专题03 期末必刷解答题（高效培优期末专项训练）数学新教材沪教教版五四制八年级下册

**基本信息** 聚焦八年级下册核心几何与函数解答题，以考点为纲系统整合平行四边形、特殊四边形、坐标系及函数综合题，注重推理与应用 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行四边形|7题|判定证明、性质应用、动态问题|从平行四边形定义出发，通过边角关系、对角线性质构建推理链条| |特殊平行四边形|10题|菱形/矩形/正方形性质与判定、翻折变换|在平行四边形基础上强化特殊条件（垂直、相等）的推理应用| |直角坐标系|6题|坐标求解、图形变换、平行四边形存在性|实现几何图形坐标化，建立数形结合思维| |一次函数|9题|表达式求解、图像应用、实际问题|从图像性质到实际模型，培养函数应用意识| |反比例函数|8题|表达式、图像交点、面积问题|与一次函数形成函数体系，强化数形结合推理|

专题03 期末必刷解答题 考点01 平行四边形 考点02 特殊平行四边形 考点03 直角坐标系 考点04一次函数的图像与性质 考点05反比例函数 考点01 平行四边形 1．（25-26八年级下·上海·期中）如图，已知：在平行四边形中，的平分线与边相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平行四边形的性质求得，利用角平分线的定义求得，据此计算即可得到； （2）利用平行四边形的性质即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·上海·期中）如图，将的边延长至点E，使，连接，F是边的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，， ①请判断的形状，并求出的面积． ②直接写出的面积______． 【答案】(1)见解析 (2)①是等边三角形，的面积为；② 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，再由已知条件证明，据此可证明结论； （2）①过点C作于点H，由平行四边形的性质和平行线的性质得到，证明，即可证明是等边三角形，得到，则，即可得到；②由可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵F是边的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①如图所示，过点C作于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由（2）①得． 3．（25-26八年级下·上海金山·期中）如图，已知：在平行四边形中，．求证：四边形是一个平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质的综合应用，解题的关键是利用平行四边形的性质结合已知条件，通过对角线互相平分来判定四边形为平行四边形． 先利用平行四边形 的性质，得到对角线互相平分，即 ，；再结合已知 ，推出 ；最后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，证明四边形 是平行四边形． 【详解】证明：连接与交于点O． ∵ 四边形 是平行四边形， ∴，（平行四边形的对角线互相平分）． ∵， ∴， 即 ． 又 ∵， ∴ 四边形 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 4．（25-26八年级下·上海·期中）在平行四边形中，点是的中点，连接，将沿直线翻折，得到．如图，延长交于点，求证：； 【答案】见解析 【分析】延长交的延长线于点，证出，得到，再由角平分线的性质及面积关系得，从而得出，即可得出结论． 【详解】证明：如图，延长交的延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ； ∵点是的中点， ； 在和中， ， ， ， 即为的中点； ∴； 由折叠的性质可得， ∴点E到的距离等于点E到的距离， 设E点到的距离分别为，则； ∴， ； ， ， 即， ． 5．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图，在平行四边形中，点O是对角线的交点，过点O且垂直于． (1)求证：； (2)若平行四边形的周长是24，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行四边形的性质和已知条件证明即可； （2）根据平行四边形的性质和全等三角形的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，点O是对角线的交点， ∴， ∴ ∵过点O且垂直于． ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴由（1）得， ∴， ∵平行四边形的周长是24， ∴ ∵， ∴ ∴ 即四边形的周长为． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的判定证明即可． （2）根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：，， ． ， ， ． 平分， ， ． 为边的中点， ． 在和中， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：平分， ， ，， ， ， ． ， ， ， ． 四边形是平行四边形， ． 7．（24-25八年级下·上海嘉定·期末） 如图，在等边三角形中，边长为，垂足为．点从点出发，沿方向匀速运动，速度是；同时点由点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点的直线，交于点，设运动时间为，试解答下列问题： (1)如果，求对应的的值； (2)当点在线段上时，设四边形的面积为，求与的关系式； (3)如果使得以为顶点的四边形是平行四边形，求出相应的的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由题意得：，，可得，根据角直角三角形的性质得到，即可建立方程求解； （2）利用等边三角形的性质表示出、，再用勾股定理求出、、，求出和，从而可求出； （3）分别对当四边形是平行四边形时及当四边形是平行四边形时进行分类讨论，利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∵在等边中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：过点P作于M，过点Q作于N，如图1所示： ， 是等边三角形， ， ∴， ，， ，， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ∴当点P在线段上时，y与t的关系式为：； （3）解：①当四边形是平行四边形时，如图2所示： 则， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ； ②当四边形是平行四边形时，如图3所示： 则， 同①得：是等边三角形， ， ， ， ， ； 综上所述，当t为或时，使得以P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了以等边三角形为背景的动点问题，主要运用了等边三角形的性质、角的这直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等，掌握动点问题解决方法：“化动为静”是解题的关键． 考点02 特殊平行四边形 1．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，点G，H分别是和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)矩形，证明见解析 【分析】（1）证明，得到，然后证明出，即可得到四边形是平行四边形； （2）连接，首先得到，然后结合得到四边形是平行四边形，然后利用三线合一得到，即可得到四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵的平分线交于点E，的平分线交于点F， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形； （2）解：四边形是矩形，证明如下： 如图，连接， ∵点G、H分别为、的中点， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∵，点G为的中点 ∴ ∴四边形是矩形． 2．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如图，在平行四边形中，点分别在边上，，与相交于点． (1)求证：． (2)如果．求证：四边形是一个菱形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】利用平行四边形的性质得出 ，，，，证明 得到 ，从而，结合 证得四边形是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分即可证得 ． (2) 由可得，根据 推出，得到 ，从而证得四边形是菱形． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵ ， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形 是平行四边形， ∴四边形 是菱形． 3．（25-26八年级下·上海·期中）如图，正方形的对角线、交于点，是上一点，，垂足为．与相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用等角的余角相等即可证明； （2）利用证明即可得到． 【详解】（1）证明：∵正方形的对角线、交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵正方形的对角线、交于点， ∴， ∵，即， ∵， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·上海普陀·期中）我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做完美四边形． (1)在以下四种四边形中，一定是完美四边形的是______（请填序号）； ①平行四边形②菱形③矩形④正方形 (2)如图（1），菱形中，，E、F分别是、上的点，且，求证：四边形是完美四边形； (3)如图（2），四边形为完美四边形，且，连接． ①求证：平分； ②当时，，，请直接写出的长． 【答案】(1)④ (2)见解析 (3)①见解析，② 【分析】（1）根据完美四边形的定义和四种多边形的性质即可判断； （2）连接，先证是等边三角形，得，再证，得，，然后得到，从而得证； （3）①延长至点E，使，连接，证明，得，，继而知，从而得，即可得证； ②由①得，，可得，，，求出，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：①平行四边形的邻边不一定相等，故不是完美四边形； ②菱形的对角不一定互补，故不是完美四边形； ③矩形邻边不一定相等，故不是完美四边形； ④正方形任意一组邻边相等且对角互补，故是完美四边形； （2）证明：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形，， ∴ ∵在菱形中，平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是完美四边形． （3）①证明：延长至点E，使，连接， ∵四边形为完美四边形 ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； ②由①得， ∴，，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）已知在四边形中，，，． (1)如图1，当时，求证：四边形是正方形； (2)连接，过点作，垂足为，延长交边或边于点． ①如图2，如果点在边上，且，求的度数； ②如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】（1）根据平行线的性质求出，证明，得出，然后证明四边形是矩形，最后根据正方形的判定即可得证； （2）过D作，根据平行四边形的判定与性质可得出，进而得出，根据等边对等角得出，，设，根据平行线的性质得出，，，则，结合得出，则，求出，即可求解； ②分两种情况讨论：当E在边上，过A作交于M，根据平行四边形的判定与性质得出，证明，根据勾股定理求出，然后根据等面积法即可求出的长度；当在上，此时，由①知，根据余角的性质得出，根据等角对等边得出，根据三线合一的性质求出，根据勾股定理求出，根据等面积法求出，根据完全平方公式可求出，，则，，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又， ∴矩形是正方形； （2）解：①过D作， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又，， ∴，， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； ②当E在边上，过A作交的延长线于点M， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， 当在上，此时， ∵， ∴，， 由①知， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 综上，的长为或． 6．（25-26八年级下·上海普陀·期中）矩形，点，点，点M为射线上的动点（点M与点A不重合），将矩形沿某一直线对折，使点O与点M重合，折痕与边交于点E，与边交于点F． (1)如图，若，求的长； (2)若四边形为平行四边形，求点E的坐标； (3)当点M在边上时，设，，求y与x之间的函数表达式和x的取值范围； (4)当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)1 (2) (3) (4)或2或 【分析】（1）证明，得到，则，据此可得； （2）可证明点M与点B重合；由折叠的性质可得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （3）可求出，根据勾股定理和，得到，据此可得答案； （4）分三种情况：，，，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点，点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，即， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，即E、B、M三点共线， ∴点M与点B重合； 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：如图所示，当时， 连接交于点R， 由轴对称的性质可得， ∵， ∴， 由矩形的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，； 如图所示，当时，过点E作于点I，连接，则四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理可得， ∴由（3）得， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 如图所示，当时， 由折叠的性质可得， ∴， ∴四边形是菱形， ∵菱形也是平行四边形， ∴由（2）可知此时点M与点B重合， ∴ 综上所述，的长为或2或． 7．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在平行四边形中，点是边上的一个动点，点是边的中点，的延长线与的延长线交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)若，   ①当的值是 时，四边形是矩形（直接写出答案）；   ②当的值是 时，四边形是菱形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①，②，见解析 【分析】（1）证明即可得证； （2）①根据矩形的判定求解即可；   ②根据菱形的判定解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴     ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，， ∴， ∵点是边的中点， ∴， 设， ∴； ①∵四边形是矩形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故当的值是3时，四边形是矩形；   ②解：∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故当的值是1时，四边形是菱形． 8．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图，已知，、分别是及其外角的平分线，O为边上的一个动点，过O作，分别交、于点E、F． (1)当点O在边上运动到何处时，四边形是平行四边形？证明你的结论； (2)在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)点O运动到的中点时，四边形是平行四边形，证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，则当点O运动到的中点时，，四边形是平行四边形； （2）先证明四边形是矩形，再求得、的长即可求解． 【详解】（1）解：点O运动到的中点时，四边形是平行四边形． 证明：∵、分别是及其外角的平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ， ∴，， ∴， 当点O运动到的中点时，， ∴四边形是平行四边形． （2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形， ∵、分别是及其外角的平分线， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 9．（25-26八年级下·上海闵行·月考）问题发现 (1)基本模型——十字架模型 如图1所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，①若则有结论；②反之若有，则有结论． 对于上述问题请选择一个命题加以证明． (2)模型运用 如图2，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点． ①若，求的值． ②如图3，若与交于点，连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）①根据正方形的性质以及同角的余角相等，找到相等的边和角，利用证明，进而可得； ②根据正方形的性质得内角为，根据证明，得，进而得，从而证明； （2）①先根据勾股定理求的长，记与相交于点，由翻折得、，根据等面积法得，进而根据计算； ②根据正方形和翻折性质得，根据，翻折后和的性质证明，根据等腰三角形三线合一得，由得，由得，由翻折得，等量代换后，根据证明． 【详解】（1）选择①，证明如下： 证明：四边形是正方形， ，， ， ，，， ， 在和中， ， ， ； 选择②，证明如下： 证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）①解：四边形是正方形，， ， 在中，， 由翻折得，垂直平分， 记与相交于点，则，且， 在中， ，即， 解得，， ； ②证明：由翻折得，，，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 由翻折得，垂直平分， 是等腰三角形，是的角平分线， ， 在中，，， 在中，，， ， ， ，， 在和中， ， ． 10．（23-24八年级下·上海闵行·期末）在菱形中，，点在边上（不与、重合），将线段绕着点顺时针旋转后，点落在点处，连接，交边于点． (1)如图1，如果，延长至点，使得，连接．求证：； (2)连接， ①如图2，设，求与之间的函数表达式：（不写定义域） ②如果．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）先证明，得到，再根据菱形，得到，又，即可证得，从而得出结论； （2）①先证明，得到，，再根据菱形，得到，，从而得，然后证明，得到，从而得到，整理即可得出答案； ②延长至点，使得，连接．先由①求得，过点A作交延长线于G，过点H作于Q，设，利用菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理求得，，根据，求得，，，从面得到，再证明，得到，然后利用等腰三角形与直角三角形性质，勾股定理求得，，，，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图， 由题意可得， ∴ ∴ 由旋转可得， 在与中， ∴ ∴ ∵菱形， ∴， ∵ ∴， ， ∴，即 ∴， （2）解：如图，延长至点，使得，连接． ①由题意可得， ∴ ∴ 由旋转可得， 在与中， ∴ ∴，， ∵菱形， ∴， ∴， ∵ ∴， ， ∴，即 ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ②∵，， ∴ 过点A作交延长线于G，过点H作于Q，如图， ∵菱形， ∴，，， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．此题属四边形综合题目，难较大．熟练掌握相关知识和正确作出辅助线是解题的关键． 考点03 直角坐标系 1．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点是原点，点的坐标是，线段交轴于点，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒个单位的速度运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的代数式表示：___________； (2)当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，则的值是___________； (3)当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)的值为秒或秒 【分析】（1）根据平行四边形的性质及点坐标得出，即可求出，根据点速度即可得答案； （2）点在点右侧和点在点左侧两种情况，分别表示出和，利用平行四边形的性质列方程求出的值即可； （3）分、和三种情况，分别利用等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，点是原点，点的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∵点以每秒1个单位的速度向点运动，运动时间为秒， ∴， ∴． （2）解：∵，点运动到点时，点随之停止运动， ∴， ∵点从点出发，沿射线的方向以每秒个单位的速度运动， ∴， ①如图，当点在点右侧时， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得：； ②如图，当点在点左侧时，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得：； 综上所述：当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，则的值是或． （3）解：如图，当时，过点作于，则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，， ∵， ∴，， ∴， 解得：； 如图，当时，过点作于，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：； 如图，当时，过点作于，则四边形是矩形， ∴，， ∵在中，， ∴， 整理得，， ∵， ∴此方程无实数根， ∴此种情况不存在； 综上所述：的值为秒或秒． 2．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，过点向第一象限作且． (1)求点的坐标． (2)是平面内一点，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是_________（直接写出答案）； (3)若，请描述点相对于点的位置． (4)平面内有一点，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或或 (3)点在点下偏右距离个单位处； (4)或 【分析】（1）过点作轴于点，根据，得，由此依据“”判定和全等得，，进而得，据此即可得出点的坐标； （2）设，根据平行四边形的性质及中点坐标计算即可； （3）根据勾股定理求出，连接，作轴交x轴于点E，根据三角形内角和及等边对等角求出，进而得到，即可求出点相对于点的位置； （4）根据勾股定理求出，进而求出，判断出C、D均在直线上，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：过点作轴于点，如图所示： ， 点的坐标是，点的坐标是， ，， 在中，， ，且， ， ， 在和中， ， ，， ， 点的坐标是； （2）解：设， ①如图，当为对角线时， ∴，， ∴，， ∴； ②如图，当为对角线时， ∴，， ∴，， ∴； ③如图，当为对角线时， ∴，， ∴，， ∴； 综上所述，点的坐标是或或； （3）解：∵点的坐标是，点的坐标是， ∴， 如图，连接，作轴交x轴于点E， ∵且， ∴， ∵ ∴， ∴点在点下偏右距离个单位处； （4）解：∵点的坐标是，点的坐标是， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴C、D均在直线上， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或． 3．（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为、、； (1)画出关于直线对称的 (2)写出各个顶点的坐标：________；________；________． 【答案】(1)见解析 (2)；； 【分析】（1）利用轴对称的性质描出点，再顺次连接即可； （2）根据各个顶点的位置，写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：；；． 22．（25-26八年级下·上海·期中）已知矩形，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，在边上取一点，将沿翻折，点D恰好落在边上的点处． (1)求线段长； (2)如图2，将图1翻折后的矩形沿轴正半轴向上平移个单位，点是坐标平面内的点，如果以为顶点的四边形为菱形，请求出点、G的坐标． 【答案】(1) (2)，或， 或，． 【分析】（1）由矩形的性质得，，由折叠性质得，则，由勾股定理求出，则，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）分三种情况讨论，由菱形的性质得，根据题意作出相应图形，然后结合菱形的性质求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，，， 由折叠性质得：，， ， 由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：； （2）如图， 当四边形为菱形， ， ∴， 矩形平移距离， 即， 设交轴于，如图所示： ，轴， ， 四边形是矩形， ，， ， 点的坐标为． 若四边形是菱形， ， ， ， ， ∴， ， 的坐标为； 当四边形是菱形， ，，， ，， 点的坐标为， 综上所述：，或， 或，． 4．（25-26八年级下·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，现同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点C，D．连接． (1)写出点C，D的坐标，并求出四边形的面积． (2)在x轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的3倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，四边形的面积为12 (2)存在，点E坐标为或 【分析】（1）利用平移方式求出点、的坐标，根据平移的性质可得四边形是平行四边形，利用平行四边形的面积公式求解面积即可； （2）根据的面积是面积的3倍求出，然后分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：根据平移方式可得，点的坐标为即，点的坐标为即， ， 点，的坐标分别是，， ， 由平移的性质知，四边形是平行四边形， 四边形的面积为； （2）解：由题知， ，． 因为的面积是面积的3倍， 所以， 则． 因为点B坐标为， 则， 所以点E坐标为或． 5．（25-26八年级下·上海·期中）平面直角坐标系不仅可以研究函数，还可以研究并解决很多图形以及图形变换问题． (1)如图①，在菱形中，若点，则点坐标为_______． (2)如图②，线段、关于点对称，若点，，，则点的坐标为_____． (3)如图③，在直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点、分别是轴、轴上的点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的横坐标为______． 【答案】(1) (2) (3)，， 【分析】（1）利用菱形边长相等、对边平行的性质求点坐标； （2）用中点坐标公式求出对称中心坐标，再求对称点坐标； （3）根据为边和对角线进行分类讨论，利用平行四边形的性质求出点横坐标． 【详解】（1）解：点的坐标为， ， 四边形是菱形， ，， 点的坐标为． （2）解：，关于点对称， ，，点的坐标为， 设点的坐标为， 与关于点对称， ，， 解得，， 点的坐标为． （3）解：如图，当， 点在轴上，点、的坐标分别为、， 点的横坐标为； 如图，当， 点在轴上，点、的坐标分别为、， 点的横坐标为； 如图，当为对角线， 点在轴上，点、的坐标分别为、， 设点的横坐标为， ， 解得，即点的横坐标为， 综上，点的横坐标为，，． 6．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如图①，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、，点、分别在原点两侧，且、两点间的距离等于个单位长度． (1)求的值． (2)在轴上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． (3)如图②，把线段向上平移个单位长度得到线段，连接、、交轴于点，过点作于点，将长方形和长方形同时分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右平移，经过多长时间长方形与长方形重叠的面积为？请你直接写出运动的时间． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)秒或秒 【分析】（1）根据坐标轴上两点间的距离公式建立方程求解即可； （2）先确定出的面积，进而求出的面积，利用面积建立方程求解即可； （3）分两种情况讨论，由重叠面积为，列出方程可求解． 【详解】（1）解：点、分别在原点两侧，且、两点间的距离等于个单位长度，， ， 解得； （2）解：存在， ，， ， ， ， 当点在轴上时， 设， ， ， ， 或； （3）解：设经过秒后长方形与长方形重叠面积为， 由题意可得，后，点，，， ①当长方形与长方形重叠部分在长方形左侧时， 高必为， 底为， ， ， ②当长方形与长方形重叠部分在长方形右侧时， 高必为， 底为， ， 综上所述：运动时间为或秒． 考点04一次函数的图像与性质 1．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）如图，已知直线：经过点、，且平行于直线：． (1)求直线的表达式： (2)如果直线经过点，与轴的正半轴相交于点，已知的面积为6，求直线的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了两直线平行问题，待定系数法求解析式，能够灵活使用待定系数法是解题的关键． （1）根据函数图像平行的性质可知，，再代入即可求解； （2）设直线的表达式，则，根据三角形面积公式即可列式求出，再利用待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：， ， 将代入得， ， 则； （2）解：设直线的表达式，则由题意可知，， 将代入得， ， 即， ， ， 解得或（舍） 则， 将，代入得， ，解得， 则直线的表达式． 2．（25-26八年级下·上海·月考）如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，与一次函数的图象交于点，点的横坐标为3，轴，为垂足，． (1)求点的坐标； (2)求一次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点P的横坐标为3代入表达式，可得答案； （2）结合点P的坐标可得，再结合已知条件可得点C的坐标，然后根据待定系数法求出表达式即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点P，且点P的横坐标为3， ∴， ∴点； （2）解：∵点轴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点． ∵一次函数经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为． 3．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，，交y轴于点C，点在点C上方，连接． (1)求直线的解析式； (2)当的面积是2时，求n的值； (3)在（2）的条件下，以点B、C、D、E为顶点组成的四边形为平行四边形，直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2)2 (3)或或 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求点坐标，然后由建立方程求解； （3）先画出图形，再根据平行四边形的性质以及平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为：， 把点，代入得， ， 解得：， ∴直线的解析式为：． （2）解：对于，当时， ∴， ， ∵ ∴， ∴， ； （3）解：如图， 当时，，，则； 当时，同理可求； 当时，则, ∵，，， ∴点向点的平移方式与点向点的平移方式一样， ∵点向点的平移方式为向左平移2个单位，向上平移2个单位， ∴点向左平移2个单位，向上平移2个单位得到 综上，点的坐标为或或． 4．（25-26八年级下·上海·期中）为落实“双减”政策，某校开展课后兴趣小组活动，甲、乙两名同学分别从学校门口和学校操场出发，前往市中心的图书馆参加活动，甲步行，乙骑车，两人行驶路程（米）与甲出发的时间（分）之间的函数关系如图所示，甲步行30分钟到达图书馆，乙骑车到达图书馆后停留5分钟，因有事需要立即按照原速返回学校门口． (1)学校门口到学校操场的距离为______米； (2)当乙追上甲时，求的值； (3)直接写出乙返回时行驶路程与的函数关系式． 【答案】(1)500 (2)x的值为20； (3) 【分析】（1）根据函数图象可直接得出结果； （2）根据题意，先根据待定系数法分别求得甲、乙去图书馆时y与x的函数关系式，再根据当乙追上甲时，乙的路程甲的路程操场到学校门口的距离列出方程，即可求解； （3）根据返回的速度相同，得出乙到达学校门口时x的值为，的值为，进而待定系数法求解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵甲从学校门口到图书馆的路程为1500米，乙从操场到图书馆的路程是2000米， ∴学校门口和操场的距离为：（米）； （2）解：设甲的函数解析式为：，代入， ∴， ∴， ∴， 设乙的函数解析式为： 代入， ∴ 解得： ∴， 由题意，， 解得：， 故当乙追上甲时，x的值为20； （3）解：根据函数图象可知，甲步行的速度为米/分钟， 乙骑车的速度为米/分钟， ∵乙骑车到达图书馆后停留5分钟，按照原速返回学校门口， ∴乙返回时的行驶距离为（米）， ∴乙到达学校门口时x的值为，的值为， 设乙返回时行驶路程y与x的函数关系式为，代入， ， 解得： ∴． 5．（2026·上海徐汇·二模）上海市居民自来水水费由供水费和污水处理费两部分组成，污水处理量由于损耗按照用水量的核定计算，污水处理费统一单价为2元/m3．小户型家庭供水费按年用水量分三档计费，收费标准如下表，每户每年应缴自来水水费（元）与用水量关系如图所示． 分类 第1档 第2档 第3档 用水量（m3） 不超过220 超过220不超过300的部分 超过300的部分 供水费单价（元/m3） 2.25 6.99 污水处理费（元/m3） 2.00 根据上述信息，解答下列问题： (1)第1档的自来水水费1m3的单价为_______元；图中点的纵坐标为________； (2)小华家去年的年用水量为250m3，共缴纳水费1065元．通过计算推出的值为________元； (3)已知小明家去年共缴水费2234元，求小明家去年的年用水量． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据水费的单价=供水费单价+污水处理费单价求解即可；求出用水量为的水费即可； （2）根据共缴水费元列出方程求解即可； （3）先判断，然后根据共缴水费元列出方程求解即可. 【详解】（1）解：第1档的自来水水费1m3的单价为元， ∵， ∴图中点的纵坐标为； （2）解：根据题意，得， 解得； （3）解：当时，， ∵， ∴， ∴， 解得， 答：小明家去年的年用水量. 6．（25-26八年级下·上海·期中）如图，正方形的各边都平行于坐标轴，且在第一象限内，点A、C分别在直线和上． (1)如果点A的横坐标为8，点C的纵坐标为6，求点D的坐标； (2)如果点A在直线上运动，且点C始终在直线上运动，设点A的横坐标为m，正方形的边长为a ①请用含m、a的代数式表示点C的坐标，并求出a与m的数量关系； ②求点B所在直线的正比例函数解析式； 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】（1）分别求出，，即可求解点D的坐标； （2）①可得，而由正方形得到，故，，即可求解点坐标，再将点坐标代入，求解a与m的数量关系； ②可得，，则，再由待定系数法求解正比例函数解析式． 【详解】（1）解：将代入得，， 将代入，则， ∴， ∵正方形的各边都平行于坐标轴， ∴，， ∴； （2）解：①∵点A在直线上运动，设点A的横坐标为m， ∴， ∵正方形的边长为a，正方形的各边都平行于坐标轴， ∴，， ∴，， ∴， ∵点C始终在直线上运动， ∴， ∴； ②∵正方形的边长为a，正方形的各边都平行于坐标轴， ∴，， ∴， 设点B所在直线的正比例函数解析式为， 则， ∵正方形的各边都平行于坐标轴，且在第一象限内， ∴， 解得， ∴点B所在直线的正比例函数解析式为． 7．（25-26八年级下·上海闵行·期中）如图，点为正比例函数图象上一点，点的坐标为． (1)求正比例函数的表达式： (2)将沿直线翻折得到，点的对应点为与轴交于点．求证：四边形是菱形； (3)在直线下方是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由， 【答案】(1) (2)见解析 (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出的长，由折叠的性质可得，则可证明，据此可证明结论； （3）分三种情况：点B为直角顶点，点C为直角顶点，点P为直角顶点，利用一线三垂直模型构造全等三角形求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点为正比例函数图象上一点， ∴， ∴， ∴正比例函数的表达式； （2）证明：∵， ∴； ∵点的坐标为， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， ∴四边形是菱形； （3）解：①如图，当点为直角顶点时，   ，， 过作轴于点，过作轴于点， ， ， ∵， ， 在和中 ， ， ，， 四边形是菱形， ，即轴， ∴点C的横坐标为4， ∵， ∴点C的纵坐标为， ∴点C的坐标为， ， ， ， ； ②如图，当点为直角顶点时，    过作轴于点，过作交的延长线于点， 同理可证明， ∴，， ， ； ③如图，当点为直角顶点时，    过作轴于点，过作交的延长线于点， 同理可证明， ∴， 设，则，， 又∵， ∴， ∴， ； 综上所述：点坐标为或或． 8．（25-26八年级下·上海·期中）一列快车和一列慢车同时从甲地出发，分别匀速驶向乙地，快车到达乙地后停留了小时，然后以比原来速度慢千米/小时的速度沿原路返回甲地，设慢车离开甲地的时间为（小时），（千米）、（千米）分别表示慢车、快车离甲地的距离．图中线段与折线分别表示与之间的函数关系．根据图像进行以下探究： (1)甲、乙两地之间的距离是 千米； (2)慢车的速度是 千米/小时； (3)求快车从甲地到乙地的速度；（写出解答过程） (4)慢车出发 小时，两车相距千米？ 【答案】(1)千米 (2) (3) (4)或或 【分析】（1）根据图象回答即可； （2）根据速度路程时间计算即可； （3）根据快车返回时速度相同列方程求解即可； （4）分类讨论：快车去乙地时、快车停留时、快车返回时； 【详解】（1）从图象中、、点的纵坐标可以看出，两地相距千米； （2）由图可知：慢车小时行驶了千米， 慢车的速度是：千米/小时； （3）设快车从甲地到乙地的速度为千米/小时，从图象可知， 快车到达乙地的时间为小时， ∴点的横坐标为， 快车在乙地停留小时， 点的横坐标为， 返回时速度比原来速度慢千米/小时， 返回时速度为千米/小时， 由图可知：点的纵坐标为，此时快车在返途中，也行驶了千米， 快车由乙地返回到千米时的所用时间为：小时， 根据返回速度列方程：， 整理得：， ， 或（舍去）， 当时，返回速度为千米/小时，点横坐标为，返回时间为小时，千米，符合题意； 快车从甲地到乙地的速度为千米/小时； （4）由（3）可得，快车从甲地到达乙地时，小时， 当时， 快车路程，慢车路程， ， 解得：； 当快车停留时，即时， 快车路程，慢车路程， ， 解得：； 当快车返回时，由题可得，返回总时间为小时， 当时，设直线解析式为， 点，在函数图象上， ， 解得：，， ， ， ， 或， 或， （舍去）， ； 满足条件的的值为或或． 9．（25-26八年级下·上海·月考）数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“平面直角坐标系”为背景开展探究活动．如图，已知四边形是平行四边形，点、点，连接，并延长交轴于点． (1)观察发现：直线的函数表达式为________． (2)探究迁移：若点P从点C出发，以2个单位/秒的速度沿x轴向左运动，同时点Q从点O出发，以1个单位/秒的速度沿x轴向右运动，P、Q均在线段上，过点作轴垂线交直线于点，过点作轴垂线交直线于点，连接，猜想四边形的形状（点P，Q重合除外），并证明你的结论； (3)拓展应用：在（2）的条件下，当点P运动多少秒时，四边形是正方形？不需说明理由，请直接写出你的结果． 【答案】(1) (2)四边形是矩形，证明见解析 (3)秒或3秒 【分析】（1）利用待定系数法，设直线的函数表达式为，将点、点，代入即可求解； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，根据、的运动情况，分类讨论，可求出与的长，分别代入直线和解析式，进而求出点，坐标，可得出，即可得出结论； （3）根据、的运动情况，分类讨论，求出，利用建立方程即可求出时间． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 将点、点，代入得， ， 解得， 直线的函数表达式为． （2）解：四边形是矩形，理由如下： 当点在右侧时，如图所示， 点，， 直线的解析式为， 点从点出发，以2个单位/秒的速度沿轴向左运动，同时点从点出发，以1个单位/秒的速度沿轴向右运动，设运动时间为， ，，， ，， 点在直线上，点在直线上，且轴，轴， ，， ， 又轴，轴， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． 当点在左侧时，如图所示， 设经过时间，则，，， ，， 同理可证四边形是矩形． （3）解：当点在右侧时，四边形是正方形，如图所示， 第（2）问已证四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 经过时间，，，， ， 解得， 经过，四边形是正方形． 当点在左侧时且在原点右侧时，四边形是正方形，如图所示， 经过时间，则，，，， 第（2）问已证四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 解得， 此时，即，此时与原点重合，如图所示， 当经过时间时，四边形是正方形． 综上所述，当点运动或时，四边形是正方形． 考点05反比例函数 1．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）在平面直角坐标系中，如图所示，已知点在反比例函数（）的图像上．过作轴，垂足为点．在的右侧，以为斜边作等腰直角三角形，再过点作交反比例函数（）的图像于点． (1)当点的横坐标为时，求点的坐标和直线的表达式； (2)当四边形是正方形时，求点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为，直线： (2) 【分析】（1）如图所示，过点C作于点D，首先求出，得到，，然后根据等腰直角三角形的性质得到，即可求出点的坐标为；然后利用待定系数法求解即可； （2）首先画出图形，设，根据题意得到是等腰直角三角形，点P和点C关于对称，表示出，然后代入求解即可． 【详解】（1）如图所示，过点C作于点D ∵当点的横坐标为时， ∴ ∴， ∵以为斜边作等腰直角三角形， ∴ ∴点C的横坐标为 ∴点的坐标为； 设所占直线表达式为 ∵， ∴ 解得 ∴ ∵ ∴设直线的表达式为 将代入得， 解得 ∴直线的表达式为； （2）如图所示，当四边形是正方形时， 设 ∵以为斜边作等腰直角三角形， ∴ ∵四边形是正方形 ∴是等腰直角三角形 ∵轴 ∴点P和点C关于对称 ∴ ∵点在反比例函数（）的图像上 ∴ 解得或（舍去） ∴． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数和一次函数交点问题、等腰直角三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键． 2．（24-25八年级上·上海崇明·期末）如图，在第一象限内，已知反比例函数的图像经过横坐标为4的点M (1)求M点的坐标及直线的解析式； (2)反比例函数图像上有一点P，线段上有一点Q，轴，且的面积为3，求点P坐标； (3)在第（2）小题的前提下，求点P到直线的距离． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合； （1）把代入得；设直线的解析式为把代入即可求解； （2）设，则，，推出，即可求解； （3）由题意得；，设点到直线的距离为h，根据，即可求解； 【详解】（1）解：把代入得：， ∴ 设直线的解析式为 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为： （2）解：∵点P在上，点Q在线段上，轴， ∴设，则， ∴， ∴ 即：， 解得：或（舍去） ∴； （3）解：∵ ∴； ∴， 设点P到直线的距离为 ∴， ∴； ∴点P到直线的距离为 3．（24-25八年级上·上海长宁·期末）如图，在直角坐标平面内，一个正比例函数的图像与反比例函数图像在第一象限内的交点为点A，过点A作轴，垂足为点B，． (1)求正比例函数的解析式； (2)在直线上是否存在点C，使点C到直线的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点P在直线上，如果是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)存在，点的坐标为或； (3)或或或 【分析】（1）反比例函数经过点，将代入，得，可得，再将点A代入正比例函数的解析式为，即可得出答案； （2）设点的坐标为，则，，，根据勾股定理求得，根据的面积求出，再由即可列出方程，求解即可； （3）由，分，，三种情形，分别得出答案． 【详解】（1）解：， 点A的纵坐标为3， 反比例函数经过点， 当时，， ∴， ， ∵正比例函数经过点， ∴， 解得， ∴正比例函数的解析式为：； （2）解：轴于点，设点的坐标为， ∵，， ∴，，， ∴在中，， 过点作于，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点到直线的距离等于它到点的距离，即， ∴， ∴或， 综上所述，满足要求的点的坐标为或； （3）解：分三种情况讨论： ①当时， ∵， ∴或； ②当时， ∵， ∴， ∴； ③当时，设， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得， ∴． 综上所述：或或或． 【点睛】本题主要考查反比例函数与正比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，等腰三角形的性质，勾股定理，运用分类讨论思想是解题的关键． 4．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在函数（）、（，为常数）的图象上，轴，垂足为，，． (1)求的值； (2)当点在函数（）的图象上，且，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如果轴上有一点，使得是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质、勾股定理以及两点间的距离等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由 结合反比例函数k的几何意义可得，进一步即可求出结果； （2）由题意可得的纵坐标为，再利用待定系数法解答即可； （3）先求出的长，然后分三种情况：①若，可直接写出点N的坐标；②若，根据等腰三角形的性质解答；③若，根据两点间的距离解答． 【详解】（1）解：∵，． ∴， ， ， ∴，解得， ∵， ∴； （2）∵，， ∴的纵坐标为 ∵在（）的图象上， ∴，解得： ∴ （3）∵， ∴ 是等腰三角形， ①当时，或 ②当时，则为对称轴，则， ③当时，设， ∴ 解得： ∴ 综上所述，或或或． 5．（25-26九年级上·广东江门·月考）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出使反比例函数值小于一次函数值的的取值范围； (3)连接，，求的面积． 【答案】(1)； (2)或 (3)4 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合题，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象、数形结合的思想方法的运用是解题的关键． （1）将代入反比例函数表达式求出的值，进而求出B点坐标，再利用待定系数法求出一次函数表达式即可； （2）根据图象中的交点求解即可； （3）求出点C的坐标，再根据计算求解即可． 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， ， 反比例函数表达式为， 将代入得：， ， 将和代入一次函数得： ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：由图象可知：当或时，反比例函数的值小于一次函数的值； （3）解：将代入得：， ， 、、， ， 即． 6．（25-26九年级上·河南郑州·期末）如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点B． (1)根据所给条件，请直接写出不等式的解集________； (2)求反比例函数的表达式； (3)轴于点C，点P为反比例函数图象上的一点，且位于点A的右侧，连接，当时，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，三线合一定理，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）根据函数图象找到一次函数的图象在反比例函数的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案； （2）把点A的坐标代入一次函数的解析式中求出点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数的解析式中求出反比例函数的解析式即可； （3）过点作，由根据等腰三角形“三线合一”得，进而确定点纵坐标为，将其代入反比例函数解析式求出横坐标，得到点坐标，再求出点B的坐标，根据，计算即可． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象相交于点， ∴由函数图象可知不等式的解集为； （2）解：把点代入得，，即， ∴点的坐标为， 把点代入得，即， ∴反比例函数的表达式为； （3）解：如图所示，过点作，垂足为点， ∵轴于点C，点的坐标为， ∴， ， ， 点的纵坐标为2， 把代入，解得． ． 在中，当，则，解得， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 7．（24-25九年级上·江西上饶·期末）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为，正方形的边落在轴正半轴上，，在第一象限，点的坐标为，连接，射线绕点逆时针旋转交于点，点在反比例函数的图象上． (1)求的长； (2)求值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质． （1）根据正方形的性质得到，，由点D的坐标得，求得，根据勾股定理得到结论； （2）根据旋转的性质得到，根据全等三角形的性质得到 ，求得，得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ （2）解：射线绕点逆时针旋转交于点， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵点E在反比例函数的图象上， ∴． 8．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，正比例函数与反比例函数（）的图象在第二象限内交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将直线向上平移3个单位长度，交反比例函数的图象于点C，交y轴于点B，连接，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数综合，一次函数的平移问题． （1）将点代入正比例函数中求出坐标，再将其代入反比例函数求解，即可解题； （2）由题意得到直线的表达式，再联立直线的表达式和反比例函数的表达式，求出点C的横坐标，最后根据三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】（1）解：将点代入正比例函数中， 得，解得． ． 将点代入反比例函数中， ． 反比例函数的表达式为． （2）解：由题意知，直线的表达式为，． 联立直线的表达式和反比例函数的表达式， 得， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）． 点C的横坐标为． ． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 期末必刷解答题 考点01 平行四边形 考点02 特殊平行四边形 考点03 直角坐标系 考点04一次函数的图像与性质 考点05反比例函数 考点01 平行四边形 1．（25-26八年级下·上海·期中）如图，已知：在平行四边形中，的平分线与边相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 2．（25-26八年级下·上海·期中）如图，将的边延长至点E，使，连接，F是边的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，， ①请判断的形状，并求出的面积． ②直接写出的面积______． 3．（25-26八年级下·上海金山·期中）如图，已知：在平行四边形中，．求证：四边形是一个平行四边形． 4．（25-26八年级下·上海·期中）在平行四边形中，点是的中点，连接，将沿直线翻折，得到．如图，延长交于点，求证：； 5．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图，在平行四边形中，点O是对角线的交点，过点O且垂直于． (1)求证：； (2)若平行四边形的周长是24，，求四边形的周长． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 7．（24-25八年级下·上海嘉定·期末） 如图，在等边三角形中，边长为，垂足为．点从点出发，沿方向匀速运动，速度是；同时点由点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点的直线，交于点，设运动时间为，试解答下列问题： (1)如果，求对应的的值； (2)当点在线段上时，设四边形的面积为，求与的关系式； (3)如果使得以为顶点的四边形是平行四边形，求出相应的的值． 考点02 特殊平行四边形 1．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，点G，H分别是和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 2．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如图，在平行四边形中，点分别在边上，，与相交于点． (1)求证：． (2)如果．求证：四边形是一个菱形． 3．（25-26八年级下·上海·期中）如图，正方形的对角线、交于点，是上一点，，垂足为．与相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 4．（25-26八年级下·上海普陀·期中）我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做完美四边形． (1)在以下四种四边形中，一定是完美四边形的是______（请填序号）； ①平行四边形②菱形③矩形④正方形 (2)如图（1），菱形中，，E、F分别是、上的点，且，求证：四边形是完美四边形； (3)如图（2），四边形为完美四边形，且，连接． ①求证：平分； ②当时，，，请直接写出的长． 5．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）已知在四边形中，，，． (1)如图1，当时，求证：四边形是正方形； (2)连接，过点作，垂足为，延长交边或边于点． ①如图2，如果点在边上，且，求的度数； ②如果，，求的长． 6．（25-26八年级下·上海普陀·期中）矩形，点，点，点M为射线上的动点（点M与点A不重合），将矩形沿某一直线对折，使点O与点M重合，折痕与边交于点E，与边交于点F． (1)如图，若，求的长； (2)若四边形为平行四边形，求点E的坐标； (3)当点M在边上时，设，，求y与x之间的函数表达式和x的取值范围； (4)当是等腰三角形时，直接写出的长． 7．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在平行四边形中，点是边上的一个动点，点是边的中点，的延长线与的延长线交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)若，   ①当的值是 时，四边形是矩形（直接写出答案）；   ②当的值是 时，四边形是菱形，并说明理由． 8．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图，已知，、分别是及其外角的平分线，O为边上的一个动点，过O作，分别交、于点E、F． (1)当点O在边上运动到何处时，四边形是平行四边形？证明你的结论； (2)在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 9．（25-26八年级下·上海闵行·月考）问题发现 (1)基本模型——十字架模型 如图1所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，①若则有结论；②反之若有，则有结论． 对于上述问题请选择一个命题加以证明． (2)模型运用 如图2，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点． ①若，求的值． ②如图3，若与交于点，连接，若，求证：． 10．（23-24八年级下·上海闵行·期末）在菱形中，，点在边上（不与、重合），将线段绕着点顺时针旋转后，点落在点处，连接，交边于点． (1)如图1，如果，延长至点，使得，连接．求证：； (2)连接， ①如图2，设，求与之间的函数表达式：（不写定义域） ②如果．求证：． 考点03 直角坐标系 1．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点是原点，点的坐标是，线段交轴于点，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒个单位的速度运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的代数式表示：___________； (2)当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，则的值是___________； (3)当是等腰三角形时，求的值． 2．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，过点向第一象限作且． (1)求点的坐标． (2)是平面内一点，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是_________（直接写出答案）； (3)若，请描述点相对于点的位置． (4)平面内有一点，且，求点的坐标． 3．（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为、、； (1)画出关于直线对称的 (2)写出各个顶点的坐标：________；________；________． 22．（25-26八年级下·上海·期中）已知矩形，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，在边上取一点，将沿翻折，点D恰好落在边上的点处． (1)求线段长； (2)如图2，将图1翻折后的矩形沿轴正半轴向上平移个单位，点是坐标平面内的点，如果以为顶点的四边形为菱形，请求出点、G的坐标． 4．（25-26八年级下·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，现同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点C，D．连接． (1)写出点C，D的坐标，并求出四边形的面积． (2)在x轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的3倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（25-26八年级下·上海·期中）平面直角坐标系不仅可以研究函数，还可以研究并解决很多图形以及图形变换问题． (1)如图①，在菱形中，若点，则点坐标为_______． (2)如图②，线段、关于点对称，若点，，，则点的坐标为_____． (3)如图③，在直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点、分别是轴、轴上的点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的横坐标为______． 6．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如图①，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、，点、分别在原点两侧，且、两点间的距离等于个单位长度． (1)求的值． (2)在轴上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． (3)如图②，把线段向上平移个单位长度得到线段，连接、、交轴于点，过点作于点，将长方形和长方形同时分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右平移，经过多长时间长方形与长方形重叠的面积为？请你直接写出运动的时间． 考点04一次函数的图像与性质 1．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）如图，已知直线：经过点、，且平行于直线：． (1)求直线的表达式： (2)如果直线经过点，与轴的正半轴相交于点，已知的面积为6，求直线的表达式． 2．（25-26八年级下·上海·月考）如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，与一次函数的图象交于点，点的横坐标为3，轴，为垂足，． (1)求点的坐标； (2)求一次函数的表达式． 3．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，，交y轴于点C，点在点C上方，连接． (1)求直线的解析式； (2)当的面积是2时，求n的值； (3)在（2）的条件下，以点B、C、D、E为顶点组成的四边形为平行四边形，直接写出点E的坐标． 4．（25-26八年级下·上海·期中）为落实“双减”政策，某校开展课后兴趣小组活动，甲、乙两名同学分别从学校门口和学校操场出发，前往市中心的图书馆参加活动，甲步行，乙骑车，两人行驶路程（米）与甲出发的时间（分）之间的函数关系如图所示，甲步行30分钟到达图书馆，乙骑车到达图书馆后停留5分钟，因有事需要立即按照原速返回学校门口． (1)学校门口到学校操场的距离为______米； (2)当乙追上甲时，求的值； (3)直接写出乙返回时行驶路程与的函数关系式． 5．（2026·上海徐汇·二模）上海市居民自来水水费由供水费和污水处理费两部分组成，污水处理量由于损耗按照用水量的核定计算，污水处理费统一单价为2元/m3．小户型家庭供水费按年用水量分三档计费，收费标准如下表，每户每年应缴自来水水费（元）与用水量关系如图所示． 分类 第1档 第2档 第3档 用水量（m3） 不超过220 超过220不超过300的部分 超过300的部分 供水费单价（元/m3） 2.25 6.99 污水处理费（元/m3） 2.00 根据上述信息，解答下列问题： (1)第1档的自来水水费1m3的单价为_______元；图中点的纵坐标为________； (2)小华家去年的年用水量为250m3，共缴纳水费1065元．通过计算推出的值为________元； (3)已知小明家去年共缴水费2234元，求小明家去年的年用水量． 6．（25-26八年级下·上海·期中）如图，正方形的各边都平行于坐标轴，且在第一象限内，点A、C分别在直线和上． (1)如果点A的横坐标为8，点C的纵坐标为6，求点D的坐标； (2)如果点A在直线上运动，且点C始终在直线上运动，设点A的横坐标为m，正方形的边长为a ①请用含m、a的代数式表示点C的坐标，并求出a与m的数量关系； ②求点B所在直线的正比例函数解析式； 7．（25-26八年级下·上海闵行·期中）如图，点为正比例函数图象上一点，点的坐标为． (1)求正比例函数的表达式： (2)将沿直线翻折得到，点的对应点为与轴交于点．求证：四边形是菱形； (3)在直线下方是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由， 8．（25-26八年级下·上海·期中）一列快车和一列慢车同时从甲地出发，分别匀速驶向乙地，快车到达乙地后停留了小时，然后以比原来速度慢千米/小时的速度沿原路返回甲地，设慢车离开甲地的时间为（小时），（千米）、（千米）分别表示慢车、快车离甲地的距离．图中线段与折线分别表示与之间的函数关系．根据图像进行以下探究： (1)甲、乙两地之间的距离是 千米； (2)慢车的速度是 千米/小时； (3)求快车从甲地到乙地的速度；（写出解答过程） (4)慢车出发 小时，两车相距千米？ 9．（25-26八年级下·上海·月考）数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“平面直角坐标系”为背景开展探究活动．如图，已知四边形是平行四边形，点、点，连接，并延长交轴于点． (1)观察发现：直线的函数表达式为________． (2)探究迁移：若点P从点C出发，以2个单位/秒的速度沿x轴向左运动，同时点Q从点O出发，以1个单位/秒的速度沿x轴向右运动，P、Q均在线段上，过点作轴垂线交直线于点，过点作轴垂线交直线于点，连接，猜想四边形的形状（点P，Q重合除外），并证明你的结论； (3)拓展应用：在（2）的条件下，当点P运动多少秒时，四边形是正方形？不需说明理由，请直接写出你的结果． 考点05反比例函数 1．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）在平面直角坐标系中，如图所示，已知点在反比例函数（）的图像上．过作轴，垂足为点．在的右侧，以为斜边作等腰直角三角形，再过点作交反比例函数（）的图像于点． (1)当点的横坐标为时，求点的坐标和直线的表达式； (2)当四边形是正方形时，求点的坐标． 2．（24-25八年级上·上海崇明·期末）如图，在第一象限内，已知反比例函数的图像经过横坐标为4的点M (1)求M点的坐标及直线的解析式； (2)反比例函数图像上有一点P，线段上有一点Q，轴，且的面积为3，求点P坐标； (3)在第（2）小题的前提下，求点P到直线的距离． 3．（24-25八年级上·上海长宁·期末）如图，在直角坐标平面内，一个正比例函数的图像与反比例函数图像在第一象限内的交点为点A，过点A作轴，垂足为点B，． (1)求正比例函数的解析式； (2)在直线上是否存在点C，使点C到直线的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点P在直线上，如果是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 4．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在函数（）、（，为常数）的图象上，轴，垂足为，，． (1)求的值； (2)当点在函数（）的图象上，且，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如果轴上有一点，使得是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 5．（25-26九年级上·广东江门·月考）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出使反比例函数值小于一次函数值的的取值范围； (3)连接，，求的面积． 6．（25-26九年级上·河南郑州·期末）如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点B． (1)根据所给条件，请直接写出不等式的解集________； (2)求反比例函数的表达式； (3)轴于点C，点P为反比例函数图象上的一点，且位于点A的右侧，连接，当时，求的面积． 7．（24-25九年级上·江西上饶·期末）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为，正方形的边落在轴正半轴上，，在第一象限，点的坐标为，连接，射线绕点逆时针旋转交于点，点在反比例函数的图象上． (1)求的长； (2)求值． 8．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，正比例函数与反比例函数（）的图象在第二象限内交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将直线向上平移3个单位长度，交反比例函数的图象于点C，交y轴于点B，连接，求的面积． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $