专题05 导数与函数的零点、方程的根及图象交点（含隐零点设而不求）（5大题型）（期末复习专项训练）高二年级数学下学期人教A版

专题05 导数与函数的零点、方程的根及图象交点 （含隐零点设而不求） 题型1 讨论零点个数（重点） 题型4 方程的根（常考点） 题型2 由零点个数求参数范围（重点） 题型5 图象交点（常考点） 题型3 隐零点设而不求（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 讨论零点个数（共10小题） 1．（24-25高二下·北京房山·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的零点的个数. 【答案】(1)答案见解析 (2)1 【分析】（1）求导，分类讨论导函数的符号即可求解； （2）结合函数单调性、零点存在定理即可求解. 【详解】（1）对求导得，， 令或，令， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由（1）可得函数的极大值为， 极小值为， 而， 综上所述，函数的零点的个数为1，且零点位于区间. 2．（24-25高二下·广东广州·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)判断的零点个数，并说明理由. 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）利用导数的正负，结合函数定义域，即可判断单调性； （2）利用分离参变量与数形结合，即可得到零点个数的判断. 【详解】（1）由，求导得：， 当时，，当或时，， 所以在,上单调递减，在上单调递增; （2）由得，，根据（1）的单调性结合极小值点， 可作出函数图象， 所以当，即时，可判断的零点个数为2； 当或，即或时，可判断的零点个数为1； 当，即时，可判断的零点个数为0， 综上可得：当时，的零点个数为2； 当时的零点个数为0；当或时，的零点个数为1. 3．（24-25高二下·广西河池·月考）已知函数. (1)当时，求函数的最值； (2)当，讨论函数的零点个数. 【答案】(1)当，时，，. (2)当时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点. 【分析】（1）先求出函数的导数，根据导数判断函数在给定区间的单调性，进而求出最值；（2）同样先求导，根据的取值范围讨论函数的单调性，再结合函数的特殊值判断零点个数. 【详解】（1）当时，，对其求导得. 令，即，解得. 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增. 则在处取得极小值，也是最小值. . 且，. 因为， 综上所得，当，时，，. （2）， ①当时，，所以在上单调递增，又因为，所以函数只有1个零点； ②当时，由得，所以在上单调递减， 又由得，所以在上单调递增， 因为，且所以， 因为，所以存在使得， 所以函数有2个零点； 综上所得，当时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点. 4．（24-25高二下·广东茂名·期末）已知函数. (1)求的单调区间及最值； (2)设，讨论在区间上的零点个数. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为，的最小值为，没有最大值. (2)答案见解析 【分析】（1）求导，判断的单调性求出最值； （2）由（1），可知在上递增，且，根据k的不同取值，分情况讨论，得解. 【详解】（1），令，解得. 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以当时，取最小值为，没有最大值. 所以单调递减区间为，单调递增区间为，且的最小值为，没有最大值. （2），由（1），可知在上递增，而，. 根据k的不同取值，分情况讨论： ①当时，对于，由于，则恒成立，故没有零点. ②当时，由的单调性，可知存在唯一，使，故有唯一零点. ③当时，由，即恒成立，故没有零点. 综上，当时，在上没有零点. 当时，在上有1个零点. 5．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数，，． (1)讨论的单调性； (2)若有解，求的取值范围． (3)，讨论零点个数. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）先判断函数的定义域，在求出的导数，进而对参数进行分类讨论求解单调性即可. （2）利用分离参数法并构造新函数转化为，进而求解参数范围即可. （3）对原函数进行同构，转化为交点问题，进而讨论交点个数，最后讨论零点个数即可. 【详解】（1）由题意得，的定义域为， 因为，所以， 则， 当时，，令，，令，， 故此时在上单调递增，在上单调递减， 令，则，解得或， 当时，解得，令，， 令，， 故此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，解得，得到， 故此时在上单调递增， 当时，解得，令，， 令，， 故此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. （2）若有解，则有解， 故有解，即有解，则有解即可， 令，则即可，而， 令，，令，， 此时在上单调递减，在上单调递增， 当时，，故，则. （3）因为， 所以， 令，则，故， 令，则，而， 故在上单调递增，故，即， 若讨论的零点个数， 我们讨论和的交点个数即可， 而，令，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 得到的极大值为， 当时，，当时，， 则当或时，和有个交点， 当时，和有个交点， 当时，和没有交点， 综上，则当或时，有个零点， 当时，有个零点， 当时，没有零点. 6．（24-25高二下·四川自贡·期末）已知函数，函数． (1)求的最小值； (2)若． ①求零点的个数； ②证明：的所有零点之和为定值． 【答案】(1)； (2)①3个；②证明见解析. 【分析】（1）求出函数导数，利用导数求出函数的最小值. （2）①求出函数的导数，结合零点存在性定理求出的零点所在区间，进而求出函数的单调性，再由零点存在性定理求出零点个数；②变形并构造函数，探讨奇偶性并利用其性质求得所有零点和. 【详解】（1）函数定义域为R，求导得， 当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， 所以当时，函数取得最小值. （2）①函数的定义域为R，求导得， 令，求导得，而， 当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增，， 而，则存在，使得， ，令，求导得， 函数在上递增，，即， 因此存在，使得，当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，而， 则是的一个零点，且，又， 因此函数在上各有一个零点， 所以零点的个数为3. ②， 而，由，得，令， ，则函数为R上的奇函数， 函数的图象关于原点对称，因此的所有零点和为0， 所以所有零点和为0，是定值. 7．（24-25高二下·安徽宣城·期末）已知且，函数. (1)设，，为数列的前项和，当时，求； (2)当时，证明：； (3)当且时，讨论函数的零点个数. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)1，答案见解析 【分析】（1）先列出的表达式，然后根据等比数列和等差数列的前项和公式进行分组求和即可. （2）先列出的表达式，然后求导，判断单调性，即可证明不等式成立. （3）讨论和的函数的单调性，即可判断函数的零点个数. 【详解】（1）当时，， 则 . （2）由题意知，的定义域为. 当时，， 令，则， 当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增，于是， 所以，函数在上单调递增，又， 因此时，，当时，， 所以当时，. （3）①若，则函数在上单调递增，且， 所以函数有且仅有一个零点； ②若，当时，，当时，. 由（2）知：当时，， 当时，， 且，所以函数只有一个零点. 综上所述：当且时，函数的零点个数为1个. 8．（24-25高二下·四川眉山·期末）已知函数，其中． (1)若，求的极值； (2)讨论的零点个数，求的取值范围； (3)当时，证明：不等式恒成立． 【答案】(1)极大值为1，无极小值 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）对求导，得到，利用导数与函数单调性间的关系，得出的单调区间，再利用极值的定义，即可求解； （2）根据条件，将问题转化成与的图象有两个交点，对求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而得其图象，数形结合，即可求解； （3）构造函数，利用导数与函数单调性，可得，构造函数，利用导数与函数单调性，可得，即可求解. 【详解】（1）当时，，所以， 又的定义域为， 令，得到，由，解得，由，解得， 所以当时，的增区间为，的减区间为， 则的极大值为，无极小值． （2）因为有两个零点，即方程有两个解， 等价于方程有两个解；等价于与的图象有两个交点， 因为，令，解得， 当时，，所以在区间上单调递增， 当时，，所以在区间上单调递减， 则当时，取到最大值，且， 又当时，且时，， 当时，，且时，， 的图象如图所示， 所以当时，有没有零点； 当或时，有1个零点； 当时，有两个零点． （3）当时，要证明不等式恒成立， 即证明恒成立； 令，∴， 当，∴，即在上单调递增， ∴，即． 令，∴， ∵，∴，即在上单调递增， ∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴成立， 即当时，不等式恒成立． 9．（24-25高二下·贵州毕节·期末）已知函数． (1)判断函数的零点个数； (2)若存在两个零点，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】求出导数，利用，得到极值点，分析判断出极值从而得到零点个数； 借助（1）的条件，得到的范围，证明，再变形为，借助，转为证明，进而构造即可，用导数求出单调性即可 【详解】（1）函数的定义域为，则，因为， 所以，故当，当，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． 故函数的极大值， 而， 所以当时，，函数的零点个数为0个； 当时，，函数的零点个数为1个； 当时，，函数的零点个数为2个． （2）当时，由（1）知，存在两个零点，且． 因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，又因为：，，，所以，故． 设， 则，所以函数在区间上单调递增， 又，所以，即， 因为，则， 又，所以，而， 又在上单调递增，故：，所以． 综上，． 10．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）已知函数． (1)若恒成立，求a的取值范围； (2)讨论函数的零点个数． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）由题可得，其中，然后利用导数求得在上的最小值可得答案； （2），注意到时，在上单调递增，然后由零点存在性定理可得零点情况；当时，通过研究函数可得单调性，然后通过讨论与大小关系可判断零点情况. 【详解】（1）由题可得恒成立，因， 则恒成立，即. 令，则. ，. 则在上单调递减，在上单调递增， 则，从而； （2）由题，其中， 则. 当时，恒成立， 在上单调递增. 注意到，，，， 则此时在上只有一个零点； 当时，令，其中， 则， 因，则，则在上单调递减. 注意到，，，则， 使， 则，解得，. 则在上单调递增，在上单调递减. 对于函数， ，则在上单调递减， 其中，故， 若，则， 故，此时， 此时只有一个零点； 当，由得， 由以上分析可得，又在上单调递增， 则， 又，，，，则此时有两个零点； ，由， 由以上分析可得，则， 因，则， ， 令，， 在上单调递增， 注意到，则，则此时没有零点； 综上可得：当或时，只有一个零点； 当时，有2个零点； 当时，没有零点 题型二 由零点个数求参数范围（共10小题） 11．（24-25高二下·山东泰安·期末）已知函数为偶函数. (1)求实数m的值； (2)求方程的根； (3)若函数在上有零点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由偶函数的性质得，求参数即可； （2）应用对数的运算性质求解方程的根； （3）由题设在上有解，应用导数研究右侧的单调性，进而求值域，即可得参数范围. 【详解】（1）由题知，的定义域为R，且为偶函数， ∴，即， 整理得恒成立，可得； （2）由（1）可知，， 方程可化为， ∴，则，整理得， 令，则，不等式可化为，解得（舍）或， ∴，可得，故方程的根为； （3）在上有零点， ∴在上有解， 设，，则， ∴在上单调递减，， ∴. 12．（24-25高二下·广东广州·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程; (2)若有两个不同的零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据切点和斜率求得曲线在点处的切线方程； （2）先判断的单调性，结合零点个数列不等式，由此求得的取值范围． 【详解】（1）时，，则， 所以，又， 则曲线在点处的切线方程为. （2），若若有两个不同的零点，即， 则令，解得， 所以在区间上，，单调递减； 在区间上，，单调递增， 所以的极小值也即是最小值为， 因为当时，；当时，， 又因为函数有两个不同的零点，所以的最小值， 即，所以， 即的取值范围是． 13．（24-25高二下·北京延庆·期末）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值和最小值； (3)若函数有三个零点，直接写出c的取值范围. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）对函数求导，求出切线的斜率，然后根据函数值求出切线方程即可. （2）对函数求导，判断函数在区间上的单调性，求出极值和端点的函数值，从而求得函数的最值. （3）对函数求导，判断单调性，画出图象，从而得到的范围. 【详解】（1）因为， 所以；，， 所以曲线在处的切线方程为. （2）令，即，解得或， 在区间上，的单调递增区间为，递减区间为， 且，，； 所以当时，最大值为， 所以当时，最小值为. （3）c的取值范围为. 因为函数有三个零点，所以方程有三个根. 对函数求导得. 当或时，；当时，. 所以函数在单调递增，在上单调递减， 当时，；；；当时， 画出图象为： 要使函数有三个零点，则的取值范围为. 14．（24-25高二下·天津·期末）已知函数：． (1)若当时，恒成立；求实数a的取值范围； (2)若关于x的方程有两个不同实数根；且， （i）求实数a的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用不等式分离参变量，再构造函数求导判断单调性来求最大值，即可得参数范围； （2）（i）利用等式分离参变量，再构造函数求导判断单调性来求作出函数图象，从而可得参数范围； （ii）利用（1）来证明，从而把二元不等式化为一元不等式，再利用函数求导证明单调性求最大值即可. 【详解】（1）若当时，恒成立， 即恒成立，即在上恒成立， 令，则 所以当时，单调递增， 当时单调递减， 所以，所以，即a的取值范围是． （2）（i）若关于x的方程有两个不同实数根， 即有两个不同实数根， 等价于与的图象有两个交点， 因为， 所以当和时，，单调递增， 当时，，单调递减， 且当时，，当时，， 所以，作出函数的图象：    所以直线与的图象有两个交点的a的取值范围是． （ii）方法（一）由（i）知，，由（1）知， 因为，所以， 设的根为，即，所以， 从而，所以， 令，则， 所以当时，单调递增， 从而，从而． （ii）方法（二）由（i）知，，构造函数 则令 则再令 ， 所以当时，，从而单调递增， 因为， 所以存在，满足， 此时当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 又因为 所以存在满足 当时，，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 又，所以在上恒成立， 即， 设的根为，即， 则，从而有， 又由得，，从而， 又由（1）知，，设的根为，即 所以，从而，所以． 15．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）已知函数. (1)求的解析式； (2)若在内有两个零点，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导函数，令，解关于的方程求得，代入解析式即可； （2）利用导函数的单调性，结合端点函数值、极值的符号，建立不等式组求解范围. 【详解】（1）函数， 则，，解得， 所以的解析式为. （2），， 则， 由，得；由，得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值， 要使在内有两个零点，当且仅当， 即，解得， 所以实数m的取值范围为. 16．（24-25高二下·天津西青·期末）已知函数 的极值为 (1)求实数b的值； (2)当 时，讨论函数的单调性； (3)当 时，若 在 有两个零点，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）由题可得在处取得极大值，据此可得答案. （2）由题可得，然后分，，三种情况解不等式可得单调区间； （3）将问题转化为函数与直线在上有2个交点，然后通过导数研究函数，可得大致图像，据此可得答案. 【详解】（1）由，得， 由，得，由，得， 则在上单调递增，在上单调递减. 则在处取得极大值，得； （2）由，得， 若，则，由，得或，由，得， 则此时，在上单调递增，在上单调递减； 若，，则此时在上单调递增； 若，则，由，得或，由，得， 则此时在上单调递增，在上单调递减； （3）由（1），结合，可得，. 因在有两个零点，则在上有2个零点. 令，得1不是其零点， 令， 则原题等价于函数与直线在上有2个交点. 令， 则， 由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增. 从而， 当，，当. 则可得大致图象如下：则时，满足题意. 17．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数. (1)当时，求的最大值； (2)若恰有一个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，分析函数的单调性，可求函数的最大值. （2）先求导得：，分，，，，讨论函数的单调性，结合极值的符号，判断函数零点个数. 【详解】（1）当时，，. 由；由. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 所以函数的最大值为：. （2）因为， 所以. 由（1）知，当时，函数无零点. 当时，，由；由. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 所以函数的最大值为，所以函数无零点. 当时： 若，则，由或. 即或； 由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 又极大值，极小值， 且当时，. 所以此时函数只在上有1个零点. 若，则恒成立，所以在上单调递增. 此时，因为. 所以函数只有一个零点. 当时，，由或，所以或； 由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 所以极小值，极大值. 且当时，. 所以函数只在有1个零点. 综上可知：当时，函数只有1个零点. 所以的取值范围为： 18．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可. （2）求出导函数，按照和分类讨论求解即可. （3）由（2）的结论得不符合题意，将题目条件转化为，设，利用导数研究其单调性，按照和分类讨论，结合零点存在定理利用放缩法求解即可. 【详解】（1）当时，，点在函数图象上， 由得，， 则在点处的切线方程为，即. （2）定义域为， ， 当时，恒成立，在上单调递减， 当时，当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减， 当时，则在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）知，当时，在上单调递减， 则在上最多一个零点，故不满足有两个零点，舍去； 当时，则在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值，也是最小值，即， 设，则， 故在上单调递增，又； 当时，， 又， 故在上有一个零点； 当，由可得即，得，则， 故，即， 设，所以， 当时，，当时，， 所以当时函数取得最小值，最小值为，即， 则，即， 因此在上也有一个零点． 当时，，故此时没有两个零点； 综上，若有两个零点，实数的取值范围为. 19．（24-25高二下·山东威海·期末）已知函数. (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)若有两个不同的零点，， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据函数单调性得出导函数，再构造函数得出函数的最小值即可求参； （2）（i）法一：根据函数的零点个数得出函数单调性即可求参；法二：构造得出函数的单调性即可计算求参；（ii）法一：根据已知零点构造函数得出导函数，再结合函数的单调性即可求解；法二：构造函数得出导函数，再结合函数的单调性即可求解； 【详解】（1）若在上单调递减， 则对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，因为在上单调递增，所以的最小值为， 所以. （2）（i）法一：， 令，则，判别式，且两根之积为， 故该方程有唯一正根，设为， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 又当时，； 当时，； 若有两个不同的零点，则， 所以， 又因为，所以， 令，则， 所以在上单调递增，因为，所以， 由于函数均为上的单调递增函数，故在上单调递增， 所以，所以. （ii）不妨设，因为，可得， 因为，，所以， 令，则， 令， 则， 当时，，所以在上单调递增，又， 所以当时，，即， 又因为，所以， 因为，所以， 对于，， 当时，，所以在上单调递减， 因为，，所以， 又因为当时，，所以， 所以. 法二：（i）若有两个不同的零点，，则有两个不等的正根， 即有两个不等的正根， 令，，则， 当时，故，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增， 所以， 当时，；当时，；所以. （ii）不妨设，由（i）知，则， 令， 则， 当时，，可得在上单调递增， 又，所以当时，，即， 又因为，所以， 因为，所以， 由（i）知在上单调递减， 因为，，所以， 又因为当时，，所以， 所以. 20．（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数 (1)若，求证：在R上单调递增； (2)若在上恒成立，求的取值范围； (3)求证：在上有且只有1个解． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3)证明过程见解析 【分析】（1），二次求导得到其单调性，得到结论； （2）参变分离得到在上恒成立，构造函数，得到单调性，并求出最小值，从而得到； （3）定义不动点和稳定点，证明若为定义域内的严格增函数，则“是的不动点”是“是的稳定点”的充要条件，求导得到在R上单调递增，令，，二次求导，得到其单调性，结合零点存在性定理得到有且只有一个解，故有且只有1个解，证毕 【详解】（1）， ，令，故， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 所以在R上单调递增； （2）由题意得在上恒成立， 故在上恒成立， 令， 则， 令，则在上恒成立， 故在上单调递增，， 故在上恒成立， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故，所以； （3）设满足的值为的不动点， 满足的值为的稳定点， 下面证明，若为定义域内的严格增函数，则“是的不动点”是“是的稳定点”的充要条件， 充分性，因为是的不动点，故，则， 故是的稳定点，充分性成立， 必要性，设是的稳定点，即， 假设，而在定义域内单调递增， 若，则，与矛盾； 若，则，与矛盾； 故必有，即， 即，故是的不动点”，必要性成立，证毕； ，令，则， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 其中，故恒成立， 故在R上单调递增， 令得，令，， 则，令，则， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 其中，，， 由零点存在性定理可知，存在，使得，即， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 其中，， ，故存在唯一的，使得， 故有唯一的零点，即有唯一的不动点， 故在上有唯一的稳定点，有且只有1个解，证毕 题型三 隐零点设而不求（共5小题） 21．（2025·四川广安·模拟预测）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程. (2)证明：在上单调递增. (3)若，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求出，求导，得到，利用导数几何意义得到切线方程； （2）求定义域，二次求导，得到函数的单调性； （3）证法一：由（2）得，在上单调递增，结合零点存在性定理和特殊点函数值得到的单调性和最值，结合基本不等式求出，证明出结论； 证法二：当时，等价于，令，则有，令，求导得到单调性，证明出结论. 【详解】（1）当时，，， 则，， 故曲线在点处的切线方程为， 即； （2）的定义域为，则， 令函数，则， 所以在上单调递增，即在上单调递增； （3）证法一：由（2）得，在上单调递增， 因为，由，， 可知存在唯一实数，使得， 即，两边取对数，变形可得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 所以的极小值为 ， 当且仅当时，等号成立， 因为，所以， 所以. 证法二：当时，等价于， 即， 令，则有， 先证当时，， 令函数，则， 当时，，则在上单调递增， 所以当时，，即当时，得证； 再证， 令函数，则， 当时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，即得证； 综上，，即当时，得证. 22．（24-25高二下·福建漳州·月考）已知函数. (1)求函数在区间上的最大值； (2)当时，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）求导，得到，分，和三种情况，结合函数单调性得到最大值； （2）变形为，构造，求导，结合零点存在性定理得到函数单调性，求出最大值为，故，证明出结论. 【详解】（1），， 故， 若时，，又，所以， 所以在上单调递减， 所以最大值为， 若，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值， 最大值为， 若时，时，， 所以在上单调递增，故最大值为， 综上，当时，最大值为； 当时，最大值为； 当时，最大值为； （2）当时，，定义域为， ， 即证，即， 令，则， 令，， 则，故在上单调递减， 其中，， 由零点存在性定理得，使得，即， 当时，，，当时，，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值， 最大值为， ，故， 所以，所以， 故. 23．（24-25高二下·浙江丽水·期末）已知函数为奇函数． (1)求a的值； (2)设函数， ①证明：有且只有一个零点； ②记函数的零点为，证明：． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）根据可求出a的值； （2）①讨论和时函数的单调性或函数值的正负，结合零点存在性定理可证明函数有且只有一个零点； ②由①可得，结合的范围分析函数单调性可证明不等式. 【详解】（1）由题意得，， ∴，即恒成立，∴. （2）①当时，函数与函数均在上单调递增， ∴在上单调递增， 又，， ∴存在唯一零点. 当时，，，∴， 当时，，，∴， ∴当时，无零点， 综上，有且只有一个零点，且该零点. ②由①可知，且，故， ∴， 令，则. 当时，，∴在上单调递增， ∴，即得证. 24．（2024·山西运城·一模）已知，函数，. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：存在唯一的极值点； (3)若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求，代入计算即为斜率，求的值，结合点斜式即可求得切线方程. （2）①研究当时，的单调性，②研究当时，令，运用导数研究单调性，结合零点存在性定理可知存在唯一，使得，即，进而可证得的单调性，进而可证得结果. （3）将问题转化为，由（2）可知， ，，进而可得存在，使得，设，，进而将问题转化为求，运用导数求即可. 【详解】（1）由题意知，， 所以， 又， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）证明：由，， ①当时，，则在上单调递增， ②当时，设，则， 所以，故在上单调递减， 又，， 所以由零点存在性定理可知，存在唯一，使得，即. 所以当时，，即；当时，，即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综述：在上单调递增，在上单调递减，存在唯一，使得. 故存在唯一的极值点. （3）由（2）可知，在上单调递增，在上单调递减， 故， 因为，所以， 由题意知，， 即， 化简得，， 设，， 由题存在，使得， 所以，. 又 设，，则， 所以在上单调递减， 故， 当时，，；当时，，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以. 故的取值范围为. 【点睛】方法点睛：恒成立（能成立）问题解题策略： 方法1：分离参数法求最值： (1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题； (2)恒成立⇔； 恒成立⇔； 能成立⇔； 能成立⇔； 方法2：根据不等式恒成立（能成立）构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解． 25．（24-25高二下·河北·期末）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若，，且，都有，求的取值范围； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数单调性； （2）设，得到在上单调递增，所以恒成立，由基本不等式求出，从而得到，求出答案； （3）变形得到，构造函数，求导，结合零点存在性定理得到，当且仅当时取等号，其中，当时，成立. 当时，，所以，推出矛盾，从而得到答案. 【详解】（1）的定义域为，， 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，由，解得；由，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2），即， 设，则， 因为，所以在上单调递增， 所以恒成立， 因为，当且仅当时等号成立， 所以， 所以的取值范围为. （3），即. 设，则， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 又，所以，当且仅当时取等号. 令，则在上单调递增， 又因为，，所以存在唯一， 使得，① 所以，当且仅当时取等号. 当时，成立. 当时，由①知，， 所以与恒成立矛盾，不符合题意. 综上，的取值范围为. 题型四 方程的根（共10小题） 26．（24-25高二下·四川眉山·期末）设，函数． (1)当时，求的最大值； (2)当时，关于的方程在,上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (3)求证：当，时． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，根据函数的单调性求解即可， （2）将问题转化为在,上恰有两个不相等的实数根，利用导数求解的单调性，即可列不等式求解， （3）先证明不等式当且仅当时取等号，进而得，累加即可求解. 【详解】（1）当时，，而, ， 令，解得：，令，解得：， 故在递增，在递减， 故 （2）时，， 关于的方程化为， 令，,， ， 令，解得或1， 令，解得，此时函数单调递增， 令，解得，此时函数单调递减， 关于的方程在,上恰有两个不相等的实数根，则在,上恰有两个不相等的实数根 则，即，解得：， 实数的取值范围是， （3）设， 则当时，在单调递减，当时，在单调递增，故当， 故当且仅当时取等号， 令．则， 依次取，3，，． 累加求和可得， 当时，， ， ， 故， 即 27．（24-25高二下·山东淄博·期末）已知. (1)求的单调区间和最值； (2)求出方程的解的个数. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为，最大值为12，最小值为-4 (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数正负判断函数单调性，即可求得答案； （2）结合（1），讨论a的取值范围，即可求得答案. 【详解】（1）因为，， 所以. 令，得（舍）或， 当变化时，，的变化情况如表所示. 0 2 3 0 12 单调递减 单调递减 3 的单调递增区间为，单调递减区间为 所以， （2）方程解的个数等价于于的交点个数. 由（1）可知 当或时，方程的解为0个； 当或时，方程的解为1个； 当时，方程的解为2个； 28．（24-25高二下·青海西宁·期末）已知函数 (1)求的单调区间； (2)分析关于的方程的根的个数并说明理由. 【答案】(1)单调递减为和，单调递增为 (2)答案见解析 【分析】（1）求导，讨论导数符号即可得单调区间； （2）分离参数，结合函数单调性、极值情况即可求解. 【详解】（1）的定义域为， ， 1 - 0 + 0 - 极小值 极大值 所以在和上单调递减；在上单调递增； （2）原方程等价于， ， 时，，时，， 所以x轴和y轴均为的渐近线， ①当时，方程没有根； ②当时，方程有一个根； ③当时，方程有两个根； ④当时，方程有三个根. 29．（24-25高二下·黑龙江·期末）已知函数 (1)求函数的奇偶性. (2)求函数的最小值. (3)设函数，若关于的方程有4个不同的实数根，求的取值范围. 【答案】(1)偶函数 (2) (3) 【分析】（1）由偶函数的定义结合对数的运算性质可得； （2）由基本不等式可得； （3）求导后分析单调性，结合方程根的个数讨论分析可得. 【详解】（1）显然的定义域为，， ，为偶函数. （2），当且仅当时，取等号， ，所以的最小值为. （3），当时，，则在上单调递增， 又因为是偶函数，所以在上单调递减， 若仅一个实数根，则，                                  方程仅有两个不同的实数根，不合题意.                        所以应有两个不同的实数根， 即：方程和共有四个不同的实数根， 每个方程各有2个不同的实数根，所以，， 则，且，所以. 故的取值范围为. 30．（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数，其中. (1)当时，求出函数的极值并判断方程的解的个数； (2)当时，证明：对于任意的实数，都有. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求出导函数及函数的单调区间，然后利用极值的概念求解即可；将方程解的个数转化为与交点的个数，根据函数的单调性及零点作出函数示意图，数形结合即可求解； （2）将所证不等式等价转化为证明，令，，设，多次求导研究其单调性，即可证明. 【详解】（1）当时，，则， 当时；当时， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数有极小值，无极大值. 方程解的个数，转化为与交点的个数， 由于在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令，解得.且时，；时，，    所以，当时，方程有0个解， 当或时，方程有1个解， 当时，方程有2个解. （2）要证， 不妨设，即证， 两边同时除以并化简，即证， 令，则，设， ，令，则在上恒成立， 得在上单调递增， 故，故在上单调递增. 所以，从而命题得证. 31．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若关于x的方程在区间内有根，求实数a的取值范围． 【答案】(1)单调增区间是，单调减区间是； (2). 【分析】（1）对函数求导，利用导数的区间符号研究函数的单调区间； （2）问题化为与在上有交点，利用导数研究的值域，即可得参数范围. 【详解】（1）依题意，，， 由，得；由，得， 故函数的单调增区间是，单调减区间是； （2）原方程可化为，即，亦即， 若原方程在有实根，则与在上有交点， 因为，所以在上单调递增，又， 且时，且速度远远快于x，所以，所以， 所以要使与在上有交点，则， 综上，当时，关于x的方程在区间内有实根. 32．（24-25高二下·江苏·期末）已知． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) 在 和 上单调递增. (2)实数 的取值范围为 . 【分析】（1）利用导数进行研究即可； （2）分离参数后，构造函数，利用导数研究单调性和极限值进而即得. 【详解】（1）因为，该函数在 处未定义，因此定义域为 . 设 ，则 ，故 . . 分母（当 )，分子中 恒正. 令 ，则，当 时 ，当 时 ； ，且 ( ). 因此，分子 （ )，故 （ ). 从而 （). 综上， 在 和 上均单调递增. （2）由可得, 因 （)，两边除以 ：, 整理为：，即. 设，则方程为 ，需求 在 时有两个不同的根. 求导：，分母 （). 分子中：（当 )；当 ， ，当 ， . 所以，当，；当，；当，. 因此， 在 上单调递减，在 上单调递增， 在 处取极小值，. 又， ； ， . 综上， 的值域为 ，且在 上由 递减至 ，在 上由 递增至 . 要使 有两个不同的实根，需 ，此时，在 和 上各有一根，且两根不同. 当 时，仅一根 ；当 时，无实根. 故实数 的取值范围为 . 33．（24-25高二下·北京·期末）已知函数. (1)若无单调递减区间，求的取值范围； (2)关于的方程有两个不同的根、，且. （i）若，求的取值范围； （ii）若，记.问：当取何值时，取得最小值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）分析可知，对，，可得出，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围； （2）（i）当时，由题意可知直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围； （ii）由关于的方程有两个不同的根、，可得出，，转化为，当取最小值时，在时取最大值，构造函数，其中，再利用导数求解，即可得到答案. 【详解】（1）因为，其中且，则， 因为函数无单调递减区间，则对，， 即，可得， 令，其中，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，即实数的取值范围是. （2）（i）当时，由可知，直线与函数的图象有两个交点， ，由可得，列表如下： 减 减 极小值 增 故函数的极小值为， 且当时，；当时，，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点， 故实数的取值范围是； （ii）由题意可得，即，且， 可得，即，故， 因为，其中且，， 令，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 故，故，即在上单调递增，在上单调递增， 因为，故当时，；当时，； 当时，.故有，， 令，则， 令，则， 故函数在上单调递减，故，故， 故当取最小值时，取最大值，即在时取最大值， 令，其中，则， 令，则对任意的恒成立， 即函数在上单调递减， 当时，，且， 故存在，使得， 当时，，，即函数在上单调递增， 当时，，，即函数在上单调递减， 所以，，此时，即， 即当时，取小值. 34．（24-25高二下·福建漳州·期末）已知函数， (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个解，求的范围； (3)若曲线在点处的切线与轴垂直，不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数单调性； （2）由（1）知，当时，函数单调，不合要求；当时，结合函数单调性及走势，只需的最小值为，求出的范围； （3）由导函数几何意义得到，，参变分离得到在上恒成立，令，求导，得到函数单调性，求出，故，得到答案. 【详解】（1）的定义域为， ， 当时，恒成立，在上单调递减； 当时，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）知，当时，在上单调递减， 此时不可能有两个解，舍去； 当时，在单调递减，在单调递增， 故的最小值为， 且当趋向于0时，趋向于，且趋向于时，趋向于， 要想有两个解，需满足，即，解得， 的范围为； （3），依题意：，解得：， 所以， 又对恒成立，即， 所以在上恒成立. 令，， 当时，当时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 时， 故， 所以的取值范围为. 35．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数，. (1)求的极值； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有两个不等实根，求实数的取值范围. 【答案】(1)极大值为，无极小值； (2) (3)． 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，进而求出极值情况； （2）求导，得到的单调性和最小值，得到，求出； （3）同构得到，设函数，则上式为，由单调性得到，令，，由（1）知函数的单调性和极值情况，从而得到，求出答案. 【详解】（1），，则， 当时，；当时，； 故在上递增，在上递减， 所以的极大值为，无极小值； （2）由有意义可得， 因为，令得，令得， 故在递减，在上递增， 故对于恒成立， 则； （3）由关于的方程有两个实根，得有两个不等实根， 整理得，则， 即， 设函数，则上式为， 因为在上单调递增，所以，即， 令，， 由（1）可知在上递增，在上递减， 的最大值为， 又因为，，，， 所以要想有两个根，只需要， 解得，所以的取值范围为． 题型五 图象交点（共5小题） 36．（24-25高三·全国·三轮复习）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)设，当时，求函数的最大值； (3)讨论函数与函数的图象的交点个数． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）求出导函数，得切线斜率，从而可得切线方程； （2）由题意得，通过求导分析的单调性，进而求得函数的最大值； （3）联立得，结合（2）知问题等价于“函数的零点个数”.分、和三种情况，分别据函数的单调性和极值、最值得到函数图象的大体形状，从而判断出函数的零点的个数. 【详解】（1）若，则， 所以，则， 又， 所以曲线在点处的切线方程是， 即． （2）， 函数的定义域为 ． 当时，， 令，得， 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为． （3）联立得得， 得， 结合（2）可知． 则“函数与函数的图象的交点个数”等价于“函数的零点个数”． 当时，无零点． 当时，的最大值为． 若，即，则无零点． 若，即，则只有一个零点． 若，即，则，又， 令，则且， 由，得；由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故有最大值，无最小值． 故，所以，由（2）知在上单调递增，所以在上有唯一零点． 令， 则，且， 由，得；由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故有最小值，无最大值． 所以， 于是和， 所以， 又在上单调递减， 故在上有唯一零点． 当时，由上得，于是，而， 所以，即无零点． 综上，当或时，无零点；当时，只有一个零点；当时，有两个零点， 即当或时，函数与函数的图象无交点； 当时，函数与函数的图象有1个交点； 当时，函数与函数的图象有2个交点． 37．（24-25高二下·广东·期末）已知函数的定义域为，导函数为，满足，. (1)讨论函数()在上的单调性，并证明：； (2)求函数的图象与函数的图象的交点个数. 【答案】(1)单调性见解析，证明见解析 (2)2 【分析】(1)利用导数思想，结合分段讨论，能得到函数的单调区间，并利用，可得，结合赋值可比较大小； (2)利用交点问题转化为方程解的个数问题，再构造函数转化为函数零点个数问题，从而利用求导来判断单调性，结合特殊点的取值正负，可确定零点所在的区间及个数. 【详解】（1）令，则， 当时，，所以在上单调递增； 当时，由，得， ①当时，，在上单调递增； ②当时，对任意恒成立， 此时在恒成立，在上单调递减； ③当时，，所以对任意恒成立， 此时在恒成立，在上单调递增； ④当时，令得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增,在上单调递减； 因此， 取得，，即； 取得，，即; 故. （2）法一：题意等价于方程的不同解的个数， 令，又等价于函数的不同零点个数， 则. 令，则. 因此在上单调递增，由于为增函数，， 故， 因此存在，使得当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 而，， 故在，分别存在唯一零点 因此函数的图象与函数的图象的交点个数为. 法二：题意等价于方程的不同解的个数， 令，又等价于函数的不同零点个数， 则， 令，则，， 故在上单调递增，且，， 因此存在，使得当时，；当时，， 故在递减，在递增， 而，，， 故在，分别存在唯一零点， 因此函数的图象与函数的图象的交点个数为. 38．（24-25高二下·广东广州·月考）已知函数. (1)若函数不单调，求实数的取值范围； (2)若曲线与直线有且仅有一个交点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将函数不单调转化为在上存在变号零点，进而转化为在区间上存在变号零点，结合二次函数区间根问题分析可得； （2）利用导数分析函数的单调性，再结合可得. 【详解】（1）由题意，. ， 设，， 当即时，，， 当时，，当时， ， 故函数不单调，满足题意； 当，即时，函数开口向下，因 ， 故，使得当时，，当时，， 故函数不单调，满足题意； 当时，，无解， 此时，，函数单调递增，不满足题意； 当时，的开口向上，对称轴为， ， 故在上有两个不同的零点，， 此时当或时，，当时，， 故函数不单调，满足题意； 综上可知函数不单调时，实数的取值范围为. （2）设，由题意可知有唯一零点， ，， 设， 当，即时，， 单调递增，结合可知满足题意， 当时，，， 单调递增，满足题意； 当时，，， 设此时的两个根分别为， 则在区间上单调递增，在上单调递减， ，故， 又当时，，当时，， 故的零点不唯一， 综上可知实数的取值范围. 39．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数. (1)证明：当时，直线与曲线相切； (2)若是增函数，求实数的取值范围； (3)设，且，分别为的极大值点和极小值点，记，，证明：直线与曲线有异于，的交点. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）由题设得恒成立，利用导数分和时单调递增的条件，从而得解； （3）易得直线的方程为，联立方程组，得，即证明函数有异于的零点，利用导数证明. 【详解】（1）由题设得， 不难知道，且， 曲线在点处的切线方程为， 即直线与曲线相切. （2）由题设得， 令， ①若，则， 故在区间单调递增， 令，则，或， 当时，；当时，. 当时，；当时，. 当且仅当， ，故，即. ②若，则， 恒成立， ， 当时，；当时，， 在区间单调递减，在区间单调递增， ， ，解得. ③时，由题设得， 当时，，单调递减，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. （3）由（2）可知，，且或 由（2）不难知道，当时，，， 直线的方程为，即， 由得（*）， 显然，是方程（*）的两个相异实数解，且. 下面证明方程（*）有第三个不同实数解，即证明函数有异于的零点， 易知，令，则， 在区间单调递增， ，， 在区间有唯一零点，不妨设该零点为， 当时，，即；当时，，即. 在区间单调递减，在区间单调递增. ，，，又，， 在区间有且仅有一个零点，在区间有且仅有一个零点， 方程（*）的解集为，即直线与曲线有异于，的交点，且该点的横坐标为. 40．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）已知函数，. (1)若的图象在点处的切线方程为，求的值； (2)若在其定义域上不具有单调性，求实数的取值范围； (3)若与的图象恰有两个不同的交点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由导数的几何意义得出，将切点坐标代入函数解析式以及切线方程，即可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出的值； （2）求得，令，可知函数在上有异号零点，利用导数分析函数在上的单调性，计算得出，只需，由此可得出实数的取值范围，再结合函数极值点的定义验证即可； （3）令，则原方程可化为，结合函数单调性可知方程恰有个不同的实根，令，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】（1），，，则. ，，，. （2）由题可知的定义域为，. 令，其中，则函数在上有异号零点， 则对任意的恒成立，故函数在上单调递减， 因为，故只需即可， 即，由零点存在定理可知，存在，使得，即， 当时，，，即函数在上单调递增， 当时，，，即函数在上单调递减， 此时为函数的极大值点， 故当在其定义域上不具有单调性，的取值范围是. （3）若与的图象恰有两个不同的交点，则关于的方程恰有个不同的实根. ， 关于的方程即方程恰有个不同的实根. 设，方程恰有个不同的实根. 对任意的恒成立，是增函数， 方程，即恰有个不同的实根. 设，则的图象与直线恰有个交点，， 令，可得， 当时，，当时，， 在区间上单调递增，在区间上单调递减，， 又，当时，，当趋向于时，趋向于，如下图所示： 当时，的图象与直线恰有2个交点， 即实数的取值范围为. $专题05 导数与函数的零点、方程的根及图象交点 （含隐零点设而不求） 题型1 讨论零点个数（重点） 题型4 方程的根（常考点） 题型2 由零点个数求参数范围（重点） 题型5 图象交点（常考点） 题型3 隐零点设而不求（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 讨论零点个数（共10小题） 1．（24-25高二下·北京房山·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的零点的个数. 2．（24-25高二下·广东广州·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)判断的零点个数，并说明理由. 3．（24-25高二下·广西河池·月考）已知函数. (1)当时，求函数的最值； (2)当，讨论函数的零点个数. 4．（24-25高二下·广东茂名·期末）已知函数. (1)求的单调区间及最值； (2)设，讨论在区间上的零点个数. 5．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数，，． (1)讨论的单调性； (2)若有解，求的取值范围． (3)，讨论零点个数. 6．（24-25高二下·四川自贡·期末）已知函数，函数． (1)求的最小值； (2)若． ①求零点的个数； ②证明：的所有零点之和为定值． 7．（24-25高二下·安徽宣城·期末）已知且，函数. (1)设，，为数列的前项和，当时，求； (2)当时，证明：； (3)当且时，讨论函数的零点个数. 8．（24-25高二下·四川眉山·期末）已知函数，其中． (1)若，求的极值； (2)讨论的零点个数，求的取值范围； (3)当时，证明：不等式恒成立． 9．（24-25高二下·贵州毕节·期末）已知函数． (1)判断函数的零点个数； (2)若存在两个零点，证明：． 10．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）已知函数． (1)若恒成立，求a的取值范围； (2)讨论函数的零点个数． 题型二 由零点个数求参数范围（共10小题） 11．（24-25高二下·山东泰安·期末）已知函数为偶函数. (1)求实数m的值； (2)求方程的根； (3)若函数在上有零点，求实数a的取值范围. 12．（24-25高二下·广东广州·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程; (2)若有两个不同的零点，求的取值范围． 13．（24-25高二下·北京延庆·期末）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值和最小值； (3)若函数有三个零点，直接写出c的取值范围. 14．（24-25高二下·天津·期末）已知函数：． (1)若当时，恒成立；求实数a的取值范围； (2)若关于x的方程有两个不同实数根；且， （i）求实数a的取值范围； （ii）求证：． 15．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）已知函数. (1)求的解析式； (2)若在内有两个零点，求m的取值范围. 16．（24-25高二下·天津西青·期末）已知函数 的极值为 (1)求实数b的值； (2)当 时，讨论函数的单调性； (3)当 时，若 在 有两个零点，求m的取值范围. 17．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数. (1)当时，求的最大值； (2)若恰有一个零点，求的取值范围. 18．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围． 19．（24-25高二下·山东威海·期末）已知函数. (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)若有两个不同的零点，， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 20．（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数 (1)若，求证：在R上单调递增； (2)若在上恒成立，求的取值范围； (3)求证：在上有且只有1个解． 题型三 隐零点设而不求（共5小题） 21．（2025·四川广安·模拟预测）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程. (2)证明：在上单调递增. (3)若，证明：. 22．（24-25高二下·福建漳州·月考）已知函数. (1)求函数在区间上的最大值； (2)当时，证明：. 23．（24-25高二下·浙江丽水·期末）已知函数为奇函数． (1)求a的值； (2)设函数， ①证明：有且只有一个零点； ②记函数的零点为，证明：． 24．（2024·山西运城·一模）已知，函数，. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：存在唯一的极值点； (3)若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围. 25．（24-25高二下·河北·期末）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若，，且，都有，求的取值范围； (3)若，求的取值范围. 题型四 方程的根（共10小题） 26．（24-25高二下·四川眉山·期末）设，函数． (1)当时，求的最大值； (2)当时，关于的方程在,上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (3)求证：当，时． 27．（24-25高二下·山东淄博·期末）已知. (1)求的单调区间和最值； (2)求出方程的解的个数. 28．（24-25高二下·青海西宁·期末）已知函数 (1)求的单调区间； (2)分析关于的方程的根的个数并说明理由. 29．（24-25高二下·黑龙江·期末）已知函数 (1)求函数的奇偶性. (2)求函数的最小值. (3)设函数，若关于的方程有4个不同的实数根，求的取值范围. 30．（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数，其中. (1)当时，求出函数的极值并判断方程的解的个数； (2)当时，证明：对于任意的实数，都有. 31．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若关于x的方程在区间内有根，求实数a的取值范围． 32．（24-25高二下·江苏·期末）已知． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 33．（24-25高二下·北京·期末）已知函数. (1)若无单调递减区间，求的取值范围； (2)关于的方程有两个不同的根、，且. （i）若，求的取值范围； （ii）若，记.问：当取何值时，取得最小值. 34．（24-25高二下·福建漳州·期末）已知函数， (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个解，求的范围； (3)若曲线在点处的切线与轴垂直，不等式对恒成立，求实数的取值范围. 35．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数，. (1)求的极值； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有两个不等实根，求实数的取值范围. 题型五 图象交点（共5小题） 36．（24-25高三·全国·三轮复习）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)设，当时，求函数的最大值； (3)讨论函数与函数的图象的交点个数． 37．（24-25高二下·广东·期末）已知函数的定义域为，导函数为，满足，. (1)讨论函数()在上的单调性，并证明：； (2)求函数的图象与函数的图象的交点个数. 38．（24-25高二下·广东广州·月考）已知函数. (1)若函数不单调，求实数的取值范围； (2)若曲线与直线有且仅有一个交点，求实数的取值范围. 39．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数. (1)证明：当时，直线与曲线相切； (2)若是增函数，求实数的取值范围； (3)设，且，分别为的极大值点和极小值点，记，，证明：直线与曲线有异于，的交点. 40．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）已知函数，. (1)若的图象在点处的切线方程为，求的值； (2)若在其定义域上不具有单调性，求实数的取值范围； (3)若与的图象恰有两个不同的交点，求实数的取值范围. $