专题08 数列、三角函数、概率、立体几何、解析几何与导数交汇问题（5大题型）（期末复习专项训练）高二年级数学下学期人教A版

**基本信息** 以导数为工具整合数列、三角函数、概率等模块，构建跨知识交汇训练体系，强化综合应用与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列与导数|8小题|以数列单调性、不等式证明为核心，结合导数研究函数性质|数列递推关系→函数构造→导数求导→单调性/最值分析| |三角函数与导数|8小题|聚焦三角函数最值、不等式证明，涉及分类讨论与导数应用|三角函数性质→导数研究极值→参数范围求解| |概率与导数|8小题|结合概率分布、期望，用导数解决最优化问题|概率模型构建→期望函数→导数求最值| |立体几何与导数|5小题|以空间角、体积为载体，通过导数求动态最值|空间几何关系→变量函数化→导数求极值| |解析几何与导数|5小题|围绕曲线切线、面积最值，用导数处理动态问题|曲线方程→参数函数→导数求最值|

专题08 数列、三角函数、概率、 立体几何、解析几何与导数交汇问题 题型1 数列与导数结合（重点） 题型4立体几何与导数结合 题型2 三角函数与导数结合（重点）（难点） 题型5 解析几何与导数结合 题型3 概率与导数结合（重点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 数列与导数结合（共8小题） 1．（24-25高二下·江西抚州·期末）已知数列满足，且.函数. (1)求； (2)若恒成立，求的值； (3)设，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由等差中项判断数列为等差数列，再由等差数列前项和公式求得公差，从而求得； （2）求导判断的单调性，当时，，再由结合得； （3）由，令，得，由裂项相消法得到. 【详解】（1）因为，所以数列是等差数列， 又因为，所以，解得， 所以. （2）的定义域为， ，， 当时，，所以在上单调递增， 又因为，所以当时，，不符合题意， 当时，令得，令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令，， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 又因为，要使得恒成立，则. （3）由（1）知， 由（2）知，当时，，即， 令，所以，即， ，不等式成立. 2．（24-25高二下·云南·期末）已知各项均为正数的等差数列，其前项和为，且，函数． (1)求的公差； (2)若恒成立，求的值； (3)设，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）取和可得，，进而结合等差数列定义求解即可； （2）求导，分析函数的单调性，进而求解即可； （3）由（1）可得，由（2）得，进而求证即可. 【详解】（1）由，， 当时，，解得或（舍去）； 当时，，解得或（舍去）， 因为数列为等差数列，所以； （2）由，， 则， 当时，，函数在上单调递增， 又，则当时，，不符合题意； 当时，令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 设，则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 由恒成立，且，则； （3）由（1）知， 由（2）知，当时，， 即，， 令，则， 由，则，， 则， 即，． 3．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，. (1)设函数； （i）讨论函数的单调性； （ii）若函数无极值，求实数的取值范围； (2)记数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)（i）当时，函数在内单调递减； 当时，函数在内单调递减，在和内单调递增； 当时，函数在内单调递增. （ii）. (2)证明见详解. 【分析】（1）（i）由题意得，，定义域为，则，根据对的取值进行分类讨论，可得的正负情况，进而可得函数的单调性； （ii）函数无极值，等价于导函数不存在变号区间，根据（i）的讨论结果，即可判断； （2）根据题意得，，则要证，需先证明，令，则，代入化简得，构造函数，通过求导判断函数的单调性，可得恒成立，原不等式得证. 【详解】（1）（i）由题意得，，定义域为， 则， ①当时，恒成立，所以单调递减； ②当时，，此时，令， 解得，， 当或时，恒成立，所以单调递增； 当时，恒成立，所以单调递减； ③当时，，此时，此时至多一个实数根，即恒成立，所以单调递增； ④当时，易得当时，恒成立，所以单调递减； 综上所述，当时，函数在内单调递减； 当时，函数在内单调递减，在和内单调递增； 当时，函数在内单调递增. （ii）因为函数无极值，等价于在上无变号零点， 由（i）可得，当时，恒成立，当时，恒成立， 综上所述，当函数无极值时，的取值范围是. （2）根据题意得，， 要证，需先证明， 令，则， 代入化简得，即， 令，则， 令，则， 令，则， 因为，所以恒成立，则函数单调递减， 又，所以在上恒成立， 即恒成立，所以单调递减， 又，所以在上恒成立， 即恒成立，所以单调递减， 又，所以在上恒成立， 即恒成立，即恒成立， 即恒成立，又， 所以， 所以， 原式得证. 4．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：，； (3)设，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而得解； （2）由题，问题转化为证明，令，只需证对任意的恒成立，设，求导，判断单调性求出最值得证； （3）由（2），令，可得，即，利用裂项相消法求和得证. 【详解】（1）， ， . 所求切线方程为，即. （2）要证，等价于证， 令，则，且，， 只需证在成立， 即证对任意的恒成立， 设， 则恒成立， 时，单调递减， ，即， . （3）由（2）知，对任意的恒成立． 对任意的，有，则， 即， ， ，得证. 5．（24-25高二下·山东东营·期末）已知，函数. (1)当时，求函数在点的切线方程； (2)若， ①求； ②求证：对，都有. 【答案】(1). (2)①；②证明见解析 【分析】（1）当时，求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）①解法一：分析可知，结合函数的最值与极值的关系可知为函数的极大值，可得出，求出的值，再利用结合函数极值点的定义验证即可； 解法二：求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合可求得实数的值； ②由①得，当且仅当时，等号成立，进而可得出，利用不等式的基本性质、累加法以及等比数列的求和公式可证得结论成立. 【详解】（1）函数的定义域为. 当时，，，，， 所以所求切线方程为，即. （2）①解法一：因为，由题意可知，所以， 又因为函数为可导函数，故函数在处取得极大值， 因为，则，所以，解得， 且当时，，，令得，列表如下： 增 极大值 减 此时，函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得最大值，合乎题意，故； 解法二：因为，该函数的定义域为，且， 当时，， 则在上单调递增，且， 当时，，不合乎题意； 当时，令，得， 令，得. 所以，函数在上单调递增，在上单调递减. 所以，. 由题，可得，令，. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以，则. ②由①知，当时，，即，当且仅当时，等号成立. 令，得， 所以，，，，， 累加得， ， 所以. 6．（24-25高二下·四川资阳·期末）已知函数，且的最小值为1. (1)求的值； (2)证明： （i）； （ii）对于任意. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）对进行讨论，然后对函数求导可得结果； （2）化简式子，讨论范围，转化为，成立，将其变形为，构建函数，利用左右两边最值进行比较可得； （3）可证得不等式，化简得，利用不等式得到，然后求和利用等差、等比数列求和可证得结论. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，函数在单调递增，不符合题意； 当时，函数在单调递增，不符合题意； 当时，，若，；若，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为 （2）（i）由（1）可知；，要证明，只需证明 因，显然恒成立；故只需证明，成立，即证：在上恒成立. 令，，令，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 则 令，因在上单调递增，则 ， 故有，即， 故得证. （ii）令，在恒成立， 在单调递增，则. 要证， 只需证，即， 由， 又，则，故得， 所以， 又，所以， 所以， 即得. 7．（24-25高二下·广东江门·期末）已知函数. (1)求函数在原点处的切线方程； (2)讨论函数的单调区间； (3)证明：. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导得到，然后根据点斜式写的结果； （2）对，或，，，利用导数分情况讨论即可； （3）两边取对数，然后结合不等式放缩即可. 【详解】（1），， 所以函数在原点处的切线方程为. （2）， 当时，， 若，；若， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 当时，令，则 ①，即或， 若，则，当，则；若，则， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 若，则，当，则；若，则， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为； ②，即，在恒成立， 所以函数的单调递减区间为，没有单调递增区间. ③，即， 若，则；若，则， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为 （3）要证明：， 即证明： 即证明： 由（2）可知：当时，，函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以（当时取等号）. , 令①， ②， 由①-②：， 所以，则， 所以， 所以，证毕. 8．（24-25高二下·山东济南·期末）已知函数． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围； (3)设，证明：． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的单调性. （2）利用导数讨论单调性，分和两者情况分别讨论求解. （3）由（2）的信息可得，取并代入不等式变形，利用裂项相消法求和推理得证. 【详解】（1）当时，函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）函数，求导得，, 令，求导得，， ①当，即时，由，则存在，使得当时，， 函数在上单调递增，当时，， 函数在上单调递增，因此与矛盾； ②当，即时，此时，， 下面证明恒成立即可，即证， 令，求导得， 函数在上单调递减，因此恒成立， 则，即，因此，即恒成立， 所以a的取值范围为. （3）由（2）知，当时，， 取，则， 因此，即， 则 ， 所以. 题型二 三角函数与导数结合（共8小题） 9．（24-25高二下·云南临沧·期末）（1）证明：当时，. （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）证明见详解；（2）. 【分析】（1）令，利用导数判断函数的单调性，进而证明出在上恒成立即可； （2）令，依据题意求得，再分别证明当和时，成立即可. 【详解】（1）令，，则， 令，， 则， 所以即在上单调递减，且， 所以存在使得， 当时，；当时，； 故在单调递增，在单调递减， 又， 所以在上恒成立， 故当时，. （2）令， 因为，所以，解得， 当时，，因为，，所以， 令，，则 即在上单调递减，故， 所以当时，成立； 当时，，因为，，所以， 令，，则， 由（1）知，当时，，即； 当时，因为，所以， 即在单调递增，又，所以当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 故当时，成立； 综上所述，的取值范围为. 10．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数，． (1)当时，求函数在上的最大值； (2)求证：函数在上有最大值； (3)在（2）的结论下，若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）直接求导后得到其单调性，则得到其最大值； （2）证明其为周期函数，则可得到其有最大值； （3）分和进行分类讨论即可. 【详解】（1），， 故在上单调递增. 最大值为. （2）由于， 所以是以为周期的函数. 故 又因为在上连续，所以必然存在最大值. 故存在. （3） 由（2）可知是以为周期的函数. 又，所以是奇函数. 故只需考虑在的单调性. 设, . 故在上单调递减. ，，， ，， 令，得. 令，得. 令，得. ①当时， ,. 则在上单调递减，在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 由于是奇函数，由对称性可知，在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 故. ， 同理可得 故设，. 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减， ，，， ，. 故，， 故 先证，即证 而，得证. 故 由于，故， ，故， 故 即 ②当时， ，. 则在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 由于是奇函数，由对称性可知，在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 故. 同理可得， 即 由①可知在上单调递增 ， 故 综上所述的取值范围为 11．（24-25高二下·河南新乡·期末）（1）证明：当时，． （2）若，，求a的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）令函数，利用导数可证明存在，使得在上单调递增，在上单调递减，再结合即可证明结论； （2）根据，，可得当时，，解得，再证明当时，不符合题意，且当时总符合题意即可． 【详解】（1）令函数，则． 令函数，则． 因为，，，所以，在上单调递减． 又，， 所以存在，使得，当时，.，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 因为，所以当时，，得证． （2）解：因为，， 所以当时，， 解得， 所以当时，不符合题意，下面证明当时符合题意． ． 因为，所以当时，． 令函数，，则． 由（1）得，当时，． 当时，，，所以， 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以，即得证． 综上，a的取值范围为． 12．（24-25高二下·海南海口·期末）记，，． (1)求，并证明：； (2)若，使得成立，求取值范围； (3)求函数的单调增区间． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)， 【分析】（1）代值计算可得，分别计算，然后两式相加即可； （2）分离参数，，构建关于的函数，求导判断即可； （3）求导可得，换元，代入，然后根据的值作出判断即可. 【详解】（1）由题意，， ， 证明：要证， 只需证， 由于    ①，     ②， ①＋②得， 即， 得证； （2）存在，使得成立， 即的最大值， 由题知，， 令，，， 即，解得（舍去），， ，，单调递增， ，，单调递减， 的最大值为，即； （3），， 令，，，， ，，， 当时，， 当，， 当，， 又最多只有三个解且， 由三次函数图象，，，， 的单调增区间是，. 13．（24-25高二下·湖南·期末）已知函数，. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，求在内的极值； (3)设，若有2个零点，，且，求证：. 【答案】(1) (2)有极大值，无最小值 (3)证明见解析 【分析】（1）对求导，求出，，，再由导数的几何意义求解即可； （2）当，对求导，求出的单调性，结合极值点的定义即可得出答案； （3）对求导，研究单调性和极值可知要使有2个零点，则需，由此求出的范围，要证，只需证，由此构造，，对求导，证明即可. 【详解】（1）当时，，则， 因为，， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）当时，，有， 由可得，即， 当时，，，即， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 有极大值，无最小值. （3），则. 若，则，单调递增，不可能有两个零点. 若，令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以为的极小值点， 要使有2个零点，则需，即. 因为的2个零点为，，，所以. 要证，只需证， 因为，在上单调递增， 所以只需证， 因为，所以只需证， 即只需证，， 令，， 则， 设，则， 则在上单调递减， 又因为， 所以当时，，所以在上单调递增， 又因为， 所以当时，，即在上单调递减， 又因为，所以， 即，， 所以原命题得证. 14．（24-25高二下·四川达州·期末）函数，的导函数为. (1)求证：时，； (2)对，恒成立，求的取值范围； (3)求证：. 【答案】(1)答案见详解 (2) (3)答案见详解 【分析】(1)求出，代入不等式再化简，构造，用导数求出成立，从而证明; (2)求，找到的临界点，用判断临界点性质，分析单调性，找出值域，得到答案; (3)换元，变形已知条件得，再由（1）（2）结合数学归纳法得出时，成立，最后验证时，不等式成立 【详解】（1）， 要证明，只需证明. 当时，， 不等式两边同时除以得：， 令，则 当时，恒成立， 在上是减函数. , ∴当时，恒成立， 即时，， 时， （2），, 令，得唯一解， 且 是唯一临界点 ,， 是增函数 在处取得极小值， 当时， 是最小值点 对，恒成立时，需 即 所以，的取值范围是. （3）当时，,即 由（1）知时，， 取，由（2）知，，， 当时， 接下来证明 当时，左边，右边，不等式成立， 假设时不等式成立，则 时，， 这里需要证明成立， 简化得， 整理得， 两边乘以得：，不等式成立 所以，对也成立 时，成立， 综合所有信息可得： 时， 时，； 时，不等式左边，右边 时，成立 综上， 15．（24-25高二下·云南昆明·期末）已知函数，. (1)当，时，证明：； (2)记：，使得对，都有；：，使得对，都有. （i）证明：是的充要条件； （ii）若成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）构造辅助函数，通过利用导数研究单调性，确定函数符号即可得证； （2）（i）根据给定条件，结合充要条件的意义进行推理即可得证； （ii）由（i知，令，，则需，在上恒成立.通过分类讨论并利用导数求解即得. 【详解】（1）令，，则， 所以在上单调递减，所以，即. （2）（i）必要性：若成立，即存在，使得对任意，都有，则对任意，，即成立. 充分性：若成立，即存在，使得对任意，都有. 当时，有；当时，有； 当时，，由， 知是奇函数.所以. 于是对任意，都有，即成立. （ii）由（i）知，只需考虑成立，即存在，使得对任意，都有，等价于. 令，，则需，在上恒成立. 不妨取，即，在上恒成立. 由，得，，则 ①当时，，符合题意； ②当时，，在上单调递增，故符合题意； ③当时，令，则，在上单调递增； 若，即，则，在上单调递增，同②符合题意； 若，即，由，知存在，使得. 当时，，在上单调递减，故，不符合题意. 于是. 2°由，得，， 令，， ①当时，，符合题意. ②当时，，在上单调递减， 若，即，则，在上单调递减，故，符合题意； 若，即，由，知存在，使得，当时，，在上单调递增，故，不符合题意. 于是. 综上，实数的取值范围为. 16．（24-25高二下·河北邯郸·月考）已知函数. (1)求函数在上的最大值； (2)若函数的最小值为1，求实数的值； (3)求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，求得，得出函数的单调区间，进而求得函数的最大值； （2）根据题意，得到，求得，分类讨论，得到函数的单调性和最小值； （3）根据题意，转化证明成立，由（2）知，当时，求得，令，求得，得到单调递增，得出，求得，即可得证. 【详解】（1）解：由，可得， 令，可得，因为，所以或，                               当时，，当上，； 当 上，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最大值为. （2）解：由函数，可得， 则，                当时，，所以在上单调递减，没有最小值； 当时，令，可得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为，则. （3）证明：根据题意，要证成立，即证成立， 由（2）知当时，， 所以，即，所以， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，即成立，所以原不等式成立. 题型三 概率与导数结合（共8小题） 17．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知甲、乙两个人爱好中国象棋，甲乙两人进行对弈，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行，记甲第局赢的概率为. (1)求乙第2局赢的概率； (2)求； (3)若存在，使得成立，求整数的最小值. 【参考：，，，】 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据独立事件和对立事件的概率公式结合意求解即可； （2）由已知得当时，，再利用构造法，结合等比数列通项公式求出 （3）由已知得，令，利用导数可判断在上递减，则问题转化为求的最大值，进而求得答案. 【详解】（1）依题意，甲第2局赢的概率为， 所以乙赢的概率为. （2）当时，， 整理得，又， 因此数列是首项为，公比为的等比数列，则， 所以. （3）不等式， 令，求导得， 函数和在上递减，则函数在上递减， 而，则当时，，即函数在上递减， 又，因此当取最大值时，取最小值， 又，则当为偶数时，， 当为奇数时，，且是单调递减的，， 因此的最大值为，依题意，， 又， 所以满足的整数的最小值为. 18．（24-25高二下·江苏南通·月考）为减低废气排放量，某工厂生产一种减排器，每件减排器的质量是一等品的概率为，二等品的概率为，若达不到一、二等品，则为不合格品． (1)若工厂已生产3件减排器，设为其中一等品的件数，求的分布列和数学期望； (2)已知一件减排器的利润如下表： 等级 一等品 二等品 不合格品 利润（万元/件） 1 0.5      若工厂要增加产量，需引入设备和更新技术，但增加n件，成本相应增加万元，假设你是工厂的决策者，你觉得目前应不应该增加产量？如果要增加产量，增加多少件最好，如果不要增加产量，请说明理由．（参考数据：，） 【答案】(1)分布列见解析，. (2)目前应该增加产量，增加3件最好，理由见解析. 【分析】（1）首先确定的可能取值，然后针对每个取值求相应的概率，从而写出分布列，最后根据期望公式求得期望的值. （2）首先计算一件减排器的平均利润，然后写出生产件产品的净利润，求导判断单调性，求出最大值，从而可求解出增加多少产量最好. 【详解】（1）根据题意，可能取0，1，2，3. 则； ； ； . 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以数学期望为. （2）一件减排器的平均利润为：万元. 假设增加件减排器，则这件减排器所带来的利润为万元，成本为万元. 所以净利润为：. 设，对函数求导得. 当时，即，此时函数单调递增； 当时，即，此时函数单调递减； 所以函数在处取最大值. 因为要取整数，所以最大值处或. 又；. 所以目前应该增加产量，增加3件最好. 19．（24-25高二下·广东东莞·期末）现有一批产品，每件产品是否合格相互独立，每件产品合格的概率均为p．在某次抽样中，经统计抽取的100件产品中，恰有98件合格品． (1)以频率估计概率，若从该批产品中再抽取10件，记合格品的数量为X，求X的期望； (2)在概率统计中，我们常常通过观测到的实验结果应用极大似然估计法来估计某参数的取值．设X为与未知参数m有关的离散型随机变量，其中m的取值范围为S．若对已知结果，存在，且对任意，有成立，则称为m的一个极大似然估计值． ①请根据此次抽样，求p的极大似然估计值． ②在实际操作中往往采用多次独立抽样来求参数的极大似然估计值，现对该批产品进行m次独立抽样，每次从中抽取n个产品，记录合格品数分别对应为，，…，，请根据这m次独立抽样结果，求p的极大似然估计值． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】（1）根据二项分布的期望公式即可得到答案； （2）①记合格品的数量为X，则，设，求导，根据导数研究单调性和最值，即可得到答案； ②．两边同时取自然对数并整理得：令，求导，根据导数研究单调性和最值，即可得到答案. 【详解】（1）估计合格率，则，； （2）①从这批产品中抽取100件产品，记合格品的数量为X，则， 所以，设， ， 因为，当时，在上位单调递增函数； 当时，在上位单调递减函数， 所以当时，有最大值，即p的极大似然估计值为． ②，则，，2，3，…，m 设：． 两边同时取自然对数并整理得： ， 令， ， ，时，，此时单调递增， 时，，此时单调递减，． 所以时，最大，此时取得最大值． 因此，p的极大似然估计值为． 20．（24-25高二下·四川绵阳·期末）在一次程序设计竞赛中，需要通过逐一运行测试点的方式对选手编写的程序进行评测．评测共有6个测试点，分为3个基本功能点与3个强测优化点．每通过1个基本功能点，选手将获得5分；每通过1个强测优化点，选手将获得10分．选手最终得分为所有测试点得分之和．主办方准备了两种评测方案，可供选手选择，每种方案都按确定的次序进行评测，每个测试点只测试1次． 方案一：先测试3个基本功能点，在这个过程中只要有测试点不通过则终止评测；选手通过所有基本功能点后才能测试3个强测优化点，在这个过程中即使有测试点不通过，也将继续测试，直到所有强测优化点测试完毕． 方案二：选手按1个基本功能点，1个强测功能点，1个基本功能点……进行交叉测试，过程中出现任何1个测试点不通过的情况都立刻终止测试． 小张编写的程序通过每一个基本功能点的概率均为，通过每一个强测优化点的概率均为．每个测试点是否通过都相互独立，且． (1)若，小张选择了方案一进行评测.求小张最终得分不少于30分的概率； (2)设小张的最终得分为随机变量为，分别求出方案一与方案二中的分布列； (3)以小张的最终得分的期望为依据，判断小张应该选择哪一种方案？ 【答案】(1)0.013 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据独立重复试验的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解即可； （2）分别求出两种方案的随机变量的取值，再求出对应的概率，即可求出两种方案的分布列； （3）利用期望公式求出两种方案的期望，则 ，令，利用导数法得在上恒小于0，令．，再利用导数法求得，进而得在上存在唯一零点，即可得解. 【详解】（1）小张最终得分不少于30分，说明小张通过了3个基本功能点，并至少通过了2个强测优化点， ∴概率为：； （2）①若选择方案一，则， ， ， ， ， ， 故的分布列为： ②若选择方案二，则， ， ， ， 故的分布列为： （3）若选择方案一，则其得分期望： ， 若选择方案二，其得分期望： ， 故有 ， 令，则， ∴在上单调递增并存在唯一零点， 故在单调递减，在上单调递增， 而，故在上恒小于0， 令． 故为开口向下的二次函数，， 令，则， 在上单增并存在唯一零点， 故在单调递减，在单调递增， 且，故在上恒小于0，即， 故在上存在唯一零点：， 因此，当时，． 当时，． 综上所述：当时，选择方案二； 当时，两种方案都可选择； 当时，选择方案一． 21．（24-25高二下·山东滨州·期末）某公司要招聘一名秘书，共有名候选人，他们的能力大小各不相同．面试过程中，n名候选人依次前来面试，面试官只能根据当前和之前的候选人的能力排名做出决策，并且必须在面试完当前候选人后立即决定是否录用．一旦拒绝，该候选人将无法再被录用．为了最大概率选中最优秀的候选人，面试官实行了以下策略： ①拒绝前个候选人，将其作为参考样本． ②从第个候选人开始，如果某个候选人的能力超过了之前所有人，就立即选中他．如果后面没有比前面更优秀的候选人，则录用最后一个候选人． 设面试官选中最优秀的候选人的概率为P． (1)若，，求P； (2)取． (ⅰ)若，求当P取得最大值时，k的取值； (ⅱ)证明：． 【答案】(1)； (2)（i）37；（ii）证明见解析. 【分析】（1）求出满足题意的情况数和总情况数，再利用古典概型公式即可得到答案； （2）（i）利用全概率公式得，再构造函数，求导得其单调性即可证明； （ii）转化为证明，设，再利用同构思想转化证明，最后构造函数，求导再利用其单调性即可证明. 【详解】（1）4名候选人的面试顺序从第1个到第4个排序，有种情况， 要选中最优秀的侯选人，有以下两类情形： ①最优秀的候选人是第3个，其他使选人位置随意，有种情况； ②最优秀的候选人是最后1个，第二优秀的候选人是第1个或第2个，其他候选人位置随意，有种情况． 故所求概率． （2）（i）记事件表示选中最优秀的候选人，事件表示最优秀的候选人排在第个位置， 因为最优秀的候选人出现在各个位置上的概率相等， 所以. 以最优秀候选人所在位置作为条件， 当时，最优秀的饮选人在前个人之中，不会被选中，此时． 当时，最优秀的候选人被选中，当且仅当前个候选人中的最优秀的一个在前个人中，此时． 由全概率公式得： ， 因为，所以. 构造函数．所以． 令，得． 当；当． 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以． 因为，所以当时，， 即， 所以取最大值时，的取值约为37． （ii）由（i）知，， 要证，即证，即证. 令，即需证，即证， 即证. 构造函数 因为在上恒成立， 所以在单调递增．． 取，则， 则命题得证. 22．（24-25高二下·江苏扬州·期末）甲、乙两名运动员将参加体育考核．考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将在这3个项目中分别进行测试．已知6个项目中，有4个是甲擅长的，必定通过测试，另有2个是甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p，且各次测试相互独立．在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X、Y． (1)若，分别写出随机变量X和Y的概率分布，并求它们的数学期望； (2)规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过测试，则考核“优秀”． （i）当运动员甲考核“达标”时，求运动员甲考核“优秀”的概率； （ii）已知时，两位运动员考核“达标”的概率相等，时，两位运动员考核“优秀”的概率相等．求证：． 【答案】(1)的分布列见解析，， (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据超几何分布和二项分布，分别求出甲、乙的分布列，计算期望. （2）（i）根据条件概率公式，由（1）中各事件概率，求出条件概率. （ii）根据甲乙通过项目数的分布列，分别求出甲乙两人合格和优秀时的概率，根据其单调性，列出不等式，证明结果. 【详解】（1）甲可能通过项目数，服从超几何分布， 则X的概率分布： ， ， X的数学期望． 乙通过项目数符合二项分布，即，， 则Y的概率分布： ，， ，， Y的数学期望． （2）（i）因为， 所以运动员甲考核“达标”时，运动员甲考核“优秀”的概率是． （ii）甲考核“达标”概率，记乙考核“达标”概率为， 则， 可知， 当时，，在上单调递增， 又，所以． 甲考核“优秀”概率，记乙考核“优秀”概率为， 则在上单调递增， 又，所以． 综上，． 23．（24-25高二下·江苏苏州·期末）信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量所有可能的取值为、、、，且，，称为的信息熵，用来刻画随机变量蕴含的信息量的大小． (1)抛掷一枚质地均匀的警子（一种各个面上分别标有、、、、、个点的正方体玩具），记出现向上的点数为，求的值； (2)若，求的最大值； (3)求证；． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求得，结合题中定义可求得的值； （2）当时，求得，令，利用导数求出函数的最大值，即为所求； （3）先证明出，然后利用作差法证明出，即可证得结论成立. 【详解】（1）由题意可知，，则. （2）若，则， 记， 则， 当时，，；当时，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故的最大值为． （3）下面先证：，构造函数，则， 由可得，由可得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，即． 因为 ， 当且仅当，即时取得等号，所以． 24．（24-25高二下·山东·月考）2025年5月下旬，为全面掌握学生学业水平，科学制定备考策略，某科研组织精心组织了一次针对高二年级的全市联合考试，研究发现，本次检测的数学成绩近似服从正态分布. (1)按以往的统计数据，数学成绩能达到特殊招生分数线要求的同学约占46%，据此估计本次检测成绩达到特殊招生分数线的数学成绩大约是多少分?（精确到个位）（说明：表示的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表，求时的概率，这里.相应于值是指总体取值小于概率，即.参考数据：，）. (2)在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问，特别是对一些敏感性问题.例如学生在考试中有无作弊现象，社会上的偷税漏税等，更要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况，为了调查早恋现象对数学测试成绩的影响，随机抽出300名学生，调查中使用了两个问题.①你的学籍号的最后一位数是奇数（学籍号的后四位是序号）；②你是否有早恋现象，让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外完全相同）的袋子中随机摸取两个球，摸到两球同色的学生如实回答第一个问题，摸到两球异色的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不放，后来在盒子中收到了78个小石子.你能否估算出中学生早恋人数的百分比? (3)有一天，柏拉图问苏格拉底：“什么是爱情？”苏格拉底微笑着让他去麦田里摘一株最大最好的麦穗回来，并且规定只能摘一次，而且只能往前走，不能回头.柏拉图充满信心地走进麦田，可过了很久他却垂头丧气地空手而归.他对苏格拉底说：“很难得看见一株不错的，却不知道是不是最好的，因为只可以摘一株，无奈只好放弃；于是，再往前走，看看有没有更好的，可是我越往前走，越发觉不如以前见到的好，所以我没有摘；当已经走到尽头时，才发觉原来最大的最饱满的麦穗早已错过了，只好空手而归.”这时，苏格拉底意味深长地说：“这就是‘爱情’.” 为了摆脱“麦穗困境”，找到最优伴侣，龙龙同学准备采用“前半观察，后半选择”的策略，即：前次心动不行动，自第次心动开始，只要发现比他前面见过所有的都优秀，就大胆行动，否则就在第20次心动再行动.为了使龙龙选择到最优伴侣的概率最大，求的取值.（以下可能会用到：，） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将非标准正态分布转化为标准正态分布，利用给定的概率值对应分位点，反推出原分布的临界值； （2）通过摸球概率确定回答不同问题的概率，设早恋比例为 ， 利用全概率公式求得回答“是”的总概率，根据收到的石子个数得到回答“是”的总概率，得到方程求解； （3）利用全概率公式求得龙龙选择到最优伴侣的总概率 的表达式，根据提示近似等式化简得到.利用导数研究单调性，进而得到使龙龙选择到最优伴侣的概率最大，求的取值. 【详解】（1）由，根据公式, 其中. 解得，由参考数据， 可得，解得. 因此，特殊招生分数线的数学成绩约为 87 分; （2）两球同色的概率为，则两球异色的概率为， 回答问题①且回答“是”的概率， 摸到同色时回答第一个问题（学籍号最后一位是奇数），概率为 （假设学籍号均匀分布）. 摸到异色时回答第二个问题（是否有早恋），设早恋比例为 ，则 . 回答“是”的总概率为： . 实际收到 78 个小石子，样本量为 300，所以回答“是”的样本比例为： ,所以 因此，中学生早恋人数的百分比约为 5%； （3）最优伴侣在前 次出现：如果最优伴侣在前 次出现，龙龙不会选择（因为前 次不行动），因此概率贡献为 0. 最优伴侣在第 次出现（)：为了在第次选择最优伴侣，必须满足： 最优伴侣在第 次出现，且前 次中的最优伴侣出现在前 次中（否则龙龙会在 之前选择）. 因此，条件概率为 . 龙龙选择到最优伴侣的总概率 ：最优伴侣出现在任何位置的概率是. 对于 ，选中最优伴侣的概率是 . 因此： 根据提示，，所以：. 为最大化 ，考虑函数 . 求导： 令 ：,, ∵, ∴,∴. 当时,单调递增，当时,单调递减， 由于 为整数，比较 和 ： 当：, 比较 ，且其他 值（如 ) 均小于 ，故 时概率最大. 因此， 时概率最大. 题型四 立体几何与导数结合（共5小题） 25．（24-25高二下·江苏南京·期末）如图，几何体是圆柱的四分之一部分，其中底面OAB是半径为2的扇形，母线长为4，C是的中点，M为的中点． (1)证明：面OAB； (2)若P在弧中点，求平面ACM与平面PCM所成角的正弦值； (3)若P是弧上的动点，Q是弧上的动点，且，求直线与直线PQ所成角余弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（2）过点作，取的中点，连接，分别证得平面和平面，得到平面平面，即可证平面； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设，得到和，设异面直线与所成的角为，结合向量的夹角公式，求得，令，得到，设，利用导数求得函数的单调性和最大值，即可求解. 【详解】（1）证明：如图所示，过点作，取的中点，连接， 在矩形中，因为为的中点，可得， 因为平面，平面，所以平面， 在中，因为分别为的中点，可得， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，且平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）解：以为原点，以所在直线为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为底面是半径为2，母线长为4，是的中点，为的中点， 可得， 则， 设平面的法向量为，则 ， 令，可得，所以 设平面的法向量为，则 ， 令，可得，所以， 设平面与平面所成的角为， 则，所以. （3）解：若是弧上的动点，是弧上的动点，且， 设，则，其中 则，即， 又由，所以，， 可得，，且， 设异面直线与所成的角为， 则， 设，且， 则 令，其中， 可得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，所以， 所以线与直线PQ所成角余弦值的最大值为. 26．（24-25高二下·浙江杭州·阶段检测）如图，在三棱台中侧面为等腰梯形，为中点.底面为等腰三角形，为的中点. (1)证明：平面平面； (2)记二面角的大小为.当时，求直线与平面所成角的正弦的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）根据等腰梯形的对称性可得，而，故可得平面，从而可得平面平面； （2）以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求直线与平面所成角的正弦的最大值. 【详解】（1）因为为等腰三角形，为的中点，所以， 又因为侧面为等腰梯形，为的中点，所以， 又平面，因此平面， 平面，所以平面平面 （2）在平面内，作，由（1）中平面平面， 且平面平面，平面，可得平面； 以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 又因为，， 所以即为二面角的平面角，所以， 在中，，易知， 又，可得； 所以，； 即， 设平面的一个法向量为， 所以， 可令，则，即； 当时，设直线与平面所成角为，则： ， 设，则在恒成立， 所以在上单调递增，， 即，而， 故，所以，故， 所以当时，直线与平面所成角的正弦的最大值为. 27．（2026·河南·模拟预测）如图，四棱锥的底面为矩形，，，平面平面ABCD．    (1)若，， ①求四棱锥的体积； ②求平面APD与平面CPD的夹角的余弦值． (2)设点B在直线AP上的射影为H，点H到平面ABCD的距离为d，求的最大值． 【答案】(1)① ；② (2) 【分析】（1）①作出辅助线，由线面垂直得到线线垂直，求出各边长，由锥体体积公式得到答案； ②建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到面面角的余弦值； （2）设，，表达出其他各边长，结合余弦定理，换元法，导函数求出的最大值． 【详解】（1）①如图，作于点E，连接BE． 因为平面平面ABCD，且平面平面，平面， 所以平面ABCD，即PE为四棱锥的高． 因为四边形ABCD为矩形，，， 所以，． 因为，，AC为公共边，所以， 故，所以， 故． 所以四棱锥的体积． ②如图所示，以B为坐标原点建立空间直角坐标系B-xyz， 则，，，， 所以，，． 设平面CPD的法向量为， 则，即，可取， 所以平面CPD的一个法向量为． 同理，设平面APD的一个法向量为， ， 解得，令，则， 可得平面APD的一个法向量为． 设平面APD与平面CPD的夹角为， 则．    （2）作，垂足为I，与（1）同理，可得平面ABCD． 设，，则，，． 由平面ABCD，可得，所以． 在中，由余弦定理可得， 在中，， 因为，所以． 设，，则， 设，，则，令，可得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以， 所以的最大值为． 28．（2026·湖南怀化·一模）如图，四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，二面角的平面角大小为为的中点. (1)设平面平面，求直线与直线的夹角大小； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值； (3)设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，分别交于两点，其中为的中点，平面，求四棱锥的体积的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）作出合理辅助线，再找到两直线夹角即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出线面角的表达式，利用换元法并求导即可求出其最大值； （3）首先计算得，再计算体积表达式，最后根据范围即可得到答案. 【详解】（1）延长交的延长线于点，则为交线， 因为为的中点，，所以为的中点，所以， 因为侧面是等边三角形，所以， 所以，所以， 所以所求角为． （2）取的中点，连接，由，则， 分别以所在直线为轴和轴， 以过垂直于底面的直线为轴建立空间直角坐标系， ， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则． 设直线与平面所成角为， 则．， 令，则， 令，结合的取值范围可知， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为，故. （3）由题意可知，所以点为的中点， 设， 因为， 则， 又因为， 所以，解得． 即 ， 因为，所以． 29．（2026·安徽合肥·二模）如图，在面积为的梯形中，，，为的中点.将沿翻折至. (1)证明：； (2)当时，求平面与平面夹角的余弦值； (3)当时，求四棱锥体积的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，由菱形性质可得，即可得； （2）借助梯形面积可得的面积，从而可求出，再以为坐标原点，建立适当空间直角坐标系，可求出平面与平面的法向量，利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）过作，垂足为，利用线面垂直判定定理可得平面，即为四棱锥的高，再设，，可得，则可用表示出，再构造相应函数，利用导数求出最大值即可得解. 【详解】（1）连接，由为中点，则，又， 则四边形为菱形，设，则为中点， 则，故； （2）当时，是边长为的等边三角形， 又因为梯形的面积为，所以的面积为， 所以，所以， 以为坐标原点，以，分别为，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，， 所以，，， 设为平面的法向量，则， 即，令，则，所以， 设为平面的法向量，则， 即，令，则，，所以， 所以， 因此，平面与平面夹角的余弦值为； （3）过作，垂足为， 因为四边形为菱形，所以，即， 又是平面内的两条相交直线， 所以平面，因为平面，所以， 又因为，、平面，所以平面， 设，，则，， 根据的面积为，得，即， 要使三棱锥的体积最大，则最大， 因为， 所以， ，其中， 令，记，， 令，，或（舍）， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，即， 所以三棱锥的体积最大值为， 因此，四棱锥体积的最大值为. 题型五 解析几何与导数结合（共5小题） 30．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知椭圆过点，右焦点． (1)求椭圆E的方程； (2)设直线与椭圆E交于P，A两点，过点作轴，垂足为点C，直线交椭圆E于另一点B． （i）证明：． （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）根据题意求出，即可得到椭圆方程； （2）（i）根据椭圆对称性设点的坐标为，则点的坐标为，设，利用点差法可得出，再由斜率公式可得出，代入可得出即可证明； （ⅱ）由对称性不妨设，在第一象限，联立曲线方程求出，利用进行求解即可. 【详解】（1）由题意椭圆右焦点可得， 过点可得， 由整理得，得， 所以，椭圆的方程为． （2）(i)证明：直线与椭圆交于，两点，设P为第一象限点，，轴，如图，点的坐标为，点的坐标为， 设，则有，， 两式相减得：， 又，，， 又，， 又，，因此，． (ii)解：由对称性不妨设，在第一象限， 由与椭圆联立得， 所以，则． 设直线与倾斜角分别为，则， 所以， 由(i)，， 令，则 ， 当时，当时， 即在上单调递增，在上单调递减，因此， 即的最大值为． 31．（24-25高二下·安徽亳州·阶段检测）已知抛物线（）的焦点F与椭圆的一个焦点重合. (1)求抛物线C的方程； (2)设点P为直线上的动点，过点P作抛物线C的两条切线，分别与抛物线切于A，B两点，求抛物线C的焦点F到直线的最大距离. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据椭圆方程求其焦点坐标，由抛物线方程求抛物线焦点坐标，列方程求可得结论； （2）设点，，，结合导数几何意义求方程，证明A，B都在直线上，由此证明直线恒过定点，由此可求抛物线C的焦点F到直线的最大距离. 【详解】（1）设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， 则，，∴， ∴，∴椭圆的焦点为， ∵抛物线C的焦点，，∴，∴， ∴抛物线C的方程为. （2）设点，，.由得， ∴抛物线C在A处的切线方程为， 同理抛物线C在B处的切线方程为， ∵切线，均过点，∴， ∴A，B都在直线上，即， ∴直线恒过定点， 由（1）知焦点， ∴F到直线的最大距离为. 32．（2025·广东·模拟预测）已知抛物线：，点A在上，点，其中. (1)若，求的最小值； (2)点Q是点P关于y轴的对称点，经过点P的直线与交于两点B，C； （ⅰ）若A是B，Q中点，证明：； （ii）若直线与相切且，直线与交于点D，求D纵坐标的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）设，根据两点间距离公式得即可求解； （2）（ⅰ）设直线：，，，，直线与抛物线联立，由韦达定理得，即求得点坐标，利用向量数量积即可求证； （ii）设B，C的中点为，利用韦达定理得的坐标，求在点处的切线方程，得，由得，最后求出点的纵坐标，利用函数求导即可求解. 【详解】（1）当时，，设， 所以， 当，等号成立，即， 所以最小值为； （2）（ⅰ）设直线：，，，， 不妨设，因为A是B，Q中点，所以，得，即， 由，所以，即， 所以，由，所以，即； （ii）由（ⅰ）有，所以， 设B，C的中点为，所以，由有，所以，即， 所以，即在点处的切线为， 由在切线上，所以， 又因为，所以，即， 由，解得：， 记为，由对称性不妨设， 所以，令，得，即， 时，，单调递减；时，，单调递增， 所以，所以，由对称性有 . 33．（2026·吉林长春·二模）已知抛物线上的点到焦点距离的最小值为． (1)求的方程； (2)若点，在上，且线段的中点在直线上，点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线定义可知抛物线上的动点到焦点距离的最小值即为动点到准线距离的最小值. （2）抛物线方程和直线方程联立，用韦达定理表示根的关系，再利用弦长公式，点到直线的距离公式求出的底和高，最后利用导数即可求出面积的最大值. 【详解】（1）抛物线的焦点，准线为， 抛物线上的动点到焦点距离的最小值即为动点到准线距离的最小值，即，即，故的方程为． （2）由题意可知直线斜率存在，设的方程为，与抛物线联立消去可得 ，则，， 则， 的中点在直线上， 即，即， 由弦长公式可知， 点到直线的距离为， 即的面积为， 令，，则， 则， 令，则 令可得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因此在处取得最大值，即的最大值为， 即面积的最大值为． 34．（2026·广东广州·一模）已知双曲线：（，）的焦点到其渐近线的距离为，点在上． (1)求的方程； (2)点，分别在的两条渐近线上运动，且，线段的中点为． （ⅰ）设，，求的最大值； （ⅱ）设，（），点不在轴上，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）4；（ⅱ） 【分析】（1）由焦点到渐近线的距离求得，再将点代入到双曲线方程即可求解； （2）（i）设出渐近线上的点，由中点坐标和得出的轨迹为椭圆，发现为其焦点，结合椭圆的定义即可求得，再使用基本不等式即可求解；（ⅱ）由及正弦定理，用坐标表示，并使用三角函数恒等变换和椭圆方程消去，得到比值关于的表达式，结合的取值范围即可求解. 【详解】（1）设右焦点，其中一条渐近线方程为，即， 由题意得到的距离， 即，因为点在上， 将代入，得，解得， 即双曲线. （2）（i）由（1）得渐近线方程为，设， 设，则有，即， 则， 所以， 即，整理得， 即的轨迹是椭圆，易得其焦点为，长半轴长为2， 所以是点轨迹的焦点，所以， 则，当且仅当时等号成立. （ⅱ）在中，由正弦定理得， 因为，所以应在轴右侧，即， 且， 所以，设，则， 不妨令，因为在上，且， 所以， 又， 联立，整理得， 而，解得， 设，则， 易得当时，则在上单调递增， 所以，即，因为短半轴长为1，因此， 由整理得， 因为，解得， 因为，代入，所以整理得， 令，则，则，代入， 整理得， 设其中， 易得当时单调递增，则单调递减，单调递增，单调递增， 单调递增，单调递增，最终有在上单调递增， 所以，即. 由于椭圆的对称性，当时结果一致， 综上， $专题08 数列、三角函数、概率、 立体几何、解析几何与导数交汇问题 题型1 数列与导数结合（重点） 题型4立体几何与导数结合 题型2 三角函数与导数结合（重点）（难点） 题型5 解析几何与导数结合 题型3 概率与导数结合（重点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 数列与导数结合（共8小题） 1．（24-25高二下·江西抚州·期末）已知数列满足，且.函数. (1)求； (2)若恒成立，求的值； (3)设，求证：. 2．（24-25高二下·云南·期末）已知各项均为正数的等差数列，其前项和为，且，函数． (1)求的公差； (2)若恒成立，求的值； (3)设，求证：． 3．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，. (1)设函数； （i）讨论函数的单调性； （ii）若函数无极值，求实数的取值范围； (2)记数列的前项和为，证明：. 4．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：，； (3)设，证明：． 5．（24-25高二下·山东东营·期末）已知，函数. (1)当时，求函数在点的切线方程； (2)若， ①求； ②求证：对，都有. 6．（24-25高二下·四川资阳·期末）已知函数，且的最小值为1. (1)求的值； (2)证明： （i）； （ii）对于任意. 7．（24-25高二下·广东江门·期末）已知函数. (1)求函数在原点处的切线方程； (2)讨论函数的单调区间； (3)证明：. 8．（24-25高二下·山东济南·期末）已知函数． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围； (3)设，证明：． 题型二 三角函数与导数结合（共8小题） 9．（24-25高二下·云南临沧·期末）（1）证明：当时，. （2）若，求的取值范围. 10．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数，． (1)当时，求函数在上的最大值； (2)求证：函数在上有最大值； (3)在（2）的结论下，若，求的取值范围． 11．（24-25高二下·河南新乡·期末）（1）证明：当时，． （2）若，，求a的取值范围． 12．（24-25高二下·海南海口·期末）记，，． (1)求，并证明：； (2)若，使得成立，求取值范围； (3)求函数的单调增区间． 13．（24-25高二下·湖南·期末）已知函数，. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，求在内的极值； (3)设，若有2个零点，，且，求证：. 14．（24-25高二下·四川达州·期末）函数，的导函数为. (1)求证：时，； (2)对，恒成立，求的取值范围； (3)求证：. 15．（24-25高二下·云南昆明·期末）已知函数，. (1)当，时，证明：； (2)记：，使得对，都有；：，使得对，都有. （i）证明：是的充要条件； （ii）若成立，求实数的取值范围. 16．（24-25高二下·河北邯郸·月考）已知函数. (1)求函数在上的最大值； (2)若函数的最小值为1，求实数的值； (3)求证：. 题型三 概率与导数结合（共8小题） 17．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知甲、乙两个人爱好中国象棋，甲乙两人进行对弈，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行，记甲第局赢的概率为. (1)求乙第2局赢的概率； (2)求； (3)若存在，使得成立，求整数的最小值. 【参考：，，，】 18．（24-25高二下·江苏南通·月考）为减低废气排放量，某工厂生产一种减排器，每件减排器的质量是一等品的概率为，二等品的概率为，若达不到一、二等品，则为不合格品． (1)若工厂已生产3件减排器，设为其中一等品的件数，求的分布列和数学期望； (2)已知一件减排器的利润如下表： 等级 一等品 二等品 不合格品 利润（万元/件） 1 0.5      若工厂要增加产量，需引入设备和更新技术，但增加n件，成本相应增加万元，假设你是工厂的决策者，你觉得目前应不应该增加产量？如果要增加产量，增加多少件最好，如果不要增加产量，请说明理由．（参考数据：，） 19．（24-25高二下·广东东莞·期末）现有一批产品，每件产品是否合格相互独立，每件产品合格的概率均为p．在某次抽样中，经统计抽取的100件产品中，恰有98件合格品． (1)以频率估计概率，若从该批产品中再抽取10件，记合格品的数量为X，求X的期望； (2)在概率统计中，我们常常通过观测到的实验结果应用极大似然估计法来估计某参数的取值．设X为与未知参数m有关的离散型随机变量，其中m的取值范围为S．若对已知结果，存在，且对任意，有成立，则称为m的一个极大似然估计值． ①请根据此次抽样，求p的极大似然估计值． ②在实际操作中往往采用多次独立抽样来求参数的极大似然估计值，现对该批产品进行m次独立抽样，每次从中抽取n个产品，记录合格品数分别对应为，，…，，请根据这m次独立抽样结果，求p的极大似然估计值． 20．（24-25高二下·四川绵阳·期末）在一次程序设计竞赛中，需要通过逐一运行测试点的方式对选手编写的程序进行评测．评测共有6个测试点，分为3个基本功能点与3个强测优化点．每通过1个基本功能点，选手将获得5分；每通过1个强测优化点，选手将获得10分．选手最终得分为所有测试点得分之和．主办方准备了两种评测方案，可供选手选择，每种方案都按确定的次序进行评测，每个测试点只测试1次． 方案一：先测试3个基本功能点，在这个过程中只要有测试点不通过则终止评测；选手通过所有基本功能点后才能测试3个强测优化点，在这个过程中即使有测试点不通过，也将继续测试，直到所有强测优化点测试完毕． 方案二：选手按1个基本功能点，1个强测功能点，1个基本功能点……进行交叉测试，过程中出现任何1个测试点不通过的情况都立刻终止测试． 小张编写的程序通过每一个基本功能点的概率均为，通过每一个强测优化点的概率均为．每个测试点是否通过都相互独立，且． (1)若，小张选择了方案一进行评测.求小张最终得分不少于30分的概率； (2)设小张的最终得分为随机变量为，分别求出方案一与方案二中的分布列； (3)以小张的最终得分的期望为依据，判断小张应该选择哪一种方案？ 21．（24-25高二下·山东滨州·期末）某公司要招聘一名秘书，共有名候选人，他们的能力大小各不相同．面试过程中，n名候选人依次前来面试，面试官只能根据当前和之前的候选人的能力排名做出决策，并且必须在面试完当前候选人后立即决定是否录用．一旦拒绝，该候选人将无法再被录用．为了最大概率选中最优秀的候选人，面试官实行了以下策略： ①拒绝前个候选人，将其作为参考样本． ②从第个候选人开始，如果某个候选人的能力超过了之前所有人，就立即选中他．如果后面没有比前面更优秀的候选人，则录用最后一个候选人． 设面试官选中最优秀的候选人的概率为P． (1)若，，求P； (2)取． (ⅰ)若，求当P取得最大值时，k的取值； (ⅱ)证明：． 22．（24-25高二下·江苏扬州·期末）甲、乙两名运动员将参加体育考核．考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将在这3个项目中分别进行测试．已知6个项目中，有4个是甲擅长的，必定通过测试，另有2个是甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p，且各次测试相互独立．在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X、Y． (1)若，分别写出随机变量X和Y的概率分布，并求它们的数学期望； (2)规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过测试，则考核“优秀”． （i）当运动员甲考核“达标”时，求运动员甲考核“优秀”的概率； （ii）已知时，两位运动员考核“达标”的概率相等，时，两位运动员考核“优秀”的概率相等．求证：． 23．（24-25高二下·江苏苏州·期末）信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量所有可能的取值为、、、，且，，称为的信息熵，用来刻画随机变量蕴含的信息量的大小． (1)抛掷一枚质地均匀的警子（一种各个面上分别标有、、、、、个点的正方体玩具），记出现向上的点数为，求的值； (2)若，求的最大值； (3)求证；． 24．（24-25高二下·山东·月考）2025年5月下旬，为全面掌握学生学业水平，科学制定备考策略，某科研组织精心组织了一次针对高二年级的全市联合考试，研究发现，本次检测的数学成绩近似服从正态分布. (1)按以往的统计数据，数学成绩能达到特殊招生分数线要求的同学约占46%，据此估计本次检测成绩达到特殊招生分数线的数学成绩大约是多少分?（精确到个位）（说明：表示的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表，求时的概率，这里.相应于值是指总体取值小于概率，即.参考数据：，）. (2)在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问，特别是对一些敏感性问题.例如学生在考试中有无作弊现象，社会上的偷税漏税等，更要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况，为了调查早恋现象对数学测试成绩的影响，随机抽出300名学生，调查中使用了两个问题.①你的学籍号的最后一位数是奇数（学籍号的后四位是序号）；②你是否有早恋现象，让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外完全相同）的袋子中随机摸取两个球，摸到两球同色的学生如实回答第一个问题，摸到两球异色的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不放，后来在盒子中收到了78个小石子.你能否估算出中学生早恋人数的百分比? (3)有一天，柏拉图问苏格拉底：“什么是爱情？”苏格拉底微笑着让他去麦田里摘一株最大最好的麦穗回来，并且规定只能摘一次，而且只能往前走，不能回头.柏拉图充满信心地走进麦田，可过了很久他却垂头丧气地空手而归.他对苏格拉底说：“很难得看见一株不错的，却不知道是不是最好的，因为只可以摘一株，无奈只好放弃；于是，再往前走，看看有没有更好的，可是我越往前走，越发觉不如以前见到的好，所以我没有摘；当已经走到尽头时，才发觉原来最大的最饱满的麦穗早已错过了，只好空手而归.”这时，苏格拉底意味深长地说：“这就是‘爱情’.” 为了摆脱“麦穗困境”，找到最优伴侣，龙龙同学准备采用“前半观察，后半选择”的策略，即：前次心动不行动，自第次心动开始，只要发现比他前面见过所有的都优秀，就大胆行动，否则就在第20次心动再行动.为了使龙龙选择到最优伴侣的概率最大，求的取值.（以下可能会用到：，） 题型四 立体几何与导数结合（共5小题） 25．（24-25高二下·江苏南京·期末）如图，几何体是圆柱的四分之一部分，其中底面OAB是半径为2的扇形，母线长为4，C是的中点，M为的中点． (1)证明：面OAB； (2)若P在弧中点，求平面ACM与平面PCM所成角的正弦值； (3)若P是弧上的动点，Q是弧上的动点，且，求直线与直线PQ所成角余弦值的最大值． 26．（24-25高二下·浙江杭州·阶段检测）如图，在三棱台中侧面为等腰梯形，为中点.底面为等腰三角形，为的中点. (1)证明：平面平面； (2)记二面角的大小为.当时，求直线与平面所成角的正弦的最大值. 27．（2026·河南·模拟预测）如图，四棱锥的底面为矩形，，，平面平面ABCD．    (1)若，， ①求四棱锥的体积； ②求平面APD与平面CPD的夹角的余弦值． (2)设点B在直线AP上的射影为H，点H到平面ABCD的距离为d，求的最大值． 28．（2026·湖南怀化·一模）如图，四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，二面角的平面角大小为为的中点. (1)设平面平面，求直线与直线的夹角大小； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值； (3)设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，分别交于两点，其中为的中点，平面，求四棱锥的体积的取值范围. 29．（2026·安徽合肥·二模）如图，在面积为的梯形中，，，为的中点.将沿翻折至. (1)证明：； (2)当时，求平面与平面夹角的余弦值； (3)当时，求四棱锥体积的最大值. 题型五 解析几何与导数结合（共5小题） 30．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知椭圆过点，右焦点． (1)求椭圆E的方程； (2)设直线与椭圆E交于P，A两点，过点作轴，垂足为点C，直线交椭圆E于另一点B． （i）证明：． （ⅱ）求面积的最大值． 31．（24-25高二下·安徽亳州·阶段检测）已知抛物线（）的焦点F与椭圆的一个焦点重合. (1)求抛物线C的方程； (2)设点P为直线上的动点，过点P作抛物线C的两条切线，分别与抛物线切于A，B两点，求抛物线C的焦点F到直线的最大距离. 32．（2025·广东·模拟预测）已知抛物线：，点A在上，点，其中. (1)若，求的最小值； (2)点Q是点P关于y轴的对称点，经过点P的直线与交于两点B，C； （ⅰ）若A是B，Q中点，证明：； （ii）若直线与相切且，直线与交于点D，求D纵坐标的取值范围. 33．（2026·吉林长春·二模）已知抛物线上的点到焦点距离的最小值为． (1)求的方程； (2)若点，在上，且线段的中点在直线上，点，求面积的最大值． 34．（2026·广东广州·一模）已知双曲线：（，）的焦点到其渐近线的距离为，点在上． (1)求的方程； (2)点，分别在的两条渐近线上运动，且，线段的中点为． （ⅰ）设，，求的最大值； （ⅱ）设，（），点不在轴上，若，求的取值范围． $