专题04 随机变量及其分布列（期末真题汇编）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦随机变量及其分布列专题，汇编6大高频考点，精选多地区期末真题，解答题融入诚信用水、抽奖活动等现实情境，梯度覆盖基础应用与综合创新。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|每题4分，含单选多选|离散型随机变量分布列、条件概率等|结合防疫值班考二项分布，多选题辨析超几何分布与独立事件| |填空|每题5分|分布列性质、概率计算|生产标兵日产量等实际场景，考查概率公式应用| |解答|10-12分/题|全概率公式、均值方差、正态分布|诚信用水收益回归分析，融合统计与概率，体现数学建模|

专题04 随机变量及其分布列 6大高频考点概览 考点01离散型随机变量及其分布列 考点02条件概率 考点03全概率公式 考点04 二项分布及其应用 考点05 离散型随机变量的均值与方差 考点06 正态分布 ( 地 城 考点01 离散型随机变量及其分布列 )一、选择题 1．(24-25高二下·内蒙古赤峰·期末)设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 若随机变量，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 2．(24-25高二下·新疆·期末)已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X a a＋1 P x A． B． C． D． 3．(24-25高二下·新疆·期末)已知随机变量服从两点分布，且，设，则＝（    ） A．0.72 B．0.28 C．0.16 D．0.84 4．(24-25高二下·辽宁五校联考·期末)设离散型随机变量可能取的值为，且，又的数学期望，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高二下·内蒙古赤峰·期末)一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)（多选）下列说法正确的有（   ） A．某学校有2025名学生，其中男生1013人，女生1012人，现选派10名学生参加学校组织的活动，记男生的人数为X，则X服从超几何分布 B．若随机变量的均值，则 C．若随机变量的方差，则 D．随机变量，则 7．(24-25高二下·甘肃白银实验中学·期末)（多选）某次体育比赛团体决赛实行五场三胜制，且任何一方获胜三场即比赛结束．甲、乙两个代表队最终进入决赛，根据双方排定的出场顺序及以往战绩统计分析，甲队依次派出的五位选手分别战胜对手的概率如下表： 出场顺序 1号 2号 3号 4号 5号 获胜概率 若比赛结束时甲队获胜的场数为，且，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期末)某工厂生产车间有日生产件数为95件的“生产标兵”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和为150件的概率为__________． 9．(24-25高二下·天津河西区·期末)若随机变量的分布列如表所示，则的最小值为________． 三、解答题 10．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期末)“爱国、敬业、诚信、友善”是社会主义核心价值观个人层面的价值准则.某学校为加强对学生的教育，倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量 （单位：箱） 7 6 6 5 6 收益 （单位：元） 165 142 148 125 150 (1)求收益y关于售出水量x的回归直线方程，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ (2)期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级从第201名到500名的同学，获二等奖学金300元；考入年级501名及以后的特困生不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.如果已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望 附： ( 地 城 考点02 条件概率 ) 一、选择题 1．(24-25高二下·广东湛江第一中学·期末)一个箱子中有10个质地、大小相同的球，共5种颜色，每种颜色有2个球，现从中任取2球，若在其中一个球为红色的条件下，另一个球也为红色的概率为（ ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)语文老师想了解全班同学课外阅读中国古典四大名著的情况，经调查，全班同学中阅读过《红楼梦》的占，阅读过《三国演义》的占，阅读过《红楼梦》或《三国演义》的占，现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为（   ） A．0.8 B．0.6 C．0.45 D．0.75 3．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期中)随机事件、满足，，，下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件独立 B． C． D． 4．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期中)某个袋子中装有大小形状完全相同的红球和白球各5个，小王从中不放回的逐一取球，在第一次取得白球的条件下，第二次取到红球的概率是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高二下·甘肃临夏州·期末)已知事件满足，则下列结论正确的是（    ） A．若互斥，则 B．若，则 C．若与相互独立，则 D．若，则与相互独立 6．(24-25高二下·湖南长沙宁乡·期末)银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后的1位数字，则任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率是：（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高二下·广东湛江第一中学·期末)（多选）若是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（ ） A．A与B相互独立 B． C． D． 8．(24-25高二下·福建漳州第三中学·期末)（多选）甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．(24-25高二下·甘肃临夏州·期末)已知两个随机事件，若，，则_______. 三、解答题 10．(24-25高二下·湖南衡阳第八中学·期末)下表为某汽车模型公司共有个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 7 米色内饰 3 5 (1)若小明从这些模型中随机抽一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B为取到的模型是米色内饰，求，，并据此判断事件A，B是否相互独立． (2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中抽两个汽车模型．现做出如下假设： 假设1．抽取的情况有三种可能，外观和内饰均同色、外观和内饰均异色、外观和内饰恰有一种同色； 假设2．一等奖为元，二等奖为元，三等奖为元； 假设3．按抽到的结果的概率大小，概率越小，奖金越高． 请你帮该公司判断哪种情况分别为一、二、三等奖．设奖金为X，写出X的分布列，并求X的期望． ( 地 城 考点0 3 全概率公式 ) 一、选择题 1．(24-25高二下·宁夏育才中学·期末)最近感冒频发，某任同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒盒、莲花清瘟胶囊盒、感冒灵颗粒盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，，，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·新疆·)某超市鸡蛋成板出售，每板10个．若各板鸡蛋含0，1，2个破损鸡蛋的概率分别为，，．甲计划在该超市购买一板鸡蛋，先由超市服务员随意取一板，再由甲任意抽取该板鸡蛋中的3个鸡蛋，若没有破损鸡蛋，则买下该板鸡蛋，否则退回，则甲买下该板鸡蛋的概率为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·福建泉州安溪一中、惠安一中、养正中学、泉州实验中·期末)箱子中有6个大小、材质都相问的小球，其中4个红球，2个白球，每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回.设事件表示“第1次摸球，摸到红球”，事件表示“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·山东威海·期末)已知随机事件A，B满足，，，则（   ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8 5．(24-25高二下·新疆乌鲁木齐第101中学·期末)（多选）已知某工厂甲、乙，丙三个车间同时生产同种元器件：甲、乙、丙车间一天生产的元器件个数分别为600、300、100件，且生产中造成的次品率分别为3%、2%、1%；现在在这三个车间生产的产品中任意取一件产品质检，下列叙述正确的有（   ） A．此件产品是次品的概率为0.02 B．此件产品是次品的概率为0.025 C．此件产品是次品的情况下，来自甲车间的概率是来自于乙车间概率的2倍 D．此件产品是次品的情况下，此件产品来自于丙车间的概率为0.04. 6．(24-25高二下·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期末)（多选）某比赛共进行局，每局比赛没有平局，2n局比赛结束后赢得n局以上的一方获胜.甲、乙进行该比赛，已知甲每局比赛获胜的概率为p，每局比赛的结果相互独立，记甲在该比赛中获胜的概率为，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则当时，最大 C．若，则当时，最小 D．若，则当时，最大 二、填空题 7．(24-25高二·福建厦门大学附属科技中学·期末)为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习，如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为______. 8．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)A、B两个箱子中各装有3个产品，其中A箱子中是2个正品和1个次品，B箱子中是3个次品.现从A、B两箱子中各取一个产品交换放入另一箱子中，重复次这样的操作，记A箱子中正品个数为，恰有2个正品的概率为，恰有1个正品的概率为，则________，的数学期望________.（用表示） 三、解答题 9．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)随着荣昌卤鹅爆火全国，重庆旅游业迎来了快速增长，重庆某区为吸引游客，在一条古街的家商店中分别售卖款不同的文创产品（每家店仅售一款）．假设小明对每款文创产品的喜爱程度均不相同，且只能在逛店时进行比较．小明想购买一款文创产品留作纪念，他依次逛完所有商店，且不回头（即小明一旦购买一款文创产品，即使后面遇到更喜爱的也不能再更改选择）．为了能使购买到最喜爱文创产品的概率最大，你替小明制定了如下两种策略： 策略：直接购买第一家店里的文创产品； 策略：如图所示，先将遇到前款文创产品作为参考组，其余文创产品作为候选组，参考组中文创产品均不做选择，若候选组中一旦出现比参考组都要更喜爱的文创产品，则立刻购买该款文创产品；若到最后都没有出现比参考组都要更喜爱的文创产品，则选择买下最后一款文创产品． 设小明通过策略购买到最喜爱文创产品的事件为，事件发生的概率为． (1)若，求的值，并比较策略和的优劣； (2)设，设小明最喜爱文创产品位于第个店里的事件为， （i）写出的值和表达式； （ii）已知有9款文创产品，求使最大的值． 参考数据：． 10．(24-25高二下·新疆乌鲁木齐第101中学·期末)已知甲、乙两个人爱好中国象棋，甲乙两人进行对弈，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行，记甲第局赢的概率为. (1)求乙第2局赢的概率； (2)求； (3)若存在，使得成立，求整数的最小值. 【参考：，，，】 ( 地 城 考点0 4 二项分布及其应用 ) 一、选择题 1．(24-25高二下·云南曲靖会泽县·期末)某社区开展防疫值班工作，甲乙丙三人轮流参与，规则如下：①第1天安排甲值班；②第2天从乙丙两人中随机选1人值班；③第天，从前一天未值班的2人中随机选1人值班，则第天甲值班的概率为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·福建漳州第一中学·期末)下列说法错误的是（   ） A．若随机变量服从正态分布，且，则 B．若事件相互独立，，则 C．对具有线性相关关系的变量，利用最小二乘法得到的经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 D．对样本相关系数，越大，两个变量之间的线性相关性越强 3．(24-25高二下·山西·期末)若随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·吉林农安县第十中学·期末)如图，现有三个质地均匀的骰子，其中正方体骰子六个面分别标以数字1到6、正四面体骰子四个面分别标以数字1到4，正八面体骰子八个面分别标以数字1到8.现进行抛骰子游戏，规定：第一次抛掷正方体骰子，记骰子朝上的面上的数字为a，若a为奇数，则第二次抛掷正四面体骰子，若为偶数，则第二次抛掷正八面体骰子，记第二次抛掷的骰子与地面接触的面上的数字为.根据以上规定，的概率为（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期末)若随机变量，随机变量，且，，则（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期末)（多选）下列说法中，正确的有（   ） A．的展开式中，的系数是60 B．若的展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列，则 C．用数字0，1，2，3，4组成的无重复数字的四位数中，偶数的个数为60 D．某篮球运动员投球的命中率是，他投球4次，相互独立，则恰好投进3个球的概率为. 二、填空题 7．(24-25高二下·福建泉州安溪一中、惠安一中、养正中学、泉州实验中·期末)如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则______．    8．(24-25高二下·福建福州第三中学·期末)已知甲袋中有1个白球和2个黑球，乙袋中有2个白球，这5个球除颜色外无其他差异．现从甲、乙两袋中各取出1个球，交换后再放入甲、乙两袋中（即甲袋中取出的球放入乙袋，乙袋中取出的球放入甲袋）．如此交换两次后，甲袋中的白球个数记作，则_____． 三、解答题 9．(24-25高二下·江苏宿迁·期末)某超市为吸引顾客，组织购物抽奖活动，抽奖机中有种不同面值的代金券可抽，抽得的代金券可在本超市消费，抽奖规则如下： 顾客先在抽奖机上随机抽取一个数（）． （Ⅰ）当时，随机抽得一张代金券； （Ⅱ）当时，随机抽取张面值不同的代金券，但这些代金券都不能用于消费．仅供参考，随后从剩下的（）张代金券中逐个随机抽取，一旦出现比这张代金券的面值都高的，即抽得该张代金券；若后面没有比这种的面值都高的，则抽得最后一张代金券． 某位顾客购物后参加抽奖活动． (1)当，且三张代金券的面值分别为元，元，元时. ①若其抽取的数，求其抽得代金券的面值的均值和方差； ②求其抽得元代金券的概率. (2)当，顾客抽取（）为何值时，抽得最高面值的代金券的概率最大？ 10．(24-25高二下·宁夏六盘山高级中学·期末)2025年，某生物研究所为了庆祝在基因编辑技术研究方面取得的重大突破，准备举办一次有奖奖励活动，每位参与研究的科研人员都抽一次奖，规则如下：一个不透明的盒子中装有50个质地均匀且大小相同的小球，其中20个红球，30个白球，搅拌均匀后，抽奖人员从中随机抽取一个球，并有放回地连续抽取3次．研究所设计了两种奖励方案． 方案一：若抽到红球，则科研人员获得40元的奖金，若抽到白球，则获得10元的奖金． 方案二：若抽到红球，则科研人员获得60元的奖金，若抽到白球，则没有奖金． (1)若按方案一抽奖，求最终获得60元奖金的概率； (2)为了激励科研人员，让科研人员获得更多奖金，试通过比较两种抽奖方案最终获得奖金的数学期望，给出该研究所应选择哪种抽奖方案的建议? ( 地 城 考点0 5 离散型随机变量的均值与方差 ) 一、选择题 1．(24-25高二下·福建漳州第三中学·期末)下列说法中正确的是（ ） A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 B．在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位 C．若随机变量服从正态分布，且，则 D．若随机变量，满足，则， 2．(24-25高二下·新疆喀什疏附县·期末)随机变量X服从二项分布，则 为（     ） A．2 B．8 C．0.25 D．4 3．(24-25高二下·四川绵阳高中·期末)一批产品根据质量指标分为正品和次品，且次品率为，随机抽取1件，定义则随机变量的方差（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·辽宁五校联考·期末)随机变量，则的值为（   ） A． B． C．5 D．6 5．(24-25高二下·广东江门新会第一中学·期末)下列命题错误的是（ ） A．有一组数据为、、、、、、、，则它们的第百分位数为 B．线性回归直线一定经过样本点的中心 C．设，且，则 D．随机变量，若，，则 6．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)（多选）下列命题为真命题的有（   ） A．若，则 B．若且，则 C．一组数据11，13，17，19，20，22的第40百分位数是13 D．变量与的回归方程为，若观测数据中均值为1，则变量均值为1 二、填空题 7．(24-25高二下·河北衡水、廊坊等2地（NT20名校）·期末)已知随机变量，，且，，则______． 8．(24-25高二下·内蒙古赤峰·期末)已知随机变量满足，若，则期望______． 三、解答题 9．(24-25高二下·广东湛江第一中学·期末)为了解学生身体素质的情况，学校随机抽取了100位同学组织了一次体测，结果有20%的同学合格，经过调查，抽取的学生中只有10%的学生每日运动量能达标，每日运动量能达标的学生体测合格率有50%. (1)完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为体测成绩与每日运动量之间有关； 体测合格 体测不合格 合计 运动量达标 运动量未达标 合计 (2)从该校随机抽取三人，三人中体育项目测试相互独立，求三人中合格人数的分布列和期望； (3)为提升学生身体素质，学校决定给每个班级安排任务，规则如下：每天班主任从箱子里抽球，里面有2个白球和2个红球(大小、材质相同)，抽到红球放回，且学生就需要跑步1km；抽到白球则休息，抽完的球不放回，再往里放入一个红球，直至箱子里全部都是红球后结束，记天后任务结束的概率为.求. 附：，. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 10．(24-25高二下·福建漳州第三中学·期末)当前，全球贸易格局发生重大变化，随着中美贸易战的不断升级，越来越多的中国科技企业开始意识到自主创新的重要性，大大加强科技研发投入的力度，形成掌控高新尖端核心技术及其市场的能力.某企业为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）和年利润（单位：千万元）的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如下： 30.5 15 15 46.5 表中，. (1)根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； (2)已知年利润与，的关系为（其中为自然对数的底数），要使企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ (3)科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布.企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过，不予奖励；若超过，但不超过，每件产品奖励10元；若超过，每件产品奖励20元.记为每件产品获得的奖励，求. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 附：若随机变量，则，. ( 地 城 考点0 6 正态分布 ) 一、选择题 1．(24-25高二下·福建漳州第三中学·期末)已知随机变量，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·河南鹿邑县弘道中学等学校·期末)已知随机变量服从正态分布，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 3．(24-25高二下·福建三明·期末)已知随机变量，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．16 4．(24-25高二下·新疆乌鲁木齐第101中学·期末)某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（   ） 参考数据：，，. A．790 B．2720 C．430 D．1360 5．(24-25高二下·云南曲靖会泽县·期末)（多选）统计学中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则，某厂有一条零件加工的生产线，生产的零件长度服从正态分布（单位：毫米），则下列说法正确的是（    ）（参考数据：，） A． B．若，则 C． D．若抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，应对生产线进行检修 6．(24-25高二下·甘肃临夏州·期末)（多选）已知随机变量，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．(24-25高二下·甘肃定西临洮县·期末)若随机变量，则___________ 8．(24-25高二下·福建莆田·期末)若随机变量服从正态分布，则______.（附：若，则） 三、解答题 9．(24-25高二下·湖南长沙稻田中学·期末)某次歌手大赛设有专业评委组和业余评委组两个评委组，每组人.每首参赛歌曲都需要位评委打分（满分为分，且各评委打分相互独立）.从专业评委组的个分数中去掉一个最高分，去掉一个最低分，可求出剩余个有效得分的平均分，按照同样的方法可得到业余评委组打分的平均分.参赛选手该歌曲的最终得分为.在该比赛中，对某选手在初赛中参赛歌曲的得分进行整理，得到如下茎叶图. (1)计算、两小组各自有效得分的均值、及标准差、； (2)①专业评委组由于其专业性，有效打分通常比较集中；业余评委组由于水平不一，有效打分通常比较分散.利用（1）的计算结果推断、两个小组中的哪一个更有可能是专业评委组？请说明理由； ②在①的推断下，计算此选手初赛歌曲的最终得分； (3)若（2）的推断正确，且该选手成功进入复赛，复赛中位评委所打分数大致服从正态分布，试估计位评委中，打分在分以上的人数. 参考数据：①组名评委打分总和为，组名评委打分总和为；；； ②若，则，，. 10．(24-25高二下·福建泉州第一中学等四校联盟·期末)随着中美关税战的不断升级，某企业大大加强科技研发投入的力度，为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如 30.5 15 15 46.5 表中，. (1)根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）； (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并估计年研发费用为27千万元时年销售量的值； (3)科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布.企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过50%，不予奖励；若超过50%，但不超过53%，每件产品奖励2元；若超过53%，每件产品奖励4元.记为每件产品获得的奖励，求（精确到0.01）. 附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. ②若随机变量，则，. ③. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 随机变量及其分布列 6大高频考点概览 考点01离散型随机变量及其分布列 考点02条件概率 考点03全概率公式 考点04 二项分布及其应用 考点05 离散型随机变量的均值与方差 考点06 正态分布 ( 地 城 考点01 离散型随机变量及其分布列 )一、选择题 1．(24-25高二下·内蒙古赤峰·期末)设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 若随机变量，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【答案】A 【分析】由题意得计算求解即可. 【详解】由题可得. 故选：A 2．(24-25高二下·新疆·期末)已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X a a＋1 P x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用离散型随机变量的方差的计算公式进行求解即可. 【详解】因为，所以， 由题意得，， 所以． 故选：C. 3．(24-25高二下·新疆·期末)已知随机变量服从两点分布，且，设，则＝（    ） A．0.72 B．0.28 C．0.16 D．0.84 【答案】A 【分析】根据两点分布概率公式求解即可. 【详解】由题意可得， 故选：A. 4．(24-25高二下·辽宁五校联考·期末)设离散型随机变量可能取的值为，且，又的数学期望，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由分布列的性质及期望公式列方程求参数值，即可得. 【详解】离散随机变量可能取的值为1，2，3， （）， 故的数学期望①， 而且② ①②联立方程组，，解得： 则. 故选：D 5．(24-25高二下·内蒙古赤峰·期末)一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合超几何分布分析求解即可. 【详解】从10个零件中抽取3个的总方式数为； 不合格零件有3个，从中选1个的方式数为 ， 合格零件有7个，从中选2个的方式数为 ， 根据分布乘法计数原理，恰好1个不合格的总方式数为； 根据古典概型得. 故选：B 6．(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)（多选）下列说法正确的有（   ） A．某学校有2025名学生，其中男生1013人，女生1012人，现选派10名学生参加学校组织的活动，记男生的人数为X，则X服从超几何分布 B．若随机变量的均值，则 C．若随机变量的方差，则 D．随机变量，则 【答案】ABD 【分析】根据超几何分布判断A，应用数学期望及方差性质计算判断B，C，应用二项分布计算概率判断D. 【详解】A选项：根据超几何分布的定义，可知A正确； B选项：，故B正确； C选项：，故C错误； D选项：因为，所以， ， 根据组合数的对称性可知，故D正确， 故选:ABD． 7．(24-25高二下·甘肃白银实验中学·期末)（多选）某次体育比赛团体决赛实行五场三胜制，且任何一方获胜三场即比赛结束．甲、乙两个代表队最终进入决赛，根据双方排定的出场顺序及以往战绩统计分析，甲队依次派出的五位选手分别战胜对手的概率如下表： 出场顺序 1号 2号 3号 4号 5号 获胜概率 若比赛结束时甲队获胜的场数为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据，列出式子可以解出的值，然后逐项验证即可. 【详解】由题意可得: 时，前三场甲输，未进行后两场比赛， 所以，则．A正确 时，前3场甲1胜2负，第4场甲负，未进行第五场 ，解得．B错误 由题意知所有的可能取值为0，1，2，3，则 ， 甲胜率表如下所示： 出场顺序 1号 2号 3号 4号 5号 获胜概率 时，前4场甲2胜2负（含1和3胜；2和4胜；1，3中胜一场，2，4中胜一场三大类），第5场甲负 ， 时，前3局全胜未进行后2场比赛；前3局甲胜2场，第4场甲胜，未进行第五场比赛；前4场甲2胜2负，第5场甲胜（因第5场甲胜负概率相同，所以此时概率等于） ，C正确 所以的分布列为 0 1 2 3 故．D错误 故选：AC 二、填空题 8．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期末)某工厂生产车间有日生产件数为95件的“生产标兵”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和为150件的概率为__________． 【答案】/ 【分析】依题意可知日生产件数之和的所有可能取值为190，150，110，根据超几何分布的概率公式求出对应的概率； 【详解】由题意可得日生产件数之和的所有可能取值为190，150，110， 则可知. 故答案为： 9．(24-25高二下·天津河西区·期末)若随机变量的分布列如表所示，则的最小值为________． 【答案】 【分析】由分布列的性质可得，再应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件. 【详解】随机变量的分布列如表所示， ， ， ，当且仅当时取等号， 的最小值为． 故答案为：． 三、解答题 10．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期末)“爱国、敬业、诚信、友善”是社会主义核心价值观个人层面的价值准则.某学校为加强对学生的教育，倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量 （单位：箱） 7 6 6 5 6 收益 （单位：元） 165 142 148 125 150 (1)求收益y关于售出水量x的回归直线方程，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ (2)期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级从第201名到500名的同学，获二等奖学金300元；考入年级501名及以后的特困生不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.如果已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望 附： 【答案】(1)，186 (2)分布列见解析，600 【分析】（1）求出、，从而求出回归方程，将代入求出即可； （2）计算对应的概率的值，求出其分布列和期望值即可． 【详解】（1）， ， ， 当时，（元）， 即某天售出8箱水的预计收益是186元. （2）X的取值可能为0，300，500，600，800，1000， ，， ，， ，， 即X的分布列为 X 0 300 500 600 800 1000 P X的数学期望 （元）. ( 地 城 考点02 条件概率 ) 一、选择题 1．(24-25高二下·广东湛江第一中学·期末)一个箱子中有10个质地、大小相同的球，共5种颜色，每种颜色有2个球，现从中任取2球，若在其中一个球为红色的条件下，另一个球也为红色的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用条件概率公式即可解出答案. 【详解】设事件为“从箱子中任取两球均为红色”， 事件为“从箱子中任取两球至少有一球为红色”． 则由题意知， ,， 所求概率为. 故选：B． 2．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)语文老师想了解全班同学课外阅读中国古典四大名著的情况，经调查，全班同学中阅读过《红楼梦》的占，阅读过《三国演义》的占，阅读过《红楼梦》或《三国演义》的占，现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为（   ） A．0.8 B．0.6 C．0.45 D．0.75 【答案】D 【分析】设出相关事件，根据和事件的概率公式求出，再根据条件概率公式，即可求得答案. 【详解】设事件A：阅读过《红楼梦》；事件B：阅读过《三国演义》， 则，则， 而，即， 故， 故， 即现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为0.75， 故选：D 3．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期中)随机事件、满足，，，下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件独立 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可根据条件概率公式以及，再结合独立事件的判定条件来逐一分析选项. 【详解】对于选项A，因为，所以根据对立事件概率公式可得.又，所以.因此事件与事件不独立，选项A错误. 对于选项B，根据条件概率公式，已知，，将其代入公式可得，，选项B错误. 对于选项C，因为，且与互斥，所以.由选项B可知，又，则，选项C正确. 对于选项D，已知，根据对立事件概率公式可得.由选项B可知，所以，选项D错误. 故选：C. 4．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期中)某个袋子中装有大小形状完全相同的红球和白球各5个，小王从中不放回的逐一取球，在第一次取得白球的条件下，第二次取到红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用缩小空间的方法求出条件概率. 【详解】在第一次取得白球的条件下，袋子中还有9个球，其中红球5个，白球4个， 所以第二次取到红球的概率是. 故选：A 5．(24-25高二下·甘肃临夏州·期末)已知事件满足，则下列结论正确的是（    ） A．若互斥，则 B．若，则 C．若与相互独立，则 D．若，则与相互独立 【答案】D 【分析】由互斥事件、独立事件定义和性质以及互斥概率加法公式、独立概率乘法公式、条件概率公式即可逐一计算判断各选项. 【详解】对于A，若互斥，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若与相互独立，则与相互独立，所以，故C错误； 对于D，若，则，所以与相互独立，故D正确. 故选：D 6．(24-25高二下·湖南长沙宁乡·期末)银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后的1位数字，则任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率是：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设为“第次按对密码”，事件为“任意按最后1位数字，不超过2次就按对”，则，由互斥事件的加法公式和条件概率计算即可. 【详解】设为“第次按对密码”， 事件为“任意按最后1位数字，不超过2次就按对”， 则，事件互斥， 所以, 故选：C. 7．(24-25高二下·广东湛江第一中学·期末)（多选）若是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（ ） A．A与B相互独立 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由已知及概率的性质可得，根据独立事件的判定、全概率公式、条件概率公式依次判断各项的正误即可. 【详解】由题设，，，， 由，且， 所以，则，解得， 对于A选项，因为，所以A与B相互独立，A对； 对于B选项，由，则，B对； 对于C选项，由，C错； 对于D选项，由，则，D对. 故选：ABD. 8．(24-25高二下·福建漳州第三中学·期末)（多选）甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于A，由古典概型可得结果；对于B，由样本空间点可得结果；对于C，先求出， 再由条件概率的定义可得；对于D，由全概率公式可算得. 【详解】对于A，由古典概型可知，故A错误； 对于B，由条件概率可知表示在由甲箱中取出的是白球的条件下，从乙箱中取出的是白球的概率， 当甲箱中取出的是白球放入乙箱后，乙箱中有4个白球和2个黑球，由古典概型可知； 对于C，由B选项分析同理可得， 由条件概率的定义可知，故C正确； 对于D，由全概率公式可得，故D错误. 故选：BC. 二、填空题 9．(24-25高二下·甘肃临夏州·期末)已知两个随机事件，若，，则_______. 【答案】 【分析】根据条件概率公式求解即可. 【详解】， . 故答案为：. 三、解答题 10．(24-25高二下·湖南衡阳第八中学·期末)下表为某汽车模型公司共有个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 7 米色内饰 3 5 (1)若小明从这些模型中随机抽一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B为取到的模型是米色内饰，求，，并据此判断事件A，B是否相互独立． (2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中抽两个汽车模型．现做出如下假设： 假设1．抽取的情况有三种可能，外观和内饰均同色、外观和内饰均异色、外观和内饰恰有一种同色； 假设2．一等奖为元，二等奖为元，三等奖为元； 假设3．按抽到的结果的概率大小，概率越小，奖金越高． 请你帮该公司判断哪种情况分别为一、二、三等奖．设奖金为X，写出X的分布列，并求X的期望． 【答案】(1)，，A，B不相互独立； (2)一等奖：外观和内饰均异色；二等奖：外观和内饰均同色；三等奖：外观和内饰恰有1个同色，分布列见解析；期望为． 【分析】（1）根据古典概型的概率计算，结合条件概率的公式与独立事件的判断方法即可得； （2）典概型的概率计算与组合数的计算，可求得三种情况的概率，再得分布列及数学期望． 【详解】（1）因为汽车模型总共有个，即，事件A包含共个汽车模型，即， 且每个汽车模型被抽到的可能性相等，根据古典概率模型得，. 又因为事件B包含共个汽车模型，即. 又因为事件包含3个汽车模型，即，， 由条件概率公式得， 所以，故事件A，B不相互独立． （2）①当抽取的2辆汽车模型的外观和内饰均同色时，则在4款汽车模型中每款中抽2辆， 共有种结果，所以概率为. ②当抽取的2辆汽车模型的外观和内饰均异色， 则只能从红色外观棕色内饰抽的汽车模型抽取1辆且从蓝色外观米色内饰的汽车模型抽1辆， 或者红色外观米色内饰的汽车模型中抽取1辆且从蓝色外观棕色内饰的汽车模型中抽取1辆，共有， 所以概率为. ③当抽取的2辆汽车模型的外观和内饰恰有1个同色，则有以下四种情况： 2辆汽车模型的外观均为红色且内饰颜色不同的有种， 2辆汽车模型的外观均为蓝色且内饰颜色不同的有种， 2辆汽车模型的内饰均为棕色且外观颜色不同的有， 2辆汽车模型的内饰均为米色且外观颜色不同的有， 所以概率为. ∵，∴一等奖：外观和内饰均异色； 二等奖：外观和内饰均同色，三等奖：外观和内饰恰有1个同色． ∴，，， 其分布列为 X P ∴． ( 地 城 考点0 3 全概率公式 ) 一、选择题 1．(24-25高二下·宁夏育才中学·期末)最近感冒频发，某任同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒盒、莲花清瘟胶囊盒、感冒灵颗粒盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，，，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用全概率公式即可求解. 【详解】设随机从这几盒药物里选择一盒，取到金花清感颗粒为事件，取到莲花清瘟胶囊为事件，取到感冒灵颗粒为事件，感冒被治愈为事件， 则，，， ，，， 所以感冒被治愈的概率为 ． 故选：D 2．(24-25高二下·新疆·)某超市鸡蛋成板出售，每板10个．若各板鸡蛋含0，1，2个破损鸡蛋的概率分别为，，．甲计划在该超市购买一板鸡蛋，先由超市服务员随意取一板，再由甲任意抽取该板鸡蛋中的3个鸡蛋，若没有破损鸡蛋，则买下该板鸡蛋，否则退回，则甲买下该板鸡蛋的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出事件，直接利用全概率公式求解即可. 【详解】设事件为“该板鸡蛋中有i个破损鸡蛋”，其中i＝0，1，2， 事件B为“甲买下该板鸡蛋”，则， ， 则． 故选：D 3．(24-25高二下·福建泉州安溪一中、惠安一中、养正中学、泉州实验中·期末)箱子中有6个大小、材质都相问的小球，其中4个红球，2个白球，每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回.设事件表示“第1次摸球，摸到红球”，事件表示“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据古典概型、条件概率概念、全概率公式分别计算即可判断各选项. 【详解】对于，表示“第一次摸到红球且第二次摸到红球”，因事件表示“第1次摸球，摸到红球”，易得， 事件表示“第2次摸球，摸到红球” ，因摸出的球不放回，此时箱子里还剩3个红球，2个白球， 所以在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率是， 由概率的乘法公式可得，故错误. 对于，第1次摸球，摸到白球的概率. 同理在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到红球的概率是， 由概率的乘法公式可得， 由全概率公式可得，故错误. 对于，由A项分析，已得，故错误. 对于，由B项分析，已得，故正确. 故选：. 4．(24-25高二下·山东威海·期末)已知随机事件A，B满足，，，则（   ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8 【答案】C 【分析】应用条件概率及全概率公式计算求解. 【详解】随机事件A，B满足，， 则 又， 则 . 故选：C. 5．(24-25高二下·新疆乌鲁木齐第101中学·期末)（多选）已知某工厂甲、乙，丙三个车间同时生产同种元器件：甲、乙、丙车间一天生产的元器件个数分别为600、300、100件，且生产中造成的次品率分别为3%、2%、1%；现在在这三个车间生产的产品中任意取一件产品质检，下列叙述正确的有（   ） A．此件产品是次品的概率为0.02 B．此件产品是次品的概率为0.025 C．此件产品是次品的情况下，来自甲车间的概率是来自于乙车间概率的2倍 D．此件产品是次品的情况下，此件产品来自于丙车间的概率为0.04. 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式及全概率公式计算判断. 【详解】对于AB，该产品是次品的概率为， A错误，B正确； 对于C，此件产品是次品的情况下，来自甲车间的概率， 来自于乙车间的概率，则，C错误； 对于D，此件产品是次品的情况下，来自于丙车间的概率，D正确. 故选：BD 6．(24-25高二下·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期末)（多选）某比赛共进行局，每局比赛没有平局，2n局比赛结束后赢得n局以上的一方获胜.甲、乙进行该比赛，已知甲每局比赛获胜的概率为p，每局比赛的结果相互独立，记甲在该比赛中获胜的概率为，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则当时，最大 C．若，则当时，最小 D．若，则当时，最大 【答案】ABC 【分析】利用独立重复试验的概率公式，结合互斥事件的概率性质判断A；利用条件概率、全概率公式探讨的关系，再赋值计算判断B，C，D即可. 【详解】对于A，，，，故A正确； 当时，记事件“甲在该比赛中获胜”，“第一局甲赢”，“第二局甲赢”， ， 当事件和发生时，要使得甲在该比赛中获胜， 则在后续的局比赛中至少要赢局，则； 当事件发生时，要使得甲在该比赛中获胜， 则在后续的局比赛中赢的局数大于或恰好赢了局， 所以； 当事件发生时，要使得甲在该比赛中获胜， 则在后续的局比赛中赢的局数大于， 可看成事件“在后续的局比赛中赢的局数大于”， 与事件“在后续的局比赛中恰好赢了局”的差事件， 所以， 则 ， 即， 易得，则我们讨论的正负即可， 对于B，若，则，当时，， 即，则当时，最大，故B正确， 对于C，若，则，当时，， 即，则当时，最小，故C正确， 对于D，若，则， 当时，，此时， 当时，，此时， 则当时，最大，故D错误. 故选：ABC 二、填空题 7．(24-25高二·福建厦门大学附属科技中学·期末)为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习，如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为______. 【答案】 【分析】应用全概率公式计算求解. 【详解】记事件为“第1球投进”，事件为“第2球投进”， ，，， 由全概率公式可得 . 故答案为：. 8．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)A、B两个箱子中各装有3个产品，其中A箱子中是2个正品和1个次品，B箱子中是3个次品.现从A、B两箱子中各取一个产品交换放入另一箱子中，重复次这样的操作，记A箱子中正品个数为，恰有2个正品的概率为，恰有1个正品的概率为，则________，的数学期望________.（用表示） 【答案】 【分析】利用全概率公式，构造概率递推公式，再由数列中的递推求通项思想即可. 【详解】经过第一次操作得：，， 经过第二次操作得：；. 根据全概率公式可知：， ， 两式相加可得， 则：，时，， 所以，， 因为，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 所以. 故答案为：①；②. 三、解答题 9．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)随着荣昌卤鹅爆火全国，重庆旅游业迎来了快速增长，重庆某区为吸引游客，在一条古街的家商店中分别售卖款不同的文创产品（每家店仅售一款）．假设小明对每款文创产品的喜爱程度均不相同，且只能在逛店时进行比较．小明想购买一款文创产品留作纪念，他依次逛完所有商店，且不回头（即小明一旦购买一款文创产品，即使后面遇到更喜爱的也不能再更改选择）．为了能使购买到最喜爱文创产品的概率最大，你替小明制定了如下两种策略： 策略：直接购买第一家店里的文创产品； 策略：如图所示，先将遇到前款文创产品作为参考组，其余文创产品作为候选组，参考组中文创产品均不做选择，若候选组中一旦出现比参考组都要更喜爱的文创产品，则立刻购买该款文创产品；若到最后都没有出现比参考组都要更喜爱的文创产品，则选择买下最后一款文创产品． 设小明通过策略购买到最喜爱文创产品的事件为，事件发生的概率为． (1)若，求的值，并比较策略和的优劣； (2)设，设小明最喜爱文创产品位于第个店里的事件为， （i）写出的值和表达式； （ii）已知有9款文创产品，求使最大的值． 参考数据：． 【答案】(1)，策略更优 (2)（i），；（ii） 【分析】（1）将所有情况一一列出，再根据古典概型的概率公式求解即可； （2）（i）分、、三种情况讨论，结合条件概率的定义求解即可； （ii）根据全概率公式求出，再利用定义法判断数列的增减性或由即可求出. 【详解】（1）由于，假设小明对三款产品的喜爱程度分别为：高、中、低，其排序共有种情况，采用策略后购买的结果列表如下： 参考组 候选组 结果 第1款 第2款 第3款 购买款式 高 中 低 低 高 低 中 中 中 高 低 高 低 高 中 高 中 低 高 高 低 中 高 中 故小明购买到最喜欢产品的情况有3种，故， 又易知，故策略更优． （2）（i）显然，， 表示在小明最喜爱的文创产品位于第个店里的情况下，最终购买到最喜爱文创产品的概率， 当时，即小明最喜爱文创产品位于参考组时，不可能购买到最喜爱文创产品， 故； 当时，小明一定能购买到最喜爱文创产品，即； 当时，小明要购买到最喜爱文创产品，则需要前款产品中喜爱度最高的产品在参考组中，这样第款产品就会是第一个“比参考组都更好”的产品，从而被选中， 又因在前款产品中喜爱度最高的产品出现在哪一家是等可能的， 其落在参考组的概率为，故； 综上，； （ii）由全概率公式得 ， 由题得，故下标满足，， 解法1：若，则， 则， 则，即， 由于，故， 故当时，，即有， 当时，，即有， 故时最大； 解法2：要使得最大，需要满足，解得， 余下同解法1. 10．(24-25高二下·新疆乌鲁木齐第101中学·期末)已知甲、乙两个人爱好中国象棋，甲乙两人进行对弈，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行，记甲第局赢的概率为. (1)求乙第2局赢的概率； (2)求； (3)若存在，使得成立，求整数的最小值. 【参考：，，，】 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）根据独立事件和对立事件的概率公式结合意求解即可； （2）由已知得当时，，再利用构造法，结合等比数列通项公式求出 （3）由已知得，令，利用导数可判断在上递减，则问题转化为求的最大值，进而求得答案. 【详解】（1）依题意，甲第2局赢的概率为， 所以乙赢的概率为. （2）当时，， 整理得，又， 因此数列是首项为，公比为的等比数列，则， 所以. （3）不等式， 令，求导得， 函数和在上递减，则函数在上递减， 而，则当时，，即函数在上递减， 又，因此当取最大值时，取最小值， 又，则当为偶数时，， 当为奇数时，，且是单调递减的，， 因此的最大值为，依题意，， 又， 所以满足的整数的最小值为. ( 地 城 考点0 4 二项分布及其应用 ) 一、选择题 1．(24-25高二下·云南曲靖会泽县·期末)某社区开展防疫值班工作，甲乙丙三人轮流参与，规则如下：①第1天安排甲值班；②第2天从乙丙两人中随机选1人值班；③第天，从前一天未值班的2人中随机选1人值班，则第天甲值班的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设事件：甲第天值班，，则，设，则，构造等比数列即可求解． 【详解】设事件：甲第天值班，，则， 设，则，， 又， 是首项为，公比为的等比数列， ， 故选：C． 2．(24-25高二下·福建漳州第一中学·期末)下列说法错误的是（   ） A．若随机变量服从正态分布，且，则 B．若事件相互独立，，则 C．对具有线性相关关系的变量，利用最小二乘法得到的经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 D．对样本相关系数，越大，两个变量之间的线性相关性越强 【答案】B 【分析】由正态分布的性质判断A；由独立事件的和事件的概率公式判断B；将样本中心代入回归直线，解出的值，即可判断C；由相关系数的意义判断D. 【详解】解：对于A，因为随机变量服从正态分布，且， 所以，故A正确； 对于B，由题意可得，故B错误； 对于C，将代入，得，解得，故C正确； 对于D，由相关系数的意义可知越大，两个变量之间的线性相关性越强，故D正确. 故选：B 3．(24-25高二下·山西·期末)若随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二项分布的期望求出，再利用二项分布的概率公式求出概率. 【详解】由，，得，解得， 所以. 故选：B 4．(24-25高二下·吉林农安县第十中学·期末)如图，现有三个质地均匀的骰子，其中正方体骰子六个面分别标以数字1到6、正四面体骰子四个面分别标以数字1到4，正八面体骰子八个面分别标以数字1到8.现进行抛骰子游戏，规定：第一次抛掷正方体骰子，记骰子朝上的面上的数字为a，若a为奇数，则第二次抛掷正四面体骰子，若为偶数，则第二次抛掷正八面体骰子，记第二次抛掷的骰子与地面接触的面上的数字为.根据以上规定，的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将目标事件合理拆分，再利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可. 【详解】由题意得，我们第一次抛掷正方体骰子，为奇数的概率为， 此时第二次抛掷正四面体骰子，的概率为， 而两次抛掷骰子相互独立，故为奇数时的概率为， 我们，第一次抛掷正方体骰子，为偶数的概率为， 此时第二次抛掷正八面体骰子，的概率为， 而两次抛掷骰子相互独立，故为偶数时的概率为， 而为奇数时和为偶数时互斥， 由互斥事件加法公式得的概率为，故C正确. 故选：C 5．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期末)若随机变量，随机变量，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正态分布的对称性，结合已知求出，进而求出及的值. 【详解】由，，得， 由，，得，解得， 所以. 故选：D 6．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期末)（多选）下列说法中，正确的有（   ） A．的展开式中，的系数是60 B．若的展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列，则 C．用数字0，1，2，3，4组成的无重复数字的四位数中，偶数的个数为60 D．某篮球运动员投球的命中率是，他投球4次，相互独立，则恰好投进3个球的概率为. 【答案】ACD 【分析】根据二项式定理和二项式系数及其性质判断选项A、B，用排列数知识判断选项C，用二项分布知识判断选项D. 【详解】的展开式的通项为：.令，可得的展开式中的系数为:，故选项A正确； 选项B：由题意得的展开式至少有四项，所以. 在的展开式中，第二、三、四项的二项式系数分别为，，. 由题意，得所以,所以，故选项B错误； 选项C：由题意，若四位数为偶数，则其个位数字为或 当个位数字为0时，四位数有个； 当个位数字为2或4时，四位数分别有个． 由分类加法计数原理，得偶数的个数为，故选项C正确； 选项D：因为每次投球相互独立，所以投球4次，恰好投进3个球的概率为，故选项D正确. 故选：ACD. 二、填空题 7．(24-25高二下·福建泉州安溪一中、惠安一中、养正中学、泉州实验中·期末)如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则______．    【答案】 【分析】首先设该质点向右移动的次数为，则，然后根据已知找到满足条件的的取值，进而根据二项分布求解概率即可. 【详解】设该质点向右移动的次数为，则，， 若，则满足条件的的值为，对应的取值分别为. 所以 . 故答案为：. 8．(24-25高二下·福建福州第三中学·期末)已知甲袋中有1个白球和2个黑球，乙袋中有2个白球，这5个球除颜色外无其他差异．现从甲、乙两袋中各取出1个球，交换后再放入甲、乙两袋中（即甲袋中取出的球放入乙袋，乙袋中取出的球放入甲袋）．如此交换两次后，甲袋中的白球个数记作，则_____． 【答案】 【分析】由题知所有可能取值为1，2，3，利用独立事件乘法公式计算概率并求期望即可. 【详解】由题意可知：所有可能取值为1，2，3， 可得，， 所以． 故答案为： 三、解答题 9．(24-25高二下·江苏宿迁·期末)某超市为吸引顾客，组织购物抽奖活动，抽奖机中有种不同面值的代金券可抽，抽得的代金券可在本超市消费，抽奖规则如下： 顾客先在抽奖机上随机抽取一个数（）． （Ⅰ）当时，随机抽得一张代金券； （Ⅱ）当时，随机抽取张面值不同的代金券，但这些代金券都不能用于消费．仅供参考，随后从剩下的（）张代金券中逐个随机抽取，一旦出现比这张代金券的面值都高的，即抽得该张代金券；若后面没有比这种的面值都高的，则抽得最后一张代金券． 某位顾客购物后参加抽奖活动． (1)当，且三张代金券的面值分别为元，元，元时. ①若其抽取的数，求其抽得代金券的面值的均值和方差； ②求其抽得元代金券的概率. (2)当，顾客抽取（）为何值时，抽得最高面值的代金券的概率最大？ 【答案】(1)①均值为，方差为；② (2)2 【分析】（1）①由题可得抽得的面值可能为15元，10元，5元，分别计算其概率，据此可得期望与相应方差；②分别计算抽取的数的情况下，抽得15元的概率，相加可得答案； （2）设5张代金券面值为1元，2元，3元，4元，5元，由题可得，，分别计算，1，2，3，4情况下，抽得5元的概率，比较后可得答案. 【详解】（1）①设最后抽得代金券的面值为，则可能取值为5,10,15. 先抽取的代金券面值为5的概率为，此种情况下最后抽得10元或15元的概率均为； 先抽取的代金券面值为10的概率为，此种情况下最后抽得15元的概率为； 先抽取的代金券面值为15的概率为，此种情况下最后抽得10元或5元的概率均为. 综上可得，，，. 则抽得代金券的面值的均值为. 方差. ②抽取的数的概率为，此种情况下抽得15元概率为； 抽取的数的概率为，此种情况下由①分析可得抽得15元概率为； 抽取的数的概率为，此时先抽取的两张代金券面值为的概率为，此种情况下抽得15的概率为； 先抽取的两张代金券面值中含有15的概率为，此种情况下抽得15的概率为0. 综上可得：抽得15元代金券的概率为. （2）不妨设张代金券面值为元，元，元，元，元， 由题可得， 当抽取的数，则抽到的概率为； 当抽取的数，参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为时，才能抽中元，概率为， 参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为或第张为，第张为时，才能抽中元， 对应的概率为； 参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有5在4前面时，才能抽中元， 总情况有种，5在4前面和5在4后面的情况相同，均为12种，对应概率为； 参考面值为时，概率为， 此时因剩余代金券中只有大于，则总能抽到，对应概率为； 参考面值为时，概率为，此时抽到的概率为； 综上，当抽取的数，抽到的概率为 当抽取的数，参考面值有种情况， 参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为时，才能抽中，剩余张代金券的全排列数为， 第张抽到的情况有种，则对应概率为； 参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为或第张为，第张为时，才能抽中， 第张抽到的情况有种，第张为，第张为的情况有种， 又总情况种，则对应概率为； 参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为或第张为，第张为时，才能抽中， 第张抽到的情况有种，第张为，第张为的情况有种， 又总情况种，则对应概率为； 参考面值中有，但是没有时，情况有种， 又总情况有种，则概率为， 此时剩余代金券仅有大于，则总能抽到，对应概率为； 参考面值中有时，有种情况，在剩余代金券中抽到的概率为， 综上，当抽取的数，抽到的概率为 当抽取的数，参考面值有种情况， 参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为时，才能抽中，因剩余张代金券排列方式有种，则对应概率为； 参考面值中有，但没有，有种情况， 又总情况有种，概率为，此时剩余代金券仅有大于，则总能抽到，对应概率为； 参考面值中有，有种情况，在剩余代金券中抽到的概率为， 综上，当抽取的数，抽到的概率为； 当抽取的数，参考面值有种情况， 当且仅当参考面值为时，可抽到，对应概率为； 综上，抽得最高面值的代金券的最大概率为， 则当时，抽得最高面值的代金券的概率最大. 10．(24-25高二下·宁夏六盘山高级中学·期末)2025年，某生物研究所为了庆祝在基因编辑技术研究方面取得的重大突破，准备举办一次有奖奖励活动，每位参与研究的科研人员都抽一次奖，规则如下：一个不透明的盒子中装有50个质地均匀且大小相同的小球，其中20个红球，30个白球，搅拌均匀后，抽奖人员从中随机抽取一个球，并有放回地连续抽取3次．研究所设计了两种奖励方案． 方案一：若抽到红球，则科研人员获得40元的奖金，若抽到白球，则获得10元的奖金． 方案二：若抽到红球，则科研人员获得60元的奖金，若抽到白球，则没有奖金． (1)若按方案一抽奖，求最终获得60元奖金的概率； (2)为了激励科研人员，让科研人员获得更多奖金，试通过比较两种抽奖方案最终获得奖金的数学期望，给出该研究所应选择哪种抽奖方案的建议? 【答案】(1) (2)选择第二种抽奖方案，理由见详解 【分析】（1）根据题意结合独立重复性实验的概率公式运算求解； （2）根据题意结合二项分布以及期望的性质分别求两种方案的期望值，比较大小分析判断. 【详解】（1）若选择方案一，则每一次摸到红球的概率为， 每一次摸到白球的概率为， 设“最终获得60元奖金”为事件，所以. （2）因为每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为， 设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为，则，可得， 若按方案一抽奖，设最终获得奖金为元，则， 所以； 若按方案二抽奖，设最终获得奖金为元，则， 所以； 因为，所以应选择第二种抽奖方案. ( 地 城 考点0 5 离散型随机变量的均值与方差 ) 一、选择题 1．(24-25高二下·福建漳州第三中学·期末)下列说法中正确的是（ ） A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 B．在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位 C．若随机变量服从正态分布，且，则 D．若随机变量，满足，则， 【答案】C 【分析】根据百分位数的定义求解判断A；根据样本中心点求得，进而求得预测值判断B；根据正态分布的对称性求解判断C；根据期望和方差的性质判断D． 【详解】对于A，由，得这组数据的第60百分位数为，A错误； 对于B，线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均增加0.5个单位，错误； 对于C，随机变量服从正态分布，则， 由，得， 则，C正确； 对于D，由，则，，D错误. 故选：C 2．(24-25高二下·新疆喀什疏附县·期末)随机变量X服从二项分布，则 为（     ） A．2 B．8 C．0.25 D．4 【答案】A 【分析】利用二项分布的期望公式求解即可. 【详解】因为随机变量 X服从二项分布， 所以. 故选：A. 3．(24-25高二下·四川绵阳高中·期末)一批产品根据质量指标分为正品和次品，且次品率为，随机抽取1件，定义则随机变量的方差（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由两点分布求出随机变量的均值，然后求出方差即可. 【详解】由题意，所以. 故选：D 4．(24-25高二下·辽宁五校联考·期末)随机变量，则的值为（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据二项分布的方差公式，结合方差的性质即可求解. 【详解】由于，故， 则. 故选：C 5．(24-25高二下·广东江门新会第一中学·期末)下列命题错误的是（ ） A．有一组数据为、、、、、、、，则它们的第百分位数为 B．线性回归直线一定经过样本点的中心 C．设，且，则 D．随机变量，若，，则 【答案】C 【分析】选项A，根据百分位数的定义求解即可；选项B，根据线性回归直线的定义判断即可；选项C，根据正态分布的性质求解即可；选项D，由二项分布的均值和方差，求解即可． 【详解】对于A，数据按从小到大顺序排列为、、、、、、、， 则它们的第百分位数为，选项A正确； 对于B，根据线性回归直线的定义知，线性回归方程一定过样本点中心点，选项B正确； 对于C，，且，所以， 则，选项C错误； 对于D，由，且，解得，选项D正确． 故选：C. 6．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)（多选）下列命题为真命题的有（   ） A．若，则 B．若且，则 C．一组数据11，13，17，19，20，22的第40百分位数是13 D．变量与的回归方程为，若观测数据中均值为1，则变量均值为1 【答案】AD 【分析】根据正态分布的性质、方差的性质、百分位数的计算方法以及回归方程的性质来逐一分析选项. 【详解】对于选项A： 因为，根据正态分布的对称性可得，，所以A正确； 对于选项B： 根据方差公式可知，所以B错误； 对于选项C： 因为，所以第40百分位数为第3项数据，即17，所以C错误； 对于选项D： 因为回归方程过样本中心点，所以当时，，所以D正确. 故选：AD. 二、填空题 7．(24-25高二下·河北衡水、廊坊等2地（NT20名校）·期末)已知随机变量，，且，，则______． 【答案】/ 【分析】由得出，由得出的表达式，由，即可求出的值. 【详解】由题意， 由于服从正态分布，且， ∴均值， 而Y服从二项分布，故， ∵， ∴，解得， 故答案为： 8．(24-25高二下·内蒙古赤峰·期末)已知随机变量满足，若，则期望______． 【答案】1 【分析】由二项分布概率公式求得，再根据二项分布的数学期望公式求值即可. 【详解】， 因为，所以，故. 故答案为： 三、解答题 9．(24-25高二下·广东湛江第一中学·期末)为了解学生身体素质的情况，学校随机抽取了100位同学组织了一次体测，结果有20%的同学合格，经过调查，抽取的学生中只有10%的学生每日运动量能达标，每日运动量能达标的学生体测合格率有50%. (1)完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为体测成绩与每日运动量之间有关； 体测合格 体测不合格 合计 运动量达标 运动量未达标 合计 (2)从该校随机抽取三人，三人中体育项目测试相互独立，求三人中合格人数的分布列和期望； (3)为提升学生身体素质，学校决定给每个班级安排任务，规则如下：每天班主任从箱子里抽球，里面有2个白球和2个红球(大小、材质相同)，抽到红球放回，且学生就需要跑步1km；抽到白球则休息，抽完的球不放回，再往里放入一个红球，直至箱子里全部都是红球后结束，记天后任务结束的概率为.求. 附：，. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)列联表见解析，体测成绩与每日运动量之间有关 (2)分布列见解析， (3). 【分析】（1）根据题设信息即可完成2×2列联表，再进行零假设和计算卡方值，再由小概率值的独立性检验思想即可得解； （2）设抽取的三人中合格人数为X，由题设得到，利用二项分布概率公式和均值计算公式即可求解； （3）设“第次操作取出白球”， “第次操作取出红球”，，先依题意，，明确时，若天后任务结束，则第n次取出的是白球，前次操作中，有一次取出白球，其余次均取出红球，据此即可结合等比数列前n项和公式计算的概率. 【详解】（1）依题意，完成下列2×2列联表如下： 体测合格 体测不合格 合计 运动量达标 5 5 10 运动量未达标 15 75 90 合计 20 80 100 零假设 体测成绩与每日运动量之间无关， 因， 根据小概率值的独立性检验，零假设不成立，即体测成绩与每日运动量之间有关，此推断犯错误的概率不大于0.05. （2）该校随机抽取三人，每个人合格的概率为20%，设抽取的三人中合格人数为X， 则，由于测试相互独立，则， 故， ， ，， 则随机变量的分布列为： 0 1 2 3 故的数学期望为. （3）设“第次操作取出白球”， “第次操作取出红球”，， 依题意，， 当时，若天后任务结束， 则第n次取出的是白球，前次操作中，有一次取出白球，其余次均取出红球， 则 ， 经检验，，均满足该式， 所以. 10．(24-25高二下·福建漳州第三中学·期末)当前，全球贸易格局发生重大变化，随着中美贸易战的不断升级，越来越多的中国科技企业开始意识到自主创新的重要性，大大加强科技研发投入的力度，形成掌控高新尖端核心技术及其市场的能力.某企业为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）和年利润（单位：千万元）的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如下： 30.5 15 15 46.5 表中，. (1)根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； (2)已知年利润与，的关系为（其中为自然对数的底数），要使企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ (3)科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布.企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过，不予奖励；若超过，但不超过，每件产品奖励10元；若超过，每件产品奖励20元.记为每件产品获得的奖励，求. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 附：若随机变量，则，. 【答案】(1)更适合作为关于的回归方程类型， (2)54千万元 (3)11.36元 【分析】（1）根据散点图可判断，更适合作为关于的回归方程类型，对两边取对数，，代入公式，结合表格数据得到回归方程； （2）在（1）基础上，得到，求导，得到函数单调性，从而求出最值； （3）求出，，利用期望公式求出答案. 【详解】（1）根据散点图可判断，更适合作为关于的回归方程类型， 因为呈线性变化，不合要求，故选， 对两边取对数，得，即， 由表中数据得：，， ，所以， 所以关于的回归方程为； （2）因为，所以， ，令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以预计下一年投入千万元时， 年利润取得最大值为千万元. （3）因为，， 所以 ， ， （元）. ( 地 城 考点0 6 正态分布 ) 一、选择题 1．(24-25高二下·福建漳州第三中学·期末)已知随机变量，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，根据正态分布的性质，结合图象的对称性，整理概率等式，结合基本不等式，可得答案. 【详解】由随机变量服从正态分布，其正态分布分布曲线的对称轴为直线， 则， 所以， 且，，即， 所以， 当且仅当，即时，取等号. 故选：A. 2．(24-25高二下·河南鹿邑县弘道中学等学校·期末)已知随机变量服从正态分布，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】由方差的性质即可求解. 【详解】由题意得，所以. 故选：C. 3．(24-25高二下·福建三明·期末)已知随机变量，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．16 【答案】B 【分析】先根据正态分布的性质确定的值，再利用基本不等式求最小值. 【详解】因为，且， 因为，所以. 所以， 因为，所以，当且仅当，即时取等号. 故选：B 4．(24-25高二下·新疆乌鲁木齐第101中学·期末)某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（   ） 参考数据：，，. A．790 B．2720 C．430 D．1360 【答案】C 【分析】根据题设条件结合对称性得出数学成绩位于的人数. 【详解】由题意可知，， 则数学成绩位于的人数约为. 故选：C. 5．(24-25高二下·云南曲靖会泽县·期末)（多选）统计学中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则，某厂有一条零件加工的生产线，生产的零件长度服从正态分布（单位：毫米），则下列说法正确的是（    ）（参考数据：，） A． B．若，则 C． D．若抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，应对生产线进行检修 【答案】ABD 【分析】根据正态分布的概念可判断A；根据正太分布的对称性可判断BC；根据题设原则计算概率进行比较可判断D． 【详解】A选项：由题可得均值，方差，故A正确； B选项：与关于对称，，故B正确； C选项： ∵，∴， ∵，∴， ∴，故C错误； D选项：根据原则，零件长度大于42的概率应该小于， 现在抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，其概率为，这远远大于， 故应该对生产线进行检修，故D正确． 故选：ABD． 6．(24-25高二下·甘肃临夏州·期末)（多选）已知随机变量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由正态分布定义和对称性质即可求解判断. 【详解】因为随机变量，， 所以，故A错误，BC正确； 因为，所以，故D错误. 故选：BC 二、填空题 7．(24-25高二下·甘肃定西临洮县·期末)若随机变量，则___________ 【答案】 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得结果. 【详解】已知随机变量， 则， 所以, 故答案为：. 8．(24-25高二下·福建莆田·期末)若随机变量服从正态分布，则______.（附：若，则） 【答案】0.4772 【分析】根据正态分布的对称性和性质进行求解即可. 【详解】因为随机变量服从正态分布，， 则. 因为正态曲线关于轴对称，所以. 故答案为：0.4772. 三、解答题 9．(24-25高二下·湖南长沙稻田中学·期末)某次歌手大赛设有专业评委组和业余评委组两个评委组，每组人.每首参赛歌曲都需要位评委打分（满分为分，且各评委打分相互独立）.从专业评委组的个分数中去掉一个最高分，去掉一个最低分，可求出剩余个有效得分的平均分，按照同样的方法可得到业余评委组打分的平均分.参赛选手该歌曲的最终得分为.在该比赛中，对某选手在初赛中参赛歌曲的得分进行整理，得到如下茎叶图. (1)计算、两小组各自有效得分的均值、及标准差、； (2)①专业评委组由于其专业性，有效打分通常比较集中；业余评委组由于水平不一，有效打分通常比较分散.利用（1）的计算结果推断、两个小组中的哪一个更有可能是专业评委组？请说明理由； ②在①的推断下，计算此选手初赛歌曲的最终得分； (3)若（2）的推断正确，且该选手成功进入复赛，复赛中位评委所打分数大致服从正态分布，试估计位评委中，打分在分以上的人数. 参考数据：①组名评委打分总和为，组名评委打分总和为；；； ②若，则，，. 【答案】(1)，，， (2)①组更有可能是专业评委组，理由见解析；② (3)大约为人 【分析】（1）根据题意结合平均数公式可求得、，并结合标准差公式可求得、； （2）①比较、的大小，进而可得出结论； ②根据题中公式可求得的值； （3）计算出正态分布的均值，标准差，利用原则求得，再乘以可得结果. 【详解】（1）由题意可知，， ， （2）①因为，因此组更有可能是专业评委组； ②； （3）由（1）（2）可知，正态分布的参数，. 设某评委打出的分数为随机变量，则， 故 . ，于是估计位评委中，打分在分以上的人数大约为人. 10．(24-25高二下·福建泉州第一中学等四校联盟·期末)随着中美关税战的不断升级，某企业大大加强科技研发投入的力度，为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如 30.5 15 15 46.5 表中，. (1)根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）； (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并估计年研发费用为27千万元时年销售量的值； (3)科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布.企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过50%，不予奖励；若超过50%，但不超过53%，每件产品奖励2元；若超过53%，每件产品奖励4元.记为每件产品获得的奖励，求（精确到0.01）. 附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. ②若随机变量，则，. ③. 【答案】(1)更适合(2)，8.1千万件(3) 【分析】（1）根据散点图可判断，更适合； （2）对两边取对数可得，再结合表中数据，即可求解； （3）由正态分布的概率公式代入计算，再由期望的计算公式即可得到结果. 【详解】（1）根据散点图可判断，更适合作为关于的回归方程模型. （2）由得：，即， 由表中数据得：， 所以， 所以，所以， 所以关于的回归方程为. 当时，，即年研发费用为27千万元时年销售量为8.1千万件. （3）因为，， 所以 ， 所以， 所以（元）. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $