专题02 第6章 常用三角公式（4考点清单，知识导图+7个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020必修第二册）

清单02 第6章 常用三角公式 （4个考点梳理+7题型解读+提升训练） 清单01 两角和与差公式 知识点01：两角和与差的余弦公式 两角和与差的余弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 知识点02：两角和与差的正弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 知识点03：两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,，，，. ③变形结论： 清单02 二倍角公式 知识点01：二倍角的正弦、余弦正切公式 ① ②；； ③ 清单03 降幂公式 ① ② 清单04 辅助角公式 (其中) 【考点题型一】两角和与差的余弦公式及其应用（） 【例1】（24-25高一下·上海普陀·期中）已知，若，，则 ． 【变式1-1】.（24-25高一下·上海普陀·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】.（24-25高一上·上海·课后作业） . 【变式1-3】.（23-24高一下·上海·假期作业）计算： . 【变式1-4】.（24-25高一下·上海·期中）（1）已知 ，求的值； （2）已知.求的值. 【考点题型二】两角和与差的正弦公式及其应用（） 【例2】（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，是第二象限角，求的值． 【变式2-1】.（22-23高一下·上海黄浦·阶段练习）已知，是第三象限角，则 . 【变式2-2】.（24-25高一下·上海普陀·期中）已知锐角，满足及，则 . 【变式2-3】.（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知，则 ． 【变式2-4】.（24-25高一上·上海·课前预习） . 【考点题型三】两角和与差的正切公式及其应用（） 【例3】（24-25高一上·上海·课堂例题）化简下列各式： (1)； (2). 【变式3-1】.（24-25高三上·上海·期中）已知，，则的值为 . 【变式3-2】.（24-25高一下·上海·期中）若方程的两根为与，则 . 【变式3-3】.（2025·上海徐汇·二模）已知，则的值为 . 【变式3-4】.（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)． 【考点题型四】二倍角公式的应用（） 【例4】（24-25高一下·上海浦东新·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边恰好与单位圆O相交于点. (1)求，的值； (2)求，的值. 【变式4-1】.（24-25高三上·上海·期中）已知角为第二象限角，且，则 ． 【变式4-2】.（2025·上海嘉定·二模）已知，若，则 ． 【变式4-3】.（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为，则 ． 【变式4-4】.（24-25高一上·上海·期末）如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴的正半轴重合，终边交单位圆于点，且，将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点，设 、 ，分别过、作轴的垂线，垂足依次为、，记的面积为，的面积为.    (1)若，求点的坐标; (2)若，求的值. 【考点题型五】辅助角公式的应用（） 【例5】（24-25高一下·上海·期中）已知函数在时取得最大值，则 . 【变式5-1】.（23-24高一下·上海·阶段练习）若，则 . 【变式5-2】.（24-25高一下·上海浦东新·期中）代数式可化为的形式，则的值为 . 【考点题型六】三角恒等变化化简求值（） 【例6】（24-25高一·上海·随堂练习）如图，在平面直角坐标系中，角的终边分别与单位圆交于两点，两点的纵坐标分别为，． (1)求的值； (2)求的值． 【变式6-1】.（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，，求的值. 【变式6-2】.（23-24高一下·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 【变式6-3】.（24-25高三上·上海·期中）已知函数 ． (1)若是三角形中一内角，且 ，求的值； (2)若，且，求的值． 【变式6-4】.（24-25高一上·上海·期末）（1）化简； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 【考点题型七】拼凑角求角或求值（） 【例7】（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知 (1)求的值； (2)若，求锐角的值. 【变式7-1】.（24-25高一下·山东烟台·阶段练习）已知，均为锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】.（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】.（2025高三·全国·专题练习）已知，若，则 ． 【变式7-4】.（2024高一上·全国·专题练习）已知为锐角，且，则角等于 . 提升训练 一、填空题 1．（24-25高一下·上海·期中）已知，则 . 2．（24-25高一下·上海长宁·期中）已知，且，，则 ． 3．（24-25高一下·上海·阶段练习）若，，则 ． 4．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知运算：，若，则 ． 5．（24-25高一下·上海青浦·阶段练习）已知锐角满足，则 . 6．（24-25高一下·上海·开学考试）设为第四象限的角，若，则 . 7．（24-25高一下·上海·阶段练习）设为锐角，若，则 . 8．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知为锐角,若，则 . 9．（24-25高三下·安徽·阶段练习）已知，则 . 10．（24-25高一·上海·随堂练习）已知正实数a，b满足，则 ． 二、单选题 11．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，化简的结果为（   ）. A． B． C． D． 12．（24-25高一·上海·随堂练习）若，，即（    ）． A．2 B． C． D． 13．（24-25高一下·上海·阶段练习）若且，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 14．（23-24高一下·上海·假期作业）已知，且则， ， 的值分别为（　　） A．，，2 B．，，2 C．，，2 D．，， 三、解答题 15．（24-25高一下·上海·期中）已知 . (1)求 的值; (2)求 的值. 16．（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）已知，且． (1)求，的值； (2)已知，且，求的值． 17．（24-25高一下·上海·期中）已知锐角满足，. (1)求的值； (2)求的大小. 18．（24-25高二上·上海·开学考试）已知且. (1)求的值； (2)求的大小. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 第6章 常用三角公式 （4个考点梳理+7题型解读+提升训练） 清单01 两角和与差公式 知识点01：两角和与差的余弦公式 两角和与差的余弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 知识点02：两角和与差的正弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 知识点03：两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,，，，. ③变形结论： 清单02 二倍角公式 知识点01：二倍角的正弦、余弦正切公式 ① ②；； ③ 清单03 降幂公式 ① ② 清单04 辅助角公式 (其中) 【考点题型一】两角和与差的余弦公式及其应用（） 【例1】（24-25高一下·上海普陀·期中）已知，若，，则 ． 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】先根据同角三角函数关系,再利用两角差的余弦公式即可得解. 【详解】由，， 则， 故， 由，所以 故答案为： 【变式1-1】.（24-25高一下·上海普陀·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】把已知等式两边平方相加可求得的值. 【详解】由，可得①， 由，可得②， ①+②得，， 所以，所以. 故选：B. 【变式1-2】.（24-25高一上·上海·课后作业） . 【答案】0 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、诱导公式一 【分析】运用诱导公式，结合和角公式逆用即可. 【详解】 . 故答案为：0. 【变式1-3】.（23-24高一下·上海·假期作业）计算： . 【答案】/ 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】由两角和的余弦公式即可得. 【详解】. 故答案为：. 【变式1-4】.（24-25高一下·上海·期中）（1）已知 ，求的值； （2）已知.求的值. 【答案】（1）；（2） 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、用和、差角的余弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦、正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）利用诱导公式进行化简，再利用条件，即可求解； （2）根据条件，利用平方关系，求出，再利用余弦的差角公式，即可求解. 【详解】（1）因为， 又，所以. （2）因为， 所以，， 则. 【考点题型二】两角和与差的正弦公式及其应用（） 【例2】（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，是第二象限角，求的值． 【答案】 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】先利用同角三角函数间的关系可以求得，，再根据两角和的正弦公式求解即可. 【详解】因为，所以 又因为，所以， 因为是第二象限角，所以，. 所以. 【变式2-1】.（22-23高一下·上海黄浦·阶段练习）已知，是第三象限角，则 . 【答案】 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】先利用两角和的正弦公式将条件变形得到，根据角所在象限可得，再利用两角差的正弦公式将展开计算即可. 【详解】由已知， ，又是第三象限角， ， . 故答案为：. 【变式2-2】.（24-25高一下·上海普陀·期中）已知锐角，满足及，则 . 【答案】 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】结合角的范围根据同角关系求，，再根据两角差的正弦公式求. 【详解】由已知，， 所以， 因为，， 所以，， 所以. 故答案为：. 【变式2-3】.（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知，则 ． 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由，结合两角差的正弦公式可得答案； 【详解】因则. 又，则， . 则 ； 故答案为：. 【变式2-4】.（24-25高一上·上海·课前预习） . 【答案】/ 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】利用两角差的正弦公式求解即可. 【详解】 . 故答案为：. 【考点题型三】两角和与差的正切公式及其应用（） 【例3】（24-25高一上·上海·课堂例题）化简下列各式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）由两角和的正切公式及其逆用公式计算即可； （2）由两角和的正切公式计算即可. 【详解】（1） . （2） . 【变式3-1】.（24-25高三上·上海·期中）已知，，则的值为 . 【答案】3 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切 【分析】根据正弦以及角的范围，先求出余弦，得到正切，再根据两角和的正切公式，即可求出结果. 【详解】因为，，所以，则， 所以. 故答案为：3 【变式3-2】.（24-25高一下·上海·期中）若方程的两根为与，则 . 【答案】/ 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】应用根与系数关系及和角正切公式求值即可. 【详解】由题设，，， 所以. 故答案为： 【变式3-3】.（2025·上海徐汇·二模）已知，则的值为 . 【答案】 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正切公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】先根据同角三角函数关系得出，再根据两角差正切公式计算求解. 【详解】， 所以， 则. 故答案为：7. 【变式3-4】.（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）利用两角差的正弦公式可求值； （2）逆用两角和的正切公式可求值． 【详解】（1） （2） ． 【考点题型四】二倍角公式的应用（） 【例4】（24-25高一下·上海浦东新·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边恰好与单位圆O相交于点. (1)求，的值； (2)求，的值. 【答案】(1)， (2)， 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式 【分析】（1）根据题意，由单位圆中三角函数的定义即可得到结果； （2）根据题意，由二倍角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由单位圆中三角函数的定义可得，. （2）由二倍角公式可得， . 【变式4-1】.（24-25高三上·上海·期中）已知角为第二象限角，且，则 ． 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、二倍角的正切公式、已知弦（切）求切（弦） 【分析】先利用诱导公式求出，再利用三角函数同角关系求出的值，然后利用正切的二倍角公式可求得结果 【详解】因为， 因为是第二象限角， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 【变式4-2】.（2025·上海嘉定·二模）已知，若，则 ． 【答案】/0.4 【知识点】二倍角的正弦公式、已知弦（切）求切（弦） 【分析】根据已知，应用商数关系及平方关系可得，再应用二倍角正弦公式求函数值. 【详解】由， 所以，则. 故答案为： 【变式4-3】.（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为，则 ． 【答案】/-0.5 【知识点】利用定义求某角的三角函数值、二倍角的余弦公式 【分析】根据三角函数的定义及二倍角公式即可求解. 【详解】角终边与单位圆的交点为， 所以，所以. 故答案为：. 【变式4-4】.（24-25高一上·上海·期末）如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴的正半轴重合，终边交单位圆于点，且，将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点，设 、 ，分别过、作轴的垂线，垂足依次为、，记的面积为，的面积为.    (1)若，求点的坐标; (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数、用和、差角的正弦公式化简、求值、已知弦（切）求切（弦）、二倍角的正弦公式 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求出、，则，，利用两角和的正余弦公式计算可得； （2）根据三角函数的定义表示出，，，，即可表示出、，再由二倍角公式及两角和的正弦公式求出，即可得解. 【详解】（1）因为且，即， 解得（负值已舍去）， 将角的终边按逆时针方向旋转交单位圆于点， 则 ， ， 所以 （2）由三角函数定义，得，，， 所以， 依题意得 ， 即 整理得，因为，所以，所以，即. 【考点题型五】辅助角公式的应用（） 【例5】（24-25高一下·上海·期中）已知函数在时取得最大值，则 . 【答案】 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、辅助角公式 【分析】由辅助角公式可得，再由正弦型函数的最值可得，最后由正切的和差角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】，其中， 当时，即时，函数取得最大值， 即， 则 . 故答案为： 【变式5-1】.（23-24高一下·上海·阶段练习）若，则 . 【答案】 【知识点】辅助角公式 【分析】利用辅助角公式，即可求解. 【详解】 则. 故答案为： 【变式5-2】.（24-25高一下·上海浦东新·期中）代数式可化为的形式，则的值为 . 【答案】 【知识点】辅助角公式 【分析】根据题意，由辅助角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由辅助角公式可得， 其中，则， 由可知，在第一象限，且， 所以. 故答案为： 【考点题型六】三角恒等变化化简求值（） 【例6】（24-25高一·上海·随堂练习）如图，在平面直角坐标系中，角的终边分别与单位圆交于两点，两点的纵坐标分别为，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、用和、差角的正弦公式化简、求值、已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据条件，利用三角函数的定义，即可求解； （2）根据条件，利用三角函数的定义，得，，，，再利用正弦的和角公式及诱导公式，即可求出结果. 【详解】（1）由题知，且是第二象限角，得， 所以． （2）由题知，且是第一象限角，得，又，， 所以， 所以． 【变式6-1】.（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，，求的值. 【答案】 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式、给值求值型问题 【分析】借助降幂公式与辅助角公式，同角三角函数的基本关系与二倍角公式计算即可得. 【详解】， 即，由，故， 故， 则. 【变式6-2】.（23-24高一下·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、由终边或终边上的点求三角函数值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】（1）根据二倍角的正弦公式即可； （2）求出，再利用两角差的余弦公式即可. 【详解】（1）因为点为角终边上一点，则， ， 则. （2）因为，所以. 因为，所以. 因为，所以， 所以 . 【变式6-3】.（24-25高三上·上海·期中）已知函数 ． (1)若是三角形中一内角，且 ，求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、已知三角函数值求角、sin2x的降幂公式及应用、辅助角公式 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数性质求出值. （2）由（1）的信息，利用同角公式及和角的正弦公式计算得解. 【详解】（1）依题意，，由， 得，而为三角形内角，即，则， 因此或，所以或. （2）由，且，得，即， 又，则， 所以 . 【变式6-4】.（24-25高一上·上海·期末）（1）化简； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1） ；（2）；（3） ． 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）用诱导公式代入化简即可. （2）将原式化为分式然后利用求值. （3）用两角差的正切公式直接计算即可. 【详解】（1）原式． （2）原式， 由，，原式分子分母同时除以得到. （3）． 【考点题型七】拼凑角求角或求值（） 【例7】（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知 (1)求的值； (2)若，求锐角的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】给值求值型问题、用和、差角的正弦公式化简、求值、正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）先求出，再利用齐次式弦化切，最后代入化简即可； （2）根据同角三角函数关系求出，以及，再利用两角差的正弦公式即可求得答案． 【详解】（1）因为，所以 则 （2）因为，为锐角，所以， 由可得，， 因为， 所以， 所以 ． 因为为锐角，所以 【变式7-1】.（24-25高一下·山东烟台·阶段练习）已知，均为锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】给值求值型问题、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】利用同角三角函数的基本关系以及配凑法即可求解. 【详解】因为， 又因为，均为锐角，则，所以，， 所以， 故选：C 【变式7-2】.（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】给值求值型问题、用和、差角的余弦公式化简、求值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】由所给角的象限结合同角三角函数基本关系可得，，再利用两角和的余弦公式计算即可得解. 【详解】由，，则，， 故， ， 故 . 故选：C. 【变式7-3】.（2025高三·全国·专题练习）已知，若，则 ． 【答案】 【知识点】给值求值型问题 【分析】由，即可求解； 【详解】若，则， 且，则， ， 可得 ， 所以. 故答案为： 【变式7-4】.（2024高一上·全国·专题练习）已知为锐角，且，则角等于 . 【答案】/ 【知识点】给值求角型问题、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据已知角与未知角之间的关系，先用已知角表示出的正切值，从而再求出的正切值． 【详解】， ． 又因为是锐角，所以． 故答案为：． 提升训练 一、填空题 1．（24-25高一下·上海·期中）已知，则 . 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据正弦的和差角公式即可求解. 【详解】，，， , 由于，所以. 故答案为： 2．（24-25高一下·上海长宁·期中）已知，且，，则 ． 【答案】 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】先由同角三角函数关系求得，再通过“配角”利用两角和的余弦公式求解即得. 【详解】∵，，∴ 又∵，， ∴，， ∴ . 故答案为：. 3．（24-25高一下·上海·阶段练习）若，，则 ． 【答案】 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、二倍角的正弦公式 【分析】根据同角的平方关系及二倍角公式可先求出，根据角的范围确定符号即可求解. 【详解】， . ，，，. 故答案为：. 4．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知运算：，若，则 ． 【答案】 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由已知定义结合两角和正弦公式即可计算. 【详解】. 故答案为：1. 5．（24-25高一下·上海青浦·阶段练习）已知锐角满足，则 . 【答案】 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】应用和角正切公式求值即可. 【详解】由. 故答案为： 6．（24-25高一下·上海·开学考试）设为第四象限的角，若，则 . 【答案】/ 【知识点】三角恒等变换的化简问题 【分析】将化为的过程，利用两角和差的三角公式以及倍角公式化简即可. 【详解】因 ， 则，解得， 又为第四象限的角，则，， . 故答案为：. 7．（24-25高一下·上海·阶段练习）设为锐角，若，则 . 【答案】 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】由同角三角函数的平方关系可得，再由，代入计算，即可得到结果. 【详解】由为锐角可得， 又，则， 所以 . 故答案为： 8．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知为锐角,若，则 . 【答案】 【知识点】给值求值型问题、用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】首先求出，再根据两角差的正（余）弦公式求出、，即可得解. 【详解】因为为锐角，所以，又， 所以， 所以 ， ， 所以. 故答案为： 9．（24-25高三下·安徽·阶段练习）已知，则 . 【答案】 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、诱导公式五、六、二倍角的余弦公式 【分析】利用正弦函数的和角公式以及辅助角公式，整理化简等式，再利用诱导公式以及余弦的二倍角公式，可得答案. 【详解】因为，即， 所以. 故答案为： 10．（24-25高一·上海·随堂练习）已知正实数a，b满足，则 ． 【答案】 【知识点】特殊角的三角函数值、正、余弦齐次式的计算、逆用和、差角的正切公式化简、求值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】变形得到，设，根据正切和角公式得到，），故，得到答案. 【详解】原式可变形为：， 令，则有， 由此可， 所以，（）， 故， 即． 故答案为： 二、单选题 11．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，化简的结果为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二倍角的余弦公式、辅助角公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】利用二倍角角公式和辅助角公式即可求解. 【详解】由， ， 故选：B. 12．（24-25高一·上海·随堂练习）若，，即（    ）． A．2 B． C． D． 【答案】B 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据三角恒等变换的知识化简已知条件，结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】由，得， 展开并整理得  ①， 由，得， 展开并整理得  ②， 由①②得. 故选：B 13．（24-25高一下·上海·阶段练习）若且，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限、半角公式 【分析】 利用半角公式和化简等式，再利用三角函数值的正负即可得到的取值范围. 【详解】 由半角公式和化简得 ，且， 得，所以. 故选：C. 14．（23-24高一下·上海·假期作业）已知，且则， ， 的值分别为（　　） A．，，2 B．，，2 C．，，2 D．，， 【答案】B 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】利用象限角的范围结合倍角公式求解即可. 【详解】因为，，所以， ， 由，得， 又，所以， 所以. 故选：B 三、解答题 15．（24-25高一下·上海·期中）已知 . (1)求 的值; (2)求 的值. 【答案】(1)3 (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、给值求值型问题、正、余弦齐次式的计算、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】（1）由正切函数的和差角公式可得的值，然后将原式化为齐次式，代入计算，即可得到结果； （2）由代入计算，即可得到结果. 【详解】（1） （2）因为 ， ，所以 ， 又 ， 所以 ，又 16．（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）已知，且． (1)求，的值； (2)已知，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、给值求值型问题、已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦） 【分析】（1）根据三角函数的平方关系和商的关系进行求解； （2）由及的范围求出的值，将凑成，即可根据两角差的余弦公式展开求解. 【详解】（1）因为，所以， 则. （2）因为，，所以， 又因为， 所以，则， . 17．（24-25高一下·上海·期中）已知锐角满足，. (1)求的值； (2)求的大小. 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值、给值求角型问题 【分析】（1）由题意求出，再运用两角差的正弦公式求解即可； （2）由均为锐角，先求出的取值范围；再利用两角和的余弦公式求出，进而解出的值即可. 【详解】（1）∵是锐角，，∴， 所以 （2）∵是锐角，，∴， ∵，∴ 而. 所以. 18．（24-25高二上·上海·开学考试）已知且. (1)求的值； (2)求的大小. 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、给值求值型问题 【分析】（1）将化为求解； （2）将化为求解. 【详解】（1）； （2）， 又，所以. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$