专题06 圆（安徽专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦圆的四大核心考点，精选安徽各地市二模真题，通过情境化问题与分层设计，强化几何直观与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|约10题|圆的基本性质（滑轮装置）、弧长计算（高铁转弯）、圆与多边形（正八边形）|结合生活情境，如滑轮上升、烧瓶液面等实际问题| |填空|约15题|切线性质（外切四边形）、扇形面积（菱形中弧长）、圆内接四边形角度计算|注重概念辨析与几何直观，如网格中圆的交点问题| |解答|约30题|切线判定与性质证明、圆与三角形综合计算、弧长与面积综合应用|突出逻辑推理，如切线证明结合勾股定理，内接四边形与菱形判定综合|

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06圆 ☆4大考点概览 考点01圆的基本性质 考点02切线判定与性质 考点03孤长与扇形面积 考点04圆与多边形 考点01 圆的基本性质 一、 单选题 1.(2026安徽合肥二模)一滑轮装置如图，滑轮的半径为30cm,假设绳索与滑轮之间没有滑动（π取 3.14),当重物上升47cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心0按逆时针方向旋转的角度约为() A.30° B.60° C.90° D.180 2.(2026安徽安庆二模)如图，四边形ABCD内接于00，AB=2CD·若AB=6,CD=3,则00的半 径是() c D.5 3.(2026安徽池州二模)如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C都在格点上，过A、B、C三 点的圆与网格线交于点D,则sin∠ADC的值为() 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.2i3 B. 3V13 D. 13 13 二、填空题 4.(2026安徽阜阳二模)如图，00的半径0A是⊙O的直径，⊙0的半径0C交⊙0于点B,若0A=2, LAOC=30°，则AB的长是 A 5.(2026安徽芜湖·二模)如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为6cm，瓶内液体已经过半，液面到 烧瓶底部最大距离为8cm,则截面圆中弦AB的长为 cm. B 0 6.(2026安徽阜阳二模)如图，AB为半圆O的直径，C,D是圆上两点，AD=CD,∠BAC=40°，则 ∠DAC= B 7.(2026安微芜湖二模)如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上的两点，∠ABC=70°，则∠BDC= 8.(2026安徽合肥二模)如图，在⊙0中，半径0A⊥0C,且0A=2,延长半径0C到点B,使BC=0C, 连接AB交O0于点D,则AD=· 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 9.(2026安微阜阳二模)如图，AB为00的直径，CD为O0的弦，，∠BCD=34°，则∠ABD=- 0 10.(2026安徽池州二模)如图，AB是圆O的直径，点C在半径OB上，OC=3,BC=2,点D、E在 半圆上，DE=CE,DE⊥CE,则D到AB的距离为一· E D C B 11.(2026安徽淮北二模)如图，线段AB=2,以AB为直径画半圆，圆心为A,以AA,为直径画半圆①： 取A,B的中点4，以AA,为直径画半圆②；取A,B的中点A,以A,A,为直径画半圆③..按照这样的规律画 下去，大半圆内部依次画出的前6个小半圆的弧长之和为 ① ② ③ B A2 A3 12.(2026安徽阜阳二模)如图，点0为ABC中AC边上一点，以点0为圆心、OA长为半径，作O0恰 与BC边相切于点B,若LAB0=35°，则∠C= B 13.(2026安微铜陵·二模)如图，AB是00的直径，点D是00上一点，且∠ADC=30°，弦AC的长为 5cm,则弦BC的长为 cm. 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 三、解答题 14.(2026安微合肥二模)如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径作⊙0，与斜边AB交于点E ,点D是OO上一点，点E是CD的中点，连接CE、BD、CD,AB与CD的交点为F. E D B (I)求证：CA=CF; (2)若O0的半径是6，CF=9,求BF的长. 15.(2026安微阜阳·二模)如图，在ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙0交AC于点D.点E在线 段AD上，DE=CD,连接BE并延长交OO于F, A D E A (I)求证：∠CBE=2∠BAC; (2)连接OD交BF于点G.若EF=3EG,CE=10,求OO的半径. 16.(2026安徽芜湖二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AC=√5，以点B为圆心， BC为半径的OB交AB于点D, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B (I)求AD的长； (②)过点A作OB的切线与CB的延长线交于点E,连接DE,求DE的长 17.(2026安微阜阳二模)如图，半径为√2的00内接ABC,∠B=60°，∠C=45°. y 0 B (1)求AC的长； (2)求ABC的面积. 18.(2026安徽阜阳·二模)如图，ABC内接于O0,M,N分别为BC,AC的中点，连接AM分别为 BN,BC于D,E两点，连接CM. D (I)求证：CM=DM; (2)若AE=6,EM=5,求DM的长. 19.(2026安徽阜阳·二模)如图，AB是半圆0的直径，点M位于半径OA上且不与点0、点A重合.以 BM为一边作平行四边形BMCD,且满足点C,D均在半圆O上 D M B 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)连接AC,求证：△AMC是等腰三角形； (2)若点M是OA的中点，平行四边形BMCD的面积为3√7，求半圆O的半径r. 20.(2026安徽阜阳·二模)如图，以AB为直径的OO经过ABC的顶点C,AE和BE分别平分∠BAC和 ∠ABC,AE的延长线交OO于点D,连接BD. B D (1I)求证：BD=DE. (2)若E为AD中点，AB-AC=4,求O0的半径. 21.(2026安徽安庆·二模)如图，以ABC的边AC为直径作⊙0，点B在⊙0上，点D为O0上一点，连 接BD,且B为CD的中点，BE⊥AC于点E,连接CD交BE于点F. D (I)求证：BF=CF; (2)若AB=4,BD=2,求BE的长. 22.（(2026安徽宣城二模)如图，AB是O0的直径，弦CD⊥AB于点E,点G是CD上一点，连接AG并 延长交OO于点F,连接AD,DF. G B (I)求证：△ADG∽△AFD; (2)若DG=2CG=4,点F为BC的中点，试求△DFG的面积. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 23.(2026安徽安庆·二模)如图，AB是O0的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE1AB于点E, 交AC于点F,交OO于点H,DB交AC于点G. D E H (I)求证：AF=DF. (2)若AF= 2,sim∠ABD=5 ,求00的半径. 24.(2026安徽合肥二模)如图，AB、AC分别为⊙0的直径和弦，过点O作0D⊥AC,垂足为点E,交 OO于点D,点F为线段OE上一点，连接CD,BF∥CD, B (I)求证：BF=CD; (2)若EF=1,AC=2V10,求0F的长. 25.(2026安徽六安·二模)如图，AB、CD是⊙0的两条弦，AB和CD相交于点P. ● (I)求证：PAPB=PC·PD; (2若AB是00的直径且AB1CD,4P=1,sinD=5 .求sin C0A. 26.(2026安徽六安：二模)如图，AB为O0的直径，四边形ABCD内接于O0,连接0C,OD,0D与 AC交于点E,且OD∥BC. 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B (I)求证：AD=CD; (2)若AC=14,DE=6,求00的半径。 27.(2026安徽合肥二模)如图，己知在O0中，AB为直径，点C为圆上一点，且点D为弧BC的中点， 过点D作DE平行于AB交AC于点E,连接OD· E B 图1 图2 (1)如图1，求证：四边形AODE为菱形； (2)如图2，连接BC,BD,若AC=8,BC=6,求tanLCBD的值. 28.(2026安徽芜湖二模)如图，ABC内接于O0,AB=AC,点D在⊙0上，点E在BC边上，连接 AD,AE,BD,CD,∠BAE=∠CAD. D (I)求证：△ABD∽△AEC: (2)若B4 =4,求BD+CD的值 AD 5 BC 29.(2026安徽毫州二模)如图，AB为00的直径，0D⊥BC于点F,点C,D均在O0上，BC与 AD交于点E. 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (I)求证；CD2=AD·DE; ②若m∠C4D-弓，求cos∠CD1的值， 30.(2026安微池州二模)如图，在ABC中，点D在AC上，连接BD,以BD为直径作O0,O0经过 点A,与BC交于点E,且AB=BE· (1)若LDAE=25°，求∠C的度数； (2)若AB=6,AD=3,求CD的长 31.(2026安徽·二模)如图，AC,BD为⊙0的直径，P为⊙0上与A,B,C,D均不重合的点， PE⊥AC于点E,PF⊥BD于点F,AC=I2,连接EF. D 图1 图2 (I)如图1，若PE的延长线经过点B,DF=3,求∠EPF的大小； (②)如图2，若∠EPF=45°，求线段EF的长. 32.(2026安徽铜陵二模)如图，⊙0的半径为3，AB为⊙0的直径，点C为⊙0上一点，CE⊥AB于点 E,∠OCE的平分线CD交⊙O于点D,连接AD. 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ⊙ (I)求∠BAD的大小： (2)若弦AC的长为2，求弦CD的长 33.(2026安微宣城二模)如图，在⊙0中，AB为直径，AC与CD为弦，AB⊥CD于点E,DF1AC于 点F,AB与DF相交于点G. F G D E B (I)若∠DGB=56°，求∠BDC的度数； (2)若AB=20,BE=8,求CD的长. 34.(2026安徽蚌埠.二模)如图，AB是O0的直径，点C在00上，过点C作CE1AB于点E,点F是线 段CE上一点，连接BF并延长交OO于点D,若点C是弧BD的中点. B (I)求证：BCF是等腰三角形： 2)若CE=12,tan4=-3 求00的半径. 考点02 切线判定与性质 一、填空题 1.(2026安徽蚌埠二模)如图，点B在O0的直径AE的延长线上，BD与⊙0相切，切点为D,过点A 作AC⊥BD,垂足为C,连接AD,若∠B=40°，则∠ADC的度数是 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 2.(2026安徽滁州二模)如图，CD是⊙0的直径，点A在CD的延长线上，AB是⊙0的切线，B为切点， 连接BC,若∠A=20°，则∠C的度数为 D 3.(2026安微阜阳·二模)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD=AB=BC,直线EC与⊙O相切 于点C.若已知LABC=I00°，则∠DCE的度数为 E 4.(2026安徽阜阳·二模)如图，点0为ABC中AC边上一点，以点0为圆心、OA长为半径，作00恰与 BC边相切于点B,若∠AB0=35°，则∠C= 6 5.(2026安徽毫州二模)如图，四边形ABCD是⊙0的外切四边形，AB=9,CD=15.则四边形ABCD的 周长为 6.(2026安微马鞍山二模)如图，AB为⊙0的直径，点P在AB的延长线上，PC,PD与O0相切，切点 分别为C,D.若AB=6,PC=4,则CD= 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 7.(2026安微阜阳二模)如图，AB是O0的直径，AC与⊙0相切，A为切点，连接BC.己知 ∠ACB=55°，则∠B的度数为 二、解答题 8.(2026安微六安：二模)在A0B中，0A=0B,圆0与AB相切于点C,OB与圆0交于点D,E为弧 DEC上一点，∠DEC=20°. B 图1 图2 (I)如图1，求∠A0B的大小： (2)如图2，延长D0交圆O于点F,CE∥A0,CE与0D交于点G,连接EF,OD=3,求EF的长. 9.(2026安徽安庆二模)己知：如图，AB是⊙0的直径，点E为O0上一点，点D是4E上一点，连接 AE并延长至点C,使∠CBE=∠BDE,BD与AE交于点F, 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E (1)求证：BC是⊙0的切线： (2)若BD平分∠ABE,求证：AD2=DF·DB· 10.(2026安徽·二模)如图，AB为O0的直径，C为圆弧上一点，D为BC的中点，过D点作O0的切线 交射线AC于点E,连接AD,BD. E B (I)求证：AE⊥DE; (2)若DE=4,BD=5,求AC长， 11.(2026安徽滁州·二模)如图，AB为O0直径，C,D为O0上的两点，且CE是O0的切线，CE⊥DB 交DB的延长线于点E. B (1)求证：∠ACD=2∠A; (2)若AB=5,BE=1,求BD的长. 12.(2026安徽六安，二模)如图，在口ABCD中，以AB为直径作O0,CD恰好为⊙0的切线，点M为AB 上方⊙O上的点，连接BM、CM. 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M (I)求证：LABC=45°； ②法8M=8,m∠BCM-号求BC的长。 13.(2026安微合肥二模)如图，AB为O0的直径，点F在O0上，OF⊥AB,点P在AB的延长线上， PC与O0相切于点C,与OF的延长线相交于点D,CA与OF相交于点E. D (I)求证：DC=DE; (2)若0A=20E,DF=3,求PB的长 14.(2026安徽芜湖·二模)如图，AB是半圆O的直径，BC与半圆O相切于点B,点E在半圆O上，ED 垂直平分BC,垂足为点D,AC与DE交于点F,连接BF, )求 C的值， (2)连接BE交AC于点G,若BG=BC,求证：AC平分∠BAE. 15.(2026安徽阜阳·二模)如图，在ABC中，AB=AC,点O是BC的中点，AC与半圆O相切于点D, BC与半圆O交于E,F两点. 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求证：AB与半圆O相切； (2)连接OA,若CD=4,CF=2,求OA的长. 16.(2026安徽蚌埠二模)如图，AB是O0的直径，OD1AB交⊙0于点D,点C为AB上方O0上一点， 连接AC,CD,CD与AB交于点E,过点C作OO的切线CF交AB的延长线于点F, B D (I)求证：∠ECF=∠OED; (2)若CF=8,BF=4,求⊙0的半径. 17.(2026安徽阜阳二模)如图，等腰ABC中，AB=AC,以AC为直径作O0,分别交AB,BC于点 M,N,CD是OO的切线，BD⊥CD于点D. B (I)求证：BD=BM; (2)若BM=3,CN=3,求O0的半径. 18.(2026安徽池州二模)如图，ABC为直角三角形，∠ACB=90°，圆O是ABC的外接圆，D是弧 BC上一点，CE是圆O的切线，交BD的延长线于点E,CE‖AD,连接OC交AD于点G. B (I)求证：LEBC=LABC; (2)若AC=2V3,GF=1,求AF的长. 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 19.(2026安徽阜阳·二模)如图1，在A0B中，0A=0B,⊙0与AB相切于点C,与OB交于点D,点 E是⊙0上一点，连接CE,DE,CE交0D于点G,已知∠A=50°，O0的半径为4. 图1 图2 (I)求∠E的度数： (2)如图2，若OA∥CE,延长D0交⊙0于点F,连接EF,求EF的长. 20.(2026安徽淮北二模)如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点， OF⊥AD于点E,交CD于点F. (1)求证：∠ADC=∠A0F; 2)若sinC,BD=12,求EF的长 B 21.(2026安徽芜湖二模)如图，过00外一点A作⊙0的切线，切点为点B,BC为⊙0的直径，点D为 OO上一点，且BD=BA,连接CD,AD,线段AD交直径BC于点E,交OO于点F,连接BF, B (I)求证：EF=BF: 回若n4写0E=求00半径的长。 22.(2026安徽宿州二模)如图，在ABC中，AB=AC,以AB为直径作O0.交BC于点D,DE是 OO的切线且交AC于点E.延长CA交⊙O于点F,半径r=2,连接BF, 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B ) (I)求证：BF=2DE; ②若am∠48C-,求AE的长。 23.(2026安微阜阳二模)如图，AC是⊙0的直径，点B是AC的中点，连接BA,BC,点G在直径CA的 延长线上，过点G作OO的切线GD,切点为D,连接BD交AC于点E,连接DA,DC. B C 0 G D (1)若∠G=40°，求BCD的度数； ②若B=25。os∠G=号，求4G的长 24.(2026安徽阜阳·二模)如图，四边形ABCD的顶点都在⊙0上，AB为⊙0的直径，CE与⊙0相切于 点C,与AB的延长线相交于点E,AC平分∠DAB. D 0 (I)求证：∠DAC=∠BCE; (2)若AB=10,BC=6,求AD的长. 25.(2026安徽阜阳二模)如图，AB是00的直径，点C是00上一点，连接AC,BC,0C. P 、E F B 0 D 图1 图2 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)如图1，点D是O0上的一点，连接AD,CD,且CD⊥AB,当∠CAB=22°时，求∠OCB和LCAD的 度数； (2)如图2，PC为⊙0的切线，AE∥OC交O0于点F,交PC于点E,已知CE=2,AB=5,求EF的长. 26.(2026安徽马鞍山二模)如图，⊙0是ABC的外接圆，AB是直径，D是A0的中点，过点C作⊙0的 切线m,过点D作AO的垂线交切线m于点E,连接AE,交OO于点F,连接BF, D (I)求证：∠AED=∠ABF; (2)若AB=20cm, AF 1 EF3,求EC的长 27.(2026安徽二模)如图，AB是O0的直径，C为O0上一点，点D是OA上一点，DE⊥AB交BC的 延长线于点E,交AC于点F,CG是OO的切线交DE于点G. (1)求证：CG=FG; (2)若AB=BE,CG=2,求AF的长 28.(2026安徽合肥·二模)如图，己知AB是⊙0的直径，直线BC与O0相切于点B,过点A作AD/OC 交O于点D,连接CD (1)求证：CD是⊙0的切线. (2)若AD=4,直径AB=12,求线段BC的长. D 29.(2026安徽合肥二模)如图，己知△ABC中，AC=BC,以BC为直径的⊙0交AB于E,过点E作 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OO的切线交BC的延长线于点F,EG⊥AC于G. (I)求证：AE=BE; (2)若AC=12,FE=8,求AG的长. 30.(2026安微阜阳二模)如图，AB是00的直径，C为00上一点，P为00外一点，PC与00相切， 且∠0BP=90°，连接OP,AC. D B (I)求证：OPIAC; (2)若AB=6,BP=4,求AC的长. 31.(2026安徽合肥二模)如图，AB为O0直径，C为O0上一点，CD平分∠ACB交O0于D,过D作 ⊙0的切线交CB延长线于点E. B O (I)求证：DE∥AB; (2)若AC=3,BC=4,求DE的长 32.(2026安徽合肥二模)如图，在ABC中，以BC为直径的O0交AB于点D,连接CD,过点D作 OO的切线EF,交CB的延长线于点E,交AC于点F,∠A=∠ABC. A B 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：EF⊥AC; ②若amE=克，BE=8,求O0的半径 33.(2026安微池州二模)如图，在Rt△ABC中，LA=90°，点O是BC边上一点，以点O为圆心，OB的 长为半径画圆，交BC边于点E,切AC边于点F,连接BF,EF,OF· A B (I)求证：BF平分∠ABC; (2)若AB=4.5,0F=3,求EF的长. ◆考点05 弧长与扇形面积 一、单选题 1.(2026安徽滁州二模)如图，⊙0的半径为1，A,B,C是⊙0上三点.若四边形OABC为平行四边形， 连接AC,则图中阴影部分面积为() π A. 2 B at D.g 2.(2026安微阜阳·二模)已知一个扇形的圆心角为72°，它所对的弧长是4r,则此扇形的半径是（) A.6 B.8 C.10 D.12 3.(2026安徽六安二模)如图，⊙0的直径为AB=12,点C在圆上，且∠CAB=30°，则AC的长为() B A.2π B.3π C.4π D.6π 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(2026安徽合肥二模)如图，AB是⊙0的直径，点C是AB下方AB的中点，连接AC,以点C为圆心， AC的长为半径作圆弧.若0A=2,则图中阴影部分的面积为() B A.4π B.2π+2 C.4 D.4π-2 5.(2026安微合肥二模)如图，AB是O0的直径，CD是弦，点C,D在直径AB的两侧.若 ∠A0C:∠A0D:∠DOB=2:7:11,CD=4,则CD的长为() C A D 0 B A.2π B.4π C.v2r D.√2π 2 6.(2026安徽芜湖二模)如图，在O0中，直径AB与弦CD相交于点E，,连接AC,BD,已知AC=CD, AB=2,∠AED=75°，则劣弧AD的长为() D B. c.4 D. 9 9 7.(2026安徽芜湖二模)中国高铁的飞速发展，己成为中国现代化建设的重要标志.如图是高铁线路在转 向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A,曲线终点为B,过点A,B的两条切线 相交于点C,列车在从A到B行驶的过程中转角a为60°.若圆曲线的半径0A=1.5km,则这段圆曲线AB的 长为(). 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 交点Ca转角 曲线起点A B曲线终点 曲线半径 曲线半径 圆心O A平m B.2km C. D. m 8 8.(2026安微阜阳二模)如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠A=60°，点E是AB的中点，以B为圆心，BE 为半径作弧，交BC于点F,连接DE、DF、EF,则阴影部分的面积为() A35+ B55+ c35- D55- 9.(2026安徽宣城二模)如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如 图2所示，它是以O为圆心，OA,OB长分别为半径，圆心角∠0=120°形成的扇面，若0A=5m, 0B=3m,则阴影部分的面积是()m2 富强民主文明和谐 自由平等公正法治 爱国敬业诚信友善 A. B. C.4π D.16 二、填空题 10.(2026安徽阜阳·二模)如图，⊙0的半径OA是⊙O的直径，⊙0的半径0C交⊙01于点B,若0A=2, ∠A0C=30°，则AB的长是· 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A 11.(2026安徽阜阳·二模)如图，AB是⊙0的弦，作0C⊥AB交过点A的切线于点C,若⊙0的半径为 2,∠AC0=5°，则劣弧AB的长度为 (结果保留刀) B 12.(2026安徽安庆二模)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC,OB,0C,∠D=70°， ∠ACB=50°.若⊙O的半径为5，则扇形B0C的面积为· A C D 13.(2026安徽六安·二模)如图，AB是00的弦，PB与⊙0相切于点B,圆心O在线段PA上.己知 ∠P=3∠A,0A=2,则ACB的弧长为· B 14.(2026安徽合肥二模)如图，四边形ABCD是00的内接四边形，∠B=58°，∠ACD=40°，若⊙0的 半径为5，则弧CD的长为 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 15.(2026安徽淮北二模)如图，⊙0经过菱形ABCD的顶点A,且分别与边BC,CD相切于点B,D.若 AB=3,则阴影部分的面积为 D B 16.(2026安徽二模)如图，PA,PB分别与00相切于A,B两点，若00的半径为2，∠P=60°，则图 中阴影部分的面积为 0 B 17.(2026安徽淮北二模)如图，在00中，0A=2,∠C=45°，则图中阴影部分的面积为 考点04 圆与多边形 一、单选题 1.(2026安徽滁州·二模)如图，四边形ABCD为⊙0的内接四边形，∠ABC=90°，BD平分∠ABC, BD=7√2，AB=6,则ABC的内心与外心之间的距离为() 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 A.√6 B.5 C.2 D. 2.(2026安微六安·二模)如图，连接正八边形ABCDEFGH的两条对角线AC,CG,则LACG=() A B A.22.5° B.30° C.45 D.60° 3.(2026安微池州二模)如图，一个正多边形中心点O为正多边形的中心，0A=1,若LACB=15°，则 这个正多边形的面积为() A.1 B.3 C.n D.3π 4.(2026安徽阜阳·二模)如图，四边形ABCD是O0的内接四边形，连接OA,OB,OC,AC,下列不 能判断四边形ABCO是菱形的是() D A.点B是AC的中点，LD=60° B.OA∥BC,AB∥OC C.∠AOB=∠D,∠OAC=∠BAC D.∠AOB=∠D,点B是AC的中点 5.(2026安徽准北二模)如图，⊙0为正八边形的外接圆，AB,BC为正八边形的边，P为优弧AC上一 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点，连接AP,CP,则∠P的度数为() B A.30° B.40° C.45 D.60° 6.(2026安徽合肥二模)如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，点P在对角线BF上，记图中的面积分别 为S,S,S,S4,S,S。,己知该正六边形的边长为6，下列代数式中，其代数式的值不能确定的是(). F E S D S3 B A.S3+S B.S+Ss C.Ss+So D.S+S3+Ss 7.(2026安徽安庆二模)如图，正五边形ABCDE的边长为2，分别以B,E为圆心，2为半径画弧，两弧 交于点P,连接BP和CP,则CP的长为() A B E D A.√5-1 B.√2 C. 2 D.9 8.(2026安徽阜阳·二模)如图，正六边形ABCDEF内接于O0,⊙0的周长为4π，则边心距0M的长为() 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 0 M A 分 A.5 B. 5 C. D.25 2 二、填空题 9.(2026安徽阜阳·二模)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD=AB=BC,直线EC与⊙O相切 于点C.若己知LABC=100°，则∠DCE的度数为 E 1/6学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06圆 ☆4大考点概览 考点01圆的基本性质 考点02切线判定与性质 考点03孤长与扇形面积 考点04圆与多边形 考点01 圆的基本性质 一、 单选题 1.(2026安徽合肥二模)一滑轮装置如图，滑轮的半径为30cm,假设绳索与滑轮之间没有滑动（π取 3.14),当重物上升47cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心0按逆时针方向旋转的角度约为() A.30° B.60° C.90 D.180° 【答案】C 【分析】根据弧长公式得到1=匹=47，即可得到答案 180 【详解】解：重物上升47cm, 故1=x=47, 180 即n×3.14×30 180 41， 解得n≈90，滑轮的一条半径OA绕轴心0按逆时针方向旋转的角度约为90°， 2.(2026安徽安庆·二模)如图，四边形ABCD内接于00，AB=2CD·若AB=6,CD=3,则00的半 径是() 0 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 号 R c. 9 D.5 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理，掌握垂径定理，圆心角、弦、弧之 间的关系，勾股定理是正确解答的关键.根据垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理进行计算 即可 【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB,垂足为F,交⊙O于点E,连接OA,AE, D B E 则AE=BE,AF=8F=4B=3, AB=2CD' ·AE=CD, .AE CD=13, 在Rt AEF中，AE=V13,AF=3, .EF=AE2-AF2=2, 设半径为R, 在Rt△A0F中，OA=R,OF=R-2,AF=3, 由勾股定理得，OA=0F2+AF2,即R2=(R-2)2+32, 解得R=3 4 故选：A. 3.(2026安微池州二模)如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C都在格点上，过A、B、C三 点的圆与网格线交于点D,则sin∠ADC的值为() 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A. 2V13 B. 3v13 c 3 D. 13 13 4 【答案】A 【分析】因为同弧所对的圆周角相等，可将求si∠ADC转化为求sin∠ABC.根据网格的坐标特征，计算 AB、BC、AC的长度，利用正弦的定义，即直角三角形中角的对边与斜边的比值，计算s∠ABC的值 【详解】：∠ADC和∠ABC都对弧AC, :∠ADC=∠ABC,即sin∠ADC=sin∠ABC. 根据每个小正方形边长为1，则AC=2,BC=3, 由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=V22+32=V3, ÷sin∠ABC=AC=2_23 AB 1313 ÷sin∠ADc=23 13 二、填空题 4.(2026安徽阜阳·二模)如图，⊙0的半径0A是⊙O的直径，⊙0的半径0C交⊙0于点B,若0A=2, ∠A0C=30°，则AB的长是 A 【答案】3 【详解】连接OB, ∠A0C=30°， .∠A0,B=2∠A0C=60°， 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0A=2, 1 0h=20A=l, AB=mR=∠A0B:π04_60°×πx1_元 180 180 180 5.(2026安徽芜湖·二模)如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为6cm,瓶内液体已经过半，液面到 烧瓶底部最大距离为8cm,则截面圆中弦AB的长为cm. 0 【答案】82 【分析】过点O作OC⊥AB交于点C,延长C0交⊙0于点D,连接A0,根据题意可得A0=6,CD=8, 4C=BC=AB,∠0CA=90°，先求出0C=2,再根据勾股定理求出AC=42,即可求出AB=8√5，即 可得出答案 【详解】解：过点O作OC⊥AB交于点C,延长CO交⊙O于点D,连接A0,如图： B D 则A0=6,CD=8,AC=BC=AB,∠0CA=90°， .0C=CD-0D=8-6=2, 在RtAAC0中，AC=√A02-C02=V62-22=4V2, AB=2AC=2×4V2=8V2. 即截面圆中弦AB的长为8√2cm 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(2026安微阜阳·二模)如图，AB为半圆O的直径，C,D是圆上两点，AD=CD,∠BAC=40°，则 ∠DAC= B 【答案】25° 【分析】先结合直径所对的圆周角是90度，得出∠ACB=90°，再算出∠ABC=50°，又因为AD=CD,得 出∠DBC=∠ABC=25°，最后根据圆周角定理进行分析，即可作答. 2 【详解】解：连接BC,DB,如图所示： B :AB为半圆O的直径， ∠ACB=90°， :∠BAC=40°， ∠ABC=90°-40°=50°， AD=CD, ÷AD=CD :∠DBC=)∠ABC=25, DC=DC, ∠DAC=∠DBC=25°. 7.(2026安徽芜湖二模)如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上的两点，∠ABC=70°，则∠BDC= B D 【答案】20 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握圆周角定理的推论是解题的 关键，先利用圆周角定理的推论得∠ACB=90°，进而得∠BAC=90°-70°=20°，然后根据同弧所对圆周角 相等得到∠BDC的度数 【详解】解：：AB是⊙O的直径， ∠ACB=90, ∴.∠BAC+∠ABC=90°， ∠BAC=90°-70°=20°， ·∠BDC=∠BAC=20°. 故答案为：20 8.(2026安微合肥二模)如图，在O0中，半径0A10C,且0A=2,延长半径0C到点B,使BC=0C, 连接AB交OO于点D,则AD=一： 【答案】4v5 5 【分析】根据勾股定理求出AB的长度，过O作OE⊥AB于E,根据垂径定理得出AD=2AE,证明 △AEO∽△AOB,根据相似三角形的性质求出AE的长度，即可求解. 【详解】解：：0A=2,BC=0C,0A=0C, .B0=4, .0A⊥0C, AB=A02+BO2=25, 过O作OE⊥AB于E,则AD=2AE, :∠AE0=LA0B=90°，∠A=∠A, ∴△AEO△A0B, 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AE 2 E=25, 40=24E-5 9.(2026安微阜阳二模)如图，AB为00的直径，CD为O0的弦，∠BCD=34°，则∠ABD=_ 0 【答案】56 【详解】解：连接AD, D :AB为⊙0的直径， .∠ADB=90°， ∴∠DAB+∠ABD=90°， :∠DAB=∠BCD=34°， ∴.∠ABD=90°-34°=56°， 故答案为56°. 10.(2026安徽池州二模)如图，AB是圆O的直径，点C在半径OB上，0C=3,BC=2,点D、E在 半圆上，DE=CE,DE⊥CE,则D到AB的距离为 E D A 【答案】 【分析】如图所示，过点E作EF⊥AB于点F,过点D作KG⊥AB于点G,过点E作KH⊥KG于点K,过 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点C作CH⊥KH于点H,连接EF,连接OE,OD,则四边形KGFE和四边形KGCH都是矩形，设 OF=m,EF=n,则KG=CH=n,EH=CF=3-m;证明△KDE≌aHEC(AAS),得到 DK=EH=3-m,KE=CH=n,则DG=m+n-3,OG=n-m,由勾股定理可得方程组 以-网风+0-3护=5解方程红可推我m+a=吕剥DG=m+n-3 m2+n2=52 31 【详解】解：如图所示，过点E作EF⊥AB于点F,过点D作KG⊥AB于点G,过点E作KH⊥KG于点K, 过点C作CH⊥KH于点H,连接EF,连接OE,OD,则四边形KGFE和四边形KGCH都是矩形， .FG=KE,KG=EF=CH,EH CF; 设OF=m,EF=n,则KG=CH=n,EH=CF=3-m; :DE⊥CE, .∠DEC=90°=∠K=∠H, ∠KED=∠HCE=90°-∠HEC, 又：DE=EC, △KDE≌△HEC(AAS), .DK EH =3-m,KE=CH =n, .DG=KG -DK =m +n-3,0G=FG-OF =n-m E H D AG :0C=3,BC=2, 0B=0C+BC=5, 0D=0E=5, 在Rt△OEF中，由勾股定理得OF2+EF2=OE2, 在Rt△0DG中，由勾股定理得OG2+DG2=OD m2+n2=52 (n-m)+(m+n-3)2=52’ :(n-m)）=m2+n2-2mn 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 25-2mn+m+n)-6(m+n+9=25, .25-2mn+m2+n2+2mn-6m+n+9=25, 25+25-6m+n+9=25, 17 ∴.m+n= 3 8 :DG=m+n-3= 点D到AB的距离为氵 11.（2026安微淮北·二模)如图，线段AB=2,以AB为直径画半圆，圆心为A,以AA,为直径画半圆①： 取AB的中点A,以AA,为直径画半圆②；取A,B的中点A,以A,4为直径画半圆③.按照这样的规律画 下去，大半圆内部依次画出的前6个小半圆的弧长之和为 ① ② ③ B A A A3 【答案】 63。,63元 6人 64 【分析】根据弧长公式计算得出半圆①、②、③的弧长，从而得出规律，求和即可得出结果， 【详解】解：：AB=2,以AB为直径画半圆，圆心为A,以A4为直径画半圆①， “半圆①的弧长为π×2÷2.1。 2 2 :取A,B的中点A,以AA,为直径画半圆②； ·半圆②的数长为)2到==月 42π 2 :取A,B的中点4，以A,A为直径画半圆③， :.半圆③的弧长为 t.G 1 2 可：长为：的长为。 半的长为 ， 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 大半国内部次国出的前6个小半国的长之和为++)x+[x+[付x+-名。 12.(2026安徽阜阳·二模)如图，点0为ABC中AC边上一点，以点0为圆心、OA长为半径，作⊙0恰 与BC边相切于点B,若LAB0=35°，则∠C= B 【答案】20°/20度 【分析】根据OA=OB可得∠BOC=2LAB0=70°，再根据切线的性质可得∠OBC=90°，利用三角形内角 和定理即可解答。 【详解】解：：0A=0B, :ZA ZABO, ∠B0C=2LAB0=70°， :OO恰与BC边相切于点B, .L0BC=90°， ∠C=180°-∠B0C-∠0BC=20° 13.(2026安徽铜陵·二模)如图，AB是⊙0的直径，点D是⊙0上一点，且∠ADC=30°，弦AC的长为 5cm,则弦BC的长为 cm. 【答案】53 【分析】本题考查的是圆的相关性质及直角三角形的计算，关键是运用圆周角定理和直径所对圆周角为直 角的性质来解题.根据同弧所对的圆周角相等，可得到∠ABC=∠ADC=30°，再结合直径所对的圆周角是直 角，可知ABC是直角三角形，进而利用三角函数求出弦BC的长， 【详解】解：：∠ADC=30°， ∠ABC=30°， 又：AB是⊙O的直径， 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ACB=90°， AC 在Rt△ABC中，BC= 5=55 tan30° 故答案为：53. 三、解答题 14.(2026安微合肥二模)如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径作⊙0，与斜边AB交于点E ,点D是OO上一点，点E是CD的中点，连接CE、BD、CD,AB与CD的交点为F. (I)求证：CA=CF; (2)若00的半径是6，CF=9,求BF的长 【答案】(1)证明见解析 (②BF=2I 【分析】(1)先证明∠CBE=∠DBE,再证明∠A=∠DFB,根据∠DFB=∠CFA证明∠A=∠CFA,即可得 到结论： 2)在Rt4BC中，AB925”CE=yS号，AE=号，由等胶三角形三线合一得 F-召即可得到答案 【详解】(1)证明：：点E是CD的中点， .CE DE, .∠CBE=LDBE, 又：BC是OO的直径， .∠D=90°， :∠DBE+∠DFB=90°， 又：∠ACB=90°， 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠CBE+∠A=90° .∠A=∠DFB, 又：∠DFB=∠CFA, :∠A=LCFA, :.CA=CF; (2)解：：BC是⊙0的直径， .∠BEC=90°， :CF=9, ·由(1)得：CA=9. :00的半径是6， .BC=12, 在Rt ABC中，AB=V92+122=15, CB=9x2_36,E=22 155 5 由等腰三角形三线合一得：EF=27 .BF=15-2× 2721 55 15.(2026安徽阜阳·二模)如图，在ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作O0交AC于点D.点E在线 段AD上，DE=CD.连接BE并延长交OO于F. (I)求证：LCBE=2LBAC; (2)连接OD交BF于点G.若EF=3EG,CE=I0,求O0的半径. 【答案】1)见解析 (25V5 【分析】(I)连接BD,根据直径所对的圆周角是直角，易得BD垂直平分CE,再根据等腰三角形三线合 的性质，得到∠CBE=2∠CBD,再根据同角的余角相等，得到LBAC=∠CBD,即可证明结论： 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)先根据等边对等角的性质和等角的余角相等，得出∠DGE=90°，由垂径定理可知BG=FG,进而得 到8E=5EG,再证明：DEG:BED,得到距e从而求出EG=5,设00的半径为R,利用勾最定塞 列方程求解即可 【详解】(1)证明：如图，连接BD, D BAB是O0的直径， ∠ADB=90°，即BD⊥AC, DE=CD, ∴BD是线段CE的垂直平分线， :BE=BC, ∠CBD=∠EBD, ∠CBE=2∠CBD, :∠ABC=90°， BC⊥OB, OB是⊙0的半径， .BC是⊙O的切线， 由弦切角定理可得：LBAC=∠CBD, ∠CBE=2LBAC; (2)解：：OD交BF于点G,EF=3EG, 设EG=a,则EF=3a,a>0, :FG=EF+EG=4a, :BE =BC, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠C=∠BEC, 在ABC中，∠ABC=90°， .∠A+∠C=90°， ∠A+∠BEC=90°， :AB是O0的直径， 0A=0D, ∠A=∠ODA, :L0DA+LBEC=90°， 在△DEG中，∠DGE=180°-（∠ODA+∠BEC)=90°， .OD⊥BF, 由垂径定理可得：BG=FG=4a, :BE BG+EG =5a, CE=10, ∴DE=CD=二CE=5, 在△EDG和△EBD中， .∠DEG=∠BED,∠DGE=∠BDE=90, ∴△DEG∽aBED, DE EG BE-DE 5 a 5a=5' 解得a=√5，a=-5(不合题意，舍去)， :EG=a=5,BG=4a=45,BE=5a=55, 在Rt DEG中，DE=5,EG=√5， 由勾股定理可得，DG=√DE2-EG2=V52-(N5)2=2√5， 设⊙O的半径为R, :.OB=OD =R, .0G=0D-DG=R-2V5, 在R1△0BG中，由勾股定理可得，0B2=0G2+BG2, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 R2=(R-25)2+(4V5)2, 解得R=5√5 【点晴】本题考查了圆周角定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，相似三角形 的判定和性质，勾股定理等知识，掌握圆的相关性质是解题关键 16.(2026安微芜湖二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AC=√5，以点B为圆心， BC为半径的OB交AB于点D. (1)求AD的长； (2)过点A作OB的切线与CB的延长线交于点E,连接DE,求DE的长 【答案】(1)AD=1 (2)DE=√万 【分析】(1)根据题意可得BD=BC,根据直角三角形的性质得出AB=2BC,结合勾股定理列出方程，求 出BC=1,得出AB=2,BD=BC=1,即可求解； (2)设AE与OB相切于点G,连接BG,过点D作DF⊥CE交CE于点F,则BG⊥AE,结合直角三角形 的性质得出LABC=60°，LBDF=30°，FB=, 根据勾股定理求出DF= 根据角平分线的判定得出 AB平分∠CAG,根据角平分线的定义得出∠BAC=∠BAE=30°，求得∠CAE=60°，∠ABE=120°， ∠1EB=30,推得∠E5=∠B4E,根据等角对等边得出8E=BA=:2,求得FE=),结合勾股定理即可求 解。 【详解】(1)解：根据题意可得BD=BC, 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AC=V5, .AB =2BC, 则AB2=BC2+AC2, 即(2BC)2=BC2+W5, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得BC=1, .AB=2,BD=BC=1, AD=AB-BD=2-1=1. (2)解：设AE与OB相切于点G,连接BG,过点D作DF⊥CE交CE于点F,如图： G 则BG⊥AE. :∠ACB=90°，∠BAC=30°， .∠ABC=90°-LBAC=90°-30°=60°， .∠BDF=90°-∠ABC=90°-60°=30°， :BC⊥AC,BG⊥AG,BC=BG, 故点B在LCAG的角平分线上， 即AB平分∠CAG, ∠BAC=∠BAE=30°， 则∠CAE=LBAC+LBAE=30°+30°=60°， ∠ABE=180°-LABC=180°-60°=120°， ∠AEB=90°-∠CAE=90°-60°=30°， 即∠AEB=∠BAE, :BE =BA=2, FE-FB+BE-1+2- 21 在Rt△DFE中，DE2=DF2+FE2 9 .DE =7. 17.(2026安微阜阳二模)如图，半径为√2的00内接ABC,∠B=60°，∠C=45°. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A 0 B (I)求AC的长： (2)求ABC的面积. 【答案】(1)√6 253 02+2 【分析】(1)连接OA,OB,OC,作OH⊥AC于点H,AM⊥BC于点M.得到LAOB=2LACB=90°，AB=2,求 出4=HC=6即可求出答案： (2)求出AM=CM=√5，BC=1+√5，根据三角形面积公式即可求出答案. 【详解】(1)解：如图，连接OA,OB,OC,作OH⊥AC于点H,AM1BC于点M, A :∠A0B=2∠ACB=90°， B M :AB=A02+BO F=2+(=2, :∠A0C=2∠ABC=120°，0A=0C,0H⊥AC, :∠40H=∠C0H=号∠A0C=60°， 2 ÷4H=HC=0Asi60=V5×5-6 22 :AC=AH+HC=6. (2)解：在RtAACM中，∠C=45°， AM CM=ACsin45=6x 2 在Rt△ABM中，BM=ABc0S∠ABC=2c0s60°=1， :BC=BM +CM=1+3, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ecAw+x5.5+号 22 18.(2026安徽阜阳·二模)如图，ABC内接于O0,M,N分别为BC,AC的中点，连接AM分别为 BN,BC于D,E两点，连接CM, (I)求证：CM=DM; (2)若AE=6,EM=5,求DM的长. 【答案】(1)见解析 ②)DM=55 【分析】(I)如图，连接BM,首先得到BM=CM,∠BAM=∠CAM=LMBC,∠ABN=∠CBN,等量代 换得到∠MBD=∠MDB,推出MD=MB,即可得到CM=DM; C2)证明ABMBEM,得到BM-4 EM BM ,然后代入得到BM=55,即可求解。 【详解】(1)证明：如图，连接BM, :M.N分别为BC,AC的中点， ·BM=CM,∠BAM=∠CAM=∠MBC,∠ABN=∠CBN, :∠MBD=∠MBC+∠CBN,∠MDB=∠ABN+∠BAM, .∠MBD=∠MDB, :MD=MB, :CM=DM (2)解：M是BC的中点， .BM =CM, .∠BAM=∠MBE, 又：∠AMB=∠BME, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴△ABM∽△BEM, BM AM EM BM :AE=6,EM=5, AM=11, BM 11 5 BM :BM=55, .DM BM, .DM=√55. 19.(2026安微阜阳·二模)如图，AB是半圆0的直径，点M位于半径OA上且不与点0、点A重合.以 BM为一边作平行四边形BMCD,且满足点C,D均在半圆O上. D M (I)连接AC,求证：△AMC是等腰三角形： (2)若点M是OA的中点，平行四边形BMCD的面积为3√7，求半圆O的半径r. 【答案】(1)见解析 (2)r=22 【分析】(1)连接BC,由平行四边形BMCD中，BM∥CD,可得LDCB=∠CBA,推出BD=AC,得 到BD=AC,结合BD=MC,即可证明； (2)作OE⊥CD于点E,连接CO,则点E是CD的中点.求出CD=BM=,CE=CD=,,由勾股 3 2 2 4 定理可知：OE=门，根据平行四边形BMCD的面积为3，得到万，3， r.2r=3√7，求解即可. 4 42 【详解】(1)证明：如图1，连接BC, 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D M 0 B 图1 :平行四边形BMCD中，BM∥CD, ∠DCB=∠CBA, :BD=AC, :BD AC, 又：平行四边形BMCD中，BD=MC, ·AC=MC, :△AMC是等腰三角形； (2)解：如图2，作OE⊥CD于点E,连接CO,则点E是CD的中点. E D M 图2 :点M是OA的中点， .CD-.CECD- , 在Rt△CE0中，由勾股定理可知：OE=√OC2-CE2 :平行四边形BMCD的面积为3√7， wi. 解得r=2√2（负值舍去）. 20.(2026安徽阜阳·二模)如图，以AB为直径的OO经过ABC的顶点C,AE和BE分别平分∠BAC和 ∠ABC,AE的延长线交⊙O于点D,连接BD 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D (I)求证：BD=DE. (2)若E为AD中点，AB-AC=4,求⊙0的半径. 【答案】()见解析 (2)5 【分析】(1)由角平分线的定义得出LBAD=LCAD,LABE=LCBE,根据同弧所对的圆周角相等得出 ∠CAD=∠CBD=∠BAD,再根据三角形外角的性质得出∠DEB=∠BAD+∠ABE,从而得出∠DBE=∠DEB 根据等角对等边即可证得BD=DE; (2)延长AC,BD交于点F,在Rt△ADB中，由勾股定理求得AB=√5a,利用ASA证明△ADB≌△ADF ,求得AB=FA=√5a,BD=FD=a,再证明aFDC∽aFAB,据此计算即可求解. 【详解】(1)证明：：AE和BE分别平分∠BAC和∠ABC, :ZBAD ZCAD,ZABE ZCBE, :LCAD和∠CBD是CD所对的圆周角， .∠CAD=∠CBD, .∠BAD=∠CBD, LDBE=LCBD+∠CBE=∠BAD+∠CBE, :∠DEB是△ABE的外角， ∴.∠DEB=∠BAD+∠ABE, .∠DBE=∠DEB, :BD DE; (2)解：延长AC,BD交于点F,如图 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :点E为AD的中点， 设AE=DE=a,则AD=2a, :AB是⊙O的直径，点D在O0上， ∠ADB=∠ADF=90°， 在RIAADB中，由勾股定理得AB=√AD2+BD2=V2a)2+a2=V5a, 在△ADB和△ADF中， I∠ADB=∠ADF AD=AD, ∠DAB=∠DAF :.△ADB≌△ADF(ASA, ∴.AB=FA=5a,BD=FD=a, .BF BD FD=2a, AB-AC=4, .AB-AC=AF-AC=CF=4. :四边形ABDC是⊙O的内接四边形， ∠FDC=∠FAB. 又：∠F=∠F, △FDC∽△FAB, FC FD FB FA 解得a=2V5, AB=V5a=10, 00的半径是5. 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 21.(2026安徽安庆·二模)如图，以ABC的边AC为直径作⊙0，点B在⊙0上，点D为O0上一点，连 接BD,且B为CD的中点，BE⊥AC于点E,连接CD交BE于点F. B (I)求证：BF=CF; (2)若AB=4,BD=2,求BE的长. 【答案】(1)证明见解析 (2BE=4V5 【分析】本题考查了圆的相关性质和等腰三角形的性质， (1)由垂直关系得出LEBC=∠A,再由B为CD的中点得出LDCB=LA,从而∠EBC=∠DCB,故 BF=CF; )由SAMC=)ACBE=ABBC结合AB=4,BD=2可得出BE的站 【详解】(1)证明：：AC是⊙0的直径， .∠ABC=90°， ∠A=90°-∠ACB. :BE⊥AC, .∠CEB=90°， ∠EBC=90°-∠ACB, :∠EBC=∠A. B为CD的中点， ·BD=BC, :∠DCB=∠A, ∠EBC=∠DCB, :BF=CF: (2)解：B为CD的中点，BD=2, 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BD=BC, :BC=BD=2. :AB=4,由(1)知∠ABC=90°， :在Rt△ABC中，AC=VAB2+BC2=V42+22=2√5 在RA4BC中，由等面积法，得Suc=) CBE=1ABBC. 1 ×2V5BE=x4x2, ·BE=4vS 22.(2026安徽宣城二模)如图，AB是⊙0的直径，弦CD⊥AB于点E,点G是CD上一点，连接AG并 延长交OO于点F,连接AD,DF· G B D (I)求证：△ADG∽△AFD; (2)若DG=2CG=4,点F为BC的中点，试求aDFG的面积. 【答案】（①）见解析 (2)45 【分析】(1)利用垂径定理以及圆周角和弧的关系得出相等的角，即可得出结论； (2)连接AC,CF,OC,OF,过点E作EH‖AC交AF于点H,利用相似三角形的判定和性质，圆周角定 理以及勾股定理进行求解 【详解】(1)证明：：CD⊥AB,AB是OO的直径， .AC=AD, ∠ADC=∠F, 又：∠DAG=∠FAD, ∴△ADGn△AFD: (2)解：如图，连接AC,CF,OC,OF,过点E作EHI‖AC交AF于点H, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B.DG=2CG=4, D】 CG=2,CD=DG+CG=4+2=6, :CD⊥AB,AB是OO的直径， EG=CE-CG=3-2=1, :点F为BC的中点， :CF=BF, .∠CAG=∠EAG, EH∥AC, :∠CAG=∠EHG=∠EAG,△ACG∽△HEG, .AE=HE, 4C-CG_2=2, HE EG 1 :AC =2HE=2AE, :∠ACE=30°， :∠CAE=90°-∠ACE=90°-30°=60°， ∠B0C=2∠CAE=2x60°=120°， BF=CF, LB0F=LC0F=∠A0C=60°， AC=CF=BF, :AC=CF, ∠CDF=∠CAF=∠AFC=∠AFD=30°， ∠CFD=∠AFC+∠AFD=30°+30°=60°， ∠DCF=180°-∠CDF-∠CFD=180°-30°-60°=90°， 在RtAACE中，CE=3,AC=2AE,AE2+CE2=AC2,即AE2+32=(2AE)2, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AE=√3（负值舍去）， :AC=23=CF, FG的面积=0G.CF-4×25=45, 23.(2026安微安庆二模)如图，AB是O0的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE1AB于点E, 交AC于点F,交OO于点H,DB交AC于点G. B H (I)求证：AF=DF. (②)若AF 2,sin∠ABD= ,求00的半径. 5 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】(I)根据D是AC的中点，DE⊥AB于点E,得到CD=DA=AH,得到LADH=∠DAC即可得证. (2)根据sin LABD= 5_4D,设4D=5x,AB=5x,运用勾股定理，得到BD=V5x2-5=25 ,结合sim∠ABD=5-DE 得到DE=2x,运用勾股定理，得到BE=25x}-(2x2=4x,从而得到 4E=xP=D-0F=DE-4-2x》 在RtAAEF中，利用勾股定理计算x即可. 【详解】(1)：D是AC的中点， CD=DA, :DE⊥AB,AB是OO的直径， DA=AH, :CD=DA=AH, .∠ADH=LDAC, 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AF =DF. (2):DE⊥AB,AB是O0的直径， ∠ADB=90°， :sin∠ABp=54D 设AD=V5x,AB=5x, ÷BD=V5x2-(5x=25x, Fsin∠ABD=5DE 5 BD .DE =2x, ÷BE=V25x2-(2x)2=4x, AEXEFED-DF-DE-AF-2-) 在Rt△AEF中，AF2=AE2+EF2, =r+fx 解得x=2或x=0(舍去)， AB=5x=10, 00的半径为5. 【点晴】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数，熟练掌握垂径定理，勾股定理，圆周 角定理，正弦函数是解题的关键 24.(2026安徽合肥二模)如图，AB、AC分别为⊙0的直径和弦，过点0作0D上AC,垂足为点E,交 OO于点D,点F为线段OE上一点，连接CD,BF∥CD, B (I)求证：BF=CD: (②)若EF=1,AC=210,求0F的长. 【答案】()见解析 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 a0F=2 1 【分析】(1)连接BC,根据圆周角定理得到LACB=90°，根据垂线的定义得到∠OEA=90°，可知 DF∥BC,进而证明四边形BCDF为平行四边形，可知BF=CD; (2)设OF=x,则OE=x+1,根据平行四边形的性质得到DF=BC,根据垂径定理求出AE=√0，根据 三角形中位线定理得到BC=2x+2,即DF=2x+2,进而求出0A=0D=3x+2,根据勾股定理求解即可. 【详解】(1)证明：如图，连接BC, B 0 F :AB为OO的直径， E D ∠ACB=90°， 即BC⊥AC. :OD⊥AC于点E ∠0EA=90°. .OD∥BC, 即DF∥BC· DF∥BC,BF∥CD :四边形BCDF为平行四边形. BF=CD; (2)解：设OF=x. :EF=1, :.OE OF +EF =x+1, :四边形BCDF是平行四边形， :DF BC. :OD⊥AC 1 AE-EC-7AC :AC=2V10, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.AE=10, 在Rt△ABC中，O是AB中点，E是AC中点， OE是ABC的中位线 .BC=2OE=2(x+1)=2x+2, :DF=BC=2x+2. ..OD=OF+DF=x+(2x+2)=3x+2, ..OA=OD=3x+2. 在Rt△0AE中，由勾股定理得OA=OE2+AE2,即(3x+2)2=(x+1)2+(10)2. 1 7 解得，=2=一4 (舍去，因为线段长不能为负) 1 ∴.OF= 25.（2026安徽六安·二模)如图，AB、CD是⊙0的两条弦，AB和CD相交于点P. (I)求证：PA·PB=PC·PD; (②若4B是o0的直径且AB1CD,4P=l,sinD=5 .求sin C0A. 【答案】(1)见解析 a号 【分析】本题考查了圆的性质，相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数 C1)连接4C,BD.由∠C=∠B,∠A=∠D,可证aP4 CvPDB,从而得到以=PS,整理后证得结 PD PB 论； (2)先在Rt△APD中，求出AD,PD的长，运用垂径定理可得PD=PC,结合(1)的结论，求出PB,从 而求得圆的直径、半径，最后在RtACPO中，求出sin ZCOA. 【详解】(1)(1)证明：如图，连接AC,BD. 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C 0 B D :∠C=∠B,∠A=∠D, △PAC∽△PDB, PA PC PD PB PA·PB=PCPD. (2)解：：AB⊥CD, ∠APD=90°， AP =1,sin D= 5 5 ·sinD=AP-V5 AD 5 AD=5, PD=AD2-AP2=5-1=2, :AB是OO的直径且AB⊥CD, .PD=PC=2, 由(1)可知，PA·PB=PC·PD, .1×PB=2×2, ∴.BP=4, 则AB=AP+BP=1+4=5, .C0=5AB=2.5, AB⊥CD, ∠CP0=90°， sin∠CoA=PCs24 0C2.55 26.(2026安徽六安二模)如图，AB为O0的直径，四边形ABCD内接于O0,连接0C,0D,0D与 AC交于点E,且OD∥BC, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (I)求证：AD=CD: (2)若AC=14,DE=6,求00的半径。 【答案】(1)见解析 (②00的半径长为85 12 【分析】(1)由AB是直径推出BC⊥AC,结合已知OD∥BC,推出OD⊥AC,OD垂直于弦AC,所 以AD=CD,最后根据“等弧对等弦”即可求证； (2)由0D1AC,得AE=4C=7,设半径0A=0D=r,则0E=0D-DE=r-6,在R1aA0E中利 用勾股定理列方程72+(r-6)2=r2,解方程即可. 【详解】(1)证明：：AB为00的直径， .∠ACB=90°， 即BC⊥AC, .OD∥BC, .OD⊥AC, :0D平分弧AC, :AD =CD; (2)解：：AC=14,OD⊥AC, AE=CE=AC=7. 设0A=OD=a, :DE=6, 0E=0D-DE=a-6, 在Rt△AOE中，由勾股定理得： AE2+OE2=0A2, 即72+(a-6)2=a2, 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 85 解得a 12 即00的半径长为2 ,85 【点晴】本题考查圆周角定理，垂径定理，弧弦关系，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活应用是解决 本题的关键 27.(2026安微合肥二模)如图，己知在O0中，AB为直径，点C为圆上一点，且点D为弧BC的中点， 过点D作DE平行于AB交AC于点E,连接OD, E E B B 图1 图2 (1)如图1，求证：四边形AODE为菱形； (2)如图2，连接BC,BD,若AC=8,BC=6,求tanZCBD的值. 【答案】(1)见解析 1 23 【分析】(1)连接AD,由题意得LCAD=∠BAD,证明LCAD=∠ADO,推出OD∥AE,易证四边形AODE 为平行四边形，结合OA=OD,即可证明结论； (2)连接AD,延长AC交BD的延长线于点F,勾股定理求出AB=I0,证明△ADE≌△ADB(ASA),推出 CF=2,利用正切的定义即可求解， 【详解】(1)证明：如图，连接AD. D 点D是弧BC的中点， .∠CAD=∠BAD. :0A=0D, .LBAD=∠ADO, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠CAD=∠ADO, OD∥AE. 又：DE∥AB, :四边形AODE为平行四边形. :0A=0D, :四边形AODE为菱形 (2)解：如图，连接AD,延长AC交BD的延长线于点F, :AB为直径， E LACB=90°，∠ADB=90°， :AC=8,BC=6, AB=√AC2+BC2=10. :∠ADB=90°， ∠ADE=∠ADB=90°， 又：∠CAD=∠BAD,AD=AD, △ADE≌△4DB(ASA, .AF=AB=10, AC=8, .CF=2, 在RtaBCF中，tan∠CBD=CF-2=1 CB 6 3 28.(2026安徽芜湖二模)如图，ABC内接于O0,AB=AC,点D在O0上，点E在BC边上，连接 AD,AE,BD,CD,∠BAE=∠CAD, 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 D (I)求证：△ABD∽△AEC; 、≥堂A4，今的直 BC 【答案】（①）见解析 o 【分析】(1)由等边对等角、圆周角定理以及等量代换可得∠ADB=∠ABC,利用角的和差可得 ∠BAD=LEAC,再根据两角对应相等，两三角形相似即可证明结论； 》先说明%-专由D得△ABD∽△ABC,利用相似三角形的性质可得BD=EC, 4 △ABEn△ADC可得CD=BE,进而得到BD+CD=BC,最后代入求比例即可. 4 4 【详解】(1)证明：“AB=AC, ∴.∠ABC=LACB, AB=AB, ∠ADB=∠ACB, .∠ADB=∠ABC, :∠BAE=∠CAD, ∠BAE+∠EAD=∠CAD+∠EAD,即LBAD=∠EAC. :∠BAD=∠EAC,∠ADB=∠ACE, △ABD∽△AEC. (2)解：AB=AC, AB 4 4D5 AC 4 AD5' 由(1)得△ABD∽△AEC, EC AC4 ÷BDAD5 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :BD-5EC. 41 AC=AC' .∠ABE=∠ADC, 又：∠BAE=∠CAD ∴.△ABE∽△ADC, BE AB 4 CD AD 5' .CD= BE. :BD+CD=(EC+BE) 4 5BC 4 5BC :BD+CD 5 BC BC 4 29.(2026安徽毫州二模)如图，AB为00的直径，0D⊥BC于点F,点C,D均在⊙0上，BC与 AD交于点E. D B (I)求证；CD2=AD·DE; ②诺am∠C4D=,求cos∠CDA的值 【答案】()见解析 @ 【分析】本题主要考查了圆的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的定义以及平行线的判定与性质： (1)先根据垂径定理得到CD=BD,从而得到∠CAD=∠ECD,又有∠CDA=∠EDC(公共角)可判定 △DCE∽△DAC,根据相似三角形对应边成比例即可得证； (2)先根据圆周角定理得到∠ACB=90°，再利用平行线得∠EDF=∠CAD,在RtAACE中， mC4D-装-分设cE=a:则：C:n:在a05r中，m∠FDF-5-分校-，则 DF=2k,CF=a+k,BF=a+k,根据∠CAD=∠CBD推得a=3k,从而得到AC=6k,BC=8k, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB=10k,利用cOs∠CDA=cOS∠CBA BC即可解答。 A 【详解】(1)证明：：OD⊥BC, CD BD, .∠CAD=∠ECD 又：∠CDA=∠EDC, .△DCE∽△DAC CD DE AD CD CD2=AD·DE; (2)解：如图，连接BD, B:AB为O0的直径， ∠ACB=90°， 在RtACE中，tan∠CAD=CE-L AC2' 设CE=a,则AC=2a, :AB为O0的直径，OD⊥BC, DO∥AC,∠EDF=∠CAD, :在Rt△DEF中，tan∠EDF= EF1 DF2' 设EF=k,则DF=2k,CF=a+k,BF=a+k, :∠CAD=∠CBD, 5在Ra△80F中，am∠CBD-B0S-,即BP=2DF, DF 1 a+k=2x2k,解得a=3k, 在Rt△ABC中，AC=6k,BC=8k, AB=AC2+BC2=10k, Cos∠CDA=cos∠CBA=BC_4 AB 5 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 30.(2026安微池州·二模)如图，在ABC中，点D在AC上，连接BD,以BD为直径作⊙0，O0经过 点A,与BC交于点E,且AB=BE· (1)若∠DAE=25°，求∠C的度数： (2)若AB=6,AD=3,求CD的长. 【答案】(1)40 (2)5 【分析】(1)根据圆周角定理，直角三角形的性质，求解即可； (2)连接DE,证明△CED∽△CAB,再利用勾股定理求解即可； 【详解】(1)解：：以BD为直径作⊙0，⊙0经过点A, .∠BAC=90°. :∠DAE=25°， .∠DBE=25°. AB=BE, :AD=DE, ∠ABD=∠CBD=25°， .∠ABC=50°， ∠C=90°-∠ABC=40°. (2)解：连接DE, D AD=DE,BA=BE,AB=6,AD=3, :AB BE =6,AD DE =3. :BD是直径， .∠BED=90°， 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 、∠CED=180°-∠BED=90°， :∠CED=∠CAB=90°，∠C=∠C, △CED∽△CAB, CE CD DE 3 1 AC BC AB 6 2' 设CD=x,则BC=2x, .CE BC-BE =2x-6. :在Rt△CDE中，CD2=DE2+CE2, x2=32+(2x-6)2, 解得x=3(舍)，x2=5. CD=5. 31.(2026安徽二模)如图，AC,BD为O0的直径，P为O0上与A,B,C,D均不重合的点， PE⊥AC于点E,PF⊥BD于点F,AC=I2,连接EF, D B 图1 图2 (I)如图1，若PE的延长线经过点B,DF-3,求∠EPF的大小； (2)如图2，若∠EPF=45°，求线段EF的长. 【答案】(1)60° (2)EF=3V2 【分析】(1)连接PD,OP,证明△FPD≌△FP0,得∠FPD=∠FPO,再证明 ∠OPB=∠FP0=∠FPD=30°，即可得出结论： (2)延长PE,PF与分别交于点Q,R,连接00，OR,OR.得∠OOR=90°，由勾股定理求出 QR=6V√2，证明EF为△PQR的中位线，即可得出结论. 【详解】(1)解：如图，连接PD,OP, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 因为AC=12, 所以BD=12, 从而0D=6, 而DF=3, 所以，OF=DF=3, 所以F为OD的中点， 又PF⊥BD, 所以PF是线段OD的垂直平分线， 所以，△FPD≌△FP0, 故∠FPD=∠FPO, 又BD是直径， 所以LBPD=90°， 又已知LPFB=90°， 因为∠FPD+∠FPB=90°，∠FPB+∠FBP=90°， 所以，∠FPD=∠FBP, 因为0P=0B, 所以∠OPB=∠OBP=∠FPD, 即∠OPB=∠FP0=∠FPD=30°， 所以∠EPF=60°. (2)解：如图，延长PE,PF,分别交于点Q,R,连接O0,OR,OR P 因为∠EPF=45°， 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以∠QOR=90°， 而O9=OR=6, 所以QR=6V5 因为OE⊥PR, 所以E为PR的中点， 同理F为PQ的中点， 所以EF为△POR的中位线， 故EF-号0R=35 32.(2026安徽铜陵二模)如图，⊙0的半径为3，AB为⊙0的直径，点C为O0上一点，CE⊥AB于点 E,∠OCE的平分线CD交OO于点D,连接AD. B D (I)求∠BAD的大小： (2)若弦AC的长为2，求弦CD的长. 【答案】(1)45° (2)4+√2 【分析】(1)连接OD,根据角平分线的定义及等边对等角得到LECD=LODC,进而证明CE∥OD,可知 ∠BOD=90°，根据圆周角定理可知∠BAD的大小； (2)过点A作AF⊥CD于点F,根据圆周角定理得到LACD=45°，根据等角对等边得到AF=CF,根据勾 股定理求出AF=CF=√2，进而求出AD=3√2，DF=4,即可求出弦CD的长. 【详解】(1)解：如图，连接0D, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D :CD平分∠OCE, .∠OCD=∠ECD, 0C=0D, .L0CD=∠0DC, ∠ECD=LODC, CE∥OD, :CE⊥AB, OD⊥AB, .∠B0D=90°， ∠BMD=2∠B0D=459, (2)解：如图，过点A作AF⊥CD于点F, 由(1)知OD⊥AB, ∠A0D=90° B∠ACD=3∠40D=45°， .LCAF=45°， .AF=CF .AC=2, AF2+CF2=22, AF=CF=V2(负值舍去)， ∠A0D=90°， AD=V0A2+0D2=V32+32=3V2, DF=AD2-AF2=4 CD=DF+CF=4+2. 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D 33.(2026安微宣城二模)如图，在O0中，AB为直径，AC与CD为弦，AB⊥CD于点E,DF1AC于 点F,AB与DF相交于点G. F G B (1)若∠DGB=56°，求∠BDC的度数； (2)若AB=20,BE=8,求CD的长. 【答案】(1)34° (2)8√6 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关图形的判定和性质. (1)先求出∠A=90°-∠AGF=34°，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出答案即可； 2)连接0C,根据48=20，得出01=0B=0C=B=10,根据垂径定理得出CE=CD,根据勾股 2 定理求出CE=√0C2-0E2=V102-22=4√6，即可得出答案， 【详解】(1)解：：∠DGB=56°， ∠AGF=56°， :DF⊥AC于点F, ∠GFA=90°， ∠A=90°-∠AGF=34°， :∠A与LBDC都是弧BC所对的圆周角， ∠BDC=∠A=34°. (2)解：连接0C,如图所示： 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F G D E B AB=20, 0A=0B=0C=14B=10, 0E=0B-BE=10-8=2, :AB⊥CD, CE-CD.CO CE=V0C2-0E2-V102-22=46, ∴CD=2CE=8√6 34.(2026安徽蚌埠二模)如图，AB是⊙0的直径，点C在⊙0上，过点C作CE1AB于点E,点F是线 段CE上一点，连接BF并延长交OO于点D,若点C是弧BD的中点. B E (I)求证：BCF是等腰三角形； ②者CE=12,an4=},求o0的￥径， 【答案】(1)见解析 (2)12.5 【分析】(I)根据题意易证∠BCF=∠CAE,∠CBF=∠CAE,进而推出∠BCF=∠CBF,即可证明结论： (2)在Rt△ACE中，解直角三角形可得AE=4CE=16,连接OC,设00的半径为X,利用勾股定理求出 3 x=12.5,即可得到结果 【详解】(1)证明：：AB是⊙0的直径， ∠ACB=LACE+LBCF=90°， 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :CE⊥AB, :LACE+LCAE=90°， .∠BCF=∠CAE, :点C是BD的中点， :BC=CD, .∠CBF=∠CAE, ∠BCF=∠CBF, :CF=BF, △BCF是等腰三角形： (2)解：在RtAACE中， CE 3 .CE=12,tanA= AE 4' AE=4cE=16. 3 连接0C, D 设00的半径为x, 在Rta0CE中，0C=x,0E=16-x,CE=12, 由勾股定理得x2=122+(16-x)2, 解得x=12.5, 00的半径为12.5. 考点02 切线判定与性质 一、填空题 1.(2026安徽蚌埠二模)如图，点B在⊙0的直径AE的延长线上，BD与⊙0相切，切点为D,过点A 作AC⊥BD,垂足为C,连接AD,若∠B=40°，则∠ADC的度数是 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 【答案】65 【分析】连接D0,根据圆的切线的性质得到OD⊥BD,则OD∥AC,∠BAC=90°-∠B=50°，然后根据等 腰三角形的性质以及平行线的性质求出∠I=∠3=∠BAC=25°，再根据直角三角形锐角互余求解∠ADC. 2 【详解】解：如图，连接DO 0 D :BD与OO相切，切点为D, OD⊥BD, :AC⊥BD :.OD∥AC,∠BAC=90°-∠B=90°-40°=50°， .∠2=∠3 :0A=0D .∠1=∠2， 1 1=23=2B1C=25°， ∴.∠ADC=90°-∠3=65°. 2.(2026安微滁州二模)如图，CD是⊙0的直径，点A在CD的延长线上，AB是⊙0的切线，B为切点， 连接BC,若∠A=20°，则∠C的度数为 【答案】35° 【分析】连接OB,由AB是O0的切线，则有∠AB0=90°，根据直角三角形两个锐角互余得出 ∠A0B=90°-20°=70°，根据等边对等角得LC=∠0BC,根据三角形外角的性质得出 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠C+∠0BC=∠A0B=70°，最后求出结果即可. 【详解】解：连接OB,如图所示： D :AB是OO的切线， OB⊥AB, 、∠AB0=90°， :∠A=20°， .∠A0B=90°-20°=70°， :0C=0B, ·LC=L0BC, .∠C+∠0BC=∠A0B=70°， <C-70=3 3.(2026安徽阜阳·二模)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD=AB=BC,直线EC与⊙O相切 于点C.若已知∠ABC=100°，则∠DCE的度数为 E 【答案】60°/60度 【分析】连接圆心与圆上点OA,OB,OC,OD,根据题意可设∠AOD=∠A0B=LB0C=a,结合等腰三角形 性质推出LABC=180°-a,由∠ABC=100°求出a=80°；再依次计算∠AD0、∠ADC,得到L0DC=30°， 结合切线性质∠0CE=90°，最终求得∠DCE=60°， 【详解】解：连接OA,OB,OC,OD, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E A AD=AB=BC, ·AD=AB=BC: ∠AOD=∠A0B=∠B0C, 设∠A0D=∠A0B=∠B0C=Q, 在△OAB和△OBC中，OA=OB=OC, ∠0BA=∠0BC=180°-& 2 ∠ABC=∠0BA+∠0BC=180°-a, :∠ABC=100°， .180°-a=100°， 解得a=80°， ∴.∠A0D=∠A0B=∠B0C=80°， ∠4D0-180°-∠40D=180,80°-50， 2 2 四边形ABCD内接于⊙O, ∠ADC=180°-∠ABC=180°-100°=80°， ∠0DC=∠ADC-∠0DA=80°-50°=30°， :0D=0C, ∠0CD=L0DC=30°， :直线EC与⊙O相切于点C, ∴∠0CE=90°， :∠DCE=∠0CE-∠0CD=90°-30°=60° 4.(2026安徽阜阳二模)如图，点0为ABC中AC边上一点，以点0为圆心、OA长为半径，作⊙0恰与 BC边相切于点B,若LAB0=35°，则LC= 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 【答案】20°/20度 【分析】根据0A=0B可得∠B0C=2∠AB0=70°，再根据切线的性质可得∠0BC=90°，利用三角形内角 和定理即可解答。 【详解】解：：0A=0B, ∠A=∠AB0, ∠B0C=2∠AB0=70°， :O0恰与BC边相切于点B, .∠0BC=90°， ∠C=180°-LB0C-∠0BC=20°. 5.(2026安微毫州二模)如图，四边形ABCD是⊙0的外切四边形，AB=9,CD=15.则四边形ABCD的 周长为 0 B 【答案】48 【分析】本题考查了切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键。 根据切线长定理得到AE=AH,BE=BF,CF=CG,DH=DG,得到AD+BC=AB+CD=24,根据四边形的 周长公式计算，得到答案。 【详解】解：如图，令⊙O与边AB,BC,CD,AD的切点分别为E,F,G,H, B :四边形ABCD是⊙O的外切四边形， 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AE=AH,BE BF,CF =CG,DH=DG, ..AH +DH+BF+CF=AE+DG+BE+CG AD+BC=AB+CD=9+15=24, :四边形ABCD的周长为 AD+BC+AB+CD=24+24=48. 故答案为：48 6.(2026安徽马鞍山二模)如图，AB为O0的直径，点P在AB的延长线上，PC,PD与O0相切，切点 分别为C,D.若AB=6,PC=4,则CD= B 【答案】24 【分析】连接OC,OD,设CD与AB交于点E,根据切线的性质结合勾股定理求出OP的长，进而求出 sin∠COP,解Rt△OEC,求出CE的长，即可. 【详解】解：连接OC,OD,则0C=OD, B :PC,PD与⊙0相切， PC=PD,OC⊥PC, ∴.OP垂直平分CD, .CD =2CE, :AB为直径，且AB=6, .0C=3, 在RtAOCP中，0P=VOC2+CP2=5, sin∠Cop=PC-4 0P=5' 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 412 在Rt△0EC中，CE=OC.sin∠COP=3×-= 55 .CD=2CE=24 · 7.(2026安微阜阳·二模)如图，AB是00的直径，AC与⊙0相切，A为切点，连接BC.己知 ∠ACB=55°，则∠B的度数为 的 【答案】35°/35度 【分析】由圆的切线垂直于过切点的半径得LBAC=90°，进而即可得解 【详解】解：：AC与⊙0相切， LBAC=90°， 又：∠ACB=55°， .∠B=90°-∠C=90°-55°=35°. 二、解答题 8.(2026安徽六安二模)在A0B中，0A=0B,圆0与AB相切于点C,OB与圆0交于点D,E为弧 DEC上一点，∠DEC=20°. B B 图1 图2 (1)如图1，求∠AOB的大小： (2)如图2，延长D0交圆O于点F,CE∥A0,CE与OD交于点G,连接EF,OD=3,求EF的长. 【答案】(1)80° (2)3V5 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】(1)利用切线的性质得∠OCB=∠OCA=90°，再证明Rt△OBC≌RtAOAC(HL),得到 ∠AOC=∠B0C,又由圆周角定理得∠B0C=2∠DEC=40°，进而即可求解： (2)由平行线的性质得∠EC0=∠A0C=40°，由三角形外角性质得∠BGC=80°，即得 LEDG=LBGC-∠DEC=60°，得到∠F=30°，再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可求解. 【详解】(1)解：：⊙0与AB相切于点C, OC⊥AB, ∠0CB=∠0CA=90°， 在Rt△OBC与RtAOAC中， OB=OA OC=OC RtAOBC≌RtAOAC(HL, ∴.∠AOC=∠BOC, :∠DEC=20°， ∠B0C=2LDEC=40°， :∠A0B=2∠B0C=80°； (2)解：由(1)可得，∠A0C=∠B0C=40°， :CE∥AO, :∠EC0=∠A0C=40°， :LBGC=∠B0C+∠EC0=40°+40°=80°， :∠DEC=20°， ∴∠EDG=∠BGC-∠DEC=80°-20°=60°， FD为直径， .∠DEF=90°， ∠F=30°， 0D=3, .DF=20D=6, :DE=IDF=3, 2 EF=VDF2-DE2=V62-32=3V5. 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【点晴】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等， 熟练掌握知识点是解题的关键。 9.(2026安徽安庆二模)己知：如图，AB是⊙0的直径，点E为⊙0上一点，点D是4E上一点，连接 AE并延长至点C,使∠CBE=∠BDE,BD与AE交于点F. (1)求证：BC是O0的切线； (2)若BD平分∠ABE,求证：AD2=DF·DB· 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【分析】(1)利用AB为直径，得出LBEA=9O°，利用∠BDE=∠BAE,∠CBE=∠BDE得出LBAE=∠CBE, 从而得出∠EBA+∠EBC=90°，进而得出结论： (2)证出△FDA∽△ADB即可得出结论. 【详解】证明：(1)：AB为直径， ∠BEA=90°， 在RIABEA中，∠EBA+∠BAE=90°， 又：∠BDE=∠BAE,∠CBE=∠BDE, .∠BAE=∠CBE, ∠EBA+∠CBE=90°，即∠ABC=90°， BC⊥AB, 又：AB为O0的直径， :.BC是⊙O的切线； (2) BD平分∠ABE, ∠EBD=LDBA, 又：∠EBD=∠EAD, ∠DBA=∠EAD, 又：∠FDA=∠ADB, 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴△FDAn△ADB, AD FD BD AD :AD2=DF.DB. 【点晴】本题考查了切线的判定，同弧所对的圆周角相等，三角形相似的判定和性质；证明切线有两种情 况(1)有交点，作半径，证垂直；(2)无交点，作垂直，证半径， 10.(2026安徽二模)如图，AB为O0的直径，C为圆弧上一点，D为BC的中点，过D点作O0的切线 交射线AC于点E,连接AD,BD. (I)求证：AE⊥DE: (2)若DE=4,BD=5,求AC长. 【答案】(1)证明见解析； a号 【分析】(1)连接OD,得到OD⊥DE,再结合弧中点所对圆周角相等及等腰三角形底角相等的性质推导 出内错角相等，进而证明OD与AE平行，最终由垂直的传递性得到AE⊥DE; (2)连接CD,利用弧中点的性质得到CD=BD,结合(I)的结论用勾股定理求出CE的长度，再通过圆 内接四边形的外角等于内对角及同角的余角相等证明△ECD与△DEA相似，借助相似三角形的比例关系求出 AE的长度，最后通过线段的差计算出AC的长度， 【详解】(1)证明：如图，连接0D, D :DE是⊙O的切线，D为切点， OD⊥DE,即∠0DE=90°， 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :D为BC的中点， :BD DC, ∠BAD=∠CAD, 又0A=0D, ∴.∠BAD=∠ODA, ∠CAD=∠ODA, .OD AE, ∠E=∠ODE=90°，即AE⊥DE. (2)解：如图，连接CD, :D为BC的中点， .CD BD =5. 由(1)知∠E=90°， 在RtACDE中，由勾股定理得CE=VCD2-DE2=V52-42=3· :AB为⊙O的直径， .∠ADB=90°， .∠DAB+∠B=90°. :四边形ACDB内接于⊙O, .∠ECD=∠B. 又：∠E=90°， ∠EDC+∠ECD=90°， ∠EDC=∠DAB :∠DAB=∠EAD, ∠EDC=∠EAD, ∴△ECDm△EDA. 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ED EC EA -ED 即4、3 EA,解得EA=6 .AC=AE-CE= 63 7 3 11.(2026安徽滁州二模)如图，AB为⊙0直径，C,D为O0上的两点，且CE是⊙0的切线，CE⊥DB 交DB的延长线于点E B D (I)求证：∠ACD=2LA; (2)若AB=5,BE=1,求BD的长. 【答案】()见解析 (2)BD=3. 【分析】(1)连接OC,利用切线的性质结合已知判定出OC∥DE,得出∠D=∠DC0,由等弧对等角得 ∠A=∠D,再利用角的等量代换即可解答； 3 (2)作OF1BD于点F,证明四边形OCEF是矩形，求出BF=EF-BE=,再利用垂径定理求解即可. 【详解】(1)证明：连接0C,如图， E B :CE是OO的切线， .OC⊥CE, :CE⊥DB, OC∥DE, ∠D=∠DC0, BC=BC, ∠A=∠D, ∠A=∠DC0, 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0A=0C, ∠A=∠AC0, ∠ACD=∠DC0+∠AC0=2∠A; (2)解：作OF⊥BD于点F,如图， B ∠0CE=∠E=∠0FE=90°， :四边形OCEF是矩形， :AB=5, “EF=OC=OB=}AB= 1 BBF=EF-BE)】 OF⊥BD, .BD 2BF=3. 12.(2026安徽六安·二模)如图，在口ABCD中，以AB为直径作O0,CD恰好为O0的切线.点M为AB 上方⊙O上的点，连接BM、CM. M (1)求证：∠ABC=45°； O者B以=8，sn∠BCM=,求BC的长， 【答案】()见解析 (2)5√2 【分析】(1)连接OC,根据切线的性质可得OC⊥CD,根据平行四边形的性质可得AB∥CD,则OC⊥AB ,进而根据半径相等可得0B=OC,即可得证： (2)连接AM,则∠BAM=∠BCM,根据sin∠BAM=sin∠BCM,求得AB=10,则OB=5,进而利用勾 股定理，即可求解 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)证明：如图，连接0C, M B :CD是O0的切线， D C .0C⊥CD, :四边形ABCD是平行四边形， ·AB∥CD .OC⊥AB, :0B=0C, :△OBC是等腰直角三角形， ∠0BC=45°，即∠ABC=45°. (2)解：连接AM,则LBAM=∠BCM, :AB是O0的直径， .∠AMB=90°， ·sin∠BAM=sin ZBCM=AB5即&s4 AB=10, .0B=0C=5 .在Rt△0BC中，BC=√2OB=5√2 13.(2026安徽合肥二模)如图，AB为O0的直径，点F在⊙0上，OF⊥AB,点P在AB的延长线上， PC与O0相切于点C,与OF的延长线相交于点D,CA与OF相交于点E. D (I)求证：DC=DE; (2)若0A=20E,DF=3,求PB的长 【答案】(1)见解析 (2)8 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】本题考查切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键. (1)连接0C,可得∠OCD=∠0CP=90°，进而得到LDCA=∠AE0,根据∠AE0=∠DEC得到 ∠DCA=∠DEC,从而得到结论； (2)设OE=x、OA=2x,则EF=x,DE=3+x,在Rt△D0C中，由勾股定理得： (2y°+3+=(3+2y,解方程得到x的值，证得6DC0na0CP,根据相似三角形的性质得到C0-DC 在RtAOCP中，由勾股定理求得OP的长，从而求得PB的长， 【详解】(1)证明：连接0C,如图所示， D :PC与O0相切于点C, B .∠0CD=∠0CP=90°， :0A=0C, :∠0AC=∠0CA, :∠0CA+∠DCA=90°、∠0AC+∠AE0=90°， .∠DCA=∠AE0, ,∠AEO=∠DEC, .∠DCA=∠DEC, :DC=DE; (2)解：：0A=20E, :设OE=x、0A=2x,则EF=OF-0E=2x-x=x, :DE DF +EF=3+x, :DC=DE, .DC=3+x、D0=3+2x, 在RtADOC中，由勾股定理得： 2x)2+(3+x)2=(3+2x)2, 解得x=6或x=0(舍去)， DC=3+6=9、0C=2×6=12, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠D+∠D0C=90°、OF⊥AB, ∠D0C+∠C0P=90°， ∠D=∠C0P, :∠D0C=∠PC0=90°， △DC0na0CP, CO DC ,即Cp=12x12=16. CP CO 9 在RtAOCP中，由勾股定理得： 0P=V162+122=20, PB=0P-0B=20-12=8. 14.(2026安徽芜湖二模)如图，AB是半圆O的直径，BC与半圆O相切于点B,点E在半圆O上，ED 垂直平分BC,垂足为点D,AC与DE交于点F,连接BF, 求郎 C的值， (2)连接BE交AC于点G,若BG=BC,求证：AC平分∠BAE. 【答案】（①0月 (2)见解析 【分析】(1)根据题意可得ED∥AB,得到△CDF∽△CBA,，进而可得F为AC的中点，再根据直角三角形 中，斜边上的中线等于斜边的一半： (2)根据等边对等角，结合直径所对圆周角等于90°证明∠BAC=∠GAE即可. 【详解】(1)解：：BC与半圆O相切于B, AB⊥BC, ∠ABC=90°， :ED垂直平分BC, .∠EDC=90°，FC=FB, ·LABC=∠EDC=90°， 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ED∥AB, △CDF∽△CBA, CF_CD_1 CA CB2' .F为AC的中点， BF 1 在Rt△ABC中， AC-2 (2)证明：BG=BC, ∠C=∠BGC=∠AGE, ·:AB是半圆O的直径， ∠AEB=90°， :∠C+∠BAC=90°，∠AGE+∠GAE=90°， LBAC=∠GAE, ·AC平分∠BAE. 15.(2026安徽阜阳·二模)如图，在ABC中，AB=AC,点O是BC的中点，AC与半圆O相切于点D, BC与半圆O交于E,F两点. (1)求证：AB与半圆O相切； (2)连接OA,若CD=4,CF=2,求OA的长. 【答案】()证明见解析 明 【分析】(1)连接OD、OA,过点O作OH⊥AB于点H,由三线合一可得AO⊥BC,A0平分∠BAC, 由切线的性质定理可得OD⊥AC,又因OH1AB,由角平分线的性质定理可得OH=OD,由切线的判定 定理即可得出结论： (2)由(1)可知0D⊥AC,则L0DC=90°，在Rt△0CD中，0C=0F+CF=0D+2,由勾股定理可得 0D2+CD2=0C2,即0D2+42=(OD+2,解得0D=3,于是0C=0D+2=5,由1)可得A0⊥BC, 则∠AOC=90°，进而可得∠A0C=∠ODC,再结合LAC0=∠0CD,可证得△A0C∽△ODC,于是可得 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 000,即405 A0 OC 3=4'由此即可求出0A的长。 【详解】(1)证明：如图，连接0D、OA,过点0作0H⊥AB于点H, :AB=AC,点O是BC的中点， B :AO⊥BC,A0平分∠BAC, :AC与半圆O相切于点D, .OD⊥AC, 而OH⊥AB, :.OH =OD, :AB与半圆O相切： (2)解：由(1)可知：0D⊥AC, ∠0DC=90°， 在Rt△OCD中，CD=4,CF=2, .0C=0F+CF=0D+2, OD2+CD2=OC2, .0D2+42=(0D+2)2, 解得：OD=3, 0C=0D+2=3+2=5, 由(1)可得：A0⊥BC, .∠A0C=90°， ∠A0C=L0DC, 又：∠AC0=∠0CD, △A0Cna0DC, A0 OC OD DC 即：4A0_5 341 A0= 4 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :04份长为受 【点晴】本题主要考查了切线的判定与性质，角平分线的性质定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理， 三线合一，解一元一次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键 16.(2026安微蚌埠.二模)如图，AB是⊙0的直径，OD⊥AB交⊙0于点D,点C为AB上方⊙0上一点， 连接AC,CD,CD与AB交于点E,过点C作OO的切线CF交AB的延长线于点F, B D (I)求证：LECF=LOED: (2)若CF=8,BF=4,求⊙0的半径. 【答案】(1)见解析 (2)00的半径是6 【分析】(1)连接OC,根据等腰三角形的性质，切线的性质，等角的余角相等，得到∠ECF=∠OED (2)根据勾股定理，在直角三角形OCF中，建立关于0F的方程，解方程后得到0F的长度，继而得到 ⊙0的半径. 【详解】(1)证明：如图，连接0C,则0C=0D, F∠0CD=LD, :CF是OO的切线， CF⊥OC, .∠0CF=90°， .∠ECF+∠0CD=90°. OD⊥AB, .∠D0B=90°， ∠0ED+∠D=90°， 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠ECF=∠OED. (2)解：在Rt△0CF中，∠0CF=90°，CF=8, 设OC=OB=r,则OF=OB+BF=r+4, 由勾股定理，得OC2+CF2=OF2, r2+82=(r+4)2, 解得r=6,即⊙0的半径是6. 17.(2026安微阜阳二模)如图，等腰ABC中，AB=AC,以AC为直径作O0,分别交AB,BC于点 M,N,CD是OO的切线，BD⊥CD于点D. (I)求证：BD=BM; (2)若BM=3,CN=13,求00的半径. 【答案】(1)见解析 o号 【分析】(I)连接MC,根据切线的性质得到AC⊥CD,进而得到AC∥BD,根据平行线和等腰三角形的 性质得到∠DBC=∠ABC,根据圆周角定理得到∠AMC=90°，证明△DBC≌△MBC(AAS),从而得出结论： (2)连接AN,根据圆周角定理得到∠ANC=90°，根据等腰三角形的性质得到BN=CN,证明 4MACo6NBA,进面得到8G-,从而求出B长，利用O1号AC求解面 【详解】(1)证明：如图，连接MC, B D :CD是O0的切线， 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AC⊥CD, :BD⊥CD, AC∥BD、∠BDC=90°， ∠DBC=∠ACB, AB=AC, .∠ABC=∠ACB, ∠DBC=LABC, :AC是⊙0的直径， :∠AMC=90°， ∠BMC=180°-∠AMC=90°， :∠BMC=∠BDC=90°， 在△DBC和△MBC中， ∠BDC=∠BMC ∠DBC=∠MBC, BC=BC △DBC≌△MBC(AAS, :BD =BM (2)解：如图，连接AN, M :AC为⊙0的直径， ∠ANC=∠AMC=90°， :∠BMC=90°， AB=AC, :BN CN=13, .BC=213, :∠CBM=∠ABN,∠CMB=∠ANB, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △MBCn△NBA, BC BM 即233 AB BN AB √13 解得4B=26 4C=26 1 ..OA=-AC= 1.2613 2331 即00的￥径为7 18.(2026安徽池州二模)如图，ABC为直角三角形，∠ACB=90°，圆O是ABC的外接圆，D是弧 BC上一点，CE是圆O的切线，交BD的延长线于点E,CE‖AD,连接OC交AD于点G. B (1I)求证：∠EBC=∠ABC; (2)若AC=2√5，GF=1,求AF的长. 【答案】（①）见解析 (2)AF=4 【分析】(1)先证明AB是圆O的直径，得到∠ADB=90°，利用切线的性质得到∠ECO.因为CE∥AD, 所以可利用平行线的判定得到OC∥BE,结合圆的性质进而推导∠EBC与∠ABC的关系. (2)结合OC与AD的位置关系，可利用垂径定理相关性质.设DF的长度为未知数，结合已知AG、AF的 长度，再证明△ACG∽△AFC,可利用相似三角形的性质建立方程求解， 【详解】(1)证明：圆O是ABC的外接圆，∠ACB=90°， AB是圆O的直径， ∠ADB=90°. :CE是圆O的切线， ∠0CE=90°， :CE∥AD, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠CGD=90°， ∴.OCII BE, :∠OCB=∠DBC. 0C=0B, ∠OCB=∠0BC, .∠EBC=∠ABC. (2)0C1AD, :AG=DG. 设DF=x,则AG=DG=x+1,AF=x+2. ∠CGD=90°，∠ACF=90°， 又：∠CAG=∠CAF, .△ACG∽△AFC, AC AF AG AC ,即AC2=AG·AF, (25=(x+1(x+2), 解得x=2或x=-5(舍去)， .AF=4 19.(2026安徽阜阳二模)如图1，在A0B中，0A=0B,⊙0与AB相切于点C,与OB交于点D,点 E是⊙0上一点，连接CE,DE,CE交0D于点G,已知LA=50°，⊙0的半径为4. G D C B C 图1 图2 (I)求∠E的度数； (2)如图2，若0A∥CE,延长D0交⊙0于点F,连接EF,求EF的长 【答案】(1)20° (2)4V3 【分析】(1)连接0C,求得∠C0D,利用圆周角定理可得∠E: 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)利用平行线的性质求得∠OGE=80°，即可求得∠EDG=60°，最后求得∠F,利用勾股定理即可解答， 【详解】(1)解：如图，连接0C. E :O0与AB相切， G .OC⊥AB :0A=0B,∠A=50°， ∠40c=∠B0c=408-180-2z4到=x180-2x509=40. .∠E= 2×40°=20°， (2)解：如图，连接0C, F :OA∥CE, :∠0GE=∠A0B=2∠A0C=2x40°=80°. :∠EDG=L0GE-∠CED=80°-20°=60°. :DF是O0的直径， ∠DEF=90°，DF=20D=2×4=8, ∠F=90°-∠EDG=90°-60°=30°， DE=F=8=4 2 EF=VDF2-DE2=V82-42=4V5. 20.(2026安徽准北二模)如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点， OF⊥AD于点E,交CD于点F. (1)求证：∠ADC=∠A0F; 2)若inC号8D=2,求F的长. 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 【答案】(1)见解析；(2)3 【分析】(1)连接0D,由切线的性质得到∠ADC+∠AD0=90°，由等腰三角形的性质得到 ∠DA0=∠AD0,根据∠AOF+∠DA0=90°，由等量代换即可得到结论： (2)根据三角形中位线定理得到OE=BD=】×12=6,设OD=x,OC=3x,根据相似三角形的性质即 2 2 可得到结论 【详解】解：(1)连接0D, :OF⊥AD, ∠A0F+∠DA0=90°， :CD是⊙O的切线，D为切点， .∠CD0=90°， .∠ADC+∠AD0=90°， .0A=OD, ∠DA0=∠AD0, :ZAOF ZADC (2):0F/1BD,A0=0B, ∴.AE=DE, 1 ∴.OE=5BD=-×12=6, 2 2 ·sinc=OD1 00-3' :设0D=x,0C=3x, 0B=x, :CB 4x, OF //BD ∴△COF∽△CBD, OC OF BC BD 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3x OF 4x12, 0F=9, EF=0F-0E=9-6=3. B 【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行线的判定和性质， 正确的作出辅助线是解题的关键 21.(2026安徽芜湖二模)如图，过00外一点A作⊙0的切线，切点为点B,BC为O0的直径，点D为 OO上一点，且BD=BA,连接CD,AD,线段AD交直径BC于点E,交OO于点F,连接BF. y B (I)求证：EF=BF; 1 ②)若simA=oE5 2,求00半径的长 【答案】(1)证明见解析 、9 2 【分析】(1)由切线的定义可得出LA+LAEB=90°，由直径所对的圆周角等于90°得出∠CDE+LBDE=90 由等边对等角得出∠BDA=∠A,等量代换得出∠CDE=∠AEB,由同弧所对的圆周角相等得出 ∠CDE=∠CBF,进而可得出LAEB=∠CBF,由等角对等边得出EF=BF, (2)连接CF,先证明AF=BF=EF,设BF=EF=AF=x,则AE=2x,解直角三角形RtABE得出 BE-号，再证明∠BCF=∠A,得出sinA=s∠BCF=有，进一步得出BC=20B=20E+BE,即 =2 解出x即可求解。 【详解】(1)证明：：AB为O0的切线， :∠0BA=90°. 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·∠A+∠AEB=90°. BC为O0的直径， ·∠CDB=90° ·LCDE+∠BDE=90°. BD=BA, ·∠BDA=∠A ·LCDE=LAEB. 又：∠CDE=∠CBF, ∴.∠AEB=∠CBF, :EF =BF. C F B (2)连接CF. AB为OO的切线， ·L0BA=90°. :∠AEB+∠A=90°，∠EBF+∠FBA=90°. :∠AEB=∠CBF, ·∠FBA=∠A. ·AF=BF. AF BF EF. 设BF=EF=AF=x,则AE=2x, 在Rta△ABE中， 1 sinA=3”4B=2x, :BE= :BC为直径， :∠CFB=90°. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠BCF=∠BDA,∠BDA=∠A, ·∠BCF=∠A. ·sinA=sin /BCF=l 在R1△BFC中， BF=x, ·BC=3x. BC=20B=2(OE+BE), 解得x=3. 08号 00半径的长为 【点晴】本题主要考查了切线的定义，直径所对的圆周角等于90°，同弧所对的圆周角相等，解直角三角形 的相关计算，等角对等边等知识，掌握这些性质是解题的关键 22.(2026安徽宿州二模)如图，在ABC中，AB=AC,以AB为直径作⊙0，交BC于点D,DE是 ⊙0的切线且交AC于点E.延长CA交OO于点F,半径r=2,连接BF. (I)求证：BF=2DE; ②者am<HBC=,求E的长」 【答案】()见解析 回4E-号 【分析】(1)连接AD,OD,易得∠ADB=90°，∠BFA=90°，由等腰三角形的三线合一得到 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AD⊥BC,BD=CD,即点D为BC中点，推出OD是ABC的中位线，OD∥AC,根据DE为OO的切线， 推出DE∥BF,证明aBCF∽△DCE,即可证明； ②》证明△10么DE,符到4E-份，有达48D中，设0=·利用约段定理求出x4 AB 5 即可求解 【详解】(1)证明：连接AD,OD, F A :AB=AC,AB为O0的直径， .∠ADB=90°，∠BFA=90°， ∴.AD⊥BC,BD=CD,即点D为BC中点， :OB=OA,即点O为AB中点， :OD是ABC的中位线， .0D∥AC, 又DE为OO的切线， .∠0DE=90°， ∠AED=90°， ∴.DE II BF, :△BCFm△DCE, BC BF =2, CD DE :BF =2DE (2)解：由(1)得∠ADE+∠AD0=∠AD0+∠0DB=90°， 又OB=OD,∠ABD=∠ODB, ∠ADE=∠ABD, :∠ADB=∠AED=90°， ∴.△ABD∽△ADE, AEAD AD AB ,即4B=4D B 在Rt△ABD中，设AD=x, 1 ,tan∠ABC= 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :BD 2x, AD2+BD2=AB2, x2+(2x2=42, (负值舍去)， 5 .AE=AD 4 23.(2026安徽阜阳·二模)如图，AC是⊙0的直径，点B是AC的中点，连接BA,BC,点G在直径CA的 延长线上，过点G作OO的切线GD,切点为D,连接BD交AC于点E,连接DA,DC. B E G D (1)若∠G=40°，求∠BCD的度数； (2)若AB=2V2,cos∠G= 3,求4G的长. 1 【答案】(1)70° 回4c=2+5 【分析】(1)先由圆周角定理得到ABC为等腰直角三角形，连接OD,由圆的切线的性质得到 ∠0DG=90°，则∠D0G=90°-40°=50°，再由圆周角定理可得∠4CD=∠D0G=25°，最后根据 2 LBCD=LBCA+LACD求解： 2)先球出A0,然后由0sZG化中=得到GD于电购股定理特oGE0D+GD,捌 此建立方程求解即可。 【详解】(1)解：：点B是AC的中点， :AB=BC .AB=BC :AC是00的直径， ∠ABC=90° LBCA=45°， 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图，连接0D :GD是O0的切线， G D ∠0DG=90° ∠D0G=90°-40°=50° ÷∠4CD=∠D0G=250 2 ∠BCD=∠BCA+∠ACD=45°+25°=70°： (2)解：由(1)得AB=BC=2√2，LABC=90°， .AC=2AB=4, 连接0D, OD=AC=2 ∠0DG=90°， 在Rt△ODG中，设AG=x, cos∠G= GDGD 1 OG 2+x 3 GD=+2 3 由勾股定理得OG2=OD2+GD2, (2+2=2+x+2 3 整理得2x2+8x-1=0, 解将=2+了5成x=-25(合去. 4c=2+5 24.(2026安徽阜阳·二模)如图，四边形ABCD的顶点都在00上，AB为⊙0的直径，CE与⊙0相切于 点C,与AB的延长线相交于点E,AC平分∠DAB. 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B (I)求证：∠DAC=∠BCE; (2)若AB=10,BC=6,求AD的长. 【答案】()详见解析 o号 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质，圆周角定理，三角形的中位线的性质等知识。 (1)连接OC,根据相切和AB为O0的直径可得∠ACB=90°=∠OCE,通过等量代换可证明 ∠AC0O=LBCE,再根据∠AC0=∠CAO,∠DAC=∠CAO,即可证明； (2)连接BD交OC于点G,根据同弧所对圆周角相等，再结合(1)的结论证明CE∥DB,即有 L0GB=∠0CE=90,再证明AD∥0C,得出OG=AD,在Rt△0GB和在Rt△GCB中，可得 BC2-GC2=BG2=OB2-OG2,问题随之得解. 【详解】(1)证明：连接0C,如图， E:CE与o0相切于点C, ·OC⊥CE, ·∠BCE+∠0CB=90°， :在00中，0C=0B=0A, ·LOBC=∠0CB,∠OAC=∠0CA, :AB为OO的直径， :∠ACB=90°=∠0CA+∠0CB, :∠BCE+∠0CB=90°， ·∠BCE=∠OCA, :∠0AC=∠0CA, ·∠BCE=∠OAC, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AC平分∠DAB, ·∠DAC=∠OAC, ·∠DAC=∠BCE; (2)解：连接BD交0C于点G,AB=10,BC=6, 刀 G B E.DC=DC, ·∠DAC=∠DBC, :在(1)中已证明∠DAC=∠BCE, :∠DBC=LBCE, :CE∥DB, ·∠0GB=∠0CE=90°，DG=BG, AB为O0的直径， :∠ADB=90°， :∠ADB=∠OGB,即AD∥OC, 又：O为AB中点， ·OG为△ADB中位线， OG=TAD. 2 :GC=0C-0G=0C-4D, :AB=10,AB为⊙0的直径， 01=08=0c=4B=5,月6c=5-240. 在Rt△0GB中，BG2=OB2-OG2, 在Rt△GCB中，BG2=BC2-GC2, :BC2-GC2=BG2=OB2-0G2, :6-{-0j八-s-6oj 解得：AD=14 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 25.(2026安微阜阳二模)如图，AB是00的直径，点C是00上一点，连接AC,BC,0C. P E D 图1 图2 (I)如图1，点D是⊙0上的一点，连接AD,CD,且CD⊥AB,当∠CAB=22时，求∠OCB和LCAD的 度数； (2)如图2，PC为O0的切线，AE∥OC交⊙0于点F,交PC于点E,已知CE=2,AB=5,求EF的长 【答案】(1)L0CB=68°；∠CAD=44° (2)1 【分析】(1)由AB是OO的直径，∠CAB=22°，得到∠ABC,再由AB⊥CD得到BC=BD,进而求出 ∠OCB和CAD的度数 (2)过点O作OG⊥AE于点G,由垂径定理得到OA=2.5,再根据PC为⊙0的切线，证明四边形0GEC为 矩形，利用勾股定理求EF即可 【详解】(1)解：：AB是⊙0的直径， .∠ACB=90°， ∠ABC=90°-∠CAB=68°. 0C=0B, :∠0CB=∠ABC=68° :AB是直径，AB⊥CD, :BC BD, ∠CAB=∠DAB=22°， ∠CAD=∠CAB+∠DAB=22°+22°=44°. (2)解：过点0作0G⊥AE于点G, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F ∠0GE=90°，AG=GF, :AB是O0的直径，AB=5, :0A=0C=14B=x5=2.5. 2 2 :PC是⊙O的切线， 0C⊥PC, ∠PC0=90°. :AE∥OC, ∴.∠AEC+∠PCO=180°， ∠AEC=∠PC0=90°， LAEC=LPC0=L0GE=90°， :四边形OGEC为矩形， .CE=0G=2,0C=EG=2.5. 在Rt△AG0中，AG=V042-0G2=V2.52-22=1.5, .GF=AG=1.5, EF=GE-GF=2.5-1.5=1. 26.(2026安徽马鞍山二模)如图，⊙0是ABC的外接圆，AB是直径，D是A0的中点，过点C作⊙0的 切线m,过点D作AO的垂线交切线m于点E,连接AE,交⊙O于点F,连接BF. D (I)求证：∠AED=∠ABF; (2)若AB=20cm， 得有求C的长。 【答案】()见解析 2/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)EC =10v3cm 【分析】(1)∠AFB是直径所对的圆周角，根据圆周角定理的推论，可知∠AFB是直角：根据已知条件 DE⊥AO,可知∠ADE也是直角，因为∠FAB与∠DAE是公共角，利用同角的余角相等，即可证明： (2)先证明△AFB∽△ADE,利用线段成比例，得到AE,连接EC,OC,根据DE是AO的垂直平分线，得到 EO=AE;因为EC是切线，△OCE是直角三角形，运用勾股定理，即可求出EC. 【详解】(1)证明：：⊙O是ABC的外接圆，AB是直径，点F在⊙O上， .∠AFB=90°. DE⊥A0, ∴.∠ADE=90°， ∠AFB=∠ADE, ∠FAB+∠ABF=∠DAE+∠AED=90°， .∠FAB=∠DAE, .∠AED=LABF (2)解：D是A0的中点，AB是直径，AB=20cm, 1 4D-44B=5cm. .·∠AFB=∠ADE,∠ABF=∠AED, .△AFBn△ADE, AF AB AD AE AF 1 EF3 AFAF 11 AEAF+EF-1+34 设AF=xcm,则AE=4xcm, 解得x=5cm,x2=-5cm(舍去)， ·AE=4x=20cm. 连接EO,CO,如下图： 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C 1 .C0=5AB=10cm, 、1m 2 B D是AO的中点，DE⊥AO, ·DE是AO的垂直平分线， .EO=AE 20cm, “切线m经过点C, 0C⊥EC,即∠0CE=90°， 在Rta0CE中，E0=20cm,C0=10cm, .EC=VE02-C02=105cm. 27.(2026安徽二模)如图，AB是⊙0的直径，C为O0上一点，点D是OA上一点，DE⊥AB交BC的 延长线于点E,交AC于点F,CG是OO的切线交DE于点G. (1)求证：CG=FG; (2)若AB=BE,CG=2,求AF的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】(1)连接0C,由等腰三角形的性质得∠OCA=∠A,进而由余角性质得LGCF=LAFD,即得 LGCF=∠CFG,即可求证： (2)利用余角性质得∠ECG=∠E,即得GE=CG=FG=2,得到EF=4,再证明△ABC≌△EBD(AAS), 得到BC=BD,即得AD=EC,最后证明△ADF≌△ECF(AAS)即可求解： 【详解】(1)证明：如图，连接0C, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B :0C=0A, ∠0CA=∠A, DE⊥AB, ∠A+∠AFD=90°， :CG是⊙0的切线， ∠0CG=90°， .∠0CA+∠GCF=90°， .∠GCF=LAFD, 又：∠AFD=LCFG, .LGCF=∠CFG, .CG=FG: (2)解：由(1)知，LGCF=∠CFG,CG=FG, :AB是O0的直径， ∠ACB=90°， .∠ECF=90°， :LCFG+∠E=∠GCF+∠ECG=90°， 、LECG=∠E, ..GE=CG=FG=2, .EF=4, ∠ACB=∠BDE=90° ∠B=∠B AB=EB △ABC≌△EBD(AAS), BC=BD, ∴AD=EC, 又：LADF=∠ECF=90°，∠AFD=∠EFC, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :△ADF≌△ECF(AAS), .AF=EF=4. 28.(2026安微合肥二模)如图，己知AB是O0的直径，直线BC与⊙0相切于点B,过点A作AD/OC 交O0于点D,连接CD. (1)求证：CD是00的切线. (2)若AD=4,直径AB=12,求线段BC的长. 【答案】(1)证明见解析；(2)12√2. 【分析】(1)如图（见解析），先根据等腰三角形的性质可得∠DA0=∠AD0,又根据平行线的性质可得 ∠DA0=LB0C,LAD0=∠D0C,从而可得∠B0C=∠D0C,再根据圆的切线的性质可得∠OBC=90°，然后 根据三角形全等的判定定理与性质可得∠0DC=∠OBC=90°，最后根据圆的切线的判定即可得证： (2)如图（见解析），先根据圆周角定理得出∠ADB=90°，再根据勾股定理可得BD的长，然后根据相似 三角形的判定与性质即可得。 【详解】(1)如图，连接OD,则0A=0B=OD ·∠DAO=LADO AD/IOC :ZDAO=ZBOC,ZADO=ZDOC ∠BOC=∠DOC :直线BC与OO相切于点B ∠0BC=90° OD=OB 在△COD和△COB中， ∠DOC=∠BOC OC=OC ..ACOD ACOB(SAS) .∠0DC=∠0BC=90° 又：0C是00的半径 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CD是⊙O的切线： (2)如图，连接BD 由圆周角定理得：∠ADB=90° :AD=4,AB=12 8D=A8-4n-2-年-85,08-4B-12=6 ∠BOC=∠DAB 在△OCB和△ABD中， ∠OBC=∠ADB=90° ∴AOCB~△ABD 8器 OB BC 解得BC=122. ◇ 【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的 判定与性质等知识点，较难的是题(2)，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键 29.(2026安徽合肥二模)如图，已知△ABC中，AC=BC,以BC为直径的⊙0交AB于E,过点E作 OO的切线交BC的延长线于点F,EG⊥AC于G, (I)求证：AE=BE; (2)若AC=12,FE=8,求AG的长 【答案】(1)见解析 略 【分析】(1)连接CE和OE,因为BC是直径，所以∠BEC=90°，即CE⊥BE;再根据等腰三角形三线合 定理，可以知道CE也是AB的中线，即AE=BE, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)首先推导出OE是△ABC的中位线，OE=6,由勾股定理得到OF=10,CF=4,通过OE∥AC得出 △FCG∽△FE0,进而得到FC=CG F0O代入数据求得CG三二，最后通过4G=AC-CG得出答率 【详解】(1)证明：连接CE, :BC是O0的直径， CE⊥AB; 又：AC=BC, :BE=AE; (2)解：连接OE, :O、E分别是BC、AB的中点， :OE是ABC的中位线， .OE∥AC, :EF切圆O于点E, .OE⊥EF, 又：OE∥AC .EG⊥AC, .BC=20E=12, 0E=6, :FE=8, 在Rt△OEF中，由勾股定理得： 0F=V0E2+FE2=V62+82=10, ∴.CF=0F-0C=10-6=4, .OE∥AC, ∴.△FCG∽△FEO, FC CG 即 4 CG F0=E0' 106 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 w号 :AC=BC=12, ·4G=AC-CG=12-12_48 5=5 【点晴】本题考查了等腰三角形三线合一定理，三角形中位线的判定，切割线定理，以及勾股定理，切线 的判定等知识.解决本题的关键是作出正确的辅助线 30.(2026安微阜阳二模)如图，AB是00的直径，C为00上一点，P为00外一点，PC与⊙0相切， 且∠0BP=90°，连接OP,AC. B (1)求证：OPIAC; (②)若AB=6,BP=4,求AC的长 【答案】()见解析 (2)4C= 5 【分析】(1)连接0C,先证∠OCP=90°，从而利用“HL可证Rta0CP≌Rta0BP,则∠COP=∠BOP, 最后根据等边对等角和外角的性质，可证∠C0P=∠OCA,利用平行线的判定即可求证； 2)连接0C,BC,根据勾股定易府0P=5,根据等面法，易求D-号，8C-头。再表据股 定理，即可求解。 【详解】(1)证明：连接0C, B:PC与⊙0相切， 图1 .0C⊥PC,即∠0CP=90°， :∠0BP=90°， 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠OCP=∠0BP, 在RtAOCP和Rt△OBP中， OC=OB OP=OP' RtAOCP≌RtAOBP(HL), .∠COP=∠BOP, :0C=0A, ∠0CA=∠0AC, :∠C0B=∠0CA+∠0AC, ∠COP+∠B0P=∠OCA+∠OAC, :2∠C0P=2∠0CA, ∠C0P=∠0CA, .OPI‖AC; (2)解：连接0C,BC, B AB=6, 图2 :.OB=OC=14B=3, :∠0BP=90°，0B=3,BP=4, 0P=V0B2+BP2=V32+42=5, :RtAOCP≌RtAOBP, :CP=BP, 又0B=0C, OP垂直平分BC, 设OP与BC交于点D,则2OP-BD=0BBP, :BD=OB-BP_3x4 12 OP 55 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 24 ∴.BC=2BD= :AB是⊙O的直径， ∠ACB=90°， 在Rt△ABC中，AC=VAB2-BC2 31.(2026安微合肥二模)如图，AB为00直径，C为⊙0上一点，CD平分∠ACB交⊙0于D,过D作 ⊙O的切线交CB延长线于点E. O B O (I)求证：DE∥AB; (2)若AC=3,BC=4,求DE的长. 【答案】(1)证明见解析 © 【分析】(1)连接0D,由圆周角定理可得∠ACB=90°，结合角平分线的性质可得∠ACD=45°，则 ∠AOD=90°，由切线的性质可得OD⊥DE,因此DE∥AB; 5 (2)延长DO交BC于点F,由勾股定理可得AB=5,则OB=OD=。,容易证明△FB0∽△ABC,计算得 2 OF= 8,则DF=35 ,由平行可判定△FB0∽△FED,计算得DE=35 6 【详解】(1)证明：如图，连接0D, B 0 :AB为OO直径， .∠ACB=90°， :CD平分∠ACB, ∠ACD=∠ACB=45D .∠A0D=2∠ACD=90°， 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :DE与O0相切， .OD 1 DE, ∠0DE=90°=∠A0D, .DE∥AB; (2)解：如图，延长D0交BC于点F, D E 在RIAABC中，AB=VAC2+BC2=V32+42=5, 080n- :∠B0F=∠A0D=90°=∠ACB, 又：∠OBF=∠CBA, .△FB0∽△ABC, .: OB 6 AC= BC ,即0F 2, 3 4 0F=15 35 .DF =OF +0D DE//AB, △FB0n△FED, 5 15 OB OF DE DF 即2 = 8 DE 35 8 :DE=6 5 32.(2026安徽合肥二模)如图，在ABC中，以BC为直径的O0交AB于点D,连接CD,过点D作 OO的切线EF,交CB的延长线于点E,交AC于点F,∠A=∠ABC. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (I)求证：EF⊥AC; (②)若tanE=5」 12’BE=8,求00的半径 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】(1)连接0D,由题意易得0D⊥EF,则有∠ACB=180°-2LABC,然后可得LACB=∠DOB,进 而问题可求证： 2)设00=r,则0B=r+8,由题意易得DE=2,然后可得+8=r2+, 进而问题可求解 5 【详解】(1)证明：如解图，连接OD, D B :EF与OO相切于点D, OD⊥EF,即∠0DE=90°， :∠A=∠ABC, .∠ACB=180°-2∠ABC, 0D=0B, ∴.∠ODB=∠ABC, ∠D0B=180°-2∠ABC, ∴∠ACB=∠DOB, .OD∥AC, OD⊥EF, EF⊥AC; (2)解：如解图，设OD=r,则OE=r+8, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 tan E= 12 OD 5 DE12' 0D=r, DE=12 , 在Rt△D0E中，由勾股定理得OE2=OD+DE2, (r+8)2= 整理得144r2-400r-1600=0, 化简得9r2-25r-100=0, .(9r+20)(r-5)=0, 解得r=5(负值已舍去)， 00的半径为5. 33.(2026安微池州二模)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点O是BC边上一点，以点O为圆心，OB的 长为半径画圆，交BC边于点E,切AC边于点F,连接BF,EF,OF. B (I)求证：BF平分∠ABC; (2)若AB=4.5,0F=3,求EF的长. 【答案】()见解析 (2)3 【分析】(1)根据相切的性质，平行线的性质，圆心角等于圆周角的一半即可求证； (2)证△ABF∽△BFE,根据相似比求解即可. 【详解】(1)证明：：AC与圆相切于点F, ∠CF0=90°， :∠A=90°， 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ABC=∠F0C=90°-∠C, :∠FOC是EF所对的圆心角，∠FBE是EF所对的圆周角， ∴∠FBE= ∠F0C· 2 ·∠FBE= ABC. BF平分∠ABC. (2)解：：BE是直径， ∠EFB=∠A=90°， 又：∠ABF=LFBE, ∴△ABF∽△FBE, AB BF BFBE,即BF2=ABBE, :BE=20F=6,AB=45=9 .BF =33, 在Rt△BEF中，EF=√BE2-BF2=V36-27=3 考点03 弧长与扇形面积 一、 单选题 1.(2026安徽滁州·二模)如图，⊙0的半径为1，A,B,C是⊙0上三点.若四边形0ABC为平行四边形， 连接AC,则图中阴影部分面积为() A. B. 2 3 c. D.g 【答案】C 【分析】连接OB,交AC于点D,证明四边形OABC为菱形，则OB⊥AC,OD=BD, AD=CD,AO=OB=AB,得AOB为等边三角形和S。4oD=S。Dc,则∠A0B=60°，进而根据扇形面积公式 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 求解即可。 【详解】解：如图，连接OB,交AC于点D,则OA=OB=1, C.: 四边形OABC为平行四边形，OA=OC, 、D B :四边形OABC为菱形， ∴.OB⊥AC,OD=BD,AD=CD,AO=OB=AB, S.AoD=S.BDc,AOB为等边三角形， ∠A0B=60°， 阴影部分的面积=S形0as=360二6 : 60元×12π 2.(2026安微阜阳·二模)己知一个扇形的圆心角为72°，它所对的弧长是4r,则此扇形的半径是（) A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】C 【分析】将已知的圆心角和弧长代入弧长公式，即可求解半径.即1=” 180 【详解】解：设此扇形的半径为r,圆心角n=72°，弧长1=4π， 4r=Rar 180 两边约去π，整理得4=2 解得r=10 3.(2026安徽六安二模)如图，O0的直径为AB=12,点C在圆上，且∠CAB=30°，则AC的长为() A.2π B.3π C.4π D.6π 【答案】C 【分析】先通过圆周角定理求出∠BOC度数，然后再求出∠AOC的度数，最后用弧长计算公式计算即可： 【详解】解：如图，连接CO, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B.:∠CAB=30°， ∠B0C=60°， :AB为直径， ∠A0C=180°-∠B0C=120°， :AC的长为20x6=4坛. 180 4.(2026安微合肥二模)如图，AB是O0的直径，点C是AB下方AB的中点，连接AC,以点C为圆心， AC的长为半径作圆弧.若OA=2,则图中阴影部分的面积为() δ B C A.4元 B.2π+2 C.4 D.4π-2 【答案】C 【分析】先求得∠ACB=90°，AC=BC=22,根据阴影部分面积等于半径为2的半圆的面积减去弓形 AB的面积，即可求解， 【详解】解：如图，连接BC, B :AB是OO的直径，点C是AB下方AB的中点，OA=2, A8=240=4,∠4CB=90,4C=BC=5AB=22 阴影都分面积为21-[0-*2门-2a-2x4=4 3601 5.(2026安徽合肥二模)如图，AB是O0的直径，CD是弦，点C,D在直径AB的两侧.若 ∠A0C:∠A0D:∠D0B=2:7:11,CD=4,则CD的长为() 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A 0 B A.2π B.4元 C.V2π D.2 2 【答案】D 【分析】根据∠A0C:∠A0D:∠D0B=2:7:11求出∠C0D的度数，根据CD=4得到半径，运用弧长公式计 算即可 【详解】：∠A0D:∠D0B=7:11,∠A0D+∠D0B=180°， 7 :.∠A0D=180°× =70°， 18 又：∠A0C:∠A0D=2:7, ∠A0C=20°， ∠C0D=90°， 又：CD=4, .0D= 16 =22, V2 :CD=D×πx0D 90×元×25-N2元· 180 180 故答案选D 【点晴】本题主要考查了弧长的计算，通过己知条件计算出圆心角和半径是解题的关键. 6.(2026安徽芜湖二模)如图，在O0中，直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD,已知AC=CD, AB=2,∠AED=75°，则劣弧AD的长为() B E D 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A 2n B. 5 C. 4 D. 元 9 【答案】D 【分析】由三角形外角的性质得LABD+∠CDB=75°，结合圆周角定理得∠AOD+∠COB=150°，设 ∠A0D=a,则∠C0B=150°-a,得出∠C0D=∠A0C-30°+a,再根据∠C0D+∠A0C+∠A0D=360°求 出∠AOD,最后根据弧长公式求解 【详解】解：如图，连接OC,OD,BC, B:∠AED=75°， ·∠ABD+∠CDB=75°， 5∠A0D+ZC0B=75 ∠A0D+∠C0B=150°， 设∠A0D=a,则∠C0B=150°-a, :∠A0C=180°-∠B0C=180°-(150°-a=30°+， AC=CD, :∠C0D=∠A0C=30°+a, ·∠C0D+∠A0C+LA0D=360°， .30°+a+30°+a+a=360°， ·∠A0D=a=100°， :直径AB=2, :半径0A=0B=1, 40的长为9- =π 7.(2026安徽芜湖二模)中国高铁的飞速发展，己成为中国现代化建设的重要标志.如图是高铁线路在转 向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A,曲线终点为B,过点A,B的两条切线 相交于点C,列车在从A到B行驶的过程中转角a为60°.若圆曲线的半径0A=1.5km,则这段圆曲线AB的 长为(). 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 交点Ca转角 曲线起点A B曲线终点 曲线半径 曲线半径 圆心O A.Tkm D. 41 B.km e号am 3 km 8 【答案】B 【分析】由转角a为60°可得∠ACB=120?,由切线的性质可得∠OAC=∠OBC=90°，根据四边形的内角和 定理可得∠A0B=360°-∠ACB-∠0AC-∠0BC=60°，然后根据弧长公式计算即可. 【详解】解：如图： 交点C a转角 曲线起点A B曲线终点 曲线半径 曲线半径 圆心0 :∠a=60°， ∠ACB=1209, :过点A,B的两条切线相交于点C, .∠0AC=∠0BC=90°， ∠A0B=360°-∠ACB-∠0AC-∠0BC=60°， 60°×元×2×1.5=万km. 360° 2 故选B. 【点晴】本题主要考查了圆的切线的性质、弧长公式等知识点，根据题意求得LA0B=60°是解答本题的关 键 8.(2026安微阜阳·二模)如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠A=60°，点E是AB的中点，以B为圆心，BE 为半径作弧，交BC于点F,连接DE、DF、EF,则阴影部分的面积为() 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.35+ 4 B.55+4 C35- D.56- 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、扇形面积计算，灵活运用图形割补法是解题的 关键 根据菱形性质与已知角度，可判定△ABD为等边三角形，结合中点条件得到DE⊥AB；再由BE=BF及 ∠ABC=I20°推出△BEF的角度关系，进而得到△DEF为等边三角形；最后通过“阴影面积 =S.DEF+SBeF-S号形EF”的割补思路，代入等边三角形与扇形面积公式，即可求出阴影部分面积. 【详解】解：如图，连接BD, C:四边形ABCD是菱形， B :AB=BC=CD AD, 又：∠A=60°， ∴△ABD是等边三角形，LABC=180°-60°=120°， :点E是AB的中点， .DE⊥AB,即∠BED=90°， BE=BF,∠ABC=120°， ∠BEF=∠BFE=30°， ∠DEF=60°， 由对称性可得，∠DFE=60°， :△DEF是等边三角形， 在RteBEM中，∠BEM=30°，BE=AB=2, 8M-8E=1,EM=9BE=5, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .EF=2EM=2√5，DM=BD-BM=3, .S=SDEF+SBEF-S号形EF =S,DEF+S.BEF-(S扇形BEP-S.BEF) Ix23x3+x23x1- 120m×221 ×25x1 360 2 =35+5-(侍-5 56- 故选：D 9.(2026安徽宣城二模)如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如 图2所示，它是以O为圆心，OA,OB长分别为半径，圆心角∠0=120°形成的扇面，若0A=5m, 0B=3m,则阴影部分的面积是()m2 富强民主文明和谐 自由平等公正法治 爱国敬业诚信友善 A. 8 16 3π B. 3 C.4π D. 3 【答案】D 【分析】本题考查了扇形的面积(S=mR ，其中n°为圆心角的度数、R为半径)，熟练掌握扇形的面积公 360 式是解题关键，根据阴影部分的面积等于扇形OAD的面积减去扇形OBC的面积即可得. 【详解】解：：圆心角∠0=120°，0A=5m,0B=3m, :阴影部分的面积等于S彩O4D-S扇形O8C 120×π×52120×π×32 360 360 . = 故选：D 二、填空题 10.(2026安徽阜阳二模)如图，⊙0的半径0A是⊙0的直径，⊙0的半径0C交⊙0，于点B,若0A=2, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 LA0C=30°，则AB的长是 倍】 【详解】连接OB, .∠AOC=30°， .∠A0,B=2∠A0C=60°， 0A=2, 04=201=l :AB=nrR-∠40Bπ：04_60°×元x1π 180 180 180 -3 11.(2026安徽阜阳·二模)如图，AB是⊙0的弦，作0C1AB交过点A的切线于点C,若⊙0的半径为 2,∠AC0=65°，则劣弧AB的长度为 (结果保留刀) B 【答案】 gπ 【分析】连接OA,OB,由切线性质得OA⊥AC,算出LA0C=25°；由垂径定理，求得 ∠A0B=2L40C=50°：代入弧长公式计算得劣弧AB长。)元， 【详解】解：连接OA,OB, 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AC是O0的切线， 0A⊥AC,即∠0AC=90°. 在RtAOAC中， ∠A0C=90°-∠AC0=90°-65°=25° :OC⊥AB,根据垂径定理，OC平分弧AB,也平分圆心角∠AOB, ∠A0B=2∠A0C=2×25°=50°. 1 50m×25π 180 9 故答案为： 5 12.(2026安微安庆·二模)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC,OB,0C,∠D=70°， LACB=50°.若⊙O的半径为5，则扇形B0C的面积为 D 【】受 【分析】先由圆内接四边形的性质求解∠ABC的度数，再由三角形内角和求解∠BAC的度数，再由圆周角 定理求解∠BOC的度数，最后由扇形面积公式求解即可. 【详解】解：：∠D=70°，四边形ABCD内接于⊙O, ∠ABC=110°， :∠ACB=50°， .∠BAC=180°-110°-50°=20°， ∠B0C=2∠BAC=40°， :⊙0的半径为5， 2/6