专题02 三角函数7题型2易错（期末复习知识清单）高一数学下学期沪教版

专题02 三角函数 正弦函数的图像与性质 1.“五点法”作图 从图可知， 和 是函数 图像的五个关键点．我们描出这五个点，并用光滑的曲线将它们连接起来，就得到函数 2.正弦函数的周期 定义 对于函数，如果存在一个非零常数 ，使得当取其定义域中的任意值时，有，且成立那么函数 就叫做周期函数（periodic function），而这个非零常数 就叫做函数 的一个周期（period）。 对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．正弦函数最小正周期为． 一般地，函数 （其中 、、 为常数，且 的最小正周期为 ． 3.正弦函数的值域和最值 函数 图像 值域 最值 当 时， 取得最大值 1 ； 当 时， 取得最小值 -1 ． 4.函数的值域与最值 函数 值域 最值 当 时， 取最大值 ； 当 时， 取最小值 5.正弦函数的奇偶性 对于 恒有 ，所以正弦函数 是奇函数，正弦曲线关于坐标原点中心对称． 函数 图像 对称轴 直线 对称中心 6.正弦函数的单调性及单调区间 函数 图像 单调性 在 上是严格增函数； 在 上是严格减函数 7.函数 的奇偶性与单调性 函数性质 重要结论 奇偶性 当 时是奇函数； 当 时是偶函数； 当 时既不是奇函数也不是偶函数 对称性 对称中心：；对称轴： 单调性 单调增区间： 单调减区间： 余弦函数的图像与性质 1.余弦函数的性质 函数 定义域 值域 周期性 最小正周期 最大值 当且仅当 最小值 当且仅当 奇偶性 偶函数 单调增区间 单调减区间 正切函数的图像与性质 1.正切函数的性质 函数 定义域 值域 最大值 无 最小值 无 最小正周期 奇偶性 奇函数 单调增区间 单调减区间 无 对称性 对称中心，无对称轴 2.正切型函数的性质 函数 定义域 周期性 最小正周期 奇偶性 当时为奇函数，否则不具备奇偶性 单调性 由求得 对称性 对称中心：，无对称轴 题型一、正弦函数的图像 【例1】（24-25高一下·上海·期末）方程的解集为________. 【答案】 【知识点】正弦函数图象的应用、特殊角的三角函数值 【分析】根据题意得到，然后结合正弦函数相关知识解方程即可. 【详解】因为，所以， 若，则或， 所以或，即方程的解集为. 故答案为： 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）函数的零点为______． 【答案】或 【知识点】正弦函数图象的应用、求函数的零点 【详解】令，解得， 故或． 【变式2】（24-25高一下·上海浦东新·期中）关于x的方程在区间上解的情况，下列说法不正确的是（    ） A．存在实数m使得方程无解 B．存在实数m使得方程有无数个解 C．存在唯一的实数m使得方程只有1个解 D．存在唯一的实数m使得方程只有2个解 【答案】C 【知识点】正弦函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】原方程可化为，结合图象，即可判断选项. 【详解】因为，所以关于x的方程，可化为， 在上为周期为的函数，值域为， 在上单调递减，值域为，且时，时， 对于，在时，过程中与图象接近， 且过程中图象呈现周期性波动，第个周期值域为，()逐渐变小且接近于1，(逐渐变小且接近于， 综上，函数的大致图象如下， 当时，无解，A对； 当时，有无数个解，B对； 当且时，有个解，此时时，D对； 当且时，有个解， 当时，有1个解，C错； 故选：C. 【变式3】（22-23高一下·上海闵行·期末）已知函数的定义域为，且当时，，其中取一切正整数.函数的图像与直线恰有24个交点，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【知识点】正弦函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】依题意可得函数的图像与直线只在前几段有交点，分别分析函数与在前几段的交点个数，找到临近点，分析临界值时的交点情况，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为函数在各段中的最大值逐渐减小，要使函数的图像与直线恰有个交点， 则函数的图像与直线只在前几段有交点， 依题意当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 若，则当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 此时函数的图像与直线的图象仅有个交点，不符合题意， 所以， 当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 此时函数的图像与直线的图象恰有个交点， 若时，则当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 不满足函数的图像与直线的图象恰有个交点， 所以， 综上可得，即实数的取值范围是. 故答案为： 【变式4】（23-24高一下·上海黄浦·期末）设． (1)当时，用函数单调性的定义证明：函数在区间上是严格增函数． (2)①根据a的不同取值，讨论函数在区间上零点的个数； ②若函数在区间（k为正整数）上恰有7个零点，求k的最小值及此时a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①见解析；②的最小值为3，此时. 【知识点】二倍角的正弦公式、正弦函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）根据单调函数的定义，结合三角函数的性质和不等式的性质，判断的正负，即可证明； （2）①根据三角函数的性质，将函数的零点转化为图象的交点个数问题，即可判断； ②根据①的结果以及分析过程，判断当时的交点情况，以及得到取值. 【详解】（1）设， ， ， ， 因为，所以， 且，所以，所以， 则， 所以， 即，所以， 所以函数在区间上是严格增函数. （2）①，则， 当时，即，，， 所以不管为何值，和是函数的零点， 当，即或时，，如图画出函数的图象， 若或时，与无交点，没有零点， 若或时，与有1个交点，为和，需舍去，所以没有零点， 当或时，与有2个交点， 当时，与有3个交点， 综上可知，或时，有2个零点， 当或时，有4个零点， 当时，有个5零点. ②由①可知，时，最多有5个零点， 时，区间为，不管为何值，函数的零点包含，3个零点， 当时，与在区间有4个交点， 如图， 当时，在区间有4个交点，此时交点的横坐标为函数的零点， 所以的最小值为3，此时. 【点睛】关键点点睛：本题第2问考察函数零点问题，关键是讨论和两种情况. 题型二、求sinx型三角函数的单调性 【例2】（24-25高一下·上海·期末）函数的严格减区间是__________. 【答案】 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、辅助角公式 【分析】利用辅助角公式，得到，再利用正弦型函数单调区间的求法可得到答案. 【详解】， ， 令， 解得：， 故答案为： 【变式1】（24-25高一下·上海·期末）函数，的严格减区间为________. 【答案】 【知识点】二倍角的正弦公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】由倍角公式可化简函数，然后由正弦函数单调性可得答案. 【详解】，因， 则，注意到在上单调递减， 则，则严格递减区间为：. 故答案为： 【变式2】（24-25高一下·上海宝山·期末）已知向量，，且函数. (1)若，，求的值； (2)求函数在上的严格增区间. 【答案】(1)或 (2)严格增区间为和 【知识点】数量积的坐标表示、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、求sinx型三角函数的单调性、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）首先化简函数的表达式，然后将函数值代入，根据的范围求出的值. （2）根据正弦函数的单调递增区间以及的范围直接求解即可. 【详解】（1）因为， 所以. 令，则，所以或. 解得或. 因为，所以或. （2）因为， 所以当时，函数严格递增. 解得. 因为，所以令时，；令时，. 所以函数在上的严格增区间为和. 【变式3】（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求函数在上的零点； (3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知三角函数值求角、求sinx型三角函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）化简得，根据正弦型函数的单调性得到不等式，解出即可； （2）根据题意，问题转化为，即，得或，结合，得解； （3）由，求出，当时，符合；当时，转化为，令，则，，利用单调性求出最大值得解. 【详解】（1）， 由，得. 所以的单调递增区间为. （2）令，即， 所以或， ，此时，在内解为， ，此时，在内解为， 综上，函数在上的零点为. （3）当时，，故. 原式， 当时，符合； 当时，， 令，则，， 因在上单调递增，最大值为， . 综上：的取值范围为. 题型三、求含sinx（型）函数的值域和最值 【例3】（24-25高一下·上海浦东新·期末）设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，求实数m的取值范围为__________． 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、函数不等式能成立（有解）问题、函数不等式恒成立问题 【分析】先得到，且，根据题意得到，求出答案. 【详解】时，则，故， 时，， 对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得， 故，解得. 故答案为： 【变式1】（23-24高一上·上海·期末）若存在，使成立，则实数k的取值范围是________. 【答案】 【知识点】辅助角公式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】转化为求三角函数值域问题，结合辅助角公式和三角函数相关知识求解即可. 【详解】若存在，使成立， 即，其中， 由于值域为，则，则. 故答案为： 【变式2】（24-25高一下·上海杨浦·期中）如图，某学校准备在宿舍楼前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似”冰淇淋”般的凉爽感，已知，线段，弓形花园上一点，其中，设.      (1)将线段、的长度、分别用含有的代数式表示出来； (2)现准备在点处修建喷泉，求点与点距离的最大值以及对应的的值. 【答案】(1)， (2)， 【知识点】正弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题、余弦定理解三角形、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）在中利用正弦定理可表示出； （2）在中，由余弦定理表示出，再结合的范围及正弦函数的性质可求出其最大值. 【详解】（1）因为，， 所以，. （2）因为， 所以， 在中，由余弦定理易得， 因为，所以， 当，即时， 取最大值取最大值. 【变式3】（24-25高一下·上海·期末）设，函数满足． (1)当，时，若存在实数，对任意的（是函数的定义域的子集），都有，且存在，使得，则称为函数在区间上的最大值，称为最大值点， 求在上最大值点的个数； (2)若，函数的最小正周期，且函数的图像与直线在区间上有且仅有1个交点，求的取值范围. (3)当时，小明利用函数进行一个棋盘游戏：有一个的正方形棋盘，小明将一颗棋子开始时置于左下角（棋盘最左边的边界线与最下边的边界线的交点），每走一步移动1格，且在第步时，若，则将棋子向上前进一步，否则将棋子向右前进一步，棋子走到棋盘最右边的边界线或最上边的边界线时停止，若棋子停在棋盘最上边的边界线，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的周期性求值、正弦函数图象的应用 【分析】（1）首先求的范围，再根据正弦函数的图象和性质，即可求解； （2）首先利用代入法求在区间的范围，结合函数的周期公式，以及范围内的最大值点，以及求的取值范围； （3）首先根据，确定棋子的移动周期，并根据函数性质判断，结合函数的周期，并结合游戏规则，确定中大于或等于得到个数，即可求解. 【详解】（1），则， 当时，在上有两个最大值点，， 故在上有2个最大值点； （2）曲线与直线在上有且仅有1个交点， 即方程在上有且仅有1个根， 由，可知， 又因为，即， 所以，故， 则只需令，解得， 即的取值范围为． （3），棋子移动的周期为4， 因为，， 由正弦函数的单调性得， 若，中至少三个大于或等于，满足题意，即： ，则; 若，中只有二个大于或等于，棋子落在棋盘右上角亦满足题意，即：，则； 故的取值范围是. 题型四、求正弦（型）函数的最小正周期 【例4】（24-25高一下·上海·期末）函数的最小正周期为________. 【答案】 【知识点】二倍角的正弦公式、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】利用二倍角的正弦公式化简函数，再利用正弦函数周期公式求解. 【详解】函数，其最小正周期. 故答案为： 【变式1】（24-25高一下·上海嘉定·期末）函数的最小正周期是_____. 【答案】2. 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】根据正弦型函数的周期公式即得. 【详解】由知其最小正周期为. 故答案为：2. 【变式2】（2025·上海崇明·二模）函数的最小正周期是，则_______． 【答案】 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】由正弦型函数的周期公式可求得的值. 【详解】因为函数的最小正周期是，则. 故答案为：. 【变式3】函数的最小正周期为________. 【答案】 【知识点】二倍角的正弦公式、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】由二倍角的正弦公式化简，再由周期公式得解. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 题型五、余弦函数的性质 【例5】（24-25高一下·上海嘉定·期末）函数在内恰有两个对称中心，，则_____. 【答案】2或 【知识点】利用cosx（型）函数的对称性求参数、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据题意，令，分和讨论，求得的范围，利用余弦函数的对称中心列出不等式求解即可. 【详解】令， 若，由，则， 因为函数在内恰有两个对称中心， 所以， 又， 所以， 所以. 若，则， 由函数在内恰有两个对称中心， 所以，又， . 综上，或. 故答案为：或. 【变式1】（24-25高一下·上海·期末）对任意闭区间，用表示函数在上的最小值．若正数满足，则正数的取值集合为________． 【答案】 【知识点】二倍角的余弦公式、求cosx（型）函数的最值 【分析】根据给定条件，按取值情况分段讨论，并结合二倍角公式及余弦函数性质求解. 【详解】当时，为在上的减函数，则， 由，得，即，解得或，不合题意； 当时，，，由，则，则； 当时，，，不合题意； 当时，，，则； 当时，的区间长度不小于，，则， 所以正数的取值范围为． 故答案为： 【变式2】（24-25高一下·上海·期末）已知常数，函数为偶函数，则______. 【答案】 【知识点】二倍角的余弦公式、用和、差角的余弦公式化简、求值、由余弦（型）函数的奇偶性求参数、由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】利用偶函数的定义，结合和差角的余弦公式及二倍角的余弦公式求解即得. 【详解】函数的定义域为R，由函数为偶函数， 得，恒成立， 整理得，而不恒为0，则， 所以. 故答案为： 【变式3】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知定义域为的函数满足:对于任意的，都有，则称函数具有性质. (1)判断函数是否具有性质；（直接写出结论） (2)已知函数具有性质，且在区间上有且仅有个零点.求出的取值范围； (3)设函数具有性质，且在区间上的值域为，函数，满足，且在区间上有且只有一个零点.求证：. 【答案】(1)具有性质，不具有性质. (2) (3)证明见解析 【知识点】函数新定义 【分析】（1）利用定义直接判断即可； （2）因为函数具有性质,可求出,进而得到，再结合零点的意义可求的取值范围； （3）分析可知函数在的值域为,由在区间上有且仅有一个零点可知时不合题意，再求解当 时，与函数是以为周期的周期函数矛盾，由此可得,进而得证. 【详解】（1）因为，则，又， 所以，故函数具有性质； 因为，则，又， 所以，故不具有性质. （2）因为函数具有性质，所以，即， 因为，所以，所以； 若，不妨设，由， 得（*）， 只要充分大时，将大于1，而的值域为， 故等式（*）不可能成立，所以必有成立，即， 因为，所以，所以，则， 此时，则， 而，即有成立，符合题意， 又在区间上有且仅有2个零点.，所以，所以， 所以的取值范围为. （3）由函数具有性质及（2）可知， 由可知函数是以为周期的周期函数，则， 即，所以； 由，以及题设可知，函数在的值域为， 所以且； 当，及时，均有， 这与在区间上有且只有一个零点矛盾，因此或； 当时，，函数在的值域为， 此时函数的值域为. 而，于是函数在的值域为， 此时函数的值域为， 函数在当时和时的取值范围不同， 与函数是以为周期的周期函数矛盾，故， 即，命题得证． 题型六、函数y=Asin(wx+φ)的图像 【例6】（24-25高一下·上海黄浦·期末）若函数满足：对于集合D内的任意，都存在，使得，则称函数在D上具有性质P．对于命题：①若函数在上具有性质P，则的取值范围是；②函数在上具有性质P，则的取值范围是或或．下列判断正确的是（   ）． A．①和②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①和②均为假命题 【答案】B 【知识点】函数新定义、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】由已知可得函数的值域应关于原点对称，据此分析命题①②求得的范围，进而可判断命题的真假. 【详解】对于集合D内的任意，都存在，使得， 故函数的值域应关于原点对称， 对于命题①，当时，，要使函数值关于原点对称， 则，所以， 故若函数在上具有性质P，则的取值范围是， 故①为真命题； 对于命题②，，则， 若时，关于对称时值域关于原点对称，，解得， 当时，则，可得， 当时，则即可，解得， 当时，，可满足题意，即时恒成立， 综上所述：函数在上具有性质P， 则的取值范围是或或，故②是假命题． 故选：B. 【变式1】（24-25高一下·上海金山·期末）已知，若对任意实数均有，则满足条件的有序实数对的个数为___________. 【答案】3 【知识点】结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同，通过，，三种情况讨论求解即可 【详解】，任意实数均有. 当时，任意实数均有，且， 时，符合题意； 任意实数均有，即， ， 只能任意实数均有，则， 当时，，则， ，符合题意； 当时，. 所以，， 又，符合题意. 综上所述，满足条件的有序实数对有，，共3个. 故答案为：3 【变式2】（24-25高一下·上海·期末）著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如. 的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基音，其余的为泛音.研究表明，所有泛音的频率都是基音频率的整数倍，称为基音的谐波.若对应于的泛音是对应于的基音的一个谐波，则正整数n的所有可能取值之和为_________ 【答案】8 【知识点】周期变换及解析式特征、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】根据所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，得到方程，整理得到所以，，又，故，经检验后得到或6，所有可能取值之和为8. 【详解】因为所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍， 所以，，， 所以，，， 两式相加得，， 所以，其中，故， 两式相减得， 当时，，此时，不合要求， 当时，，解得，满足要求， 当时，，此时，不合要求， 当时，，此时，不合要求， 当时，，解得，满足要求， 当时，，此时，不合要求， 综上，或6，所有可能取值之和为8. 故答案为：8 【变式3】（24-25高一下·上海·期末）已知函数在上单调递增,且其图像关于点对称,则___________． 【答案】/0.5 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、利用正弦函数的对称性求参数、利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】首先根据计算出的范围,再由函数在上单调递增计算出的范围,把对称点代人,即可计算出,从而计算. 【详解】在上单调递增 又关于点对称 , 当时,, 故答案为： 【变式4】（24-25高一下·上海浦东新·期末）函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式，并求出的单调减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、由图象确定正（余）弦型函数解析式、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】（1）由函数的图象，根据三角函数的性质，即可求得函数的解析式，结合三角函数的性质，即可求得函数的单调递减区间； （2）根据三角函数的图象变换，求得，根据题意，转化为和的图象在上有公共点，由，求得函数的值域为，进而求得的范围. 【详解】（1）解：由函数的图象，可得，且函数的周期为， 所以，即， 又由，即， 根据五点对应法，可得，即， 因为，所以，所以， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. （2）解：将函数的图象向右平移个单位， 得到函数， 关于的方程在上有解，即在上有解， 即函数和的图象在上有公共点， 因为，可得， 当时，可得；当时，即时，可得， 所以函数的值域为，所以，解得， 所以实数的取值范围 题型七、正切函数的性质 【例7】（24-25高一下·上海·期末）已知函数，若，则________． 【答案】 【知识点】由正切函数的奇偶性求函数值、由正弦函数的奇偶性求函数值、由正切函数的周期求值、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】利用正弦函数，正切函数的周期性与奇偶性计算即可求值. 【详解】因为，且，所以， 所以，所以， 所以 . 故答案为：. 【变式1】（24-25高一下·上海宝山·期末）在区间上，函数与图象的公共点个数为_______． 【答案】 【知识点】求函数零点或方程根的个数、正弦函数图象的应用、正切函数图象的应用 【分析】根据给定条件，求出方程在的根即可. 【详解】依题意，，即，解得或， 而，因此， 所以函数与图象的公共点个数为3. 故答案为：3. 【变式2】（24-25高一下·上海黄浦·期末）满足的角的集合为______． 【答案】 【知识点】已知三角函数值求角 【分析】利用正切函数的性质解方程即可. 【详解】由，可得， 解得， 所以满足的角的集合为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一下·上海宝山·期末）函数的最小正周期是_____. 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的周期 【分析】利用正切函数的周期公式直接求解. 【详解】函数的最小正周期是. 故答案为： 【变式4】（22-23高一下·上海虹口·期末）已知函数，其中. (1)若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心； (2)若在闭区间上是严格增函数，求正实数的取值范围. 【答案】(1),,Z; (2) 【知识点】利用正切函数的单调性求参数、求正切（型）函数的对称中心、求正切（型）函数的周期 【分析】（1）利用正切函数的周期性和对称性求解； （2）利用正切函数的单调性求出的范围. 【详解】（1）∵，∴函数的最小正周期为, 令,Z,解得，Z, ∴函数图象的对称中心为,Z. （2）∵在闭区间上是严格增函数， ∴， ∴，且ω为正实数，解得 题型一、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【例1】（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】首先利用两角和的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】因为， 因为，所以， 因为，所以， 不妨令，即，则，所以， 所以，， 所以的取值范围是. 故选：D 【变式1】（23-24高一下·上海·期中）设函数，若对于任意，都存在，使得，则的最小值为______. 【答案】/ 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】首先求出函数在，依题意时的值域包含，结合正弦函数的性质求出的取值范围，即可得解. 【详解】当时， 因为对于任意，都存在，使得， 所以当时的值域包含， 又， 所以，则的最小值为. 故答案为： 【变式2】（24-25高一下·上海杨浦·期末）已知，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为_________． 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】根据题意，为函数的最小值，为的最大值，由正弦函数性质求解． 【详解】由题，可得为函数的最小值，为的最大值， 所以，则，又， ，得，由， 所以当时，为最小值. 故答案为：. 【变式3】（22-23高一下·上海闵行·期中）已知函数 (1)当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值； (2)若为偶函数，设，若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围； (3)若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 【答案】(1)1， (2) (3) 【知识点】辅助角公式、求含sinx(型)函数的值域和最值、函数不等式恒成立问题、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】（1）由题意可得 ，由正弦函数的性质求解即可； （2）由题意可得,，将问题转化为 ，且 在 上恒成立，结合正弦函数的性质即可求解； （3）由题意可得将问题转化为结合正弦函数的性质及二次函数性质求解. 【详解】（1）当时，, 所以当，即 时，所以  ,此时 ； （2）因为 为偶函数，所以, 所以, 所以 ， 又因为在上恒成立， 即在 上恒成立， 所以 在 上恒成立， 所以 ，且 在上恒成立， 因为，所以，所以， 解得 所以 m 的取值范围为; （3）因为过点，所以 所以， 又因为,所以, 所以 ， 又因为对任意的，，都有成立， 所以， 因为，所以 ， 设 , 则有 图像是开口向下，对称轴为 的抛物线， 当 时，在 上单调递增，所以 , 所以，解得 所以； 当 时， 在上单调递减， 所以 , 所以，解得 所以; 当时，, 所以，解得所以, 综上所述：所以实数 a 的取值范围为 【点睛】关键点点睛：关键点是把恒成立转化为结合正弦函数的性质及二次函数性质求解即可. 题型二、求图象变化前（后）的解析式 【例2】（24-25高一下·上海嘉定·期末）在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的解析式可以为 C．函数在上的值域为 D．若把图象上所有的点向右平移个单位，则所得函数是 【答案】B 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式 【分析】对B，利用图象求出函数的解析式判断；对A，代入验证判断；对C，利用 可得，即可求得的值域判断；对D，利用图象的变换即可判断. 【详解】对于B，由函数图象的最高点的纵坐标可得，且，可得，可得， 又，即，可得， 所以，故B正确； 对于A，因为，，所以不是函数的对称中心，故A错误； 对于 C，因为，所以，所以，即，故C错误； 对于D，把图象上所有点向右平移个单位，则所得函数，故D错误. 故选：B. 【变式1】（24-25高一下·上海·期末）把函数的图象向右平移个单位得到曲线，再把曲线上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到曲线，则曲线相应的函数解析式可以是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据给定的函数，利用三角函数图象变换求出解析式. 【详解】依题意，曲线，曲线. 故选：D 【变式2】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知函数（），有下列结论：①若，则在上单调递增；②若，则正整数ω的最小值为2；③若，函数的图像向右平移个单位长度得到的图像.则为奇函数；④若在上有且仅有个零点，则.其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、根据函数零点的个数求参数范围、求sinx型三角函数的单调性、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】①计算的范围，即可判断；②根据函数的对称轴，即可判断；③根据三角函数平移规律，即可判断；④计算的范围，结合正弦函数的零点，即可求解． 【详解】①当时，，因为，则， 此时不是单调递增函数，故①不正确； ②若，则函数关于对称， 则，得，且， 则正整数的最小值为1，故②不正确； ③若，的图象向右平移个单位长度后，得到， 所以是奇函数，故③正确； ④时，， 在上有且仅有个零点，则，得，故④不正确． 综上，正确的是③，个数为1个. 故选：A. 【变式3】（24-25高一下·上海静安·期末）已知函数 (1)求函数的周期； (2)求函数的最小值及取得最小值时的所有取值； (3)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若存在，使得等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)最小值为， (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求图象变化前（后）的解析式、二倍角的余弦公式 【分析】（1）根据二倍角公式化简后求周期即可； （2）利用正弦型函数的最值的求法得解； （3）根据图象变换得到，再由正弦型函数的值域求解即可. 【详解】（1）因为， 所以函数的周期为. （2）函数， 当，即时，取得最小值， 取得最小值时的所有取值为 . （3）函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）可得，将得到的图象向右平移个单位长度可， 因为，所以， 所以在上严格增， 所以， 所以， 故当时等式成立． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角函数 正弦函数的图像与性质 1.“五点法”作图 从图可知， 和 是函数 图像的五个关键点．我们描出这五个点，并用光滑的曲线将它们连接起来，就得到函数 2.正弦函数的周期 定义 对于函数，如果存在一个非零常数 ，使得当取其定义域中的任意值时，有，且成立那么函数 就叫做周期函数（periodic function），而这个非零常数 就叫做函数 的一个周期（period）。 对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．正弦函数最小正周期为． 一般地，函数 （其中 、、 为常数，且 的最小正周期为 ． 3.正弦函数的值域和最值 函数 图像 值域 最值 当 时， 取得最大值 1 ； 当 时， 取得最小值 -1 ． 4.函数的值域与最值 函数 值域 最值 当 时， 取最大值 ； 当 时， 取最小值 5.正弦函数的奇偶性 对于 恒有 ，所以正弦函数 是奇函数，正弦曲线关于坐标原点中心对称． 函数 图像 对称轴 直线 对称中心 6.正弦函数的单调性及单调区间 函数 图像 单调性 在 上是严格增函数； 在 上是严格减函数 7.函数 的奇偶性与单调性 函数性质 重要结论 奇偶性 当 时是奇函数； 当 时是偶函数； 当 时既不是奇函数也不是偶函数 对称性 对称中心：；对称轴： 单调性 单调增区间： 单调减区间： 余弦函数的图像与性质 1.余弦函数的性质 函数 定义域 值域 周期性 最小正周期 最大值 当且仅当 最小值 当且仅当 奇偶性 偶函数 单调增区间 单调减区间 正切函数的图像与性质 1.正切函数的性质 函数 定义域 值域 最大值 无 最小值 无 最小正周期 奇偶性 奇函数 单调增区间 单调减区间 无 对称性 对称中心，无对称轴 2.正切型函数的性质 函数 定义域 周期性 最小正周期 奇偶性 当时为奇函数，否则不具备奇偶性 单调性 由求得 对称性 对称中心：，无对称轴 题型一、正弦函数的图像 【例1】（24-25高一下·上海·期末）方程的解集为________. 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）函数的零点为______． 【变式2】（24-25高一下·上海浦东新·期中）关于x的方程在区间上解的情况，下列说法不正确的是（    ） A．存在实数m使得方程无解 B．存在实数m使得方程有无数个解 C．存在唯一的实数m使得方程只有1个解 D．存在唯一的实数m使得方程只有2个解 【变式3】（22-23高一下·上海闵行·期末）已知函数的定义域为，且当时，，其中取一切正整数.函数的图像与直线恰有24个交点，则实数的取值范围是____________. 【变式4】（23-24高一下·上海黄浦·期末）设． (1)当时，用函数单调性的定义证明：函数在区间上是严格增函数． (2)①根据a的不同取值，讨论函数在区间上零点的个数； ②若函数在区间（k为正整数）上恰有7个零点，求k的最小值及此时a的取值范围． 题型二、求sinx型三角函数的单调性 【例2】（24-25高一下·上海·期末）函数的严格减区间是__________. 【变式1】（24-25高一下·上海·期末）函数，的严格减区间为________. 【变式2】（24-25高一下·上海宝山·期末）已知向量，，且函数. (1)若，，求的值； (2)求函数在上的严格增区间. 【变式3】（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求函数在上的零点； (3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 题型三、求含sinx（型）函数的值域和最值 【例3】（24-25高一下·上海浦东新·期末）设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，求实数m的取值范围为__________． 【变式1】（23-24高一上·上海·期末）若存在，使成立，则实数k的取值范围是________. 【变式2】（24-25高一下·上海杨浦·期中）如图，某学校准备在宿舍楼前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似”冰淇淋”般的凉爽感，已知，线段，弓形花园上一点，其中，设.      (1)将线段、的长度、分别用含有的代数式表示出来； (2)现准备在点处修建喷泉，求点与点距离的最大值以及对应的的值. 【变式3】（24-25高一下·上海·期末）设，函数满足． (1)当，时，若存在实数，对任意的（是函数的定义域的子集），都有，且存在，使得，则称为函数在区间上的最大值，称为最大值点， 求在上最大值点的个数； (2)若，函数的最小正周期，且函数的图像与直线在区间上有且仅有1个交点，求的取值范围. (3)当时，小明利用函数进行一个棋盘游戏：有一个的正方形棋盘，小明将一颗棋子开始时置于左下角（棋盘最左边的边界线与最下边的边界线的交点），每走一步移动1格，且在第步时，若，则将棋子向上前进一步，否则将棋子向右前进一步，棋子走到棋盘最右边的边界线或最上边的边界线时停止，若棋子停在棋盘最上边的边界线，求的取值范围． 题型四、求正弦（型）函数的最小正周期 【例4】（24-25高一下·上海·期末）函数的最小正周期为________. 【变式1】（24-25高一下·上海嘉定·期末）函数的最小正周期是_____. 【变式2】（2025·上海崇明·二模）函数的最小正周期是，则_______． 【变式3】函数的最小正周期为________. 题型五、余弦函数的性质 【例5】（24-25高一下·上海嘉定·期末）函数在内恰有两个对称中心，，则_____. 【变式1】（24-25高一下·上海·期末）对任意闭区间，用表示函数在上的最小值．若正数满足，则正数的取值集合为________． 【变式2】（24-25高一下·上海·期末）已知常数，函数为偶函数，则______. 【变式3】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知定义域为的函数满足:对于任意的，都有，则称函数具有性质. (1)判断函数是否具有性质；（直接写出结论） (2)已知函数具有性质，且在区间上有且仅有个零点.求出的取值范围； (3)设函数具有性质，且在区间上的值域为，函数，满足，且在区间上有且只有一个零点.求证：. 题型六、函数y=Asin(wx+φ)的图像 【例6】（24-25高一下·上海黄浦·期末）若函数满足：对于集合D内的任意，都存在，使得，则称函数在D上具有性质P．对于命题：①若函数在上具有性质P，则的取值范围是；②函数在上具有性质P，则的取值范围是或或．下列判断正确的是（   ）． A．①和②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①和②均为假命题 【变式1】（24-25高一下·上海金山·期末）已知，若对任意实数均有，则满足条件的有序实数对的个数为___________. 【变式2】（24-25高一下·上海·期末）著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如. 的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基音，其余的为泛音.研究表明，所有泛音的频率都是基音频率的整数倍，称为基音的谐波.若对应于的泛音是对应于的基音的一个谐波，则正整数n的所有可能取值之和为_________ 【变式3】（24-25高一下·上海·期末）已知函数在上单调递增,且其图像关于点对称,则___________． 【变式4】（24-25高一下·上海浦东新·期末）函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式，并求出的单调减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围． 题型七、正切函数的性质 【例7】（24-25高一下·上海·期末）已知函数，若，则________． 【变式1】（24-25高一下·上海宝山·期末）在区间上，函数与图象的公共点个数为_______． 【变式2】（24-25高一下·上海黄浦·期末）满足的角的集合为______． 【变式3】（24-25高一下·上海宝山·期末）函数的最小正周期是_____. 【变式4】（22-23高一下·上海虹口·期末）已知函数，其中. (1)若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心； (2)若在闭区间上是严格增函数，求正实数的取值范围. 题型一、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【例1】（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·上海·期中）设函数，若对于任意，都存在，使得，则的最小值为______. 【变式2】（24-25高一下·上海杨浦·期末）已知，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为_________． 【变式3】（22-23高一下·上海闵行·期中）已知函数 (1)当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值； (2)若为偶函数，设，若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围； (3)若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 题型二、求图象变化前（后）的解析式 【例2】（24-25高一下·上海嘉定·期末）在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的解析式可以为 C．函数在上的值域为 D．若把图象上所有的点向右平移个单位，则所得函数是 【变式1】（24-25高一下·上海·期末）把函数的图象向右平移个单位得到曲线，再把曲线上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到曲线，则曲线相应的函数解析式可以是（   ）. A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知函数（），有下列结论：①若，则在上单调递增；②若，则正整数ω的最小值为2；③若，函数的图像向右平移个单位长度得到的图像.则为奇函数；④若在上有且仅有个零点，则.其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一下·上海静安·期末）已知函数 (1)求函数的周期； (2)求函数的最小值及取得最小值时的所有取值； (3)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若存在，使得等式成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $