山东高二数学下学期阶段测试2025-2026学年（人教A版全本）

**基本信息** 以巴黎奥运会乒乓球收纳框架、文明出行志愿服务等现实情境为载体，融合集合、概率统计、立体几何等知识，考查数学建模与数据分析能力，梯度设计合理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合、常用逻辑用语、立体几何、正态分布|基础概念辨析，如充要条件判断| |多项选择|3/15|统计图表、二项式定理、空间几何|多选项设计，考查严谨思维| |填空|3/15|不等式、截距式方程、二面角|结合解析几何定义，考空间向量应用| |解答题|5/62|几何体体积与费用、回归分析、独立性检验、函数单调性|奥运情境下的优化问题，分层抽样与条件概率计算|

答案 1．D　【详解】集合是函数的定义域，根据对数函数的性质，真数必须大于0，因此：，即，由交集的定义可知. 2．D【详解】命题“，”的否定为“，”，故选：D． 3．B　【详解】因为，若，则由线面平行的性质可知，故“”是“”的必要条件，设，，显然，从而有成立，但此时不平行，所以故“”是“”的不充分条件，即“”是“”的必要不充分条件. 4．C　[∵随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，且P(X<4)=0.84， ∴P(X≤2)=P(X≥4)=1－0.84=0.16， ∴P(2<X<4)=P(X<4)－P(X≤2)=0.84－0.16=0.68．故选C．] 5．B　[P=．故选B．] 6．B　[根据题意，甲和乙从A，B，C，D四个路口中随机选择一个路口，则有4×4=16种选法，其中事件M发生的情况共有16－32=7种，事件M和事件N同时发生的情况共有6种，则P(M)=，P(MN)=， 故P(N|M)=．故选B．] 7．B　[根据题意可知，ξ=12表示第12次取到红球，则前11次中有9次取到红球，从而P(ξ=12)=．故选B．] 解：对于选项A，连接.显然，且与平面不平行，所以与平面不平行。故A错误。 对于选项B，在正方体中，平面，对于平面内的一条直线，有平面且平面,则直线不在平面内，即那么包含直线的平面与平面不平行。因此与平面不垂直。故B错误。 对于选项C，连接,,和.显然，所以四边形是平行四边形。所以，又因为，所以。因此，平面，则平面截正方体所得的截面过点.故C正确。 对于选项D，取中点，再取中点，连接.易知，则平面.故 又因为 故 故D错误。 9．BC　[A中，各小长方形的面积等于相应各组的频率；B中，R2越大，拟合效果越好，R2越小，拟合效果越差；C中，随机变量X服从正态分布N(4，22)，正态曲线对称轴为直线x=4，所以P(X>4)=；D中，对分类变量X与Y，χ2越小，则判断“X与Y有关系”的犯错误的概率越大．故选BC．] 10．BCD　[在的展开式中，通项公式为Tk+1=··， 令=0，求得k=3，可得展开式中常数项为T4=·，故A错误； 令=3，求得k=1，可得展开式中x3项的系数为－，故B正确； 要使第k+1项的系数·最大，需k为偶数，检验可得， 当k=2时，系数·最大，即系数最大项为第3项，故C正确； 令为整数，求得k=1，3，5，7，9，共5项，故D正确．故选BCD．] 11．解：在正方体中，平面，因此是平面的一个法向量。由平面，可得，即.代入可得。故A正确，B错误。 已知，由均值不等式，得 . 由，得.因此， , 当且仅当，时等号成立。故C正确。 已知，由均值不等式，得 ， . 又因为.因此， , 当且仅当，，时等号成立。故D正确。综上，选ACD. 12.【详解】法一：设，，则，， 则. 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 故的最小值为； 法二：因为，，则，，由基本不等式可得， ，上述两个不等式相加可得，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立.所以的最小值为. 13． 【详解】 设 ， 求导得 ， 因此：在单调递减，在 单调递增，最小值为 ， 原等式右边整理为 ，求导得 ， 因此：在 单调递增，在 单调递减，最大值为 ， 原等式即为，而 ，， 等号成立当且仅当： ， 故 . 14.法一：（常规解法）取的中点,连接,如图，因为，所以, 又平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 在直三棱柱中，平面， 由平面，平面可得，， 又平面且相交，所以平面， 所以两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，如图， 由已知可得，所以，，所以， 则,所以的中点， 则，, 设平面的一个法向量，则， 可取， 设平面的一个法向量，则， 可取， 则， 所以二面角的正弦值为. 法二：（新定义做法）要求的二面角，即两个平面和， 最大化利用轴截距建系，取中点为原点建立坐标系如图， 则二面角四个点都在轴上， 即， 令平面和的法向量分别是和（关注公众号：Hi 则， 所以 于是 15．【解析】为了不浪费材料，应将长方体框架的底面设置为正方形。 不妨设底面边长为，若是边长过大，则乒乓球会从底面露出；若边长过小，则乒乓球无法放入容器内。因此，底面边长的取值范围为. 如图所示，当底面正方形的边长为cm时，乒乓球与长方体的侧棱相切，此时上下底面的周长最小，但侧棱最长；当底面正方形的边长趋近但小于4cm时，乒乓球与长方体的侧面内切，此时上下底面的周长最大，但侧棱最短。为使得制作框架所需钢丝的总费用最少，我们就要先建立底面边长与侧棱长以及总费用之间的函数关系式。 当底面边长为时，并排一列的五个乒乓球总长度为20cm.两端可以突出到框架外，凸出部分的高度为，则立方体的侧棱长为. (1) 设长方体框架所需的钢丝总长度为，则 --------------2分 令，，则 ---------------5分 其中，， 因为的最小值在端点处取得，且 ， 则 因此，长方体框架所需的钢丝总长度最小为96cm.--------------------6分 （2）立方体框架所需的钢丝总价格为，则 -------------10分 令，，则 ，----------12分 其中，， 因为，所以的最小值在端点处取得，且 ， 因此， 故制作长方体框架所需的钢丝总价格最少为元。-----------13分 16．解：(1)因为=3，=1.6，=9，=4.8，xiyi=0.7+2.4+4.8+8.4+12=28.3，=1+4+9+16+25=55，所以=0.43，=0.43x+0.31．---------------------------------7分 (2)若满5年换一次仪器，则每年每台仪器的平均费用为y1==4(万元)． 若满8年换一次仪器，则每年每台仪器的平均费用为 y2==3.745(万元)．因为y1>y2，所以满8年换一次仪器更合算． ----------------------------15分 17．(1)答案见解析(2)1 【详解】（1）由题意的定义域为，， 当时，恒成立，在上单调递减， 当时，由解得，由解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减.---------------7分 （2）由（1）知当时，在上单调递增，在上单调递减. 所以函数的最小值为，所以恒成立， 整理得，令， 则， 由解得，由解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又，所以，所以. ---------------------15分 18．解：(1)被调查的女性用户人数为500－300=200， 其中偏好铅酸电池电动车的女性用户人数为200×=120． 偏好石墨烯电池电动车的女性用户人数为200－120=80， 所以2×2列联表为： 单位：名 性别 偏好情况 合计 偏好石墨烯 电池电动车 偏好铅酸电 池电动车 男性用户 200 100 300 女性用户 80 120 200 合计 280 220 500 零假设为H0：该市电动车用户对这两种电池的电动车的偏好与用户的性别无关． 根据列联表中的数据可以求得 χ2==≈34.632， 由于χ2=34.632>7.879， 根据小概率值α=0.005的独立性检验，我们推断H0不成立， 即认为该市电动车用户对这两种电池的电动车的偏好与用户的性别有关．-----4分 (2)因为偏好石墨烯电池电动车的用户中，男性用户与女性用户的比为， 所以采用分层随机抽样的方法抽取的7人中，男性用户有5人，女性用户有2人， 设“恰有两名女性用户参加座谈”为事件B，“有女性用户参加座谈”为事件A， 则P(A)=，P(AB)=，所以P(B|A)=．------10分 (3)根据频率估计概率知，女性用户中偏好石墨烯电池电动车的概率为， 偏好铅酸电池电动车的概率为， 参加试驾的女性用户中偏好石墨烯电池电动车的人数为X，X的可能取值为0，1，2，3， P(X=3)=，P(X=2)=， P(X=1)=，P(X=0)=． 故X的分布列如下： X 0 1 2 3 P E(X)=0×=1.2．--------------------17分 19.解：（1）若级数收敛，可得当项数趋近于无穷时，趋近于某一实数. 并且，当项数趋近于无穷时，也趋近于实数 当项数趋近于无穷时，. 因此，当趋近于正无穷时，趋近于0 -----------------4分 （2）由题意可得，--------------------5分 因此 当趋近于正无穷时，趋近于0，趋近于1，所以级数收敛。-10分 （3）对于级数的通项，.根据拉贝判别法， 当时，，趋近于正无穷时，趋近于，所以级数是发散的；=----------------------------------12分 当时，，显然对任意的正整数，小于1，所以级数是发散的；-------14分 当时，，趋近于正无穷时，趋近于，所以级数是收敛的。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------17分 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学下学期阶段性检测 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题： 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．已知平面，为两个不同的平面，直线为内一条直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，且P(X＜4)＝0.84，则P(2＜X＜4)＝(　　) A．0.16 　 B．0.32 C．0.68 　 D．0.84 5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是(　　) A．　　 　B． C．　　 　 D． 6．文明是一座城市最靓丽的底色，也是一座城市最暖的名片．某市自开展“文明出行”活动实践以来，全市广大学子以实际行动提升城市文明形象，助力全国文明城市创建工作．在活动中，甲、乙两名同学利用周末时间到交通路口开展文明劝导志愿服务工作，他们可以从A，B，C，D四个路口中随机选择一个路口，设事件M为“甲和乙至少有一人选择了A路口”，事件N为“甲和乙选择的路口不相同”，则P(N|M)＝(　　) A．　　　 B． C．　　　 D． 7．一袋中有5个白球和3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P(ξ＝12)＝(　　) A． B． C． D． 8、棱长为1的正方体以为底面的中心,，，，分别为棱,,,的中点，下列说法中正确的是（ ） A.直线平面 B.直线平面 C.取中点为，则平面截正方体所得的截面过点 D.四面体的体积为 二、多项选择题： 9．给出以下四个说法，其中正确的说法有(　　) A．绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距 B．在刻画回归模型的拟合效果时，R2的值越大，说明拟合的效果越好 C．设随机变量X服从正态分布N(4，22)，则P(X＞4)＝ D．对分类变量X与Y，若计算出的χ2越小，则判断“X与Y有关系”的犯错误的概率越小 10．在的展开式中(　　) A．常数项为 B．x3项的系数为－ C．系数最大项为第3项 D．有理项共有5项 11．已知正方体且（）.若平面，则下列说法正确的是（ ） A. B. C.当时，的最大值为 D.当时，的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，则的最小值为_________. 13．已知正实数a，b满足，则______________． 解析几何，又称为坐标几何或卡氏几何，早先被叫作笛卡儿几何，是一种借助于解析式进行图形研究的几何学分支。解析几何通常使用二维的平面直角坐标系研究直线、圆、圆锥曲线、摆线、星形线等各种一般平面曲线，使用三维的空间直角坐标系来研究平面、球等各种一般空间曲面，同时研究它们的方程，并定义一些图形的概念和参数.所以，解析几何真正的定义里包括两大部分—平面解析几何和立体解析几何. 定义：如图，设平面过点、、（其中 ），可得平面方程的截距式方程为（其中,,是面在三轴上的“截距”），则就是平面的法向量. 现有直三棱柱如图所示，已知 到平面的距离为，为的中点，，，平面平面，则二面角的正弦值为____________________. 四、解答题：本题共4小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、2024年巴黎奥运会上，中国兵乓球代表队凭借顽强的斗志、精湛的技艺和团结协作的精神，最终取得了优异的成绩。兵乓健将的亮眼表现也使得某兵乓球俱乐部的会员与日俱增。为规范器材的收纳，俱乐部欲设置悬挂式长方体型钢丝框架收纳乒乓球，使得五个乒乓球排成一列置于框架内，如图所示。已知每个乒乓球的半径为2cm，忽略钢丝粗细程度和乒乓球的表层的厚度。 (1)制做一个这样的框架，请问最少需要多少厘米的钢丝? (2)制做框架时，底面和侧棱所需的钢丝材料有所不同，底面钢丝价格为2元/厘米，侧棱钢丝价格为1元/厘米，请问制做一个这样的框架所需钢丝的总费用为多少元? 16．(15分)某种仪器随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加．现对一批该仪器进行调查，得到这批仪器自购入使用之日起，前5年平均每台仪器每年的维护费用大致如下表： 年份x/年 1 2 3 4 5 维护费y/万元 0.7 1.2 1.6 2.1 2.4 (1)根据表中所给数据，试建立y关于x的经验回归方程＝x＋； (2)若该仪器的价格是每台12万元，你认为应该使用满5年换一次仪器，还是应该使用满8年换一次仪器？并说明理由． 参考公式：用最小二乘法求经验回归方程＝x＋的系数公式：＝，＝－． 17．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若时，恒成立，求实数的值． 18．(17分)某公司为了了解该市电动车消费者对石墨烯电池与铅酸电池这两种电池电动车的偏好，随机调查了500名电动车用户，其中男性用户300名，在被调查的女性用户中偏好铅酸电池电动车的占，得到以下的2×2列联表： 单位：名 性别 偏好情况 合计 偏好石墨烯 电池电动车 偏好铅酸电 池电动车 男性用户 200 300 女性用户 合计 500 (1)根据以上数据，完成2×2列联表，依据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为该市电动车用户对这两种电池的电动车的偏好与性别有关； (2)从偏好石墨烯电池电动车的用户中按性别比例用分层随机抽样的方法随机抽取7人进行问卷调查，再从这7名用户中抽取2人进行座谈，在有女性用户参加座谈的条件下，求恰有两名女性用户参加座谈的概率； (3)用样本的频率估计概率，在该市所有女性电动车用户中随机抽取3名进行新车试驾，记3名参加试驾的女性用户中偏好石墨烯电池电动车的人数为X，求X的分布列及数学期望． 参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d． 参考数据： α 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19.给定一个无穷数列，对它的各项依次相加所得的数称为常数项无穷级数，简称级数，记作或，其中称为数项级数的通项.级数的前项和，记为.如果当项数趋近于无穷时，可以趋近于无穷，则称级数为发散的，反之，当项数趋近于无穷时，趋近于某一实数，则称级数为收敛的。 （1）对于数列，若其构成的级数收敛，则当趋近于正无穷时，趋近于何值？ （2）判断并证明无穷级数是否收敛。 （3）拉贝判别法：设为正项级数，且存在某正整数及常数， ①若对一切，成立不等式，则级数收敛； ②若对一切，成立不等式，则级数发散。 请根据上面的拉贝判别法，讨论级数，当时的敛散性。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 集合的交集运算、一元二次不等式解法 0.85 2 单选题 5 全称量词命题的否定 0.9 3 单选题 5 线面平行与面面平行的判定、充分必要条件 0.7 4 单选题 5 正态分布的概率计算（对称性） 0.7 5 单选题 5 排列组合、古典概型（排队问题中的概率） 0.65 6 单选题 5 条件概率的计算（古典概型） 0.6 7 单选题 5 独立重复试验（负二项分布）的概率计算 0.6 8 单选题 5 正方体中直线与平面的位置关系（平行、垂直）、截面作图、多面体体积计算（等体积法） 0.75 9 多选题 6 频率分布直方图的意义、回归模型拟合效果（R²）、正态分布的性质、独立性检验的统计量含义 0.7 10 多选题 6 二项式定理：常数项、特定项系数、系数最大项、有理项 0.65 11 多选题 6 空间向量与平面位置关系（基底表示、法向量）、基本不等式及其推广（配凑法、三元均值不等式） 0.75 12 填空题 5 平面向量的模长最值问题（向量加减的模） 0.7 13 填空题 5 指数方程与对数运算（或指对数恒等式） 0.65 14 填空题 5 立体解析几何（平面截距式方程、法向量）、二面角的计算、空间直角坐标系的灵活建立 0.75 15 解答题 13 实际情境建模（长方体框架与球体位置关系）、函数关系建立、三角换元、辅助角公式求最值 0.5 16 解答题 15 线性回归方程（最小二乘法）、利用回归方程进行预测与决策 0.6 17 解答题 15 函数单调性讨论（含参导数）、不等式恒成立求参数的值 0.55 18 解答题 17 2×2列联表、独立性检验（卡方）、分层抽样、条件概率、二项分布及其数学期望 0.6 19 解答题 17 新定义（级数收敛与发散）、极限思想、裂项相消法、拉贝判别法的应用 0.5 $