重难点02 导数六大考点重难突破（期末真题汇编）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦高二导数六大核心考点（切线综合、单调性、极值最值、恒成立、零点、极值点偏移），汇编全国多地区期末真题，注重问题分层与综合应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|占比约60%|切线综合（如公切线方程）、极值点偏移证明（如零点关系论证）|非选择题多为跨考点综合题，如结合切线与恒成立求参数范围，贴合高考命题趋势| |选择填空题|占比约40%|单调性判断（导数图像分析）、零点个数讨论|多选题考查多维度辨析，填空题注重临界值计算，体现基础巩固与能力提升梯度|

重难点02 导数六大考点重难突破 6大高频考点概览 考点01有关切线综合问题 考点02利用导数研究单调性 考点03利用导数研究极值与最值 考点04 利用导数研究能（恒）成立问题 考点05 利用导数研究函数的零点 考点06 导数中的极值点偏移 ( 地 城 考点01 有关切线综合问题 ) 1．(24-25高二下·山西太原·期末)已知函数，其中． (1)讨论函数在上的极值点的个数． (2)若函数． （i）设点和点是曲线上任意两点（不重合），曲线在这两点处的切线能否重合?若能，求出该切线方程；若不能，说明理由． （ii）当时，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)当时，无极值点，当时，有一个极值点 (2)（i）不能重合，理由见详解 （ii）1 【分析】（1）求导，分及讨论即可求解； （2）（i）根据导数的几何意义得到在点和在点的两条切线方程，利用重合建立方程组，消元化解得，换元构造函数，根据导数判断零点的存在性即可求解； （ii）令，不等式可化为，利用特值法（）初步确定参数范围，然后证明时，恒成立即可. 【详解】（1）的定义域为，， 当，，在单调递增，无极值点， 当时，， 时，，单调递增，时，，单调递减， 所以，此时有一个极值点， 综上，当时，无极值点，当时，有一个极值点. （2）（i）不能重合，理由如下： ，， 不妨设，所以在点的切线方程为， 即， 同理可得在点的切线方程为 ，又两切线重合， 所以，即， 即， 令，则， ， 所以在上单调递增，则，即无解， 所以曲线在这两点处的切线不能重合. （ii），，令，， 即， 即在恒成立， 令， 又，解得， 当时，， 令， ，令， ，所以在单调递增， 又，所以时，，单调递减， 时，，单调递增，所以， 即， 综上，，的最小值为1. 2．(24-25高二下·福建泉州安溪一中、惠安一中、养正中学、泉州实验中·期末)已知函数，其中． (1)若函数有处取得极大值0，求的值； (2)函数． （i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合； （ii）当时，若，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ii） 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数与函数极值之间的俄关系，即可求解； （2）设点和点，由导数的几何意义写出这两点处的切线方程，假设切线重合，经运算可推出矛盾，即可证明结论； （3）对于恒成立时，求出．令，继而证明当时，在上恒成立，即可确定，使得成立时a的取值范围. 【详解】（1），得， 由题设知，解得， 此时 当时，为增函数； 当时，为减函数； 所以函数在处取得极大值，满足题意， 故． （2）（i）函数． 由，得， 设点和点，不妨设， 则曲线在点处的切线方程为， 即； 同理曲线在点处的切线方程为； 假设与重合，则， 化简得， 两式消去，得，则， 令，， 由，所以在上单调递增， 所以，即无解，所以与不重合， 即对于曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合． （ⅱ）当时，先解决对于恒成立， 令，则在上恒成立， 由，解得． 下面证明当时，在上恒成立． 则当时，， 令，则， 则当时，由， 则，则在上单调递增，所以； 当时，令， 则，则在上单调递增， 所以，所以在上单调递减， 所以成立， 所以对于，不等式恒成立， 实数的取值范围为． 所以，使得成立，的取值范围为． 3．(24-25高二下·湖南衡阳·期末)已知圆C：与曲线的公切线为直线（），则圆C的半径为______，______． 【答案】 1 【分析】根据圆的一般方程的二次项系数的特点求出，设出直线和的切点，根据导数的几何意义和点到直线的距离列方程求解 【详解】由圆C的方程，得，即，所以圆C：的半径为， 则点到直线的距离，得． 和相切，设切点为， ．由，得，得， 因为，所以． 设，则，当时，，当时，， 则在上递减，在上递增， 所以，所以． 故答案为： 4．(24-25高二下·甘肃张掖·期末)（多选）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用导数求出两条曲线的切线方程，再利用公共切线可解出切点，进而求得切线的方程. 【详解】设直线与曲线的切点坐标为，与曲线的切点坐标为，直线的方程为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程为， 直线为曲线与的公共切线，， 由①得，两边取自然对数，得，， 代入②，得，即，解得或， 当时，，，直线的方程为；当时，，，直线的方程为， 综上，直线的方程为或. 故选：AC. 5．(24-25高二下·河北保定高中·期末)已知函数，． (1)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求的值； (2)若有最小值，且的最小值大于的最小值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别计算，然后计算； （2）利用导数讨论的范围判断函数的单调性，得到，然后计算即可. 【详解】（1），，， 由题可知：，所以 （2）函数的定义域均为， 由（1）可知：， 当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增，没有最值； 当时，令，则；令令，则， 所以函数在单调递减，在单调递增，有最小值. 因为有最小值，所以， 所以， ， 则 6．(24-25高二下·广东深圳深圳外国语学校·期末)直线与函数和的图象都相切，则______． 【答案】 【分析】设直线与函数图象的切点为，设直线与函数图象的切点为，利用导数的几何意义可得出关于直线的两种形式，求出、的值，可得出、的值，即可得出结果. 【详解】设直线与函数图象的切点为， 又，所以，直线的方程可表示为， 即，故， 设直线与函数图象的切点为， 又，所以，直线的方程可表示为， 即，故， 所以，由可得， 所以，解得，故， 则，故. 故答案为：. 7．(24-25高二下·江西景德镇·期末)若曲线与曲线有公切线，则实数的最大值为______． 【答案】/ 【分析】根据导数的几何意义求出两曲线在切点的切线方程，可得，整理得，利用导数研究函数的单调性求出得出结果即可. 【详解】令，则，令，则， 设在曲线上的切点为，则切线斜率为， 在曲线上的切点为，切线斜率为， 所以切线方程分别为、， 即、， 有，整理得， 设，则， 令，令， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 则在上，如图， 由图可知，即k的最大值为. 故答案为： 8．(24-25高二下·四川成都蓉城联盟·期末)（多选）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，解决相关的问题，已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．若函数存在两个零点，且，则 C．若恒成立，则 D．当时，与存在两条公切线 【答案】ACD 【分析】对于当时，首先，再利用指对的切线放缩可得；对于B，根据函数的零点，结合图像分析可得，解不等式即可判断；对于C，由恒成立，可得与存在公共零点，然后可解的值；对于D，利用公切线的求解方式，建立方程组，然后判断解得个数即可. 【详解】选项A：当时，，当且仅当时取等号， 又，当且仅当时取等号，，故A正确； 选项B：存在两个零点且， 与的图象有两个交点， 结合图象可知，，即，故B错误； 选项C：恒成立， 又与在定义域内单调递增， 与存在公共零点， 且，故C正确； 选项D：设曲线的切点为，则切线斜率为， ∴切线方程为，即． 设曲线的切点为， ，∴切线斜率为，切线方程为， 即．由题意得，解得， 则，即， 设，则， 设，则， 则由得得， 则在上单调递减，在上单调递增， ，， 则由零点存在性定理可知，使得，即， 又因为当时，，则，则由得； 得，则在上单调递减，在上单调递增， 则， ， 则由零点存在性定理可知，在和上分别存在一个零点， 则方程存在两个根，和存在两条公切线，故D正确； 故选：ACD． 9．(24-25高二下·江苏盐城·期末)已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求出两条曲线的切线方程，再利用公共切线可解出切点，进而求得切线的方程. 【详解】设直线与曲线的切点坐标为，直线与曲线的切点坐标为， 直线方程为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， 直线为曲线与的公共切线， ①，②， 由①得，两边取对数得，，， 代入②中得，，即， 解得或， 当时，，，直线的方程为； 当时，，，直线的方程为； 根据选项可知直线的方程可以为. 故选：C. 10．(24-25高二下·上海崇明区·期末)已知，． (1)求曲线在处的切线； (2)设R，试根据的不同取值，讨论关于的方程解的个数； (3)与曲线均相切的直线是否存在？若存在，有几条？请说明理由． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)存在，有2条. 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）构造函数，利用导数探讨函数的性质，将问题转化为直线与函数图象的交点个数求解. （3）设出与曲线均相切的直线切点，再利用导数的几何意义建立方程，转化为函数零点个数求解. 【详解】（1）依题意，，求导得，则，而当时，， 所以所求切线方程为，即. （2）方程，令函数， 则关于的方程解的个数，即为直线与函数图象交点个数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，函数值集合为， 在上单调递减，函数值集合为，， 当时，直线与函数图象有2个交点，原方程有2个解； 当时，直线与函数图象有1个交点，原方程有1个解； 当时，直线与函数图象无交点，原方程有0个解. （3）假设直线与曲线、均相切，对应的切点分别为，， 而，，则，消去得， 令，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，， 因此函数在及各存在一个零点， 所以存在2条与曲线均相切的直线. ( 地 城 考点02 利用导数研究单调性 ) 11．(24-25高二下·四川广安加德学校·期末)设函数，，若存在、，使得，则的最小值为______________． 【答案】 【分析】由已知条件得出，分析可知函数在上单调递增，可得出，于是得出，构造函数，，利用导数求出函数的最大值，即可得出的最小值. 【详解】由题意可得，即，所以， 又因，所以在上单调递增， 则由，可得，则， 令，，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以当时，有极大值，即最大值，即，故， 所以． 12．(24-25高二下·广西百色·期末)已知函数． (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)减区间，增区间 (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）求出导函数，解不等式，即可. （2）结合（1）可知单调性，进而求最值. 【详解】（1），若，则，若，则， 所以的减区间为，增区间为. （2）由（1）可得，当时，单调递减，当，单调递增， 因为，，， 故当时，最大值为，最小值为. 13．(24-25高二下·福建漳州艺术实验学校·期末)设函数，为的导数． (1)讨论函数的最值； (2)若为整数，，且，不等式恒成立，求的最大值． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）先求出，再对进行分类讨论得出的单调性，得出的极值情况，进而求得最值的情况； （2）先将不等式转化为恒成立，再令，由求出的最小值，即可得出的最大值． 【详解】（1）由题意可得的定义域为， ， 当时，恒成立， 在上单调递减，无极值， 当时，令，即，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在处取得极大值，也是最大值， 且最大值为，无最小值． 综上所述， 当时，无最值， 当时，的最大值为，无最小值． （2）当时，，代入，得， 因为，所以，所以，即 令，则， 整理：所以 由（1）知，当时，在上单调递减， 故函数在上单调递增， 又因为，， 所以在上存在唯一零点，且， 故在上也存在唯一零点且为， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在上，， 且，代入，得： ， 因为，所以， 因为且为整数， 所以的最大值为2． 14．(24-25高二下·福建漳州艺术实验学校·期末)（多选）如图是导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ） A．在上是增函数； B．当时，取得极小值； C．在上是增函数、在上是减函数； D．当时，取得极小值． 【答案】BC 【分析】根据图象可得出在各个区间上的符号即可逐项分析求解. 【详解】由导函数的图象可得： 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 A：由表格可知：在区间上单调递减，故A不正确； B：是的极小值点，故B正确； C：在区间上是减函数，在区间上是增函数，故C正确； 时,，所以不是极小值，故D不正确． 综上可知：只有BC正确． 故选：BC． 15．(24-25高二下·福建华安县第一中学·期末)，且，不等式恒成立，则的取值范围为_______. 【答案】 【分析】设对原不等式进行变形得到，令函数，不等式等价为，即在上单调递减.再利用导数结合单调递减充要条件，得出，构造函数，，利用导数求出函数的最大值，即可得解. 【详解】设（且），原不等式可变形为： ，整理得，即”， 令函数，，则上述不等式等价于， 即在上单调递减； 又，则在上恒成立， 因（），故等价于. 令，，则， 因且时，故，即在上单调递增， 所以，所以，即的取值范围为. 故答案为：. 16．(24-25高二下·贵州黔西南布依族苗族兴义第一中学·期末)已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求a的取值范围； (3)证明：，. 【答案】(1)函数的递增区间为，递减区间为； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）直接利用函数的导数判断函数的单调区间； （2）将不等式转化为恒成立，进而再构造函数，故只需求出的最大值，即可得所求值的范围； （3）先证明不等式，再根据不等式进行放缩并累加求和即可证明不等式. 【详解】（1）因为函数，函数的定义域为，. 当时，，因为，所以，. 故函数在上单调递减，在上单调递增. 故函数的递增区间为，递减区间为. （2）由，即，得在上恒成立； 令，. 由得，即，所以当，. 所以在上单调递增，在单调递减，所以. 所以，故a的取值范围为 （3）先证明不等式，令，. 所以在单调递减，所以，即不等式成立. 令，即，所以. 所以，，，. 上述n个式子相加得 . 故，成立. 17．(24-25高二下·贵州黔西南布依族苗族兴义第一中学·期末)（多选）已知函数，其中，则下列正确的是（   ） A．若，则的单调减区间为 B．的极小值为，无极大值 C．当时，函数无零点 D．若方程有两个实数解，则 【答案】BCD 【分析】利用导数的正负来分析函数的单调性，从而可以确定是否有极值，然后利用最小值大于0来确定函数没有零点，对于选项D，则利用分离参变量，构造函数求导，研究单调性及取值规律，从而可确定参数范围. 【详解】当时，，则， 由，因为定义域， 所以的单调减区间为和，故A错误； 由，可得， 由于，则可解得， 所以在上单调递增，同上可得：在和上单调递减， 则的极小值为，无极大值，故B正确； 当时，，此时函数无零点， 当时，由上可得， 因为，所以，即， 则此时函数也无零点，故C正确； 由方程可得：， 令，则， 由，可得，由，可得， 则在时单调递减，在时单调递增， 又因为，当时，，当时，， 所以要使得方程有两个实数解，则只需要，故D正确； 故选：BCD. 18．(24-25高二下·北京中国人民大学附属中学·期末)奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，根据函数的奇偶性和导数情况得出该函数的单调性，再结合即可分析求解. 【详解】令, 则， 所以为奇函数，故. 因为当时，， 所以当时，， 故在上单调递增. 因为为奇函数，所以在上也单调递增. 又， 所以当时， 当时， 所以不等式的解集为. 故选：A. 19．(24-25高二下·广东湛江第二中学·期末)（多选）已知函数的定义域为，的导函数的图像大致如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A．在上单调递减 B．是的极小值点 C．是的极大值点 D．曲线在处的切线斜率为2 【答案】CD 【分析】根据导数的正负与函数单调性的关系，极值点的定义及导数的几何意义判断选项正误． 【详解】由导函数的图像可知，时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 则在上单调递增，故A错误， 不是的极小值点，故B错误， 是的极大值点，故C正确， 由导函数的图像可知， 所以曲线在处的切线斜率为2，故D正确． 故选：CD． 20．(24-25高二下·广东湛江第一中学·期末)已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)证明：若，则存在唯一的极小值，且. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数分和两种情况讨论导数正负得出函数的单调区间； （2）由题设，，并用导数研究的单调性和极值，即可证. 【详解】（1）因为，其中，. ①当时，恒成立，的增区间为，无减区间； ②当时，令，得， 由可得；由可得. 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述：当时，的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. （2）当时，，， 令，，则在上恒成立， ∴在上单调递增， 又∵，，则方程只有一解，设为， ∴存在唯一的，使得，即， 当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴， ∵，∴， ∴， 即. ( 地 城 考点0 3 利用导数研究极值与最值 ) 21．(24-25高二·福建厦门大学附属科技中学·期末)已知且，若集合，，且，则实数的取值范围是______. 【答案】或. 【分析】先构造函数，再应用导函数得出函数单调性及最值，再应用指对数转化计算求解. 【详解】依题意，，， 令，当时，函数在上单调递增， 而，，则，使得， 当时，，当时，， 此时，因此，， 当时，若，，则恒成立，，满足， 于是当时，，当且仅当，即不等式对成立， ，由得， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， ，于是得， 即，变形得，解得， 从而得当时，恒成立，，满足， 所以实数的取值范围是或. 故答案为：或. 22．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期末)已知函数的导函数为，且函数的图象经过点.若对任意一个负数，不等式恒成立，则整数的最小值为___________ 【答案】2 【分析】根据题意，设函数，代入点即可求出，进而求出函数的解析式.将问题转化为，，构造函数，，利用导数求出函数的最值，从而得出答案. 【详解】由函数的导函数为，所以设函数， 又函数的图象经过点，代入，得，解得， 所以， 因为对任意一个负数，不等式恒成立，即， 得，， 构造函数，，则， 令，则，令，解得， 所以当时，恒成立，即在上单调递减， 当时，恒成立，即在上单调递增， 且，，，， 所以存在使，且， 所以当时，恒成立， 在上单调递增， 当时，恒成立， 在上单调递减， 所以在时取得最大值，为， 由，得到， 代入得到，， 从而得函数， 由于且取整数，所以的最小值为 故答案为： 23．(24-25高二下·河南安阳滑县部分学校·期末)已知函数. (1)若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）由题意可进行分离参数，得在上恒成立，构造函数，利用导数求得其最值，即可求得答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以函数在点处的切线方程为，即， 因为在点处的切线与曲线也相切， 设切线与曲线的切点为， 所以，① 因为，所以，②， 联立①②解得； （2）因为，所以恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，由题意可知，故， 故的最小值为1. 24．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)（多选）已知，则（   ） A．当时，既有极大值，又有极小值 B．若在处取到极大值，则实数的取值范围为 C．时，在区间内取到最大值，则实数的取值范围为 D．不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值 【答案】ABD 【分析】先求导，按、、三种情况讨论的单调性，再逐一判断即可. 【详解】由题意得， 若，即时，得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减； 若，即时，得或；得， 在和上单调递增，在上单调递减； 若，即时，，则在上单调递增； A选项，当时，在处取极大值，在处取极小值，故A正确； B选项，若在处取到极大值，则，故B正确； C选项，当时，在和上单调递增，在上单调递减， 则在处取极大值，在处取极小值， 又，则， 又在区间内取到最大值，则且， 即，故C错误； D选项，若，则欲使在区间内既有最大值又有最小值， 则需，，， 即，， 当时，，故，故这样的不存在； 若，则欲使在区间内既有最大值又有最小值， 则需，，， 即，， 则，故，故这样的不存在； 若，则在区间内既无最大值又无最小值； 综上可知，不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值，故D正确. 故选：ABD 25．(24-25高二下·江西九江第一中学·期末)已知函数，若存在实数，使得成立，则实数t的最小值是（    ） A． B．2π C．-1 D．1 【答案】A 【分析】利用导数求出函数在时的最小值，结合题意即可求得答案. 【详解】由，得， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 故当时，， 而存在实数，使得成立，故， 即实数t的最小值是， 故选：A 26．(24-25高二下·云南曲靖会泽县·期末)已知函数，直线与有两个交点，交点横坐标分别为，且，则的最小值为___________． 【答案】1 【分析】由题知，与图象有两个交点，则，然后解得，则，令，再利用导数求最值即可. 【详解】如图所示 由与图象有两个交点，得， ，设， 则，令，， 所以在单调递增，则， 即，则在单调递减，所以， 即的最小值为1. 27．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期中)设函数，若恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据题意分析得出，构造新函数利用函数导数求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 当时，， 由恒成立，则有恒成立， 因为的值域为， 所以不一定恒成立，故不成立， 当时，由，， 由，， 所以要使得恒成立，则即， 所以， 设， 则， 当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递减， 所以有最小值， 所以的最小值是， 故选：A. 28．(24-25高二下·甘肃临夏州·期末)已知函数在处有极值. (1)求a的值； (2)求在上的最值. 【答案】(1)； (2)最小值为，最大值为. 【分析】（1）由即可计算求解； （2）由函数单调性即可求解. 【详解】（1）因为函数，所以， 因为函数在处有极值，所以， 此时，则时，当时， 所以函数在处有极值，所以. （2）由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以函数的最小值为，最大值为. 29．(24-25高二下·福建师范大学附属中学、福州一中、三中·期末)（多选）已知函数，是其导函数，若存在且，满足，则（    ） A．与大小关系可通过单调性判断 B． C． D． 【答案】BD 【分析】答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿! 答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿! 【详解】答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿!联系人QQ:2853279698 30．(24-25高二下·新疆乌鲁木齐第101中学·期末)已知甲、乙两个人爱好中国象棋，甲乙两人进行对弈，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行，记甲第局赢的概率为. (1)求乙第2局赢的概率； (2)求； (3)若存在，使得成立，求整数的最小值. 【参考：，，，】 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据独立事件和对立事件的概率公式结合意求解即可； （2）由已知得当时，，再利用构造法，结合等比数列通项公式求出 （3）由已知得，令，利用导数可判断在上递减，则问题转化为求的最大值，进而求得答案. 【详解】（1）依题意，甲第2局赢的概率为， 所以乙赢的概率为. （2）当时，， 整理得，又， 因此数列是首项为，公比为的等比数列，则， 所以. （3）不等式， 令，求导得， 函数和在上递减，则函数在上递减， 而，则当时，，即函数在上递减， 又，因此当取最大值时，取最小值， 又，则当为偶数时，， 当为奇数时，，且是单调递减的，， 因此的最大值为，依题意，， 又， 所以满足的整数的最小值为. ( 地 城 考点0 4 利用导数研究能（恒）成立问题 ) 31．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期末)（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若恒成立，则的取值范围是 B．当时，的零点只有1个 C．若函数有两个不同的零点，则 D．当时，若不等式恒成立，则正数m的取值范围是 【答案】BCD 【分析】本题考查了利用导数研究不等式恒成立与零点问题.根据条件，通过构造函数并利用导数研究其单调性、最值等问题解决问题 【详解】对于选项 因为函数定义域为，所以恒成立等价于：对恒成立. 设，则. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 因此函数在处取得最大值，最大值为. 因为对恒成立，所以.故选项错误. 对于选项. 当时，在定义域上恒成立.故在上递增. 且，，故在存在唯一的零点，故正确. 对于选项. 因函数的定义域为，所以两个零点. 因为，，所以，. 因此，即. 要证，只要证，即证. 令，要证，即要证. 令，. 因为， 所以函数是增函数，因此对，有. 则，即，即. 所以，故正确. 对于选项. 当时，不等式恒成立，即不等式恒成立. 即不等式恒成立，即恒成立. 设函数，则，故函数在定义域上单调递增. 因，即，所以. 设函数，. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以在时取最大值，. 故若要使在上恒成立， 即正数m的取值范围是，故正确. 故选： 32．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期末)已知函数， (1)若恒成立，求实数t的值； (2)当时，方程有两个不同的根，分别为， ①求实数m的取值范围； ②求证：. 【答案】(1)； (2)①；②证明见解析. 【分析】（1）由可判断，解得值并验证； （2）①令，利用，结合的单调性和零点存在性定理，判断取值范围；②构造函数，证得，再将问题转化为证明，由不等式性质可得. 【详解】（1），因为，若，即. 由于不是定义域区间的端点，且在定义域上连续， 故不仅是函数的最小值，同时也是极小值， 所以，解得. 检验：当时，，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增； 所以的最小值为，即成立， 综上，. （2）①当时，令， ， 令，解得，，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，则的最小值为； 当时，无解，当时，一解，都不符合题意； 当时，，， 因为，在上单调递减，所以在上唯一解； 令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以当时，取得最小值，即，所以， 所以 ，又， 因为，在上单调递增； 所以在上有唯一解； 综上所述，方程有两个不同的根时，； ②由题可知：，即且， 构造函数：， 则， 所以在上单调递减，故，所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 因为在上单调递增，，， 所以，得 要证， 即证， 即，即， 即证， 因为，故只须证明：， 因为成立. 所以原不等式成立. 33．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)已知函数， (1)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值； (3)若存在两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）在定义域内单调递增等价于恒成立，分离参数转化为最值问题求解； （2）由，构造同构函数，利用的单调性求解； （3）由极值点得双变量之间关系，将通过变量代换转化为关于的函数，利用导数判断单调性求其最值情况即可求解. 【详解】（1）由题的定义域为，在恒成立，且的解不连续， 则， 所以的取值范围是； （2）当时，不等式可化为，变形为， 令，求导得，所以在上是增函数， 故，即，即， 所以对任意，不等式恒成立，即对任意恒成立， 令，则， 所以当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， 所以，即满足不等式的实数的取值范围为， 所以的最小值为1； （3）因为存在两个不同的极值点， 所以由可得是方程的两根， 所以，且，， 所以，故， 又由可得， 而， 令， 则， ∵，∴，即， 则，所以在区间上单调递减， 所以有，即， 所以实数取值范围. 34．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期中)设函数定义在区间I上，若对任意，有，则称为I上的下凸函数，等号成立当且仅当．若函数在区间I上存在二阶可导函数，则为区间I上的下凸函数的充要条件是． (1)若是上的下凸函数，求实数a的取值范围； (2)在锐角三角形中，求最大值； (3)已知正实数满足，求的最小值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）由题意可得在 上恒成立，利用函数的单调性，求出函数在 上的最小值，即可得答案； （2）令，可得函数在上是下凸函数，由下凸函数的定义求解即可； （3）由题意可得，令，可得在上是下凸函数，结合下凸函数的定义及对数函数的性质求解即可. 【详解】（1）解：因为是上的下凸函数， 所以在 上恒成立， 即在 上恒成立， 所以在 上恒成立， 又因为在 上单调递减， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； （2）解：令， 则， 所以在上是下凸函数， 又因为， 所以， 即， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为； （3）解：因为正实数满足， 所以， 令， 则， 因为，所以 所以， 即 所以在上是下凸函数， 所以， 即， 即， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是从两个角度理解下凸函数的定义及第（3）问中构造函数. 35．(24-25高二下·新疆乌鲁木齐第101中学·期末)若不等式恒成立，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，确定，借助同构思想转化为恒成立，再构造函数，由求出值. 【详解】不等式恒成立， 若，恒成立，而当时，此不等式不成立； 若，则，而当时，，不符合题意； 因此，，不等式， 令函数，求导得，函数在上递增， 不等式， 因此不等式在恒成立，令， 即恒成立，而，则， 又，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 于是，令， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 则方程有唯一解，由，得，解得， 所以的值为. 故选：D 36．(24-25高二下·辽宁沈阳五校协作体·期末)设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数m的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先求，再求，再根据对于恒成立，再分离参数，进而转化为最值问题即可求解． 【详解】由， 则， 所以， 又在上为“凸函数”， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 令， 则， 所以在单调递增， 所以， 所以， 故实数m的取值范围是． 故答案为：． 37．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)关于x的不等式对恒成立，实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同构得到，当时，满足要求，当时，令，则在上恒成立，求导后得到函数单调性，从而得到，构造，求导得到单调性，进而得到，得到答案. 【详解】由可得，即， 当时，，不等式在上显然成立； 当时，令，则在上恒成立， 由，在上，所以在上单调递增， 又时，，， 所以只需在上恒成立，即恒成立． 令，则，即在上单调递增， 其中，故，所以此时有． 综上，． 故选：B. 38．(24-25高二下·广东广州天河区·期末)（多选）已知函数，下列正确的是（    ） A．当时，的图象关于点对称 B．当时，恒成立 C．若函数在上有两个不同的极值点，则 D．若函数在上有两个零点，则 【答案】BCD 【分析】利用奇偶性可判断A；利用导数判断单调性可判断B；求导得在有两个不等的实数解，求解可判断C；由题意可得在上还需有一个交点，据此判断即可. 【详解】对于A，若时，，定义域为，又， 所以函数是偶函数，图象关于轴对称，故A错误； 对于B，若时，则，求导得对恒成立，所以在上单调递增， 又，所以恒成立； 对于C，由，可得， 令，可得， 若函数在上有两个不同的极值点，则在有两个不等的实数解， 所以，解得， 所以若函数在上有两个不同的极值点，则，故C正确； 对于D，因为，所以是函数的一个零点， 若函数在上有两个零点，则函数在上还需有一个零点， 由，可得， 令，令， 令，求导得， 令，可得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 又， 又， 所以，使， 所以当时，，当时，，当，， 所以以当时，，当时，，当，， 又时，，当时，，当，， 所以当时，与有一个大于0的交点， 所以函数在上有两个零点，则，故D正确. 故选：BCD. 39．(24-25高二下·四川绵阳高中·期末)（多选）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．在区间上，的图象比的图象更陡峭 B．若，则 C．若，则实数的最大值为1 D．函数不存在零点 【答案】ABD 【分析】对于A比较导数在上大小即可判断；对于B由，令，令，利用导数研究单调性进而求最值即可判断，对于C令得，令，利用导数研究单调性进而得最小值即可判断，对于D由，又，，根据零点存在定理，得到在，使得，进一步分析单调性求最小值即可判断. 【详解】对于A：在上，，由有在上，， 由，令，所以， 当时，，所以在单调递增，又，所以， 所以，即， 所以当时，，所以在区间上，的图象比的图象更陡峭，故A正确； 对于B：由，令，所以， 由，所以在单调递增， 在单调递减，所以在处取得最小值，令， 所以，由，， 所以在单调递增，在单调递减，所以在处取得最大值， 所以，等式成立当且仅当，即，故B正确； 对于C：，令，则， 当时，将代入，可得成立， 当时，分离参变量，得到：，， 所以，令，求导得，函数在上递增， 所以，由，所以在单调递减， 在单调递增，所以的最小值为，即，所以实数的最大值为，故C错误； 对于D：，当时，， 令，求导得，当时，， 在上单调递增，，当时，， 在上单调递增，，存在，使得， 当时，， 因此当时，， 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以函数不存在零点，故D正确. 故选：ABD 40．(23-24高二下·江苏镇江丹阳·期末)已知函数，其中e是自然对数的底数． (1)求函数在区间上的最大值； (2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）对函数求导，讨论参数研究导数符号，进而确定区间单调性，即可求最大值； （2）问题化为在上恒成立，应用导数研究左侧的单调性和最值，进而得到且，即可得参数范围. 【详解】（1）由题设且， 当，即时，，即在上单调递增， 此时，函数在区间上的最大值为； 当，即时，得，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 若，即时，函数在区间上的最大值为， 若，即时，函数在区间上的最大值为， 若，即时，函数在区间上的最大值为， 综上，时，区间上最大值为， 时，区间上最大值为， 时，区间上最大值为； （2）由题设在上恒成立， 即在上恒成立， 令，可得， 令，可得，故在上单调递增， 又，故使，则， 对于且，则，故在上单调递增，对应值域为， 对于且，则，故在上单调递减，对应值域为， 显然，，在上有， 综上，， 则，即有，，即有， 故在上单调递减，在上单调递增， 综上，只需，故. ( 地 城 考点0 5 利用导数研究函数的零点 ) 41．(24-25高二下·广东湛江第一中学·期末)若函数与轴的正半轴只有一个交点，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】令，分离参数得，结合图像分析交点个数，得出的取值范围. 【详解】由题意得， 有且仅有一个根，且， 所以在上有且仅有一个根， 当，则， 令且，则，所以在上单调递增， 趋向于0时，趋向于1时，，所以； 当，则， 令，在上单调递减，且， 趋向于时，，所以.综上， 故答案为：.    42．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期中)（多选）设函数，则（   ） A．时，有两个极值点 B．当时，有三个零点 C．若在上单调递增，则 D．若满足，则 【答案】ABD 【分析】对A，对求导，利用极值点的求法，直接求出极值点，即可求解；对B，令，根据条件可得，构造函数，，将问题转化成求两函数图象交点，对求导，求出其单调区间和极值，进而得其图象，数形结合，即可求解；对C，根据条件，将问题转化成在区间上恒成立，即可求解；对D，根据条件得恒成立，从而得到关于的方程组，即可求解. 【详解】对于A，当时，，则， 令，得到或，当或时，，当，， 所以是的极大值点，是的极小值点，故A正确， 对于B，令，得到，显然不满足方程，所以， 令，，则，令，得到， 由，得以，且，由，得或， 即的增区间为，减区间为， 又，当时，， 当（从左侧）时，，当（从右侧）时，， 当时，，图象如图， 由图知，当或时，与有三个交点， 即有三个零点，所以B正确， 对于C，因为，由题知在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，易知在区间上单调递减， 所以，即，故C错误， 对于D，因为，所以， 整理得到，所以，解得，故D正确， 故选：ABD. 43．(24-25高二下·广东深圳罗湖区·期末)已知函数. (1)证明：当时，直线与曲线相切； (2)若是增函数，求实数的取值范围； (3)设，且，分别为的极大值点和极小值点，记，，证明：直线与曲线有异于，的交点. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）由题设得恒成立，利用导数分和时单调递增的条件，从而得解； （3）易得直线的方程为，联立方程组，得，即证明函数有异于的零点，利用导数证明. 【详解】（1）由题设得， 不难知道，且， 曲线在点处的切线方程为， 即直线与曲线相切. （2）由题设得， 令， ①若，则， 故在区间单调递增， 令，则，或， 当时，；当时，. 当时，；当时，. 当且仅当， ，故，即. ②若，则， 恒成立， ， 当时，；当时，， 在区间单调递减，在区间单调递增， ， ，解得. ③时，由题设得， 当时，，单调递减，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. （3）由（2）可知，，且或 由（2）不难知道，当时，，， 直线的方程为，即， 由得（*）， 显然，是方程（*）的两个相异实数解，且. 下面证明方程（*）有第三个不同实数解，即证明函数有异于的零点， 易知，令，则， 在区间单调递增， ，， 在区间有唯一零点，不妨设该零点为， 当时，，即；当时，，即. 在区间单调递减，在区间单调递增. ，，，又，， 在区间有且仅有一个零点，在区间有且仅有一个零点， 方程（*）的解集为，即直线与曲线有异于，的交点，且该点的横坐标为. 44．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)（多选）三次函数，定义：是的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，拐点处的切线方程为 B．当时，在区间内存在最小值，则的取值范围是 C．若经过点可以向曲线作三条切线，则的取值范围是 D．对任意实数，直线与曲线有唯一公共点 【答案】ACD 【分析】对于A，根据题设定义求得，再利用导数的几何意义即可求解；对于B，根据条件，求得的极小值为，并求得，即可求解；对于C，根据条件，将问题转化成与有三个交点，利用导数求出的单调区间和极值，即可求解；对于D，联直线与曲线方程，通过判断方程解的个数，即可求解. 【详解】对于A，当时，，则，， 令，解得， 又，，所以函数拐点处的切线方程为，即，故A正确； 对于B，当时，，则， 所以当时，，当或时，， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 所以在处取得极小值， 又由，得到，解得或， 要使函数在区间内存在最小值， 所以，解得，即的取值范围是，故B错误； 对于C，因为，则， 设切点为，则， 所以切线方程为， 又切线过点，所以，整理得， 令，则， 所以当时，当或时， 所以在上单调递增，在，上单调递减， 所以在处取得极小值，在处取得极大值，又，， 因为经过点可以向曲线作三条切线，即与有三个交点， 所以，即的取值范围是，故C正确， 对于D，由，可得， 即，显然在定义域上单调递增， 所以，即对任意实数，直线与曲线有唯一公共点，故D正确. 故选：ACD. 45．(24-25高二下·内蒙古部分学校·期末)已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程． (2)证明：在上存在极小值． (3)判断在上是否存在零点，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)在上无零点，理由见解析 【分析】（1）求导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，代入点斜式方程求解即可. （2）根据零点存在定理得在上必存在一个异号零点，然后根据极小值的概念判断即可. （3）根据对数函数和正弦函数的性质得，然后令函数，利用导数法求得，从而，即可得解. 【详解】（1）因为，所以． 又因为，所以所求切线方程为，即． （2）， 因为的图象是一条连续不断的曲线， 所以在上必存在一个异号零点， 即存在正数，使得，且当时，， 当时，， 所以在处取得极小值，即在上存在极小值． （3）在上无零点． 理由如下： 当时，，可得． 令函数，则， 当时，单调递增． 又，所以， 从而，所以在上无零点． 46．(24-25高二下·河北唐山滦南县·期末)（多选）关于函数，下列说法正确的是（   ） A．是的极小值点 B．函数有且只有1个零点 C．在上单调递减 D．设，则 【答案】BD 【分析】利用导数求出函数的单调区间及极小值点判断AC；利用导数确定单调性求出零点判断B；利用导数求出最小值判断D. 【详解】对于AC，函数的定义域为，求导得， 当时，，则函数在上单调递减， 当时，，则函数在上单调递增， 函数的极小值点为，AC错误； 对于B，函数定义域为， ，函数在上单调递减， 又当时，其函数值为，因此函数有且只有1个零点，B正确； 对于D，函数定义域为，求导得， 当时，，则函数在上单调递减， 当时，，则函数在上单调递增， 则当时，函数取得最小值，因此，D正确. 故选：BD 47．(24-25高二下·内蒙古集宁一中东校区·期末)已知函数. (1)求的解析式； (2)若在内有两个零点，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导函数，令，解关于的方程求得，代入解析式即可； （2）利用导函数的单调性，结合端点函数值、极值的符号，建立不等式组求解范围. 【详解】（1）函数， 则，，解得， 所以的解析式为. （2），， 则， 由，得；由，得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值， 要使在内有两个零点，当且仅当， 即，解得， 所以实数m的取值范围为. 48．(24-25高二下·辽宁五校联考·期末)高二学习小组自主探究三次函数的性质得出以下命题： ①无论系数如何变化，函数的图象始终都是中心对称图形； ②过平面内的任意一个定点至多能作出三条直线与函数图象相切； ③任意三次函数都存在零点，至少有一个，至多有三个； ④当函数存在极值点时，中心点处的导数与两极值点处的函数值有固定关系；． 其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据函数的对称中心的概念、导数的几何意义、极值点概念等知识对命题逐一判断即可. 【详解】对于①： 设三次函数的对称中心为，根据三次函数的性质，有恒成立. 将代入可得： , 因为对任意恒成立，所以的系数都为0， 即，解得. 因为，即, 注意到,可求得. 所以无论系数如何变化，函数的图象始终都是以为对称中心的对称图形，①正确； 对于②： 对函数求导得，设切点为， 所以切线斜率为. 设定点坐标为，则切线方程为， 将切点代入方程得， 即，是三次方程， 所以过平面内的任意一个定点至多能作出三条直线与函数图象相切，②正确； 对于③： 因为为奇数次多项式，至少有一个实根， 根据代数基本定理最多有三个实根，所以③正确； 对于④： 设函数的对称中心为，其中，. 因为，所以，则. 设是函数的两个极值点，则是方程的两个根， 根据韦达定理得. 所以 所以④正确. 故选：A. 49．(24-25高二下·四川眉山·期末)已经函数，其中． (1)若，求的极值； (2)讨论的零点个数，求的取值范围； (3)当时，证明：不等式恒成立． 【答案】(1)极大值为1，无极小值 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）对求导，得到，利用导数与函数单调性间的关系，得出的单调区间，再利用极值的定义，即可求解； （2）根据条件，将问题转化成与的图象有两个交点，对求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而得其图象，数形结合，即可求解； （3）构造函数，利用导数与函数单调性，可得，构造函数，利用导数与函数单调性，可得，即可求解. 【详解】（1）当时，，所以， 又的定义域为， 令，得到，由，解得，由，解得， 所以当时，的增区间为，的减区间为， 则的极大值为，无极小值． （2）因为有两个零点，即方程有两个解， 等价于方程有两个解；等价于与的图象有两个交点， 因为，令，解得， 当时，，所以在区间上单调递增， 当时，，所以在区间上单调递减， 则当时，取到最大值，且， 又当时，且时，， 当时，，且时，， 的图象如图所示， 所以当时，有没有零点； 当或时，有1个零点； 当时，有两个零点． （3）当时，要证明不等式恒成立， 即证明恒成立； 令，∴， 当，∴，即在上单调递增， ∴，即． 令，∴， ∵，∴，即在上单调递增， ∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴成立， 即当时，不等式恒成立． 50．(24-25高二下·四川广安广安区等3地·期末)已知三次项为且不含常数项的三次函数的两个极值点分别为和3． (1)求的解析式； (2)若直线与曲线有且仅有两个公共点，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题设，由韦达定理可得，然后由导数运算法则可得答案； （2）由（1）可得有2根，设，随后由极大值等于0，极小值小于0或极大值大于0，极小值等于0可得答案. 【详解】（1）由题设，则. 由题意，得和3是关于的方程的两根， 由韦达定理，得，解得， 此时． 当时，；当时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，是的极小值点，符合题意． 综上，． （2）直线与曲线有且仅有两个公共点，等价于关于的方程仅有两个实根， 即关于的方程仅有两个实根． 设，则． 当时，；当时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，是的极小值点， 且，． 根据题意，得或， 解得或． ( 地 城 考点0 6 导数中的极值点偏移 ) 51．(24-25高二下·辽宁五校联考·期末)已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极值； (3)数，设是的极值点，且，求证：．注：表示a，b，c中最小的． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2)极大值为，无极小值 (3)证明见解析 【分析】（1）求导，即可根据导数的正负确定函数的单调性， （2）求导，即可根据单调性，结合极值的定义求解， （3）根据和的单调性，可得的图象以及单调性，即可得，进而根据等价转化，构造函数，求导，根据单调性即可求解. 【详解】（1）的定义域为，且， 令，解得，令解得， 故单调递减区间为，单调递增区间为， （2），则， 令，解得，令，解得， 所以在单调递减，在单调递增， 故当时，取极大值，无极小值， （3）由（1）（2）可知在单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增， 且当，，， 在同一直角坐标系中，作出两个函数的图象如下图所示：故存在，使得，    ，则图中实线为的图象， 当时，单调递增，时，单调递减， 则是函数的极值点，，即． ，不妨设，即． 要证，只需证 令 记, 当单调递增，当单调递减， 所以，故， 故，进而 ， 所以在上单调递增， 于是有 故得证 52．(24-25高二下·山东聊城·期末)已知函数，． (1)若，求的极值； (2)若有两个极值点，，当时，证明：． 【答案】(1)的极小值是，无极大值； (2)证明见解析. 【分析】（1）求导数，确定单调性后得极值； （2）求出，得出是方程的两个相异正根，且，由确定，求出，并把参数都用表示，然后利用导数求得新函数的最小值，从而证出. 【详解】（1）由题意的定义域为， 且， 因为恒成立， 所以在上单调递增， 又，所以时，，时，， 即在上递减，在上递增， 所以的极小值是，无极大值； （2）的定义域为， ， 因为是的两个极值点， 所以是方程的两个相异正根，且， 由得， ， 令， 则， 所以在上单调递减，故， 即. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的极值点问题，解题关键是利用极值点的定义确定极值点是一个方程的解，从而利用韦达定理把极值点与参数联系起来，然后把进行消元，变为的函数. 53．(24-25高二下·湖南新高考教学教研联盟暨长郡二十校联盟·期末)已知函数，. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，求在内的极值； (3)设，若有2个零点，，且，求证：. 【答案】(1) (2)有极大值，无最小值 (3)证明见解析 【分析】（1）对求导，求出，，，再由导数的几何意义求解即可； （2）当，对求导，求出的单调性，结合极值点的定义即可得出答案； （3）对求导，研究单调性和极值可知要使有2个零点，则需，由此求出的范围，要证，只需证，由此构造，，对求导，证明即可. 【详解】（1）当时，，则， 因为，， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）当时，，有， 由可得，即， 当时，，，即， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 有极大值，无最小值. （3），则. 若，则，单调递增，不可能有两个零点. 若，令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以为的极小值点， 要使有2个零点，则需，即. 因为的2个零点为，，，所以. 要证，只需证， 因为，在上单调递增， 所以只需证， 因为，所以只需证， 即只需证，， 令，， 则， 设，则， 则在上单调递减， 又因为， 所以当时，，所以在上单调递增， 又因为， 所以当时，，即在上单调递减， 又因为，所以， 即，， 所以原命题得证. 54．(24-25高二下·广东深圳·期末)已知函数 (1)令对恒成立，求的最大值. (2)若有两个零点，求的范围，并证明： 【答案】(1)1 (2)，证明见解析 【分析】（1）求导，因式分解，即可分离参数，构造函数，，由导数求解函数的最值即可得解， （2）对讨论，结合函数的单调性可得的范围，构造函数，有导数求解函数的单调性，即可求证. 【详解】（1）由可得， 故由可得对恒成立， 故对恒成立， 由于得，故对恒成立， 进一步可得对恒成立， 记，，则， 当在单调递增，当在单调递减， 故， ，故， 因此，即，故的最大值为1， （2）由于， 由于， 当时，则，此时，在定义域内单调递减，此时不满足有两个零点， 当时，令，则此时在单调递减，，则此时在单调递增， 且当， 要使有两个零点，则，则 记，由于均为内的单调递增函数，因此函数在单调递增，由于， 因此时，， 故， 记函数，则 ， 由于，，所以， 因此函数在单调递增， 故， 进而可得，即可 由于，则， 由于，所以，又，在单调递减， 故， 即 55．(24-25高三下·湖南岳阳岳阳县第一中学·模拟)已知函数，且. (1)求; (2)已知为函数的导函数，证明：对任意的，均有； (3)证明：对任意的，均有. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）构造函数，利用导数判断函数的单调性， 可得，只需 满足，计算即可得解； （2）先写出，将不等式变形，通过换元，构造函数，利用导数证其单调性，从而推导不等式成立； （3）由（1）中的结论，取得到，对不等式左边求和，结合对数运算性质（裂项相消），证得结果. 【详解】（1）由得， 令，则， ①当时，恒成立，在上单调递减，且，不符题意； ②当时，在上单调递增，在上单调递减， 故， 令，则， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，即，又， 所以，解得. （2）由（1）知，， 要证，即证， 进一步变形为证，即证. 因为，令，则需证（）， 即证（） 设，，， 当时，，在单调递增，所以，得证. （3）由（1）知，且， 当时，，即； 令（），则. 要证，即证， 因为，所以， 而，得证. 56．(24-25高二下·甘肃白银普通高中改革与发展共同体·期中)定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”． (1)若与为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数a的取值范围． (2)若与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”． ①求b的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)； (2)①；②证明见解析. 【分析】（1）由给定的定义把问题转化为方程有唯一零点，再构造函数，利用导数探讨函数的性质求解即可. （2）①根据给定的定义将问题转化为方程有两个不同的零点求解；②由①中信息，利用极值点偏移求解. 【详解】（1）由与为“契合函数”，得，使 ，令，依题意，方程有唯一解， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，则， 当时，，时，，， 又和只有一个“契合点”，则直线与函数的图象只有1个交点，则或， 所以实数a的取值范围是. （2）①由与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”， 得存在，使， 即关于的方程有两个相异正根，令函数， 求导得， 由，得，得当时，；当时，， 则函数在上递增，在上递减，则， 当从大于0的方向趋近于0时，；当时，， 因此当时，直线与函数的图象有两个不同交点， 所以b的取值范围是. ②由（1）知，当时，，令， 求导得， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减，，， 函数在上单调递减，，因此当时，， 而，则，又，于是， 又，函数在上递减，则， 所以. 57．(24-25高三下·青海海南州部分学校·模拟)已知函数． (1)讨论函数的单调性． (2)假设存在正实数，满足． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增． (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）求导，由导数符号即可求解； （2）（i）由题意知，问题转换成有两根，通过取对数，同构，构造函数，通过其单调性即可求解；（ii）构造函数，通过求导，确定单调性，确定最值，即可求解； 【详解】（1）由题意知，， 令，解得， 令，解得， 故函数在上单调递减，在上单调递增． （2）（i）由题意知，在上有两个不相等的实数根，即， 两边取对数，可得．记，易知在上是增函数， 故可等价于，即． 记，则，得在上单调递减，在上单调递增， 有最小值，故，即． （ii）根据题意得，不妨设． 构造函数， 则． 当时，，则，得在上单调递减， 有，即． 将代入不等式，得，又， 故， 又在上单调递增， 故，即． 【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般题设形式： 1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）； 3.若函数存在两个零点且，令，求证：； 4.若函数中存在且满足，令，求证：. 58．(24-25高二上·江苏连云港·期末)已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而根据点斜式即可求解； （2）令得，令，则，从而令，则利用导数求出最小值可得答案. 【详解】（1）当时，， 曲线在处切线的斜率为， 又切线方程为， 即曲线在处的切线方程为； （2）若有两个零点， 则， 得. ，令，则， 故， 则， ， 令，则， 令，则， 在上单调递增， ， ，则在上单调递增， ， 故. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理． 59．(25-26高三上·重庆九龙坡区等主城五区·期中)已知函数 ． (1)当时， ① 求的最小值； ② 设，求证: ； (2)设，，是的两个极值点，求证：． 【答案】(1)① ；②证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）①求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的最小值； ②由①可知，令，从而得到，再结合等差数列求和公式即可证明； （2）求出函数的导函数，即可得到，令，利用导数说明函数的单调性，不妨设，利用分析法可得只需证，令，利用导数说明函数的单调性，即可证明. 【详解】（1）①当时，，其定义域为， 又， 所以当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，即； ②由①知，当时，，即， 令，则，则， 所以，则， 所以，得证. （2）函数的定义域为， 又， 因为，是的两个极值点，所以，， 即， 令，，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 不妨假设， 要证，只需证，因为，所以， 因为在上单调递增，所以只需证， 又因为，所以只需证， 令， 则， 因为，所以， 则，所以， 所以在上单调递减，， 所以，即. 60．(25-26高三上·河北正定中学·开学考)已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，若函数有2个不同的零点，． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间 (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）利用导数判断函数的单调区间； （2）（ⅰ）转化为函数与有两个交点的问题； （ⅱ）由函数的两个零点可得，再利用构造函数的方法证明即可. 【详解】（1）当时，，则，           令，得， 当时，；当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 则在处取得极小值，，所以， 所以恒成立， 即在上单调递增； 故单调递增区间为，无单调递减区间． （2）（ⅰ）当时，若函数有2个不同的零点，， ∴恰有2个正实数根，， 令，则与有两个不同交点， ∴，           ∴当时，；当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增，又，           当x从0的右侧无限趋近于0时，趋近于； 当x无限趋近于时，的增速远大于的增速，则趋近于， 则图象如下图所示， ∴当时，与有两个不同交点， ∴实数a的取值范围为．           （ⅱ）证明：由（ⅰ）知：，， ∴，， ∴，则， 不妨设， 要证，则需证，           ∵，∴，∴，则只需证， 令，则只需证时，恒成立，           令， ∴，           ∴在上单调递增，∴， ∴当时，恒成立， ∴原不等式得证． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点02 导数六大考点重难突破 6大高频考点概览 考点01有关切线综合问题 考点02利用导数研究单调性 考点03利用导数研究极值与最值 考点04 利用导数研究能（恒）成立问题 考点05 利用导数研究函数的零点 考点06 导数中的极值点偏移 ( 地 城 考点01 有关切线综合问题 ) 1．(24-25高二下·山西太原·期末)已知函数，其中． (1)讨论函数在上的极值点的个数． (2)若函数． （i）设点和点是曲线上任意两点（不重合），曲线在这两点处的切线能否重合?若能，求出该切线方程；若不能，说明理由． （ii）当时，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的最小值． 2．(24-25高二下·福建泉州安溪一中、惠安一中、养正中学、泉州实验中·期末)已知函数，其中． (1)若函数有处取得极大值0，求的值； (2)函数． （i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合； （ii）当时，若，使得成立，求实数的取值范围． 3．(24-25高二下·湖南衡阳·期末)已知圆C：与曲线的公切线为直线（），则圆C的半径为______，______． 4．(24-25高二下·甘肃张掖·期末)（多选）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二下·河北保定高中·期末)已知函数，． (1)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求的值； (2)若有最小值，且的最小值大于的最小值，求的取值范围． 6．(24-25高二下·广东深圳深圳外国语学校·期末)直线与函数和的图象都相切，则______． 7．(24-25高二下·江西景德镇·期末)若曲线与曲线有公切线，则实数的最大值为______． 8．(24-25高二下·四川成都蓉城联盟·期末)（多选）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，解决相关的问题，已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．若函数存在两个零点，且，则 C．若恒成立，则 D．当时，与存在两条公切线 9．(24-25高二下·江苏盐城·期末)已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 10．(24-25高二下·上海崇明区·期末)已知，． (1)求曲线在处的切线； (2)设R，试根据的不同取值，讨论关于的方程解的个数； (3)与曲线均相切的直线是否存在？若存在，有几条？请说明理由． ( 地 城 考点02 利用导数研究单调性 ) 11．(24-25高二下·四川广安加德学校·期末)设函数，，若存在、，使得，则的最小值为______________． 12．(24-25高二下·广西百色·期末)已知函数． (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值． 13．(24-25高二下·福建漳州艺术实验学校·期末)设函数，为的导数． (1)讨论函数的最值； (2)若为整数，，且，不等式恒成立，求的最大值． 14．(24-25高二下·福建漳州艺术实验学校·期末)（多选）如图是导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ） A．在上是增函数； B．当时，取得极小值； C．在上是增函数、在上是减函数； D．当时，取得极小值． 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 15．(24-25高二下·福建华安县第一中学·期末)，且，不等式恒成立，则的取值范围为_______. 16．(24-25高二下·贵州黔西南布依族苗族兴义第一中学·期末)已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求a的取值范围； (3)证明：，. 17．(24-25高二下·贵州黔西南布依族苗族兴义第一中学·期末)（多选）已知函数，其中，则下列正确的是（   ） A．若，则的单调减区间为 B．的极小值为，无极大值 C．当时，函数无零点 D．若方程有两个实数解，则 18．(24-25高二下·北京中国人民大学附属中学·期末)奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 19．(24-25高二下·广东湛江第二中学·期末)（多选）已知函数的定义域为，的导函数的图像大致如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A．在上单调递减 B．是的极小值点 C．是的极大值点 D．曲线在处的切线斜率为2 20．(24-25高二下·广东湛江第一中学·期末)已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)证明：若，则存在唯一的极小值，且. ( 地 城 考点0 3 利用导数研究极值与最值 ) 21．(24-25高二·福建厦门大学附属科技中学·期末)已知且，若集合，，且，则实数的取值范围是______. 22．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期末)已知函数的导函数为，且函数的图象经过点.若对任意一个负数，不等式恒成立，则整数的最小值为___________ 23．(24-25高二下·河南安阳滑县部分学校·期末)已知函数. (1)若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值； (2)若，求的最小值. 24．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)（多选）已知，则（   ） A．当时，既有极大值，又有极小值 B．若在处取到极大值，则实数的取值范围为 C．时，在区间内取到最大值，则实数的取值范围为 D．不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值 25．(24-25高二下·江西九江第一中学·期末)已知函数，若存在实数，使得成立，则实数t的最小值是（    ） A． B．2π C．-1 D．1 26．(24-25高二下·云南曲靖会泽县·期末)已知函数，直线与有两个交点，交点横坐标分别为，且，则的最小值为___________． 27．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期中)设函数，若恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D． 28．(24-25高二下·甘肃临夏州·期末)已知函数在处有极值. (1)求a的值； (2)求在上的最值. 29．(24-25高二下·福建师范大学附属中学、福州一中、三中·期末)（多选）已知函数，是其导函数，若存在且，满足，则（    ） A．与大小关系可通过单调性判断 B． C． D． 30．(24-25高二下·新疆乌鲁木齐第101中学·期末)已知甲、乙两个人爱好中国象棋，甲乙两人进行对弈，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行，记甲第局赢的概率为. (1)求乙第2局赢的概率； (2)求； (3)若存在，使得成立，求整数的最小值. 【参考：，，，】 ( 地 城 考点0 4 利用导数研究能（恒）成立问题 ) 31．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期末)（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若恒成立，则的取值范围是 B．当时，的零点只有1个 C．若函数有两个不同的零点，则 D．当时，若不等式恒成立，则正数m的取值范围是 32．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期末)已知函数， (1)若恒成立，求实数t的值； (2)当时，方程有两个不同的根，分别为， ①求实数m的取值范围； ②求证：. 33．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)已知函数， (1)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值； (3)若存在两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围． 34．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期中)设函数定义在区间I上，若对任意，有，则称为I上的下凸函数，等号成立当且仅当．若函数在区间I上存在二阶可导函数，则为区间I上的下凸函数的充要条件是． (1)若是上的下凸函数，求实数a的取值范围； (2)在锐角三角形中，求最大值； (3)已知正实数满足，求的最小值． 35．(24-25高二下·新疆乌鲁木齐第101中学·期末)若不等式恒成立，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 36．(24-25高二下·辽宁沈阳五校协作体·期末)设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数m的取值范围是_____． 37．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)关于x的不等式对恒成立，实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 38．(24-25高二下·广东广州天河区·期末)（多选）已知函数，下列正确的是（    ） A．当时，的图象关于点对称 B．当时，恒成立 C．若函数在上有两个不同的极值点，则 D．若函数在上有两个零点，则 39．(24-25高二下·四川绵阳高中·期末)（多选）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．在区间上，的图象比的图象更陡峭 B．若，则 C．若，则实数的最大值为1 D．函数不存在零点 40．(23-24高二下·江苏镇江丹阳·期末)已知函数，其中e是自然对数的底数． (1)求函数在区间上的最大值； (2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围． ( 地 城 考点0 5 利用导数研究函数的零点 ) 41．(24-25高二下·广东湛江第一中学·期末)若函数与轴的正半轴只有一个交点，则实数的取值范围为________. 42．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期中)（多选）设函数，则（   ） A．时，有两个极值点 B．当时，有三个零点 C．若在上单调递增，则 D．若满足，则 43．(24-25高二下·广东深圳罗湖区·期末)已知函数. (1)证明：当时，直线与曲线相切； (2)若是增函数，求实数的取值范围； (3)设，且，分别为的极大值点和极小值点，记，，证明：直线与曲线有异于，的交点. 44．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)（多选）三次函数，定义：是的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，拐点处的切线方程为 B．当时，在区间内存在最小值，则的取值范围是 C．若经过点可以向曲线作三条切线，则的取值范围是 D．对任意实数，直线与曲线有唯一公共点 45．(24-25高二下·内蒙古部分学校·期末)已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程． (2)证明：在上存在极小值． (3)判断在上是否存在零点，并说明理由． 46．(24-25高二下·河北唐山滦南县·期末)（多选）关于函数，下列说法正确的是（   ） A．是的极小值点 B．函数有且只有1个零点 C．在上单调递减 D．设，则 47．(24-25高二下·内蒙古集宁一中东校区·期末)已知函数. (1)求的解析式； (2)若在内有两个零点，求m的取值范围. 48．(24-25高二下·辽宁五校联考·期末)高二学习小组自主探究三次函数的性质得出以下命题： ①无论系数如何变化，函数的图象始终都是中心对称图形； ②过平面内的任意一个定点至多能作出三条直线与函数图象相切； ③任意三次函数都存在零点，至少有一个，至多有三个； ④当函数存在极值点时，中心点处的导数与两极值点处的函数值有固定关系；． 其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 49．(24-25高二下·四川眉山·期末)已经函数，其中． (1)若，求的极值； (2)讨论的零点个数，求的取值范围； (3)当时，证明：不等式恒成立． 50．(24-25高二下·四川广安广安区等3地·期末)已知三次项为且不含常数项的三次函数的两个极值点分别为和3． (1)求的解析式； (2)若直线与曲线有且仅有两个公共点，求的值． ( 地 城 考点0 6 导数中的极值点偏移 ) 51．(24-25高二下·辽宁五校联考·期末)已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极值； (3)数，设是的极值点，且，求证：．注：表示a，b，c中最小的． 52．(24-25高二下·山东聊城·期末)已知函数，． (1)若，求的极值； (2)若有两个极值点，，当时，证明：． 53．(24-25高二下·湖南新高考教学教研联盟暨长郡二十校联盟·期末)已知函数，. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，求在内的极值； (3)设，若有2个零点，，且，求证：. 54．(24-25高二下·广东深圳·期末)已知函数 (1)令对恒成立，求的最大值. (2)若有两个零点，求的范围，并证明： 55．(24-25高三下·湖南岳阳岳阳县第一中学·模拟)已知函数，且. (1)求; (2)已知为函数的导函数，证明：对任意的，均有； (3)证明：对任意的，均有. 56．(24-25高二下·甘肃白银普通高中改革与发展共同体·期中)定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”． (1)若与为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数a的取值范围． (2)若与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”． ①求b的取值范围； ②证明：． 57．(24-25高三下·青海海南州部分学校·模拟)已知函数． (1)讨论函数的单调性． (2)假设存在正实数，满足． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 58．(24-25高二上·江苏连云港·期末)已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，且，证明：. 59．(25-26高三上·重庆九龙坡区等主城五区·期中)已知函数 ． (1)当时， ① 求的最小值； ② 设，求证: ； (2)设，，是的两个极值点，求证：． 60．(25-26高三上·河北正定中学·开学考)已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，若函数有2个不同的零点，． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $