专题08 综合探究与数学思想（安徽专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦综合探究与数学思想，整合2026年安徽各地二模真题，覆盖动点与动线函数、最值、规律探究等五大考点，通过无人机飞行、地砖密铺等真实情境，考查函数建模、数形结合等核心素养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|39道|动点函数（矩形/三角形运动）、几何折叠旋转|结合函数图象分析运动过程，如矩形中双动点面积问题| |填空题|25道|规律探究（数列/图形）、新定义运算|设计“1阶倒差数”“和谐点”等概念，考查信息迁移能力| |解答题|41道|综合实践（排队模型/密铺设计）、几何证明|以校园卡办理排队为背景，构建等待时间数学模型，体现应用价值|

专题08综合探究与数学思想专题 5大考点概览 考点01动点与动线函数问题 考点02最值问题 考点03规律探究 考点04阅读理解/新定义 考点05几何折叠与旋转 动点与动线函数问题 考点01 一、单选题 1．（2026·安徽合肥·二模）如图1，在矩形中，（为常数），动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿运动到点，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．设运动时间为，的面积为，与的函数关系如图2所示，则当时，的值为（   ） A． B．4 C．6 D． 【答案】B 【分析】当时，，，，，作于点，可得，可得，可得，由勾股定理可得，可得，当时，点与点重合，点与点重合，当时，点在上，点在上，，，作于点，则，由勾股定理可得，即可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 根据题意可得，， 当时，，，，， 作于点，则， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由图可知，当时，点与点重合，点与点重合， 当时， 点在上，点在上，，， ∵，，， ∴， 作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·安徽阜阳·二模）如图1，在中，，，，点D在上，，点E，F分别在边上（不与端点重合），且设，的面积为，关于的函数图象如图所示，最高点为，且经过和两点．下列选项正确的是（    ） A． B． C．的面积的最大值为0.96 D．点在该函数图象上 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的实际应用，勾股定理，矩形的判定与性质等知识点，难度大，解题的关键是正确求出函数解析式． 过点分别作，，垂足为，可得四边形是矩形，，求出，然后证明，则得到，再由勾股定理求解表示出，然后建立二次函数关系式，再根据二次函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：过点分别作，，垂足为， ∵，即， ∴，四边形是矩形， ∴， ∵ ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， ∴顶点为，即，故A、C错误； 当时，， ∴点不在该函数图象上，故D错误； 当时，则， 解得或，结合函数图象可得，故B正确， 故选：B． 3．（2026·安徽芜湖·二模）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿边向点运动．过点作交折线于点，以为边在右侧作正方形．设正方形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒，则与之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据重叠部分的图形的形状确定边界点时的运动时间为，然后分三种情况讨论，根据重叠部分的图形的形状，可求与之间的函数关系式，最后根据函数的性质确定图象． 【详解】解：如图，当点落在边上时， 在中，，， ， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ； 如图，当点与点重合时，此时， 即，解得 ； 当点与点重合时，此时， 即，解得 ； 如图1，当时，正方形与重叠部分图形的面积为正方形的面积， 即； 此时，与之间的函数图象为开口向上的抛物线，且为对称轴的右半段， 如图2，当时，正方形与重叠部分图形的面积为五边形的面积， 此时， ，， ， ， ， ， ， ， ； ，对称轴为直线， 此时，与之间的函数图象为开口向下的抛物线，且包含对称轴， 如图3，当时，正方形与重叠部分图形的面积为的面积， 此时， ， ． ，对称轴为直线， 此时，与之间的函数图象为开口向上的抛物线，且为对称轴的左半段； 综上，与之间的函数图象大致是选项D所示． 4．（2026·安徽安庆·二模）如图，为线段上一点（不包括端点），四边形和四边形均为矩形，三点在同一条直线上，三点在同一条直线上，，，记矩形和矩形的面积分别为，．设，，则关于的函数图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的几何应用，过点作交的延长线于点，可证，得到，，即得，，进而即可判断求解，正确求出与之间的函数关系式是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，则， ∴， ∵四边形和四边形均为矩形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴是的二次函数，开口向下，顶点坐标为， ∴A选项正确， 故选：． 5．（2026·安徽六安·二模）如图，在Rt中，，点从点出发，沿的路径以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为，的面积为，则关于的函数图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据求出，的长，设点的运动时间为，然后分和两种情况讨论即可． 【详解】解：， ． ， ． 设点的运动时间为， 当时，如图1，过点作交于点， 则， ， ， ． 当时，如图2，过点作交于点，则， ． ， ， ． 综上，关于的函数图象为两条不包含起点和终点的线段，符合题意． 6．（2026·安徽安庆·二模）如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图2得到的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面积计算公式是解题的关键．由图2可知的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点D到的距离即可． 【详解】解：根据图2，，点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离．如图： 在中，利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中利用勾股定理，得， 则， 解得， ∴点N的纵坐标是． 故选：B． 7．（2026·安徽池州·二模）如图1所示，将一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在轴上，点在第二象限，将直线沿轴负方向以每秒个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图像如图2所示，下列结论错误的是（    ） A．点的坐标为 B． C．边所在直线的解析式为 D．的面积为 【答案】D 【分析】根据函数图象可知直线移动到点用了秒，移动到点用了秒，可以求出，可得点的坐标是；根据勾股定理可以求出，根据等腰直角三角形的性质可以求出；根据点、的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式；根据三角形的面积公式可以求出的面积为. 【详解】解：由函数图象可知，当秒时，直线经过点， 当秒时，的值最大，即直线经过点， 当时，直线经过点， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是， 由图象可知，直线移动到点用了秒，移动到点用了秒， 个单位长度，个单位长度， 点的横坐标为，点的横坐标是， ， 三角板是等腰直角三角形， ， 点的坐标是， 故A选项正确； ， ， 当直线经过点时，的值最大，最大值为； 故B选项正确； 点的坐标是，点的坐标是， 设直线的解析式是， 可得：， 解得：， 边所在直线的解析式是， 故C选项正确； ， 的面积为， 故选项错误． 8．（2026·安徽马鞍山·二模）如图，在中，对角线相交于点O，，若过点O且与边分别相交于点E，F，设，则y关于x的函数图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点O向AB作垂线，交AB于点M，根据含有30°角的直角三角形性质以及勾股定理可得AB、AC的长，再结合平行四边形的性质可得AO的长，进而求出OM、AM的长，设，则，然后利用勾股定理可求出y与x的关系式，最后根据自变量的取值范围求出函数值的范围，即可做出判断． 【详解】解：如图过点O向AB作垂线，交AB于点M， ∵AC⊥BC，∠ABC＝60°， ∴∠BAC＝30°， ∵BC＝4， ∴AB＝8，AC＝， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 当时，, 当时，． 且图像是二次函数的一部分 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、含有30°角的直角三角形的性质以及二次函数图象等知识，解题关键是求解函数解析式和函数值的范围． 9．（2026·安徽淮北·二模）如图1，一架无人机从点出发，沿水平直线向点匀速飞行，在地面控制站点处可以检测无人机的飞行状态．设无人机飞行的路程为（单位：百米），为，图2是无人机飞行时随变化的关系图象，图象与轴交于点，最低点为，且经过和两点．根据以上信息，下列说法错误的是（    ） A． B． C．点的坐标为 D．点在图象上 【答案】D 【分析】结合函数图象作，根据实际意义得 ，，，由勾股定理得，即可判断选项A；由、关于直线对称得，即可判断选项B；由顶点坐标设，求出解析式即可判断选项C；当时，即可判断选项D． 【详解】解：作， ´，最低点为， ，，， ， ， ， 故选项A正确，不符合题意； 和两点， 、关于直线对称， ， 解得， 故选项B正确，不符合题意； ， 设， 经过， ， 解得， ， 当时，， ， 故选项C正确，不符合题意； 当时，， 点不在图象上， 故选项D错误，符合题意． 10．（2026·安徽芜湖·二模）顶角等于的等腰三角形也叫黄金三角形，黄金三角形的底边与腰长的比等于黄金比．如图①，在中，，动点P从点A出发，沿拆线匀速运动至点C，若点P的运动速度为，设点P的运动时间为长度为与t函数图象如图②所示，当恰好平分时，点P运动的路程是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定． 作的平分线交于点P，先证，再证，利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，作的平分线交于点P，    由题意中的函数图象得：， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴点P运动的路程是． 故选：B． 11．（2026·安徽蚌埠·二模）如图，动点，沿着菱形的边运动，同时从点出发，点以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点运动；点以每秒3个单位长度的速度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．已知菱形的面积为，设运动时间为（秒），的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，分、、三种情况进行讨论，得到关于的解析式，再判断即可． 【详解】解：过点作交于点，如图1． 菱形的边长为6，面积为， ． 设运动时间为秒，则． 当时，点在上运动，此时． 作交于点，如图1，则 ， ， ，即，解得， 此时， 该部分函数图象是开口向上的抛物线，故选项符合题意； 当时，如图2，此时点在上，点在上，则， 此部分的函数图象是一条线段且随的增大而增大； 当时，如图， ， ，即，解得， 此时， 该部分函数图象是开口向下的抛物线， 综上，A符合题意． 12．（2026·安徽合肥·二模）如图，中，，，P，Q两点同时从点A出发，均以1个单位每秒的速度分别沿着，运动，则的面积与运动时间x之间的函数图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分三种情况讨论，①当时，过点作，交于点，得到，，推出，为二次函数；②当时，过点作，交于点，过点作，交于点，得到，高为，推出，为一次函数；③当时，过点作，交于点，反向延长交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，得到，，，，，根据，得到，为二次函数． 【详解】解：①当时，过点作，交于点， ∴，， ∴，为二次函数； ②当时，过点作，交于点，过点作，交于点， ∵, ∴高为， ∴，为一次函数； ③当时，如图所示，过点作，交于点，反向延长交的延长线于点，过点作，交的延长线于点， ∵中，， ∴， ∵，，，，， ∴， ， ， ， ∴，为二次函数，开口向下． 13．（2026·安徽宣城·二模）如图，在菱形中，，点P从D点出发，沿运动，过点P作直线的垂线，垂足为点Q，设点P运动的路程为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了函数的图象，菱形的性质，矩形的判定与性质，解直角三角形，掌握知识点的应用和分类讨论的数学思想是解题的关键．根据点的运动位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用锐角三角函数求出和，即可求出与的函数关系式，即可判断出各种情况下的图象即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴当点到点时，；当到点时，；当到点时，， 当点在上，即时，如下图所示 此时， ∴，， ∴，此时图象为开口上的抛物线的一部分； 当点在上，即时，如下图所示，过点作于， 此时，， ∴四边形为矩形， 在中，，， ∴，， ∴， ∴，此时图象为逐渐上升的一条线段； 当点在上，即时，如下图所示， 此时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，此时图象为开口上的抛物线的一部分； 综上：符合题意的图象为， 故选：． 14．（2026·安徽滁州·二模）如图，在中，，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若在某一时刻能使与全等．则点的运动速度为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边对等角，全等三角形的性质，设点P、Q的运动时间为，分别表示出，再根据全等三角形对应边相等，分和两种情况讨论求解即可． 【详解】解：，点D为的中点， ，， 设点P、Q的运动时间为， ， ， 当时．则有：，， ， 解得：， ， 故点Q的运动速度为：； 当时，则，， ， ， ． 故点Q的运动速度为． 所以，点的运动速度为或， 故选：D． 最值问题 考点02 一、单选题 1．（2026·安徽蚌埠·二模）如图，在矩形中，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以为边，在的右侧作等边，连接，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】以为边，在右侧作等边，连接并延长交于点，证明，在中，，求出，过点作的延长线于点，则是的最小值，根据即可得到答案． 【详解】解：如图，以为边，在右侧作等边，连接并延长交于点， ，是等边三角形， ， ， ， ， ∴点Q在与垂直的射线上运动， 在中，， ， ， 过点作的延长线于点，则是的最小值， 在中， ， ，即的最小值为． 2．（2026·安徽阜阳·二模）如图，边长为2的菱形中，，点为边的中点，点为边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得，连接，则下面说法错误的是（   ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】A 【分析】取的中点，连接，取的中点，连接，证明，得到，进而得到，故、、三点共线时，存在最小值即为的长，当点与点重合时，的值最大，的值最大，当时，的值最小，逐一进行计算即可． 【详解】解：如图1，取的中点．连接，取的中点，连接， 则， ∵在菱形中，， ∴， ∴，． ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵点是边的中点，点是边的中点， ∴． ∴为等边三角形， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上移动， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故、、三点共线时，存在最小值，如图2． 作，则， ∴， ∴，， ∴． ∴，即存在最小值为， 当点与点重合时存在最大值，如图3， 作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴． ∴． ∴存在最大值； 又∵的最大值即线段的长，为；的最小值即当时，此时的长即为的长，为． 故只有选项A错误． 3．（2026·安徽池州·二模）如图，，，，，，点G在上，点D在上，，则最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出，根据等边对等角得到，证明，求出，可知当最小时有最小值，由“垂线段最短”可知当时最小，证明，得到，求出，根据勾股定理得到，求出，进而得到，求出，即可求出最小值． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时有最小值， 由“垂线段最短”可知当时最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在正方形中，，点，分别是，上的点且，与交于点，过点作于点，点是上一动点，连接，，，，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】A 【分析】选项A结合直角三角形斜边中线定理，将转化为两线段和的最小值问题，通过两点之间线段最短及勾股定理计算验证； 选项B先通过全等三角形转化线段，再利用勾股定理和完全平方公式推导线段和的最大值； 选项C、D则通过作对称点构造将军饮马模型，将折线段和转化为直线段，结合勾股定理求最小值，以此判断各选项的正误． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，； 对于选项A，如图，取的中点，连接， ∵， ∴， ∴是斜边的中线， ∴，则， 当点，，共线时，有最小值，由勾股定理得，故选项A错误； 对于选项B，∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即的最大值为，故选项B正确； 对于选项C，如图，取的中点，以为对称轴作点，的对称点，，则，， ∵， ∴，， 当点，，，共线时，最小， 由勾股定理得，故选项C正确； 对于选项D，以为对称轴作点的对称点，则， ∴，当点，，共线时，和最小， 由勾股定理得，即的最小值为，故选项D正确； 综上，结论错误的是选项A． 5．（2026·安徽淮北·二模）如图，矩形中，，，动点在直线的下方，且满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点P到的距离为h，根据，可得，从而得到动点在直线的下方距离为4的直线上，设动点所在直线为直线l，作点C关于直线l的对称点E，连接，并延长交直线l于点F，可得到当点A，E，P三点共线时，最大，此时点P与点F重合，即的最大值为的长，即可求解． 【详解】解：设点P到的距离为h， ∵矩形中，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴动点在直线的下方距离为4的直线上， 设动点所在直线为直线l，作点C关于直线l的对称点E，连接，并延长交直线l于点F， ∴，， ∴， ∴当点A，E，P三点共线时，最大，此时点P与点F重合， 即的最大值为的长， 设直线l交于点N，则 ∴， ∴， ∴， 即的最大值为． 6．（2026·安徽滁州·二模）如图，在中，，，的度数不定，以为边向右作正方形，连接，，则下列结论错误的是（   ） A．当时， B．点A到直线的距离的最大值为 C．线段的最大值为6 D．线段的最大值为 【答案】D 【分析】过点作，交的延长线于点，求出，由勾股定理得，故可判断A；过点A向作垂线，垂足为点H，则，可得点A到线段的最大距离为，故可判断B；将绕点E逆时针旋转得到，连接，则，当、、三点在同一直线上时的值最大，最大值为6，故可判断C；同理，用同样的方法和思路可求出的最大值为，故可判断D． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴ ， 又， ∴， 在中，， ∴，故选项A正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴一定是锐角． 当或时，过点A向作垂线，垂足为点H，则；当时，， ∴， ∴点A到线段的最大距离为，故选项B正确，不符合题意； C、将绕点E逆时针旋转得到，连接，则， ∴， ∴， ， ∴， 当、、三点在同一直线上时的值最大，最大值为，故选项C正确，不符合题意； D、将绕点B逆时针旋转得到，连接，则， 同理可得的最大值为，故选项D 错误，符合题意． 7．（2026·安徽阜阳·二模）如图，正方形的边长为4，点E，F分别在边上，且与相交于点G，连接，则下列结论错误的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．当最大时， 【答案】D 【分析】根据正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆的切线的判定和性质，直径定理等，逐项进行判断即可． 【详解】解：四边形是正方形， ． 设，则． 在中，． ∵， ∴， ∴当时，的值最小，， 的最小值为．故A正确，不符合题意； 在和中， ， ． ， ， ， 如图，取的中点O，即点G在以点O为圆心，2为半径圆上， 当为位置，即正方形对角线交点位置时，的值最小， 的最小值为，故B正确，不符合题意； 如图所示， ∵，点为线段的中点， ∴， 由勾股定理得， 当点在同一条直线上时，可取最小值， 即点与点重合时，的值最小， 的最小值为．故C正确，不符合题意； 当与相切时，最大． ，是的半径， 是的切线， ． 连接，交于点M． ，， 垂直平分， ， ， ． ， ， ． ， ， ．故D错误，符合题意． 8．（2026·安徽合肥·二模）如图，在中，，P是内部一点，且，E是的中点，F是边上的一个动点，连接，则的最小值为（   ） A．5 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】点P的轨迹是以为直径的在内部的圆弧，作点E关于直线的对称点G，交直线于点M，连接，连接，交于点N，交圆弧于点K，根据三角形全等，三角函数性质等求解即可； 【详解】解：因为四边形是平行四边形，，， 所以，， 所以， 所以， 因为， 所以， 故点P的轨迹是以为直径的在内部的圆弧， 因为， 故的半径为2， 设圆弧与的交点为点Q， 则， 因为， 所以是等边三角形， 所以，， 因为， 所以， 作点E关于直线的对称点G，交直线于点M，连接，连接，交于点N，交圆弧于点K， 则， 因为E是的中点， 所以， 根据对称性质，得， 所以， 因为四边形是平行四边形， 所以， 所以， 根据对称性质，得， 所以， 所以，， 根据对顶角相等，得， ∵， ∴， ∴， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 连接， 因为， 所以， 所以， 所以 连接， 根据对称性质，得， 所以的最小值就转化为的最小值， 因为， 故当三点共线时，取得最小值， 而当P与点K重合时，才有最小值，此时最小值为， 故的最小值为； 9．（2026·安徽六安·二模）如图，在正方形中，，点E为边上的动点，F在边上，，将线段绕点F逆时针旋转得到线段，连接，则下列结论错误的是（    ） A．的最小值是5 B． C． D．四边形面积的最大值为 【答案】D 【分析】作点F关于的对称点G，连接，则，可得的最小值是的长，可判断A选项；连接，根据题意可得，可判断B选项；过点P作于点H，连接，则，可得，证明，可得，设，则，其中，可得，根据二次函数的性质，可判断C选项；根据以及一次函数的性质，可判断D选项． 【详解】解：在正方形中，∵， ∴， 如图，作点F关于的对称点G，连接，则， ∴，， 即的最小值是的长， ∵， ∴的最小值是5，故A选项正确，不符合题意； 如图，连接， 在中，， ∴， ∵， ∴，故B选项正确，不符合题意； 如图，过点P作于点H，连接，则， ∴，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，其中， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为2， ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为0， ∴，故C选项正确，不符合题意； 根据题意得：， ， ， ， ∴ ， ∵， ∴随x的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为，故D选项错误，不符合题意． 10．（2026·安徽阜阳·二模）如图，已知中，，，点为边中点．矩形中，，，将矩形绕点按顺时针方向旋转一周，则有（   ） A．当线段达到最长时，线段对应的长度为4 B．当线段达到最短时，线段对应的长度为 C．当线段达到最长时，线段对应的长度为 D．当线段达到最短时，线段对应的长度为2 【答案】C 【分析】根据题意，点是以点为圆心为半径的圆上的点，则当点、、三点共线时，达到最短和最长，再分别求出、即可． 【详解】解：，点为边中点， ， 根据旋转可得，点是以点为圆心为半径的圆上的点，则当点、、三点共线时，达到最短和最长， 如图1，当点在线段的延长线时，有最大值， ， 又， ； 如图2，当点在线段的延长线上时，有最小值， ， 又， ． 综上所述：只有选项C符合题意． 11．（2026·安徽合肥·二模）如图，在矩形中，，，点P是边上的动点，将沿翻折得到，连接，下列结论错误的是（   ）． A．当为直角三角形时， B． C．的最大值为 D．线段的最小值为 【答案】A 【分析】A．根据折叠的性质、矩形的性质可得，，再分、两种情况求解即可；B．利用折叠的性质以及勾股定理即可判断B选项；C．由折叠的性质、等边对等角、垂直平分线的性质可得，再利用正切的定义进行分析即可解答；D．由折叠的性质可得为定值，易得点Q的轨迹是以A为圆心、半径为4的圆的一部分．进而求得线段的最小值即可判断D选项． 【详解】解：A．∵将沿翻折得到， ∴， ∵在矩形中，，， ∴， ∴，， ∵为直角三角形， ∴分两种情况讨论直角顶点： 如图：当时，此时A、P、C共线， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：； 如图：当时，则四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴； 综上，A选项错误，符合题意； B．∵将沿翻折得到， ∴， ∴，即B选项正确，不符合题意； C．∵将沿翻折得到， ∴，垂直平分， ∴． 设与交于点O，则， ∴， 当P在上运动时，的斜率变化，，当最小时，最大，对应的正切值最大． 当P与C重合时，，此时， ∴，即最大值为，即C选项正确，不符合题意． D． ∵将沿翻折得到， ∴为定值， ∴点Q的轨迹是以A为圆心、半径为4的圆的一部分． ∴的最小值为：，即的最小值为，故D选项正确，不符合题意． 12．（2026·安徽合肥·二模）如图，点是边长为的正方形对角线上一点，且，为上任意一点，于点，于点，连接，取中点为，连接，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．当取最小值时， D．面积的最大值为 【答案】D 【分析】根据正方形的性质，四边形内角和即可得出，根据等面积法即可求得；当时，HM取最小值，即可得出，过点G作交HF的延长线于点P，设，的面积为，进而列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故A选项正确，不符合题意； 如解图①，过点C作于点Q， ∵， 即，且， ∴，故B选项正确，不符合题意； 由题意可知，， 当时，取最小值，此时，故C选项正确，不符合题意； 如解图②，过点G作交HF的延长线于点P， 由B选项可知， ∴， ∴， 设，的面积为，则，， ∵， ， ∴S的最大值为，故D选项错误，符合题意． 13．（2026·安徽安庆·二模）如图，在矩形中，，，点E为边上一动点，连接，过点E在左侧作，，连接和，则下列结论错误的是（       ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】D 【分析】求得，当点E和点D重合时，最大，据此求解可判断A选项；作点C关于直线的对称点，连接，当B，E，三点在同一直线上时，即点E位于点的位置时，的值最小，最小值为的长，据此计算可判断B选项；在的延长线上取一点，使得，推出和，当时，最小，据此计算可判断C选项；在上任取点（不与点A重合），连接，，当点E和点D或点A重合时的值最大，据此计算即可判断D选项． 【详解】解：∵，，设，则， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， 当点E和点D重合时，最大为， ∴的最大值为，故A选项正确，不符合题意； 如图①，作点C关于直线的对称点，连接， 记交于点， ∵， ∴， ∴当B，E，三点在同一直线上时，即点E位于点的位置时，的值最小， 最小值为的长， ∴，故B选项正确，不符合题意； 如图②，在的延长线上取一点，使得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴点F在直线上运动， 当时，最小， ∴， 同理， ∴，故C选项正确，不符合题意； 如图①，在上任取点（不与点A重合），连接，， 同理， 当点E和点D或点A重合时的值最大， 最大值为的长或的长，最大值为， 故D选项错误，符合题意． 14．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在中，，，为的中点，延长至点，使得，P、Q分别为、上的动点，，连接，作于点，连接，，，，，则下列结论错误的是（    ） A．的最小值为 B．面积的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】设，在中利用勾股定理表示出，再配方即可求出极值来判断A项；设，表示出的面积，再配方即可求出极值来判断B项；过点作于，连接，结合三角形中两边之和大于第三边，可得出不等式，再根据的面积得，可求出，随即可判断D项；过点作的垂线，在这条垂线上取一点，使得，先证明，根据，可得的最小值为，利用相似可得，进而求出、，进而可得、，可判断C项． 【详解】解：∵，为的中点，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 当时，取最小值为，故A正确； 设，则，， 当时，面积的最大值为，故B正确； 如图1，过点作于，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴，即， 又∵， ∴ 的最小值为， ， ， 由的面积得， ， 的最小值为，故D正确； 如图2，过点作的垂线，在这条垂线上取一点，使得， ， ， ， 连接交于， ， 即的最小值为， 即的最小值为， ， ，即， ，， ，， ，，， 的最小值为，故C错误．故选C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，两点之间线段最短等知识． 15．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在中，，，以为边作，，点D与点A在的两侧，则的最大值为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、旋转的性质、三角形的三边关系、二次根式的性质．作出合适的辅助线是解题的关键．由于的长度是变化的，所以把绕顺时针旋转，进而使的长度和，建立联系，再利用构成三角形的条件求解即可． 【详解】解：如图，把绕顺时针旋转得到，连接， ，，， ． ， 的最大值为． 16．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在正方形中，，点是平面内的一动点，且是的中点，是上一动点，连接，，则的最小值为（   ） A． B． C．9 D． 【答案】A 【分析】利用三角形中位线定理，由推导出中点的轨迹是以正方形中心为圆心、半径为1的圆．利用轴对称性质，作点关于的对称点，将转化为．根据圆外一点到圆上点的最短距离，用点到圆心的距离减去半径，即可得到的最小值． 【详解】解： 四边形是正方形，， 连接、交于点， 点为的中点． ， 点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆． 是的中点，是的中点， 连接， 是的中位线． ， ， 点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆． 作点关于的对称点，连接，，， ， ． ∴当点O，F，E，M在同一直线上时，取得最小值，为的长， 过点作于点， 是正方形对角线的交点， ，． 点与点关于对称， ，， ∴点A，B，M三点共线， ． 在中， ． 的最小值为， 的最小值为． 17．（2026·安徽·二模）如图，为等边的边的中点，，分别在边，上，满足．设的中点为，线段，相交于点，若，则以下结论错误的是（） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】D 【分析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过分别作，，垂足分别为，则，然后求出，，，，然后根据轴对称性质，两点之间线段最短，二次函数的性质等知识逐一排除即可． 【详解】解：∵为等边的边的中点， ∴，，，， ∴，， ∴，， 如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过分别作，，垂足分别为，则， ∴， 设，则， 在中，，， 同理可得：，， ∴，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴点在上运动， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， 、如图，作点关于对称点，连接，，则， ∴， ∴， ∴的最小值为，故该选项正确，不符合题意； 、要使最大，则需最大，最小， ∵点在上运动， ∴当在上时，则有最大， 此时，如图，与重合，为中点，则， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为，故该选项正确，不符合题意； 、由上得垂直平分， ∴， ∵， ∴当时，点的纵坐标有最小值为，此时， ∴最小值为， ∴的最小值为，故该选项正确，不符合题意； 、如图，当与重合，最大值为，与重合时，最小值为， ∴的最大值为，故该选项错误，符合题意． 18．（2026·安徽宿州·二模）如图，是等边三角形，边长为2，点为边的中点，点为边上的一动点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先取中点，连接，，，再根据三角形的中位线定理和等边三角形的性质，得出为等边三角形，再结合旋转的性质，得出，进一步得出，，根据垂线段最短，过点作的垂线，交点即为最小值处，最后根据含角的直角三角形的性质和勾股定理，即可解答． 【详解】解：如图，取中点，连接，，， ． 为的中点，即为的中位线， ，且． 是等边三角形，且点为中点， ，，，， ，， 为等边三角形， ． 由旋转得，，， ， ． 在与中， ， ， ． 又， ， ， ． 过点作的垂线，交点即为所求，此时取得最小值， ． 在中，， ． 19．（2026·安徽马鞍山·二模）如图，在正方形中，，分别是上（不与端点重合）的动点，且满足，是中点，为上异于的一点，且满足，连接，下列说法错误的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的面积不变 D． 【答案】A 【分析】如图所示，由四边形为正方形，可判断四点共圆，且以为直径，为圆心的圆上，，中位线定理可知，结合相关知识点注意判断即可． 【详解】 选项A：∵四边形为正方形， ∴， ∵ ∴ ∴四点共圆，且以为直径，为圆心的圆上， ∵是中点， ∴ ∴即最小值为 ∵是上的动点，当运动到时， 为正方形对角线的交点，此时 ∴的最小值为，不等于，选项A错误 ，符合题意； 选项B:过作于，根据题意可知，为圆外一点，为弦， ∴当取最小值时（垂线段最短）， 连接，于，于，如图所示： ∴ ∴ ∴ ∵是中点， ∴ ∴ ∴,所以选项正确，不符合题意； ∵ ∴ ∴四边形为矩形； ∴, 在和中， ∴（） ∴， 以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，则， 设，则， ∴ ∴当时，有最小值为，所以B正确，不符合题意． 选项D:当在时，由题意可知是在以为直径的圆周上的点，且在正方形内，此时刚好在正方形对角线交点，则 ∴无限接近时， 点在线段上，根据两边之和大于第三边得到，所以，D正确，不符合题意． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，圆的性质，中位线定理，熟练运用相关知识点是解决问题的关键． 20．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在等腰直角中，，点在边上，，是边上一动点，为内一点，且，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知点在以为直径的圆弧上，取的中点，作于点，交圆弧于点，此时取最小值，通过勾股定理可求得的长，从而可得、、的长，再解直角三角形可求得的长，最后根据求解即可． 【详解】解：如图，易得点在以为直径的圆弧上，取的中点，作于点，交圆弧于点，此时取最小值， 在等腰直角中，， ， ， ， ， ， ， ． 21．（2026·安徽芜湖·二模）如图，在中，，，，点为的中点，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，交于点，分别连接，，，，则下列结论错误的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．面积的最大值为 D．面积的最大值为 【答案】D 【分析】由勾股定理可得，由锐角三角函数可得，由直角三角形的性质得，当时，最小，过作于，可得，即得，即可判定；作点关于直线的对称点，连接 交于，此时最小，以点为原点建立平面直角坐标系，则， ， ， ，可得 ，利用勾股定理求出即可判定；过点作的延长线于点，，当时，取最大值，即可判定；过点作 的延长线于点，利用三角形的面积可得，由，可得，即可判定，综上即可求解． 【详解】解：在中，∵，，， ，， ， 为中点， ， ∴为定值， 当时，最小， 如图，过作于， 则， ，故正确； 如图，作点关于直线的对称点，连接 交于，此时最小， 以点为原点建立平面直角坐标系，则， ， ， ， ∵点为的中点， ∴ ， ∴， ，故正确； 过点作的延长线于点， 则 ， 当时，取最大值， ∴面积最大值为，故正确； 设为点到直线的距离，则 ， 过点作 的延长线于点， 由可得，， ∴， ∵， ∴，故错误． 22．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在中，，是的中点，是上一个动点，过点分别作、，垂足分别为、，与交于点，连接，，，，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为6 【答案】D 【分析】由 ，，，得四边形 是矩形，对角线 与 交于中点 ；对选项A，由矩形性质得 ，从而 ，利用点到直线距离最短求 的最小值；对选项B，连接 ，由 ， 为 中点，得 为等腰直角三角形，，，；在 中 ，，得 ；同理 ；进而利用 ，， 证明 ，得 ；再利用点到直线距离最短求 的最小值；对选项C， 是 的中点，而 各边中点连成的中位线 平行于 且过 中点，故 在中位线 上；作 关于 的对称点 ，则 ，当 、、 共线时取等，利用 及勾股定理求 ；对选项D，由 得 ，从而 为定值，与 的位置无关． 【详解】解：，，， 四边形 是矩形， 与 互相平分，即 是 的中点，， ， 到直线 的距离最短时，， 此时 ， 的最小值为 ，选项A正确； 如图，连接，则， 在中，，， ，， ， ． 当时，有最小值， 在中，， 最小值为2，则的最小值为4，故选项B正确； 如图2，在中，， 是的中点， 点位于的中位线上． ， 作点关于直线的对称点，则， 当点，，共线时，有最小值，此时， 在中，，故选项C正确； ， ， ，故选项D错误． 23．（2026·安徽合肥·二模）如图，在中，点为的中点，将绕点顺时针旋转得到线段连接，交于点，分别连接则下列结论中：的最小值为； 的最小值为；面积的最大值为；面积的最大值为． 正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由勾股定理可得，由锐角三角函数可得，由直角三角形的性质得，当时，最小，过作于，可得，即得的最小值，可判断；作点关于直线的对称点，连接 交于，此时最小，以点为原点建立平面直角坐标系，则， ， ， ，可得 ，利用勾股定理求出，可判断；过点作的延长线于点，，当时，取最大值，可判断；过点作 的延长线于点，利用三角形的面积可得，由，可得的最大值，可判断． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴ ， ∴为定值， 当时，最小， 如图，过作于， 则， ∴， ∴正确； 如图，作点关于直线的对称点，连接 交于，此时最小， 以点为原点建立平面直角坐标系，则， ， ， ， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴正确； 过点作的延长线于点， 则 ， 当时，取最大值， ∴面积最大值为， ∴正确； 设为点到直线的距离，则 ， 过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴错误． ∴正确的结论有个． 24．（2026·安徽六安·二模）如图1，将军饮马问题是一个经典的几何最值问题，源于古希腊时期，数学家海伦利用轴对称的知识成功地解决了这个问题，体现了早期数学家对路径优化的探索．如图2，在中，，，，点，，分别在边，，上，则周长的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据将军饮马模型的提示，分别作点关于的对称点，连接两个对称点，则对称点之间的线段的长度是周长的最小值，再利用已知条件求出答案． 【详解】解：如图1，过点作于点，， ， ， ， ． 如图2，过点作，垂足为点， 过点分别作，的对称点，， 连接，交于点，交于点， 则此时的周长最小，连接，， 由对称性可知： ，，， ， ， 是等边三角形， ， 此时的周长，， ， 周长的最小值为． 【点睛】本题主要考查了将军饮马模型的多对称拓展，解题的关键是两次对称，化折为直将三角形周长转化成一条线段的长度，利用点到直线垂线段最短求出答案． 25．（2026·安徽合肥·二模）如图，在矩形中，，，E为边中点，G为边上一点，P为对角线上一点，连接，将沿翻折，得到，连接，，，下列说法错误的是（   ） A．的最小值为2 B．的最小值为 C．连接，若，则的最小值为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】根据翻折性质可知，点在以为圆心，为半径的圆上，利用点圆距离模型判断A、B；利用轴对称性质求最短路径判断D；利用垂线段最短及相似三角形判断C． 【详解】解： 由翻折可知， 即点在以为圆心，为半径的圆上， A选项，当点在线段上时，取得最小值， 则，故A正确； B选项，连接，当点在线段上时，取得最小值， 则，，故B正确； D选项，作点关于直线的对称点，连接交于点， 此时为最小值， 以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 设直线的解析式为， 代入点，则，可得； 则直线的解析式为 ， 设，则线段的中点在直线 上， 则中点坐标为， ∴，即， 则，， 在中，， 在中，， 解得，， 即， 则， ∴的最小值为，故D错误； C选项，， ， 当点与点重合，且时，取得最小值， 此时， 在中，， ， 即， 在 中，， 即的最小值为，故C正确 ． 二、填空题 26．（2026·安徽芜湖·二模）如图，点P在反比例函数的图象上，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A，B，与的图象交于点C，D．已知矩形的面积为4． （1）________； （2）连接，当点P在反比例函数图象上运动时，线段长度的最小值为________． 【答案】 【分析】（1）根据值的几何意义，得到，进行求解即可； （2）设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，根据两点间的距离公式结合勾股定理求出，配方法进行求解即可. 【详解】解：（1）∵点P在反比例函数的图象上，矩形的面积为4， ， 反比例函数的图象在第二象限， ； （2）设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， 由勾股定理得，即， ， 的最小值为， ． 27．（2026·安徽铜陵·二模）一次折纸实践活动中，小明同学准备了一张边长为的正方形纸片，点为的中点，点为上任意一点，将沿所在的直线折叠得到，连接． （1）的最小值为________； （2）当取最小值时，________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、圆上点到定点的最短距离问题、相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数的计算，熟练掌握相关图形的性质与判定定理是解答本题的关键． （1）根据折叠的性质得到，结合点为定点，判断出点的运动轨迹是以为圆心、为半径的圆弧，再根据 “圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径”，结合勾股定理求出的长度，进而得到的最小值； （2）当取最小值时，点在线段上，由折叠性质得到，从而推出，利用相似三角形的性质求出的长度，再结合正方形边长求出的长度，最后根据正切的定义计算． 【详解】（1）解：点为的中点，正方形的边长为， ， 由折叠知，如图1， 点在以点为圆心，以为半径的圆弧上运动，连接DE， ，，， 中，， ， ， 的最小值为， 故答案为：； （2）如图，当取最小值时，点在线段上，由折叠知， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 故答案为：． 28．（2026·安徽芜湖·二模）如图，在中，，点D是边上一动点，过点B作交的延长线于E．若，． （1）若，则___________； （2）的最小值为___________． 【答案】 【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质求解即可； （2）过点作于，设的中点为O，连接，先证明，得到，所以当取最大值时有最小值，然后证明A，B，E，C四点共圆，得到当时，即点E是中点时，有最大值，再求出，即可得到答案． 求两条动线段比的最值问题，通常通过相似三角形的判定与性质，将两条动线段转化为一条动线段来解，对于求单一动线段的最值问题，往往可以根据其运动过程中图形的位置变化去找最值． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 解得； （2）如图1，过点作于，设的中点为O，连接， ， ， ， ， 是定值， 当取最大值时有最小值， 又， ，B，E，C四点共圆， 是定值， 当时，即点E是中点时，有最大值， 此时，E，O，F三点共线（如图2）， ， ， ， ， ， ， ， ． 29．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在正方形中，点是边上一动点，将沿着直线翻折，得到，连接． （1）若点为的中点，连接．当时，_____； （2）的最大值是_____． 【答案】 【分析】（1）由正方形的性质及折叠的性质证明，则，而，即可求解； （2）过点A作于点M，过点C作于点N，证明，则，而，故． 【详解】解∶（1）连接， ∵正方形， ∴，， ∵，G为中点， ∴， ∵沿着直线翻折，得到， ∴，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； （2）过点A作于点M，过点C作于点N， ∴ ，， ∴， ∴， 由（1）得， 又， ∴， ∴， 而， ∴，即最大值为2． 30．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在矩形中，，，E、F分别为上的点，且， （1）点B到的距离是_________； （2）连接，交于点G，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】（1）先利用勾股定理求出的长，再利用面积法求解即可； （2）由点A，B，F，E共圆得，设的外心为点O，连接，作于点H，设，则，当最小时，取得最小值．由可知当最小时，取得最小值，根据垂线段最短求出r的最小值即可求解． 【详解】解：（1）∵在矩形中， ∴， ∵，， ∴． 设点B到的距离是h， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴点A，B，F，E共圆， ∴． 设的外心为点O，连接，作于点H，设， ∴，， ∴当最小时，取得最小值．． ∵， ∴， ∴，， ∴当最小时，取得最小值．． ∵点B到的距离是， ∴， ∴， ∴r的最小值为． 当时，，， ∴的最小值是． 规律探究 考点03 一、填空题 1．（2026·安徽合肥·二模）某班45名同学按学号1，2，3，…，45顺次顺时针方向坐成一圈做活动：从某个同学开始，沿顺时针方向，按1，2，3，…依次报数，报到数字45的同学表演节目，剩下44人，第一轮结束；接着从表演节目的同学的后一个同学开始继续沿顺时针方向按1，2，3，…依次报数，报到数字45的同学表演节目，剩下43人，第二轮结束；…按这种方式： （1）当第一轮是学号3的同学开始报数，则第三轮表演节目的同学的学号是_____； （2）若在第五轮中，学号18的同学表演节目，则第一轮第一位报数同学的学号是_____． 【答案】 5 9 【分析】（1）根据题意分别得出第一轮报数45的同学学号为，第二轮报数45的同学学号为及第三轮报45号同学的学号即可； （2）设第一轮第一位报数同学的学号是a，共45人，依次进行运算即可得到答案． 【详解】解：（1）当第一轮是学号3的同学开始报数，共45人， ∴第一轮报数45的同学学号为， 第二轮报数45的同学学号为， 第三轮报数45的同学学号为； （2）设第一轮第一位报数同学的学号是a，共45人， 则第一轮报数45的同学学号为， ∴第二轮第一个报数的同学学号为a，共44人， 则第二轮报数45的同学学号为， ∴第三轮第一个报数的同学学号为，共43人， 则第三轮报数45的同学学号为， ∴第四轮第一个报数的同学学号为，共42人， 则第四轮报数45的同学学号为， ∴第五轮第一个报数的同学学号为，共41人， 则第五轮报数45的同学学号为， ∵在第五轮中，恰好学号18的同学表演节目， ∴， ∴． 二、解答题 2．（2026·安徽合肥·二模）【综合与实践】：排队问题 发现问题：某校是一个有3000位学生的寄宿制学校，但只有一个窗口办理校园卡补卡和充值业务，同学们普遍反映等待时间较长，校数学兴趣小组决定利用所学知识尝试解决这个问题． 任务一：获取学生平均等待时间 【收集数据】 同学们随机对m名同学的等待时间进行了调查统计，把数据分为5组（等待时间用x表示，单位为秒）：A：，B：，C：，D：，E：，并整理绘制了如图所示的统计图． 根据图中给出的信息，完成下列问题． (1)问题1：_________；_________； (2)问题2：根据调查，大部分学生期望的等待时间为100秒以内，请你估算全校有多少人认为等待时间过长？ 任务二：进行数据分析构建数学模型 数学兴趣小组通过查阅资料，找到了可以让数据既精准，还可以预计增加窗口后的方法． 在增加调查的次数后得到了工作人员的效率、初始排队的人数和排队人数的增速的最终数据如下： 工作人员平均服务一位学生的时间 平均初始等待人员的数量 平均多久有一位新学生到达 23秒 16人 41秒 设，，，表示当窗口开始工作时已经在等待的16位学生，，，…，表示在窗口开始工作以后，按先后顺序到达的“新学生”，且当离开后，排队现象就此消失了，即为第一位到达后不需要排队的“新学生”（这里假设，，，的到达时间为0）． 学生 … … 到达时间（秒） 0 0 0 … 0 … 41n ? 服务开始时间（秒） 0 23 … … 服务结束时间（秒） 23 … … ? 等待时间（秒） 0 23 … … ? (3)问题3：的到达时间是_________，服务结束时间是_________，的等待时间是_________（用含n的代数式表示）； (4)问题4：若服务结束时间小于或等于的到达时间，则排队现象消失．你能否求出n的最小值和平均等待时间？（精确到1秒） 【答案】(1)， (2)全校有1500人认为等待时间过长 (3)，，秒； (4)n的最小值为19，平均等待时间约为168秒 【分析】(1) 由B组人数及其所占百分比可求总人数，再由组所占百分比求． (2) 等待时间过长即等待时间不少于100秒，对应、、三组，用样本比例估计总体． (3) 观察表格，找到的到达时间的规律，服务结束时间与序号成正比，等待时间等于服务开始时间减到达时间． (4) 根据排队消失的条件列不等式求，再计算所有等待学生的总等待时间求平均． 【详解】（1）解：由频数直方图知组有15人，由扇形统计图知组占， ， 由柱状图可知，， ． （2）解：∵等待时间过长即等待时间在100秒及以上，对应、、三组， 样本中等待时间过长的人数为， 全校认为等待时间过长的人数约为人． （3）解：由表格规律可知， 的到达时间为秒， 前面共有人， 的服务开始时间为秒， 服务结束时间为秒， 的等待时间为秒． （4）解：由题意得， ， ， ， 为正整数， 的最小值为19． 16位初始学生的等待时间分别为， 其和为秒． 19位新学生的等待时间分别为， 即， 其和为秒． 总等待时间为秒， 总人数为人， 平均等待时间为秒． 3．（2026·安徽阜阳·二模）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“多边形数规律”的问题： 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数． 比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为“三角形数”；类似的，称图2中的这样的数为“正方形数”． (1)第n个“三角形数”可表示为．第n个“正方形数”可表示为____________．既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为____________． (2)可以发现：任意两个连续“三角形数”之和等于一个“正方形数”，即第个“三角形数”与第n个“三角形数”之和等于第n个“正方形数”，其中n为大于1的整数，请通过计算证明． (3)通过进一步的研究发现：第n个“五边形数”可表示为，第n个“六边形数”可表示为，则推测第n个“七边形数”可表示为____________． 【答案】(1)；36 (2)见解析 (3) 【分析】（1）理解题意，结合图中信息，得出第n个“正方形数”可表示为，再把三角形数和正方形数从小到大写出来，即可得出既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为36，即可作答． （2）理解题意，列式得出即第个“三角形数”与第n个“三角形数”之和为，再整理得出，即可作答． （3）研究三角形数，正方形数，五边形数，总结规律得边形数公式：，最后把代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：观察图中信息，得第n个“正方形数”可表示为； 依题意，三角形数： 正方形数： ∴既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为． （2）解：∵第n个“三角形数”可表示为， ∴第个“三角形数”可表示为，其中 则第个“三角形数”与第n个“三角形数”之和等于， 由（1）得第n个“正方形数”可表示为； 即第个“三角形数”与第n个“三角形数”之和等于第n个“正方形数”，其中n为大于1的整数． （3）解：依题意，三角形数，； 正方形数，； 五边形数，； 以此类推：边形数公式：， ∴当（七边形数）时：． 4．（2026·安徽滁州·二模）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，初中数学里的代数公式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释． (1)【方法初探】 求的值（其中n是正整数）． 如图1，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n个小圆圈排列组成的，而组成整个三角形的小圆圈的个数恰为所求式子的值．现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形，此时，组成平行四边形的小圆圈的个数为_________，可得_________； (2)【深入探索】 我们知道了的值，那么的结果等于多少呢？ 如图2，是正方形的一边，，，…，，，则，分别以，，…，，为边作正方形，将正方形的面积记为，六边形的面积记为…六边形的面积记为，六边形的面积记为． 结合图形，可以得到_________， 同理有_________，_________，…，，， _________； (3)【解决问题】 根据以上发现，求的值． 【答案】(1)； (2)；；； (3)5050 【分析】（1）将三角形倒放组成平行四边形，平行四边形的底为，高为，总点数为，原三角形点数为一半； （2）利用正方形面积分割，表示最外层六边形面积，通过边长关系推导，同理递推得立方和公式； （3）利用小问2的结论，立方和除以等差数和，化简求值． 【详解】（1）解：如图1，将左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形， 该平行四边形的底边有个点（每层个），共有层， 组成平行四边形的小圆圈的个数为， 原三角形（即所求）的个数为平行四边形的一半： ， （2）解：由题意，， 正方形的面积为， 观察图形，，， 同理，，，，，， （3）解：由小问1和小问2的结论： ， ， ． 5．（2026·安徽阜阳·二模）用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按如图方式拼成长方形： 第①个图形中有2张正方形纸片； 第②个图形中有张正方形纸片； 第③个图形中有张正方形纸片； 第④个图形中有张正方形纸片． 请你观察上述图形与算式，完成下列问题： (1)第⑤个图形中有_____张正方形纸片（直接写出结果）；根据上面的发现我们可以猜想第个图形中有_____张正方形纸片； (2)由（1）可得：_____（用含的代数式表示）； (3)根据你的发现计算：_____． 【答案】(1)30， (2) (3) 【分析】（1）根据已知的规律即可得答案； （2）根据（1）的计算等式，利用等式的性质计算即可得到答案； （3）将各数都减去1000，再根据（2）的规律计算即可． 【详解】（1）解：第⑤个图形中有张正方形纸片； 第个图形中有张正方形纸片； （2）解：∵ ∴； （3）解： ． 6．（2026·安徽阜阳·二模）【项目主题】 探索正多边形与正多边形格点数之间的数量关系． 请将材料中横线上所缺数字或代数式补充完整： 【项目准备】 (1)对于一个正边形（），其第个正多边形格点数，记作．正边形与其格点数有如下规律： 多边形类型 名称 格点数列 正三角形格点数 正四边形格点数 正五边形格点数 正六边形格点数 ，①__________， 根据上述列表可知，，则②__________． 【项目探索】 (2)数形结合是常见数学思想方法．根据上述初步分析，将上述规律用正多边形表示出来，并归纳第个正多边形格点数． s边形 图与格点 第个正多边形格点数 ③__________ （用含的代数式表示） …… ④__________ （用含s，n的代数式表示） 【项目实施】 (3)按照上表中总结的第个正多边形格点数的规律．若，，求出所有满足条件的整数的值的和．根据多边形格点规律，得，即，整理，得⑤__________（用含的代数式表示）n为正整数，当取1和7时，的值为整数，所以满足条件的整数的值的和为⑥__________． 【答案】(1)①6；②22 (2)③；④ (3)⑤；⑥2 【分析】本题主要考查了图形变化的规律及一元一次方程的应用，能根据题意得出n边形数变化的规律是解题的关键． （1）根据所给表中的数据，发现各部分变化的规律即可解决问题； （2）根据所给表中的图形及数据，发现各部分变化的规律即可解决问题； （3）根据题意，先计算，再列出方程求解，再满足条件的整数的值的和． 【详解】（1）解：对于正六边形（），当时： 因此①处填6． 对于正五边形，当时： 因此②处填22． （2）解：对于正六边形， 因此③处填． 观察正三角形（）、正四边形（）、正五边形（）的格点数公式，发现规律：正边形第个格点数为 （3）解：计算： 所以， 整理得： 因此⑤处填． 要求为整数，则需为整数，即是7的正因数或． 当时，； 当时，． 整数解之和为， 因此⑥处填2． 7．（2026·安徽芜湖·二模）年某春晚舞台采用了一种新型的“智能光阵”背景墙，由若干个发光单元按一定规律排列组成．这些发光单元分为两种：型（圆形）和型（星形）．设计师按照如下方式排列：第行：个型；第行：个型；第行：个型；第行：个型；第行：个型；……即第奇数行全为型，数量等于行数；第偶数行全为型，数量等于行数． 一、基础探究 (1)按初始规则摆放至第行时，型发光单元的总数为_______个，型发光单元的总数为_______个； (2)若继续按初始规则摆，前行的发光单元总数为_______个； 二、数量与成本计算 导演组调整规则：摆放共行，将前行（）全部设置为型，剩余第行到第行全部设置为型（每行发光单元数量仍等于行数）． (3)用含，的代数式表示：型发光单元总数为_______个，型发光单元总数为_______个； (4)已知型每个20元，型每个30元，则购买所有发光单元的总成本为_______元（用含，的代数式表示）； 三、优化设计 调整规则后，当摆放总行数时，结合预算和视觉效果要求，现要求满足条件：型发光单元的总数不少于型发光单元的总数且不超过型发光单元总数的2倍． (5)此时的值为_______； (6)此时的总成本为_______元． 【答案】(1)， (2) (3)， (4) (5) (6) 【分析】（1）根据题意，分别列出摆放至第行时，奇数行和偶数行的发光单元的排列方法，即可求解； （2）根据题意，分别列出摆放至第行时，奇数行和偶数行的发光单元的排列方法，即可求解； （3）结合调整后，每行发光单元数量仍等于行数，求出前行发光单元的总数和前行发光单元的总数，即可求解； （4）根据总价单价数量，列出代数式，即可求解； （5）先求出摆放总行数时，发光单元的总数为个，设型发光单元的总数为（个），则型发光单元的总数为（个），根据题意列出不等式，得出，通过检验可知，当时，，不满足；当时，，满足；当时，，不满足，因此； （6）求出时，，代入（4）中购买所有发光单元的总成本的代数式，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：奇数行：第行个型；第行个型；第行个型； 故按初始规则摆放至第行时，型发光单元的总数为（个）， 偶数行：第行个型；第行个型；第行个型； 故按初始规则摆放至第行时，型发光单元的总数为（个）． （2）解：奇数行：第行个型；第行个型；第行个型；第行个型； 偶数行：第行个型；第行个型；第行个型；第行个型； 若继续按初始规则摆，前行的发光单元总数为（个）． （3）解：∵前行（）全部设置为型，每行发光单元数量等于行数， 则型发光单元总数为（个）． ∵摆放共行，每行发光单元数量等于行数， 则型和型发光单元总数为（个）， ∴型发光单元总数为（个）． （4）解：购买型发光单元的成本为（元）， 购买型发光单元的成本为（元）， 则购买所有发光单元的总成本为（元）． （5）解：调整规则后，当摆放总行数时，发光单元总数为（个）， 设型发光单元的总数为（个），则型发光单元的总数为（个）， 根据题意可得， 即， 整理得， 即，为整数，且满足． ∴， ∵，， ∴当时，，不满足，故舍去； 当时，，满足； 当时，，不满足，故舍去； 综上，． （6）解：由（5）可得：时，， 故总成本为（元）． 8．（2026·安徽阜阳·二模）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）在第1排中，第1个图案中“矩形”的个数可表示为1，第2个图案中“矩形”的个数可表示为，第3个图案中“矩形”的个数可表示为，第4个图案中“矩形”的个数可表示为，第个图案中“矩形”的个数可表示为___________； （2）在第2排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为___________ （3）在第排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为___________ 【规律应用】 （4）当时，结合图案中“矩形”的排列方式及上述规律，是否存在正整数，使得第排第个图案中“矩形”的个数为225？ 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）存在正整数，使得第排第个图案中“矩形”的个数为225 【分析】本题主要考查了图形类规律题，解一元二次方程，根据题意得到规律是解题的关键． （1）根据题意规律可得第个图案中“矩形”的个数可表示为 ； （2）根据题意求出在第2排中，前4个图案中“矩形”的个数，可得到规律即可； （3）求出在第3排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为，可得到规律即可； （4）根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：在第1排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为 ； 故答案为： （2）根据题意得：在第2排中，第1个图案中“矩形”的个数可表示为， 在第2排中，第2个图案中“矩形”的个数可表示为， 在第2排中，第3个图案中“矩形”的个数可表示为， 在第2排中，第4个图案中“矩形”的个数可表示为， …… 在第2排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为； 故答案为： （3）根据题意得：在第3排中，第1个图案中“矩形”的个数可表示为， 在第3排中，第2个图案中“矩形”的个数可表示为， 在第3排中，第3个图案中“矩形”的个数可表示为， 在第3排中，第4个图案中“矩形”的个数可表示为， …… 在第3排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为， …… 在第排中，第个图案中“矩形”的个数可表示为； 故答案为： （4）根据题意得：， ∴（负值舍去）， 解得：或（舍去）， ∴存在正整数，使得第排第个图案中“矩形”的个数为225． 9．（2026·安徽阜阳·二模）综合与实践 【项目主题】班级劳动实践小组拟用正方形和等腰直角三角形地砖铺设社区小广场． （1）【项目准备】已知图中小正方形地砖的面积为，则等腰直角三角形地砖的面积为①_____，图形中心的稍大正方形地砖的面积为②_____． （2）【项目分析】第1个图形中，小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； 第2个图形中，小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； 第3个图形中，小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； ．．． 根据规律， 第4个图形中，小正方形的个数为③_____，等腰直角三角形的个数为④_____， （3）【项目实施】如果社区小广场是按以上方法铺设的面积为的正方形广场，则需要小正方形地砖的块数为⑤_____，等腰直角三角形地砖的块数为⑥_____． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①_____；②_____；③_____；④_____；⑤_____．⑥_____． 【答案】①；②2；③56；④28；⑤756；⑥84 【分析】（1）根据题目条件及图形计算即可； （2）根据图片的序号与图形中的数据关系，找出规律即可； （3）由（2）中的数量关系列方程求解即可． 【详解】解：（1）图中小正方形地砖的面积为，则等腰直角三角形地砖的面积是小正方形地砖的面积的一半，为，图形中心的稍大正方形地砖的面积是小正方形地砖的面积的两倍，为； （2）第1个图形可分成4个等腰梯形， 其中1个等腰梯形中，小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为， 第1个图形中小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； 第2个图形中小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为， 第3个图形中小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； 第4个图形中小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； （3）第个图形中小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； 第1个图形的面积是， 第2个图形的面积是， 第3个图形的面积是， ．．． 第个图形的面积是， 当时，解得（负值舍去）， 当时，． 铺设该广场需要小正方形地砖的块数为756，等腰直角三角形地砖的块数为84． 10．（2026·安徽阜阳·二模）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把，这样的数称为“三角形数”，某数学兴趣小组对“三角形数”进行了研究． 【规律发现】 ①第个“三角形数”可以表示为； ②第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； 【规律应用】 (1)第5个等式为___________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）根据前四个等式确定变化规律，然后确定第5个等式即可； （2）根据题意即可写出第n个等式，再进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2），证明如下： ∵左边右边， ∴等式成立． 11．（2026·安徽安庆·二模）综合与实践 【活动背景】我们把按一定规律排列的一列数叫做数列，一般地，把数列中的第1个数记为，第2个数记为，…，第n个数记为．我们定义“启源”数列：取初始项＝1，＝3，从第3项开始，每一项等于前一项的2倍与前前项的和，即递推公式为（n≥3）．记为“启源”数列前k个偶数项的和（k为正整数），数学兴趣小组制作了该数列的探究表格（部分空缺），请你参与探究并完成以下任务． n（项数） 1 2 3 4 5 6 … （项的值） 1 3 ______ 17 41 99 … * 3 * ______ * ______ … 【活动探究】 (1)请根据“启源”数列的递推公式，补全表格； (2)观察补全后的表格，你能发现与数列的某一项之间存在怎样的数量关系吗？请直接写出这个关系（用含k的代数式表示）； 【探究应用】 (3)“启源”数列在计算机科学中有一种有趣的应用，可用于生成某种特定长度的校验码序列．工程师小元需要设计一个流程： 生成主序列：首先按顺序生成该数列的前N项，，…，作为主序列． 生成校验码：同时，还需要生成一个校验码，该码的值等于主序列中所有偶数项之和（即，，其中或，根据N的奇偶决定）．现在，小元的任务目标是：需要最终生成一个数值为696的校验码． 请你帮助小元快速确定：他至少需要将主序列生成到第______项． 【答案】(1)7；20；119 (2) (3)8 【分析】（1）根据递推公式，补全表格即可； （2）观察规律：时，；时，；得到； （3）由题意得到，因此，则，对应前4个偶数项（，，，），得到主序列需生成到第8项或第9项，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据递推公式， ， ， ； （2）解：观察规律：时，； 时，； 时，； 故； （3）解：校验码为696，即＝696， 根据（2）的关系：， 则， 计算数列项，直到找到． ，，，，，，，，， 因此，则，对应前4个偶数项（，，，）， 其和为， 此时主序列需生成到第8项或第9项，即至少生成到第8项． 12．（2026·安徽宣城·二模）探究的最小值．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)因此，数轴上表示2和5的两点之间的距离是________，数轴上表示和的两个点之间的距离是3，那么的值为________． 探索规律： （Ⅰ）探究的最小值． 不妨设，表示数的点为，表示数的点为，表示数的点为． ①如图1，此时点在点的左侧，则； ②如图2，此时点在点A，B之间，则； ③如图3，此时点在点的右侧，则； 综上：当时，此时的最小值为． （Ⅱ）探究的最小值． 不妨设，表示数的点为，并由（Ⅰ）知：点必在之间； ①如图4，此时点在点，之间，则； ②如图5，此时点在点C，B之间，则； 显然当为0时，； 综上：当时，此时的最小值为． (2)探究的最小值． 不妨设，表示数的点为，并由（Ⅰ）知：点必在之间； ①如图6，此时点在点A，C之间， 则； ②如图7，此时点在点C，D之间， 则； ③如图8，此时点在点，之间，则________． 综上：当时，此时的最小值为________ …… 规律应用： (3)工厂加工车间工作流水线上依次间隔排着9个工作台A，B，C，D，E，F，G，H，K，一只工具箱应该放在________工作台（填字母），能使工作台上的工作人员取工具所走的总路程最短．最短路程是________m． 【答案】(1)3；2或 (2)； (3)；40 【分析】（1）利用绝对值的几何意义求解； （2）利用绝对值的几何意义以及线段的和差求解； （3）根据结论得出最短距离的点，然后利用线段的和差求路程． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离是， ∵数轴上表示和的两个点之间的距离是3， ∴， 解得或； （2）解：③； 综上：当时，此时的最小值为； （3）解：一只工具箱应该放在工作台（填字母），能使工作台上的工作人员取工具所走的总路程最短．最短路程是． 13．（2026·安徽六安·二模）探秘铺地锦中的代数规律． 【问题情境】明代著作《算法统宗》中记载一种古代用于笔算乘法的格子算法——铺地锦． 【知识理解】如图①，计算：，先将乘数和分别写在大方格的上面和右面，然后用的每位数字分别乘以的每位数字，并将结果记入对应小方格的三角形中，最后再把大方格内同一斜线上的数相加，满十进一，得． 【知识初探】（1）如图②，是用铺地锦计算的过程，格子中___________； （2）如图③，是用铺地锦计算两个两位数乘积的过程，则___________． 【知识再探】在铺地锦算法中，我们把大方格内同一斜线从右下向左上编号，最右下角为第条斜线，设表示铺地锦表格中第条斜线上所有数字之和；为第条斜线相加后的进位值，如相加后没有进位，则．如图①中，，． 【知识应用】（3）如图④，是用铺地锦计算乘积的过程，___________，___________； 【拓展创新】（4）将十进制铺地锦推广到五进制，即满五进一，如图⑤，是用铺地锦计算五进制下的过程，格子中___________，___________；它们的乘积等于___________． 【答案】（1）0；（2）3；（3）6，1；（4）2，3，1103 【分析】（本题主要考查了铺地锦乘法算法、十进制与五进制的数的运算、进位规则等知识点，熟练掌握铺地锦的计算规则和不同进制下的进位方法是解题的关键． （1）利用“铺地锦”的方法计算即可； （2）根据铺地锦规则，列出关于的方程，求解并检验的取值合理性． （3）先确定第3条斜线包含的数字，求和得到；再根据的值和满十进一规则，计算 （4）在五进制下，先计算得到，计算并转换为五进制得到；再按五进制满五进一规则计算斜线和，最终得到乘积． 【详解】（1）解：如图， ； （2）解：如图， 解得； （3）解：如图， ∴， ， ； （4）解：如图， 格子中，；它们的乘积等于． 14．（2026·安徽合肥·二模）综合与实践：定理的探究 在平面上画互相垂直的两组平行线，相邻平行线的距离都等于1，这两组平行线的交点称为“格点”，以格点为顶点的图形称为“格点图形”．我们可以通过格点的数量，计算格点图形的面积． 【阅读理解】奥地利数学家乔治·皮克在1899年提出了定理，用于快速计算简单的格点多边形的面积，是网格类几何题的常用工具． 对于简单的格点多边形，定理的公式为：，其中表示格点多边形的面积；表示多边形内部包含的格点数量；表示多边形边界上的格点数量（包含所有顶点和边上的格点）． （1）如图1，在边长为1的网格中，为格点三角形，数出内部的格点数① ，边界上的格点数② ；代入定理公式可计算的面积③ ，使用割补法再计算一次的面积，很容易验证结果是正确的． （2）【证明探究1】如图2，矩形为“格点矩形”，可证明定理对格点矩形成立． 证明：设矩形的边，上分别有m，n个不含端点的格点，并记矩形内部和边界上的格点数分别为．则． 用面积公式计算：． 用定理计算：． 两种计算方法所得的结果都是：④ ． ∴定理对格点矩形成立． （3）【证明探究2】利用图3，证明对于，定理是成立的． 任何一个格点三角形都可以内接在一个格点矩形中，使三角形至少有一个顶点恰好是矩形的顶点．图3是最简单的情形． 设图3中矩形内部和边界上的格点数分别为，边上不含端点的格点数为． 设I，B分别表示内部与边界上的格点数，则⑤ ；⑥ ；（用含或的代数式表示）． 通过计算可得：． ∴定理对图3所示的成立． 【拓展应用】利用图4，证明对于，定理也是成立的，证明过程略． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ① ；② ；③ ； ④ ；⑤ ；⑥ ． 【答案】9；3；；；；． 【分析】直接根据题干图可知①、②，代入定理公式可求③，分别计算两种方法的值可求④，根据题干图结合矩形的性质可知⑤、⑥． 【详解】解：（1）如图1，在边长为1的网格中，为格点三角形，数出内部的格点数，边界上的格点数；代入定理公式可计算的面积； （2）， ， 两种计算方法所得的结果都是：； （3）设图3中矩形内部和边界上的格点数分别为，边上不含端点的格点数为． 设I，B分别表示内部与边界上的格点数，则，． 15．（2026·安徽安庆·二模）综合与实践 【项目主题】基于正多边形镶嵌原理的校园地面铺装设计． 【项目准备】（1）正边形内角度数；（2）平面镶嵌的核心条件，拼接在同一点的几个角的和恰好等于． 【项目情况】学校计划对校园广场地面进行翻新，需要用正多边形地砖进行无缝不重叠的平面镶嵌．（密铺） 【项目任务】 初步探究： (1)单一正多边形镶嵌． ①等边三角形每个内角为 ，该内角正整数，因此等边三角形可以单独镶嵌． ②正五边形每个内角为 ，该内角正整数，因此正五边形不能单独镶嵌． 实战应用： (2)两种正多边形的组合镶嵌．学校计划用等边三角形和正六边形的两种地砖进行组合镶嵌，解决： 实验步骤：第一步：明确两种正多边形内角，等边三角形内角上面已知，正六边形内角为 ；第二步：建立镶嵌方程．设在一个拼接点处，有个等边三角形，个正六边形（、为正整数），则满足方程（表示等边三角形的一个内角度数，表示正六边形的一个内角度数），化简方程得： ，符合条件的正整数解为． 【答案】(1)①；② (2)；；； 【分析】（1）①利用正多边形的内角公式进行计算即可； ②利用正多边形的内角公式进行计算即可； （2）利用正多边形的内角公式计算出正六边形的内角，再写出方程并化简，最后写出正整数解即可． 【详解】（1）解：①等边三角形每个内角为； ②正五边形每个内角为； （2）解：正六边形每个内角为， 根据题意，拼接处满足方程：， 化简，得， 符合条件的正整数解为． 16．（2026·安徽池州·二模）【问题提出】甲、乙两人轮流从一堆糖果中取糖果，规定每次至少取1颗，最多取m颗，取到最后一颗者获胜．设初始糖果总数为n，探究先手（先取糖果）或后手必胜的策略． 【问题探究】请将下述材料中横线上所缺内容补充完整： (1)基础情形验证：当每次最多取2颗（）时，观察下表并总结规律： 糖果总数（n） 1 2 3 4 5 6 7 … 先手是否有必胜的策略 是 是 否 是 是 否 是 … 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (2)扩展情形分析：若每次最多取3颗（）， 当时，先手取1颗（或2颗或3颗），后手相应可取3颗（或2颗或1颗）．因此后手有必胜的策略； 当时，先手第一次取_______颗，可迫使后手陷入必输状态． 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (3)数学归纳猜想：若每次最多取m颗（），当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择_______（先手或后手），你第一次取_______颗． 【答案】(1)3 (2)1；4 (3)；先手；6 【分析】（1）观察表中的数据，当n为3的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （2）分析题目所给条件：当时，不论先手取几颗，后手都可以直接取到最后一颗，故后手有必胜的策略；当时，先手第一次取1颗，剩下4颗，此时后手取x颗，先手就取颗，就能取到最后一颗，可迫使后手陷入必输状态，所以填1；因为时后手必胜，时先手必胜，时后手必胜，所以当n为4的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （3）由（1）（2）的结论可得若每次最多取m颗（），当n为的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略；由这个结论和可得，当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择先手，你第一次取6颗． 【详解】（1）解：观察可得：当n为3的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （2）解：当时，先手第一次取1颗，剩下4颗，此时后手取x颗， 先手就取颗，就能取到最后一颗，可迫使后手陷入必输状态，所以填1， 观察时后手必胜，时先手必胜，时后手必胜，可得： 当n为4的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （3）解：由（1）（2）知： 当每次最多取颗，当n为3的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略， 当每次最多取颗，当n为4的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略， 从而可推得：若每次最多取m颗（），当n为的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； 先计算即，所以应选择先手； 必胜策略：先手第一次取6颗糖果，之后每轮对手取x颗，先手就取颗，这样每轮两人一共取颗糖果，经过轮后，最后一颗糖果必然被先手取到，从而获胜． 17．（2026·安徽合肥·二模）项目式学习：从两正数和为定值，积最大探究到分蛋糕问题的研究 【材料阅读】我们计算了当两个正数和为定值，它们的积的大小对应规律，如下所示： ①                                     ②                                 通过上述等式，得出结论：当两个正数和为定值时，两个数越接近，它们的积越大． 【模型构建】 (1)如图①，在一个网格图中用一根长为（每个格点之间代表）的绳子围成一个格点矩形（矩形的四个顶点都在格点上），则围成矩形中，面积的最大值是_____，画出该矩形示意图，若绳子长为，其中n为奇数，则围成的格点矩形面积的最大值为_______（用含n的式子表示）； 结论：当矩形周长为定值时，记矩形两边长分别为，，令，矩形的面积随d_______（填“增大而增大”“增大而减小”或“不变”）； 【拓展应用】 (2)现准备分一块矩形蛋糕，规定只能沿着与蛋糕边缘垂直的方向横切或竖切，记切的刀数为n，分割后蛋糕块数为m，如图②，当时，，如图③，当时，；若共有26人分蛋糕，要保证至少每人分一块蛋糕，则符合条件的n的最小值为____． 【答案】(1)20；；增大而减小 (2)9 【分析】（1）设用一根长为（每个格点之间代表）的绳子围成一个格点矩形的长为，宽为，面积为，则有，然后根据二次函数的性质可进行求解，同理可得其他问题答案； （2）设横切a刀，竖切b刀，则有，根据题意可得：分割后的蛋糕块数为，然后根据题中所给结论进行求解即可． 【详解】（1）解：设用一根长为（每个格点之间代表）的绳子围成一个格点矩形的长为，宽为，面积为， ∴该矩形的面积为， 由题意可知取整数， ∴当或5时，面积有最大值，最大值为， 示意图如下： 若绳子长为，其中n为奇数，同理可得：该矩形的面积为， ∵n为奇数， ∴当或时，面积有最大值，最大值为； 由题意及以上过程可知：当两个正数和为定值时，两个数越接近，它们的积越大，也就意味着的值越大，矩形的面积也就越小， ∴当矩形周长为定值时，记矩形两边长分别为，，令，矩形的面积随d增大而减小； （2）解：设横切a刀，竖切b刀，则有，根据题意可得： 分割后的蛋糕块数为， 要使m最大，需使a、b尽可能接近， ∴当时，即，则有； 当时，即，则有； ∴n的最小值为9． 18．（2026·安徽阜阳·二模）【描述定义】用形状、大小完全相同的几种平面图形无空隙且不重叠地铺满整个平面，称为平面密铺（或称为平面镶嵌）．在生活中，地砖、墙砖、蜂巢等都用到了密铺的原理． 【知识储备】 (1)对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是 （用含的式子表示）； (2)密铺的条件：公共顶点处所有角的和为 ，并使相等的边重合． 【任务一：寻找密铺】 (3)下列正多边形中，能够单独密铺平面的是 ；（多选） A．正三角形    B．正方形    C．正五边形 D．正六边形    E．正八边形 (4)公园的一段通道是用相同的五边形地砖拼铺而成的，图1是拼铺图案的一部分，图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，，则的度数为__________． 【任务二：创作密铺】 (5)数学“挑战小组”提出同时用“正方形+正六边形”的密铺方案．请你思考并判断该方案是否可行，可进行如下验证： 验证方案：“挑战小组”方案（正方形+正六边形）：设正方形个，正六边形个，得方程 ，发现方程 （填“有”或“无”）正整数解； 结论：由上可得，“挑战小组”方案 ．（填“可行”或“不可行”） 【任务三：资金预算】 (6)某小区广场计划用不同的正多边形地砖组合密铺（边长相同）．已有正三角形地砖，现打算购买正方形和正六边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺．已知1块正六边形地砖成本20元，1块正方形地砖成本8元，1块正三角形地砖成本5元，且估算需要90块正方形地砖，请你设计出用三种正多边形共顶点组合密铺方案，并计算铺设广场的总成本． 【答案】(1) (2) (3)A，B，D (4) (5)，无，不可行 (6)铺设广场的总成本为1845元 【分析】（1）根据正多边形内角和可进行求解； （2）根据周角的定义可进行求解； （3）根据密铺的定义及正多边形的性质可进行求解； （4）由题意易得五边形内角和，然后根据图形可进行求解； （5）由题意易得方程，然后问题可求解； （6）设正三角形个，正方形个，正六边形个，则，然后可得该图形由1个正三角形、2个正方形和1个正六边形组合密铺，进而问题可求解． 【详解】（1）解：对于正边形，每个内角都相等，度数是； （2）解：密铺的条件：当公共顶点处所有角的和为，并使相等的边重合； （3）解：A．正三角形的每个内角为，，且各边相等，能够单独密铺平面； B．正方形的每个内角为，，且各边相等，能够单独密铺平面； C．正五边形的每个内角为，不能使公共顶点处所有角的和为，不能够单独密铺平面； D．正六边形的每个内角为且各边相等，，能够单独密铺平面； E．正八边形的每个内角为，不能使公共顶点处所有角的和为，不能够单独密铺平面． （4）解：五边形内角和：， ； （5）解：“挑战小组”方案（正方形+正六边形）：设正方形个，正六边形个，根据题意，可得方程； 发现方程无正整数解；结论：由上可得，“挑战小组”方案不可行； （6）解：设正三角形个，正方形个，正六边形个，则， ，，为正整数， ， 故可由1个正三角形、2个正方形和1个正六边形组合密铺，如图，则三角形，正方形，正六边形的数量之比为， 需要90块正方形地砖，费用：（元）， 需要正三角形数量：（块），费用：（元）， 需要正六边形数量：（块），费用：（元）， 总成本：（元）， 答：铺设广场的总成本为1845元． 19．（2026·安徽六安·二模）【项目主题】 某校数学社团开展“探索幻方”实践活动，旨在探究幻方的数式规律，并尝试将幻方制作应用于社团活动中． 【项目准备】 （）幻方：是一种将连续自然数（或特定规则的数）填入正方形方格中的数学结构，满足以下数学条件：每行数的和、每列数的和两条对角线上的数的和都相等，这个方格表就叫做幻方，相等的和叫做幻和． （）如图是由这个数构造的一个三阶幻方（方格）． 【规律探究】 (1)观察图，中心数是，该三阶幻方的幻和（即幻和等于中心数的倍）． 若将图中每个数修改为，，，…，得到一个新的三阶幻方，则新幻方的幻和 ① （用含的代数式表示）． (2)若用，，，…，这个连续正整数构造一个三阶幻方，则幻和 ② （用含的代数式表示）． (3)如图是由 这个自然数构造的五阶幻方（方格），幻和． 若将每个数修改为，，，…，，得到一个新的五阶幻方，则新幻方的幻和 ③（用含的代数式表示）． 【项目分析】 为了更好地开展活动，吸引更多同学参加，数学社团需要制作一些幻方展板，具体要求如下： ①展板为或的方形塑料板各10个，②每个展板上贴一些写有数字的塑料片，要求整个展板构成一个三阶或五阶幻方，③展板上的数必须是从某一起始数开始的满足特定条件的自然数． (4)现有两种备选方案： 方案一：用 这个连续奇数构造三阶幻方共制作套． 方案二：用，，，，…，这个自然数构造五阶幻方共制作套． 当，时，方案二的幻和： ④ ． 每个展板的制作成本为元，数贴纸费用为每个数字元（即按数字的位数收费，如贴纸数字是一位数收费元，贴纸数字是二位数收费元，贴纸数字是位数收费元），计算方案一总成本为 ⑤ 元． 【项目实施】 (5)根据以上分析，若社团要求方案二的幻和为，且最大数为，则方案一和方案二的展板各块的总成本为 ⑥ 元． 【答案】(1) (2) (3) (4)； (5) 【分析】（）求出新幻方的中心数，进而即可求解； （）求出新幻方的中心数，进而即可求解； （）求出新幻方的中心数，进而即可求解； （）求出方案二数列，进而求出五阶幻方的中心数，即可求出幻和；再根据题意求出方案一总成本即可； （）根据题意列出关于的二元一次方程组，求出的值，即得到方案二数列，再求出方案二总成本，最后和方案一总成本相加即可求解； 本题考查了整式加减的应用，二元一次方程组的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：新幻方的中心数为， ∴新幻方的幻和； （2）解：新幻方的中心数为， ∴新幻方的幻和； （3）解：新幻方的中心数为， ∴新幻方的幻和； （4）解：当，时，方案二数列为， ∴五阶幻方的中心数为， ∴五阶幻方的幻和； ∵方案一数列为， ∴方案一总成本为（元）； （5）解：由题意得，， 整理得，， 解得， ∴方案二数列为， ∴方案二总成本为（元）， ∴方案一和方案二的展板各块的总成本为（元）． 20．（2026·安徽合肥·二模）项目式学习：探究正多边形内任意一点到各边距离之和的规律 提出问题：正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的边及内角有什么关系？ 探索发现；为了解决这个问题，我们不妨从最简单的正多边形-正三角形入手 如图①，是正三角形，边长是a，P是内任意一点，P到各边距离分别为，，，确定的值与的边及内角的关系． 以下是解决办法：（注意：其中④⑤⑥的结果用含有三角函数的式子表示） (1)设的面积为S，显然设的中心（正多边形各边垂直平分线的交点，又称正多边形的中心）为O，连接、、，它们将分成三个全等的等腰三角形，过点O作，垂足为M，易知① ，② ，所以，所以，那么，所以； 类比探究 (2)正五边形的一个内角度数为③ (3)正五边形（边长为a）内任意一点P到各边距离之和④ (4)正六边形（边长为a）内任意一点P到各边距离之和⑤ ． 问题解决 (5)正n边形（边长为a）内任意一点P到各边距离之和⑥ ． 【答案】(1); (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了正多边形的性质、面积法的应用及规律探究，解题的关键是利用面积法建立正多边形内任意一点到各边距离之和与边长、内角的关系，并通过类比归纳得出一般规律． （1）利用正三角形的内角及中心性质，计算角度①②； （2）根据多边形内角和公式求正五边形的内角； （3）类比正三角形的面积法，推导正五边形内任意一点到各边距离之和； （4）同理推导正六边形的结论； （5）归纳正边形的一般规律． 【详解】（1）解：是正三角形， ， 正三角形的中心是角平分线的交点， ． 故①；②． （2）解：正五边形内角和为， 每个内角度数为． 故③． （3）解：设正五边形的面积为，边长为，中心为，连接各顶点，将正五边形分为5个全等的等腰三角形，作,垂足为R.则, ∵, ∴中心到边的距离为， 则， 又，如下图, ， ． 故④． （4）解：正六边形每个内角为，中心到边的距离为， 同理可得， 又， ． （5）解：正边形每个内角为，中心到边的距离为， ， 又， ． 故⑥． 21．（2026·安徽合肥·二模）2026马年春晚的合肥分会场，22580架无人机腾空而起，列阵翻飞，碰撞出科技与人文的璀璨火花． 一个无人机表演的兴趣小组打算设计无人机表演的图案，他们通过调查了解到：无人机在升空表演时，为了确保安全，两架无人机之间的距离不能小于米；为了展现出图案的整齐和连贯，两架无人机之间的距离不能超过2米，否则会太松散而影响视觉效果．兴趣小组将不小于米且不超过2米的距离叫做“表演距离”．为方便分析，无人机大小忽略不计． 【线段图案】兴趣小组先研究最简单的图案“线段”．为了能让无人机群在空中展现出一条线段，需要让多架无人机按照一定的间距排列在一条直线上，如图（1），每个点都表示一架无人机，所有的点都位于同一条直线上，两端的无人机表示线段的两个端点． 若要在空中展现出一条长度为10米的线段，端点处各有一架无人机，相邻两架无人机之间的距离都相等，并且都满足“表演距离”的要求，那么最多需要多少架无人机？最少需要多少架无人机？兴趣小组的解决方法如下： 设需要n架无人机，可列出不等式组，解得，所以最多需要7架无人机，最少需要6架无人机． 【正方形图案】兴趣小组研究让无人机群在空中展现出正方形图案，正方形的四个顶点处各有一架无人机，每条边上都有多架无人机按照一定的间距排列，如图（2），每个点都表示一架无人机，相邻两架无人机之间的距离都相等，并且都满足“表演距离”的要求． (1)若要在空中展现出一条边长为10米的正方形，那么最多需要_______架无人机，最少需要_______架无人机． 兴趣小组认为单独的正方形图案太单调，于是设计出如图（3）的图案．该图案由多个全等的正方形组成，并且相邻的两个正方形有一条公共边，每个点都表示一架无人机，相邻两架无人机之间的距离都相等，并且都满足“表演距离”的要求． (2)若正方形的边长为15米．当正方形的个数为4时，最少需要_______架无人机；当正方形的个数为m时（m为正整数），最少需要_______架无人机． 【等边三角形图案】兴趣小组研究让无人机群在空中展现出等边三角形组成的图案，如图（4），由三个全等的等边三角形组成，三个等边三角形有一个公共顶点，每个点都表示一架无人机，相邻两架无人机之间的距离都相等，并且都满足“表演距离”的要求． (3)若兴趣小组一共有124架无人机，他们用全部的124架无人机展现出图（4）中的图案，那么等边三角形每条边上有_______架无人机，整个图案的面积最大是_______平方米． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）根据架无人机组成正方形，则正方形的每条边都有架无人机，则有个间隔，根据一条正方形的边长10米，列出不等式组，解不等式组，即可求解； （2）根据题意，找到规律：个正方形的顶点数为，边数为，设无人机的间隔个数为，无人机的数量为，则正方形的每条边上有架无人机，每边内部（除顶点外）的无人机数为，得出，根据题意得出取最小值，得出，将代入，即可求解； （3）设每条边上有架无人机，根据题意求得总无人机数为架，解方程，求得等边三角形每条边上有架无人机；进而求得最大间隔距离时的边长，进而根据等边三角形的性质，求得面积，即可求解． 【详解】（1）解：设需要n架无人机，依题意，可列出不等式组， 解得， 又∵是的倍数， 所以最多需要架无人机，最少需要架无人机． （2）解： 1个正方形的顶点数为，边数为， 个正方形的顶点数为，边数为， 个正方形的定点数为，边数为， …… 个正方形的顶点数为，边数为， 设无人机的间隔个数为，无人机的数量为，则正方形的每条边上有架无人机，每边内部（除顶点外）的无人机数为， ∴ ∵正方形的边长为15米 ∴，且为正整数， ∴,则 ∵要求最少无人机数，则取最小值 ∴ 当时，； （3）解：如图，设三个等边三角形的公共顶点为， 设每条边上有架无人机（即图中的点的数），图中共有个顶点，则每条边内部有 个非顶点，三个等边三角形的边长相等，共有条边， ∴总无人机数为： 当时， 解得：， ∴等边三角形每条边上有架无人机 设等边三角形的边长为， 如图，过点作于点， 是等边三角形，， ， 在中， ， ； ∵每条边上有架无人机，则有个间隔，间距为 ∵满足“表演距离”的要求，则最大间隔为米 ∴ 解得： ∴的最大值为 ∴三个等边三角形的面积的最值为（平方米） 22．（2026·安徽·二模）项目式学习 【项目主题】教室内学生储物柜的制作方案 【项目背景】为了便于学生储存物品，学校组织老师、学生和家长到徽艺家具厂考察，准备为学生订购一批储物柜． 【项目分析】考察小组在家具厂的展厅选中一种储物柜如图所示，其中单组（1组）连体的左、右侧面和后侧面是由3张组件①构成，前侧面是由3张组件②构成，上下底面和中间的隔板是由4张组件③构成．若多组连体，则储物柜各组间共用一张组件①． 通过观察，小明填写了下表： 1组连体 2组连体 3组连体 … n组连体 组件①的张数 3 5 7 … p 组件②的张数 3 6 9 … 3n 组件③的张数 4 8 12 … q (1)由表中已知数据，请你直接写出p，q关于n的代数式：______，______． 【项目实施】 (2)按有关政策规定，每个班级的学生数不超过45人．已知每组连体柜能为3名学生提供储存服务，若学校要为每个班级按45人标准配置这种n组连体储物柜，n组连体柜的价格为元．则每个教室的连体柜需要的费用为______元，若学校配置20个班级，则学校共需支付连体柜的总费用为______元． (3)徽艺家具厂购进了100张的板材，每张板材制作有两种方式可选．如图，方式一可制作5张组件①和5张组件②；方式二可制作组件③15张．对此100张板材设计制作方案，使制作的组件③的数量是组件①的数量的2倍，则符合要求的制作方案：按方式一制作需要______张板材，按方式二制作需要______张板材． 【答案】(1)，4n (2)1550，31000 (3)60，40 【分析】（1）根据表格中的数据，得到规律进行作答即可； （2）求出的值，代入代数式求出每个教室的连体柜需要的费用，再乘以20，求出学校共需支付连体柜的总费用即可； （3）设按方案一制作需要张板材，则按方案二制作需要张板材，根据制作的组件③的数量是组件①的数量的2倍，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：观察表格可知组件①的张数是从3开始连续的奇数，故； 组件③的张数为4的整数倍，故； （2）解：由题意，， ∴（元）； （元）； （3）解：设按方案一制作需要张板材，则按方案二制作需要张板材， 由题意，， 解得， ∴； 答：按方式一制作需要60张板材，按方式二制作需要40张板材. 23．（2026·安徽马鞍山·二模）点A，点B是两个距离为的小区．现有甲，乙，丙，丁四个人以相同的速度沿着不同的路线从A走到B． (1)如图1，甲同学沿着线段行走，结果最先到达点B，其中的数学原理是____．如图2，图①、图②、图③是三个大小相同的等边三角形，乙同学沿着的折线路线行走，则乙同学运动的路线长为______． (2)如图3，图①、图②、图③、…、图是n个等边三角形，丙同学沿着的折线路线行走；如图4，图①、图②、图③…、图是m个半圆，丁同学沿着的曲线路线行走，则丙同学与丁同学谁先到达点B．请通过计算说明理由．（） (3)如图5，为提升公共健康和改善生态环境．政府决定在A，B两个小区附近的空地修建公园（长方形），并在图①、图②、图③、图④四块空地上栽种植物．已知图①的面积为，图②的面积为，图③的面积比图④的面积大，请求图④的面积． 【答案】(1)两点之间，线段最短；600 (2)丁同学先到达点B，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据“两点之间，线段最短”即可解答；根据等边三角形的性质即可求出乙同学运动的路线长； （2）分别求出丙同学和丁同学行走的路程，再比较二者的大小即可得出结论； （3）根据长方形与三角形之间的面积关系得到，再结合“图③的面积比图④的面积大”列出方程，求出即可求解． 【详解】（1）解：甲同学沿着线段行走，结果最先到达点B，其中的数学原理是“两点之间，线段最短”； 三个等边三角形的底边长度之和刚好等于的长度， 等边三角形的三条边长度相等，乙走的折线每一段都等于对应等边三角形的边长， 所以总长度是长度，即， 所以乙同学运动的路线长为． （2）解：丁同学先到达点B，理由如下： 计算丙同学的路程：n个等边三角形的底边长度之和为， 丙同学走的折线总长度为， 计算丁同学的路程：m个半圆的直径长度之和为， 丁同学走的曲线总长度为， ∵，且丙同学和丁同学的速度相同， ∴丁同学先到达点B． （3）解：如图5， ∵长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵图①的面积为，图②的面积为，图③的面积比图④的面积大， ∴， ∴， 即图④的面积为． 24．（2026·安徽六安·二模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示，为正整数），并证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析． 【详解】解：（1）． （2）第个等式：； 证明：左边，右边， 左边右边，等式成立． 25．（2026·安徽合肥·二模）综合与实践： 某中学为了让学生增加课外阅读的机会，计划修建一条读书走廊，并准备用若干块带有圆形花纹和没有圆形花纹的两种大小相同的正方形地砖搭配在一起，按如图①所示的排列方式铺满走廊，已知每块正方形地砖的边长均为． 【观察思考】 当带有圆形花纹的地砖只有1块时，没有花纹的地砖有8块（如图②）；当带有圆形花纹的地砖有2块时，没有花纹的地砖有13块（如图③）；…；以此类推． 【规律总结】 （1）按图示规律，第一个图案（图②）的长为______，第六个图案的长为______； （2）若这条走廊的长为，带有圆形花纹的地砖块数为（为正整数），则______（用含的代数式表示）； 【问题解决】 （3）若要使走廊的长不小于91，则至少需要带有圆形花纹的地砖多少块？ 【答案】（1），；（2）；（3）65 【分析】本题考查了列代数式，用代数式表示数、图形的规律，用一元一次不等式解决实际问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）第一个图案边长，第二个图案边长，得出第n个图案边长为，从而计算第五个图案的长； （2）根据（1）中的结论可解答； （3）根据题意列不等式可解答． 【详解】（1）解：第一个图案的长度， 第二个图案的长度， …， 第n个图案边长为； ∴第六个图案的长为； 故答案为：，； （2）解：由（1）得第n个图案的长为； 故答案为：； （3）解：由题意得：， 解得：∴， ∴至少需要带有圆形花纹的地砖65块． 26．（2026·安徽阜阳·二模）【观察思考】如图，“五一”劳动节期间，政府广场上用盆景（用“☆”表示）和花卉（用“☐”表示）组成图案． 【规律发现】 (1)第7个图案中盆景的盆数为____________； (2)第个图案中花卉的盆数可表示为____________（用含的式子表示）； 【规律应用】 (3)若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共121盆，求该图案中盆景和花卉各有多少盆． 【答案】(1)8 (2) (3)盆景和花卉的盆数分别为11盆，110盆． 【分析】（1）根据盆景的盆数比序号数多1解答； （2）先写出前4个图案花卉的盆数，再得出数字变化规律，即可得出答案； （3）先表示出第n个图案有盆景的盆数，再根据题意得出方程，然后整理成完全平方公式的形式，开方可得方程的解． 【详解】（1）解：第1个图案有盆景的盆数为2； 第2个图案有盆景的盆数为3； 第3个图案有盆景的盆数为4； 第4个图案有盆景的盆数为5； 第7个图案有盆景的盆数为8； （2）解：第1个图案有花卉的盆数为； 第2个图案有花卉的盆数为； 第3个图案有花卉的盆数为； 第4个图案有花卉的盆数为； 第n个图案有花卉的盆数为； （3）解：由（1）可知第n个图案有盆景的盆数为，则根据题意，得， 即， 解得或（不合题意，舍去）， 则，， 答：该图案中盆景和花卉的盆数分别为11盆，110盆． 27．（2026·安徽芜湖·二模）综合与实践 【项目主题】 班级劳动实践小组拟用正方形和圆形两种花盆架为花卉展览设计整体轮廓为等腰直角三角形形状（虚线图形）的花卉展览架． 【项目准备】设计如图所示的花卉展览架中正方形花盆架边长为，每个正方形花盆架中放置一盆盆景，每个圆形花盆架中放置一盆花卉，同学们已经知道数学公式：（为正整数）． 【项目分析】 第1个展览架中花卉的盆数为1，盆景的盆数为3； 第2个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为6； 第3个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为10； 第4个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为15； … 【项目实施】 按照以上规律，解答下列问题： (1)第5个展览架中花卉的盆数为__，盆景的盆数为___ (2)第（为正整数）个展览架中花卉的盆数为____，盆景的盆数为____； (3)若展览架中花卉比盆景多43盆，求展览架等腰直角三角形（虚线图形）的斜边长． 【答案】(1)29，21 (2)， (3)66米 【分析】（1）根据材料提示计算即可； （2）根据图片的序号与图形中的数据关系，找出规律即可； （3）设第x个展览架中花卉比盆景多43盆，再利用（2）中的数量关系列方程求得x的值，进而求得第10个展览架中盆景的盆数为，最后求斜边长即可． 【详解】（1）解：第1个展览架中花卉的盆数为1，盆景的盆数为； 第2个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为； 第3个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为； 第4个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为； ∴第5个展览架中花卉的盆数为 ，盆景的盆数为 ． （2）解：第1个展览架中花卉的盆数为1，盆景的盆数为； 第2个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为； 第3个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为； 第4个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为； 第5个图案中花卉的盆数为，盆景的盆数为 ． 第n个展览架中花卉的盆数为 ． 盆景的盆数为 ． （3）解：设第x个展览架中花卉比盆景多43盆， 由题意得 ， 整理得，解得：或（不合题意，舍去）， 当时，即第10个展览架中盆景的盆数为． 所以展览架等腰直角三角形（虚线图形）的斜边长66米． 28．（2026·安徽阜阳·二模）学校数学社团开展探究活动，研究了“9m（m为正整数）的数字规律”的问题．社团学生将探究的部分信息整理如下： 当时，记，表示两位数，即． 当时，； 当时，； 当时，； …… 按照上述规律，完成下列问题： (1)________________； ②根据一般形式，猜想a，b，m的关系：直接写出________，________；（用含m的代数式表示） (2)请证明上述猜想的正确性． 【答案】(1)；；； (2)见解析 【分析】（1）根据列举的规律回答即可； （2）将代入计算即可证明． 【详解】（1）解：根据题意，； 由规律知，； （2）证明：将代入， 得． 29．（2026·安徽阜阳·二模）综合与实践 【问题背景】研究利用图形的面积求几个分数的和． 【实践操作】如图1，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形；接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的矩形；……如此进行下去； 【问题解决】 (1)图1中，正方形①的面积是___________；矩形②的面积是___________； (2)根据图形规律求的值； (3)在图2中，再设计一个能求的值的几何图形； 【拓展延伸】 (4)参考上述方法，直接写出的值． 【答案】(1)； (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）①的面积为的一半，②的面积是①的一半； （2）可以看成，可以看成把所得的数相加即可； （3）由（2）得到的规律计算即可． （4）由（2）得到的规律计算即可． 【详解】（1）解：图1中，正方形①的面积是；矩形②的面积是； （2）解： ； （3）解：如图所示， （答案不唯一） （4）解： ． 30．（2026·安徽马鞍山·二模）我们知道能被3整除的数的规律，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数就能被3整除． 例如，三位数108，，9可以被3整除，108就能被3整除． 【发现】将三位数去掉末尾数字得到两位数，再用减去的2倍所得的差为．若能被7整除，则三位数就能被7整除． 【验证】如，对于三位数364，，28可以被7整除，364就能被7整除． （1）用上述方法判断455能否被7整除？ 【探究】（2）请用含，，的代数式表示 ； （3）结合（2）论证“发现”中的结论正确． 【迁移】（4）下列结论正确的是 ．（填序号） ①在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ②在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ③在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； 【答案】（1）455能被7整除；（2）；（3）见解析；（4）① 【分析】本题考查了数的整除、整式加减的应用、有理数的混合运算、列代数式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出，结合能够被整除即可得解； （2）根据题意表示出代数式即可； （3）由（2）可得，由题意可得（为整数），推出，表示出，即可得解； （4）仿照（3）的方式逐项分析即可得解． 【详解】解：（1）∵，能够被整除； ∴455能被7整除； （2）由题意可得：； （3）由（2）可得， ∵能被7整除， ∴（为整数）， ∴， ∴， ∴三位数能被7整除； （4）①， ∵是11的倍数， ∴（为整数）， ∴， ∴， ∴是11的倍数；故①正确； ②， ∵是11的倍数， ∴（为整数）， ∴， ∴，不一定是11的倍数，故②错误； ③， ∵是11的倍数， ∴（为整数）， ∴， ∴，不一定是11的倍数，故③错误； 综上所述，正确的是①． 31．（2026·安徽亳州·二模）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列． 【观察思考】当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推． 【规律总结】 (1)人行道上每增加1块正方形地砖时等腰直角三角形地砖增加___________块； (2)若一条这样的人行道有（为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为_________块；（用含的代数式表示） 【问题解决】 (3)现有2026块等腰直角三角形地砖，按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？ 【答案】(1)2 (2) (3)1011块 【分析】（1）由图观察即可； （2）由每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖，再结合题干中的条件正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，递推即可； （3）利用上一小题得到的公式建立不等式，即可得到等腰直角三角形地砖剩余最少时需要正方形地砖的数量． 【详解】（1）解：由图可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖； （2）解：由（1）可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖； 当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，即； 所以当地砖有n块时，等腰直角三角形地砖有块； （3）解： 由（2）的规律知，解得， 的最大值为1011， ∴当等腰直角三角形地砖剩余最少时，需要正方形地砖1011块． 32．（2026·安徽宿州·二模）项目主题：基于正多边形镶嵌原理的校园地面铺装设计． 项目准备：（1）正边形内角和度数； （2）平面镶嵌的核心条件，拼接在同一点的几个角的和恰好等于（周角）． 项目情况：学校计划对校园广场地面进行翻新，需要用正多边形地砖进行无缝不重叠的平面镶嵌．（密铺） 项目任务：（1）初步探究：单一正多边形镶嵌． ①等边三角形每个内角为____①____， ，因此等边三角形可以单独镶嵌． ②正五边形每个内角为____②____， ，因此正五边形不能单独镶嵌． （2）实战应用：两种正多边形的组合镶嵌．学校计划用等边三角形和正六边形的两种地砖进行组合镶嵌，解决以下问题： 实验步骤；第一步：明确两种正多边形内角，等边三角形内角上面已知，正六边形内角为___________③___________；第二步：建立镶嵌方程． 设在一个拼接点处，有个等边三角形，个正六边形（为正整数），则满足方程（表示等边三角形的一个内角度数，表示正六边形的一个内角度数），化简方程得：，符合条件的正整数解为． 项目实施：根据以上分析请将上述材料中横线上所缺内容补充完整． (1)①___________；②___________； (2)③___________；④___________；⑤___________．⑥___________． 【答案】(1)； (2)；；； 【分析】（1）根据正多边形的内角公式进行计算即可； （2）先根据正多边形的内角公式求出正六边形的内角，再代入拼接处的方程，化简后，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：等边三角形每个内角为， 正五边形每个内角为； （2）解：正六边形每个内角为， 根据题意，拼接处满足方程：， 化简，得， ∴符合条件的正整数解为． 33．（2026·安徽·二模）综合探究 【提出问题】将数字1，2，3，4，5组成一个三位数和一个两位数，每个数字仅用一次．怎样分这5个数字，使组成的两个数的乘积最大？ 【分析问题】 (1)简单情况：用三个不等的非零数字，，组成一个两位数和一个一位数，每个数字仅用一次，怎样分这3个数字，使组成的两个数的乘积最大？ 下边是一个两位数与一个一位数相乘的竖式图，其中，，是互不相等的正整数． 若为已知数，要使得最大，则，乘积越大越好，故； 若为已知数，要使最大，则，乘积越大越好，故①_____； 若为已知数，要使最大，则，乘积越大越好，故②______．（以上用“>”“<”填空） 因此，若最大，则，，从大到小排列应为③________． （注：表示十位数为，个位数为的两位数，即．） (2)拾阶而上：用四个不等的非零数字，，，组成两个两位数，每个数字仅用一次，怎样分这4个数字，使组成的两个数的乘积最大？ 类似上面的分析过程可以知道，若使最大，则必有，，， 据此可知，满足题意的两个两位数，十位上的数字必是，，，中较大的两个数，个位数字是较小的两个数． 不妨设，下面比较与的大小． =④…… 完成上面的比较过程，从而得出：用1，2，3，4组成两个两位数，每个数字仅用一次，若这两个数乘积最大，则这两个数分别是⑤__________，__________； (3)得到结果：不妨将图中的，分别看作，，同时考虑到最大，根据上面的分析过程，我们有：若图中的最大，则五个不同的非零数字，，，，按由小到大排列应该为⑥__________． 【解决问题】 (4)根据以上分析，将数字1，2，3，4，5组成一个三位数和一个两位数，每个数字仅用一次，组成的两个数乘积的最大值为⑦__________． 【迁移应用】 (5)请利用下表所给5个不同的数字，按上面的要求，组成一个三位数和一个两位数，使这两个数的乘积最小． 五个数字 三位数 两位数 3 4 5 6 7 ⑧_____ ⑨_____ 【答案】(1)①<，②<，③． (2)④见解析，⑤41，32 (3)⑥ (4)22412 (5)⑧467，⑨35 【分析】（1）要使得最大，则最大，其次是，最小是，据此解答即可； （2）原式去括号，合并后再进行整理可得结论； （3）把最大的数放在两位数的十位上，第二大的放在三位数的百位上，第三大的数放在三位数的十位上，第四大的放在两位数的个位上，最小的放在三位数的个位上，故可得； （4）由（3）可得三位数和两位数，计算出乘积即可； （5）最小的两个数是3和4，分别作为三位数的百位、两位数的十位，剩下的最小的数中最小的两个数5和6 作为三位数的十位、两位数的个位，最大的数放在三位数的个位上即可． 【详解】（1）解：要使得最大，则最大，其次是，最小是， 若为已知数，要使最大，则，乘积越大越好，故； 若为已知数，要使最大，则，乘积越大越好，故． 因此，若最大，则，，从大到小排列应为． （2）解： ； ∵， ∴， ∴， 即， 故可得“两个数和一定时，差越小乘积越大”； 把最大的两个数4和3放在十位，让两个数的差尽可能小，把剩下的1和2按大配小，小配大分配，即4配1，3配2，得到41和32； （3）解：若最大，则把最大的数放在两位数的十位上，第二大的放在三位数的百位上，第三大的数放在三位数的十位上，第四大的放在两位数的个位上，最小的放在三位数的个位上，故可得； （4）解：由（3）得：乘积最大的三位数和两位数为431和52， ； （5）解：最小的两个数是4和3，分别作为三位数的百位、两位数的十位，剩下的最小的数中最小的两个数5和6 作为三位数的十位、两位数的个位，最大的数放在三位数的个位上即467和35． 34．（2026·安徽芜湖·二模）【阅读】 数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称为富比尼原理，是一种重要的数学思想． (1)【理解】 如图1，两个直角边分别为a，b的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并证明勾股定理； (2)如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：___________； (3)【运用】 n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当，时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以． ①当，时，如图4，___________；当，___________时，； ②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得___________（用含m，n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立． 【答案】(1)梯形的面积为或；见解析 (2) (3)①6；3；②；见解析 【分析】（1）此等腰梯形的面积由三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程求解即可； （2）由图可知行列的棋子排成一个正方形棋子个数为，将n行n列的棋子分割为图中的n层，每层棋子分别为1，3，5，7，，，故可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答； （3）①根据条件画图即可解答； ②根据多边形的内角和以及分割后的所有三角形的内角和分别计算，即可得出方程求解． 【详解】（1）解：有三个直角三角形，其面积分别为，和， 直角梯形的面积为， 由图形可知：， ， ， ． 直角边长分别为a，b，斜边长为c的直角三角形中，； （2）解：n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为， 将n行n列的棋子分割为如图中的n层，每层棋子分别为1，3，5，7，，， 则； （3）解： ①如图，当，时，； 如图，当，时，； ②． 验证：把n边形剪成y个三角形，内角和为， 在n边形内画m个点，内角和为n边形内角和与m个周角的和， 即， 可得， 故． 35．（2026·安徽淮北·二模）【题目背景】 一些球被分成了许多堆，我们可以任意选择甲、乙两堆按照以下规则挪动：若甲堆的球数不少于乙堆的球数，则从甲堆拿个球放到乙堆去，这算是挪动一次．继续这个过程，总可以做到经过有限次挪动把所有的球合并成至多两堆． 例如：当，，时，操作方案如表所示： 操作步骤 第一步：，挪动1个球 40 第二步：，挪动2个球 8 第三步：，挪动4个球 8 第四步：，挪动8个球 34 【解决问题】 (1)若初始状态为，，．按照以下策略操作： 第一步：选择堆向堆挪动________个球，挪动后堆变为________个； 第二步：选择堆向堆挪动________个球，挪动后堆变为________个； 将操作步骤简记为：第一步：，挪动1个球；第二步：，挪动2个球； 则补全第三步：________；第四步：________；第五步：________； 在挪动的5次中，第次需挪动________个球（用含的代数式表示）． 【拓展应用】 (2)若初始状态为，，．小明经过若干次操作后，发现可以将三堆球合并为两堆（即其中一堆球数变为0）．请写出一种可行的操作方案． 【答案】(1)1，2；2，4；，挪动4个球；，挪动8个球；，挪动16个球； (2)答案不唯一，见解析 【分析】（1）根据题干所给例子，得出挪动规则：若甲堆球数不少于乙堆球数，则从甲堆拿与乙堆球数相等的球放入乙堆，由此即可得出结果； （2）根据题干所给例子并结合挪动规则给出操作方案即可． 【详解】（1）解：第一步：选择堆向堆挪动1个球，挪动后堆变为2个； 第二步：选择堆向堆挪动2个球，挪动后堆变为4个； 则补全第三步：，挪动4个球； 第四步：，挪动8个球； 第五步：，挪动16个球； 观察可得：在挪动的5次中，第次需挪动个球； （2）解：操作方案： 操作步骤 第一步：，挪动2个球 34 第二步：，挪动4个球 34 第三步：，挪动8个球 34 36．（2026·安徽阜阳·二模）【问题输入】如图1，在（长×宽×高，其中，，为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？ 【探究一】 如图2，在个小立方块组成的长方体中，棱上共有（条）线段，棱，上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为； 如图3，在个小立方块组成的长方体中，棱上共有（条）线段，棱，上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为； (1)以此类推，如图4，在个小立方块组成的长方体中，棱上共有（条）线段，棱，上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为① ； 【探究二】 如图5，在个小立方块组成的长方体中，棱上有条线段，棱上有（条）线段，棱上只有1条线段，则图中长方体的个数为； (2)如图6，在个小立方块组成的长方体中，棱上有条线段，棱上有（条）线段，棱上只有1条线段，则图中长方体的个数为② ； (3)以此类推，如图7，在个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为③ ； 【探究三】 如图8，在个小立方块组成的长方体中，棱上有条线段，棱上有条线段，棱上有（条）线段，则图中长方体的个数为； (4)如图9，在个小立方块组成的长方体中，棱上有条线段，棱上有条线段，棱上有（条）线段，则图中长方体的个数为④ ． 【结论归纳】 (5)如图1，在个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为⑤ ． 【学以致用】 (6)在2×2×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为⑥ ． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6)90 【分析】根据题目中的给定的计算方法，逐一进行计算，最后一问利用前一问的结论，代入数值计算即可． 【详解】（1）解：棱上共有线段，棱，上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为． （2）解：棱上有条线段，棱上有6条线段，棱上只有1条线段，则图中长方体的个数为． （3）解：棱上有条线段，棱上有条线段，棱上只有1条线段，则图中长方体的个数为． （4）解：棱上有条线段，棱上有条线段，棱上有6条线段，则图中长方体的个数为． （5）解：棱上有条线段，棱上有条线段，棱上有条线段，则图中长方体的个数为． （6）解：由（5）可知，在个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为． 37．（2026·安徽池州·二模）【资料阅读】 史料：如图1，是我国南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》一书中出现的，称为“杨辉三角”．据资料记载，此图是杨辉取自贾宪所著《释锁算书》，故也称“贾宪三角”．欧洲人帕斯卡在1654年也有类似的发现，称为“帕斯卡三角形”，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年．杨辉三角是一种离散型数与形的结合，把组合数内在的一些规律直观地从图形中体现了出来，是中国古代数学的杰出研究成果之一． 规定：若，则． 【问题探究】 (1)将“杨辉三角”简化为图2，按照规律： ①第8行添加的数分别为______；（相邻两数之间要用“，”分隔开） ②第100行的数之和用幂可以表示为______． (2)如图3，分别画出7条斜线，并计算出了每条斜线经过的数之和．若继续画出第10条斜线，该斜线经过的数之和为______． (3)【拓展延伸】结合“问题探究”中问题（2）揭示的规律，作如下正方形（数字即为正方形的边长）： 利用上面的正方形按一定规律建构如下长方形，并依次记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④． 按照这样的规律继续建构长方形，则长方形⑪的周长为______． 【答案】(1)①第8行添加的数分别为1，8，28，56，70，56，28，8，1．；② (2)55 (3)754 【分析】（1）①找到规律：第n行是的字母的系数，即可求解； ②数之和可以看作时的值，即可求解； （2）根据规律进行计算即可求解； （3）找到规律：前一个长方形的长是后一个长方形的宽，长与宽的和是后一个长方形的长，即可求解． 【详解】（1）解：①观察图2可发现规律： 第2行：1，2，1，是中字母的系数， 第3行：1，3，3，1，是中的字母的系数， ∴第n行是的字母的系数， ∴第8行添加的数分别为1，8，28，56，70，56，28，8，1． ②∵第n行是的字母的系数， 数之和可以看作时的值， 即第100行的数之和用幂可以表示为． （2）观察图3可得： 第7条斜线经过的数之和为， 第8条斜线经过的数之和为， 第9条斜线经过的数之和为， 第10条斜线经过的数之和为． （3）观察长方形①，长方形②，长方形③，长方形④的周长的规律： 前一个长方形的长是后一个长方形的宽，长与宽的和是后一个长方形的长， ∴序号为⑤的长方形周长为， 序号为⑥的长方形周长为， 序号为⑦的长方形周长为， 序号为⑧的长方形周长为， 序号为⑨的长方形周长为， 序号为⑩的长方形周长为， 序号为⑪的长方形周长为． 38．（2026·安徽阜阳·二模）【综合与实践】中国镶嵌工艺萌芽于新石器时代，经商周、汉代发展，至明清达顶峰，广泛用于家具、首饰、建筑工艺中的镶嵌，传承着东方美学与匠心精神． (1)如图1，在中，，图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线方向平移而成，其中，平移的距离是___________．同理，再进行一次切割平移，可得图3，即图4可以看成由平行四边形经过两次切割平移而成。我们可以用若干个如图4所示的图形，平面镶嵌成如图5的图形，则图5的面积是___________． (2)小徽家浴室装修，在墙中央留下了如图6所示的空白，经测量可以按图7所示，全部用边长为1的正三角形瓷砖镶嵌．小徽调查后发现：一块边长为1的正三角形瓷砖比一块边长为1的正六边形瓷砖便宜30元；用600元购买正三角形瓷砖与用2400元购买正六边形瓷砖的数量相等． （i）请问两种瓷砖每块各多少元？ （ii）小徽对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为1的正三角形瓷砖和边长为1的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少，按小徽的想法，将空白处全部镶嵌完，购买瓷砖最少多少元？ 【答案】(1)5； (2)（i）边长为1的正三角形瓷砖每块10元，边长为1的正六边形瓷砖每块40元；（ii）440元 【分析】（1）根据题意可得平移的距离是；计算的面积，根据题意可得题图5由6个组成； （2）（i）设一块正三角形瓷砖的单价为元，则一块正六边形瓷砖的单价为元，根据题意列方程即可； （ii）根据题意可得使用边长为1的正六边形瓷砖越多，总费用越少，据此即可解答． 【详解】（1）解：∵题图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线方向平移而成， ∴平移的距离就是的长， ∴平移的距离是； ∴由平行四边形经过两次切割平移而成的题图4的面积与的面积相等， 如图1，过点作于点， ∵中，， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴的面积， ∴平行四边形经过两次切割平移而成的基本图形的面积等于， ∴题图5的面积； （2）解：（i）设一块正三角形瓷砖的单价为元，则一块正六边形瓷砖的单价为元， 由题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， （元）， 答：边长为1的正三角形瓷砖每块10元，边长为1的正六边形瓷砖每块40元； （ii）∵每个边长为1的正六边形的面积等于边长为1的正三角形的面积的6倍， ∴用边长为1的正六边形瓷砖越多，费用就越少， 如图2， 图中有黑点的三角形用三角形瓷砖，其余部分用正六边形瓷砖时，用正六边形最多， ∴此时总费用最少． ∵正六边形8个，正三角形12个， ∴最少费用（元）． 39．（2026·安徽蚌埠·二模）【观察思考】如图所示，是用图形“”和“●”按一定规律设计的图案． (1)【规律发现】第⑥个图案中“●”的个数为 ，第个图案中“●”的个数为 （用含的代数式表示）； (2)【规律发现】第①个图案中“”的个数可表示为，第②个图案中“”的个数可表示为，第③个图案中“”的个数可表示为，第④个图案中“”的个数可表示为，…，第⑥个图案中“”的个数为 ，第个图案中“”的个数为 （用含的代数式表示）； (3)【规律应用】按照此规律继续摆下去，第个图案中的“”的个数是“●”个数的倍，求的值． 【答案】(1)14， (2)21， (3)的值为10 【分析】1）根据图形找出规律为第n个图案中“●”的个数为个，再把代入求解即可； （2）根据题干的列举信息，直接得出结论； （3）根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：由题知，第①个图案“●”的个数为：； 第②个图案中“●”的个数为：； 第③个图案中“●”的个数为：； .... 所以第n个图案中“●”的个数为个， 当时，， 即第⑥个图案中“●”的个数为14个，第个图案中“●”的个数为个； （2）解：第①个图案中“”的个数可表示为， 第②个图案中“”的个数可表示为， 第③个图案中“”的个数可表示为， 第④个图案中“”的个数可表示为， …， ∴第个图案中“”的个数可表示为， 即第⑥个图案中“”的个数为个，第个图案中“”的个数可表示为； （3）解：由题意得，， 整理得：， 解得：或（舍）． 40．（2026·安徽铜陵·二模）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）认真观察，并在④后面的横线上写出相应的等式． ①1=1 ②1+2==3 ③1+2+3==6 ④　 　… （2）结合（1）观察下列点阵图，并在⑤后面的横线上写出相应的等式． 1=12②1+3=22③3+6=32④6+10=42⑤　 　… （3）通过猜想，写出（2）中与第n个点阵相对应的等式　 　． 【答案】（1）10；（2）见解析；（3） 【详解】试题分析：（1）根据①②③观察会发现第四个式子的等号的左边是1+2+3+4，右边分子上是（1+4）×4，从而得到规律； （2）通过观察发现左边是10+15，右边是25即5的平方； （3）过对一些特殊式子进行整理、变形、观察、比较，归纳出一般规律． 试题解析：（1）根据题中所给出的规律可知：1+2+3+4＝＝10； （2）由图示可知点的总数是5×5=25，所以10+15=52． （3）由（1）（2）可知 点睛：主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点． 41．（2026·安徽阜阳·二模）（1）【探究】观察下列算式，并完成填空： ； ______．（n是正整数） （2）如图是某市一广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖；第二层包括6块正方形和18块正三角形地板砖；以此递推． ①第3层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖； ②第 n层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖（用含n的代数式表示）． （3）【应用】 该市打算在一个新建广场中央，采用如图样式的图案铺设地面，现有1块正六边形、150块正方形地板砖，问：铺设这样的图案，还需要多少块正三角形地板砖？请说明理由． 【答案】（1）；（2）①6，30；②6，或；（3）3750，理由见解析 【分析】（1）观察算式找出规律即可； （2）①观察图形数出正方形和正三角形块数；②根据前三层正方形和正三角形块数找出规律； （3）分别找出所给正方形和正三角形块数各能铺设地面多少层，进而确定答案． 【详解】解：（1）观察算式规律，1+3+5+…+（2n-1）=n2， 故答案为：n2； （2）①∵第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖， 第二层包括6块正方形和6+12=18块正三角形地板砖， ∴第三层包括6块正方形和18+12=30块正三角形地板砖． 故答案为：6，30； ②∵第一层包括6块正方形和6=6×1=6×（2×1-1）块正三角形地板砖， 第二层包括6块正方形和18=6×3=6×（2×2-1）块正三角形地板砖， 第三层包括6块正方形和30=6×5=6×（2×3-1）块正三角形地板砖， ∴第n层包括6块正方形和6（2n-1）块正三角形地板砖． 故答案为：6，6（2n-1）； （3）铺设这样的图案，还需要3750块正三角形地板砖． 理由如下： ∵150÷6=25（层）， ∴150块正方形地板砖可以铺设这样的图案25层； ∵铺设25层需要正三角形地板砖的数量为： 6[1+3+5+⋯+（2n-1）]=6n2， ∴当n=25时， 6n2=6×252=3750， ∴铺设这样的图案，还需要3750块正三角形地板砖． 【点睛】本题考查了图形的变化规律，代数式的求值，正确找出其变化规律是解题的关键． 42．（2026·安徽合肥·二模）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中之一．如图2，杨辉三角给出了（n为正整数）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序排列）．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数等． (1)按上述规律，展开式中共有 项，第三项是 ； (2)请直接写出的展开式 ． (3)利用上面的规律计算：． 【答案】(1)5， (2) (3) 【分析】（1）根据展开式的系数规律可得答案； （2）先根据规律写出，再把a＝1，b＝y代入即可； （3）根据前面的规律可得原式等于，再计算即可． 【详解】（1）解：由杨辉三角的系数规律可得， ， ∴展开式共有5项，第三项是， 故答案为：5，． （2）解：∵， 当a＝1，b＝y时，原式＝． 故答案为：． （3）解：由“杨辉三角”可知， 原式＝ ． 【点睛】此题考查了多项式乘法中的规律探究，数学常识，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则，弄清“杨辉三角”的系数规律是解本题的关键． 阅读理解/新定义 考点04 一、单选题 1．（2026·安徽芜湖·二模）定义：在平面直角坐标系中，对于某函数图象上的一点，先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，若点也在该函数图象上，则称点为该函数图象的“倍平点”．例如，对于上一点，先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，也在图象上，则称点为图象的“倍平点”．则函数图象的“倍平点”的坐标是（   ） A． B． C．或或 D．或 【答案】C 【分析】根据“倍平点”的定义分和两种情况解答即可求解． 【详解】①当时，设，则， ， 解得， ， ； ②当时，设，则， 若即时，， 解得（不合，舍去）或， ∴， ∴； 若即时， ， 解得， ， ； 综上，函数图象的“倍平点”的坐标是或或． 二、填空题 2．（2026·安徽六安·二模）已知两个整式，，将整式M与整式N求和后得到整式．此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果加上的结果记为，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果加上的结果记为，记作第四次求和操作，…，以此类推．根据以上材料，回答下列问题： （1）计算： __________（用含x，y的代数式表示）； （2）当n为大于3的正整数时，是关于x，y的五次三项式（其中m和k均为整数且），则的值为__________． 【答案】 【分析】（1）根据所给操作方式进行计算即可； （2）根据题意，求出和的值即可解决问题． 【详解】（1）解：∵两个整式，，将整式M与整式N求和后得到整式，此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为， ∴； （2）解：由题意知，， ， ， ， ， （2）由题意知，原多项式 ， ∵n为大于3的正整数，该多项式是关于x，y的五次三项式（其中m和k均为整数且），原式展开后有5个潜在项， ∴要使其成为三项式，需有两个项的系数为0，故只有当或时，才能保证有两个项的系数恒为0， ∴或， 当，即时，要使原多项式为五次三项式， ∴，得或， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， 当，即时，要使原多项式为五次三项式， ∴得或， 或，得或， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， 综上，． 3．（2026·安徽阜阳·二模）在中国传统文化中，数字“9”寓意着吉祥、尊贵与长久．现有如下运算规则：从1，2，3，，9这九个数字中任取一个数字，先将选取的数字乘以3，再加上3，最后将结果乘以3． （1）若选取的数字为，则运算结果为___________； （2）无论选取的数字是1~9中的哪个数，按照上述规则运算后，将这些数的个位与十位数字相加，最终得到的结果恒为___________． 【答案】 9 【分析】（1）根据题目给出的运算顺序列出代数式，化简即可； （2）根据（1）化简后的代数式，分析结果的个位与十位数字，求和即可得到恒定结果． 【详解】解：（1）根据题意，按照运算顺序列代数式为：； （2）由（1）知，选取的数字为，则运算结果为 ，为整数， ， 设，则 ， 即十位数字为，个位数字为， 将个位与十位相加得：， 因此，最终结果恒为9． 4．（2026·安徽池州·二模）若非负实数a可以表示成两个连续自然数的倒数差，例如，，所以是第1个“1阶倒差数”，，所以是第2个“1阶倒差数”，，所以是第3个“1阶倒差数”……，即，那么我们称a是第n个“1阶倒差数”；同理，，那么我们称b为第n个“2阶倒差数”． （1）第9个“1阶倒差数”是______． （2）若x，y均是由两连续偶数组成的“2阶倒差数”，且，则______． 【答案】 【分析】（1）观察规律可知第n个“1阶倒差数”． （2）根据“2阶倒差数”定义分别设出x，y，再代入方程分别求出x，y． 【详解】（1）第n个“1阶倒差数”，故第9个“1阶倒差数”是 （2）设，（其中m，n为偶数）． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵m，n为偶数， ∴、都是偶数， 从而可得① ∴，． ∴． 或② ∴，（舍）． 综上所述x的值为． 5．（2026·安徽宿州·二模）已知关于的一元二次方程的两根为，定义该方程两根的关联值． （）若，则关联值为______． （）已知关于的方程（为整数，），若该方程关联值满足．则符合条件的整数的和为______． 【答案】 【分析】（）利用根和系数的关系得，，再代入计算即可求解； （）利用根和系数的关系得 ，，即得，进而可得，得到取，再相加即可求解． 【详解】解：（）由一元二次方程根和系数的关系得，，， ∴ ， 故答案为：； （）由一元二次方程根和系数的关系得， ，， ∴， ， ∴ ， 解得， 为整数，且， 取， ∴符合条件的整数的和为， 故答案为：． 6．（2026·安徽马鞍山·二模）定义：若x，y满足且（t为常数），则称点为“和谐点”． （1）若是“和谐点”，则__________． （2）若双曲线存在“和谐点”，则k的取值范围为__________． 【答案】 【分析】（1）根据“和谐点”的定义得到，整理得到，解得（不合题意，舍去），即可得到答案； （2）设点为双曲线上的“和谐点”，根据“和谐点”的定义整理得到，由得到，则，由进一步得到，且，根据二次函数的图象和性质即可得到k的取值范围． 【详解】解：（1）若是“和谐点”，则， 则， ∴， 即，解得（不合题意，舍去）， ∴， 故答案为： （2）设点为双曲线上的“和谐点”， ∴，， 即， ∴， 则， ∵， ∴， 即， ∵， ∴，且， 对抛物线来说， ∵， ∴开口向下， 当时，， 当时，， ∵对称轴为，， ∴当时，k取最大值为4， ∴k的取值范围为， 故答案为： 【点睛】此题考查了反比例函数的性质、二次函数的图象和性质等知识， 读懂题意，熟练掌握反比例函数和二次函数的性质是解题的关键． 7．（2026·安徽阜阳·二模）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，且满足，那么称这个四位数为“平方分解数”；例如：四位数3162，因为，所以3162是“平方分解数”；四位数4231，因为，所以4231不是“平方分解数”． （1）若是“平方分解数”，则这个数最大是_____________； （2）四位自然数是“平方分解数”，将“平方分解数”的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数，若能被33整除，则满足条件的的最大值为_____________． 【答案】 4952 4961 【分析】（1）根据“平方分解数”的定义得到，再结合各数位上的数字取值进行分析，即可解题； （2）设这个四位数，则，根据能被33整除，并结合各数位上的数字取值进行分析，即可解题． 理解新定义、正确推理计算是解题关键． 【详解】解：（1）是“平方分解数”， ， 即， 当时， 有最大值4， 这个数最大是4952． （2）设这个四位数，则， ． 四位数是“平方分解数”， ，． 能被33整除，， 的值是整数，又，，，，， 的可能取值为1，4，7， 当时，，由于b，c，d为互不相等的非零数字，故， 当时，，其和最大为，故， 满足条件的的值为4， ． 要求的最大值，则，，， 满足条件的的最大值是4961． 8．（2026·安徽合肥·二模）在一个游戏中，玩家需要对一个正整数进行操作．对于正整数，根据除以5的余数，分以下五种情况得到另一个正整数；若余数为0，则；若余数为1，则；若余数为2，则；若余数为3，则；若余数为4，则．这种得到的过程称为对进行一次“游戏操作”．对所得的数再进行一次操作称为对进行二次操作，依此类推． （1）对正整数20进行三次操作，得到的数为_____． （2）若对正整数进行二次操作得到的数为2，则所有满足条件的的值之和为_________． 【答案】 3 50 【分析】（1）理解题意，结合，余数为0，逐步计算，即可作答． （2）理解题意，设第一次操作后得到，设第二次操作得到，即对操作得，先找所有符合的，再找所有符合的： 【详解】解：（1），余数为0， 第一次操作后；余数为4， 第二次操作后；余数为1， 第三次操作后． （2）设第一次操作后得到，设第二次操作得到， 按余数分类： 依题意，余数为：， ∴，有效； 余数为1：， ∴，不是正整数，舍去； 余数为2：， ∴，不是正整数，舍去； 余数为3：， ∴，不是正整数，舍去； 余数为4：， ∴， 此时5除以的余数为0，不等于4，不符合前提条件，舍去； 因此仅有有效； 同样按余数分类： 依题意，余数为：， ∴，有效； 余数为1：， ∴，不是整数，舍去； 余数为2：， ∴， 此时除以的余数为3，不等于2，不符合前提条件，舍去； 余数为3：， ∴，不是整数，舍去； 余数为4：， ∴， 此时13除以的余数为3，不等于4，不符合前提条件，舍去； 因此仅有满足条件； ∴所有的和为． 9．（2026·安徽合肥·二模）我们约定，在平面直角坐标系中，对于不同的两点、，如果满足，那么称两点互为“等差点”． （）在点、、中，与点互为“等差点”的是______点； （）已知点在直线上，点在第一象限且在双曲线（为常数，且）上，两点互为“等差点”，那么点的坐标是______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】（）根据“等差点”的定义判断即可求解； （）设，，根据“等差点”的定义得，即得，解得或，再根据点在第一象限解答即可求解； 本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，新定义坐标，理解新定义是解题的关键 【详解】解：（）∵点与点：；点与点：；点与点：， ∴点与点互为“等差点”， 故答案为：； （）∵点在直线上，点在双曲线上， ∴可设，， ∵两点互为“等差点”， ∴， 整理得，，即， 解得 或， ∵点在第一象限， ∴， ∵， ∴不合，舍去， ∴， ∴ 故答案为：． 10．（2026·安徽合肥·二模）已知整式，其中n，，，，…，，均为正整数，且．若对任意n都有，且偶数次项系数之和等于奇数次项系数之和． （1）若，满足条件的整式M为__________． （2）若，所有满足条件的整式的和为__________． 【答案】 【分析】（1）明确一次式结构：，系数 为正整数．利用系数和条件：．利用奇偶次项系数和相等的条件，联立方程解得 ，同时验证相邻系数差，最后写出整式即可． （2）明确三次式结构：，系数均为正整数．利用系数和条件：．利用奇偶次项系数和相等的条件，枚举正整数组合，筛选符合相邻系数差的组合，得到4个有效整式，最后合并同类项求和． 【详解】（1）解：， ，其中为正整数． ，且偶数次项系数和等于奇数次项系数和， 而偶数次项只有，奇数次项只有， ． 联立， 解得． 验证：，满足条件． 满足条件的整式为． （2）， ，其中为正整数． ，且偶数次项系数和等于奇数次项系数和， 偶数次项为，奇数次项为， ． 又为正整数，且，，， 枚举所有符合条件的系数组合： ，： 整式：， 验证：，，，符合条件． ，： 整式：， 验证：，，，符合条件． ，： 整式：， 验证：，，，符合条件． ，： 整式：， 验证：，，，符合条件． 将所有整式相加： 所有满足条件的整式的和为． 11．（2026·安徽六安·二模）考拉兹猜想（又叫猜想），是指对于每个正整数，如果是奇数，则对它乘以3再加1；如果是偶数，则对它除以2．如此循环，最终得到1为止，例如对于正整数3，第①次变换得到10，第②次变换得到5，第③次变换得到16，第④次变换得到8，第⑤次变换得到4，第⑥次变换得到2，第⑦次变换得到1，结束． （1）对正整数7进行四次变换，得到的数为______； （2）若对正整数n进行⑦次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为______． 【答案】 17 172 【分析】根据题目给出的变换规则，依次计算每次变换的结果即可得到答案；采用逆向推理，从第7次变换的结果1出发，反向推导第6次到初始的所有可能正整数，再求和得到结果． 【详解】（1）对正整数进行变换： 第1次变换：是奇数， 第2次变换：是偶数， 第3次变换：是奇数， 第4次变换：是偶数， 故四次变换得到的数为. （2）设第次变换结果为，由题意得，逆向推导所有可能的初始值： 推导：若为偶数，则，则 ；若为奇数，则， （非正整数舍去），故； 推导：若为偶数，则，则；若为奇数，则，则（非整数舍去），故； 推导：若为偶数，则，则；若为奇数，则，则（运算终止舍去），故； 推导：同理，对：若为偶数得，奇数情况不成立，得；故； 推导：同理，对：偶数情况得，奇数情况分别得到，故； 推导：同理，对：得；对：得；故； 推导 ：同理，对：得；对：得； 所有满足条件的为，求和得： ． 12．（2026·安徽阜阳·二模）进位制中“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数（十进制数一般不标）． 表示进制数从右起，第一位为，第二位为，第三位为．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，例如：十进制数；二进制数． （1）二进制数转换为十进制数等于__________； （2）十进制数862转换为八进制数为__________． 【答案】 26 【分析】利用位权展开法，将二进制数的每一位数字乘以对应基数2的幂次（幂次从右往左，从0开始计数），再将所有结果相加，即可得到对应的十进制数．通过将十进制数表示为各数位数字与基数8的幂次的乘积之和的形式，反推出各数位上的数字，从而得到对应的八进制数；也可采用 “除8取余法”，即不断用十进制数除以8，记录每次的余数，最后将余数从下往上排列得到八进制数． 【详解】解：（1）； （2）∵；；；， ∴， ∴十进制数862转换为八进制数为． 13．（2026·安徽合肥·二模）对于一列互不相同的整数，我们按以下规则进行操作：从这一列数中任意取走两个数，求出这两个数的和或者差，把求得的结果连同余下的整数，组成新的一列数．重复这样的操作，直到这一列数只剩下一个数为止，我们把最后剩下的数叫做这列数的“终止数”．以数列1，2，3为例：初始数列有3个数，需要操作2次得到终止数；第1次操作：取走1和2，计算和为，余下的数为3，组成新数列3，3；第2次操作：取走两个3，计算差为，最终得到终止数0；也可选择其他操作方式：第1次取走1和3，计算和为，余下的数为2，组成新数列2，4；第2次操作取走2和4，计算和为，最终得到终止数6．由此可见，同一列数通过不同的操作，可以得到不同的终止数．完成下面探究： （1）现有一列整数：1，2，3，4．其最大的负“终止数”是______； （2）2，9，5，7，a，b，c，14为互不相同的正整数列，如果这一列数的“终止数”最大为61，则的最大值是______． 【答案】 480 【分析】（1）根据题中所给操作方法进行求解即可； （2）由题意易得终止数的最大值为所有数取正号时的总和，然后可得，则a，b，c是互不相同的正整数，且与互不相同，进而问题可求解． 【详解】解析：（1）由一列整数：按照题中所给操作进行计算， 当取1和2时，取它们的差为，与余下的数组成新数列为，取3和4，取它们的和，与余下的数组成新数列为，计算它们的和为，所以终止数是6， 当进行类似操作后会发现任意“终止数”的奇偶性与初始数列之和的奇偶性相同，对于数列1、2、3、4，其和为10，所以“终止数”必为偶数， ∵最大的负偶数为，且， ∴最大的负终止数为； （2）∵终止数的最大值为所有数取正号时的总和已知最大终止数为61， 已知数之和， ， ， a，b，c是互不相同的正整数，且与互不相同， ∵和为定值时，三个数越接近，乘积越大， ∴优先寻找最接近的三个数， ∵最接近的组合7，8，9中，7，9已在已知数中，舍去， ∵次优组合6，8，10，均不在已知数中，且互不相同， ∴乘积最大值， 的最大值为480． 14．（2026·安徽芜湖·二模）如果一个两位数的十位数字与个位数字的乘积等于这两个数字的和，那么我们称这样的两位数为“积和数”． （1）写出该“积和数”：________． （2）类似的，对于一个三位数，如果百位数字是1，并且三个数位上的数字之和等于这三个数字之积，那么我们称这样的三位数为“特殊积和数”，请找出所有符合条件的“特殊积和数”：________． 【答案】 22 123和132 【分析】（1）根据题意设一个两位数为，根据定义，列出方程列举符合题意的数字即可； （2）设一个三位数为，其中，．根据定义，求出各个数位上可能的取值，即可确定所有符合条件的“特殊积和数”，问题得解． 【详解】解：（1）设一个两位数为，其中a是十位数字（，a为整数），b是个位数（，b为整数）． 根据定义，“积和数”满足， 则 ， ， ． 和b是整数， 和必须是1的因数对， 即，， ，或，， ，（与矛盾，故舍去）． 因此，唯一满足条件的两位数是22． （2）设一个三位数为，其中，． 根据定义，“特殊积和数”需满足，即，类似两位数的解法，可得，可能的因数对：，． 解得，或，，即132和123． 验证：，，符合，，符合题意． 因此，符合条件的“特殊积和数”为123和132． 15．（2026·安徽芜湖·二模）对于正整数，定义其“交替差”运算如下：将的各个数位上的数字按降序排列得到数，按升序排列得到数，定义．例如：，降序排列：，升序排列：，则． （1）计算： _______； （2）如果一个三位数，三个数位上的数字均不相同， ，且的十位数字比个位数字大，则_______．（写出所有满足条件的） 【答案】 ，， 【分析】（1）根据定义的运算法则，计算即可求解； （2）设三位数的降序排列为，升序排列为，根据定义的运算法则，求出，结合是三位数，且的十位数字比个位数字大，分情况讨论即可求解． 【详解】解：（1）； （2）设三位数的降序排列为，升序排列为， ∴， 根据题意，可得， 得． 当时，， ∵是三位数，且的十位上的数字比个位上的数字大， 故不是百位上的数字，也不是十位上的数字，只能是个位上的数字， ∴的十位上的数字为，的百位上的数字是， 此时，为． 当时，， ∵是三位数，且的十位上的数字比个位上的数字大， 故不是十位上的数字，不是个位上的数字， 当是个位上的数字时，十位上的数字是，是百位上的数字， 即的百位上的数字是，十位上的数字是，个位上的数字是， 此时，为． 当是百位上的数字时，是十位上的数字，个位上的数字是， 即的百位上的数字是，十位上的数字是，个位上的数字是， 此时，为． 或或． 16．（2026·安徽阜阳·二模）对正整数定义相同的“奇偶变换”规则：若为奇数，则变换后的数为：；若为偶数，则变换后的数为：．这种得到的过程称为对进行一次“变换”，对所得的数再进行一次变换称为对进行二次“变换”，以此类推． （1）对正整数7进行三次“变换”，得到的数是__________； （2）若对正整数，经过三次“变换”后得到的数等于本身，则所有满足条件的为__________． 【答案】 34 1、2、4 【分析】（1）根据题干所给的“奇偶变换”规则计算即可得出结果； （2）分两种情况：若正整数是奇数；若正整数是偶数；再结合题干所给的“奇偶变换”规则计算即可得出结果． 【详解】解：（1）第一次变换：7是奇数， ； 第二次变换：22是偶数， ； 第三次变换：11是奇数， ， ∴对正整数7进行三次变换，得到的数是34； （2）①若正整数是奇数，则是第一次变换，是偶数，则是第二次变换， 若是奇数，则是第三次变换，解得，不符合条件； 若是偶数，则是第三次变换，解得； ②若正整数是偶数，则是第一次变换， 若是奇数，设（为非负整数）， 则是第二次变换，是偶数， 则是第三次变换，解得； 若是偶数，则是第二次变换， 若是奇数，则是第三次变换，解得； 若是偶数，则是第三次变换，解得不符合条件； 综上所述，、2、4． 17．（2026·安徽滁州·二模）对于任意一个正的四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“双倍数”，例如：，因为，所以3507是“双倍数”；，因为，所以4135不是“双倍数”． （1）最大的“双倍数”是_________； （2）对于“双倍数”n，其十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被6整除，则满足以上条件的所有n之和是_________． 【答案】 9909 4500 【分析】设正的四位数m的千位、百位、十位、个位数字分别为（，均为整数），根据“双倍数”的定义得出，，（1）要使四位数最大，高位尽可能大，确定出，，代入双倍数条件得 ，得出最大只能取，此时，即可解答．（2）根据题意可得，能被整除，由是一位数，得只能取；将代入，整理得：，则 ，根据能被整除，得出必为偶数，且，再分情况讨论即可解答． 【详解】解：设正的四位数m的千位、百位、十位、个位数字分别为（，均为整数），“双倍数”满足：， （1）要使四位数最大，高位尽可能大：千位最大取，百位最大取； 代入双倍数条件得： ，即 ，是一位数，因此最大只能取，此时； 故最大的双倍数为． （2）根据题意可得，能被整除， 由是一位数，得只能取（时，不符合一位数要求）； 将代入，整理得：， 则 ， ∵能被整除， ∴必为偶数，且， 分情况讨论：时：，，则，是奇数，故需为奇数，得 ，对应数为 ，均符合条件； 时：，，则，是偶数，故需为偶数，得，对应数为，符合条件； 时：，，则，是奇数，不满足条件，舍去； 时：， ，无符合条件的数，舍去． 所有符合条件的之和为：． 18．（2026·安徽宣城·二模）对于平面直角坐标系中的点，若a，b满足条件，则称点为“全点”．例如点，∵，∴是“全点”．根据上述材料完成下面的问题： （1）若一次函数的图象上有无数个“全点”，则的值为_______． （2）若二次函数的图象上有且只有两个“全点”，分别记作，，且，则的值为_______． 【答案】 【分析】（1）根据题意，从而得到，则； （2）根据题意可知，“全点”在直线上或者在直线上，结合二次函数的图象可知，抛物线只与有两个交点，且与没有交点．联立抛物线与直线可得，由韦达定理可得，，结合可得或，同时验证抛物线与直线的交点情况，排除不符合的值即可． 【详解】解：（1）∵一次函数的图象上有无数个“全点”， ∴恒成立， ∴，即， 解得； （2）由“全点”的定义可知，， ∴或 ∴“全点”在直线上或者在直线上， ∵二次函数的图象上有且只有两个“全点”， ∴二次函数的图象与直线和直线一共只有两个交点， 又∵抛物线开口向上，且直线在的上方， ∴抛物线只与有两个交点，且与没有交点． 令， 整理，得， ． ∴抛物线与直线恒有两个交点，符合题意， 由一元二次方程根与系数的关系可得，，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴，， 又∵， ∴， 整理，得， 解得或， 当时，抛物线解析式为， 令， 整理，得， ，不符合题意； 当时，抛物线解析式为， 令， 整理，得， ，符合题意； 综上所述，． 几何折叠与旋转 考点05 一、单选题 1．（2026·安徽阜阳·二模）如图，现有正方形纸片，点E，F分别在边，上，将正方形沿折叠，使点落在边上的处（点不与点A，B重合），点落在处，交于点，连接交于点，连接．当时，现有以下结论：①；②；③；④．上述结论正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据正方形的性质，得出，，根据翻折可得，根据余角的性质得出，则可证明，故可判断①；设，则，在Rt中，根据勾股定理得出，求出，则，，根据，得出，然后根据等角的三角函数的关系求解即可判断②；根据，求出，，则，然后结合②中结论求出，即可判断③；证明，根据相似三角形的性质求出，即可判断④． 【详解】解∶∵四边形为正方形，， ，， ， 由翻折可得， ，即， ，故①正确； 设，则， 在中，，即， 解得， ，， 又， ， ，故②正确； ， ，即， ，， ， 又∵， ， ，故③正确； ， ，， ， ，故④错误． 故结论正确的有①②③． 2．（2026·安徽阜阳·二模）如图，已知中，，，点为边中点．矩形中，，，将矩形绕点按顺时针方向旋转一周，则有（   ） A．当线段达到最长时，线段对应的长度为4 B．当线段达到最短时，线段对应的长度为 C．当线段达到最长时，线段对应的长度为 D．当线段达到最短时，线段对应的长度为2 【答案】C 【分析】根据题意，点是以点为圆心为半径的圆上的点，则当点、、三点共线时，达到最短和最长，再分别求出、即可． 【详解】解：，点为边中点， ， 根据旋转可得，点是以点为圆心为半径的圆上的点，则当点、、三点共线时，达到最短和最长， 如图1，当点在线段的延长线时，有最大值， ， 又， ； 如图2，当点在线段的延长线上时，有最小值， ， 又， ． 综上所述：只有选项C符合题意． 3．（2026·安徽马鞍山·二模）如图，在中，，，．将绕点A旋转，使点C的对应点落在上，点B的对应点为，则的长度是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转性质、勾股定理、等腰三角形的性质、锐角三角函数，理解锐角三角函数定义是解答的关键．过A作于D，先利用勾股定理求得，则，在中，利用锐角三角函数求得，由旋转性质得，进而利用等腰三角形的三线合一性质可求解． 【详解】解：过A作于D，则， ∵在中，，，． ∴， 则， 在中，， 由旋转性质得， ∴． 故选：D． 4．（2026·安徽阜阳·二模）如图，边长为2的菱形中，，点为边的中点，点为边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得，连接，则下面说法错误的是（   ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】A 【分析】取的中点，连接，取的中点，连接，证明，得到，进而得到，故、、三点共线时，存在最小值即为的长，当点与点重合时，的值最大，的值最大，当时，的值最小，逐一进行计算即可． 【详解】解：如图1，取的中点．连接，取的中点，连接， 则， ∵在菱形中，， ∴， ∴，． ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵点是边的中点，点是边的中点， ∴． ∴为等边三角形， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上移动， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故、、三点共线时，存在最小值，如图2． 作，则， ∴， ∴，， ∴． ∴，即存在最小值为， 当点与点重合时存在最大值，如图3， 作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴． ∴． ∴存在最大值； 又∵的最大值即线段的长，为；的最小值即当时，此时的长即为的长，为． 故只有选项A错误． 5．（2026·安徽六安·二模）已知平行四边形中，，，，点E在边上，沿折叠得，下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当落在边上时， C．当落在边上时，的面积为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】先根据平行四边形的性质求出，，的度数，利用折叠的性质得到，； 对于A：计算，的长，确定的位置求解； 对于B：直接利用折叠性质判断角度； 对于C：确定的运动轨迹，推导出的形状求面积； 对于D：确定的轨迹是以B为圆心的圆，转化为求点D到圆上一点的最小距离问题，即． 【详解】解：A项：如图，当时，为B到的距离， 在平行四边形中，，，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴，即平行四边形中，以为底边的高为1， ∵沿折叠得， ∴， ∴，， 即点落在边上， ∴，A项错误； B项：由A项可知，当落在边上时，， ∴，B项错误； C项：∵沿折叠得，点E在上运动， ∴点的运动轨迹是以点B为圆心，为半径的圆上运动， 如图，作以点B为圆心，为半径的圆，与交点，连接，过点E作， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， 由A项可知，平行四边形中，以为底边的高为1， ∴， ∴，C项错误； D项：∵点的运动轨迹是以点B为圆心，为半径的圆上运动， 如图，当D，，B三点共线时，有最小值， 过点D作， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，即的最小值为，D项正确． 二、填空题 6．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在正方形中，点是边上一动点，将沿着直线翻折，得到，连接． （1）若点为的中点，连接．当时，_____； （2）的最大值是_____． 【答案】 【分析】（1）由正方形的性质及折叠的性质证明，则，而，即可求解； （2）过点A作于点M，过点C作于点N，证明，则，而，故． 【详解】解∶（1）连接， ∵正方形， ∴，， ∵，G为中点， ∴， ∵沿着直线翻折，得到， ∴，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； （2）过点A作于点M，过点C作于点N， ∴ ，， ∴， ∴， 由（1）得， 又， ∴， ∴， 而， ∴，即最大值为2． 7．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在正方形中，是上任意一点，连接与关于对称，延长线与延长线交于点，连接交于点． （1）度数为______； （2）若点是中点，，则的长为______． 【答案】 【分析】（1）如图所示，由三角形内角和定理得到，，结合对顶角相等、等腰三角形的判定与性质确定、、，代入得到关于的方程，求解即可得到，再由对称性质，在中，由两锐角互余求解即可得到答案； （2）连接，如图所示，由对称性得到,，，进而确定,，在中、中和中，由勾股定理列式求解即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示： 则，，， 由与关于对称，得到，则， 在正方形中，，则， ， ，即， 解得， 由与关于对称，得到， 在中，，，则； 故答案为：； （2）连接，如图所示： 由与关于对称，得到,，， 则,， 在中，由勾股定理可得, 点是中点， 设,则， 在中，由勾股定理可得,即， 解得， , 在等腰中，,,由勾股定理可得, 解得, 故答案为：． 【点睛】本题考查几何综合，涉及三角形内角和定理、正方形性质、直角三角形两锐角互余、对顶角相等、等腰三角形的判定与性质、对称性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何性质，准确构造辅助线求解是解决问题的关键． 8．（2026·安徽六安·二模）如图，现有矩形纸片，，点是的中点，连接，将沿着翻折得到． （1）如图1，若点在边上，则_____； （2）如图2，若与相交于点，延长，相交于点，且，则_____． 【答案】 【分析】（1）通过折叠和矩形性质，可推出为等腰直角三角形，结合中点得到与的比值； （2）用证明，再设，根据勾股定理列方程求出，再通过相似三角形列比例式算出． 【详解】（1）解：四边形为矩形， ，， 若点在边上，则， 为等腰直角三角形， ， 点是的中点， ， ． （2）解：如图，连接． ，， ，， 点是的中点， ， 四边形为矩形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则，， 在中，， 即， 解得，即， ， ，即， ． 9．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在平行四边形中，，，为边的中点，点在边上，且，连接，将沿翻折得到，点的对称点为点．点为边的中点，点在边上，且，连接，将沿翻折得到，点的对称点为点，连接，． （1）四边形的形状是___________； （2）若四边形是矩形，则的值为___________． 【答案】 平行四边形 【分析】（1）根据折叠的性质可证得四边形、是菱形，从而得到，，由中点的性质结合平行四边形的性质可得，，从而证得，，即可得证； （2）过作于，过作于，设，由含角直角三角形的性质结合勾股定理可得，，再由矩形的性质结合平行的性质求得，再由含角直角三角形的性质结合勾股定理可得，从而可得，即可得解． 【详解】解：（1）将沿翻折得到， ，， ， ， 四边形是菱形， ； 同理四边形是菱形， ， 为边的中点，为边的中点， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形； （2）当四边形是矩形时，如图，过作于，过作于， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 为中点， ，， 由（1）得四边形是菱形， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ． 10．（2026·安徽铜陵·二模）一次折纸实践活动中，小明同学准备了一张边长为的正方形纸片，点为的中点，点为上任意一点，将沿所在的直线折叠得到，连接． （1）的最小值为________； （2）当取最小值时，________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、圆上点到定点的最短距离问题、相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数的计算，熟练掌握相关图形的性质与判定定理是解答本题的关键． （1）根据折叠的性质得到，结合点为定点，判断出点的运动轨迹是以为圆心、为半径的圆弧，再根据 “圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径”，结合勾股定理求出的长度，进而得到的最小值； （2）当取最小值时，点在线段上，由折叠性质得到，从而推出，利用相似三角形的性质求出的长度，再结合正方形边长求出的长度，最后根据正切的定义计算． 【详解】（1）解：点为的中点，正方形的边长为， ， 由折叠知，如图1， 点在以点为圆心，以为半径的圆弧上运动，连接DE， ，，， 中，， ， ， 的最小值为， 故答案为：； （2）如图，当取最小值时，点在线段上，由折叠知， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 11．（2026·安徽阜阳·二模）在中，，，，点O是边的中点，将绕点O顺时针旋转得到（点A，B的对应点分别为，），点不在直线上，连接． (1)如图1，连接，，，求证：四边形是矩形； (2)如图2，当落在边上时，与交于点M，连接，，求线段的长； (3)在旋转过程中，点G为的中点，连接，的最大值是________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)7 【分析】（1）根据中点和旋转的性质可得，以此可证明四边形是平行四边形，再由其对角线相等即可证明； （2）根据同角的余角相等得，由等边对等角得，进而得到，，于是，利用勾股定理求得，则，易证明，利用相似三角形的性质求出，再利用线段之间的关系计算即可； （3）连接，，由勾股定理求出，由是的中位线，得到，根据，得到，即可求出的最大值是． 【详解】（1）证明：∵在中，，点O是边的中点， ∴， ∵绕点O顺时针旋转得到， ∴， ， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：连接，， ∵点O是边的中点，， ∴， ∴， 由旋转可得点O是边的中点，， ∵点G为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵中，当、、三点共线时取等号， ∴， ∴，即， ∴的最大值是． 12．（2026·安徽宣城·二模）在矩形中，点为对角线上一点，连接，把绕点顺时针旋转得到，连接，，已知，． (1)如图1，点是的中点，交于点． ①求证：； ②求的值； (2)如图2，以为斜边，在矩形内构造等腰直角，取的中点，连接，．若，试求的长． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【分析】（1）①根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证是等边三角形，由直角三角形的两个锐角互余可知，由旋转的性质可知，，从而可知，从而可求，根据三角形内角和定理可以求出，根据等角对等边可证结论成立； ②过点作交于点，可以求出，根据，可证，根据相似三角形对应边成比例可得； （2）连接，以为斜边构造等腰直角，连接，根据等腰直角三角形的判定与性质可得，，从而可证，根据相似三角形的性质可证，根据平行线的性质可证，根据，可以求出，根据可以求出的长度． 【详解】（1）①证明：点为的中点，， ， 又， 是等边三角形， ， ， 绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， ， ， ； ②解：如下图所示，过点作交于点， ，， ， 由①知：， ，， 又， ， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如下图所示，连接，以为斜边构造等腰直角，连接， 是等腰直角三角形，点是的中点， ，， 是等腰直角三角形， ， 又为等腰直角三角形， ，， 又， ，， ， ，， 是等腰直角三角形，，， ，，， ， ， ， ，，即， ， ， ，即， ． 13．（2026·安徽安庆·二模）综合与探究：从特殊到一般是研究数学问题的常用思路，综合实践小组以特殊平行四边形为背景就三角形的旋转缩放问题展开探究． 【特例研究】（1）在正方形中，相交于点O． 如图，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为　　　，k的值为　　　　； （2）如图，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值； 【类比探究】（3）如图，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并缩放得到（点O，B的对应点分别为E，F），使得点E落在上，点F落在上． 猜想的值是否与α有关，并说明理由． 【答案】（1）；；（2）；（3）无关，理由见解析 【分析】（1）利用正方形的性质结合旋转的性质求解即可； （2）由题意得△△，推出，，再得到△△，推出，根据正方形的性质求解即可； （3）同理可证△△，得到，根据线段垂直平分线的性质求得，再根据余弦函数的定义求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，四边形是正方形， ，， 旋转角为，， ， 故答案为：，； （2）根据题意得△△， ，， ，， △△， ， ，， ， ， （3）的值与无关，理由如下，如图， 同理可证△△， ， 菱形中，， ， 是的垂直平分线与的交点， ， ， 过点作于点， ，， ， ， 的值与无关； 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，正方形和菱形的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 14．（2026·安徽池州·二模）如图，在等边中，D为上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接、，与相交于点F． (1)如图1，求证：； (2)点G为延长线上一点，且，连接，与相交于点O，连接，，若． ①如图2，当时，求的长； ②如图3，当四边形的面积为时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)① ② 【分析】（1）为等边三角形，可得，，由旋转可得，，证明，即可证明结论； （2）①由旋转可得是等边三角形，由，可得，，则在等边三角形中，可得，则，再证明四边形是平行四边形，可得点为的中点，即可得的长； ②过点E作于点M，由①得四边形是平行四边形，可得，，可得，由，可得，即可得的长． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：①∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴，， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴在中，． ②如图，过点E作于点M， 由①得四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．（2026·安徽六安·二模）在矩形内，，．点P是的中点，连接，点B关于的对称点是E，连接． (1)如图1，若， ①求证：； ②求的值； (2)如图2，连接，当时，且D、E、P三点在同一条直线上时，求． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】①证明，可得，即可；②证明四边形为正方形，可得，，再由勾股定理可得，证明，可得，即可求解； （2）证明，可得，在中，利用勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：①∵点B关于的对称点是E， ∴且， 又∵P是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②根据题意得：， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵P是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵点B关于的对称点是E， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵P是的中点， ∴， ∴在中，， ∴， ∴（负值舍去）． 16．（2026·安徽马鞍山·二模）如图1，在矩形中，点M在上，连接，垂直平分分别交，于点E，F，点A与点N关于对称，连接交于点G，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证四边形与四边形关于对称，得到,,又因为,所以，结合，即可证明； （2）过点F作于点H，根据垂直平分，易得，再根据，有，得到，证明，根据对应边成比例，求出结果； （3）过点N作的垂线，垂足为I，设，在中求出，再利用，得出；由，得到，由，求出，在，根据勾股定理，即可求出． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， 垂直平分， 关于对称， 关于对称， 四边形与四边形关于对称， ， ， ， ， ． （2）解：过点F作于点H，如下图： 易证四边形为矩形，， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：过点N作的垂线，垂足为I，如下图： 设，则， 垂直平分 ， 在中， 即． ， ， ． ， ∴， ∴， ， 与关于对称， ， ， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，． 17．（2026·安徽淮北·二模）【特例感知】 (1)如图1，在中，是边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，交直线于点． 判断线段与的数量关系是__________． 【类比探究】 (2)如图2，在中，，点（不与点重合）在直线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，交直线于点．判断线段与的数量关系，并仅就图2的情形给出证明． 【拓展应用】 (3)在（2）的条件下，已知，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)线段的长为或． 【分析】（1）证明，推出，，再证明，据此求解即可； （2）当点D，F都在的延长线上时，在上取一点G，使得，连接，，证明和，据此计算即可求解；当点D，F都在的延长线上时，同理求解即可； （3）利用（2）的结论，利用平行四边形的性质结合勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：当点D，F都在的延长线上时，结论：， 证明：如图，在上取一点G，使得，连接，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 由旋转的性质可知，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 当点D，F都在的延长线上时，结论：， 证明：如图，延长至点G，使得，连接，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：当点D，F都在的延长线上时， 由题意，四边形是平行四边形， ∴， 由（2）知，， 设， ∴，， 在中，， ∴，解得， ∴； 当点D，F都在的延长线上时，设， 由（2）知，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， 解得， ∴； 综上，线段的长为或． 18．（2026·安徽芜湖·二模）如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连结BP，将BP绕点B顺时针旋转到BQ，连结QP交BC于点E，QP延长线与边AD交于点F． （1）连结CQ，求证：； （2）若，求的值； （3）求证：． 【答案】(1)见解析；(2) ；(3)见解析 【分析】(1)由旋转知△PBQ为等腰直角三角形，得到PB=QB，∠PBQ=90°，进而证明△APB≌△CQB即可； (2)设AP=x，则AC=4x，PC=3x，由(1)知CQ=AP=x，又△ABC为等腰直角三角形，所以BC=，PQ=，再证明△BQE∽△BCQ，由此求出BE，进而求出CE:BC的值； (3)在CE上截取CG，并使CG=FA，证明△PFA≌△QGC，进而得到PF=QG，然后再证明∠QGE=∠QEG即可得到QG=EQ，进而求解． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC，∠ABC=90°， ∵BP绕点B顺时针旋转到BQ， ∴BP=BQ，∠PBQ=90°， ∴∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC, ∴∠ABP=∠CBQ， 在△APB和△CQB中， ， ∴△APB≌△CQB(SAS)， ∴AP=CQ． (2) 设AP=x，则AC=4x，PC=3x，由(1)知CQ=AP=x， △ABC为等腰直角三角形，∴BC=， 在Rt△PCQ中，由勾股定理有：， 且△PBQ为等腰直角三角形， ∴， 又∠BCQ=∠BAP=45°，∠BQE=45°， ∴∠BCQ=∠BQE=45°，且∠CBQ=∠CBQ， ∴△BQE∽△BCQ， ∴，代入数据：， ∴BE=，∴CE=BC-BE=， ∴， 故答案为：． (3) 在CE上截取CG，并使CG=FA，如图所示： ∵∠FAP=∠GCQ=45°， 且由(1)知AP=CQ，且截取CG=FA， 故有△PFA≌△QGC(SAS)， ∴PF=QG，∠PFA=∠CGQ， 又∵∠DFP=180°-∠PFA，∠QGE=180°-∠CGQ， ∴∠DFP=∠QGE， ∵DABC， ∴∠DFP=∠CEQ， ∴∠QGE=∠CEQ， ∴△QGE为等腰三角形， ∴GQ=QE， 故PF=QE． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定和性质、相似三角形判定和性质的综合，具有一定的综合性，本题第(3)问关键是能想到在CE上截取CG，并使CG=FA这条辅助线． 19．（2026·安徽铜陵·二模）如图1，点E是正方形的边上一点（不与点A，D重合），连接，将绕点E逆时针旋转得到，连接，且． (1)求的值； (2)如图2，若点E是的中点，求的值； (3)如图3，若，请确定点M的位置，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点M是的中点，理由见解析 【分析】（1）证明，再结合锐角三角函数求解即可； （2）设，则，过点F作于点P，可得，则，证明，求出，再由正切的定义求解即可； （3）设，则，过点F作于点Q，求出，则，再由求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过点F作交的延长线于点G， 由旋转知，， ∵正方形中，， ∴，， ∵， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， 由点E是的中点，得， 如图2，过点F作于点P， 由（1）知， ∵， ∴，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． （3）解：点M是的中点， 设，则， 如图3，过点F作于点Q， 由（1）知， ∵， ∴，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴，则点M是的中点． 20．（2026·安徽阜阳·二模）如图，矩形中，，，点P在边上，且不与点B，点C重合，直线与的延长线交于点E． (1)当点是的中点时，求证：； (2)将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点． ①证明，并求出在（1）条件下的值； ②连接，求周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①证明见解析，；②12 【分析】（1）根据矩形的性质得，可得，，利用即可得出结论； （2）①根据平行线的性质和折叠的性质得出，等角对等边即可得，设，则，，在中，由勾股定理得，即； ②可得的周长，当点恰好位于对角线上时，最小，在中，由勾股定理得，则的最小值，即可得周长的最小值． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ，， 点是的中点， ， ； （2）解：①四边形是矩形， ， ， 由折叠得， ， ， 在矩形中，，， ， 点是的中点， ， 由折叠得，，， 设，则， ， 在中，， ， 解得， 即； ②由折叠得， ， 的周长， 连接， ， 当点恰好位于对角线上时，最小， 在中，，， ， 的最小值， 周长的最小值． 21．（2026·安徽滁州·二模）如图，在中，点E在边上，将沿折叠，使点B的对应点F落在内，射线交射线于点G，交射线于点P，射线交边于点Q． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，点P在延长线上，若，，求的长； (3)如图3，当时，点P在边上，若，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，从而得出，再证明，结合，即可得证； （2）先证明，得出，，再证明，得出，，证明，由相似三角形的性质求出，即可得出结果； （3）延长，交于点，设，则，则，由平行四边形的性质可得，，，，证明，求出，，再证明，，求出，，最后再证明，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，延长，交于点， ∵， ∴设，则， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08综合探究与数学思想专题 ☆5大考点概览 考点01动点与动线函数问题 考点02最值问题 考点03规律探究 考点04阅读理解/新定义 考点05几何折叠与旋转 考点01 动点与动线函数问题 一、单选题 1.(2026安徽合肥二模)如图1，在矩形ABCD中，BD=mAB(m为常数)，动点E从点A出发，以每秒 1个单位长度的速度沿A→B→D运动到点D,同时动点F从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿 B→D→C运动到点C,当一个点停止运动时，另一个点也随之停止.设运动时间为t,△BEF的面积为 S,S与t的函数关系如图2所示，则当t=8时，S的值为() S B 12 6 图1 图2 A.2W5 B.4 C.6 D.片5 2.(2026安徽阜阳·二模)如图1，在ABC中，∠ACB=90°，BC=2,AC=4,点D在AB上， AD=4BD,点E,F分别在边BC,AC上（不与端点重合），且DE⊥DF.设EC=x(0<x<2),△ECF的面 积为y,y关于x的函数图象如图2所示，最高点为G(p,9),且经过M(m,0.84)和N(n,0.84)两点.下列选 项正确的是() B D 9 G 0.84 M m p n 图1 图2 A.p=1.2 B.n=1.4 1/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.△ECF的面积的最大值为0.96 D.点(0.3,0.52)在该函数图象上 3.(2026安徽芜湖·二模)如图，在ABC中，∠C=90°，AC=BC,AB=8.点P从点A出发，以每秒2 个单位长度的速度沿边AB向点B运动.过点P作PD⊥AB交折线AC→CB于点D,以PD为边在PD右侧 作正方形PDEF.设正方形PDEF与ABC重叠部分图形的面积为S,点P的运动时间为t秒(O≤1≤4，则 S与t之间的函数图象大致是() B D 4 在ABC中，∠C=90°，AC=BC, B 4.(2026安徽安庆·二模)如图，P为线段AB上一点（不包括端点A,B),四边形PDAC和四边形PEBF均 为矩形，C,P,E三点在同一条直线上，D,P,F三点在同一条直线上，PC=PF,AB=4,记矩形 PDAC和矩形PEBF的面积分别为S,S2.设PA=x,y=S,+S2,则y关于x的函数图象为() 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A 4 A B D ②26安徽六安二模)如图，在Rt ABC中，乙ABC=90,MB=4BC=3,4C,点E从A点出发 沿A-B-C的路径以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为x,△AED的面积为y,则y关于x的函数 图象为() 18 18 B 5 18 18 C D 6.(2026安微安庆·二模)如图1，在ABC中，D是边AC上的定点，点P从点A出发，依次沿AB,BC两 边匀速运动，运动到点C时停止.设点P运动的路程为x,DP的长为y,y关于x的函数图象如图2所示.其 中M,N分别是两段曲线的最低点，点N的纵坐标是() B 20 8 D 图1 图2 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B. 120 17 e 7.(2026安微池州二模)如图1所示，将一个等腰直角三角板ABC摆放在平面直角坐标系中，其中直角 边AC在x轴上，点B在第二象限，将直线：y=x-6沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度平移.设平移 过程中该直线被ABC的边截得的线段长度为m,平移时间为t,m与t的函数图像如图2所示，下列结论 错误的是() VA mA D 2 10 图1 图2 A.点B的坐标为-6,8 B.b=4√2 C.边AB所在直线的解析式为y=-x+2 D.ABC的面积为16 8.(2026安徽马鞍山二模)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O, AC⊥BC,BC=4,LABC=60°，若EF过点O且与边AB,CD分别相交于点E,F,设BE=x,OE2=y,则y 关于x的函数图像大致为() B 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 28 9.(2026安徽准北二模)如图1，一架无人机0从点A出发，沿水平直线AB向点B匀速飞行，在地面控 制站点P处可以检测无人机的飞行状态.设无人机飞行的路程AQ为x(单位：百米)，PQ为y,图2是无 人机飞行时y随x变化的关系图象，图象与y轴交于点C,最低点为D(m,36),且经过E(2,72)和F(n,72)两 点.根据以上信息，下列说法错误的是() W 72 A。 B 36D1 Om n 图1 图2 A.m=8 B.n=14 C.点C的坐标为(0,100) D.点10,52)在图象上 10.(2026安徽芜湖·二模)顶角等于36°的等腰三角形也叫黄金三角形，黄金三角形的底边与腰长的比等于 黄金比5-L.如图O,在ABC中，∠B=36°，动点P从点A出发，沿拆线A仁B-C匀速运动至点C, 2 若点P的运动速度为4cm/s,设点P的运动时间为t(s),AP长度为y(cm),y与t函数图象如图②所示，当 AP恰好平分∠BAC时，点P运动的路程是() y/cm B D 8 ① ② A.85-8 B.8√5+8 C.8v3+8 D.8V3-8 11.(2026安徽蚌埠二模)如图，动点M，N沿着菱形ABCD的边运动，同时从A点出发，点M以每秒1 个单位长度的速度沿线段AB向终点B运动；点N以每秒3个单位长度的速度沿线段A-D-C-B向终点B 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.己知菱形ABCD的面积为30，AB=6,设运动时间 为x(秒)，△AMN的面积为y,则y关于x的函数图象大致为() D 10 10 B 2 46 10 10 D 246 46 12.(2026安徽合肥二模)如图，口ABCD中，AB=3,AD=4,P,Q两点同时从点A出发，均以1个单 位每秒的速度分别沿着A-B-C,A-D-C运动，则△APQ的面积y与运动时间x之间的函数图象是() B V本 A B 34 34 D 34 34 13.(2026安徽宣城二模)如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，点P从D点出发，沿 DA→AB→BC运动，过点P作直线CD的垂线，垂足为点Q,设点P运动的路程为x,DPQ的面积为y, 则下列图象能正确反映y与x之间的函数关系的是() 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 、 246 14.(2026安徽滁州二模)如图，在ABC中，AB=AC=24cm,∠B=∠C,BC=16cm,点D为AB的 中点，如果点P在线段BC上以8cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动. 若在某一时刻能使△BPD与CQP全等.则点Q的运动速度为() A.4cm/s B.8cm/s C.4cm/s或8cm/sD.8cm/s或12cm/s 考点02 最值问题 一、单选题 1.(2026安徽蚌埠二模)如图，在矩形ABCD中，AB=4√5，BC=10,点P在线段BC上运动（含B,C 两点)，连接AP,以AP为边，在AP的右侧作等边△APQ,连接DQ,则DQ的最小值为() B P A.2 B.2√2 C.5 D.2√3 2.(2026安徽阜阳，二模)如图，边长为2的菱形ABCD中，∠A=120°，点P为AD边的中点，点E为CD 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 边上一动点，连接PE,将PE绕点P顺时针旋转60°得PF,连接BF,CF,则下面说法错误的是() A.BF+CF的最大值是2√3 B.BF的最大值是√万 C.BF+CF的最小值是√万 D.CF的最小值是 2 3.(2026安微池州二模)如图，AB∥EF,∠B=90°，AB=6,BE=8,EF=10,点G在AF上，点D 在AE上，∠DGE=∠F,则DE最小值为() A.1 B.2 C.5 D.25 4.(2026安微阜阳·二模)如图，在正方形ABCD中，AB=4,点E,F分别是BC,CD上的点且 BE=CF,AE与BF交于点H,过点D作DG⊥AE于点G,点T是BC上一动点，连接DT,DE,HT, BG,下列结论错误的是() D F E B A.BG+二AB的最小值为4 B.BH+DG的最大值为4√2 C.DT+HT的最小值为213-2 D.AE+DE的最小值为45 5.(2026安徽准北二模)如图，矩形ABCD中，AB=6,BC=10,动点P在直线AD的下方，且满足 SAPAD=20,则PA-PC的最大值为() D B 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.2√26 B.2V29-4 C.2v34 D.2V29 3 6.(2026安微滁州二模)如图，在△ABE中，AE=√2，AB=4,∠BAE的度数不定，以BE为边向右作 正方形EBCD,连接AD,AC,则下列结论错误的是() E D A.当LBAE=135°时，SE方形EBcD=26 B.点A到直线BE的距离的最大值为√2 C.线段AD的最大值为6 D.线段AC的最大值为6√2 7.(2026安微阜阳·二模)如图，正方形ABCD的边长为4，点E,F分别在边AD,CD上，且 AE=DF,BE与AF相交于点G,连接CG,DG,EF,则下列结论错误的是() A.EF的最小值为2√2 B.CG的最小值为2W2 C.DG的最小值为2√5-2 D.当∠BCG最大时，AF=3√2 8.(2026安徽合肥·二模)如图，在口ABCD中，AB=6,AD=4,∠DAB=60°，P是口ABCD内部一点，且 ∠CDP+∠PAB=90°，E是BC的中点，F是边AB上的一个动点，连接PF,EF,则PF+EF的最小值为() D A.5 B.3+√3 C.4 D.4V5-2 9.(2026安微六安·二模)如图，在正方形ABCD中，AB=3,点E为边BC上的动点，F在边AB上， 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BF=1,将线段EF绕点F逆时针旋转90°得到线段FP,连接PC,PD,PE,则下列结论错误的是() D E A.DE+EF的最小值是5 B.DP+PF≥V3 C.0≤SAPCE≤2 D.四边形DEFP面积的最大值为马 10.(2026安徽阜阳二模)如图，已知Rt△ACB中，∠ACB=90°，CB=2CA=2,点D为BC边中点.矩形 ECOP中，CE=1,CQ=3,将矩形ECQP绕点C按顺时针方向旋转一周，则有() D B A.当线段DQ达到最长时，线段BQ对应的长度为4 B.当线段DQ达到最短时，线段BP对应的长度为 C.当线段DQ达到最长时，线段BP对应的长度为√26 D.当线段DQ达到最短时，线段BQ对应的长度为2 11.(2026安徽合肥二模)如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,点P是BC边上的动点，将△ABP沿 AP翻折得到△AQP,连接BQ,CQ,DQ,下列结论错误的是(). D D A.当ACPQ为直角三角形时，BP=45-8B.AB-Bp:=AQ-PQ C.tan∠BOP的最大值为)引 D.线段CQ的最小值为2√13-4 12.(2026安微合肥二模)如图，点E是边长为2的正方形ABCD对角线BD上一点，且BE=BC,F为 CE上任意一点，FG⊥BC于点G,FH⊥BD于点H,连接BF,取BF中点为M,连接HM,HG,则下 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 列结论错误的是() D A.∠HFG=135° B.FH+FG=√2 C.当M取最小值时，HF=2 D.△FHG面积的最大值为 13.(2026安徽安庆二模)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E为边AD上一动点，连接BE, 过点E在BE左侧作EF上BE,BE=4了 EE=3,连接A,BF,DF和CE,则下列结论错误的是() A.BF的最大值是2 B.BE+CE的最小值是2√13 C.AF的最小值是 20 D.8E+CE的最大值是？ 14.(2026安徽阜阳·二模)如图，在ABC中，AC=BC=4,∠ACB=90°，D为BC的中点，延长DC至 点E,使得CE=CD,P、Q分别为AC、CB上的动点，PA=CQ,连接AD,作PH⊥AD于点H,连接 AQ,AE,PD,PE,PO,则下列结论错误的是() B F A.P2的最小值为2√2 B,△E0面积的最大值为号 C.AQ+EP的最小值为3√5 D.PD+PH的最小值为8V5 15.(2026安微阜阳二模)如图，在ABC中，AB=2√2，AC=2,以BC为边作Rt△BCD,BC=BD, 点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为() 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.4 B.6 C.1+√2 D.2+2W2 16.(2026安徽阜阳二模)如图，在正方形ABCD中，AB=6,点G是平面内的一动点，且DG=2,F是 BG的中点，E是BC上一动点，连接AE,EF,则AE+EF的最小值为() D C E B A.310-1 B.3V5-3 C.9 D.6√2-3 17.(2026安徽·二模)如图，D为等边ABC的边BC的中点，E,F分别在边AB,AC上，满足 AE=CF,设EF的中点为M,线段AD,EF相交于点N,若AB=2,则以下结论错误的是() E B D A.MB+MC的最小值为7 B.MB-MC的最大值为V3-1 C.NB+NC的最小值为√ D.NE-NF的最大值为V3-1 18.(2026安徽宿州·二模)如图，ABC是等边三角形，边长为2，点D为边BC的中点，点E为边AB上 的一动点，连接DE,将DE绕点D顺时针旋转60°，得到DF,连接CF,则CF的最小值为() B A.5 B. 3 C.1 2 D. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 19.(2026安徽马鞍山二模)如图，在正方形ABCD中，AB=4,E、F分别是AD、CD上（不与端点重 合)的动点，且满足AE=CF,O是BE中点，G为AF上异于A的一点，且满足EG⊥BG,连接 CG,OF,OC,下列说法错误的是() D A.CG的最小值为2√2 B.OF的最小值为 5 C.△OBC的面积不变 D.2N2<AG<4 20.(2026安微阜阳·二模)如图，在等腰直角ABC中，AC=BC=8,点D在AB边上，AD=4,E是边 AC上一动点，F为ABC内一点，且∠BFD=90°，则线段EF的最小值为() A.6-3V2 B.8-4W2 C.2-1 D.22-1 在等腰直角ABC中，AC=BC=8, 21.(2026安徽芜湖二模)如图，在ABC中，∠ABC=90°，AB=1,AC=2,点0为AC的中点，将 AC绕点C顺时针旋转得到线段CE,连接AE,交BC于点P,分别连接OB,OE,OP,BE,则下列结 论错误的是() A.OP+OB的最小值为引 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B.OP+AP的最小值为√ C.△CBE面积的最大值为√5 D.△O8E面积的最大值为5+1 2 22.(2026安微徽阜阳二模)如图，在Rt△ABC中，AC=BC=4,D是AB的中点，H是AB上一个动点， 过点H分别作HE⊥AC、HF⊥BC,垂足分别为E、F,EF与CH交于点G,连接AG,BG,DE, DF,下列结论错误的是() A.CG+FG的最小值为22 B.DE+DF的最小值为4 C.AG+BG的最小值为2V10 D.S△ADE+S△BDr的最小值为6 23.(2026安徽合肥二模)如图，在ABC中，∠ABC=90°，AB=1,BC=√3，点O为AC的中点，将AC绕 点C顺时针旋转得到线段CE,连接AE,交BC于点P,分别连接OB,OE,OP,BE,则下列结论中：①OP+OB 的最小值为：②0P+4P的最小值为；③△CBE面积的最大值为5；④△0BE面积的最大值为 +1. 2 E 正确结论的个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 1 则0D=0Csin30°= 2 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 文以点B为原点建立平面直角坐标系，则B(0,0),C(V5,0)，A(0,，A(0,-1, E :点0为AC的中点， H 则S.cBE= BCEH=BC-CE-sin∠ECH=，52-sin∠ECH=V3sim∠ECH, 2 E 当∠BCE=90°时，sin∠ECH取最大值1， .△CBE面积最大值为V, 24.(2026安徽六安·二模)如图1，将军饮马问题是一个经典的几何最值问题，源于古希腊时期，数学家海 伦利用轴对称的知识成功地解决了这个问题，体现了早期数学家对路径优化的探索.如图2，在ABC中， AB=10,AC=6√5，∠A=30°，点D,E,F分别在边BC,AB,AC上，则△DEF周长的最小值为(). 1 B D 图1 图2 A.15V27 B.10W21 C.20W万 D.3V3+5 7 7 7 25.(2026安徽合肥二模)如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,E为边CD中点，G为边AD上一点， 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P为对角线BD上一点，连接PC,将△DPC沿PC翻折，得到△FPC,连接PE,AF,BF,下列说法错 误的是() G D E F A.BF的最小值为2 B.AF的最小值为2V5-2 C.连接PG,若PG1PC,则PG的最小值为25 D.PE+PC的最小值为5 D 此时PE+PC=PE+PC'=CE为最小值， 以B为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 二、填空题 26.(2026安徽芜湖二模)如图，点P在反比例函数y=x<0)的图象上，过点P分别作x轴、y轴的垂 线，垂足为A,B,与y=-二(x<0)的图象交于点C,D.己知矩形OAPB的面积为4. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 0 (1)k= (2)连接CD,当点P在反比例函数y=(K<O)图象上运动时，线段CD长度的最小值为 27.（2026安微铜陵·二模)一次折纸实践活动中，小明同学准备了一张边长为4的正方形纸片ABCD，,点 E为AB的中点，点N为AD上任意一点，将△EAN沿NE所在的直线折叠得到△EA,N,连接DA. A B (1)DA的最小值为 (2)当DA取最小值时，tan∠AEN= 28.(2026安徽芜湖·二模)如图，在ABC中，∠C=90°，点D是BC边上一动点，过点B作BE⊥AD交 AD的延长线于E.若AC=2,BC=4. D B (1)若CD=1,则DE= (2) 伦的最小值为 29.(2026安徽阜阳·二模)如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上一动点，将△ABE沿着直线AE翻折， 得到△AFE,连接DF,CF. G 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)若点G为CD的中点，连接AG.当LDFC=90°时，LEAG=; (2) 2伦最大首是 30.(2026安徽阜阳二模)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,E、F分别为AD、AC上的点，且 EF⊥BF, E D ⊙ 3 (1)点B到AC的距离是 (2)连接BE,交AC于点G,则FG的最小值是 考点03 规律探究 一、填空题 1.（2026安微合肥二模)某班45名同学按学号1,2,3，…，45顺次顺时针方向坐成一圈做活动：从某 个同学开始，沿顺时针方向，按1,2,3，依次报数，报到数字45的同学表演节目，剩下44人，第一轮 结束；接着从表演节目的同学的后一个同学开始继续沿顺时针方向按1,2,3，依次报数，报到数字45 的同学表演节目，剩下43人，第二轮结束；按这种方式： (1)当第一轮是学号3的同学开始报数，则第三轮表演节目的同学的学号是 (2)若在第五轮中，学号18的同学表演节目，则第一轮第一位报数同学的学号是 二、解答题 2.(2026安徽合肥二模)【综合与实践】：排队问题 发现问题：某校是一个有3000位学生的寄宿制学校，但只有一个窗口办理校园卡补卡和充值业务，同学们 普遍反映等待时间较长，校数学兴趣小组决定利用所学知识尝试解决这个问题. 任务一：获取学生平均等待时间 【收集数据】 同学们随机对m名同学的等待时间进行了调查统计，把数据分为5组（等待时间用x表示，单位为秒）：A: 0≤x<50,B:50≤x<100,C:100≤x<150,D:150≤x<200,E:200≤x,并整理绘制了如图所示的 统计图. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 等待时间颗数直方图 等待时间扇形统计图 人数 D E 12 6% 24% B 30% A BCDE组别 根据图中给出的信息，完成下列问题 (1)问题1：m= (②)问题2：根据调查，大部分学生期望的等待时间为100秒以内，请你估算全校有多少人认为等待时间过长？ 任务二：进行数据分析构建数学模型 数学兴趣小组通过查阅资料，找到了可以让数据既精准，还可以预计增加窗口后的方法 在增加调查的次数后得到了工作人员的效率、初始排队的人数和排队人数的增速的最终数据如下： 工作人员平均服务一 平均初始等待人员的 平均多久有一位新学 位学生的时间 数量 生到达 23秒 16人 41秒 设e,e2, ,只6表示当窗口开始工作时已经在等待的16位学生，c1,2,,cn表示在窗口开始工作以 后，按先后顺序到达的“新学生”，且当Cn离开后，排队现象就此消失了，即C+为第一位到达后不需要排队 的“新学生”（这里假设e,e2,,6的到达时间为0) 学生 e 到达时间（秒） 0 0 0 服务开始时间（秒） 0 23 23×2 。， 服务结束时间（秒） 23 23×2 23×3 等待时间（秒） 0 23 23×2 (3)问题3：C+1的到达时间是 Cn服务结束时间是 cn的等待时间是 (用含n 的代数式表示)： (4)问题4：若Cn服务结束时间小于或等于c的到达时间，则排队现象消失.你能否求出n的最小值和平均 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 等待时间？（精确到1秒） 3.(2026安徽阜阳·二模)数学兴趣小组开展探究活动，研究了“多边形数规律”的问题： 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数， 比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数”；类似的， 称图2中的1,4,9,16.…这样的数为正方形数”. 。。。。。。。 ●●●●●●●●● ●● 13 6 10 14 9 16 图1 图2 )第n个“三角形数”可表示为””+刊.第n个“正方形数”可表示为 既是三角形数又是正方 2 形数且大于1的最小正整数为 (2)可以发现：1+3=4,3+6=9,6+10=16……任意两个连续“三角形数”之和等于一个“正方形数”，即第n-1个 “三角形数”与第n个“三角形数”之和等于第n个“正方形数”，其中n为大于1的整数，请通过计算证明. (⊙通过进一步的研究发现：第n个五边形数可表示为-，第m个大边形数可衣示为2-m,则 推测第n个“七边形数”可表示为 4.(2026安徽滁州·二模)我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百 般好，隔离分家万事休.”数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，初中数学里的代数公式，很多都 可以借助几何图形进行直观推导和解释。 B c Sn Bn-i Crl … 0\000.000 …n Sn- OO 3 OOO\OOOO …4 Bn2 Cn-2 4 OOOO\OOO …3 OO …2 6 C2 n…OOO…OOO\O …1 B DiD2 Dn-2 Dn-D 图1 图2 (1)【方法初探】 求1+2+3+4+…+n的值（其中n是正整数）. 如图1，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1,2,3，.，n个小圆圈排列组成的，而组成 整个三角形的小圆圈的个数恰为所求式子1+2+3+4+…+n的值.现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 角形组成一个平行四边形，此时，组成平行四边形的小圆圈的个数为 ,可得1+2+3+4+…+= (2)【深入探索】 我们知道了1+2+3+…+n的值，那么13+23+33+…+n的结果等于多少呢？ 如图2，AB是正方形ABCD的一边，AB,=1,B,B2=2,,Bn-2Bn1=n-1,Bn-B=n,则AB=1+2+3+…+n ,分别以AB,AB2,.,ABn-2,ABn1为边作正方形，将正方形AB,C,D的面积记为S,六边形 B,CD,D2C2B2的面积记为S2六边形Bn-2Cn-2Dn-2DnCn-B.-1的面积记为Sn-1,六边形Bn-Cm-Dn-DCB的面 积记为Sn. 结合图形，可以得到S.=2BB1×BC-BB1= 同理有S1= ，Sn-2= ，,S2=23,S1=13, 1+23+33+…+n3=SE方形A8cD= (3)【解决问题】 根据以上发现，求+2+3++99+10的值。 1+2+3+…+99+100 5.(2026安徽阜阳二模)用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按如图方式拼成长方形： 第①个图形中有2张正方形纸片； 第②个图形中有2(1+2)=6=2×3张正方形纸片： 第③个图形中有2(1+2+3)=12=3×4张正方形纸片； 第④个图形中有2(1+2+3+4)=20=4×5张正方形纸片. ① ② ③ ④ 请你观察上述图形与算式，完成下列问题： (1)第⑤个图形中有张正方形纸片（直接写出结果）：根据上面的发现我们可以猜想第个图形中有 张正方形纸片； (2)由(1)可得：1+2+3+…+n= (用含的代数式表示)： (3)根据你的发现计算：1001+1002+1003+…+1999= 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(2026安微阜阳·二模)【项目主题】 探索正多边形与正多边形格点数之间的数量关系. 请将材料中横线上所缺数字或代数式补充完整： 【项目准备】 (I)对于一个正s边形(s≥3)，其第n个正多边形格点数，记作Ps,m).正s边形与其格点数有如下规律： 多边形类型 名称 格点数列 5=3 正三角形格点数 1,3,6,10,15, 3=4 正四边形格点数 1,4,9,16,25,… 3=5 正五边形格点数 1,5,12,22,35,… 1,① 5=6 正六边形格点数 15,28,45,… 根据上述列表可知，P(3,3)=6,则P(5,4)=② 【项目探索】 (②)数形结合是常见数学思想方法.根据上述初步分析，将上述规律用正多边形表示出来，并归纳第个正 多边形格点数. s边形 图与格点 第n个正多边形格点数 5=3 A P3,m）=6-2)m2-3-4n 2 n=1 n=2 n=3 n=4 P(3,1)=1P3,2)=3P3,3)=6P3,4)=10 3=4 r(4,= 4-22-4-4n 2 n=1 n=2 n=3 n=4 P(4,1)-1P4,2)-4P(4,3)9P4,4-16 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5=5 P5,)=-2m-5 n=1 n=2 n=3 1n=4 P5,1)=1 P(5,2)=5P(5,3)=12P5,4)=22 P(6n)=⑧ 5=6 n=1 n=2 1=3 1=4 (用含的代数式表示) P(6,1)=1 P(6,2)=6P6,3)=15P(6,4)=28 P(sn=④ S=n (用含s,n的代数式表示) 【项目实施】 3)按照上表中总结的第n个正多边形格点数的规律.若P(3,n)+P(4,n)十…十P(9,m+ P(10,n)=18n2-2nx一14，求出所有满足条件的整数x的值的和.根据多边形格点规律，得 3-2n243-加+4-2r4-4加+…+0-2m10-4加=18n2-2nx-14即 +23+8m240+2+6迦=18n2-2nx-14整理，得x=⑤ (用含的代数式表示)n 为正整数，当取1和7时，x的值为整数，所以满足条件的整数x的值的和为⑥ 7.(2026安徽芜湖二模)2026年某春晚舞台采用了一种新型的“智能光阵”背景墙，由若干个发光单元按一 定规律排列组成.这些发光单元分为两种：A型（圆形）和B型（星形）.设计师按照如下方式排列：第1行： 1个A型；第2行：2个B型；第3行：3个A型；第4行：4个B型；第5行：5个A型；.即第奇数行全 为A型，数量等于行数；第偶数行全为B型，数量等于行数。 一、基础探究 (1)按初始规则摆放至第6行时，A型发光单元的总数为 个，B型发光单元的总数为 个； (②)若继续按初始规则摆，前8行的发光单元总数为 个 二、数量与成本计算 导演组调整规则：摆放共行，将前x行(1≤x≤n)全部设置为A型，剩余第x+1行到第行全部设置为 B型（每行发光单元数量仍等于行数） (3)用含n,x的代数式表示：A型发光单元总数为 个，B型发光单元总数为 个 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (4)已知A型每个20元，B型每个30元，则购买所有发光单元的总成本为 元（用含n,x的代数式 表示)： 三、优化设计 调整规则后，当摆放总行数n=12时，结合预算和视觉效果要求，现要求满足条件：A型发光单元的总数不 少于B型发光单元的总数且不超过B型发光单元总数的2倍. (⑤)此时x的值为 (⑥此时的总成本为 元 8.(2026安微阜阳·二模)【观察思考】 第一排 口 ■■ ■■口 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 第二排 日 田 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 第三排 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 【规律发现】 请用含m、n的式子填空： (1)在第1排中，第1个图案中“矩形的个数可表示为1，第2个图案中“矩形”的个数可表示为1+2，第3 个图案中“矩形”的个数可表示为1+2+3，第4个图案中“矩形”的个数可表示为1+2+3+4，…，第n个图案 中“矩形”的个数可表示为 (2)在第2排中，第n个图案中“矩形的个数可表示为 (3)在第m排中，第n个图案中“矩形”的个数可表示为 【规律应用】 (4)当m=n时，结合图案中“矩形的排列方式及上述规律，是否存在正整数n,使得第m排第n个图案中 矩形”的个数为225？ 9.(2026安徽阜阳·二模)综合与实践 【项目主题】班级劳动实践小组拟用正方形和等腰直角三角形地砖铺设社区小广场， (1)【项目准备】己知图中小正方形地砖的面积为1m2,则等腰直角三角形地砖的面积为①m',图形 中心的稍大正方形地砖的面积为②m?. (2)【项目分析】第1个图形中，小正方形的个数为4×2=8，等腰直角三角形的个数为4×4=16： 第2个图形中，小正方形的个数为4×5=20，等腰直角三角形的个数为4×5=20： 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 第3个图形中，小正方形的个数为4×9=36，等腰直角三角形的个数为4×6=24； 根据规律， 第4个图形中，小正方形的个数为③，等腰直角三角形的个数为④ 第1个图形 第2个图形 第3个图形 (3)【项目实施】如果社区小广场是按以上方法铺设的面积为800m的正方形广场，则需要小正方形地砖 的块数为⑤，等腰直角三角形地砖的块数为⑥ 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①；②；③；④；⑤·⑥ 10.(2026安徽阜阳·二模)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15，，这样的数称为“三角形数”，某 数学兴趣小组对“三角形数”进行了研究。 【规律发现】 ①第n个“三角形数”可以表示为1+2+3+4+…+n=n+少 2 ②第1个等式：1×8+1=9=32；第2个等式：3×8+1=25=52； 第3个等式：6×8+1=49=72；第4个等式：10×8+1=81=92： 【规律应用】 (1)第5个等式为 (2)写出你猜想的第n个等式（用含的式子表示），并证明. 11.(2026安徽安庆二模)综合与实践 【活动背景】我们把按一定规律排列的一列数叫做数列，一般地，把数列中的第1个数记为，第2个数记 为42，.，第n个数记为4，.我们定义“启源”数列an}：取初始项a,=1,a2=3,从第3项开始，每一项 等于前一项的2倍与前前项的和，即递推公式为an=2an1+an-2(n23).记S偶k=a2+a4++a2k为“启源 数列前k个偶数项的和(k为正整数)，数学兴趣小组制作了该数列的探究表格（部分空缺），请你参与探究 并完成以下任务， 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 n(项数) 1 2 3 a.(项的值) 1 3 17 S默 3 【活动探究】 (①)请根据“启源”数列的递推公式，补全表格： (②)观察补全后的表格，你能发现S偶与数列的某一项之间存在怎样的数量关系吗？请直接写出这个关系（用 含k的代数式表示)： 【探究应用】 (3)“启源”数列在计算机科学中有一种有趣的应用，可用于生成某种特定长度的校验码序列.工程师小元需 要设计一个流程： 生成主序列：首先按顺序生成该数列的前N项a，a,,an作为主序列. 生成校验码：同时，还需要生成一个校验码，该码的值等于主序列中所有偶数项之和（即，S,其中 2k=N或N-1,根据N的奇偶决定).现在，小元的任务目标是：需要最终生成一个数值为696的校验码. 请你帮助小元快速确定：他至少需要将主序列生成到第项. 12.(2026安徽宣城二模)探究x-a+x-a2+x-a++x-a,的最小值.我们知道，d可以理解为 a-0,它表示：数轴上表示数Q的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义.进一步地，数轴上的两个点 A,B分别用数a,b表示，那么A,B两点之间的距离为AB=a-b,反过来，式子a-b的几何意义是： 数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离， (1)因此，数轴上表示2和5的两点之间的距离是 数轴上表示x和-1的两个点之间的距离是3， 那么x的值为 探索规律： (I)探究x-a+x-a2的最小值. 不妨设a<a2,表示数a,的点为A,表示数a2的点为B,表示数x的点为P, PA x a1 图1 图2 图3 2/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①如图l,此时点P在点A的左侧，则x-a+x-a2=PA+PB=2PA+AB; ②如图2，此时点P在点A,B之间，则x-a+x-a2=PA+PB=AB; ③如图3，此时点P在点B的右侧，则x-a+x-a2=PA+PB=2PB+AB; 综上：当a≤x≤a2时，此时x-a1+x-a2的最小值为a1-a2· (Ⅱ)探究x-a+x-a2+x-a的最小值. 不妨设a,<a<a2,表示数a的点为C,并由(I)知：点P必在AB之间； 46g4照1公名 a x as a a x asas d 图4 图5 图6 ①如图4，此时点P在点A,C之间，则x-a+x-a+x-a=PA+PC+PB=PC+AB; ②如图5，此时点P在点C,B之间，则x-a+x-a+x-a=PA+PC+PB=PC+AB; 显然当PC为0时，x-a+x-a2+x-4=AB; 综上：当x=a时，此时x-a+x-a2+x-a的最小值为a,-a2: (2)探究x-a+x-a2+x-a+x-a4的最小值 不妨设a,<a,<a4<a2,表示数a的点为D,并由(I)知：点P必在AB之间； ①如图6，此时点P在点A,C之间， x-a+x-az+x-as+x-a=PA+PC+PD+PB=AB+2PC+CD; ②如图7，此时点P在点C,D之间， x-a +x-a2 +x-a;+x-a PA+PC+PD+PB=AB+CD; A CP D B Y a as x as a 图7 ③如图8，此时点P在点D,B之间，则x-a+x-a+x-a+x-a4=PA+PC+PD+PB= A C DPB a as ds x az 图8 综上：当a3≤x≤a4时，此时x-a+x-a+x-a+x-a4的最小值为 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 小 规律应用： (3)工厂加工车间工作流水线上依次间隔2m排着9个工作台A,B,C,D,E,F,G,H,K,一只工具箱 应该放在 工作台（填字母），能使工作台上的工作人员取工具所走的总路程最短.最短路程是 m. 13.（2026安微六安·二模)探秘铺地锦中的代数规律. 3 0 5 (图①) (图②) (图③) (图④) (图⑤) 【问题情境】明代著作《算法统宗》中记载一种古代用于笔算乘法的格子算法一铺地锦. 【知识理解】如图①，计算：31×47，先将乘数31和47分别写在大方格的上面和右面，然后用31的每位数 字分别乘以47的每位数字，并将结果记入对应小方格的三角形中，最后再把大方格内同一斜线上的数相加， 满十进一，得1457. 【知识初探】(1)如图②，是用铺地锦计算12×34的过程，格子中m= (2)如图③，是用铺地锦计算两个两位数乘积的过程，则a= 【知识再探】在铺地锦算法中，我们把大方格内同一斜线从右下向左上编号，最右下角为第1条斜线，设S 表示铺地锦表格中第k条斜线上所有数字之和；C为第k条斜线相加后的进位值，如相加后没有进位，则 Ck=0.如图①中，S3=0+2+2=4,C2=0. 【知识应用】(3)如图④，是用铺地锦计算314×28乘积的过程，S,= ,C2= 【拓展创新】(4)将十进制铺地锦推广到五进制，即满五进一，如图⑤，是用铺地锦计算五进制下32×14的 过程，格子中m= ,n= ；它们的乘积等于 14.(2026安徽合肥二模)综合与实践：Pick定理的探究 在平面上画互相垂直的两组平行线，相邻平行线的距离都等于1，这两组平行线的交点称为“格点”，以格点 为顶点的图形称为“格点图形”.我们可以通过格点的数量，计算格点图形的面积. 【阅读理解】奥地利数学家乔治·皮克在1899年提出了Pick定理，用于快速计算简单的格点多边形的面积， 是网格类几何题的常用工具 对于简单的格点多边形，P1ck定理的公式为：S=1+B-1,其中S表示格点多边形的面积；I表示多边形 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 内部包含的格点数量；B表示多边形边界上的格点数量（包含所有顶点和边上的格点）. 图1 图2 图3 图4 (1)如图1，在边长为1的网格中，ABC为格点三角形，数出ABC内部的格点数I=①，边界上的格 点数B=②；代入PiCk定理公式可计算ABC的面积S=③，使用割补法再计算一次ABC的面积，很容 易验证结果是正确的， (2)【证明探究1】如图2，矩形ABCD为“格点矩形”，可证明Pick定理对格点矩形成立 证明：设矩形ABCD的边AB,AD上分别有m,n个不含端点的格点，并记矩形内部和边界上的格点数分 别为Io,B。,则1。=mn,B。=2m+n+4,AB=m+1,AD=n+1 用面积公式计算：S矩影ABcD=AB·AD=(m+I)(n+1). 用Pct定理计算：Sen=,+8,-1=m+[2(m+川+4]-1. 两种计算方法所得的结果都是：④· ∴.Pick定理对格点矩形成立， (3)【证明探究2】利用图3，证明对于ABC,PiCk定理是成立的. 任何一个格点三角形都可以内接在一个格点矩形中，使三角形至少有一个顶点恰好是矩形的顶点，图3是 最简单的情形， 设图3中矩形ABCD内部和边界上的格点数分别为Io,B。,边AC上不含端点的格点数为k, 设I,B分别表示ABC内部与边界上的格点数，则I=⑤；B=⑥；（用含I。,B。或k的代数式表示). 通过计第可得：1+8-1+风- 2SE形BcD=S.4BC .PiCk定理对图3所示的ABC成立 【拓展应用】利用图4，证明对于ABC,Pick定理也是成立的，证明过程略， 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①_；②_；③_； ④_；⑤_；⑥_ 15.(2026安徽安庆二模)综合与实践 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【项目主题】基于正多边形镶嵌原理的校园地面铺装设计， 【项月准备】(1)正边形内角度数；(2)平面镶嵌的核心条件，拼接在同一点的几个角的和恰好等于 360°. 【项目情况】学校计划对校园广场地面进行翻新，需要用正多边形地砖进行无缝不重叠的平面镶嵌.（密铺） 【项目任务】 初步探究： ()单一正多边形镶嵌 ①等边三角形每个内角为，360°÷该内角=正整数，因此等边三角形可以单独镶嵌. ②正五边形每个内角为_，360°÷该内角≠正整数，因此正五边形不能单独镶嵌， 实战应用： (②)两种正多边形的组合镶嵌.学校计划用等边三角形和正六边形的两种地砖进行组合镶嵌，解决： 实验步骤：第一步：明确两种正多边形内角，等边三角形内角上面已知，正六边形内角为_；第二步：建立 镶嵌方程.设在一个拼接点处，有m个等边三角形，个正六边形(m、n为正整数)，则满足方程 pm+9n=360°（p表示等边三角形的一个内角度数，q表示正六边形的一个内角度数)，化简方程得：m+ n=6,符合条件的正整数解为 m=,n=1 m=2,n=_ 16.(2026安徽池州二模)【问题提出】甲、乙两人轮流从一堆糖果中取糖果，规定每次至少取1颗，最多 取m颗，取到最后一颗者获胜.设初始糖果总数为，探究先手（先取糖果）或后手必胜的策略 【问题探究】请将下述材料中横线上所缺内容补充完整： ()基础情形验证：当每次最多取2颗(m=2)时，观察下表并总结规律： 糖果总数(n) 2 3 4 5 6 先手是否有必胜的策略 是 是 否 是 是 否 结论：当n为 的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略 (2)扩展情形分析：若每次最多取3颗(m=3), 当n=4时，先手取1颗（或2颗或3颗），后手相应可取3颗（或2颗或1颗）.因此后手有必胜的策略； 当n=5时，先手第一次取 颗，可迫使后手陷入必输状态. 结论：当n为 的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略 (3)数学归纳猜想：若每次最多取m颗(m≥2)，当n为 的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手 有必胜的策略.当m=9,n=2026时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择 (先手或后手)，你 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 第一次取 颗 17.(2026安徽合肥二模)项目式学习：从两正数和为定值，积最大探究到分蛋糕问题的研究 【材料阅读】我们计算了当两个正数和为定值，它们的积的大小对应规律，如下所示： ①30×30=900 35×25=875 43×17=731 52×8=416 ②50×50=2500 53×47=2491 74×26=1924 91×9=819 通过上述等式，得出结论：当两个正数和为定值时，两个数越接近，它们的积越大 【模型构建】 ●●●●●●●●● ● ● ）●●● ●●●●●●●●●●●●● 图① 图② 图③ (1)如图①，在一个网格图中用一根长为18m(每个格点之间代表1m)的绳子围成一个格点矩形（矩形的四 个顶点都在格点上)，则围成矩形中，面积的最大值是m2,画出该矩形示意图，若绳子长为2n,其中 n为奇数，则围成的格点矩形面积的最大值为 (用含n的式子表示)： 结论：当矩形周长为定值时，记矩形两边长分别为x,x2,令d=x,-x,矩形的面积S随d (填“增 大而增大增大而减小”或“不变”)； 【拓展应用】 (2)现准备分一块矩形蛋糕，规定只能沿着与蛋糕边缘垂直的方向横切或竖切，记切的刀数为，分割后蛋糕 块数为m,如图②，当n=2时，m=4,如图③，当n=3时，m=6;若共有26人分蛋糕，要保证至少每 人分一块蛋糕，则符合条件的n的最小值为· 18.(2026安徽阜阳·二模)【描述定义】用形状、大小完全相同的几种平面图形无空隙且不重叠地铺满整个 平面，称为平面密铺（或称为平面镶嵌）.在生活中，地砖、墙砖、蜂峰巢等都用到了密铺的原理. 【知识储备】 (1)对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是_（用含的式子表示）： (②)密铺的条件：公共顶点处所有角的和为一，并使相等的边重合. 【任务一：寻找密铺】 (3)下列正多边形中，能够单独密铺平面的是一；（多选） A.正三角形B.正方形C.正五边形 D.正六边形E.正八边形 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (4)公园的一段通道是用相同的五边形地砖拼铺而成的，图1是拼铺图案的一部分，图2为图1中抽象出的 一个五边形，其中∠C=∠E=90°，∠A=∠B=∠D,则∠A的度数为 【任务二：创作密铺】 图1 图2 (⑤)数学“挑战小组”提出同时用“正方形+正六边形”的密铺方案.请你思考并判断该方案是否可行，可进行如 下验证： 验证方案：“挑战小组”方案（正方形+正六边形）：设正方形x个，正六边形y个，得方程_，发现方程_（填“有” 或“无”)正整数解； 结论：由上可得，“挑战小组”方案_（填“可行”或“不可行”) 【任务三：资金预算】 (⑥某小区广场计划用不同的正多边形地砖组合密铺（边长相同）.己有正三角形地砖，现打算购买正方形和 正六边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺.已知1块正六边形地砖成本20元，1块正方形 地砖成本8元，1块正三角形地砖成本5元，且估算需要90块正方形地砖，请你设计出用三种正多边形共 顶点组合密铺方案，并计算铺设广场的总成本. 19.(2026安徽六安·二模)【项月主题】 某校数学社团开展“探索幻方”实践活动，旨在探究幻方的数式规律，并尝试将幻方制作应用于社团活动中， 203 25816 17 5 1321 9 6 1018 1422 23 619 215 图1 图2 【项目准备】 (1)幻方：是一种将连续自然数（或特定规则的数）填入正方形方格中的数学结构，满足以下数学条件： 每行数的和、每列数的和两条对角线上的数的和都相等，这个方格表就叫做幻方，相等的和叫做幻和。 (2)如图1是由1-9这9个数构造的一个三阶幻方(3×3方格). 【规律探究】 (1)观察图1，中心数是5，该三阶幻方的幻和S=15(即幻和等于中心数的3倍). 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 若将图1中每个数修改为1,1+n,1+2n,,1+8n得到一个新的三阶幻方，则新幻方的幻和S=_①_（用 含的代数式表示)： (2)若用m,m+1,m+2,.,m+8这9个连续正整数构造一个三阶幻方，则幻和S=_②_（用含m的代数 式表示). (3)如图2是由1~25这25个自然数构造的五阶幻方(5×5方格)，幻和S=65. 若将每个数修改为1,1+n,1+2n,.,1+24n,得到一个新的五阶幻方，则新幻方的幻和S=_③（用含 的代数式表示). 【项目分析】 为了更好地开展活动，吸引更多同学参加，数学社团需要制作一些幻方展板，具体要求如下： ①展板为3×3或5×5的方形塑料板各10个，②每个展板上贴一些写有数字的塑料片，要求整个展板构成 个三阶或五阶幻方，③展板上的数必须是从某一起始数开始的满足特定条件的自然数. (4现有两种备选方案： 方案一：用1,3,5,17这9个连续奇数构造三阶幻方共制作10套 方案二：用m,m+n,m+2n,m+3n,…,m+24n这25个自然数构造五阶幻方共制作10套. 当m=3,n=4时，方案二的幻和：S=④_ 每个展板的制作成本为20元，数贴纸费用为每个数字1元（即按数字的位数收费，如贴纸数字8是一位数收 费1元，贴纸数字37是二位数收费2元，贴纸数字123是3位数收费3元)，计算方案一总成本为⑤_元， 【项目实施】 (⑤)根据以上分析，若社团要求方案二的幻和为400，且最大数为152，则方案一和方案二的展板各10块的总 成本为_⑥_元 20.(2026安徽合肥·二模)项目式学习：探究正多边形内任意一点到各边距离之和的规律 提出问题：正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的边及内角有什么关系？ 探索发现；为了解决这个问题，我们不妨从最简单的正多边形-正三角形入手 如图①，ABC是正三角形，边长是a,P是ABC内任意一点，P到ABC各边距离分别为h,h,h, 确定h+h,+h的值与ABC的边及内角的关系， 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D C H E E 。P O P 4,以下是解决办法：（注意：其中④⑤⑥的 M G DM B B A A2 图① 图② 图③ 结果用含有三角函数的式子表示) ()设ABC的面积为S,显然S=)(么+血，+)设4BC的中心（正多边形各边垂直平分线的交点，又称 正多边形的中心)为O,连接OA、OB、OC,它们将ABC分成三个全等的等腰三角形，过点O作 OM⊥AB,垂足为M,易知∠CAB=①_，∠OAB=②_，所以OM=AM tan∠OAB ≈atan30°，所以S=3Sos=3x×AB×OM=3×2a×2aan30°=4a2tan30°，那么 3 ah+h+h=aan30°，所以h+h+%=亏atan30 4 类比探究 (②)正五边形的一个内角度数为③ (3)正五边形（边长为a)内任意一点P到各边距离之和h+h2+h+h,+h=④」 (4)正六边形（边长为a)内任意一点P到各边距离之和h+h+h+h,+h+h。=⑤_ 问题解决 (⑤)正n边形（边长为a)内任意一点P到各边距离之和h+h2+h+…+hn=⑥_ 21.（2026安徽合肥二模)2026马年春晚的合肥分会场，22580架无人机腾空而起，列阵翻飞，碰撞出科 技与人文的璀璨火花， 一个无人机表演的兴趣小组打算设计无人机表演的图案，他们通过调查了解到：无人机在升空表演时，为 了确保安全，两架无人机之间的距离不能小于1.5米；为了展现出图案的整齐和连贯，两架无人机之间的距 离不能超过2米，否则会太松散而影响视觉效果.兴趣小组将不小于1.5米且不超过2米的距离叫做“表演距 离”，为方便分析，无人机大小忽略不计. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) 【线段图案】兴趣小组先研究最简单的图案“线段”.为了能让无人机群在空中展现出一条线段，需要让多架 无人机按照一定的间距排列在一条直线上，如图(1)，每个点都表示一架无人机，所有的点都位于同一条 直线上，两端的无人机表示线段的两个端点. 若要在空中展现出一条长度为10米的线段，端点处各有一架无人机，相邻两架无人机之间的距离都相等， 并且都满足“表演距离”的要求，那么最多需要多少架无人机？最少需要多少架无人机？兴趣小组的解决方法 如下： 设需要n架无人机，可列出不等式组 220”,解得6≤0≤号所以设多需要7架无人机，超少需要 1.5(n-1)≤10 6架无人机. 【正方形图案】兴趣小组研究让无人机群在空中展现出正方形图案，正方形的四个顶点处各有一架无人机， 每条边上都有多架无人机按照一定的间距排列，如图(2)，每个点都表示一架无人机，相邻两架无人机之 间的距离都相等，并且都满足“表演距离”的要求 (1)若要在空中展现出一条边长为10米的正方形，那么最多需要 架无人机，最少需要 架无人 机. 兴趣小组认为单独的正方形图案太单调，于是设计出如图(3)的图案.该图案由多个全等的正方形组成， 并且相邻的两个正方形有一条公共边，每个点都表示一架无人机，相邻两架无人机之间的距离都相等，并 且都满足“表演距离”的要求。 (2)若正方形的边长为15米.当正方形的个数为4时，最少需要 架无人机；当正方形的个数为m时 (m为正整数)，最少需要 架无人机 【等边三角形图案】兴趣小组研究让无人机群在空中展现出等边三角形组成的图案，如图(4)，由三个全 等的等边三角形组成，三个等边三角形有一个公共顶点，每个点都表示一架无人机，相邻两架无人机之间 的距离都相等，并且都满足“表演距离”的要求 (3)若兴趣小组一共有124架无人机，他们用全部的124架无人机展现出图(4)中的图案，那么等边三角形 每条边上有 架无人机，整个图案的面积最大是 平方米. 22.(2026安徽二模)项目式学习 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【项目主题】教室内学生储物柜的制作方案 【项目背景】为了便于学生储存物品，学校组织老师、学生和家长到微艺家具厂考察，准备为学生订购一 批储物柜， 【项目分析】考察小组在家具厂的展厅选中一种储物柜如图所示，其中单组(1组)连体的左、右侧面和后 侧面是由3张40×90(cm2)组件①构成，前侧面是由3张40×30(cm2)组件②构成，上下底面和中间的隔板 是由4张40×40(c2)组件③构成.若多组连体，则储物柜各组间共用一张组件①. ② 40×30 ① ③ 40×90 40×40 1组连体 2组连体 3组连体 图1 通过观察，小明填写了下表： 1组连体 2组连体 3组连体 组件①的张数 5 7 组件②的张数 3 6 9 组件③的张数 P 12 (I)由表中已知数据，请你直接写出p,q关于n的代数式：p= 9 【项目实施】 (2)按有关政策规定，每个班级的学生数不超过45人.已知每组连体柜能为3名学生提供储存服务，若学校 要为每个班级按45人标准配置这种n组连体储物柜，n组连体柜的价格为100n+50)元.则每个教室的连 体柜需要的费用为元，若学校配置20个班级，则学校共需支付连体柜的总费用为元. (3)徽艺家具厂购进了100张120×200(cm2)的板材，每张板材制作有两种方式可选.如图，方式一可制作5 张组件①和5张组件②；方式二可制作组件③15张.对此100张板材设计制作方案，使制作的组件③的数 量是组件①的数量的2倍，则符合要求的制作方案：按方式一制作需要张板材，按方式二制作需要 张板材. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ② ③ ① 方式 方式二 图2 23.(2026安微马鞍山二模)点A,点B是两个距离为300m的小区.现有甲，乙，丙，丁四个人以相同的 速度沿着不同的路线从A走到B. P P ① ② ③ A 图1 图2 ① ① ②③· A 0 030.- C1 C2 C3 C-1 B 图3 图4 D ①入G ② H ③ T④ E 图5 (1)如图1，甲同学沿着线段AB行走，结果最先到达点B,其中的数学原理是·如图2，图①、图②、 图③是三个大小相同的等边三角形，乙同学沿着A→P→Q→P,→Q2→P→B的折线路线行走，则乙同 学运动的路线长为 m. (2)如图3，图①、图②、图③、.、图叵是n个等边三角形n≥2)，丙同学沿着 A→P→Q→P→Q2→P→Q3→…→0n1→Pn→B的折线路线行走；如图4，图①、图②、图③..、 图⊙是m个半圆(m≥2)，丁同学沿着A→C,→C2→C,→…→Cm1→B的曲线路线行走，则丙同学与丁 同学谁先到达点B.请通过计算说明理由.（π≈3.14） (3)如图5，为提升公共健康和改善生态环境.政府决定在A,B两个小区附近的空地修建公园（长方形 ABCD),并在图①、图②、图③、图④四块空地上栽种植物.己知图①的面积为23m,图②的面积为 174m2,图③的面积比图④的面积大37m,请求图④的面积. 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 24.(2026安徽六安，二模)观察以下等式： 第1个等式：1×3=42-13： 第2个等式：2×4=52-17： 第3个等式：3×5=62-21： 第4个等式：4×6=72-25； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数），并证明. 25.(2026安徽合肥二模)综合与实践： 某中学为了让学生增加课外阅读的机会，计划修建一条读书走廊，并准备用若干块带有圆形花纹和没有圆 形花纹的两种大小相同的正方形地砖搭配在一起，按如图①所示的排列方式铺满走廊，己知每块正方形地 砖的边长均为0.7m. 【观察思考】 当带有圆形花纹的地砖只有1块时，没有花纹的地砖有8块（如图②）；当带有圆形花纹的地砖有2块时， 没有花纹的地砖有13块（如图③)：…；以此类推。 宽 长 图① 图② 图③ 【规律总结】 (1)按图示规律，第一个图案（图②）的长为 m,第六个图案的长为 m; (2)若这条走廊的长为L,带有圆形花纹的地砖块数为n(n为正整数)，则L=m(用含的代数 式表示)： 【问题解决】 (3)若要使走廊的长L,不小于91，则至少需要带有圆形花纹的地砖多少块？ 26.（2026安徽阜阳二模)【观察思考】如图，“五一”劳动节期间，政府广场上用盆景（用“口”表示）和花卉 (用“口”表示)组成图案. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 □ 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 【规律发现】 ()第7个图案中盆景的盆数为 (2)第n个图案中花卉的盆数可表示为 (用含的式子表示)： 【规律应用】 (3)若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共121盆，求该图案中盆景和花卉各有多少盆. 27.(2026安徽芜湖·二模)综合与实践 【项目主题】 班级劳动实践小组拟用正方形和圆形两种花盆架为花卉展览设计整体轮廓为等腰直角三角形形状（虚线图 形)的花卉展览架。 【项目准备】设计如图所示的花卉展览架中正方形花盆架边长为1，每个正方形花盆架中放置一盆盆景， 每个圆形花盆架中放置一盆花卉，同学们已经知道数学公式：1+2+3++n=n+ (n为正整数) 口 I 第1个展览架图 第2个展览架图 第3个展览架图 第4个展览架图 【项目分析】 第1个展览架中花卉的盆数为1，盆景的盆数为3： 第2个展览架中花卉的盆数为2+3，盆景的盆数为6： 第3个展览架中花卉的盆数为5+6，盆景的盆数为10； 第4个展览架中花卉的盆数为9+10，盆景的盆数为15； … 【项目实施】 按照以上规律，解答下列问题： ()第5个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为 (②)第n(n为正整数)个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为； 1/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)若展览架中花卉比盆景多43盆，求展览架等腰直角三角形（虚线图形）的斜边长 28.(2026安徽阜阳·二模)学校数学社团开展探究活动，研究了9m(m为正整数)的数字规律”的问题.社 团学生将探究的部分信息整理如下： 当2≤m≤9时，记9m=ab,ab表示两位数10a+b,即9m=10a+b, 当m=2时，9×2=10×1+8； 当m=3时，9×3=10×2+7； 当m=4时，9×4=10×3+6； 按照上述规律，完成下列问题： (1)①9×6=10× ②根据一般形式9m=10a+b,猜想a,b,m的关系：直接写出a= ，b= ；(用含m的代 数式表示) (2)请证明上述猜想的正确性， 29.（2026安徽阜阳二模)综合与实践 【问题背景】研究利用图形的面积求几个分数的和 【实践操作】如图1，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为，的矩形；接着把其中一个面积为，的矩 形等分成两个面积为子的正方形：再把其中一个面积为号的正方形等分成两个面积为令的矩形；如此进 行下去； ① 图1 图2 【问题解决】 (1)图1中，正方形①的面积是 矩形②的面积是 11L+L+的值： (2根据图形规律求2十4十8十16+32 一 1,1L+1+1的值的几何图形： (3)在图2中，再设计一个能求。+二+。+ 十 2481632 【拓展延伸】 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (④参考上述方法，直接写出+4+16+ 。十 525125 30.(2026安徽马鞍山二模)我们知道能被3整除的数的规律，设abc是一个三位数，若a+b+c可以被3 整除，则这个数就能被3整除， 例如，三位数108，：a+b+c=1+0+8=9,9可以被3整除，：108就能被3整除。 【发现】将三位数abc去掉末尾数字c得到两位数ab,再用ab减去c的2倍所得的差为ab-2c·若ab-2c能 被7整除，则三位数abc就能被7整除， 【验证】如，对于三位数364,36-2×4=28,28可以被7整除，·364就能被7整除. (1)用上述方法判断455能否被7整除？ 【探究】(2)请用含a,b,C的代数式表示ab-2c=-; (3)结合(2)论证“发现”中的结论正确 【迁移】(4)下列结论正确的是_·（填序号） ①在三位数abc中，若满足a-b+c是11的倍数，则abc是11的倍数： ②在三位数abc中，若满足a+b-c是11的倍数，则abc是11的倍数； ③在三位数abcd中，若满足a+b-c+d是11的倍数，则abcd是11的倍数； 31.(2026安徽毫州·二模)某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列 而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列. 【观察思考】当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时， 等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推。 XXX.XX☒X☒X☒ 图1 图2 图3 【规律总结】 (①)人行道上每增加1块正方形地砖时等腰直角三角形地砖增加 块； (②)若一条这样的人行道有（为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为 块； (用含的代数式表示) 【问题解决】 (3)现有2026块等腰直角三角形地砖，按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需 要正方形地砖多少块？ 32.（2026安徽宿州二模)项月主题：基于正多边形镶嵌原理的校园地面铺装设计. 项目准备：(1)正边形内角和度数： 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)平面镶嵌的核心条件，拼接在同一点的几个角的和恰好等于360°（周角）. 项目情况：学校计划对校园广场地面进行翻新，需要用正多边形地砖进行无缝不重叠的平面镶嵌.（密铺） 项目任务：(1)初步探究：单一正多边形镶嵌. ①等边三角形每个内角为①，360°÷该内角=正整数，因此等边三角形可以单独镶嵌. ②正五边形每个内角为②，360°÷该内角≠正整数，因此正五边形不能单独镶嵌， (2)实战应用：两种正多边形的组合镶嵌.学校计划用等边三角形和正六边形的两种地砖进行组合镶嵌， 解决以下问题： 实验步骤；第一步：明确两种正多边形内角，等边三角形内角上面已知，正六边形内角为 ③ ;第二步：建立镶嵌方程 设在一个拼接点处，有m个等边三角形，n个正六边形(m、n为正整数)，则满足方程pm+qn=360°(p表 示等边三角形的一个内角度数，9表示正六边形的一个内角度数)，化简方程得：m+_④n=6,符合 m=_⑤，n=1 条件的正整数解为 m=2,n=⑥ 项目实施：根据以上分析请将上述材料中横线上所缺内容补充完整. (1)① ；② (2)③ ;④ ；⑤ ⑥ 33.(2026安徽二模)综合探究 【提出问题】将数字1,2,3,4,5组成一个三位数和一个两位数，每个数字仅用一次.怎样分这5个数字， 使组成的两个数的乘积最大？ 【分析问题】 ()简单情况：用三个不等的非零数字a,b,c组成一个两位数和一个一位数，每个数字仅用一次，怎样分 这3个数字，使组成的两个数的乘积最大？ 下边是一个两位数与一个一位数相乘的竖式图，其中Q,b,c是互不相等的正整数. ab @ 若c为已知数，要使得abxc最大，则a,c乘积越大越好，故a>b; 若b为已知数，要使abxc最大，则b,c乘积越大越好，故a①C; 若a为已知数，要使abxc最大，则a,C乘积越大越好，故b②c.(以上用“><”填空) 因此，若ab×c最大，则a,b,c从大到小排列应为③ 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (注：ab表示十位数为a,个位数为b的两位数，即ab=10a+b.) (2)拾阶而上：用四个不等的非零数字a,b,c,d组成两个两位数，每个数字仅用一次，怎样分这4个数 字，使组成的两个数的乘积最大？ 类似上面的分析过程可以知道，若使acxbd最大，则必有a>c,b>d,a>d,b>c 据此可知，满足题意的两个两位数，十位上的数字必是Q,b,C,d中较大的两个数，个位数字是较小的 两个数， 不妨设a>b>c>d，,下面比较ac×bd与ad x bc的大小. ac×bd-ad×bc=(10a+c10b+d-(10a+d)(10b+c -④.」 完成上面的比较过程，从而得出：用1,2,3,4组成两个两位数，每个数字仅用一次，若这两个数乘积最 大，则这两个数分别是⑤ a c (3)得到结果：不妨将图中的ab,de分别看作A,B,同时考虑到abx ae最大，根据上面的分析过程，我们 有：若图中的abcx de最大，则五个不同的非零数字a,b,c,d,e按由小到大排列应该为⑥ e 【解决问题】 (4)根据以上分析，将数字1,2,3,4,5组成一个三位数和一个两位数，每个数字仅用一次，组成的两个 数乘积的最大值为⑦ 【迁移应用】 (⑤)请利用下表所给5个不同的数字，按上面的要求，组成一个三位数和一个两位数，使这两个数的乘积最 小. 五个数字 3 4 5 6 7 34.(2026安徽芜湖·二模)【阅读】 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立 相等关系，我们把这一思想称为“算两次”.“算两次”也称为富比尼原理，是一种重要的数学思想. ●●：●：●r●：● ● ●：●●i●：● ● ●● :●i●● i●● ●●●●● ●●●●● 图1 图2 图3 图4 ()【理解】 如图1，两个直角边分别为α，b的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形.用两 种不同的方法计算梯形的面积，并证明勾股定理； (2)如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n2= (3)【运用】 n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以(m+n)个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多 可以剪得y个这样的三角形.当n=3,m=3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y=7. ①当n=4,m=2时，如图4，y= ;当n=5,m= 时，y=9; ②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y= (用含m,n的代数式表 示).请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立， 35.(2026安徽准北二模)【题目背景】 一些球被分成了许多堆，我们可以任意选择甲、乙两堆按照以下规则挪动：若甲堆的球数P不少于乙堆的 球数9，则从甲堆拿q个球放到乙堆去，这算是挪动一次.继续这个过程，总可以做到经过有限次挪动把所 有的球合并成至多两堆. 例如：当a=1,b=9,c=40时，操作方案如表所示： 操作步骤 A B 第一步：B→A,挪动1个球 1+1=2 9-1=8 40 第二步：C→A,挪动2个球 2+2=4 8 40-2=38 第三步：C→A,挪动4个球 4+4=8 8 38-4=34 第四步：B→A,挪动8个球 8+8=16 8-8=0 34 【解决问题】 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)若初始状态为a=1,b=22,c=27.按照以下策略操作： 第一步：选择C堆向A堆挪动 个球，挪动后A堆变为 个： 第二步：选择B堆向A堆挪动 个球，挪动后A堆变为 个 将操作步骤简记为：第一步：C→A,挪动1个球；第二步：B→A,挪动2个球： 则补全第三步： ；第四步： ;第五步： 在挪动的5次中，第k次需挪动 个球（用含k的代数式表示）. 【拓展应用】 (2)若初始状态为a=2,b=14,c=34.小明经过若干次操作后，发现可以将三堆球合并为两堆（即其中一 堆球数变为0).请写出一种可行的操作方案 操作步骤 A B C 第一步：B→A,挪动 2+2=4 14-2=12 34 2个球 第二步：B→A,挪动 4+4=8 12-4=8 34 4个球 第三步：B→A,挪动 8+8=16 8-8=0 34 8个球 36.(2026安徽阜阳二模)【问题输入】如图1，在a×b×c（长×宽×高，其中a,b,c为正整数)个小立 方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？ 【探究一】 如图2，在2×1x1个小立方块组成的长方体中，棱B上共有1+2=23-3（条）线段，棱AC,4D上分 2 别只有1条线段，则图中长方体的个数为3×1×1=3： 国、在3x1x1个小立方类粗碳的长方体中，陵4上共有1+2+3-34=6（条）袋段，棱4C,A0上 分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6×1×1=6； 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 图3 图4 图5 图6 图7 图8 图9 )以此类推，如图4，在a×1x1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2++a-a口+刊（条)线 2 段，棱AC,AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为①_； 【探究二】 如图5，在a×2×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上有a口+条线段，棱4C上有1+2=23=3（条） 2 2 线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为a(a+×3×1-3a(a+ 2 (2如图6，在aX3×1个小立方块组成的长方体中，棱4B上有0+条线段，棱AC上有 2 1+2+3=3×4=6(条)线段，棱4D上只有1条线段，则图中长方体的个数为2： 2 3)以此类推，如图7，在a×b×1个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为③： 【探究三】 如图8，在2×b×2个小立方块组成的长方体中，棱上有条线段，棱上有条线段，棱上有1+2=23-3（条） 2 线段，则图中长方体的个数为(a+xbb+山x3=3ab(a+lb+山， 2 2 4 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (④如图9，在a×bX3个小立方块组成的长方体中，棱4B上有口+刊条线段，棱4C上有b6+刊条线段， 2 棱AD上有1+2+3=3X4=6(条)线段，则图中长方体的个数为@， 2 【结论归纳】 (⑤)如图1，在a×b×c个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为⑤， 【学以致用】 (⑥在2×2×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为⑥ 37.(2026安徽池州二模)【资料阅读】(25=(x+1(x+2) 史料：如图1，是我国南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》一书中出现的，称为“杨辉三角”.据 资料记载，此图是杨辉取自贾宪所著《释锁算书》，故也称“贾宪三角”.欧洲人帕斯卡在1654年也有类似的 发现，称为帕斯卡三角形”，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年.杨辉三角是一种离散型数与形的结合，把 组合数内在的一些规律直观地从图形中体现了出来，是中国古代数学的杰出研究成果之一· 规定：若a≠0，则a°=1. 左积右隅 本积○ 商除口 平方白白只 立方Q自自 三乘白四 四乘 ⊕① 五乘DD因 命 以 中 方 左 实 廉 藏 裹 裹 乘 3 肪 商 皆 隅 积 之 方 廉 数 图1 【问题探究】 (1)将“杨辉三角”简化为图2，按照规律： ①第8行添加的数分别为 ;（相邻两数之间要用“，”分隔开) ②第100行的数之和用幂可以表示为 (2)如图3，分别画出7条斜线，并计算出了每条斜线经过的数之和.若继续画出第10条斜线，该斜线经过 的数之和为 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 杨辉三角 第0行 1 第1行 第1条 第2行 第2条 第3条 第3行 第4行 第4条 4 6 第5条 4 1 第5行 10105 第6条 5 10 1051 第6行 16 15201561 第7行17 2135352171 第7条十 6 15201561 图2 图3 (3)【拓展延伸】结合“问题探究”中问题(2)揭示的规律，作如下正方形（数字即为正方形的边长）： 11 利用上面的正方形按一定规律建构如下长方形，并依次记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④ 12 3 ① ② ③ ④ 按照这样的规律继续建构长方形，则长方形①的周长为 38.(2026安徽阜阳·二模)【综合与实践】中国镶嵌工艺萌芽于新石器时代，经商周、汉代发展，至明清达 顶峰，广泛用于家具、首饰、建筑工艺中的镶嵌，传承着东方美学与匠心精神. 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 - 图3 图4 图5 图6 图7 (I)如图1，在口ABCD中，AB=4,AD=5,∠BAD=60°，图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射 线AD方向平移而成，其中，平移的距离是 同理，再进行一次切割平移，可得图3，即图4 可以看成由平行四边形经过两次切割平移而成。我们可以用若干个如图4所示的图形，平面镶嵌成如图5 的图形，则图5的面积是 (2)小微家浴室装修，在墙中央留下了如图6所示的空白，经测量可以按图7所示，全部用边长为1的正三 角形瓷砖镶嵌.小徽调查后发现：一块边长为1的正三角形瓷砖比一块边长为1的正六边形瓷砖便宜30元； 用600元购买正三角形瓷砖与用2400元购买正六边形瓷砖的数量相等. ()请问两种瓷砖每块各多少元？ ()小徽对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为1的正三角形瓷砖和边长为1的正六边形瓷砖一起 镶嵌总费用会更少，按小徽的想法，将空白处全部镶嵌完，购买瓷砖最少多少元？ 39.（2026安徽蚌埠二模)【观察思考】如图所示，是用图形“O”和“●”按一定规律设计的图案. ① ② ③ ④ (1)【规律发现】第⑥个图案中“●的个数为-，第个图案中“●”的个数为_（用含n的代数式表示）： @【#发别】第0个图案中0的个数可表示为'2，第2个图案打0的个数可衣示为2，克3个 2 图案中0的个数可表示为，第@个图案中0的个数可表示为45，，第@个图案中0的个数 为_，第n个图案中“O”的个数为_（用含的代数式表示）： 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ③)【规律应用】按照此规律继续摆下去，第n个图案中的0的个数是“●个数的倍，求的值。 40.(2026安徽铜陵·二模)观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)认真观察，并在④后面的横线上写出相应的等式. 海海 。。 。。。 。年● 01日1②1+2+2x2=3③1+231+3x3=6④. 2 2 (2)结合(1)观察下列点阵图，并在⑤后面的横线上写出相应的等式. 。。。”/来 。。/。。 /。。。。 。。。。 集意集集意 1=12②1+3=22③3+6-32④6+10=42⑤ (3)通过猜想，写出(2)中与第n个点阵相对应的等式 41.(2026安徽阜阳·二模)(1)【探究】观察下列算式，并完成填空： 1=12 1+3=4=22 1+3+5=9=32 1+3+5+7=16=42; 1+3+5…+(2n-1=·(n是正整数) (2)如图是某市一广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板 砖，周围是正方形和正三角形的地板砖，从里向外第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖；第二层 包括6块正方形和18块正三角形地板砖；以此递推. ①第3层中分别含有 块正方形和 块正三角形地板砖； 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②第n层中分别含有 块正方形和块正三角形地板砖（用含n的代数式表示). (3)【应用】 该市打算在一个新建广场中央，采用如图样式的图案铺设地面，现有1块正六边形、150块正方形地板砖， 问：铺设这样的图案，还需要多少块正三角形地板砖？请说明理由。 42.(2026安徽合肥二模)我国古代数学的许多发现都位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中之一.如 图2，杨辉三角给出了(a+b)(n为正整数)的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序排列）.例如， 在三角形中第三行的三个数1,2,1，恰好对应(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个 数1,3,3,1，恰好对应着(a+b)3=a3+3ab+3ab2+b3展开式中各项的系数等 …(+b) …(a+b)2 …(☑+b)3 图1 图2 (I)按上述规律，(a+b)展开式中共有_项，第三项是_： (2)请直接写出1+y)的展开式_-· (3)利用上面的规律计算： 26+6×2×( +15×2*x(-2+20x27x(-+15×2×(2+6x2x(-2+(- 考点04 阅读理解/新定义 一、 单选题 1.(2026·安徽芜湖·二模)定义：在平面直角坐标系x0y中，对于某函数图象上的一点P,先向右平移1个 单位长度，再向上平移n(>0)个单位长度得到点Q,若点Q也在该函数图象上，则称点P为该函数图象的 “倍平点”.例如，对于y=2x上一点(1,2)，先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点 x2-4x+3(x≥0 (2,4),也在y=2x图象上，则称点(1,2)为y=2x图象的“2倍平点”.则函数y= -x2-4x-3x<0】 图象的 “3倍平点”的坐标是() 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.(3,0 B.（-4,3) C.(3,0)或(-1,0)或(-4，-3 D.（-3,0)或(-4,3) 二、填空题 2.(2026安微六安·二模)己知两个整式M=x+y,N=x-y,将整式M与整式N求和后得到整式A=2x ·此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果A加上M+2N的结果记为A,记作第二次求和操 作；将第二次求和操作的结果A加上2M+3N的结果记为A,记作第三次求和操作；将第三次操作的结果 A加上3M+4N的结果记为A,记作第四次求和操作，，以此类推.根据以上材料，回答下列问题： (1)计算：A,= (用含x,y的代数式表示)； (2)当n为大于3的正整数时，(A,-A)[(m-2)x2--(m-)y]+xy*是关于，y的五次三项式（其 中m和k均为整数且m+k>3),则m+k的值为 3.(2026安徽阜阳·二模)在中国传统文化中，数字9”寓意着吉祥、尊贵与长久.现有如下运算规则：从1， 2,3,,9这九个数字中任取一个数字，先将选取的数字乘以3，再加上3，最后将结果乘以3. (1)若选取的数字为n1≤n≤9)，则运算结果为 (2)无论选取的数字是19中的哪个数，按照上述规则运算后，将这些数的个位与十位数字相加，最终得 到的结果恒为 311 4.(2026安微池州二模)若非负实数a可以表示成两个连续自然数的倒数差，例如， ’所以是 第1个阶隆数石有所以哈起第个1卧装数，方所以 是第3个1阶倒差数”…， 12 即a=11 那么我们称a是第n个“1阶倒差数；同理，b=1-1 nn+1 一元n十2'那么我们称b为第n个2阶倒 差数” (1)第9个“1阶倒差数”是 （2)若x,y均是由两连续侧数组成的2阶倒差数，且上12，则x=· x y 5.(2026安微宿州二模)己知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,定义该方程两 根的关联值M=x+x2+xx2· 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)若x2-5x+6=0,则关联值M为 (2)已知关于x的方程x2-(n+2)x+2n=0(n为整数，n≥1)，若该方程关联值M满足1<M≤2026.则 符合条件的整数的和为 6.(2026安徽马鞍山二模)定义：若x,y满足x2=4y+t,y2=4x+1且x≠y(t为常数)，则称点M(x,y)为 “和谐点”. (1)若P(3,m)是“和谐点”，则= （2)若双曲线)-兰（3<<-)存在“和造点”，则k的取住范国为 7.(2026安微阜阳·二模)如果一个四位自然数abcd的各数位上的数字互不相等且均不为0，且满足 a2=b+c+d,那么称这个四位数为“平方分解数”；例如：四位数3162，因为32=1+6+2，所以3162是平 方分解数”；四位数4231，因为42≠2+3+1，所以4231不是“平方分解数”. (1)若ab52是“平方分解数”，则这个数最大是 (2)四位自然数M是“平方分解数”，将“平方分解数M”的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数 字对调，得到新数N,若M+N+44能被33整除，则满足条件的M的最大值为 8.(2026安徽合肥二模)在一个游戏中，玩家需要对一个正整数进行操作.对于正整数a,根据a除以5 的余数，分以下五种情况得到另-个正整数b:若余数为0，则b=?若余数为1，则6=3；若余数为2， 则b=a+2;若余数为3，则b=2a-1;若余数为4，则b=a-3.这种得到b的过程称为对a进行一次“游 戏操作”.对所得的数b再进行一次操作称为对Q进行二次操作，依此类推. (1)对正整数20进行三次操作，得到的数为。 (2)若对正整数a进行二次操作得到的数为2，则所有满足条件的a的值之和为 9.（2026安徽合肥二模)我们约定，在平面直角坐标系中，对于不同的两点P(x,,)、Q(x2,y2),如果满 足y-x=2-2,那么称P、Q两点互为等差点”. (1)在点A(2,-1)、B(1,4)、C(-2,-1中，与点D(-1,2)互为“等差点”的是点； (2)已知点E在直线y=x-2上，点F在第一象限且在双曲线y=-1（k为常数，且k>1)上，E、F 两点互为等差点”，那么F点的坐标是 (用含k的代数式表示) 10.(2026安徽合肥二模)已知整式M=ax"+an-x"-+…+a,x+a,其中n,an,aa-1,am-2,,a1, a均为正整数，且a。+4+…+a-1+an=6.若对任意n都有a,-a-≤1，且偶数次项系数之和等于奇数次 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 项系数之和， (1)若n=1,满足条件的整式M为 (2)若n=3,所有满足条件的整式的和为 11.(2026安徽六安二模)考拉兹猜想（又叫3+1猜想），是指对于每个正整数，如果是奇数，则对它乘 以3再加1；如果是偶数，则对它除以2.如此循环，最终得到1为止，例如对于正整数3，第①次变换得 到10，第②次变换得到5，第③次变换得到16，第④次变换得到8，第⑤次变换得到4，第⑥次变换得到2， 第⑦次变换得到1，结束. (1)对正整数7进行四次变换，得到的数为 (2)若对正整数n进行⑦次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 12.(2026安徽阜阳·二模)进位制中“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.为了区分不同的进位 制，常在数的右下角标明基数（十进制数一般不标）. abc表示进制数从右起，第一位为c,第二位为b,第三位为a.一个数可以表示成各数位上的数字与 基数的幂的乘积之和，例如：十进制数325=3×102+2×10+5×10°；二进制数 (1011,=1×23+0×22+1×2+1×2°=11. (1)二进制数(11010)，转换为十进制数等于 (2)十进制数862转换为八进制数为 13.(2026安徽合肥二模)对于一列互不相同的整数，我们按以下规则进行操作：从这一列数中任意取走 两个数，求出这两个数的和或者差，把求得的结果连同余下的整数，组成新的一列数.重复这样的操作， 直到这一列数只剩下一个数为止，我们把最后剩下的数叫做这列数的“终止数”.以数列1,2,3为例：初始 数列有3个数，需要操作2次得到终止数；第1次操作：取走1和2，计算和为1+2=3，余下的数为3，组 成新数列3,3；第2次操作：取走两个3，计算差为3-3=0，最终得到终止数0；也可选择其他操作方式： 第1次取走1和3，计算和为1+3=4，余下的数为2，组成新数列2,4；第2次操作取走2和4，计算和为 2+4=6,最终得到终止数6.由此可见，同一列数通过不同的操作，可以得到不同的终止数.完成下面探 究： (1)现有一列整数：1,2,3,4.其最大的负“终止数”是 (2)2,9,5,7,a,b,c,14为互不相同的正整数列，如果这一列数的“终止数”最大为61，则abc的最大 值是 14.(2026安徽芜湖·二模)如果一个两位数的十位数字与个位数字的乘积等于这两个数字的和，那么我们 称这样的两位数为“积和数” 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)写出该“积和数”： (2)类似的，对于一个三位数，如果百位数字是1，并且三个数位上的数字之和等于这三个数字之积，那 么我们称这样的三位数为“特殊积和数”，请找出所有符合条件的“特殊积和数”： 15.(2026安徽芜湖·二模)对于正整数x,定义其“交替差”运算如下：将x的各个数位上的数字按降序排列 得到数A,按升序排列得到数B,定义T(x=A-B,例如：x=3021,降序排列：A=3210,升序排列： B=0123=123,则T(3021=3210-123=3087. (1)计算：T(5172)=; (2)如果一个三位数m,三个数位上的数字均不相同，T(m)=792,且m的十位数字比个位数字大2， 则m=·（写出所有满足条件的m) 16.（2026安徽阜阳·二模)对正整数n定义相同的“奇偶变换”规则：若n为奇数，则变换后的数为： m=3+1,若为偶数，则变换后的数为：m分这种得到m的过程称为对进行一次变换，对所得的 数m再进行一次变换称为对进行二次“变换”，以此类推. (1)对正整数7进行三次“变换”，得到的数是 (2)若对正整数n,经过三次“变换”后得到的数等于n本身，则所有满足条件的n为 17.(2026安徽滁州二模)对于任意一个正的四位数m,若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的 数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“双倍数”，例如：m=3507,因为3+7=2×(5+0)， 所以3507是“双倍数”；m=4135,因为4+5≠2×(1+3)，所以4135不是“双倍数”. (1)最大的双倍数”是 (2)对于“双倍数”，其十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被6 整除，则满足以上条件的所有n之和是 18.(2026安徽宣城二模)对于平面直角坐标系中的点M(a,b),若a,b满足条件a-b=10,则称点 M(a,b为“全点”.例如点(-4,6)，：-4-6=10，·.（-4,6)是“全点”.根据上述材料完成下面的问题： (1)若一次函数y=x+m的图象上有无数个“全点”，则m的值为 (2)若二次函数y=x2-mx+m+1的图象上有且只有两个“全点”，分别记作(x,1),（x2,y2,且2=2y, 则m的值为 考点05 几何折叠与旋转 、 单选题 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.(2026安微阜阳·二模)如图，现有正方形纸片ABCD,点E,F分别在边AD,BC上，将正方形沿EF 折叠，使点C落在AB边上的C处（点C不与点A,B重合），点D落在D处，CD交AD于点G,连接 CG交EF于点H,连接CC',当AB=3BC=6时，现有以下结论：①*FBCED'G,②sin∠DEG=3 ③DE=4, S.aME.-1 S CHF 3·上述结论正确的是() D G E..D A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 2.(2026安微阜阳二模)如图，己知Rt△ACB中，∠ACB=90°，CB=2CA=2,点D为BC边中点.矩形 ECOP中，CE=1,CQ=3,将矩形ECOP绕点C按顺时针方向旋转一周，则有() D A.当线段DQ达到最长时，线段BQ对应的长度为4 B.当线段DQ达到最短时，线段BP对应的长度为√ C.当线段DQ达到最长时，线段BP对应的长度为√26 D.当线段DQ达到最短时，线段BQ对应的长度为2 3.(2026安徽马鞍山二模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=1,AB=2.将ABC绕点A旋转， 使点C的对应点C落在BC上，点B的对应点为B,则CC'的长度是() B B 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.5 B.1 C.5 D.25 5 5 4.(2026安微阜阳二模)如图，边长为2的菱形ABCD中，∠A=120°，点P为AD边的中点，点E为CD 边上一动点，连接PE,将PE绕点P顺时针旋转60°得PF,连接BF,CF,则下面说法错误的是() D A.BF+CF的最大值是2V3 B.BF的最大值是√万 C.BF+CF的最小值是√万 D.CF的最小值是 2 5.(2026安微六安二模)己知平行四边形ABCD中，LA=45°，4B=3,AD=√2，点E在CD边上， △BCE沿BE折叠得△BC'E,下列结论正确的是() D A B A.当BE⊥CD时，DC'=2 B.当C落在CD边上时，am∠BCE= C.当C落在AB边上时，△BC'E的面积为√2 D.CD的最小值为5-√2 二、填空题 6.(2026安徽阜阳·二模)如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上一动点，将△ABE沿着直线AE翻折， 得到△AFE,连接DF,CF. D (1)若点G为CD的中点，连接AG.当∠DFC=90°时，∠EAG=; 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2) DF的最大值是 C 7.(2026安微阜阳二模)如图，在正方形ABCD中，G是AD上任意一点，连接CG,B与E关于CG对称， CG延长线与ED延长线交于点F,连接BE交CG于点P, B (1)∠F度数为°； (2)若点D是EF中点，CE=10,则PF的长为· 8.(2026安微六安：二模)如图，现有矩形纸片ABCD,AB=9,点E是AD的中点，连接BE,将△ABE沿 着BE翻折得到△BEF. D G 图1 图2 (1D如图1，若点F在边BC上，则 C 2》刻图2，若EF与BC相交于点H,延长DC,F相交于点6，且C号则FH:一 9.(2026安徽阜阳·二模)如图，在平行四边形ABCD中，LA=60°，AB>AD,E为边AD的中点，点F 在边DC上，且DF=DE,连接EF,将aDEF沿EF翻折得到△GEF,点D的对称点为点G,点M为边 BC的中点，点N在边AB上，且BN=BM,连接MN,将△BMN沿MN翻折得到△HMN,点B的对称点 为点H,连接FH,GN. D F G B (1)四边形GFHN的形状是 (2)若四边形GFHN是矩形，则4 D的值为 10.(2026安徽铜陵·二模)一次折纸实践活动中，小明同学准备了一张边长为4的正方形纸片ABCD,点 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E为AB的中点，点N为AD上任意一点，将aEAN沿NE所在的直线折叠得到△EA,N,连接DA. B E (1)DA,的最小值为 (2)当DA取最小值时，tan∠AEN= 三、解答题 11.(2026安徽阜阳·二模)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=6,点O是边BC的中点，将 ABC绕点O顺时针旋转得到△A'B'C'(点A,B的对应点分别为A,B),点B不在直线BC上，连接BB A B 图1 图2 (I)如图1，连接CC',BC',B'C,求证：四边形BB'CC'是矩形： (②)如图2，当B落在边AC上时，A'C'与AC交于点M,连接CC',BC',求线段MC的长； (3)在旋转过程中，点G为A'C'的中点，连接AG,AG的最大值是 12.(2026安徽宣城二模)在矩形ABCD中，点E为对角线BD上一点，连接CE,把CE绕点C顺时针旋 转90°得到CF,连接EF,DF,已知LCBD=60°，BC=6. A D H 图1 图2 (I)如图1，点E是BD的中点，EF交CD于点H. ①求证：DE=DH; 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②求EH的值： FH (②)如图2，以BC为斜边，在矩形内构造等腰直角△BCG,取EF的中点K,连接DK,GK.若 ∠DKG=90°，试求DK的长， 13.(2026安徽安庆二模)综合与探究：从特殊到一般是研究数学问题的常用思路，综合实践小组以特殊 平行四边形为背景就三角形的旋转缩放问题展开探究 【特例研究】(I)在正方形ABCD中，AC,BD相交于点O.如图①，△ADC可以看成是AOB绕点A 逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为一，k的值为 (2)如图②，将AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为a,并放大得到△AEF(点O,B的对应点分别为E, F,使得点E落在OD上，点F落在BC上，求BF的值： OE 【类比探究】(3)如图③，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将 AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为a,并缩放得到△AEF(点O,B的对应点分别为E,F),使得点E落 在OD上，点F落在BC上. 猜想 的值是否与a有关，并说明理由. OE ① ② ③ 14.(2026安徽池州二模)如图，在等边ABC中，D为AB上一点，连接CD,将线段CD绕点C顺时针 旋转60°得到线段CE,连接AE、DE,AC与DE相交于点F. 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：AE=BD; (2)点G为BC延长线上一点，且CG=BD,连接AG,与CE相交于点O,连接EG,OF,若AB=3. ①如图2，当DE⊥AC时，求OF的长； ②如图3，当四边形AEGC的面积为3√5时，求BD的长. 15.（2026安徽六安二模)在矩形ABCD内，AB=a,，AD=b,点P是BC的中点，连接AP,点B关于AP 的对称点是E,连接BE、CE. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 图1 图2 (1)如图1，若a=b, ①求证：AP∥CE; ②求CE的值， AP (②)如图2，连接DE,当a≠b时，且D、E、P三点在同一条直线上时，求 16.(2026安微马鞍山：二模)如图1，在矩形ABCD中，点M在BC上，连接DM,EF垂直平分DM分别 交AB,CD于点E,F,点A与点N关于EF对称，连接MN交AB于点G,连接DM,AN. D F D F M G E G B B N N 图1 图2 (1)求证：△FCM∽△MBG; (2)若AB=6,BC=4,求- EF 的值； DM (3)如图2，在(2)的条件下，MC=3,求AN的值. 17.(2026安徽准北二模)【特例感知】 M D 图1 图2 (I)如图1，在△AMN中，AM=AN,∠ANM=a,D是边MN上一点（不与点M重合），连接AD,将线段 AD绕点A逆时针旋转180°-2a得到线段AE,过点E作EF‖AN,交直线MN于点F. 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 判断线段DM与NF的数量关系是 【类比探究】 (2)如图2，在ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=a,点D(不与点B,C重合)在直线BC上(CD>CB),连接 AD,将线段AD绕点A逆时针旋转180°-2a得到线段AE,过点E作EF‖AB,交直线BC于点F.判断线 段DF与BC的数量关系，并仅就图2的情形给出证明. 【拓展应用】 (3)在(2)的条件下，已知AC=2BC=2,当以点A,B,E,F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出 线段CD的长， 18.(2026·安徽芜湖·二模)如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连 结BP,将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ,连结QP交BC于点E,QP延长线与边AD交于点F. (1)连结CQ,求证：AP=CQ; (2)若AP=4AC,求CE:c的值： (3)求证：PF=EQ D 19.(2026安徽铜陵·二模)如图1，点E是正方形ABCD的边AD上一点（不与点A,D重合），连接BE, 将BE绕点E逆时针旋转90°得到FE,连接DF,且∠CDF=45°. 达 图1 图2 图3 0求萨： (2)如图2，若点E是AD的中点，求tan∠CBM的值； ③)如图3，若AE=AD,请确定点M的位置，并说明理由. 20.(2026安徽阜阳二模)如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点P在边BC上，且不与点B,点C 重合，直线AP与DC的延长线交于点E 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4 夕 B D (I)当点P是BC的中点时，求证：△ABP≌△ECP; (2)将△APB沿直线AP折叠得到△APB',点B落在长方形ABCD的内部，延长PB交直线AD于点F. ①证明FA=FP,并求出在(1)条件下AF的值； ②连接B'C,求△PCB'周长的最小值. 21.(2026安徽滁州·二模)如图，在口ABCD中，点E在BC边上，将△ABE沿AE折叠，使点B的对应点 F落在口ABCD内，射线AF交射线DC于点G,交射线BC于点P,射线EF交CD边于点Q. D D 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：△CEQ∽△FEP; (2)如图2，当CE=BE时，点P在BC延长线上，若CG=3,QG=5,求QD的长； O如图3，当G9=2BE时，原P在BC边上，若直接写出C的值， DXG 1/6