专题05 概率 3大高频考点（期末真题汇编）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 汇集多地区期末真题，聚焦概率三大高频考点，通过分层抽样、电路设计等真实情境考查知识应用，题量丰富且梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择（含多选）|28道|随机事件与概率（如互斥对立判断、古典概型）、事件独立性（如电路概率、比赛问题）、频率与概率（统计图表应用）|情境融合社会热点（唐山河头老街旅游）与文化传承（猜灯谜活动）| |填空|7道|独立事件概率计算、古典概型（猜数字游戏）|注重基础公式应用与简单情境迁移| |解答|9道|频率分布直方图与概率结合（分层抽样后概率计算）、统计与概率综合（如满意度调查）|突出数据分析与数学建模，体现“用数学解决实际问题”命题趋势|

专题05 概率 3大高频考点概览 考点01随机事件与概率 考点02事件的相互独立性 考点03频率与概率 ( 地 城 考点01 随机事件与概率 ) 一、选择题 1．（24-25高一下·江苏无锡·期末）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出样本点的总数，并列举出事件“点数和为”所包含的样本点，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，共有个样本点， 其中事件“点数和为”所包含的样本点为：、、、，共种， 故所求概率为. 2．（24-25高一下·广东深圳·期末）已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ． 3．（24-25高一下·广西百色·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A=“点数不大于3”，B=“点数大于4”，C=“点数为奇数”，D=“点数为偶数”，下列结论正确的是（    ） A．B，C为对立事件 B．A，C为互斥事件 C．C，D为对立事件 D．A，D为互斥事件 【答案】C 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义逐一判断各个选项即可求解． 【详解】样本空间为，，，，， 对于A，，所以B，C不互斥，更不可能对立，故A错误； 对于B，由于，所以A，C不互斥，故B错误； 对于C，因为，，所以C，D为对立事件，故C正确； 对于D，，所以A，D不互斥，故D错误． 故选：C． 4．（24-25高一下·福建福州·期末）某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为．按学生所在年级进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取5名学生去敬老院献爱心．从这5人中随机抽取2人作为负责人，则2名负责人至少有一名来自高二年级的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据分层抽样的定义求出各年级所抽取的人数，然后利用列举法求概率即可. 【详解】由题意可知从高一学生中抽取人，记为， 从高二学生中抽取人，记为， 从高三学生中抽取人，记为， 则从这5人中抽取2人有：，10种情况， 其中至少有一名来自高二年级有，7种情况， 所以所求概率为. 故选：D. 5．（24-25高一下·福建福州·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对立事件与互斥事件的概率公式及概率的性质求解即可. 【详解】由和对立，可得，则. 又随机事件和互斥， 所以. 故选：A. 6．（24-25高一下·安徽合肥·期末）从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解. 【详解】从两名男生（记为和）、两名女生（记为1和2）中任意抽取两人， 记事件“抽到的两人是一男生一女生”， 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 共16个样本点， 其中有8个样本点， 所以. 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 共12个样本点， 其中有8个样本点， 所以. 故选：D. 7．（24-25高一下·吉林·期末）某中学为了解学生课外阅读的情况，随机抽取了该校部分学生，对他们每周的课外阅读时间（单位：小时）进行调查，统计数据如下表所示： 阅读时间 [8,10] 学生人数 6 9 15 12 8 则从该校随机抽取1名学生，估计其每周的课外阅读时间少于4小时的概率为（    ） A．0.3 B．0.2 C．0.4 D．0.5 【答案】A 【分析】根据古典概型的概率公式求解． 【详解】由统计表可知，共抽取了50名学生，阅读时间少于4小时有人， 所以随机抽取1名学生，估计阅读时间少于4小时的概率为. 故选：A. 8．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用与互为对立求出，再由互斥事件的概率加法公式即可求得答案. 【详解】由与互为对立，则， 又与互斥，则. 故选：B. 9．（24-25高一下·江苏南京·期末）（多选）下列说法正确的是（   ） A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1； B．已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5； C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； D．若样本数据，，，的标准差为8，则数据，，，的标准差为32. 【答案】AC 【分析】分别利用古典概型的计算公式，方差和标准差的计算公式及百分位数的定义求解即可. 【详解】对于选项A，个体被抽到的概率为，故选项A正确； 对于选项B，，即，解得，这组数据的方差是，故选项B错误； 对于选项C，对27，12，14，30，15，17，19，23从小到大排序后为12，14，15，17，19，23，27，30，因为，所以这组数据的第70百分位数是从小到大排序后的第6个数，即23，故选项C正确； 对于选项D，样本数据，，，的标准差为， 则数据，，，的标准差为，故选项D错误. 故选：AC. 10．（24-25高一下·安徽宣城·期末）（多选）先后抛掷质地均匀的硬币两次，下列说法正确的是（    ） A．样本空间中一共含有4个样本点 B．事件“两次正面向上”发生的概率是 C．事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”是互斥事件 D．事件“至少一次正面向上”与事件“两次反面向上”是对立事件 【答案】ABD 【分析】根据列举法判断选项A；根据古典概型判断计算判断选项B；根据互斥事件、对立事件的概念判断选项C、D.. 【详解】对于A：样本空间中一共含有：正正，正反，反正，反反共4个样本点，故A正确； 对于B，两次正面向上含有一个样本点，故事件“两次正面向上”发生的概率是，故B正确； 对于C：当恰好一次正面向上，一次反面向上时， 事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”同时发生， 故不是互斥事件，故C错误； 对于D：事件“至少一次正面向上”与事件“两次背面向上”是对立事件，故D正确. 故选：ABD. 11．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒·期末）（多选）从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都是白球”互斥而非对立的事件是以下事件中的哪几个（    ） A．事件“两球都不是白球” B．事件“两球恰有一白球” C．事件“两球至少有一个白球” D．事件“两球不都是白球” 【答案】AB 【分析】由对立事件，互斥事件的定义结合题意逐一判断即可. 【详解】从口袋内一次取出2个球，这个试验的样本空间 (白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)，包含6个基本事件， 当事件“两球都为白球”发生时，事件“两球都不是白球”和事件“两球恰有一白球”不可能发生，满足互斥事件的定义， 且“两球都为白球”不发生时，事件“两球都不是白球”不一定发生，事件“两球恰有一白球”不一定发生，故非对立事件，故A、B正确； “两球都为白球”发生时，事件“两球至少有一个白球”可以发生，故不是互斥事件，故C错误； 事件“两球不都是白球”意思是“两球至少有一个不是白球”与事件“两球都是白球”是对立事件， 故D错误. 故选：AB 二、填空题 12．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，，，则_______. 【答案】 【分析】由题意结合概率运算性质可得答案. 【详解】由概率的性质知，因此， . 故答案为：. 13．（24-25高一下·黑龙江·期末）甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为__________. 【答案】 【分析】根据已知确定所有可能情况，再列举出的对应情况，应用古典概型的概率求法求概率. 【详解】由题设，所有可能的有序数对共有个， 而的情况有，共有16个， 所以任意找两人玩这个游戏，他们“心有灵犀”的概率为. 故答案为： 三、解答题 14．（24-25高一下·江苏无锡·期末）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为，，，，，）． (1)求选取的市民年龄在内的人数及a的值； (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； (3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 【答案】(1)， (2)平均数为，第80百分位数为. (3) 【分析】（1）先求出年龄在内的频率，再求出频数；根据直方图面积为1求解a的值； （2）根据频率分布直方图，求出组中值，利用组中值求平均数即可，第80百分位数即为左侧面积为0.8的线所对应的值； （3）先确定从第3，4组中分别抽取3人，2人.再根据古典概型公式求解概率即可. 【详解】（1）由题意可知，年龄在内的频率为， 故年龄在内的市民人数为. 由图可得：，解得； （2）平均数为 前三组的频率和为， 第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为. （3）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法从第3、4两组市民中抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人. 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，， 则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，， ，，，，，共有10种. 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，， ，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为. 15．（24-25高一下·广西柳州·期末）某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机后去了200名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求图中的值； (2)若样本数据在的平均成绩，方差，在的平均成绩，方差，求在的平均成绩和方差； (3)现学校准备利用按比例的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团.从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件为“至少有1人测试成绩位于区间”，求事件发生的概率. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的小长方体的面积和为1求解； （2）利用分层随机抽样的平均数公式与方差公式求解； （3）由按比例分配的分层随机抽样，确认在中抽5人，在中抽2人，列出样本空间和满足事件的总情况，利用求解. 【详解】（1）根据题意可得，解得. （2）因为的人数为， 的人数为， 所以在平均成绩为， 在的成绩的方差为. （3）因为和这两组的频率之比为， 所以在中抽5人，在中抽2人， 设从学生中抽取的5人为，从学生中抽取的2人为1，2， 则这个试验的样本空间为， 故， 又因为，则， 所以事件的概率为. ( 地 城 考点02 事件的相互独立性 ) 一、选择题 1．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）如图，已知电路中4个开关每个断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相互独立的概率乘法公式，以及互斥事件与对立是事件的概率公式，即可求解. 【详解】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，丙丁2个都开且甲乙2个中有一个开另一个闭， 这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件都是相互独立的， 所以灯泡不亮的概率为， 所以灯泡亮的概率为. 故选：C. 2．（24-25高一下·河北唐山·期末）唐山河头老街景区近期持续火爆出圈．甲、乙2人暑假来此地旅游的概率分别为，，假定2人的行动相互没有影响，则暑假至少有1人来此地旅游的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件及对立事件的概率公式计算得解. 【详解】暑假两人都没来此地旅游的概率为， 所以暑假至少有1人来此地旅游的概率为. 故选：B 3．（24-25高一下·吉林·期末）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，则（    ）． A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 【答案】B 【分析】对立事件是指两个事件不能同时发生且必有一个发生；互斥事件是指两个事件不能同时发生；相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生没有影响，即. 【详解】对于A，，所以与不为对立事件． 对于B，，，，相互独立． 对于C，，，，不相互独立． 对于D，事件为，所以与不为互斥事件． 故选：B. 4．（24-25高一下·吉林长春·期末）有4张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为5”，则（   ） A． B．与为互斥事件 C．与为相互独立事件 D．与为对立事件 【答案】C 【分析】对于A，由古典概型概率计算公式求解即可；对于BD，由互斥、对立的概念判断BD；对于C，由独立事件的定义判断即可. 【详解】样本空间， ，， 对于A，，故A错误； 对于BD，，故BD错误； 对于C，，故C正确. 故选：C. 5．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用独立事件的乘法公式及对立事件的概率公式即可求解. 【详解】记“甲射中10环”为事件，“乙射中10环”为事件，， 甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为： . 故选：D． 6．（24-25高一下·甘肃白银·期末）现有甲、乙两个盒子，甲盒装有2个白球、3个黑球，乙盒装有3个白球、4个黑球，从甲、乙两盒各拿出1个球，则这2个球颜色不同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】从甲、乙两个盒子各取一个球相互独立，利用独立事件和互斥事件的概率公式即可求解. 【详解】从甲、乙两盒各拿出1个球属于相互独立事件， 所以这2个球颜色不同的概率为 故选：D. 7．（24-25高一下·山西吕梁·期末）（多选）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚硬币反面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．A与B互斥 D．A与B相互独立 【答案】AD 【分析】由古典概型概率公式计算可判断A、B，C；根据独立事件的定义计算可判断D. 【详解】对于A、C选项，，故A正确，C错误； 对于B选项，因为，， 所以，故B错误； 对于D选项，由，得A与B相互独立，故D正确. 故选：AD. 8．（24-25高一下·安徽六安·期末）（多选）已知是一个随机试验中的三个事件，则下列结论一定正确的是（    ） A．若事件两两互斥，则 B．若事件相互独立，则与也相互独立 C．若，，则事件相互独立与互斥能同时成立 D．若两两独立，则 【答案】AB 【分析】根据互斥事件和独立事件的性质，逐项判断即可. 【详解】对于选项A，若事件两两互斥，则根据互斥事件的性质，可得，故A正确； 对于选项B，因为事件相互独立，根据独立事件的性质，可得与也相互独立，故B正确； 对于选项C，若事件相互独立，则；若事件为互斥事件，则，所以若，，则事件相互独立与互斥不能同时成立，故C错误； 对于选项D，假设从、、、中随机选出一个数字，记事件为“取出的数字为或”，事件为“取出的数字为或”，事件为“取出的数字为或”，则，，所以，，，所以事件两两独立，但，故D错误. 故选：AB 9．（24-25高一下·广西柳州·期末）（多选）有6个相同的球，分别编号1、2、3、4、5、6，从中先不放回的随机取两次，再将球全部放回随机取一次，以上每次抽取一个小球，记事件A：第一次取球编号数字小于3；B：第二次取球编号数字为偶数；C：第三次取球编号为6；D：前两次取球编号数字和为7；E：第一、三次取球编号数字至少有一个1.则下列说法正确的是（  ） A． B．事件A与事件C相互独立 C．事件A与事件E相互独立 D．事件A与事件B相互独立 【答案】ABD 【分析】求出事件的概率，再根据相互独立事件概率的关系依次判断每个选项得到答案. 【详解】根据题意，，，，， 对于A，由于是不放回的取球，则，故A正确； 对于B，因为，所以事件与相互独立，故B正确； 对于C，因为，所以事件与不相互独立，故C错误； 对于D，因为，所以事件与相互独立，故D正确. 故选：ABD. 10．（24-25高一下·安徽合肥·期末）（多选）一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（    ） A． B．事件与互斥 C．两两独立 D． 【答案】ABD 【分析】根据互斥事件的概念以及相关公式和古典概型与事件独立的乘法公式进行计算与判断即可. 【详解】由题意：事件的样本点为：，事件的样本点为，事件的样本点为. 所以的样本点为：，所以，故A正确； 因为的样本点为：，所以的样本点为，又的样本点为，所以事件与互斥，故B正确； 因为的样本点为，所以，，. 因为，所以事件，不相互独立，故C错误； 因为，的样本点为，所以，又，所以，故D正确. 故选：ABD 二、填空题 11．（24-25高一下·江苏无锡·期末）设随机事件、相互独立，且，，则______． 【答案】/ 【分析】利用独立事件的概率乘法公式求出的值，再利用求解即可. 【详解】因为随机事件、相互独立，且，， 则， 故. 12．（24-25高一下·安徽合肥·期末）甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，如果出现平的情况，先多得2分者为胜方．在平后，双方实行轮换发球，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局的概率为_________． 【答案】 【分析】根据已知条件，将其分成两种情况，利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式计算即得. 【详解】在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局包括两种情况： (1)后四球胜方依次是甲、乙、甲、甲，则概率为， (2) 后四球胜方依次是乙、甲、甲、甲，则概率为， 由互斥事件的概率加法公式，所求事件的概率为. 故答案为：. 13．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）甲、乙二人进行一场游戏比赛，且比赛中不存在平局，先赢三局者获胜，并可以获得800元奖金．已知甲、乙二人在每局比赛中获胜的可能性均相同．已知当甲连赢两局，乙一局未赢时，因某种特殊情况需要终止比赛．现将800元奖金按两人各自最终获胜的可能性的比例进行分配，则甲应该分得__________元． 【答案】700 【分析】由题意，如果比赛继续，乙要连赢三局才能获胜，根据二人在每局比赛中获胜的可能性相同，计算出他们最终获胜的概率，即可得甲应该分到的奖金数. 【详解】由题意，如果比赛继续，乙需要连赢三局才能获胜，因甲、乙二人在每局比赛中获胜的可能性均相同， 则乙连赢三局获胜的概率为，甲获胜的概率为， 所以甲应该分得奖金的，乙应该分得奖金的，即甲应该分得元. 故答案为：. 三、解答题 14．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在南宋时期.开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜.因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎.在一次猜灯谜活动中，共有30道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了10道，丙同学猜对了道.假设对每位同学而言，他们猜对每道灯谜的可能性都相等. (1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； (2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）设出相应事件后，利用相互独立事件概率乘法公式进行求解即可； （2）利用对立事件的概率关系及相互独立事件概率乘法公式即可求出的值. 【详解】（1）设“甲猜对灯谜”为事件，“乙猜对灯谜”为事件， “任选一道灯谜，恰有一个人猜对”为事件C， 由题意得，，，且事件A、B相互独立， 则 . 所以任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为. （2）设“丙猜对灯谜”为事件D， “任选一道灯谜，甲、乙、丙三个人都没有猜对”为事件E， 由题意知，甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为， 则其对立事件“三个人都没有猜对”的概率为， 因此 ， 解得. 15．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek．小明、小华两位同学报名参加某公司拟开展的DeepSeek培训，培训前需要面试，面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为，且小明、小华两人每道题能否答对相互独立．记“小明只回答2道题就结束面试”为事件，记“小华3道题都回答且通过面试”为事件． (1)求事件发生的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）若事件发生，则小明前两题都答对或都答错，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值； （2）若事件发生，则小华前两题答对一题，答错一题，第三题答对，求出的值，分析可知，事件、相互独立，由独立事件的概率公式可求得的值； （3）记小明没有通过面试为事件，小华通过面试的事件记为，求出这两个事件的概率，记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件记为，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值. 【详解】（1）若事件发生，则小明前两题都答对或都答错， 所以． （2）若事件发生，则小华前两题答对一题，答错一题，第三题答对， 根据题意则小华3道题都回答且通过面试的概率为， 由题意可知，事件相互独立， 则． （3）记小明没有通过面试为事件， 即分前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况， 则小明没有通过面试的概率为， 可得小明通过面试的概率为． 记小华通过面试的事件为，由（2）得， 由题意可知，事件相互独立， 记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件为， 则． ( 地 城 考点0 3 频率与概率 ) 一、选择题 1．（24-25高一下·甘肃·期末）下列说法中正确的是（    ） A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B．在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有确定性 C．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 D．随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合频率，概率的定义，即可逐一判断. 【详解】对于A，一般而言，频率是试验值，而概率是估计值，故不是同一个概念，故A错误； 对于B，在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性，故B错误； 对于C，在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，故C错误； 对于D，根据随机事件发生的概率定义，随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率，故D正确. 故选:D. 2．（24-25高一下·河南漯河·期末）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1～5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示天下雨，利用计算产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245．则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知：共20个随机数，其中随机数1，3，5出现2次的有9次，结合古典概型运算求解. 【详解】由题意可知：共20个随机数， 其中随机数1，3，5出现2次的有123，453，332，152，534，521，541，125，314，共9次， 所以这三天中恰有两天下雨的概率近似为. 故选：C. 3．（24-25高一下·贵州黔南·期末）某校在校园科技节期间举办了“智能机器人挑战赛”，为了解高一年级500名学生观看比赛的情况，该校学生会用随机抽样的方式抽取了一个容量为100的样本进行调查，并将数据整理后，列表如下： 观看比赛场数 0 1 2 3 4 5 6 7 观看人数所占百分比 7% 18% 15% m% 10% 14% 15% 5% 从表中可以得出正确的结论为（   ） A．估计观看比赛场数的极差为6 B．估计观看比赛场数的众数为2 C．估计观看比赛不低于4场的学生约为200人 D．估计观看比赛不超过2场的学生概率为 【答案】D 【分析】A选项，利用极差的定义得到答案；B选项，先求出，比较频率得到众数为1；C选项，求出观看比赛不低于4场的学生所占百分比，进而求出学生约为220人；D选项，计算出观看比赛不超过2场的学生频率，进而判断D选项. 【详解】A选项，由表可知，估计观看比赛场数的极差为，A错误； B选项，由频率分布表的性质，得． 由表知，出现频率最高的场数为1，所以众数为1，B错误； C选项，因为观看比赛不低于4场的学生所占百分比为， 所以估计观看比赛不低于4场的学生约为（人），C错误； D选项，估计观看比赛不超过2场的学生概率为，D正确． 故选：D. 4．（24-25高一下·天津河西·期末）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球，4个白球，若干个黑球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.4，则袋中约有黑球（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】利用频率估计概率，可知随机摸出一个球摸到黑球的概率约为0.4，进而分析求解. 【详解】设袋中黑球有个， 利用频率估计概率，可知随机摸出一个球摸到黑球的概率约为0.4， 由题意可得：，解得， 所以袋中约有黑球8个. 故选：C. 5．（24-25高一下·新疆巴音郭楞·期末）在一次抛掷硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频数为48，则“反面朝上”的频率为（    ） A．48 B．0.48 C．52 D．0.52 【答案】D 【分析】结合题意，由频率等于频数比总数可得. 【详解】由题意可得反面朝上的频数为52，所以其频率为. 故选：D 6．（24-25高一下·河南·月考）为加强学生身体健康，某校对学生进行了体能测试．已知同学甲在立定跳远项目中每次及格的概率均为0.6，现采用随机模拟的方法估计甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率：先由计算器产生0到9范围内的整数随机数，指定0，1，2，3表示没有及格，4，5，6，7，8，9表示及格，再以每3个随机数为一组，代表3次立定跳远的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 759   421   113   215   345   257   704   066   186   203 037   624   616   045   601   366   959   742   710   428 据随机模拟试验估计，甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找到20组数据中符合题意的数据个数，然后利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】依题意，在每组随机数中，至少有2个数字在4，5，6，7，8，9中， 即代表甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次， 经统计，20组中一共有13组符合要求， 有：759，345，257，704，066，186，624，616，045，366，959，742，428， 故概率为． 故选：D． 7．（24-25高一下·广东广州·期末）（多选）下列说法正确的是（    ） A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B．数据的平均数为90，方差为3; 数据的平均数为85，方差为5，则的平均数为87，方差为10.2 C．已知数据的极差为6，方差为2，则数据 的极差和方差分别为12，9 D．数据 的上四分位数是24 【答案】ABD 【分析】对于A，通过样本估计总体，利用样本抽取的频率表示总体的概率即可；对于B，利用混合样本的均值、方差计算公式计算即得；对于C，结合极差的定义与方差的性质易得；对于D，利用百分位数的定义易得. 【详解】对于A，每个个体被抽到的概率为，故A正确； 对于B，依题意，的平均数为：， 方差为：，故B正确； 对于C，设数据中的最大值为，最小值为，方差为，则， 对于数据 ，其极差为 方差为，故C错误； 对于D，将数据按照从小到大顺序排列为：， 由，故这组数据的上四分位数为24，故D正确. 故选：ABD. 二、填空题 8．（24-25高一下·天津西青·期末）有如下说法： ①为了解西青区高中年级全体学生每天综合体育活动时间情况，现只抽取某校高一年级学生每天综合体育活动时间的情况作为样本，这样的抽样方式是合理的； ②为了治疗某种病毒，研制出一种新疫苗，希望知道新疫苗是否有效，为此进行动物实验.实验室的笼子里有100只小白鼠，现要从中抽取10只作实验用，将笼里的100只小白鼠按1～100编号，任意选出编号范围内的10个不重复数字，把相应编号的小白鼠作为实验用的小白鼠，以上抽样方法为简单随机抽样； ③若在一次实验中，事件A的发生的概率为，则重复做100次这样的试验，事件A恰好发生1次； ④在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道数据，只知道抽取了男生24人，其平均身高为；抽取女生26人，其平均身高为. 根据以上数据估计树人中学高一年级全体学生平均身高为. 其中结论正确的序号为______. 【答案】②④ 【分析】由抽样、简单随机抽样的概念、独立重复试验的概率公式、分层抽样的概念分别判断各说法． 【详解】①只抽取高一年级学生就不合理，同样只抽取一个学校的数据也不合理，因此不合理； ②根据简单随机抽样的概念，正确； ③事件A发生概率为，重复做100次试验，“事件A恰好发生1次” 的概率较大，但不是必然发生，只是一种可能结果，实际试验中，事件A发生次数是随机的，可能0次、1次、2次等 ，错误； ④由分随机抽样知平均身高约为，正确， 故答案为：②④ 9．（24-25高一下·广西南宁·期末）在用随机数（整数）模拟“有5个男生和5个女生，从中抽选4人，求选出2个男生2个女生的概率”时，可让计算机产生的随机整数，并且代表男生，用代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．通过模拟试验产生了10组随机数： 6830 4725 7056 6431 7840 4523 7834 2604 6346 0952 由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为______ 【答案】/ 【分析】根据数据统计选出2个男生2个女生的种数，再用古典概型概率公式求解． 【详解】由数据得“选出2个男生2个女生”的种数有：6830，4725，7840，7834，6346，0952共6个， 所以“选出2个男生2个女生”的概率为. 故答案为：． 三、解答题 10．（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问100名职工，根据这100名职工对该部门的评分，绘制如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组区间为，，…，，． (1)求图中a的值； (2)估计该企业100名职工对该部门评分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)从评分在的受访职工中，随机抽取3人，求其中有2人评分在的概率． 【答案】(1)0.006(2)76.2(3) 【分析】（1）根据频率直方图中频率之和为1求解； （2）根据频率直方图，结合题给中点值概念，求平均数； （3）先求出的人数，再求频率，最终求得概率. 【详解】（1）频率直方图中，所有组的频率和为1，组距为10，则： 解得： （2） （3）人数： 人数： 总体情况：从10人中抽3人， 符合条件：2人评分在，1人评分在，即 11．（24-25高一下·湖南·期末）某校为了解高二段学生每天数学学习时长的分布情况，随机抽取100名高二学生进行调查，得到了这100名学生的日平均数学学习时长(单位: 分钟)， 并将样本数据分成 ，，，，，六组， 绘制如图所示的频率分布直方图. (1)若该校高二段有800名学生，估计该段日平均数学学习时长不低于80分钟的学生有多少名? (2)估计该100名学生的日平均数学学习时长的平均数和第75百分位数. 【答案】(1) (2)该名学生的日平均数学学习时长的平均数为，第百分位数为 【分析】（1）结合频率分布直方图，由频率计算概率，再计算人数即可； （2）利用频率分布直方图的平均数的计算公式可得平均数；先确定第百分位数在内，然后列式计算. 【详解】（1）由题意知不低于分钟的频率为， 所以该段日平均数学学习时长不低于分钟的学生有． （2），可知名学生的日平均数学学习时长的平均数约为． ， ， 所以第百分位数在内， 设第百分位数为，则有，解得， 所以该名学生的日平均数学学习时长的平均数为，第百分位数为． 12．（24-25高一下·吉林长春·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.长春市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均不低于40分）分成六段：，，……，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)试估计样本成绩的平均数和上四分位数： (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 【答案】(1) (2)平均数为74，上四分位数为84； (3)平均数，方差. 【分析】（1）由频率之和为1得到关于的方程，解出即可. （2）由中间数为代表求出平均数，由频率分布直方图求上四分位数（即第25百分位数）的计算公式即可求解； （3）利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解. 【详解】（1）由所有小矩形面积之和为1得，，解得 （2）平均数为 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 落在内的频率为， 落在内的频率为， 设上四分位数为m，由，得，故上四分位数为84. （3）由题，成绩在有人， 成绩在有人 则这两组成绩的总平均数为， 由样本方差计算总体方差公式可得总方差为： . 13．（24-25高一下·贵州安顺·期末）“文明进步是城市永恒的追求，创建文明城市是城市更新发展、人民幸福感不断提升的过程，也是安顺实现高质量发展的需要．”安顺市积极开展“创建文明城市”工作，为了解市民对“创建文明城市”各项工作的满意程度，某社区组织市民问卷调查给各项工作打分（分数为正整数，满分100分），按照市民的打分从高到低划定A，B，C，D，E共五个层次，A表示非常满意，分数区间是；B表示比较满意，分数区间是；C表示满意，分数区间是；D表示不满意，分数区间是；E表示非常不满意，分数区间是.现从社区的市民中随机抽取1000名市民进行问卷调查，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中a的值，并根据频率分布直方图，估计该市市民打分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若80%的市民达到C（即满意）及以上，则“创建文明城市”工作有效，否则工作就需要调整．用本次样本的频率分布直方图估计总体，试判断该市“创建文明城市”工作是否需要调整； (3)市民参加问卷调查时会有一定的顾虑，该社区为了调查本社区市民对“创建文明城市”工作满意度的最真实情况，对本社区市民进行了调查，调查中问了两个问题： ①你的手机尾号是不是奇数？（假设手机尾号为奇数的概率为） ②你是否满意安顺市“创建文明城市”工作？ 调查者设计了一个随机化的装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的50个白球和50个红球，每个被调查者随机从装置中摸一个球（摸出的球再放回装置中），摸到白球的市民如实回答第一个问题，摸到红球的市民如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不做．由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．已知该社区1000名市民参加了调查，且有660名市民回答了“是”，请由此估计该社区市民对“创建文明城市”工作满意的百分比． 【答案】(1)，71； (2)不需要调整，理由见解析； (3)82% 【分析】（1）根据频率之和为1得到方程，求出，并根据平均数的定义进行求解； （2）计算出区间内的频率，和0.8比较后得到结论； （3）约有500人回答了第一个问题，这500人中约有250人回答了“是”，从而求出约有410人在第二个问题中回答了“是”，第二个问题被问到的人数也约为500，从而得到答案. 【详解】（1）由题意得， 解得， ， 估计该市市民打分的平均数为71； （2）该市“创建文明城市”工作不需要调整，理由如下： 区间内的频率为 ， 所以该市“创建文明城市”工作不需要调整； （3）两个问题被问的概率相等，故约有500人回答了第一个问题， 由于手机尾号是奇数和偶数的概率相等，故这500人中约有250人回答了“是”， 所以约有人在第二个问题中回答了“是”， 第二个问题被问到的人数也约为500， 故估计该社区市民对“创建文明城市”工作满意的百分比为=82%. 14．（24-25高一下·河北秦皇岛·期末）不透明的袋子中装有红球、绿球、黄球各1个，黑球m个，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子中有放回地随机取出1个球，且每次黑球被取出的概率为. (1)求m的值； (2)若进行两次取球，求这两次取出的球的颜色不同的概率； (3)若进行三次取球，求取出的球至少有两种不同的颜色，且有黑球被取出的概率. 【答案】(1)2； (2)； (3). 【分析】（1）应用频率估计概率列方程求参数值； （2）（3）应用独立乘法公式、互斥事件加法求概率； 【详解】（1）由题可知，，解得. （2）若第一次取出的是红球，则这两次取出的球的颜色不同的概率， 若第一次取出的是绿球，则这两次取出的球的颜色不同的概率， 若第一次取出的是黄球，则这两次取出的球的颜色不同的概率， 若第一次取出的是黑球，则这两次取出的球的颜色不同的概率， 故这两次取出的球的颜色不同的概率为. （3）若黑球被取出两次，则取出的球至少有两种不同的颜色的概率， 若黑球被取出一次，取出的球至少有两种不同的颜色的概率， 故取出的球至少有两种不同的颜色，且有黑球被取出的概率为. 15．（24-25高一上·河南南阳·期末）近些年来，我国外卖业发展迅猛，外卖骑手穿梭在城市的大街小巷，成为一道亮丽的风景线.某课外实践小组随机调查了该市的10名外卖骑手，统计他们的日单量（平均每天送的外卖单数），数据如下表： 31 37 38 32 33 42 24 20 37 26 (1)估计该市的外卖骑手日单量大于30的概率； (2)求这10名外卖骑手日单量的平均数和方差； (3)若表中第一行数据对应的外卖骑手来自甲公司，第二行数据对应的外卖骑手来自乙公司，试判断：哪家公司的外卖骑手日单量的差异更大?（直接给出结论即可，不需要写计算过程） 【答案】(1)(2)平均数32，方差43.2(3)乙公司的外卖骑手日单量的差异更大，理由见解析 【分析】（1）计算出频率为，从而估计出概率为； （2）利用平均数和方差的计算公式进行求解即可； （3）计算出两公司的外卖骑手日单量的极差，得到答案. 【详解】（1）10名外卖骑手中有7人的日单量大于30，频率为， 因此估计该市的外卖骑手日单量大于30的概率为. （2）平均数为. 方差为. （3）乙公司的外卖骑手日单量的差异更大，理由如下： 甲公司的外卖骑手日单量的极差为， 乙公司的外卖骑手日单量的极差为， 由于，故乙公司的外卖骑手日单量的差异更大. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 概率 3大高频考点概览 考点01随机事件与概率 考点02事件的相互独立性 考点03频率与概率 ( 地 城 考点01 随机事件与概率 ) 一、选择题 1．（24-25高一下·江苏无锡·期末）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东深圳·期末）已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广西百色·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A=“点数不大于3”，B=“点数大于4”，C=“点数为奇数”，D=“点数为偶数”，下列结论正确的是（    ） A．B，C为对立事件 B．A，C为互斥事件 C．C，D为对立事件 D．A，D为互斥事件 4．（24-25高一下·福建福州·期末）某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为．按学生所在年级进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取5名学生去敬老院献爱心．从这5人中随机抽取2人作为负责人，则2名负责人至少有一名来自高二年级的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·福建福州·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·安徽合肥·期末）从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·吉林·期末）某中学为了解学生课外阅读的情况，随机抽取了该校部分学生，对他们每周的课外阅读时间（单位：小时）进行调查，统计数据如下表所示： 阅读时间 [8,10] 学生人数 6 9 15 12 8 则从该校随机抽取1名学生，估计其每周的课外阅读时间少于4小时的概率为（    ） A．0.3 B．0.2 C．0.4 D．0.5 8．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·江苏南京·期末）（多选）下列说法正确的是（   ） A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1； B．已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5； C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； D．若样本数据，，，的标准差为8，则数据，，，的标准差为32. 10．（24-25高一下·安徽宣城·期末）（多选）先后抛掷质地均匀的硬币两次，下列说法正确的是（    ） A．样本空间中一共含有4个样本点 B．事件“两次正面向上”发生的概率是 C．事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”是互斥事件 D．事件“至少一次正面向上”与事件“两次反面向上”是对立事件 11．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒·期末）（多选）从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都是白球”互斥而非对立的事件是以下事件中的哪几个（    ） A．事件“两球都不是白球” B．事件“两球恰有一白球” C．事件“两球至少有一个白球” D．事件“两球不都是白球” 二、填空题 12．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，，，则_______. 13．（24-25高一下·黑龙江·期末）甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为__________. 三、解答题 14．（24-25高一下·江苏无锡·期末）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为，，，，，）． (1)求选取的市民年龄在内的人数及a的值； (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； (3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 15．（24-25高一下·广西柳州·期末）某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机后去了200名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求图中的值； (2)若样本数据在的平均成绩，方差，在的平均成绩，方差，求在的平均成绩和方差； (3)现学校准备利用按比例的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团.从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件为“至少有1人测试成绩位于区间”，求事件发生的概率. ( 地 城 考点02 事件的相互独立性 ) 一、选择题 1．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）如图，已知电路中4个开关每个断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河北唐山·期末）唐山河头老街景区近期持续火爆出圈．甲、乙2人暑假来此地旅游的概率分别为，，假定2人的行动相互没有影响，则暑假至少有1人来此地旅游的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·吉林·期末）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，则（    ）． A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 4．（24-25高一下·吉林长春·期末）有4张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为5”，则（   ） A． B．与为互斥事件 C．与为相互独立事件 D．与为对立事件 5．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·甘肃白银·期末）现有甲、乙两个盒子，甲盒装有2个白球、3个黑球，乙盒装有3个白球、4个黑球，从甲、乙两盒各拿出1个球，则这2个球颜色不同的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·山西吕梁·期末）（多选）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚硬币反面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．A与B互斥 D．A与B相互独立 8．（24-25高一下·安徽六安·期末）（多选）已知是一个随机试验中的三个事件，则下列结论一定正确的是（    ） A．若事件两两互斥，则 B．若事件相互独立，则与也相互独立 C．若，，则事件相互独立与互斥能同时成立 D．若两两独立，则 9．（24-25高一下·广西柳州·期末）（多选）有6个相同的球，分别编号1、2、3、4、5、6，从中先不放回的随机取两次，再将球全部放回随机取一次，以上每次抽取一个小球，记事件A：第一次取球编号数字小于3；B：第二次取球编号数字为偶数；C：第三次取球编号为6；D：前两次取球编号数字和为7；E：第一、三次取球编号数字至少有一个1.则下列说法正确的是（  ） A． B．事件A与事件C相互独立 C．事件A与事件E相互独立 D．事件A与事件B相互独立 10．（24-25高一下·安徽合肥·期末）（多选）一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（    ） A． B．事件与互斥 C．两两独立 D． 二、填空题 11．（24-25高一下·江苏无锡·期末）设随机事件、相互独立，且，，则______． 12．（24-25高一下·安徽合肥·期末）甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，如果出现平的情况，先多得2分者为胜方．在平后，双方实行轮换发球，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局的概率为_________． 13．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）甲、乙二人进行一场游戏比赛，且比赛中不存在平局，先赢三局者获胜，并可以获得800元奖金．已知甲、乙二人在每局比赛中获胜的可能性均相同．已知当甲连赢两局，乙一局未赢时，因某种特殊情况需要终止比赛．现将800元奖金按两人各自最终获胜的可能性的比例进行分配，则甲应该分得__________元． 三、解答题 14．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在南宋时期.开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜.因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎.在一次猜灯谜活动中，共有30道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了10道，丙同学猜对了道.假设对每位同学而言，他们猜对每道灯谜的可能性都相等. (1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； (2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值. 15．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek．小明、小华两位同学报名参加某公司拟开展的DeepSeek培训，培训前需要面试，面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为，且小明、小华两人每道题能否答对相互独立．记“小明只回答2道题就结束面试”为事件，记“小华3道题都回答且通过面试”为事件． (1)求事件发生的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． ( 地 城 考点0 3 频率与概率 ) 一、选择题 1．（24-25高一下·甘肃·期末）下列说法中正确的是（    ） A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B．在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有确定性 C．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 D．随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率 2．（24-25高一下·河南漯河·期末）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1～5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示天下雨，利用计算产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245．则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·贵州黔南·期末）某校在校园科技节期间举办了“智能机器人挑战赛”，为了解高一年级500名学生观看比赛的情况，该校学生会用随机抽样的方式抽取了一个容量为100的样本进行调查，并将数据整理后，列表如下： 观看比赛场数 0 1 2 3 4 5 6 7 观看人数所占百分比 7% 18% 15% m% 10% 14% 15% 5% 从表中可以得出正确的结论为（   ） A．估计观看比赛场数的极差为6 B．估计观看比赛场数的众数为2 C．估计观看比赛不低于4场的学生约为200人 D．估计观看比赛不超过2场的学生概率为 4．（24-25高一下·天津河西·期末）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球，4个白球，若干个黑球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.4，则袋中约有黑球（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 5．（24-25高一下·新疆巴音郭楞·期末）在一次抛掷硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频数为48，则“反面朝上”的频率为（    ） A．48 B．0.48 C．52 D．0.52 6．（24-25高一下·河南·月考）为加强学生身体健康，某校对学生进行了体能测试．已知同学甲在立定跳远项目中每次及格的概率均为0.6，现采用随机模拟的方法估计甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率：先由计算器产生0到9范围内的整数随机数，指定0，1，2，3表示没有及格，4，5，6，7，8，9表示及格，再以每3个随机数为一组，代表3次立定跳远的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 759   421   113   215   345   257   704   066   186   203 037   624   616   045   601   366   959   742   710   428 据随机模拟试验估计，甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·广东广州·期末）（多选）下列说法正确的是（    ） A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B．数据的平均数为90，方差为3; 数据的平均数为85，方差为5，则的平均数为87，方差为10.2 C．已知数据的极差为6，方差为2，则数据 的极差和方差分别为12，9 D．数据 的上四分位数是24 二、填空题 8．（24-25高一下·天津西青·期末）有如下说法： ①为了解西青区高中年级全体学生每天综合体育活动时间情况，现只抽取某校高一年级学生每天综合体育活动时间的情况作为样本，这样的抽样方式是合理的； ②为了治疗某种病毒，研制出一种新疫苗，希望知道新疫苗是否有效，为此进行动物实验.实验室的笼子里有100只小白鼠，现要从中抽取10只作实验用，将笼里的100只小白鼠按1～100编号，任意选出编号范围内的10个不重复数字，把相应编号的小白鼠作为实验用的小白鼠，以上抽样方法为简单随机抽样； ③若在一次实验中，事件A的发生的概率为，则重复做100次这样的试验，事件A恰好发生1次； ④在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道数据，只知道抽取了男生24人，其平均身高为；抽取女生26人，其平均身高为. 根据以上数据估计树人中学高一年级全体学生平均身高为. 其中结论正确的序号为______. 9．（24-25高一下·广西南宁·期末）在用随机数（整数）模拟“有5个男生和5个女生，从中抽选4人，求选出2个男生2个女生的概率”时，可让计算机产生的随机整数，并且代表男生，用代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．通过模拟试验产生了10组随机数： 6830 4725 7056 6431 7840 4523 7834 2604 6346 0952 由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为______ 三、解答题 10．（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问100名职工，根据这100名职工对该部门的评分，绘制如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组区间为，，…，，． (1)求图中a的值； (2)估计该企业100名职工对该部门评分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)从评分在的受访职工中，随机抽取3人，求其中有2人评分在的概率． 11．（24-25高一下·湖南·期末）某校为了解高二段学生每天数学学习时长的分布情况，随机抽取100名高二学生进行调查，得到了这100名学生的日平均数学学习时长(单位: 分钟)， 并将样本数据分成 ，，，，，六组， 绘制如图所示的频率分布直方图. (1)若该校高二段有800名学生，估计该段日平均数学学习时长不低于80分钟的学生有多少名? (2)估计该100名学生的日平均数学学习时长的平均数和第75百分位数. 12．（24-25高一下·吉林长春·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.长春市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均不低于40分）分成六段：，，……，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)试估计样本成绩的平均数和上四分位数： (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 13．（24-25高一下·贵州安顺·期末）“文明进步是城市永恒的追求，创建文明城市是城市更新发展、人民幸福感不断提升的过程，也是安顺实现高质量发展的需要．”安顺市积极开展“创建文明城市”工作，为了解市民对“创建文明城市”各项工作的满意程度，某社区组织市民问卷调查给各项工作打分（分数为正整数，满分100分），按照市民的打分从高到低划定A，B，C，D，E共五个层次，A表示非常满意，分数区间是；B表示比较满意，分数区间是；C表示满意，分数区间是；D表示不满意，分数区间是；E表示非常不满意，分数区间是.现从社区的市民中随机抽取1000名市民进行问卷调查，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中a的值，并根据频率分布直方图，估计该市市民打分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若80%的市民达到C（即满意）及以上，则“创建文明城市”工作有效，否则工作就需要调整．用本次样本的频率分布直方图估计总体，试判断该市“创建文明城市”工作是否需要调整； (3)市民参加问卷调查时会有一定的顾虑，该社区为了调查本社区市民对“创建文明城市”工作满意度的最真实情况，对本社区市民进行了调查，调查中问了两个问题： ①你的手机尾号是不是奇数？（假设手机尾号为奇数的概率为） ②你是否满意安顺市“创建文明城市”工作？ 调查者设计了一个随机化的装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的50个白球和50个红球，每个被调查者随机从装置中摸一个球（摸出的球再放回装置中），摸到白球的市民如实回答第一个问题，摸到红球的市民如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不做．由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．已知该社区1000名市民参加了调查，且有660名市民回答了“是”，请由此估计该社区市民对“创建文明城市”工作满意的百分比． 14．（24-25高一下·河北秦皇岛·期末）不透明的袋子中装有红球、绿球、黄球各1个，黑球m个，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子中有放回地随机取出1个球，且每次黑球被取出的概率为. (1)求m的值； (2)若进行两次取球，求这两次取出的球的颜色不同的概率； (3)若进行三次取球，求取出的球至少有两种不同的颜色，且有黑球被取出的概率. 15．（24-25高一上·河南南阳·期末）近些年来，我国外卖业发展迅猛，外卖骑手穿梭在城市的大街小巷，成为一道亮丽的风景线.某课外实践小组随机调查了该市的10名外卖骑手，统计他们的日单量（平均每天送的外卖单数），数据如下表： 31 37 38 32 33 42 24 20 37 26 (1)估计该市的外卖骑手日单量大于30的概率； (2)求这10名外卖骑手日单量的平均数和方差； (3)若表中第一行数据对应的外卖骑手来自甲公司，第二行数据对应的外卖骑手来自乙公司，试判断：哪家公司的外卖骑手日单量的差异更大?（直接给出结论即可，不需要写计算过程） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $