第21章四边形章末测试卷-2025-2026学年数学八年级下册人教版

**基本信息** 人教版八年级下册第21章四边形章末测试卷，覆盖平行四边形、特殊四边形性质与判定，融合几何直观、推理能力与空间观念，适配单元复习巩固与综合应用。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|正六边形对角线计算、矩形折叠、菱形动点最值|基础概念与几何直观结合，如第2题考查多边形对角线公式| |填空题|6|正方形折叠坐标、正八边形角度、动点最值|空间观念与推理，如第16题正方形动点与中点最值| |解答题|5|平行四边形判定、矩形与菱形综合、传统文化折叠|分层设计，21题结合中式窗格与纸张比例，体现文化传承与创新应用|

第21章四边形章末测试卷-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024） 一、单选题 1．在中，，则∠B的度数是（  ） A． B． C． D． 2．在正六边形中，下列说法正确的是（   ） A．它的内角和是 B．它的一个外角为 C．它具有稳定性 D．它共有9条对角线 3．四边形的对角线与相交于点，下列四组条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D．， 4．如图，将一张正方形纸片的顶点A折叠至边上的E点，折痕为，若折痕比边长长2，，则正方形的边长为（   ） A．20 B．22 C．24 D．25 5．如图，在矩形中，对角线、相交于点O，已知，，则的长为（  ） A．5 B．6 C．8 D．10 6．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、均在轴上，点D在轴上，点在第一象限，已知点坐标为，点坐标为，点是直线上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．5 7．如图，中D、E分别是的中点，F是上一点，，若，，则边的长是（   ） A．15 B．14 C．13 D．12 8．如图，菱形的面积为30，对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的长为（   ） A． B． C． D．5 9．如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 10．如图，在中，以和为斜边分别向内作等腰和等腰，延长和分别交和于点和，直线分别交和于点和．若四边形是正方形，的面积为，下列能用的代数式来表示的是（   ） A．的面积 B．正方形的面积 C．的面积 D．的面积 二、填空题 11．一个多边形的外角和与所有的内角相加是，则这个多边形的边数为_____________． 12．如图，中，对角线相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，则图中阴影部分的面积是________． 13．如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为16，边分别在x轴、y轴上，点D在上．连接，将四边形沿折叠得到四边形，点E恰好落在x轴上，则点D的坐标为________． 14．如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，，连接交于点M，点N为的中点，连接，若，则的长为_________．    15．图1为中式传统建筑中的一种窗格，其外窗框为正八边形，图2正八边形为其外窗框的示意图，连接，，与交于点M， ________°．    16．如图，在边长是的正方形中，、分别是边、上的动点，且满足，与交于点，是的中点，是边上的点，，则 的最小值是 _____ ． 三、解答题 17．如图．已知点，是对角线上的两个点，且，连接．求证：四边形是平行四边形． 18．如图，在矩形中，延长到点D，使，延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 19．如图1，正方形的边长为，在中，，连接，且． (1)若，求的长； (2)如图2，连接交于点O，若O是的中点，求证：； (3)在（2）问的条件下，连接，求的长． 20．如图，在中，，，，过点A作，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线方向以每秒的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线方向以每秒的速度运动，在线段上取点E，使得，连接，设点P的运动时间为t秒． (1)① （用含t的式子表示） ②若，求的长； (2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 21．我们常用的书籍和纸张的长与宽都有固定的规格，例如纸张的长与宽是，，长与宽的比值接近．这样的纸张具有对折不变形，还便于缩放，装订与归档，裁切过程几乎无边角料．这样比例的折叠屏手机，内外屏的比例就是一样的，堪称折叠完美比例． 已知长方形的长与宽分别是，．若按图1所示的方式折叠，点E，F分别是，的中点，将长方形沿对折，打开后得到的长方形仍为“长与宽的比值为”的长方形． (1)若按图2所示的方式折叠长方形，先沿对折，使点B落在上，对应点是点H．再沿对折，使点C落在上，对应点是点N． ①长方形________（填“是”或“不是”）为“长与宽的比值为”的长方形； ②边长________，边长________． (2)若按图3所示的方式折叠长方形，先沿对折，使得点C落在上，对应点是点Q．再沿对折，使得点A落在上，对应点是点T． ①求的度数； ②若图2中的点M折叠后对应点是点R，连接，求证：四边形是平行四边形． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《第21章四边形章末测试卷-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C C A C D A A D 1．B 【分析】根据平行四边形对边平行，邻角互补即可计算出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．D 【分析】依次利用多边形内角和公式、外角和定理、稳定性、对角线公式计算判断各选项即可． 【详解】解：∵多边形内角和公式为，正六边形边数， ∴内角和为，A不符合题意； ∵任意多边形外角和为，正六边形各外角相等， ∴每个外角为，B不符合题意； ∵只有三角形具有稳定性，六边形不具有稳定性， ∴C不符合题意； ∵边形对角线条数公式为，代入， ∴对角线条数为 ，D符合题意． 3．C 【详解】解：对于选项C： ∵，，， ∴． ∴． 同理可得． ∴四边形为平行四边形． 选项A、B、D均不符合平行四边形的判定条件． 4．C 【分析】先过点作于点，利用三角形全等的判定得到，从而求出，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于点， 由正方形的性质得，，， ，， 由折叠得到， ， 又， ， ∴，又， ， ∴． 在中，，， 由勾股定理得， 解得，即正方形的边长为24． 5．A 【分析】根据矩形的性质得到、及，利用勾股定理求出的长，从而求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， 、、， 在中，由勾股定理得：， ． 6．C 【分析】先由勾股定理求出菱形边长并确定各顶点坐标，再利用菱形对角线的对称性将转化为，最后根据两点之间线段最短，计算的长度即为的最小值． 【详解】解：∵点坐标为，点坐标为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴点的坐标为， 如图，连接，过点作轴于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴点的坐标为， ∵菱形的对角线是其对称轴， ∴点关于直线的对称点是点， ∴对直线上任意一点，都有， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当、、三点共线（即点运动到图中位置）时，取得最小值，最小值为线段的长度， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 7．D 【分析】根据题意得到是中位线，得到，则，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【详解】解：∵D、E分别是的中点，， ∴， ∴， ∵，点是中点， ∴在中，， ∴， 故选：D ． 8．A 【分析】根据菱形的性质求得，，利用菱形的面积公式求得，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵该菱形的面积为30， ∴， ∵，， ∴． 9．A 【分析】根据旋转的性质，可得，结合正方形的性质证明，则两个正方形重叠部分的面积等于，即正方形面积的四分之一，已知正方形的边长，可据此求出重叠部分的面积． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 根据旋转的性质，， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 则两个正方形重叠部分的面积． 10．D 【分析】设，，则，根据正方形和平行四边形的性质得出，，根据全等三角形的判定和性质得出，推得，根据等腰直角三角形的性质得出，结合对顶角相等和等腰直角三角形的定义得出和是等腰直角三角形，推得，根据全等三角形的判定和性质得出，根据勾股定理求出，，，求得，即可求出平行四边形的面积，结合三角形的面积公式逐项分析，即可得出答案． 【详解】解：设，，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在等腰和等腰中，和为斜边，且， 故， ∴； ∵， ∴． 在等腰和等腰中，和为斜边， 故， 在正方形中，， ∵，，， ∴，， 故和是等腰直角三角形， ∴， 即． 在等腰和等腰中，和为斜边，且， 故， ∴． 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴； 故平行四边形的面积． 对于A选项：的面积为， 即的面积不能用含的代数式表示，故A选项不符合题意； 对于B选项：正方形的面积为， 即正方形的面积不能用含的代数式表示，故B选项不符合题意； 对于C选项：在中，， 故的面积为， 即的面积不能用含的代数式表示，故C选项不符合题意； 对于D选项：的面积为， ∵， ∴的面积平行四边形的面积， 故的面积能用含的代数式表示，故D选项符合题意． 11．6 【分析】设这个多边形的边数为，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得： 解得： ∴这个多边形的边数为6． 12．15 【分析】利用平行四边形的性质得出，利用勾股定理的逆定理得出直角三角形，证明，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 13． 【分析】连接，求出正方形的边长为4，由正方形的性质可得，则，由折叠的性质可得，，可证明是等腰直角三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵正方形的面积为16， ∴； 如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∵将四边形沿折叠得到四边形，点E恰好落在x轴上， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 14．4 【分析】由平行四边形的性质得到，，证明，得到，由三角形中位线定理得到，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵点N为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴． 15．45 【分析】分别求出等腰三角形和等腰三角形的底角，再通过的内角和求出，最后利用邻补角关系求得的度数． 【详解】解： 八边形为正八边形， ， ， 为等腰三角形， ， ， 为等腰三角形， ， 与交于点， 在中，，， ， 点，， C在同一直线上， ． 16．5 【分析】先证明得到，进而得到，则由直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可得，在延长线上截取，连接，则有，然后可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， 如图所示，在延长线上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为5． 17．见解析 【分析】连接交于点，由平行四边形的性质可得，，结合已知可得，即可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明． 【详解】证明：连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ，， ， ， 即， ， ∴四边形是平行四边形． 18．(1)详见解析 (2)24 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再结合矩形的性质得，故四边形是菱形； （2）先运用勾股定理算出，再根据菱形的性质求出面积即可解答． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ∴， ， 四边形是菱形； （2）解：， ， ，， ， ∴在菱形中，，， ． 19．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先利用勾股定理求出，再根据勾股定理求解即可； （2）证明，从而证明四边形是平行四边形，即可得出结论； （3）连接，根据平行四边形的性质得到， 由勾股定理得，则；由正方形的性质得到，由勾股定理得，证明，则． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为， ， ， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ∵O是的中点， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ； （3）解：连接，如下图， 在中，， ， ∵四边形是平行四边形， ， 由（2）得，， 在中，由勾股定理得， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵ ∴． 20．(1)①；② (2)存在，或12 【分析】（1）①由运动知，即可得出结论； ②作于M，由已知条件得出，由等腰三角形的性质得出，由直角三角形斜边上的中线性质得出，证出和是等腰直角三角形，得出，，由得出方程，解方程即可； （2）分两种情况：当点Q、E在线段上时；当点Q、E在线段的延长线上时，由平行四边形的判定得出，得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：①由运动知，， ∵在线段上取点E，使得， ∴， 故答案为：； ②作于M，如图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：存在，或；理由如下： 分以下两种情况讨论： （ⅰ）当点Q、E在线段上时， 若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形， 则， ∴， 解得：； （ⅱ）当点Q、E在线段的延长线上时， 若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形， 则， ， 解得：． ∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，或12秒． 21．(1)①是；②， (2)①；②见解析 【分析】（1）①根据折叠的性质分别求出，，再求出比值即可得解； ②由①即可得解； （2）①根据折叠的性质和勾股定理可证，可得，根据折叠的性质即可得解； ②根据折叠的性质可得，，，可证，进而证明，再根据，，可证，即可得证． 【详解】（1）①解：由折叠可知， ， ， 长方形是“长与宽的比值为”的长方形； ②解：由①知，． （2）①解：沿对折，C落在上的Q， ． 在中，，， ， ， ， ． 由折叠可知，平分， ． ②证明：由折叠可知：，，， ， ， ． ， ． ， ． ． ，， ． ∴四边形是平行四边形． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $