专题07 等腰三角形（4大考点56题）（期末真题汇编，上海专用）七年级数学下学期

**基本信息** 专题聚焦等腰三角形4大核心考点，汇编上海各区56道期末真题，覆盖性质、判定、等边三角形及线段垂直平分线，真题典型性强，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |单选题|5|等腰三角形边长计算（3题）、等边三角形判定（16题）|结合图形分类讨论，考查基础应用| |填空题|20|等腰三角形周长（4题）、角度推理（17题旋转）|多情境变式，强化性质灵活运用| |解答题|31|尺规作图（25题）、几何变换（13题翻折）|综合探究，融合逻辑推理与空间观念，贴合期末命题趋势|

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07等腰三角形(4大考点56题) ☆4大高频考点概览 考点01等腰三角形的性质 考点02等腰三角形的判定 考点03等边三角形 考点04线段垂直平分线 目目 考点01 等腰三角形的性质 一、单选题 1.(24-25七下·上海徐汇区世界外国语中学·期末)我们知道三角形具有稳定性，但四边形却是不稳定的.已 知四边形ABCD的边长如图所示.当ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为() B 6 3 D A.4或6 B.5 C.4 D.6 2.(24-25七下·上海普陀区·期末)已知两个全等的直角三角形，直角边长分别为3和4，斜边长为5.如果将 这两个全等的直角三角形拼成一个等腰三角形，那么这个等腰三角形的周长为() A.16 B.18 C.16或18 D.14或16 3.(24-25七下·上海虹口区·期末)等腰三角形的两边分别是8、17，则它的周长是() A.25 B.33 C.42 D.33或42 二、填空题 4.(24-25七下·上海松江区东华大学附属实验学校期末)如果等腰三角形的两边长分别是4cm和9cm,那么 它的周长是 5.(24-25七下·上海金山区期末)已知一个等腰三角形的两条边长分别为2cm和4cm,则它的底边长是 cm. 6.(24-25七下·上海松江区·期末)已知一个等腰三角形的两条边长分别为3cm和7cm,则它的底边长是 cm 7.(24-25七下·上海浦东区·期末)已知等腰三角形的三边分别为4cm,9cm和xcm,则x的值是 8.(24-25七下·上海长宁区·期末)己知一个等腰三角形的两边长分别为a,b,其中a,b满足 1/15 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 b-7+a2-6a+9=0,那么这个等腰三角形的周长是· 三、解答题 9.(24-25七下·上海长宁区·期末)如图，己知：AB与CD相交于点0，C0>AC,∠B>∠A,求证： OD>BD,把以下证明过程补充完整. C B 证明：在△AOC中， CO>AC, ∠ >∠ :∠A0C=∠BOD( …∠ >∠ :∠B>∠A, ∠ > :OD>BD 目目 考点02 等腰三角形的判定 一、填空题 10.(2425七下·上海长宁区复旦中学期末)如图，在ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点 E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=7,则线段MN的长为 B 11.(24-25七下·上海普陀区·期末)如图，在ABC中，∠A=45°，∠C=42°，将ABC绕点B旋转得 △DBE,点A、C的对应点分别是点D、E，,线段BE交边AC于点F,连接CE、AD,如果△CEF是等腰 三角形，那么∠ADE的度数是 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 12.(24-25七下·上海闵行区期末)已知：如图，在ABC中，LA=∠B=36°，点D在边AB上， LACD=2LBCD,图中共有个等腰三角形. 二、解答题 13.(24-25七下·上海松江区·期末)如图1，在ABC中，点D是BC边的中点，将△ABD沿直线AD翻折， 点B落在点E处（点E在直线BC上方），连接CE, B B D D 图1 图2 备用图 (1)在不添加辅助线的前提下，请找出图1中的一个等腰三角形： (2)求证：CE∥AD; (3)如图2，过点C作AB的平行线，交AE的延长线于点F.求证：FE=FC; (4)连接DF,当AD=DF时，如果△ABD是等腰三角形，那么∠B的度数为 14.(24-25七下·上海闵行区·期末)已知：如图，在ABC中，已知BM、CM分别平分∠ABC和∠ACB, 经过点M的直线DE平行于BC,交AB、AC分别于点D、E,AB=8,AC=6. D M B 求ADE的周长. 3/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解：“BM平分∠ABC, :ZCBM :DE∥BC, .∠CBM=∠BMD( .∠BMD= ..DB=DM () 同理可得EC=】 :ADE周长=AD+DE+AE AD+DM+ME+AE =AD+DB+EC+AE AB+AC= 15.(24-25七下·上海浦东区期末)如图，在aABE中，点C在BE上，∠B=∠EAC,AD平分∠BAC,交 BC于点D,点F是线段AD的中点，连接EF,LAEF与∠DEF相等吗？请说明理由. B 解：结论： 理由： :AD平分∠BAC .∠EDA= 又：∠B=∠EAC, ∴∠EDA= ∠EDA= 请完成后面的说理过程： 目目 考点03 等边三角形 一、单选题 16.(2425七下·上海崇明区·期末)下列命题中真命题的个数是() ①三边相等的三角形是等边三角形 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 ②三个内角相等的三角形是等边三角形 ③有一个内角是60°的三角形是等边三角形 ④有两个内角是60°的三角形是等边三角形 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 17.(24-25七下·上海北初级中学教育集团期末)在ABC中，AB=AC,∠BAC=40°，AD⊥BC于D, ABC绕点B逆时针旋转得到△FBE,点C的对应点E落在AD上，则∠CBF的度数是 18.(24-25七下·上海普陀区·期末)在ABC中，D是边BC上一点，AD平分∠BAC,BD=CD,在不添加 字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使ABC为等边三角形，那么可以添加的条件是 ,(只需写出一个) 19.(24-25七下·上海普陀区期末)如图，一束平行光线照射在等边ABC上，如果∠1=25°，那么∠2= B 20.(24-25七下·上海金山区·期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，LB=30°，点D在边AB上且AC=AD,连接 CD,点G在线段CD上（不与点C、D重合），直线1过点D,将ABC沿着直线I翻折（点G关于直线1 的对称点为点P).若点P在过点G且与AB平行的直线上，那么∠ADP的度数为 21.(24-25七下·上海崇明区·期末)如图，等边三角形ABC的边长为6，D、E分别为AC、AB边上的点， AD=AE=4,连接DE,将ADE绕点D逆时针旋转得到△EDP,连接CP,则LPCB= 22.(24-25七下·上海虹口区·期末)若线段AD是等边ABC的中线，则∠DAC的度数是 23.(24-25七下·上海嘉定区·期末)如图，在一个房间内，一把长1.5米的梯子CD斜靠在墙上，此时梯子与 地面夹角为75°，如果保持梯子底端位置不变，将梯子顶端靠在对面墙上（即变为CE),此时梯子与地面夹 角为45°，那么D、E两点间的距离是米. 5/15 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E 24.(24-25七下·上海青浦区·期末)在ABC中，AB=2,BC=3,∠B=60°，点D是边BC上一点，且 BD=2CD(如图).将ABC折叠，使点C与点A重合，折痕分别交边AC、BC于点F、E,点Q是线段 FE上一点，连接QC、QD,那么△ODC周长的最小值为 三、解答题 25.(24-25七下·上海华东师大二附中·期末)如图，已知线段AB,利用直尺和圆规按以下要求作图：分别 以点A、B为圆心，以AB的长为半径作弧，两弧在AB的上方相交于点C,连接AC、BC,求证：ABC的 三条边都相等（要求保留作图痕迹，不写作法）. A B 目目 考点04 线段垂直平分线 一、单选题 26.(24-25七下·上海闵行区·期末)如果一个等腰三角形一腰的垂直平分线恰好经过底边的中点，那么这个 等腰三角形的顶角的度数是() A.90° B.60° C.45° D.30° 二、填空题 27.(24-25七下·上海徐汇区世界外国语中学.期末)如图，在ABC中，AB=AC,BC=a,∠A=36°，AB 的垂直平分线交AC边于点D,交AB边于点E·CD=b,则ABC的周长为 (用a、b表示). 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 D B 28.(24-25七下·上海徐汇区世界外国语中学期末)如图，点P为ABC的外心，若∠PAC=20°， ∠PCB=30°，则∠PAB的大小为 A B 29.(2425七下·上海黄浦区·期末)如图，已知在等边ABC中，AB=4cm,点D在边BC上，连接AD,线 段AD的垂直平分线分别交边AB、AC于点E、F,如果BDE的周长比CDF的周长小Icm,那么BD= cm. 30.(24-25七下·上海普陀区·期末)在ABC中，边AB口AC的垂直平分线相交于点O,如果点O在边BC上， 那么∠BAC= 31.(2425七下·上海松江区·期末)如图，已知线段AB、CD的垂直平分线交于点0，连接OA、OD、AC、 BD,若∠BA0=∠CD0=76°，∠ACD=118°，那么∠ODB的度数是 O B 32.(24-25七下·上海嘉定区期末)如图，点O是ABC各边垂直平分线的交点，连接B0、C0.如果 LB0C=72°，那么∠A=°. 7/15 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 33.(24-25七上海杨浦区部分学校期末)如图，己知在ABC中，点E在边AB上，AD垂直平分CE,垂 足为点F,如果AB=9,AC=5,那么BE= 三、解答题 34.(24-25七下·上海松江区·期末)如图，在ABC中，AB=AC=12cm,AC的垂直平分线分别交AB、 AC于点D、E,且△BCD的周长为22cm,求底边BC的长. B 35.(24-25七下·上海长宁区·期末)如图，已知：在ABC中，AD是ABC的角平分线，EF垂直平分AC分 别交AC、AD于点E、F,连接CF. (1)如果∠BAC=70°，求∠EFC的度数； (②)过点F作FG∥AB交边AC于点G,如果AC=10,AF=6,求aGFC的周长. 36.(24-25七下·上海浦东新区上南中学东校期末)尺规作图：如图，直线AB和CD相交于点O,M是CD上 的一点， 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 D M B (I)过点M画出直线AB的垂线，垂足为点F. (2)过点M画出直线AB的平行线PQ, 37.(24-25七下·上海松江区东华大学附属实验学校·期末)已知：在△ACD中，P是CD的中点，B是边AD延 长线上的一点，BD=AC,连接BC、AP. D (1) (2) (I)如图(1)，如果AP⊥CD,证明：BD=AD; (2)如图(2)，过点D作DE∥AC,交AP的延长线于点E,连接BE,如果∠CAD=60°，证明：BC=2AP 38.(24-25七下·上海外国语大学附属奉贤外国语学校·期末)用直尺和圆规作钝角△ABC边BC上的高. B 39.(24-25七下·上海闸北第八中学期末)如图，在ABC中，1是AB的垂直平分线，与边AC交于点E,点 D在I上，且DB=DC,连接AD. E D (I)求证：点D在边AC的垂直平分线上： (2)连接BE,若BD⊥CD,求证：BE⊥AC. 40.(24-25七下·上海闸北第八中学.期末)用尺规作图作直角三角形ABC且∠B=90°，BA边的长为2倍的单 位长度，BC边的长为4倍的单位长度. 9/15 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 41.(24-25七下·上海徐汇区世界外国语中学期末)已知：如图，己知ABC中，BD=CD,∠1=∠2.求证： AD⊥BC. B 42.(24-25七下·上海徐汇区世界外国语中学期末)如图是小毕同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应 的任务 ×年×月×日星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图1所示的四边形木板，他 己经在木板上画出一条裁割线AB,现根据木板的情况，要过AB上的一点C,作出AB的 垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺.怎么办呢？ B解决方案：如图2，可以取一根笔直的木 图1 图2 棒，用铅笔在木棒上点出M,N两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M与点C重合， 用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q,保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使 点M落在AB上，在木板上将点M对应的位置标记为点R.然后将RQ延长，在延长线 上截取线段QS=MN,得到点S,作直线SC,则∠RCS=90°. 我有如下思考：以上方案依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作 出垂线呢？… 任务： (1)根据上述操作过程，证明∠RCS=90°； (2)用无刻度的直尺和圆规在1图的木板上，过点C作出AB的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）， 并说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）. 43.(24-25七下·上海普陀区·期末)已知小于45°的∠MAN,点B是边AN上的一个定点，点C在边AM上. 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M M B N 图1 图2 (1)如图1，∠CBA=75°，将ABC沿着直线BC翻折得△DBC,点A的对应点为点D,如果DC∥AB,求 ∠MAN的度数； (2)在图2中，用尺规作ABC,使∠ACB=2A;(保留作图痕迹，简要说明作图步骤) (3)在(2)所作的图中，当∠MAN=22.5°，AB=a时，求ABC的面积.（用含a的代数式表示） 44.(24-25七下·上海金山区·期末)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线与BC交于点D. B (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段BC上作点D(要求：不写作法，保留作图痕迹)： (2)连接AD,如果∠ADC=96°，∠CAD与∠DAB的度数之比为5：4，那么∠BAC的度数是多少？ 45.(24-25七下·上海崇明区·期末)如图，在ABC中，CD平分∠ACB,交AB于点D. B (I)尺规作图：作CD的垂直平分线，分别交AC,BC于点E,F,连接DE,DF:(不写作法，保留作图 痕迹，写出结论) (2)小川判断AC∥DF,DE∥BC,以下是他的证明思路，请帮他完善. 证明：：CD平分∠ACB, ：① :EF是CD的垂直平分线， DE=CE,② ∠ACD=∠CDE,③ .∠BCD=∠CDE,④ DE∥BC,AC∥DF. 46.(24-25七下·上海松江区·期末)如图，已知ABC中，∠BAC=90°，根据下列要求作图并回答问题： 11/15 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B ()定义：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的外心.尺规作图：请画出 ABC的外心点O；(不要求写画法和结论，保留作图痕迹) (2)在(1)的图形中，BC边的垂直平分线交AC边于点D,连接BD.如果BD平分∠ABC,那么∠C的度 数为 (3)在(2)的图形中，在BC边上求作一点P,使点P到点A和点D的距离和最短.（不要求写画法和结论， 保留作图痕迹) 47.(24-25七下·上海虹口区·期末)已知：如图，在ABC中，∠A=82°，∠B=41°，线段BC的垂直平分线 交线段BC于点E,交线段AB于点D,连接CD,如果AD=2,BD=6,求△ADC的周长. 48.(24-25七下·上海虹口区·期末)已知：如图，在ABC中，AD1BC于交线段BC点于点D, AB=CD-BD,求证：∠B=2∠C. D 49.(24-25七下·上海嘉定区·期末)小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究： 如图1，在ABC中，∠BAC的平分线AD交边BC于点D,AE⊥BC,垂足为E. 小海猜想：通过∠C的度数可求出∠CAE的度数，再结合∠B、∠C的度数可求出∠CAD的度数，从而确定 ∠B、∠C与∠DAE之间存在固定的数量关系.他尝试代入了几组∠B、∠C的度数后（∠B<∠C),验证了这 一猜想. B DE B D E CB D E (图1) (图2) (图3) (1)请补全下表： 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠B 36° 30° 24° ∠C 44° 60% 72° ∠DAE 4° (2)如图2，若∠B=a,∠C=Ba<B)）,那么∠DAE= ·（用含、B的代数式表示)，并加以证明； (3)在(2)的基础上作AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F,连接AF,如图3，如果∠ACB=64°， 请直接写出∠BAF= ∠B 36° 30 24° ∠C 44° 60 72° ∠DAE 49 159 24° … 50.(24-25七下·上海嘉定区期末)如图，A、B两镇位于国道1的同侧，两镇距离国道分别有数公里.随着 经济发展，过往车辆增多，政府规划在国道1上新建一座多功能加油站，既为车辆提供便利，又促进两镇资 源互通.如果你是工程师，请解决以下规划问题： ●B A● (1)公平选址：确定加油站位置P,使得加油站到A、B两镇的距离相等； (2)路径优化：从A镇前往B镇，需途径加油站加油，确定加油站位置Q,使得总路程最短：请分别作出上 述两种情况下的加油站P、Q的位置.（要求：尺规作图，保留作图痕迹并写出结论，不用证明） 51.(24-25七上海杨浦区部分学校期末)请用直尺和圆规完成下列作图并解答问题. B 图1 图2 (I)如图1，己知ABC,求作ABC边AB上的高CD.小亮同学设计的尺规作图过程如下：作法：①以A 为圆心，AC长为半径作弧；②以B为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点E;③连接CE,交AB于点D. 13/15 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以线段CD就是所求的ABC边AB上的高. ()请用直尺和圆规，完成小亮的作图（保留作图痕迹）； (ⅱ)分别连接AE、BE,再将该作图的证明过程补充完整， 证明：：AC=AE;.点A在线段CE的垂直平分线上.( )(填推理依据) :BC=BE;∴点B在线段CE的垂直平分线上、 .AB垂直平分线段CE.()(填推理依据) CD⊥AB.即CD是ABC边AB上的高 (2)如图2，己知ABC中，AH是边BC上的高，AH=CH,求作ABC边AB上的高CD 小红同学设计的尺规作图，要求：圆规只使用一次，即圆规只能画一条弧. ①请用直尺和圆规，完成小红的作图（保留作图痕迹，简要说明作图步骤）； ②根据小红的作法，求证：CD是边AB上的高， 52.(24-25七下·上海浦东区·期末)如图，在Rt ABC中，∠ABC=90° (I)请用直尺和圆规作线段BC的垂直平分线，分别交线段BC、AC于点E、F (2)连接BF,请找出图中和BF相等的线段（直接写出答案，无需说明理由） 53.(24-25七下·上海青浦区·期末)在ABC中，AB=BC,AB的垂直平分线分别交边AC、边AB和直线 CB于点D、E、F,连接AF, A D B B ①图 ②图 (I)点F在CB的延长线上， ①如图，求证：∠ABC=2LADE; ②如图，当DC=DF,BC=1时，求△ABF的周长： (2)当△ACF是等腰三角形时，请直接写出∠C的度数. 54.(24-25七下·上海青浦区·期末)已知：如图，分别以Rt△ABC的两条直角边AB、BC为边作等边三角形 ABD和等边三角形BCE,连接DE,且点A在线段DE上， 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 E B (I)求证：DE=AC; (2)求证：BE⊥AC. 55.(24-25七下·上海风华初级中学.期末)如图，在ABC中，∠C=110°，边AB、CB的垂直平分线相交于 点P,连接AP、BP,求∠APB的度数. 56.(24-25七下·上海风华初级中学期末)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC边上的一点. C D A (I)在边AB上作点E,使∠DEB=2∠A.(保留作图痕迹，不写作法) (2)过点D作BC的平行线.（保留作图痕迹，不写作法） 15/15命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07等腰三角形(4大考点56题) 目目 考点01 等腰三角形的性质 1.C 2.C 3.C 4.22cm/22厘米 5.2 6.3 7.9 8.17 9.AAOC;在三角形中，大边对大角；对顶角相等；4BOD;B,BOD；在三角形中，大角对大边 目目 考点02 等腰三角形的判定 10.7 11.29°或43° 12.3 13.(1)△CDE (2)证明：根据折叠的性质得∠ADB=∠ADE, CD=DE, ∠CED=∠DCE. :∠ADB+LADE+LCDE=LDCE+∠CED+LCDE=I80°， LCED=∠ADE, .AD∥CE; (3)证明：CE∥AD, :∠CAD=∠ACE,∠DAE=∠CEF. :AB∥CF, .∠BAC=LACF, 即∠BAD+∠CAD=∠ACE+∠ECF, .∠BAD=∠ECF. 根据折叠的性质得∠BAD=∠DAE, 1/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠CEF=LECF, :EF=CF: (4)67.5°或90° 14.∠DBM;两直线平行，内错角相等；∠DBM;等角对等边；EM;14 15.解：结论：∠AEF=∠DEF 理由： :AD平分∠BAC(己知) .∠1=∠2（角平分线的意义） :∠EDA=∠I+∠B.(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和) 又：LB=LEAC, .∠EDA=∠2+∠EAC, .∠EDA=∠EAD(等量代换)， EA=ED(等角对等边)， :点F是线段AD的中点 AF=DF(线段中点的意义)， .∠AEF=∠DEF(等腰三角形的三线合一). 目目 考点03 等边三角形 16.c 17.130° 18.AB=BC(答案不唯一) 19.85 20.120 21.30° 22.30°/30度 23.1.5 24.3 25.解：由作图知，AC=AB,BC=AB, .AB=AC=BC. 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 目目 考点04 线段垂直平分线 26.A 27.3a+2b 28.40° 29.2cm 3 30.90 31.42°/42度 32.36 33.4 34.10cm 35.(1)55° (2)16 36.(1)解：如图，直线MF即为所求： M B (2)解：如图，直线PQ即为所求. 3/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 37.(1)证明：：AP⊥CD,P是CD的中点， “.AP是CD的垂直平分线， .AC=AD, BD=AC, .BD =AD (2)解：：DE∥AC, .∠CAP=∠DEP, :CP=DP,∠CPA=∠DPE, .△CPA≌ADPE(AAS), .AP=EP=。AE,AC=DE, BD=AC, .BD DE, :DE∥AC, .∠BDE=∠CAD=60°， ·.BDE是等边三角形， .BD=BE,∠EBD=60°， BD=AC, .AC BE, :∠CAB=∠EBA=60°，AB=BA, .△CAB≌△EBA(SAS), .BC=AE, .BC =2AP. 38.解：如图所示即为所求： B 39.(1)证明：：1是AB的垂直平分线，点D在1上， .DA=DB, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :DB=DC, .DA=DC. .点D在AC的垂直平分线上。 (2)证明：由(1)可知DA=DB=DC,由“等边对等角”， 设∠DAB=∠DBA=a,∠DCA=∠DAC=B, :BD⊥CD, .在△BDC中，∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=90°， 在ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°， 即∠DBC+∠DCB+a+a+B+B=180°， 90°+2(a+B)=180°，则a+B=45°， 即∠BAE=45°， :点E在边AB的垂直平分线上， .AE BE, ∠EBA=∠BAE=45°， ∠AEB=180°-∠EBA-∠EAB=90°，则BE⊥AC. 40.如图，任画一条直线，在线上取点B,以B为圆心画弧交直线于两点D、E; D十B E 分别以D、E为圆心，大于DE的等长半径画弧，交于点F; 连接BF,得直角∠FBE=90°（依据线段垂直平分线性质）. 在BF上，以B为圆心、固定长度1为半径，圆规依次截取4单位长度画弧交BF于C,则BC边的长为4倍 的单位长度； 在直线DE上，以B为圆心、固定长度1为半径，圆规依次截取2单位长度画弧交DE于A,则BA边的长 为2倍的单位长度： 最后用直尺连接A、C两点. 5/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则直角三角形ABC就是所作的三角形. 41.证明：：BD=CD, .∠DBC=∠DCB, ∠1=∠2， .∠DBC+∠1=∠DCB+∠2， 即∠ABC=∠ACB, .AB=AC, ∴.点A在线段BC的垂直平分线上， BD=CD, :.点D在线段BC的垂直平分线上， .AD垂直平分BC, AD⊥BC. 42.(1)证明：由作图方法可知：QR=QC,QS=QC, ∴.∠QCR=∠QRC,∠QCS=∠QSC, 又：∠SRC+∠RCS+∠RSC=180°， ∴.∠QCR+∠QCS+∠QRC+∠QSC=180°， .2∠QCR+∠QCS)=180°， ∴.∠QCR+∠QCS=90°， 即∠RCS=90°， (2)解：如图，直线CP即为所求； 等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（或等腰三角形“三线合一”）；到一条线段两个 端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上等.（答案不唯一） 43.(1)∠MAN=30° (2)解：如图所示，作线段AB的垂直平分线交射线AM于D,以点B为圆心，BD的长为半径画弧交AM于 C,连接BC,则ABC即为所求； 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由线段垂直平分线的性质可得AD=BD,则∠DAB=∠DBA,则LBDC=LA+∠DBA=2LA, 再由BD=BC可得∠ACB=∠BDC=2∠A; M B 图2 44.(1)解：如图，作线段AB的垂直平分线，交BC于点D, 则点D即为所求， A (2)108° 45.(1)如图，即为所求， D B (2)LACD=∠BCD,DF=CF,LBCD=LCDF,BC∥DE 46.(1)解：如图，点0即为所求， A 米M 证明：由作图可得：MN垂直平分BC,∠BAC=90°， 7/12 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 .OB=OC=OA,即点0是ABC的外心： (2)∠C=30° (3)解：如图，以O为圆心，OD为半径画弧交MN于E,连接AE交BC于P,点P即为所求， 由作图可得D、E关于直线BC对称， :PD=PE, ∴由两点之间，线段最短可得，AP+PD=AP+PE≥AE,此时点P到点A和点D的距离和最短. 47.14 48.证明：在DC上取点E,使DE=BD, E :AD⊥BC,且BD=DE,.AD垂直平分BE, .AB=AE, :ZB ZAEB, AB=CD-BDCD-BD CD-DE=CE .AE CE, ∠C=∠EAC, ∴.∠AEB=∠C+∠EAC=2∠C, .ZB =22C, 49.(1)解：AE⊥BC, .∠AEC=90°， ∠CAE=180°-∠C-∠AEC=90°-∠C, :∠BAC=180°-∠B-∠C,∠BAC的平分线AD交边BC于点D, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠D1E=∠C4D-∠C4E=05BC-90-∠C=5C-B. 2 2 当∠B=30%∠0=60时，∠DE-×60-×30=15, 当∠B=24°，∠C=72°时， DAE)X72°- 2*240=240, 填表如下： ∠B 36° 30° 24° ∠C 44° 60 72° ∠DAE 4° 15° 24% …… 证明见（1) (3)116° 50.(1)如图所示，点P即为所求； (2)解；如图所示，点Q即为所求； B 51.(1)解：①如图，即为所作： D B ②证明：：AC=AE; .点A在线段CE的垂直平分线上（到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）， 9/12 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 BC=BE; ·.点B在线段CE的垂直平分线上. :AB垂直平分线段CE.(两点确定一条直线)（填推理依据） :CD⊥AB,即CD是ABC边AB上的高. 故答案为：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线. (2)解：①图形如图所示： 以H为圆心，HB为半径作弧交HA于点T,连接CT,延长CT交AB于点D,线段CD即为所求 H ②证明：：AH是ABC的高， .∠AHB=∠CHT=90°， HA=HC,HB=HT, .△AHB≌aCHT(SAS), .ZBAH =ZHCT .∠HCT+∠CTH=90°，∠CTH=∠ATD, ∠BAH+∠ATD=90°， ..∠ADT=90°， CD⊥AB,即CD是ABC的AB边上的高. 52.(1)解：如图，分别以点B和点C为圆心，以大于BC的长为半径画弧，两弧交于M,N两点，作直 线MN,分别交线段BC、与AC点E、F,点E、F即为所求作； (2)CF=BF 53.(1)①证明：：DF⊥AB, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠ADE=90°-LBAC, AB=BC, .∠CAB=∠BCA, 又：∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-2LBAC, .∠ABC=2∠ADE; ②3 (2)∠ACB=36°或∠4CB=180 54.(1)证明：：ABD,EBC是等边三角形， AB=DB,BE=BC,∠ABD=∠CBE=60 .∠DBE=∠ABC .△DBE≌△ABC .DE=AC; (2):ABC是直角三角形，AB,BC为直角边， .∠ABC=90° :BEC是等边三角形，则LEBC=60°，CB=CE .∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-60°=30°， 由(1)可得△DBE≌△ABC .LDBE=ABC=90° :△ABD是等边三角形， .∠D=60 .∠DEB=90°-60°=30° .∠DEB=LABE .AB=AE .AC垂直平分BE .BE⊥AC. 55.140 56.(1)解：如图所示，点E为所求， 11/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 O ■ E 由作图得AE=DE, ∴∠A=∠ADE, ∴.∠DEB=∠A+∠ADE=2∠A; (2)解：如图所示， ■ E :∠ADE=∠C .DE∥BC 专题07 等腰三角形（4大考点56题） 4大高频考点概览 考点01等腰三角形的性质 考点02等腰三角形的判定 考点03等边三角形 考点04 线段垂直平分线 一、单选题地 城 考点01 等腰三角形的性质 1．(24-25七下·上海徐汇区世界外国语中学·期末)我们知道三角形具有稳定性，但四边形却是不稳定的．已知四边形的边长如图所示．当为等腰三角形时，对角线的长为（　　） A．4或6 B．5 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，等腰三角形的定义；根据等腰三角形的定义得到或，再结合三角形的三边关系计算结果即可． 【详解】解：当为等腰三角形时， ∴或； 当时 满足， 在满足； 当时， 在中，，不满足条件，舍掉； ∴； 故选：C． 2．(24-25七下·上海普陀区·期末)已知两个全等的直角三角形，直角边长分别为和，斜边长为．如果将这两个全等的直角三角形拼成一个等腰三角形，那么这个等腰三角形的周长为（   ） A．16 B．18 C．16或18 D．14或16 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，将两个全等的直角三角形拼成等腰三角形时，有两种可能的拼接方式：沿直角边或拼接，形成底边为或的等腰三角形，两腰均为斜边；或者沿斜边拼接，但此时无法形成三角形．根据分析求出周长即可． 【详解】解：①沿直角边拼接：将两个直角边重合，形成底边为，两腰为斜边的等腰三角形．周长． ②沿直角边拼接：将两个直角边重合，形成底边为，两腰为斜边的等腰三角形．周长． ③沿斜边拼接，但此时无法形成三角形． 综上，等腰三角形的周长为或， 故选：C． 3．(24-25七下·上海虹口区·期末)等腰三角形的两边分别是8、17，则它的周长是（   ） A．25 B．33 C．42 D．33或42 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形的定义．分①腰长为8和②腰长为17两种情况，再结合三角形的三边关系，利用三角形的周长公式即可得． 【详解】解：由题意，分以下两种情况： ①当腰长为8时，则这个等腰三角形的三边长分别为8、8、17， 此时，不满足三角形的三边关系，舍去； ②当腰长为17时，则这个等腰三角形的三边长分别为8、17、17， 此时，满足三角形的三边关系， 所以它的周长为； 综上，这个等腰三角形的周长为42， 故选：C． 二、填空题 4．(24-25七下·上海松江区东华大学附属实验学校·期末)如果等腰三角形的两边长分别是和，那么它的周长是__________． 【答案】/22厘米 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系．熟练掌握三角形的三边关系确定第三边的长是解题的关键． 分两种情况讨论：当腰长为或当腰长为，根据三角形三边关系进行判断能否组成三角形，再求解三角形周长． 【详解】解：当腰长为，则三边为， 此时，不能组成三角形，舍去； 当腰长为，则三边为， 此时，能组成三角形，符合题意， ∴它的周长是， 故答案为：． 5．(24-25七下·上海金山区·期末)已知一个等腰三角形的两条边长分别为和，则它的底边长是________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；本题应分为两种情况：①为底，为腰，②为底，为腰，根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：等腰三角形的两边分别是和 应分为两种情况：①为底，为腰，则； ②为底，为腰，则构不成三角形； 它的底边长是 故答案为：． 6．(24-25七下·上海松江区·期末)已知一个等腰三角形的两条边长分别为和，则它的底边长是________. 【答案】3 【分析】本题主要考查了等腰三角形，三角形的三边关系， 根据等腰三角形的定义可知三边可能为或，再根据三角形三边关系判断即可． 【详解】解：因为等腰三角形的两边长分别为和， 所以三边可能为或． 因为，不符合题意，舍去， 所以它的底边长为． 故答案为：3． 7．(24-25七下·上海浦东区·期末)已知等腰三角形的三边分别为，和，则的值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分为和，两种情况根据构成三角形的条件解答即可． 【详解】解：当时，由于，不能够构成三角形； 当时，，能构成三角形， 故答案为：． 8．(24-25七下·上海长宁区·期末)已知一个等腰三角形的两边长分别为，，其中，满足，那么这个等腰三角形的周长是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形三边的关系，正确求出，的值是解题的关键． 先根据非负数的性质求出，的值，再根据三角形三边的关系结合等腰三角形的定义分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：， ， ，， ，， 分两种情况： 当等腰三角形的腰长为，底边长为时， 这个等腰三角形的周长； 当等腰三角形的腰长为，底边长为时， ， 不能组成三角形； 综上所述：这个等腰三角形的周长为； 故答案为：． 三、解答题 9．(24-25七下·上海长宁区·期末)如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （___________）， _____________________， ， ______________________， （___________） 【答案】；在三角形中，大边对大角；对顶角相等；；；在三角形中，大角对大边 【分析】本题考查三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质，根据三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质解答即可． 【详解】证明：在中， （在三角形中，大边对大角） （对顶角相等） （在三角形中，大角对大边） 地 城 考点02 等腰三角形的判定 一、填空题 10．(24-25七下·上海长宁区复旦中学·期末)如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为_____ ． 【答案】7 【分析】本题考查平行线的性质，等角对等边的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据角平分线的定义和平行线的性质可得，从而可得，进而得到． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：7． 11．(24-25七下·上海普陀区·期末)如图，在中，，，将绕点旋转得，点、的对应点分别是点、，线段交边于点，连接、，如果是等腰三角形，那么的度数是___________． 【答案】或 【分析】本题考查了图形旋转，等腰三角形，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质． 由图形旋转可得两个等腰三角形底角对应相等，分类讨论，根据三角形的内角和定理，分别可得每种情况下的度数，从而可得的度数． 【详解】解：∵将绕点旋转得，， ∴，，， ∴， ∵是等腰三角形， ∴或， 当时，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，设，则， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：或． 12．(24-25七下·上海闵行区·期末)已知：如图，在中，，点D在边上，，图中共有_______个等腰三角形． 【答案】3 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理应用，根据等腰三角形的判定方法，等角对等边，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴为等腰三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴、为等腰三角形， 综上分析可知：等腰三角形共3个． 故答案为：3． 二、解答题 13．(24-25七下·上海松江区·期末)如图1，在中，点是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处（点在直线上方），连接. (1)在不添加辅助线的前提下，请找出图1中的一个等腰三角形：________； (2)求证：； (3)如图2，过点作的平行线，交的延长线于点.求证：； (4)连接，当时，如果是等腰三角形，那么的度数为________. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 (4)或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，折叠的性质，注意分情况讨论． （1）根据中点定义得，再由折叠的性质得，可得答案； （2）根据折叠的性质得，再根据等边对等角得，然后根据平角定义和三角形内角和定义得，最后根据“内错角相等两直线平行”得出答案； （3）根据平行线的性质得，，进而得出，由折叠的性质得，可得，最后根据“等角对等边”得出答案； （4）先根据等腰三角形的对称性可知，进而说明，再分三种情况讨论：当时，当时，当时，结合等腰三角形的性质可得答案． 【详解】（1）解：． ∵点D是的中点， ∴. 根据折叠的性质得， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：； （2）证明：根据折叠的性质得， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）证明：∵， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 根据折叠的性质得， ∴， ∴； （4）解：如图，连接，交于点， 由，根据等腰三角形的对称性可知是的高线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， 此时， 又∵，，， ∴，， ∴点、、重叠， ∵点在直线上方， ∴时，不符合题意． 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 14．(24-25七下·上海闵行区·期末)已知：如图，在中，已知分别平分和，经过点M的直线平行于，交分别于点D、E，，． 求的周长． 解：BM平分， _______． ， （_______）． _______． （_______）． 同理可得_______． 周长 _______． 【答案】；两直线平行，内错角相等；；等角对等边；； 【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，由角平分线的定义得到，由平行线的性质得到，则可证明得到，同理可得，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：平分， ． ， （两直线平行，内错角相等）． ． （等角对等边）． 同理可得． 周长 ． 15．(24-25七下·上海浦东区·期末)如图，在中，点在上，，平分，交于点，点是线段的中点，连接与相等吗？请说明理由． 解：结论：__________ 理由： ∵平分 ∴________ ∵________+________．（________） 又∵， ∴__________+__________ ∴__________ 请完成后面的说理过程： 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形的外角，正确得出是解题关键，利用角的平分线的意义，结合三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质分析得出答案． 【详解】解：结论： 理由： ∵平分（已知） ∴（角平分线的意义） ∵．（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和） 又∵， ∴， ∴（等量代换）， （等角对等边）， 点F是线段的中点 ∴（线段中点的意义）， （等腰三角形的三线合一）． 地 城 考点03 等边三角形 一、单选题 16．(24-25七下·上海崇明区·期末)下列命题中真命题的个数是（　　） ①三边相等的三角形是等边三角形 ②三个内角相等的三角形是等边三角形 ③有一个内角是的三角形是等边三角形 ④有两个内角是的三角形是等边三角形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查命题的真假判断和等边三角形的判定，掌握等边三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：“三边相等的三角形是等边三角形是真命题”，故①正确； “三个内角相等的三角形是等边三角形”是真命题，故②正确； “有一个内角是的三角形是等边三角形”是假命题，故③错误； “有两个内角是的三角形是等边三角形”是真命题，故④正确； 故选：C． 二、填空题 17．(24-25七下·上海北初级中学教育集团·期末)在中，，，于D，绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E落在上，则的度数是________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等；也考查了等腰三角形的性质． 连接，如图，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出，再根据旋转的性质得到，，则可判断为等边三角形，所以，然后计算即可． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即垂直平分， ∴， ∵绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E落在上， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 18．(24-25七下·上海普陀区·期末)在中，是边上一点，平分，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使为等边三角形，那么可以添加的条件是___________．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，等边三角形的判定．根据题意要证明垂直平分，推出，再根据等边三角形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：如图，添加时，为等边三角形， ∵在中，平分，， ∴是中边上的中线， ∴是中边上的高（三线合一）， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：（答案不唯一）． 19．(24-25七下·上海普陀区·期末)如图，一束平行光线照射在等边上，如果，那么___________°． 【答案】85 【分析】本题考查的是平行线的性质，等边三角形的性质，三角形的外角的性质，先求解，再结合等边三角形与三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：如图， ∵为等边三角形， ∴， ∴； ∵平行光线， ∴， ∴， 故答案为：． 20．(24-25七下·上海金山区·期末)在中，，点D在边上且，连接，点G在线段上（不与点C、D重合），直线l过点D，将沿着直线l翻折（点G关于直线l的对称点为点P）．若点P在过点G且与平行的直线上，那么的度数为________°． 【答案】120 【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识点． 先求，然后证明为等边三角形，再由平行线的性质得到，根据折叠的性质证明为等边三角形，再由角度和差计算求解． 【详解】解：如图： ∵在中，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵翻折， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ， ∴， 故答案为：120． 21．(24-25七下·上海崇明区·期末)如图，等边三角形的边长为6，、分别为、边上的点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则___________． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质. 设交于，可得为等边三角形，，即得，，又由旋转得，，即可得到，得到为等边三角形，进而可得，即可得到． 【详解】解：设交于，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形，， ∴，， ∵绕点D逆时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 22．(24-25七下·上海虹口区·期末)若线段是等边的中线，则的度数是________． 【答案】/30度 【分析】本题考查了等边三角形的性质，根据是等边三角形，得，再结合三线合一的性质得，即可作答． 【详解】解：∴是等边三角形， ∴， ∵线段是等边的中线， ∴， 故答案为：． 23．(24-25七下·上海嘉定区·期末)如图，在一个房间内，一把长米的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面夹角为，如果保持梯子底端位置不变，将梯子顶端靠在对面墙上（即变为），此时梯子与地面夹角为，那么D、E两点间的距离是______米． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，解题关键是通过角度计算和梯子长度不变，判定为等边三角形． 连接，先计算出，结合梯子长度不变得到，判定是等边三角形，再利用等边三角形三边相等的性质，得出米，从而求出、两点间距离． 【详解】解：连接， ∵，， ∵． ∵梯子长度不变， ∴米， ∴是等边三角形， ∴米． 故答案为． 24．(24-25七下·上海青浦区·期末)在中，，点是边上一点，且（如图）．将折叠，使点与点重合，折痕分别交边于点，点是线段上一点，连接，那么周长的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，折叠的性质，垂直平分线的性质，先证明是等边三角形，根据垂直平分线的性质可得，在上时，取得最小值，进而根据三角形的周长公式计算即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴ ∵是折痕，点与点重合， ∴垂直平分， ∵点是线段上一点， ∴ ∴在上时，取得最小值， 即周长最小值为： 故答案为：． 三、解答题 25．(24-25七下·上海华东师大二附中·期末)如图，已知线段，利用直尺和圆规按以下要求作图：分别以点A、B为圆心，以的长为半径作弧，两弧在的上方相交于点C，连接、．求证：的三条边都相等（要求保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】作图与证明见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图，熟练掌握作一条线段等于已知线段，根据作图证明，是正确解答此题的关键． 按题设作法逐步作图，根据作图即得． 【详解】解：由作图知，， ∴． 地 城 考点04 线段垂直平分线 一、单选题 26．(24-25七下·上海闵行区·期末)如果一个等腰三角形一腰的垂直平分线恰好经过底边的中点，那么这个等腰三角形的顶角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质， 先画出图形，可知垂直平分，点D是边的中点，根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质得，，则答案可得． 【详解】解：如图所示， 根据题意可知垂直平分，点D是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题 27．(24-25七下·上海徐汇区世界外国语中学·期末)如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，则的周长为___________（用、表示）． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质得到，则，进一步证明，得到，即可求出答案． 【详解】解：∵的垂直平分线交边于点，交边于点 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为 故答案为： 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是关键． 28．(24-25七下·上海徐汇区世界外国语中学·期末)如图，点为的外心，若，，则的大小为___________． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的定义和三角形的内角和，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 利用线段垂直平分线的性质可得，从而利用等腰三角形的性质可得，，，然后利用三角形的内角和定理进行计算即可解答． 【详解】∵点为的外心，，， ∴点P为三边垂直平分线的交点， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：． 29．(24-25七下·上海黄浦区·期末)如图，已知在等边中，，点D在边BC上，连接AD，线段AD的垂直平分线分别交边、于点E、F，如果的周长比的周长小，那么___________． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据的周长比的周长小得出，再结合可求出． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵垂直平分， ∴． ∴ ． 则， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 30．(24-25七下·上海普陀区·期末)在中，边的垂直平分线相交于点，如果点在边上，那么___________°． 【答案】90 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理．由线段垂直平分线的性质，得到，，由等边对等角，得到，，再根据三角形内角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵边的垂直平分线相交于点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：90． 31．(24-25七下·上海松江区·期末)如图，已知线段、的垂直平分线交于点，连接、、、，若，，那么的度数是________． 【答案】/42度 【分析】如图，连接，根据线段垂直平分线性质得出，即可得，三角形内角和定理得出，则，根据，求出，证明，即可求出． 【详解】解：如图，连接， ∵线段、的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】该题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，证明三角形全等是解题的关键． 32．(24-25七下·上海嘉定区·期末)如图，点O是各边垂直平分线的交点，连接．如果，那么______． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，连接，由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角可得，利用三角形内角和定理可得，则可求出，进而得到，即． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点O是各边垂直平分线的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为；． 33．(24-25七·上海杨浦区部分学校·期末)如图，已知在中，点E在边上，垂直平分，垂足为点F，如果，，那么________． 【答案】4 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得，再由线段和差可得结论． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 三、解答题 34．(24-25七下·上海松江区·期末)如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，且的周长为，求底边的长． 【答案】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键，由垂直平分，可得，则可求出的周长为，把的值代入即可求出． 【详解】解：垂直平分， ， 的周长为， ， ，解得， 底边的长为． 35．(24-25七下·上海长宁区·期末)如图，已知：在中，是的角平分线，垂直平分分别交于点E、F，连接． (1)如果，求的度数； (2)过点F作交边于点G，如果，求的周长． 【答案】(1)55° (2)16 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的定义求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，根据直角三角形的性质计算，得到答案； （2）根据平行线的性质、角平分线的定义得到，得到，根据三角形周长公式计算即可． 【详解】（1）解：∵是的角平分线，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：如下图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长． 36．(24-25七下·上海浦东新区上南中学东校·期末)尺规作图：如图，直线和相交于点O，M是上的一点， (1)过点M画出直线的垂线，垂足为点F． (2)过点M画出直线的平行线． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）按照过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图法作图即可． （2）按照作一个角等于已知角的尺规作图法，过M点作，则直线平行于直线． 本题考查了基本的尺规作图，过直线外一点作已知直线的垂线和做一个角等于已知角，熟练掌握尺规作图的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求． 37．(24-25七下·上海松江区东华大学附属实验学校·期末)已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、． (1)如图（1），如果，证明：； (2)如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质等知识． （1）由线段垂直平分线的性质得，即可得出结论； （2）证明，得，，再证明是等边三角形，得到，然后证明，得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，P是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 38．(24-25七下·上海外国语大学附属奉贤外国语学校·期末)用直尺和圆规作钝角△ABC边BC上的高． 【答案】图见解析 【分析】本题考查了垂线的尺规作图，熟悉掌握垂线的作图方法是解题的关键． 根据垂直的作图方法直接作图即可． 【详解】解：如图所示即为所求： 39．(24-25七下·上海闸北第八中学·期末)如图，在中，l是的垂直平分线，与边交于点E，点D在l上，且，连接． (1)求证：点D在边的垂直平分线上； (2)连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定、等边对等角、三角形内角和定理等知识．解题的关键是熟练运用垂直平分线的性质和判定，结合三角形内角和定理推导角度关系． （1）利用垂直平分线性质得，结合推出，进而证明D在的垂直平分线上． （2）连接得到，设角并结合求出相关角度，得出，再利用垂直平分线性质和角度关系证明． 【详解】（1）证明：∵l是的垂直平分线，点D在l上， ∴， ∵， ∴． ∴点D在的垂直平分线上． （2）证明：由（1）可知，由“等边对等角”， 设， ， ∴在中，， 在中，， 即， ∴，则， 即， ∵点E在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴，则 40．(24-25七下·上海闸北第八中学·期末)用尺规作图作直角三角形且，边的长为2倍的单位长度，边的长为4倍的单位长度． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图的基本技能，特别是利用垂直平分线和圆弧截取特定长度的方法构造直角三角形．解题的关键是通过作垂线确定直角，并利用圆规精确截取2单位和4单位长度，最终连接斜边完成三角形． 【详解】如图，任画一条直线，在线上取点B，以B为圆心画弧交直线于两点； 分别以为圆心，大于的等长半径画弧，交于点F； 连接，得直角（依据线段垂直平分线性质）． 在上，以B为圆心、固定长度1为半径，圆规依次截取4单位长度画弧交于C，则边的长为4倍的单位长度； 在直线上，以B为圆心、固定长度1为半径，圆规依次截取2单位长度画弧交于A，则边的长为2倍的单位长度： 最后用直尺连接两点． 则直角三角形就是所作的三角形． 41．(24-25七下·上海徐汇区世界外国语中学·期末)已知：如图，已知中，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的判定定理．先根据等腰三角形的性质得出，根据，证明，根据等腰三角形的判定得出，根据线段垂直平分线的判定得出垂直平分，即可得出答案． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点D在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴． 42．(24-25七下·上海徐汇区世界外国语中学·期末)如图是小毕同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 年月日星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图1所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线，现根据木板的情况，要过上的一点，作出的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺．怎么办呢？ 解决方案：如图2，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出两点，然后把木棒斜放在木板上，使点与点重合，用铅笔在木板上将点对应的位置标记为点，保持点不动，将木棒绕点旋转，使点落在上，在木板上将点对应的位置标记为点．然后将延长，在延长线上截取线段，得到点，作直线，则． 我有如下思考：以上方案依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？…… 任务： (1)根据上述操作过程，证明； (2)用无刻度的直尺和圆规在1图的木板上，过点作出的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法），并说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；作法所依据的数学定理或基本事实见解析（答案不唯一） 【分析】（1）由作图的方法可以得出：，，得出，，利用三角形内角和得出，即，说明垂直即可； （2）以点为圆心，任意长为半径画弧，与有两个交点，分别以这两个交点为圆心，以大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，这两段弧交于一点，连接即可；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，即可说明垂直． 【详解】（1）证明：由作图方法可知：，， ，， 又， ， ， ， 即， （2）解：如图，直线即为所求； 等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（或等腰三角形“三线合一”）；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上等．（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，尺规作垂线，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，熟练掌握说明垂直的方法是解决本题的关键． 43．(24-25七下·上海普陀区·期末)已知小于的，点是边上的一个定点，点在边上． (1)如图1，，将沿着直线翻折得，点的对应点为点，如果，求的度数； (2)在图2中，用尺规作，使；（保留作图痕迹，简要说明作图步骤） (3)在（2）所作的图中，当时，求的面积．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，等腰三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）由折叠的性质可得，则，再由平行线的性质即可得到答案； （2）作线段的垂直平分线交射线于D，以点B为圆心，的长为半径画弧交于C，连接，则即为所求； （3）过点C作于F，设线段的垂直平分线交于E，则，可证明，得到，据此根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示，作线段的垂直平分线交射线于D，以点B为圆心，的长为半径画弧交于C，连接，则即为所求； 由线段垂直平分线的性质可得，则，则， 再由可得； （3）解：如图所示，过点C作于F，设线段的垂直平分线交于E， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 44．(24-25七下·上海金山区·期末)如图，在中，的垂直平分线与交于点． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点要求：不写作法，保留作图痕迹)； (2)连接．如果，与的度数之比为，那么的度数是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作垂直平分线、线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作线段的垂直平分线，交于点，则点即为所求． （2）由线段垂直平分线的性质可得，则．根据，可得，则，则可得． 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点， 则点即为所求． （2）的垂直平分线与交于点， ， ． ， ． 与的度数之比为：， ， ． 45．(24-25七下·上海崇明区·期末)如图，在中，平分，交于点． (1)尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点，，连接，；（不写作法，保留作图痕迹，写出结论） (2)小川判断，以下是他的证明思路，请帮他完善． 证明：平分， ①___________， 是的垂直平分线， ，②___________， ，③___________． ，④___________， ． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】本题考查了作图−−基本作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角，掌握线段垂直平分线的作法是解题的关键． （1）根据作线段的垂直平分线的基本步骤作图； （2）由角平分线的定义得，由等腰三角形的性质得，，等量代换得，进而可证结论成立． 【详解】（1）如图，即为所求， （2）证明：∵平分， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， ， ， ∴，． 故答案为：，，，． 46．(24-25七下·上海松江区·期末)如图，已知中，，根据下列要求作图并回答问题： (1)定义：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的外心．尺规作图：请画出的外心点；（不要求写画法和结论，保留作图痕迹） (2)在（1）的图形中，边的垂直平分线交边于点，连接.如果平分，那么的度数为________； (3)在（2）的图形中，在边上求作一点，使点到点和点的距离和最短．（不要求写画法和结论，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）作出线段的垂直平分线交于，点即为所求； （2）由线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角结合角平分线的定义可得，再由三角形内角和定理计算即可得解； （3）以为圆心，为半径画弧交于，连接交于，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， ， 证明：由作图可得：垂直平分，， ∴，即点是的外心； （2）解：如图： ， 由作图可得：垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，以为圆心，为半径画弧交于，连接交于，点即为所求， 由作图可得、关于直线对称， ∴， ∴由两点之间，线段最短可得，，此时点到点和点的距离和最短． 【点睛】本题考查了尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 47．(24-25七下·上海虹口区·期末)已知：如图，在中，，，线段的垂直平分线交线段于点E，交线段于点D，连接．如果，，求的周长． 【答案】14 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质． 由的垂直平分线交于点D，可得，又由等边对等角，可求得的度数，继而求得的度数，则可判定是等腰三角形，继而求得答案． 【详解】∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 48．(24-25七下·上海虹口区·期末)已知：如图，在中，于交线段BC点于点D，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，三角形的外角性质，等边对等角．在上取点E，使，得到垂直平分，推出，再三角形的外角性质即可证明结论成立． 【详解】证明：在上取点E，使， ∵，且，∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 49．(24-25七下·上海嘉定区·期末)小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究： 如图1，在中，的平分线交边于点D，，垂足为E． 小海猜想：通过的度数可求出的度数，再结合的度数可求出的度数，从而确定与之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组的度数后，验证了这一猜想． (1)请补全下表： …… ……      ______ ______ …… (2)如图2，若，，那么______．（用含、的代数式表示），并加以证明； (3)在（2）的基础上作的垂直平分线，交的延长线于点F，连接．如图3，如果，请直接写出______． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见（1） (3) 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，线段垂直平分线的性质，等边对等角等等，熟知三角形内角和定理是解题的关键． （1）由垂线的定义可得，则由三角形内角和定理可得，，再由角平分线的定义可得，则可求出，据此计算求解即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）由（1）可得，则可求出；由线段垂直平分线的性质可得，则，求出，即可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，的平分线交边于点D， ∴， ∴， 当时， ； 当时， ； 填表如下： …… ……      …… （2）解：由（1）可得， ∵，， ∴； （3）解：由（1）可得， ∵， ∴， ∴； 由线段垂直平分线的性质可得， ∴， ∵，的平分线交边于点D， ∴， ∴． 50．(24-25七下·上海嘉定区·期末)如图，A、B两镇位于国道l的同侧，两镇距离国道分别有数公里．随着经济发展，过往车辆增多，政府规划在国道l上新建一座多功能加油站，既为车辆提供便利，又促进两镇资源互通．如果你是工程师，请解决以下规划问题： (1)公平选址：确定加油站位置P，使得加油站到A、B两镇的距离相等； (2)路径优化：从A镇前往B镇，需途径加油站加油．确定加油站位置Q，使得总路程最短：请分别作出上述两种情况下的加油站P、Q的位置．（要求：尺规作图，保留作图痕迹并写出结论，不用证明） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了垂线和线段垂直平分线的尺规作图，线段的尺规作图，线段垂直平分线的性质，轴对称最短路径问题，熟知相关知识是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线交直线l于P，则点P即为所求； （2）过点A作于T，在上截取，连接交直线l于Q，则点Q即为所求． 【详解】（1）如图所示，点P即为所求； （2）解；如图所示，点Q即为所求； 51．(24-25七·上海杨浦区部分学校·期末)请用直尺和圆规完成下列作图并解答问题． (1)如图1，已知，求作边上的高．小亮同学设计的尺规作图过程如下：作法：①以A为圆心，长为半径作弧；②以B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点E；③连接，交于点D．所以线段就是所求的边上的高． （i）请用直尺和圆规，完成小亮的作图（保留作图痕迹）； （ii）分别连接，再将该作图的证明过程补充完整． 证明：∵；∴点A在线段的垂直平分线上．（________）（填推理依据） ∵；∴点B在线段的垂直平分线上． ∴垂直平分线段．（________）（填推理依据） ∴．即是边上的高． (2)如图2，已知中，是边上的高，，求作边上的高． 小红同学设计的尺规作图，要求：圆规只使用一次，即圆规只能画一条弧． ①请用直尺和圆规，完成小红的作图（保留作图痕迹，简要说明作图步骤）； ②根据小红的作法，求证：是边上的高． 【答案】(1)①见解析②到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线 (2)①见解析②见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）①根据题意画出图形即可； ②证明A，B到线段的两个端点的距离相等，可得结论； （2）①以H为圆心，为半径作弧交于点T，连接，延长交于点D，线段即为所求； ②证明，推出，可得结论． 【详解】（1）解：①如图，即为所作； ②证明：∵； ∴点A在线段的垂直平分线上（到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）， ∵； ∴点B在线段的垂直平分线上． ∴垂直平分线段．（两点确定一条直线）（填推理依据） ∴．即是边上的高． 故答案为：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线． （2）解：①图形如图所示； 以H为圆心，为半径作弧交于点T，连接，延长交于点D，线段即为所求 ②证明：∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即是的边上的高． 52．(24-25七下·上海浦东区·期末)如图，在Rt中， (1)请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段于点 (2)连接，请找出图中和相等的线段（直接写出答案，无需说明理由）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图．熟练掌握线段垂直平分线的作法和性质是解决问题的关键． （1）基本作图，作线段的垂直平分线，分别交线段于点，点即为所求作； （2）根据线段垂直平分线的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于两点，作直线，分别交线段、与点，点即为所求作； （2）解：是线段的垂直平分线， ． 53．(24-25七下·上海青浦区·期末)在中，的垂直平分线分别交边、边和直线于点，连接． (1)点在的延长线上， ①如图，求证：； ②如图，当时，求的周长； (2)当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1)①见解析；② (2)或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用； （1）①根据三角形内角和定理分别表示出，即可得证； ②证明是等边三角形，根据等边三角形的性质，即可求解； （2）分三种情况讨论，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，求解即可． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ②∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴是等边三角形， ∴的周长为； （2）解：设 当时， ∵ ∴ ∴ ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴ 在中，即 解得：，即； 当时，， 同理可得， ∴， 解得：，即； 当时，， 如图， 在中， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：（舍去） ∴此情形不存在， 综上所述，当是等腰三角形时，或． 54．(24-25七下·上海青浦区·期末)已知：如图，分别以的两条直角边为边作等边三角形和等边三角形，连接，且点在线段上． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质及全等三角形的判定，掌握等边三角形的性质及全等三角形的判定是解题关键． （1）根据等边三角形的性质得出，，进而证明，即可得证； （2）根据等边三角形的性质以及三角形内角和定理得出，即可证明，根据等边三角形的性质可得，即可证明垂直平分，即可得证． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴ ∴； （2）∵是直角三角形，为直角边， ∴ ∵是等边三角形，则， ∴， 由（1）可得 ∴ ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴垂直平分 ∴． 55．(24-25七下·上海风华初级中学·期末)如图，在中，，边、的垂直平分线相交于点P，连接、，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，再由可得，最后利用四边形内角和即可求解. 【详解】解：如图，连接， ∵边、的垂直平分线交于点P， ∴ ∴ ∴ 56．(24-25七下·上海风华初级中学·期末)如图，在中，，D是边上的一点．    (1)在边上作点E，使．（保留作图痕迹，不写作法） (2)过点D作的平行线．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图 （1）作线段的垂直平分线交于点E，连接即可； （2）作即可. 【详解】（1）解：如图所示，点E为所求，    由作图得， ∴， ∴； （2）解：如图所示，      ∵ ∴ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $