重难点01 数列六大考点重难突破（期末真题汇编）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦数列六大高频考点，汇编山西、新疆等多地期末真题，覆盖等差等比性质、通项求和等核心内容，梯度设计兼顾基础与创新。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约40题|等差数列前n项和（如太原期末题）、等比数列公比计算（如秦皇岛期末题）|基础题占比60%，源自全国多地区期末真题| |解答题|约20题|通项求算结合Sn与an关系（如湛江一中题）、数列不等式证明（如重庆巴蜀中学题）|综合题融入新定义（如“差有界数列”），适配高考创新题型趋势|

重难点01 数列六大考点重难突破 6大高频考点概览 考点01等差数列性质 考点02等比数列性质 考点03数列通项求算 考点04 数列求和求算 考点05 数列不等式 考点06 数列新定义 ( 地 城 考点01 等差数列性质 ) 1．(24-25高二下·山西太原·期末)已知各项为正的等差数列的前n项和为，且，则为（    ） A．5 B．4 C．3 D． 2．(24-25高二下·新疆乌鲁木齐第101中学·期末)已知为等差数列的前项和，，则（   ） A．66 B．16.5 C．33 D．24 3．(24-25高二下·湖南衡南县第一中学·期末)已知等差数列的前n项和为，满足，则______． 4．(24-25高一下·上海青浦高级中学·期末)已知等差数列满足，，则______________． 5．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期末)设为等差数列的前项和，，则（    ） A． B． C． D．0 6．(24-25高二下·吉林“BEST合作体”·期末)（多选）数列的前项和为，则下列说法不正确的是（   ） A．若，则数列的前5项和最大 B．若等比数列是递减数列，则公比满足 C．已知等差数列的前项和为，若，则 D．已知为等差数列，则数列也是等差数列 7．(24-25高二下·陕西渭南大荔县·期末)已知等差数列中，，，则等于（    ） A．48 B．49 C．55 D．54 8．(24-25高二下·海南海口·期末)在等差数列中，已知，，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 9．(24-25高二下·北京房山区·调研)对于数列，若存在，使得对任意，都有，即，则称为“差有界数列”.给出以下四个结论： ①若等差数列的公差，则该数列为“差有界数列”； ②若等差数列为“差有界数列”，则其公差； ③若数列为“差有界数列”，则为“差有界数列”； ④若数列为“差有界数列”，则为“差有界数列”. 其中正确结论的序号为_____. 10．(24-25高二下·北京房山区·调研)在等差数列中，已知，则该数列前8项和的值为（   ） A．18 B．36 C．54 D．72 ( 地 城 考点02 等比数列性质 ) 11．(24-25高二下·河北秦皇岛河北昌黎第一中学·期末)在正项等比数列中，，则_____． 12．(24-25高二下·福建百校·期末)在等比数列中，若且，则（   ） A．64 B．32 C．16 D．8 13．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期末)在等比数列中，若，则（    ） A．3 B．2 C． D． 14．(24-25高二下·河南焦作普通高中·期末)在等比数列中，，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 15．(24-25高二下·北京丰台区·期末)已知数列是等比数列，若，则（    ） A．-2 B． C．2 D．4 16．(24-25高二下·辽宁鞍山第二十四中学·期末)已知正项等比数列，，则_______． 17．(24-25高二下·河南驻马店·期末)在等比数列中，，若函数，则（    ） A． B． C．1 D． 18．(24-25高二下·广东肇庆·期末)已知正项等比数列中，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 19．(24-25高二下·广西南宁部分学校·期末)设等比数列的公比为，若，则（  ） A．2 B． C． D．3 20．(24-25高二下·湖南邵阳·期末)在等比数列中，若，则______． ( 地 城 考点0 3 数列通项求算 ) 21．(24-25高二下·贵州黔西南布依族苗族兴义第一中学·期末)记为各项均为正数的数列的前n项和，且，则（   ） A． B． C．是递增数列 D． 22．(24-25高二下·甘肃定西通渭县第三中学·期末)（多选）下列叙述不正确的有（　　） A．数列，，，与，，，是同一数列 B．数列，，，，的通项公式是 C．，，，，是常数列 D．，，，，是递增数列，也是无穷数列 23．(24-25高二下·广东湛江第一中学·期末)已知为各项均为正数的数列，其前项和为，. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和记为，证明：. 24．(24-25高二下·广东湛江第一中学·期末)已知数列，是其前项积，，若函数，的导数为，则（ ） A．2 B．4 C． D． 25．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期中)数列的前n项和为，已知，数列满足递推关系：． (1)求数列和的通项公式； (2)求的前n项和． 26．(24-25高二下·辽宁丹东·期末)记是数列的前项和，，，且数列是等差数列． (1)求的通项公式； (2)设若，求数列的前项和 27．(24-25高二下·吉林白山五校·期末)已知数列满足，且，若表示不超过x的最大整数，例如[2.6]＝2，[－1.8]＝－2，则＝（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 28．(24-25高二下·河北秦皇岛河北昌黎第一中学·期末)已知数列的通项公式，则（    ） A．81 B．128 C．146 D．164 29．(24-25高二下·四川绵阳高中·期末)已知正项数列的前项和为，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且，． (1)求； (2)若在与之间插入个1，由此构成一个新的数列，求的值． 30．(24-25高二下·四川绵阳高中·期末)（多选）已知为数列的前项和，若，则下列选项正确的是（   ） A． B．数列是等比数列 C． D． ( 地 城 考点0 4 数列求和求算 ) 31．(24-25高二下·河南鹿邑县弘道中学等学校·期末)已知数列满足点在直线上，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 32．(24-25高二下·云南长水教育集团·)数列满足，则数列的前9项和为（   ） A． B． C． D． 33．(24-25高二下·江西九江第一中学·期末)已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为． 34．(24-25高二下·江西九江第一中学·期末)（多选）已知数列的前n项和为，且，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．若，则为等差数列 D． 35．(24-25高二下·云南曲靖会泽县·期末)已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 (1)证明：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 36．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期末)已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)若对定义域中的任意，，求实数的取值范围； (3)已知数列的通项公式为是数列的前项和．关于与的大小关系，有三种不同结论：①；②与的大小关系和的取值有关；③．你认为哪种结论正确？请说明理由． 37．(24-25高二下·云南曲靖陆良县·期末)在数列中，，且 (1)证明：为定值. (2)求数列的前n项和. (3)若，，求数列的通项公式. 38．(24-25高二下·广东梅州·期末)（多选）在一个不透明的盒子中装有材质、大小完全相同的n个小球，将它们分别编号为1，2，3，…，n．每次从盒子中随机抽取一个小球，记录编号后放回，直至取遍所有小球后停止摸球，记总的摸球次数为，下列结论正确的是（    ） A． B． C．，其中 D． 2 3 39．(24-25高二下·山东日照·期末)已知函数，记，且，. (1)求，； (2)设，. （i）证明：； （ii）求 40．(24-25高二下·内蒙古部分学校·期末)在数列中，，且． (1)求的通项公式； (2)求的最小值； (3)求数列的前项和． ( 地 城 考点0 5 数列不等式 ) 41．(24-25高二下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)设为正整数，，，…为枚质地不均匀的硬币.投掷硬币，设正面朝上的概率为，反面朝上的概率为.同时投出枚硬币，当正面朝上的硬币数为奇数时，即为游戏成功. (1)当，时，求游戏成功的概率； (2)当时，设游戏成功的概率为，求当时，与的递推关系，并证明是等比数列； (3)设，对于，的取值如下：，设此时游戏成功的概率为，求证：. 42．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期末)已知数列中，，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)记，数列的前项和为． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 43．(24-25高二下·陕西渭南渭南中学·期末)已知等差数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足， （i）求数列的前n项和； （ii）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 44．已知数列的首项的前项和为，且. (1)证明数列是等比数列； (2)令，求函数在点处的导数； (3)设，是否存在实数，使对任意正整数都成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 45．(24-25高二下·辽宁鞍山第二十四中学·期末)已知单调递增数列的通项公式为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 46．(24-25高二下·河北衡水、廊坊等2地（NT20名校）·期末)已知数列为非零数列，设，是数列的前n项之积，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足，且当时，，对于均有恒成立，求满足条件的正整数k． 47．(24-25高二下·贵州铜仁·)已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：，． 48．(24-25高二下·云南长水教育集团·)已知各项均为正数的等差数列，其前项和为，且，函数． (1)求的公差； (2)若恒成立，求的值； (3)设，求证：． 49．(24-25高二下·广东广州白云区·期末)已知数列的前项和为，且． (1)求，及数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， ①设（），求； ②若都有不等式成立，求的取值范围． 50．(24-25高二下·江西九师联盟·期末)投壶是中国传统游戏，某社区开展趣味投壶活动：参与者一次抛掷一支箭，当投中时，参与者得2分，没有投中也给鼓励，得1分，且每一次抛掷箭的结果相互独立．已知小李每次投中的概率为． (1)求小李连续抛掷箭2次，累计得分为3分的概率； (2)若小李连续抛掷箭4次，累计得分为，求的分布列与数学期望； (3)若小李连续抛掷箭若干次后，累计得分为分的概率为，证明：． ( 地 城 考点0 6 数列新定义 ) 51．(24-25高二下·广东揭阳·期末)若数列满足，则称数列为项数列，由所有项数列组成的集合为． (1)若是项数列，当且仅当时，，求数列的所有项的和； (2)已知，且与是两个不同的数列，定义离散型随机变量其中，且． （ⅰ）求取到最大值时的值； （ⅱ）求随机变量的分布列，并证明：当时，． 52．(24-25高二下·福建泉州安溪一中、惠安一中、养正中学、泉州实验中·期末)（多选）已知数列，其前项和为，若存在常数，对任意，恒有，则称为数列.则下列说法正确的是（    ） A．若为等差数列，则为数列 B．若是以1为首项，为公比的等比数列，则为数列 C．若为一数列，则也为数列 D．若为一数列，则也为数列 53．(24-25高二下·北京大兴区·期末)若有穷数列，，，满足如下三个性质，则称Q为数列：①项数；②，；③令集合，对，，或． (1)判断数列0，2，4，6是否是数列，并说明理由； (2)若，，，为数列，求证：对，满足； (3)已知，，，为数列，求证：当时，Q是等差数列． 54．(24-25高二下·北京海淀区·调研)给定正整数，若数列同时满足下列两个性质，则称数列为数列：①；②对任意，总存在，使得．记数列的个数为 (1)写出两个数列； (2)若为数列，求的值； (3)求的最大值． 55．(24-25高二下·北京丰台区·期末)已知数列满足，给出下列四个结论： ①当时，对任意的，都有； ②当时，对任意的，都有； ③当时，存在，使数列是常数列； ④当时，存在，使数列是递减数列． 其中所有正确结论的序号是___________． 56．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期末)已知数列的前项和为，若存在常数，使得对任意都成立，则称数列具有性质． (1)若数列的通项公式，求证：数列具有性质； (2)设数列的各项均为正数，且具有性质． ①若数列是公比为的等比数列，且，求的值： ②求的最小值． 57．(24-25高二下·湖南衡阳·期末)在数列中，，且． (1)求的通项公式． (2)证明：． (3)若数列中存在两项，，使得，则称为数列的等项数对．证明：的等项数对唯一． 58．(24-25高二下·辽宁鞍山第二十四中学·期末)为实数，无穷数列为数列时满足：；；． (1)若数列前四项分别为，，，，判断数列是否有可能为数列； (2)若数列为数列，求的值； (3)数列前项和为，则是否存在值，，恒成立.如果有，求出所有符合要求的值；如果没有，请说明原因． 59．(24-25高二下·福建厦门·期末)在平面直角坐标系中，定义两点的“距离”为，其中．已知定点，动点满足，其中．记的轨迹为“-椭圆”，为“-焦点”． (1)当时，写出“-椭圆”的轨迹方程并直接画出相应曲线； (2)已知数列均为正项数列，，椭圆，记以，为“-焦点”的“-椭圆”为，的边均与相切，且的顶点均在上． （ⅰ）设的面积为，证明：； （ⅱ）若是等比数列，求的离心率． 60．(24-25高二下·广东江门·调研)英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果函数，数列为牛顿数列，设，且，，则________. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点01 数列六大考点重难突破 6大高频考点概览 考点01等差数列性质 考点02等比数列性质 考点03数列通项求算 考点04 数列求和求算 考点05 数列不等式 考点06 数列新定义 ( 地 城 考点01 等差数列性质 ) 1．(24-25高二下·山西太原·期末)已知各项为正的等差数列的前n项和为，且，则为（    ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的性质与前项和公式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，所以. 故选：A. 2．(24-25高二下·新疆乌鲁木齐第101中学·期末)已知为等差数列的前项和，，则（   ） A．66 B．16.5 C．33 D．24 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前项和公式求解. 【详解】在等差数列中，，解得， 所以. 故选：C 3．(24-25高二下·湖南衡南县第一中学·期末)已知等差数列的前n项和为，满足，则______． 【答案】 【分析】先利用诱导公式将原式变形，然后构造函数并分析其奇偶性和单调性，可得，然后利用等差数列的前项和公式以及等差数列下标和性质即可. 【详解】由， 可得， 所以， 所以， 所以， 令，所以， 所以为奇函数，又，所以在上单调递增， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 4．(24-25高一下·上海青浦高级中学·期末)已知等差数列满足，，则______________． 【答案】4 【分析】根据等差数列的性质有，即可求出，又，进而求解. 【详解】由题意有，又，， 所以. 故答案为：4. 5．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期末)设为等差数列的前项和，，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】先根据等差数列的前项和公式求出，进而求出公差，然后利用等差数列的性质，即可求出. 【详解】因为是等差数列， 所以， 所以，又因为， 所以， 所以    . 故选：A 6．(24-25高二下·吉林“BEST合作体”·期末)（多选）数列的前项和为，则下列说法不正确的是（   ） A．若，则数列的前5项和最大 B．若等比数列是递减数列，则公比满足 C．已知等差数列的前项和为，若，则 D．已知为等差数列，则数列也是等差数列 【答案】AB 【分析】根据等差数列的单调性判断A，根据等比数列的单调性判断B，根据等差数列前项和公式及下标和性质判断C，根据等差数列的通项公式为一次函数即可判断D. 【详解】对于A：令，即，即数列的前6项和最大，故A错误； 对于B：当时，等比数列也是递减数列，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：若为等差数列，则，所以数列也是等差数列，故D正确. 故选：AB. 7．(24-25高二下·陕西渭南大荔县·期末)已知等差数列中，，，则等于（    ） A．48 B．49 C．55 D．54 【答案】A 【分析】利用等差数列的性质求和. 【详解】等差数列中，，， 所以. 故选：A. 8．(24-25高二下·海南海口·期末)在等差数列中，已知，，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】D 【分析】由等差数列的性质即可求解. 【详解】在等差数列中，已知，，则， 所以. 故选：D. 9．(24-25高二下·北京房山区·调研)对于数列，若存在，使得对任意，都有，即，则称为“差有界数列”.给出以下四个结论： ①若等差数列的公差，则该数列为“差有界数列”； ②若等差数列为“差有界数列”，则其公差； ③若数列为“差有界数列”，则为“差有界数列”； ④若数列为“差有界数列”，则为“差有界数列”. 其中正确结论的序号为_____. 【答案】①②③ 【分析】结合等差数列的性质判断①②，结合不等式判断③，举反例判断④即可求解. 【详解】对于①，若等差数列的公差，则显然存在，使得对任意，都有， 即该数列为“差有界数列”，故①正确； 对于②，若等差数列为“差有界数列”， 则存在，使得对任意，都有，其中是等差数列的公差， 若，则对于任意给定的，当充分大时，总有，矛盾， 所有，故②正确； 对于③，若数列为“差有界数列”， 则存在，使得对任意，都有， 因为， 所以，则为“差有界数列”，故③正确； 对于④，取，则存在，使得对任意，都有， 即此时数列为“差有界数列”， 而，这意味着对于任意给定的，当充分大时，总有， 所以此时不是“差有界数列”，故④错误. 故答案为：①②③. 10．(24-25高二下·北京房山区·调研)在等差数列中，已知，则该数列前8项和的值为（   ） A．18 B．36 C．54 D．72 【答案】B 【分析】由等差数列性质、求和公式计算即可求解. 【详解】在等差数列中，已知， 则该数列前8项和的值为. 故选：B. ( 地 城 考点02 等比数列性质 ) 11．(24-25高二下·河北秦皇岛河北昌黎第一中学·期末)在正项等比数列中，，则_____． 【答案】10 【分析】由等比数列的性质可得，然后等式的用替换再结合完全平方公式可得结果. 【详解】因为为等比数列，则， 所以， 又为正项等比数列，即， 所以. 故答案为：10. 12．(24-25高二下·福建百校·期末)在等比数列中，若且，则（   ） A．64 B．32 C．16 D．8 【答案】C 【分析】由等比数列的性质得到和公比，从而得到答案 【详解】由等比数列的性质可得，易知，故， 又，所以，故，可得. 故选：C. 13．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期末)在等比数列中，若，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据等比数列性质得到，结合题目条件求出答案. 【详解】由等比数列的性质可知，又，所以． 故选：D． 14．(24-25高二下·河南焦作普通高中·期末)在等比数列中，，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质化简求解即可. 【详解】因为是等比数列，所以， 又，所以. 故答案为：D. 15．(24-25高二下·北京丰台区·期末)已知数列是等比数列，若，则（    ） A．-2 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据等比数列下标的性质可得. 【详解】由题可知：. 故选：C 16．(24-25高二下·辽宁鞍山第二十四中学·期末)已知正项等比数列，，则_______． 【答案】58 【分析】根据等比数列的性质求解． 【详解】是正项等比数列，则，， 所以， 故答案为：58. 17．(24-25高二下·河南驻马店·期末)在等比数列中，，若函数，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】设,则，可得，而，利用等比数列的项的性质即可求得. 【详解】设， 则，， 所以， 因为是等比数列，且，， 于是，， 故， 所以. 故选：D. 18．(24-25高二下·广东肇庆·期末)已知正项等比数列中，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由等比数列的性质和题目条件得到，利用对数运算法则和等比数列性质进行求解 【详解】由题意，所以，. 所以. 故选：B 19．(24-25高二下·广西南宁部分学校·期末)设等比数列的公比为，若，则（  ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】利用等比中项的性质及等比数列通项公式即可求得结果. 【详解】因为，所以，所以，所以. 故选：A 20．(24-25高二下·湖南邵阳·期末)在等比数列中，若，则______． 【答案】128 【分析】利用等比数列的性质可求出、，进而求出，再次利用等比数列的性质进行求解即可. 【详解】，， 又，， 又． 考虑最后结果为正，不妨设每项均为正数，，． 故答案为：128 ( 地 城 考点0 3 数列通项求算 ) 21．(24-25高二下·贵州黔西南布依族苗族兴义第一中学·期末)记为各项均为正数的数列的前n项和，且，则（   ） A． B． C．是递增数列 D． 【答案】B 【分析】令即可判断A；将代入中得到，利用时，即可求出可判断B；根据可判断C；将代入即可判断D. 【详解】令，由得，解得或，又，所以，故A错误； 可化为， 当时，，即，且，不等于0， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，故B正确； 因为，所以是常数列，故C错误； ，故D错误. 故选：B. 22．(24-25高二下·甘肃定西通渭县第三中学·期末)（多选）下列叙述不正确的有（　　） A．数列，，，与，，，是同一数列 B．数列，，，，的通项公式是 C．，，，，是常数列 D．，，，，是递增数列，也是无穷数列 【答案】ABC 【分析】利用数列的定义可判断A选项；利用观察法求出数列通项公式可判断B选项；利用常数列的定义可判断C选项；利用数列的单调性和无穷数列的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，数列是按一定顺序排成的一列数，即数列，，，与，，，是两个数列，故A错误； 对于B选项，数列，，，，的通项公式是，故B错误； 对于C选项，，，，，是摆动数列，故C错误； 对于D选项，，，，，是递增数列，也是无穷数列，故D正确. 故选：ABC. 23．(24-25高二下·广东湛江第一中学·期末)已知为各项均为正数的数列，其前项和为，. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和记为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用的关系，得出数列是等差数列，进而可求得通项公式； （2）利用裂项相消求和法可求得，进而可证得结论. 【详解】（1）当时，，得， ∵，∴， 当时，， 两式作差可得：， 即， ∴， 又∵，∴，且， ∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴. （2）∵，∴，∴， ∴. 则 . ∵，∴，∴， 又∵为递增数列，所以， ∴. 24．(24-25高二下·广东湛江第一中学·期末)已知数列，是其前项积，，若函数，的导数为，则（ ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】先求出，再得到，两边同时求导后代入即可. 【详解】因为， 当时，， 所以， 因为也满足， 所以， 令，则， 所以， 所以. 故选：D. 25．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期中)数列的前n项和为，已知，数列满足递推关系：． (1)求数列和的通项公式； (2)求的前n项和． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用与前n项和的关系可求得；根据等比数列的概念可求得数列的通项公式，从而可得； （2）利用错位相减法以及等比数列的概念计算化简即可求解. 【详解】（1）已知 ，当 时，； 当 时，； 验证时，，符合上式， 故数列通项公式为. 因为， 所以，等式两边同时加 可得， 即，所以， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 数列通项公式为，所以. 故数列的通项公式为. （2）由（1）可知，则， 所以， 记数列的前项和为 ， ，① 上式乘以公比2可得； ，② 由① ②可得： ， 即， ， 化简可得， 即. 26．(24-25高二下·辽宁丹东·期末)记是数列的前项和，，，且数列是等差数列． (1)求的通项公式； (2)设若，求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据等差数列的通项公式求出，再利用与的关系求解即可； （2）利用分组求和，其中奇数部分利用等差数列的前项和公式，偶数部分利用裂项相消求解即可. 【详解】（1）因为，，设等差数列的公差为，则，解得， 所以，即， 当时，，当时，成立，故． （2）由题意可得 . 27．(24-25高二下·吉林白山五校·期末)已知数列满足，且，若表示不超过x的最大整数，例如[2.6]＝2，[－1.8]＝－2，则＝（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】由题可得数列为等差数列，利用等差数列通项公式可得 【详解】因为，所以， 又，所以是以4为首项，2为公差的等差数列， 所以， 所以， 所以，又， 当n＝1时，；当时，， 所以． 故选：C． 28．(24-25高二下·河北秦皇岛河北昌黎第一中学·期末)已知数列的通项公式，则（    ） A．81 B．128 C．146 D．164 【答案】B 【分析】利用对勾函数的性质得，再去绝对值符号化简为，即可求值. 【详解】由在上单调递减，在上单调递增， 对于且，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 故 . 故选：B 29．(24-25高二下·四川绵阳高中·期末)已知正项数列的前项和为，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且，． (1)求； (2)若在与之间插入个1，由此构成一个新的数列，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）根据与的关系求得，然后利用等差数列的通项公式求得，然后再利用等比数列通项公式基本量运算求得. （2）依次求出中相邻项之间插入1的个数，即可求出. 【详解】（1）当时，且，解得， 当时，， ∴， 即，则， ∵，则，所以， ∴是以1为首项，1为公差的等差数列，所以， 设数列的公比为，则， 即，解得：，所以； （2）根据题意，在与之间插入个1， 即在1和2之间插入个1；在2和3之间插入个1； 在3和4之间插入个1；在4和5之间插入个1； 在5和6之间插入个1， 到6时，恰好有项，故． 30．(24-25高二下·四川绵阳高中·期末)（多选）已知为数列的前项和，若，则下列选项正确的是（   ） A． B．数列是等比数列 C． D． 【答案】ACD 【分析】由已知可得，可判断A；由，可判断B，由等比数列求和公式可判断C；分和两种情况讨论比较大小可判断D. 【详解】对于A，因为，所以当时，，故A正确； 对于B，当时，，所以， 即， 又，不满足，所以数列不是等比数列，故B错误， 对于C，，故C正确； 对于D，当时，，当时，， 综上，故D正确. 故选：ACD ( 地 城 考点0 4 数列求和求算 ) 31．(24-25高二下·河南鹿邑县弘道中学等学校·期末)已知数列满足点在直线上，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的定义进行求解即可； （2）利用错位相减法进行求解即可. 【详解】（1）由题意得， 因为，所以， 所以是首项为3，公比为3的等比数列， 所以的通项公式是. （2）由（1）知，， 则，， 两式相减，得， 所以. 32．(24-25高二下·云南长水教育集团·)数列满足，则数列的前9项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用数列的递推关系式，求得，再由时，得到，结合裂项法求和，即可求解. 【详解】由数列满足， 当时，， 两式相减，可得，所以， 当时，可得， 所以数列的通项公式为， 当时，， 所以数列的前9项和为. 故选：A. 33．(24-25高二下·江西九江第一中学·期末)已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的求和公式来列方程即可求得公差，从而可得等差数列的通项公式； （2）利用裂项相消法来求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则由等差数列求和公式得：， 又因为，所以可得， 即数列的通项公式为； （2）由， 所以. 34．(24-25高二下·江西九江第一中学·期末)（多选）已知数列的前n项和为，且，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．若，则为等差数列 D． 【答案】ACD 【分析】由题意可得，求出，即可判断A；由裂项相消求得，即可判断B；求得，再由等差数列的定义即可判断C；求出数列的前项的和，再由，即可判断D． 【详解】解：对于A，因为，， 同理可得，，， 所以，， 所以，故A正确； 对于B，=，，故B错误； 对于C，，， 所以，， 所以为等差数列，故C正确； 对于D，由C可知为等差数列，首项为，公差为， 所以数列的前项的和为：， 所以，故D正确. 故选：ACD. 35．(24-25高二下·云南曲靖会泽县·期末)已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 (1)证明：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据题目条件利用等比数列定义即可得证． （2）运用错位相减求和法求，根据数列单调性处理不等式恒成立（此处注意根据的奇偶分类讨论），进而求出实数的取值范围． 【详解】（1）证明：因为， 所以． 因为，所以． 又，所以，即证得是首项为1，公比为2的等比数列． （2）①由（1）可得，则， ， ， 两式相减得：， 即， 所以，则． ②因为不等式对任意的正整数恒成立， 即对任意的正整数恒成立， 当为偶数时，因为在为增函数， 所以； 当为奇数时，对任意的正整数恒成立， 所以，解得． 综上，实数的取值范围为． 36．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期末)已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)若对定义域中的任意，，求实数的取值范围； (3)已知数列的通项公式为是数列的前项和．关于与的大小关系，有三种不同结论：①；②与的大小关系和的取值有关；③．你认为哪种结论正确？请说明理由． 【答案】(1)1 (2) (3)结论①正确，理由见详解 【分析】（1）根据奇函数定义可得，运算得解； （2）由函数奇偶性，问题转化为时，即可，即，令，利用导数判断单调性求出最值，得解； （3）由（2）得，当时，在时恒成立，令，得，令，即，所以，利用裂项相消法求和，得解. 【详解】（1）由，得，所以的定义域为，又为奇函数， 所以， ，，解得. （2）由（1），得，所以为偶函数，为偶函数， 对任意，，只需时，即可， 又，， 所以上式等价于，，即， 令，，所以， 若，即，则，所以， 所以在上单调递增，则，合题意； 若，即或，由，得， 当时，，所以为减函数，故，与题意不符， 综上，实数的取值范围为. （3）结论①正确，理由如下： 由（2）得，当时，在时恒成立， 令，则，，那么， 所以， 所以， ， 所以结论①正确. 37．(24-25高二下·云南曲靖陆良县·期末)在数列中，，且 (1)证明：为定值. (2)求数列的前n项和. (3)若，，求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）由题设及等差数列的定义可得，即可证； （2）由（1）得，应用裂项相消法求和； （3）根据已知得，结合等比数列的定义写出通项公式. 【详解】（1）因为，， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，故为定值1； （2）由（1）知，所以， 故； （3）由（2）知， 因为，所以 所以， 而，所以， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，即. 38．(24-25高二下·广东梅州·期末)（多选）在一个不透明的盒子中装有材质、大小完全相同的n个小球，将它们分别编号为1，2，3，…，n．每次从盒子中随机抽取一个小球，记录编号后放回，直至取遍所有小球后停止摸球，记总的摸球次数为，下列结论正确的是（    ） A． B． C．，其中 D． 【答案】ACD 【分析】对于ABC，可用分步计数原理求相关概率求解，对于D，根据题意列出分布列，表示出期望，再利用错位相减法求和判断. 【详解】对于A，时，3次停止，共有种， 其中恰好在第3次摸完的情况：第1次任意摸一个并记录编号，第2次只能摸第1次记了编号的， 第3次摸剩下未记编号的，故共有种，则，故A正确； 对于B，，，则，故B错误； 对于C，，， 所以，故C正确； 对于D，， 所以分布列为： 2 3 , , 两式相减可得, 所以，时，，故D正确； 故选：ACD. 39．(24-25高二下·山东日照·期末)已知函数，记，且，. (1)求，； (2)设，. （i）证明：； （ii）求 【答案】(1)， (2)证明见解析； 【分析】（1）求出导数，利用递推关系可得答案； （2）（ⅰ）利用进行放缩，结合等比数列求和公式可证结论；（ⅱ）求出的递推关系，利用等差数列的定义可证明等差数列，利用错位相减法可求和； 【详解】（1）因为，所以， . （2）（ⅰ）因为，所以， 又，所以，； 由（1）可知，，所以， 所以为首项，公比为的等比数列，所以， 又因为，所以，所以， 因为，， 所以 因为，所以； （ⅱ）因为， 所以， 所以是以为首项和公差的等差数列， ，所以. 令，则, , 两式相减可得 , . 40．(24-25高二下·内蒙古部分学校·期末)在数列中，，且． (1)求的通项公式； (2)求的最小值； (3)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用等差数列的定义及通项公式求解即可. （2）利用基本不等式求解最小值即可，注意验证等号能否成立. （3）结合等差数列和等比数列求和公式，利用分组求和方法求解即可. 【详解】（1）因为， 所以数列是首项为2，公差为2的等差数列， 所以，得． （2）， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． （3）因为， 所以． ( 地 城 考点0 5 数列不等式 ) 41．(24-25高二下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)设为正整数，，，…为枚质地不均匀的硬币.投掷硬币，设正面朝上的概率为，反面朝上的概率为.同时投出枚硬币，当正面朝上的硬币数为奇数时，即为游戏成功. (1)当，时，求游戏成功的概率； (2)当时，设游戏成功的概率为，求当时，与的递推关系，并证明是等比数列； (3)设，对于，的取值如下：，设此时游戏成功的概率为，求证：. 【答案】(1) (2)（且），证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由条件可知，要使游戏成功，需满足正面朝上的数量为1或3，转化为独立重复概率类型，列式求解； （2）根据硬币正面朝上的硬币数为奇数和偶数，结合全概率公式，即可得到递推关系式，再利用数列的构造法，即可证明； （3）方法一：根据（2）的结果，结合等比数列通项公式的求法，求得，，以及的通项公式，以及递推关系式，并代入求解的通项公式，讨论的取值，即可证明；方法二：首先设个硬币出现奇数的概率为，根据全概率公式，得到的递推关系式，以及通项公式，再求前3项，并表示，即可证明. 【详解】（1）当时，要使游戏成功，需满足正面朝上的数量为1或3， 此时，游戏成功的概率为：； （2）设游戏成功的概率为，当时，，接下来用表示， 当时，投掷枚硬币，，…，正面朝上的硬币为奇数有两种情况： 第一：硬币，，…，中正面朝上的硬币数为奇数时，反面朝上； 第二：硬币，，…，中正面朝上的硬币数为偶数时，正面朝上. 此时，，所以（且）， 则，且，则是以为首项，为公比的等比数列. （3）方法一：当时，此时游戏成功的概率记为，. 由（2）知：，则，（） 所以，（）① 当时，， 则， 注意到：，则， 故：② 当时，， 则：③. 结合①②③： 由于，当时，，，，则； 当时，，则； 当时，，，，则. 综上：对任意的，成立. 方法二：对于个硬币出现奇数的概率为， ∴ ∴ ∴ ∴等比，∴ ∴前个硬币出现奇数的概率 中间个： 后面个： 当时，. 当时，. 当时，. ∴成立. 42．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期末)已知数列中，，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)记，数列的前项和为． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）将左右两边取倒数，得到，将其变形为，即可根据等差数列的定义，证明数列为等比数列； （2）（i）由（1）得到及的解析式，进而得到的解析式，通过讨论的取值范围，即可得到的取值范围；（ii）先得到的解析式，进而得到其前项和的解析式，通过放缩，将其转化成求一个等比数列的前项和，通过讨论的范围，即可证明. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 又，所以， 所以数列是以2为首项，以为公比的等比数列； （2）（i）由（1）可知， 所以，， 因为， 因为，，所以，所以， 所以，的取值范围； （ii）因为，又因为， 所以 设. 当时，成立； 当时，成立； 当时，成立； 且随着值增大，逐渐减小，逐渐增大， 因为，所以，所以， 即. 43．(24-25高二下·陕西渭南渭南中学·期末)已知等差数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足， （i）求数列的前n项和； （ii）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用等差数列的通项公式及前项和公式即可求解； （2）（i）利用错位相减法求和即可；（ii）根据的单调性，再分为奇数和偶数两种情况进行讨论即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，则，解得， ； （2）（i）由（1）知， ， ， ， ； （ii）由（i）得， 设，则， ，数列是递增数列， 当n为偶数时，恒成立，， 当为奇数时，恒成立，，， 实数的取值范围为. 44．已知数列的首项的前项和为，且. (1)证明数列是等比数列； (2)令，求函数在点处的导数； (3)设，是否存在实数，使对任意正整数都成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）由和作差结合等比数列定义即可求证； （2）先由（1）得，接着计算导数再结合错位相减法和等差等比数列前n项和公式即可计算求解； （3）分为偶数和为奇数分析不等式成立时的参数解即可得解. 【详解】（1）证明：因为，所以， 所以， 又，即， 所以数列是公比和首项均为2的等比数列. （2）由（1），所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以. （3）不存在，理由如下：由题， 则，设对任意正整数都成立， 则当为偶数时，， 因为为偶数，所以，所以； 当为奇数时，， 因为为奇数，所以，所以， 综上所述，不存在实数，使对任意正整数都成立. 45．(24-25高二下·辽宁鞍山第二十四中学·期末)已知单调递增数列的通项公式为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇偶分类讨论不等式恒成立可得. 【详解】由已知恒成立，即恒成立， 为奇数时，，，的最小值是，所以，， 为偶数时，，，的最小值是，所以，， 所以， 故选：A. 46．(24-25高二下·河北衡水、廊坊等2地（NT20名校）·期末)已知数列为非零数列，设，是数列的前n项之积，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足，且当时，，对于均有恒成立，求满足条件的正整数k． 【答案】(1) (2)4和5 【分析】（1）时由得，进而得，再验证即得的通项. （2）由题设结合得到时，，求出的最大项即可求得正整数k． 【详解】（1）由题意得： 当时，，解得． 当时，由 得： 两式相除得：，即 当时，也满足上式，所以 （2）由（1）可知，， 故当时， 当时，由，得 ， 解得，且，所以或 又，，，所以 故数列中最大项为和，即满足条件的正整数k的值为4和5. 47．(24-25高二下·贵州铜仁·)已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：，． 【答案】(1)极大值1，无极小值 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导函数判断其单调性即可； （2）将问题转化为在上恒成立，构造，再分类讨论研究其单调性即可； （3）由（2）知，当时，在上恒成立，令，则有，再写出个式子，将其相加化简即可. 【详解】（1）当时，，定义域为，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因此，当时有极大值；无极小值． （2）若在上恒成立， 即在上恒成立， 设，则，， ①当时，有，此时函数在上单调递增， 有，不符合题意； ②当时，， 令，解得， 若，则，此时， 函数在上单调递减，则恒有，符合题意； 若，则，则，得；，得， 从而可知，函数在上单调递增，在上单调递减． 注意到当时，，此与相矛盾，不符合题意． 综上，实数的取值范围为． （3）由（2）知，当时，在上恒成立， 令，则有， 所以，，，， 将上面式子相加，可得， 即是， 故，． 48．(24-25高二下·云南长水教育集团·)已知各项均为正数的等差数列，其前项和为，且，函数． (1)求的公差； (2)若恒成立，求的值； (3)设，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）取和可得，，进而结合等差数列定义求解即可； （2）求导，分析函数的单调性，进而求解即可； （3）由（1）可得，由（2）得，进而求证即可. 【详解】（1）由，， 当时，，解得或（舍去）； 当时，，解得或（舍去）， 因为数列为等差数列，所以； （2）由，， 则， 当时，，函数在上单调递增， 又，则当时，，不符合题意； 当时，令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 设，则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 由恒成立，且，则； （3）由（1）知， 由（2）知，当时，， 即，， 令，则， 由，则，， 则， 即，． 49．(24-25高二下·广东广州白云区·期末)已知数列的前项和为，且． (1)求，及数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， ①设（），求； ②若都有不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）利用递推式求解，退位作差得到时，又，所以数列为等比数列，利用等比数列通项公式求解即可； （2）①先求出，再根据错位相减法求和即可；②原式等价于，利用作差法比较大小，进而确定的最大值即可求解. 【详解】（1）由得，，时，，两式相减得， 即，又，所以数列为公比为2的等比数列， 所以； （2）①由（1）得，， 在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，则，即，则，所以， 则，， 两式相减可得 ，所以； ②因为都有不等式成立， 所以恒成立， ， 当时，，即， 当时，，即， 所以，所以. 50．(24-25高二下·江西九师联盟·期末)投壶是中国传统游戏，某社区开展趣味投壶活动：参与者一次抛掷一支箭，当投中时，参与者得2分，没有投中也给鼓励，得1分，且每一次抛掷箭的结果相互独立．已知小李每次投中的概率为． (1)求小李连续抛掷箭2次，累计得分为3分的概率； (2)若小李连续抛掷箭4次，累计得分为，求的分布列与数学期望； (3)若小李连续抛掷箭若干次后，累计得分为分的概率为，证明：． 【答案】(1) (2)分布列见详解；期望为 (3)证明见详解 【分析】（1）设小李第次投壶投中为事件，小李连续抛掷箭2次，累计得分为3分的投壶的情况有，然后利用独立事件乘法公式即可计算； （2）由题知可取4,5,6,7,8，计算概率，列出分布列，计算期望即可； （3）由题可知，构造数列并求出通项即可证明. 【详解】（1）设小李第次投壶投中为事件， 小李连续抛掷箭2次，累计得分为3分的投壶的情况有， 所以概率， 即小李连续抛掷箭2次，累计得分为3分的概率为. （2）根据题意可取4,5,6,7,8， ，， ，， ， 所以分别列为： 4 5 6 7 8 数学期望. （3）证明：由题可知，，即， 所以数列为常数列，又， 所以，即，， 所以数列首项为，公比为的等边数列， 所以， ，又， 所以. ( 地 城 考点0 6 数列新定义 ) 51．(24-25高二下·广东揭阳·期末)若数列满足，则称数列为项数列，由所有项数列组成的集合为． (1)若是项数列，当且仅当时，，求数列的所有项的和； (2)已知，且与是两个不同的数列，定义离散型随机变量其中，且． （ⅰ）求取到最大值时的值； （ⅱ）求随机变量的分布列，并证明：当时，． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）分布列为，证明见解析 【分析】（1）当时，；当，，时，，由此可得出数列所有项的和； （2）（i）分析可知的可能取值有、、、、，先求出集合中的元素个数为，当时，确定与的选择共有种情况，所有可能情况有种，由此可得出的表达式，再由解出的值，可得出取最大值时的值； （ii）分析可知当时，与的选择情况共有种情况，所有可能的情况有种，可得出的分布列，根据组合数的基本性质求出的表达式，并证明出，即可证得结论成立. 【详解】（1）数列是项数列，当且仅当时，； 当，，时，. 设数列所有项的和为，则 . （2）（i）因为数列、是从集合中任意取出的两个数列， 所以，数列、均为项数列，所以的可能取值有、、、、， 根据数列中的个数可得，集合的元素个数为， 当时，数列、中有项取值不同，有项取值相同， 先确定有种情况，然后在中选取项，这项与的对应项的取值不同， 有种情况，则与的选择共有种情况， 数列、是从集合中任意取出的两个数列，所有可能情况有种， 所以， 由，化简可得，解得， 则当时，取得最大值； （ii）由（i）知集合中元素的个数为， 当时，数列、中有项取值不同，有项取值相同， 先确定有种情况，然后在中选取项与对应项取值不同有种情况， 则与的选择情况共有种情况， 数列是从集合中任意取出的两个数列，所有可能情况有种， 所以随机变量的分布列为， 因为， 所以 ，即， 当时，. 52．(24-25高二下·福建泉州安溪一中、惠安一中、养正中学、泉州实验中·期末)（多选）已知数列，其前项和为，若存在常数，对任意，恒有，则称为数列.则下列说法正确的是（    ） A．若为等差数列，则为数列 B．若是以1为首项，为公比的等比数列，则为数列 C．若为一数列，则也为数列 D．若为一数列，则也为数列 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用数列的定义逐项分析判断. 【详解】对于A，若为等差数列，设公差为，则， 当时，，所以不存在满足题意的正数，故A错误； 对于B，若是以1为首项，为公比的等比数列，则，， 则， 因，则当时，，故，故B正确； 对于C，若，则数列是数列，此时， 但不是常数，即数列不是数列，故C错误； 对于D，若数列是数列，即存在常数， 对任意有，即， 则 ，则数列是数列，故D正确. 故选：BD 53．(24-25高二下·北京大兴区·期末)若有穷数列，，，满足如下三个性质，则称Q为数列：①项数；②，；③令集合，对，，或． (1)判断数列0，2，4，6是否是数列，并说明理由； (2)若，，，为数列，求证：对，满足； (3)已知，，，为数列，求证：当时，Q是等差数列． 【答案】(1)数列0，2，4，6是数列，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据定义进行判断； （2）依据定义，①可知满足；②，，然后进行判断； （3）依据定义可知，可得，；又，可得，，两式作差可得结果. 【详解】（1）由题意知，集合． 因为数列0，2，4，6共有4项，， 且，，，，，，，，， 都是集合的元素， 所以数列0，2，4，6是数列． （2）由题意知，集合． 已知，，，为数列． ①因为，所以，所以，． 故．因此． 所以满足． ②当时，因为， 所以，． 所以对于，满足，即． 所以对，满足 （3）因为，，，为数列， 所以， 且． 所以，，，，，． 即，．① 当时，， 所以，． 由， 且． 所以，，，，， 所以，． 因为时，，， 所以，且， 有，．② 将①②两式相减得，． 因此，当时，，，，是等差数列． 54．(24-25高二下·北京海淀区·调研)给定正整数，若数列同时满足下列两个性质，则称数列为数列：①；②对任意，总存在，使得．记数列的个数为 (1)写出两个数列； (2)若为数列，求的值； (3)求的最大值． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)4. 【分析】（1）根据给定的定义直接写出. （2）按分别求出，并用反证法证明的情况即可. （3）设，，利用组合计数问题，结合分步乘法计数原理列式求出，再按分奇偶求出. 【详解】（1）数列：①1，2，3；②1，3，2；③3，1，2；④3，2，1（任取两个）. （2）当时，因为或， 所以或， 所以； 当时，因为；；； 均是数列，所以可以为， 假设存在，则此时， 记，其中， 记，其中， 由条件（2），之后必有， 直到集合中某一个数出现在数列的最后两项中； 同理集合中必有某一个数出现在数列的最后两项中， 由于集合，中的数均与同奇偶，所以同奇偶，不妨设均为奇数， 考虑数列中最后一项偶数，必不能满足条件（2），矛盾，假设错误． 所以. （3）设，， 由（2）知，必为一奇一偶， 考虑在数列中出现的先后顺序，与（2）同理，首次出现的必为最小值1或最大值， 接下来依次出现剩下的数中的最小值或者最大值，共种先后顺序， 同理，在数列中出现的先后顺序共种， 先确定分别为第几项，注意到该集合恰有一个数在最后两项中，所以共种方法， 所以， 当时，； 当时，， 所以， ， 所以的最大值为4，当时取到． 55．(24-25高二下·北京丰台区·期末)已知数列满足，给出下列四个结论： ①当时，对任意的，都有； ②当时，对任意的，都有； ③当时，存在，使数列是常数列； ④当时，存在，使数列是递减数列． 其中所有正确结论的序号是___________． 【答案】①③④ 【分析】对于①：利用放缩，；对于②：利用特殊值法，当时，，与题意不符；对于③：由常数列的定义，可求解出的值；对于④：换元看成二次不等式，求解不等式，得出的范围，再用数学归纳法证明其一般性. 【详解】对于①：当时，则，有，与的取值无关，故①正确； 对于②：当时，当时， ， 故②错误； 对于③：当时，，由数列是常数列，则， ，，满足题意，故③正确； 对于④：当时，，因为数列是递减数列， 则，，即， 则有，令，则，解得， 所以，即，故，下证成立： 当时，成立； 假设当 时，不等式成立，即， 由，得到； 则当时，，即证明， 构造函数，， 因为，，，，故单调递增，由， ，故有， 即，证毕.故④正确. 故答案为：①③④ 56．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期末)已知数列的前项和为，若存在常数，使得对任意都成立，则称数列具有性质． (1)若数列的通项公式，求证：数列具有性质； (2)设数列的各项均为正数，且具有性质． ①若数列是公比为的等比数列，且，求的值： ②求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②4 【分析】（1）求出和，求出即可求解； （2）①证明，分和两种情况即可求解； ②证明，证明，证明，结合反证法即可证明. 【详解】（1）因为，所以， 所以数列是以为公差，为首项的等差数列， 所以， 所以， 即，所以数列具有性质； （2）①由数列具有性质得， 又等比数列的公比为， 若，则， 解得，与为任意正整数相矛盾， 当时，， 而，整理得， 若，则， 解得，与矛盾， 若，则， 当时，恒成立，满足题意， 当且时，， 解得，与矛盾， 所以； ②由，得， 即，因此，当且仅当时取等号， 即，则有， 由数列各项均为正数， 得，从而，即， 若，则，与矛盾， 因此当时，恒成立，符合题意， 所以的最小值为4． 57．(24-25高二下·湖南衡阳·期末)在数列中，，且． (1)求的通项公式． (2)证明：． (3)若数列中存在两项，，使得，则称为数列的等项数对．证明：的等项数对唯一． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）先证明为等差数列，然后可得通项； （2）利用错位相减法求出，然后可证； （3）判断数列单调性可得，然后验证前几项即可得证. 【详解】（1）因为，，所以， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，得． （2）设， 则， 则， 因为，所以． （3）由（1）知，， 当时，，当时，， 所以，注意到， ，，，，， 所以的等项数对唯一，且唯一等项数对为． 58．(24-25高二下·辽宁鞍山第二十四中学·期末)为实数，无穷数列为数列时满足：；；． (1)若数列前四项分别为，，，，判断数列是否有可能为数列； (2)若数列为数列，求的值； (3)数列前项和为，则是否存在值，，恒成立.如果有，求出所有符合要求的值；如果没有，请说明原因． 【答案】(1)数列不可能为数列，理由见解析 (2). (3)存在，. 【分析】(1)先代入，已知的值，计算等关键值，发现不在数列要求的集合中，从而判定不是数列; (2)依据数列定义(等规则)，结合与的关系，推出，再根据的两种可能形式，依次推导等项的值; (3)假设是数列，利用的递推关系、项的大小限制，、等条件，推导得，构造时的数列通项，从满足的关系、与的大小，以及与的包含关系验证，结合和时与的大小，确认满足恒成立，得出存在这样的,数列且. 【详解】（1）数列不可能为数列，理由如下： 因为，，，所以，. 因为，所以，所以数列不可能为数列. （2）由数列定义，可知满足：，；； 或. 由或以及，可知，所以. 由或，或， 以及，可得，. 由或，以及，可知， 同理，由或，以及，可知. （3）假设数列是满足“恒成立”的数列. 因为或，且，所以， 由，可知， 从而或. 又因为，所以. 因为，且，所以. 又因为，所以. 因为，且，所以. 因为，所以. 根据假设，由可知，所以， 由及，可知. 由可知，所以. 综上可知，若数列是满足“恒成立”的数列，则. 当时，考虑数列：. 下面验证数列满足数列的要求： 由，可知. 因为，， 所以.，，使得，， 所以，， 所以，， 又， 所以：当时，；当时，. 所以. 由通项公式可知，当时，；当时，， 所以恒成立. 综上所述，存在数列，使得恒成立，此时. 59．(24-25高二下·福建厦门·期末)在平面直角坐标系中，定义两点的“距离”为，其中．已知定点，动点满足，其中．记的轨迹为“-椭圆”，为“-焦点”． (1)当时，写出“-椭圆”的轨迹方程并直接画出相应曲线； (2)已知数列均为正项数列，，椭圆，记以，为“-焦点”的“-椭圆”为，的边均与相切，且的顶点均在上． （ⅰ）设的面积为，证明：； （ⅱ）若是等比数列，求的离心率． 【答案】(1)，图象见解析 (2)（ⅰ）证明见解析； （ⅱ） 【分析】（1）根据“椭圆”的定义即可画出图形. （2）“椭圆”关于轴、轴对称，只需考虑第一象限（含轴非负半轴）的情况，利用直线与椭圆相切求出，根据直角梯形的面积公式即可求出的面积. 由（ⅰ）知，结合是等比数列推出的离心率为定值，代入的顶点求得，进而推出，即可求出离心率. 【详解】（1）由题意， 当时，“椭圆”的轨迹方程为，其对应图象为：    （2）由题意及（1）得， （ⅰ）设：， 将替换为，或将替换为，的方程不变， 故“椭圆”关于轴、轴对称， 只需考虑第一象限（含轴非负半轴）的情况． 在第一象限中，由和两条线段组成． 由于与相切， 则由，得， 由，可得， ∵的一个顶点在上， ∴， ∵与相切， ∴，即， 在第一象限的直角梯形面积为， ∴的面积为． （ⅱ）由（ⅰ）可知，， 由是等比数列可知， 即，即， ∴，的离心率为定值． ∵的顶点在上， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，解得， 的离心率为， ∴的离心率为．    60．(24-25高二下·广东江门·调研)英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果函数，数列为牛顿数列，设，且，，则________. 【答案】 【分析】由牛顿数列的定义可得与的关系式，代入可得，进而通过等比数列的通项公式即可求得结果. 【详解】根据题意，，则， 所以， ， 因为， 则， 所以，即， 又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则. 故答案为：. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $