上所述，以P，O，G为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了折叠的性质、待定系数法求一次函数解析式及一次函数图像的平移，同时考查了等腰三角形的性质及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握折叠的性质以及一次函数图象的性质与应用． 巩固训练 1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A、C分别在x轴、y轴上，且点C的坐标为． (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图2，边上有一动点D，连接，点F在线段上，使得，点G在的延长线上，点E在线段上，连接，满足，若D点的纵坐标为t，的长为d，求d与t的关系式； (3)如图3，在（2）问的条件下，E在线段上，连接，若，当时，求t值，并直接写出G点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)； 【知识点】坐标与图形、求一次函数解析式、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】（1）根据正方形的性质求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作，易得四边形为矩形，得到，证明，得到，进而求出即可； （3）在上截取，连接，证明，得到，利用平行线的性质，同角的余角以及三角形的外角，推出，得到，在中，利用勾股定理求出的值，进而求出点坐标即可． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，C的坐标为， ∴，轴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， ∴直线的解析式为； （2）过点作， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点在线段上，纵坐标为， ∴， ∴； （3）在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 即：， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查坐标与图形，求正比例函数的解析式，正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 2．（23-24八年级下·天津河东·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形．顶点，点和分别在正方形边，上，且，直线与直线交于点；平行于轴的直线，从轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向移动，与线段重合时停止，设运动时间为秒，平移过程中，直线与直线交于点、与直线交于点． (1)求直线的解析式和点的坐标． (2)当点M在点N上方时，记线段的长度为； ①如图1，求与的函数关系式，并写出此时的取值范围； ②如图2，以为直角边向右作等腰直角，当点恰好落在正方形的边上时，求值?直接写出在什么范围变化时，等腰直角与重叠部分为矩形? (3)如图3，当M在点N下方时，以为边向右作等边，等边与重叠部分的面积记为．填空：当、恰好是、中点时，的值______． 【答案】(1)， (2)①，，②， (3) 【知识点】已知两点坐标求两点距离、根据正方形的性质求面积、一次函数图象平移问题、求一次函数解析式 【分析】（1）利用待定系数法求出直线的解析式为：，同理可得直线的解析式为：，联立可得； （2）①结合运动的特点，设，，，问题即可作答；②先表示出，结合可得，则有；∴点恰好落在正方形的边上时，；当点A在内部（含斜边）时，等腰直角与重叠部分为矩形，将直线向下平移7个单位时即与所在直线重合， 即有直线的解析式为：，联立可得，问题得解； （3）设交于点S，利用中点坐标公式可得，，即有，过点Q作于点T，过点M作于点R，可得， ，进而可得，则直线的解析式为：，联立可得，问题随之得解． 【详解】（1）∵四边形是正方形．顶点， ∴，， ∵， ∴，， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 同理可得：直线的解析式为：， 联立：， 解得：， ∴， 即：直线的解析式为：，； （2）①∵轴，直线与直线交于点、与直线交于点， ∴结合运动的特点，设，，， ∵点M在点N上方， ∴，且点M在点H的右侧， ∴， 即：，； ②如图， ∵点恰好落在正方形的边上， ∴， ∵， ∴， ∵结合图形可知：在等腰直角中，，， ∴， 解得：， ∴点恰好落在正方形的边上时，； ∵轴，， ∴轴，轴，轴， ∵在等腰直角中，，， ∴， 结合正方形的性质有：， 又∵轴， ∴， ∴， ∴， 如图， ∵轴，轴，， ∴当点A在内部（含斜边）时，等腰直角与重叠部分为矩形， 即随之直线向边靠拢时，当等腰直角的斜边经过点A时，等腰直角与重叠部分开始为矩形， ∵，直线的解析式为：，，， ∴将直线向下平移7个单位时即与所在直线重合， ∴直线的解析式为：， 联立：， 解得：， ∴， ∴当时，等腰直角与重叠部分为矩形； （3）如图，设交于点S， ∵，，，、恰好是、中点， ∴，， ∴，即， 如下图，过点Q作于点T，过点M作于点R， 在等边中，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴按照求解解析式的方法可得直线的解析式为：， 联立：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴等边与重叠部分的面积为：， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $