河北承德市双滦区实验中学2025--2026学年第二学期高二数学双休自主学习测试卷（11）

**基本信息** 河北承德双滦区实验中学高二数学周测试卷，涵盖概率、导数、二项式定理等核心知识，通过鸭蛋抽取、杨辉三角等情境设计，融合数学文化与实际应用，注重基础巩固与逻辑推理能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|概率、导数几何意义、事件关系|第3题结合骰子事件考查独立性，体现数学眼光| |多选题|3/18|函数极值、二项式定理、杨辉三角|第11题以杨辉三角为背景，考查数学文化与推理| |填空题|3/15|函数最值、抽样概率、单峰函数|第13题对比有放回与无放回抽样，强化应用意识| |解答题|5/77|条件概率、导数应用、二项式定理|第15题鸭蛋抽取情境考查条件概率，第19题导数零点证明体现逻辑思维|

河北承德市双滦区实验中学 2025-2026学年第二学期高二数学双休自主学习测试卷（11） 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1.某高三班级有校级优秀毕业生8人，其中男生6人、女生2人，从这8人中随机选取2人作为班级代表发言．若选取的第一位是女生，则第二位是男生的概率为（ ） A. B. C. D. 2.已知直线与曲线在处的切线垂直，则（） A. B. C. D.10 3.骰子是六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个圆点且质地均匀的小正方体，常被用来做等可能性试验．掷一颗骰子一次，用A，B，C，D分别表示事件“结果是偶数”“结果不小于3”“结果不大于2”与“结果为奇数”，则下列结论错误的是（ ） A. 事件A与B相互独立 B. 事件B与C互为对立事件 C. D. 4.已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5.若的展开式中倒数第3项的系数为45，则含x3的项的系数为(　　) A.10    B.100 C.210    D.720 6.如图是某函数的部分图象，则该函数最有可能的解析式是（） A. B. C. D. 7.已知，则（ ） A. B. C. D. 8.已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9.已知函数的图象在x＝1处的切线的斜率为-3，则（ ） A. B.在处取得极大值 C.当时，有最小值 D.的极大值为 10.的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共7项 B. x项系数为－280 C. 所有项的系数之和为1 D. 所有项的二项式系数之和为128 11.杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和.那么下列说法中正确的是（ ） A.第行的第个位置的数是 B.若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组织一个新的数列，则数列是两项奇数和两项偶数交替呈现的数列 C. 70在杨辉三角中共出现了3次 D. 210在杨辉三角中共出现了6次 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12.已知函数，，则的最小值为                  . 13.一个袋子中有3个红球，2个白球，若采用不放回的方式从中依次随机取出3个小球，则取出的球中恰好有2个红球的概率为                   ；若改为有放回的方式取出三次小球（记录下颜色后放回袋中），则恰好有两次取到红球的概率为                   . 14.设，是函数定义域的一个子集，若存在，使得在，上单调递增，在，上单调递减，则称为，上的单峰函数，为峰点．若为，上的单峰函数，则实数的取值范围为                  ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.本小题分坛子里放着5个相同大小、相同形状的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的.如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求： (1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率； (2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率； (3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率. 16.本小题分已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性． 17.本小题分设，，已知 (1)求实数的值； (2)求的值； (3)求的值. 18.本小题分函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围. 19.本小题分已知函数． （1）讨论的单调性； （2）记的零点为，，且，证明：． 参考答案： 1.某高三班级有校级优秀毕业生8人，其中男生6人、女生2人，从这8人中随机选取2人作为班级代表发言．若选取的第一位是女生，则第二位是男生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由条件概率定义, 所求概率为第一位是女生且第二位是男生的情况数与第一位是女生的情况数的比值． 第一位是女生的情况数为; 第一位是女生且第二位是男生的情况数为; 故所求概率为． 故选:D. 2.已知直线与曲线在处的切线垂直，则（） A. B. C. D.10 【答案】A 【解析】. . 曲线处切线的斜率. 直线的斜率为. 由两直线垂直斜率乘积为，得. 解得. 故选：A. 3.骰子是六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个圆点且质地均匀的小正方体，常被用来做等可能性试验．掷一颗骰子一次，用A，B，C，D分别表示事件“结果是偶数”“结果不小于3”“结果不大于2”与“结果为奇数”，则下列结论错误的是（ ） A. 事件A与B相互独立 B. 事件B与C互为对立事件 C. D. 【答案】D 【解析】已知，，，. A选项：，，，事件与相互独立，A正确. B选项：事件“结果不小于”与“结果不大于”互斥且必有一个发生， 二者互为对立事件，B正确. C选项：，， ，C正确. D选项：与不互斥，，D错误. 故选：D. 4.已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为函数在内单调递增， 所以其导函数在恒成立. 即在恒成立，而在上的最大值小于. 所以. 答案选D. 5.若的展开式中倒数第3项的系数为45，则含x3的项的系数为(　　) A.10    B.100 C.210    D.720 【答案】C 【解析】的展开式的通项为Tk＋1＝C·＝Cx(其中0≤k≤n且k∈N)，所以倒数第3项的系数为C，故C＝45，即C＝45，所以＝45，解得n＝10或n＝－9(舍去)，则的展开式的通项为Tk＋1＝Cx(其中0≤k≤10且k∈N)，令＝3，解得k＝4，所以T5＝Cx3＝210x3，即展开式中含x3的项的系数为210.故选C. 6.如图是某函数的部分图象，则该函数最有可能的解析式是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选项A： 函数，其定义域是. 但从图象看，函数在处有定义，所以A选项不符合图象，排除A. 选项B： 已知函数，求导得. 因为取值范围是，所以恒成立，则在上单调递增. 而图象不是单调递增的，所以B选项不符合，排除B. 选项C： 当时，，，那么. 当时，，，，与图象不符，排除C. 综上，正确答案是D. 答案为D. 7.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】对两边求导， 得. 令，得. 故答案选C. 8.已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设，. 当时，，单调递增; 当时，，单调递减. ，，， 又，且， 故， 即. 故选：A. 9.已知函数的图象在x＝1处的切线的斜率为-3，则（ ） A. B.在处取得极大值 C.当时，有最小值 D.的极大值为 【答案】ACD 【解析】由得, 由得, 故,A正确; , 当时,; 当时,; 当时,, 故在处取得极大值,,B错误,D正确; 由在上单调递减，在上单调递增, 故在上有最小值,C正确; 故选:ACD. 10.的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共7项 B. x项系数为－280 C. 所有项的系数之和为1 D. 所有项的二项式系数之和为128 【答案】BD 【解析】A选项：根据二项式展开式的项数公式，展开式共项，A错误. B选项：展开式通项为，令，解得，则项系数为，B正确. C选项：令，得，即所有项的系数之和为，C错误. D选项：所有项的二项式系数之和为，D正确. 故答案为：BD. 11.杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和.那么下列说法中正确的是（ ） A.第行的第个位置的数是 B.若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组织一个新的数列，则数列是两项奇数和两项偶数交替呈现的数列 C. 70在杨辉三角中共出现了3次 D. 210在杨辉三角中共出现了6次 【答案】BCD 【解析】对于A选项：第行的第个位置的数应为，故A错误； 对于B选项：由，， 可知数列奇数项与前一项奇偶性相反， 偶数项与前一项奇偶性相同，又为奇数， 所以为奇数，为偶数，为偶数，为奇数，是奇数项且为奇数， 与情况一致，从而奇偶性产生循环，B正确； 由于，不妨设， 令，当时，，； 当时，，无正整数解； 当时，，时， 时，且递增，无解； 当时，，时， 因是第9行最中间的数， 杨辉三角中以该数为顶点的下方三角形区域中的数都大于70， 所以时，，70共出现3次，C正确； 类似地，，，， 以、为顶点的下方三角形区域中的数都大于210，D正确. 故选：BCD. 12.已知函数，，则的最小值为                  . 【答案】 【解析】对求导，得，. 令，即，结合，解得； 令，即，解得. 所以在单调递减，在单调递增， 则. 13.一个袋子中有3个红球，2个白球，若采用不放回的方式从中依次随机取出3个小球，则取出的球中恰好有2个红球的概率为                   ；若改为有放回的方式取出三次小球（记录下颜色后放回袋中），则恰好有两次取到红球的概率为                   . 【答案】； 【解析】对于不放回抽样，求取出的3个球中恰好有2个红球的概率： 袋子中有3个红球，2个白球，共5个球. 从3个红球中选2个的组合数为，从2个白球中选1个的组合数为， 总的基本事件数是从5个球中选3个的排列数， 选出的2个红球和1个白球的排列数为. 因此概率， 计算得，，，，所以. 对于有放回抽样，求恰好有两次取到红球的概率： 每次取到红球的概率为，取到白球的概率为. 恰好有两次取到红球的情况有种，所以概率，计算得，， 因此. 14.设，是函数定义域的一个子集，若存在，使得在，上单调递增，在，上单调递减，则称为，上的单峰函数，为峰点．若为，上的单峰函数，则实数的取值范围为                  ． 【答案】 【解析】由得：， 令， ，则 当时，当时， 故在单调递减，在单调递增.所以当时，取最小值，且最小值为 ， 最小值为0. 若 ,则 ，此时，在单调递减，在单调递增.不符合单峰函数的定义. 当，则 ，此时存在 ，使得 ，当时，， 则，此时单调递增，当时，，则，此时单调递减，故满足单峰函数的定义，其中是单峰区间，是峰点. 故答案为： 15.坛子里放着5个相同大小、相同形状的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的.如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求： (1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率； (2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率； (3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率. 【答案】解 设A＝“第1次拿出绿皮鸭蛋”，B＝“第2次拿出绿皮鸭蛋”， 则“第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋”为事件AB. (1)从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个鸭蛋的样本点数为n(Ω)＝A＝20， 又n(A)＝A×A＝12， 于是P(A)＝＝＝. (2)因为n(AB)＝A＝6， 所以P(AB)＝＝＝. (3)由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P(B|A)＝＝＝. 16.已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性． 【答案】解：（1）当时,, ． 由,, 故切线方程为, 即． （2）的定义域为,． 当时，由得或; 由得, 故的单调递增区间为,,单调递减区间为． 当时,恒成立, 故的单调递增区间为． 当时，由得或; 由得, 故的单调递增区间为,,单调递减区间为． 【解析】 17.设，，已知 (1)求实数的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】解：(1)由二项式展开通项得,, 故,得,即; (2)由得,令,得; 令,得,故; (3)令,得. 18.函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围. 【答案】解：（1）的定义域为，. 因为，，所以. 令，得. 当时，； 当时，. 所以的减区间为，增区间为. （2）因为且的图象与轴没有公共点， 所以恒成立. 由（1）知在处取得最小值. 令，即，解得. 所以的取值范围是. 19.已知函数． （1）讨论的单调性； （2）记的零点为，，且，证明：． 【答案】（1）解：函数的定义域为，对求导得. 当时：因为， 所以恒成立，即恒成立. 所以在上单调递增. 当时：令，即，两边取自然对数得； 令，即，两边取自然对数得. 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）证明：不妨设，且. 已知，由(1)可知在上单调递减，在上单调递增. 因为， 所以. 要证，即证. 因为在单调递增， 所以只需证，也就是证. 由于， 则. 因为， 所以， 又，， 所以. 因为在上单调递减，且， 所以，那么. 又因为在上单调递增，且，，， 所以. 因为，且在单调递增， 所以恒成立. 即， 所以. 第7页 共14页 学科网（北京）股份有限公司 $