终极压轴 导数、数列及计数原理与概率统计 5大高频考点（期末真题汇编）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 高二数学期末试题汇编，聚焦数列、导数等5大高频压轴考点，精选河北正定中学、福建师大附中等多地区名校真题，注重能力梯度与实际应用情境。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |解答题/填空题|50|数列（等差证明、斐波那契应用）、导数（不动点定理、函数单调性）、计数原理（分层抽样概率、九宫格排列）、随机变量（分布列、数学期望）、成对数据（回归方程、独立性检验）|结合AI知识竞赛、芯片测试等真实情境，设计“证明-应用-拓展”梯度问题，融入拓扑学不动点定理等跨学科素材|

终极压轴 导数、数列及计数原理与概率统计 5大高频考点概览 压轴01数列 压轴02导数 压轴03计数原理 压轴04 随机变量及其分布列 压轴05 成对数据的统计分析 ( 地 城 压轴 01 数列 ) 1．(24-25高二上·河北·期末)已知数列中，． (1)证明数列是等差数列， (2)求的通项公式； (3)设，求的前项和． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）根据等差数列定义证明； （2）应用等差数列通项公式计算求解； （3）应用错位相减法计算求解. 【详解】（1）证明：当时，， 所以， 又，所以， 故是以2为首项，3为公差的等差数列， （2）由（1） 故，所以，． （3）由题意， 所以， 令，① 则② ①-②得： 故， 所以． 2．(24-25高二上·河北正定中学·期末)已知数列中，，则数列的通项公式______． 【答案】 【分析】利用构造法判断为等比数列，然后利用等比数列通项公式即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，故. 故答案为： 3．(24-25高二下·云南罗平县第一中学·期末)已知数列的前项和满足且，则＝________. 【答案】5 【分析】先对已知的前项和递推式 赋值，再根据数列前项和与通项的关系推出即可. 【详解】数列的前项和满足且， 令，则， 所以， 因为，所以， 即数列 为常数列， 因为数列各项均为，所以. 故答案为：5. 4．(24-25高二下·河南鹿邑县弘道中学等学校·期末)已知数列满足点在直线上，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的定义进行求解即可； （2）利用错位相减法进行求解即可. 【详解】（1）由题意得， 因为，所以， 所以是首项为3，公比为3的等比数列， 所以的通项公式是. （2）由（1）知，， 则，， 两式相减，得， 所以. 5．(24-25高二下·云南曲靖会泽县·期末)已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 (1)证明：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据题目条件利用等比数列定义即可得证． （2）运用错位相减求和法求，根据数列单调性处理不等式恒成立（此处注意根据的奇偶分类讨论），进而求出实数的取值范围． 【详解】（1）证明：因为， 所以． 因为，所以． 又，所以，即证得是首项为1，公比为2的等比数列． （2）①由（1）可得，则， ， ， 两式相减得：， 即， 所以，则． ②因为不等式对任意的正整数恒成立， 即对任意的正整数恒成立， 当为偶数时，因为在为增函数， 所以； 当为奇数时，对任意的正整数恒成立， 所以，解得． 综上，实数的取值范围为． 6．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期中)斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，斐波那契数列可以用如下方法定义：，则的个位数字是_________． 【答案】0 【分析】观察斐波那契数列的前65项的个位：1 1 2 3 5 8 3 1 4 5 9 4 3 7 0 7 7 4 1 5 6 1 7 8 5 3 8 1 9 0 9 9 8 7 5 2 7 9 6 5 1 6 7 3 0 3 3 6 9 5 4 9 3 2 5 7 2 9 1 0 1 1 2 3 5...，即可得到斐波那契数列的个位以60为周期，的个位数字与的个位数相同，由此即可得解. 【详解】由题意， ∴数列为， 此数列各项除以 10 的余数依次构成的数列为： 1 1 2 3 5 8 3 1 4 5 9 4 3 7 0 7 7 4 1 5 6 1 7 8 5 3 8 1 9 0 9 9 8 7 5 2 7 9 6 5 1 6 7 3 0 3 3 6 9 5 4 9 3 2 5 7 2 9 1 0 1 1 2 3 5... 它是以 60 为周期的周期数列， ∴的个位数字与的个位数相同，故所求为0. 故答案为：0. 7．(24-25高二下·福建泉州安溪一中、惠安一中、养正中学、泉州实验中·期末)（多选）已知数列，其前项和为，若存在常数，对任意，恒有，则称为数列.则下列说法正确的是（    ） A．若为等差数列，则为数列 B．若是以1为首项，为公比的等比数列，则为数列 C．若为一数列，则也为数列 D．若为一数列，则也为数列 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用数列的定义逐项分析判断. 【详解】对于A，若为等差数列，设公差为，则， 当时，，所以不存在满足题意的正数，故A错误； 对于B，若是以1为首项，为公比的等比数列，则，， 则， 因，则当时，，故，故B正确； 对于C，若，则数列是数列，此时， 但不是常数，即数列不是数列，故C错误； 对于D，若数列是数列，即存在常数， 对任意有，即， 则 ，则数列是数列，故D正确. 故选：BD 8．(24-25高二下·辽宁五校联考·期末)已知数列，若数列与数列都是公差不为零的等差数列，则数列的公差为（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】设等差数列的公差为且，等差数列的公差为且，进而根据累加法得，，进而整理得，故，即. 【详解】解：设等差数列的公差为，且，则， ∴， ∴， ∵为等差数列，∴，(且为公差) ∴， ∴，∵，∴. 故选：A. 9．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期末)甲、乙玩报数游戏，约定规则如下：甲、乙轮换报数，若一人报出的正整数为奇数，则另一人报出的数为；若一人报出的正整数为偶数，则另一人报出的数为；当一人报出的数为1时，游戏结束．已知由甲先报数，且报出的正整数为．若，则游戏结束时，甲报出数字的次数为_____；若游戏结束时，甲、乙共报数次，则正整数所有可能的取值之和为_____． 【答案】 【分析】根据报数规则依次列举可得当时，甲报数的次数；根据数列的递推公式，可推出的值，即可得解. 【详解】设甲、乙报出的数构成数列， 则甲报出的数为该数列的奇数项，乙报出的数为该数列的偶数项， 当时，，，，，，，，， 所以甲报出数字的次数为； 由上可知， 因为游戏结束时，甲、乙共报数次，所以，从而，， 可知（舍）或， 所以， 若为奇数，由，得； 若为偶数，由，得． 当时，因为不是的整数倍，则为偶数， 所以， 则或， 又或均不是的整数倍，则为偶数， 进而得出或； 当时，因为不是的整数倍，则为偶数， 所以，则或， 又或均不是的整数倍，则为偶数， 进而得出或， 综上，正整数所有可能的取值为，和为， 故答案为：，. 10．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期末)已知数列中，，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)记，数列的前项和为． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）将左右两边取倒数，得到，将其变形为，即可根据等差数列的定义，证明数列为等比数列； （2）（i）由（1）得到及的解析式，进而得到的解析式，通过讨论的取值范围，即可得到的取值范围；（ii）先得到的解析式，进而得到其前项和的解析式，通过放缩，将其转化成求一个等比数列的前项和，通过讨论的范围，即可证明. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 又，所以， 所以数列是以2为首项，以为公比的等比数列； （2）（i）由（1）可知， 所以，， 因为， 因为，，所以，所以， 所以，的取值范围； （ii）因为，又因为， 所以 设. 当时，成立； 当时，成立； 当时，成立； 且随着值增大，逐渐减小，逐渐增大， 因为，所以，所以， 即. ( 地 城 压轴 02 导数 ) 11．(24-25高二·福建厦门大学附属科技中学·期末)已知且，若集合，，且，则实数的取值范围是______. 【答案】或. 【分析】先构造函数，再应用导函数得出函数单调性及最值，再应用指对数转化计算求解. 【详解】依题意，，， 令，当时，函数在上单调递增， 而，，则，使得， 当时，，当时，， 此时，因此，， 当时，若，，则恒成立，，满足， 于是当时，，当且仅当，即不等式对成立， ，由得， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， ，于是得， 即，变形得，解得， 从而得当时，恒成立，，满足， 所以实数的取值范围是或. 故答案为：或. 12．(24-25高二下·广东湛江第一中学·期末)拓扑学里有一个非常重要的不动点定理：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个“不动点”，若，则称为的“稳定点”.将函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，. (1)对于函数，分别求出集合和； (2)若函数在定义域内单调递增，求证：； (3)已知，若的稳定点的个数. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）由“不动点”和“稳定点”的定义列出方程，解出答案； （2）根据“不动点”与“稳定点”的定义证明即可. （3）构造，讨论的单调性，得到的零点个数即为的稳定点的个数. 【详解】（1）由，得，解得； 由，得，解得， ∴集合，. （2）证明：设为函数的不动点，则， 则，即为函数的稳定点，即. 设为函数的稳定点，即， 假设，而在定义域内单调递增， 若，则，与矛盾； 若，则，与矛盾； 故必有，即， 即，故为函数的不动点即. 综上，，得证. （3）当时，函数在上单调递增， 由（2）知的稳定点与的不动点等价，故只需研究的不动点即可； 令，， ∴，， ∴在上单调递减， ①当时，恒成立， ∴在上单调递增， 当无限接近0时，趋向于负无穷大，且， 故存在唯一的，使得，即有唯一解， ∴此时有唯一不动点； ②当时，即时，， 当趋向于无穷大时，趋近于0，此时， 存在唯一的，使得，即， 此时在上单调递增，在上单调递减， ∴， 当无限接近0时，趋向于负无穷大，当无限接近正无穷大时，趋向于负无穷大， 设， 则在上单调递增，且， 又∵在上单调递增， ∴（ⅰ）当，即时， 此时，方程有一个解，即有唯一不动点； （ⅱ）当，即时， 此时，方程无解，即无不动点； （ⅲ）当，即时， 此时，方程有两个解，即有两个不动点； 综上，当或时，有唯一稳定点； 当时，无稳定点； 当，有两个稳定点. 13．(24-25高二下·福建师范大学附属中学、福州一中、三中·期末)已知方程有且仅有四个不相等的正实数根，且其中两根之和等于另外两根之积，实数a、b满足，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿! 答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿! 【详解】答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿!联系人QQ:285327969 14．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期中)设函数定义在区间I上，若对任意，有，则称为I上的下凸函数，等号成立当且仅当．若函数在区间I上存在二阶可导函数，则为区间I上的下凸函数的充要条件是． (1)若是上的下凸函数，求实数a的取值范围； (2)在锐角三角形中，求最大值； (3)已知正实数满足，求的最小值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）由题意可得在 上恒成立，利用函数的单调性，求出函数在 上的最小值，即可得答案； （2）令，可得函数在上是下凸函数，由下凸函数的定义求解即可； （3）由题意可得，令，可得在上是下凸函数，结合下凸函数的定义及对数函数的性质求解即可. 【详解】（1）解：因为是上的下凸函数， 所以在 上恒成立， 即在 上恒成立， 所以在 上恒成立， 又因为在 上单调递减， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； （2）解：令， 则， 所以在上是下凸函数， 又因为， 所以， 即， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为； （3）解：因为正实数满足， 所以， 令， 则， 因为，所以 所以， 即 所以在上是下凸函数， 所以， 即， 即， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是从两个角度理解下凸函数的定义及第（3）问中构造函数. 15．(24-25高二下·广东深圳罗湖区·期末)已知函数. (1)证明：当时，直线与曲线相切； (2)若是增函数，求实数的取值范围； (3)设，且，分别为的极大值点和极小值点，记，，证明：直线与曲线有异于，的交点. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）由题设得恒成立，利用导数分和时单调递增的条件，从而得解； （3）易得直线的方程为，联立方程组，得，即证明函数有异于的零点，利用导数证明. 【详解】（1）由题设得， 不难知道，且， 曲线在点处的切线方程为， 即直线与曲线相切. （2）由题设得， 令， ①若，则， 故在区间单调递增， 令，则，或， 当时，；当时，. 当时，；当时，. 当且仅当， ，故，即. ②若，则， 恒成立， ， 当时，；当时，， 在区间单调递减，在区间单调递增， ， ，解得. ③时，由题设得， 当时，，单调递减，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. （3）由（2）可知，，且或 由（2）不难知道，当时，，， 直线的方程为，即， 由得（*）， 显然，是方程（*）的两个相异实数解，且. 下面证明方程（*）有第三个不同实数解，即证明函数有异于的零点， 易知，令，则， 在区间单调递增， ，， 在区间有唯一零点，不妨设该零点为， 当时，，即；当时，，即. 在区间单调递减，在区间单调递增. ，，，又，， 在区间有且仅有一个零点，在区间有且仅有一个零点， 方程（*）的解集为，即直线与曲线有异于，的交点，且该点的横坐标为. 16．(24-25高二下·吉林长春长春吉大附中实验学校·期末)对于函数，若存在m，n，使得，则称与 为“互补函数”，且,为“互补数”.已知函数和.若函数与为“互补函数”，且,为“互补数”. (1)是否存在,，满足，若存在，求出,的值，若不存在，请说明理由； (2)若，，求的最小值. 【答案】(1)存在， (2) 【分析】（1）根据“互补函数”的概念及列式求值即可. （2）先根据“互补函数”， “互补数”的概念，设，得到，,再设，利用导数（需二次求导）分析函数的单调性，求函数的最小值即可. 【详解】（1）因为函数与为“互补函数”， 则. 化简得，（*）， 因为，对两边取对数得，. 将代入（*）式得，. （2）因为. 设，. 则，① ，② ①②得，， ①②得，， 令，. ，. 对上面两个式子消元得，，, 设， 则， 令， 则， 所以在区间上单调递减，， 所以在区间上单调递增， 所以， 即的最小值. 17．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)已知函数，． (1)当时，求函数在区间上的值域 (2)若，试判断函数是否存在极值，若存在，请确定极值点；若不存在，请说明理由； (3)若函数有三个不同的零点，，）．求a的取值范围； 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用函数导函数求出单调性，进一步求出值域. （2）求出函数导函数，讨论在不同取值范围内的单调性. （3）根据题意，当时，不符合题意，故只需讨论时的取值情况. 【详解】（1）当时，，其定义域为（0,+∞）. 对求导得，当且仅当时取等号． 所以在区间[1,3]上单调递增. 又. 所以在区间上的值域为. （2）由题意，，且， ∴． 令， 1°当时，， 则恒成立，在上单调递增，此时不存在极值； 2°当时，，存在两个零点和，且， 当和时，；当时， 所以，在和上单调递增，在上单调递减 此时存在极值，其中，极大值点，极小值点 综上所述，当时，不存在极值； 当时，存在极值，极大值点，极小值点. （3）易得，故1是的零点之一． 1° 当时，，当，恒成立， 在上单调递增，此时只有一个零点，不符合条件； 2° 当时，由（1）知，在上单调递增，此时只有一个零点，不符合条件； 3° 当时，由（1）知，在和上单调递增，在上单调递减， 其中，所以，， 又， 存在的值，使得， 所以，时，，时，， ，使得， 有三个零点，且， 综上，． 18．(24-25高二下·河北秦皇岛河北昌黎第一中学·期末)给定函数，设，若存在实数，，使得在区间上是严格单调函数，则称为的“正弦单调区间”，并将的最大值称为的“正弦单调值”． (1)写出的一个“正弦单调区间”，并求出的“正弦单调值”； (2)若，求证：对任意的非零实数，的“正弦单调值”为定值； (3)若，，当，变化时，求的“正弦单调值”的最大值，以及的“正弦单调值”取最大值时实数，的取值集合． 【答案】(1)“正弦单调区间”为，“正弦单调值”为 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由可知在上递增，得到“正弦单调区间”和“正弦单调值”； （2）由，利用辅助角公式化简，利用整体角意识求解单调增区间可得； （3）求出当时，的单调区间，求出的“正弦单调值”为，再讨论其他情况下的“正弦单调值”都小于即可. 【详解】（1）当时，， 当，即上单调递增， 当，即上单调递减， 令，所以在上递增，在上递减. 故存在闭区间，使得在上严格单调， 即“正弦单调区间”为，“正弦单调值”为. （2）当时，， 则，其中， 要使存在“正弦单调区间”， 则包含原点在内的单调区间应为严格递增区间. 又. ①当时，其中辅助角， 不妨设，由， 令，即，解得， 由，则当时，函数的单调增区间为， 即的最大值为； ②当时，其中辅助角， 不妨设，由， 令，即，解得， 由，则当时，函数的单调增区间为， 即的最大值为； 综上所述，的“正弦单调值”为定值. （3）当时，，，其中. ①当时，，此时为偶函数， 则在包含的任意区间上，不可能是严格单调函数， 即不存在“正弦单调区间”； ②当时，由，要使存在“正弦单调区间”， 则需要满足在上严格单调递增，即， 当时，， 令，即，解得， 由，则当时，函数的单调增区间为， 即的最大值为； 当时，， 当时，则， 由零点存在性定理可知，存在，使； 当时，， 则由零点存在性定理可知，存在，使. 当时，. 令，得， 其中. 如图，在同一直角坐标系中分别作函数的图象， 由图可知为函数在内的唯一零点，且为异号零点； 为函数在内的唯一零点，且为异号零点， 又由，得， 则， 令，故有，则. 由图可知， 当时，，此时. 故当时，，， 则， 在上单调递增； 当时，； 当时，，， 则，在上单调递增； 故可得当时，，在上单调递增； 又为异号零点，故，且； 因此有，故此时， 所以，当时，的“正弦单调值”小于. 当时，同理可得如下结论（如图）： 为函数在内的唯一零点，且为异号零点； 为函数在内的唯一零点，且为异号零点. 且由，得，， 同理可知， 且可得当时，，在上单调递增； 又为异号零点，故，且； 因此有，故此时， 所以，当时，的“正弦单调值”小于. ③当时，由，要使存在“正弦单调区间”， 则需要满足在上单调递减，即， 各类情况与时同理可得. 综上所述，当变化时，的“正弦单调值”的最大值为， 故的“正弦单调值”取最大值时实数的取值集合为． 19．(24-25高二下·湖南衡南县第一中学·期末)在平面直角坐标系中，分别以x轴和y轴为实轴和虚轴建立复平面，已知复数，在复平面内满足为定值的点的轨迹为曲线．且点在曲线上． (1)求的方程； (2)是过右焦点的弦（不是长轴），的中点为G，过点A，B分别作直线l：的垂线，垂足分别为C，D，l与x轴的交点为E． （ⅰ）证明：； （ⅱ）记与的交点为M，与的交点为N，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析 （ii） 【分析】(1)由为定值，可知的轨迹为椭圆，进而可得到值，再结合在曲线上可知值，再利用椭圆三者关系求，最后写出的方程即可.      （2）（ⅰ）要证明，只需证明直线和的斜率相等即可. （ⅱ）将求四边形的面积的最大值转化为求面积的最大值，联立直线和椭圆方程，利用根和系数的关系及函数的单调性求解即可. 【详解】（1）根据题意，复数满足为定值，即： 点到点和的距离之和为定值，由椭圆定义， 该轨迹为椭圆，则焦距，故：， 已知点在椭圆上，即长半轴， 则，因此，曲线的方程为：. （2）（ⅰ）易知椭圆右焦点为，设直线方程： ，设      联立 ，消得： 由韦达定理：      又，, 所以，， 要证，即证, 即证， 即证， 即证， 又根据韦达定理：，得证.           （ⅱ）如图：    在中，因为，G是中点，所以是中点， 由（ⅰ）同理可得，所以四边形是平行四边形， 且G是中点，所以是中点，连接， 易知 所以, 由（ⅰ）得：， 令椭圆的右焦点为，则       即      计算 （令）化简得： ， 由对勾函数单调递增， （对求导），所以，则： ， 故：. 所以四边形MGNE面积的最大值为：. 20．(24-25高二下·湖南衡南县第一中学·期末)定义在上的函数的导函数为，且满足，，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可得，单调递增，，单调递减，所以，，，，从而对各个选项分别进行求解即可. 【详解】根据题意，定义在上的函数的导函数满足， 所以，， 令，，则，， 所以单调递增，单调递减， 又，， 所以，，，， 因为单调递增，单调递减， 所以，， 又，所以，故A错误； 同理，，， 所以，故B错误； ，所以，故C正确； ，， 所以，故D错误. 故选：C. ( 地 城 压轴 0 3 计数原理 ) 21．(24-25高二下·广东湛江第一中学·期末)有42个白球和14个红球，现根据颜色按比例分层随机抽样，抽取8个球放进一个袋子里，每次从袋子中摸出一个球，直到红球全部被取出，则摸球次数为4的概率是________. 【答案】 【分析】先由分层抽样得出白球、红球个数，再把摸球看成排列问题，由排列组合以及古典概型公式求解即可. 【详解】按照分层抽样方法，需要抽取6个白球，2个红球， 若摸球4次停止，把摸球看成排列问题，总有种，最后一次摸红球，符合题意的有种， 所以摸球次数为4的概率为. 故答案为：. 22．(24-25高二下·重庆南开中学校·期末)在一个盒子中装有6个大小形状均相同的号码球，编号分别为1、2、3、4、5、6.李华每次从中有放回地随机摸一个号码球，记下每一次的号码，记第次取出的号码为，则使方程有解的概率为_________.（用分数表示） 【答案】/ 【分析】本题需要首先分析出方程，的解的情况，然后根据有放回的排列组合情况进行计数求解. 【详解】由题，不妨将按照从小到大的顺序排列，得到. 则中至多有4个. ①若，得，即，所以； ②若，得，即，解得，不符，舍去； 同理可以证明时，均不符合题意； ③若，得，而，故此时方程不成立，所以不符，舍去. 综上，方程组有唯一解，所以有解得概率. 故答案为：. 【点睛】本题结合多元不定方程有解的问题来求解概率，属于跨章节的综合应用，具有创新性，需要先分析方程解的情况，再根据计数原理计算概率. 23．(24-25高二下·广东汕尾·期末)若复数满足，且，在复平面内，在所对应的点中随机取出三个点，则这三个点两两之间的距离都不超过的概率为______． 【答案】 【分析】根据题意列举出所有符合要求的所对应的点，分类讨论符合两两之间的距离都不超过这一要求的三个点的可能，再利用古典概型公式，即可求解. 【详解】依题意，复数满足，且，故， 当时，，当时，，当时，， 因此，符合题意的所对应的点为，，，，，，，，，共个， 可得在所对应的点中随机取出三个点，共种取法， 当取出的三个点两两之间的距离都不超过时，有如下三种情况： ①三点在一横线或一纵线上，有种情况， ②三点是边长为的等腰直角三角形的顶点，有种情况， ③三点是边长为的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于的有个，直角顶点位于，，，的各有个，共有种情况， 综上，选出的三点两两之间距离都不超过的情况数为种， 所以这三个点两两之间的距离都不超过的概率为. 故答案为：. 24．(24-25高二下·贵州黔西南布依族苗族·期末)九宫格是一个源自中国古代的概念，具有多种含义和应用，在数学领域：九宫格是一种数字游戏，起源于河图洛书，要求在九个小格子中填入不同的数字，使得每一行每一列和对角线上的数字之和都相等.将1~9的自然数填入九个格中，如图1的九宫格，“?”处应填的数字是_____；如图2，不同的九宫格共有_____种. 【答案】 6 8 【分析】利用九宫格性质列式求解；确定九宫格中心位置的数字，再确定数字9所在位置，利用分步乘法计数原理求解即得. 【详解】设九宫格的三行（从上到下）的数字从左到右分别为；；， 而，则，由，得， 由，得，，解得，， 所以“?”处应填的数字是6； 数字5在九宫格的正中，数字9不能在九宫格的四个角上，否则：如，由， 知或中有一个数大于15，矛盾，因此数字9只能在与5同行或同列的4个位置之一， 此时1位置确定，而，角上的数字可互换位置，其它数字只有一种填法， 所以不同九宫格共有种. 故答案为：6；8 25．(24-25高二下·湖北荆州·期末)（多选）设是非零实数，定义“数”，“阶乘”，规定，“组合数”．则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用题中定义逐项判断即可. 【详解】对于A，，，，， ，， ，故A正确； 对于B，由定义知，故，故B错误； 对于C，，， 所以， 因为，即，故C正确； 对于D，由上述，代入D并不成立，故D错误. 故选：AC. 26．(24-25高二下·四川乐山·期末)以走网格为例，从格点走到格点，只能向右或向上走，且在对角线的右下方（不能越过对角线）的路径的条数，就是卡特兰数，记为.则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，向右的步数始终不少于向上的步数，即走法总数为“所有走法”减去“过线的走法”，易发现“过线的走法”即对应从到的走法，运算得解. 【详解】如图，由题，只能向右或向上走，且在对角线的右下方（不能越过对角线）， 即向右的步数始终不少于向上的步数， 所以走法总数为“所有走法”减去“过线的走法”， 由图易发现“过线的走法”，必先碰到直线， 将碰直线后的路径关于对称，可得均过点， 所以每一种“过线的走法”即对应着从到的走法，共有种， 所以走法总数为. 故选：C. 27．(24-25高二下·广东深圳大学附属中学·期末)深圳市某公园一条笔直的林荫道上有张长椅．现因规划要求，需移走其中张长椅．要求两端的长椅不能移走，且移走的相邻两张长椅之间，至少要留下三张长椅，则不同的移走方案共有______． 【答案】 【分析】先安排15张长椅，其中4张移走的长椅，则分成5段，将剩下的3张长椅放进5个位置中，分类讨论，利用分类加法计数原理即可求解. 【详解】先安排15张长椅，按如下顺序排好，分成5段.（表示留下的长椅，表示将移走的长椅） 再将剩下的3张长椅放进5个位置中，则： 第一类情况：若3张长椅在一起，有种方法； 第二类情况：若3张长椅分两组，有种方法； 第三类情况：若3张长椅均不在一起，有种方法. 根据分类加法计数原理共有种方法. 故答案为：. 28．(24-25高二下·广东广州番禺区·期末)如图，在下面的小三角形格子中填入1，2，3，4，5，6，7，8，9，要求每个格子中只能填一个数，每个数只能填一次且阴影格子中所填数比它相邻的白色格子中的数大，则共有______种填法． 【答案】8640 【分析】对阴影部分分情况讨论分别为数字9，8，7；9，8，6；9，8，5；9，8，4；9，7，6；9，7，5；9，7，4，逐一计算即可. 【详解】如图： 分情况讨论： 当为9，8，7时，有种； 当为9，8，6时，则7不能与6相邻，故有种； 当为9，8，5时，则与5相邻的只能是4，3，2，1中的三个数，有种； 当为9，8，4时，则与4相邻的只能是3，2，1中的三个数，有种； 当为9，7，6时，则8与9相邻且8只有一种位置，故有种； 当为9，7，5时，则8与9相邻且8只有一种位置，6不与5相邻有2种位置选择，故有种； 当为9，7，4时，则8与9相邻且8只有一种位置，与4相邻的只能是3，2，1中的三个数，故有种； 所以共有：种. 故答案为：8640. 29．(24-25高二下·河北沧州·期末)某箱子中放有编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的大小与形状都相同的小球，现由A，B二人轮流从该箱子中不放回地取出小球，并记下小球的编号，若A先取小球． (1)求B前两次取得的小球编号之和为13的概率． (2)当有一人所取出的小球编号之和为13时，游戏结束，并判定此人胜利． （ⅰ）求A取了3次小球并获得胜利的概率； （ⅱ）求A获得胜利的概率． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）求出B取得的小球编号为6，7时的概率，和为5，8时的概率可得答案； （2）（ⅰ）求出A抽取的小球编号为1，5，7；2，5，6时的概率、小球编号为1，4，8；2，3，8时的概率、小球编号为2，4，7；3，4，6时的概率可得答案；（ⅱ）求出A抽取2次小球获胜的概率、抽取3次小球获胜的概率、抽取4次小球获胜的概率可得答案． 【详解】（1）分析可得B前两次取得的小球编号之和为13时， 取得的小球编号分别为6，7或5，8，只需要分析前4次抽取的情况， 一共有种取法， 当B取得的小球编号为6，7时，概率为， 当B取得的小球编号为5，8时，概率为， 所以B前两次取得的小球编号之和为13的概率为； （2）（ⅰ）A取了3次小球并获得胜利，说明A取了3次小球编号之和为13， B取了2次小球编号之和不为13，A，B取球的总情况一共有种取法， 其中3次小球编号之和为13的组合有1，4，8；1，5，7；2，3，8；2，4，7； 2，5，6；3，4，6共6种情况． 当A抽取的小球编号为1，5，7；2，5，6时，共有种； 当A抽取的小球编号为1，4，8；2，3，8时，要排除B抽取6，7， 此时共有种； 当A抽取的小球编号为2，4，7；3，4，6时，要排除B抽取5，8， 此时共有种； 所以A取了3次小球并获得胜利的取法为种， 可得所求概率为． （ⅱ）A可以抽取2次小球获胜，概率为， A可以抽取3次小球获胜，概率为， A可以抽取4次小球获胜，A可取小球编号为1，2，3，7；1，2，4，6；1，3，4，5． 当A抽取4次小球时，获胜的概率为， 所以可得A获得胜利的概率为． 30．(24-25高二下·安徽阜阳·期末)为更好地服务群众，结合本地实情制定“焕新”补贴实施细则，阜阳市商务局对广大市民的需求进行问卷调查.已知热心参与问卷的市民有名，商务局决定专门为他们设置两次网上抽奖活动，每次抽奖都是由系统独立、随机地从这名市民中抽取20名市民，被抽中的市民会被赠送礼品，记两次抽中的市民总人数为（不重复计数）. (1)若甲是这名市民中的一人，且甲被抽中的概率为，求； (2)求使取得最大值时的整数. 【答案】(1)100 (2)或 【分析】（1）用组合数表示出甲未被抽中的概率，得到一个关于的方程，解方程即可；（2）根据规则用组合数表示出，将表示后的式子含的部分记为函数表达式，将问题转化为在何时取到最大值. 【详解】（1）记“甲被抽中”，“第次被抽中”，则 ， 解得. （2）由于， 记，即求在何时取到最大值，下面讨论的单调性： ， 解得，即当时，，，单调递增， 因此在时取得最大值， 可得在时取得最大值， 又有时，，即， 综上，当或时，取到最大值. ( 地 城 压轴 0 4 随机变量及其分布列 ) 31．(24-25高二下·甘肃定西临洮县·期末)若随机变量，则___________ 【答案】 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得结果. 【详解】已知随机变量， 则， 所以, 故答案为：. 32．(24-25高二·辽宁名校联盟·)某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； (2)已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. （i）请用表示； （ii）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，若增加2个元件，则单位时间内的利润是否提高. 【答案】(1)分布列见解析，， (2)（i）；（ii）若，增加2个元件后利润提高； 若时，增加2个元件后利润没有提高. 【分析】（1）由题意可知，利用二项分布求解即可求得期望，根据互斥事件的和事件的概率公式求解； （2）（i）先写出升级改造后单位时间内产量的分布列，求出设备升级后单位时间内的利润，即为； （ii）分以下三种情况讨论：①原系统中至少有4个元件正常工作；②原系统中恰好有3个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作；③原系统中恰好有2个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，再对三种情况进行求和，得到，计算，与作比较，再根据判断即可. 【详解】（1）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为， 因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以， 所以， ， ， ， 所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为 0 1 2 3 控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为， （2）（i）升级改造后单位时间内产量的分布列为 产量 0 设备运行概率 所以升级改造后单位时间内产量的期望为， 所以 产品类型 高端产品 一般产品 产量（单位：件） 利润（单位：元） 2 1 设备升级后单位时间内的利润为，即. （ii）若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有4个元件正常工作，其概率为； 第二类：原系统中恰好有3个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作， 其概率为； 第三类：原系统中恰好有2个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作， 其概率为. 所以 ， 则， 所以当时，，即增加2个元件设备正常工作的概率变大； 当时，，即增加2个元件设备正常工作的概率没有变大. 又因为， 所以当时，增加2个元件后利润提高；当时，增加2个元件后利润没有提高. 33．(24-25高二下·福建师范大学附属中学、福州一中、三中·期末)联欢晚会上，有一个抽奖游戏．主持人从编号为1，2，3，⋯，n，的n个外观相同的箱子中随机选择两个不同的箱子分别放入一件奖品（共两件奖品），再将箱子关闭．主持人知道奖品在哪些箱子里．游戏规则如下： ①抽奖人首先选择一个箱子（记作k号箱）． ②主持人会从剩下的个箱子中打开一个空箱子（即没有奖品的箱子），且该箱子不是抽奖人选择的k号箱．如果有多个空箱子可选，主持人会随机选择一个打开． ③此时，抽奖人可以选择是否更换自己的选择． (1)设，，且主持人打开了3号箱．现在给你一次重新选择的机会： ①策略一：若你仍然选择1号箱，中奖的条件是什么？中奖概率是多少？ ②策略二：若你改选其他箱子（只能改选一次），应该选择哪个箱子？中奖概率是多少？试通过条件概率分析并说明哪种策略更优． (2)设，，且主持人打开了5号箱．定义随机变量X为另一个未被打开且未被选择的箱子中奖的箱子的最小编号（若另一个奖品在已打开的箱子中，则．求X的分布列及期望． (3)切比雪夫不等式指出：对于任意随机变量和，有，设，，主持人打开的箱子号码为随机变量Y．已知Y的方差．验证Y是否满足切比雪夫不等式对于的情况． 【答案】(1)①中奖条件是1号箱有奖，；②选择2或4号箱均可，中奖概率为.策略1更优. (2)分布列见解析；期望为 (3)Y满足切比雪夫不等式对于的情况 【分析】（1）利用古典概型计算策略1的概率，结合列举法求对应事件的概率. （2）明确的取值，利用列举法求出对应值的概率，可得的分布列，再根据期望公式求期望. （3）先求，代入公式，计算验证即可. 【详解】（1）分析，主持人打开3号箱的情况 策略一：仍然选择1号箱 已知，两个奖品放在两个箱子里，抽奖人先选1号箱，主持人打开3号箱（空箱）。 若仍然选择1号箱，中奖条件是奖品在1号箱中。 最初主持人从4个箱子选2个放奖品，总共有种放法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)。 因为主持人打开了3号箱（空箱），所以奖品不可能在(1,3)，(2,3)，(3,4)中，剩下可能的放法为(1,2)，(1,4)，(2,4)，共3种。 其中奖品在1号箱的情况有(1,2)，(1,4)，共2种。所以仍然选择1号箱中奖概率。 策略二：改选其他箱子 剩下未被选（1号）和未被打开（3号已打开 ）的箱子是2号和4号。 由上面分析，奖品分布剩下(1,2)，(1,4)，(2,4)这3种情况。 若改选，要中奖则奖品不能在1号箱，即奖品在(2,4)时中奖，此时应选2号或4号箱（因为(2,4)表示奖品在2和4号箱 ）。 奖品在(2,4)这1种情况满足改选后中奖，所以改选后中奖概率（选2号或4号其中一个，这里以整体看改选后的中奖情况 ）。 对比，，策略一更优 （2）分析，，主持人打开5号箱的情况 首先，，抽奖人选2号箱，主持人打开5号箱（空箱）． 最初放奖品的总情况有种：，，，，，，，，，． 因为主持人打开5号箱（空箱），所以排除，，，，剩下6种情况：，，，，，． 求X的分布列 X为另一个未被打开且未被选择（2号被选，5号被打开）的箱子中中奖的箱子的最小编号， 若奖品在已打开箱子（这里已打开5号，若奖品有5号才会，但已排除含5号的情况，所以X取值为1，3，4． 当时：奖品分布为，，，共3种情况，概率． 当时：奖品分布为，（此时最小编号是3），共2种情况，概率． 当时：奖品分布为，共1种情况，概率． X的分布列： X 1 3 4 P ． （3）验证，时Y是否满足切比雪夫不等式 首先，，抽奖人选1号箱，主持人从2，3，4，5，6号箱中打开一个空箱，Y表示打开的箱子号码． 先求：Y可能取值为2，3，4，5，6．计算． 切比雪夫不等式要求验证，这里，， 则． 计算，即，． 因为，所以Y满足切比雪夫不等式对于的情况． 34．(24-25高二下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)设为正整数，，，…为枚质地不均匀的硬币.投掷硬币，设正面朝上的概率为，反面朝上的概率为.同时投出枚硬币，当正面朝上的硬币数为奇数时，即为游戏成功. (1)当，时，求游戏成功的概率； (2)当时，设游戏成功的概率为，求当时，与的递推关系，并证明是等比数列； (3)设，对于，的取值如下：，设此时游戏成功的概率为，求证：. 【答案】(1) (2)（且），证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由条件可知，要使游戏成功，需满足正面朝上的数量为1或3，转化为独立重复概率类型，列式求解； （2）根据硬币正面朝上的硬币数为奇数和偶数，结合全概率公式，即可得到递推关系式，再利用数列的构造法，即可证明； （3）方法一：根据（2）的结果，结合等比数列通项公式的求法，求得，，以及的通项公式，以及递推关系式，并代入求解的通项公式，讨论的取值，即可证明；方法二：首先设个硬币出现奇数的概率为，根据全概率公式，得到的递推关系式，以及通项公式，再求前3项，并表示，即可证明. 【详解】（1）当时，要使游戏成功，需满足正面朝上的数量为1或3， 此时，游戏成功的概率为：； （2）设游戏成功的概率为，当时，，接下来用表示， 当时，投掷枚硬币，，…，正面朝上的硬币为奇数有两种情况： 第一：硬币，，…，中正面朝上的硬币数为奇数时，反面朝上； 第二：硬币，，…，中正面朝上的硬币数为偶数时，正面朝上. 此时，，所以（且）， 则，且，则是以为首项，为公比的等比数列. （3）方法一：当时，此时游戏成功的概率记为，. 由（2）知：，则，（） 所以，（）① 当时，， 则， 注意到：，则， 故：② 当时，， 则：③. 结合①②③： 由于，当时，，，，则； 当时，，则； 当时，，，，则. 综上：对任意的，成立. 方法二：对于个硬币出现奇数的概率为， ∴ ∴ ∴ ∴等比，∴ ∴前个硬币出现奇数的概率 中间个： 后面个： 当时，. 当时，. 当时，. ∴成立. 35．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期末)近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力．有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．我校团委拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为鼓励同学们积极参加此项活动，比赛规定：答对一题得两分，答错一题得一分，选手不放弃任何一次答题机会．已知甲同学报名参加比赛，每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率不一定相等． (1)若前三道试题，甲每道试题答对的概率均为p， ①设，记甲同学答完前三道题得分为X，求随机变量X的分布列和数学期望； ②若甲同学答完前四道题得8分的概率为，求甲同学答完前四题时至少答对三题的概率的最小值； (2)若甲同学答对每道题的概率均为，因为甲同学答对第一题或前两题都答错，均可得到两分，称此时甲同学答题累计得分为2，记甲答题累计得分为n的概率为， （ⅰ）求证：是等比数列； （ⅱ）求的最大值． 【答案】(1)①随机变量X的分布列见解析，期望；② (2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ） 【分析】（1）①已知答对概率，那么答错概率为，设答对题数为k，得分，依次计算出时的概率，得出随机变量X的分布列，并计算出期望；②已知甲得8分（连对4题）概率，得出答对每题的概率为，进一步计算出至少答对3题的概率. （2）（ⅰ）对，得分n进行递推，得出，计算，得出是以为首项，为公比的等比数列；（ⅱ）由差数列累加求和得： ，判断奇数项和偶数项的单调性，推出的最大值为. 【详解】（1）①已知答对概率，则答错概率.设答对题数为k，得分，故取值为3，4，5，6： 所以随机变量X的分布列为： X 3 4 5 6 P 期望. ②已知甲得8分（答对4题）概率为，得.则其至少答对3题的概率： （2）（ⅰ）证明：对，得分n的递推： 最后一题答错（概率）：之前得分，故含； 最后一题答对（概率）：之前得分，故含. 即. 所以 初始项：，，故. 因此，是以为首项，为公比的等比数列. （ⅱ）由差数列累加求和： ， 偶数项（）: 为负，正数，且随着n增大，正数减小，故为最大值； 奇数项（）：为正，正数，随着n增大，正数减小，趋近于0，故最大值趋近于. 综上，为最大值，计算，即最大值为. 36．(24-25高二下·山东临沂·期末)某选手参加一项人工智能机器人PK比赛，规则如下：该选手的初始分为20分，每局比赛，该选手胜加10分；平局不得分；负减10分．当选手总分为0分时，挑战失败，比赛终止；当选手总分为30分时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛选手胜、平、负的概率分别为，且各局比赛相互独立. (1)求两局后比赛终止的概率； (2)在3局后比赛终止的条件下，求选手挑战成功的概率； (3)在挑战过程中，选手每胜1局，获奖5千元．记局后比赛终止且选手获奖1万元的概率为，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）两局后比赛终止有两种情况：先平后胜达到 30 分或两负达到 0 分，利用相互独立事件概率公式计算； （2）先求出 3 局后比赛终止的概率以及 3 局后挑战成功的概率，再利用条件概率公式计算； （3）根据获奖金额确定胜的局数，再结合比赛终止条件得到比赛局数与胜、负局数的关系，从而得出概率表达式，进而求最大值. 【详解】（1）设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件， 设“两局后比赛终止”为事件， 因为棋手与机器人比赛局，所以棋手可能得分或30分比赛终止． （i）当棋手得分为分，则局均负，即； （ii）当棋手得分为30分，则局先平后胜，即．                 因为、互斥，所以         ．                            所以两局后比赛终止的概率为． （2）设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件． 因为                            ，                               ．                          所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为 ．                                     所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为． （3）因为局获奖励万元，说明甲共胜局．                               （i）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜， 且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种，                          （ii）当棋手第局以30分比赛终止，说明前局中有负胜， 且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种，                              则“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率 ，．             所以．                         因为，所以，                          所以，所以单调递减， 所以当时，取最大值为. 37．(24-25高二下·福建三明·期末)某芯片厂生产高端人工智能芯片须经过性能测试.已知通过测试Ⅰ的概率为40%，未通过测试I的芯片须进入测试Ⅱ，通过率为，通过任意一次测试即为合格芯片.已知一枚芯片合格，则该芯片是通过测试Ⅰ的概率为θ. (1)求θ（结果用p表示）； (2)切比雪夫不等式是概率论中关于随机变量偏离其均值的概率定理，其形式如下：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意，均有.请结合该定理解决下列两个问题： （ⅰ）若厂商声称该厂芯片通过测试Ⅱ的概率为50%.现质量检测部门随机抽取了该厂生产的100枚芯片，经检测有40枚合格.请说明该厂商的说法是否可信（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件）； （ⅱ）为估计θ，工厂随机抽取m枚合格芯片，其中k枚为通过测试Ⅰ，记.若要使得总能不超过0.01，试估计最小样本量）. 【答案】(1) (2)（ⅰ）该厂商的说法不可信；（ⅱ）10000 【分析】（1）利用条件概率表示. （2）（ⅰ）结合二项分布的期望和方差公式，判断是否为小概率事件. （ⅱ）根据列式，解不等式可求的取值范围. 【详解】（1）设事件表示芯片通过测试Ⅰ，则， 设事件表示芯片通过测试Ⅱ，则， 设事件表示芯片通过测试，则. 所以. （2）（ⅰ）若，则. 设抽取的100枚芯片中，合格芯片数为，则，所以,. 当时，， 根据切比雪夫不等式：. 所以若，则为小概率事件，所以厂商的说法不可信. （ⅱ）因为，所以，. 由切比雪夫不等式：. 因为（当时取等号）. 所以要使，即. 38．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末)某学校举行了一场知识竞赛，有两类题型，每道类题有两道小题，每位同学答对这两题的概率分别为、，两道小题全对可得50分，否则得0分.类题为25分，只有一个小题，每位同学答对的概率为，且答各小题之间相互独立.现有两种答题方案：方案一：选择答一道A类题两道B类题；方案二：选择答两道A类题. (1)若，对于方案二，试探究取何值时，满分的概率最高； (2)若，求选择方案一学生得分的分布列； (3)若，为了平衡难度，当选择方案二时，其中的一道类题只需答对任意一道小题即可得50分，以得分的数学期望为依据，判断应选择哪种方案答题. 【答案】(1)； (2)分布列见解析； (3)应选择方案二，理由见解析 【分析】（1）表达出选择方案二满分概率为，由基本不等式求出最值，得到答案； （2）设选择方案一学生得分为，得到的可能取值和对应的概率，得到分布列； （3）方法一：记A、B类题得分分别为事件A、B，当A类题只需答对一道得50分为事件，表达出，由可得，从而，得到答案； 方法二：若选择方案一，求出可能的取值和对应的概率，求出，若选择方案二，求出可能的取值和对应的概率，求出，相减得，由可得，从而，得到答案； 【详解】（1）记选择方案二学生的得分为， ， ，当且仅当时取等， 此时满分概率为； （2）在方案一中，记A类题得分为，B类题得分为，选择方案一学生得分为， ， ， 由题可知可能的取值为0、25、50、75、100， ， ， 的分布列为 Z 0 25 50 75 100 P （3）应选择方案二，理由如下： 方法一：记A、B类题得分分别为事件A、B，当A类题只需答对一道得50分为事件， 由可得，解得， ， 故， 其中， ， 所以 ， 所以，应选择方案二； 方法二：由可得，解得， 若选择方案一，学生得分可能的取值分别是0、25、50、75、100， ， ， ， 所以 ， 若选择方案二，学生得分可能的取值分别是0、50、100， 其中， ， 所以 ， 所以 ， 所以，应选择方案二. 39．(24-25高二下·福建福州第一中学·期末)（多选）甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，并且每次传球时传球者都等可能传给另外三人中的任何一人，则（   ） A．第一次球传出后恰好传给丙的概率为 B．第二次球传出后恰好传给丙的概率为 C．第二次球传出后恰好传给丙，且此球是由乙传出的概率 D．球第次传出后恰好传给丙的概率为 【答案】ABD 【分析】先求出接到前两次传出的球的情况有共9种，设事件：第二次的球传出后恰好传给丙，事件：第二次的球由乙传出，求出，，再用条件概率公式计算，判断A，B，C.设第次传出后，球恰好传给丙的概率为，依题意可得，且，构造为公比的等比数列，求出即可判断D. 【详解】由已知接到前两次传出的球的情况有（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲）， （丙，乙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙），共9种， 显然第一次由甲传出球后，可能传给乙丙丁中间一个，故传给丙的概率为，故A正确； 设事件：第二次的球传出后恰好传给丙，事件：第二次的球由乙传出， 则，，则，故B正确，C错误； 对于D，不妨设第次传出后，球恰好传给丙的概率为，易知若第次传出后，球恰好传给丙， 则第次传出后，球不传给丙，而是由其他人传给丙，则，且， 则，即数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，即，故D正确. 故选：ABD. 40．(24-25高二下·福建福州福九联盟（高中）·期末)现有甲乙两个盒子，甲盒中装有除颜色外其他都一样的1个红球和2个黑球，乙盒中装有除颜色外其他都一样的2个红球和1个黑球.现从这两个盒子中各任取一个球，交换之后放入另一个盒子中去，称为1次球的交换的操作，如此重复次这样的操作后乙盒子中红球的个数记为 (1)求； (2)求的概率分布列并求出; (3)证明： 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)证明见解析 【分析】（1）事件“”即经过1次交换后乙盒子中只有一个红球； （2）依题意可知的所有可能取值为0，1，2，3，分别求其概率，然后写出分布列，再求数学期望即可； （3）依题意可知的所有可能取值为0，1，2，3，分别求其概率，再根据和数学期望计算化简即可. 【详解】（1）事件“”即经过1次交换后乙盒子中只有一个红球； 则需从甲盒子中取出1个黑球放入乙盒中，且从乙盒子中取出1个红球放入甲盒中， 则； （2）依题意可知的所有可能取值为0，1，2，3，，； ， ， ， ，    ， 所以的分布列如下表： 0 1 2 3 P 所以 . （3）依题意可知的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ，                       ， ， . ( 地 城 压轴 0 5 成对数据的统计分析 ) 41．(24-25高二下·辽宁鞍山第二十四中学·期末)自2021年起，我国居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表所示： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 时间代号 1 2 3 4 5 储蓄存款（千亿元） 4.76 4.61 5.32 5.41 5.38 （表中部分数据已精确至0.0001，表中数据可直接代入公式进行运算） 可能用到的估计值：，， 9 25.9692 130.4246 78.48 1554.2872 (1)求关于的回归方程； (2)用（1）所求回归方程预测该地2027年（）的人民币储蓄存款额； (3)求样本的相关系数．（精确至0.01） 附：，， 【答案】(1) (2)5.912 (3)0.85 【分析】利用最小二乘法求出回归方程的系数，再代入方程预测未来值，最后通过协方差和标准方差计算相关系数. 【详解】（1），， ，，， ， . 所以. （2）当时，. （3） 42．(24-25高二下·山东淄博·期末)生活中运动对人体健康非常重要，为了了解不同年龄人群篮球运动的情况，随机调查了400人，得到如下数据： 年龄 篮球运动情况 合计 经常运动 不经常运动 40及以上 130 70 200 40以下 100 100 200 合计 230 170 400 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为篮球运动的情况与年龄有关？ (2)某校组织“篮球”比赛，分成了、、三组进行挑战赛，其规则如下：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，且被挑战方拥有下一次的挑战权，若挑战权在组，挑战、组的概率为，，若挑战权在组，则挑战、组的概率为，，若挑战权在组，则挑战、组的概率为，.已知首先由组发起挑战，按此规则进行了多次挑战. ①前3次挑战后，求组拥有挑战权的次数的分布列与数学期望； ②经过次挑战后，挑战权在组的概率为，求； ③数列收敛的定义：已知数列，若对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，，（是一个确定的实数），则称数列收敛于.根据数列的定义证明②中收敛. 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)能 (2)①分布列见解析，；②；③证明见解析 【分析】（1）根据列联表数据计算，再由独立性检验可判断； （2）①根据题意，的可能取值为，分别计算出概率，写出分布列并利用公式计算期望即可；②根据题意列出数量递推式，构造数列得到通项；③利用“收敛数列”定义即可证明. 【详解】（1）零假设为：篮球运动情况与年龄无关， 由列联表数据可得， 因为，，， 所以根据小概率值的独立性检验，认为不成立，即认为篮球运动与年龄有关，此推断犯错误的概率不超过. （2）①依题意知，的可能取值为， 则， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 . ②设第次挑战权在、组的概率分别是、，，， 依题意可得， （1）+（3）得， 由（2）得， 所以， 即， ， ，其中， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. ③证明：对任意，总存在正整数，（其中表示取整函数）， 当时，， 所以收敛. 43．(24-25高二下·广东广州天河区·期末)为了研究广告支出与销售额的关系，现随机抽取5家超市作为样本，得到其广告支出x（单位：万元）与销售额W（单位：万元）数据如下： 超市 A B C D E 广告支出x 1 2 3 4 5 销售额W 4 9 14 18 (1)当时，根据表中样本数据，计算相关系数r，并推断它们的相关程度（保留两位小数）； (2)根据表中样本数据，用最小二乘法得到销售额W关于广告支出x的回归直线方程为，销售额W的方差为52.4，求的值，并计算广告支出为5（万元）时销售额的残差； (3)收集更多变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型，对应的残差如图所示，则模型误差是否满足一元线性回归模型的与的假设（直接写出结果）． 附：相关系数，回归系数，参考数据：． 【答案】(1)，相关性很强 (2)，0.8 (3)满足一元线性回归模型的的假设，不满足一元线性回归模型的的假设． 【分析】（1）求出和，求出即可求解； （2）根据销售额的方差52.4列方程求解，求出和，求出，求出销售量关于广告支出的回归直线方程即可求解； （3）根据残差图的性质即可求解. 【详解】（1）由题知， 0 1 2 1 5 7 ， ， ， 相关系数， 接近于1，可以推断两个变量正线性相关，且相关性很强； （2）因为销售额的方差52.4， 即， 所以， 化为， 解得（舍去）， 所以， 因为回归直线方程为经过样本中心点， 把代入得， 销售量关于广告支出的回归直线方程为， 当时，代入得预测值， 而观测值，所以广告支出为5（万元）时销售额度的残差：（万元）； （3）由残差图，模型误差满足一元线性回归模型的的假设， 不满足一元线性回归模型的的假设． 44．(24-25高二下·广东茂名普通高中·期末)某研究小组为了探究性别与商场购物意愿之间是否存在关联，随机调查200名市民，得到如下数据： 单位：人 性别 商场购物意愿 合计 喜欢在商场购物 不喜欢商场购物 男性 60 30 90 女性 90 20 110 合计 150 50 200 (1)根据小概率值的独立性检验，分析性别与商场购物意愿是否有关联. (2)采用分层随机抽样，从调查中喜欢商场购物的市民抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中男性人数X的分布列和期望. (3)某商场推出购物抽奖促销活动，抽奖是从一个装有1个红球、1个白球、4个黄球的不透明盒子中，依次有放回随机地摸取1个球.规则如下：每摸中1次红球，奖励10元购物券；当消费者摸中红球的个数比黄球个数多1时，抽奖结束，否则抽奖继续.记甲在n次摸球后抽奖结束且获奖30元购物券的概率为，求当取最大值时n的值. 附：，. 临界值表： α 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)性别与商场购物意愿有关 (2)分布列见解析， (3)5 【分析】（1）计算卡方，与临界值比较，根据独立性检验思想得解； （2）根据分层抽样，这5人中2人是男性，3人是女性，X的可能取值为0，1，2，依次求出X每个取值对应的概率，列出分布列得解； （3）根据题意，甲在抽奖的过程中共抽中3次红球，第n次摸到红球，前次中有抽到2次黄球、2次红球，是“黄红黄红”或“黄黄红红”的顺序，其余均抽到白球，共有种，求出的表达式，判断的单调性，得解. 【详解】（1）零假设为：性别与商场购物意愿无关，， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即性别与商场购物意愿有关. （2）调查中喜欢商场购物的市民共有150人，男性人数:女性人数， 所以分层随机抽样抽取的5人中2人是男性，3人是女性， 则X的可能取值为0，1，2， ，，， 所以X的分布列如下： X 0 1 2 P 所以2人中男性人数的数学期望. （3）因为n局获奖励30元，说明甲在抽奖的过程中共抽中3次红球， 由于红球的个数比黄球个数多1时结束抽奖，说明第n次摸到红球，前次中有抽到2次黄球、2次红球， 且是“黄红黄红”或“黄黄红红”的顺序，其余均抽到白球，共有种， 则“n次摸球后抽奖结束且甲获奖30元购物券”的概率，， 于是， 因为，所以上式小于0，故， 即单调递减，则当时，取最大值. 另解：， 因为，所以上式小于1，所以. 45．(24-25高二下·贵州黔西南布依族苗族兴义第一中学·期末)某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表： 价格x（元/kg） 日需求量y（kg） 8 6 5 (1)求y关于x的线性回归方程； (2)利用（1）中的回归方程，当价格元/kg时，日需求量y的预测值为多少？ 参考公式：线性回归方程，其中，. 【答案】(1)； (2)kg. 【分析】（1）直接根据最小二乘法估计求回归方程； （2）直接根据回归方程计算预测值. 【详解】（1）由题知，， ， . ，. 综上，y关于x的线性回归方程为：. （2）由（1）知回归方程为. 所以当时，. 故当价格元/kg时，日需求量y的预测值为kg. 46．(24-25高二下·广东中山第一中学·期末)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）做好记录.下表是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得，， ，，其中为抽取的第个零件的尺寸（）． 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸（cm） 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸（cm） 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 (1)求（）的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）； (2)一天内抽检的零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ (3)在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01） 【答案】(1)可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小 (2)需对当天的生产过程进行检查 (3)均值；标准差． 【分析】（1）由样本数据得相关系数，验证是否成立，然后得结论； （2）由求得，即可得到得结论； （3）剔除离群值，求剩下数据的平均值，即求得这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值.由得，即可求出剔除第13个数据，剩下数据的样本方差，即求得这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值. 【详解】（1）由样本数据得相关系数： ． ，可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小． （2）∵，，∴，， 抽取的第13个零件的尺寸在以外， 需对当天的生产过程进行检查． （3）剔除离群值，即第13个数据， 剩下数据的平均数为， 即这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为； 由得：， 剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为， 样本标准差为， 即这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为． 47．(24-25高二下·广东湛江第一中学·期末)已知变量之间具有线性相关关系，根据5对样本数据求得经验回归方程为，若，，则（　　） A．18 B．3.6 C．2.4 D．1.2 【答案】B 【分析】先根据条件求出样本点中心为，再将其代入经验回归方程中即可. 【详解】根据题意可得，，， 则5对样本数据的样本点中心为， 将其代入方程中得，，则. 故选：B. 48．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期末)“爱国、敬业、诚信、友善”是社会主义核心价值观个人层面的价值准则.某学校为加强对学生的教育，倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量 （单位：箱） 7 6 6 5 6 收益 （单位：元） 165 142 148 125 150 (1)求收益y关于售出水量x的回归直线方程，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ (2)期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级从第201名到500名的同学，获二等奖学金300元；考入年级501名及以后的特困生不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.如果已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望 附： 【答案】(1)，186 (2)分布列见解析，600 【分析】（1）求出、，从而求出回归方程，将代入求出即可； （2）计算对应的概率的值，求出其分布列和期望值即可． 【详解】（1）， ， ， 当时，（元）， 即某天售出8箱水的预计收益是186元. （2）X的取值可能为0，300，500，600，800，1000， ，， ，， ，， 即X的分布列为 X 0 300 500 600 800 1000 P X的数学期望 （元）. 49．(24-25高二下·山西吕梁·期末)某科技公司对三文鱼的传统淡水网箱养殖法和AI赋能的新型深远海智能网箱养殖法进行产量对比研究．科研人员在收获季节分别从传统养殖网箱和深远海智能养殖网箱中，各随机抽取了100个网箱，测量每箱三文鱼的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图所示． (1)根据频率分布直方图，补全下面列联表． 养殖法 箱产量 合计 箱产量 箱产量 传统养殖 智能养殖 30 合计 200 (2)根据小概率的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关． （，，） 【答案】(1)填表见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）利用频率分布直方图可计算得到新传统养殖法箱产量低于50kg和不低于50kg的数量，进而可得列联表； （2）结合（1）中列联表计算可得，对比临界值即可得到结论． 【详解】（1）由频率分布直方图知：传统养殖法箱产量低于50kg的箱数为； ，不低于50kg的箱数为； 由此可得列联表如下： 养殖法 箱产量 合计 箱产量50kg 箱产量50kg 传统养殖 60 40 100 智能养殖 30 70 100 合计 90 110 200 （2）零假设：箱产量与养殖方法无关      因为，      所以根据小概率的独立性检验，我们推断不成立，即认为箱产量与养殖方法有关，此推断犯错误的概率不超过0.001． 50．(24-25高二下·河北沧州·期末)在某次考试中，某学校要对某年级的学习总评成绩（满分100分）和体育成绩（满分100分）进行统计分析，为研究方便，现抽取出了其中各100名学生的成绩（分为优秀和一般）进行统计． 优秀 一般 合计 学习总评成绩 体育成绩 合计 (1)若统计的数据中学习总评成绩在前十名的成绩分别为99，98，98，97，96，96，96，94，94，93，求这十个成绩的平均数和第70百分位数； (2)统计可得，学习总评成绩优秀60人，体育成绩一般30人，填写如下列联表，依据的独立性检验，能否认为学习总评成绩优秀与体育成绩优秀有关？ 参考公式：，． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)平均数为96.1，第70百分位数为97.5 (2)表格见解析，认为学习总评成绩优秀与体育成绩优秀无关． 【分析】（1）把成绩按照小到大排列，可算出第70百分位数和平均数； （2）梳理成表格，找到的对应值，带入公式，找到对应判定区间，得到答案 【详解】（1）把学习总评成绩在前十名的成绩从小到大排列为93，94，94，96，96，96，97，98，98，99， 所以平均数为， 因为％＝7，所以第70百分位数为． （2）根据题意，填表可得， 优秀 一般 合计 学习总评成绩 60 40 100 体育成绩 70 30 100 合计 130 70 200 零假设为：学习总评成绩优秀与体育成绩优秀无关， 由表中数据可知，， 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为学习总评成绩优秀与体育成绩优秀无关． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 终极压轴 导数、数列及计数原理与概率统计 5大高频考点概览 压轴01数列 压轴02导数 压轴03计数原理 压轴04 随机变量及其分布列 压轴05 成对数据的统计分析 ( 地 城 压轴 01 数列 ) 1．(24-25高二上·河北·期末)已知数列中，． (1)证明数列是等差数列， (2)求的通项公式； (3)设，求的前项和． 2．(24-25高二上·河北正定中学·期末)已知数列中，，则数列的通项公式______． 3．(24-25高二下·云南罗平县第一中学·期末)已知数列的前项和满足且，则＝________. 4．(24-25高二下·河南鹿邑县弘道中学等学校·期末)已知数列满足点在直线上，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 5．(24-25高二下·云南曲靖会泽县·期末)已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 (1)证明：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 6．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期中)斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，斐波那契数列可以用如下方法定义：，则的个位数字是_________． 7．(24-25高二下·福建泉州安溪一中、惠安一中、养正中学、泉州实验中·期末)（多选）已知数列，其前项和为，若存在常数，对任意，恒有，则称为数列.则下列说法正确的是（    ） A．若为等差数列，则为数列 B．若是以1为首项，为公比的等比数列，则为数列 C．若为一数列，则也为数列 D．若为一数列，则也为数列 8．(24-25高二下·辽宁五校联考·期末)已知数列，若数列与数列都是公差不为零的等差数列，则数列的公差为（   ） A． B． C． D．不确定 9．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期末)甲、乙玩报数游戏，约定规则如下：甲、乙轮换报数，若一人报出的正整数为奇数，则另一人报出的数为；若一人报出的正整数为偶数，则另一人报出的数为；当一人报出的数为1时，游戏结束．已知由甲先报数，且报出的正整数为．若，则游戏结束时，甲报出数字的次数为_____；若游戏结束时，甲、乙共报数次，则正整数所有可能的取值之和为_____． 10．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期末)已知数列中，，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)记，数列的前项和为． （i）求的取值范围； （ii）求证：． ( 地 城 压轴 02 导数 ) 11．(24-25高二·福建厦门大学附属科技中学·期末)已知且，若集合，，且，则实数的取值范围是______. 12．(24-25高二下·广东湛江第一中学·期末)拓扑学里有一个非常重要的不动点定理：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个“不动点”，若，则称为的“稳定点”.将函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，. (1)对于函数，分别求出集合和； (2)若函数在定义域内单调递增，求证：； (3)已知，若的稳定点的个数. 13．(24-25高二下·福建师范大学附属中学、福州一中、三中·期末)已知方程有且仅有四个不相等的正实数根，且其中两根之和等于另外两根之积，实数a、b满足，则实数a的取值范围是________． 14．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期中)设函数定义在区间I上，若对任意，有，则称为I上的下凸函数，等号成立当且仅当．若函数在区间I上存在二阶可导函数，则为区间I上的下凸函数的充要条件是． (1)若是上的下凸函数，求实数a的取值范围； (2)在锐角三角形中，求最大值； (3)已知正实数满足，求的最小值． 15．(24-25高二下·广东深圳罗湖区·期末)已知函数. (1)证明：当时，直线与曲线相切； (2)若是增函数，求实数的取值范围； (3)设，且，分别为的极大值点和极小值点，记，，证明：直线与曲线有异于，的交点. 16．(24-25高二下·吉林长春长春吉大附中实验学校·期末)对于函数，若存在m，n，使得，则称与 为“互补函数”，且,为“互补数”.已知函数和.若函数与为“互补函数”，且,为“互补数”. (1)是否存在,，满足，若存在，求出,的值，若不存在，请说明理由； (2)若，，求的最小值. 17．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)已知函数，． (1)当时，求函数在区间上的值域 (2)若，试判断函数是否存在极值，若存在，请确定极值点；若不存在，请说明理由； (3)若函数有三个不同的零点，，）．求a的取值范围； 18．(24-25高二下·河北秦皇岛河北昌黎第一中学·期末)给定函数，设，若存在实数，，使得在区间上是严格单调函数，则称为的“正弦单调区间”，并将的最大值称为的“正弦单调值”． (1)写出的一个“正弦单调区间”，并求出的“正弦单调值”； (2)若，求证：对任意的非零实数，的“正弦单调值”为定值； (3)若，，当，变化时，求的“正弦单调值”的最大值，以及的“正弦单调值”取最大值时实数，的取值集合． 19．(24-25高二下·湖南衡南县第一中学·期末)在平面直角坐标系中，分别以x轴和y轴为实轴和虚轴建立复平面，已知复数，在复平面内满足为定值的点的轨迹为曲线．且点在曲线上． (1)求的方程； (2)是过右焦点的弦（不是长轴），的中点为G，过点A，B分别作直线l：的垂线，垂足分别为C，D，l与x轴的交点为E． （ⅰ）证明：； （ⅱ）记与的交点为M，与的交点为N，求四边形面积的最大值． 20．(24-25高二下·湖南衡南县第一中学·期末)定义在上的函数的导函数为，且满足，，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． ( 地 城 压轴 0 3 计数原理 ) 21．(24-25高二下·广东湛江第一中学·期末)有42个白球和14个红球，现根据颜色按比例分层随机抽样，抽取8个球放进一个袋子里，每次从袋子中摸出一个球，直到红球全部被取出，则摸球次数为4的概率是________. 22．(24-25高二下·重庆南开中学校·期末)在一个盒子中装有6个大小形状均相同的号码球，编号分别为1、2、3、4、5、6.李华每次从中有放回地随机摸一个号码球，记下每一次的号码，记第次取出的号码为，则使方程有解的概率为_________.（用分数表示） 23．(24-25高二下·广东汕尾·期末)若复数满足，且，在复平面内，在所对应的点中随机取出三个点，则这三个点两两之间的距离都不超过的概率为______． 24．(24-25高二下·贵州黔西南布依族苗族·期末)九宫格是一个源自中国古代的概念，具有多种含义和应用，在数学领域：九宫格是一种数字游戏，起源于河图洛书，要求在九个小格子中填入不同的数字，使得每一行每一列和对角线上的数字之和都相等.将1~9的自然数填入九个格中，如图1的九宫格，“?”处应填的数字是_____；如图2，不同的九宫格共有_____种. 25．(24-25高二下·湖北荆州·期末)（多选）设是非零实数，定义“数”，“阶乘”，规定，“组合数”．则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 26．(24-25高二下·四川乐山·期末)以走网格为例，从格点走到格点，只能向右或向上走，且在对角线的右下方（不能越过对角线）的路径的条数，就是卡特兰数，记为.则（   ） A． B． C． D． 27．(24-25高二下·广东深圳大学附属中学·期末)深圳市某公园一条笔直的林荫道上有张长椅．现因规划要求，需移走其中张长椅．要求两端的长椅不能移走，且移走的相邻两张长椅之间，至少要留下三张长椅，则不同的移走方案共有______． 28．(24-25高二下·广东广州番禺区·期末)如图，在下面的小三角形格子中填入1，2，3，4，5，6，7，8，9，要求每个格子中只能填一个数，每个数只能填一次且阴影格子中所填数比它相邻的白色格子中的数大，则共有______种填法． 29．(24-25高二下·河北沧州·期末)某箱子中放有编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的大小与形状都相同的小球，现由A，B二人轮流从该箱子中不放回地取出小球，并记下小球的编号，若A先取小球． (1)求B前两次取得的小球编号之和为13的概率． (2)当有一人所取出的小球编号之和为13时，游戏结束，并判定此人胜利． （ⅰ）求A取了3次小球并获得胜利的概率； （ⅱ）求A获得胜利的概率． 30．(24-25高二下·安徽阜阳·期末)为更好地服务群众，结合本地实情制定“焕新”补贴实施细则，阜阳市商务局对广大市民的需求进行问卷调查.已知热心参与问卷的市民有名，商务局决定专门为他们设置两次网上抽奖活动，每次抽奖都是由系统独立、随机地从这名市民中抽取20名市民，被抽中的市民会被赠送礼品，记两次抽中的市民总人数为（不重复计数）. (1)若甲是这名市民中的一人，且甲被抽中的概率为，求； (2)求使取得最大值时的整数. ( 地 城 压轴 0 4 随机变量及其分布列 ) 31．(24-25高二下·甘肃定西临洮县·期末)若随机变量，则___________ 32．(24-25高二·辽宁名校联盟·)某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； (2)已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. （i）请用表示； （ii）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，若增加2个元件，则单位时间内的利润是否提高. 33．(24-25高二下·福建师范大学附属中学、福州一中、三中·期末)联欢晚会上，有一个抽奖游戏．主持人从编号为1，2，3，⋯，n，的n个外观相同的箱子中随机选择两个不同的箱子分别放入一件奖品（共两件奖品），再将箱子关闭．主持人知道奖品在哪些箱子里．游戏规则如下： ①抽奖人首先选择一个箱子（记作k号箱）． ②主持人会从剩下的个箱子中打开一个空箱子（即没有奖品的箱子），且该箱子不是抽奖人选择的k号箱．如果有多个空箱子可选，主持人会随机选择一个打开． ③此时，抽奖人可以选择是否更换自己的选择． (1)设，，且主持人打开了3号箱．现在给你一次重新选择的机会： ①策略一：若你仍然选择1号箱，中奖的条件是什么？中奖概率是多少？ ②策略二：若你改选其他箱子（只能改选一次），应该选择哪个箱子？中奖概率是多少？试通过条件概率分析并说明哪种策略更优． (2)设，，且主持人打开了5号箱．定义随机变量X为另一个未被打开且未被选择的箱子中奖的箱子的最小编号（若另一个奖品在已打开的箱子中，则．求X的分布列及期望． (3)切比雪夫不等式指出：对于任意随机变量和，有，设，，主持人打开的箱子号码为随机变量Y．已知Y的方差．验证Y是否满足切比雪夫不等式对于的情况． 34．(24-25高二下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)设为正整数，，，…为枚质地不均匀的硬币.投掷硬币，设正面朝上的概率为，反面朝上的概率为.同时投出枚硬币，当正面朝上的硬币数为奇数时，即为游戏成功. (1)当，时，求游戏成功的概率； (2)当时，设游戏成功的概率为，求当时，与的递推关系，并证明是等比数列； (3)设，对于，的取值如下：，设此时游戏成功的概率为，求证：. 35．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期末)近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力．有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．我校团委拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为鼓励同学们积极参加此项活动，比赛规定：答对一题得两分，答错一题得一分，选手不放弃任何一次答题机会．已知甲同学报名参加比赛，每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率不一定相等． (1)若前三道试题，甲每道试题答对的概率均为p， ①设，记甲同学答完前三道题得分为X，求随机变量X的分布列和数学期望； ②若甲同学答完前四道题得8分的概率为，求甲同学答完前四题时至少答对三题的概率的最小值； (2)若甲同学答对每道题的概率均为，因为甲同学答对第一题或前两题都答错，均可得到两分，称此时甲同学答题累计得分为2，记甲答题累计得分为n的概率为， （ⅰ）求证：是等比数列； （ⅱ）求的最大值． 36．(24-25高二下·山东临沂·期末)某选手参加一项人工智能机器人PK比赛，规则如下：该选手的初始分为20分，每局比赛，该选手胜加10分；平局不得分；负减10分．当选手总分为0分时，挑战失败，比赛终止；当选手总分为30分时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛选手胜、平、负的概率分别为，且各局比赛相互独立. (1)求两局后比赛终止的概率； (2)在3局后比赛终止的条件下，求选手挑战成功的概率； (3)在挑战过程中，选手每胜1局，获奖5千元．记局后比赛终止且选手获奖1万元的概率为，求的最大值. 37．(24-25高二下·福建三明·期末)某芯片厂生产高端人工智能芯片须经过性能测试.已知通过测试Ⅰ的概率为40%，未通过测试I的芯片须进入测试Ⅱ，通过率为，通过任意一次测试即为合格芯片.已知一枚芯片合格，则该芯片是通过测试Ⅰ的概率为θ. (1)求θ（结果用p表示）； (2)切比雪夫不等式是概率论中关于随机变量偏离其均值的概率定理，其形式如下：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意，均有.请结合该定理解决下列两个问题： （ⅰ）若厂商声称该厂芯片通过测试Ⅱ的概率为50%.现质量检测部门随机抽取了该厂生产的100枚芯片，经检测有40枚合格.请说明该厂商的说法是否可信（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件）； （ⅱ）为估计θ，工厂随机抽取m枚合格芯片，其中k枚为通过测试Ⅰ，记.若要使得总能不超过0.01，试估计最小样本量）. 38．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末)某学校举行了一场知识竞赛，有两类题型，每道类题有两道小题，每位同学答对这两题的概率分别为、，两道小题全对可得50分，否则得0分.类题为25分，只有一个小题，每位同学答对的概率为，且答各小题之间相互独立.现有两种答题方案：方案一：选择答一道A类题两道B类题；方案二：选择答两道A类题. (1)若，对于方案二，试探究取何值时，满分的概率最高； (2)若，求选择方案一学生得分的分布列； (3)若，为了平衡难度，当选择方案二时，其中的一道类题只需答对任意一道小题即可得50分，以得分的数学期望为依据，判断应选择哪种方案答题. 39．(24-25高二下·福建福州第一中学·期末)（多选）甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，并且每次传球时传球者都等可能传给另外三人中的任何一人，则（   ） A．第一次球传出后恰好传给丙的概率为 B．第二次球传出后恰好传给丙的概率为 C．第二次球传出后恰好传给丙，且此球是由乙传出的概率 D．球第次传出后恰好传给丙的概率为 40．(24-25高二下·福建福州福九联盟（高中）·期末)现有甲乙两个盒子，甲盒中装有除颜色外其他都一样的1个红球和2个黑球，乙盒中装有除颜色外其他都一样的2个红球和1个黑球.现从这两个盒子中各任取一个球，交换之后放入另一个盒子中去，称为1次球的交换的操作，如此重复次这样的操作后乙盒子中红球的个数记为 (1)求； (2)求的概率分布列并求出; (3)证明： ( 地 城 压轴 0 5 成对数据的统计分析 ) 41．(24-25高二下·辽宁鞍山第二十四中学·期末)自2021年起，我国居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表所示： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 时间代号 1 2 3 4 5 储蓄存款（千亿元） 4.76 4.61 5.32 5.41 5.38 （表中部分数据已精确至0.0001，表中数据可直接代入公式进行运算） 可能用到的估计值：，， 9 25.9692 130.4246 78.48 1554.2872 (1)求关于的回归方程； (2)用（1）所求回归方程预测该地2027年（）的人民币储蓄存款额； (3)求样本的相关系数．（精确至0.01） 附：，， 42．(24-25高二下·山东淄博·期末)生活中运动对人体健康非常重要，为了了解不同年龄人群篮球运动的情况，随机调查了400人，得到如下数据： 年龄 篮球运动情况 合计 经常运动 不经常运动 40及以上 130 70 200 40以下 100 100 200 合计 230 170 400 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为篮球运动的情况与年龄有关？ (2)某校组织“篮球”比赛，分成了、、三组进行挑战赛，其规则如下：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，且被挑战方拥有下一次的挑战权，若挑战权在组，挑战、组的概率为，，若挑战权在组，则挑战、组的概率为，，若挑战权在组，则挑战、组的概率为，.已知首先由组发起挑战，按此规则进行了多次挑战. ①前3次挑战后，求组拥有挑战权的次数的分布列与数学期望； ②经过次挑战后，挑战权在组的概率为，求； ③数列收敛的定义：已知数列，若对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，，（是一个确定的实数），则称数列收敛于.根据数列的定义证明②中收敛. 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 43．(24-25高二下·广东广州天河区·期末)为了研究广告支出与销售额的关系，现随机抽取5家超市作为样本，得到其广告支出x（单位：万元）与销售额W（单位：万元）数据如下： 超市 A B C D E 广告支出x 1 2 3 4 5 销售额W 4 9 14 18 (1)当时，根据表中样本数据，计算相关系数r，并推断它们的相关程度（保留两位小数）； (2)根据表中样本数据，用最小二乘法得到销售额W关于广告支出x的回归直线方程为，销售额W的方差为52.4，求的值，并计算广告支出为5（万元）时销售额的残差； (3)收集更多变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型，对应的残差如图所示，则模型误差是否满足一元线性回归模型的与的假设（直接写出结果）． 附：相关系数，回归系数，参考数据：． 0 1 2 1 5 7 44．(24-25高二下·广东茂名普通高中·期末)某研究小组为了探究性别与商场购物意愿之间是否存在关联，随机调查200名市民，得到如下数据： 单位：人 性别 商场购物意愿 合计 喜欢在商场购物 不喜欢商场购物 男性 60 30 90 女性 90 20 110 合计 150 50 200 (1)根据小概率值的独立性检验，分析性别与商场购物意愿是否有关联. (2)采用分层随机抽样，从调查中喜欢商场购物的市民抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中男性人数X的分布列和期望. (3)某商场推出购物抽奖促销活动，抽奖是从一个装有1个红球、1个白球、4个黄球的不透明盒子中，依次有放回随机地摸取1个球.规则如下：每摸中1次红球，奖励10元购物券；当消费者摸中红球的个数比黄球个数多1时，抽奖结束，否则抽奖继续.记甲在n次摸球后抽奖结束且获奖30元购物券的概率为，求当取最大值时n的值. 附：，. 临界值表： α 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 45．(24-25高二下·贵州黔西南布依族苗族兴义第一中学·期末)某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表： 价格x（元/kg） 日需求量y（kg） 8 6 5 (1)求y关于x的线性回归方程； (2)利用（1）中的回归方程，当价格元/kg时，日需求量y的预测值为多少？ 参考公式：线性回归方程，其中，. 46．(24-25高二下·广东中山第一中学·期末)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）做好记录.下表是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得，， ，，其中为抽取的第个零件的尺寸（）． 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸（cm） 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸（cm） 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 (1)求（）的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）； (2)一天内抽检的零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ (3)在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01） 47．(24-25高二下·广东湛江第一中学·期末)已知变量之间具有线性相关关系，根据5对样本数据求得经验回归方程为，若，，则（　　） A．18 B．3.6 C．2.4 D．1.2 48．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期末)“爱国、敬业、诚信、友善”是社会主义核心价值观个人层面的价值准则.某学校为加强对学生的教育，倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量 （单位：箱） 7 6 6 5 6 收益 （单位：元） 165 142 148 125 150 (1)求收益y关于售出水量x的回归直线方程，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ (2)期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级从第201名到500名的同学，获二等奖学金300元；考入年级501名及以后的特困生不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.如果已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望 附： 49．(24-25高二下·山西吕梁·期末)某科技公司对三文鱼的传统淡水网箱养殖法和AI赋能的新型深远海智能网箱养殖法进行产量对比研究．科研人员在收获季节分别从传统养殖网箱和深远海智能养殖网箱中，各随机抽取了100个网箱，测量每箱三文鱼的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图所示． (1)根据频率分布直方图，补全下面列联表． 养殖法 箱产量 合计 箱产量 箱产量 传统养殖 智能养殖 30 合计 200 (2)根据小概率的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关． （，，） 养殖法 箱产量 合计 箱产量50kg 箱产量50kg 传统养殖 60 40 100 智能养殖 30 70 100 合计 90 110 200 50．(24-25高二下·河北沧州·期末)在某次考试中，某学校要对某年级的学习总评成绩（满分100分）和体育成绩（满分100分）进行统计分析，为研究方便，现抽取出了其中各100名学生的成绩（分为优秀和一般）进行统计． 优秀 一般 合计 学习总评成绩 体育成绩 合计 (1)若统计的数据中学习总评成绩在前十名的成绩分别为99，98，98，97，96，96，96，94，94，93，求这十个成绩的平均数和第70百分位数； (2)统计可得，学习总评成绩优秀60人，体育成绩一般30人，填写如下列联表，依据的独立性检验，能否认为学习总评成绩优秀与体育成绩优秀有关？ 参考公式：，． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $