重难点01 有关球考点全方位汇总（高效培优期末专项训练）数学人教A版高一必修第二册

**基本信息** 聚焦球的6大高频考点，通过分层题型构建从基础计算到综合应用的知识网络，渗透空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |球的体积计算|10题|结合圆台、正方体等几何体体积比及折叠问题|从体积公式到多面体外接球体积推导| |球的表面积计算|10题|涉及外接球、内切球及组合体表面积|表面积公式与空间几何体外接球半径关联| |球的截面性质|10题|球面与几何体表面交线长度及截面面积|截面圆性质与空间距离计算结合| |球面距离|10题|经纬度实际应用及外接球上两点距离|球面距离定义与大圆劣弧计算| |位置关系|10题|直线/平面与球相切及球的堆叠问题|位置关系判定与空间几何量计算| |多面体与球|10题|阿基米德多面体、圆锥等内外切问题|多面体与球的几何关系转化及模型构建|

重难点01 有关球考点全方位汇总 6大高频考点概览 考点01球的体积有关计算 考点02球的表面积有关计算 考点03球的截面的性质及计算 考点04球面距离 考点05直线与球、平面与球的位置关系 考点06多面体与球体内切外接问题 ( 地 城 考点01 球的体积有关计算 ) 1．一个高为，上、下底面半径分别是1cm和4cm的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则当该铁球体积最大时，该铁球的体积与圆台的体积的比值为（   ） A． B． C． D． 2．北京中学勇岳楼前的“北中鼎”顶部镶嵌着一颗金色的球形装饰，寓意“文化汇聚、培育人才”数学社团的同学测量了它的体积，约为288π立方分米，则该球形装饰的表面积约为（    ） A．108π平方分米 B．144π平方分米 C．180π平方分米 D．216π平方分米 3．在矩形中，，，沿矩形对角线将折起得到四面体，则四面体的外接球体积为（     ） A． B． C． D． 4．已知圆柱的底面直径和高都等于球的半径，则圆柱与球的体积之比为（   ） A． B． C． D． 5．已知正方体的顶点都在球O的表面上，则三棱锥与球O的体积之比为（   ） A． B． C． D． 6．三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 7．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则该多面体外接球的体积为_______. 8．（多选）已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的侧面积为 B．圆锥的体积为 C．圆锥的外接球的表面积为 D．圆锥的内切球的体积为 9．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6，则球的体积为（   ）    A． B． C． D． 10．冰激凌一直被众多青少年视为夏日解暑神器，图中冰激凌可近似地看作圆锥和半球的组合体若半球部分的体积为，圆锥部分的侧面展开图是半圆形，且用塑料外壳将该冰激凌密封固定，则所用塑料的面积至少为（    ） A． B． C． D． ( 地 城 考点02 球的表面积有关计算 ) 11．已知圆台的母线与底面所成角为，为下底面圆的一条直径，，设为上底面圆上的一点，若，则圆台外接球的表面积为________________. 12．在三棱锥中，，均为等边三角形，，，则该三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 13．在三棱锥中,,,,则三棱锥的外接球的表面积为（） A．28π B．27π C．19π D．29π 14．如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的体积为，则5个球的表面积之和为（   ） A． B． C． D． 15．如图，半球O的半径为，从中挖去一内接圆柱，圆柱一个底面在半球面上，且轴截面为正方形，则剩余的几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 16．已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的外接球表面积为__________． 17．一气球（近似看成球体）在不变形的前提下放在由长为a的12根木条搭成的正方体中，该气球表面积的最大值是______． 18．（多选）已知正四面体的棱长为，则下列说法正确的是（    ） A．正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 B．正四面体的外接球的表面积为 C．设为正四面体的中心，若球的球面与正四面体的棱有公共点，则球的半径的取值范围是 D．若是的中点，动点在内（包括边界），则的最小值是 19．在三棱锥中，底面为正三角形，平面，若四点都在球的表面上，则球的表面积为______． 20．已知三棱锥的顶点均在球的球面上，若，则球的表面积为_____． ( 地 城 考点0 3 球的截面的性质及计算 ) 21．已知正方体的棱长为，以顶点为球心，2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长为（   ） A． B． C． D． 22．已知半径为2的球与圆柱的上、下底面及侧面均相切．现从该圆柱中挖去球，得到一个空心几何体，用平行于圆柱下底面的平面去截，当与圆柱下底面的距离为1时，得到的截面面积为（   ） A． B． C． D． 23．已知三棱锥中，棱，，两两垂直，且长度都为．以为球心，4为半径的球与三棱锥的表面相交所得到的曲线长度为（    ） A． B． C． D． 24．已知棱长为4的正四面体的各顶点均在球的球面上，为的中点，动点在球的球面上运动，且．记在平面上的射影为，则的轨迹长度为___________，的轨迹所围成的区域面积为___________． 25．已知圆台的下底面半径是上底面半径的2倍，母线长为6，若一个球与该圆台的上下底面和侧面均相切，则球与圆台的侧面切点所形成的曲线的长为________． 26．（多选）已知棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（    ） A．正方体的外接球半径为 B．四点共面 C．直线与所成角的余弦值为 D．过直线的平面截正方体的外接球所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为 27．明代墩式碗是永乐宣德年间青花瓷器的典范．如图所示的明代墩式碗，其内壁可以近似看作一个半径为的半球面．现将碗平放于水平桌面上，在碗中注入少量水，静止时水面的面积为，若将碗缓慢倾斜，使得水可以从碗口倒出，则至少需要将碗倾斜的角度为（   ） A． B． C． D． 28．某圆柱的轴截面是面积为12的正方形，为圆柱底面圆弧的中点，在圆柱内放置一个球，则当球的体积最大时，过的面截球的截面圆周长为（   ） A． B． C． D． 29．在四面体中，两两垂直，，以为球心，为半径的球与四面体各面交线的长度和为___________． 30．如图，长方体的长、宽、高分别，且分别为上底面、下底面（含边界）内的动点，当最小时，以为球心，的长为半径的球面与上底面的交线长为（    ） A． B． C． D． ( 地 城 考点0 4 球面距离 ) 31．若地球半径为，地面上两点A、B的纬度均为北纬45°，又A、B两点的球面距离为，则A、B两点的经度差为_______． 32．设地球是半径为的球，地球上两地都在北纬的纬线上，在东经、在东经的经线上，则从沿球面向正东前进（    ）到地 A． B． C． D． 33．球面距离在地理学、导航系统、信息技术等多个领域有着广泛应用．球面距离的定义：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）．四面体的外接球直径为，且，，则A、B两点在外接球上的球面距离为（    ） A． B． C． D． 34．如图，设地球的半径为，两地的纬度均为，经度差为，飞机从地沿大圆（经过球心的平面截球面所得的圆弧）飞行到地的弧长为（飞机的飞行高度忽略不计），则（    ） A． B． C． D． 35．已知，，，是半径为15的球的球面上四点，，，则三棱锥体积的最大值为（   ） A．384 B．1152 C． D． 36．如图为半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA，OB，OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC中点，则点E、F在该球面上的球面距离为________．    37．如图所示，某甜品店将上半部是半球（半球的半径为2），下半部是倒立的圆锥（圆锥的高为4）的冰淇淋模型放到橱窗内展览，托盘是边长为6的等边三角形ABC金属片沿三边中点D，E，F的连线向上折叠成直二面角而成，则半球面上的最高点到平面DEF的距离为______． 38．（多选）将一个直径为8cm的铁球磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是（    ） A．底面直径为8cm，高为6cm的圆柱体 B．底面直径为6cm，高为4cm的圆锥体 C．底面边长为4cm，高为6cm的正四棱柱 D．棱长为6cm的正四面体 39．波兰数学大师史坦因豪斯编著的《一百个数学问题》中的第46个问题是球的堆垒问题：有无数个完全相同的球，取3个使它们两两相切放置，然后放上第4个球，使其与前3个球都相切，这样形成4个凹穴，在每个凹穴再放上一个球，则一共放了8个球，它们形成多少个凹穴？这个过程可以一直继续下去吗？若我们只考虑前8个球，设球的半径为1，其中两个球的球心之间的距离为d，则d的取值集合为（    ） A． B． C． D． 40．球面上两点间距离的定义为：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）．设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于北纬西经，则甲、乙两地的球面距离为（    ） A． B． C． D． ( 地 城 考点0 5 直线与球、平面与球的位置关系 ) 41．已知正三棱柱的棱长均为2，M为棱上靠近C的四等分点，以M为球心，2为半径的球面与该三棱柱棱的公共点的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 42．在棱长为8的正方体空盒内，有4个半径为的小球在盒底四角，分别与正方体底面处交于某一顶点的3个面相切，另有一个半径为的大球放在4个小球之上，与4个小球相切，并与正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，5个球相切不松动，设小球半径的最大值为，大球半径的最小值为，则（    ） A．2 B．1 C． D．5 43．（多选）在棱长为3的正四面体中，已知点分别在线段上运动（不含端点），则（    ） A．两点距离的最小值为 B．直线与直线有可能平行 C．当最小时，以线段为直径的球与正四面体的棱恰有6个公共点 D．当最小时，与垂直的平面截正四面体得到的截面为矩形 44．棱长为2的正四面体的表面上有动点，满足，则点的轨迹总长度为（   ） A． B． C． D． 45．已知圆锥的侧面积是，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球半径为（    ） A． B． C． D． 46．北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统．已知卫星运行轨道近似为以地球为圆心的圆形，运行周期与轨道半径之间关系为（K为常数）．已知甲、乙两颗卫星的运行轨道所在平面互相垂直，甲的周期是乙的8倍，且甲的运行轨道半径为，分别是甲、乙两颗卫星的运行轨道上的动点，则之间距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 47．若平面α，β截球O所得截面圆的面积分别为，，且球心O到平面α的距离为3，则球心O到平面β的距离为（    ） A． B．2 C． D．4 48．直观想象是数学六大核心素养之一，某位教师为了培养学生的直观想象能力，在课堂上提出了这样一个问题：现有10个直径为4的小球，全部放进棱长为a的正四面体盒子中，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 49．已知是半径为1的球面上的三点，若，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 50．直三棱柱的底面ABC是等腰直角三角形，．若以点C为球心，r（）为半径的球与侧面的交线长为，且所对的弦长为r，则球C与三棱柱的交线长为_________． ( 地 城 考点0 6 多面体与球体内切外接问题 ) 51．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到的十四面体，且它所有的棱长都为2.则下列结论中，错误的是（    ） A．该石凳的表面积为 B．该石凳的体积为 C．有内切球，且内切球的体积为 D．有外接球，且外接球的表面积为 52．正三棱锥中，，侧棱，则三棱锥的外接球体积为______． 53．已知圆台的母线与底面所成的角为，其内切球的体积为，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 54．已知三棱锥中三组相对的棱长分别相等，长度分别为，，，其中，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为________. 55．（多选）如图一，有一个半径为8的半圆形铁片（铁片厚度忽略不计），将其裁剪成如图二的形状并制成一个带底的封闭圆锥桶（如图三，连接处损耗不计），在该圆锥桶内放入一个注满水的半径为r的小球，下列说法正确的是（   ） A．所制成的圆锥桶的体积为 B．当球内水的体积最大时 C．将球内的水从圆锥顶点倒回圆锥桶内，水面高度一定小于 D．当时，让小球在该圆锥桶内自由运动，则小球能接触到圆锥桶内部的最大面积为 56．在长方体中，，，则长方体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 57．已知正四棱锥外接球的表面积为，则正四棱锥的体积为（    ） A．12 B．24 C．48 D．56 58．已知圆台的上、下底面圆半径分别为2，，高为3，若该圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 59．如图，圆台的上、下底面半径分别为，且，半径为的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（        ） A． B． C． D． 60．（多选）如图，为圆锥底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的表面积为 B．圆锥的外接球体积是 C．圆锥的内切球半径为 D．若，E为线段上的动点，则的最小值为 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点01 有关球考点全方位汇总 6大高频考点概览 考点01球的体积有关计算 考点02球的表面积有关计算 考点03球的截面的性质及计算 考点04球面距离 考点05直线与球、平面与球的位置关系 考点06多面体与球体内切外接问题 ( 地 城 考点01 球的体积有关计算 ) 1．一个高为，上、下底面半径分别是1cm和4cm的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则当该铁球体积最大时，该铁球的体积与圆台的体积的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出圆台轴截面，分析可知当球与相切时，其体积最大，再计算出球的体积和圆台的体积即可得比值. 【详解】如图，作出圆台的轴截面，可知当球与相切时体积最大， 由切线性质可得，作，垂足分别为， 可知，所以，又， 所以，则， 设球的半径也即圆的半径为，由 可得，解得，因为， 所以该球是存在的，此时球的体积为， 圆台的体积为，所求比值为. 2．北京中学勇岳楼前的“北中鼎”顶部镶嵌着一颗金色的球形装饰，寓意“文化汇聚、培育人才”数学社团的同学测量了它的体积，约为288π立方分米，则该球形装饰的表面积约为（    ） A．108π平方分米 B．144π平方分米 C．180π平方分米 D．216π平方分米 【答案】B 【分析】先利用体积公式求球的半径，再利用半径计算表面积即可. 【详解】因为，所以， 所以，即 所以 3．在矩形中，，，沿矩形对角线将折起得到四面体，则四面体的外接球体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用矩形折叠后两个直角三角形共斜边的性质，确定外接球球心为BD中点，计算半径后代入球体积公式求解. 【详解】因为四边形为矩形，故，沿折起得到后，， 因此与均为斜边为的直角三角形. 设中点为，可得， 即为四面体的外接球球心，外接球半径. 所以，故， 所以外接球体积. 4．已知圆柱的底面直径和高都等于球的半径，则圆柱与球的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设球的半径为，则球的体积， 又圆柱的底面直径和高都等于球的半径，所以圆柱的体积， 所以圆柱与球的体积之比为． 5．已知正方体的顶点都在球O的表面上，则三棱锥与球O的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先明确正方体的体对角线是外接球的直径，通过设正方体的棱长，分别表示出三棱锥与球O的体积，进而求出它们的体积之比. 【详解】设正方体的棱长为a，则正方体的体积为， 三棱锥是正四面体，棱长为， 三棱锥的体积等于正方体的体积减去四个全等的三棱锥的体积，这四个全等的三棱锥是正方体被截去的四个角上的小三棱锥， 每个三棱锥的体积为， 所以三棱锥的体积为：. 因为正方体的顶点都在球O的表面上，所以正方体的体对角线是球O的直径（为球O的半径）， 正方体的体对角线为，则球O的半径， 所以球O的体积为：， 则三棱锥与球O的体积之比为. 6．三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助补形法可将原三棱锥补形为长方体，再求出该长方体体对角线长即可得外接球半径，最后利用体积公式计算即可得解. 【详解】如图，由题意可知，可将三棱锥补形为长、宽、高分别为的长方体， 且三棱锥的外接球与长方体的外接球为同一个球， 又该长方体的外接球半径为， 则球的体积是. 7．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则该多面体外接球的体积为_______. 【答案】/ 【分析】将该多面体补全为正方体，得出该多面体的外接球即为正方体的棱切球，求出该正方体的棱长得出棱切球半径，计算得到体积. 【详解】将“阿基米德多面体”补全为正方体，如下图所示： 不妨取两棱中点为，由题知，所以， 该多面体的外接球即为正方体的棱切球， 所以棱切球的直径为该正方体的面对角线，长度为2， 因此该多面体的外接球的半径为1，所以其体积. 8．（多选）已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的侧面积为 B．圆锥的体积为 C．圆锥的外接球的表面积为 D．圆锥的内切球的体积为 【答案】AC 【分析】对于选项，求出圆锥的母线长和高，即可求出侧面积和体积；对于选项，求出外接球半径，即可得出外接球体积；对于选项，求出内切球半径，即可得出内切球表面积． 【详解】设圆锥的底面半径，母线长为， 则侧面展开图半圆的弧长等于圆锥底面周长，即，解得， 圆锥的高， 选项A：圆锥侧面积，故A正确； 选项B：圆锥体积，故B错误； 选项C：设外接球的半径为，球心在圆锥的高上， 由勾股定理得，，即，解得， 圆锥的外接球的表面积，故C正确； 选项D：设内切球半径为，圆锥轴截面为边长为2的等边三角形， 则，解得， 内切球的体积为，故D错误． 9．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6，则球的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用球的截面性质结合直角三角形求解即可. 【详解】    设正方体上底面所在平面截球得小圆，则圆心为正方体上底面的中心， 如图，设球的半径为，根据题意得球心到上底面的距离等于，而圆的半径为4， 由球的截面圆性质，得，解出，该球的体积为. 10．冰激凌一直被众多青少年视为夏日解暑神器，图中冰激凌可近似地看作圆锥和半球的组合体若半球部分的体积为，圆锥部分的侧面展开图是半圆形，且用塑料外壳将该冰激凌密封固定，则所用塑料的面积至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设半球半径为，圆锥母线长为，由 ，得， 又 ，故， 所以所用塑料的面积至少为 ( 地 城 考点02 球的表面积有关计算 ) 11．已知圆台的母线与底面所成角为，为下底面圆的一条直径，，设为上底面圆上的一点，若，则圆台外接球的表面积为________________. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用圆台的几何特征结合坐标运算求出圆台的高和上底面圆半径，进而确定圆台外接球的球心和半径即可求解. 【详解】以下底面圆心为坐标原点，如图建立空间直角坐标系： 则，， 设圆台高为，上底面圆半径为，，且， 则， 因为，， 所以，即， 因为圆台的母线与底面所成角为，所以， 则，解得，所以，， 设外接球球心为，球半径为，则， 即，解得，所以， 圆台外接球的表面积为. 12．在三棱锥中，，均为等边三角形，，，则该三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，，可得，分别取与的外心，，过点，分别作两平面的垂线，两垂线交于点，则点为三棱锥外接球的球心，利用勾股定理求得三棱锥外接球的半径，得解. 【详解】如图，取的中点，连接，， 因为、所以，， 所以，又，所以. 分别取与的外心，，易知点，分别在，上， 过点，分别作两平面的垂线，两垂线交于点，则点为三棱锥外接球的球心. 由已知可得，，连接，易得， 所以，则，则， 所以在中，，即三棱锥外接球的半径为， 所以该三棱锥外接球的表面积为. 13．在三棱锥中,,,,则三棱锥的外接球的表面积为（） A．28π B．27π C．19π D．29π 【答案】D 【详解】如图,根据题意补全为长方体，三个长度为三个对面的对角线的长，设长、宽、高分别为, 则，所以， 所以，所以三棱锥的外接球的表面积为. 14．如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的体积为，则5个球的表面积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、小内切于正四面体的高，求出对应的球半径及表面积即可. 【详解】如图所示，在正四面体中，设棱长为，高为， 为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形 的中心，延长线交于， 连接，则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，，，， 由正四面体的体积为，得 ，解得 ， 正四面体的高，内切球半径满足，代入： ，则. 正四面体顶点到大球球心的距离为， 顶点到小球球心（小球和三个面切，满足顶点到小球球心距离为），两球外切，球心距为， 因此：，整理得，得. 由总表面积为大球表面积加4个小球表面积可得： . 15．如图，半球O的半径为，从中挖去一内接圆柱，圆柱一个底面在半球面上，且轴截面为正方形，则剩余的几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合球和圆柱的表面积公式求解. 【详解】如图，作半球O的轴截面，记半球半径为R，圆柱半径为r 由题意，圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的高为2r，则有，故 所以剩余几何体的表面积为. 16．已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的外接球表面积为__________． 【答案】/ 【分析】先根据圆台的侧面积公式求出圆台的母线，再结合勾股定理求出圆台的高，再设外接球的半径为，外接球的球心到圆台下底的距离为，则球心到圆台上底的距离为，从而结合勾股定理列出方程组，求出，进而根据球的表面积公式即可求解． 【详解】由圆台的上底面半径为，下底面的半径为，其侧面积为， 设该圆台的母线为，高为， 则，解得， 则， 设外接球的半径为，外接球的球心到圆台下底的距离为，则球心到圆台上底的距离为，（若球心在下底的上方，则为正值，反之为负值） 所以，解得， 所以该圆台的外接球表面积为．    17．一气球（近似看成球体）在不变形的前提下放在由长为a的12根木条搭成的正方体中，该气球表面积的最大值是______． 【答案】 【分析】根据正方体的性质可知，气球的最大半径为正方体底面对角线长的一半，然后代入球的表面积公式求解即可. 【详解】气球充气且尽可能地膨胀（仍保持为球的形状）， 由题意与棱长为a的正方体相切于棱中点时，球的半径最大，即表面积最大， 此时球的半径就是正方体底面对角线长的一半， 因为正方体的棱长为a，所以正方体底面对角线的长为， 设球的半径为，即，则，所以球的表面积为. 18．（多选）已知正四面体的棱长为，则下列说法正确的是（    ） A．正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 B．正四面体的外接球的表面积为 C．设为正四面体的中心，若球的球面与正四面体的棱有公共点，则球的半径的取值范围是 D．若是的中点，动点在内（包括边界），则的最小值是 【答案】ACD 【分析】利用等体积法判断A；利用正方体求外接球半径判断B；利用正方体求棱切球和外接球半径判断C；建立空间直角坐标系，利用点关于面对称求距离判断D. 【详解】对于A，设正四面体内任意一点到四个面的距离分别为，，，， 正四面体的高为，由， 由等体积法可得，所以为定值， 故A正确． 对于B，棱长为2的正四面体的外接球与棱长为的正方体的外接球半径相同，如下图： 设外接球的半径为，则，得， 所以外接球的表面积，故B错误． 对于C，如下图： 为正四面体的中心，若球的球面与正四面体的棱有公共点， 则球的半径满足.由B可知，， 而正四面体的棱切球即为正方体的内切球， 所以棱切球直径即为正方体棱长，则， 所以球的半径的取值范围是，故C正确． 对于D，如下图： 因为的高，设为底面的中心，则， ，． 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， .则，，， 所以点关于平面的对称点为，且， 所以，故D正确． 19．在三棱锥中，底面为正三角形，平面，若四点都在球的表面上，则球的表面积为______． 【答案】 【分析】先求出底面正三角形的外接圆半径，再结合侧棱垂直底面的几何特征计算外接球半径，最后代入球的表面积公式求解． 【详解】 设底面正的外接圆圆心为，外接圆半径为， 已知是正三角形，边长， 则其外接圆半径为， 平面， 三棱锥的外接球球心在过且垂直于平面的直线上， 且球心到平面的距离， 外接球半径为：， 由球的表面积公式得． 20．已知三棱锥的顶点均在球的球面上，若，则球的表面积为_____． 【答案】 【分析】根据几何关系求外接球的半径并计算球的表面积. 【详解】由题意有，所以为该三棱锥的外接球直径， 即外接球半径，表面积． ( 地 城 考点0 3 球的截面的性质及计算 ) 21．已知正方体的棱长为，以顶点为球心，2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理确定曲线，然后根据圆弧长公式计算曲线长. 【详解】如图，取 ，则 ， 因此球面与面的交线是以为圆心，为半径的圆弧， 与面的交线是以为圆心，为半径的圆弧， 球面与面，面，面的交线是一样的， 与面，面，面的交线是一样的， 由，所以，从而， 所以所求曲线长为 . 22．已知半径为2的球与圆柱的上、下底面及侧面均相切．现从该圆柱中挖去球，得到一个空心几何体，用平行于圆柱下底面的平面去截，当与圆柱下底面的距离为1时，得到的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆柱的内切球可得圆柱的底面半径，高，再结合球的性质求截面圆半径，即可得结果. 【详解】因为半径为2的球与圆柱的上、下底面及侧面均相切， 则圆柱的底面半径，高， 当与圆柱下底面的距离为1时，则球到截面的距离，可得截面圆的半径， 所以截面面积为. 23．已知三棱锥中，棱，，两两垂直，且长度都为．以为球心，4为半径的球与三棱锥的表面相交所得到的曲线长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于每个相交面，利用点到面的距离公式，结合球的半径，求出交线圆弧的半径；再通过几何关系确定圆心角，最后将所有相交得到的曲线长度相加，得到总长度. 【详解】面是过的平面，截球所得截面圆的圆心为，半径为, 顶点都在球内（），在球外（）， 因此和各有一个交点，交线为两点间的圆弧, 上交点满足，得， 又（中），因此圆弧圆心角，弧长， 同理，面与对称，弧长， 是等边三角形，、各有一个交点，圆心角为， 弧长：， 到面的距离，截面圆半径，截面圆心为， 弧长：， . 24．已知棱长为4的正四面体的各顶点均在球的球面上，为的中点，动点在球的球面上运动，且．记在平面上的射影为，则的轨迹长度为___________，的轨迹所围成的区域面积为___________． 【答案】 【分析】根据正四面体及外接球的性质，运用几何法求出外接球半径，进而求出点的轨迹长度，求出点所在平面和点所在平面的夹角余弦值，进而求出点的轨迹所围成的区域面积． 【详解】 如图，设在平面上的射影为，四面体的外接球的半径为， 则， 由得，解得， 为的中点， ， 又， 的轨迹是半径为的圆， 的轨迹长度为， 设的轨迹所在平面为，记平面与平面的夹角为， 平面的法向量，平面的法向量， 则， 的轨迹所围成的区域面积为． 25．已知圆台的下底面半径是上底面半径的2倍，母线长为6，若一个球与该圆台的上下底面和侧面均相切，则球与圆台的侧面切点所形成的曲线的长为________． 【答案】 【分析】利用圆台与其内切球轴截面的几何性质求出球与圆台的侧面切点所形成的圆的直径，即可求. 【详解】如图，作圆台的轴截面：    设，则，且， 由，则， 由，即， 所以，可得， 由题意，球与圆台的侧面切点所形成的曲线是以为直径的圆，其半径为， 所以曲线的长度为. 26．（多选）已知棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（    ） A．正方体的外接球半径为 B．四点共面 C．直线与所成角的余弦值为 D．过直线的平面截正方体的外接球所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为 【答案】AC 【详解】选项A：正方体的外接球半径，故A正确； 选项B：设的中点为，则四点共面， 点不在平面内，四点不共面，故B错误； 选项C：如下图，连接，则， ， ， 在中，，故C正确； 选项D：如图，连接，记为的中点，过点作的垂线，交于点， 在中，，则， ， 过直线的平面截正方体的外接球所得的所有截面圆中， 半径最小为， 半径最小的圆的面积为，故D错误． 27．明代墩式碗是永乐宣德年间青花瓷器的典范．如图所示的明代墩式碗，其内壁可以近似看作一个半径为的半球面．现将碗平放于水平桌面上，在碗中注入少量水，静止时水面的面积为，若将碗缓慢倾斜，使得水可以从碗口倒出，则至少需要将碗倾斜的角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图一，由，则圆半径，又球半径， 则球心O到水面的距离，， 考虑临界状态，如图二，即倾斜后水面恰好经过点A，由于水的体积不变，则球心O到水面的距离不变， 即，在中，，所以至少需要将碗倾斜的角度为． 28．某圆柱的轴截面是面积为12的正方形，为圆柱底面圆弧的中点，在圆柱内放置一个球，则当球的体积最大时，过的面截球的截面圆周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件知当球的体积最大时，球与圆柱的上下底面及母线均相切，作出图形后，计算求解截面圆的直径即可. 【详解】由题意知，当球的体积最大时，球与圆柱的上下底面及母线均相切， 因为正方形的面积为12，所以， 如图1，记所在底面的圆心为所在底面的圆心为， 平面与球的交线为圆形，如图即为截面圆的直径， 易知， 易知， 故，所以， 所以截面圆周长为. 29．在四面体中，两两垂直，，以为球心，为半径的球与四面体各面交线的长度和为___________． 【答案】 【分析】作出辅助线，得到各边长，分析出与底面和侧面的交线，分别求出交线长，相加即可. 【详解】由题意得两两垂直，， 由勾股定理得， 三棱锥为正三棱锥，顶点在底面上的投影为的中心， 取的中点，则三点共线，连接， 由题意得，，，， ， 因为，而， 故以为球心，为半径的球与底面相交于三段圆弧， 如图，分别为， 其中， 所以，同理， 所以，故，同理， 所以， 所以， 由于，故以为球心，为半径的球与底面边分别相交于， 则即为球与底面的交线， 因为，故，所以， 故，，则， 所以， 故以为球心，为半径的球与底面的交线长度也为， 所以交线的长度和. 30．如图，长方体的长、宽、高分别，且分别为上底面、下底面（含边界）内的动点，当最小时，以为球心，的长为半径的球面与上底面的交线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由最小时，得到分别为的三等分点，得到以为球心，的长为半径的球面与上底面的交线对应的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，结合扇形的弧长公式，即可求解. 【详解】由题意得，要使得最小，则要在同一个平面内，即平面内， 如图（1）所示，可得， 所以， 当最小时为， 此时，即分别为的三等分点， 因为，所以， 分别在取点，使得， 可得， 则以为球心，的长为半径的球面与上底面的交线对应的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，如图（2）所示， 所以轨迹的长度为. ( 地 城 考点0 4 球面距离 ) 31．若地球半径为，地面上两点A、B的纬度均为北纬45°，又A、B两点的球面距离为，则A、B两点的经度差为_______． 【答案】 【分析】设在北纬的纬圆的圆心为C,球心为O,连接.根据地球纬度的定义,算出小圆半径AC，由A、B两点的球面距离为可得、的球心角,再利用勾股定理的逆定理即可求解. 【详解】解：作图如下:    设在北纬的纬圆的圆心为C,球心为O,连接. 则平面, 在中,,同理, 因为A、B两点的球面距离为，而地球的半径为， 所以、的球心角为， 则 为等边三角形， 所以， 在中，, 所以 . 故答案为：. 32．设地球是半径为的球，地球上两地都在北纬的纬线上，在东经、在东经的经线上，则从沿球面向正东前进（    ）到地 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知确定两地经度夹角及所在纬度线上的截面圆半径，即可求前进距离. 【详解】由题设，两地经度夹角为，且两点所在纬线圈上的截面圆半径为， 所以从沿球面向正东前进到地. 故选：B 33．球面距离在地理学、导航系统、信息技术等多个领域有着广泛应用．球面距离的定义：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）．四面体的外接球直径为，且，，则A、B两点在外接球上的球面距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设球O，再求出A、B所在球大圆所对应的圆心角，进而利用弧长公式即可求出A、B两点之间的球面距离. 【详解】球的半径为， 设球心为O，， 所以在中，由于，，所以， 所以A、B两点之间的球面距离为 故选：C 34．如图，设地球的半径为，两地的纬度均为，经度差为，飞机从地沿大圆（经过球心的平面截球面所得的圆弧）飞行到地的弧长为（飞机的飞行高度忽略不计），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，在中，求得，且，利用余弦定理，得到，结合，得到，得出，即可求解. 【详解】如图所示，连接，在中，可得，且， 在中，由余弦定理，可得 ，所以， 因为从地沿大圆飞行到地的弧长为，可得，所以， 所以，解得. 故选：B. 35．已知，，，是半径为15的球的球面上四点，，，则三棱锥体积的最大值为（   ） A．384 B．1152 C． D． 【答案】B 【分析】利用直角三角形的斜边就是其外接圆的直径，再利用过球心垂直于截面的直线必过截面圆的圆心，就可以构成勾股定理求距离，从而可求得最大体积. 【详解】因为，，所以为的外接圆的直径，即半径，    由过球心垂直于截面的直线必过截面圆的圆心可知， 球心到平面的距离， 又直角面积， 当且仅当时取等号， 而点到平面的距离的最大值为， 所以三棱锥体积的最大值为． 故选:B． 36．如图为半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA，OB，OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC中点，则点E、F在该球面上的球面距离为________．    【答案】 【分析】先求出的长度，再求出大圆中对应的圆心角的弧度数，从而可求球面距离. 【详解】    如图，在平面内过点作，在平面内过作，垂足分别为，连接， 在扇形中，为大圆弧的中点，则，且， 同理可得， ∴ 在中，， 在平面中，由，，则， 同理可证，故，即四边形为平行四边形， ∴ ，故为等边三角形，故， ∴ 点在该球面上的球面距离为. 故答案： 37．如图所示，某甜品店将上半部是半球（半球的半径为2），下半部是倒立的圆锥（圆锥的高为4）的冰淇淋模型放到橱窗内展览，托盘是边长为6的等边三角形ABC金属片沿三边中点D，E，F的连线向上折叠成直二面角而成，则半球面上的最高点到平面DEF的距离为______． 【答案】 【分析】画出底面展开图，由几何关系得到图中边长关系，由正弦定理可得，再由三角形相似得到，最后求出结果即可. 【详解】 设上面球心为，的圆心为，三点在底面投影的正三角形的中心为， 圆锥的顶点为，边中点为，连接，则，， 由几何关系可得三点共线， 由题意可得，， 在几何体中，设的外接圆半径为， 则由正弦定理可得，即， 由可得，所以， 所以半球面上的最高点到平面DEF的距离为， 故答案为：. 38．（多选）将一个直径为8cm的铁球磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是（    ） A．底面直径为8cm，高为6cm的圆柱体 B．底面直径为6cm，高为4cm的圆锥体 C．底面边长为4cm，高为6cm的正四棱柱 D．棱长为6cm的正四面体 【答案】BD 【分析】根据球的几何性质，结合勾股定理，计算球心到选项中各几何体底面的距离，结合各几何体特征即可逐一求解. 【详解】对A：若圆柱的底面直径为8，此时球心到圆柱底面的距离为，故A错误； 对B：若圆锥的底面直径为6，则半径为3， 此时球心到圆锥底面的距离为， 故圆锥的高最大时为，故B正确； 对C：若正四棱柱底面边长为4，则底面外接圆半径为， 此时球心到正四棱柱底面的距离为， 故正四棱柱的高最大时为，故C错误； 对D：法一：若正四面体的棱长为6，则底面外接圆半径为， 此时球心到正四面体底面的距离为， 棱长为6cm的正四面体的高为，由，故D正确 法二：若将各棱长均为的四面体放入到棱长为的正方体中， 此时正方体的外接球直径为，故D符合，故D正确. 故选：BD. 39．波兰数学大师史坦因豪斯编著的《一百个数学问题》中的第46个问题是球的堆垒问题：有无数个完全相同的球，取3个使它们两两相切放置，然后放上第4个球，使其与前3个球都相切，这样形成4个凹穴，在每个凹穴再放上一个球，则一共放了8个球，它们形成多少个凹穴？这个过程可以一直继续下去吗？若我们只考虑前8个球，设球的半径为1，其中两个球的球心之间的距离为d，则d的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由于球与球相切，借助球心位置分可析求出d的取值. 【详解】如图， 记前4个球的球心依次为，，，，后4个球的球心依次为，，，， 则四面体，，，，都是边长为2的正四面体． 在正四面体中，，则这5个正四面体的高． 四面体是正四面体，其中心与正四面体的中心是同一点， 正四面体的顶点到中心的距离为， 所以四面体的高，所以． 从到的这8个点中，任意两点间的距离可能为2， 如；可能为，如；也可能为，如． 所以d的取值集合为． 故选：C 40．球面上两点间距离的定义为：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）．设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于北纬西经，则甲、乙两地的球面距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析甲、乙两地的球心角，即可得解. 【详解】甲、乙两地在北纬线上，所对圆心角为， 即甲、乙两地在北纬线所在小圆的直径的两端，且小圆的半径， 则，所以甲、乙两地的球心角为， 故甲、乙两地的球面距离为. 故选：C. ( 地 城 考点0 5 直线与球、平面与球的位置关系 ) 41．已知正三棱柱的棱长均为2，M为棱上靠近C的四等分点，以M为球心，2为半径的球面与该三棱柱棱的公共点的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据题意，计算各棱中到M距离为2的点的个数即可. 【详解】如图①，，，M到棱的距离等于2，，， 故球M的球面与侧面的棱，，AC各有一个交点，分别为，，， 同理可得与侧面的棱，，BC各有一个交点，分别为，，， 如图②，，， 到棱AB的距离等于， 故球M的一个截面圆与AB有两个交点分别为，． 如图③，，， 到棱的距离等于， 故球M的一个截面圆与没有交点． 综上，以M为球心，2为半径的球面与该棱柱棱的公共点的个数为8． 故选：D. 42．在棱长为8的正方体空盒内，有4个半径为的小球在盒底四角，分别与正方体底面处交于某一顶点的3个面相切，另有一个半径为的大球放在4个小球之上，与4个小球相切，并与正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，5个球相切不松动，设小球半径的最大值为，大球半径的最小值为，则（    ） A．2 B．1 C． D．5 【答案】B 【分析】由题意，当正方体盒内四个小球中相邻小球均相切时，小球半径最大，大球半径最小，易得小球半径最大为2，由对称性知，大球球心与4个小球球心构成一个正四棱锥，在中，利用勾股定理求出，即可求得的值. 【详解】当正方体盒内四个小球中相邻小球均相切时，小球半径最大，大球半径最小． 由正方体的棱长为8，可得的最大值为2，下面分析时的取值． 由对称性知，大球球心与4个小球球心构成一个正四棱锥，如下图所示： 则，． 又由正方体盒知，正四棱锥的高OH（其中H为正四棱锥底面正方形中心）长为： ，， 故在中，， 即，解得，即大球半径的最小值为， 即，，所以． 故选：B． 43．（多选）在棱长为3的正四面体中，已知点分别在线段上运动（不含端点），则（    ） A．两点距离的最小值为 B．直线与直线有可能平行 C．当最小时，以线段为直径的球与正四面体的棱恰有6个公共点 D．当最小时，与垂直的平面截正四面体得到的截面为矩形 【答案】ACD 【分析】根据题意可把正四面体放入正方体中，易得当分别为的中点时，两点距离的最小，最小值为正方体边长，可判断A正确；根据平面，可确定直线与直线是异面直线，可判断B错误；最小时，以线段为直径的球与正四面体的各棱相切，所以恰有6个交点，可判断C正确；截面与正方体左右侧面平行，然后可证其是矩形，可判断D正确. 【详解】根据题意可把正四面体放入正方体中，正四面体棱长为3，所以正方体边长为，   分别在线段上， 当分别为的中点时，两点距离的最小，最小值为，故A正确； 平面，平面，直线与直线异面，故B错误； 当最小时，分别为的中点，最小值为， 所以以线段为直径的球球心为中点，也是正方体的中心位置， 设分别为中点， 在正方体中，， 故球与正四面体各棱相切，即与正四面体只有6个公共点，故C正确； 当最小时，分别为的中点，此时与正方体左右侧面垂直， 所以截面与正方体左右侧面平行，设截面为， 平面，平面，平面平面平面， ，同理可证，即， 同理可证，所以截面为平行四边形， 又在正方体中，，，所以， 即截面为矩形，故D正确； 故选：ACD. 44．棱长为2的正四面体的表面上有动点，满足，则点的轨迹总长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依次为棱的中点，根据已知分析的轨迹，进而求其长度. 【详解】如图，依次为棱的中点， 因为，故的轨迹是以中点为球心的球与正四面体各面的交线构成， 则点的轨迹由面内的弧，面内的弧，面内的弧，面内的弧构成； 弧与弧的长度相等，易得弧的长等于， 弧与弧的长度相等，在面内的射影点，易知弧的圆心为， 且为高的三等分点，故，且，弧长等于； 故点的轨迹的长为． 故选：A 45．已知圆锥的侧面积是，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出圆锥底面圆的半径，并由题意联立方程组求出；再由勾股定理解出圆锥内切球的半径即可. 【详解】 设圆锥底面圆的半径为，高为，母线长为，由题意知：， 两式相除解得，； 所以圆锥的顶角为，轴截面为等边三角形，圆锥的高， 设圆锥的内切圆半径为，，解得. 故选：D. 46．北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统．已知卫星运行轨道近似为以地球为圆心的圆形，运行周期与轨道半径之间关系为（K为常数）．已知甲、乙两颗卫星的运行轨道所在平面互相垂直，甲的周期是乙的8倍，且甲的运行轨道半径为，分别是甲、乙两颗卫星的运行轨道上的动点，则之间距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设条件得到，再根据图形，利用，当且仅当三点共线时取等号即可求出结果. 【详解】如图，设卫星乙的运行轨道半径为，因为，且，所以， 设地球的球心为，则，当且仅当与共线且位于两侧时取得等号， 故选：B． 47．若平面α，β截球O所得截面圆的面积分别为，，且球心O到平面α的距离为3，则球心O到平面β的距离为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】设平面，截球所得截面圆的半径分别为，，再根据圆的面积公式，结合球内的垂径定理列式求解即可. 【详解】设平面，截球所得截面圆的半径分别为，，则，，则，. 设球的半径为，球心到平面的距离为，则，所以. 故选：A 48．直观想象是数学六大核心素养之一，某位教师为了培养学生的直观想象能力，在课堂上提出了这样一个问题：现有10个直径为4的小球，全部放进棱长为a的正四面体盒子中，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析10个小球在正四面体内的位置情况，把正四面体的高用小球半径与正四面体的棱长表示，列等式即可求解. 【详解】我们先来证明如下引理： 如下图所示：    设正四面体棱长为，面，， 所以，， 显然为面的重心，所以，由勾股定理可得面, 所以正四面体的高等于其棱长的倍. 接下来我们来解决此题： 如下图所示：    10个直径为4的小球放进棱长为a的正四面体中，成三棱锥形状，有3层， 则从上到下每层的小球个数依次为：1，，个， 当a取最小值时，从上到下每层放在边缘的小球都与正四面体的侧面相切，底层的每个球都与正四面体底面相切， 任意相邻的两个小球都外切，位于每层正三角状顶点的所有上下相邻小球的球心连线为一个正四面体， 则该正四面体的棱长为，可求得其高为， 所以正四面体的高为， 进而可求得其棱长a的最小值为． 故选：B. 49．已知是半径为1的球面上的三点，若，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】设球心为，连接，则可得和均为等边三角形，所以，再在中利用余弦定理可求出. 【详解】设球心为，连接，由， 所以和均为等边三角形， 所以， 所以，当且仅当共面时取等号，如图所示， 此时取得最大值， 在中，由余弦定理得 ， 所以， 所以的最大值为， 故选：C 50．直三棱柱的底面ABC是等腰直角三角形，．若以点C为球心，r（）为半径的球与侧面的交线长为，且所对的弦长为r，则球C与三棱柱的交线长为_________． 【答案】 【分析】球的半径大小影响球与三棱柱的上底面是否存在交线，故需根据三棱柱的高为分界点对球的半径进行分类讨论，画出图形，由球与侧面的交线长为，结合弧长公式去掉不合要求的情况，求出交线长. 【详解】因为底面ABC是等腰直角三角形，且，所以， 故点C到AB的距离为． 球的半径大小影响球与三棱柱的上底面是否存在交线，故需根据三棱柱的高为分界点对球的半径进行分类讨论． ①若，如图①所示， 设球C与，AC分别交于点D，E， 则球C与侧面的交线长为，则， 即，此时所对的弦长为，不满足题意； ②若，如图②所示， 设球C与，AC分别交于点M，N，则，所以， 所以球C与侧面的交线长为，解得，满足题意． 则球C与侧面的交线长为，与底面ABC的交线长为， 在中，， 所以球C与平面的交线长为， 所以球C与三棱柱的交线长为． 故答案为：. ( 地 城 考点0 6 多面体与球体内切外接问题 ) 51．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到的十四面体，且它所有的棱长都为2.则下列结论中，错误的是（    ） A．该石凳的表面积为 B．该石凳的体积为 C．有内切球，且内切球的体积为 D．有外接球，且外接球的表面积为 【答案】C 【分析】由题目要求，还原正方体，在正方体中观察各选项中需要用到或者求解的线段、三角形和四边形，分别求出十四面体的表面积、体积，以及是否存在内切球及外接球. 【详解】A选项，该石凳由6个正方形和8个正三角形围成，它的表面积为，A正确； B选项，如图， 该石凳由一个棱长为的正方体截去8个全等的正三棱锥，其体积为 ，B正确； C选项，该多面体由6个正方形和8个正三角形围成，到这6个正方形距离相等的点为原正方体的中心， 设该点为，到这6个正方形距离为， 设到8个正三角形的距离为，则，解得， 所以该多面体不存在内切球，C错误； D选项，该多面体存在外接球，其球心为原正方体的中心，它到每个点的距离为原正方体面对角线的一半，即2， 所以球表面积为，D正确. 52．正三棱锥中，，侧棱，则三棱锥的外接球体积为______． 【答案】 【分析】作出辅助线，找到球心，并设出外接球的半径，利用勾股定理列出方程，求出半径，进而得到外接球体积. 【详解】取的中点，连接，过点作⊥于点， 则⊥平面，且， 由于正三棱锥中，，侧棱， 故，，， 由勾股定理得， 设正三棱锥的外接球球心为，则，故， 由勾股定理得，即，解得， 故正三棱锥的外接球体积为. 53．已知圆台的母线与底面所成的角为，其内切球的体积为，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由内切球体积公式求出球的半径，从而得到圆台的高，再利用母线与底面所成的角，求得上、下底面的半径，再结合圆台的体积公式求解. 【详解】作出圆台的轴截面ABCD，如图， 设圆台的上底面的圆心为，半径为，下底面的圆心为，半径为，高为， 内切球的球心为，半径为. 由内切球的体积为，可得， 解得，所以圆台的高，因为， 所以在中，，， 所以，同理求得， 所以圆台的体积. 54．已知三棱锥中三组相对的棱长分别相等，长度分别为，，，其中，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为________. 【答案】 【分析】根据三棱锥的三组对棱分别相等，可得到三棱锥的顶点必是一个长方体的顶点，再由棱的长度可求得长方体同一个顶点发出的三条棱的长度，继而表示出外接球半径，借助于基本不等式即可求得. 【详解】由题设知，三棱锥的四个顶点是一个长方体的四个顶点，如图． 因三棱锥中三组相对应的棱长分别相等， 长度分别为，，， 故该长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为， 且三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 故外接球的直径长为长方体的体对角线长，设外接球半径为， 则三棱锥的外接球表面积为， 因，则，当且仅当时等号成立． 此时，，即时，. 55．（多选）如图一，有一个半径为8的半圆形铁片（铁片厚度忽略不计），将其裁剪成如图二的形状并制成一个带底的封闭圆锥桶（如图三，连接处损耗不计），在该圆锥桶内放入一个注满水的半径为r的小球，下列说法正确的是（   ） A．所制成的圆锥桶的体积为 B．当球内水的体积最大时 C．将球内的水从圆锥顶点倒回圆锥桶内，水面高度一定小于 D．当时，让小球在该圆锥桶内自由运动，则小球能接触到圆锥桶内部的最大面积为 【答案】BCD 【分析】根据半圆形铁片的半径和裁剪方式，利用弧长公式和几何关系求出圆锥的底面半径r和母线长为l，进而求出高h和体积. 【详解】对于A，对制成的圆锥桶，设盖子的半径为r，母线长为l， 则，解得， 则圆锥桶的高， 所以圆锥桶的体积，A错误. 对于B，当圆锥桶内能放入最大球，则此球与圆锥的侧面和底面都内切， 设此球的半径为，轴截面如图所示， 由相似三角形知，，解得，B正确. 对于C，此时球内水的最大体积为：， 当圆锥桶内水的高度为时，没有装水的部分是一个底面半径为1，高为的圆锥， 没有水部分的体积， 所以当圆锥桶内水的高度为时，能装的水的体积． 又因为，所以将球内的水倒回圆锥桶内，水面高度一定小于，C正确. 对于D，如图，画出示意图，小球在圆锥桶内自由运动时，在圆锥桶侧面接触到的地方是一个圆台的侧面， 其中E，F，G，J为该圆台的截面上的点，在圆锥桶底面是一个圆， 其中H，K是这个圆的直径，，，， 所以圆台侧面积，底面圆的面积， 所以小球能接触到圆锥桶内部的最大面积， D正确. 56．在长方体中，，，则长方体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方体体对角线的长即为外接球的直径得出，然后再根据球的表面积公式即可求解 . 【详解】设外接球半径为，已知长方体长宽高为：，，. 根据长方体体对角线公式： ， 由体对角线长等于，得，即， 所以长方体外接球表面积. 57．已知正四棱锥外接球的表面积为，则正四棱锥的体积为（    ） A．12 B．24 C．48 D．56 【答案】C 【分析】设顶点在底面上的射影为，先求得球的半径为再分球心在高上和不在高两种情况分别求出高,进而得棱锥的体积. 【详解】如图，设四棱锥的顶点在底面上的射影为， 则为四棱锥的高． 四棱锥为正四棱锥， 点为底面正方形的中心，且平面． 由正四棱锥的对称性可知，球心在直线上， ． 设球的半径为 球的表面积为，解得． 又，即． 当球心在高上时，， 底面的面积为 正四棱锥的体积． 当球心不在高上时，， 正四棱锥的体积． 故C正确． 58．已知圆台的上、下底面圆半径分别为2，，高为3，若该圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用圆台的结构特征，结合球的截面圆性质列式求出球半径，再求出球的表面积. 【详解】设球的半径为，球心到上底面圆距离为，而球心在圆台两底面圆圆心确定的直线上， 则球心到下底面圆距离为，因此，解得， 所以球O的表面积为. 59．如图，圆台的上、下底面半径分别为，且，半径为的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出圆台及球的轴截面，从而可得等腰梯形及其内切圆，再结合勾股定理及条件解方程可得. 【详解】作圆台及球的轴截面，圆台的轴截面是等腰梯形且与球的截面的圆相切，如图： 所以圆台的母线长. 由勾股定理得：，化简得①. 又，代入①得：，，解得或. 若时，则，，所以圆台的侧面积； 若时，则，此时几何体是圆柱不是圆台，不符合题意，舍去. 因此，圆台的侧面积为. 60．（多选）如图，为圆锥底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的表面积为 B．圆锥的外接球体积是 C．圆锥的内切球半径为 D．若，E为线段上的动点，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】A求出底面积和侧面积相加即可；B求出外接球半径即可；C根据体积公式可得；D展开共线时最短； 【详解】根据题意可得底面半径和母线的长分别为， 所以侧面积为，底面积为， 所以圆锥的表面积为，故A对； 设外接球的半径为，球心到圆锥底面的距离为。 由于圆锥的高，底面半径， 所以，代入得 ， 所以，故B正确； 圆锥的体积，， ，故C错误； 由，E为线段上的动点，得， 又，所以为等边三角形，则， 将以为轴旋转到与共面，得到， 所以为等边三角形，则， 则, 因为, , 则，故D正确 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $