第21章四边形重难点梳理卷-2025-2026学年数学八年级下册人教版

**基本信息** 本卷为八年级下册四边形单元复习卷，覆盖平行四边形、矩形、菱形、正方形等核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，考查几何直观、推理能力与空间观念，适配单元重难点梳理需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|平行四边形性质（1题）、矩形与菱形性质比较（2题）、直角三角形斜边中线（3题）|基础题占比60%，如第1题考查平行四边形邻角关系，第2题对比特殊四边形性质，落实概念辨析| |填空题|6题|平行四边形角度计算（11题）、正多边形内角和（12题）、菱形对角线（14题）|结合计算与推理，如12题通过正六边形内角求正n边形边数，体现数学思维的逻辑性| |解答题|6题|尺规作图（18题）、矩形折叠（20题）、正方形动点与最值（21题）|分层设计，18题基础作图与证明，21题综合动点、全等及最值问题，培养创新意识与空间观念|

第21章四边形重难点梳理卷-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024） 一、单选题 1．在平行四边形中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（    ） A．对边相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 3．如图，中，，，点D为斜边的中点，则为（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 4．已知菱形的周长为，一条对角线长为，则该菱形的面积为（    ） A． B． C． D． 5．若正多边形的内角和为，则它的每个外角度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（     ）． A． B． C． D． 7．如图，正方形的边长为，以为边在正方形外作等边三角形，连接，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 8．如图，，，，是菱形四边的中点，顺次连接点，，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，菱形中，是其对角线，P是上一点，连接，将沿折叠，使点C落在上的处，得到，连接．若，，则线段的长为（     ） A．0.5 B．1 C． D．2 10．如图，已知正方形的边长为是对角线上一点，于点于点，连接．给出下列结论：①；②四边形的周长为；③的最小值为；④．其中正确结论的序号为（    ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 11．在中，若，那么_____． 12．如图，，，是正边形的三条边，在该正边形下方以为一边作正六边形．已知，则的值为_____． 13．如图，在平行四边形中，的平分线交于E，，，则的长等于________． 14．如图，菱形的对角线，交于点，若，则的度数为________． 15．如图，在正方形中，点是边上一点，点在边延长线上，且，连接，过点作交于，交于，若，，则_____． 16．如图，在中．和相交于点．，，分别是，，的中点．连接，，．若，．的周长为24．则的面积为______． 三、解答题 17．图1、图2分别是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长都是1，请在图1、图2中各画一个图形，分别满足下列要求： (1)在图1中画出一个周长为18的平行四边形（非矩形），所画的平行四边形的各顶点必须在小正方形的顶点上； (2)在图2中画出一个面积为24的菱形，所画的菱形的各顶点必须在小正方形的顶点上． 18．已知，如图四边形是平行四边形． (1)作的平分线交于点（用尺规作图，不要写作法，保留作图痕迹） (2)求证：． 19．如图，在中，，、分别是、的中点，延长到点，使，连接、，交于点．求证：． 20．如图在矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，使点C落在点E处，交于点F．求的长． 21．已知正方形的边长为，点为上一点，连接． (1)如图，过点作于点，交于点，连接，，若点为中点，求四边形的面积； (2)如图，点，分别在正方形的边，上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，连接，若，求线段的长； (3)如图，点是边上的一个动点，，过点作于点，连接，试求线段的最小值，且直接写出此时四边形的面积． 22．已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为． (1)如图1，连接、．求证四边形为菱形，并求的长； (2)如图2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止．在运动过程中， ①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． ②若点、的运动路程分别为、（单位：，），已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，求与满足的数量关系式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第21章四边形重难点梳理卷-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B A B A C B C C 1．C 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴. 2．C 【分析】本题考查矩形与菱形的性质，掌握两种图形性质的区别是解题关键，对比两个图形的性质逐一判断选项即可解答． 【详解】解：矩形和菱形都是特殊的平行四边形，平行四边形对边相等，对角线互相平分， 选项对边相等、选项对角线互相平分是矩形和菱形都具有的性质，不符合题意； 矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，仅特殊菱形即正方形对角线相等， 选项对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质，符合题意； 菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线不一定互相垂直， 选项对角线互相垂直是菱形具有而矩形不一定具有的性质，不符合题意． 3．B 【分析】因为D是斜边的中点，所以可直接使用直角三角形斜边中线定理，明确斜边中线与斜边的数量关系．结合已知的长度，代入对应数量关系即可得到的长度． 【详解】在中，，是斜边的中点， 又， ∴． 4．A 【分析】本题利用菱形四边相等、对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出另一条对角线的长度，再用菱形面积等于对角线乘积一半的公式计算面积． 【详解】解：∵菱形周长为，且菱形四条边相等， ∴菱形边长为 ． ∵菱形一条对角线长为，且菱形对角线互相垂直平分， ∴该对角线的一半长为 ． 根据勾股定理，可得另一条对角线的一半长为， 因此另一条对角线长为 ， ∴菱形面积为． 5．B 【分析】先利用多边形内角和公式求出正多边形的边数，再根据任意多边形外角和为，正多边形每个外角相等，计算得到每个外角度数． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， 多边形内角和公式为，已知内角和为， ，解得 ， 任意多边形的外角和为，正多边形的每个外角度数相等， 该正多边形每个外角度数为 ． 6．A 【分析】本题考查角平分线的尺规作图，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理． 根据作图可知平分，根据等腰三角形三线合一得到，继而根据直角三角形斜边中线定理得到． 【详解】解：由作图可知平分， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴． 7．C 【分析】过点作于点，延长交于点，容易证明四边形是矩形，则，由等边三角形的性质可得，，由勾股定理可得，则，利用三角形面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 由勾股定理可得，， ∴， ∴． 8．B 【分析】连接、，设与交于点O，根据菱形的性质得出，，，根据三角形中位线定理得出，，设，则，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：连接、，设与交于点O，如图所示； ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵，，，是菱形四边的中点， ∴，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， ∴， ∴． 9．C 【分析】首先由菱形的性质求出和，然后由折叠的性质得出 和 的长，进而求出 ，最后在中求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，． ∵是菱形的对角线， ∴． 由折叠的性质可知，． ∵点在上， ∴． 在 中，， ∴ 是直角三角形， ， ∴． 10．C 【分析】①证明是等腰直角三角形，则，即可判断； ②先证明是等腰直角三角形，再根据三个角是直角的四边形是矩形可得四边形为矩形，则四边形的周长，即可判断； ③证明，则，根据矩形对角线相等得，当时，垂线段最短，即可判断； ④证明，得到，进而求解． 【详解】解：连接，如图所示： ①∵正方形的边长为是对角线上一点， ， 又， ， 为等腰直角三角形， ∴，故①正确； ②由①证明过程，同理得是等腰直角三角形， ， ， ∴四边形为矩形， ∴四边形的周长，故②正确； ③∵四边形为矩形， ， ∵四边形为正方形， ， 在和中， ， ， ， ，即当最小时，最小， ∴当时，垂线段最短，即时，的最小值等于，故③错误； ④延长交于，延长交于，如图所示： ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，①②④正确． 11．/110度 【分析】根据平行四边形对角相等、邻角互补的性质，先由与的和求出的度数，再利用邻角互补求出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 12．18 【分析】先根据正多边形内角和公式求出正六边形的一个内角度数，再根据点处的三个角之和为求出正边形的一个内角度数，最后利用正边形内角公式列方程求解的值． 【详解】解：正六边形的一个内角为． 由图可知，正边形的一个内角、正六边形的一个内角与构成一个周角． 设正边形的一个内角为， 则． 解得． 根据正边形内角公式，得． 解得． 经检验，是原方程的解且符合题意． 13．4 【分析】利用平行四边形性质得出，，，利用平行结合角平分线可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．/20度 【分析】根据菱形对边平行得到，根据，得到． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ， ， ， ． 15． 【分析】连接，首先结合正方形性质可证得，推出为等腰直角三角形，结合，推出为等腰直角三角形，，再证明，设，得，，然后在中，根据勾股定理求出正方形的边长，最后在中，根据勾股定理求出长，即可求出长． 【详解】解：连接、、， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵设， 又∵，， ∴，， ∵在中，， ∴根据勾股定理，，即， 解得：， ∴，，， ∵在中，， ∴根据勾股定理，，即， 解得：， ∴． 16．144 【分析】连接，由平行四边形的性质推出，，，，，由等腰三角形的性质推出，由直角三角形斜边中线的性质得到，推出，由三角形中位线定理推出，，得到，推出，得到，由，得到，判定四边形是平行四边形，推出，由勾股定理求出，得到，因此的面积面积的2倍． 【详解】解：连接，如图： ∵四边形是平行四边形， ，，，，， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ，分别是，的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 的周长， ， ， 由勾股定理得到：， ，， ， ， 的面积， 的面积面积的2倍． 17．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）画出边长分别为的平行四边形，即可求解； （2）画出对角线分别为，的菱形，即可求解． 【详解】（1）解：如图，平行四边形即为所求； ∵， ∴四边形是平行四边形，且周长为； （2）解：如图所示，四边形即为所求． 18．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）按照尺规作角平分线的基本方法，作出的平分线，使其与交于点即可． （2）先利用平行四边形的性质得到、，再结合角平分线的定义和平行线的性质推出，进而得到，最后通过等量代换证明． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．证明见解析 【分析】连接、，根据题意，是的中位线，则，，进而得到，，因此四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得． 【详解】证明：如图，连接、， ∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵点在的延长线上，且， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 20． 【分析】由矩形的性质可得，，由勾股定理可得，由折叠的性质可得，即，由等面积法求出，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得：，即， ∵， ∴， ∴． 21．(1) (2) (3)， 【分析】（），可得 ，再根据解答即可求解； （）延长交于点，利用折叠的性质可得，，， ，即得， ，设，则，利用勾股定理得，即得，，再根据得，得到，最后利用勾股定理解答即可求解； （）延长交的延长线于点，连接，可证，得到，进而得到，即得到，由，，可知当点三点共线时，的值最小，的最小值，过点作于点，利用等腰直角三角形的性质可得，即得，，得到，最后根据解答即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，边长为， ∴，， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴； （2）解：如图，延长交于点， 由折叠得，，，，， ∴， ∴， 设 ，则， 在 中，∵， ∴， 解得， ∴， ∵于点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）解：如图，延长交的延长线于点，连接，则， ∵于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即点是的中点， ∵， ∴， ∵，， ∴当点三点共线时，的值最小，此时的最小值，如图， 过点作于点， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时四边形的面积为． 22．(1)证明见解析； (2)①秒；②与满足的数量关系式是 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得的长； （2）①分情况讨论可知，当P点在上、Q点在上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可． ②由题意得，以A、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上，分三种情况，根据平行四边形对边相等建立等式即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，＝， ∵垂直平分，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为菱形． 设菱形的边长，则， 在中，， 由勾股定理得， 解得， ∴． （2）①显然当P点在上时，Q点在上， 此时A、 C、P、Q四点不可能构成平行四边形； 同理P点在上时，Q点在或上或P在上， Q在时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形． 因此只有当P点在上、Q点在上时，才能构成平行四边形， ∴以A、 C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，， ∵点P的速度为每秒5 cm，点Q的速度为每秒4 cm，运动时间为t秒， ∴，＝，即＝， ， 解得， 以A、 C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒． ②由题意得，四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上． 分三种情况： i）如图1，当点在上、点在上时，，即，得； ii）如图2，当点在上、点在上时，，即，得； iii）如图3，当点在上、点在上时，，即，得． 综上所述，与满足的数量关系式是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $