专题07 图形的旋转和中位线11大题型分类专训（期末真题汇编，浙江专用）八年级数学下学期新教材浙教版

**基本信息** 初中数学期末试题汇编，聚焦图形旋转与中位线11大高频考点，精选浙江多地期末真题，覆盖基础应用与综合压轴 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|基础题型为主|旋转性质求角度（浙台州/杭州期末题）、中心对称图形识别（奥运/世运会图标）、中位线计算|结合地域期末真题，情境贴近生活（科技图标、赛事标识）| |作图/解答|重点+压轴题型|旋转作图（坐标变换）、中位线证明（平行四边形判定）、压轴题（中位线与几何变换综合）|分层设计（基础→重点→压轴），非选择题注重逻辑推理与空间想象（如旋转作图与中位线综合证明）|

的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07图形的旋转和中位线 ☆11大高频考点概览 考点01由旋转的性质求角度 考点07求关于原点对称的点坐标 考点02由旋转的性质求线段 考点08已知关于原点对称的点求参数（重点题型） 考点03旋转中作图题（重点题型） 考点09利用中位线的性质求线段长度 考点04坐标中的旋转问题（高频题型） 考点10与中位线有关的证明（重点题型） 考点05中心对称图形的识别（基础题型） 考点11三角形中位线解答题压轴（压轴题型） 考点06作中心对称图形 目地城诗点1 由旋转的性质求角度 1.(24-25八年级下·浙江台州·期末)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ABC,点B恰好落在 边BC上.若∠2B=75,则∠CAC的度数为（)） A.15° B.30° C.35° D.40° 2.(24-25八年级下·浙江台州·期末)如图，将△ABC绕点A顺时针旋转40°得到△ABC,已知 ∠BAC=70。,则∠BAC的度数为(） B 1/18 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.50° B.40° C.30° D.20° 3.(24-25八年级下·浙江台州·期末)如图，将△ABC绕着点A逆时针旋转100°得到△ABC,若点B 的对应点B恰好落在BC的延长线上，则∠B的度数为() A.30° B.35 C.40° D.50° 4.(24-25八年级下·浙江杭州·期末)如图，△ABC绕点A逆时针旋转20°得到△ABC,点C恰好落在 BC上，则LACB的度数为() A.60° B.70° C.80° D.90° 5.(24-25八年级下·浙江杭州·期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，把Rt△ABC 绕着点A逆时针旋转得到 Rt△ABC其中点C落在AB边的C上，则∠BBC的度数为（） B' A.10° B.15° C.20° D.30° 6.(2425八年级下·浙江杭州·期中)如图，将Rt△ABC绕C点按顺时针方向旋转到△DEC,点E恰好 落在AB上，若∠A=36°，则旋转的角度为() 2/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.84° B.72° C.54° D.48 7.(24-25八年级下·浙江湖州·期末)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=56°，点D在边BC上， ∠BAD=18°，将AD绕点A逆时针旋转56°得到AE,连接CE,则∠AEC的度数为 8.(24-25八年级下·浙江杭州·期末)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△ABC,且B,C两 点分别与B,C两点对应，延长BC与BC边交于点E,求∠CEC的度数. B 目地城道点2 由旋转的性质求线段 1.(24-25八年级下·浙江绍兴期末)等腰Rt△ABC,∠BAC=90°，AB=AC=5, ∠BPC=∠APC=135°，则CP=() A.3 B.V/10 c.23 D.4 2.(24-25八年级下.浙江杭州期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5,BC=12,将 3/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE,连接DC交AB于点F,则△ACF与△BDF的周长之和为 () E D A.44 B.43 C.42 D.41 3.(24-25八年级下·浙江台州·期末)如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=4,AC=3,将△ABC 绕点B逆时针旋转得△ABC,若点C在AB上，则AA的长为() C B A.V10 B.4 c.25 D.5 4.(2425八年级下·浙江温州·期末)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,AC=8,△ADE 是由△ABC绕点A旋转所得，DE边交AC边于点F.若AD⊥BC,则AF的长为() F A.4 B. 5 C.5 D.6 5.(24-25八年级下·浙江台州期末)如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED,并使C点的对应 点D点落在直线BC上，连接BE.若EB=310,DE=3,CD=12,则AC的长为 D 4/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(24-25八年级下浙江台州·期末)如图，在菱形ABCD中，AB=6,∠B=30°，点P是直线BC上一 动点，连接AP,将线段AP绕点P顺时针旋转90°，当点A的对应点E恰好落在菱形ABCD的边所在的直 线上时，线段AP的长为， 目地城赠点3 旋转中作图题 1.(24-25八年级下·浙江台州期末)如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是点 A-3,1,B-1,4,C0,1. B (1)请画出将△ABC绕点C旋转180°得到的△A1B1C1,并写出点A1的坐标： (②)将△A1B1C1沿着某个方向平移一定的距离后得到△A2B2C2,已知点A1的对应点A2的坐标为3，-2， 此时△ABC与△A2B2C2恰好关于某一点成中心对称，则这个对称中心的坐标为 2.(2425八年级下·浙江宁波·期末)下面两个网格图都是由相同的小正方形组成的，△ABC和△曾乙的 顶点都在格点，请按下列要求在相应的网格中作图。 图1 图2 I)如图1，作△ACP,使△ACP与△ACB关于直线AC对称. (②)如图2，把△就绕点F按顺时针方向旋转90°，作出旋转后所得的△QRF 3.(2425八年级下·浙江台州·期末)如图，已知△ABC的顶点坐标分别是A1,1,B1,3,C4,3. 5/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A X I)将△ABC平移得到△A1B,C1,且C1的坐标是3,0，作出△A1B1C1: (②)将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△A2B2C2,作出△A2B2C2: 3)小娟发现△A1B,C1绕点P旋转也可以得到△A2B2C2,请直接写出点P的坐标. 4.(24-25八年级下·浙江台州·期末)在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边 长为1个单位长度的正方形)· 1)画出△ABC关于点O的中心对称图形△A,B,C1: (2)将△ABC绕着点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2:并直接写出点B2,C2的坐标. 目地城巅点04 坐标中的旋转问题 1. (2425八年级下·浙江宁波·期末)在平面直角坐标系中，将点A-4,2绕原点0顺时针旋转90°，则点 A的对应点4的坐标是(） A.2,4 B.4,2 C.-4,-2 D.-4,2 6/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(24-25八年级下·浙江衢州·期末)如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90得到线段AB',那么 A-1,4的对应点A'的坐标是() B A.1,4 B.4,1 c.1,-4 D.4,-1 3.(24-25八年级下·浙江台州期末)如图，在平面直角坐标系中，将点A(3,2）绕原点O逆时针旋 转90°得到点B,则点B的坐标为() B A.(-2,3)B.(-3,2)C.(-2,-3)D.(-1,3） 4.(24-25七年级上浙江金华期末)如图，正比例函数的图象经过Am,-2,B2,n两点，其中m,n 为整数，且m<0,n>0.现将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC,则点C的坐标为。 目地城诗点05 中心对称图形的识别 1.(24-25八年级下·浙江宁波期末)下列图案是中心对称图形的是() 7/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.中国火箭 B.中国火星探测 C.神舟 D.中国行星探测 2.(24-25八年级下·浙江宁波期末)下列四幅作品分别代表二十四节气中的四个节气：“芒种”“夏 至”“白露”“大雪”，其中属于既是轴对称图形又是中心对称图形的是() B C D 3. (24-25八年级下·浙江台州期末)巴黎奥运会项目图标传递“荣誉徽章”理念，下列图标中，是中心 对称图形的为() 父 (24-25八年级下·浙江台州·期末)下列是2025年成都世运会的候选会徽，其中是中心对称图形的是( 5. (24-25八年级下·浙江台州·期末)下列各AI软件的图案中，是中心对称图形的是() 8/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 元宝 千问 deepseek Openal C D 6.(24-25八年级下·浙江台州·期末)以下是四款常见的人工智能大模型的图标，其中是中心对称图形的 是() 窃⑦过女 目典城静点06 作中心对称图形 1.(24-25八年级下·浙江宁波期末)下图是由含60°内角的菱形组成的一个5×5的网格图. 请画出以 AB为边的格点四边形ABCD,其中点A,B,C,D均在格点上.要求如下： 图1 图2 (1)在图1中画一个是中心对称，但非轴对称的格点四边形ABCD (2)在图2中画一个是轴对称，但非中心对称的格点四边形ABCD. 2.(2023浙江宁波模拟预测)请在由边长为1的小正三角形组成的六边形网格中按要求画出图形，要求 点P在所画图形内部，且所有顶点均在格点上， 9/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 图① 图② (1)在图①中以AB为边画一个非中心对称的轴对称图形： (2)在图②中以AB为边画一个非轴对称的中心对称图形， 3.（24-25八年级下·浙江宁波期末)如图，在4×4的方格中，有4个小方格被涂黑成“L形. 图1 图2 (1)在图1中再涂黑2格，使新涂黑的图形与原来的“L”形组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形； (2)在图2中再涂黑2格，使新涂黑的图形与原来的“L”形组成的新图形是轴对称图形但不是中心对称图形. 4.(24-25八年级下·浙江宁波期末)下列三个3×4的网格图均由相同的小菱形组成，每个网格图中有3 个小菱形已涂上阴影，请在余下的空白小菱形中，分别按要求选取一个涂上阴影 图1 图2 图3 (1)使得4个阴影小菱形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形. (2)使得4个阴影小菱形组成的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形. (3)使得4个阴影小菱形组成的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形. (请将三个小题依次作答在图1，图2，图3中，均只需画出符合条件的一种情形即可.) 5.（24-25八年级下·浙江宁波·期末)图1，图2，图3都是由边长为α的小菱形构成的网格，每个网格图 中都有3个小菱形已经涂上了阴影，请在余下的小菱形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影， 10/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 图3 (1)使得4个阴影小菱形组成一个既是轴对称图形又是中心对称图形（图1）： (2)使得4个阴影小菱形组成一个轴对称图形但不是中心对称图形（图2）： 3)使得4个阴影小菱形组成一个中心对称图形但不是轴对称图形（图3）. 6.(24-25九年级下·浙江期末)如图，在6×6的网格中已经涂黑了三个小正方形，请按下列要求画图. 图1 图2 (1)在图1中涂黑一块小正方形，使涂黑的四个小正方形组成一个轴对称图形， (2)在图2中涂黑一块小正方形，使涂黑的四个小正方形组成一个中心对称图形. 目地城诗点0虹 求关于原点对称的点坐标 1.(24-25八年级下·浙江台州·期末)与点(1,2)关于原点对称的点坐标为() A.（-1,2) B.(1,-2) c.（-1,-2 D.（-2,-1 2.(24-25八年级下浙江台州期末)点P(2,3)关于原点的对称点的坐标为一· 3.(24-25八年级下·浙江台州期末)点1，-5关于原点对称的点的坐标为 目地 城着点08 已知关于原点对称的点求参数 1.(2425八年级下·浙江丽水·期末)在直角坐标系中，点A1,a和点Bb,-5关于原点成中心对称，则 a-b的值为() 11/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.-4 B.4 C.-6 D.6 2.(24-25八年级下·浙江台州期末)若点A(-3,a),B(b,2)关于原点对称，则a,b的值为( ) A.a=2,b=3B.1=-2,b=3 C.a=2,b=-3 D.a=-2,b=-3 3.(24-25八年级下·浙江宁波期末)若点Pa-1,-2与点Q-1,2关于坐标原点对称，则a的值为 4.(2425八年级下·浙江台州·期末)在平面直角坐标系中，若点A8,m与B-8,-5关于原点对称，则 m 5.(24-25八年级下·浙江宁波期末)已知点Aa,-2与点B-3,2关于原点对称，则a= 6.(24-25八年级下·浙江宁波·期末)在直角坐标系中，若点A1,a和点Bb,2关于原点中心对称，则 a+b= 目地城诗点09 利用中位线的性质求线段长度 1.(2425八年级下·浙江台州·期末)如图，在△ABC中，D,E,F分别是AB,BC,CA的中点.连接 DE,EF,FD,若△就的周长为6，则△ABC的周长为() D B A.3 B.12 C.18 D.24 2.(24-25八年级下·浙江台州·期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=5,D是AC的 中点，E在AB边上.若∠DEB=45+∠A,则AE的长为()： 0 A.3 C.V15 D.4 12/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(24-25八年级下·浙江金华.期末)如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC,AE⊥BF 于点E,已知AB=8,AC=14,则DE的长为 4.(24-25八年级下·浙江金华·期末)如图，点O是口ABCD对角线AC的中点，沿过点O的直线MN将 口ABCD折叠，使点A,B分别落在A、B处，NB交CD与点E,若点E是CD的中点，NC=3,NB=7, 则EB= B B 5.(2425八年级下浙江宁波期末)如图，△ABC中，点D是AB的中点，点E是AC上一点，连接DE 并延长交BC的延长线于点F,若DE=EF,BC=10,则CF的长为 E 6.(24-25八年级下·浙江金华期末)如图，在△ABC中，AB=5,BC=6,AC=8,AD⊥BC于点D, 点E、F分别是AB、AC的中点，则△乙的周长为 7.(24-25八年级下·浙江绍兴期末)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,E,F分别为AB,BC的 中点，连结CE,DF,取CE,DF的中点M,N,连结MN,则MN的长为· 13/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 6 公 8.(2425八年级下·浙江宁波期末)如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的角平分线交DE于点F, 若AC=4,BC=8,则DF的长为 D B 9.(2425八年级下·浙江杭州·期末)如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC⊥AB ,点E是BC的中点，连接OE.若OE=3,OA=4,则BC的长为 D E 10.(24-25八年级下浙江宁波期末)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，D,E分别是BC,AC的中 点，连结DE,AD,过点E作EF‖DA交BA的延长线于点F,若EF=4,BC=6,则AF= D B 目地城着点10 与中位线有关的证明 1.(2425八年级下·浙江绍兴期末)如图，在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，E是AB的 中点，连结DE, 14/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：DE‖AC. ②若DE=多AD=4,求△ABC的面积。 2.(24-25八年级下·浙江宁波·期末)如图，△ABC中∠ACB=90°，点O、D分别是边AC,AB的中 点，CE‖BD交DO的延长线于点E,连结AE, E (1)求证：四边形BDEC是平行四边形： (2)判断四边形ADCE是什么四边形，并推理说明. 3.(24-25八年级下·浙江宁波期末)如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB、CE交于点F, DF=BF,AF‖DC D I)求证：四边形AFCD为平行四边形： (②)若∠EFB=90°，EF=2,DF=5,求BC的长 4.(24-25八年级下·浙江嘉兴期末)如图，在△ABC中，DE是一条中位线，连接BE,过点D作BE的 平行线交CB的延长线于点F. (I)求证：四边形BEDF是平行四边形： 15/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若BF=4,求CB的长 5.(24-25八年级下·浙江嘉兴期末)如图，矩形ABCD中，M是BC上一点，且MC=2BM,连接DM. A D B M I)尺规作图：作△MCD的中位线EF,分别交DM,DC于点E,F:(不写作法，保留作图痕迹) (2)连接BE,MF.求证：四边形BMFE为平行四边形. 6.(24-25八年级下·浙江杭州·期末)如图，在△ABC中，AH⊥BC,垂足为H,点D,E,F分别是 BC,AC,AB的中点. B D I)求证：四边形AFDE是平行四边形. (2)求证：∠EDF=∠EHF. 目地城诗点11 三角形中位线解答题压轴 1.(24-25八年级下·浙江宁波·期末)如图，在口ABCD中，点E是AB的中点，点P是BC上一点，连接 DE,交AP于点M,N是AP上一点，且AM=MN,连接BN并延长交DC于点F. D F D F D F G 图1 图2 图3 【初步尝试】 (1)四边形EBFD是平行四边形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，请说明理由： 【深入探究】 (2)如图2，若在图1的基础上连接MC交BF于点H,过点A作AGMC交DE于点G, ①猜想MC与AG的数量关系，并说明理由； 16/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②如图3，当点P为BC中点时，若BF=a,AP=b,且5AB?=a2+4b,请求出口ABCD的面积（结 4 果用含4，b的式子表示)， 2.(24-25八年级下·浙江宁波·期末)我国著名的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方 形拼成一个大正方形.数学兴趣小组的小伙伴们尝试用两对全等的直角三角形与一个矩形拼出了一个平行 四边形. 图1 图2 图3 (1)如图1，M是AB的中点，若ME=DG,AB=6,求CG的长. (2)如图2，M是AB的中点，连结HF,EG交于点O,连结OM. ①求证：OM‖AD 图3，若AH=HE,取AD的中点N,连接ON,NG,M,若3SAOc3 S MOH,求G的 3.(24-25八年级下浙江金华期末)(1)如图1，直线1‖2，点A,B在直线l2上，点C,D在直线1上， 直接写出△ABC和△ABD的面积关系. (2)把图2的四边形ABCD改成一个以AB为一边的三角形，并保持面积不变，请画出图形，保留作图痕 迹 (3)如图3，在△ABC中，E、F分别是AC、BC上任意一点，连接AF、BE,M、N分别是AF、 BE的中点，求证：S△CMN=S四边形EMNF. C D M B A B 图1 图2 图3 4.(24-25八年级下·浙江绍兴期末)已知△ABC内角∠BAC=c0°<a<180,分别以AB,AC为边 17/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 向外侧作等边△ABM和等边△ACN,连接CM,BN交于点O. 图1 图2 (1)如图1，判断∠MON是否随a的变化而变化？如果不变化，请求出∠MON的度数；如果变化，请用a 的代数式表示∠MON的度数： (②)连接MN,再依次连接MB,BC,CN,NM四条线段的中点D,E,F,G,得到四边形DEFG. ①如图2，若a=90°，AB=4cm,AC=3cm,求四边形DEFG的面积； ②若△ABM的面积是123，△ACN,△AMN的面积都是43，求△ABC的面积. 5.(2425八年级下·浙江宁波期末)如图1，在平行四边形ABCD中，AB=42,AD=7, ∠ABC=45°，点E,F分别为边AD,BC上的动点（不与顶点重合），且AE=CF,连结EF,将四边 形CFED沿着EF折叠得到四边形CFED. AE 图1 备用图 (I)连结BD交EF于点O,连结BD'. ①求证：OB=OD ②若OF=BD,求DE的长 (2)若点C落在平行四边形ABCD的边上，请直接写出CC所有可能的值. 18/18 专题07 图形的旋转和中位线 11大高频考点概览 考点01 由旋转的性质求角度 考点07求关于原点对称的点坐标 考点02由旋转的性质求线段 考点08已知关于原点对称的点求参数（重点题型） 考点03旋转中作图题（重点题型） 考点09利用中位线的性质求线段长度 考点04坐标中的旋转问题（高频题型） 考点10与中位线有关的证明（重点题型） 考点05中心对称图形的识别（基础题型） 考点11三角形中位线解答题压轴（压轴题型） 考点06作中心对称图形 地 城 考点01 由旋转的性质求角度 1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，将绕点A逆时针旋转得到，点恰好落在边上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质可得，，证明是等腰三角形，即可求得，即可解答． 【详解】解：绕点A逆时针旋转得到， ，， 是等腰三角形， ， ， 故选：B． 2．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，掌握知识点是解题的关键． 先推导出，则，即可解答． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 3．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，将绕着点逆时针旋转得到，若点的对应点恰好落在的延长线上，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得，，再根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得，，， ， 故选：C． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得到，即可得到答案． 【详解】解： 绕点逆时针旋转得到， ， ． 故选C． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，，，把绕着点逆时针旋转得到，其中点落在边的上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形的外角，熟练掌握旋转的性质是解题关键．旋转得到，等边对等角，求出的度数，三角形的外角，求出的度数即可． 【详解】解：∵旋转， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，将绕C点按顺时针方向旋转到，点E恰好落在上，若，则旋转的角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理，旋转的性质以及等腰三角形的判定和性质．熟练掌握旋转的性质，是解题的关键． 先求出的度数，根据旋转的性质，得到，进而得到，利用三角形内角和定理，求出，即可得解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵将绕C点按顺时针方向旋转到， ∴， ∴， ∴， ∴旋转的角度为． 故选B． 7．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）如图，在中，，，点在边上，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的度数为_____________ 【答案】/100度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理，旋转的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质可得，再由三角形内角和定理，可得，然后根据旋转的性质可得，，可证明，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 8．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，且，两点分别与，两点对应，延长与边交于点，求的度数． 【答案】 【分析】根据旋转的性质得到，根据平角的度数，等量代换得到，结合四边形内角和的计算即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， 在四边形中，． 地 城 考点02 由旋转的性质求线段 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）等腰，，，，则（   ） A．3 B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，正确作辅助线是解题的关键. 将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则，，得到，可求出，，可证明，得到，可证明，，则，得出，，则，求出，即可得到结论. 【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 故选：B. 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接交于点，则与的周长之和为（   ） A．44 B．43 C．42 D．41 【答案】C 【分析】由旋转的性质可得出，结合可得出为等边三角形，进而可得出的长度，在中，利用勾股定理可求出的长度，再根据三角形的周长公式即可求出与的周长之和． 【详解】解：由旋转得出， ， ， 为等边三角形， ， 在中，，，， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形的周长，利用三角形的周长公式结合边与边的关系，找出周长之和与各线段之间的关系是解题的关键． 3．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，中，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查旋转的性质和勾股定理等知识，由旋转的性质得出的长度，利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵将绕点B逆时针旋转得， ∴， 根据勾股定理得： ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 故选：A． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期末）如图，在中，，，，是由绕点旋转所得，边交边于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，平行线的性质，余角性质，由勾股定理可得，由旋转可得，，，进而可得，得到，再得到，，又根据余角性质可得，得到，即可求出的长，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ， ∴， ∵将绕点旋转至， ∴，，， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，将绕点A顺时针旋转得到，并使C点的对应点D点落在直线上，连接．若，，，则的长为_________． 【答案】 【分析】本题考查几何变换的综合应用，涉及等腰三角形的性质与判定，勾股定理及逆定理的应用等知识，过A作于H，由绕点A顺时针旋转得到，可知，，，求出，即可得，故，而，，有，，从而，即得是等腰直角三角形，得． 【详解】解：过A作于H，如图： ∵绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在菱形中，，，点是直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，当点的对应点恰好落在菱形的边所在的直线上时，线段的长为______． 【答案】或或 【分析】如图，过点作于，在直线上，点右边取一点，使，过点作于，过点作于，由在菱形和垂直可得，得到四边形为矩形，推出，，再旋转可证明，得到，，再证明，得到，即可得到、、都在一条直线上，即点运动轨迹为直线，最后根据点的对应点恰好落在菱形的边所在的直线上分情况讨论，分别求解即可． 【详解】解：如图，过点作于，在直线上，点右边取一点，使，过点作于，过点作于， ∵在菱形中，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴∥，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵点、、都在直线上， ∴、、都在一条直线上，即点运动轨迹为直线， ∵点的对应点恰好落在菱形的边所在的直线上， ∴当点的对应点恰好落在菱形的边所在直线时，此时在处，在处，此时； 当点的对应点恰好落在菱形的边和所在直线时，此时在处，连接，则，，可得，由可得是等腰直角三角形，即在处，此时； 当点的对应点恰好落在菱形的边所在直线时，如图，过点作于，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵中，， ∴，， ∴， 解得， 综上所述，当点的对应点恰好落在菱形的边所在的直线上时，线段的长为或或； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是确定点的运动轨迹． 地 城 考点03 旋转中作图题 1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点，，． (1)请画出将绕点旋转180°得到的，并写出点的坐标； (2)将沿着某个方向平移一定的距离后得到，已知点的对应点的坐标为，此时与恰好关于某一点成中心对称，则这个对称中心的坐标为___________． 【答案】(1)画图见解析，的坐标 (2) 【分析】本题考查坐标与图形的旋转和平移，对称中心． （1）根据旋转的性质得出点的对应点，，，连线即可； （2）根据已知可得对应点的中点坐标，即为对称中心的坐标． 【详解】（1）解：作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，点与点重合，连接，，，即可得，， 如图，为所求，点的坐标为 （2）解：∵点的对应点的坐标为，，， ∴将向下平移个单位长度得到， 设与恰好关于点成中心对称，则点为的中点， ∵，， ∴，， ∴， ∴这个对称中心的坐标为． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）下面两个网格图都是由相同的小正方形组成的，和的顶点都在格点，请按下列要求在相应的网格中作图． (1)如图1，作，使与关于直线对称． (2)如图2，把绕点按顺时针方向旋转90°，作出旋转后所得的． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题主要考查了旋转作图，作轴对称图形， 对于（1），作点B关于直线的对称点P，连接，则即为所求作； 对于（2），将点E，D分别绕点F顺时针旋转得到点Q，R，连接，则即为所求作． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作； （2）解：如图所示，即为所求作． 3．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，已知的顶点坐标分别是，．    (1)将平移得到，且的坐标是，作出； (2)将绕点逆时针旋转得到，作出； (3)小娟发现绕点旋转也可以得到，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3) 【分析】本题考查了网格作图，图形的变换—平移变换和旋转变换； （1）根据的坐标可确定向左平移1格子，向下平移3格，然后作出图即可； （2）根据旋转先确定点的位置，再确定的位置，作出图即可； （3）根据图像可以看出是绕点旋转变换而来，据此可确定点坐标． 【详解】（1）解：如图，为所作图形：    （2）解：如图，为所作图形：    （3）解：∵ ， ∴是绕点旋转变换而来， 故点坐标为． 4．（24-25八年级下·浙江台州·期末）在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为个单位长度的正方形）．    (1)画出关于点的中心对称图形； (2)将绕着点逆时针旋转，画出旋转后得到的；并直接写出点，的坐标． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析，点，． 【分析】（）根据中心对称图形的性质作图即可； （）根据旋转的性质作图即可，由图即可写出点，的坐标； 本题考查了作中心对称图形及旋转后的图形，坐标与图形，掌握中心对称图形的性质和旋转的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）解：如图，即为所求，由图可得，点，．    地 城 考点04 坐标中的旋转问题 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．过点作轴于点，轴于点，结合旋转的性质，证明，得到，，即可得到的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点，轴于点， 由旋转的性质可知，，， ， 轴，轴， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ，， ， 故选：A． 2．（24-25八年级下·浙江衢州·期末）如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段，那么的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作轴于C，轴于，证明，得出，，根据，得出，，即可求出结果． 【详解】解：∵线段绕点O顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴． 作轴于C，轴于， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形． 3．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出图象，过点作轴，轴，根据全等三角形的性质可以分析出点坐标． 【详解】解：将点绕原点逆时针旋转得到点，如下图所示， 过点作轴，轴， 则，， 有题意可知， ∴，， ∴点坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转性质的应用，绕原点旋转90°的点的坐标特征，根据旋转性质画出图象是解决本题的关键． 4．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，正比例函数的图象经过，两点，其中m，n为整数，且.现将线段绕点B顺时针旋转得到线段，则点C的坐标为________．    【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，过点B作轴，且，，证明，推出，，再分别求出点C的横坐标和纵坐标即可． 【详解】解：如图，过点B作轴，且，，    ，， ，； 线段绕点B顺时针旋转得到线段， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 点C的坐标为， 故答案为：． 地 城 考点05 中心对称图形的识别 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）下列图案是中心对称图形的是（    ） A．中国火箭 B．中国火星探测 C．神舟 D．中国行星探测 【答案】A 【详解】解：选项B、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）下列四幅作品分别代表二十四节气中的四个节气：“芒种”“夏至”“白露”“大雪”，其中属于既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一判断即可． 【详解】、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 3．（24-25八年级下·浙江台州·期末）巴黎奥运会项目图标传递“荣誉徽章”理念，下列图标中，是中心对称图形的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心对称图形概念：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此求解即可． 【详解】解：根据概念可知，A、B、C不是中心对称图形；D是中心对称图形． 故选：D． 4．（24-25八年级下·浙江台州·期末）下列是2025年成都世运会的候选会徽，其中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心）逐一分析各选项中的图形是否符合题意即可． 【详解】解：A项：该图形不能绕某点旋转后与原图形重合，所以不是中心对称图形，故A错误； B项：该图形不能绕某点旋转后与原图形重合，所以不是中心对称图形，故B错误； C项：该图形能绕某点旋转后与原图形重合，所以是中心对称图形，故C正确； D项：该图形不能绕某点旋转后与原图形重合，所以不是中心对称图形，故D错误， 故选：C． 5．（24-25八年级下·浙江台州·期末）下列各软件的图案中，是中心对称图形的是（   ） A．元宝 B．千问 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称图形的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据中心对称图形的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：A． 该图形不是中心对称图形，不符合题意； B． 该图形不是中心对称图形，不符合题意； C． 该图形不是中心对称图形，不符合题意； D．该图形是中心对称图形，符合题意． 故选D． 6．（24-25八年级下·浙江台州·期末）以下是四款常见的人工智能大模型的图标，其中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．该图形是中心对称图形，符合题意； B．该图形不是中心对称图形，不符合题意； C．该图形不是中心对称图形，不符合题意； D．该图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 地 城 考点06 作中心对称图形 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）下图是由含内角的菱形组成的一个的网格图． 请画出以为边的格点四边形 ，其中点，，，均在格点上． 要求如下∶ (1)在图1中画一个是中心对称，但非轴对称的格点四边形． (2)在图2中画一个是轴对称，但非中心对称的格点四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图、轴对称图形、中心对称图形，熟练掌握轴对称图形、中心对称图形的定义是解答本题的关键． （1）根据题意，画平行四边形即可． （2）根据轴对称图形和中心对称图形的定义画图即可． 【详解】（1）解：如图1，四边形即为所求（答案不唯一）． （2）解：如图2，四边形即为所求（答案不唯一）． ． 2．（2023·浙江宁波·模拟预测）请在由边长为1的小正三角形组成的六边形网格中按要求画出图形，要求点P在所画图形内部，且所有顶点均在格点上．    (1)在图①中以为边画一个非中心对称的轴对称图形； (2)在图②中以为边画一个非轴对称的中心对称图形． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析． 【分析】（）作点关于的对称点，画出等腰三角形； （）把向下平移得到格点、，则可画出平行四边形； 本题考查了作图—旋转变换和平移变换，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】（1）如图，作点关于的对称点，    ∴即为所求； （2）如图，把向下平移得到格点、，    ∴平行四边形即为所求． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在的方格中，有4个小方格被涂黑成“L”形．    (1)在图1中再涂黑2格，使新涂黑的图形与原来的“L”形组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形； (2)在图2中再涂黑2格，使新涂黑的图形与原来的“L”形组成的新图形是轴对称图形但不是中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据轴对称图形和中心对称图形的定义画图即可； （2）根据轴对称图形和中心对称图形的定义画图即可． 【详解】（1）解：如图1，作图不唯一，符合要求即可； （2）解：如图2，作图不唯一，符合要求即可．    【点睛】本题考查基本作图-画轴对称图形和中心对称图形，解答的关键是理解并掌握它们的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 4．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）下列三个的网格图均由相同的小菱形组成，每个网格图中有3个小菱形已涂上阴影，请在余下的空白小菱形中，分别按要求选取一个涂上阴影：    (1)使得4个阴影小菱形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形． (2)使得4个阴影小菱形组成的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形． (3)使得4个阴影小菱形组成的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形． （请将三个小题依次作答在图1，图2，图3中，均只需画出符合条件的一种情形即可．） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）轴对称图形是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形；中心对称图形指一个图形绕着某点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合．根据是轴对称图形，不是中心对称图形，涂上阴影即可； （2）根据是中心对称图形，不是轴对称图形，涂上阴影即可； （3）根据是中心对称图形，又是轴对称图形，涂上阴影即可． 【详解】（1）解：涂上阴影使4个阴影小菱形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，如下图所示：    （2）解：涂上阴影使4个阴影小菱形组成的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，如下图所示：    （3）解：涂上阴影使4个阴影小菱形组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，如下图所示：    【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形及中心对称图形定义是解题关键． 5．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）图1，图2，图3都是由边长为a的小菱形构成的网格，每个网格图中都有3个小菱形已经涂上了阴影，请在余下的小菱形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影． (1)使得4个阴影小菱形组成一个既是轴对称图形又是中心对称图形（图1）； (2)使得4个阴影小菱形组成一个轴对称图形但不是中心对称图形（图2）； (3)使得4个阴影小菱形组成一个中心对称图形但不是轴对称图形（图3）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据轴对称图形，中心对称图形的定义画出图形即可； （2）根据轴对称图形，中心对称图形的定义画出图形即可； （3）根据轴对称图形，中心对称图形的定义画出图形即可； 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）图形如图所示： （3）图形如图所示： 【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，利用轴对称设计图案等知识，解题的关键是掌握中心对称图形，轴对称图形的定义，属于中考常考题型． 6．（24-25九年级下·浙江·期末）如图，在的网格中已经涂黑了三个小正方形，请按下列要求画图． （1）在图1中涂黑一块小正方形，使涂黑的四个小正方形组成一个轴对称图形． （2）在图2中涂黑一块小正方形，使涂黑的四个小正方形组成一个中心对称图形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质分析得出答案； （2）直接利用中心对称图形的性质分析得出答案． 【详解】解：（1）如图所示：①、②、③、④处涂黑都可以使涂黑的四个小正方形组成一个轴对称图形； （2）如图所示：①、②使涂黑的四个小正方形组成一个中心对称图形． 【点睛】本题考查了利用中心对称设计图案以及利用轴对称设计图案，正确掌握相关图形的性质是解题的关键． 地 城 考点07 求关于原点对称的点坐标 1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）与点关于原点对称的点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】关于原点对称的点坐标的关系，平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，据此求解即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选：C． 2．（24-25八年级下·浙江台州·期末）点关于原点的对称点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·浙江台州·期末）点关于原点对称的点的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据对称点的坐标规律解答即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， 故答案为：． 地 城 考点08 已知关于原点对称的点求参数 1．（24-25八年级下·浙江丽水·期末）在直角坐标系中，点和点关于原点成中心对称，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是．据此解答即可． 【详解】解：∵点和点关于原点成中心对称， ∴，， ∴， ∴的值为． 故选：D． 2．（24-25八年级下·浙江台州·期末）若点A（−3，a），B（b，2）关于原点对称，则a，b的值为（ 　　 ） A．a=2，b=3 B．a=−2，b=3 C．a=2，b=−3 D．a=−2，b=−3 【答案】B 【分析】根据点的坐标关于原点对称的特征“横纵坐标互为相反数”可直接进行求解． 【详解】解：∵点A（−3，a），B（b，2）关于原点对称， ∴a=−2，b=3， 故选B． 【点睛】本题主要考查关于原点对称的两个点的坐标特点，熟练掌握点关于原点对称的坐标特征是解题的关键． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）若点与点关于坐标原点对称，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是．注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 【详解】解：∵点与关于坐标原点对称， ∴，即 故答案为：． 4．（24-25八年级下·浙江台州·期末）在平面直角坐标系中，若点与关于原点对称，则_____． 【答案】5 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即可得出答案． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ． 故答案为：5． 5．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知点与点关于原点对称，则________． 【答案】3 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征．熟练掌握关于原点对称的点坐标的横纵坐标均互为相反数是解题的关键． 由点与点关于原点对称，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， 解得，， 故答案为：3． 6．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）在直角坐标系中，若点和点关于原点中心对称，则______． 【答案】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质，得出，的值，即可得出答案． 【详解】解：坐标系中点和点关于原点中心对称， ，， 则． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键． 地 城 考点09 利用中位线的性质求线段长度 1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，D，E，F分别是，，的中点．连接，，，若的周长为6，则的周长为（   ） A．3 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系． 利用三角形的中位线定理可以得到：，，，则的周长是的周长的2倍，据此即可求解． 【详解】解：∵D、E分别是的边、的中点， ∴， 同理，，， ∴ ； ∵的周长为6， ∴的周长为． 故选：B． 2．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，，是的中点，在边上．若，则的长为（   ）． A．3 B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理求解边长，中位线的性质以及等腰三角形的性质，得到得到为的中位线是解决本题的关键． 根据勾股定理求解边的长度，通过作辅助线构造平行线，得到为的中位线，再由角度相等可得为等腰三角形，再由等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：取的中点记作F，连接，如图， 因为在中，，， 所以有勾股定理可得，， 因为点D，F分别为的中点， 所以，且， 所以， 因为， 所以， 所以为等腰三角形， 所以， 又因为点F为的中点， 所以， 所以． 故选：D ． 3．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，中，D是边的中点，平分，于点E，已知，，则的长为________． 【答案】3 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线，先根据证明，即可得到，，然后根据三角形的中位线定理解答即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：3． 4．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，点是对角线的中点，沿过点的直线将折叠，使点，分别落在、处，交与点，若点是的中点，，，则________． 【答案】2 【分析】连接，由题意可得，根据平行线的性质与三角形中位线的性质可得，，再由折叠的性质可得，，由此证得为等腰三角形，利用等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图，连接， 在中，，， ， 又点O是的中点，点是的中点， ， ，， 由折叠可得：，， ， 为等腰三角形， ， ， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形的中位线性质、等腰三角形的判定与性质、折叠性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 5．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，中，点D是的中点，点E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，若，则的长为_________． 【答案】5 【分析】此题考查了三角形中位线定理和全等三角形的判定和性质，构造三角形的中位线是关键．取的中点，连接，根据中位线定理得到，再证明，即可得到答案． 【详解】解：取的中点，连接，如图， ∵点D是的中点，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，在中，，，，于点，点、分别是、的中点，则的周长为________． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线，三角形中位线定理，掌握相关性质和定理是解题关键．由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，，由三角形中位线定理，得到，即可求出的周长． 【详解】解：， ， 在和中，点、分别是、的中点，，， ，， 是的中位线，， ， 的周长为， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在矩形中，，E，F分别为，的中点，连结，，取，的中点M，N，连结，则的长为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，中位线，勾股定理．连接，延长交于点P，根据矩形及已知条件得，，，，进而可证明和全等得，，则，再由勾股定理得，证明是的中位线，然后根据三角形的中位线定理即可得出的长． 【详解】解：连接，延长交于点P，如图所示： 在矩形中，，， ∴，，， ∵点E，F分别为，的中点， ∴，，， ∴，， ∵点N是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵点M是的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∴的长为． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，是的中位线，的角平分线交于点F，若则的长为_________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，角平分线的定义等知识点，根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，得到，根据等腰三角形的判定得出，即可求出，能熟记三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解决问题的关键． 【详解】解：∵是的中位线，，， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 9．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，平行四边形的对角线，交于点O，，点是的中点，连接．若，，则的长为________． 【答案】10 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理、勾股定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，，再根据三角形的中位线定理可得，则可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， 故答案为：10． 10．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，，D，E分别是，的中点，连结，，过点E作交的延长线于点F，若，，则______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中位线．熟练掌握三角形的中位线的判定与性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，是解答的关键． 根据三角形中位线性质得，结合，得四边形是平行四边形，得，根据，，得，即得． 【详解】解：∵D，E分别是，的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 地 城 考点10 与中位线有关的证明 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在中，，是边上的中线，是的中点，连结． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明过程见解答； (2)12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，直角三角形的性质等； （1）根据等腰三角形的“三线合一”可知，结合已知可推出为的中位线，根据三角形中位线的性质即可证得结论； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而勾股定理求得，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，是边上的中线， ， 是的中点， 为的中位线， ∴； （2）解：∵，是边上的中线， ∴，即， ∵在中，， ∴， 又， ∴， ∴ ∴． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，中，点、分别是边，的中点，交的延长线于点，连结， (1)求证：四边形是平行四边形； (2)判断四边形是什么四边形，并推理说明． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形是菱形，证明见解析 【分析】（1）由三角形中位线的判定与性质得到，再由，依据平行四边形的判定即可得证； （2）先由平行四边形的性质得到，，再由中点定义等量代换确定，从而由平行四边形的判定得到四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半确定，最后由菱形的判定即可得证． 【详解】（1）证明：点O、D分别是边、的中点， 是的中位线， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是菱形，证明如下： 四边形是平行四边形， ，， 点是边的中点， ， ∴， ， 四边形是平行四边形． 在中，是斜边上的中线，则， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查平行四边形及特殊平行四边形综合，涉及三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、中点定义、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的判定等知识．熟记平行四边形及菱形的判定与性质是解决问题的关键． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在四边形中，是的中点，、交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理是关键． （1）根据三角形中位线定理证明，由已知即可证明结论； （2）求出，，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵是的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵，． ∴四边形为平行四边形； （2）∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ 4．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在中，是一条中位线，连接，过点D作的平行线交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质与判定，熟知三角形中位线定理和平行四边形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由三角形中位线定理可得，再由即可证明结论； （2）由平行四边形对边相等得到，再由三角形中位线定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是的中位线， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵是的中位线， ∴． 5．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，矩形中，M是上一点，且，连接． (1)尺规作图：作的中位线，分别交，于点E，F；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，．求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法，三角形中位线定理，平行四边形的判定； （1）分别作出、的垂直平分线得到、的中点、，即可求解； （2）由三角形的中位线定理得，，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证； 掌握线段垂直平分线的作法及平行四边形的判定方法是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， 线段为所求作； （2）证明：如图， 是的中位线， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形． 6．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，，垂足为，点，，分别是，，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形. (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由三角形中位线定理可得，，，可得，可得结论； （2）由平行四边形的性质可得，由直角三角形的性质可得，，可得结论． 【详解】（1）证明：点，，分别是，，的中点， ，，， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：四边形是平行四边形， ， ，点，点分别是，的中点， ，， ，， ， ． 地 城 考点11 三角形中位线解答题压轴 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，点E是的中点，点P是上一点，连接，交于点M，N是上一点，且，连接并延长交于点F． 【初步尝试】 （1）四边形是平行四边形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，请说明理由； 【深入探究】 （2）如图2，若在图1的基础上连接交于点H，过点A作交于点G， ①猜想与的数量关系，并说明理由； ②如图3，当点P为中点时，若，，且，请求出的面积（结果用含a，b的式子表示）． 【答案】（1）四边形是平行四边形，见解析；（2）①，见解析；②的面积为 【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得出，结合点E是的中点，，根据三角形中位线定理得出，即可证明四边形是平行四边形． （2）①如图，作交于点K，则四边形是平行四边形， 得出，根据四边形、是平行四边形，得出，，则，，证明，得出，则，再证明，得出，即可得． ②如图，延长交的延长线于点R，证明，得出，，，作交的延长线于点L，作于点Q，证明四边形是平行四边形，得出，则 ， ，结合，证出是直角三角形，且，则，再根据，得出，即可得． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． （2）①解：；理由如下： 如图，作交于点K， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形、是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． ②如图，延长交的延长线于点R， ∵点P为中点，， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∴， 作交的延长线于点L，作于点Q， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）我国著名的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形．数学兴趣小组的小伙伴们尝试用两对全等的直角三角形与一个矩形拼出了一个平行四边形． (1)如图1，M是的中点，若，求的长． (2)如图2，M是的中点，连结交于点O，连结． ①求证： ②如图3，若，取的中点N，连接，若，求的值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线，平行四边形的判定与性质，构造三角形全等是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质，直角三角形的性质结合勾股定理即可求解； （2）①连结，证明四边形是平行四边形，得到，再证明，易得B，O，D三点共线． 易证是的中位线， 即可证明结论；②证明是的中位线．推出． 设与交于点K，作的高，的高，证明，推出，根据，得到．设，则，求出，，，即可求解． 【详解】（1）解：∵是直角三角形，点M是中点，， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：①连结， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴B，O，D三点共线． ∵点M是中点， ∴是的中位线， ∴； ②∵，M是中点， ∴是的中位线． ∴． 设与交于点K，作的高，的高， ∵点N是的中点， ∴， 由①知，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， 又∵， ∴． 设，则， ∴， ∴， ∴， ． 3．（24-25八年级下·浙江金华·期末）（1）如图1，直线，点在直线上，点在直线上，直接写出和的面积关系． （2）把图2的四边形改成一个以为一边的三角形，并保持面积不变，请画出图形，保留作图痕迹． （3）如图3，在中，分别是上任意一点，连接分别是、的中点，求证：． 【答案】（1）相等；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了平行线间的距离的应用，三角形中位线的性质； （1）利用平行线间的距离相等解决问题； （2）连接，过点作交的延长线于点，即为所求； （3）如图，取的中点，连接，，．利用三角形中位线定理以及等高模型解决问题． 【详解】（1）∵，它们边上的高线长都等于与之间的距离 （2）如图（作法不唯一） （3）如图，取的中点，连接，， 是的中点，是的中点 ∴ 4．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知内角，分别以为边向外侧作等边和等边，连接交于点． (1)如图1，判断是否随的变化而变化？如果不变化，请求出的度数；如果变化，请用的代数式表示的度数； (2)连接，再依次连接四条线段的中点，得到四边形． ①如图2，若，，，求四边形的面积； ②若的面积是，，的面积都是，求的面积． 【答案】(1)不变化，，详见解析 (2)①，详见解析②，详见解析 【分析】（1）先利用证出，进而得出，即可得解； （2）①连，设与交于点Q，连，先证出四边形为菱形，为等边三角形，得出四边形的面积等于的面积的2倍，然后利用勾股定理得出的值，进而即可得出四边形的面积；②先利用面积公式得出的长，再证出为直角三角形，进而即可得解． 【详解】（1），不发生变化，理由如下： 如图，设与交于点P， ∵和都为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）①如图，连，设与交于点Q，连， ∵D，G分别为的中点， ∴，， 同理：，， ，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴四边形的面积等于的面积的2倍， 如图，在中，过点G作交于点K， ∴， ∴， ∴， ∵都为等边三角形，D为边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即，三点共线， ∴在中，， ∵， ∴， ∴； ②如图，过点M作交的延长线于点R， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 5．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图1，在平行四边形中，，，，点E，F分别为边，上的动点（不与顶点重合），且，连结，将四边形沿着折叠得到四边形． (1)连结交于点O，连结． ①求证：． ②若，求的长． (2)若点落在平行四边形的边上，请直接写出所有可能的值． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）①根据平行四边形的性质得到，，求得，根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到结论； ②过D作于H，根据平行线的性质得到，求得，根据勾股定理得到，连接交于G，根据折叠的性质得到，，根据中位线定理得到 ，根据线段垂直平分线的性质得到结论； （2）当在边上时，过D作，得到，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到；当C在边上时，如图，设，交于H，连接，根据折叠的性质得到，，，故是中位线，求得，根据等腰直角三角形 到现在得到；当点与点A重合时，过A作于H，求得，根据勾股定理得到． 【详解】（1）解：在中，，， ， 即， ， ，， ， ； ②过D做于H， ， ， ， 在中，， 连接交于G， 由折叠可知．， 又， 是的中位线， ， 是的中垂线， ； （2）解：或5或 当在边上时（图1）， 由折叠可知， 过D做， ， ． 由折叠，， 当在边上时（图2）， 由折叠，，． 又，故是中位线． 因此， 是等腰直角三角形， ． 当与A重合时（图3）， 过点A作， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 综上所述，或5或． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $